Statistica

CUPRINS

Cap. 1 Analiza statistica a variabilitatii fata de tendinta centrala

1.1.Indicatorii simpli si sintetici ai variatiei 1.2.Aplicatie (rezolvata)

1.3Intrebari de autoevaluare

1.4.Cuvinte cheie

Cap. 2 Indicatorii variatiei intr-o serie de repartitie bidimensionala

2.1 Regula de adunare a dispersiilor; 2.2.Aplicatie (rezolvata)

2.3.Intrebari de autoevaluare

2.4.cuvinte cheie

Cap. 3 Verificarea ipotezelor statistice

3.1 Verificarea normalitatii repartitiilor empirice

3 .2 Aplicatie. Testul 2 3.3 Intrebari de autoevaluare

3.4 Cuvinte cheie

Cap. 4. Sondajul statistic i modalitati de utilizare in activitatea de

audit financiar

4.1 Notiuni fundamentale privind procedeele de esantionare si de reprezentativitate a esantioanelor;

4.2 Aplicaii(rezolvate)

Selecia ntmpltoare simpl repetat si nerepetata; Selectia tipica stratificata-caracteristica alternativa si

nealternativa;

4.3 Intrebari de autoevaluare

4.4 Cuvinte cheie

Cap. 5 Modele economice de analiza a regresiei si corelatiei liniare simple

si multiple

5.1 Modelul regresiei si corelatiei liniare simple

5.2 Aplicaie

5.3 Modelul regresiei si corelatiei liniare multiple

5.4 Aplicaie 5.5 Intrebari de autoevaluare

5.6 Cuvinte cheie

Cap.6 Metode econometrice de trend si prognoza cu ajutorul seriilor de timp

6.1 Indicatorii absoluti si relativi ai seriilor de timp (cronologice)

6.2. Ajustarea seriilor de timp

6.3 Aplicaie (rezolvata) 6.4 Intrebari de autoevaluare

6.5 Cuvinte cheie Cap.7. Msurarea oscilaiilor sezoniere ntr-o serie cronologic

7.1 Metode de masurare a sezonalitatii

7.2 Aplicatie (rezolvata)

7.3 Intrebari de autoevaluare

7.4 Cuvinte cheie

Cap. 1. Analiza statistica a variabilitatii fata de tendinta centrala1.1 Indicatorii simpli si sintetici ai variatiei

Gradul de complexitate a unui fenomen este dat de gama factorilor de influen i variabilitatea termenilor unei serii de repartiie. Aceasta nseamn c analiza tendinei centrale cu ajutorul indicatorilor medii necesit operaii de verificare a reprezentativitii lor n raport cu valorile individuale ale caracteristicilor nregistrate, adic este necesar calcularea indicatorilor statistici ai variaiei ntlnii n literatura de specialitate i sub denumirea de indicatori ai mprtierii sau ai dispersiei. Dispersia exprim gradul de mprtiere a valorilor individuale ale unei distribuii n jurul valorii centrale i este datorat influenei factorilor aleatori.

Aceti indicatori ai variaiei sau mprtierii stau la baza calculului altor indicatori prin care se caracterizeaz asimetria, excesul, interdependena dintre factorii de influen etc.

Indicatorii de variaie aduc un plus de cunoatere i informare asupra:

verificrii reprezentativitii mediei ca valoare tipic a unei serii de repartiie;

verificrii gradului de omogenitate a seriei;

comparrii n timp sau spaiu a mai multor serii de repartiie dup caracteristici independente sau interdependente;

cunoaterii gradului de influen a cauzelor dup care s-a fcut gruparea unitilor statistice nregistrate i separrii cauzelor eseniale de cauzele ntmpltoare.

Dup gradul de generalitate se disting:

indicatori simpli ai variaiei;

indicatori sintetici ai variaiei;

Dup metodologia de calcul i forma de exprimare deosebim:

indicatori ai variaiei calculai ca mrimi absolute;

indicatori ai variaiei calculai ca mrimi relative n raport cu valoarea unui indicator al tendinei centrale, n mod deosebit cu media.

Dup modul de sistematizare a datelor deosebim:

indicatori ai variaiei ntr-o serie de repartiie unidimensional;

indicatori ai variaiei calculai pentru serii de distribuie multidimensionale.

tc "5.3.2. Indicatori simpli ai variaiei"Indicatorii simpli ai dispersiei msoar cmpul de mprtiere al caracteristicii, precum i mprtierea fiecrui nivel individual al caracteristicii fa de nivelul lor mediu.

Indicatorii simpli caracterizeaz variaia unei singure variante a caracteristicii n comparaie cu alt variant sau cu nivelul mediu al acestei caracteristici. Aceti indicatori se pot exprima n uniti absolute, ct i relative (%) calculate n raport cu media.

Amplitudinea absolut a variantei (A) se obine ca diferen ntre valoarea maxim (x max) i valoarea minim (xmin) a seriei i are rolul de a msura intervalul de mprtiere n interiorul cruia se distribuie unitile colectivitii:

A = Xmax Xminn cazul unei distribuii de frecvene pe intervale amplitudinea absolut a variaiei se determin prin diferena dintre limita superioar a ultimului interval i limita inferioar a primului interval.

Dac este o serie cu intervale deschise, se va proceda la nchiderea intervalelor.

Amplitudinea relativ a variaiei (A%) se exprim n coeficient sau n procente i se calculeaz, de obicei, ca raport ntre amplitudinea absolut a variaiei (A) i valoarea medie a caracteristicii.

Acest indicator, amplitudinea variaiei, n ambele forme, nu este suficient de semnificativ pentru analiza mprtierii valorilor individuale, deoarece ine seama numai de valorile extreme ale caracteristicii.

Amplitudinea variaiei se folosete n mod practic la alegerea numrului de grupe i a mrimii intervalului de grupare.

Abaterile individuale absolute (di) se calculeaz ca diferen ntre fiecare variant nregistrat i media aritmetic a acesteia.

n funcie de scopul cercetrii, n locul mediei se poate lua mediana sau modulul.

Abaterile individuale relative (di%) se calculeaz ca raport ntre abaterile individuale absolute i nivelul mediu al caracteristicii.

pentru

Indicatorii simpli ai variaiei permit o caracterizare parial i aproximativ a variaiei, deoarece se calculeaz pe baza relaiilor dintre doi termeni ai seriei sau prin comparaia dintre fiecare termen i media lor.

Aprecierea coninutului real al mediei calculate se face prin utilizarea abaterilor variantelor extreme:

abaterea maxim superioar:

abaterea maxim inferioar:

1.2 Aplicatie (rezolvata)Frauda medie a unui lot de 10 firme controlate se prezint astfel(date ipotetice):

numrul de ordine: 1 2 3 4 5 6 78 910

al firmelor (n):

frauda medie (xi)1,20,91,10,81,51,60,80,81,30,9

(mild u.m.):Amplitudinea absolut a variaiei:

A = x max -x min = 1,6-0,8 = 0,8 mil. lei

Amplitudinea relativ a variaiei:

unde:

= 1,09 milioane lei

Abaterile individuale absolute se calculeaz pentru fiecare termen: de unde pentru: primul termen va fi: 1,21,09 = 0,11 mil

al doilea termen: 0,91,09 = 0,19 mil

Abaterile individuale relative:

pentru primul termeni pentru al doilea termenAbaterea maxim superioar:

mild u.m.Abaterea maxim inferioar:

mild u.m.n concluzie: variaia ntre frauda maxima (1,6 mild u.m.) i frauda minima (0,8 mild u.m.) este de 0,8 mild u.m. iar abaterea maxim fa de medie este 0,51 mild u.m., iar cea minim de 0,29 mild u.m. Nu este lipsit de importan, pentru caracterizarea fraudei intregului lot verificat, nici frecvena valorilor maxime (1), ct i a celor minime (3).

tc "5.3.3. Indicatorii sintetici ai variaiei (ai mprtierii)"Indicatorii sintetici ai variaiei caracterizeaz gradul de variaie, lund n consideraie toi termenii seriei. Acetia caracterizeaz ntro singur expresie numeric ntreaga variaie a unei caracteristici din colectivitatea analizat.

n funcie de metodologia de calcul, de ncrctura informaional, n statistic se calculeaz urmtorii indicatori sintetici ai mprtierii:

abaterea medie liniara;

abaterea medie ptratic (deviaia standard);

dispersia (variana);

coeficientul de variaie.

