هییاحصا اتیاضیر

1

(Statisticsاحصاییه )

هییاحصا از منظور میرساند که در قدیکلمه م نیمفهوم ا .گرفته شده است ،دولت است یکه به معن status)) نیاز کلمه الت statistics)) ای هییاحصا

.است بوده استیو س یدارامور مربوط به کشور ریاستخدام و سا ،اتیها راجع به گرفتن مالدولت ازیالعات مورد نارقام و اط

جهینت کی افتیجهت استنباط و در یعلم یهاوشآمار به ر حیو توض ریتعب ، تلخیص ، بیو ترت میتنظ ،معلومات یآورعبارت از علم جمع هییاحصات

ست.ا آن یمبنا بر معقول و مناسب میو انجام تصام یست علمدر و معتبر

گردد:یمتفاوت استنباط م یانم و معیمفاه هییامروز از کلمه احصا

،یاقتصاد یهاتیفعال ایو هادهیمشخصات، پد یهابه اندازهکه مربوط ندیگویهر مجموعه از اعداد و ارقام را م هییاحصا ،به مفهوم ساده و معمول

ساالنه دیارقام مربوط به تول ، منطقه کیالنه در ران سابا ای مربوط به درجه حرارت روزانه وارقام ، طور مثال هب .ها باشدانسان یاسیو س یاجتماع

ایو هییالشموالن ساالنه در مکاتب ابتدا دیارقام مربوط به تعداد جد ،مملکت ایمنطقه و ،یولسوال کی در مشخص مدت کیجات در وهیحبوبات و م

که یعبارت است از ارقام و اعداد هییاحصا، ترمشخص مفهوم به. دینمایرا نظر به مفهوم فوق افاده م هییاحصا یمعن ،گرید یهاها و مثالپوهنتون

یامشاهدات دار ایافراد و یمجموعه از عبارت که یویینفوس احصا کیاگر از مثالا .دینمایم گرید ارقام اتیاز مشخصات و خصوص یگهندینما

یریگو مطالعه شده و بعد از اندازه ینمونه را که بررس اتیتمام خصوص ؛ودبه قسم نمونه گرفته ش قسمت آن کی ،باشدیت مشترک مصف کی اقالا

د. ینمایداللت م زیساحه مشخص از علوم ن کیبه هییاحصا یکلمه د.نینمایم ادی هییاحصا ای statistics)نام )ه ب ،شودیم داده نشان ارقام توسط

ا ا هییاحصا یکلمه از علم ثیمنح. ندیگویم یاضیر علم یقیتطب ایو یاحه علمرا س هییاحصا بعضا هییشود که احصایمفهوم استنباط م نیا عموما

نفوس ایراجع به کتله و نیقیعدم ایمکمل و اطالعات تیعدم موجود طیآن در شرا قیاست که از طر ییهاها و روشیوریسلسله ت کیعبارت از

هییاحصا اتیاضیر

2

قیطر از گله کی در گوسفند راس یف پشم دیتول نیشود. تخمیصورت گرفته حکم صادر م یریگ میدر مورد نفوس مذکور قضاوت و تصم هییاحصا

کی ریفرق در تاث تیتثب ، یوانیمحصوالت مشحص ح دیتول ینوع غذا باال نیچند ایو کی ریفرق در تاث تیتثب ، گله تمام از نمونه پشم دیتول مطالعه

از یبعض .تواندیانجام شده م هییعلم احصا یهایوریها و تروش قیاند که از طر ییهامثال رهیحاصل حبوبات وغ یاویمینوع کود ک نیچند ایو

:ردیگیمورد بحث قرار مدر ادامه این نوشته علم نیموضوعات ا

.شودینشان داده م Mو به حرف شده دهیمد نام ،باشد شتریها بتاید ریآن نسبت به سا که کثرت ییهاتاید :(Modeمد )

مد است: ،داشته باشد شتریرا که کثرت ب ییتاهاید م،یکنیم دایرا پ تاهایدابتدا کثرت ی گسسته:دیتاهامحاسبه مد برای

جامعه در است ممکن یعنی. میکنیم یبه عنوان مد معرف ها راآن یهمه باشند، کسانی کثرت یدارا تاید چند ایاگر دو الف:

.نباشد فرد به منحصر مد ،یوییاحصا

:لیذ یهابدون مد هستند. مانند مثال تاهایدکه شودیبرابر باشد، گفته م تاهایداگر کثرت همه ب:

