SAMPLING THEORY

(Probabilitas, Test Significance, Estimasi Parameter, Testing Hypothesa)

(Walpole, Chapters 8,9,10 )

Secara teoritis, dari suatu populasi yang terbatas dapat dihitung harga rata-rata populasi

(misalnya: rata-rata berat badan mahasiswa ITB Notasi = ). Besaran tersebut (harga

rata-rata) hanya ada satu harga, karena dihitung dari populasi, disebut juga parameter.

Dengan demikian parameter bukanlah variabel tetapi konstanta.

Dalam kenyataannya, walaupun suatu populasi sebenarnya terbatas, dalam praktek

mungkin kita tidak bisa mengukur parameter yang sesungguhnya karena masalah teknis

yang tidak memungkinkan. Contohnya rata2 berat badan warganegara Indonesia.

Kenyataan tersebut dan juga pertimbangan biaya memaksa kita untuk bekerja dengan

sample, sehingga hubungan fungsional antara sample dan population menjadi sangat

penting untuk diketahui karena kita akan menyimpulkan parameter (besaran karakteristik

populasi ) hanya berdasarkan pengetahuan kita dari sample (statistics)

Sampling theory berkaitan dengan sifat-sifat dari distribusi statistik sebagaimana berbagai

model probabilistic lainnya. Dari sifat-sifat distribusi statistik itulah dapat dilakukan

inferensi (generalisasi) terhadap populasi dan perkiraan error yang terkandung.

Dengan demikian sampling theory berkaitan dengan konstruksi atau pembentukan

distribusi probability dari statistik dan evaluasi tentang sifat-sifatnya.

Statistik yang dihitung dari random sample merupakan “random variable” oleh karena

nilai yang muncul tidak dapat dipastikan sebelumnya tetapi masih berupa kemungkinan.

Oleh karena itu setiap statistik akan bersifat probabilistic dan memiliki distribusi

probabilistic-nya sendiri (seringkali disebut sampling distribution, sebenarnya adalah

distribusi probability statistic yang dihitung dari sample)

Ke 4 aspek yang dibahas ( probabilitas, test significance, estimasi parameter dan testing

hypothesa) sebenarnya bukan topic yang terpisah, akan tetapi berkaitan satu sama lain

atau memiliki pemahaman yang sama.

Parameter = Besaran yang dihitung dari populasi, notasi : , 2

Statistics = Besaran yang dihitung dari sample, notasi : X , S 2

1. Sampling Distribution of Mean (Distribusi Probability dari Harga Rata-rata)

Dari suatu populasi dapat diambil sample dengan ukuran n < N berulang kali sampai

tidak terhingga, dan setiap sample akan memiliki harga rata-rata sample

)...,,( 321 dstXXX ,dengan nilai yang berbeda-beda , maka semua iX tersebut akan

membentuk populasi statistic harga rata2 yang akan berdistribusi dengan harga rata-rata

(harga rata-rata dari harga rata-rata sample): p

XX i

(p = banyaknya sample bukan ukuran sample)

karena banyaknya sampel yang diambil ber-ulang adalah tidak terhingga maka p ~

atau nilai harga rata2 iX akan membentuk populasi yang tidak terhingga maka notasi

statistic :p

XX i diatas berubah menjadi parameter :

X harga rata

2 dari populasi

harga rata2 sampel iX

Oleh karena dalam kenyataannya banyaknya sampel p yang bisa diambil jumlahnya tidak

terbatas, kita tidak bisa melakukan penghitungan X

secara empiris sehingga sifat-sifat

dari distribusi statistik ini harus diturunkan secara teoritis dalam kaitannya dengan

distribusi populasi X.

Central Limit Theorem:

Bila X adalah harga rata-rata dari sample dengan ukuran n yang diambil dari populasi

dengan mean = dan variance 2 , maka X akan mengikuti distribusi normal dengan

harga rata-rata dari X (notasi X

) = dan variance 2

X =

n

2

Bila 30n , theorem tersebut valid apapun distribusi dari populasi.

Bila 30n , theorem tersebut valid bila distribusi dari populasi adalah distribusi normal.

