III. DISTRIBUSI FREKUENSI

Istilah-istilah :1) Kelas interval = tingkatan kelompok-kelompok nilai.

Misal, kelas interval 1 = 31 – 40 kelas interval 2 = 41 – 50

2) Frekuensi : banyaknya individu yang muncul dalam kelas interval

3)Ujung kelas/ Limit kelas = angka terkecil dan terbesar dalam tiap kelas interval. Angka terkecil menunjukkan ujung bawah, sedangkan angka terbesar menunjukkan ujung atas

4) Batas kelas, batas kelas bawah = ujung kelas bawah - 0,5 dan batas kelas atas = ujung kelas atas + 0,5 bila data satuan. Bila data per sepuluhan, maka digunakan – 0,05 atau + 0,05. Contoh 30,5 & 40,5

5) Panjang kelas interval = selisih positif antara ujung bawah yang berurutan.Misal, kelas interval 1 = 31 – 40; kelas interval 2 = 41 – 50. Jadi panjang kelas 41 – 31 = 10

6) Tanda kelas interval = ½ (ujung bawah + ujung atas). Contoh untuk kelas interval 1 mempunyai tanda kelas interval = ½ (31 + 40)= 35,5

Cara membuat tabel distribusi frekuensi

Nilai Ujian

Banyaknya Mahasiswa

(f)31 – 4041 – 5051 – 6061 – 7071 – 8081 – 9091 - 100

235

14242012

Jumlah 80

Tabel . Nilai Statistika

Contoh, nilai ujian statistika untuk 80 orang mahasiswa ditampilkan pada tabel berikut :

79 49 48 74 81 98 87 8080 84 90 70 91 93 82 7870 71 92 38 56 81 74 7368 72 85 51 65 93 83 8690 35 83 73 74 43 86 8892 93 76 71 90 72 67 7580 91 61 72 97 91 88 8170 74 99 95 80 59 71 7763 60 83 82 60 67 89 6376 63 88 70 66 88 79 75

1) Tentukan rentang/range/jangkauan : yaitu data terbesar dikurangi data terkecil. Data terbesar 99, data terkecil 35, maka rentang = 99 – 35 = 64

2) Tentukan jumlah kelas interval, biasanya antara 5 – 15 tergantung keperluan. Cara lain untuk n > 200 adalah menurut aturan STURGES :

Banyak kelas = 1 + (3,3) log n

n menyatakan banyak data, hasil akhir dijadikan bilangan bulat. Misal ada 80 data (n), maka banyak kelas = 1 +(3,3) log 80 = 7,28. Kita dapat membuat daftar distribusi frekuensi dengan banyak kelas 7 atau 8 buah.

3) Tentukan panjang kelas interval (p)

p = rentang : banyak kelas

Harga p diambil sesuai dengan ketelitian satuan data yang digunakan. Jika data berbentuk satuan, ambil harga p teliti

sampai satuan. Untuk data hingga satu desimal, p ini diambil hingga satu desimal, dst. Terkait di atas, maka =

P = 64:7 = 9,14. Dari sini bisa kita ambil p = 9 atau 10

4) Tentukan ujung bawah kelas interval pertama, bisa sama dengan data terkecil atau nilai data yang lebih kecil dari data terkecil tetapi selisihnya harus kurang dari panjang kelas yang telah ditentukan. Selanjutnya daftar diselesaikan dengan menggunakan harga-harga yang telah dihitung.

5) Dengan p=10 dan memulai dg data yg lebih kecil dari data terkecil (diambil 31), maka kelas pertama adalah 31 – 40, kelas ke dua 41 – 50 dsb

6) Membuat daftar penolong, dengan banyak kelas 7, panjang kelas 10, dimulai dengan 31, maka dapat dibuat daftar penolong sbb :

NILAI UJIAN TABULASI FREKUENSI31 – 4041 – 5051 – 6061 – 7071 – 8081 – 9091- 100

///////////// //// //////// //// //// //// //////// //// //// //////// //// //

235

14242012

Nilai Ujian

Banyaknya Mahasiswa

(f) 31 – 40 41 – 50 51 – 60 61 – 70 71 – 80 81 – 90 91 - 100

2 3 5

14 24 20 12

Jumlah 80

Jika ujung bawah kelas pertama diambil sama dengan data terkecil (35), maka diperoleh tabel sbb :

Nilai Ujian

Banyaknya Mahasiswa

(f)

35 – 4445 – 5455 – 6465 – 7475 – 8485 – 9495 - 104

338

2320194

Jumlah 80 Ujung bawah kelas yang satu berbeda dari ujung atas kelas

sebelumnya, sehingga TIDAK BENAR membuat kelas-kelas sbb :

Atau

Perbedaan antara ujung bawah sebuah kelas dengan ujung atas kelas sebelumnya = 1, jika data dicatat hingga satuan

Perbedaan antara ujung bawah sebuah kelas dengan ujung atas kelas sebelumnya = 0,1, jika data dicatat hingga satu desimal

Perbedaan antara ujung bawah sebuah kelas dengan ujung atas kelas sebelumnya = 0,01, jika data dicatat hingga dua desimal, dst

Tabel. Banyak Siswa Beberapa Tingkatan Umur

Umur (tahun) f

Pada tabel samping, kelas interval terakhir adalah 95 – 104. Hal ini melebihi nilai yang biasa diberikan ialah 100. Dengan demikian tabel tsb tdk baik untuk digunakan.

