statistik dasar3

3. Pengujian Hipotesis

3.1 Pendahuluan

Hipotesis adalah asumsi atau dugaan mengenai sesuatu hal yang dibuat untuk menjelaskan hal itu yang sering diinginkan dan akan dilakukan pengecekan.

Jika asumsi atau dugaan itu dikhususkan mengenai populasi, maka umumnya mengenai nilai – nilai parameter populasi, maka hipotesis itu disebut hipotesis statistik.

Contoh : a). peluang lahirnya bayi berjenis laki – laki = 0, 5. 30% masyarakat termasuk golongan Ac). Rata – rata pendapatan keluarga di suatu daerah Rp. 35. 000, 00 tiap bulan.

Setiap hipotesis bisa benar atau tidak sehingga perlu diadakan penelitian sebelum hipotesis itu diterima atau ditolak. Langkah atau prosedur untuk menentukan apakah menerima atau menolak hipotesis dinamakan pengujian hipotesis.

3.2 Dua Jenis Kekeliruan

Untuk pengujian hipotesis, penelitian yang dilakukan dengan mengambil sampel acak, nilai – nilai statistik dihitung dan dibandingkan, menggunakan kriteria tertentu dengan hipotesis. Jika hasil yang didapatkan dari penelitian itu, jauh berbeda dengan hasil yang diinginkan/diharapkan terjadi berdasarkan hipotesis, maka hipotesis ditolak. Jika terjadi sebaliknya, disebut hipotesis diterima. Walaupun berdasarkan penelitian yang dilakukan telah menerima atau menolak hipotesis, tidak berarti telah membuktikan kebenaran atau tidak kebenaran suatu hipotesis. Yang jelas hanya menerima atau menolak hipotesis saja.

Dalam pengujian hipotesis ini, dikenal dua jenis kekeliruan yang dikenal :1). Kekeliruan tipe I : yaitu menolak hipotesis yang seharusnya diterima.2). Kekeliruan tipe II : yaitu menerima hipotesis yang seharusnya ditolak.

KesimpulanKeadaan Sebenarnya

Hipotesis Benar Hipotesis SalahTerima Hipotesis Benar Keliru (Kekeliruan Tipe II)

Tolak Hipotesis Keliru (Kekeliruan Tipe I) Benar

Ketika merencanakan suatu penelitian dalam rangka pengujian hipotesis, jelas bahwa kedua tipe kekeliruan itu harus dibuat sekecil mungkin. Agar penelitian dapat dilakukan maka kedua tipe kekeliruan itu dinyatakan dalam peluang. Peluang membuat kekeliruan tipe I dinyatakan dengan α dan peluang membuat kekeliruan tipe II dinyatakan dengan β . Atau dikenal dengan juga kekeliruan tipe I sebagai kekeliruan tipe α dan kekeliruan tipe II dikenal sebagai kekeliruan tipe β .

Dalam penggunaannya, α disebut taraf signifikan atau taraf keberartian atau sering disebut pula taraf nyata. Besar kecilnya α dan β dapat diterima dalam pengambilan keputusan bergantung pada akibat – akibat atas diperbuatnya kekeliruan – kekeliruan. Kedua kekeliruan ini saling berhubungan jika α diperkecil maka, β menjadi besar dan begitu sebaliknya. Pada dasarnya harus dicapai hasil pengujian hipotesis yang lebih teliti, dimana semua pengujian dapat dilakukan dengan harga α sama besar, diambil kekeliruan β paling kecil.

33

Biasanya α terlebih dahulu digunakan seperti α = 0, 01 atau 0, 05, misalkan α = 0, 05 dikenal dengan taraf nyata 5%, yang berarti 5 dari tiap 100 kesimpulan kita akan menolak hipotesis yang seharusnya diterima. Dengan kata lain, 95% diyakini bahwa kesimpulan yang dibuat benar, atau peluang berbuat salah sebesar 0, 05.

3.2 Langkah – Langkah Pengujian Hipotesis

Dari pengujian hipotesis dapat ditarik kesimpulan untuk menerima atau menolak hipotesis. Sehingga terdapat dua pilihan, daerah penerimaan (H0) dan daerah penolakan hipotesis (H1) ini dikenal juga sebagai daerah kritis.

