Statistik

Introduktion

Deskriptiv statistik

Sandsynslighedregning

Introduktion

Kasper K. Berthelsen, Institut f. Mat. Fag 8 Kursusgange Individuel mundtlig eksamen (7-skala) Udgangspunkt i opgaver Software: SPSS – I kan hente en CD hos…

Flyskræk! Passer overskriften?

Politiken 6/12-’07

Er du tryg ved at flyve?

Ja: 86% i 2005 83% i 2007

Er der virkelig sket en ændring eller kunne det lige så godt være tilfældigt?

Svaret kommer til sidst i kurset ;-)

BMI blandt mænd og kvinder (i Kbh) BMI =

vægt/højde2

Er der en signifikant forskel i middel BMI for mænd og kvinder?

Deskriptiv versus inferential statistik Deskriptiv statistik:

Metoder til at organisere og præsentere data på en informativ måde.

Inferential statistik Metoder til at konkludere noget ud fra data.

Eksempel: Hvad er middel-længden af

en hugorm? Er den større en 50?

KARAKTER

KARAKTER

1311109876530

Fre

qu

en

cy

40

30

20

10

0

Nogle definitioner Population: Mængden af alle ”individer” vi er

interesserede i. fx alle virksomheder i DK

Parameter: Et deskriptivt mål for populationen (for eksempel middelværdi og varians).

fx gennemsnits antal ansatte

Sample/stikprøve: Mængde af data taget fra en delmængde af populationen

fx 10 tilfældigt udvalgte virksomheder

Statistik: Et deskriptivt mål for stikprøven.fx gennemsnits antal ansatte blandt de 10.

Variabel: En karakteristik af populationen eller stikprøven fx antal ansatte, omsætning, region, type

Diskrete og kontinuerte data

Diskrete data

Katagoriske data, for eksempel:

Hvilken øjenfarve?

1. Brun

2. Blå

3. Grøn

4. Grå

Kontinuerte data

Data, der er reelle tal, eks: Højde Vægt Temperatur Hastighed Osv....

Data hierarki Interval skala fx. højde.

Data kan placeres på en skala, hvor man kan sammenligne afstande mellem data punkter.

Kan også behandles som ordinale eller nominale data

Ordinal skala fx. løngruppe (lav, middel, høj)

Data kan ordnes på en skala. Beregninger kan baseres på ordningen.

Kan opfattes som nominale data.

Nominal skala fx. farve (rød,grøn,blå) Kun beregninger baseret på antal obs. i hver kategori må

udføres. Kan ikke opfattes som ordnede eller interval data.

Percentiler og kvartiler Den P’te percentil af en mængde data punkter, er

den værdi hvor P % af dataene ligger under. Positionen af den P’te percentil er givet ved

(n+1)P/100, hvor n er antallet af data punkter. Kvartiler er de procent point, der inddeler data i

kvarte. 1. kvartil er 25 percentilen. Under denne ligger 25 % af

data. 2. kvartil er 50 percentilen. Under denne ligger 50 % af

data. Kaldes også medianen. 3. kvartil er 75 percentilen. Under denne ligger 75 % af

data. Den interkvartile range defineres som afstanden

mellem den første og den tredje kvartil.

Ordinale data - karakterer

Karakter

14 10,9 10,9 10,9

36 28,1 28,1 39,1

9 7,0 7,0 46,1

9 7,0 7,0 53,1

10 7,8 7,8 60,9

9 7,0 7,0 68,0

11 8,6 8,6 76,6

14 10,9 10,9 87,5

11 8,6 8,6 96,1

5 3,9 3,9 100,0

128 100,0 100,0

0

3

5

6

7

8

9

10

11

13

Total

ValidFrequency Percent Valid Percent

CumulativePercent

Central lokation i stikprøve Stikprøvens størrelse: n Gennemsnit: Interval data Median: Den midterste observation Interval og ordinal Mode: Den observation, der forekommer med størst frekvens Interval, ordinal og nominal

n

iixn

x1

1

Statistics

KARAKTER128

0

6,05

6,00

3

Valid

Missing

N

Mean

Median

Mode

Frekvens = antal gange en observation forekommer

SPSS: Analyze→Descriptive Statistics→Frequencies

Variation (interval data)

