Statique Des Fluides Exo 2

MCANIQUE DES FLUIDESTRAVAUX DIRIGS - CORRIGS

PREMIRE ANNE - SRIE 1

STATIQUE DES FLUIDESPHNOMNES CAPILLAIRESRELATION DE BERNOULLI

2010-2011

groupe A : [email protected] B : [email protected] C : [email protected] D : [email protected] E : [email protected]

Mcanique des Fluides, IUT1 GTE 1re anne Travaux Dirigs 2010-2011

Sance 1 : Statique des fluides

1 Amplificateur de mouvement et de force

2 Tube en U

Exercices de mcanique des fluides avec corrigs 2 IUT GTH 1e anne

Statique des fluides __________________________________

1 - Tube en U On considre un tube en forme de U. On a d'abord vers de l'eau (de masse volumique !e = 1000 kg.m-3), puis d'un ct du tube on a introduit une hauteur h = 20 cm d'huile non miscible dans l'eau (de masse volumique !h = 800 kg.m-3). Calculer la dnivellation h' entre les surfaces libres d'huile et d'eau.

hhA BC

Corrig : On crit trois fois l'quation de la statique (fluide homogne) sur le trajet ferm ABCA:

pA + !e g zA = pB + !e g zB

pB + !h g zB = pC + !h g zC

pC ! pA = patm On fait la somme membre membre des trois quations (toutes les pressions disparaissent boucle ferme) :

!e zA - zB = !h zC - zB " !e h - h' = !h h # h' = h !e - !h!e

h' = h !e - !h

!e = 0,2 200

1000 = 0,04 m = 4 cm

2 - Mesure de la densit d'un liquide On dispose d'un tube en U. On verse du mercure au fond du tube, puis d'un ct, on verse de l'eau sur une hauteur h = 96 mm. Ensuite, on verse de l'autre ct le liquide mesurer jusqu' ce que les deux surfaces libres soient sur une mme horizontale. On mesure la hauteur du liquide inconnu et on trouve h' = 103 mm. Sachant que !eau = 1000 kg/m3 et !mercure = 13 600 kg/m3, trouver la densit du liquide inconnu (rapport entre sa masse volumique et celle de l'eau).

hh

mercure

eauX

A

B C

D

Corrig : On dcrit la boucle ferme ABCDA, soit quatre relations :

pA + !x g zA = pB + !x g zB pB + !Hg g zB = pC + !Hg g zC

pC + !e g zC = pD + !e g zD pD = pA

On fait la somme membre membre des quatre relations et on obtient : !x zA - zB + !Hg zB - zC + !e zC - zA = 0

3 Mesure de la densit dun liquide


Statique des fluides __________________________________

1 - Tube en U On considre un tube en forme de U. On a d'abord vers de l'eau (de masse volumique !e = 1000 kg.m-3), puis d'un ct du tube on a introduit une hauteur h = 20 cm d'huile non miscible dans l'eau (de masse volumique !h = 800 kg.m-3). Calculer la dnivellation h' entre les surfaces libres d'huile et d'eau.

hhA BC

Corrig : On crit trois fois l'quation de la statique (fluide homogne) sur le trajet ferm ABCA:

pA + !e g zA = pB + !e g zB

pB + !h g zB = pC + !h g zC

pC ! pA = patm On fait la somme membre membre des trois quations (toutes les pressions disparaissent boucle ferme) :

!e zA - zB = !h zC - zB " !e h - h' = !h h # h' = h !e - !h!e

h' = h !e - !h

!e = 0,2 200

1000 = 0,04 m = 4 cm

2 - Mesure de la densit d'un liquide On dispose d'un tube en U. On verse du mercure au fond du tube, puis d'un ct, on verse de l'eau sur une hauteur h = 96 mm. Ensuite, on verse de l'autre ct le liquide mesurer jusqu' ce que les deux surfaces libres soient sur une mme horizontale. On mesure la hauteur du liquide inconnu et on trouve h' = 103 mm. Sachant que !eau = 1000 kg/m3 et !mercure = 13 600 kg/m3, trouver la densit du liquide inconnu (rapport entre sa masse volumique et celle de l'eau).

hh

mercure

eauX

A

B C

D

Corrig : On dcrit la boucle ferme ABCDA, soit quatre relations :

pA + !x g zA = pB + !x g zB pB + !Hg g zB = pC + !Hg g zC

pC + !e g zC = pD + !e g zD pD = pA

On fait la somme membre membre des quatre relations et on obtient : !x zA - zB + !Hg zB - zC + !e zC - zA = 0 Exercices de mcanique des fluides avec corrigs 3 IUT GTH 1e anne

!x h' + !Hg h - h' - !e h = 0 " !x = !Hg h' - h + !e hh'

!x = !Hg h' - h + !e hh'

= 13600 103 - 96 + 1000. 96103

= 1856 kg/m3

3- Mesure d'une faible surpression On souhaite mesurer une trs faible surpression par rapport la pression atmosphrique. On utilise pour cela un manomtre grande sensibilit qui est compos par un tube en U dont chaque branche est surmonte d'un rservoir. On verse (un pour chaque branche) deux liquides non miscibles de masses volumiques trs voisines : eau ! eau = 1000 kg/m3 aniline ! aniline = 1024 kg/m3 Dans le premier tat, les pressions sont identiques de part et d'autre. L'interface entre l'eau et l'aniline est note 0 Dans le deuxime tat, on applique une surpression !p la branche de droite (cf. figure). L'interface se dplace de la valeur h. Trouver la relation entre la hauteur h et la surpression !p.

Corrig : Si on admet que les rservoirs ont une grande surface par rapport celle du tuyau, alors le changement de niveau AA' et CC' est insignifiant. Sinon, on crit que lle volume dgage par l'enfoncement de C se retrouve dans le dplacement de B. Dans l'hypothse simple, la surpression !p est compense par le changement (!anil - !e) g h = (1024 - 1000) 9,81 . h d'o :

!p = 24.9,81 h = 235,44 h avec !p en Pa et h en m

Par rapport avec un manomtre eau simple, on gagne un facteur 1000/24 = 42 environ. cela explique le titre de l'exercice.

4- Gradient de pression Un bateau ocanographique est immobile sur l'ocan. La masse volumique de l'eau de mer est ! mer = 1030 kg/m3. Calculer les pressions relatives et absolues aux diffrentes profondeurs suivantes : 10 m, 60 m, 600 m, 11 000 m. Calculer les composantes du vecteur gradient de pression dans l'ocan. Reprsenter ce vecteur. Corrig : Calcul des pressions point A zA = -10 m pa = patm + !e g h pr = !e g h = 1030. 9,81 . 10 = 101 000 Pa point A zA = -60 m pa = patm + !e g h pr = !e g h = 1030. 9,81 . 60 = 606 000 Pa point A zA = -600 m pa = patm + !e g h pr = !e g h = 1030. 9,81 . 600 = 6 063 000 Pa point A zA = -11 000 m pa = patm + !e g h pr = !e g h = 1030. 9,81 . 11 000 = 1,111.108 Pa

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4 Mesure dune faible surpression



!x = !Hg h' - h + !e hh'

= 13600 103 - 96 + 1000. 96103

= 1856 kg/m3






5 Poids, force et pression

La pression est la mme dans les deux rcipient (mme diffrence daltitude entre la surface et le fond dans lesdeux cas).La force exerce sur la table est gale au poids deau (calcul du volume dun prisme base trapzoidale) : la forceest donc plus importante pour le rcipient qui svase vers le haut que pour le rcipient qui se rtrcie vers lehaut.Par application du PFS sur le volume deau au repos, on remarque galement que le poids deau est gal larsultante des forces de pression que les parois et la surface libre exerce sur le volume deau. La rsultante desforces de pression au niveau du fond de chaque rservoir est bien la mme dans les deux cas, en revanche, larsultante des forces de pression sur les autres surfaces est diffrentes dans les deux cas du fait de lorientationdiffrentes des parois latrales.


6 Gradient de pression



!x = !Hg h' - h + !e hh'

= 13600 103 - 96 + 1000. 96103

= 1856 kg/m3






3


7 Immeuble aliment en gaz naturel


5- Immeuble aliment en gaz naturel Le gaz est en surpression !p = 150 mm d'eau, par rapport l'air extrieur au niveau du sol. Calculer la surpression au dernier tage de l'immeuble situ 80 m de hauteur. La masse volumique de l'air au sol est ! air = 1,225 kg/m3 et celle du gaz est !gaz = 0,735 kg/m3. Corrig : Sur h = 80 m de dnivellation, le gaz va diminuer sa pression de !g g h = 0,735 . 9,81 . 80 = 576,8 Pa Sur h = 80 m de dnivellation, l'air va diminuer sa pression de !a g h = 1,225 . 9,81 . 80 = 961,4 Pa La diffrence de pression entre le gaz et l'air augmente de 961,4 - 576,8 = 384,6 Pa Soit en mm de CE "p/!e g = 384,6 / 1000/9,81*1000 = 39,2 mmCE. On en dduit qu'en haut de l'immeuble, la surpression atteint 189,2 mmCE.

6 - Pousse d'Archimde Un rcipient cylindrique de section S contient de l'eau sur une hauteur h = 20 cm . Ce rcipient est plac sur une balance. Une bille en acier de diamtre D = 2 cm est suspendue une potence par une ficelle. On trempe entirement la bille dans l'eau. Dans quel sens la balance est-elle dsquilibre ? Quelle masse faudrait-il ajouter pour rtablir l'quilibre ? Quelle tait la pression exerce par l'eau sur le fond du rcipient au dbut, puis aprs immersion de la bille ? A.N. ! acier = 8600 kg/m3.

Corrig : 1- Il y a plusieurs faons dvaluer la force F que le rcipient exerce sur le plateau de la balance :

- On peut prendre comme systme le rcipient plein deau lexception de la bille et montrer que la force que la bille exerce sur ce systme est oppos la force dArchimde (le liquide exerce la pousse dArchimde sur la bille et daprs la troisime loi de Newton, rciprocit des actions, la bille exerce loppos de la pousse dArchimde sur le liquide) on en dduit alors F.