Jika yang akan diuji adalah parameter θ , (dalam penggunaannya bisa saja rata – rata µ , proporsi π , simpangan baku σ , dan lain – lain), maka perumusan pasangan hipotesisnya dapat ditulis sebagai :

1). H0 : θ = θ0 atau H0 : θ = θ0 atau H0 : θ = θ0

H1 : θ ≠ θ0 H0 : θ > θ0 H0 : θ < θ0

2). Selanjutnya dipilih uji statistik yang sesuai, apakah uji z, t, X2, F atau uji lainnya. Nilai statistik yang dipilih, besarnya bergantung pada data sampel yang dianalisis. Kemudian, berdasarkan pilihan taraf nyata α atau disebut juga dengan ukuran daerah kritis, kriteria pengujian ditentukan sendiri (misalnya, 1%, 5%, 10%, dst).

3). Hipotesis H1 menentukan daerah kritis jika perumusannya tidak sama (≠), maka distribusi statistik yang digunakan, normal untuk angka z, student untuk t dan seterusnya. Dari informasi distribusi ini, diketahui dua daerah kritis masing – masing pada ujung – ujung distribusi. Luas daerah kritis atau daerah penolakan pada setiap ujung adalah ½α . Karena adanya dua daerah penolakan ini, maka pengujian hipotesis dinamakan uji dua pihak.

Kedua daerah ini dibatasi oleh d1 dan d2 yang harganya terdapat dalam daftar distribusi yang digunakan dengan menggunakan peluang yang ditentukan oleh α . Kriteria yang dilakukan adalah terima hipotesis H0 jika harga statistik yang dihitung berdasarkan data penelitian jatuh antara d1 dan d2, selain itu H0 ditolak.

4). Jika hipotesis H1 daerah kritisnya dirumuskan dengan notasi lebih besar (>), maka distribusi yang digunakan diketahui dari daerah kritis yang letaknya diujung sebelah kanan. Luas daerah kritis atau daerah penolakan ini sama dengan α .

34

Daerah Penerimaan H

0

Daerah Penolakan H

0

(daerah Kritis)

Daerah Penolakan H

0

(daerah Kritis)

Luas = ½α Luas = ½α

d1

d2

Daerah Penerimaan H

0

Daerah Penolakan H

0

(daerah Kritis)

Luas = α

d

Harga d, diketahui dari daftar distribusi data penelitian dengan peluang yang ditentukan oleh α , yang menjadi batas antara daerah kritits dan daerah penerimaan H0. kriteria yang digunakan adalah : tolah H0 jika statistik yang dihitung berdasarkan sampel tidak kurang dari d. Selain dai hal itu terima H0. Pengujian ini disebut uji satu pihak, (pihak kanan).

5). Jika hipotesis H1 daerah kritisnya dirumuskan dengan notasi lebih Kecil (<), maka daerah kritis yang letaknya diujung sebelah kiri dari distribusi yang digunakan. Luas daerah ini menjadi batas daerah penerimaan H0 oleh bilangan d yang terdapat dalam daftar distribusi data penelitian. Peluang mendapat nilai d ditentukan oleh taraf nyata α .

Kriteria yang digunakan adalah : terima H0 jika statistik yang dihitung berdasarkan sampel lebih besar dari d. Selain itu tolak H0. Pengujian ini disebut uji satu pihak (pihak kiri).

Dari dasar pengujian yang dilakukan, selanjutnya kesimpulan dapat dirumuskan

3.3 Menguji Rata – Rata ( µ ) : Uji Dua Pihak

Misalkan populasi berdistribusi normal dengan rata – rata µ dan simpangan baku (standar deviasi) σ , akan diuji parameter rata – rata µ , maka sampel acak berukuran n, dengan statistik x dan s dapat dibedakan atas :(1). Jika σ diketahui

Hipotesisnya adalah : H0 : µ = µ0

H1 : µ ≠ µ0

dimana, µ0 diketahui, statistik uji adalah :

nσ/

μxz 0−

= , z berdistribusi normal baku n(0, 1).

H0 diterima jika - z½(1 - α) < z < z½(1 - α). (lihat daftar normal baku).Contoh 3. 3. 1:

Pengusaha lampu pijar A mengatakan bahwa lampunya bisa bertahan dipakai selama 800 jam. Akan tetapi seorang distributor ragu dan menduga bahwa masa pakai lampu itu sudah

35

Daerah Penerimaan H0

Daerah Penolakan H0

(daerah Kritis)

Luas = α

d

berubah. Untuk menentukan hal ini, distributor itu melakukan penelitian dengan jalan menguji lampu sebanyak 50 buah, ternyata rata – ratanya 792 jam. Dari pengalaman, diketahui bahwa simpangan baku masa hidup lampu 60 jam. Selidikilah dengan taraf nyata 0, 05 apakah kualitas lampu itu sudah berubah atau tidak.

