Statistik Non Parametrik€¦ · Modul Diklat Fungsional Statistisi Tingkat Ahli – Badan Pusat Statistik 3. Metode non-parametrik dapat digunakan meskipun data diukur dalam skala

Statistik

Non

Parametrik

EDISI KETIGA

Pusat Pendidikan dan Pelatihan

Badan Pusat Statistik

MODUL

STATISTIK NON PARAMETRIK

Penyusun

Dr. M. Ari Anggorowati, MT.

Editor

Dewita Nasution, M.Sc.

Edisi Ketiga

Desember, 2013

Badan Pusat Statistik

Jakarta

Sta ti s t ik Non Parametr ik | i

Modul Diklat Fungsional Statistisi Tingkat Ahli – Badan Pusat Statistik

KATA PENGANTAR

Sejalan dengan upaya mewujudkan Pegawai Negeri Sipil yang profesional

melalui jalur pendidikan dan pelatihan (Diklat), pembinaan diklat khususnya

Diklat Fungsional Statistisi Tingkat Ahli berbasis kompetensi terus dilakukan

sesuai dengan ketentuan-ketentuan yang diatur dalam Peraturan Pemerintah

Nomor 101 Tahun 2000 Tentang Pendidikan dan Pelatihan Jabatan Pegawai

Negeri Sipil; Keputusan Menteri Pendayagunaan Aparatur Negara Nomor

37/KEP/M.PAN/4/2003 Tentang Jabatan Fungsional Statistisi Dan Angka

Kreditnya; serta Keputusan Bersama Kepala Badan Pusat Statistik dan Kepala

Badan Kepegawaian Negara Nomor 003/KS/2003 Nomor 25 Tahun 2003 Tentang

Petunjuk Pelaksanaan Jabatan Fungsional Statistisi Dan Angka Kreditnya. Salah

satu upaya pembinaan yang ditempuh adalah melalui penerbitan modul Diklat.

Kehadiran modul Statistik Non Parametrik untuk Diklat Fungsional

Statistisi Tingkat Ahli ini memiliki nilai strategis karena menjadi acuan dalam

proses pembelajaran, sehingga kebijakan standarisasi penyelenggaraan Diklat

dapat terlaksana dengan baik. Modul ini dapat membantu widyaiswara atau

fasilitator Diklat dalam mendisain pengajaran yang akan disampaikan pada

peserta Diklat; membantu pengelola dan penyelenggara Diklat dalam

Penyelenggaraan Diklat; dan membantu peserta Diklat dalam mengikuti proses

pembelajaran.

Seiring dengan perkembangan lingkungan strategis yang berlangsung

dengan cepat khususnya terhadap dinamika kompetensi pegawai dalam tugasnya

melaksanakan tugas-tugas perstatistikan, maka kualitas modul utamanya

kesesuaian isi dengan persyaratan kompetensi pegawai yang mengalami

perkembangan perlu terus dipantau dan dilakukan penyempurnaan jika ditemukan

hal-hal yang tidak relevan lagi atau dianggap perlu untuk menambahkan isi dari

modul.

Untuk maksud tersebut diatas serta sebagai tindak lanjut dari Peraturan

Kepala Lembaga Administrasi Negara RI Nomor 5 Tahun 2009 Tentang Pedoman

Penulisan Modul Pendidikan dan Pelatihan, maka dilakukan penyempurnaan

terhadap keseluruhan modul Statistik Non Parametrik untuk Diklat Fungsional

Statistisi Tingkat Ahli yang meliputi substansi dan format.

ii | Sta ti st ik Non Parame tr ik


Modul ini merupakan bahan ajar minimal dalam Diklat dalam artian

bahwa setelah substansinya telah disesuaikan, widyaiswara atau fasilitator dapat

mengembangkan selama masih relevan dengan hasil belajar yang akan dicapai

dalam modul ini.

Selamat menggunakan modul ini, semoga melalui modul ini, kompetensi

statistik bagi peserta Diklat Fungsional Statistisi Tingkat Ahli dapat tercapai.

Jakarta, Desember 2013

KEPALA PUSAT PENDIDIKAN

DAN PELATIHAN

BADAN PUSAT STATISTIK

Dr. HERU MARGONO, M.Sc

NIP. 19610214 198312 1 001

Sta ti s t ik Non Parametr ik | iii


DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR ............................................................................................ i

DAFTAR ISI .................................................................................................... iii

Tujuan Pembelajaran Umum ............................................................................. v

Tujuan Pembelajaran Khusus ........................................................................... v

Bab 1 Pendahuluan ........................................................................................ 1

1.1 Kelebihan dan Kekurangan Metode Non-Parametrik ........................ 1

1.2 Pedoman Umum Memilih Metode Non-Parametrik .......................... 2

1.3 Menentukan Ukuran Sampel ............................................................ 3

2.1 Uji Binomial ...................................................................................... 6

2.2 Pearson Khi Kuadrat ........................................................................ 7

2.3 Kolmogorov-Smirnov Uji Satu Sampel ........................................... 10

2.4 Uji Run Satu Sampel ...................................................................... 11

Bab 3 Uji Komparatif Dua Sampel ............................................................... 13

3.1 Uji Komparatif Dua Sampel Berpasangan ..................................... 13

3.1.1 Mc Nemar Test ............................................................................ 13

3.1.2 Sign Test (Uji Tanda) .................................................................. 16

3.1.3 Wilcoxon Match Pairs Test .......................................................... 18

3.1.4 Uji Walsh ..................................................................................... 20

3.1.5 Uji Randomisasi 2 Sampel Berhubungan .................................... 21

3.2 Uji Komparatif Dua Sampel Independen ........................................ 22

3.2.1 Uji Exact Fisher ........................................................................... 22

3.2.2 Uji Independensi Sampel Besar .................................................. 26

3.2.3 Uji Median ................................................................................... 28

3.2.4 Uji U Mann-Whitney .................................................................... 30

3.2.5 Uji Randomisasi untuk Dua Sampel Independen ......................... 32

iv | Sta ti s t ik Non Parametr ik


Bab 4 Uji Komparatif k-Sampel Independen dan Berpasangan................. 34

4.1 k-Sampel Berpasangan ................................................................. 34

4.1.1 Uji Q-Cochran ................................................................................ 34

4.1.2 Analisis Varian Ranking Dua Arah Friedman. .............................. 34

4.2 k- Sampel Independen .................................................................. 35

4.2.1 Uji Khi-Kuadrat k-sampel Independen. ........................................ 35

4.2.2 Perluasan Uji Median .................................................................. 36

4.2.3 Analisis Varian Ranking Satu Arah Kruskal-Wallis. ...................... 36

Bab 5. Uji Kenormalan ..................................................................................... 38

5.1 Uji Kolmogorov–Smirnov ................................................................ 38

5.2 Uji Normal Lilliefors untuk Sampel Besar ........................................ 41

5.3 Uji Shapiro Wilks ............................................................................ 43

Daftar Pustaka .................................................................................................. 55

Sta ti s t ik Non Parametr ik | v


Tujuan Pembelajaran Umum

Setelah mempelajari materi ini peserta dapat memahami konsep

metode non parameterik secara umum dan mampu

mengaplikasikannya.

Tujuan Pembelajaran Khusus

Setelah mempelajari materi ini secara khusus, peserta dapat:

1. Memahami penggunaan metode non-parametrik;

2. Melakukan uji non-parametrik untuk satu sampel

3. Melakukan uji non-parametrik untuk data sampel berpasangan

4. Melakukan uji non-parametrik untuk data sampel tidak

berpasangan (independent)

Sta ti s t ik Non Parametr ik | 1


Bab 1 Pendahuluan

Beberapa metode statistik yang menyangkut pendugaan parameter,

pengujian hipotesis, pembentukan selang kepercayaan (confidence

interval) dan hubungan antara beberapa sifat sudah umum digunakan.

Metode-metode itu berlandaskan pada asumsi-asumsi tertentu yang

telah disusun terlebih dahulu. Jika seandainya asumsi-asumsi ini tidak

sesuai dengan keadaan sebenarnya, apalagi kalau menyimpang, maka

metode tersebut tidak dapat dijamin atau bahkan dapat menyesatkan.

Salah satu asumsi yang umum dianggap berlaku adalah bahwa

variabel acak atau populasi yang diselidiki mempunyai sebaran

tertentu yang diketahui, untuk ini biasanya diambil sebaran normal.

Karena sebaran variabel acak itu telah dianggap diketahui, maka

masalah yang dihadapi akan tersangkut-paut dengan pendugaan,

pengujian hipotesis atau pembentukan selang kepercayaan bagi

parameter-parameter dari sebaran tersebut, sehingga dinamakan

metode parametrik.

Menurut kenyataan, ada kalanya variabel-variabel acak yang dihadapi

tidak dapat dianggap menyebar normal, atau bahkan sama sekali tidak

diketahui sebarannya. Ini dapat terjadi kalau nilai variabel acak yang

diamati dalam bentuk data skala nominal dan skala ordinal dan tidak

dilandasi persyaratan data harus sebaran normal, atau memang bentuk

sebaran variabel acak itu tidak dapat diketahui. Dengan demikian,

parameter dari sebaran itu pun tidak lagi menjadi pokok persoalan.

Metode statistik yang tidak memerlukan suatu anggapan tertentu

mengenai bentuk sebaran atau parameter yang diselidiki disebut

metode non-parametrik.

1.1 Kelebihan dan Kekurangan Metode Non-Parametrik

Beberapa keuntungan yang dapat diperoleh jika kita memilih metode

non-parametrik ialah :

1. Jika ukuran sampel kecil, tak ada pilihan lain yang lebih baik

daripada menggunakan metode non-parametrik.

2. Karena memerlukan sedikit asumsi, metode non-parametrik

penerapannya lebih luas. Disamping itu, kemungkinan

digunakan secara salah (karena pelanggaran asumsi) lebih kecil

daripada metode parametrik.

2 | Stati st ik Non Parame tr ik


3. Metode non-parametrik dapat digunakan meskipun data diukur

dalam skala ordinal atau peringkat.

4. Beberapa metode non-parametrik dapat digunakan meskipun

data diukur dalam skala nominal.

5. Beberapa uji non-parametrik dapat membedakan sejumlah

sampel. Beberapa uji parametrik dapat dipakai untuk

menganalisis persoalan serupa, tetapi menuntut asumsi yang

hampir tidak mungkin dipenuhi.

6. Para peneliti dengan dasar sedikit matematika yang kurang akan

merasakan bahwa metode non-parametrik mudah dipahami.

Metode non-parametrik bukan tanpa kekurangan. Beberapa

kekurangan yang perlu diketahui ialah :

1. Metode non-parametrik secara ilmu statistik kurang kuat

(rigorous) dibandingkan metode parametrik.

2. Jika asumsi untuk metode parametrik terpenuhi, dengan ukuran

sampel yang sama, metode non-parametrik kurang memiliki

kuasa (power) dibanding metode parametrik.

3. Penyederhanaan skala data (data reduction) dari skala rasio atau

interval ke skala ordinal atau nominal merupakan pemborosan

(detail) informasi yang sudah dikumpulkan.

1.2 Pedoman Umum Memilih Metode Non-Parametrik

Untuk menentukan Metode Non-parametrik mana yang akan

digunakan, maka perlu diketahui terlebih dahulu skala data yang akan

dianalisis (nominal, ordinal) dan bentuk uji (deskriptif, komparatif,

asosiatif). Tabel 1.1 berikut merupakan pedoman umum yang dapat

digunakan untuk menentukan Metode Non-parametrik yang akan

digunakan dalam penelitian.