- On peut utiliser comme systme lensemble bille + eau. Ce systme est soumis son poids, la force de traction T de la ficelle est la force F. On utilise lquilibre de la bille dans leau pour dterminer T.

- On peut utiliser le rcipient sans leau est valuer la rsultante des forces de pression que leau exerce sur le fond du rcipient. Cest certainement la mthode la plus simple pour voir que la densit de la bille na aucune

8 Pousse dArchimde


5- Immeuble aliment en gaz naturel Le gaz est en surpression !p = 150 mm d'eau, par rapport l'air extrieur au niveau du sol. Calculer la surpression au dernier tage de l'immeuble situ 80 m de hauteur. La masse volumique de l'air au sol est ! air = 1,225 kg/m3 et celle du gaz est !gaz = 0,735 kg/m3. Corrig : Sur h = 80 m de dnivellation, le gaz va diminuer sa pression de !g g h = 0,735 . 9,81 . 80 = 576,8 Pa Sur h = 80 m de dnivellation, l'air va diminuer sa pression de !a g h = 1,225 . 9,81 . 80 = 961,4 Pa La diffrence de pression entre le gaz et l'air augmente de 961,4 - 576,8 = 384,6 Pa Soit en mm de CE "p/!e g = 384,6 / 1000/9,81*1000 = 39,2 mmCE. On en dduit qu'en haut de l'immeuble, la surpression atteint 189,2 mmCE.

6 - Pousse d'Archimde Un rcipient cylindrique de section S contient de l'eau sur une hauteur h = 20 cm . Ce rcipient est plac sur une balance. Une bille en acier de diamtre D = 2 cm est suspendue une potence par une ficelle. On trempe entirement la bille dans l'eau. Dans quel sens la balance est-elle dsquilibre ? Quelle masse faudrait-il ajouter pour rtablir l'quilibre ? Quelle tait la pression exerce par l'eau sur le fond du rcipient au dbut, puis aprs immersion de la bille ? A.N. ! acier = 8600 kg/m3.

Corrig : 1- Il y a plusieurs faons dvaluer la force F que le rcipient exerce sur le plateau de la balance :

- On peut prendre comme systme le rcipient plein deau lexception de la bille et montrer que la force que la bille exerce sur ce systme est oppos la force dArchimde (le liquide exerce la pousse dArchimde sur la bille et daprs la troisime loi de Newton, rciprocit des actions, la bille exerce loppos de la pousse dArchimde sur le liquide) on en dduit alors F.

- On peut utiliser comme systme lensemble bille + eau. Ce systme est soumis son poids, la force de traction T de la ficelle est la force F. On utilise lquilibre de la bille dans leau pour dterminer T.

- On peut utiliser le rcipient sans leau est valuer la rsultante des forces de pression que leau exerce sur le fond du rcipient. Cest certainement la mthode la plus simple pour voir que la densit de la bille na aucune Exercices de mcanique des fluides avec corrigs 5 IUT GTH 1e anne

importance, seul son volume compte. Lorsquon trempe la bille dans le rcipient, leau monte dans le verre. La pression augmente dans sur le fond du rcipient, ainsi que la force F.

Quelle que soit la mthode employe on voit que F a augment. L'aiguille de la balance tourne donc vers la gauche. Quantitativement on obtient en suivant les dmarches 1 ou 3 ( la deux est plus complique) Mhtode 1- Si on nglige le volume de la ficelle immerge, il reste la bille. L'eau exerce la pousse d'Archimde sur la bille, donc, rciproquement la bille exerce une force qui est l'oppose de la pousse d'Archimde, c'est--dire le poids d'une bille en eau. Il faut donc rajouter droite, une masse qui fournit le poids d'une bille en eau, c'est--dire la masse d'une bille en eau.

!

L = m = "e#d36 = 0,00418 kg

Mthode 3- Avant immersion de la bille, la pression relative au fond de l'eau tait ! g h = 1000 . 9,81 . 0,2 = 1962 Pa Aprs immersion, elle est devenue : ! g (h + !h) avec ! h S : Vbille d'o !p = !e g !h = !e g Vbille /S et la force rsultant de cette surpression est bien sr : !e g Vbille, c'est--dire l'oppos de la pousse d'Archimde. 7- Aromtre Un aromtre ou pse-liquide ou densimtre est un appareil pour dterminer la densit des liquides. Il est constitu d'une tige cylindrique de section s (gradue) qui surmonte un corps renfl qui sert de lest. La masse totale de l'appareil est m. Quand on trempe l'appareil dans l'eau, il se stabilise en position verticale sur la graduation 0. Lorsqu'on le trempe dans un liquide de densit d, l'appareil se stabilise la distance z du 0 prcdent. Dterminer la relation entre la densit du liquide et la graduation z. Corrig : Il y a deux expriences. Dans leau

!

"e V + hes( )g = mg Dans un autre liquide

!

" V + hs( )g = mg En divisant par la masse volumique et en prenant la diffrence des deux quations (membre membre) on obtient

!

L = h " he =ms1#"1#e

$

% &

'

( ) =

ms#e

#e#

"1$ % &

'

( ) =

ms#e

1d "1

$

% &

'

( )

L est le dplacement de la tige. Les graduations ne sont pas quidistantes. Bien rappeler la dfinition de la densit (rapport dune masse volumique sur la masse volumique de leau). Bien prciser quil arrive que lon emploie le mot densit pour parler de la masse volumique. Ici z dsigne une graduation sur lappareil et non pas une altitude. Il est prfrable de garder la notation z pour laltitude. Je modifierai lnnonc pour lanne prochaine. En attendant lors de la correction utiliser ventuellement une autre notation typiquement L pour dsigner le dplacement vertical de la tige 8 - Contrainte de rupture d'un tube Un tube d'acier de diamtre intrieur Di = 56 mm et de diamtre extrieur De = 60 mm est rempli d'un fluide la pression p. Sachant que la contrainte normale interne de l'acier ne doit pas dpasser Ts = 100 N/mm2, trouver la pression maximale admissible dans le tuyau. Corrig : Le tube peut clater suivant un diamtre ou suivant la longueur. On sait, en observant des saucisses sur un barbecue, quelles ont tendance se fendre suivant la longueur lorsquelles clatent et non pas suivant le diamtre. On peut faire le

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9 Aromtre


importance, seul son volume compte. Lorsquon trempe la bille dans le rcipient, leau monte dans le verre. La pression augmente dans sur le fond du rcipient, ainsi que la force F.

Quelle que soit la mthode employe on voit que F a augment. L'aiguille de la balance tourne donc vers la gauche. Quantitativement on obtient en suivant les dmarches 1 ou 3 ( la deux est plus complique) Mhtode 1- Si on nglige le volume de la ficelle immerge, il reste la bille. L'eau exerce la pousse d'Archimde sur la bille, donc, rciproquement la bille exerce une force qui est l'oppose de la pousse d'Archimde, c'est--dire le poids d'une bille en eau. Il faut donc rajouter droite, une masse qui fournit le poids d'une bille en eau, c'est--dire la masse d'une bille en eau.

!

L = m = "e#d36 = 0,00418 kg

Mthode 3- Avant immersion de la bille, la pression relative au fond de l'eau tait ! g h = 1000 . 9,81 . 0,2 = 1962 Pa Aprs immersion, elle est devenue : ! g (h + !h) avec ! h S : Vbille d'o !p = !e g !h = !e g Vbille /S et la force rsultant de cette surpression est bien sr : !e g Vbille, c'est--dire l'oppos de la pousse d'Archimde. 7- Aromtre Un aromtre ou pse-liquide ou densimtre est un appareil pour dterminer la densit des liquides. Il est constitu d'une tige cylindrique de section s (gradue) qui surmonte un corps renfl qui sert de lest. La masse totale de l'appareil est m. Quand on trempe l'appareil dans l'eau, il se stabilise en position verticale sur la graduation 0. Lorsqu'on le trempe dans un liquide de densit d, l'appareil se stabilise la distance z du 0 prcdent. Dterminer la relation entre la densit du liquide et la graduation z. Corrig : Il y a deux expriences. Dans leau

!

"e V + hes( )g = mg Dans un autre liquide

!

" V + hs( )g = mg En divisant par la masse volumique et en prenant la diffrence des deux quations (membre membre) on obtient

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L = h " he =ms1#"1#e

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L est le dplacement de la tige. Les graduations ne sont pas quidistantes. Bien rappeler la dfinition de la densit (rapport dune masse volumique sur la masse volumique de leau). Bien prciser quil arrive que lon emploie le mot densit pour parler de la masse volumique. Ici z dsigne une graduation sur lappareil et non pas une altitude. Il est prfrable de garder la notation z pour laltitude. Je modifierai lnnonc pour lanne prochaine. En attendant lors de la correction utiliser ventuellement une autre notation typiquement L pour dsigner le dplacement vertical de la tige 8 - Contrainte de rupture d'un tube Un tube d'acier de diamtre intrieur Di = 56 mm et de diamtre extrieur De = 60 mm est rempli d'un fluide la pression p. Sachant que la contrainte normale interne de l'acier ne doit pas dpasser Ts = 100 N/mm2, trouver la pression maximale admissible dans le tuyau. Corrig : Le tube peut clater suivant un diamtre ou suivant la longueur. On sait, en observant des saucisses sur un barbecue, quelles ont tendance se fendre suivant la longueur lorsquelles clatent et non pas suivant le diamtre. On peut faire le

10 Les hmisphres de Magdebourg


12 - Amplificateur de mouvement et de force On considre un tube en U dont une branche a une section S1 = 40 cm2 et l'autre a une section S2 = 4000 cm2. Deux pistons permettent de transmettre au fluide (eau) des efforts. Montrer que lorsqu'on appuie sur la surface S1 avec une force F1 = 10 N, il faut exercer une force norme F2 de l'autre ct pour empcher le cylindre de bouger. Si on dispose une masse M du ct S2, quelle devra tre sa valeur pour quilibrer la force F1 ? Donner des exemples d'utilisation, suivant qu'on appuie du ct S1 ou de l'autre S2. Vrin, amplificateur de mouvement ? Corrig : Ce ne sont pas les forces qui se tranmettent mais les pressions. Si on appuie sur la surface S1 avec une force F1, il faut exercer de l'autre ct une force F2 qui vaut :

F1S1

= F2S2

! F2 = F1 S2S1 = 100 F1

La masse correspondante sera :

m = F2g Si on appuie ct S1, cela correspondra un vrin, si on appuie ct S2, cela correspondra un amplificateur de mouvement. 13 - Les hmisphres de Magdebourg Le Bourgmestre de la ville de Magdebourg (Otto de Gericke) la Renaissance avait rflchi sur la statique des fluides. Il soutint en public que 4 chevaux ne pourraient sparer deux hmisphres de diamtre D = 1 m environ dans lequel on aurait fait le vide et qui seraient simplement jointifs sans serrage supplmentaire. Certains notables de la ville relevrent le pari et l'exprience fut excute. Le maire gagna-t-il son pari ?