Indicatorii sintetici pot fi calculai ca mrimi medii, cu sfer de aplicabilitate numai la variabile comparabile i ca mrimi relative, de coeficieni, cu sfer larg de comparabilitate.

Abaterea medie liniar (d) se calculeaz ca medie aritmetic simpl sau ponderat, n funcie de felul seriei, a abaterilor termenilor seriei de la media lor luate n valoare absolut adic:

pentru o serie simpl;

pentru o serie de frecven; pentru o serie de frecvene relativeAcest indicator poate fi concludent numai dac seria prezint un grad mare de omogenitate.

Observaii privind coninutul i metodologia de calcul ale abaterii medii (Al. Isaic- Maniu i colab., 1994)

abaterea medie se exprim n unitatea de msur a caracteristicii; n cazul seriilor de distribuie de frecvene pe intervale n locul variabilelor xi se vor lua n calcul centrele de interval;

n calculul abaterii medii ne putem limita numai la valorile individuale ale caracteristicii superioare valorii medii, deoarece ntro serie de distribuie suma algebric a abaterilor pozitive este egal cu suma abaterilor negative absolute;

abaterea medie calculat n raport cu media aritmetic este mai mare, de regul, dect abaterea medie calculat n raport cu mediana

abaterile mari n valoare absolut influeneaz n msur mai mare gradul de variaie al unei caracteristici, n comparaie cu abaterile mai mici.

Dispersia (s2) se calculeaz ca o medie aritmetic simpl sau ponderat a ptratelor abaterilor termenilor seriei de la media lor. Astfel:

pentru o serie simpl;

pentru o serie de frecven;

pentru o serie de frecvene relative; unde

Abaterea medie ptratic sau abaterea standard () se calculeaz ca o medie ptratic simpl sau ponderat a abaterilor valorilor seriei fa de media lor, respectiv rdcina ptrat din dispersie:

Abaterea medie ptratic reflect ntr-o mai mare msur influena factorilor aleatori comparativ cu abaterea medie liniar. Abaterile extreme prin ridicarea la ptrat au o influen mai mare dect abaterile intermediare, mai apropiate de medie.

Abaterea medie ptratic este mai mare dect abaterea medie liniar .

Coeficientul de variaie (v) se calculeaz ca raport procentual ntre abaterea medie liniar sau abaterea medie ptratic i media aritmetic:

Coeficientul de variaie arat cte uniti din abaterea medie liniar sau din cea ptratic revin la 100 de uniti de medie.

Coeficientul de variaie, comparativ cu ceilali indicatori ai dispersiei calculai n mrimi medii , mrete sfera de comparabilitate a acestuia, deoarece poate fi exprimat n uniti de msur diferite.

Coeficientul de variaie poate lua valori cuprinse ntre 0-100%

(0 < v < 100%).

Cnd coeficientul de variaie tinde spre zero, se consider o variaie slab, o colectivitate omogen i o medie cu un grad ridicat de reprezentativitate.

Cnd coeficientul de variaie tinde spre 100%, variaia este intens, colectivitatea eterogen, iar media are un grad de reprezentativitate redus.

Ca test de semnificaie a reprezentativitii mediei se pot stabili urmtoarele praguri de semnificaie:

0 1-R2, nseamn c factorul de grupare acioneaz n mod hotrtor asupra variaiei caracteristicii yj, iar dac R2 0 legtura dintre variabile este direct;

dac b < 0 legtura dintre variabile este invers;

dac b = 0 nu exist legtur ntre variabile.

. Regresia liniara simpla si validarea modelului de regresie

Estimarea parametrilor a i b ai ecuaiei liniare de regresie se realizeaz prin metoda celor mai mici ptrate. Aceast metod se bazeaz pe criteriul minimizrii sumei ptratelor erorilor, adic minimizarea sumei ptratelor abaterilor valorilor observate (yi) de la valorile teoretice (Yx):

Sistemul de ecuaii normale devine:

Prin rezolvarea sistemului de ecuaii se obin parametrii a i b, astfel:

,

.

Dup estimarea parametrilor a i b se scrie funcia de regresie pe baza creia se determin valorile teoretice prin nlocuirea succesiv a valorilor xi.

Calitatea funciei de regresie se poate aprecia prin urmtorii indicatori:

1) Eroarea standard () care se calculeaz ca o abatere ptratic a valorii reale (yi) fa de cele teoretice (Yx).

2) Coeficientul de eroare (e) este cel care cuantific intensitatea variaiei n jurul funciei de regresie exprimat procentual.

Cu ct valoarea celor doi indicatori este mai sczut, cu att funcia aleas este mai reprezentativ pentru a reda tipul de legtur dintre variabilele cercetate.

3) Coeficientul de determinaie (D) arat proporia n care variabila independent (X) explic variaia caracteristicii dependente (Y), aceasta fiind o alt modalitate de apreciere calitativ a funciei de regresie.

Variaia total a lui y fa de media sa are dou componente:

Variaia

total=Variaia

neexplicat

de

regresieVariaia

explicat

de

regresie

Aceste abateri permit calcularea urmtoarelor dispersii:

dispersia total a lui y:

, exprim influena tuturor factorilor asupra variabilei y;

dispersia explicat de regresie:

, exprim influena factorului asupra variaiei lui y;

dispersia neexplicat de regresie (rezidual):

, exprim influena celorlali factori, factori reziduali, asupra variaiei lui y.

Validarea modelului de regresie se realizeaz aplicnd testul Fisher-Snedecor (testul F) i presupune verificarea modului n care valorile teoretice Yx reconstituie valorile empirice (nregistrate).

Testul F se calculeaz pe baza relaiei:

unde K = numrul parametrilor modelului;

n = numrul de perechi de valori.

Valoarea calculat a testului (Fcalc) se compar cu valoarea teoretic care se obine din tabelele statistice , pentru un rag de semnificaie i K 1, n K grade de libertate. Pentru validarea modelului de regresie este necesar ca:

Fcalc >

Ajustarea seriei statistice presupune nlocuirea termenilor empirici (termeni reali obinui prin observare) cu termeni teoretici, calculai pe baza unui model matematic, care arat tendina de variaie a caracteristicii rezultative y, dac ar fi depins numai de variaia factorului x.

Pentru verificarea calcului parametrilor funciei de regresie se folosete relaia: , ceea ce arat c prin ajustare nu se face altceva dect o redistribuire a influenei factorilor, astfel nct factorul nregistrat s influeneze sistematic n toate cazurile supuse observrii statistice.

Funcia de regresie este numai o ipotez statistic care exprim tendina medie de manifestare a legturii dintre cele dou caracteristici i reprezint doar un prim pas pentru msurarea corelaiei dintre fenomene.

Analiza corelaiei reprezint un instrument de caracterizare a intensitii legturii dintre variabile i este strns legat de analiza regresiei.

Corelaia poate fi pozitiv sau negativ, n funcie de natura legturii dintre cele dou variabile (legtura direct sau invers).

Covariaia ncearc s surprind existena i direcia legturii dintre o variabil dependent (y) i o variabil independent (x) lund n calcul abaterea fiecrui termen de la media seriei care se cerceteaz.

unde n = numrul de perechi de date nregistrate.

Semnul covarianei arat direcia legturii dintre variabile, adic valoarea pozitiv denot o legtur direct, iar cea negativ o legtur invers. Valoarea zero a covarianei indic o lips de legtur.

Coeficientul de corelaie liniar (ry/x) este un indicator sintetic care msoar intensitatea legturii dintre dou variabile xi i yi i ia valori ntre 1 i +1.

Cea mai utilizat formul de calcul este:

, unde 1 ry/x +1.

Valoarea pozitiv a coeficientului de corelaie (r > 0) indic o corelaie pozitiv, direct ntre variabile X i Y. Cu ct valoarea coeficientului este mai apropiat de 1, cu att legtura dintre cele dou variabile este mai puternic.

Valoarea negativ a coeficientului de corelaie (r < 0) indic o legtur invers i cu ct valoarea este mai apropiat de 1, corelaia este mai puternic, dar n sens invers. Valoarea nul (r = 0) sau apropiat de zero a coeficientului de corelaie arat o legtur slab sau lipsit de legtur.

n practic sunt folosite urmtoarele aprecieri ale intensitii legturii dintre variabilele X i Y pentru diferite intervale de valori ale coeficientului de corelaie.

ry/x (0; 0,2) legtura lipsete sau este nesemnificativ;

ry/x (0,2; 0,5) legtura slab;

ry/x (0,5; 0,75) legtur de intensitate medie;

ry/x (0,75; 0,95) legtura este puternic;

ry/x (0,95; 1) legtur puternic, aproape determinist.