Tabel 1. Pedoman Umum Memilih Metode Non Parametrik

Bentuk Hipotesis

Skala Data Deskriptif

Komparatif 2 Sampel Komparatif Banyak Sampel Hubungan

(1 sampel) Berpasangan Independen Berpasangan Independen

Nominal binomial Mc. Nemar Fisher Q-Cochran Chi koefisien Exact Kuadrat konti-

Probability k Sampel ngensi (C)

chi kuadrat Chi 1 sampel

Kuadrat

2 sampel

Ordinal Kolmogorov- Sign Test Median Friedman Median Korelasi Smirnov Test Extension Spearman

1 Sampel U Mann Rank

Whitney

Wilcoxon Test Kruskal

Run Test Matched Kolmogorov- Wallis Korelasi Pairs Smirnov Kendal

Wald Tau Wolfowits

Interval - Uji Walsh Uji - - - Uji Randomisasi Randomisasi

1.3 Menentukan Ukuran Sampel

Sampel yang baik adalah sampel yang representatif/mewakili.

Banyaknya sampel yang akan digunakan sebagai sumber data

tergantung pada tingkat kepercayaan yang dikehendaki. Bila tingkat

kepercayaan 95 %, maka sampel akan lebih kecil dari jumlah anggota

Populasi. Jika sampel besar akan besar pula non sampling error.

(Modul Teknik Sampling)

Krejcie dan Morgan (1970) telah memberikan panduan kepada kita

dalam menentukan jumlah anggota sampel dari tertentu dengan taraf

kepercayaan 95 %. Lihat Tabel 2

Dari tabel 2 terlihat bahwa, bila jumlah anggota populasi N = 100,

maka jumlah anggota (s) yang diperlukan = 80. Bila jumlah anggota

populasi 1.000, maka jumlah sampel yang diperlukan = 285.

Selanjutnya bila jumlah anggota populasi N = 100.000, maka jumlah

sampel yang diperlukan = 384

Roscoe dalam bukunya, Research Methods for Bussiness (1992: 253)

memberikan saran-saran tentang ukuran sampel sebagai berikut:



1. Ukuran sampel yang layak digunakan dalam penelitian adalah

lebih dari 30.

2. Bila sampel dibagi dalam kategori (pria–wanita, pegawai

negeri–swasta) maka sampel setiap kategori minimal 30.

3. Bila dalam penelitian akan melakukan analisis dengan

multivariabel, maka jumlah sampel minimal 10 kali dari jumlah

variabel yang diteliti. Misal variabel penelitiannya ada 5

(independen + dependen) maka sampel = 10 x 5 x 30 = 1500

4. Untuk penelitian eksperimen yang sederhana, yang

menggunakan kelompok eksperimen dan kelompok kontrol,

eksperimen akan lumpuh (poliomyelitis satu juta bocah)

5. Uji Normal Shapiro Wilks dengan Software SAS atau SPSS

Base menjalankan sampel sedang < 2000 dan sampel kecil <

100



Tabel 2. Penentuan Sampel Dengan Taraf Kepercayaan 95 % (Krejcie

dan Morgan 1970)

(N)

Jumlah

Anggota

Populasi

(s)

Sampel

(N)

Jumlah

Anggota

Populasi

(s)

Sampel

(N)

Jumlah

Anggota

Populasi

(s)

Sampel

10 10 220 140 1.200 291

15 14 230 144 1.300 297

20 19 240 141 1.400 302

25 24 250 152 1.500 306

30 28 260 155 1.600 310

35 32 270 159 1.700 313

40 36 280 162 1.800 317

45 40 290 165 1.900 320

50 44 300 169 2.000 322

55 48 320 175 2.200 327

60 52 340 181 2.400 331

65 56 360 186 2.600 335

70 59 380 191 2.800 338

75 63 400 196 3.000 341

80 66 420 201 3.500 346

85 70 440 205 4.000 351

90 73 460 210 4.500 354

95 76 480 214 5.000 357

100 80 500 217 6.000 361

110 86 550 226 7.000 364

120 92 600 234 8.000 367

130 97 650 242 9.000 368

140 103 700 248 10.000 370

150 108 750 254 15.000 375

160 113 800 260 20.000 377

170 118 850 265 30.000 379

180 123 900 269 40.000 380

190 127 950 274 50.000 381

200 132 1.000 278 75.000 382

210 136 1.100 285 100.000 384



Bab 2 Uji Satu Sampel

Dalam uji deskriptif, dugaan terhadap nilai satu variabel dalam satu

sampel walaupun di dalamnya bisa terdapat beberapa kategori.

Metode Non-parametrik yang digunakan untuk uji deskriptif satu

sampel bila data nominal adalah Uji Binomial dan Khi Kuadrat ( 2).

Selanjutnya untuk menguji satu sampel bila datanya ordinal adalah

Kolmogorov-Smirnov uji satu sampel dan Run Test.

2.1 Uji Binomial

Sebaran Binomial merupakan salah satu sebaran peluang yang paling

banyak dijumpai pada statistik terapan. Sebaran itu merupakan hasil

dari suatu proses yang disebut percobaan Bernoulli. Jika sebuah

percobaan menghasilkan satu dari dua kemungkinan hasil yang saling

terpisah (mutually exclusive), misal mati atau hidup, sakit atau sehat,

laki-laki atau perempuan, percobaan itu disebut percobaan Bernoulli.

Percobaan Bernoulli dilakukan pada keadaan yang tiga hal berikut

terpenuhi:

1. Setiap percobaan menghasilkan salah satu dari dua

kemungkinan hasil yang saling terpisah, yaitu “sukses” atau

“gagal”. Sebutan “ sukses” dan “gagal” ditentukan menurut

kehendak kita.

2. Peluang “sukses”, ditulis sebagai p, adalah tetap dari satu

percobaan ke percobaan lain. Peluang “gagal” adalah 1 - p,

ditulis sebagai q.

3. Percobaan-percobaan bersifat independen, artinya hasil dari satu

percobaan tidak mempengaruhi hasil percobaan lain.

Bagaimana cara mengetahui peluang untuk memperoleh sejumlah

“sukses” dari satu seri observasi berukuran n ? Jika jumlah objek

berelemen “sukses” dari satu seri observasi berukuran n, kita sebut x,

maka peluang untuk memperoleh sejumlah k objek berelemen

“sukses” (x), adalah sebagai berikut:

knk

r

n qpCkxP 00)( , k= 0, 1, 2, … , n

Dengan :

p0 = proporsi “sukses” dalam populasi

q0 = proporsi “gagal” dalam populasi



Contoh 2.1:

Misalkan 0,3 bagian dari populasi menderita Sarkoma Kaposi

meninggal dalam tempo satu tahun, dan 0,7 bagian lainnya bertahan

hidup dalam waktu yang sama. Kita dapat mengetahui peluang suatu

sampel acak penderita Sarkoma Kaposi berukuran n=5, dengan k=4

orang diantaranya akan meninggal dalam waktu satu tahun,. Caranya

sebagai berikut :

0283,0)7,0)(0081,0(!1!4

!5)7,0()3,0()4( 14

4

5CxP

Dalam praktek, nilai peluang yang dibutuhkan untuk menjawab

pernyataan-pernyataan hipotesis tentang proporsi baik dalam uji satu

sisi maupun dua sisi, adalah peluang untuk memperoleh suatu nilai

teramati plus nilai-nilai lainnya yang lebih ekstrem dari nilai itu.

Peluang demikian disebut peluang komulatif. Dalam contoh diatas

kita dapat menentukan peluang untuk memperoleh suatu sampel acak

penderita Sarkoma Kaposi berukuran n = 5, dengan k 4 orang akan

meninggal dalam tempo satu tahun. Caranya adalah dengan

menjumlahkan peluang-peluang P(x = 4), P(x= 3), P(x=2), P(x=1),

P(x=0), Jadi:

P(x 4) = P(x = 4) + P(x= 3) + P(x=2) + P(x=1) + P(x=0)

P(x 4) = 0.0283 + 0.1323 + 0.3087 + 0.3601 = 0.9975

Kita juga dapat menghitung besarnya peluang untuk memperoleh

suatu sampel acak penderita Sarkoma Kaposi berukuran n = 5, dengan

k > 4 orang akan meninggal dalam tempo satu tahun, sebagai berikut :

P ( x > 4) = 1 - P(x 4) = 1 – 0.9975 = 0.0025

2.2 Pearson Khi Kuadrat

Khi Kuadrat (2) satu sampel adalah metode yang digunakan untuk uji

deskriptif bila dalam populasi terdiri atas dua atau lebih kelas, data

skala nominal dan sampel besar. Yang dimaksud uji deskriptif di sini

bisa merupakan dugaan terhadap ada tidaknya perbedaan frekuensi

antara kategori satu dan kategori lain dalam sebuah sampel.



Uji Khi Kuadrat berguna untuk tiga macam kebutuhan yaitu :

1. uji kesesuaian (test of goodness of fit). Dengan uji kesesuaian,

suatu sebaran sampel dievaluasi apakah sesuai (fit) dengan tabel

kontingensi (lihat Tabel 3),

2. uji independensi (test of independence). Dengan uji

independensi diperiksa apakah dua buah variabel dari sebuah

sampel saling tergantung atau tidak saling tergantung,

3. uji homogenitas (test of homogenity). Dengan uji homogenitas,

beberapa sampel dievaluasi apakah berasal dari populasi-

populasi yang sama (homogen) dalam hal variabel tertentu.

Dalam uji Khi Kuadrat, satu hal yang perlu diingat ialah bahwa cara

kategorisasi, baik frekuensi observasi maupun frekuensi harapan harus

sama, agar memungkinkan perbandingan secara proporsional. Yang

dimaksud dengan frekuensi harapan ialah :

1. Frekuensi teoritis yang diharapkan muncul pada keadaan yang

diduga harus sama dalam tiap kategori.

2. Frekuensi dari suatu sebaran sampel harus sama dalam tiap

kategori.

Format data untuk uji Khi Kuadrat.

Tabel 3. Format Data Tabel Kontingensi

Rumus Khi Kuadrat adalah sebagai berikut :

ji ij

ijij

E

EO

,

2

2)(

Variabel 1 Variabel 2

Total Kategori 1 Kategori 2 … Kategori c

Kategori 1 O11 O12 … O1c n1.


… … … Oij … ni.

Kategori r Or1 Or2 … Orc nr.

Total n.1 n.2 n.j n.c n



dimana:

O ij = frekuensi teramati dari sel baris ke–i dan kolom ke–j

ijE = frekuensi harapan dari sel baris ke–i dan kolom ke-j

n

xnnE

ji

ij

..

Contoh untuk 2 kategori:

Salah satu organisasi perempuan ingin mengetahui apakah wanita

berpeluang yang sama dengan pria untuk menjadi kepala desa. Untuk

itu maka perlu dilakukan penelitian. Populasi penelitian adalah

masyarakat desa. Calon yang satu adalah Wanita dan calon yang

kedua adalah Pria. Sampel sebagai sumber data diambil secara random

sebanyak 300 orang dari sampel tersebut ternyata 200 orang memilih

pria dan 100 orang memilih wanita.

1. Peluang Pria dan Wanita Untuk Menjadi Kepala Desa adalah

sama (hipotesis) alternative (

Peluang pria untuk menjadi kepala desa tidak sama dengan

peluang wanita untuk menjadi kepala desa.

2. Data :

Tabel 4. Perolehan Suara Calon Pria dan Calon Wanita

Kepala Desa Frekuensi yang

diperoleh

Frekuensi yang

diharapkan

Calon Pria 200 150

Calon Wanita 100 150

Jumlah 300 300

3. Uji yang diajukan :

frekuensi masyarakat yang memilih calon Kades Pria dan

Wanita adalah sama

4. Untuk dapat menghitung Khi Kuadrat ( 2), maka diperlukan

tabel penolong seperti yang ditunjukkan pada Tabel 5.

10 | Stati st ik Non Parametr ik


Tabel 5. Tabel Operasi Penghitungan

Pilihan

fo

fe

fo – fe

(fo – fe)2 e

eo

f

ff2

Pria 200 150 50 2.500 16.67

Wanita 100 150 -50 2.500 16.67

Jumlah 300 300 0 33.33

Berdasarkan perhitungan dengan menggunakan tabel penolong

Khi Kuadrat = 33.33

Dengan taraf keyakinan 95 % atau = 5 % maka 2tabel =

3.84, karena 2

hitung > 2

tabel maka dugaan ditolak ditolak.