FF

Corrig : Si on considre l'quilibre d'un seul hmisphre (le droit par exemple), il est soumis la pression atmosphrique sur un hmisphre, l'action de l'autre hmisphre et la traction des chevaux (on nglige la pesanteur). Au moment o il y a dsolidarisation, l'action du 2e hmisphre s'annule et il ne reste plus que deux forces, d'o la relation :

F = ! d24

pa = 25 000 N

Cela reprsente le poids d'une masse de 2500 kg accroch une corde. On devine facilement que le bourgmestre a gagn son pari.

14 - Force sur une vanne verticale On considre une vanne de largeur L = 10 m et de hauteur h = 5 m. Sur une face de la vanne, l'eau affleure jusqu'en haut, sur l'autre face, la vanne est au contact de l'air. 1- Calculer la rsultante des forces de pression sur la vanne. 2- Calculer le point d'application de la force. 3- Si la vanne est incline vers l'eau d'un angle de 30, que devient la force horizontale sur cette vanne ? Cas d'une vanne de forme quelconque ?

h

F = pid2

4pa = 79.103 N

Cela reprsente le poids dune masse de 7900 kg. On devine facilement que le bourgmestre a gagn son pari.


11 Contrainte de rupture dun tube

Le tube peut clater suivant un diamtre ou suivant la longueur. On sait, en observant des saucisses sur un bar-becue, quelles ont tendance se fendre suivant la longueur lorsquelles clatent et non pas suivant le diamtre.On peut faire le calcul dans les deux cas mais on trouve en effet que la contrainte max est plus faible pour unerupture suivant une gnratrice du cylindre. On propose donc le calcul dans une optique de rupture suivantcette direction. Les lves peuvent calculer chez eux, la pression quil faudrait atteindre pour avoir une rupturesuivant un diamtre et voir que cette valeur est plus leve que la valeur obtenue pour une rupture suivant ungnratrice du cylindre.La pression intrieure soppose la pression atmosphrique extrieure. Coupons par la pense le tuyau en deuxpar une gnratrice. crivons lquilibre mcanique de cette moiti de tuyau. Les forces, si on nglige la pesan-teur, se limitent laction des gaz et laction des contraintes internes, do la relation :

Exercices de mcanique des fluides avec corrigs 6 IUT GTH 1e anne calcul dans les deux cas mais on trouve en effet que la contrainte max est plus faible pour une rupture suivant une gnratrice du cylindre. On propose donc le calcul dans une optique de rupture suivant cette direction. Les lves peuvent calculer chez eux, la pression quil faudrait atteindre pour avoir une rupture suivant un diamtre et voir que cette valeur est plus leve que la valeur obtenue pour une rupture suivant un gnratrice du cylindre. La pression intrieure s'oppose la pression atmosphrique extrieure. Coupons par la pense le tuyau en deux par une gnratrice. crivons l'quilibre mcanique de cette moiti de tuyau. Les forces, si on nglige la pesanteur, se limitent l'action des gaz et l'action des contraintes internes, d'o la relation :

Di L pi - De L pa + T De - Di L = 0 ! pi = De pa + T De - DiDi = 60.10

5 + 100.106 60 - 5656

= 72,5 bars

En ralit, les contraintes internes ne seront pas uniformes et le rsultat est donc approch. 9 - Vase dexpansion On considre une installation de chauffage permettant la circulation de 300 kg deau dans diffrents radiateurs. Les radiateurs sont aliments par des tubes de diamtre intrieur Di = 16 mm et de diamtre extrieur De = 18 mm en acier (contrainte max Ts = 100 N/mm2). On mesure une diffrence de hauteur de 10 m entre le point bas et le point haut de linstallation. On considre que sur les gammes de temprature et de pression considres, la masse volumique est faiblement perturbe (modifie) selon la loi suivante :

!

" = "0 1+ # p $ p0( ) $% T $T0( )( ) avec ! = 4,5.10-4 K-1 le coefficient de dilatation isobare et " = 5,1.10-10 Pa-1 le coefficient de compressibilit isotherme. Les valeurs de rfrence sont la temprature T0 = 20 C, la pression atmosphrique p0 = 105 Pa et la masse volumique #0 = 998 kg.m-3. Lacclration de la pesanteur sera prise gale g =10 m.s-2. Dans cet exercice on sintresse au systme avant mise en circulation du fluide. Le fluide est donc toujours larrt. 1) En premire approximation quel est lordre de grandeur de la diffrence de pression entre le point haut et le point bas de linstallation en supposant la temprature uniforme entre ces deux points. Est-ce que cette diffrence de pression a un impact sur la masse volumique du fluide ? Quelle serait la surpression exerce pour avoir une variation de 1% de la masse volumique ? 2) Le systme est rempli deau et purg la temprature ambiante de 20C puis port la temprature de fonctionnement de 60C. Quelle est la surpressions dans les tuyaux en les considrant indformables ? Comparer cette surpression par rapport la surpression pizomtrique. Les tuyaux vont-ils rsister ? Afin dviter la surpression importante observe dans le cas dun systme isochore, qui pourrait engendrer la rupture de linstallation, il est ncessaire de monter sur le circuit un vase dexpansion. 3) Une premire solution consiste monter un vase dexpansion constitu dun rcipient ouvert latmosphre. Faites un schma. Quel doit tre le volume minimum du vase dexpansion ? Quelle sera la pression absolue dans le circuit en fonction de la hauteur et du point dinstallation du vase dexpansion. O placeriez-vous le vase dexpansion, quel critre utilisez-vous ? Quels peuvent tre les inconvnients de ce type de vase dexpansion ? 4) Une autre solution consiste monter un vase dexpansion ferm constitu dune bonbonne partiellement remplie de gaz sous pression (diazote). Le reste de la bonbonne est remplie par leau de chauffage qui est spare du gaz par une membrane souple. Leau de linstallation est alors libre de se dilater dans le vase dexpansion en comprimant le gaz par dformation de la membrane souple. Faites un schma. Quelle est la variation de volume du gaz induite par la dilation de leau de chauffage ? 5) Le gaz considr comme un gaz parfait est pressuris 1 bar au dessus de la pression atmosphrique la temprature ambiante. Quel est le rapport volume de gaz la temprature de fonctionnement sur volume de gaz la temprature ambiante tel que la pression du gaz soit de 3 bar au dessus de la pression atmosphrique la temprature de fonctionnement ? 6) En dduire le volume minimal du vase dexpansion pour respecter les conditions de fonctionnement ? A votre avis o vaut-il mieux placer ce type de vase dexpansion sur le circuit ?

12 Vase dexpansion

5


Exercices de mcanique des fluides avec corrigs 7 IUT GTH 1e anne Corrig : 1. En premire approx. On nglige la variation de rho. La diffrence de pression entre le point haut et le point bas est de lordre de 1 bar. Compte tenu de la valeur de ! on peut considrer que cette diffrence de pression na pas dimpact sur rho. Impact de la pression : on se place en rgime isotherme, variation de 1% de la masse volumique quivalent ! (p-po)=0.01 soit p=2.107 ou 200 bar On peut donc considrer que lon a un comportement isovolume dans linstallation et une variation de " due seulement un changement de temprature. 2. On considre le systme indformable donc " constant on obtient donc pi=po + # / ! (T-To) = 3.5 107 Pa En utilisant le rsultat de lexercice prcdent on trouve comme pression maximale acceptable dans le tube

!

pi =De pa +T De "Di( )

Di=1,2.107

Par consquent les tubes vont clater si dautre lments nont pas rompu avant. 3. Le vase dexpansion est un rcipient dans lequel le fluide va pouvoir se dilater. Le systme prsente alors un comportement non isovolume, " varie, et le niveau de pression est impos par la pression au niveau de la surface libre du vase dexpansion ouvert latmosphre. La variation de pression entre le point haut et le point bas est de 1 bar . Si le vase dexpansion est situ la base de linstallation on aura la pression atmosphrique au point bas et une pression de plus en plus faible lorsque lon monte dans linstallation jusqu atteindre une pression de lordre de 0 en valeur absolue au point haut. Si on monte progressivement le vase dexpansion, les points situs sous le vase dexpansion seront une pression suprieure la pression atmosphrique et les points situs au dessus du vase dexpansion une pression infrieure la pression atmosphrique. Lorsque le vase dexpansion est plac tout en haut de linstallation on a la pression atmosphrique en haut de linstallation et une pression de 2 bar en valeur abolue la base de linstallation. Quel que soit lemplacement du vase dexpansion les variations de pression par rapport la pression atmosphrique induisent uniquement une variation infime et ngligeable de la masse volumique (cf question 1). On peut considrer le systme comme isovolume une temprature donne. On peut considrer que la masse volumique ne dpend que de la temprature. Le volume deau 20C est :

!

V0 =m"0

=300998 = 0,3006 m

3 =300,6 L

Le volume deau 60C est :

!

V = m"

=m

"0 1#$(T #T0)( )=

300998 1# 4,5.10#4.40( )

=300989 = 0,3061 m

3 = 306,1 L

!

