Statistika u ekonomiji i menadžmentu

Naziv djela: Statistika u ekonomiji i menadžmentu

Drugo izdanje

Autor: Prof. dr Rabija Somun-Kapetanović

Izdavač: Ekonomski fakultet u Sarajevu

Glavni i odgovorni urednik: Dekan, prof. dr Muris Čičić

Recenzenti: Prof. dr Divna Janković

Prof. dr Želimir Vučković

Urednik: Prof. dr Hasan Muratović

Lektor: Dr Aiša Softić

DTP: Engin Mešanović

Štampa: VMG Grafika, Mostar

Tiraž: 300

Godina izdanja: 2008.

---------------------------------------------------------------------------- CIP – Katalogizacija u publikaciji Nacionalna i univerzitetska biblioteka Bosne i Hercegovine, Sarajevo

330. 45: 512. 2] (075. 8)

SOMUN-Kapetanović, Rabija Statistika u ekonomiji i menadžmentu / Rabija Somun-Kapetanović. – 2. izd. – Sarajevo : Ekonomski fakultet, 2008. – 424 str. : graf. prikazi ; 24 cm

Bibliografija: str. 423-424

ISBN 978-9958-25-008-8 I. Kapetanović, Rabija Somun – vidi Somun-Kapetanović, Rabija COBISS.BH-ID 16445958 ------------------------------------------------------------------------

Dr Rabija Somun-Kapetanović

STATISTIKA U EKONOMIJI I MENADŽMENTU

DRUGO IZDANJE

Sarajevo, 2008. godine

5

PREDGOVOR PRVOM IZDANJU

Postoji više pristupa prezentaciji statističke metodologije. Dva ekstremna slučaja su prezentacije kompletno matematizirane i apstraktne i prezentacije potpuno deskriptivne, bez provjere i izvođenja dokaza. Pristup koji smo mi primijenili u prezentaciji nalazi se između ova dva ekstremna slučaja i ima dva osnovna cilja. To su prezentacija i aplikacija analiziranih metoda i razumijevanje i interpretacija dobijenih rezultata. Ova knjiga je namijenjena prvenstveno studentima ekonomije, menadžmenta i ostalih društvenih nauka. Iako su bazni koncepti statistike univerzalni, naš pristup je baziran na analizi, prezentaciji i aplikaciji osnovnih koncepata u domenu ekonomije i menadžmenta. Osnovne definicije, osobine i rezultati su izvedeni i dokazani u mjeri u kojoj smo to smatrali korisnim za razumijevanje i aplikaciju prezentirane problematike.

Sadržaj ovog izdanja knjige je rezultat dugogodišnjeg autorovog iskustva u nastavi iz oblasti Kvantitativne ekonomije i predmeta: Matematičke metode u ekonomiji, Međusektorska analiza, Operaciona istraživanja, Statistika, Eksperimentalna statistika, Statistika u ekonomiji i menadžmentu, Poslovna statistika, Kvantitativne metode i Demografija na Ekonomskom fakultetu u Sarajevu, Fakultetu ekonomskih nauka i upravljanja Univeziteta Louis Pasteur u Strasbourg-u (Faculté des sciences économiques et de gestion de l’Université Louis Pasteur de Strasbourg) i Instituta za demografiju Univerziteta Marc Bloch u Strasbourg-u (Institut de démographie de l’Université Marc Bloch de Strasbourg).

Ova knjiga je koncipirana prema nastavnom programu predmeta Statistika u ekonomiji i menadžmentu koji se izučava na prvoj godini Ekonomskog fakulteta u Sarajevu. Sastavljena je iz šest poglavlja sa sljedećim naslovima: Statistika i statistička istraživanja, Analiza i sinteza podataka, Regresiona i korelaciona analiza, Dinamička analiza i mjerenje evolucije, Osnovi vjerovatnoće i teorijske distribucije vjerovatnoće te Teorija i metode uzoraka i statističko zaključivanje. U svakom poglavlju su definisani, analizirani i formalizirani osnovni pojmovi i kategorije koji su zatim aplicirani na konkretnim primjerima. Aplikacija analiziranih metoda je vršena na statističkim podacima objavljenim u publikacijama Federalnog zavoda za statistiku Bosne i Hercegovine, Agencije za statistiku Bosne i Hercegovine i Nacionalnog instituta za statistiku i ekonomske studije (INSEE) Francuske. Na kraju svakog poglavlja su prezentovani lista

6

teorijskih pitanja, riješeni zadaci i zadaci sa elementima rješenja. U prilogu su date tablice teorijskih distribucija vjerovatnoće.

Posebnu zahvalnost izražavam recenzentima prof. dr Divni Janković i prof. dr Želimiru Vučkoviću čije su primjedbe i prijedlozi doprinijeli poboljšanju teksta. Autor je odgovoran za eventualne greške i propuste. Zahvaljujem i mojim saradnicama posebno mr Emini Resić, koja je pažljivo pročitala tekst, pripremila tablice u prilogu, i u svim fazama izrade ovog udžbenika mi pružila veliku pomoć, kao i Adeli Delalić i Almiri Arnaut-Berilo. Svim ostalim koji su doprinijeli da ova knjiga bude napisana i objavljena iskreno zahvaljujem.

Knjigu posvećujem mojoj majci za 99. rođendan i za njenu beskrajnu ljubav, plemenitost i dobrotu.

Nadam se da će ova knjiga zadovoljiti potrebe studenata i svih onih koji koriste statističke metode u svom radu. Unaprijed zahvaljujem za sve primjedbe, sugestije i konstruktivne kritike koje bi mogle poboljšati prezentovani tekst.

Sarajevo, aprila 2006.g.

Prof. dr Rabija Somun-Kapetanović

PREDGOVOR DRUGOM IZDANJU

Zadovoljstvo mi je prezentovati drugo izdanje knjige „Statistika u ekonomiji i menadžmentu“. U ovom izdanju su izvršene određene izmjene, dopune i korekcije teksta prvog izdanja.

Zahvaljujem mojim saradnicima mr Emini Resić, Adeli Delalić i Ademiru Abdiću koji su svojim sugestijama doprinijeli poboljšanju teksta za drugo izdanje ove knjige.

Sarajevo, marta 2008. godine

Prof. dr Rabija Somun-Kapetanović

7

SADRŽAJ

POGLAVLJE 1. STATISTIKA I STATISTIČKA ISTRAŽIVANJA 15

1.1. POJAM STATISTIKE 15

1.2. NAUČNI PRISTUP STATISTIČKOM ISTRAŽIVANJU 17 1.2.1. Prikupljanje podataka 17

1.2.1.1. Metode prikupljanja podataka 17 1.2.2. Obrada podataka 19

1.3. STATISTIČKI SKUP I STATISTIČKE VARIJABLE 19 1.3.1. Statistički skup i njegove karakteristike 19 1.3.2. Pojam, proces mjerenja i karakteristike statističke

varijable 20 1.3.2.1. Nominalna skala 21 1.3.2.2. Ordinalna skala 21 1.3.2.3. Intervalna skala 22 1.3.2.4. Metrička skala 22

1.3.3. Primjer projekta istraživanja 22 1.3.4. Statistički pojmovi i definicije 23 1.3.5. Prezentacija statističkih podataka 25

1.3.5.1. Tabelarna prezentacija 28 1.3.5.2. Grafička prezentacija 31

POGLAVLJE 2. ANALIZA I SINTEZA PODATAKA 39

2.1. FREKVENCIJE I KUMULATIVNE FREKVENCIJE 39 2.1.1. Definicije 39 2.1.2. Formalizacija definicija 40

2.2. KLASIFIKACIJA STATISTIČKIH VARIJABLI 44 2.2.1. Kvalitativne varijable 44

2.2.1.1. Kvalitativna nominalna varijabla 44 2.2.1.2. Kvalitativna ordinalna varijabla 45

2.2.2. Kvantitativne varijable 45 2.2.2.1. Kvantitativna prekidna varijabla 45 2.2.2.2. Kvantitativna neprekidna varijabla 45

2.3. GRAFIČKI PRIKAZI PREKIDNE I NEPREKIDNE VARIJABLE 45

8

2.4. MJERE SREDNJE VRIJEDNOSTI ILI MJERE CENTRALNE TENDENCIJE 47

2.4.1. Aritmetička sredina 48 2.4.1.1. Jednostavna aritmetička sredina 48 2.4.1.2. Ponderisana aritmetička sredina 49 2.4.1.3. Osobine aritmetičke sredine 50

2.4.2. Geometrijska sredina 53 2.4.3. Harmonijska sredina 54 2.4.4. Kvadratna i kubna sredina 55 2.4.5. Mod ili centar aktivnosti 56 2.4.6. Medijana ili centar pozicije 58

2.4.6.1. Određivanje medijane u uređenoj seriji 58 2.4.6.2. Određivanje medijane za statističku distribuciju frekvencija 59 2.4.6.3. Medijana i kumulativna frekvencija 60 2.4.6.4. Karakteristike medijane 62

2.4.7. Kvantili 62 2.4.7.1. Određivanje kvantila u uređenoj seriji 62 2.4.7.2. Određivanje kvantila u intervalno grupisanoj seriji 63 2.4.7.3. Kvartili 63 2.4.7.4. Decili 65 2.4.6.5. Centili 65

2.5. MJERE DISPERZIJE ILI VARIJACIJE 66 2.5.1. Apsolutne mjere disperzije 67

2.5.1.1. Raspon varijacije 67 2.5.1.2. Interkvantilno apsolutno odstupanje 67 2.5.1.3. Box Plot 67 2.5.1.4. Srednje apsolutno odstupanje 69 2.5.1.5. Varijansa 71 2.5.1.6. Standardna devijacija 74

2.5.2. Relativne mjere disperzije 75 2.5.2.1. Interkvantilna relativna odstupanja 75 2.5.2.2. Koeficijent kvartilne devijacije 76 2.5.2.3. Koeficijent varijacije 76 2.5.2.4. Standardizovane varijable 76

2.5.3. Čebiševa teorema 77 2.5.4. Primjer grafičke sinteze parametara pozicije i disperzije 78 2.5.5. Pregled mjera srednje vrijednosti i varijacije 79

2.6. MJERE OBLIKA DISTRIBUCIJE 80 2.6.1. Momenti distribucije frekvencija 80 2.6.2. Mjere asimetrije 81 2.6.3. Parametri spljoštenosti 84

9

2.7. MJERE KONCENTRACIJE 87 2.7.1. Lorenzova kriva 87 2.7.2. Ginijev koeficijent 91

2.7.2.1. Određivanje Ginijevog koeficijenta metodom trapeza 92 2.7.2.2. Određivanje Ginijevog koeficijenta metodom trouglova 93