Penyelesaian:

Diketahui :Misalkan masa hidup Lampu berdistribusi normal maka, (1) Hipotesis Ujinya adalah :

H0 : µ = 800 Jam, (Berarti lampu masa pakainya sekitar 800 jam)H1 : µ ≠ 800 Jam, (Berarti kualitas lampu telah berubah dan bukan 800 jam lagi).

(2) Statistik uji adalah :

nσ/

μxz 0

hitung

−= ,

Diketahui,Simpangan Baku (σ) = 60 jam,

x = 792 jam

n = 50, µ0 = 800 jam, maka,

5060/

800792zhitung

−= = – 0,9428.

(3) Kriteria yang digunakan dari daftar distribusi normal baku dengan α = 0,05, adalah :⇒ –z½(1 – 0,05) < z < z½(1 – 0,05) = –z½(0,95) < z < z½(0,95)

⇒ –z0,475 < z < z0,475 = –1, 96 < z < 1, 96 (lihat Daftarl F, Buku Sudjana. dimana, z0,475 = 1, 96).

Terima H0 jika zhitung terletak antara – 1, 96 dan 1, 96, karena zhitung = – 0,94 terletak diantara kedua titik itu maka H0 diterima.

(4) Kesimpulan :Berarti pada taraf nyata 0,05, penelitian distributor tersebut, menunjukkan masa pakai lampu masih sekitar 800 jam dan belum berubah (tidak berbeda secara signifikan).

36

Daerah Penerimaan H

0

Distribusi Nomal Baku (Standar)

0, 025 0, 025

-1, 96 1, 96

– 0,9428

(2).Jika σ tidak diketahui Jika simpangan baku (σ) tidak diketahui dan ini sering terjadi, maka taksirannya adalah pada simpangan baku s yang dihitung dari sampel menggunakan rumus :

S = ( )

1-n

XXn

1i

2

i∑=

−, Statistik yang digunakan untuk menguji pasangan hipotesis :

H0 : µ = µ0

H1 : µ ≠ µ0

adalah :

ns/

μxt 0

hitung

−= , t ∼ Student (dk = n – 1).

Kriteria pengujian digunakan distribusi student dengan batas – batas kriteria uji dua pihak didapatkan dari daftar distribusi distribusi student. H0 diterima jika –t(1 – ½ α);n-1 < thitung < t(1– ½α);n-1 (lihat tabel t dengan peluang (1 – ½α) dan dk = n – 1).

Contoh 3. 3. 2:

Misalkan pada contoh 3. 3. 1 tentang masa lampu, dan misalkan simpangan baku populasi tak diketahui, dan dari sampel diketahui s = 55 jam. Diketahui, x = 793, µ = 800 jam. Selidikilah dengan taraf nyata 0, 05 apakah kualitas lampu itu sudah berubah atau tidak.

Penyelesaian :

Diketahui :Misalkan masa hidup Lampu berdistribusi normal maka, (1) Hipotesis Ujinya adalah :

H0 : µ = 800 jam, (Berarti lampu masa pakainya sekitar 800 jam)H1 : µ ≠ 800 jam, (Berarti kualitas lampu telah berubah dan bukan 800 jam lagi).


ns/

μxt 0

hitung

−=

Diketahui :

Simpangan Baku sampel (s) = 55 jam,

x = 793 jam

n = 50, µ0 = 800 jam, maka,

5055/

800792thitung

−= = – 1, 029

(3) Kriteria yang digunakan dari daftar distribusi student, untuk uji dua pihak dengan α =

0,05, adalah :

⇒ –t (1 – ½0,05);n-1 < t < t(1 –½0,05);n-1

⇒ –t(0,975);54 < t < t(0,975);54 = –2,01 < t < 2, 01.

(lihat Daftar G, Buku Sudjana. dimana, t(0,975);54 = 2, 01)37

Terima H0 jika thitung terletak antara – 2,01 dan 2,01 karena t = –1, 029 terletak diantara kedua titik itu maka H0 diterima.

(4) Kesimpulan :Berarti pada taraf nyata 0,05, penelitian distributor tersebut, menunjukkan masa pakai lampu masih sekitar 800 jam dan belum berubah (tidak berbeda secara signifikan).