4. Kesimpulan: peluang untuk terpilih sebagai kepala desa antara

pria dan wanita tidak sama.

2.3 Kolmogorov-Smirnov Uji Satu Sampel

Kolmogorov-Smirnov uji satu sampel adalah suatu tes goodness of fit. Tes ini

berkaitan dengan derajat kesesuaian antara distribusi sampel dan beberapa teori

distribusi. Tes ini menggunakan cumulative frequency distribution (cfd) dan

membandingkan cfd dari data observasi.

Jika adalah fungsi cdf dari , untuk suatu nilai nilai adalah

proporsi untuk suatu nilai sama dengan atau lebih kecil dari . adalah cfd

dari data observasi dari sampel obeservasi. Dengan adalah nilai yang

mungkin, maka dengan nilai observasi sama dengan atau lebih

kecil dari .

Pada hipotesis nol, sampel sudah digambarkan dalam suatu teori distribusi

tertentu, dan diharapkan bahwa setiap nilai dari , mendekati nilai

Dengan demikian, pada dapat diharapkan perbedaan nilai antara dan

adalah kecil dalam limit dari error. Kosmogorov-Smirnov fokus pada

deviasi terbesar. Deviasi terbesar dari disebut sebagai deviasi

maksimum, D:

Distribusi sampel dari pada diketahui. Nilai kritis dapat mengacu pada

“tabel nilai kritis Kolmogorov-Smirnov uji satu sampel” (Siegel, 1992). Nilai

signifikansi tergantung pada N.



2.4 Uji Run Satu Sampel

Pada beberapa tahun terakhir dikembangkan metoda dimana uji hipotesis

dilakukan pada suatu sampel yang random. Teknik yang dilakukan adalah

berdasarkan urutan dari observasi. Teknik ini ditunjukkan dengan sejumlah run

yang dilakukan oleh sampel. Sebuah run didefinisikan sebagaikeberhasilan dari

identifikasi symbol yang diikuti oleh symbol yang berbeda dengan symbol yang

lain. Sebagai contoh serangkaian urutan seri dari symbol plus dan minus adalah

sebagai berikut:

++ --- + ---- ++ - +

Urutan tersebut dimulai dengan run 2 positif kemudian diikuti oleh run berikutnya

run tiga minus, kemudian diikuti dengan satu positif danseterusnya. Sehingga

barisan tersebut dapat dituliskan:

+ + - - - + - - - - + + - +

1 2 3 4 5 6 7

Sehingga terdapat 7 runs : jumlah dari runs . Jika adalah jumlah suatu

elemen dan adalah jumlah dari elemen yang lain, maka dengan

adalah jumlah dari observasi.

Data kecil:

Jika kedua dan sama dengan atau lebih kecil dari 20 maka pada Tabael F

menunjukkan nilai kritis dari pada untuk Nilai kritis dari distribusi

sampel dibawah . Jika r ada adalah sama atau lebihdari nilai kritis, maka

dterima. Tetapi jika r ada pada antara daerah kritis, maka ditolak.

Data besar:

Jika dan lebih dari 20, maka tabel tidak dapat digunakan. Estimasi terbaik

pada distribusi sampel dari adalah distribusi normal dengan:

Mean +1 dan

Standar deviasi



Kemudian ketika atau lebih besar dari 20 maka dapat diuji dengan:



Bab 3 Uji Komparatif Dua Sampel

3.1 Uji Komparatif Dua Sampel Berpasangan

Menguji ada tidaknya perbedaan yang signifikan antara nilai variabel

dari dua sampel yang berpasangan. Sampel yang berpasangan dapat

berupa :

1. Satu sampel yang diukur dua kali

2. Dua sampel berpasangan diukur bersama.

Metode non parametrik yang digunakan untuk uji komparatif sampel

berpasangan bila data skala nominal adalah Mc Nemar Test dan untuk

data skala ordinal adalah Sign Test

3.1.1 Mc Nemar Test

Uji komparatif dua sampel yang berpasangan bila data skala nominal.

Mc Nemar Test mengikuti sebaran Khi Kuadrat (2), Oleh karena itu

digunakan rumus Khi Kuadrat (sampel besar).

ei

eii

f

ff 2

02 )(

Dimana:

f0= Banyaknya frekuensi yang diamati dalam kategori ke-i

fe= Banyaknya frekuensi yang diharapkan di bawah Ho dalam

kategori ke-i

Sebagai panduan untuk menguji signifikansi setiap perubahan, maka

data perlu disusun ke dalam tabel segi empat ABCD seperti berikut :

Tabel 6. Signifikansi Perubahan Banyaknya Kejadian

Sebelum Sesudah

- +

+ A B

- C D



Uji signifikansi hanya berkenan dengan A dan D karena hanya sel A

dan D yang mengalami perubahan. Jika A = banyak kasus yang

diamati dalam sel A, dan D banyak kasus yang diamati dalam sel D,

serta ½ ( A+D ) banyak kasus yang diharapkan baik di sel A maupun

D, rumus tersebut dapat lebih disederhanakan menjadi rumus :

)(

)( 22

DA

DA

Rumus tersebut akan semakin baik dengan adanya koreksi kontinuitas

yang diberikan oleh Yates dengan mengurangi nilai 1, maka rumus

disempurnakan menjadi sebagai berikut :

)(

)1( 2

2

DA

DA

Contoh :

Suatu perusahaan ingin mengetahui pengaruh sponsor yang diberikan

dalam suatu pertandingan olah raga terhadap nilai penjualan

barangnya. Dalam penelitian ini digunakan sampel yang diambil

secara acak sebesar 200. Sebelum sponsor diberikan, terdapat 50

orang yang membeli barang tersebut, dan 150 orang tidak membeli.

Setelah sponsor diberikan dalam pertandingan olah raga, ternyata dari

200 0rang tersebut terdapat 125 orang yang membeli dan 75 orang

tidak membeli. Dari 125 orang tersebut terdiri atas pembeli tetap 40,

dan yang berubah dari tidak membeli menjadi membeli ada 85.

Selanjutnya dari 75 orang yang tidak membeli itu terdiri atas orang

yang berubah dari membeli menjadi tidak membeli ada 10 orang, dan

yang tetap tidak membeli ada 65 orang. Untuk mudahnya data disusun

dalam tabel 4.1

Jawab:

Tabel 7. Penjualan Perusahaan Setelah ada Sponsor

Sebelum ada

sponsor

Setelah ada sponsor

Membeli 50 125 = 40 + 85

Tidak

Membeli

150

75 =

65

+ 10

Jumlah 200 200 105 95



a. : Tidak terdapat perbedaan jumlah penjualan sebelum dan

sesudah ada sponsor

: ada perbedaan jumlah penjualan sebelum dan sesudah ada

sponsor

b. Uji Statistik

2 hitung

2 tabel tidak ada perbedaan

> 2 tabel ada beda

Untuk memudahkan perhitungan, maka isi Tabel 7 disusun

kembali menjadi Tabel 8

Tabel 8. Perubahan Penjualan Terkait dengan Sponsor

Perilaku Konsumen Membeli Tidak membeli

Tidak membeli 85 ( A ) 65 ( B ) Tanpa Sponsor

Membeli 40 ( C ) 10 ( D )

Dengan Sponsor

Jadi 642.57

95

11085122

2

DA

DA

2

tabel = 3.84

c. Keputusan :

Karena 2 hitung > 2tabel tolak atau terima

d. Kesimpulan :

Jadi terdapat perbedaan penjualan setelah dan sebelum ada

sponsor, dimana setelah ada sponsor pembeli meningkat. Karena

pembeli sesudah ada sponsor meningkat berarti sponsor yang

diberikan pada pertandingan olah raga mempunyai pengaruh

yang nyata terhadap penjualan.



3.1.2 Sign Test (Uji Tanda)

Sign Test digunakan untuk uji komparatif dari dua kondisi yang

berbeda untuk dua sampel yang berpasangan, bila data berskala

ordinal. Uji ini dinamakan uji tanda (sign test) karena data yang

dianalisis dinyatakan dalam bentuk tanda-tanda, yaitu tanda positif

dan negatif. Jadi, dalam hal ini tidak menanyakan berapa pengaruhnya

secara kuantitatif, tetapi hanya pernyataan mempunyai pengaruh

positif atau negatif.

Untuk sampel yang kecil (n 30) pengujian dilakukan dengan meng-

gunakan prinsip-prinsip sebaran Binomial dengan p = q = 0,5.

Sedangkan untuk sampel yang besar (>30) dapat dilakukan pengujian

Khi Kuadrat, yang rumusnya adalah :

)(

)1(

21

2

212

nn

nn

Dimana :

n1 = Banyak data positif

n2 = Banyak data negatif

Contoh :

Suatu perusahaan ingin mengetahui pengaruh adanya kenaikan uang

insentif terhadap kesejahteraan karyawan. Dalam penelitian itu dipilih

20 pegawai beserta istrinya secara random. Jadi terdapat 20 pasangan

suami istri. Masing-masing suami dan istri diberi angket untuk diisi,

dengan menggunakan pertanyaan sebagai berikut :

Berilah penilaian tingkat kesejahteraan keluarga bapak/ibu sebelum

dan sesudah adanya kenaikan insentif dari perusahaan dimana bapak

bekerja. Rentang nilai adalah 1 s/d 10. Nilai 1 berarti tidak sejahtera

dan 10 berarti sangat sejahtera.

Nilai sebelum ada kenaikan insentif ------------------------

Nilai setelah ada kenaikan insentif

------------------------------------



Penelitian di perusahaan X didapatkan data sebagai berikut :

Tabel 9. Data Tingkat Kesejahteraan Keluarga Menurut Istri dan

Suami

Data dari Istri Data dari Suami

Sebelum Sesudah Beda Rank Peruba

han

Sebelum Sdh Beda Rank Perubah

an

2 4 2 4 1 6 5 1

2 3 1 5 4 6 2 4

4 6 2 4 2 3 1 5

5 7 2 4 6 7 1 5

4 5 1 5 2 4 2 4

2 4 2 4 3 6 3 3

1 3 2 4 1 4 3 3

2 6 4 2 2 7 5 1

1 6 5 1 1 4 3 3

7 9 2 4 2 3 1 5

4 7 3 3 4 8 4 2

5 9 4 2 6 9 3 3

2 4 2 4 2 7 5 1

3 5 2 4 2 6 4 2

6 9 3 3 5 9 4 2

3 7 4 2 1 6 5 1

2 4 2 4 4 5 1 5

3 8 5 1 2 6 4 2

1 2 1 5 1 3 2 4

2 3 1 5 2 4 2 4

Jawab :

a. Tidak ada pengaruh insentif terhadap kesejahteraan

keluarga baik menurut istri maupun suami.

Ada pengaruh insentif terhadap kesejahteraan keluarga baik

menurut istri maupun suami.

b. Uji statistik

45.220

49

137

113712

21

2

212

nn

nn

2 tabel = 3.841



Tabel 10. Peringkat Perubahan Kesejahteraan Keluarga Menurut

Pasangan Istri dan Suami

No Tingkat Perubahan

Arah Tanda Istri Suami

1. 4 1 4 > 1 -

2. 5 4 5 > 4 -

3. 4 5 4 < 5 +

4. 4 5 4 < 5 +

5. 5 4 5 > 4 -

6. 4 3 4 > 3 -

7. 4 3 4 > 3 -

8. 2 1 2 > 1 -

9. 1 3 1 < 3 +

10. 4 5 4 < 5 +

11. 3 2 3 > 2 -

12. 2 3 2 < 3 +

13. 4 1 4 > 1 -

14. 4 2 4 > 2 -

15. 3 2 3 > 2 -

16. 2 1 2 > 1 -

17. 4 5 4 < 5 +

18. 1 2 1 < 2 +

19. 5 4 5 > 4 -

20. 5 4 5 > 4 -

d. Keputusan

Karena 2

hitung < 2tabel terima

e. Kesimpulan :

Tidak ada pengaruh yang positif dan signifikan kenaikan

insentif terhadap kesejahteraan keluarga baik menurut suami

maupun istri. Kalaupun dalam data terlihat ada pengaruh positif,

tetapi adanya pengaruh itu hanya terjadi pada sampel tersebut.