Dac ry/x 1 corelaia este puternic, iar valorile yi se grupeaz n jurul dreptei de regresie.

Dac legtura este liniar ry/x = Ry/x (raportul de corelaie).

Dac ry/x Ry/x atunci legtura este neliniar i se va calcula numai Ry/x.

Raportul de corelaie (Ry/x) se utilizeaz pentru a caracteriza intensitatea legturii dintre variabile indiferent de forma legturii sau numrul de variabile cuprinse n cercetare.

Raportul de corelaie ia valori ntre 0 i 1. Cu ct valoarea se apropie mai mult de 1, cu att legtura dintre cele dou variabile analizate este mai puternic.

n cazul corelaiei liniare, raportul de corelaie este egal cu coeficientul de corelaie liniar, considerat n modul (raportul de corelaie).

Semnul raportului de corelaie se determin dup semnul parametrului b din ecuaia de regresie.

Testarea semnificaiei coeficientului de corelaie(testul t)Se impune testarea coeficientului de corelaie deoarece este foarte probabil ca orice pereche de variabile luat n analiz (chiar i ntre cele ntre care nu exist o legtur logic) s prezinte un coeficient de corelaie nenul. Pentru a vedea dac valoarea coeficientului de corelaie este semnificativ, se calculeaz:

unde n = numrul de perechi de valori observate.

Valoarea calculat se compar cu valoarea din tabele t, n-2 pentru un prag de semnificaie (de regul = 0,05) i n 2 grade de libertate (dreapta are doi parametri).

Dac tcalculat > tteoretic coeficientul de corelaie este semnificativ i legtura dintre X i Y nu este ntmpltoare.

5.2 Aplicaie (rezolvata)(Regresia si corelatia simpla)

S se determine pe baza informaiilor din tabelul nr. 6.3:

1) modelul de regresie (corelograma);

2) ecuaia de regresie i parametrii acesteia (a i b);

3) testarea i validarea ecuaiei de regresie;

4) indicatorii de corelaie (covariana, coeficientul de regresie, coeficientul de corelaie, raportul de corelaie);

5) testarea semnificaiei coeficientului de corelaie.

Tabelul nr. 5.1Veniturile totale i ctigurile salariale medii lunare din Romnia, pe regiuni de dezvoltare n anul 2002Regiune de dezvoltareCtigul salarial nomimal net lunar

milioane lei/salariat

(xi)Veniturile totale

milioane lei lunar/persoan

(yi)

Nord-Est3,412,0

Sud-Est3,732,2

Sud3,702,07

Sud-Vest4,012,17

Vest3,682,38

Nord-Vest3,392,38

Centru3,442,41

Bucureti4,763,01

Total ar3,792,29

Sursa: Anuarul statistic al Romniei 2003.Venit total

mil. lei/pers/lun

3,1

3 (4,76; 3,01)

2,9

2,8

2,7

2,6

2,5

2,4

2,3 (3,68; 2,38)

2,2 (4,01; 2,17)

2,1

2

3 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 3,7 3,8 3,9 4 5

Ctig salarial

mil. lei/salariul

Graficul nr. 5.1. Corelograma. Distribuia pe regiuni de dezvoltare a veniturilor

totale n funcie de ctigul salarial mediu net n anul 2002.

Din reprezentarea grafic (corelograma) graficul nr. 5.1. a rezultat o distribuie oarecum liniar a perechilor de valori ale variabilelor Xi i Yi, prin urmare ecuaia de regresie va urma modelul liniar:

y = a + bx

Se calculeaz algoritmul necesar pentru determinarea ecuaiei de regresie de tip liniar i a indicatorilor de corelaie liniar (tabelul nr. 5.2.).

Parametrii ecuaiei de regresie a i b

Dup aflarea valorilor parametrilor a i b se trece la ajustarea seriei, astfel:

y1 = 0,39 + 0,515 3,41 = 2,15 (pentru x1 = 3,41)

--------------------------------------

y8 = 0,39 + 0,515 4,76 = 2,84 (pentru x8 = 4,76)

Se constat c ceea ce confirm legtura de tip liniar.

Validarea ecuaiei de regresie

Eroarea standard:

Coeficientul de eroare (e):

(cam mare gradul de eroare)

Coeficientul de determinaie (D):

Coeficientul de determinaie arat c ecuaia de regresie surprinde numai 53,6% din influene care se datoreaz factorului x, restul de 46,4% revenind altor factori.

Testul F

K = 2 (dou variabile)

n = 8 (perechi de valori)

.

Din anexa cu valorile raportului dispersiilor F corespunztoare nivelului de semnificaie 5% (P = 95) se gsete valoarea teoretic pentru Fx; K-1; n K, adic F0,05; 1; 6 = 5,99.

Prin urmare Fcalc > Ftabelar (12,93 > 5,99) pentru = 5%; K 1 = 1 i n K = 6 grade de libertate

Pentru o probabilitate de 95% se poate valida ecuaia de regresie calculat.

Coeficientul de regresie (by/x)

Valoarea pozitiv a coeficientului de regresie arat legtura direct ntre ctigul salarial nominal net i veniturile totale.

Creterea cu o unitate monetar a ctigului salarial net (x) conduce la creterea veniturilor totale cu 0,51 uniti monetare (y).

Covariana Cov (x,y)

.

Valoare pozitiv confirma legtura direct dintre cele dou variabile x i y.

Coeficientul de corelaie (ry/x)

Coeficientul de corelaie se mai poate calcula astfel:

Valoare pozitiv a coeficientului de corelaie, confirm legtura direct ntre cele dou variabile (ctigul salarial net i veniturile totale), iar valoarea mai apropiat de +1, arat o legtur de intensitate medie.

Raportul de corelaie (Ry/x)

.

Valoarea raportului de corelaie egal cu valoarea coeficientului de corelaie confirm legtura direct dintre cele dou variabile.

Verificarea semnificaiei coeficientului de corelaie se calculeaz n funcie de repartiia Student:

ry/x = 0,73; n = 8 (perechi de valori empirice)

ttabelar = t0,05; 8-2 = t0,05;6 = 2,447.

Coeficientul de corelaie (ry/x) este semnificativ dac:

tcalculat > ttabelar3,83 > 2,447 pentru un nivel de semnificaie de 0,05 i 6 grade de libertate.

Se poate spune c este semnificativ coeficientul de corelaie calculat i exist o legtur real de intensitate medie ntre ctigul salarial nominal net lunar i veniturile totale ale salariailor din Romnia.

5.3. Modelul regresiei si corelatiei liniare multipleRegresia multipl poate fi exprimat printr-o funcie liniar sau o funcie curbilinie.

n cazul regresiei liniare multiple, ecuaia este de forma:

i presupune existena unei variabile dependente (Y) exprimat n funcie de dou sau mai multe variabile independente (x1, x2, , xn).

Coeficienii de regresie a0, a1, , an se obin cu ajutorul metodei celor mai mici ptrate.

Parametrii ecuaiei au urmtoarea semnificaie:

a0 = are caracter de medie i exprim influena factorilor nenregistrai, considerai cu aciune constant;

a1, a2, ., an = numii i coeficieni pariali de regresie, arat cu ct se modific variabila Y, cnd variabilele factoriale x1, x2, , xn se modific cu o unitate.

Intensitatea de legtur se calculeaz cu ajutorul coeficientului i a raportului de corelaie.

Coeficientul de corelaie () se determin cu ajutorul coeficienilor de corelaie simpl dintre variabilele perechi .

5.4. Aplicaie (rezolvata).

(Regresia si corelatie liniara multipla)

Pe baza informaiilor de care se dispune (tabelul nr. 5.3.) s se determine:

a) existena i forma legturii prin metoda grafic;

b) algoritmul de calcul pentru determinarea indicatorilor de corelaie i a ecuaiei de regresie;

c) indicatorii de corelaie: coeficientul de corelaie i raportul de corelaie.

Tabelul 5.3.

Nr. crt.Economia subterana constatata (x1)(miliarde uniti monetare)Numr de firme (x2)Profitul (y)

(miliarde uniti monetare)

1.2,21515

2.1,51410

3.1,71210

4.2,51415

5.3,11820

6.2,71718

7.3,32025

8.1,1108

9.1,81212

10.2,51514

a) Determinarea existenei i formei legturii (graficul nr. 5.2 i graficul nr. 5.3.):

Profit

(mild. u.m.)