2.7.3. Medijala 95

2.8. TEORIJSKA PITANJA 96 2.9. RIJEŠENI ZADACI I ZADACI SA ELEMENTIMA RJEŠENJA 98

POGLAVLJE 3. REGRESIONA I KORELACIONA ANALIZA 111

3.1. MODELIZACIJA VEZA IZMEĐU VARIJABLI 111 3.1.1. Etape konstrukcije modela 112

3.1.1.1. Dijagram (oblak) rasipanja 112 3.2. KOVARIJANSA 113 3.3. REGRESIONA ANALIZA 116 3.3.1. Kriterij izbora regresione prave i metod najmanjih kvadrata 117 3.3.2. Pretpostavke o osobinama stohastičnosti modela 120 3.3.3. Aplikacija analiziranih metoda 121 3.4. MJERENJE REPREZENTATIVNOSTI

REGRESIONOG MODELA 126 3.4.1. Koeficijent determinacije 126 3.4.2. Koeficijent korelacije 128 3.4.3. Standardna greška regresionog modela 129 3.4.4. Koeficijent varijacije regresionog modela 130 3.4.5. Aplikacija različitih oblika regresionog modela 130

3.4.5.1. Linearni model 131 3.4.5.2. Eksponencijalni model 134 3.4.5.3. Stepeni model 135 3.4.5.4. Logaritamski model 135

3.4.6. Spearmanov koeficijent korelacije ranga 140 3.5. MODEL VIŠESTRUKE REGRESIJE 140 3.5.1. Koeficijent multiple determinacije, multiple linearne korelacije,

koeficijenti parcijalne korelacije i korelaciona matrica 141 3.5.2. Analiza numeričkog primjera 142 3.6. TEORIJSKA PITANJA 145 3.7. RIJEŠENI ZADACI 146

10

POGLAVLJE 4. DINAMIČKA ANALIZA I MJERENJE EVOLUCIJE 153

4.1. APSOLUTNA I RELATIVNA PROMJENA 153 4.2. INDEKSI 160 4.2.1. Individualni indeksi 161

4.2.1.1. Indeksi sa stalnom bazom (bazni indeksi) 162 2.1.2. Indeksi sa promjenljivom bazom (lančani,

verižni indeksi) 164 4.2.2. Osobine indeksa 171 4.2.3. Relacije između baznih i lančanih indeksa 181

4.2.3.1. Pretvaranje lančanih indeksa u bazne 181 4.2.3.2. Pretvaranje baznih u lančane indekse 182 4.2.3.3. Pretvaranje indeksa na stalnoj bazi u indekse na

drugu stalnu bazu 182 4.2.4. Agregatni indeksi 183

4.2.4.1. Konstrukcija agregatnih indeksa Laspeyres i Paasche metodom agregiranja 185

4.2.4.2. Konstrukcija indeksa Laspeyres i Paasche pomoću ponderisanih sredina 187

4.2.4.3. Formule za računanje i osobine agregatnih indeksa 188 4.2.4.4. Fischerov indeks cijena 191 4.2.4.5. Agregatni indeks vrijednosti i njegova dekompozicija 191 4.2.4.6. Inflacija i deflator 192

4.3. VREMENSKE (HRONOLOŠKE) SERIJE 193 4.3.1. Konstitutivni elementi vremenske serije 194 4.3.2. Metod pokretnih sredina za određivanje trenda 195

4.3.2.1. Određivanje tendencije metodom pokretnih sredina neparnog reda 196

4.3.2.2. Određivanje tendencije metodom pokretnih sredina parnog reda 198

4.3.3. Aditivni model 202 4.3.4. Multiplikativni model 202 4.3.5. Metod najmanjih kvadrata za određivanje dugoročne

tendencije (trenda) 203 4.3.5.1. Linearni trend 204 4.3.5.2. Parabolični trend 207 4.3.5.3. Eksponencijalni trend 208


11

POGLAVLJE 5. OSNOVI VJEROVATNOĆE I TEORIJSKE DISTRIBUCIJE VJEROVATNOĆE 229

5.1. Uloga i značaj eksperimenta u statistici 229 5.1.1. Slučajni eksperiment, skup mogućih rezultata eksperimenta

i događaji 230 5.1.1.1. Vrste događaja 232 5.1.1.2. Osobine skupova 235

5.2. DEFINISANJE VJEROVATNOĆE 235 5.2.1. Eksperimentalni pristup definisanju vjerovatnoće 236 5.2.2. Teorijska definicija vjerovatnoće 237 5.2.3. Teoreme vjerovatnoće 239

5.2.3.1. Teorema aditivnosti 239 5.2.3.2. Teorema multiplikativnosti 240 5.2.3.3. Uslovna vjerovatnoća i nezavisnost slučajnih događaja 240 5.2.3.4. Bayesova teorema 241

5.2.4. Kombinatorika 244 5.2.4.1. Permutacije 244 5.2.4.2. Kombinacije 244 5.2.4.3. Varijacije 245

5.2.5. Slučajna ili stohastička varijabla 245 5.2.5.1. Prekidna slučajna varijabla 246 5.2.5.2. Neprekidna slučajna varijabla 250

5.2.6. Čebiševa teorema 252 5.2.7. Prekidne distribucije (zakoni, rasporedi) vjerovatnoće 253

5.2.7.1. Uniformni zakon vjerovatnoće 253 5.2.7.2. Bernoullijeva distribucija vjerovatnoće 255 5.2.7.3. Binomna distribucija vjerovatnoće 257 5.2.7.4. Poissonova distribucija vjerovatnoće 261 5.2.7.5. Hipergeometrijska distribucija vjerovatnoće 266 5.2.7.6. Tabelarni pregled prekidnih distribucija 266

5.2.8. Neprekidne distribucije vjerovatnoće 267 5.2.8.1. Neprekidna uniformna distribucija 267 5.2.8.2. Normalna distribucija vjerovatnoće ili Laplace-Gaussova

distribucija 269 5.2.8.3. Aproksimacije distribucija vjerovatnoće 279 5.2.8.4. Hi-kvadrat ( )2χ distribucija 283 5.2.8.5. Studentova t distribucija 285 5.2.8.6. Ficher-Snedecorova (F) distribucija 288 5.2.8.7. Tabelarni pregled neprekidnih distribucija vjerovatnoće 290 5.2.8.8. Centralna granična teorema 290

12

5.2.8.9. Šematski prikaz prekidnih i neprekidnih distribucija vjerovatnoće 291


POGLAVLJE 6. TEORIJA I METODA UZORAKA I STATISTIČKO ZAKLJUČIVANJE 305

6.1. OSNOVE TEORIJE UZORAKA 306 6.2. VRSTE UZORKA I METODE ZA IZBOR UZORKA 311 6.2.1. Slučajni uzorci 311

6.2.1.1. Jednostavni slučajni uzorak 312 6.2.1.2. Sistematski uzorak 315 6.2.1.3. Uzorak sa nejednakom vjerovatnoćom izbora jedinica 316 6.2.1.4. Stratifikovani uzorak 317 6.2.1.5. Uzorak skupina 317 6.2.1.6. Višestepeni uzorak 318 6.2.1.7. Višefazni uzorci 319 6.2.1.8. Panel uzorak 320 6.2.1.9. Namjerni uzorci 320

6.3. PROCJENE OBILJEŽJA OSNOVNOG SKUPA NA OSNOVU UZORKA 321

6.4. ODREĐIVANJE INTERVALA POVJERENJA 327 6.4.1. Intervalna procjena aritmetičke sredine osnovnog skupa 327

6.4.1.1. Intervalna procjena aritmetičke sredine osnovnog skupa čija je varijansa poznata 327

6.4.1.2. Procjena intervala aritmetičke sredine osnovnog skupa čija je varijansa nepoznata 331

6.4.1.3. Interval povjerenja za aritmetičku sredinu osnovnog skupa čija distribucija nije poznata 332

6.4.2. Procjena intervala povjerenja za proporciju 334 6.4.3. Intervalna procjena standardne devijacije i varijanse

osnovnog skupa 336 6.4.3.1. Intervalna procjena standardne devijacije 336 6.4.3.2. Intervalna procjena varijanse osnovnog skupa pomoću

hi-kvadrat distribucije na osnovu poznate varijanse malog uzorka 337

6.4.3.3. Interval povjerenja za varijansu velikog uzorka 337 6.4.4. Interval povjerenja totala osnovnog skupa 338 6.4.5. Interval povjerenja za medijanu 338

13

6.4.6. Ocjena intervala za parametre modela linearne regresije 339 6.4.7. Intervalna procjena koeficijenta korelacije 340 6.5. TESTIRANJE HIPOTEZA 342 6.5.1. Formulisanje hipoteza 342

6.5.1.1. Donošenje odluke i greške tipa I i II 344 6.5.1.2. Empirijski nivo značajnosti p-vrijednost 345

6.5.2. Testiranje hipoteze o aritmetičkoj sredini osnovnog skupa 346 6.5.2.1. Varijansa osnovnog skupa poznata 346 6.5.2.2. Testiranje hipoteze o aritmetičkoj sredini osnovnog

skupa u slučaju kada varijansa osnovnog skupa nije poznata i n ≥30 350

6.5.2.3. Testiranje hipoteze o aritmetičkoj sredini osnovnog skupa u slučaju kada varijansa osnovnog skupa nije poznata i n<30 351

6.5.3. Test hipoteze za proporciju 355 6.5.3.1. Dvosmjerni test hipoteze za proporciju 355 6.5.3.3. Jednosmjerni test za proporciju na donju granicu 356

6.5.4. Testiranje hipoteze o varijansi osnovnog skupa 357 6.5.4.1. Dvosmjerni test 357 6.5.4.2. Test hipoteze za varijansu na gornju granicu 358

6.5.5. Testiranje hipoteze o značajnosti parametara u regresionom modelu 358 6.5.5.1. Pojedinačni test značajnosti parametra regresionog

modela 359 6.5.5.2. Testiranje značajnosti svih varijabli u modelu 360 6.5.5.3. Testiranje hipoteze o razlici (jednakosti) airtmetičkih

sredina dva osnovna skupa 360 6.5.5.4. Testiranje hipoteze o jednakosti aritmetičkih sredina

više osnovnih skupova – Analiza varijanse 363 6.5.5.5. Testiranje hipoteze o jednakosti koeficijenta korelacije

dva osnovna skupa 365 6.6. NEPARAMETARSKI TESTOVI 366 6.7. TEORIJSKA PITANJA 366 6.7. RIJEŠENI ZADACI I ZADACI SA ELEMENTIMA RJEŠENJA 368

PRILOG 1. - STATISTIČKE TABLICE 393 PRILOG 2. - PRIJEVODI TERMINA IZ EXCELA 421

LITERATURA 423

15

POGLAVLJE 1

STATISTIKA I STATISTIČKA ISTRAŽIVANJA

1.1. POJAM STATISTIKE

Naziv statistika potiče od novolatinskog termina ratio status i italijanskog ragione di stato što znači državni interes i izvedenice statista koja predstavlja osobu sposobnu za vođenje državnih poslova. Pojam statistika možemo definisati na više načina, zavisno od toga da li ga definišemo u užem ili širem smislu i da li se definicija odnosi na statistiku kao nauku ili na pojam koji predstavlja skup numeričkih podataka. Navodimo sljedeće definicije i značenja pojma statistika.