3.1.3 Wilcoxon Match Pairs Test

Uji ini merupakan penyempurnaan dari uji tanda (sign test). Kalau

dalam uji tanda besarnya selisih nilai angka antara positif dan negatif

tidak diperhitungkan, sedangkan dalam uji Wilcoxon ini

diperhitungkan. Seperti dalam uji tanda, uji ini digunakan untuk dua

sampel yang berpasangan bila data skala ordinal (berjenjang).



Bila sampel pasangan (n > 25 ) maka sebaran akan mendekati sebaran

normal. Untuk itu digunakan rumus z.

T

TTZ

Dimana: T = jumlah jenjang/rangking yang kecil.

Contoh :

Pada suatu kantor Pemerintah dilakukan penelitian untuk mengetahui

pengaruh ruangan yang diberi AC terhadap produktivitas kerja.

Pengumpulan data terhadap produktivitas kerja pegawai dilakukan

pada waktu AC sebelum dan sesudah dipasang. Data produktivitas

kerja pegawai sebelum AC dipasang adalah Xa dan sesudah dipasang

adalah Xb. Jumlah pegawai yang digunakan sebagai sumber data = 10.

Jawab :

a. Uji pernyataan:

Tidak terdapat perbedaan produktivitas kerja pegawai sebelum

dan sesudah memakai AC. Jadi AC tidak berpengaruh terhadap

produktivitas kerja pegawai.

b. Tabel 11. Pengaruh AC pada Produktivitas Kerja

No. Xa Xb Beda Tanda Jenjang

Xa Xb Jenjang + -

1. 100 105 + 5 7.5 7.5

2. 98 94 - 4 5.5 0.0 5.5

3. 76 78 + 2 2.5 2.5

4. 90 98 + 8 9.0 9.0

5. 87 90 + 3 4.0 4.0

6. 89 85 - 4 5.5 0.0 5.5

7. 77 86 + 9 10.0 10.0

8. 92 87 - 5 7.5 0.0 7.5

9. 78 80 + 2 2.5 2.5

10. 82 83 + 1 1.0 1.0

Jumlah T = 36.5 18.5

T= tanda jenjang yang nilainya terkecil



Dimana :

T = jumlah jenjang/rangking yang kecil pada contoh di atas =

18.5 Karena jumlah sampelnya kecil (n=10) maka tabel referensi

yang dipakai adalah Tabel G. Berdasarkan Tabel G untuk n=10

maka T tabel=4, karena T hitung = 18.5 lebih dari T tabel=4

maka keputusannya adalah tolak untuk .

Kesimpulan: AC tidak berpengaruh pada produktivitas kerja

pegawai.

Untuk n= 25 maka rumus yang digunakan adalah:

5.274

11010

4

1nn

811.924

12011010

24

121 nnn

918.811.9

5.275.18z

z tabel = 1.96 maka tidak ada perbedaan produktifitas, karena z

hitung < z tabel -.918 < -1.96

3.1.4 Uji Walsh

Jika dalam eksperimen dapat dianggap bahwa skor-skor selisih yang

diobservasi dalam dua sampel yang berhubungan berasal dari populasi

simetris, pembuat eksperimen dapat menggunakan tes yang

dikembangkan oleh Walsh, yang sangat tinggi kekuatannya.

Perhatikanlah bahwa anggapannya bukanlah bahwa id berasal dari

populasi normal (yang merupakan anggapan uji t parametrik), dan

perlu diingat pula bahwa id tidak harus dari populasi yang sama.

Asumsi pada uji ini ialah bahwa populasinya simetris, sehingga mean-

nya merupakan gambaran yang akurat dari nilai tengah, dan sama

dengan median. Uji Walsh ini menuntut pengukuran sekurang-

kurangnya dalam skala interval.

Metode:

Pertama kali tentukan skor selisih dari masing-masing N pasangan

( id ). Harga-harga id itu kemudian diatur dalam urutan besarnya.



Dalam tanda tiap-tiap id diperhatikan. Tetapkan 1d = skor selisih yang

terendah (mungkin saja bernilai negatif), kemudian 2d = skor yang

kedua dari yang paling rendah, dan seterusnya hingga Nd .

Hipotesis nol yang diuji adalah bahwa harga-harga id itu ditarik dari

populasi yang mediannya = 0 (atau dari sekelompok populasi yang

memiliki median bersama yang = 0), Dalam suatu distribusi simetris,

mean dan median berimpit. Uji Walsh menganggap bahwa sejumlah

id itu adalah dari populasi dengan distribusi nol. Oleh karena itu, 0H

ialah rata-rata skor selisih ( 0 ) adalah nol. Untuk uji dua sisi, 1H ialah

1 > 0 atau bahwa 1 < 0. Keputusan tolak ataupun tidak tolaknya 0H ,

dilakukan dengan menggunakan bantuan Tabel H ( Tabel Uji Walsh).

3.1.5 Uji Randomisasi 2 Sampel Berhubungan

Uji ini membantu memperoleh kemungkinan yang eksak akan

munculnya data yang ada dalam observasi kita dibawah 0H . Selain

itu, kita tidak memerlukan asumsi kenormalan dan juga homogenitas

varian. Dengan persyaratan-persyaratan tertentu, uji ini merupakan uji

nonparametrik yang paling kuat di antara yang lain, dan dapat

digunakan apabila pengukurannya sedemikian rupa sehingga harga

skor bermakna numerik.

Metode:

1. Hitung nilai beda (di) untuk setiap pasangan anggota kelompok

sampel pertama dan kedua.

2. Tentukan jumlah peluang semua kombinasi (di) yang memiliki

kemungkinan akan muncul di bawah Ho, yaitu sebesar 2n (n =

jumlah pasangan yang menjadi anggota kelompok sampel

pertama dan kedua)

3. Tentukan jumlah peluang sebagian kombinasi (di) yang

memiliki kemungkinan akan muncul di daerah penolakan, yaitu

sebesar ( x 2n).



4. Buat ilustrasi berbagai kombinasi (di) yang berpeluang muncul

di daerah penolakan dengan cara memilih kombinasi peluang

dengan ( di) paling besar (positif) dan ( di) paling kecil

(negatif).

5. Untuk pengujian satu sisi, peluang kombinasi (di) yang ada di

daerah penolakan hanya menempati satu sisi, yaitu di wilayah

sekitar ( di) paling besar (positif) atau wilayah sekitar ( di)

paling kecil (negatif negatif).

6. Sedangkan untuk pengujian dua sisi, peluang kombinasi (di)

yang ada di daerah penolakan berada di dua sisi, yaitu di

wilayah sekitar ( di) paling besar (positif) dan di wilayah

sekitar ( di) paling kecil (negatif).

7. Tentukan, apakah kombinasi/distribusi data dari hasil penelitian

berada di daerah penolakan atau tidak. Jika berada di daerah

penolakan, maka tolak Ho dan terima H1

3.2 Uji Komparatif Dua Sampel Independen

Menguji dua sampel independen berarti menguji perbedaan nilai dua

sampel yang tidak berpasangan. Sampel independen biasa digunakan

dalam penelitian survey. Sedangkan sampel berpasangan banyak

digunakan dalam eksperimen.

Metode Non parametrik yang digunakan untuk menguji dua sampel

independen bila data berskala nominal adalah : Khi Kuadrat, Uji

Exact Fisher, dan bila data berskala ordinal adalah Median test, Uji U-

Mann Whitney.

3.2.1 Uji Exact Fisher

Uji Exact Fisher menguji hubungan antara dua variabel nominal,

menggunakan pendekatan peluang pasti (Exact probability). Uji ini

merupakan alternatif yang bisa dipakai untuk ukuran sampel kecil,

biasanya nilai harapan tiap sel ada yang kurang dari 5.

Contoh 3.2.1:



Sebuah studi kasus kontrol meneliti jumlah kematian orang-orang

berusia 50-54 tahun di sebuah kabupaten dalam 1 bulan. Ditemukan

bahwa dari 30 orang yang meninggal karena penyakit serebrovaskuler

(CVD), 4 orang mempunyai riwayat diet tinggi garam. Sedang dari 20

orang yang meninggal karena sebab lain, 2 orang mempunyai riwayat

diet tinggi garam. Data tersebut disajikan pada tabel 3.2.1.

Tabel 12 Data Tentang Kemungkinan Hubungan Antara Kematian

Karena CVD dan Konsumsi Garam

Sebab Kematian

Konsumsi Garam Total

Tinggi Rendah

CVD 4 26 30

Non-CVD 2 18 20

Total 6 44 50

Kita dapat menghitung nilai harapan dari tabel itu sebagai berikut :

E11 = 6(30)/50 = 3.6 E21 = 6 (20) /50 = 2.4

Ternyata dua dari empat sel berisi frekuensi harapan kurang dari 5,

sehingga uji Khi kuadrat tidak boleh digunakan. Uji pasti Fisher

merupakan alternatif yang bisa dipakai untuk ukuran sampel kecil.

Andaikata peluang bahwa seorang dengan riwayat diet tinggi garam

akan meninggal karena CVD = p1, sedang peluang bahwa seorang

dengan riwayat diet tinggi garam akan meninggal karena non-CVD =

p2. Tabel 3.2.1.1 menampilkan format tabel 2x2 dalam uji pasti Fisher.

Peluang pasti dengan sel a, b, c, d adalah sebagai berikut :

!!!!!

)!()!()!()!(),,,(

dcban

dbcadcbadcbaP

Andaikata kita buat tabel dengan konfigurasi berbeda tetapi dengan

jumlah tepi tabel yang sama dengan tabel teramati pada contoh soal di

atas, maka salah satu diantaranya akan berbentuk seperti yang

disajikan pada Tabel 13.

Tabel 13. Data Tentang Kemungkinan Hubungan Antara Kematian

Karena CVD dan Konsumsi Tinggi

Sebab Kematian

Konsumsi Garam Total

Tinggi Rendah

CVD 0 30 30



Non-CVD 6 14 20

Total 6 44 50

00244.0!14!6!30!0!50

!44!60!20!30)14,6,30,0(P

Tabel 14. Pembuatan semua konfigurasi tabel dengan jumlah tepi

tetap, dari contoh soal di atas, serta peluang pasti masing-

masing tabel.

0 30 1 29 2 28 3 27

6 14 5 15 4 16 3 17

0.00244

0.02928 0.13267 0.29135

4 26 5 25 6 24

2 18 1 19 0 20

0.32777 0.17937 0.03737

Penghitungan peluang untuk mendapatkan tabel-tabel tersebut cukup

memakai rumus ulangan, ditulis sebagai berikut:

)1)(1()()1(

da

bcaPaP

Hipotesis dan Statistik Uji

1. Hipotesis H0 : P1 = P2 dan H1 : P1 ≠ P2

Statistik Uji:

p = 2 x min [ P(0) + P(1)+…..+ P(a), P(a) +P(a+1) +….+ P(k)]

2. Hipotesis H0 : P1 = P2 dan H1 : P1 < P2

Statistik Uji p = P(0) + P(1)+ …..+ P(a)

3. Hipotesis H0 : P1 = P2 dan H1 : P1 > P2

Statistik Uji p = P(a) + P(a+1) + …..+ P(k)



Contoh 3.3

1. Uji dua sisi :

Hipotesis H0 : P1 = P2 dan H1 : P1 ≠ P2

Luas area sebelah kiri

= P(0) + P(1) + P(2) + P(3) + P(4)

= 0.00244 + 0.02928 + 0.13267+ 0.29135+ 0.32777

= 0.78351

Luas area sebelah kanan

= P(4) + P(5) + P(6)

= 0.32777+0.17937+0.03737

= 0.54451

Maka nilai p = 2 x Min (0.54451;0.78351)

= 2 x 0.54451

= 1.08902

(dengan kata lain, nilai p dua sisi = 1)

2. Uji satu sisi

Hipotesis H0 : P1 = P2 dan H1 : P1 > P2

Nilai p = P(4) + P(5) + P(6)

= 0.32777+0.17937+0.03737

= 0.54451

Jadi, peluang seorang dengan diet tinggi garam untuk meninggal

karena CVD dan non-CVD tidak berbeda secara bermakna, baik

dengan uji dua sisi maupun satu sisi. Dengan demikian kita

dapat menyimpulkan bahwa antara konsumsi garam dan sebab

kematian karena CVD tidak terdapat hubungan.