30 (20;25)

20

(15;15)

10 (12; 10)

5 10 15 20 Numr firmeGraficul nr. 5.2. Legtura dintre numrul de firme si profitul obtinut

Profit

(mild. u.m.)

30

(3,3;25)

20

(2,2;15)

10 (1,5; 10)

1 2 3

Capital fix (miliarde u.m.)

Graficul nr. 5.3. Legtura dintre economia subterana si profitPrezentrile grafice arat c legturile simple sunt sub form liniar, deci funcia de regresie multipl este:

Sistemul de ecuaii normale pentru estimarea parametrilor acestei funcii presupune rezolvarea urmtorului sistem:

Pentru determinarea parametrilor a0, a1, a2 ai funciei se calculeaz algoritmul din tabelul nr. 5.4.

Tabelul nr. 5.4.

Algoritm de calcul pentru determinarea indicatorilor de corelaieNr

crtProfit

(mild u.m.)

yiEconomia subterana

(miliarde u.m.)

x1Numr firme

x2

x1yx2yx1x2

1152,21522533,022533,04,84225

=14,78

2101,51410015,014021,02,25196y 2=11,28

3101,71210017,012020,42,89144 10,48

4152,51422537,521035,06,25196 15,16

5203,11840062,036055,89,6132420,53

6182,71732448,630645,97,2928918,29

7253,32062582,550066,010,8940022,98

881,110648,88011,01,211006,58

9121,81214421,614421,63,2414410,48

10142,51519635,021037,56,2522515,99

Total14722,41472403361,02295347,254,722243147,0

Sistemul anterior devine:

32 112,64 a2 + 56 842,24 + 37 306,24 a2= 60 935,04

5 193 a2 = 4 092,8

Parametrii ecuaiei de regresie au urmtoarele valori:

a0 = -5,559; a1 = 3,873; a2 = 0,788.

Valorile teoretice ale ecuaiei se obin prin nlocuirea valorilor factorilor x1 i x2 n funcia de regresie, astfel:

y = a0 + a1x1 + a2x2y1 = -5,559 + 3,873 x1 + 0,788 x2y1 = -5,559 + 3,873 2,2 + 0,788 15 = 14,78

y2 = -5,559 + 3,873 1,5 + 0,788 14 = 11,28

y10 = -5,559 + 3,873 2,5 + 0,788 15 = 15,94

Indicatorii de corelaie Intensitatea corelaiei dintre capitalul fix (x1) i profitul (y) se determin cu ajutorul coeficientului de corelaie:

=

Valoarea pozitiv i apropiat de 1 a coeficientului de corelaie arat o legtur direct i de mare intensitate ntre volumul economiei subterane i volumul profitului obinut.

Intensitatea corelaiei dintre numrul de firme i profit este:

=

Valoarea pozitiv i apropiat de 1 a coeficientului de corelaie arat o legtur direct i de mare intensitate ntre numrul de firme i profitul obinut.

Intensitatea corelaiei dintre economia subterana (x1) i numrul de firme (x2) se determin astfel:

=

Coeficientul de corelaie calculat arat c ntre economia subterana i numrul de firme se nregistreaz o legtur direct de intensitate medie.

Coeficientul de corelaie liniar multipl

=

.

Tabelul nr. 5.5.

Tabel cu valori ajuttoareNr. crt.Valorile ajustate ale ecuaiei (yi)

yi

114,78150,220,30,04840,09

211,2810-1,28-4,71,638422,09

310,4810-0,48-4,70,230422,09

415,1615-0,160,30,02560,09

520,6320-0,635,30,396928,09

618,2918-0,293,30,084110,89

722,98252,5210,36,2558106,09

86,5881,42-6,72,016444,89

910,87121,13-2,71,27697,29

1015,9414-1,94-0,73,76360,49

147,00147,00--15,7365242,1

mild uniti monetare

=147.

Raportul de corelaie multipl

.

Valorile necesare calculrii raportului de corelaie au fost determinate cu ajutorul tabelului cu valori ajuttoare (tabelul nr. 6.10.).

Deoarece coeficientul de corelaie multipl i ale raportului de corelaie multipl au aceeai valoare (0,967) dovedete c tipul de legtur dintre cei trei factori este de tip liniar, iar valoarea apropiat de +1 arat o legtur direct i foarte puternic.

5.3.INTREBARI DE AUTOEVALUARE

1)Ce este metoda regresiei?

2)Ce este corelatia?

3)Ce sunt legaturile multiple?

4)Ce inseamna legatura directa? Dar inversa?

5)Ce etape presupune aplicarea metodelor de analiza a corelatiei?

6)ce este regresia liniara simpla?

7)Ce arata coeficientul b, numit si coeficient de regresie?

8)Ce arata coeficientul de determinatie?

9)Prin ce procedeu se valideaza modelul de regresie?

10)Ce presupune ajustarea seriei statistice?

11)Care este intervalul de valori?

12)Prin ce procedeu se testeaza semnificatia coeficientului de corelatie?

5.4.CUVINTE CHEIE

caracteristica rezultativa; metoda regresiei; corelatie simpla; corelatie multipla; coeficientul de regresie; eroarea standard; coeficientul de eroare reziduala; testul Fisher- Snedecor; validarea modelului de regresie; ajustarea seriei; covarianta;

testul t;testul F; corelograma.Cap. 6. Metode econometrice de trend si prognoza cu ajutorul seriilor de timp6.1. Indicatorii absoluti si relativi ai seriilor de timp (cronologice)

Alegerea bazei de comparare (y1) este o problem deosebit de important pentru calculul indicatorilor unei serii de timp, deoarece acest nivel de referin (baz de raportare) trebuie s fie tipic procesului studiat, neafectat de perturbaii majore sau de conjunctur anormal pentru fenomenul respectiv. Este indicat ca alegerea nivelului de referin s se refere la o unitate de timp care poate fi:

nceput sau sfrit de etap;

unitatea de timp anterioar perioadei pentru care se calculeaz indicatorul;

o perioad asemntoare din punct de vedere al condiiilor de desfurare, dar dintr-un interval de timp anterior.

Indicatorii seriilor cronologice care se obin prin raportare se determin folosind:

baza fix, adic un nivel de referin neschimbat pentru ntreaga perioad analizat;

baza n lan, ceea ce presupune c nivelul de referin s fie mobil, adic baza de comparare n cazul unui astfel de indicator s fie nivelul din perioada imediat anterioar.

Exprimarea indicatorilor se face n:

mrimi absolute, adic n uniti fizice (lei, tone, buci etc.) sau valorice;

mrimi relative (procente, coeficieni).

Sistemul de indicatori utilizai n prelucrarea datelor unei serii cronologice cuprinde:

indicatori absolui:

- indicatori de nivel;

- modificrile (sporuri sau scderi) absolute ().

indicatori relativi:

- indicatori ai evoluiei n timp (I);

- ritmuri de modificare de cretere sau scdere (R);

- valoarea absolut a unui procent de modificare (A).

indicatori medii:

- nivelul mediu al seriei ;

- modificarea absolut medie;

- indicele mediu de cretere sau scdere;

- ritmul mediu numit i rat medie de cretere sau scdere.

Fiecare termen al seriei reprezint un indicator de nivel, care arat volumul, mrimea absolut a caracteristicii n perioada de baz (de referin).

Indicatorii absolui

Modificarea absolut exprim creterea sau scderea nivelului caracteristicii, i poate fi calculat n dou feluri:

modificarea absolut cu baz fix se obine fcnd diferena dintre nivelul fiecrei perioade i nivelul din perioada de referin:

modificarea absolut cu baz mobil (glisant) se obine fcnd diferena dintre nivelul specific fiecrei perioade i nivelul perioadei imediat urmtoare:

ntre modificarea absolut cu baz fix i cu baz n lan exist urmtoarele relaii:

suma modificrilor absolute cu baza n lan este egal cu modificarea absolut a indicatorului din ultimul an fa de cel din primul an

Indicatori relativi

Indicatorii relativi arat de cte ori a crescut nivelul caracteristicii cercetate de-a lungul timpului.

n cursul unei scderi, indicele arat ct reprezint noul nivel fa de nivelul din perioada de baz.