1. Statistika predstavlja grupu naučnih metoda koje omogućuju prikupljanje podataka o masovnim pojavama, njihovu prezentaciju, analizu, tumačenje i korištenje u razne svrhe, prvenstveno u svrhu informisanja i donošenja odluka.

2. Statistika je nauka koja proučava varijacije masovnih pojava i njihovih elemenata u vremenu i prostoru u cilju informisanja i donošenja odluka.

3. Statistika predstavlja skup uređenih numeričkih podataka o raznim prirodnim ili društvenim pojavama koje prikupljaju i objavljuju statističke, naučnoistraživačke i druge ustanove.

Statistika u ekonomiji i menadžmentu

16

Prve dvije definicije određuju pojam statistike kao nauke koja se bavi izučavanjem masovnih pojava (npr. proizvodnja, prodaja, rađanje itd.).

Masovne pojave istražujemo na osnovu informacija o obilježjima elemenata koji ih sačinjavaju. Elemente koji posjeduju niz obilježja na osnovu kojih se istražuju varijacije masovne pojave nazivamo statističkim jedinicama. Skup statističkih jedinica (elemenata ili individua) nazivamo statistički skup ili populacija.

Cilj statistike je, dakle, proučavanje varijacija obilježja elemenata statističkog skupa prvenstveno kvantitativnim metodama u cilju utvrđivanja zakonitosti koje vladaju među raznim pojavama.

Statistiku kao naučnoistraživačku metodu možemo podijeliti na deskriptivnu i inferencijalnu (analitičku, induktivnu, matematičku) statistiku. U prvom dijelu ove knjige ćemo analizirati metode deskriptivne statistike koje predstavljaju bazu kvantitativnih metoda koje se primjenjuju u ekonomiji. Da bismo preciznije odredili pojam deskriptivne statistike navodimo nekoliko definicija.

1. Deskriptivna statistika je naučna metoda informisanja o masovnim pojavama koja, koristeći kvantifikaciju i formalizaciju, omogućava donošenje odluka.

2. Deskriptivna statistika je metoda kvantitativne deskripcije masovnih pojava.

3. Deskriptivna statistika predstavlja skup metoda koje omogućavaju opis, prezentaciju i rekapitulaciju podataka koji su najčešće vrlo brojni.1

Metode inferencijalne statistike se zasnivaju na teoriji vjerovatnoće. Polazeći od analize uzorka kao dijela osnovnog skupa, metodama inferencijalne statistike je moguće ocijeniti osobine osnovnog skupa uz odgovarajući nivo pouzdanosti.

1 B.Goldfarb; C.Pardoux: Introduction à la méthode statistique, Dunod, Paris, 1993.,

str.1.

Poglavlje 1. – Statistika i statistička istraživanja

17

1.2. NAUČNI PRISTUP STATISTIČKOM ISTRAŽIVANJU

Naučno istraživanje ima za cilj da analizira i objasni realnost i da omogući i olakša razumijevanje univerzuma. U toj funkciji naučni pristup u stvaranju i konstrukciji znanja se bazira vrlo često, ali ne samo i ekskluzivno, na korištenju podataka o masovnim pojavama. Da bi mogli biti korišteni, podaci o masovnim pojavama moraju biti obrađeni i analizirani. Etape naučnog pristupa u istraživanju na bazi podataka su predstavljene u šemi 1.1.

Definisanje problematike istraživanja

Zaključci i donošenje odluka

Definisanje ciljevaPrikupljanje podataka

Obrada i analiza podataka

Provjera podataka

Tumačenje i interpretacija

Etape naučnog pristupa u istraživanjuŠema 1.1.

Prve dvije etape zavise od svakog konkretnog istraživanja. Predmet naše analize će biti treća etapa, koja obuhvata više faza, i četvrta etapa statističkog zaključivanja i donošenja odluka.

1.2.1. Prikupljanje podataka

Podatak je činjenica koja može, ali i ne mora, biti brojčana i koja predstavlja informaciju koju možemo koristiti u našem istraživanju. Za prikupljanje podataka možemo koristiti više metoda.

1.2.1.1. Metode prikupljanja podataka

• Direktno posmatranje (evidentiranje)

Direktno posmatranje predstavlja najjednostavniji način prikupljanja podataka. Pod posmatranjem podrazumijevamo svaku činjenicu koja se odnosi na jednu situaciju, fenomen ili slučaj, pod uslovom da oni ne mogu biti promijenjeni posmatranjem. Naprimjer, možemo posmatrati broj osoba prisutnih u amfiteatru, boju table, boju očiju, itd. Veliki broj podataka


18

prikupljen na ovaj način sadržan je u evidencijama, registrima i drugim dokumentima (npr.: podaci o broju rođenih, broju umrlih, o prodaji određenog proizvoda, temperaturi, medicinskim tretmanima, itd.)

• Anketa

Anketa se sastoji u ispitivanju određenog broja osoba jedne populacije. Ova metoda omogućava prikupljanje podataka koji se ne mogu prikupiti direktnim posmatranjem i koje je teško prikupiti na drugi način. Domeni primjene ove metode su naprimjer: analiza tržišta kojom želimo saznati koje proizvode više koristimo, šta jedemo, kako se oblačimo, koje knjige čitamo itd. Postoje također ankete mišljenja, profesionalne ankete, sociološke ankete, itd. Prikupljanje podataka ovom metodom podrazumijeva realizaciju više etapa. Potrebno je precizno definisati potrebnu informaciju u funkciji cilja i predmeta istraživanja, sredstva kojima raspolažemo, rok za prikupljanje podataka. Pošto se anketa odnosi na osobe jedne populacije potrebno je precizno definisati populaciju. Tip ankete koji se najčešće primjenjuje u praksi je anketa određenog broja osoba populacije. Odabrani broj osoba iz populacije se naziva uzorak. Izbor uzorka se vrši primjenom različitih metoda koje zavise od cilja istraživanja, ograničenja i raspoloživih informacija o populaciji.

Načini realizacije ankete su također brojni. Vrlo je bitno pripremiti kvalitetan, precizan i jasan upitnik. Zatim se mogu angažovati anketari koji će direktno realizovati anketu. Postoji mogućnost slanja upitnika putem pošte ili realizacija ankete telefonskim pozivima. Ova dva postupka realizacije ankete su manje pouzdani i impliciraju više metodoloških problema koje je potrebno riješiti prilikom obrade ankete.

• Popis

Popis je oblik prikupljanja podataka pri kojem se obuhvataju sve jedinice statističkog skupa u određenom trenutku. Popis je najobuhvatniji način prikupljanja podataka. Pošto zahtijeva veliki utrošak sredstava i vremena provodi se samo u određenim vremenskim intervalima, npr. svakih 10 godina.

• Eksperiment

Prikupljanje podataka eksperimentisanjem podrazumijeva sistematsku i kontrolisanu realizaciju eksperimenta sa namjerom da se izučavaju razni


19

fenomeni, porede situacije ili provjere hipoteze. Potrebno je naglasiti da se postupak eksperimenta strogo kontroliše prema unaprijed razrađenom protokolu.

• Izvještaji i ostale indirektne metode prikupljanja podataka

Sljedeći postupak prikupljanja podataka obuhvata metode čija je zajednička karakteristika da ne analiziraju direktno jednu situaciju ili fenomen (dakle nema direktnog posmatranja) nego neke njihove posljedice. Kao primjer ovog postupka prikupljanja podataka možemo navesti razne izvještaje kojima se podaci prikupljaju periodično, istorijske dokumente, itd.

1.2.2. Obrada podataka

Obrada prikupljenih podataka podrazumijeva realizaciju tri osnovne etape koje prethode donošenju odluka:

• Eksploatacija podataka (upoznavanje podataka, evidentiranje i sređivanje da bi se imala globalna vizija prikupljenih podataka).

• Deskriptivna analiza slijedi poslije prve etape i cilj joj je da opiše i predstavi prikupljene podatke pomoću tabela, grafičkih prikaza, izračunavanja osnovnih parametara. Bitni postupci u ove dvije etape su klasiranje, vizualizacija i sinteza prikupljenih podataka.

• Treća faza obuhvata ocjenu intervala povjerenja za analizirane parametre i provjeru hipoteza koje se odnose na istraživani fenomen. Analiza prikupljenih podataka bi trebala omogućiti realizaciju treće faze čiji cilj je generalizacija dobijenih rezultata i donošenje odluka.

1.3. STATISTIČKI SKUP I STATISTIČKE VARIJABLE

1.3.1. Statistički skup i njegove karakteristike

Statistički skup čine jedinice čija su obilježja (osobine, karakteristike) predmet istraživanja statističkom metodom. Statistički skup po obimu može biti konačan ili beskonačan. Statistički skup može biti realan u slučaju kada je sastavljen od jedinica koje postoje. Hipotetični skup čine jedinice koje se definišu nekim modelom. Da bi se mogao analizirati, statistički skup mora biti definisan. Definisati statistički skup znači odrediti obilježja koja mora


20

imati svaka jedinica da bi se mogla smatrati elementom tog skupa. Statistički skup se definiše pojmovno, prostorno i vremenski.

Pojmovna definicija skupa utvrđuje pripadnost skupu s obzirom na pojam jedinice (elementa). Uobičajeno je da se za veliki broj skupova pojmovne definicije utvrde zakonom ili aktima raznih institucija. Npr. statistički skup (populaciju) studenata predstavljaju osobe koje su upisane na visokoškolske ustanove i koje imaju studentska prava i obaveze. Možemo definisati skup nezaposlenih, skup aktivnog stanovništva, skup visokoškolskih institucija, skup privatnih preduzeća, itd.

Prostorna definicija definiše prostor kojem pripadaju jedinice statističkog skupa.

Vremenska definicija određuje vrijeme u kojem se statističke jedinice posmatraju i analiziraju. Osnovni skup može biti definisan u vremenskom trenutku ili vremenskom intervalu. U vremenskom trenutku se definišu npr. broj stanovnika, broj preduzeća, broj zaposlenih, osnovna sredstva. Uobičajeno je da se u vremenskom intervalu posmatra npr. poslovni rezultat ili proizvodnja nekog proizvoda u godini, trimestru ili mjesecu. Često se zbog nemogućnosti obuhvatanja svih elemenata skupa pojmovna i/ili prostorna definicija sužavaju. Npr. zbog teškoća i troškova identifikacije pod nezaposlenim se smatraju osobe prijavljene u zavodima za zapošljavanje.

Predmet statističkih istraživanja su obilježja (svojstva, karakteristike) jedinica posmatranog skupa. Skup podataka o posmatranom obilježju za sve jedinice predstavlja osnovni skup ili populaciju. Skup podataka o posmatranom obilježju za dio jedinica skupa predstavlja uzorak koji služi kao osnova za zaključivanje o osnovnom skupu (populaciji).