Dari formulasi diatas, dapat dilihat bahwa bila ukuran sampel semakin besar, maka

deviasi atau variance dari distribusi statistic X akan semakin kecil dan akan mendekati

nol bila ukuran sampel (n) mendekati ukuran populasi ( N )

Contoh 1: Perusahaan lampu memproduksi lampu dengan umur (lifetime) yang

mengikuti distribusi normal dengan rata-rata umur = 800 jam dan standar

deviasi = 40 jam.

Bila diambil random sample sebanyak 16 lampu berapa probability rata-rata

umur lampu tersebut sama atau kurang dari 775 jam?

Dalam soal tersebut, hanya diandaikan 1 sample diambil dengan ukuran sample = 16, dan

dari sample tersebut kita harus menyimpulkan probability bahwa harga rata-rata lifetime

≤ 775 jam. Jadi dalam kasus ini sampel belum diambil.

a. Probabilitas

Dari CLT kita mengetahui bahwa sample yang diambil akan menghasilkan harga rata-

rata sample iX yang akan berdistribusi normal dengan 800 X

dan

104

40

16

40

nX

Sample hanya diambil 1 x, dan dari CLT kita mengeahui bahwa nilai 775X adalah

bagian dari distribusi random variable iX dengan harga rata-rata X

= 800 dan

standar deviasi dari populasi 10X

Karena harga rata-rata )(X tersebut mengikuti distribusi normal, kita dapat

menggunakan table normal dengan memperlakukan harga rata-rata iX sama seperti

variable random lain yang berdistribusi normal. Untuk dapat menggunakan tabel

probabilitas standard normal, kita harus melakukan konversi nilai )(X menjadi nilai Z

standard normal.

Konversi nilai variable random X ke standar normal

Xz dimana X dalam

kasus ini adalah 775iX dan adalah 800X

dan adalah 10X

5,210

25

10

800775

z atau 0062,0)5,2()775( zPXP

Probabilitas sebesar (0,62%) perlu di- interpretasikan apakah cukup besar atau relatif

kecil? dan

apa artinya dalam pengambilan keputusan ? Pengertian tentang hal itu

berkaitan dengan aspek lain (test significance, test hypothesa) yang akan dibahas pada

bagian selanjutnya.

Untuk sementara ini dapat diartikan bahwa dari 1000 sample hanya akan ada ± 6 sampel

yang akan memiliki harga rata2 lifetime 775 jam.

775i

X

X 800

10X

denganXDistribusi

40dgnXDistribusi Sample sebanyak 16n bisa

diambil berulang-ulang dan akan

menghasilkan distribusi populasi

harga rata-rata (sampling

distribution of mean)

Jadi Probabilitas = 0,0062 bukanlah proporsi banyaknya produk yang akan memiliki

lifetime 775 jam, tetapi proporsi atau probability banyaknya sampel yang memiliki

harga rata2 lifetime 775 jam.

Untuk menentukan proporsi atau probability dari produk yang akan memiliki

lifetime 775 , dapat dihitung langsung dari distribusi populasi (dengan asumsi bahwa

=800 dan =40 adalah benar). Atau banyaknya produk dengan lifetime 775 jam

adalah P(X 775 )=P(z )625,040

)800775(

= 0,2676 atau 26,76 %.

Contoh 2 : Suatu pabrik diminta untuk memproduksi komponen (shaft) dengan ukuran

diameter rata-rata 5mm dan deviasi dari produksi ukuran tersebut adalah =

0,1. Untuk pengujian dilakukan random sampling sebanyak 100 dan

setelah dihitung ternyata rata-rata dari sample= 5,027.

Apa kesimpulan yang dapat diambil?

Dalam kasus ini sample diambil untuk mengkaji apakah proses produksi

memang menghasilkan produk dengan 0,5mm?

Kita mengetahui bahwa ukuran rata-rata produk yang dihasilkan tidak

mungkin seluruhnya tepat 5mm, tetapi akan bervariasi.

Bila kasus produksi memang menghasilkan produk dengan =5mm, maka

kemungkinan besar ukuran sample akan berada sekitar = 5mm atau dpl

tidak terlalu jauh dari 5mm. Rata-rata sample= 5,027 apakah dipandang

dekat/jauh dari ukuran yang diharapkan?