Indicii pot fi:

Indicele cu baz fix, care se obine raportnd termenii seriei la un termen ales ca baz fix de comparaie

Indicele cu baz mobil presupune raportarea fiecrui termen al seriei la termenul precedent

Indicii de dinamic care au nivelul supraunitar arat creteri ale fenomenului, iar cei subunitari semnaleaz scderi ale fenomenului studiat.

ntre indicii cu baza fix i cei cu baza mobil exist anumite relaii:

prin nmulirea indicilor cu baz n lan pn la momentul t se obin indici cu baz fix

prin raportarea succesiv a indicilor cu baz fix se obin indicii cu baz mobil

Ritmul de cretere (descretere) exprim cu cte procente depete nivelul din perioada curent nivelul atins n perioada de baz.

Ritmul de modificare se poate calcula:

cu baz fix:

cu baz n lan:

Modificarea medie absolut() reflect creterea sau descreterea medie nregistrat de un fenomen ntr-o perioad de timp ,

unde: yn = nivelul absolut al ultimului an

y1 = nivelul absolut al primului an

n = numrul de termeni din ir

Aceast medie este semnificativ numai dac modificrile absolute cu baz n lan sunt aproximativ egale ntre ele.

Indicele mediu al dinamicii () de cretere sau scdere arat de cte ori s-a modificat n medie fenomenul analizat: .

Dac:

< 100% indicele semnaleaz o scdere sau o reducere a fenomenului analizat;

= 100% fenomenul analizat staioneaz;

>100% indicele mediu evideniaz creterea fenomenului.

Avantajele folosirii indicelui mediu al dinamicii:

- este recomandat pentru fenomene cu evoluie uniform, aproximate prin funcii exponeniale;

- se folosete pentru serii dinamice cu un numr redus de termeni.

Ritmul mediu de cretere sau scdere () evideniaz cu cte procente se modific n medie fenomenul analizat pe toat perioada de calcul: .

Cele trei metode mecanice de calcul: modificarea medie absolut, indicele mediu al dinamicii i ritmul mediu al dinamicii prezint unele limite care se datoreaz faptului c depind de calitatea termenilor extremi (primul i ultimul), fr a avea n vedere i variaia din interiorul seriei.

ntre termenii unei serii cronologice de lungime suficient de mare, datorit aciunii anumitor categorii de factori de influen, se manifest o anumit variaie ciclic sau o anumit variaie sezonier i o variaie aleatoare (rezidual).

Printre problemele principale ale analizei seriei cronologice se afl i separarea componentelor i evaluarea lor statistic.

Principalele componente ale seriei cronologice sunt:

trendul sau tendina general (T)

sezonalitatea (S)

ciclicitatea (C)

variaia rezidual (R)

Trendul sau tendina general, central este componenta principal a evoluiei i totodat consecina aciunii cauzelor eseniale cu aciune de lung durat (progresul tehnic, creterea populaiei), deci este o component sistemic.

Sezonalitatea este reprezentat de fluctuaiile (oscilaiile) n funcie de anotimpuri, de factori climatici, de factori sociali care-i pun amprenta asupra desfurrii unui fenomen sau proces pe o anumit perioad de timp. Aceste observaii se repet cu o relativ regularitate de la o perioad la alta.

Ciclicitatea este determinat de factori de natur divers care acioneaz asupra fenomenului analizat.

Sezonalitatea, ct i ciclicitatea nu sunt ntotdeauna prezente ntr-o serie cronologic.

Variaia rezidual este reprezentat de acea parte din variaia unei serii de timp care nu poate fi explicat prin trend, ciclicitate sau sezonalitate. Componenta aceasta este generat de factori accidentali, neprevzui, reziduali i se manifest sub forma unor abateri de la ceea ce este sistematic n evoluia fenomenului analizat.

Analiza seriilor cronologice este utilizat pentru a realiza prognoze. Pentru aceasta este nevoie nu numai de extrapolarea trendului ci i de evaluarea nivelului celorlalte componente din serie.

6.2. Ajustarea seriilor de timpAjustarea seriilor cronologice presupune determinarea trendului, adic a tendinei generale n evoluia unui fenomen prin eliminarea oscilaiilor sezoniere, ciclice, accidentale.

Metodele de ajustare sunt diverse, de la unele metode simple pn la metode analitice care presupun mai mult rigoare i precizie. Cele mai cunoscute metode sunt:

metoda grafic;

metoda mecanic;

metoda mediilor mobile;

metoda analitic.

Ajustarea grafic se realizeaz prin trasarea liber a unei drepte sau curbe asupra graficului unei serii cronologice empirice. Aceast metod de ajustare ofer informaii utile pentru alegerea unui algoritm de calcul pentru estimarea tendinei de evoluie a fenomenului sau procesului supus cercetrii.

Pentru exemplificare se vor folosi datele din tabelul nr. 6.1.Tabelul nr.6.1.

Evoluia profitului net la societate comercial

n perioada 1995-2004Anii1995199619971998199920002001200220032004

Profitul net200260286230188280310256220317

Profitul netmil u.m.

350

310 317

300

286

250

220

200

180

150

100

50

Graficul nr. 6.1. Ajustarea grafic

Evoluia numrului de turiti n perioada 1995-2004Din graficul nr.6.1. se poate vedea o evoluie ascendent a profitului net, care s-ar putea nscrie ntr-un model liniar sau exponenial.

Ajustarea mecanic se calculeaz prin dou metode:

metoda sporului mediu

metoda indicelui mediu

Ajustarea mecanic se recomand a fi aplicat la serii cronologice relativ scurte (5-10 termeni anuali) deoarece mediul de afaceri este n general foarte dinamic.

Ajustarea prin metoda sporului mediu se folosete atunci cnd se obin sporuri cu baz n lan relativ apropiate ca valoare. Ajustarea se bazeaz pe relaia care exist ntre primul termen, modificrile absolute cu baz n lan i ultimul termen:, unde n = numrul de termeni

Relund exemplul din tabelul nr.6.1. se constat o cretere medie anual a profitului cu 13 mil u.m..

mil u.m.Valorile ajustate ale ntregii serii sunt prezentate n aplicaia din tabelul nr. 6.4. n care valorile (n-1) au fost nlocuite cu valorile timpului (ti) avnd ca an de referin anul 1995 cruia i revine un ti = 0.

Pentru anul 2010, ti = 15 (adic se continu numrarea).

Seria ajustat va fi:

-------------------------------

(prognoz)

Ajustarea prin metoda indicelui mediu se folosete atunci cnd termenii seriei au tendina unei progresii geometrice, n care creterea sau scderea poate fi exprimat prin indicele mediu. Se va folosi exemplul din tabelul nr. 6.1.

Relaia de calcul este:

sau

sau 105,2%

Creterea anual este de 5,2%.

Seria ajustat este prezentat n tabelul nr. 6.3 i s-a calculat astfel:

-------------------------------

persoane

Se poate observa c prin ambele metode la nivelul anului 2004 s-a obinut acelai rezultat (317 mil u.m.) adic nivelul termenului prezentat de seria iniial pentru anul 2004.

La nivelul anului 2010, prognoza oferit de cele dou metode este diferit. Se va prezenta ntr-un alt subcapitol modul de alegere a celei mai bune metode de trend.

Metodele mecanice se folosesc pentru prognoze care s nu se duc prea departe n timp. Se pot face predicii credibile pentru perioade care reprezint cel mult jumtate plus unu fa de numrul termenilor seriei iniiale.

Ajustarea pe baza mediilor mobile (glisante sau alunectoare) se folosete, n mod deosebit, cnd termenii seriei prezint variaii de la un an la altul (tip ,,dinte de fierstru). A se vedea graficul nr.6.1.

Mediile mobile sunt medii pariale, calculate dintr-un numr prestabilit de termeni, n care se nlocuiete pe rnd primul termen cu termenul care urmeaz.

n practic se calculeaz medii mobile dintr-un numr de 3-5 termeni.

Se va prezenta o aplicaie prin care se vor calcula medii mobile din 3 termeni (tabelul nr. 6.2.) Tabelul nr. 6.2.

Profitul net mil.u.m.Medii mobile trienaleAnul

2001995

286(200 + 260 + 286) : 3 = 2491996

230(200 + 260 + 230) : 3 = 2591997

260(200 + 260 + 188) : 3 = 2351998

188(200 + 260 + 286) : 3 = 2331999

280(200 + 260 + 286) : 3 = 2592000

310(200 + 260 + 286) : 3 = 2822001

256(200 + 260 + 286) : 3 = 2622002

220 = 2642003

3172004

Se poate observa din datele tabelului nr. 6.2 i din graficul nr. 7.2. c mediile obinute sunt mai atenuate, iar concluzia care se desprinde, este o uoar tendin de cretere a profitului net.