1.3.2. Pojam, proces mjerenja i karakteristike statističke varijable

Obilježja po kojima se razlikuju jedinice statističkih skupova nazivaju se varijable. Rezultati prikupljanja podataka o obilježjima jedinica statističkog skupa su najčešće prezentovani u formi skupa vrijednosti u kojem se procesom prebrojavanja i mjerenja pridružuju jedinicama skupa brojevi ili oznake prema određenim pravilima. Pravila pridruživanja su definisana mjernim skalama. Mjeriti varijablu elementa statističkog skupa znači


21

konstruisati podatak koji se nalazi na mjernoj skali. Postoji više tipova mjernih skala koje se razlikuju po logičkim i matematičkim operacijama koje se mogu primijeniti na analiziranu varijablu.

1.3.2.1. Nominalna skala

Nominalna skala je predstavljena u obliku liste obilježja po kojima se razlikuju elementi statističkog skupa. Nominalna obilježja mogu biti atributivna i geografska. Skala može predstavljati dva (npr. pol muški ženski) ili više modaliteta (nacionalnost, mjesto stanovanja, zanimanje, privredne djelatnosti: industrija i rudarstvo, poljoprivreda i ribarstvo, šumarstvo, vodoprivreda, građevinarstvo, promet i veze, trgovina, ugostiteljstvo i turizam, zanatstvo, stambeno-komunalne djelatnosti, financijske i druge usluge). Modalitetima nominalne varijable se mogu pridružiti brojevi koji služe kao identifikatori ili kodovi. Matematičke operacije na ovoj skali nisu dozvoljenje. Jedina operacija koja se može primijeniti je prebrojavanje. Poredak kategorija je arbitraran. Ime skale i varijable se često koriste i kao sinonimi. Nomenklatura je uređen popis modaliteta nominalne varijable, kojima se pripisuje nomenklaturni broj. Nomenklature su konvencije, koje se donose zakonski ili dogovorom državnih organa ili međunarodnih organizacija.

1.3.2.2. Ordinalna skala

Ordinalna skala pridružuje elementima skupa obilježja koja se mogu porediti, rangirati i klasirati prema nekom logičkom redosljedu. Ordinalne varijable se mogu prebrojavati i upoređivati i u ovom slučaju se mogu koristiti operatori (>, =, <), ali matematičke operacije nisu dozvoljene. Ordinalna varijabla naziva se i varijabla ranga. Kao primjere ovog tipa varijabli navodimo varijablu ekonomska razvijenost zemalja prema sljedećim modalitetima: razvijene zemlje, zemlje u razvoju i nerazvijene zemlje. Ako posmatramo populaciju studenata prve godine Ekonomskog fakulteta konstatujemo da su elementi ili statističke jedinice te populacije studenti. Varijabla mjerena na ovoj skali može biti ocjena na ispitu ako su njeni modaliteti: odličan, vrlodobar, dobar, dovoljan, nedovoljan. Modalitete ove skale možemo kodirati. Dozvoljena je i njihova transformacija uz uslov da se njom ne mijenja poredak modaliteta.


22

1.3.2.3. Intervalna skala

Na intervalnoj skali obilježjima elemenata populacije se pridružuju brojevi. Razlike u mjerenim obilježjima elemenata su predstavljene razlikama brojeva na intervalnoj skali. Položaj nule i mjerna jedinica su određeni arbitrarno. Nulu možemo postaviti na skali gdje želimo ali se mora uvijek zadovoljiti osobina ove skale da razlike među mjerenim obilježjima odgovaraju razlikama brojeva na intervalnoj skali. Tipičan primjer intervalne skale su temperaturne skale npr. Celzijusova ili Farenhajtova skala. Operacije dozvoljene na ovoj skali su prebrojavanje, poređenje i oduzimanje.

1.3.2.4. Metrička skala

Omjerna, metrička ili numerička skala posjeduje «prirodnu nulu» koja ukazuje na odsustvo posmatranog obilježja. Vrijednosti pridružene elementima predstavljaju vrijednosti numeričke varijable. Na numeričkoj skali su dopuštene osnovne matematičke operacije i zbog toga ova skala ima najbolje metričke osobine i omogućava najširu i najprecizniju analizu. Razlike i omjeri između mjerenih obilježja su izraženi numerički i imaju precizno značenje. Numeričke varijable mogu biti prekidne (diskretne) i neprekidne (kontinuirane). Numerička varijabla koja može poprimiti konačno ili prebrojivo mnogo cjelobrojnih vrijednosti naziva se prekidnom (diskretnom), kao npr. broj članova porodice, broj studenata upisanih na određeni fakultet, itd. Numerička varijabla je kontinuirana ako može poprimiti neograničen broj vrijednosti (ili bilo koju vrijednost iz nekog intervala) npr. visina, težina, itd.

Statističke varijable (promjenljive) mjerene na nominalnoj i ordinalnoj skali nazivaju se kvalitativne varijable. Varijable mjerene na intervalnoj i numeričkoj skali su kvantitativne varijable.

1.3.3. Primjer projekta istraživanja

1) Oblast istraživanja Koja populacija (statistički skup) je predmet našeg istraživanja? Studenti Ekonomskog fakulteta u Sarajevu. 2) Objekat istraživanja Šta želimo posmatrati na ovoj populaciji? Mjeriti kvalitet studija. Potrebno je kompletirati upitnik i anketirati određen broj studenata.


23

3) Period realizacije ankete: 2 puta godišnje na kraju semestra. Na kraju ove etape statističar raspolaže podacima koje treba obraditi. 4) Obrada podataka

• Kratki rok: - Prezentiranje rezultata

- Analiza rezultata - Upoređivanje rezultata - Traženje veza

• Dugi rok: - Mjerenje evolucije

Osnovno pitanje koje se postavlja je: kako obraditi podatke da bi se dobila korisna informacija?

5) Prezentacija rezultata • Dekanu i prodekanu • Upravnom odboru • Nastavnicima i administraciji • Studentima

6) Donošenje odluka Koje odluke treba donijeti da bi se poboljšao kvalitet studija?

Obrada podataka predstavlja sadržaj naše analize. Nema recepta koji nam omogućava da znamo koju obradu treba primijeniti na podatke u svakom konkretnom slučaju. Ostaje nam istraživanje, znanje, iskustvo, rad i razmišljanje o svakom konkretnom slučaju.

1.3.4. Statistički pojmovi i definicije

• Statistički skup koji je predmet istraživanja se naziva populacija. • Elementi populacije se nazivaju statističke jedinice. • Broj elemenata (statističkih jedinica) koji čine populaciju naziva se

veličina populacije. • Aplikacija koja svakom elementu populacije pridružuje jednu vrijednost

naziva se statistička varijabla. • Kategorije ili vrijednosti koje može imati jedna statistička varijabla

nazivaju se modaliteti. • Broj elemenata statističkog skupa koji posjeduju posmatrani modalitet

naziva se frekvencija modaliteta.


24

Primjer 1.1.

Tabela 1.1. Nastavnici sa punim radnim vremenom na visokoškolskim usta-novama u Federaciji Bosne i Hercegovine od 2001/2002 do 2004/2005 godine

Nastavnici 2001/2002 2002/2003 2003/2004 2004/2005 Redovni profesor 332 312 325 313 Vanredni profesor 248 257 254 275 Docent 251 276 295 304 Ostali 50 47 54 55 Ukupno 881 892 928 947

Statistički godišnjak Federacije Bosne i Hercegovine 2002, Federalni zavod za statistiku, Sarajevo, str.325. Statistički godišnjak Federacije Bosne i Hercegovine 2004, Federalni zavod za statistiku, Sarajevo, str. 259. Statistički godišnjak Federacije Bosne i Hercegovine 2005, Federalni zavod za statistiku, Sarajevo, str. 287.

Analizu podataka prezentovanih u tabeli 1.1. ćemo izvršiti za 2004/2005 godinu.

• Posmatrana populacija su nastavnici sa punim radnim vremenom na visokoškolskim ustanovama Federacije Bosne i Hercegovine

• Statistička jedinica je nastavnik. • Veličina populacije je 947 nastavnika. • Populacija je analizirana prema varijabli «naučno zvanje

nastavnika». • Varijabla ima četiri modaliteta: redovni profesor, vanredni profesor,

docent i ostali. • Prikupljeni podaci se odnose na 2004.-2005. akademsku godinu. • Frekvencija modaliteta npr. redovni profesor je 313.

U ovom slučaju radi se o kvalitativnoj ordinalnoj varijabli i njen grafički prikaz je dijagram sa stupcima.


25

0

50

100

150

200

250

300

350

2001/2002 2002/2003 2003/2004 2004/2005

Nastavnici na visokoškolskim ustanovama u Federaciji Bosne i HercegovineGrafikon 1.1.

redovni profesori vanredni profesori docenti ostali

1.3.5. Prezentacija statističkih podataka

Prikupljene statističke podatke možemo prezentovati na više načina. Najčešći oblici prezentacije podataka su:

• Tabelarni • Grafički • Formalni • Deskriptivni

Raspoložive podatke možemo predstaviti u tabelarnom obliku kompletirajući negrupisane statističke serije i uređene i grupisane statističke serije. Analizirat ćemo i na konkretnim primjerima ilustrovati negrupisanu statističku seriju, statističku seriju uređenu po veličini ili rangiranu statističku seriju, grupisanu statističku distribuciju frekvencija i intervalno grupisanu distribuciju.

• Negrupisanu seriju možemo formalizirati na sljedeći način:

xi; i=1,...., N (1.1)

• Uređenu ili rangiranu statističku seriju dobivamo ako podatke rangiramo (uredimo) po rastućem redosljedu i formaliziramo sljedećom relacijom:

x(i); (i)=1,...., N (1.2)


26

gdje (i) predstavlja rang opservacije. Seriju možemo urediti i po opadajućem redosljedu. Na uređenoj statističkoj seriji jednostavnije je uočiti najveći i najmanji podatak i eventualno neuobičajene vrijednosti podataka.

• Na osnovu uređene statističke serije moguće je kompletirati grupisanu seriju ili statističku distribuciju frekvencija koju izražavamo na sljedeći način:

( ) ; , 1, 2,....,j jx f j J= (1.3)

gdje fj predstavlja frekvenciju modaliteta xj. Ova serija sadrži dvije kolone. U prvoj koloni su predstavljeni modaliteti, a u drugoj koloni frekvencije koje pridružujemo odgovarajućim modalitetima. U ovom slučaju vrlo jednostavno uočavamo najmanji i najveći podatak u seriji bez posmatranja cijele serije uređenih podataka. Određujemo najčešći podatak (mod) i raspolažemo sa frekvencijom svakog modaliteta.