Range: største – mindste observation

Stikprøve varians

Standard afvigelse 2ss

1

/

1

)(2

11

2

1

2

2

n

nxx

n

xxs

n

ii

n

ii

n

ii

Statistics

KARAKTER128

0

3,686

13,588

Valid

Missing

N

Std. Deviation

Variance

Bemærk: n-1 og ikke n.

Populations parametre

Populationens størrelse:

Populations middelværdi:

Populations varians:

Populations spredning:

N

xN

i i

1

22

)(

2

N

xN

i i 1

N

Bemærk: N og ikke N-1.

Deskriptive mål for populationen

Grafik præsentation: HistogramAntal $ brugt af 184 kunder i en butik.

31 kunder brugte for mellem 350$ og 450 $

SPSS: Graphics→…

X X o*

MedianQ1 Q3InnerFence

InnerFence

OuterFence

OuterFence

Interquartile Range (IQR)50% af data

Smallest data point not below inner fence

Largest data point not exceeding inner fence OutlierEkstrem

Q1-3(IQR)Q1-1.5(IQR) Q3+1.5(IQR)

Q3+3(IQR)

Et Box Plots AnatomiEt Box Plots Anatomi

Box Plot

Box Plots for BMI

Sandsynligheder

MængderHændelserSandsynlighederRegler for sandsynligheder

Sandsynligheder En sandsynlighed er et kvantitativt mål for usikkerhed – et mål der

udtrykker styrken af vores tro på forekomsten af en usikker begivenhed.

En sandsynlighed er et reelt tal mellem 0 og 1. 0 = sker aldrig 1 = sker altid Ex: Sandsynligheden for regn i morgen er 0,5 Ex: Sandsynligheden for at få 7 rigtige i lotto er 0,000000001

I modsætning til deterministiske hændelser: Det er juleaften den 24. december I morgen står solen op kl. 8.04

Forskellige statistiske retninger: Klassisk Frekventistisk (jeres, fortrinsvist) Subjektiv (Bayesiansk)

Den klassiske sandsynlighedsteori blev udviklet i 1600 tallet – inspireret af Casino spil!

Lidt om mængder

En mængde er en samling af elementer Eksempel: A={1,2,3,4} eller A={plat, krone}

Den tomme mængde A=Ø, indeholder ingen elementer Den universelle mængde S, indeholder alle elementer Komplementet af en mængde A, er mængden Ā, der indeholder alle

elementer i S, der ikke er i A. Eksempel: S={1,2,3,4,5,6} og A={1,4,6}. Så er Ā={2,3,5}

2,3,5

A

1, 4, 6

Ā

S

Venn Diagram

Mere om mængder

Fællesmængden af A og B, A ∩ B, er mængden, der indeholder de elementer, der er i både A og B

Foreningsmængden af A og B, A U B, er mængden, der indeholder de elementer, der er i A eller B eller begge

A ∩ B1, 2 3 4, 5

6

A BS

1, 2 4, 56

A B

S

3A U B

A={1,2,3}B={3,4,5}A ∩ B={3}

A={1,2,3}B={3,4,5}A U B={1,2,3,4,5}

Den tomme mængde

To mængder er disjunkte, hvis fællesmængden A ∩ B=Ø

1, 2, 3 4, 56

A BS

A={1,2,3}B={4,5}A ∩ B={Ø}

Mere om sandsynlighed Eksperiment:

Handling, der leder frem til et af flere mulige udfald Fx. Kast med en terning eller Vælg 10 tilfældige

virksomheder. Udfald:

Observation eller måling Fx: Antal øjne på en terning eller 10 navngivne

virksomheder.

