Modul – 3 .Modul – 3 .Statistika Ekonomi IStatistika Ekonomi I

MateriMateri

Konsep Probabilitas Perhitungan dalam Konsep

Probabilitas. Konsep Kombinasi Peristiwa : - mutually exclusive (saling asing) - non mutually exclusive (saling

tindih) - gayut (dependent) - tak gayut (independent)

PengantarPengantar

Mungkin kehausan manusia yang tak terpuaskan terhadap perjudianlah yang akhirnya membawa pada pengembangan awal teori peluang. Dalam usaha untuk memperbesar kemenangan para penjudi meminta bantuan para ahli matematika untuk mengatur siasat yang optimum bagi berbagai permainan judi. Matematikawan yang menghasilkan siasat tersebut, antara lain : Pascal, Leibniz, Fermat, dan James Bernoulli. Akibat pengembangan awal teori peluang ini, inferensia statistik, yang berusaha meramal dan mengeneralisasi dan telah berkembang di luar permainan judi, seperti bidang politik, bisnis, peramalan cuaca dan penelitian ilmiah.

PendahuluanPendahuluan

Definisi: Probabilitas adalah peluang suatu kejadian

Manfaat:Manfaat mengetahui probabilitas adalah membantu pengambilan keputusan yang tepat, karena kehidupan di dunia tidak ada kepastian, dan informasi yang tidak sempurna.

Contoh:• pembelian harga saham berdasarkan analisis

harga saham• peluang produk yang diluncurkan perusahaan

(sukses atau tidak), dll.

Konsep ProbabilitasKonsep Probabilitas

Probabilitas: Suatu ukuran tentang kemungkinan suatu peristiwa (event) akan terjadi di masa mendatang. Probabilitas dinyatakan antara 0 sampai 1 atau dalam persentase.

Percobaan: Pengamatan terhadap beberapa aktivitas atau proses yang memungkinkan timbulnya paling sedikit dua peristiwa tanpa memperhatikan peristiwa mana yang akan terjadi.

Hasil (outcome): Suatu hasil dari sebuah percobaan.

Peristiwa (event): Kumpulan dari satu atau lebih hasil yang terjadi pada sebuah percobaan atau kegiatan.

Contoh :Contoh :

Percobaan/Kegiatan

Pertandingan sepak bola Persija VS PSIS di Stadion Senayan, 12 September 2009.

Hasil Persija menangPersija kalahSeri -- Persita tidak kalah dan tidak menang

Peristiwa Persija Menang

Probabilitas FrekuensiProbabilitas Frekuensi

Probabilitas suatu kejadian tidak dianggap sama, tergantung dari berapa banyak suatu kejadian terjadi.

Probabilitas = jumlah peristiwa yang terjadi (ni) suatu peristiwa jumlah total percobaan (N)

Contoh :Contoh :

PERCOBAANPERCOBAAN HASILHASIL PROBABILITPROBABILITASAS

Kegiatan Melempar Uang 1. Muncul gambar2.   Muncul angka

½½

Kegiatan perdagangan saham

1. Menjual saham2. Membeli saham

½½

Perubahan harga 1.   Inflasi (harga naik)2.   Deflasi (harga turun)

½½

Mahasiswa melaksanakan ujian

1.   Lulus2. Tidak Lulus

1/2½

Teori Probabilita Klasik (1)Teori Probabilita Klasik (1)

Teori probabilita Klasik terdiri atas :

1) Probabilitas /Peluang “Sukses”

Apabila peristiwa E dapat terjadi melalui h cara dari kemungkinan n cara (yang terjadi) maka probabilitas sukses adalah :

2) Probabilitas /Peluang “Gagal”

Teori Probabilita Klasik (2)Teori Probabilita Klasik (2)

Setiap hasil dari n hasil yang mungkin muncul dengan kesempatan yang sama itu berpeluang muncul yang sama dengan 1/n.

Jika kejadian yang diharapkan tidak pernah terjadi, berarti n(A) = 0, maka P(A) = 0/n = 0, sehingga peluangnya = 0.

Jika kejadian A yang diharapkan itu selalu terjadi terus menerus, berarti n(A)=n maka P(A) = n/n = 1. Sehingga peluangnya = 1

Kesimpulannya adalah bahwa nilai P(A) terletak diantara nol dan satu, atau ditulis 0 P(A) 1.