• Kada je broj podataka vrlo veliki, možemo kompletirati intervalno grupisanu distribuciju. Amplituda (širina, veličina) intervala je jednaka broju modaliteta koji pripadaju tom intervalu i dobija se kao razlika između desne (gornje) xj i lijeve (donje) xj-1 granice svakog intervala:

1j j ja x x −= − (1.4)

Treba imati u vidu amplitude intervala prije interpretacije rezultata i pažljivo posmatrati podatke da bi se moglo izvršiti grupisanje u intervale, razrede ili klase. Svakom intervalu se pridružuje odgovarajuća frekvencija.

Grupisanje podataka u intervale i broj intervala zavisi od cilja grupisanja i može se vršiti primjenom raznih metoda. Intervali se mogu kompletirati tako da se razmak između najveće i najmanje vrijednosti podijeli na k podintervala koji se ne preklapaju. Cilj je da se u jednom intervalu grupišu relativno slične vrijednosti. Pošto ne postoji egzaktan način za određivanje broja intervala mogu se koristiti praktična iskustvai intuicija. U praksi se često primjenjuje Sturgesovo pravilo prema kojem se broj intervala k za grupisanje N podataka aproksimira sljedećim izrazom:

k = 1+ 3,3 log N (1.5)


27

Broj intervala se najčešće kreće između pet i petnaest, a rijetko prelazi dvadeset pet. Svaki interval ima donju i gornju granicu. Uobičajeno je da između gornje granice i-tog i donje granice (i+1) intervala vlada određen odnos. Ako je vrijednost gornje granice i-tog intervala jednaka vrijednosti donje granice (i+1) intervala radi se o pravim (preciznim) granicama intervala. Kada ovaj odnos nije zadovoljen radi se o nominalnim granicama intervala. Prave se granice najčešće određuju tako da se donja granica umanjuje, a gornja uvećava za polovinu razlike između gornje granice i-tog i donje granice (i+1) intervala. Interval se naziva otvorenim kada prvi interval nema donje ili posljednji interval gornje granice. Na sljedećim primjerima ćemo ilustrovati grupisanje podataka u intervale.

Tabela 1.2. Starosna struktura stanovništva Federacije BiH u 2000. godini Nominalne granice intervala sa jednim otvorenim intervalom

Starosna struktura u godinama Broj stanovnika 0-14 588 210 15-64 1 896 277 65 i više 316 513 Ukupno 2 801 000

Izvor: Statistički godišnjak Federacije Bosne i Hercegovine 2001, Sarajevo, 2001, str. 48.

Tabela 1.2a. Starosna struktura stanovništva Federacije BiH u 2000. godini Prave granice intervala sa dva otvorena

Starosna struktura u godinama Broj stanovnika-14,5[ 588 210 [14,5-64,5[ 1 896 277 [64,5 i više 316 513 Ukupno 2 801 000

Prikupljene podatke možemo prezentirati na više načina. Najčešće prezentacije koje ćemo mi koristiti su tabelarna i grafička prezentacija.


28

1.3.5.1. Tabelarna prezentacija

• Tabelarna prezentacija kvalitativne varijable

U sljedećoj tabeli možemo sintetizirati prezentaciju podataka o kvalitativnoj statističkoj varijabli:

Tabela 1.3. Prezentacija kvalitativne statističke varijable

Modaliteti varijable Frekvencija fj Relativna frekvencija pj

M1 f1 p1

M2 f2 p2

.............. ................ ................. MJ-1 f J-1 p J-1

MJ fJ pJ

Ukupno

1

J

jj

f N=

=∑ 1 ili 100%

Zbir relativnih frekvencija je uvijek jednak 1 ili 100% ukoliko ga izrazimo u procentima.

• Tabelarna prezentacija kvantitativne varijable

Kada se pojedini modaliteti pojavljuju više puta podatke možemo grupisati tako da svakom modalitetu pridružimo odgovarajuću frekvenciju. Modalitete je zbog preglednosti potrebno rangirati po veličini. U tabeli 1.4. sintetiziramo prezentaciju rangiranih i grupisanih podataka o kvantitativnoj prekidnoj varijabli.

Tabela 1.4. Statistička distribucija frekvencija

Vrijednosti varijable (modaliteti) xj Frekvencija fj Relativna frekvencija pj

x1 f1 p1

x2 f2 p2

...................... ......................... ...................... x J-1 f J-1 p J-1

xJ fJ pJ

Ukupno N 1 ili 100%


29

Sintetiziranu prezentaciju podataka o kvantitativnoj prekidnoj varijabli grupisanoj u intervale predstavljamo u tabeli 1.5.

Tabela 1.5. Intervalno grupisana distribucija

Vrijednosti varijable xj grupisane u

intervale

Frekvencija fj

Amplituda (širina

intervala) aj

Centri intervala

xcj

Relativna frekvencija

pj

[x0; x1[ f1 a1 xc1 p1

[x1; x2[ f2 a2 xc2 p2

.............. ................ ................ ................ ................ [xJ-2; xJ-1[ f J-1 a J-1 xc J-1 p J-1

[xJ-1; xJ] fJ aJ xcJ pJ

Ukupno N 1 ili 100%

Na sljedećem primjeru ćemo ilustrovati prezentaciju podataka u obliku negrupisane serije, uređene rangirane serije, grupisane statističke distribucije frekvencija i intervalno grupisane distribucije.

Tabela 1.6. Ocjene studenata koji su položili ispit iz predmeta Statistika 30.06.2005.g.

Ocjena (X) Negrupisana serija

Ocjena (X) Uređena serija

Ocjena (X) Uređena serija

8 6 10 9 6 10 9 6 10 7 6 10

10 7 10 7 7 10 6 7 10

10 7 10 6 7 10

10 7 9 8 7 9

10 7 9 9 8 9 7 8 9


30

Tabela 1.6. nastavak

7 8 9 10 8 8 10 8 8 10 8 8

8 8 8 10 9 8

7 9 8 6 9 8 8 9 7

10 9 7 7 9 7 9 10 7 6 10 7 9 10 7 8 10 7 8 10 7 7 10 6 8 10 6 9 10 6 7 10 6

U prvoj koloni tabele ocjene su predstavljene u obliku negrupisane (neuređene) distribucije. U drugoj koloni ocjene su rangirane po rastućem redosljedu i kompletirana je uređena rangirana serija podataka. Treća kolona također predstavlja uređenu rangiranu seriju podataka, ali po opadajućem redosljedu.

Naredna faza je grupisanje podataka i predstavljanje u statističkoj distribuciji frekvencija.

Tabela 1.7. Statistička distribucija frekvencija

OCJENA xj FREKVENCIJE fj

6 4 7 8 8 7 9 6

10 9 Ukupno 34


31

Ocjene možemo grupisati u intervale i kompletirati intervalno grupisanu distribuciju. U sljedeće tri tabele prezentujemo različite mogućnosti grupisanja u intervale podataka o ocjenama studenata na ispitu.


Ocjene Frekvencije fj [6-7[ 4 [7-9[ 21 [10] 9


Ocjene Frekvencije fj [6-8[ 12 [8-9[ 13 [10] 9


Ocjene Frekvencije fj [6-8] 19

[9-10] 15

1.3.5.2. Grafička prezentacija

Postoji više vrsta grafičkih reprezentacija. Najčešće korišten oblik grafičkog predstavljanja su dijagrami koji se dijele na: stigmograme, linearne dijagrame, površinske dijagrame i stereograme. Navoditi i davati primjere za sve vrste grafičkih prezentacija je ogroman, ali ne osobito koristan posao jer nam novi programi koji su u upotrebi omogućuju da odaberemo prezentaciju koja najviše odgovara svakom konkretnom slučaju. Zbog toga savjetujemo korisnicima da koriste program Excel koji pruža široku paletu od 14 tipova, odnosno 73 podtipa grafikona. Na sljedećoj slici vidimo polaznu stranu Excela za crtanje grafikona.


32

Performanse novih programa nam omogućuju da konstruišemo sve bolje grafikone koji sve češće postaju način da se prenese informacija. Ali potrebno je biti vrlo oprezan. Grafikoni mogu biti korišteni, pored informisanja koje je njihov osnovni cilj, i u svrhu dezinformisanja. Jedan dobro konstruisan grafikon je često rječitiji nego desetine fraza.

Mi ćemo u toku izlaganja sadržaja ove knjige primjenjivati različite tipove grafičkih prezentacija. Nabrajati i analizirati sve oblike grafičke prezentacije je nepotrebno. Osnovna funkcija jednog grafikona je da olakša prezentaciju, čitanje i interpretaciju podataka.

Potrebno je prezentovati podatke da bi se informisalo. Zbog toga, izbor tipa prezentacije zavisi od razmišljanja i strpljenja, i često je potrebno uraditi više pokušaja da bi se odabrala “prava” prezentacija. Ne treba miješati suštinu i formu jer je precizan i jednostavan grafikon korisniji od grafikona komplikovanog, vizuelno privlačnijeg, ali bez smisla.

Neophodno je uvijek biti precizan i kompletirati: naslov grafikona, nazive predstavljenih podataka, označiti precizno razmjeru i jedinice mjere, eventualno primjer čitanja grafikona, staviti estetiku u službu funkcionalnosti i razumijevanja grafikona. Ne treba potcijeniti vrijeme potrebno za konstrukciju jednog grafikona koristeći programe na računaru.


33

Ako je prezentacija podataka2 dovoljna za donošenje odluka dio našeg posla je tim završen. Međutim u većini slučajeva statističar je obavezan da analizira i sintetizira podatke: ako su podaci brojni i različiti; da bi se uporedile dvije populacije različitih veličina; da bi se olakšalo mjerenje evolucije, itd.

U sljedećim tabelama prezentiramo statističke podatke i odgovarajuće grafičke prikaze.

1035

6

5379

8250

6

1104

8

4161

1

5982

3

3933

5788

1

447

1606

6

8128

1033

1

5205 89

33

5908

0

807 10

247

1348 10

176

3467

2342

396

3861

4

1967 54

02

3921

Šve

dska

Mad

arsk

a

Bel

gija

Dan

ska

Nje

mac

ka

Grc

ka

Špa

nija

Fra

ncus

ka

Irsk

a

Italij

a

Lux

embu

rg

Hol

andi

ja

Aus

rija

Por

tuga

l

Fin

ska

Vel

ika

Brit

anija

Kip

ar

Ceš

ka

Est

onija

Litv

anija

Let

onija

Mal

ta

Pol

jska

Slo

veni

ja

Slo

vack

a

BiH

20 000

40 000

60 000

80 000

100 000

0

Stanovništvo 25 zemalja Evropske unije i Bosne i Hercegovine u 2002.g. Izvor: Eurostat, 2005.