3.4 Menguji Rata – Rata ( µ ) : Uji Satu Pihak

Prinsip kerja dari uji ini mirip dengan uji dua pihak. Misalkan populasi berdistribusi normal dengan rata – rata µ dan simpangan baku (standar deviasi) σ , akan diuji parameter rata – rata µ , maka sampel acak berukuran n, dengan statistik x dan s dapat dibedakan atas :(1). Jika σ diketahui

Hipotesis uji pihak kanan adalah : H0 : µ = µ0

H1 : µ > µ0

dimana, µ0 diketahui, statistik uji adalah :

nσ/

μxz 0

hitung

−= , z berdistribusi normal baku n(0, 1).

H0 diterima jika zhitung ≤ z (½ - α), dan tolak H0 jika zhitung ≥ z (½ - α).(lihat daftar normal baku).

Contoh 3. 4. 1:

Sebuah perusahaan dalam proses pembuatan barang rata – rata menghasilkan 15, 7 unit per jam. Hasil produksi mempunyai variansi 2, 3. Metode baru diusulkan untuk menganti yang lama jika rata – rata per jam menghasilkan paling sedikit 16 buah. Untuk menentukan apakah metode diganti atau tidak, metode baru dicoba 20 kali dan ternyata rata – rata per jam menghasilkan 16, 9 buah. Perusahaan bermaksud mengambil risiko 5 % untuk menggunakan metode baru apabila metode ini rata – rata menghasilkan lebih dari 16 buah. Apakah keputusan perusahaan tersebut ?

Penyelesaian:

Diketahui :Misalkan hasil produksi berdistribusi normal, maka, (1). Hipotesis Ujinya adalah :

H0 : µ = 16, (Rata – rata hasil metode baru paling tinggi 16). H1 : µ > 16, (Rata – rata hasil metode baru lebih dari 16 & metode lama perlu diganti )

38

Distribusi Studentdk = 49

0, 025 0, 025

-2, 01 2, 01

– 1, 029

2, 65


nσ/

μxz 0

hitung

−= ,

Diketahui,n = 20,

x = 16, 9

σ = √2, 3, µ0 = 16, maka,

( ) /202,3

1616,9zhitung

−= = 2, 65.

(3) Kriteria yang digunakan dari daftar distribusi normal baku dengan α = 0,05, adalah :⇒ z ≤ z (½ – 0,05) = z ≤ z½(0,45)

⇒ z ≤ z0,45 = z ≤ 1, 64 (lihat Daftar F, Buku Sudjana. dimana, z0,475 = 1, 96).

Terima H0 jika zhitung ≤ 1, 64, karena zhitung = 2, 65 besar maka maka H0 ditolak.

(4) Kesimpulan :Berarti pada taraf nyata 0,05, perusahaan akan menolak menggunakan metode baru tersebut.

(2).Jika σ tidak diketahui Statistik yang digunakan untuk menguji pasangan hipotesis satu pihak (pihak kanan) :

H0 : µ = µ0

H1 : µ > µ0

adalah :

ns/

μxt 0

hitung

−= , t ∼ Student (dk = n – 1).

Prosedur pengujian sama dengan contoh 3. 3. 2 menggunakan distribusi student dengan batas – batas kriteria uji satu pihak didapatkan dari daftar distribusi distribusi student. H0 diterima jika thitung < t(1– ½α);n-1 dan sebaliknya.(lihat tabel t dengan peluang (1 – ½α) dan dk = n – 1).

Contoh 3. 4. 2:

39


Distribusi Nomal Baku (Standar)

0, 05

1, 64

2, 78

Diketahui bahwa dengan menyuntikkan sejenis hormon tertentu, pada ayam akan menambah berat telurnya rata – rata 4, 5 gram. Sampel acak yang terdiri atas 31 butir telur dari ayam yang telah diberi suntukan hormon tersebut memberikan rata – rata 4, 9 gram dan simpangan baku s = 0, 8 gram. Masuk akalkah untuk menerima pernyataan bahwa pertambahan rata – rata berat telur paling sedikit 4, 5 gram ?Penyelesaian:

Diketahui :(1). Hipotesis Ujinya adalah :

H0 : µ = 4, 5H1 : µ > 4, 5

(2) Diketahui,n = 31,

x = 4, 9

s = 0, 8 dan µ0 = 4, 5.

Statistik uji adalah :

ns/

μxt 0

hitung

−= ,

31

0,84,54,9

thitung

−= = 2, 78.

(3) Kriteria yang digunakan dari daftar distribusi t dengan α = 0,01, adalah :⇒ t ≤ t (1 - ½0,05);30 = t ≤ t(0,975)

⇒ t ≤ 2, 46 (lihat Daftar G, Buku Sudjana. dimana, t0,975 = 2,46).