3.2.2 Uji Independensi Sampel Besar

Dengan uji Independensi Khi Kuadrat dapat diketahui, apakah dua

variabel saling berhubungan (tergantung, mempengaruhi, dependen)

atau tidak saling berhubungan (tidak tergantung, tidak mempengaruhi,

independen). Dengan uji itu dapat diketahui apakah hubungan yang

teramati antara kedua variabel secara statistik bermakna.

Data yang dianalisis berasal dari sebuah sampel acak dari sebuah

populasi.

Data dianalisis menurut dua variabel. Variabel pertama dibagi menjadi

c kategori. Variabel kedua dibagi menjadi r kategori. Jadi data tersebut

dapat dipresentasikan ke dalam tabel r x c. Karena tabel r x c

menunjukkan tingkat ketergantungan antara dua kriteria, tabel itu

disebut tabel kontingensi r x c. Tiap-tiap sel tabel berisi frekuensi

observasi (Oij) maupun frekuensi harapan (Eij), sebagaimana disajikan

pada Tabel 3.2.2

Statistik uji Khi Kuadrat ialah :

ji ij

ijij

E

EO

,

2

2)(

Dimana:

Oij = frekuensi teramati pada sel ke- ij

Eij = frekuensi harapan pada sel ke- ij

Dengan derajat independen = (r-1)(c-1

Tabel 15. Format Data Tabel Kontingensi

Varaiabel 1

Variabel 2

Total Kategori 1

Kategori 2

… Kategori c



… … … Oij … ni.

Kategori r Or1 Or2 … Orc nr.

Total n.1 n.2 n.j n.c n



Jika masing-masing dari kedua variabel dibagi menjadi hanya dua

kategori, tabel r x c lebih dikenal sebagai tabel 2 x 2 (lihat Tabel

3.2.2.1 ). Dalam hal ini, statistik 2

dapat dihitung lebih cepat dengan

rumus alternatif, sebagai berikut :

Dalam pengambilan keputusan statistik, 2teramati (

2hitung)

dibandingkan dengan 2

harapan ( 2 tabel) pada derajat independen yang

sesuai dan tingkat kekeliruan .

Contoh:

Sebuah studi berminat meneliti hubungan antara persepsi tentang

kerentanan terhadap penyakit dan pemilihan jenis pemberi pelayanan

kesehatan. Dari populasi pemakai pelayanan kesehatan modern dan

tradisional dicuplik sebuah sampel. Persepsi kerentanan dibagi dua

kategori, sangat serius dan kurang serius. Hasilnya disajikan

Tabel 3.2.2.1

Tabel 16. Persepsi Kerentanan Terhadap Penyakit pada Pasien yang

Berobat ke Rumah Sakit dan ke Dukun

Pelayanan Persepsi Kerentanan Terhadap

Penyakit Total Sangat serius Kurang serius

Rumah sakit 24 6 30

Dukun 8 12 20

Total 32 18 50

Berdasarkan data tersebut, dapatkah kita simpulkan bahwa terdapat

hubungan antara persepsi kerentanan terhadap penyakit dan pemilihan

jenis pemberi pelayanan kesehatan, pada =0.05?

Asumsi : Sebuah sampel dipilih secara acak dari populasi dan

observasi dilakukan independen.

1. Uji Pernyataan (Hipotesis)

Kedua variabel (persepsi kerentanan terhadap penyakit dan

pemilihan jenis pemberi pelayanan kesehatan) tidak saling

tergantung.

Kedua variabel (persepsi kerentanan terhadap penyakit dan

pemilihan jenis pemberi pelayanan kesehatan) saling

tergantung.

2. Tingkat kekeliruan, = 0.05



3. Statistik uji ialah :

E11 = (30 x 32)/50 = 19.2 E12 = (30 x 18)/50 = 10.8

E21 = (20 x 32)/50 = 12.8 E22 = (20 x 18)/50 = 7.2

Statistik uji 2 adalah :

33.8

2.7

)2.712(

8.12

)8.128(

8.10

)8.106(

2.19

)2.1924( 22222

Sebaran statistik uji, bila tidak ada hubungan, maka 2

akan

mengikuti sebaran 2 dengan derajat bebas (2-1)(2-1) = 1,

dimana 2

tabel=2

1;0.05 = 3.84 untuk sampel besar.

4. Karena 2

hitung 2 tabel, maka tolak .

5. Kesimpulan; terdapat hubungan yang bermakna antara persepsi

pasien tentang kerentanan terhadap penyakit dan jenis pemberi

pelayanan kesehatan yang dipilih.

3.2.3 Uji Median

Uji median ada kemiripan dengan uji t. Jika uji t mengandalkan mean

sebagai parameter populasi dalam menentukan perbedaan kedua

populasi, uji median memanfaatkan median dalam membandingkan

kedua populasi.

Statistik uji yang digunakan ialah Khi Kuadrat dengan formula :

Contoh 3.2.3

Sebuah studi hendak meneliti apakah terdapat penurunan kemampuan

eliminasi obat pada penderita penyakit hati.



Tabel 17. Waktu konsentrasi plasma tertinggi (jam) setelah diberikan

phenylbutazone pada subjek normal dan subjek dengan

cirrhosis hepatis

normal

penderita

45.6 8.8 20.1 11.2

49.0 17.4 14.0 18.0

13.7 13.8 42.3 27.9

37.9 26.3 29.7

26.8 14.4 17.8

30.6

22.6

4.0

15.0

35.0

10.7

41.3

21.5

32.5 7.0

Data: hati adalah tempat utama metabolisme obat. Diperkirakan

penderita penyakit hati mengalami gangguan eliminasi obat-obatan di

hati. Sebuah penelitian hendak mempelajari respons eliminasi obat

phenylbutazone pada penderita hati. Dua sampel diteliti: sampel

normal (sehat) dan sampel penderita cirrhosis hepatis. Setiap subjek

mendapat phenylbutazone per orang 19 mg/kg berat badan. Melalui

analisis darah, waktu konsentrasi plasma tertinggi (dalam jam) diukur

pada masing-masing subjek. Hasilnya terlihat pada Tabel 6.3.

Dapatkah kita tarik kesimpulan bahwa kedua populasi mempunyai

perbedaan waktu konsentrasi plasma tertinggi?

1. Asumsi:

a. Kedua populasi mempunyai bentuk sama (meskipun median

mungkin berbeda)

c. Variabel yang menjadi perhatian penelitian kontinu.

2.

MA: median sampel normal sama dengan cirrhosis hepatis

MB: median sampel penderita cirrhosis hepatis.

3. Taraf signifikansi = 0.05

4. Statistik uji



Dilakukan penghitungan median gabungan. Dan dari Tabel 17

didapatkan frekuensi observasi yang terletak di atas dan di bawah

median gabungan sebagai berikut:

S

t

a

Statistik uji 2 = 0.574 dengan derajat bebas =1

2tabel =

21;0.05=3.84

5. Keputusan, karena 2 hitung= 0.574 <

2 1,95 = 3.84, maka median

terima

6. Kesimpulan; tidak terdapat perbedaan waktu puncak konsentrasi

plasma phenylbutazone antara subjek normal dan subjek cirrhosis

hepatis.

3.2.4 Uji U Mann-Whitney

Untuk menguji apakah 2 sampel yang independen berasal dari

populasi yang sama, test yang dapat digunakan adalah U Mann-

Whitney. Asumsi yang digunakan pada uji Mann-Whitney ialah :

1. Variabel adalah kontinu

Langkah-langkah uji U Mann-Whitney sebagai berikut :

1. Menentukan Hipotesis awal bahwa kedua sampel berasal dari

populasi yang sama.

2. Statistik uji U Mann-Whitney, yaitu :

1

11211

2

1R

nnnnU

222

2122

1R

nnnnU

Dimana :

n1, n2 = jumlah sampel 1, 2

U1, U2 = jumlah peringkat 1,2

R1, R2 = jumlah rangking pada sampel n1, n2

Normal Cirrhosis

Skor di atas median gab.

9(A)

5(B)

14(A+B)

Skor di bawah median gab. 6(C) 8(D)

14(C+D)

15(A+C) 13(B+D) 28 (N)



3. Keputusan

Untuk masing-masing hipotesis, tolak H0 bila U hitung terkecil

lebih kecil daripada U .

Dimana U adalah nilai tabel Mann-Whitney U-Test untuk

tingkat kekeliruan , ukuran sampel pertama n1, dan besar

sampel kedua n2.

Apabila sebaran kedua populasi simetris, maka kesimpulan yang

kita ambil tentang median populasi berlaku pula untuk mean

populasi.

Contoh 3.2.4:

Dilakukan penelitian untuk mengetahui adakah perbedaan kualitas

manajemen antara Bank yang dianggap favorit oleh masyarakat dan

Bank yang tidak favorit. Penelitian menggunakan sampel 12 Bank

yang dianggap tidak favorit dan 15 Bank yang dianggap favorit.

Selanjutnya ke dua kelompok Bank tersebut diukur kualitas

manajemennya dengan menggunakan sebuah instrumen, yang terdiri

beberapa butir pertanyaan. Skor penilaian tertinggi adalah 40 dan

terendah 0

Jawab :

a. Uji bahwa :

Tidak terdapat perbedaan kualitas manajemen antara bank yang

favorit dan tidak favorit.

b. Statistik uji :

U2 < U1 21 < 184. Dengan demikian yang

digunakan untuk membandingkan dengan Utabel adalah U2. U

tabel = 42. Ternyata harga U hitung < U tabel (21 < 42) → tolak

.



Tabel 18. Penyajian Data

Kel. A Nilai

Kualitas Peringkat Kel. B

Nilai

Kulaitas Peringkat

1. 16 9.0 1. 19 15.0 2. 18 10.5 2. 19 15.0 3. 10 1.5 3. 21 16.5 4. 12 4.5 4. 25 19.5 5. 16 9.0 5. 26 21 6. 14 6.0 6. 27 22.5 7. 15 7.5 7. 23 18 8. 10 1.5 8. 27 22.5 9. 12 4.5 9. 19 15

10. 15 7.5 10. 19 15 11. 16 9.0 11. 25 19.5 12. 11 3.0 12. 27 22.5 13. 13. 23 18 14. 14. 19 15 15. 15. 29 24

Jumlah

R1= 74

Jumlah

R2= 279

184742

1121215121 xU

212792

1151515122 xU

c. Kesimpulan :

Terdapat perbedaan kualitas manajemen yang signifikan antara

Bank yang favorit dan tidak favorit. Bank yang favorit kualitas

manajemennya sudah baik.