Kejadian bahwa harga rata2

sampel menyimpang lebih besar 0,027 dari yang diharapkan

bisa juga terjadi sebaliknya yaitu menyimpang lebih kecil atau menghasilkan harga rata2

= 5 - 0,027 = 4,973, sehingga probabilitas yang harus dicari adalah probabilitas sampel

akan menghasilkan )027,5( X dan )973,4( X

Harga rata2

X akan mengikuti distribusi normal dengan X

5 dan standard deviasi

01,010

1,0

100

1,0

nX

. Maka konversi nilai )027,5( X ke standard normal

adalah : Z = 7,201,0

027,0

01,0

5027,5

Probability terjadinya %35,00035,0)7,2()027,5( zPXP

dan %35,0)973,4()}027,05({ XPXP . Atau total Probability = 0,7%

Apa artinya besaran probability = 0,7% tersebut ?

Uraian

Dalam soal no.1 dan 2, kita bekerja dengan 3 distribusi:

a. Distribusi populasi dengan variable random Xi (umur lampu, diameter).

Distribusi populasi ini diasumsikan menghasilkan )40&800( 11 dan

)1,05( 22 &

b. Distribusi random variable Xi dalam sample yang menghasilkan 7751 X , dan

027,52 X (variance/deviasi dalam sample tidak diketahui).

c. Distribusi dari random variable iX . Berdasarkan CLT distribusi ini akan

mengikuti distribusi normal dan menghasilkan X

dan n

X

.

7751 X dan 027,52 X adalah bagian dari distribusi ini.

Oleh karena 21 & XX terambil (atau diasumsikan) maka seharusnya 21 & XX

tersebut memiliki peluang yang besar atau mendekati X

masing2. Bila ternyata

dari konversi ke standar normal (z), nilai 1X atau 2X jauh dari parameterX

(memiliki probability sangat kecil untuk terjadi) maka kita mungkin meragukan

bahwa harga rata-rata dari populasi )( adalah sama seperti yang dinyatakan.

Catatan:

Dari no.1 dan no.2, prosedur pengambilan kesimpulan dilakukan dengan cara

yang sama walaupun sebenarnya persoalannya berbeda.

Soal No.1:

Harga rata-rata populasi dianggap/diyakini benar dan kita ingin mengetahui

berapa besar probability mendapatkan ukuran rata-rata produk suatu harga

tertentu (dalam hal ini 775X ) (Note: sample sendiri belum diambil).

Soal No.2:

Harga rata-rata populasi tidak diyakini dengan pasti dan pengambilan sample

dilakukan untuk menguji apakah proses produksi memang menghasilkan produk

dengan ukuran rata-rata yang diharapkan? Sampling sudah dilakukan dan harga

rata-rata sample sudah dihitung

Kasus:

X diketahui

b. Test Significance.

Dari kedua soal diatas kita melihat bahwa masalah yang dihadapi adalah kita harus

mengartikan besar kecilnya probability yang terkait dengan suatu kejadian (event).

Probability harga rata2 lifetime sampel 775 jam=0,0062 dan Probability mesin

diketahui

menghasilkan produk dengan diameter rata2 027,5X apakah dipandang cukup

besar atau kecil.

Bila Probabilitas dianggap kecil untuk terjadi akan tetapi dalam kenyataannya itu

terjadi (artinya probability kejadian itu seharusnya besar), maka kita memiliki dasar

yang cukup rasional untuk mempertanyakan bahwa proses produksi kita mungkin

sudah menyimpang dari apa yang diharapkan.

Permasalahan assessment besar kecilnya probabilitas tersebut merupakan persoalan

yang sifatnya subjective, sehingga untuk bisa lebih rasional maka kita harus

menentukan batas besaran probabilitas yang dianggap besar dan kecil.

Batas tersebut seringkali disebut sebagai rejection level atau significance level (bila

dinyatakan dalam nilai Z ). Luas area atau probability atau proporsi yang terkait

dengan batas tersebut seringkali disebut sebagai rejection area atau daerah penolakan

kesalahan dan , bila dinyatakan dalam % probabililitas.

Pengujian significance sebenarnya mempertanyakan apakah besaran statitistik yang

didapat (dalam hal ini misalnya rata2 lifetime lampu = 775 jam atau rata

2 diameter =

5,027 mm) dapat dikatakan berbeda dari apa yang dinyatakan tentang besaran

parameter ( 1 = 800 dan 2 = 5 mm ) ?