Terima H0 jika thitung ≤ 2, 46, karena thitung = 2, 78 besar maka maka H0 ditolak.

(4) Kesimpulan :Berarti pada taraf nyata 0,01, penyuntikkan hormon menambah berat telur ayam rata – rata 4, 5 gram.

40


Distribusi t(student)

0, 05

2, 46

3.5 Menguji Proporsi ( π )

Pengujian dengan proporsi jika populasi berdistribusi binomial dengan propoprsi A = π Berdasarkan sampel acak yang diambil dari populasi itu :

(1). Jika dua pihakHipotesis uji dua pihak adalah :

H0 : π = π0

H1 : π ≠ π0

Dengan, π0 diketahui, statistik ujinya :

( ) /nπ1π

πn

x

z00

0

hitung −

−= , z berdistribusi normal baku n(0, 1).

H0 diterima jika z(½ - α) ≤ zhitung ≤ z(½ - α), dan sebaliknya.(lihat daftar normal baku).

Contoh 3. 5. 1:

Akan diuji bahwa distribusi jenis kelamin laki – laki dan jenis kelamin perempuan adalah sama. Sebuah sampel acak terdiri atas 4.800 orang terdiri dari 2.458 laki – laki. Dalam taraf nyata 0. 05, betulkah distribusi kedua jenis kelamin itu sama ? ?

Penyelesaian:

Diketahui :Misalkan π = peluang terdapatnya laki – laki, maka, (1). Akan diuji pasangan hipotesis :

H0 : π = ½H1 : π ≠ ½

(2) Diketahui,n = 4.800 x = 2. 458 π0 = ½, maka,Statistik uji adalah :

( ) /nπ1π

πn

x

z00

0

hitung −

−=

( ) ( ) /4.8000.50.54800

2.458z

1

hitung

2−= = 1. 68

(3) Kriteria yang digunakan dari daftar distribusi normal baku dengan α = 0,05, adalah :⇒ z ≤ z (½ – 0,05) = z ≤ z½(0,45)

⇒ z ≤ z0,45 = z ≤ 1, 64 Terima H0 jika zhitung ≤ 1, 64, karena zhitung = 1, 68 besar maka maka H0 ditolak.

(4) Kesimpulan :

41

Berarti pada taraf nyata 0,05 , peluang laki – laki dan perempuan sama.

(2).Jika satu pihak Statistik yang digunakan untuk menguji pasangan hipotesis satu pihak (pihak

kanan) :H0 : π = π0

H1 : π > π0

adalah :

( ) /nπ1π

πn

x

z00

0

hitung −

−=

Prosedur pengujian sama dengan contoh 3. 3. 1 menggunakan distribusi normal baku dengan batas – batas kriteria uji satu pihak didapatkan dari daftar distribusi Normal baku. H0 diterima jika zhitung ≤ z (½ - α), dan tolak H0 jika zhitung ≥ z (½ - α).(lihat daftar normal baku).

Statistik yang digunakan untuk menguji pasangan hipotesis satu pihak (pihak kiri) :H0 : π = π0

H1 : π < π0

adalah :

( ) /nπ1π

πn

x

z00

0

hitung −

−=

Prosedur pengujian sama dengan contoh 3. 3. 1 menggunakan distribusi normal baku dengan batas – batas kriteria uji satu pihak didapatkan dari daftar distribusi Normal baku. H0 diterima jika zhitung ≥ z (½ - α), dan tolak H0 jika zhitung ≤ z (½ - α).

3.6 Menguji Variansi ( σ 2 ) Pengujian dengan variansi pada suatu populasi normal dengan sampel acak berukuran n, maka uji variansi s2 :

(1). Jika dua pihak

Hipotesis uji pihak kanan adalah : H0 : σ 2 = σ 0

2

H1 : σ 2 ≠ σ02

Pengujian ini menggunakan statistik chi – kuadrat adalah :( )

20

2

hitung2

σ

s1nχ

−= ,

H0 diterima jika χ2(1 - ½ α); n – 1 ≤ χ2

hitung ≤ χ2(1 - ½ α);n – 1, dan sebaliknya.

(lihat daftar chi – kuadrat).

(2). Jika satu pihak

42

Statistik yang digunakan untuk menguji pasangan hipotesis satu pihak (pihak kanan) :

H0 : σ 2 = σ 02

H1 : σ 2 > σ 02

adalah :( )

20

2

hitung2

σ

s1nχ

−= ,

Prosedur pengujian sama dengan contoh 3. 3. 2 menggunakan distribusi normal baku dengan batas – batas kriteria uji satu pihak didapatkan dari daftar statistik chi – kuadratH0 diterima jika χ2

hitung ≥ χ2(1 - ½ α);n – 1, dan sebaliknya. (lihat daftar chi – kuadrat).