Grafikon 1.2.

broj

sta

novn

ika

u 00

0

2 “Prosječan statističar je oženjen sa 1,75 žena koje čine sve što je moguće da ga

udalje od kuće 2,25 noći u sedmici sa samo 50% uspjeha. Nagib njegovog čela je 2%, on posjeduje 5/8 jednog računa u banci i ima 3,06 djece koji ga napola izluđuju. 1,65 od njegove djece su dječaci. Samo 0,07% od svih statističara su potpuno razbuđeni za njihovim doručkom, u toku kojeg oni popiju 1,68 šoljica kafe i prospu ostatak od 0,32 na njihov stolnjak. Subotom uveče on angažuje 1/3 baby-sitter da čuva njegovo 3,06 djece, u slučaju da 5/8 njegove punice koja živi sa njima u kući ne pristane da čuva djecu za polovinu cijene.”. W.F.Mirch (1950) citiran u T.H.Wonnacott i R.J.Wonnacott, Statistique, Economica, Paris, 1995, str. 23. Navedena deskriptivna prezentacija nema nikakvog smisla i potpuno je nerazumljiva. Ovo je primjer kako ne treba raditi.


34

Tabela 1.11. Bruto društveni proizvod u Federaciji Bosne i Hercegovine, tekuće cijene

1999 2000 2001 2002 2003 2004 Bruto domaći proizvod, u 000 KM

6.142.147 6.722.631 7.273.874 7.942.665 8.268.120 8.897.202

Bruto domaći proizvod po sta-novniku, u KM

2.187 2.400 2.577 2.805 2.912 3.125

Izvor: Statistički godišnjak Federacije Bosne i Hercegovine 2005, Federalni zavod za statistiku, Sarajevo, str.90.

0

3000000

6000000

9000000

1999 2000 2001 2002 2003 2004

Bruto društveni proizvod u Federaciji BiH, tekuće cijene, u milionima KMGrafikon 1.3.

2.187

2.400

2.577

2.805

2.912

3.125

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500

1999

2000

2001

2002

2003

2004

Bruto društveni proizvod po stanovniku u Federaciji BiH, u KMGrafikon 1.4.


35

Primjer 1.2.

Tabela 1.12. Nezaposlene osobe prema stručnoj spremi u Federaciji BiH, stanje 31.decembra 2004. g.

Ukupno žene UKUPNO 325.738 150.447 VSS 4.989 2.823 VŠS 4.267 2.616 SSS 71.333 43.430 VKV, KV 123.552 44.388 PKV, NSS 11.795 4.621 NKV 109.802 52.569

Izvor: Statistički godišnjak Federacije Bosne i Hercegovine 2005, str. 247.

UKUPNO VSS VŠS SSS VKV, KV PKV, NSS NKV0

50,000

100,000

150,000

200,000

250,000

300,000

350,000

Nezaposleni prema stručnoj spremi u Federaciji BiH u 2004. godiniGrafikon 1.5.

žene

ukupno


36

SSS22%

VKV, KV37%

PKV, NSS4%

NKV34%

VSS2%

VŠS1%

Nezaposleni prema stručnoj spremi u 2004. godiniGrafikon 1.6.

Nezaposlene žene prema stručnoj spremi u 2004. godiniGrafikon 1.7.

SSS29%

VKV, KV30%

PKV, NSS3%

NKV34%

VSS2%

VŠS2%

Primjer 1.3.

Tabela 1.13. Upisani studenti na visokoškolskim ustanovama u Federaciji BiH

96/97 97/98 98/99 99/00 00/01 01/02 02/03 03/04 04/05 Ukupno 28.072 34.477 39.273 43.839 47.242 48.866 51.771 54.425 58.834 Žene 14.392 17.757 20.176 22.635 24.721 26.331 28.264 30.166 32.337

Izvor: Statistički godišnjak Federacije Bosne i Hercegovine 2005, str. 281.


37

0

10000

20000

30000

40000

50000

60000

70000

1996/97 1997/98 1998/99 1999/00 2000/01 2001/02 2002/03 2003/04 2004/05

Upisani studenti na visokoškolskim ustanovama u Federaciji BiHGrafikon 1.8.

ukupno žene

39

POGLAVLJE 2

ANALIZA I SINTEZA PODATAKA

2.1. FREKVENCIJE I KUMULATIVNE FREKVENCIJE

2.1.1. Definicije

• Apsolutna frekvencija je broj (učestalost) pojavljivanja jednog modaliteta.

• Kumulativna rastuća apsolutna frekvencija jednog modaliteta je jednaka zbiru frekvencija modaliteta za koje varijabla ima vrijednost manju ili jednaku od tog modaliteta.

• Kumulativna opadajuća apsolutna frekvencija jednog modaliteta je jednaka zbiru frekvencija modaliteta za koje varijabla ima vrijednost striktno veću od tog modaliteta.

• Relativna frekvencija je jednaka apsolutnoj frekvenciji modaliteta podijeljenoj sa totalnom frekvencijom. Relativna frekvencija predstavlja proporciju jedinica osnovnog skupa koji imaju posmatrani modalitet.

• Kumulativna rastuća relativna frekvencija jednog modaliteta je jednaka proporciji modaliteta za koje varijabla ima vrijednost manju ili jednaku od tog modaliteta.


40

• Kumulativna opadajuća relativna frekvencija jednog modaliteta je jednaka proporciji modaliteta za koje varijabla ima vrijednost striktno veću od tog modaliteta.

• Prema navedenim definicijama zbir kumulativne rastuće relativne frekvencije jednog modaliteta i kumulativne opadajuće relativne frekvencije istog modaliteta je jednak jedinici (ili 100% ako frekvencije izrazimo u procentima).

2.1.2. Formalizacija definicija

• Formalizaciju koju ćemo koristiti za izražavanje gore navedenih definicija predstavljamo sljedećim simbolima i izračunavamo na sljedeći način:

fi apsolutna frekvencija

pi relativna frekvencija-struktura Nf

p ii =

Sj apsolutna kumulativna frekvencija ∑=

=j

iij fS

1

Fj relativna kumulativna frekvencija ∑=

=j

iij pF

1

(2.1)

N broj podataka

• Kumulativnu rastuću distribuciju frekvencija na osnovu vrijednosti prekidne varijable formiramo na sljedeći način:

................)()(

212

11

ffxXSfxXS

+=≤==

(2.2)

NffffxXS

fffxXS

kjk

jj

=++++=≤

+++=≤

......)(................

...)(

21

21

j-ti član kumulativne distribucije možemo napisati u obliku:

Poglavlje 2. – Analiza i sinteza podataka

41

1( ) , 1, 2,..., .

( ) ( )

j

j ii

j j

S x f j k

S x f X x=

= =

= ≤

∑ (2.3)

Osobine kumulativne rastuće distribucije apsolutnih frekvencijama su:

min

min j max

max

0 ,

( ) 0 ( ) , x

,

( ) ( ),

j

j j

j

i j i j

x x

S x S x N x x

N x x

S x S x x x

⎧ <⎪

= ≤ ≤ ≤ ≤⎨⎪ >⎩

≤ < (2.4)

j-ti član kumulativne rastuće distribucije relativnih frekvencija izražavamo u sljedećem obliku:

1( ) , 1, 2,..., , ( ) ( )

j

j i j ji

F x p j k F x p X x=

= = = ≤∑ (2.5)

Osobine rastuće kumulativne distribucije sa relativnim frekvencijama su:

min

min max

max

0 ,

( ) 0 ( ) 1,

1 ,

( ) ( ),

j

j j j

j

i j i j

x x

F x F x x x x

x x

F x F x x x

⎧ <⎪

= ≤ ≤ ≤ ≤⎨⎪ >⎩

≤ < (2.6)

Objašnjenje vrijednosti kumulativne distribucije frekvencija proizilazi iz načina njenog formiranja. S(xj) predstavlja broj modaliteta posmatranog skupa čija je vrijednost jednaka ili manja od xj.

Analognim postupkom kompletiramo izraz za kumulativnu distribuciju relativnih frekvencija. Kumulativna distribucija relativnih frekvencija F(xj) pokazuje proporciju modaliteta posmatranog skupa čija je vrijednost jednaka ili manja od xj.


42

Prema definiciji, zbir kumulativne rastuće relativne frekvencije jednog modaliteta i kumulativne opadajuće relativne frekvencije istog modaliteta je jednak jedinici (ili 100%).

Ako je data distribucija frekvencija sa intervalima S(xj) predstavlja broj modaliteta sa vrijednošću varijable koja je jednaka ili manja od gornje granice j-tog intervala, a F(xj) proporciju modaliteta čija je vrijednost jednaka ili manja od gornje granice j-tog intervala.

Na sljedećem primjeru ćemo kompletirati kumulativnu rastuću relativnu frekvenciju i objasniti njeno značenje.

Primjer 2.1.

Tabela 2.1. Statistička distribucija frekvencija završenih stanova prema broju soba u Federaciji Bosne i Hercegovine u 2004.g.

Broj soba

Frekvencija fj

Relativna frekvencija pj

Kumulativna rastuća relativna frekvencija Fj

1 184 0,321 0,321 2 238 0,415 0,736 3 115 0,200 0,936 4 35 0,061 0,997 5 2 0,003 1

Ukupno 574 1 - Izvor: Statistički godišnjak Federacije Bosne i Hercegovine 2005, str.157.

U našem primjeru kumulativna frekvencija za broj soba manje ili jednako tri je jednaka 93,6%. Dakle, F(3)=93,6%, što znači da 93,6% završenih stanova u Federaciji Bosne i Hercegovine u 2004. g. ima 1, 2, ili 3 sobe.

Na primjeru sljedeće distribucije frekvencija ćemo ilustrovati izračunavanje kumulativnih frekvencija i njihov grafički prikaz.


43

Primjer 2.2.

Tabela 2.2. Statistička distribucija frekvencija ocjena na ispitu iz predmeta Statistika

Ocjena xj fj Sj+ Sj- pj Fj+ Fj - 6 4 4 30 0,118 0,118 0,882 7 8 12 22 0,235 0,353 0,647 8 7 19 15 0,206 0,559 0,441 9 6 25 9 0,176 0,735 0,264

10 9 34 0 0,265 1 0,000 Ukupno 34 1,000

U tabeli Sj+ i Sj predstavljaju rastuće i opadajuće apsolutne kumulativne frekvencije, a Fj+ i Fj rastuće i opadajuće relativne kumulativne frekvencije.

0

5

10

15

20

25

30

35

6 7 8 9 10Ocjene

Aps

olut

ne fr

ekve

ncije

Sj+ Sj-

Kumulativne rastuce i opadajuce apsolutne frekvencijeGrafikon 2.1.


44

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

6 7 8 9 10ocjene

rela

tivne

frek

venc

ije

Fj+ Fj -

Kumulativne rastuce i opadajuce relativne frekvencijeGrafikon 2.2.

2.2. KLASIFIKACIJA STATISTIČKIH VARIJABLI

Mi smo već u uvodnom dijelu naglasili da je osnovna dihotomija statističkih varijabli na kvalitativne i kvantitativne varijable. Modaliteti jedne varijable određuju njen tip.

2.2.1. Kvalitativne varijable

Varijabla je kvalitativna ako se njeni modaliteti ne mogu kvantitativno izraziti. Modaliteti ove varijable su deskriptivno izraženi kao atributivna ili geografska obilježja. Naprimjer pol, bračno stanje, zaposleni prema stepenu stručnog obrazovanja, tip stana su kvalitativne varijable. Postoje dvije grupe kvalitativnih varijabli. To su kvalitativna nominalna i kvalitativna ordinalna varijabla.