3.2.5 Uji Randomisasi untuk Dua Sampel Independen

Merupakan uji nonparametrik yang berguna dan sangat kuat untuk

menguji signifikansi perbedaan antara means dua sampel independen

apabila n1 dan n2 kecil. Uji ini mempergunakan harga- harga numerik

skor, dan oleh karena itu menuntut sekurang-kurangnya pengukuran

interval atas variabel yang dipelajari. Dengan Uji randomisasi ini, kita

dapat menentukan kemungkinan yang eksak, di bawah H0, yang

berkaitan dengan observasi kita, dan kita tidak memerlukan asumsi

distribusi normal atau homogenitas varian dalam populasi yang

dipelajari (kita harus membuat asumsi semacam itu jika kita



menggunakan Uji t, yakni uji parametrik yang ekuivalen dengan uji

ini.)

Metode:

1. Tentukan banyak hasil yang mungkin dalam daerah penolakan:

1 2

1

n n

n( )C

2. Nyatakanlah yang termasuk dalam daerah penolakan banyak

hasil yang mungkin dan paling ekstrem dari kedua kelompok

sampel tersebut (A dan B). Hasil-hasil ekstrem adalah yang

mempunyai selisih A dan B yang terbesar. Untuk uji satu

sisi, semua harga itu ada dalam arah yang diramalkan. Untuk uji

dua sisi, setengah dari hasil yang mungkin dan paling ekstrem

dalam satu arah dan setengahnya lagi hasil-hasil yang mungkin

dan paling ekstrem dalam arah lain.

3. Jika skor observasi adalah salah satu diantara hasil-hasil yang

ada dalam daerah penolakan, maka tolak Ho pada signifikansi .



Bab 4 Uji Komparatif k-Sampel Independen dan

Berpasangan

4.1 k-Sampel Berpasangan

4.1.1 Uji Q-Cochran

Uji ini merupakan uji nonparametrik untuk k-sampel berhubungan

yang sering pula disebut sebagai pengembangan dari Uji Mc Nemar.

Uji ini mensyaratkan skala pengukuran data yang dipakai berupa

nominal atau ordinal yang terpisah-dua ( dikotomi).

Metode:

Data penelitian diatur dalam suatu tabel dua arah yang terdiri atas

N baris dan k kolom, kemudian uji hipotesis bahwa proporsi (atau

frekuensi) karakteristik/jawaban tertentu adalah sama dalam masing-

masing kolom, kecuali karena perbedaan-perbedaan yang terjadi

secara kebetulan saja.

Rumus:

2

2

1 1

2

1 1

1k k

j j

j j

N N

i i

i i

k k G G

Q

k L L

jG = jumlah keseluruhan “sukses” dalam kolom ke-j

G = mean jG

iL = jumlah keseluruhan “sukses” dalam baris ke-i.

Q mengikuti distribusi Khi Kuadrat dengan derajat bebas k-1.

4.1.2 Analisis Varian Ranking Dua Arah Friedman.

Analisis ini digunakan bila data k-sampel berpasangan dalam skala

sekurang-kurangnya ordinal, dan bertujuan untuk menguji hipotesis-

nol bahwa sampel ditarik dari populasi yang sama.



Metode

Untuk Uji Friedman, data dituangkan ke dalam suatu tabel dua arah

yang memiliki N baris dan k kolom. Baris merepresentasikan berbagai

subyek atau berbagai himpunan subyek yang berpasangan, dan kolom-

kolom merepresentasikan bermacam-macam kondisi. Kalau skor

subyek-subyek di bawah semua kondisi dipelajari, maka tiap-tiap

baris memberikan skor-skor suatu subyek di bawah k-kondisi.

Rumus:

22

1 1

123 ( 1)

1

k k

r j

j j

R N kNk k

Dimana:

N = banyak baris

k = banyak kolom

jR = jumlah ranking dalam kolom j

2

rberdistribusi Khi-Kuadrat dengan derajat bebas k-1

4.2 k- Sampel Independen

4.2.1 Uji Khi-Kuadrat k-sampel Independen.

Merupakan perluasan dari Uji Khi-Kuadrat untuk dua sampel

independen yang berguna untuk menentukan signifikansi perbedaan-

perbedaan antara k-kelompok independen. Sedangkan untuk skala

pengukuran data yang dipakai, berupa data nominal atau ordinal.

Metode:

Menyusun frekuensi-frekuensi amatan dalam suatu tabel k r .

Hipotesis-nol yang diuji adalah sampel frekuensi atau proporsi berasal

dari populasi yang sama atau populasi-populasi yang identik.

Rumus:

2

2

1 1

r kij ij

i j ij

O E

E

Dengan:

ijO = banyak kasus yang diobservasi yang dikategorikan dalam baris

ke-I pada kolom ke-j

ijE = banyak kasus yang diharapkan di bawah 0H untuk dikategorikan

dalam baris ke-i dan kolom ke-j.



4.2.2 Perluasan Uji Median

Perluasan uji median ini menentukan apakah k-kelompok independen

(tidak harus berukuran sama) telah ditarik dari populasi yang sama

atau dari populasi-populasi dengan median sama. Sedangkan data

yang digunakan adalah data berskala pengukuran ordinal.

Metode:

Mula-mula tetapkan skor median bersama dari gabungan k-sampel,

seperti pada prosedur penghitungan pada uji median dua sampel.

Kemudian mengganti tiap skor pada tiap kelompok dengan tanda

tambah (+) jika skor tersebut ada di atas median gabungan dan dengan

tanda kurang(-) jika skor lebih kecil dari median gabungan. (jika

terjadi satu skor atau lebih jatuh pada median gabungan, maka skor-

skor tersebut dapat dipisah-duakan dengan membubuhkan tanda (+)

untuk skor-skor yang lebih besar dari median gabungan, dan tanda (-)

untuk skor-skor yang sama atau dibawah niali median gabungan).

Rumus:

2

2

1 1

r kij ij

i j ij

o E

E

Dimana:

ijO = banyak kasus-kasus observasi yang dikategorikan pada baris ke-

I dan kolom ke-j

ijE = banyaknya kejadian yang diharapkan di bawah 0H , yang akan

dikategorikan dalam baris ke-i dan kolom ke-j 2 berdistribusi Khi-Kuadrat dengan derajat bebas (k-1), dimana k

adalah jumlah kolom.

4.2.3 Analisis Varian Ranking Satu Arah Kruskal-Wallis.

Analisis ini sangat berguna untuk menentukan apakah k sampel

independen berasal dari populasi-populasi yang berbeda. Harga-harga

sampel hampir selalu berbeda, persoalannya adalah apakah perbedaan-

perbedaan antara harga sampel-sampel itu menandai perbedaan-

perbedaan populasi yang sesungguhnya, atau perbedaan itu semata-

mata karena variasi yang terjadi secara kebetulan sebagaimana yang

diharapkan dapat terjadi di antara sampel-sampel random dari

populasi yang sama. Teknik ini menguji hipotesis-nol bahwa k-sampel



berasal dari populasi sama atau populasi-populasiidentik, dalam hal

harga rata-ratanya. Sementara untuk skala pengukuran datanya, uji ini

mengharuskan data yang dipakai berskala palign rendah berupa data

ordinal.

Metode:

Masing-masing N observasi digantikan dengan ranking-nya. Yaitu

semua skor dalam seluruh k sampel yang digunakan, diurutkan dalam

satu rangkaian. Skor yang terkecil digantikan dengan ranking 1, yang

setingkat di atasnya dengan ranking 2, hingga yang terbesar yaitu

ranking ke-N. Kemudian jumlahkan ranking dalam masing-masing

sampel (kolom). Uji Kruskal-Wallis menentukan apakah jumlah

ranking itu sangat berlainan sehingga sangat kecil kemungkinan

bahwa sampel-sampel tersebut berasal dari populasi yang sama.

Rumus:

2

1

123 1

1

kj

j j

RH N

N N n

Di mana

k banyak sampel

jn = banyak kasus dalam sampel ke-j

N =jn = banyak kasus dalam semua sampel.

1

k

j

= menjumlahkan seluruh k-sampel (kolom-kolom) mendekati

distribusi Khi-kuadrat dengan derajat bebas (k-1) untuk ukuran-

ukuran sampel (harga jn ) yang cukup besar.



Bab 5. Uji Kenormalan

5.1 Uji Kolmogorov–Smirnov

Untuk Sampel Besar

Dengan uji Kolmogorov–Smirnov dapat diperiksa apakah sebaran

nilai-nilai sampel yang teramati sesuai dengan sebaran normal

tertentu. Uji Kolmogorov–Smirnov beranggapan bahwa sebaran

variabel yang sedang diuji bersifat kontinu dan sampel diambil dari

populasi secara acak sederhana. Dengan demikian uji ini hanya dapat

digunakan, bila variabel diukur paling sedikit dalam skala ordinal.

Terdapat beberapa keuntungan dan kerugian relatif uji kesesuaian

Kolmogorov-Smirnov yaitu :

1. Data dalam uji Kolmogorov-Smirnov tidak perlu dilakukan

kategorisasi. Dengan demikian semua informasi hasil observasi

terpakai.

2. Uji Kolmogorov-Smirnov bisa dipakai untuk semua ukuran

sampel, sedang uji Khi Kuadrat membutuhkan ukuran sampel

minimum tertentu.

3. Uji Kolmogorov-Smirnov tidak bisa dipakai untuk

memperkirakan parameter populasi.

4. Uji Kolmogorov-Smirnov memakai asumsi bahwa sebaran

populasi bersifat kontinu.

Uji Kolmogorov–Smirnov dapat diterapkan pada dua keadaan:

1. Menguji apakah suatu sampel mengikuti suatu bentuk sebaran

normal.

2. Menguji apakah dua buah sampel berasal dari dua populasi yang

sama sebarannya.

Hipotesis yang diuji dinyatakan sebagai berikut (dua sisi) :

Ho : F(x) = Ft(x) untuk semua x dari (– tak hingga) sampai (+ tak

hingga)

Hi : F(x) Ft(x) untuk paling sedikit sebuah x



Dengan F(x) ialah fungsi sebaran kumulatif populasi observasi.

Statistik uji Kolmogorov-Smirnov merupakan selisih absolut terbesar

antara Fs(x) dan Ft(x), yang kita sebut deviasi maksimum D. Statistik

D ditulis sebagai berikut:

D = Max |Fs(xi) - Ft(xi)|; i = 1,2, ………., n

Langkah-langkah prinsip uji Kolmogorov-Smirnov:

1. Susun frekuensi-frekuensi dari tiap nilai teramati, berurutan dari

nilai terkecil sampai nilai terbesar.

2. Susun frekuensi kumulatif dari nilai-nilai teramati itu.

3. Konversikan frekuensi kumulatif itu ke dalam peluang, yaitu ke

dalam fungsi sebaran frekuensi kumulatif [Fs(x)]. Sekali lagi

ingat bahwa sebaran frekuensi teramati harus merupakan hasil

pengukuran variabel paling sedikit dalam skala ordinal (tidak

bisa dalam skala nominal).

4. Hitung nilai z untuk masing-masing nilai teramati di atas dengan

rumus z = (xi – x )/s. Dengan mengacu kepada Tabel sebaran

normal baku carilah peluang (luas area) kumulatif untuk setiap

nilai teramati. Hasilnya apa yang kita sebut Ft(xi).

5. Susun Fs(x) berdampingan dengan Ft(x). Hitung selisih absolut

antara Fs(xi) dan Ft(xi) pada masing-masing nilai teramati.

6. Statistik uji Kolmogorov–Smirnov ialah selisih absolut terbesar

Fs(xi) dan Ft(xi) yang juga disebut deviasi maksimum D, ditulis

sebagai berikut :

D = Max |Fs(xi) - Ft(xi)|; i = 1,2…, n

7. Keputusan; tolak H0 bila D>Dtabel, Dtabel adalah nilai tabel

Mann-Whitney, pada ttingkat signifikansi .

Contoh 3.5

Sebuah studi berminat memeriksa apakah berat otak 15 orang dewasa

penderita penyakit tertentu disebarkan secara normal. Datanya sebagai

berikut



Tabel 19. Berat Otak Penderita Penyakit Tertentu.