.دیکن افتیدر را آن مراتن مد. است کرده کسب را لیذ نمرات یاضیاحمد در پنج امتحان ر :1مثال

امتحان پنجم امتحان چهارم امتحان سوم امتحان دوم امتحان اول

85 95 70 95 87

است. 95 ونمره اخذ نموده است، بنا بر آن مد نمرات ا 92در امتحان دوم و چهارم احمد که شودیم دهید

.دیده نشان را مد لیذ یتاهایدر د :2مثال

12 13

11 , 11 , 11 , 13, 13 , 15 , 17

11بنا بر آن مد عبارت از ،تر تکرار شده استادیز تاهاید گریسه مراتبه تکرار است و نسبت به د 11که عدد شودیم دهید حل :

.باشدیم

.دیده نشان را مد لیذ یتاهایدر د :3مثال

1 1 123 3

19 , 19 , 19 , 13, 13 , 15 , 17, 25 , 25 , 25 , 58

دو یدارا فوق یتاید آن بر بنا دهدیم نشان را نیتر ادیز که است شده تکرار همرتب سه سه 25 عدد و 19 عدد فوق یتایدر د حل :

.باشدیم مد

مد کدام است. 9,12,18,22,25 یتایدر د :4مثال

شده است. ریمرتبه تحر کی ،کی همه رایوق مد وجود ندارد، زف یتایدر د حل:

هییاحصا اتیاضیر

3

نیشتریب یدسته را که دارا کیسپس م،یکنیجدول کثرت خالصه م کیرا در تاهایدا ابتد ی پیوسته:دیتاهامحاسبه مد برای

.میکنیکثرت است به عنوان مد انتخاب م

یدارا باشد کثرت نیشتریب یکه دارا یچون موضوع ت،مد اس اساس بر یریگ میتصم اساس ها یسنج نظر و ها یریگ یدر را

.است تیاهم

امر آن است که وجود چند نیا لی، دل ستیجامعه ن نیتمرکز در ا یبررس یبرا مناسب شاخص مد باشد، مد نیندچ یاگر جامعه دارا

دست نبودن آن جامعه است. کیمد در جامعه نشان دهنده

انجام زیمد ن یهمان عمل رو رهیو غ می: جمع، ضرب ، تقسلیاز قب میانجام ده تاهاید یکه رو یاست، پس هر عمل تاهایداز یکیمد

.شودیم

حال اگر هردو ند،یگو ییرا دو نما تاهاید نیکه ا باشدی( م 5و 2) تایمد عبارت است از دو د 2,2,3,4,5,5,7 یتاهاید یبرا مثال:

: شودیم 25 و 16مد عبارت از م،یجمع کن 10ضرب وبعد با عدد 3را با عدد تاهاید

هم 10 عدد با هاآن جمع و 3 عدد با هیاول یتاهایدبا ضرب .کرد اثبات را فوق جهینت توانیم

ا به حرف انهیم :وسط ای انهیم میکنیمرتب م ینزول ای یرا به طور صعود تاهایدآن، افتیدر یکه برا دهندینشان م mرا عموما

:میینمایم عمل نیجفت و تاق چن یتاهاید یو بعد برا

1اعداد مرتب یانهیم ی تاق:دیتاهامحاسبه میانه برای 2 3, , , ........ /nx x x x x R عبارت است از:

n دهدیرا نشان متاهایدتعداد ارقام.

.دیابیرا در 2,11,5,6,8,7,3اعداد انهیم مثال:

2,3,5,6,7,8,11: میسازیاوالا اعداد را مرتب م حل:

: میداریم افتینه را درایحاال م

انهیعبارت از م یعدد وسط تا،یکار بعد از مرتب ساختن د یآسان یپس برا ،در وسط اعداد فوق قرار دارد 6بدون محاسبه هم عدد

.دباشیم

یصورت از رابطه نیدر ا ی جفت:دیتاهامحاسبه میانه برای 1

2 2

1

2d n nm x x

.میینمایاستفاده م

.میکنیم 2م یتقس بعد و نموده جمع هم با را یوسط یتایدکار دو یآسان یبرا ای

2 3 10 6 10 16

5 3 10 15 10 25

1 2 3 4 5 6 7

1 7 1 8 4

2 2 2

2, 3, 5, 6, 7, 8, 11........ /

7

6

n

d n d

x x x x x x x x x R

n

m x m x x x

1

2

d nm x

هییاحصا اتیاضیر

4

.دیکن افتیرا در 7,5,11,8,13,15وسط اعداد ای انهیم مثال:

5,7,8,11,13,15: میسازیاوالا اعداد را مرتب م :حل

: میداریم افتیرا در انهیحاال م

1 2 3 4 5 6

6 6 3 41

2 2

6

5, 7, 8, 11, 13, 15

1 1 1 18 11 19 9.5

2 2 2 2d d

n

x x x x x x

m x x m x x

است به: یمساو انهیبنا بر آن م .11و 8عبارت اند از ،که در وسط قرار دارند یدعد: دو آسان طور ایو

.ندینمایم ادی رنج نام به تاید یمجموعه کیعدد بزرگ و عدد کوچک را از هم در قیحاصل تفر: (Range)رنج

.دیکن افتیرنج را در 3,4,8,4,8,7,16,10,2,6,1,15,16 یتایدر د مثال:

16است لذا رنج عبارت است از: 1رقم عدد نیو کوچکتر 16رقم عدد نیچون بزرگتر حل: 1 15R

است. دیمف تاهاید ینشان دادن نحوه پراگنده گ ینوع گراف برا نیا گراف جعبه یی:

مفاهیم الزمه گراف پراگنده گی:

.نامندیم چارک کی را ها حصه نیا از کیهر م،یکن میتقس حصه چهار به را یویاگر جامعه احصا چارک:

.باشدیم تاهاید انهیهمانا م تاهایچارک دوم د چارک دوم:

تاهایدکل یانهیاست که از م تاهایداز یبخش یانهیم گر،یبه عبارت د ایاست تاهایداول یمهین یانهیم عبارت از اول: چارک

.باشدیکوچکتر م

بزرگتر تاهایدکل یانهیز ماست که ا تاهایداز یبخش یانهیم یعنیاست، تاهایددوم یمهین یانهیعبارت از م چارک سوم:

است.

.دیکن نییها را تعچارک 10,12,19,21,25,30,34 یتاهاید یبرا مثال:

:میینماین مییتع نیها را چنبنا بر آن چارک ،مرتب اند تاهایدچون حل:

.باشدیم 21عبارت از عدد :چارک دوم 2 21Q

12است به عدد یکه مساو باشدیم 10,12,19 یتاهایداول یمهین یانهیم چارک اول: 1 12Q

30است به عدد یکه مساو باشدیم 25,30,34 یتاهایددوم یمهین یانهیعبارت از م چارک سوم: 3 30Q

چارک تا،ید نیمقدار) کوچکتر 5را بر اساس تاهاید یاست که پراگنده گ یگراف: میکنیم فیتعر لیرا قرار ذ ییحال گراف جعبه

:میداریم مراعات را لیذ نکات گراف نیا میترس یبرا .دهدیم شی( نماتاید شترنیچارک سوم و ب انه،یاول، م

8 11 199.5

2 2dm

هییاحصا اتیاضیر

5

جعبه نیا داخل را انهیم مقدار سپس رد،یگ قرار سوم چارک یرو آن انجام و اول چارک آن یابتدا که مییمانیرسم م یجعبه را طور

وصل جعبه به خط کی توسط را تاید نیکمتر و تاید نیشتریب ریمقاد تینها در م،یکنیم مشخص منقطع خط شکل به( لی)مستط

: لیقرار شکل ذ ،میکنیم

.دیرا رسم کن 4,9,7,11,18,20,8 یتاهاید ییگراف جعبه :مثال

4,7,8,9,11,18,20 یعنی ،میسازیمرتب م یرا به شکل صعود تاهایداول از همه حل:

:یعنی 9است به یچارک دوم مساو ای انهیتاق است پس م تاهایدچون 2 9m Q

14,7,8عبارت است از: تاهایداول یهانیم ایچارک اول 7Q

,311,18ها عبارت است از: تاهیدوم د یانهیم ایچارک سوم 20 18Q

هم گراف: نیا

ایدر طرف چپ انهیپس وجود م .ن برابر استقبل و بعد از آ یتاهایدتعداد یعنی ،قرار دارد تاهایدهمواره در وسط انهیم یادداشت:

آن انگریدر طرف چپ بوده باشد، ب انهیاست. اگر م تاهایددوم مهین ایاول مهیدر ن تاهاید شتریب یگپراگنده یراست جعبه نشان دهنده

.عکس بر و است انهیچارک اول تا م از یگاز پراگنده شتریتا چارک سوم ب انهیاز م تاهاید یاست که پراگنده گ

: (Means)اوسط ها

xهرگاه :یاوسط حساب R1اعداد یباشد پس اوسط حساب 2 3, , , ......., nx x x x عبارت است از:

.آن تعداد میتقس ها مقدار جمع حاصل به است یمساو یحساب اوسط یعنی .دهدیم تعداد اعداد را نشان nفوق یرابطهدر

1 2 3

1

.......