2.2.1.1. Kvalitativna nominalna varijabla

Varijabla je kvalitativna nominalna ako su njeni modaliteti dati u obliku atributivnih ili geografskih obilježja koje nije moguće klasirati prema nekom redosljedu (rangu) koji ima smisla. Naprimjer, varijabla «pol» čija dva modaliteta su: žena i muškarac. Kvalitativne varijable se mogu kodirati. Numeričko kodiranje npr. 1 za «ženu» i 2 za «muškarca» je arbitrarno i nikakve matematičke operacije sa kodiranim vrijednostima nisu dozvoljene.


45

2.2.1.2. Kvalitativna ordinalna varijabla

Varijabla je kvalitativna ordinalna ako je moguće klasirati njene modalitete prema nekom redosljedu koji ima smisla. Naprimjer, varijabla ocjena izražena sljedećim modalitetima: odličan, vrlodobar, dobar, dovoljan i nedovoljan.

2.2.2. Kvantitativne varijable

Varijabla je kvantitativna ako su njeni modaliteti mogu kvantificirati i ako su brojčano izraženi. Primjeri ovog tipa varijable su: broj studenata na univerzitetu, broj soba u studentskom domu, težina studenata prve godine Ekonomskog fakulteta u Sarajevu, plata u KM, broj članova porodice itd. Kvantitativne varijable se dijele na prekidne (diskretne) i neprekidne (kontinuirane).

2.2.2.1. Kvantitativna prekidna varijabla

Varijabla koja može poprimiti konačan broj izolovanih, odnosno diskretno raspoređenih vrijednosti se naziva se naziva kvantitativna (numerička) prekidna varijabla. Varijabla je kvantitativna prekidna ako su njeni modaliteti prebrojivi i najčešće cjelobrojni. Prebrojavamo npr. broj studenata u amfiteatru ili broj zaposlenih na fakultetu itd.

2.2.2.2. Kvantitativna neprekidna varijabla

Varijabla je kvantitativna kontinuirana ako su vrijednosti njenih modaliteta neprebrojive. Ova varijabla može uzimati bilo koju vrijednost iz intervala koji pripada skupu realnih brojeva. Varijabla je kvantitativna kontinuirana ako su vrijednosti njenih modaliteta dobijene na osnovu mjerenja. Npr.: mjerimo visinu studenata. U praksi je jednostavno odrediti da li je jedna varijabla kvalitativna nominalna ili ordinalna. Ponekad je teško odrediti da li je jedna kvantitativna varijabla prekidna ili neprekidna.

2.3. GRAFIČKI PRIKAZI PREKIDNE I NEPREKIDNE VARIJABLE

Grafička prezentacija koja se najčešće koristi u slučaju prekidne varijable je dijagram sa stupcima. Najznačajnija grafička prezentacija kontinuirane varijable je histogram. U slučaju serije intervalno grupisanih podataka sa


46

jednakom amplitudom intervala, visina pravougaonika koji čine histogram je proporcionalna frekvenciji svakog intervala.

Za seriju intervalno grupisanih podataka sa različitom amplitudom svakog intervala potrebno je izračunati frekvencije po jedinici amplitude koje nazivamo korigovane frekvencije i u tom slučaju površina svakog pravougaonika je proporcionalna frekvenciji intervala.

Na prva dva grafikona ilustrujemo grafičko predstavljanje kvantitativne prekidne varijable. Ovu varijablu predstavljamo dijagramom sa stupcima na grafikonu 2.3. i njenu kumulativnu krivu na grafikonu 2.4.

Dijagram sa stupcimaGrafikon 2.3.

x

Kumulativna kriva prekidne varijableGrafikon 2.4.

x

1


47

Kvantitativnu neprekidnu varijablu predstavljamo histogramom i kumulativnom krivom. Histogram je predstavljen na grafikonu 2.5., a kumulativna kriva na grafikonu 2.6.

HistogramGrafikon 2.5.

x

Kumulativna krivaGrafikon 2.6.

x

2.4. MJERE SREDNJE VRIJEDNOSTI ILI MJERE CENTRALNE TENDENCIJE

Mjere srednje vrijednosti mogu biti potpune (izračunate, izvedene) i pozicione (položajne, nepotpune). U potpune mjere srednje vrijednosti


48

ubrajamo aritmetičku, geometrijsku, harmonijsku, kvadratnu i kubnu sredinu. Pozicione mjere srednje vrijednosti su: mod, medijana i kvantili.

2.4.1. Aritmetička sredina

Aritmetička sredina je prosječna srednja vrijednost. Aritmetička sredina jedne statističke serije je jednaka zbiru opservacija podijeljenim sa veličinom serije. Aritmetička sredina izražava prosječnu vrijednost jedne serije ili distribucije podataka i predstavlja najznačajniju mjeru centralne tendencije.

2.4.1.1. Jednostavna aritmetička sredina

• Aritmetička sredina negrupisane (neuređene) serije xi; i = 1,...., N se utvrđuje koristeći sljedeći izraz:

1 21

1 1 ( ...... )N

i Ni

x x x x xN N=

= = + +∑ (2.7)

Za seriju:

6,2,6,4,6,0,4,8,10,0,2 =ix , xi; i=1,....,11

aritmetička sredina je jednaka

36,411

626460481002 =++++++++++=x

• Aritmetička sredina uređene serije x(i); (i)=1,..., N gdje (i) predstavlja rang opservacije je jednaka:

1 21

1 1 ( ...... )N

i Ni

x x x x xN N=

= = + +∑ (2.8)

Za seriju:

10,8,6,6,6,4,4,2,2,0,0=ix , x(i); (i)=1,....,11

aritmetička sredina je:


49

0 0 2 2 4 4 6 6 6 8 10 48 4,3611 11

x + + + + + + + + + += = =

2.4.1.2. Ponderisana aritmetička sredina

• Ponderisana aritmetička sredina grupisane statističke serije

( ) ; , 1, 2,....,j jx f j J= gdje fj predstavlja frekvenciju modaliteta xj

je jednaka:

( )1 1 2 2

1

...1 JJ J

j jj

f x f x f xx f x

N N=

⋅ + ⋅ + + ⋅= ⋅ =∑ (2.9)

Za seriju )1;10(),1;8(),3;6(),2;4(),2;2(),2;0( , u kojoj su dati parovi u kojima prvi broj predstavlja modalitet a drugi frekvenciju, aritmetička sredina je jednaka:

36,4113222

1018163422202654321

665544332211

6

1

=+++++

⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=

++++++++++

==∑

=

x

ffffffxfxfxfxfxfxf

N

xfx j

jj

• Aritmetička sredina statističke serije sa relativnim frekvencijama je jednaka:

1

1

gdje je

i 1

Jj

j j jj

J

jj

fx p x p

N

p

=

=

= =

=

∑

∑ (2.10)

• Aritmetička sredina statističke serije grupisane u intervale se utvrđuje primjenom sljedećeg izraza:

( )1 21 2

1

...1 J

j

Jc c J c

j cj

f x f x f xx f x

N N=

⋅ + ⋅ + + ⋅= ⋅ =∑ (2.11)

gdje xc predstavlja centar intervala i izračunava se pomoću sljedećeg izraza:


50

1

2j j

cjx x

x − += (2.12)

Seriju (0 ; 2), (2; 2), (4 ; 2), (6 ; 3), (8;1), (10;1) grupisanu u intervale predstavljamo u sljedećoj tabeli.


Intervali Frekvencija Centri razreda 0-2 4 1 4-6 5 5

8-10 2 9 Ukupno 11 -

27,411

925514 =⋅+⋅+⋅≈x

Za izračunavanje aritmetičke sredine je potrebno primijeniti odgovarajuću formulu u zavisnosti od raspoloživih podataka.

Aritmetičku sredinu možemo nazvati i centrom gravitacije, centrom koji predstavlja prosječnu vrijednost posmatrane serije kojoj teže, gravitiraju ostale vrijednosti u seriji. Aritmetička sredina izravnava apsolutne razlike između svih podataka u analiziranom skupu. Aritmetičku sredinu možemo računati samo za kvantitativne varijable. Dakle, za statističku seriju čije su varijable mjerene na nominalnoj i ordinalnoj skali ne možemo računati aritmetičku sredinu.

2.4.1.3. Osobine aritmetičke sredine

• Ako su vrijednosti svih obilježja u seriji jednake konstanti i aritmetička sredina je jednaka toj konstanti c:

cxcxxx N =⇒==== ....21

1 1

1 1 1N N

ii i

x x c Nc cN N N= =

= = = ⋅ =∑ ∑ (2.13)


51

• Aritmetička sredina je rijetko jednaka jednoj od posmatranih vrijednosti, ali promjena vrijednosti samo jednog modaliteta značajno utiče na aritmetičku sredinu. Zbog toga je aritmetička sredina vrlo osjetljiva na ekstremne vrijednosti posmatrane varijable.

U računanju aritmetičke sredine uzimaju se vrijednosti svih modaliteta. • Aritmetička sredina je veća od najmanje i manja od najveće vrijednosti

varijable3:

ii xxx maxmin << (2.14)

• Zbir odstupanja između modaliteta i njihove aritmetičke sredine je jednak nuli.

( )1 1

0N N

i ii i

x x x N x= =

− = − ⋅ =∑ ∑ (2.15)

Po analogiji, možemo pokazati da je zbir odstupanja svih vrijednosti obilježja od njihove aritmetičke sredine jednak nuli i za grupisane podatke.

( )1

0J

j jj

f x x=

− =∑ (2.16)

Posljedica navedene osobine je sljedeća: aritmetička sredina odstupanja između opservacija i njihove aritmetičke sredine je jednaka nuli.

( )1

1 0N

ii

x xN =

− =∑ (2.17)

Ova osobina vrijedi i u slučaju grupisanih podataka.

• Osobina agregiranja aritmetičke sredine

Ako na osnovu varijable X analiziramo populaciju veličine N sastavljenu od potpopulacije veličine N1, odgovarajuće aritmetičke sredine 1x i potpopulacije veličine N2, i njene aritmetičke sredine 2x . Aritmetička sredina varijable X za populaciju se dobija korištenjem sljedećeg izraza:

3 Izuzetak je slučaj kada su vrijednosti svih obilježja u seriji jednake konstanti, pa je i

aritmetička sredina niza jednaka toj konstanti.


52

21

2211

21

2211

ffxfxf

NNxNxN

x++

=++

= (2.18)

Ova osobina se može generalizirati na n potpopulacija. Ilustraciju ove osobine ćemo pokazati na sljedećem primjeru.

Tabela 2.4. Godišnje neto plate državnih službenika u 2000. godini

Službenici Frekvencija u hiljadama fj

Prosječna godišnja neto plata u eurima x

Kategorija A 769,6 29 549 Kategorija B 300,7 21 698 Kategorija C 469,9 17 576 Ukupno 1540,2 ?