Bila dalam soal no 1, sampel sebanyak 16 benar-benar diambil dan ternyata harga

rata2 sampel memang 7751 X , maka kita memperkirakan bahwa harga rata

2

populasi juga = 775 berdasarkan logika bahwa harga X yang terambil sebagai sampel

haruslah X yang memiliki probabilitas terbesar. Harga X yang memiliki probabilitas

terbesar adalah harga X yang seharusnya memiliki nilai = X

. Jadi bila sampel

menunjukkan harga X = 775 maka seharusnya nilai ini adalah = X

dan karena

berdasarkan CLT X

= , maka harga rata2 populasi juga = 775.

Dari pemikiran tersebut maka kemudian timbul pertanyaan, bila memang benar

demikian apakah kita dapat menyimpulkan bahwa penyimpangan tersebut (perbedaan

antara 775 dan 800 ) dapat dipandang sebagai perbedaan yang serius atau tidak?

Dalam terminology statistic pertanyaannya adalah :

Apakah nilai = 775 itu berbeda significance dengan nilai = 800 ? Pertanyaan ini

penting karena kita mengetahui bahwa setiap kali kita mengambil sampel maka nilai

harga rata2

sampel atau iX akan selalu berubah2 karena merupakan bagian dari suatu

distribusi. Sepanjang perbedaan tersebut dapat dipandang tidak significance, maka

kita menyimpulkan bahwa pernyataan tentang nilai parameter adalah benar dan

sebaliknya.

Dalam pengertian awam, tentu saja angka atau nilai 775 berbeda dengan 800, akan

tetapi dalam analisa statistic kita tidak dapat menyimpulkan seperti itu, karena

signifikasi perbedaan antara nilai dari dua distribusi akan tergantung kepada besar

kecilnya variance distribusi tersebut.

Pertanyaan diatas seringkali juga dinyatakan dalam bentuk lain ” Apakah sample

yang diambil berasal dari populasi lain ? ” Sampel akan dianggap berasal dari

populasi lain bila harga atau nilai statistic sampel memang berbeda significance

dengan apa yang dinyatakan sebagai parameter populasi.

Untuk melakukan test significance kita perlu menentukan daerah atau batas

probabilitas untuk rejection atau sering disebut (alpha).

Dalam kenyataannya tidak ada rumusan yang pasti untuk menentukan besar-kecilnya

, akan tetapi didasarkan pada kebiasaan atau konvensi, biasanya antara 2.5% sd

10%

Area rejection atau probabilitas terkait langsung dengan pengertian probabilitas

kesalahan pengambilan kesimpulan atau sering disebut Error Type I yang sekaligus

menentukan besarnya probabilitas kesalahan β atau Error Type II

Dalam kenyataannnya, untuk setiap pengambilan kesimpulan statistic, kita tidak akan

pernah bebas dari kemungkinan kesalahan, karena kaitan antara dan β. Bila kita

mencoba memperkecil probabilitas kesalahan maka kita akan memperbesar

probabilitas kesalahan β, demikian pula sebaliknya.

Rejection α dan

Risiko menolak hypothesa yang seharusnya tidak ditolak (type I error)

Risiko ”menerima” (tidak bisa menolak) hypothesa yang seharusnya ditolak (type II

error)

Bila A adalah distribusi populasi dan B distribusi sample

A 1BX

Pengujian significance dilakukan dengan membandingkan antara probabilitas terjadinya

suatu kejadian dengan batas α yang ditetapkan. Bila probabilitas kejadian yang dihitung

< α maka disimpulkan bahwa perbedaan cukup significance, demikian sebaliknya.

Misalnya bila ditetapkan batas α = 5%, maka untuk contoh soal no 1, dimana hanya

dipermasalahkan kejadian X 775 dan dari perhitungan P( X 775 ) = 0,62 % atau

BX

Sample menunjukkan harga di

BX jadi ditolak padahal BX bisa saja

berasal dari distribusi A.

Sebaliknya, harga 1BX bisa saja

berada pada daerah , sehingga tidak

ditolak, padahal nilai 1BX memang

berasal dari distribusi B1 bukan

distribusi A

kurang dari 5%, maka bila sampel menghasilkan rata2 775X , maka perbedaan dengan

μ = 800 dipandang significance atau sampel dipandang berasal dari distribusi lain

dengan 800 .