Statistik yang digunakan untuk menguji pasangan hipotesis satu pihak (pihak kiri) :H0 : σ 2 = σ 0

2

H1 : σ 2 < σ 02

adalah :( )

20

2

hitung2

σ

s1nχ

−= ,

Prosedur pengujian sama dengan contoh 3. 3. 2 menggunakan distribusi normal baku dengan batas – batas kriteria uji satu pihak didapatkan dari daftar statistik chi – kuadrat.H0 diterima jika χ2

hitung ≤ χ2(1 - ½ α);n – 1, dan sebaliknya. (lihat daftar chi – kuadrat).

Contoh 3. 6. 1:

Proses pengisian sejenis minuman ke dalam botol oleh mesin, paling mencapai varians 0, 50 cc. Akhir – akhir ini ada dugaan bahwa isi botol telah mempunyai variabilitas yang lebih besar. Diteliti 20 buah botol dan isi ditimbang. Ternyata sampel ini menghasilkan simpangan baku 0, 09 cc. Dengan α = 0, 05 perlukah mesin diubah ?

Penyelesaian:Diketahui : (1). Akan diuji pasangan hipotesis :

H0 : σ = 0, 5H1 : σ > 0, 5

(2) Diketahui,s2 = 0, 81 n = 20 dan σ = 0, 5 maka,Statistik uji adalah :

( )20

2

hitung2

σ

s1nχ

−= ,

( )( )0,50

0,811-20χ hitung

2 = = 30, 78

(3) Kriteria yang digunakan dari daftar distribusi chi kuadrat dengan α = 0,05, adalah :⇒ χ2

hitung ≤ χ2 (1 - ½ α);n – 1

43

⇒ χ2hitung ≤ χ2

0,95; 19 = 30,1 Terima H0 jika χ2

hitung ≤ χ20,95; 19 , karena zhitung = 30, 78 besar maka maka H0 ditolak.

(4) Kesimpulan :Berarti pada taraf nyata 0,05 , dianjurkan untuk mengubah mesin.

3.7 Menguji Kesamaan Dua Rata – Rata : Uji Dua Pihak

Perbandingan dua keadaan atau dua populasi. Misalnya membandingkan dua cara mengajar, dua cara produksi, daya sembuh dua obat dan lain sebagainya. Untuk hal seperti ini digunakan distribusi sampling mengenai selisih statistik, misalnya selisih rata – rata dan selisih proporsi.

(1). σ 1 = σ 2 = σ dan σ diketahui

Hipotesis uji dua pihak adalah : H0 : µ1 = µ2

H1 : µ1 ≠ µ2

Pengujian menggunakan statistik normal baku adalah :

21

21hitung

n

1

n

1σ

xxz

+

−=

,


(2). σ 1 = σ 2 = σ dan σ tidak diketahui


H1 : µ1 ≠ µ2

Pengujian menggunakan statistik student yaitu :

21

21hitung

n

1

n

1s

xxt

+

−=

, dengan ( ) ( )

2nn

s1ns1ns

21

22

212

−+−+−

=

H0 diterima jika t(½ - α) ≤ thitung ≤ t(½ - α), dan sebaliknya.(lihat daftar student).

(3). σ 1 ≠ σ 2 dan σ kedua - duanya tidak diketahui


H1 : µ1 ≠ µ2

Pengujian menggunakan statistik student adalah :

+

−=′

2

22

1

21

21hitung

n

s

n

s

xxt

,

44

H0 diterima jika,

21

2211

ww

twtw

++

− ≤ t′hitung ≤ 21

2211

ww

twtw

++

,

dengan,

1

21

1 n

sw = ;

2

22

2 n

sw = , ( ) ( )1n;α11 12

1tt −−= dan ( ) ( )1n;α12 221tt −−=

(lihat daftar tabel student).

3.8 Menguji Kesamaan Dua Rata – rata : Uji Satu Pihak Dalam pengujian yang akan ditinjau adalah sampel saja karena σ1 dan σ 2 pada umumya tidak diketahui.(1). Uji pihak kanan

Hipotesis uji satu pihak adalah : H0 : µ1 = µ2

H1 : µ1 > µ2

Pengujian menggunakan statistik distribusi student yaitu :

21

21hitung

n

1

n

1s

xxt

+

−=

, dengan ( ) ( )

2nn

s1ns1ns

21

222

2112

−+−+−

=

H0 diterima jika,

t′hitung ≥ 21

2211

ww

twtw

++

, dan sebaliknya.

dengan,

1

21

1 n

sw = ;

2

22

2 n

sw = , ( ) ( )1n;α11 12

1tt −−= dan ( ) ( )1n;α12 221tt −−=

(lihat daftar student).