31 – 4141 – 5151 – 61

dst

35 – 4545 – 5555 – 65

dst

Kurang dari 1515 – 2020 – 3030 – 4040 dan lebih

2.4564.0753.5603.2194.168

Jumlah 17.478

DISTRIBUSI FREKUENSI RELATIF DAN KUMULATIF

Uraian di atas menyatakan bahwa frekuensi merupakan banyak data yg terdapat dalam setiap kelas, jadi dalam bentuk ABSOLUT.

Jika frekuensi dinyatakan dalam persen, maka diperoleh daftar distribusi relatif (frel) atau f(%)

Tabel. Nilai Statistika unt 80 mahasiswa

Nilai Ujian fabs frel

31 – 4041 – 5051 – 6061 – 7071 – 8081 – 90

91 – 100

235

14242012

2,503,756,25

17,5030,0025,0015,00

Jumlah 80 100,00

Dikenal juga daftar distribusi frekuensi kumulatif, dibentuk dari daftar distribusi frekuensi biasa, dengan jalan menjumlahkan frekuensi demi frekuensi.

Dikenal 2 macam distribusi frekuensi kumulatif “kurang dari” dan “atau lebih”. Masing-masing tsb terdapat absolute dan relatif

Kelas terbuka terjadi pada kelas pertama dan atau kelas terakhir

Nilai ujian fkum fkum (%)Kurang dari 31Kurang dari 41Kurang dari 51Kurang dari 61Kurang dari 71Kurang dari 81Kurang dari 91

025

10244868

02,506,25

12,5030,0060,0085,00

Nilai ujian statistika (kumulatif kurang dari)

Nilai ujian statistika (kumulatif atau lebih)

Nilai ujian fkum fkum (%)31 atau lebih41 atau lebih51 atau lebih61 atau lebih71 atau lebih81 atau lebih

807875705632

100,0097,5093,7587,5070,0040,00

HISTOGRAM DAN POLIGON FREKUENSI

Untuk menggambar diagram dari daftar distribusi frekuensi, maka digunakan Sumbu mendatar : menyatakan kelas interval Sumbu tegak : menyatakan frekuensi (absolute atau relatif) Yang ditulis pada sumbu datar adalah batas-batas kelas interval Bentuk diagram seperti diagram batang, namun sisi-sisi batang berdekatan

harus berimpitan

f

25 20

15

10

Nilai ujian fkum fkum (%)Kurang dari 31Kurang dari 41Kurang dari 51Kurang dari 61Kurang dari 71Kurang dari 81Kurang dari 91

025

10244868

02,506,25

12,5030,0060,0085,00

Nilai ujian fkum fkum (%)31 atau lebih41 atau lebih51 atau lebih61 atau lebih71 atau lebih81 atau lebih

807875705632

100,0097,5093,7587,5070,0040,00

poligon frekuensi

f

80706050403020100 31 41 51 61 71 81 91 101 Nilai

f

80706050403020100 31 41 51 61 71 81 91 101 Nilai

Frekuensi kumulatif kurang dari Frekuensi kumulatif atau lebih

5

0 30,5 40,5 50,5 60,5 70,5 80,5 90,5 100,5 Nilai

Histogram dan Poligon Frekuensi

Bagaimana dengan data yang mempunyai panjang kelas yang berbeda ?

GAJI f5.000 – 5.9996.000 – 6.9997.000 – 7.9998.000 – 8.999

9.000 – 12.99913.000 – 13.499

30322518282

Jumlah 135

f

32

28

24

20

16

12

8

4

0 4.999,5 5.999,5 6.999,5 7.999,5 8.999,5 12.999,5 13.499,5 Gaji

MODEL POPULASI

25polygon frekuensi

20

15

10

5

0 30,5 40,5 50,5 60,5 70,5 80,5 90,5 100,5 Nilai

Jika semua data dalam populasi dapat dikumpulkan dibuat daftar distribusi frekuensi digambarkan kurva frekuensinya, maka KURVA tsb dapat menjelaskan SIFAT atau KARAKTERISTIK POPULASI.

Model populasi : normal, simetrik, positif atau miring kekiri, negatif atau miring kekanan, bentuk J, bentuk J terbalik, dan bentuk U

MODEL NORMAL lebih tepat digambarkan berdasarkan persamaan matematikanya. Bentuk model normal selalu simetrik dan mempunyai sebuah puncak. Kurva dengan sebuah puncak disebut unimodal

MODEL SIMETRIK, bagian dari model normal. Model normal selalu simetrik, tapi tidak sebaliknya, disini puncaknya juga unimodal

kurva frekuensi

f

f

MODEL POSITIF, menggambarkan bahwa terdapat sedikit gejala yang bernilai makin besar (Contoh, soal terlalu sulit banyak yang mendapat nilai jelek)

MODEL NEGATIF, menggambarkan bahwa terdapat banyak gejala yang bernilai makin besar (Contoh : soal terlalu mudah banyak peserta mendapat nilai baik)

MODEL J, terdapat dalam dunia ekonomi, industri, peternakan dan perikanan

MODEL J TERBALIK, terdapat dalam dunia ekonomi, industri, peternakan dan perikanan

MODEL U, mempunyai dua buah puncak sehingga disebut bimodal. Model dengan lebih dari satu puncak dinamakan multimodal