Diagram VennDiagram VennDiagram ini biasanya digunakan untuk mempermudah menjelaskan teori probabilitas. Area (set) yang dibatasi oleh garis luar adalah “bidang atau ruang sampel” yaitu seluruh kemungkinan kejadian yang secara teoritis dapat muncul, dan bagian dari bidang serta yang terletak di dalam “bidang sampel” menggambarkan sebuah peristiwa (hasil) tertentu.

A BA BAS

Mutually Exclusive & Non Exclusive Mutually Exclusive atau disjoint (saling asing) :

Apabila kedua atau lebih peristiwa itu tidak dapat terjadi bersama-sama.

Non Exclusive atau joint (saling tindih) : apabila kedua atau lebih peristiwa terjadi bersama-sama.

A B

BA

Hukum Penambahan Apabila kedua kejadian saling pisah atau Mutually

Exclusive atau disjoint (saling asing), maka :

Apabila kedua kejadian Non Exclusive atau joint (saling tindih), maka :

Bila A1,A2,...,An saling pisah, maka

Bila A danA’ adalah dua kejadian yang satu merupakan komplemen lainnya, maka :

Kasus 1Kasus 11. Pada pelemparan dua buah dadu, tentukanlah

probabilitas munculnya dua dadu dengan jumlah 7 dan 11?

2. Peluang seorang mahasiswa lulus statistika ekonomi 1 adalah 2/3 dan peluang ia lulus etika bisnis adalah 4/9. Bila peluang lulus sekurang-kurangnya satu mata kuliah diatas adalah 4/5, berapa peluang ia lulus kedua mata kuliah itu ?

3. Dari 100 orang mahasiswa, 54 orang mempelajari matematika , 69 orang mempelajari sejarah, dan 35 orang mempelajari keduanya. Hitung peluang :

a. ia mempelajari matematika atau sejarah

b. ia tidak mempelajari keduanya.

c. ia mempelajari sejarah tetapi tidak mempelajari

matematika.

Peristiwa Tak Gayut, Gayut dan prob. Bersyarat Peristiwa “Tak Gayut” : Apabila kejadian atau

ketidakjadian suatu peristiwa tidak berpengaruh terhadap terjadinya peristiwa lain. Maka probabilitas bersyaratnya saling bebas adalah

Peristiwa “Gayut” : Apabila kejadian atau ketidakjadian atau peristiwa berpengaruh terhadap terjadinya peristiwa lainnya. Maka probabilitas bersyaratnya adalah

Hukum Perkalian (1)

Hukum perkalian untuk peristiwa “tak gayut” atau bila peristiwa A dan peristiwa B saling bebas, maka :

a. Hukum Perkalian Tak Gayut

b. Hukum Perkalian Gayut

Hukum perkalian untuk peristiwa “gayut” atau bila peristiwa A dan peristiwa B keduanya dapat terjadi sekaligus, maka :

Hukum Perkalian (2)

Hukum perkalian untuk peristiwa “tak gayut” atau bila peristiwa A1, A2,...,Ak (lebih dari dua) saling bebas, maka :

a. Hukum Perkalian Tak Gayut

Hukum perkalian untuk peristiwa “gayut” atau bila peristiwa A dan peristiwa B keduanya dapat terjadi sekaligus, maka :

b. Hukum Perkalian Gayut

Diagram PohonDiagram Pohon

1

Beli

Jual

0,6 BNI

BLP

BCA

BNI

BLP

BCA

0,25

0,40

0,35

0,25

0,40

0,35

Keputusan Jual atau Beli Jenis Saham

Probabilitas Bersyarat

Probabilitas bersama

1 x 0,6 x 0,35 = 0,21

1 x 0,6 x 0,40 = 0,24

1 x 0,6 x 0,25 = 0,15

1 x 0,4 x 0,35 = 0,14

1 x 0,4 x 0,40 = 0,16

1 x 0,4 x 0,25 = 0,10

0,21+0,24+0,15+0,14 +0,16+0,10 =1,0

Jumlah Harus = 1.0

Suatu diagram berbentuk pohon yang membantu mempermudah mengetahui probabilitas suatu peristiwa

Kasus 2Kasus 2

1. Misalkan kita mempunyai sebuah kotak berisi 20 lampu, yang 5 diantaranya rusak. Bila 2 lampu diambil secara acak dan tanpa pengembalian. Berapa peluang lampu yang diambil itu keduanya rusak ?