Dapatkah, berdasarkan data itu, kita menarik kesimpulan bahwa

populasi asal sampel disebarkan secara normal, dengan mean 1.083

dan simpang baku 129 ? Tentukan p untuk uji ini dengan asumsi:

sampel yang tersedia ialah sampel acak sederhana dari sebuah sebaran

populasi kontinu.

1. : Berat otak orang dewasa mengikuti sebaran normal.

Berat otak orang dewasa tidak mengikuti sebaran normal.

2. Statistik Uji; untuk mendapatkan stastik uji dilakukan langkah

seperti pada Tabel 20

Tabel 20. Langkah-langkah menghitung nilai-nilai Fs(xi)

Xi F FK Fs(xi)Kum s

xxZ i )( Ft (xi)Kum

|Fs(xi)- Ft (xi) |

904 1 1 0.0667 -1.39 0.0823 0.0156

920 1 2 0.1333 -1.26 0.1038 0.0295

973 1 3 0.2000 -0.85 0.1977 0.0023

1.001 1 4 0.2667 -0.64 0.2611 0.0056

1.002 1 5 0.3333 -0.63 0.2643 0.0690

1.012 1 6 0.4000 -0.55 0.2912 0.1088

1.016 1 7 0.4667 -0.52 0.3015 0.1652

1.039 1 8 0.5333 -0.34 0.3669 0.1664

1.086 1 9 0.6000 0.02 0.5080 0.1080

1.140 1 10 0.6667 0.44 0.6700 0.3367

1.146 1 11 0.7333 0.49 0.6879 0.0454

1.168 1 12 0.8000 0.66 0.7454 0.0546

1.233 1 13 0.8667 1.16 0.8770 0.0103

1.255 1 14 0.9333 1.33 0.9082 0.0251

1.348 1 15 1.0000 2.05 0.9798 0.0202

D = |Fs(x) - Ft(x)| = 0.1664

Dtabel = D15; 0.05 = 0.338

3. Keputusan; karena D < Dtabel maka data dari populasi normal

4. Kesimpulan; sampel berat otak orang berasal dari populasi

dengan sebaran normal.

Berat Otak (Gram)

1,348 1,140 1,086 1,039 1,039

1,233 1,146 1,002 1,012 920

1,255 1,168 1,016 1,001 973



5.2 Uji Normal Lilliefors untuk Sampel Besar

Kalau ada suatu sampel berukuran n dengan nilai observasi y1, y2,

…,yn, kadang-kadang timbul pertanyaan apakah populasi asal sampel

itu dapat dianggap normal ataukah tidak.

Dengan kata lain apakah variabel acak Y yang diamati itu menyebar

normal ataukah tidak. Keragu-raguan terhadap kenormalan suatu

variabel acak perlu diperiksa, kalau kita bermaksud menggunakan

metode statistika parametrik yang memerlukan anggapan bahwa

variabel acak itu menyebar normal.

Dengan mengingat kembali variabel acak Z yang mempunyai fungsi

kepekaan normal baku yang didefinisikan sebagai : F (z) = P( Z z).

Nilai F(z) untuk berbagai nilai z dapat diperoleh dengan

mempergunakan Tabel Z (Normal)

n

i

iyy1

dan

2

.

11

1yy

ns

n

i

i = n

yyn

ii2

1

1 2

Kemudian menentukan nilai syyz i / untuk setiap I = 1,2,…n.

Maka fungsi sebaran empirik baku didefinisikan sebagai :

n

zzzS

n

z

........,.........2,1 yang z

Karena nilai-nilai z1, z2, ……………………..zn dapat dihitung

berdasarkan nilai observasi sampel, maka nilai S (z) pun dapat

ditentukan untuk berbagai nilai z

Uji Kenormalan Liliefors disusun bedasarkan besaran :

nn zSzFzSzFzSzFmaksL .....,........., 2211

Atau beda mutlak maksimum antara F(zi) – S(zi), untuk I = 1,2, …..n.

Dengan Hipotesa :

L (n), sampel dari populasi normal

Jika L

L (n), bukan dari normal

Nilai L (n) dapat diperoleh dari Tabel Uji Kenormalan Liliefors.



Contoh : Pengeluaran rata-rata perbulan (dalam ratusan ribu) dari 6

rumah tangga di suatu daerah A adalah sebagai berikut :

20, 23, 16, 20, 24, 17

yang ingin diuji hipotesis : populasi berdistribusi normal.

Jawab :

;206

120y s = 3.16228

z1 = (20 – 20)/3.16228 = 0 F (z1) = F(0) = 0.5

z2 = (23 – 20)/3.16228 = 0.9487 F (z2) = F(0.95)= 0.5 + 0.3289

z3 = (16 – 20)/3.16228 = - 1.265 F (z3) = F(-1.26)= 0.5 – 0.3962

z4 = (20 – 20)/3.16228 = 0 F(z4) = F(0)= 0.5

z5 = (24 – 20)/3.16228 = 1.265 F(z5) = F(1.26)= 0.5 + 0.3962

z6 = (17 – 20)/3.16228 = - 0.9487

F(z6) = F(-0.95) = 0.5 – 0.3289

Demikian pula, dapat diperoleh :

S (z1) = S (0) = 1/6 = 0.16667 S(z2) =S(0.95)=2/6=0.3333

S (z3) = S (-1.265) = 3/6 = 0.5 S(z4) = S (0) = 4/6 = 0.6667

S (z5) = S (0) = 5/6 = 0.8333 S(z2) = S (0.95) = 6/6 = 1

Selanjutnya diperoleh :

38333.016667.05.011 zSzF

4989.033.08289.022 zSzF

3962.05.01038.033 zSzF

1667.06667.05.044 zSzF

0629.0833.08962.055 zSzF

8289.000.11711.066 zSzF



Jadi L maks = 0.8289. Karena L = 0.8289 > L 0.05 (6) = 0.319, maka

kesimpulan populasi yang dihadapi tidak menyebar normal.

5.3 Uji Shapiro Wilks

Uji kenormalan yang lain adalah Shapiro Wilks, merupakan uji formal

untuk kenormalan yang direkomendasikan di dalam Modul SPSS dan

prosedur SAS. Uji ini dirancang khusus untuk mendeteksi kenormalan

tanpa melihat rata-rata atau varians dari hipotesis sebaran normal. Uji

ini lebih baik daripada Kolmogorov-Smirnov, tetapi sebagai uji klas

tidak mengidentifikasikan bentuk dari ketidak normalan, dapat

dikatakan bisa kelihatan tidak simetris atau ekornya tebal. Uji

Shapiro-Wilks kegunaannya adalah :

a. Sampel kecil < 100 dan Sampel Sedang< 2000

Uji Shapiro – Wilks untuk Sebaran Normal dengan rata-rata

dan varians tidak diketahui dari sampel kecil ( 2 < n < 51)

Uji Shapiro – Wilks untuk sebaran Exponential dengan

alpha dan betha tidak diketahui dari sampel kecil ( 2 < n <

51)

Shapiro-Francia W (modifikasi Shapiro-Wilk W) untuk uji

sebaran Normal dengan rata-rata dan varians tidak diketahui

dari sampel kecil ( 2 < n < 100 )

Shapiro-Wilks juga direkomendasikan untuk sampel

medium dengan n < 2000, sedangkan untuk sampel besar

dianjurkan menggunakan uji Kolmogorov-Smirnov yang

direkomendasikan oleh SAS.

b. Tidak memerlukan asumsi

Uji Shapiro-Wilks

n

i

i

n

i

ii

XX

Xw

W

1

2

2

1

1



Dengan :

X’ = adalah data Xi yang telah ditranspose

w' = (w1, w2, …..,wn) atau 1/2

1 1 1 1

iw MV M V V M

M = nilai harapan dari sigma

V = koresponden matrik kovarian

W = koefisien R2 antara nilai (X’) dan wi

= dihitung dari garis lurus plot peluang normal

wi = dengan pendekatan proporsi dari nilai Mi

Contoh (lihat Modul program SPSS Base)



Latihan soal-soal :

1. Dari 200 tenaga ahli di sebuah reaktor, diketahui 80 orang di

antaranya didiagnosis mengalami mutasi genetik akibat

pengaruh radiasi bahan radioaktif. Sementara yang lainnya

masih normal. Jika diambil sampel sebanyak 10 orang dari 200

orang tersebut, berapakah peluang 6 orang yang terambil

sebagai sampel, terdiagnosis mengalami mutasi genetik?

2. Dibandingkan jangka waktu penyembuhan pasien yang

mengalami pembedahan dengan cara A terhadap cara B. Dari 16

orang pasien tercatat data sebagai berikut :

Tabel 21. Perbedaan Jangka Waktu Penyembuhan

No Pasien Cara A Cara B

1 16 18

2 20 19

3 15 15

4 19 16

5 22 21

6 15 17

7 22 17

8 19 14

Tentukan dengan tingkat kepercayaan 95%, apakah ada

perbedaan jangka waktu penyembuhan antara cara A dengan

cara B?

3. Sebuah perusahaan penyedia layanan internet ( Internet Service

Provider) ingin mengetahui respon pelanggan terhadap

kebijakan barunya. Kebijakan tersebut adalah dengan

menaikkan biaya bulanan kepada pelanggan, tetapi disertai

dengan penambahan kuota data sebesar 50GB per bulan dan

juga penambahan kecepatan akses hingga 2 kali lipat kecepatan

semula. Dari 100 pengguna internet yang diambil sebagai

sampel, 18 orang konsumen berhenti berlangganan, 40 orang

tetap berlangganan, terdapat 35 orang menjadi pelanggan baru,

dan sisanya merupakan pelanggan setia dari perusahaan lain dan

tetap tidak mengganti layanan internet yang mereka pakai.

Berdasarkan hasil penelitian tersebut, apa yang seharusnya

dilakukan oleh perusahaan?

4. Penilaian tentang rias wajah dan prestasi terhadap 100 orang

peserta pemilihan ratu kampus tercatat seperti pada tabel

berikut:



Tabel 22. Hubungan Rias Wajah dan Prestasi pada Pemilihan Ratu

Kampus.

Rias Wajah Prestasi Jumlah

Pandai Biasa

Cantik 20 40 60

Biasa 30 10 40

Jumlah 50 50 100

Apakah prestasi tidak ada hubungan dengan rias wajah ?

(α = 5%)

5. Tersedia data laju pertumbuhan penduduk dalam 10 tahun (%)

pada tiap kabupaten di Jawa Tengah dan Jawa Timur

(2000 – 2010). Bandingkan laju pertumbuhan penduduk dari

kedua propinsi tersebut! (α =5%)

Tabel 23. Laju Pertumbuhan Penduduk Tiap Kabupaten di

Jawa Tengah Tahun 2000-2010

6. Berikut data penerimaan rupiah pada kuartal pertama dari

sampel 9 outlet pada sebuah areal perdagangan (dalam jutaan) :

16, 18, 11, 17, 13, 10, 22, 15, 16.

Apakah data ini berasal dari suatu Populasi Normal?

(α =5%)

Jawa Tengah

Jawa Timur

1,68 5,49 7,53 2,19

2,81 6,95 0,47 10,59

6,41 -3,98 11,59 10,19

1,60 7,25 3,74 8,29

7,69 6,72 6,41 14,84

3,79 9,00 6,23 13,29

3,61 1,32 5,77 7,20

6,45 10,51 -0,16 10,69

-0,67 2,92 6,10 2,21

4,82 24,46 17,08 10,28

-1,37 1,96 3,87

6,42 12,72 12,70 4,21

2,03 5,74 -0,74

1,29 6,62 16,92 6,39

7,22 3,15 0,08

4,29 4,41 15,42

3,83 9,59 1,25

7,26 3,45 5,67

1,84 11,90 1,30

4,45 0,80 9,37



Jawaban Soal

1. Uji Binomial

Peluang terdiagnosis mengalami mutasi genetik:

( 6)P x =10 6 4

6 (0,4) (0,6)C

= 6 410!(0,4) (0,6) 0,1115

6!4!