Untuk soal no 2, karena yang dipertanyakan adalah nilai 973,4X dan 027,5X maka

batas rejection α = 5% akan terbagi pada kedua sisi distribusi (two tails), masing2 =

2,5%

Dari perhitungan yang didapat, probabilitas masing2 untuk kedua kejadian tersebut

besarnya adalah 0,35% atau lebih kecil dari batas 2

. Artinya kita menyimpulkan

bahwa perbedaan harga rata2 027,5X

cukup

significance berbeda dari harga rata

2

populasi yang dinyatakan yaitu μ = 5. Kesimpulan itu dapat diartikan bahwa parameter

harga rata2 populasi 5

c. Testing Hypothesa

Analisis yang menyangkut perhitungan probabilitas dan test significance sebenarnya

terkait langsung dengan apa yang secara formal disebut pengujian Hypothesa.

Sebagaimana dikemukakan terdahulu, data parameter dalam kenyataannya sulit untuk

diketahui kecuali populasi yang terbatas dan memang secara teknis dapat dihitung. Dalam

kebanyakan kasus data parameter selalu bersifat hypotethetic karena tidak diketahui.

Parameter mungkin ditetapkan berdasarkan data masa lalu, hasil perhitungan

perencanaan teknis, atau sekedar asumsi, perkiraan atau harapan.

Dengan demikian, semua pernyataan tentang parameter sebenarnya adalah hypothesa

yang harus diuji, dimana pengujian empiric hanya dapat dilakukan melalui sampel karena

pendataan dan perhitungan populasi (sensus) sulit untuk dilakukan.

Untuk contoh soal no 1 diatas maka pernyataan bahwa 800 sebenarnya adalah

hypothesa yang harus diuji sehingga formulasi masalahnya adalah sbb :

H0 : 800 (hypothesa nol)

H1: 800 (hypothesa alternative)

Dalam kasus ini Hypothesa alternative hanya tertarik untuk melakukan pengujian 1 arah

(one tail) yaitu kearah nilai harga rata2 < 800, karena kasusnya menyangkut produksi

lampu dimana kemungkinan konsumen complaint adalah bila umur lampu dibawah atau

kurang dari yang dinyatakan oleh produsen.

Dari perhitungan probabilitas 775X sebesar 0,62 % < α = 5%, telah disimpulkan

bahwa harga rata2 sampel 775X berbeda significance dari apa yang dinyatakan

produsen bahwa 800 atau Hypothesa Nol : H0 ditolak.

Dalam pengujian significance, walaupun H1 adalah (< 800) akan tetapi untuk pengujian

yang digunakan adalah nilai harga rata2

dari sampel ( 775X ).

Untuk contoh soal no 2, pengujian dilakukan 2 arah (two tails) karena hasil produk tidak

boleh memiliki ukuran rata2 yang lebih besar atau lebih kecil dari yang seharusnya.

H0 : 5 Hasilnya adalah sebagaimana dalam test significance

H1 : 5 dimana H0 ditolak karena total probability 0,7%<2,5%

d. Estimasi Parameter

Sebagaimana dikemukakan terdahulu, pernyataan atau data parameter pada dasarnya

bersifat hypothetic. Walaupun pengujian significance menyimpulkan bahwa H0 tidak

dapat ditolak atau kita tertbebas dari kesalahan α akan tetapi kita tetap memiliki risiko

kesalahan β.

Karena nilai parameter sesunggguhnya tidak pernah bisa diketahui, maka yang bisa kita

lakukan hanyalah memperkirakan atau melakukan estimasi nilai parameter berdasarkan

satu-satunya sumber informasi kita yaitu data statistic dari sampel.

Point estimate dan Intervale Estimate

Untuk perkiraan data harga rata2

populasi atau μ, apa yang kita miliki dengan pasti

hanyalah data harga rata2 sampel X . Kita dapat menggunakan statistic X tersebut

sebagai estimate μ dan bila dilakukan seperti itu maka kita melakukan perkiraan yang

disebut Point Estimate. Pendekatan ini memang memberikan satu estimate atau angka

perkiraan yang exact akan tetapi seberapa jauh kita bisa meyakini perkiraan yang exact

tersebut karena pada umumnya perkiraan seperti itu pasti tidak benar atau tingkat

keyakinan/kepercayaan kita atas point estimate tsb mendekati nol.