Profitul netmil u.m.

350

282

300 259 262

259

250 249

235

200 232

150

100

50

Graficul nr. 7.2. Ajustarea grafic pe baza mediilor mobile

Metoda mediilor mobile nu se bazeaz pe o expresie analitic care s poat fi extrapolat. Pe baza acestei metode se poate face doar o percepere a trendului unui fenomen.

Ajustarea analitic ine seama de toi termenii seriei cronologice, eliminnd deficienele metodelor mecanice care au n vedere doar termenii extremi.

Metodele analitice au la baz un model matematic, n care tendina central a evoluiei se exprim ca o funcie de timp.

Alegerea tipului n ecuatie, in functie de care se alege trendul se face pe baza urmtoarelor criterii aplicabile opional:

criteriul reprezentrii grafice presupune, n primul rnd, construirea cronogramei:

- dac graficul prezint o tendin de cretere absolut constant se poate aprecia c fenomenul crete liniar i ecuaia funciei va fi: Y = a + bt n care a i b sunt parametrii funciei, iar t este timpul, care este variabil;

- dac graficul are o tendin de cretere relativ constant, atunci se poate aprecia c fenomenul crete de forma unei funcii exponeniale: Y = abt;

- cnd pe grafic se obine o curb care are fie un punct de maxim, fie un punct de minim, atunci se apreciaz c fenomenul studiat se modific n timp sub forma unei parabole de gradul doi: Y = a + bt + ct2.

criteriul diferenelor, care const n calculul diferenelor absolute (n modul) cu baz n lan, astfel:

- dac diferenele absolute cu baza n lan de ordinul nti sunt constante, se apreciaz c, seria cronologic respectiv, are o tendin liniar

- dac diferenele absolute cu baz n lan de ordinul doi calculate din diferenele de ordinul nti sunt aproximativ constante, se apreciaz c seria cronologic are o tendin de forma parabolei de gradul doi

- dac indicii cu baza n lan sunt constani, atunci seria cronologic prezint o tendin exponenial.

Pentru estimarea parametrilor funciei alese se folosete metoda celor mai mici ptrate. Aceast metod are ca funcie obiectiv minimizarea sumei ptratelor abaterilor valorilor reale de la cele ajustate:

unde t = 1, 2, , n

Deoarece timpul este o mrime care se msoar cu ajutorul scalei de interval al crei specific este c punctul de origine (punctul 0) al scalei i unitatea de msur a variabilei (t) se alege convenabil, n mod arbitrar la rezolvarea sistemului de ecuaii normale se face o simplificare: ti = 0

- dac seria este format dintr-un numr impar de termeni, se alege ca origine t = 0 termenul median, astfel:

20002001200220032004

ti-2-1012

- dac seria este format dintr-un numr par de termeni, termenii centrali se noteaz cu (-1; +1). O alt notaie posibil utilizat uneori se face prin atribuirea termenilor centrali a valorilor (-0,5; +0,5), astfel:

valori atribuite variabilei t199920002001200220032004

Varianta I-5-3-1+135

Varianta II-2,5-1,5-0,5+0,51,52,5

Trendul liniarn scopul determinrii celor doi parametri ,,a i ,,b se scrie sistemul de ecuaii normale astfel:

Pentru ti = 0, sistemul de ecuaii normale devine:

de unde

Trendul exponenialn cazul alegerii unui trend exponenial va fi necesar s se rezolve sistemul de ecuaii:

unde

Exemplificarea celor dou metode de trend se va face ntr-o aplicaie ulterioar.

Criterii de alegere a procedeelor de ajustaren teoria statistic se cunosc mai multe criterii de alegere a celui mai potrivit procedeu de ajustare, astfel:

compararea sumei valorilor empirice (yi), cu suma valorilor ajustate (Yt), sume care trebuie s fie ct mai apropiate. Suma abaterilor termenilor ajustai fa de termenii reali trebuie s fie nul;

suma ptratelor abaterilor valorilor empirice (reale) yi de la cele teoretice (Yt) s fie minim

;

compararea coeficienilor de variaie (V) calculai pe baza abaterii medii ptratice () fa de medie .

Cea mai bun metod de trend este aceea n care coeficientul de variaie este minim (V = min).

6.3. Aplicaie (rezolvata)

Ajustarea seriilor de timp cu ajutorul metodelor mecanice si econometrice (trendul liniar si trendul exponential)

Pe baza informaiilor din tabelul nr, 6.1 s se calculeze:

1) Modificarea absolut cu baza fix i cu baza n lan ();

2) Indicele de dinamic cu baza fix i cu baza n lan (I):

3) Ritmul de cretere cu baza fix i cu baza n lan (R):

4) Valoarea absolut a unui procent din ritmul de cretere;

5) Sporul mediu de cretere (scdere) -;

6) Indicele mediu de cretere -;

7) Ajustarea seriei pe baza:

- trendului sporului mediu ; - trendului indicelui mediu

- trendului liniar ; - trendului exponenial ;

8) Alegerea celei mai bune funcii de trend;

9) Prognoza profitului net la nivelul anului 2010 folosind cea mai bun metod de trend.

Se va proceda la folosirea unui algoritm complex.

n tabelul nr. 6.3. sunt rezolvate punctele 1, 2, 3, 4.

n tabelul nr. 6.4. se gsesc rezolvrile la punctele 5, 6, 7 i o parte din 8.

n tabelul nr. 6.5. sunt rezolvrile pentru punctele 7 i o parte din 8.

n tabelul nr. 6.6. este rezolvat punctul 8.

Trendul liniar

Ylin= a + b ti unde

---------------------------------------

Trendul exponenial

, unde:

--------------------------------

Tabelul nr. 6.6.

Alegerea celei mai bune funcii de trend

(V = min)

Abaterea medie ptraticCoeficientul de variaie

Metoda

Sporului mediu

Indicelui mediu

Trendului liniar

Trendului exponenial

persoane

Cea mai bun metod de prognoz a rezultat a fi trendul liniar.

mil u.m. profit net6.3.INTREBARI DE AUTOEVALUARE1)Ce este baza de comparare?

2)Ce este indicele cu baza fixa? dar cu baza in lant?

3)Ce relatie exista intre indicii cu baza fixa si cu baza in lant:

4) Ce arata modificarea medie absoluta?

5)Ce arata ritmul de crestere?

7)Ce evidentiaza ritmul mediu de crestere?

8)Care sunt principalele componete ale seriei cronologice?9)Ce este trendul?

10)Ce presupune ajustarea unei serii cronologice?

11)Cand se foloseste metoda mediilor mobile?

6.4.CUVINTE CHEIE

serie cronologica; nivel de referinta;indice cu baza fixa; indice cu baza mobila; modificarea medie absoluta; indice mediu de dinamica;

ritm mediu; trend; variatie reziduala; metoda sporului mediu; metoda indicelui mediu; trend liniar; trend exponential; metoda mediei mobile.

Cap.7. Msurarea oscilaiilor sezoniere ntr-o serie cronologicSezonalitatea este o component a seriilor cronologice, care se manifest sub forma unor oscilaii sistemice, repetate de la un an la altul sau la intervale mai mici de un an calendaristic.

Unele variaii sezoniere apar ca urmare a succesiunii anotimpurilor (oscilaiile produciei agricole) altele apar ca urmare a tradiiilor (srbtori) sau datorit interveniei omului (concedii, plata salariilor).

Pentru a msura influena valului sezonier este necesar s se cunoasc periodicitatea producerii variaiei.

Msurarea oscilaiilor sezoniere este important deoarece:

permite obinerea de informaii cu privire la evoluia previzibil a fenomenului cercetat;

creterea acurateei trendului prin eliminarea sezonalitii din calculul de prognoz;

7.1 Metode de masurare a sezonalitatii

n practica statistic, pentru msurarea sezonalitii se determin indicele (coeficientul) de sezonalitate care poate fi calculat prin mai multe metode:

procedeul mediei aritmetice;

procedeul mediei mobile;

metoda celor mai mici ptrate.

Metoda mediilor aritmetice

Pentru msurarea sezonalitii este necesar s se calculeze un raport ntre datele care sunt influenate de valul sezonier i media anual.

Etapele de calcul vor fi:

- determinarea mediilor trimestriale;

- determinarea mediei trimestriale pe ntreaga perioad studiat;

- calculul sezonalitii n mrimi absolute:

- stabilirea indicilor de sezonalitate.