1

na

n

i

i

x x x xM x

n

x xn

هییاحصا اتیاضیر

6

.دیرا معلوم کن اواست ، اوسط مفاد افتهی بیترت لیماه در جدول ذ 5در یدار به افغاندوکان کیمفاد :1مثال

ماه پنجم ماه چهارم ماه سوم ماه دوم ماه اول ماه ها

9500 8000 10000 15000 13000 مفاد به افغانی

حل:

مفاد نموده است. یافغان 11100پس دوکاندار مذکور طور اوسط در هر ماه

است؟ نموده اخذ نمره چند دیفر اوسط طور کند،یم خود آن از را 100، 95، 70، 85 نمرات یاضیر امتحان 4 در دیفر :2مثال

حل:85 70 95 100 350

87.54 4

x

.است هنمود اخذ نمره 87.5 اوسط طور دیپس فر

اگر دیتا با ضریب خاص ذکر شده باشد، به این معنا است که تأثیر دیتا یکسان نبوده بلکه بستگی به ضریب :)مؤثر( اوسط وزنی

دست آمده را اوسط به شود . نشان داده می wها به عنوان کثرت آن دیتا به حساب آمده و با آن دارد. در این حالت در جدول ضریب

نامند. قرار ذیل:اوسط وزنی می

یف قرار را تکه متر 20 ،یافغان 180 متر یف قرار را تکه متر 18 ،یافغان 250 متر یف قرار را تکه متر 12 دوکاندار کیمثال:

.دیکن افتیدر را تکه متر یف اوسط متیق فروخت، یافغان 200 متر یف قرار را تکه متر 15 و یافغان 210 متر

1 2 3 4 5

5

13000 15000 10000 8000 9500

5

5550011100

5

a

a

a

x x x x xM x

M x

M x Af

1 1 1 2 2 3 3

1 2 3

1

.....

.....

n

i i

i n n

n

ni

i

x wx w x w x w x w

xw w w w

w

هییاحصا اتیاضیر

7

حل:

.باشدیم پول 77 و یافغان 206 یعنی یافغان 206.77 تکه متر یف اوسط متیپس ق

آن ست هر یها اوسط اساس به ارقام ای ست نیچند یکل اوسط که است یحالت در یوزن اوسط از استفاده یخصوص حالت از یکی

1nاوسط 1x : مثالا باشد، مطلوب ،2x 2اوسطn

knاوسط kxو باالخره است به: یمساو یصورت اوسط کل نیدر ا ،باشد

است، 20 ماندهینفر باق 35و اوسط 40صنف نیهم گریدنفر 25، اوسط 70نفرشاگردان صنف دوازدهم 15اوسط نمرات مثال:

.دیاوسط نمره صنف را محاسبه کن

حل:

کدام دیجد اوسط شوند،یم اضافه جمع نیا به گرام لویک 142 وزن مجموع با نفر دو است، گرام لویک 65نفر 10 یوسط وزنا مثال:

است؟

حل:

10

101

1

65 65 10 65010

i

ii

i

x

x x

1 2 3 4

1 2 3 4

1 1 1 2 2 3 3

1 2 3

1

250 , 180 , 210 , 200

12 , 18 , 20 , 15

.....

.....

250 12 180 18 210 20 200 15

12 18 20 15

3000 3240 4200 3000 13440206.77

65 65

n

i i

i n n

n

ni

i

x x x x

w w w w

x wx w x w x w x w

xw w w w

w

x

1

1

k

i i

i

k

i

i

n x

x

n

15 70 25 40 35 20 1050 1000 700

15 25 35 75

275036.67

75

x

هییاحصا اتیاضیر

8

نماییم:کیلو گرام را با آن اضافه می 142 دو نفر با مجموع وزن حاال

اوسط جدید 650 142 792

6610 2 12

x

1عدد مثبت nاوسط هندسی تعداد اوسط هندسی: 2 3, , , ......, nx x x x1 مساوی است به: 2 3 ......n

g nM x x x x

تواند. قرار ذیل: توسط لوگارتم به خوبی محاسبه شده میاین نوع اوسط

1 2 3

1 2 3 1 2 3

...... / log

1log log ...... log log log ....... log

ng n

ng n n

M x x x x

M x x x x x x x xn

را دریافت کنید. 64، 32، 2، 625اوسط هندسی اعداد مثال:

حل:

. قرار ذیل:توانیم توسط لوگارتم نیز حل کنیمو همچنان می

4 4 1log log 64 32 2 625 log 256000 log 256000

4

1log 6.4082399 1.6020

4

log1.6020

40

g

g

g

g

M

M

M anti

M

ا قابل اعتبار برای مشخص نمودن یک مرکز تراکم برعال معیار های پراگنده گی: وه این که اوسط حسابی یک معیار خوب و تقریبا

دهد. های عددی متحول قرارعددی است، اما این معیار نخواهد توانست ما را در روشنی از نوعیت توزیع قیمت

1 2 3 4

41 2 3

4 46 5 4 12 4 3 4 34 4 4 4

3

64 , 32 , 2 , 625

...... 64 32 2 625

2 2 2 5 2 5 2 5 2 5

2 5 8 5 40

ng n g

g

g

x x x x

M x x x x M

M

M

هییاحصا اتیاضیر

9

ها باشد که ذیالا به تشریح آنانحراف معیاری می های دیگر مانند: اوسط انحراف ، واریانس وبناءاا ضرورت به معرفی معیار

پردازیم:می

1هرگاه اوسط حسابی اعداد اوسط انحراف: 2 3, , , ......, nx x x xف یباشد پس اوسط انحراف اعداد مذکور چنین تعر xعبارت از

گردیده است:

1 2 3

1

1........

1

n

n

i

i

MD x x x x x x x xn

MD x xn

ف معلومات عددی ذیل را دریافت کنید.اوسط انحرامثال:

15,10,25,13,42

حل:

1هرگاه اوسط حسابی اعداد ( :Varianceوریانس ) 2 3, , , ......, nx x x xباشد پس واریانس اعداد مذکور چنین xعبارت از

ف گردیده است: یتعر

کنید. تعیینرا 12,25,17,30مات عددی واریانس معلو مثال:

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

, 15 10 25 13 42 10521

5 5

1

115 21 10 21 25 21 13 21 42 21

5

1 16 11 4 8 21 6 11 4 8 21

5 5

150 10 10

5

x x x x xx

n

MD x x x x x x x x x xn

MD

MD

MD MD

2 2 2 2

1 2 3

2

1

1.........

1

ar n

n

ar i

i

V x x x x x x x xn

V x xn

هییاحصا اتیاضیر

10

حل:

آید که تفاوت آن با واریانس در این است که انحراف معیاری هم ، انحراف معیاری به دست میاز جذر واریانس انحراف معیاری:

ار دارای واحد سانتی متر باشد واریانس دارای ست. مثالا اگر انحراف معیا ولی واریانس دارای واحد مربع دیتاها ،ستا واحد با دیتاها

1برای دیتاها .باشدواحد سانتی متر مربع می 2 nx ,x , ,x آید:ی ذیل به دست میانحراف معیاری از رابطه

n 2

i

i 1

x x

Sn

دسته بندی نشده: یو در جدول دیتاها

n 2

i i

i 1

f x X

Sn

دسته بندی شده: یو در جدول دیتاها

n 2*

i i

i 1

f x X

Sn

توان استفاده کرد:ی ذیل میهمچنین از رابطه

2n n n

2 2

i 1 12

1 1 1

x x x

S Xn n n

:یا

1 2 3 4

2 2 2 2

2 2 2 2

, 12 25 17 30 8421

4 4

112 21 25 21 17 21 30 21

4

19 4 4 9

4

1 181 16 16 81 194 48.5

4 4

ar

ar

ar

x x x xx

n

V

V

V

هییاحصا اتیاضیر

11

2n n

2

i i i i

1 1n n

i i

1 1

f x f x

S

f f

نکات:

1اگر انحراف معیاری -1 2 nx ,x , ,x 1ایدیتاه یباشد، انحراف معیار Sبرابر 2 nax b , ax b , , ax b

برابر

است با: a S

برابر است با: dکه تصاعد حسابی با فرق مشترک در حالت کلی واریانس دیتاهای -2

2n 1S d

12

1اگر دیتاهای احصایوی -3 2 nx ,x , ,x باشد، در دیتاهای Sیو انحراف معیار Xاوسط

ii

x XY

S

و انحراف 0اوسط

نامند.است. این کار را ستندرد سازی و دیتاهای جدید را دیتاهای ستندرد می 1معیار واریانس

مریض در زیر داده شده است. 5حرارت بدن یدرجه مثال:

38 39 39 40 41

انحراف معیاری آن را حساب کنید:

حل:

هییاحصا اتیاضیر

12

5

i

i 1

2 2 2 2 2

2

2 2 2 2 2

2

2

x38 39 39 40 41 197

x 39.4n 5 5

38 39.4 39 39.4 39 39.4 40 39.4 41 39.4S

5

1.4 0.4 0.4 0.6 1.6S

5

1.96 0.16 0.16 0.36 2.56 5.2S 1.04

5 5

S 1.04 1.01980

1اگر در یک توزیع کثرت وقوع اعداد اوسط حسابی معلومات عددی در توزیع کثرت وقوع: 2 3, , , ......, nx x x xنقاط

1صنوف و وسطی 2 3, , , ......, nf f f fباشد، در این صورت اوسط حسابی معلومات هانآبه ترتیب کثرت وقوع ) فریکونسی(

گردد:و تخمین می تعیینی ذیل از رابطه عددی دیتا

زیع کثرت وقوع آن را ( قرار ذیل داده شده است، اوالا تو100امتحان مضمون احصاییه از روی )نفر شاگردان در 30نمرات مثال:

دریافته بعداا اوسط حسابی آن را دریافت کنید.

100 حل: 37 63Range 63نماییم: و حال آن را به هشت کالس تقسیم می 8 7.875 که برای سهولت کار آن را

داریم. در نظر گرفته جدول توزیع کثرت وقوع آ ن را ترتیب می 36.5گیریم، سپس سرحد پایین اولین کالس را عدد در نظر می 8

قرار ذیل:

f x فریکونسی ( کثرت وقوعf) نقاط وسطی کالس ها

(x)

حدود صنوف )کالس ها(

1 1 2 2 3 3 1

1 2 3

1

........

.......

n

i i

n n i

n

ni

i

f xf x f x f x f x

xf f f f

f

75, 46,73,85, 49,79,53,92,81,56,37,96,65,38,93,

70,69,83,60, 43,100,58,84,73,65,98, 40,65,99,51

هییاحصا اتیاضیر

13

162 4 40.5 36.5 – 44.5

145.5 3 48.5 44.5 – 52.5

226 4 56.5 52.5 – 60.5

193.5 3 64.5 60.5 - 68.5

362.5 5 72.5 68.5 – 76.5

322 4 80.5 76.5 – 84.5

177 2 88.5 84.5 – 92.5

482.5 5 96.5 92.5 – 100.5

1

2071n

i i

i

f x

8

1

30i

i

f

1 نتیجه اوسط حسابی نمرات فوق عبارت است از: در

8

1

207169.03

30

n

i i

i

i

i

f x

x

f

1هرگاه ی در توزیع کثرت وقوع:انحراف معیار 2 3, , , ......., nx x x x1نقاط وسطی صنوف و 2 3, , , ......., nf f f f

به

ی ذیل دریافت از رابطه هاآنباشد، در این صورت انحراف معیاری معلومات عددی ) دیتا( هاآنترتیب کثرت وقوع ) فریکونسی(

گردد: می

2 2 2 2

1 1 2 2 3 3

1 2 3

2

1

8

1

.......

, .......,

n n

n

n

i i

i

i

i

x x f x x f x x f x x f

f f f f

x x f

f

انحراف معیاری معلومات عددی )دیتا( کثرت وقوع را با در نظر داشت مثال فوق دریابید. مثال:

توان انحراف باشد، پس میمی 69.03دانیم که اوسط حسابی معلومات عددی در توزیع کثرت وقوع ی جدول فوق میاز محاسبه حل:

بر اساس جدول ذیل نوشت:معیاری معلومات عددی داده شده را

هییاحصا اتیاضیر

14

2

i ix x f ix x if x i

3255.84 -28.53 4 40.5 1

1264.44 -20.53 3 48.5 2

628.00 -12.53 4 56.5 3

61.56 -4.53 3 64.5 4

60.20 3.47 5 72.5 5

526.24 11.47 4 80.5 6

758.16 19.47 2 88.5 7

3773.00 27.47 5 96.5 8

8 2

1

10327.44i i

i

x x f

8

1

30i

i

f

در نتیجه انحراف معیاری دیتا کثرت وقوع جدول فوق عبارت است از:

نسبت انحراف معیاری بر اوسط حسابی یک معلومات (:Coefficient Variationیرات )یتبدیلی یا ضریب تغ ضریب