Dari kenyataan tersebut maka proses estimasi akan selalu terkait dengan tingkat

keyakinan/kepercayaan atas kebenaran estimate tersebut atau yang sering disebut

confidence level (atau confidence coefficient atau degree of confidence

Bila confidence level dari point estimate adalah nol atau dpl point estimate sama sekali

tidak dapat dipercaya, maka satu2 nya cara untuk meningkatkan tingkat keyakinan atau

confidence level tersebut adalah dengan membuat estimate yang bukan hanya 1 (satu)

angka, akan tetapi suatu interval estimate.

Walaupun demikian, interval estimate juga tidak bisa memberikan confidence level 100%

karena 100% confidence level hanya bisa diberikan bila interval estimate tersebut

mencakup estimate dari (- ~) sampai (+ ~) .

Oleh karena itu seringkali batas interval estimate ditetapkan berdasarkan confidence level

yang disesuaikan dengan besaran α, atau confidence level = (1- α)

Bila confidence level ditetapkan = (1- α), maka interval estimate adalah: X

ZX 2

dimananX

disebut sebagai standard error of estimate

Batas atas dan bawah interval yaitu X

ZX 2

dan X

ZX 2

disebut confidence limit

Dari hubungan dalam interval estimate tersebut dapat dilihat bahwa bila hanya X

digunakan sebagi point estimate maka 2

Z haruslah = 0 atau 2

haruslah 50%, artinya

confidence level haruslah = 1 – %502 = 0

Dari contoh soal no.1 diatas, bila ditetapkan %5 maka interval estimate dimana

parameter berada adalah :

6,197751096,17752

X

ZX atau 6,7944,755 .

Jadi berdasarkan statistic sample dapat dilihat bahwa perkiraan harga estimate

parameter tidak pernah mencapai nilai 800 .

Risiko kesalahan α dan β

Hasil perhitungan estimasi parameter diatas sekaligus juga sebenarnya merupakan cara

lain untuk konfirmasi perhitungan probabilitas, perbedaan significance ataupun test

hypothesa yang dihitung pada bagian sebelumnya yang intinya pernyataan bahwa

800 harus ditolak.

Dengan menolak H0 maka kesimpulan kita terbebas dari risiko β (type II error) tetapi kita

memiliki risiko α sebesar 5% oleh karena ada 5% kemungkinan bahwa sampel dengan

harga 775X berasal dari distribusi dengan 800 .

Seandainya sampel kita menunjukkan harga 790X , maka probability

%51587,0)0,110

800790()790(

ZPXP artinya kita tidak bisa

menolak H0.

Dengan tidak menolak H0 maka kita terbebas dari risiko α akan tetapi kita memiliki risiko

kesalahan β.

Untuk menghitung besarnya risiko β, prosedurnya adalah sbb :

1. Nilai batas rejection utk α=5% one tail, adalah z = -1,65 (sebelah kiri 800 )

2. Konversikan nilai Z = - 1,65 menjadi nilai X pada distribusi dengan 800 ,

-1,65= 783,5101,65-800 XX

atau 10

800

3. Konversikan nilai X = 783,5 menjadi nilai Zstandard normal pada distribusi dengan

790 .

65,010

7905,783

Z dan dari tabel normal maka P( 65,0Z ) =0,7422 atau

kita menghadapi risiko sebesar 74,22 % melakukan kesalahan β (tidak menolak

hypothesa yang seharusnya ditolak )

Kasus σ tidak diketahui

Dalam pembahasan sebelumnya, nilai parameter σ diasumsikan diketahui. Apabila nilai

parameter σ tersebut tidak diketahui maka kita dapat menggunakan deviasi/variance S

yang dapat dihitung dari sampel sebagai estimate σ.

Dengan menggunakan S sebagai estimate σ maka dalam konversi nilai X melalui

formula : X

X

, besaran yang dihasilkan lebih mengikuti distribusi t dan bukan

distribusi normal atau X

Xt

dengan degree of freedom v = n-1, Nilai t yang didapat

dibandingkan dengan rejection level 2

t , atau dicari probabilitasnya untuk dibandingkan

dengan 2

yang ditetapkan.