"Ve =V #V0 =m$01# 11#%(T #T0)&

' (

)

* + =

m$0

11

%(T #T0)#1

= 0,3006.1,83.10#2 = 5,5.10#3 m3 = 5,5 L

Le vase dexpansion doit donc avoir un volume dau moins 5,5 L. En ralit on utilise en gnral un volume beaucoup plus grand pour tre sr que le vase dexpansion ne se vide jamais compltement auquel cas de lair rentrerai dans le circuit. Afin dviter les problme de cavitation typique des basses pressions on prfre placer le vase dexpansion au point haut de linstallation (la pression de vapeur saturante 60C est ps=20.103 Pa, pression en dessous de laquelle le circuit ne doit jamais se trouver). En cas de purge des radiateurs, le surplus deau dans le vase permettra de remplir nouveau le systme. Avec un vase dexpansion qui ne serait pas au point haut, on assisterait lors de la purge de tout radiateur situ au dessus du vase une

En cas de purge des radiateurs, le surplus deau dans le vase permettra de remplir nouveau le systme. Avec unvase dexpansion qui ne serait pas au point haut, on assisterait lors de la purge de tout radiateur situ au dessusdu vase une vidange par le vase dexpansion. . . on raliserait donc lopration inverse de celle recherche.Comme le vase est ouvert latmosphre, la solubilisation de lair dans leau, responsable en partie des pochesde gaz qui apparaissent dans les radiateurs, est rapide. On risque aussi plus facilement la corrosion ainsi que lacontamination du circuit par tout ce qui peut rentrer dans le vase dexpansion (poussire, . . . ).

6


Exercices de mcanique des fluides avec corrigs 8 IUT GTH 1e anne vidange par le vase dexpansion on raliserait donc lopration inverse de celle recherche. Comme le vase est ouvert latmosphre, la solubilisation de lair dans leau, responsable en partie des poches de gaz qui apparaissent dans les radiateurs, est rapide. On risque aussi plus facilement la corrosion ainsi que la contamination du circuit par tout ce qui peut rentrer dans le vase dexpansion (poussire, ). 4. Reprsenter le systme. On considre nouveau que lon reste dans une gamme de pression limite, donc la dilation du liquide est identique au cas prcdent et de lordre de 5,5 L. Soit Vg0 le volume initial de gaz dans la bonbonne. Lors de la dilatation du liquide on observe en contrepartie la compression du gaz. Le volume de gaz aprs compression a diminu dautant que le volume de liquide a augment, le volume total de linstallation ne variant pas do :

!

Vg =Vg0 " #Ve 5. Le gaz est un gaz parfait donc PV=nRT. Attention ici on doit utiliser les Kelvin, on utilise en effet des niveaux de temprature absolus et non pas des diffrences de temprature. A la temprature ambiante T0=(20+273) on a P0=2 bar (valeur absolue) A la temprature de fonctionnement T=(60+273) on veut P=4 bar (valeur absolue, lie la fois la compression du gaz et laugmentation de temprature, cette pression de 4 bar ninduit toujours pas de variation mesurable de la masse volumique du liquide comme on la suppos la question 4) Donc :

!

VgVg0

=P0PTT0

6. Compte tenu des deux questions prcdentes :

!

Vg0 " #VeVg0

=1" #VeVg0=P0PTT0

do

!

Vg0 ="Ve

1# P0PTT0

=5,5.10#3

1# 2460 + 27320 + 273

=12,7.10-3 m3=12,7 L

Le volume minimal du vase est donc de 12,7 L. Pour viter de dtriorer la membrane sparatrice liquide gaz sensible la temprature on prfre placer ce type de vase dexpansion juste avant la chaudire l o la temprature est la plus faible du circuit lorsquon est en circulation (on aurait donc en ralit pas 60 au niveau du vase dexpansion mais une temprature plus faible). Le vase dexpansion se trouve alors au point bas de linstallation ( ct de la chaudire) mais cette fois comme le vase nest pas ouvert latmosphre et que lon travaille toujours en surpression il ny a pas de risque de vidange lors des purges 10 - Verre tournant Un verre, moiti rempli d'eau, est mis en rotation la vitesse angulaire ! = 1 rd/s. Le niveau atteint au repos tait z = h = 10 cm , le diamtre du verre est D = 15 cm. Dans quel repre a-t'on le droit d'appliquer l'quation de la statique ? Quelle est en chaque point la distance r de l'axe, la pesanteur apparente ? Trouver l'quation de la surface libre aprs mise en rotation du verre .

Corrig : Il serait plus rapide de traiter ce problme en dynamique (dans le repre fixe). mais on peut aussi le rsoudre en statique dans le repre tournant. Le repre tournant n'est pas galilen, il faut donc ajouter aux forces extrieures les forces d'inertie d'entranement. L'quation de la statique s'crit :

- gradP - ! g ez + ! V2

r er = 0 Tout se passe comme si la pesanteur tait remplace par une pesanteur oblique, somme des deux derniers termes.

13 Soupape de scurit


L'quation de la surface libre se dduit de la simple remarque qu'en tout point, la tangente la surface libre est perpendiculaire la pesanteur quivalente (le vecteur gradient est perpendiculaire aux isobares) :

tg a = dzdr

= ! 2 rg " z = 12

! 2 r2g + z0 = z0 + 0,05097 r2

On peut aussi crire la diffrentielle de la pression dp en fonction de dr et dz et dire que si on se dplace sur la surface libre on a dp = 0 car la surface libre est une isobare. La constante d'intgration z0 est la position de la surface libre sur l'axe du verre. La forme de la surface libre est donc un parabolode de rvolution. On dmontre la proprit curieuse : la descente de l'eau au centre est gale la remonte de l'eau sur les bords. C'est--dire que le volume au-dessus du parabolode est gal la moiti de celui d'un cylindre de mme hauteur.

V = a r2 2 ! r dr0

R

= 2 ! a r44 0

R = 12

! a R4 = 12

! R2 H

11- Soupape de scurit Une marmite pression du genre cocotte-minute est munie d'une soupape de scurit. Cette soupape est simplement constitue d'une bille, de diamtre D = 2 cm et de masse ngligeable, venant appuyer sur un trou du rcipient de diamtre d =1,5 cm par l'intermdiaire d'un ressort dont la raideur est k = 500 N/m (F = k !x). De combien doit-on comprimer le ressort pour que la bille se soulve lorsque la pression dans la marmite dpasse pL = 2.105 Pa ?

Corrig : L'air sous pression appuie sur une calotte sphrique. Le complment la sphre est soumis la pression atmosphrique. Mais on sait ramener la force de pression la pression sur un simple cercle de diamtre d (corollaire du thorme d'Archimde). Le rsultat est alors immdiat. La force exerce par l'air comprim et l'atmosphre vaut donc :

F = ! d24

p - pa

La bille est soumise un ensemble de 4 forces : l'action des bords du rcipient, l'action de l'air, l'action du ressort et son poids. Au moment o la bille se soulve la premire force s'annule. Nous en dduisons que la force du ressort (si on nglige la pesanteur) est l'oppose de l'action de l'air. D'o :

F = ! d24

p - pa = k !L

Si on connat la raideur k du ressort, on en dduit de combien on doit le comprimer (!L) pour assurer le maintien de la bille.

!L = ! d24 k

p - pa = ! 1,52 10-4

4. 500 105 = 0,035 = 3,5 cm

14 Force sur un barrage verticale

Aprs intgration vue en cours le rsultats scrit :

7


Exercices de mcanique des fluides avec corrigs 11 IUT GTH 1e anne Corrig : Le calcul a t fait en cours, le rsultat s'crit :

F = 12

! g h2L = 12

1000.9,81 250 = 1,22.106 N

On trouve que le point d'application est au tiers de la hauteur en partant du bas. Ce rsultat s'obtient en remarquant qu'au point d'application, le moment de la force est nul. Soit zA la cote de ce point. Il doit vrifier la relation :

M = 0 ! z-zA z- H dz0

H

= 0

z2 - z H +zA + H zA dz0

H

= 0 ! H33

- H22

H +zA + H2 zA = 0

zA = 13 H

On a dmontr en cours que la composante horizontale de l'action de l'eau sur une vanne ne dpend que du matre couple et pas de la forme. La force sera donc inchange. 15 - Force sur une vanne sphrique Une vanne a la forme d'un hmisphre de rayon R = 2 m. Elle est pose au fond (ciment) d'un bassin de profondeur d'eau H = 5 m. Dans la cloche ainsi forme, il y a de l'air la pression atmosphrique. Quelle est la rsultante verticale des forces exerces par l'eau sur la demi-sphre ? Corrig : Le calcul a t fait en cours. La force est simplement le poids de l'eau l'aplomb de la vanne sphrique, c'est--dire :

F = ! R2 H - 23

! R3 " g = ! R2 " g H - 23

R = ! 4 .103 9,81 5 - 43

= 452.103 N

16 - Tableau de variation On considre le circuit ci-contre. En labsence dcoulement, tracez le tableau de variation de la pression statique et de la pression pizomtrique lorsquon se dplace le long du circuit de A D. Comment volue la somme de ces deux pressions ? Corrig : Lide est simplement dillustrer avant de passer la suite une consquence simple de

!

p + "gz = cst La partie pizomtrique

!

"gz diminue donc lorsque p augmente et inversement. Le tableau de variation permet simplement de reprsenter cela lorsquon se dplace de A D

paramtre A B C D A p

!

"gz

!

p + "gz

A

B C

D

!

! g

15 Tableau de variation

Lide est dillustrer simplement la loi de lhydrostatique :

p+ gz = cst

La pression hydrostatique gz diminue donc lorsque la pression statique p augmente et inversement. La pressionmotrice pm = p+ gz reste toujours constante. Le tableau de variation permet de reprsenter cela lorsquon sedplace dans le circuit de A D.

A B C D A

p+ gz

gz

p

8


Sance 4 : Tension de surface, quation de Bernoulli

16 Autre dmonstration de la loi de Jurin


Tension superficielle _______________

17- Loi de Laplace Loi de Laplace dans le cas dun bulle dans un liquide, avec une interface de tension de surface ". Rappeler lapproche vectorielle fonde sur un bilan de force sur une moiti de bulle. Utiliser une seconde approche, scalaire cette fois, fonde sur l'quilibre entre travail lmentaire des forces de pression et travail lmentaire des forces de tension de surface sur lensemble de la bulle. Corrig :

Le bilan des forces conduit :

! R2 pi - pE = 4 ! R " # pi - pE = 4 "R

Approche scalaire nergtique : Soit une bulledans un liquide (de rayon R). On la gonfle R + dR. Laugmentation de surface est dS = 8 ! R dR . Considrons comme systme la surface S; laugmentation dnergie superficielle est donc

dW = " dS = 8 ! R dR " Or cette augmentation dnergie superficielle a t apporte par le travail des forces de pression au niveau de la surface

dW = (pi - pe) dV = (pi - pe) 4 ! R2 dR do la relation :

!

pi " pe =2#R

relation de Laplace en prsence d'une seule interface.