آید: ی ذیل به دست میشود که از رابطهعددی دیتا عبارت از ضریب تغیرات گفته میC V

x

Cدر این رابطه V ضریب

دهد.اوسط حسابی را نشان می xی و انحراف معیار یرات، یتغ

نمایند، یعنی: فیصدی ضریب تغیرات را به نام تحول ضریب یاد می

100C تحول ضریب Vx

دیتای ذیل داده شده است، ضریب تبدیلی آن را معلوم کنید. مثال:

7,5,9,8,13,10,18A

2

1

8

1

10327.44344.248 18.55

30

18.55

n

i i

i

i

i

x x f

f

هییاحصا اتیاضیر

15

نماییم:دیتای فوق را ترتیب می 5,7,8,9,10,13,18A

اوسط حسابی دیتای فوق مساوی است به:5 7 8 9 10 13 18 70

107 7

x

1fچون در معلومات فوق کثرت وقوع )فریکونسی( کند: راف معیاری شکل ذیل را به خود اختیار میباشد، پس فورمول انحمی

توانیم بنویسیم که: پس می

7 2 2 2 2 2 2 2 2

1

7 2

1

7 2

1

5 10 7 10 8 10 9 10 10 10 13 10 18 10

25 9 4 1 0 9 64 112

1 1112 16 4

7

i

i

i

i

i

i

x x

x x

x xn

پس ضریب تغیرات مساوی است به:4

0.410

C Vx

100فیصدی ضریب تبدیلی ) ضریب تغیرات( مساوی است به: 0.4 100 40%C Vx

توزیع

مراتبه تکرار گردد، یک ردیف آزمایش ها خواهیم داشت. هرگاه nهرگاه یک آزمایش و توزیع دو جمله یی: آزمایش برنولی

گویند.می ها سه شرط ذیل را صدق کند، آن را آزمایش های برنولیاین آزمایش

انجامد.هر آزمایش به یکی از دو حالت کامیابی یا ناکامی می

ماند.کامیابی) ناکامی( در تمام این آزمایش ها ثابت باقی میاحتمال

در عین شرایط و به صورت غیر مرتبط انجام شود.ها مام آزمایشت

2

21

81

1

1

n

i i ni

i

ii

i

x x f

x xn

f

هییاحصا اتیاضیر

16

1qامی و احتمال ناک pآزمایش را در نظر بگیریم طوری که در هر آزمایش ، احتمال کامیابی nپس هرگاه p باشد، پس

آید:ی ذیل به دست میآزمایش از رابطه nکامیابی در mاحتمال

نفر محصل در این امتحان اشتراک نموده 20در صورتی که ،باشد 0.7محصل در یک مضمون هرگاه احتمال ناکامی یک مثال:

نفر کامیاب گردند؟ 5، چند فیصد احتمال دارد که از جمله باشند

حل:

بزرگ و nآزمایش وقتی که nاشکال از mی تقریبی برای محاسبه ( :Poisson Distribution) توزیع پواسن

توان نوشت:کوچک باشد، با استفاده از فورمول پواسن می pابی کامی لاحتما

,در فورمول فوق 2.718281....n p e ،p ،احتمال کامیابیn تعداد مجموعی آزمایش وm امیابی را نشان اشکال ک

دهد.می

های دوم واجد شرایط باشد و به اساس ضرورت احتمال نفر جهت پذیرش 800های پوهنتون کابل گاه در یکی از فاکولته هر مثال:

نفر شامل این فاکولته گردد، چند فیصد خواهد بود؟ 10باشد، احتمال این که 0.005الشمول جذب جدید

( )

m n m

m

np c p q

m

( )

5 20 5

(5)

5 15

(5)

5 15

(5) 5 15

19

(5)

200.3 0.7

20 5

5 20! 3 70.7 20 5 ! 5! 10 10

120 19 18 17 16 15! 3 7

1 0.7 0.315! 5 4 3 2 1 10 10

1.78862833541 10

10

m n m

m

np c p q

m

p cn

mpq

p q

pp

p

20

(5)

0.178862833541

0.1789 100 17.9%p

!

m

m

ep

m

هییاحصا اتیاضیر

17

حل:

ر صورتی که د توزیع نورمال:n p q

اوسط xی وسطی یک کالس، نقطه xیی، انحراف معیاری توزیع دو جمله

e....2.718281حسابی، 3.14189و... باشد، تابع توزیع احتمال نورمال متحول اتفاقی x ی ذیل به دست از رابطه