2. Sebuah kantung berisi 4 kelereng putih dan 3 kelereng hitam, kantung kedua berisi 3 kelereng putih dan 5 kelereng hitam. Satu kelereng diambil dari kantung pertama dan tanpa dilihat dimasukkan kedalam kantung kedua. Berapa peluang mendapatkan kelereng hitam bila sekarang kita mengambil satu kelereng dari kantung kedua?

Analisis Kombinasi

Prinsip dasarPrinsip dasar Bila suatu operasi dapat dilakukan dalam n1 cara,

dan bila untuk setiap cara tersebut operasi kedua dapat dilakukan dalam n2 cara, maka kedua operasi itu secara bersama-sama dapat dilakukan dalam n1.n2 cara.

Bila suatu operasi dapat dilakukan dalam n1 cara, bila untuk setiap cara tersebut operasi kedua dapat dilakukan dalam n2 cara, bila untuk setiap pasangan dua cara yang pertama operasi ketiga dapat dilakukan dalam n3 cara, dan demikian seterusnya, maka k operasi dalam urutan tersebut dapat dilakukan dalam n1, n2,...,nk cara.

Kasus 3Kasus 3

1) Bila sepasang dadu dilemparkan sekali, berapa banyaknya cara dadu tersebut mendarat? Susunlah cara dadu tersebut mendarat.

2) Berapa macam menu makan siang yang dapat disusun terdiri atas sup, sandwich, desert, dan minuman, yang dapat dipilih dari 4 macam sup, 3 jenis sandwich, 5 desert dan 4 jenis minuman ?

Bilangan Faktorial

Bila n bilangan bulat positif, maka bilangan faktorial ditulis dengan n! dan didefinisikan sebagai berikut:

n! = n.(n-1).(n-2).(n-3)...3.2.1n! = n.(n-1).(n-2).(n-3)...3.2.1

0! = 1 dan 1! = 10! = 1 dan 1! = 1

Contoh :

3 ! = 3.(3-1).(3-2) = 3.2.1 = 6

5! = 5.(5-1).(5-2).(5-3).(5-4) = 5.4.3.2.1 = 120

6! = ..............?

7!/5! =................?

17!/15! = ......................?

Permutasi Permutasi adalah suatu susunan yang dibentuk oleh

keseluruhan atau sebagian dari sekumpulan benda. Urutan susunan diperhatikan. Contoh ab ≠ ba, bc ≠ cb. Banyaknya permutasi n benda yang berbeda ada n!. Banyaknya permutasi akibat pengambilan r benda dari

n benda yang berbeda :

Banyaknya permutasi n benda yang berbeda yang disusun dalam suatu lingkaran adalah (n-1)!

Banyaknya permutasi yang berbeda dari n benda yang n1 diantaranya berjenis pertama, n2 berjenis kedua,..., nk berjenis-k adalah

Kasus 4Kasus 4

1) Berapa macam susunan antrian yang dapat dibentuk bila 6 orang mengantri untuk naik bis ?

2) Dua kupon lotere diambil dari 20 kupon untuk menentukan hadiah pertama dan kedua. Hitunglah berapa kemungkinan cara penyusunannya?

3) Sekelompok mahasiswa yang terdiri dari 4 orang duduk mengelilingi sebuah meja bundar. Dalam berapa cara keempat orang mahasiswa tadi dapat duduk mengelilingi meja tersebut.

4) Berapa banyak susunan yang mungkin, bila kita ingin membuat sebuah rangkaian lampu hias untuk gapura dari 3 lampu merah, 4 kuning, 5 hijau dan 2 biru?

Kombinasi Tidak memperhatikan urutan susunan. Contoh: AB= BA, AC

=CA,

BC=CB. Jumlah perhitungan banyaknya sampel yang dapat ditarik

diperkecil. Kombinasi dari “n” objek yang diambil sebanyak “r” ditulis

sebagai nCr atau C(n,r) atau Cnr atau saja.

Kasus 4Kasus 4

Bila dalam suatu kelompok terdapat 6 Ekonom dan 5 Sosiolog. Buatlah panitia kecil yang terdiri dari 3 orang, dimana terdiri atas 2 ekonom dan 1 sosiolog. Berapa banyak cara yang dapat dilakukan untuk membuat panitia tersebut ?