StatistikLektion 8

Test for ens varians

F fordelingen

F-fordelingen er fordelingen af brøken af to -fordelte stokastiske variable, der er uafhængige og hver er divideret med antallet af dens frihedsgrader.

Antag og

er uafhængige og -fordelte med hhv k1 og k2 frihedsgrader.

Definer

Da følger F en F-fordelingen med k1 og k2 frihedsgrader.

222

121

k

kF

543210

1.0

0.5

0.0

F

F Distributions with different Degrees of Freedom

f(F

)F(5,6)

F(10,15)

F(25,30)

543210

1.0

0.5

0.0

F

F Distributions with different Degrees of Freedom

f(F

)F(5,6)

F(10,15)

F(25,30)

F-fordeligen på hovedet

Antag og

er uafhængige og -fordelte med hhv k1 og k2 frihedsgrader.

Definer

Så følger F en F-fordeling med k1 og k2 frihedsgrader.

Vi har

Dvs. F-1 følger en F-fordelingen med k2 og k1 frihedsgrader.

121

2221

k

k

F

222

121

k

kF

Critical Points of the F Distribution Cutting Off a Right-Tail Area of 0.05

k1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

k2

1 161.4 199.5 215.7 224.6 230.2 234.0 236.8 238.9 240.5 2 18.51 19.00 19.16 19.25 19.30 19.33 19.35 19.37 19.38 3 10.13 9.55 9.28 9.12 9.01 8.94 8.89 8.85 8.81 4 7.71 6.94 6.59 6.39 6.26 6.16 6.09 6.04 6.00 5 6.61 5.79 5.41 5.19 5.05 4.95 4.88 4.82 4.77 6 5.99 5.14 4.76 4.53 4.39 4.28 4.21 4.15 4.10 7 5.59 4.74 4.35 4.12 3.97 3.87 3.79 3.73 3.68 8 5.32 4.46 4.07 3.84 3.69 3.58 3.50 3.44 3.39 9 5.12 4.26 3.86 3.63 3.48 3.37 3.29 3.23 3.1810 4.96 4.10 3.71 3.48 3.33 3.22 3.14 3.07 3.0211 4.84 3.98 3.59 3.36 3.20 3.09 3.01 2.95 2.9012 4.75 3.89 3.49 3.26 3.11 3.00 2.91 2.85 2.8013 4.67 3.81 3.41 3.18 3.03 2.92 2.83 2.77 2.7114 4.60 3.74 3.34 3.11 2.96 2.85 2.76 2.70 2.6515 4.54 3.68 3.29 3.06 2.90 2.79 2.71 2.64 2.59

3.01

543210

0.7

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0.0

f( F)

F

Når man skal finde det venstre kritiske punkt, kan man bruge følgende sammenhæng:

1,1,2

,2,1

1

kkkk F

F

F-tabellenF-fordelingen med 7 og 12 frihedsgrader

0.05

F7,12,0.05 = 3.011/F12,7,0.05 = 0.278

0.05

Det højresidet kritiske punkt:

F6,9,0.05 = 3.37

Det tilsvarende venstresidet punkt:

2439.010.4

11

05.0,6,995.0,9,6

FF

543210

0.7

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0.0

F

f(F)

F6,9,0.05 = 3.37F6,9,0.95 = 1/F9,6,0.05 = 0.2439

0.05

0.05

0.90

Kritiske punkter i F fordelingenF(6, 9), = 0.10

F-fordeling med 6 og 9 frihedsgrader

Stikprøve-variansen i to grupper Antag vi har to normalfordelte populationer.

Vi har n1 observationer fra population 1.

Lad s21 betegne stikprøve-variansen for pop. 1.

Lad betegne populations-variansen for pop.1

Vi har fra tidligere:

Tilsvarende for stikprøven fra population 2.

212

1

211

1~

)1(

n

sn

-fordelt med n1-1 frihedsgrader

Forholdet mellem to stikprøve-varianser Hvis de to stikprøver er uafhængige har vi:

Dvs.

Det kan omskrives til

212

1

211

1~

)1(

n

sn

212

2

222

2~

)1(

n

sn

og

1,1

222

222

121

211

21~

)1()1(

)1()1(

nnFn

sn

nsn

F

1,122

22

21

21

21~ nnFs

sF

22

21

1,1 21 s

sF nn

I: Tosidet test:

• 1 = 2

• H0: 1 = 2

• H1: 2

II:Ensidet test

• 12

• H0: 1 2

• H1: 1 2

I: Tosidet test:

• 1 = 2

• H0: 1 = 2

• H1: 2

II:Ensidet test

• 12

• H0: 1 2

• H1: 1 2

Test for ens variansTeststørrelsen til test for ens populations varians i to normalfordelte populationer er givet ved:

Hypoteser:

Signifikansniveau:

Population 1 Population 2

Teststørrelse:

EksempelKritiske værdier:

221

1

12.0

13

s

n22

2

2

11.0

9

s

n

35.085.2

11

85.2

28.3

05.0,12,895.0,12,8

05.0,12,8

05.0,8,12

FF

F

F

22

21

22

21

:H

:H

1

0

19.111.0

12.02

2

22

21 s

sF

H0 kan ikke afvises på signifikans-niveau 10%, da teststørrelsen ikke er større end 3.28 eller mindre end 0.35.

Eksempel i R Start med at definere alle variable

> n1 = 13; s1 = 0.12; n2 = 9; s2 = 0.11 Hefter kan vi udregne teststørrelsen

> f = s1^2/s2^2> f[1] 1.190083

De kritiske værdier finder vi vha.

> qf(c(0.05,0.95),n1-1,n2-1)[1] 0.3510539 3.2839390

Da 1.19 ligger mellem de to kritiske værdier kan vi ikke afvise H0.

10

Test vha. P-værdi Antag: F ~ Fn1-1,n2-1

Hvis F>1, så er P-værdien 2·P(F > F)

I R:

> 2*pf(f, n1-1, n2-1, lower.tail=F)[1] 0.8277536

Hvis F<1, så er P-værdien 2·P(F < F)

> 2*pf(f, n1-1, n2-1, lower.tail=T)

F

P-værdi = 2·

F

P-værdi = 2·

=

Vigtigste fordelinger i kurset Binomial B(n,p)

Normal N()

n

t t(n)

F F(k1,k2)

)(~

)1,0(~,,22

1

nZ

NZZZn

i

in

1i gælder

så , og uafh. Hvis

)(~)(~

)1,0(~2 ntnXZnX

NZXZ

gælder så

og og uafh. og Hvis

),(~)()()(~

)(~

212122

12

kkFkYkXkY

kXYX

gælder så og og uafh. og Hvis

),1(~)(~ 2 nFXntX gælder så Hvis