18 - Autre dmonstration de la loi de Jurin En partant de l'quilibre mcanique d'une colonne de liquide dans un capillaire, retrouver l'expression de la loi de Jurin. Montrer que le volume retenu par le mnisque joue un rle secondaire. Corrig : De la mme faon, on crit que la tension superficielle tire la colonne d'eau. L'quilibre est atteint quand cette force de traction est oppose au poids de la colonne d'eau.

2 ! R " = ! R2 h + R - 23

! R3 # g = ! R2 h + R3

# g

h = 2 !" g R

- R3

La remonte capillaire est donc donne par cette formule qui se ramne la loi de Jurin si on nglige le dernier terme. 19 - Remonte capillaire dans un tube On considre un tube fin, vertical, de diamtre d = 2 mm dont une des extrmits est plonge dans l'eau. On suppose que le verre est trs propre et que le liquide mouille parfaitement les parois. Calculer la remonte capillaire H dans le tube. A.N. " = 75.10-3 N/m Mme question si l'eau ne mouille pas parfaitement le verre (angle de contact 30). Quelle serait la hauteur pour un tube dans du mercure, non mouillant parfait (" = 450.10-3 N/m)

17 Remonte capillaire dans un tubeExercices de mcanique des fluides avec corrigs 13 IUT GTH 1e anne Corrig : On applique trois fois la loi de Jurin :

h = 2 !" g R

= 2. 75.10-3103 9,81 . 10-3

= 1,53 cm

h = 2 ! cos"# g R

= 2. 75.10-3cos(30)

103 9,81 . 10-3 = 1,32 cm

h = 2 ! cos"

# g R = 2. 450.10

-3cos(180)13,6.103 9,81 . 10-3

= - 6,75 mm

20- Taille d'une goutte qui tombe d'un tube fin (loi de Tate) On laisse couler l'eau trs lentement d'un tube fin (diamtre d = 3 mm). Quel est le diamtre des gouttes qui tombe ? On en calculera une bonne approximation en faisant l'quilibre de la goutte juste au moment o elle se dtache.

Corrig : Au moment o la goutte se dtache, le pdoncule de raccordement a un diamtre d gal celui du tube. Si on nglige le volume du pdoncule sous le col, on obtient l'quilibre mcanique suivant : la force de traction due la tension superficielle est oppose au poids de la goutte :

! d " = 16

! D3 # g $ D = 6 d "# g

1/3= 6. 3.10-3 . 75. 10-31000. 9,81

1/3 = 5,16 mm

Mais on peut remarquer quau niveau du pdoncule linterface eau-air prsente une courbure dont linvariant de Gauss vaut 2/d (si on assimile la surface un cylindre). On en dduit que la pression lintrieur du pdoncule est suprieure la pression atmosphrique de la valeur !p = 2 s /d. Ce qui engendre une force de pousse vers le bas de p d/2 s, soit la moiti de celle calcule plus haut. Laction de la tension superficielle est donc la moiti de celle calcule plus haut. Le diamtre D est donc diviser par 21/3, ce qui donne D = 4,1 mm. Une incertitude apparat lie lpaisseur finie du tube de verre. Quel diamtre prcisment doit-on prendre en compte ? On voit que lon a intrt faire une exprience pour prciser la relation.

21- Correction capillaire pour un manomtre Un manomtre eau (dont le tube est de diamtre d) est reli un rservoir rempli d'air sous pression. La deuxime branche est relie l'atmosphre. La dnivellation H sur le manomtre permet de mesurer la pression relative du rservoir. Faire un dessin. Quelle erreur commet-on sur la mesure cause de la capillarit ? Cas d'un manomtre reli un tuyau plein d'eau ? Corrig : Dans le cas d'un manomtre eau dont les deux extrmits sont dans l'air. Le mnisque des deux cts est concavit vers le haut. Il est facile de montrer qu'il n'y a pas d'effet car les deux erreurs se compensent :

18 Taille dune goutte qui tombe dun tube fin (loi de Tate)

Exercices de mcanique des fluides avec corrigs 13 IUT GTH 1e anne Corrig : On applique trois fois la loi de Jurin :

h = 2 !" g R

= 2. 75.10-3103 9,81 . 10-3

= 1,53 cm

h = 2 ! cos"# g R

= 2. 75.10-3cos(30)

103 9,81 . 10-3 = 1,32 cm

h = 2 ! cos"

# g R = 2. 450.10

-3cos(180)13,6.103 9,81 . 10-3

= - 6,75 mm

20- Taille d'une goutte qui tombe d'un tube fin (loi de Tate) On laisse couler l'eau trs lentement d'un tube fin (diamtre d = 3 mm). Quel est le diamtre des gouttes qui tombe ? On en calculera une bonne approximation en faisant l'quilibre de la goutte juste au moment o elle se dtache.

Corrig : Au moment o la goutte se dtache, le pdoncule de raccordement a un diamtre d gal celui du tube. Si on nglige le volume du pdoncule sous le col, on obtient l'quilibre mcanique suivant : la force de traction due la tension superficielle est oppose au poids de la goutte :

! d " = 16

! D3 # g $ D = 6 d "# g

1/3= 6. 3.10-3 . 75. 10-31000. 9,81

1/3 = 5,16 mm

Mais on peut remarquer quau niveau du pdoncule linterface eau-air prsente une courbure dont linvariant de Gauss vaut 2/d (si on assimile la surface un cylindre). On en dduit que la pression lintrieur du pdoncule est suprieure la pression atmosphrique de la valeur !p = 2 s /d. Ce qui engendre une force de pousse vers le bas de p d/2 s, soit la moiti de celle calcule plus haut. Laction de la tension superficielle est donc la moiti de celle calcule plus haut. Le diamtre D est donc diviser par 21/3, ce qui donne D = 4,1 mm. Une incertitude apparat lie lpaisseur finie du tube de verre. Quel diamtre prcisment doit-on prendre en compte ? On voit que lon a intrt faire une exprience pour prciser la relation.

21- Correction capillaire pour un manomtre Un manomtre eau (dont le tube est de diamtre d) est reli un rservoir rempli d'air sous pression. La deuxime branche est relie l'atmosphre. La dnivellation H sur le manomtre permet de mesurer la pression relative du rservoir. Faire un dessin. Quelle erreur commet-on sur la mesure cause de la capillarit ? Cas d'un manomtre reli un tuyau plein d'eau ? Corrig : Dans le cas d'un manomtre eau dont les deux extrmits sont dans l'air. Le mnisque des deux cts est concavit vers le haut. Il est facile de montrer qu'il n'y a pas d'effet car les deux erreurs se compensent :

19 Formule de Torricelli


On fait le trajet ABDC et on applique les relations :

pA = pB + 2 !R pB + ! g zB = pD + ! g zD

pD = pC - 2 !R D'o, en faisant la somme membre membre :

pc = pA + ! g h Il n'y a pas de correction capillaire appliquer. En revanche, si le mnisque est seul, il y a une correction capillaire qui vaut 4 ! /d.

22 - Formule de Torricelli Un rcipient est perc d'un trou de vidange au fond une distance h de la surface libre. On suppose qu'un dispositif permet au rcipient de conserver un niveau constant. 1- Calculer la vitesse de sortie du jet d'eau. 2- On lche une bille d'acier au niveau de la surface libre en dehors du rcipient et on note les valeurs de sa vitesse. Quelle sera sa vitesse quand elle passera au niveau du trou ? 3- Reprsenter en fonction de z , la vitesse de la bille et celle d'une particule fluide dans le rcipient. Que peut-on en dduire sur l'ordre de grandeur des acclrations au voisinage du trou ?

h

Corrig : Le jet de sortie est peu prs rectiligne. La pression dans le jet est donc la pression atmosphrique (il suffit d'appliquer l'quation transversale de l'impulsion pour le vrifier). Si on crit l'quation de Bernoulli entre la surface libre du haut et un point la sortie, on obtient :

pa + ! g zA = pa + ! g zB + 12 ! V2 " V = 2 g h

Si on lache une bille la mme hauteur que la surface libre, sa vitesse volue au cours de la descente suivant la mme loi. Mais la vitesse augmente rgulirement pour cette bille, alors que la vitesse du fluide n'augmente pas sur la plus grande partie de la hauteur, mais ce n'est qu' la fin qu' lieu une violente acclration. C'est la pression qui permet cela. Elle augmente quand on descend, puis elle diminue violemment juste proximit du trou de sortie. C'est ce gradient de pression norme qui engendre les acclrations normes (des centaines de fois g !).

9


20 Vidange : diffrentes configurations

Pour chaque cas on utilise la formule de Torricelli (Bernoulli le long dune ligne de courant partant de la surfacelibre et passant par le point A).Pour les cas 1, 3 et 4 la vitesse au point A est v =

2gh.

Pour le cas 2 la vitesse au point A est v = 1/2

2gh.Pour le calcul du dbit on dtermine la valeur de la vitesse en un point o on connat galement la section depassage : pour les cas 1 3, extrmit des capillaires o la pression statique est gale la pression atmosphrique,pour le cas 4, orifice de sortie.Pour les cas 1 et 3, Q = s

2gh.

Pour les cas 2 et 4, Q = s/2

2gh .

Sance 5 : Equation de Bernoulli

21 Mesure de pression

On introduit le point D proche du trou. La pression au point D est la mme que la pression au point D dans letrou. Par application de lquation de Bernoulli sur une ligne de courant partant de la surface libre et passant parle point D, et en utilisant la loi de lhydrostatique on obtient les relations suivantes pour le Pitot darrt :

pa + gzA = pD + gzDpD + gzD = pB + gzB

donc zB = zA.On fait de mme pour le Pitot statique :

pa + gzA = pD + gzD + v2

2pD + gzD = pB + gzB

donc zC = zA v2

2g.