Metoda mediilor mobilen cazul mediilor mobile se ine seama de periodicitatea termenilor pentru a nu modifica tendina fenomenului.

Etapele de calcul sunt: - determinarea mediilor pariale din patru termeni:

- stabilirea mediilor mobile definitive;

- stabilirea raportului ntre valorile iniiale (yi);

- determinarea indicilor de sezonalitate Indicele de sezonalitate (Is) se determin ca raport ntre media trimestrial i media anual.

7.2 Aplicatie (rezolvata)

Metoda mediilor aritmetice (tabelul 7.1)

Metoda mediei mobile (tabelul 7.2)

Metoda celor mai mici patrate (tabelul 7.4)

Tabelul nr. 7.2.

Calculul variaiei sezoniere cu ajutorul mediilor mobile

AniiTrimestreEconomia subteranamild u.m.

(yi)Medii pri ale din 4 termeniMedii mobile definite

I2-

II4-

20023,5

III53,6255 : 3,625 = 1,379

3,75

IV33,8753: 3,875 = 0,774

4,0

I34,1253 : 4,125 = 0,727

4,25

II54,3755 : 4,375 = 1,143

20034,5

III64,56 : 4,5 = 1,333

4,5

IV44,6254 : 4,625 = 0,865

4,75

I34,8753 : 4,875 = 0,615

5,0

II65,06 : 5 = 1,2

20045,0

III7-

IV4-

Tabelul nr. 7.3.

Determinarea indicilor de sezonalitate cu ajutorul mediilor mobile

TrimestreAniiMedii trimestriale

Indicii de sezonalitate

200220032004

I-0,7270,615(0,724 + 0,615) : 2 = 0,6690,666

II-1,143 1,2(1,143 + 1,2) : 2 = 1,1711,167

III1,3791,333-(1,379 + 1,333) : 2 = 1,3561,351

IV0,7740,865-(0,774 + 0,865) : 2 = 0,8190,816

Total---

= 4

Metoda celor mai mici ptrate

Aceast metod ncepe printr-o reprezentare grafic, pe baza creia se sta-bilete modelul matematic care surprinde cel mai bine desfurarea fenomenului. Cele mai multe procese economice au o evoluie liniar.

Pentru a stabili tipul de evoluie a economiei subterane din exemplul precedent se procedeaz la o reprezentare grafic (graficul nr. 7.1.)

mil u.m. 7 7

6

6

6

5 5 5

4 4 4

3 3 3 3

2 2

1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Trimestre

Ani

2002 2003 2004

Graficul nr. 7.1.

Evoluia economiei subterane (mil u.m.) n perioada 2002 2004 (Date ipotetice)Se va alege ecuaia liniar pe baza creia se va ajusta seria privind economia subterana in dinamica pe 3 ani.Pentru aflarea parametrilor se va construi un algoritm de calcul (tabelul nr.7.11.).

Parametrii a i b din ecuaia: Yt = a + bt se calculeaz astfel:

Tabelul nr. 7.4.

Variaia sezonier pe baza trendului liniar

Economia subterana (mild u.m.)(yi)ti

tiyiYt = a + btiYt = 4,33 + 0,105ti

2-11121-224,33 + (0,105)(-11) = 3,1750,629

4-981-364,33 + (0,105)(-9) = 3,3851,181

5-749-354,33 + (0,105)(-7) = 3,5951,390

3-525-154,33 + (0,105)(-5) = 3,8050,788

3-39-94,33 + (0,105)(-3) = 4,0150,747

5-11-54,33 + (0,105)(-1) = 4,2251,183

61164,33 + (0,105) 1 = 4,4351,352

439124,33 + (0,105) 3 = 4,6450,861

3525154,33 + (0,105) 5 = 4,8550,617

6749424,33 + (0,105) 7 = 5,0651,184

7981634,33 + (0,105) 9 = 5,2751,327

411121444,33 + (0,105) 11 = 5,4850,729

Total 52057260Yt = 52

.

Prin raportarea valorilor iniiale (yi) la valorile ajustate (teoretice) se obin coeficienii de sezonalitate pe fiecare trimestru din cei trei ani studiai (tabelul nr.7.12).

Prin raportarea mediilor trimestriale la media anual se obin indicii de sezonalitate.

Tabelul nr. 7.5.

Indicii de sezonalitate calculai prin ajustare liniar

Trimestre200220032004Media trimestrialIndicii de sezonalitate

I0,6290,7470,6170,6640,664

II1,1811,1831,1841,1821,182

III1,3901,3521,3271,3561,356

IV0,7880,8610,7290,7980,798

Total---1,004,00

n tabelul nr.7.6 se face o comparaie a indicilor de sezonalitate obinui prin cele trei metode diferite de calcul i se constat rezultate destul de apropiate, fapt care recomand (pentru acest exemplu) ca fiind potrivit oricare din metodele de determinare a oscilaiilor sezoniere prezentate.

Tabelul nr. 7.6.

Indicii de sezonalitate

TrimestreIndicii de sezonalitate

din termeni neajustaiprin metoda mediilor mobileprin trend liniar

I0,6140,6660,664

II1,1551,1671,182

III1,3861,3511,356

IV0,8450,8160,798

Total4,004,004,00

7.3.INTREBARI DE AUTOEVALUARE

1)Ce este sezonalitatea?

2)Care este importanta masurarii oscilatiilor sezoniere?

3)Prin ce metode se poate masura sezonalitatea?

4)Ce arata indicele de sezonalitate?

5)Care sunt etapele de calcul pentru determinarea mediei mobile?

7.4.CUVINTE CHEIE

sezonalitate; indice de sezonalitate; metoda celor mai mici patrate;

8.BIBLIOGRAFIE RECOMANDATA1)Angela Popescu : Statistica, Editura Fundatiei Romania de Maine; Bucuresti

Gabriela Neacsu 2006. George Goanta

2)Andreea Luiza Iacob: Econometrie-studii de caz, Editura ASE, Bucuresti,

Ovidiu Tanasescu 2005

3)Eugen Pecican; Modele econometrice; Editura ASE, Bucuresti, 2001.

Ovidiu Tanasoiu

Andreea Luiza Iacob

Masteranzii vor prezenta la examen ( pe baza unor serii de date ipotetice sau reale) un proiect cu aplicatii din capitolele 4, 5,6.Intrebarile teoretice vor urmari exact intrebarile de autoevaluare prezentate la fiecare capitol.

ANEXE

Anexa 1

Distribuia normal. Funcia de distribuie

Anexa1 (continuare)

Anexa1 (continuare)

Anexa1 (continuare)

Anexa1 (continuare)

Anexa 2

Distribuia (2. Valorile lui (2 n funcie de probabilitile P = P((2 (2)

i numrul gradelor de libertate

Anexa 2 (continuare)

Anexa2 (continuare)

Anexa 2 (continuare)

Anexa 3

Valorile raportului dispersiilor F corespunztoare

diferitelor nivele de semnificaieA. Nivel de semnificaie 5% (P = 0,95)

B. Nivel de semnificaie 1% (P = 0,99)

C. Nivel de semnificaie 0,1% (P = 0,999)

ntotdeauna v1 corespunde celei mai mari dispersii.

Anexa 4

Tabel cu valorile funciei Gauss-Laplace

Anexa 5

Tabel cu valorile repartiiei Student n funcie de probabilitatea P (t ta)

i numrul f al gradelor de libertate

Tabelul nr. 7.1.