(2). Uji pihak kiri


H1 : µ1 < µ2

Pengujian menggunakan statistik distribusi student yaitu :

21

21hitung

n

1

n

1s

xxt

+

−=

, dengan ( ) ( )

2nn

s1ns1ns

21

222

2112

−+−+−

=

H0 diterima jika,

t′hitung ≤ 21

2211

ww

twtw

++

− , dan sebaliknya.

dengan,

1

21

1 n

sw = ;

2

22

2 n

sw = , ( ) ( )1n;α11 12

1tt −−= dan ( ) ( )1n;α12 221tt −−=

(lihat daftar student).

3.9 Menguji Kesamaan Dua Proporsi : Uji Dua Pihak

45

Hampir sama dengan uji sebelumnya hanya peristiwa yang berbeda, yaitu memperbandingkan dua populasi binomial. Jika populasi berdistribusi binomial dengan propoprsi A = π Berdasarkan sampel acak yang diambil dari populasi itu :

(1). Jika dua pihakHipotesis uji dua pihak adalah :

H0 : π1 = π2

H1 : π1 ≠ π2

Statistik ujinya yaitu :

+

−

=

21

2

2

1

1

hitung

n

1

n

1pq

n

x

n

x

z , z berdistribusi normal baku n(0, 1).

Diketahui,

21

21

nn

xxp

++

= dan q = 1 – p.


(2).Jika satu pihak Hipotesis uji satu pihak (pihak kanan) adalah :

H0 : π1 = π2

H1 : π1 > π2

Statistik ujinya yaitu :

+

−

=

21

2

2

1

1

hitung

n

1

n

1pq

n

x

n

x

z , z berdistribusi normal baku n(0, 1).

Diketahui,

21

21

nn

xxp

++

= dan q = 1 – p.

H0 diterima jika zhitung ≥ z(½ - α), dan sebaliknya.(lihat daftar normal baku).

Statistik yang digunakan untuk menguji pasangan hipotesis satu pihak (pihak kiri) :H0 : π1 = π2

H1 : π1 < π2

adalah :

( ) /nπ1π

πn

x

z00

0

hitung −

−=

46

Prosedur pengujian sama dengan contoh 3. 3. 1 menggunakan distribusi normal baku dengan batas – batas kriteria uji satu pihak didapatkan dari daftar distribusi Normal baku. H0 diterima jika zhitung ≤ z (½ - α), dan sebaliknya.

4.0 Menguji Kesamaan Dua Variansi

Jika populasi mempunyai variansi yang sama maka disebut dengan variansi yang homogen. Dan sebaliknya disebut dengan variansi yang heterogen. Misalkan dua populasi normal dengan variansi σ 1

2 dan σ 22.

Uji dua pihak untuk hipotesis variansi itu adalah :H0 : σ 1

2 = σ 22

H1 : σ 12 ≠ σ2

2

Uji hipotesis diatas digunakan statistik :

Fhitung = 22

21

s

s

Kriteria pengujian adalah terima hipotesis H0 jika

( )( )212α v,v1

F − < Fhitung < ( )21 v,vF

2α

dengan v1 = n – 1, v2 = n – 1

Latihan Soal :

1. Ujian akhir mata kuliah A telah diberikan kepada kelompok mahasiswa dan mahasiswi. Dalam ujian tersebut telah ikut 68 mahasiswa dan 46 mahasiswi. Setelah dinilai, ternyata untuk mahasiswa mencapai rata – rata 84 dengan simpangan baku 9, dan untuk mahasiswi mencapai rata – rata 80 dengan simpangan baku 10. Dapat disimpulkan bahwa kedua kelompok peserta ujian itu mempunyai kepandaian yang sama dalam hal mata kuliah A jika dimabil rataf nyata 0, 057? Dengan asumsi taraf pengujian 0, 01 ? asumsi apakah yang dapat diambil ketika menarik kesimpulan diatas ? jelaskan bagaimana usaha agar – gara asumsi – asumsi itu dapat dipenuhi ?