آید:می

21

2

2

x x

Nf x e

دهد.آزمایش را نشان می nتعداد مراتب Nحالی که در

عبارت از: xچون احتمال وقوع متحول

f xp x

N

باشد، حال قیمت می f x

گذاریم:را به جایش می

نمایند.یاد می xی فوق را به نام احتمال نورمال متحول اتفاقی رابطه

4 10

10

4

10

10

800 0.005 4

2.71828 4800

! 10!0.005 1

1410 10485762.71828 53.144

? 10! 3628800

19730.84490.005437291 100 0.54%

3628800

m

m

m

n p

epn

mp

m

pp

p

2

2

1

21

212

2

x x

x xN

e

p x p x eN

هییاحصا اتیاضیر

18

ی هرگاه اطراف رابطه

21

2

2

x x

Nf x e

را با : ضرب کنیم، داریم که

گاه هر ,

x xy f x z

ی فوق وضع گردد، داریم که: در رابطه

21

2

2

zNy e

نمایند.ی اخیر را به نام توزیع نورمال معیاری یاد میرابطه

تمال کامیابی در یک سکه مراتبه انداخته شود، با توجه به این که اح 256به تعداد سکه 16هرگاه مثال:

1

2p

است، با استفاده از

خط را دریابید؟ 10توزیع نورمال معیاری احتمال آمدن

حل:

21 11

2 2

116 816

2256

1 116 4 21

2 22

10 810 1

2

256 2562.7182

2 2 3.14 6.28 2.7182

256 25661.98 62 62

4.1317.07

6231

2

z

x n pn

N

n p qp

x xx z

Ny e

y y

yy f x f x

21

2

2

x x

Nf x e

هییاحصا اتیاضیر

19

مراتبه عبارت است از : 256سکه به تعداد 16در انداختن خط 10پس احتمال آمدن

تمرین:

مساوی است به: 13,15,19,23,16,14,21,17,12,10ی دیتاهااوسط حسابی (1

14د: 16ج: 10ب: 12الف:

عبارت است از: 5,7,8,6,3,5,9,11,13,5,10ی دیتاهای میانه (2

10د: 9ج: 8ب: 7الف:

مساوی است به: 6,9,13,15,17,21,19,18ی دیتاهای همیان (3

16د: 19ج: 17ب: 15الف:

مد عبارت است از: 11,17,13,15,16,14,11,23,25,11در دیتاهای (4

16د: 15ج: 14ب: 11الف:

ی غلط حرف )غ( بگذارید.ی صحیح حرف )ص( و پیش روی جملهجمالت ذیل را به دقت مطالعه کنید، پیش روی جمله (5

) ( 21مساوی است به عدد 12,3,2,7,11,18,23رنج دیتاهای (6

) ( 7مساوی است به عدد 18و 2اوسط هندسی اعداد (7

) ( 5و 8عبارت اند از اعداد 8,5,12,5,8,1,3مد دیتاهای (8

جوابات:

جزء ج (1

جزء الف (2

310.1211 0.1211 100 12.11%

256

12.11%

f xp x

N

p x

هییاحصا اتیاضیر

20

جزء د (3

الفجزء (4

)ص( (5

)غ( (6

)ص( (7

نتیجه:

ها و مثالا این علم پیشرفت ،ی داردیها نقش به سزاگی انسانعلم احصاییه در زنده ،قسمی که در باال مطالعه نمودیم (9

ها جوابگوی یک دارد که گرافهای متنوع ارایه میسایل را در شکل گرافها و دیگر مها، مفادات و نقصانمانیعقب

یعنی .باشد که در شکل ادبیات ارایه شده باشدیی میارش چندین صفحهزگ

، ی آن نیم ساعت را در بر بگیردارش چندین ورقی را که مطالعهزیک گ

.سازددقیقه روشن می 5های احصاییه در رافمفهوم آن را گ

ها و ها دریافت مدها، فیصدیها، میانههمچنان علم احصاییه اوسط گیری (10

دهد.گی را مورد مطالعه قرار میدیگر مسایل مهم زنده

در کشور ما نیز مانند سایر کشورها یک اداره مستقل به نام احصاییه (11

اش جمع آوری معلومات خاصتا نفوس افغانستان وجود دارد که وظیفه

"شد که شعار آن است: " بشماریم تا بدانیم!بامی

های معقول پیشرفت و تکامل خالصه این که وظیفه اصلی این علم جمع اوری معلومات است که به اساس این معلومات راه (12

شود.سنجیده می

باشد.ی از استعمال این علم مییک نمونهاشکال ذیل (13

هییاحصا اتیاضیر

21