2. a. Uji Pangkat bertanda Wilcoxon.

Tabel 24. Pengujian Wilcoxon

No

Pasien

Cara A Cara B Beda Pangkat

1 16 18 -2 - 3.5

2 20 19 1 1.5

3 15 15 10 8

4 19 16 3 5

5 22 21 1 1.5

6 15 17 -2 -3.5

7 22 17 5 6.5

8 19 14 5 6.5

T (+) = 29 T (-) = 7

b. Uji pernyataan bahwa :

Tidak ada perbedaan jangka waktu penyembuhan pasien yang

mengalami pembedahan usus buntu.

c. Uji Statistik :

Jika T ≥ T α, berarti tidak ada beda

< Tα, maka ada perbedaan

Nilai T mutlak yang terkecil adalah Thitung = 7

Ttabel= T =0.05 = 4, berarti tidak ada beda

d. Kesimpulan bahwa tidak ada perbedaan jangka waktu

penyembuhan pasien pembedahan baik dengan cara A,

maupun Cara B.



3. Uji Mc Nemar

a. Apakah penerapan kebijakan baru memberikan pengaruh?

b. Statistik Uji

2 hitung

2 tabel tidak ada pengaruh

> 2 tabel ada pengaruh

c. Pengujian

Isi tabel di atas, disusun ulang menjadi tabel berikut:

2 2

2( 1) ( 35 18 1)

4,830253

A D

A D

2 3,84tabel

d. Keputusan

2 2

hitung tabel ada pengaruh.

c. Kesimpulan

Terdapat pengaruh yang nyata terhadap penjualan, setelah

diterapkannya kebijakan baru, dimana pelanggan menjadi

bertambah. Sehingga perusahaan dapat terus menerapkan

kebijakan baru tersebut kepada pelanggannya.

Sebelum Ada Kebijakan Setelah Ada Kebijakan

Berlangganan 58 75 = 35 + 40

Tidak Berlangganan 42 25 = 18 + 7

Jumlah 100 100 53 47

Perilaku

Konsumen Berlangganan

Tidak

Berlangganan

Tidak

Berlangganan 35 7

Sebelum Ada Kebijakan

Berlangganan 40 18

Sesudah ada Kebijakan



4. Uji Khi Kuadrat

a. Apakah kepandaian tidak ada hubungan dengan rias wajah.

b. Statistik Uji :

E11 = (60 x 50 )/100 = 30

E12 = (60 x 50 )/100 = 30

E21 = (40 x 50 )/100 = 20

E22 = (40 x 50 )/100 = 20

67.1620

2010

20

2030

30

3040

30

302022222

2

tabel = 3.84 ada hubungan

c. Kesimpulan ada hubungan antara prestasi dan rias wajah

5. a. Median Test :

MJB = MJT ; Apakah median sama besar?

b. Statistik Uji :

2

272 15 15 22 20

1,98435 37 37 35

x x

x x x

2 tabel = 3.84

2<

2 tabel

Keputusan: Tolak Ho. tidak ada perbedaan

c. Kesimpulan laju pertumbuhan penduduk Jawa Timur tidak

berbeda secara nyata dengan Jawa Tengah.

Jateng Jatim

Skor di atas median 15 22 37

Skor di bwh median 20 15 35

35 37 72



5. Lilliefors

Xi syyz ii / F(zi) S(zi) ii zSzF

18 0.7015 0.7580 0.125 0.633

11 -1.084 0.1401 0.250 0.1099

17 0.446 0.6700 0.375 0.295

13 -0.57 0.2843 0.500 0.2157

10 -1.34 0.0901 0.625 0.5349

22 1.72 0.9573 0.750 0.2073

15 -0.064 0.4761 0.875 0.3989

16 0.19 0.5077 1.000 0.4923

a. Uji normal Liliefors :

Diduga data berasal dari populasi normal

b. Uji Statistik :

Lmaks = 0.633 Lα = 0.05 = 0.285

Karena Lmaks > L tabel, bukan dari normal

c. Kesimpulan:

Data bukan berasal dari populasi normal.



Soal-soal:

1. Dalam suatu studi yang digunakan untuk identifikasi kemungkinan sub

kultural, etnik, dan keterlibatan keluarga pada mobilitas tenaga kerja setelah

pelatihan, Lieberman menghasilkan data seperti tabel 7.1. Apakah data

tersebut cukup untuk menolak hipotesis nol bahwa peluang tingkat mobilitas

adalah independen. Tentukan pula nilai -valuenya :

Tabel 7.1 Tingkat kemungkinan mobilitas tenaga kerja

Mobilitas Tenaga Kerja

Tingkat Mobilitas Rendah Sedang Total

Rendah 45 19 64

Sedang 6 43 49

Total 51 62 113

2. Data pada tabel 5.2 yang dilaporkan oleh Monteiro bahwa 2764 penduduk

pulau Rhode digolongkan pada klasifikasi pendapatan dan saat terakhir

mereka konsultasi kepada seorang dokter. Kita ingin mengetahui apakah ada

hubungan antara pendapatan dan jarak waktu konsultasi mereka kepada

seorang dokter. Dengan kata lain, kita ingin melihat apakah kedua variable

tersebut saling bebas.

Tabel 7.2 Jarak waktu semenjak konsultasi terakhir dengan dokter berdasarkan

pendapatan

Waktu terakhir konsultasi

Tingkat mobilitas < 6 bulan 7-12 bulan 1 tahun Total

<$30000 186 38 35 259

$3000-$4999 227 54 45 326

$5000-$6999 219 78 78 375

$7000-$9999 355 112 140 607

>$10000 653 285 259 1197

Total 1640 567 557 2764

3. Hall dkk membandingkan tiga metode untuk membandingkan tiga serum

pada penderita sakit pancreas. Tabel pengamatan seperti ditunjukkan oleh

Tabel 7.3. kita berharap bisa membedakan tiga metode tersebut berbeda.



Tabel 7.3 Nilai serum pada pasien dengan sakit pankreas

Metode pembedaan

sampel A B C

1 4000 3120 6120

2 1600 1040 2410

3 1600 647 2060

4 1200 570 2060

5 840 445 1400

6 352 156 249

7 224 155 224

8 200 99 208

9 184 70 227

4. Pada pawai angkatan darat 34 orang laki-laki dibariskan, yang tertinggi di

sebelah kanan, yang terendah di sebelah kiri, dan diberi nomor: 1 untuk

yang tertinggi dan 34 yang terendah. Rank ini mengenai ukuran tinggi

laki-laki tersebut. Setiap laki-laki kemudian ditanyai oleh sersan mayor

apakah ia perokok atau peminum. Sersan mayor mencatat rank jumlah

laki-laki dalam berbagai kategori sebagai berikut:

Peminum dan perokok 3, 8, 11, 13, 14, 19, 21, 22, 26,

27, 28, 31, 33

Bukan perokok dan bukan

peminum 2, 12, 25, 32, 34

Peminum dan bukan

perokok 1, 7, 15, 20, 23, 24, 30

Bukan perokok dan bukan

peminum 4, 5, 6, 9, 10, 16, 17, 18, 29

Apakah ada bukti mengenai adanya hubungan antara ukuran tinggi dan

kebiasaaan minum minuman keras dan merokok?

4. Lima orang diminta membuat rank empat jenis buah prambors dalam

susunan pilihan rasa. Nilai yang sama dapat ditentukan sebagai mid-rank

jika seorang penguji merasakan tidak ada perbedaan antara dua jenis atau

lebih. Apakah hasilnya menunjukkan sebuah pilihan rasa yang konsisten?



Penguji 1 2 3 4 5

Jenis

Malling interprise 3 3 1 2 4

Malling jewel 2 1,5 4 2 2

Glen clova 1 1,5 2 1 2

Norflok Giant 4 4 3 4 2

5. Cohen (1983) memberikan data untuk jumlah kelahiran di suatu Negara

untuk setiap hari pada tahun 1975. Diberikan data dibawah ini untuk

jumlah kelahiran pada setiap hari minggu ke-10, ke-20, ke-30, ke-40 dari

tahun tersebut.

Hari Senin Selasa Rabu Kamis Jumat Sabtu Minggu

Minggu ke

10 108 106 100 85 85 92 96

20 82 99 89 125 74 85 100

30 96 101 108 103 108 96 110

40 124 106 111 115 99 96 111

Buatlah analisis Friedman yang sesuai untuk menentukan apakah data

menunjukkan: (i) perbedaan tingkat kelahiran antara hari-hari dari minggu

yang menunjukkan konsistensi selama empat minggu yang dipilih, (ii)

setiap perbedaan antara tingkat kelahiran pada minggu ke-10, ke-20, ke-30

dan ke-40.

6. Dalam mempelajari situasi kecenderungan orang untuk bunuh diri atau

tidak dengan melompat dari gedung-gedung, jembatan atau menara.

Terdapat bahwa dengan ejdekan atau pancingan dari masa berhasil

membuat orang tersebut bunuh diri dalam beberapa kasus. Beberapa teori

mengemukakan bahwa pernyatan para ahli tentang rasa rendah diri dan

kewaspadaan yang diketahui sebagai deinduation dapat menambah

permasalahan. Faktor yang mendatangkan reaksi akibat massa adalah

temperature suara dan kelelahan. Man menguji 21 orang penerbit laporan

tentang bunuh diri dan menguji hubungan antara pancingan dari massa

pada bulan-bulan apa sajapada tahun-tahun tertentu. Hipotesanya adalah



aka nada peningkatan pancingan dari massa ketika suasana/musim panas.

Berdasarkan hasil pengamatan siperoleh data sebagai berikut:

Baiting Nonbaiting Jumlah

Juni-September 8 4 12

Oktober - Mei 2 7 9

Jumlah 10 11 21

Lakukan uji dan jelaskan kesimpulannya.

7. Rektor universitas A akan mengevaluasi suatu peraturan mengenai

kehidupan kampus. Menurut pendapat rector dan stafnya bahwa kalau

peraturan dikeluarkan, nantinya ada pihak yang setuju dan tidak ada yang

tidak setuju. Situasi lain, bahwa kelompok mahasiswa social akan lebih

banyak yang tidak setuju dibandingkan dengan kelompok mahasiswa ilmu

ilmiah. Untuk keperluan menguji dugaan tersebut, maka di universitas A

mahasiswa dibagi menjadi dua strata yaitu kelompok mahasiswa ilmu

sosial dan kelompok mahasiswa ilmu alamiah dan diperoleh data sebagai

berikut:

Baiting Nonbaiting Jumlah

Juni-September 8 4 12

Oktober - Mei 2 7 9

Jumlah 10 11 21

Ilmu Sosial Ilmu Alam Jumlah

Setuju 45 103 143

Tida ada pendapat 12 15 27

Tidak setuju 193 32 225

Jumlah 250 150 400

Silahkan uji apakah pendapat tersebut dapat dibenarkan?



Daftar Pustaka

Setiawan, Nugraha. (2005). Statistik Nonparametrik untuk Penelitian

Sosial Ekonomi Peternakan. Bandung: Fakultas Peternakan

Universitas Padjajaran.

Siegel, Sidney.(1992). Statistik Nonparametrik untuk Ilmu-Ilmu

Sosial. Jakarta : Gramedia.

Walpole, Ronald. E.(1992). Pengantar Statistika. Jakarta: PT

Gramedia Pustaka Utama

Prent, J. (1991.) Metode Statistik Nonparametrik Terapan. Jakarta: UI-

PRESS

Daniel, W. (1990). Applied Nonparametric Statistics. Canada: Nelson

Education.

Documents

Statistik Non Parametrik€¦ · Modul Diklat Fungsional Statistisi Tingkat Ahli – Badan Pusat Statistik 3. Metode non-parametrik dapat digunakan meskipun data diukur dalam skala