2. Untuk menguji pengaruh pupuk baru terhadap hasil kacang tanah, sebidang tanah dibagi menjadi 80 bagian yang sama luasnya. Pengaruh – pengaruh lain seperti : air, sinar matahari, kegemburan tanah asal dan sebagainya dimisalkan sama utnuk tiap bagian. Pupuk baru digunakan pada tanaman kacang sebanyak 40 bagian, sedangkan sisanya digunakan pupuk lama. Rata – rata hasil dengan menggunakan pupuk baru mencapai 28, 4 kg. tiap bagian dengan simpangan baku 0, 87 kg. dengan pupuk lama angka – angka tersebut masing –masing 27, 2 kg dan 0, 62 kg. dalam taraf nyata 0, 05 dapatkah disimpulkan bahwa pupuk baru lebih baik daripada pupuk lama ? sebutkan semua sumsi yang dipakai untuk menyelidiki hal ini ! Bagaimana usaha dari asumsi – asumsi ketika melakukan percobaan ?

3. Sepuluh orang pasien melakukan diet makanan. Berat badan sebelum diet dan sesudahnya ditimbang untuk mengetahui apakah diet itu berhasil atau tidak. Hasilnya dalam Kg, diberikan sebagai berikut :

Pasien Berat sebelum Diet Berat Sesudah Diet12

78.384.7

77.483.2

47

3456789

10

77.495.682.069.479.785.692.899.2

75.792.480.268.176.983.990.495.2

* = Dua angka dibelakang NIM jika < 30 tambahkan 40.

a. Asumsi apakah yang harus diambil mengenai distribusi berat badan tersebut ?b. Ujilah pada taraf α = 0. 05 apakah diet iru berhasil atau tidak ?

Penyelesaian :

1. Diketahui : (1). Akan diuji pasangan hipotesis :

H0 : µ1 = µ2

H1 : µ1 ≠ µ2

(2) Diketahui,n1 = 68, n2 = 46

1x = 84, 2x = 80 dan s1 = 9, s2 = 10 maka,

Statistik ujinya adalah :

( ) ( )2nn

s1ns1ns

21

222

2112

−+−+−

=

= ( )( ) ( )( )

24668

101469168 22

−+−+−

= ( )( ) ( )( )

24668

101469168 22

−+−+−

= 88, 63

S = 9, 41

21

21hitung

n

1

n

1s

xxt

+

−=

= 46

1

68

19,41

8084

+

− 2, 2

(3) Kriteria yang digunakan dari daftar student dengan α = 0,05, adalah :t(½ - α) ≤ thitung ≤ t(½ - α),⇒ –t (1 – ½0,05);113 < t < t(1 –½0,05);113

⇒ –2,58 < thitung < 2,58.

H0 diterima karena –2,58 < thitung = 2, 24 < 2,58.

(4) Kesimpulan :

Berarti pada taraf nyata 0,05 , kedua kelompok mahasiswa ini mempunyai kepandaian yang sama.


H0 : µ1 = µ2

H1 : µ1 > µ2

48

(2) Diketahui,n1 = 40, n2 = 40

1x = 28, 4, 2x = 27, 2 dan s1 = 0, 87, s2 = 0, 62 maka,

( ) ( )2nn

s1ns1ns

21

222

2112

−+−+−

= = ( )( ) ( )( )

244

0,621400.87140 2

−+−+−

00

2

= 0.57

S = 0, 75


21

21hitung

n

1

n

1s

xxt

+

−=

= 0,62

1

0,87

175 0,

27,228

+

− = 7, 16


⇒ –1,99 < thitung < 1, 99.

H0 ditolak karena thitung = 7, 16

(4) Kesimpulan :Berarti pada taraf nyata 0,05 , pupuk baru lebih baik dari pada pupuk lama.


H0 : µ1 = µ2

H1 : µ1 ≠ µ2

(2) Diketahui,n1 = 10, n2 = 10

1x =84, 47, 2x = 82, 34. dan s1 = 9, 16, s2 = 8, 43. maka,


( ) ( )2nn

s1ns1ns

21

222

2112

−+−+−

= = ( )( ) ( )( )

21010

43 8,1109,16110 22

−+−+− = 77, 49

S = 8, 80

21

21hitung

n

1

n

1s

xxt

+

−=

= 10

1

10

18,80

82,3484,47

+

− = 0,54


⇒ –2,10 < thitung < 2, 10.

49

H0 diterima karena thitung = 0, 54 berada diantara –2,10 < thitung < 2, 10.

(4) Kesimpulan :Berarti pada taraf nyata 0,05 , diet itu tidak berhasil karena berat badan pasien rata – rata tidak berubah..

50

Documents

statistik dasar3