Le point C est donc au-dessous du point A alors que le point C est au mme niveau.

22 Phnomne de Venturi, trompe eau

Si on crit Bernoulli le long de laxe de la conduite, le rtrcissement amne une survitesse qui se traduit par unebaisse de pression. La pression est plus basse de la valeur (on nglige les pertes de charge) :

Exercices de mcanique des fluides avec corrigs 15 IUT GTH 1e anne 23- Tubes relis des Pitots Un tuyau d'vacuation est reli au fond d'un rservoir. La vitesse moyenne de l'eau qui circule dans le tuyau est Vm = 2 m/s. On installe une sonde de Pitot statique et une sonde de Pitot d'arrt. Calculer la remonte de l'eau dans chacun des tubes placs au-dessus des sondes de Pitot.

Corrig : On introduit le point D au large du trou. La pression au point D est la mme que la pression au point D' dans le trou. On obtient ainsi les relations :

pa + ! g zA = pD + ! g zD + 12 ! V2

pD + ! g zD = pB + ! g zB

En faisant la somme des deux quations, on obtient :

! g zA = ! g zB + 12

! V2 " zB = zA - V2

2 g

On fait de mme pour le deuxime Pitot : pa + ! g zA = pD + ! g zD =pa + ! g zC " zC = zA

Le point B est donc au-dessous du point A alors que le point D est au mme niveau. 24 - Phnomne de Venturi, trompe eau Un coulement d'eau dans une conduite passe dans un dispositif nomm Venturi qui consiste en un convergent suivi d'un divergent. Le diamtre de la conduite est D1 = 10 cm, le diamtre du col du Venturi est D2 = 5 cm. On branche sur le tuyau et sur le col des prises de pression qu'on relie aux deux branches d'un manomtre en forme de n. Ce dernier est rempli d'air. Trouver la dnivellation h mesure sur le manomtre en fonction du dbit d'eau q dans la conduite. Montrer qu'on pourrait utiliser ce phnomne d'aspiration pour faire un vide partiel dans un rcipient. Proposer un dessin de ralisation.

Corrig : Si on crit Bernoulli le long de l'axe de la conduite, le rtrcissement amne une survitesse qui se traduit par une baisse de pression. La pression est plus basse de la valeur (on nglige les pertes de charge) :

!p = 12

! V12 - V22 = ! g h " h = 12 g V12 - V22 = q

2

2 g 1

S12 - 1

S22

Prciser que dans cette configuration la pression motrice ne varie pas d'une ligne de courant une autre : les lignes de courant sont parallles, donc rayon de courbure infini. La pression motrice tant uniforme, la vitesse est aussi uniforme entre la partie haute et la partie basse de la conduite. La valeur Prciser que dans cette configuration la pression motrice ne varie pas dune ligne de courant une autre : leslignes de courant sont parallles, donc rayon de courbure infini. La pression motrice tant uniforme, la vitesseest aussi uniforme entre la partie haute et la partie basse de la conduite. La valeur de la vitesse dpend de lacondition de sortie de la conduite.En revanche entre la partie haute et la partie basse de la conduite, la pression statique augmente et compenseexactement la variation de pression hydrostatique.La dpression pc pa que lon peut obtenir en fonction du dbit Q, du diamtre du col Dc et du diamtre du tubeDt en sortie la pression atmosphrique est donc :

pc pa = 8Q2

pi2

(1Dt4 1

Dc4

)

10


23 Siphonage dun rservoir

1. On applique lquation de Bernoulli depuis la surface libre (point A) jusqu la sortie du tuyau (point B). Onobtient :

pA + gzA = pB + gzB + v2

2= v = 2gh1

do le dbit :

Qv = piD2

4v = pi

D2

4

2gh1

2. Pour un tube de section constante la pression statique vaut une altitude z mesure depuis la sortie du tube :

p(h) = pa g (z)La pression statique est donc en tout point infrieure la pression atmosphrique et gale la pression atmo-sphrique uniquement la sortie du tube. En particulier les points situs la mme hauteur que la surface libresont galement des pressions statique infrieure la pression atmosphrique (la pression totale reste elle gale la pression atmosphrique).

3. Ce systme ne peut tre utilis comme trompe vide sous peine de dsamorage du siphon.

4. La hauteur h2 joue pourtant un rle dans le phnomne, car il ne faut pas que la pression au point haut dusiphon (point C) soit infrieure la pression de vapeur saturante. Sinon se produit le phnomne de cavitation.La condition scrit :

pC > pv = pa v2

2 gh2 > pv (1)

Si le tube est section constante cela imposte :

h1 + h2 r0 on aura :

!

e = e0r0r

La surface libre tant horizontale on a z+e=cst ou z+e=z0+e0. donc le profil de la surface suprieure du plateau est de la forme

!

z(r) = z0 + e0 1"r0r

#

$ %

&

' (

32 Ecoulement en sortie de robinet On considre le filet deau qui sort dun robinet de diamtre D = 10 mm et de vitesse v0 = 1 cm.s-1. Lacclration de la pesanteur est g = 10m.s-2. 1) Quelle est la pression statique juste la sortie du robinet ? 2) Comment volue la pression statique quand on descend dans le filet deau ? 3) Comment volue la vitesse du jet en fonction de la distance la sortie du robinet ? 4) Donnez lexpression de la section du jet et du profil du jet en fonction de la distance depuis la sortie du robinet 5) La section du jet peut-elle rellement tendre vers 0, que va-t-il se passer ? Corrig : 1) La pression statique est gale patm 2) La pression statique reste gale patm 3) La pression pizomtrique diminue quand on descend donc la vitesse augmente d'aprs l'quation de Bernoulli 4) Equation de Bernoulli le long d'une ligne de courant verticale entre deux points A et B,

!

vA 22 + gzA =

vB 22 + gzB

Si A est pris la sortit du jet on note h=zA-zB distance entre la sortie du jet et le point B.

!

vB 22 =

vA 22 + gh

Exercices de mcanique des fluides avec corrigs 21 IUT GTH 1e anne Conservation de la masse :

!

Q = vBSB = vASA

!

vB =Q2SA 2

+ 2gh = QSB=

Q"rB 2

!

SB =1SA 2

+2ghQ2

"

# $

%

& '

(1/ 2

Profil :

!

rB =1"

1SA 2

+2ghQ2

#

$ %

&

' (

)1/ 4

33 - Effet Coanda et sustentation dune aile On fait une exprience avec un jet issu d'un robinet et une cuillre soupe. On tient la cuillre entre deux doigts, pendue par le manche, et on amne au contact du jet le ct convexe de la cuillre. Quand on s'loigne, on constate que la cuillre a tendance rester coller au jet. Expliquer le phnomne. On considre prsent un jet plan (configuration 2D) au sein duquel on place un profil daile. Quelle est la direction de la force que la jet exerce sur le profil ? Expliquez.

Corrig : L'eau est oblige de contourner la cuillre. Il apparat donc une courbure des lignes de courant. l'extrieur la pression est la pression atmosphrique, donc on en dduit qu' l'intrieur, au contact de la cuillre, la pression est infrieure la pression atmosphrique. L'quilibre de la cuillre montre qu'elle s'incline comme sur la figure. Elle est, en quelque sorte, attire par le jet. Pour l'aile, le fluide contourne le profil. On considre deux lignes de courant situes de chaque ct de l'aile. Du ct profil l'coulement est acclr. La pression est donc plus faible du ct profil do une force oriente vers la gauche. 34 - Sustentation d'une balle de ping-pong par un jet d'air On dispose d'un sche cheveux qui peut fournir un jet d'air bien rgulier. Tournant le jet 45 vers le haut, on arrive maintenir en sustentation une balle de ping-pong. Quelles sont les trois forces qui agissent sur la balle ? Expliquer comment on peut obtenir un quilibre.

Corrig : Il faut tatonner pour trouver la bonne distance de la balle. l'quilibre, la balle est en sustentation, mais elle tourne assez rapidement. Il y a trois forces en prsence. La pesanteur sur la balle, la force de trane (la pousse sur la balle) dans le sens du jet, l'effet Coanda d la courbure des lignes de courant du jet tout autour de la balle. Cet effet Coanda est une force

29 Effet Coanda

Leffet Coanda apparat en prsence dun jet de fluide au proche voisinage dune paroi dans un milieu semi-infiniau repos, pression impose. La paroi et le jet sont respectivement orients de manire provoquer une cour-bure des lignes de courant dans le jet. Cette courbure engendre une diminution de la pression motrice du milieusemi-infini vers la paroi daprs lquation transversale de limpulsion. Cette dpression proche paroi maintientle jet contre la paroi.

Dans les deux situations proposes, le jet suit par effet Coanda la paroi convexe et se trouve dvi de son orienta-tion initiale. Dans les deux cas cest bien la courbure des lignes de courant qui conduit au plaquage par dpression

13


la paroi convexe et en consquence la dviation du jet. Dans le cas dun jet liquide dans une phase gazeuse, lesphnomnes de tension de surface et de mouillabilit au niveau de la ligne triple vont intervenir de manire plusou moins importante et potentiellement renforcer lattraction du jet vers la paroi (cas de la thire qui goutte dufait de la dviation du jet en sortie du bec verseur). Dans le cas dun jet dun fluide dans le mme fluide au repos(air dans lair par exemple) les effets de tension de surface sont inexistants. En revanche, contrairement au cas dujet deau dans de lair, on observe un largissement notable du jet par entranement de lair au repos autour dujet. Cet cartement des lignes de courant par rapport laxe du jet joue un rle notable sur la courbure effectivedes lignes de courant et le plaquage du jet contre la paroi.

Afin dviter une chute rapide vers le sol de lair froid inject par une bouche de climatisation depuis le plafonddune pice, la bouche de soufflage est conue de telle sorte que le jet dair soit plaqu au plafond par effetCoanda. Le jet froid retombe alors progressivement depuis la surface du plafond dans lensemble du volume dela la pice. Un refroidissement trop localis est ainsi vit.