Mere om sandsynlighed

Udfaldsrum: En liste af mulige udfald af eksperimentet, lig med den

universelle mængde S={o1,o2,…,ok} Udfaldene skal være ”udtømmende” Eksempler:

Terningkast: S={1,2,3,4,5,6} – S={1,2,3,4,5} duer ikke! Møntkast: S={plat, krone} – S={plat} duer ikke

Udfaldene skal være disjunkte Terningkast S={1,2,3,4,5,6} – S={1-2,2-3,3-4,4-5,5-6} dur

ikke!

Oi er i’te udfald af k mulige.

Hændelser

En simpel hændelse er et udfald i udfaldsrummet Eksempel: Terningkast – en 6’er er en simpel

hændelse En hændelse er en mængde af en eller flere simple

hændelser i et udfaldsrummet Eksempel: Terningkast – A={2,3,4} er en hændelse

Sandsynligheden for en hændelse, A, betegnes P(A) P(A) er summen af sandsynlighederne for de simple

hændelser i A Eksempel: P(A)=P(2)+P(3)+P(4)=1/6+1/6+1/6=3/6

Hændelser Antag at alle simple hændelser forekommer med lige

stor sandsynlighed. Da er sandsynligheden for en hændelse A givet ved:

Eksempel: Terningkast – lige sandsynlighed for alle udfald. Lad A={1,2,4} n(A) = 3n(S) = 6 P(A) = 3/6 = 0.5

S i elementer antal Ai elementer antal

)(

)()()(

n(S)An

SnAnAP

Regler for sandsynlighed

Givet et udfaldsrum S={o1,o2,…,ok} da skal sandsynlighederne opfylde:

Eksempel: Terningkast – lige sandsynlighed for alle udfald:

k

1ii

i

P(o 2)

i alle for P(o0 1)

1)

1)

Ahændelse enhver for 1,P(A)0 også dermed og

6

1

1)i 6

1

6

1

6

1

6

1

6

1

6

1P(o

6

1P(6)P(5)P(4)P(3)P(2)P(1)

,6}{1,2,3,4,5S

i

Flere regler

Sandsynligheden for Ā: P(Ā)=1-P(A)

Sandsynligheden for Ø: P(Ø)=0

Sandsynligheden for S: P(S)=1

Fællesmængden for hændelserne A og B, A ∩ B, er hændelsen, der forekommer, når både A og B forekommer

Sandsynligheden for A ∩ B, P(A ∩ B), kaldes den simultane sandsynlighed (joint probability)

Betinget sandsynlighed

Den betingede sandsynlighed P(A|B) er sandsynligheden for hændelsen A, givet at vi ved at hændelsen B allerede er indtruffet:

A)P(A)|P(B

B)P(B)|P(AB)P(A

ligeledes eller

P(A)

A)P(BA)|P(B og

P(B)

B)P(AB)|P(A

AT& T IBM Total

Telecommunication 40 10 50

Computers 20 30 50

Total 60 40 100

Frekvenser

AT& T IBM Total

Telecommunication .40 .10 .50

Computers .20 .30 .50

Total .60 .40 1.00

Sandsynligheder

2.050.0

10.0

)(

)()(

TP

TIBMPTIBMP

Sandsynligheden for at et projekt udføres af IBM givet at det er et telekommunikations-projekt:

Eksempel (Kontingenstabel)

Additionsreglen

Sandsynligheden for foreningen mellem to mængder A og B, A U B, er givet som: P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)

Hvis A og B er disjunkte hændelser, er P(A ∩ B) = 0 og dermed: P(A U B) = P(A) + P(B)

Eksempel: Sansynlighed for at et projekt er IBM eller Telekom:

0,80

0,10 0,50 0,40

T) P(IBM - P(T) P(IBM) T U P(IBM

)