1995

1996

1997

1998

1999

2000

2001

2002

2003

2004

Anii

1995

1996

1997

1998

1999

2000

2001

2002

2003

2004

Anii

PAGE 4

_1124811300.unknown

_1178218784.unknown

_1178464085.unknown

_1178862609.unknown

_1183744135.unknown

_1183744381.unknown

_1185261398.unknown

_1226680425.unknown

_1226681736.unknown

_1226688594.unknown

_1226726832.unknown

_1227332598.unknown

_1226689112.unknown

_1226687734.unknown

_1226680444.unknown

_1185261486.unknown

_1185261584.unknown

_1185261742.unknown

_1226677750.unknown

_1185261595.unknown

_1185261606.unknown

_1185261559.unknown

_1185261569.unknown

_1185261498.unknown

_1185261459.unknown

_1185261476.unknown

_1185261441.unknown

_1185261451.unknown

_1185261412.unknown

_1185261423.unknown

_1185180978.unknown

_1185261377.unknown

_1185261388.unknown

_1185261366.unknown

_1183744575.unknown

_1183747260.unknown

_1183747261.unknown

_1183747259.unknown

_1183747258.unknown

_1183744438.unknown

_1183744491.unknown

_1183744417.unknown

_1183744276.unknown

_1183744337.unknown

_1183744366.unknown

_1183744313.unknown

_1183744205.unknown

_1183744261.unknown

_1183744190.unknown

_1178866744.unknown

_1178868153.unknown

_1178881407.unknown

_1178887805.unknown

_1178888108.unknown

_1179061897.unknown

_1178888716.unknown

_1178888011.unknown

_1178881735.unknown

_1178868459.unknown

_1178881356.unknown

_1178881329.unknown

_1178868370.unknown

_1178867604.unknown

_1178867616.unknown

_1178868079.unknown

_1178867610.unknown

_1178867478.unknown

_1178867494.unknown

_1178867253.unknown

_1178864281.unknown

_1178864783.unknown

_1178864935.unknown

_1178865188.unknown

_1178864908.unknown

_1178864305.unknown

_1178862875.unknown

_1178862922.unknown

_1178864259.unknown

_1178862898.unknown

_1178862793.unknown

_1178862839.unknown

_1178862691.unknown

_1178566420.unknown

_1178862129.unknown

_1178862414.unknown

_1178862522.unknown

_1178862569.unknown

_1178862438.unknown

_1178862290.unknown

_1178862371.unknown

_1178862182.unknown

_1178637655.unknown

_1178638097.unknown

_1178639170.unknown

_1178637769.unknown

_1178567770.unknown

_1178570129.unknown

_1178570195.unknown

_1178567923.unknown

_1178566998.unknown

_1178464990.unknown

_1178562379.unknown

_1178563423.unknown

_1178563897.unknown

_1178564029.unknown

_1178564357.unknown

_1178563753.unknown

_1178562593.unknown

_1178562837.unknown

_1178562503.unknown

_1178561664.unknown

_1178561905.unknown

_1178561654.unknown

_1178464333.unknown

_1178464710.unknown

_1178464870.unknown

_1178464401.unknown

_1178464152.unknown

_1178464192.unknown

_1178464143.unknown

_1178261525.unknown

_1178287505.unknown

_1178287816.unknown

_1178462285.unknown

_1178462300.unknown

_1178463871.unknown

_1178462141.unknown

_1178462242.unknown

_1178287755.unknown

_1178287789.unknown

_1178287592.unknown

_1178274237.unknown

_1178274666.unknown

_1178274980.unknown

_1178275542.unknown

_1178275593.unknown

_1178275696.unknown

_1178275712.unknown

_1178275625.unknown

_1178275579.unknown

_1178275524.unknown

_1178274858.unknown

_1178274930.unknown

_1178274706.unknown

_1178274307.unknown

_1178274526.unknown

_1178274276.unknown

_1178274148.unknown

_1178274181.unknown

_1178274188.unknown

_1178274167.unknown

_1178261964.unknown

_1178262141.unknown

_1178261940.unknown

_1178261963.unknown

_1178261620.unknown

_1178259017.unknown

_1178261405.unknown

_1178261486.unknown

_1178261498.unknown

_1178261480.unknown

_1178259235.unknown

_1178259869.unknown

_1178259901.unknown

_1178259845.unknown

_1178259136.unknown

_1178256396.unknown

_1178258210.unknown

_1178258512.unknown

_1178257779.unknown

_1178219143.unknown

_1178219192.unknown

_1178219091.unknown

_1126195496.unknown

_1126378757.unknown

_1178187353.unknown

_1178189103.unknown

_1178189657.unknown

_1178190237.unknown

_1178189567.unknown

_1178189010.unknown

_1178189032.unknown

_1178187370.unknown

_1126379232.unknown

_1126379462.unknown

_1126379498.unknown

_1126379329.unknown

_1126379374.unknown

_1126379017.unknown

_1126379106.unknown

_1126379140.unknown

_1126378867.unknown

_1126376209.unknown

_1126377229.unknown

_1126378265.unknown

_1126378344.unknown

_1126378396.unknown

_1126378420.unknown

_1126378371.unknown

_1126378304.unknown

_1126377522.unknown

_1126377590.unknown

_1126377234.unknown

_1126376984.unknown

_1126377113.unknown

_1126376916.unknown

_1126374663.unknown

_1126376153.unknown

_1126376170.unknown

_1126374722.unknown

_1126195614.unknown

_1126374638.unknown

_1126195527.unknown

_1124898987.unknown

_1124907626.unknown

_1124908523.unknown

_1124908746.unknown

_1126195468.unknown

_1124908669.unknown

_1124908061.unknown

_1124908076.unknown

_1124907710.unknown

_1124907245.unknown

_1124907288.unknown

_1124907329.unknown

_1124907178.unknown

_1124907207.unknown

_1124907147.unknown

_1124898999.unknown

_1124814524.unknown

_1124890652.unknown

_1124890988.unknown

_1124891378.unknown

_1124891500.unknown

_1124890895.unknown

_1124890401.unknown

_1124890604.unknown

_1124890325.unknown

_1124813703.unknown

_1124813894.unknown

_1124814471.unknown

_1124813780.unknown

_1124813528.unknown

_1124813636.unknown

_1124813457.unknown

_1095156086.unknown

_1096614141.unknown

_1103608224.unknown

_1124809536.unknown

_1124811005.unknown

_1124811125.unknown

_1124810959.unknown

_1124809384.unknown

_1124809441.unknown

_1103618771.unknown

_1124809325.unknown

_1103610063.unknown

_1103610140.unknown

_1099290226.unknown

_1099290321.unknown

_1099290970.unknown

_1099291026.unknown

_1099291192.unknown

_1099290989.unknown

_1099290398.unknown

_1099290299.unknown

_1096615431.unknown

_1096616308.unknown

_1096616408.unknown

_1099289640.unknown

_1096616327.unknown

_1096616139.unknown

_1096615283.unknown

_1096615396.unknown

_1096615395.unknown

_1096614214.unknown

_1096609376.unknown

_1096609542.unknown

_1096609589.unknown

_1096613083.unknown

_1096609560.unknown

_1096609474.unknown

_1096609482.unknown

_1096609408.unknown

_1095156602.unknown

_1095157735.unknown

_1095162116.unknown

_1096609287.unknown

_1096609315.unknown

_1095162954.unknown

_1095163003.unknown

_1095160515.unknown

_1095160746.unknown

_1095158809.unknown

_1095156738.unknown

_1095157570.unknown

_1095156676.unknown

_1095156482.unknown

_1095156583.unknown

_1095156124.unknown

_1092901437.unknown

_1092902131.unknown

_1092906429.unknown

_1092913360.unknown

_1095143602.unknown

_1095155677.unknown

_1095155791.unknown

_1095155834.unknown

_1095155946.unknown

_1095155725.unknown

_1095155269.unknown

_1095155379.unknown

_1095155629.unknown

_1095143688.unknown

_1092915057.unknown

_1093074230.unknown

_1095143272.unknown

_1093497243.unknown

_1092915100.unknown

_1092914760.unknown

_1092912168.unknown

_1092912989.unknown

_1092913323.unknown

_1092912231.unknown

_1092912084.unknown

_1092912140.unknown

_1092907249.unknown

_1092902218.unknown

_1092905780.unknown

_1092905923.unknown

_1092905744.unknown

_1092902191.unknown

_1092902199.unknown

_1092902206.unknown

_1092902184.unknown

_1092902167.unknown

_1092901674.unknown

_1092901835.unknown

_1092901897.unknown

_1092901912.unknown

_1092901887.unknown

_1092901705.unknown

_1092901779.unknown

_1092901695.unknown

_1092901519.unknown

_1092901575.unknown

_1092901664.unknown

_1092901535.unknown

_1092901498.unknown

_1092901509.unknown

_1092901476.unknown

_1092375596.unknown

_1092468954.unknown

_1092901236.unknown

_1092901295.unknown

_1092901325.unknown

_1092901259.unknown

_1092469881.unknown

_1092475520.unknown

_1092479732.unknown

_1092901224.unknown

_1092478028.unknown

_1092472060.unknown

_1092469206.unknown

_1092464323.unknown

_1092465377.unknown

_1092465948.unknown

_1092464818.unknown

_1092465317.unknown

_1092376785.unknown

_1092462097.unknown

_1092375631.unknown

_1092306028.unknown

_1092375350.unknown

_1092375526.unknown

_1092373696.unknown

_1092305399.unknown

_1092305875.unknown

_1092305348.unknown