Untuk interval estimate : n

StX2

Untuk contoh soal no 1, maka variance sampling distribution adalah: n

SX .

Bila deviasi tidak diketahui dan misalkan yang diketahui adalah S =40, maka sampling

distribution dari X akan memiliki deviasi 1016

40 X

, maka konversi X =775

adalah : t = 10

800775

X

XX

= -2,5. Maka P( t<-2,5 ) untuk dof 15adalah antara 1-

1,5 %. ( Bandingkan dengan solusi awal dimana diketahui = 40, melalui konversi ke

distribusi normal maka P(Z<-2,5)=0,62%.

Walaupun angka probabilitas tersebut dalam kasus ini tetap menunjukan signifikasi

perbedaan, akan tetapi dengan n semakin kecil kecenderungan untuk melakukan

kesalahan menjadi semakin besar. Bila n >30, maka utk nilai 5,2t besarnya

probabilitas adalah sekitar 0,75% yang tidak banyak berbeda dengan pengujian Z.

Degree of Freedom

Banyaknya informasi yang independent yang dapat digunakan (measure of sample

informasi)

a) Banyaknya besaran (kuantitas) yang tidak diketahui minus banyaknya persamaan

independent yang menghubungkan besaran yang tidak diketahui tersebut.

Contoh : Dalam persamaan aljabar kita hanya bisa menetapkan besaran yang tidak

diketahui bila kita memiliki persamaan yang independent sebanyak besaran

yang tidak diketahui tersebut.

Misalnya: a + b + c = d, maka kita memiliki 3 dof karena ada 4 besaran

yang tidak diketahui dan persamaan hanya ada satu, artinya bila 3 besaran

kita tetapkan maka besaran ke 4 akan terdefinisi.

Bila ada persamaan lain mis: a + b = 3, maka dof kita 4 -2 = 2. Artinya bila

kita tentukan 2 besaran, maka besaran ke 3 dan ke 4 akan terdefinisi. Bila

ada persamaan lain : a + c = 4, maka dof = 1, cukup 1 besaran kita tetapkan

maka ke 3 besaran lain terdefinisi. Bila ada lagi persamaan a + d = 5, maka

dof = 0. Atau tidak ada degree of freedom, untuk 4 besaran yang tidak

diketahui, 4 persamaan independent akan mendefinisikan besaran-besaran

tersebut.

a + b + c = d a = 2,5

a + b = 3 b = 0,5

a + c = 4 c = 1,5

b + d = 5 d = 4,5

Dalam menentukan harga rata-rata X kita memiliki n dof karena untuk:

Xn

X i

, .. dimana untuk sebanyak n besaran yang tidak diketahui (X1, X2, ... Xn) kita

tidak memiliki persamaan apapun yang menghubungkan antara harga Xi ersebu

jadi ki a bebas menen ukan se iap harga i tersebut

Dalam menentukan 1n

)X(XS

2

i2

kita memiliki (n – 1) dof karena :

1iX s/d n , kita memiliki satu persamaan yang menghubungkan nilai )X(X i

tersebut, yaitu 0)X(Xi

RESUME

a. Nilai parameter yang dinyatakan pada dasarnya bersifat hypothetic karena

ditetapkan berdasarkan design teknis/perencanaan, data masa lalu atau sekedar

harapan/keinginan sehingga harus diuji melalui data empiris yang diambil dari

sampel.

b. Sampel menghasilkan statistic yang memiliki hubungan fungsional dengan

parameter, sehingga inferensi mengenai parameter populasi dapat dilakukan.

c. Nilai statistic iX dari sampel adalah nilai dari variabel random yang memiliki

probabilitas tertentu untuk terjadi sehingga besar kecilnya nilai probabilitas dapat

digunakan untuk menentukan kesimpulan benar tidaknya nilai parameter yang

dinyatakan sebelumnya.

d. Perhitungan probabilitas, test significance, interval estimate dan test hypothesa

pada dasarnya adalah sama dan digunakan untuk menguji hypothetic parameter

yang dinyatakan.

e. Untuk kasus dimana tidak diketahui, maka S (standard deviasi sampel) dapat

digunakan sebagai pengganti (estimate) , tetapi konversi variabel random iX

akan mengikuti distribusi t, bukan distribusi normal.