30 Tableau de variation

A E B C D A

v2/2

gz

p

p+ gz

14


Quelques exercices de plus . . . correction

31 Ludion confin

Le volume total du rcipient est conserv. Le volume de leau aussi. On en dduit que le volume dair est conservet si la transformation est lente (pas de dissipation lie au mouvement du ludion donc pas de variation de tem-prature du systme), alors la pression dans lair reste inchange. Cela veut dire que faire monter le ludion dansle rcipient permet de contrler la pression en nimporte quel point du rservoir. Le ludion monte : la pressionaugmente partout, le ludion descend, la pression diminue partout (thorme de Pascal). On voit ainsi quil estpossible de changer le niveau de pression dun liquide sans nergie : Le travail des forces ncessaires pour dpla-cer le ludion (dlest) dun point un autre du rservoir est nul (si on nglige les pertes induites par lcoulementautour du ludion lors de son mouvement). Le dplacement du ludion peut donc se faire sans dpense nerg-tique. Le concept dnergie de pression est donc inconsistant. Il ny a pas dnergie de pression, mais il y a untravail des forces de pression.

On se place nouveau dans le cas dune transformation lente qui nengendre aucune dissipation. En crasant lerservoir, par conservation du volume de liquide, on rduit le volume de gaz. En consquence la pousse dAr-chimde diminue et le ludion va donc se mettre descendre. Si on relache la paroi, le volume de gaz augmente nouveau le ludion se retrouve dlest par la pousse dArchimde, il continue de descendre mais cesse daccl-rer. On est donc pass dune situation sans nergie cintique lintrieur du ludion une situation avec nergiecintique. Cette diffrence dnergie cintique correspond la diffrence entre le travail ncessaire la compres-sion du gaz pression leve (lorsque le ludion est dans sa position initiale) et le travail de dtente rcupr lorsdu retour un volume de gaz initial qui se fait une pression plus faible puisquentre les deux instant le ludion estdescendu : on a donc bien globalement fournit un travail qui se traduit par une augmentation dnergie cintique.Si on veut aller plus loin encore, les tapes de compression et de dtente, supposes rversibles, saccompagnedune variation dnergie interne du gaz associe une variation de temprature rigoureusement opposes lorsde la compression et lors de la dtente (lorsque le ludion se dplace la pression du gaz et la temprature ne variepas tant que le volume reste inchang, ce qui change cest la pression statique du liquide entourant le gaz setrouvant successivement diffrente position verticale). Au cours de la descente, postrieure au relchement dela paroi, la pression statique ne cesse de diminuer sans intervention extrieure.

32 Force sur une vanne sphrique

La force est gale au poids de leau laplomb de la vanne sphrique, cest--dire :

Exercices de mcanique des fluides avec corrigs 8 IUT GTH 1e anne 2- Calculer le point d'application de la force. 3- Si la vanne est incline vers l'eau d'un angle de 30, que devient la force horizontale sur cette vanne ? Cas d'une vanne de forme quelconque ?

h

Corrig : Le calcul a t fait en cours, le rsultat s'crit :

F = 12

! g h2L = 12

1000.9,81 250 = 1,22.106 N

On trouve que le point d'application est au tiers de la hauteur en partant du bas. Ce rsultat s'obtient en remarquant qu'au point d'application, le moment de la force est nul. Soit zA la cote de ce point. Il doit vrifier la relation :

M = 0 ! z-zA z- H dz0

H

= 0

z2 - z H +zA + H zA dz0

H

= 0 ! H33

- H22

H +zA + H2 zA = 0

zA = 13 H

On a dmontr en cours que la composante horizontale de l'action de l'eau sur une vanne ne dpend que du matre couple et pas de la forme. La force sera donc inchange. 14- Force sur une vanne sphrique Une vanne a la forme d'un hmisphre de rayon R = 2 m. Elle est pose au fond (ciment) d'un bassin de profondeur d'eau H = 5 m. Dans la cloche ainsi forme, il y a de l'air la pression atmosphrique. Quelle est la rsultante verticale des forces exerces par l'eau sur la demi-sphre ? Corrig : Le calcul a t fait en cours. La force est simplement le poids de l'eau l'aplomb de la vanne sphrique, c'est--dire :

F = ! R2 H - 23

! R3 " g = ! R2 " g H - 23

R = ! 4 .103 9,81 5 - 43

= 452.103 N

15- Contrainte de rupture d'un tube Un tube d'acier de diamtre intrieur Di = 56 mm et de diamtre extrieur De = 60 mm est rempli d'un fluide la pression p. Sachant que la contrainte normale interne de l'acier ne doit pas dpasser Ts = 100 N/mm2, trouver la pression maximale admissible dans le tuyau. Corrig : La pression intrieure s'oppose la pression atmosphrique extrieure. Coupons par la pense le tuyau en deux par une gnratrice. crivons l'quilibre mcanique de cette moiti de tuyau. Les forces, si on nglige la pesanteur, se limitent l'action des gaz et l'action des contraintes internes, d'o la relation :

Di L pi - De L pa + T De - Di L = 0 ! pi = De pa + T De - DiDi = 60.10

5 + 100.106 60 - 5656

= 72,5 bars

En ralit, les contraintes internes ne seront pas uniformes et le rsultat est donc approch.

_______________

33 Couronne fluide

1. Soit z = 0 la position verticale de la buse. Par application du PFD sur la goutte de fluide soumise unique-ment son poids on montre que la couronne fluide une forme parabolique de rvolution :

z = g (r r0)2

2v02

o v0 = Q/(2pir0e0) est la vitesse en sortie de buse pour un dbit volumique Q.

2. La composante radiale de la vitesse du fluide reste invariante tandis que la composante verticale de la vi-tesse augmente, laugmentation de lintensit de la vitesse conduit donc un amincissement de la couronne.

3. 2 relations une pour la dpendance de z en fonction de r, une pour lpaisseur de la couronne.

4. conservation du dbit :

2pirv(r) e(r) = 2pir0v0e0 = e = e0 r0v0rv5. La pression statique dans la couronne fluide est gale la pression atmosphrique et reste donc constante

15


6. La pression statique tant constante, par application du thorme de Bernoulli le long dune ligne de cou-rant on trouve entre le point daltitude z = 0 et de rayon r0 et le point daltitude z et de rayon r :

v02 = v2 + 2gz = v =v02 2gz = e = e0 r0

r

1 + g2 (r r0)2 /v04

La relation entre la vitesse et la position radiale peut galement tre dptermine partir du PFD dans laquestion 1 qui permet dobtenir les deux composantes (radiale et verticale) de la vitesse

34 Rservoir conique

Le thorme de Bernoulli entre un point A de la surface suprieure une altitude zA(t) et un point B de la surfaceinfrieure laltitude z = 0 scrit (en supposant que lon est en rgime quasi-permanent, ce qui implique que laposition de la surface libre varie lentement par rapport au temps, ce qui impose vA vB) :

v2A + 2gz = v2B ,

la pression statique tant gale la pression atmosphrique en A et B.Les vitesses vA et vB sont lies par conservation du dbit :

vApirA2 = vBs

or le rayon rA laltitude z scrit en fonction de z, s et S :

rA = rB + (rS rB) zh = pirA2 = s

(1 +

(Ss 1)

zh

)2do :

vA

(1 +

(Ss 1)

zh

)2= vB

En reprenant la relation de Bernoulli on trouve :(dzdt

)2+ 2gz =

(dzdt

)2(1 +

(Ss 1)

zh

)4(3)

Pour respecter lhypothse de rgime quasi-permanent, vA vB impose S s soit S/s donc lquationprcdente se rduit dans ce cas :

dzdt

=

2gz

Ss

( zh

)2Par intgration de linstant initial linstant t : t

0dz

dtz

32 dt =

t0

2g

sSh2 dt

on obtient :

25

(h

52 z 52

)=

2gsSh2t (4)

La dure de la vidange jusqu une altitude z est donc :

t =2S

5sh2

2g

(h

52 z 52

)(5)

La dure de la vidange totale scrit donc :

t =25Ss

h

2g(6)

16


35 Vase de Tantale

Le vase de Tantale est un exemple classique de systme qui prsente des oscillations de relaxation. Cest undispositif constitu dune arrive continue deau et dun vase qui se vide priodiquement laide dun siphon,si le dbit dalimentation est plus faible que le dbit de vidange. Lobjectif de cet exercice est de dterminerlvolution de la hauteur h deau dans le vase en fonction du temps pendant le remplissage et la vidange ainsique le dbit de vidange Qv.

1.

h = h0 +QaSt (7)

2.

Qv = s

2g (h+ hv) (8)

3.

dhdt

=QaS Qv

S=

QaS s

S

2g (h+ hv) (9)

Dans le cas o le dbit Qa est ngligeable devant Qv, cest--dire Qa s

2ghv, la relation suivante sesimplifie sous la forme :

dhdt

= sS

2g (h+ hv) dhdt =

sS

2g (h+ hv) dhdt

1h+ hv

= sS

2g (10)

Par intgration entre linstant du dbut de la vidange t = 0 et un instant t quelconque au milieu de lavidange : t

0

dhdt

1h+ hv

dt = t

0

sS

2gdt

on obtient :ha + hv

h+ hv =

s2S

2gt

donc :

h =

(ha + hv s

2g

2St

)2 hv

4. Augmentation linaire du la hauteur pendant la phase de remplissage puis dcroissance suivant une loiparabolique pendant la vidange.

5. Dure de la vidange pour passer de ha h0

tv =2S

s

2g

(ha + hv

h0 + hv

)On parle de relaxation car le systme ramne automatiquement le niveau la hauteur h0 ds que londpasse une hauteur critique ha.

6.

dhdt

=sS

2g

(Qa

s

2gh+ hv

)= a

(b

h+ hv

)avec a = sS

2g et b = Qa

s

2g. Donc :

(b

h+ hv

)1 dhdt

= a

17


Pour pouvoir intgrer cette relation on peut utiliser le changement de variable u2 = h+ hv.

dh = 2udu

2u

b ududt

= a

Puis procder une division euclidienne afin de se ramener une somme dlments simples :(1 + b

b u)

dudt

=a2

On peut alors intgrer entre linstant initial damorage du siphon jusqu un instant t durant la vidange : t0

2(1 + b

b u)

dudt

dt =

t0

adt[u(t) b ln(b u(t))

]t0=

a2t

ha + hv

h+ hv + b ln

bha + hvbh+ hv

=a2t

On peut alors obtenir le vrai temps de vidange. Le calcul de h en fonction de t ncessite en revanche uneapproche numrique. Lorsque b est faible, cest--dire, Qa faible on retrouve bien lexpression obtenue enngligeant le dbit dalimentation lors de la vidange.

36 Mesure de la pression dans une conduite par un trou parital


! g zA = ! g zB + 12

! V2 " zB = zA - V2

2 g

On fait de mme pour le deuxime Pitot : pa + ! g zA = pD + ! g zD =pa + ! g zC " zC = zA

Le point B est donc au-dessous du point A alors que le point D est au mme niveau. 3 - Mesure de la pression dans une conduite par un trou parital On considre une conduite verticale de diamtre D = 5 cm. Sur cette conduite on a perc deux trous en deux points A et B dont la dnivellation est H. Les deux trous sont raccords aux branches d'un manomtre en U invers rempli d'air. La dnivellation sur le manomtre est h . Montrer que la dnivellation h mesure la diffrence de pression motrice entre A et B. En dduire que si la conduite entre A et B est de section constante, la dnivellation h permet de mesurer la perte de charge entre E et F.

Vh

H

A

B C D

E

F

Corrig : Les pressions motrices en E et A sont gales, de mme que celles en F et B. La diffrence des pressions motrices en E et F est gale la diffrence des pressions motrices en D et C, c'est--dire ! g h. On voit donc que la mesure de h conduit celle de la chute de pression motrice entre E et F, c'est--dire si la section est constante la perte de charge entre E et F. 4 - Phnomne de Venturi, trompe eau Un coulement d'eau dans une conduite passe dans un dispositif nomm Venturi qui consiste en un convergent suivi d'un divergent. Le diamtre de la conduite est D1 = 10 cm, le diamtre du col du Venturi est D2 = 5 cm. On branche sur le tuyau et sur le col des prises de pression qu'on relie aux deux branches d'un manomtre en forme de n. Ce dernier est rempli d'air. Trouver la dnivellation h mesure sur le manomtre en fonction du dbit d'eau q dans la conduite. Montrer qu'on pourrait utiliser ce phnomne d'aspiration pour faire un vide partiel dans un rcipient. Proposer un dessin de ralisation.

Corrig : Si on crit Bernoulli le long de l'axe de la conduite, le rtrcissement amne une survitesse qui se traduit par une baisse de pression. La pression est plus basse de la valeur (on nglige les pertes de charge) :

!p = 12

! V12 - V22 = ! g h " h = 12 g V12 - V22 = q

2

2 g 1

S12 - 1

S22 5- Siphonnage d'un rservoir On veut vider un rservoir d'eau l'aide d'un tuyau qu'on amorce en le trempant dans l'eau. Trouver la relation qui fournit le dbit d'vacuation partir du diamtre D du tuyau, et de la dnivellation H entre la surface libre du rservoir et la sortie infrieure du tuyau.

18


37 Verre tournant


Corrig : Il serait plus rapide de traiter ce problme en dynamique (dans le repre fixe). mais on peut aussi le rsoudre en statique dans le repre tournant. Le repre tournant n'est pas galilen, il faut donc ajouter aux forces extrieures les forces d'inertie d'entranement. L'quation de la statique s'crit :

- gradP - ! g ez + ! V2

r er = 0 Tout se passe comme si la pesanteur tait remplace par une pesanteur oblique, somme des deux derniers termes.

L'quation de la surface libre se dduit de la simple remarque qu'en tout point, la tangente la surface libre est perpendiculaire la pesanteur quivalente (le vecteur gradient est perpendiculaire aux isobares) :

tg a = dzdr

= ! 2 rg " z = 12

! 2 r2g + z0 = z0 + 0,05097 r2

La constante d'intgration z0 est la position de la surface libre sur l'axe du verre. La forme de la surface libre est donc un parabolode de rvolution. On dmontre la proprit curieuse : la descente de l'eau au centre est gale la remonte de l'eau sur les bords. C'est--dire que le volume au-dessus du parabolode est gal la moiti de celui d'un cylindre de mme hauteur.

V = a r2 2 ! r dr0

R

= 2 ! a r44 0

R = 12

! a R4 = 12

! R2 H

10- Amplificateur de mouvement et de force On considre un tube en U dont une branche a une section S1 = 40 cm2 et l'autre a une section S2 = 4000 cm2. Deux pistons permettent de transmettre au fluide (eau) des efforts. Montrer que lorsqu'on appuie sur la surface S1 avec une force F1 = 10 N, il faut exercer une force norme F2 de l'autre ct pour empcher le cylindre de bouger. Si on dispose une masse M du ct S2, quelle devra tre sa valeur pour quilibrer la force F1 ? Donner des exemples d'utilisation, suivant qu'on appuie du ct S1 ou de l'autre S2. Vrin, amplificateur de mouvement ? Corrig : Ce ne sont pas les forces qui se tranmettent mais les pressions. Si on appuie sur la surface S1 avec une force F1, il faut exercer de l'autre ct une force F2 qui vaut :

F1S1

= F2S2

! F2 = F1 S2S1 = 100 F1

La masse correspondante sera :

m = F2g Si on appuie ct S1, cela correspondra un vrin, si on appuie ct S2, cela correspondra un amplificateur de mouvement. 11- Soupape de scurit Une marmite pression du genre cocotte-minute est munie d'une soupape de scurit. Cette soupape est simplement constitue d'une bille, de diamtre D = 2 cm et de masse ngligeable, venant appuyer sur un trou du rcipient de diamtre d

38 Loi de Laplace, deux approches

Lapproche vectorielle fonde sur un bilan de force a t vue en cours.Pour lapproche scalaire on considre une bulle de rayon R. on la gonfle R + dR. laugmentation de surfaceest dS = 8piRdR. Considrons comme systme la surface S. laugmentation dnergie mcanique interfaciale estdonc :

dW = dS = 8piRdR (11)

Cette augmentation dnergie interfaciale a t apporte par le travail des forces de pression au niveau de lasurface :

dW = (pi pe) dV = (pi pe) 4piR2dR (12)On retrouve donc bien la relation pour une interface unique :

pi pe = 2R (13)

39 Correction capillaire pour un manomtre

Dans le cas dun manomtre eau dont les deux extrmits sont dans lair. Le mnisque des deux cts est concavit vers le haut. Il est facile de montrer quil ny a pas deffet car les deux erreurs se compensent :

19



On fait le trajet ABDC et on applique les relations :

pA = pB + 2 !R pB + ! g zB = pD + ! g zD

pD = pC - 2 !R D'o, en faisant la somme membre membre :

pc = pA + ! g h Il n'y a pas de correction capillaire appliquer. En revanche, si le mnisque est seul, il y a une correction capillaire qui vaut 4 ! /d.

40 Diffuseur en sortie de turbine hydraulique

On sintresse la gomtrie dun diffuseur monte laval dune turbine hydraulique. On considre la vitesseuniforme dans une section de la canalisation. Donne lexpression de la diffrence de pression entre lentre et lasortie de la conduite en fonction du dbit et des sections dentre Se et de sortie Ss (pertes de charge ngliges).

1. La pression statique ne varie pas ds lors que le diffuseur est horizontal.

2. La pression statique augmente, la pression dynamique et la vitesse moyenne diminue.

3. Si le dbit est nul, la pression statique est constante quelles que soient les sections dentre et de sortie.

4. A la sortie du diffuseur, la pression est gale la pression atmosphrique, par consquent en sortie de tur-bine on a une dpression par rapport la pression atmosphrique do le terme aspirateur . En abaissantla pression en aval de la turbine on augmente la puissance mcanique rcupre par la turbine par rapport la puissance perdue lie la pression dynamique en sortie du diffuseur : plus la vitesse est faible en sortiede diffuseur, plus la puissance perdue est faible.

5. Pour que le dispositif soit optimal il faudrait faire tendre la vitesse en sortie de diffuseur vers 0 soit avoirune section infinie ce qui est impossible.

Q

Se,pe

Ss,ps

41 Sustentation dune balle de ping-pong par un jet dair

Il faut tatonner pour trouver la bonne distance de la balle. lquilibre, la balle est en sustentation, mais elle tourne assez rapidement. Il y a trois forces en prsence. Lapesanteur sur la balle, la force de trane (la pousse sur la balle) dans le sens du jet, leffet Coanda d lacourbure des lignes de courant du jet tout autour de la balle. Cet effet Coanda est une force perpendiculaire aujet. On conoit facilement que les deux dernires forces tant variables, on peut jouer sur le paramtre distancedu sche-cheveu, et sur le paramtre : inclinaison du jet pour trouver une position dquilibre.

20

1 Amplificateur de mouvement et de force2 Tube en U3 Mesure de la densit d'un liquide4 Mesure d'une faible surpression5 Poids, force et pression6 Gradient de pression7 Immeuble aliment en gaz naturel8 Pousse d'Archimde9 Aromtre10 Les hmisphres de Magdebourg11 Contrainte de rupture d'un tube12 Vase dexpansion13 Soupape de scurit14 Force sur un barrage verticale15 Tableau de variation16 Autre dmonstration de la loi de Jurin17 Remonte capillaire dans un tube18 Taille d'une goutte qui tombe d'un tube fin (loi de Tate)19 Formule de Torricelli20 Vidange : diffrentes configurations21 Mesure de pression22 Phnomne de Venturi, trompe eau23 Siphonage d'un rservoir24 Ligne de courant dans un coude25 Dissymtrie amont-aval dans la vidange d'un rservoir26 Jet sur une plaque plane27 Fontaine28 Ecoulement en sortie de robinet29 Effet Coanda30 Tableau de variation31 Ludion confin32 Force sur une vanne sphrique33 Couronne fluide34 Rservoir conique35 Vase de Tantale36 Mesure de la pression dans une conduite par un trou parital37 Verre tournant38 Loi de Laplace, deux approches39 Correction capillaire pour un manomtre40 Diffuseur en sortie de turbine hydraulique41 Sustentation d'une balle de ping-pong par un jet d'air

Documents

Statique Des Fluides Exo 2