Izvor: Tableau de l’economie francaise (TEF), 2002-2003, INSEE, strana 93.

Prosječna godišnja neto plata svih službenika:

€NNN

xNxNxNx 4,36324321

332211 =++++=

• Aritmetička sredina zbira statističkih varijabli

Ovu osobinu ćemo ilustrovati na primjeru zbira dvije statističke varijable. Posmatrajmo za N domaćinstava podatke o njihovoj potrošnji ci i njihovoj štednji ši. Ako budžet domaćinstva i označimo sa bi za svako i možemo kompletirati sljedeću relaciju4:

i i ib c š B C Š= + ⇒ = +

( ) šcšN

cN

šcN

bN

bN

ii

N

ii

N

iii

N

ii +=+=+== ∑∑∑∑

==== 1111

1111 (2.19)

Aritmetička sredina zbira dvije statističke varijable je jednaka zbiru aritmetičkih sredina te dvije varijable. Dakle, ako imamo jednu statističku

4 Za označavanje modaliteta ili vrijednosti varijabli koristimo mala slova, a za

označavanje statističkih varijabli koristimo velika slova.


53

varijablu izraženu u obliku zbira dvije statističke varijable, njena aritmetička sredina je jednaka zbiru aritmetičkih sredina te dvije varijable. Ako je Z=X+Y, aritmetička sredina varijable Z je jednaka zbiru aritmetičkih sredina varijabli X i Y:

yxz += (2.20)

Ovu osobinu možemo generalizirati i zaključiti da je aritmetička sredina zbira n statističkih varijabli jednaka zbiru aritmetičkih sredina n statističkih varijabli.

• Aritmetička sredina linearne kombinacije statističkih varijabli

Linearnu kombinaciju statističkih varijabli definišemo sljedećom relacijom:

yi = a + bxi (2.21)

gdje su a i b parametri.

Gornju relaciju možemo napisati u obliku Y = a+bX čija je aritmetička sredina jednaka:

xbay += (2.22)

Navedenu osobinu možemo objasniti na sljedeći način. Ako sve opservacije pomnožimo jednim brojem tada će i aritmetička sredina biti pomnožena tim brojem. Ukoliko dodamo određeni broj svim opservacijama jedne serije, aritmetička sredina će biti uvećana za taj broj. Kada pomnožimo sve ocjene iz jednog predmeta sa 2 tada će i aritmetička sredina ocjena iz tog predmeta biti pomnožena sa 2. Ako dodamo 5 poena svim ocjenama iz jednog predmeta, aritmetička sredina ocjena iz tog predmeta se uvećava za 5 poena. Na ovaj način definisane su osobine aditivnosti i linearnosti aritmetičke sredine.

Posebnu pažnju treba obratiti na izračunavanje aritmetičke sredine u slučaju intervalno grupisane distribucije sa stvarnim intervalima.

2.4.2. Geometrijska sredina

Geometrijska sredina za serije negrupisanih podataka je jednaka N- tom korijenu iz proizvoda vrijednosti varijable i izračunava se prema sljedećoj formuli:


54

NN

ii

NN xxxxG ∏

=

=⋅⋅⋅=1

21 .... , 0ix > , 1,i N= (2.23)

Za izračunavanje geometrijske sredine jedne serije koriste se svi podaci i potrebno je da budu pozitivni. Logaritamski oblik ove funkcije praktičniji za primjenu dat je sljedećim izrazom:

∑=

=N

iix

NG

1log1log (2.24)

Konstatujemo da je logaritam geometrijske sredine varijable X jednak aritmetičkoj sredini logaritama njenih vrijednosti.

Geometrijska sredina statističke distribucije frekvencije je jednaka:

1 21 2

11

.... , , 0, 1,jJ

J Jfff fN NJ j J j

jj

G x x x x N f x j J==

= ⋅ ⋅ ⋅ = = > =∑∏ (2.25)

Logaritamski oblik ponderisane geometrijske sredine je izražen sljedećom relacijom:

1 1

1log log , J J

j j jj j

G f x N fN = =

= =∑ ∑ (2.26)

Geometrijska sredina se najčešće primjenjuje u slučajevima kada se pojave ponašaju po geometrijskoj progresiji, za izračunavanje prosječnih pokazatelja porasta i razvoja u dinamičkoj analizi pojava, za izračunavanje srednje vrijednosti vremenskih serija i kod lančanih indeksa. Geometrijska sredina izravnava odnose, tj. proporcionalne promjene između uzastopnih podataka u analiziranoj seriji.

2.4.3. Harmonijska sredina

Harmonijska sredina se definiše kao recipročna vrijednost aritmetičke sredine recipročnih vrijednosti varijable X.

Harmonijska sredina za seriju negrupisanih podataka se izračuna pomoću sljedećeg izraza:


55

0 x,1...1...111 i

211

≠+++++

==∑

= Ni

N

i i xxxx

N

x

NH (2.27)

Harmonijska sredina za statističku distribuciju frekvencija je data izrazom:

1 11 2

1 2

1 21 1

... ... , 0... ...

J J

j jj ji J

jJ Ji Jj j

i Jj jj j

f ff f f fH xf ff ff fx x x xx x

= =

= =

+ + + + + += = = ≠

+ + + + +

∑ ∑

∑ ∑ (2.28)

Postupak izračunavanja ove sredine je jednostavan. Poteškoća je u uočavanju slučajeva u kojima se može primijeniti. Izračunava se u slučaju kada su originalni podaci izraženi u vidu recipročnih veličina. Recipročne veličine se kreću u obrnutom pravcu od kretanja pojave koju izražavaju. Produktivnost rada je tipičan primjer primjene ove sredine jer veća produktivnost rada znači veću proizvodnju uz manji utrošak rada. Ako su sve vrijednosti varijable pozitivne, vrijedi sljedeća relacija odnosa izmedu tri analizirane potpune mjere srednje vrijednosti:

min maxi ix H G x x≤ ≤ ≤ < (2.29)

2.4.4. Kvadratna i kubna sredina

Kvadratna sredina se izražava u sljedećem obliku:

N

xx

N

ii∑

== 1

2

2 (2.30)

Kubna sredina je data sljedećim izrazom:

3 1

3

3 N

xx

N

ii∑

== (2.31)

Odnos između pet prezentiranih sredina je sljedeći: 2 3min maxi ix H G x x x x≤ ≤ ≤ ≤ ≤ < (2.32)


56

2.4.5. Mod ili centar aktivnosti

Mod je jedna od najstarijih pozicionih vrijednosti koja se jednostavno utvrđuje. Mod se definiše kao modalitet varijable koji se najčešće pojavljuje, tj. modalitet koji ima najveću frekvenciju. Najčešći su slučajevi unimodalnih serija. Međutim, potrebno je naglasiti da serija može biti bimodalna ili višemodalna ukoliko se u jednoj seriji nalazi više modaliteta koji imaju najvišu frekvenciju.

Primjer 2.3. Određivanje moda

Tabela 2.5. Nastavnici sa punim radnim vremenom na visokoškolskim ustanovama u Federaciji Bosne i Hercegovine u 2001/2002 godini

Nastavnici Frekvencije u fj Redovni profesor 332 Vanredni profesor 248 Docent 251 Ostali 50 Ukupno 881 Izvor: Statistički godišnjak Federacije Bosne i Hercegovine, Federalni zavod za statistiku, Sarajevo, 2002.

Mod je, kao što smo već naglasili, modalitet varijable koji ima najveću frekvenciju. To je u našem primjeru modalitet redovni profesor. Grafički je vrlo jednostavno u ovom slučaju odrediti mod.

050

100150200250300350

Redovni profesor Vanredni profesor Docent Ostali

MOD

Nastavnici na visokoškolskim institucijamau Federaciji Bosne i Hercegovine u 2001/2002.Grafikon 2.7.

U slučaju intervalno grupisanih distribucija, poslije određivanja modalnog intervala koji ima najveću frekvenciju (ili najveću frekvenciju po jedinici


57

amplitude u slučaju da intervali nemaju istu amplitudu), mod možemo izračunati linearnom interpolacijom korištenjem sljedeće formule:

( ) ( )3212

12

ffffffaxM MoMoo −+−

−⋅+= (2.33)

gdje je: x

Mo lijeva granica modalnog intervala, a

Mo amplituda (širina) modalnog intervala,

f1 frekvencija prethodnog intervala,

f2 frekvencija modalnog intervala,

f3 frekvencija narednog intervala.

Tabela 2.6. Starosna struktura stanovništva Federacije BiH u 2000. godini

Starosna struktura

xj

Amplituda intervala

aj

Broj stanovnika

fj

Gustoća intervala ili korigovana frekvencija

fj / aj 0-14 15 588 210 39 214 15-64 50 1 896 277 37 925,5 65 i više 26 316 513 12 173,6 Ukupno - 2 801 000 -

U ovom primjeru intervali nemaju jednake amplitude pa je za utvrđivanje modalnog intervala potrebno izračunati broj stanovnika po jedinici amplitude (dijeli se frekvencija broj stanovnika sa amplitudom intervala) ili gustoću intervala da bi se odredila modalna klasa. U ovom slučaju modalna klasa je klasa od 0 do 14.

U slučaju da koristimo relativne frekvencije formula je analogna gore navedenoj, osim što umjesto apsolutne frekvencije fj koristimo relativnu frekvenciju pj.

Postoji i sljedeća formula pomoću koje možemo utvrditi aproksimativnu vrijednost moda u unimodalnim i nesimetričnim distribucijama:

Mo ≈ 3Me-2 (2.34)

Prema ovom izrazu, mod je približno jednak tri medijane umanjene za dva.


58

Modalna klasa zavisi od grupisanja u intervale koje smo prethodno izvršili. Kao i uvijek prije i poslije određivanja moda u svakom konkretnom slučaju treba se upitati: Da li ovaj pokazatelj ima smisla i da li nam omogućava ili ne dodatnu korisnu informaciju?

2.4.6. Medijana ili centar pozicije

Medijana spada u pozicione srednje vrijednosti. Medijana je vrijednost obilježja koja u seriji uređenoj po veličini (rastućem ili opadajućem redosljedu) zauzima centralnu poziciju (rang) i dijeli seriju na dva jednaka dijela. Njena teorijska kumulativna frekvencija je 50%. Dakle, teorijski 50% podataka ima vrijednost manju ili jednaku medijani i preostala polovina podataka vrijednosti veće od medijane. Medijana je poziciona srednja vrijednost i za izračunavanje medijane nisu bitne vrijednosti svih podataka nego njihov rang u seriji.

2.4.6.1. Određivanje medijane u uređenoj seriji

Određivanje medijane zavisi od broja podataka u seriji. Analiziraćemo slučajeve određivanja medijane ukoliko je broj podataka neparan i ukoliko je broj podataka paran.

• Neparan broj podataka

U uređenoj seriji x(i); (i)=1,..., N, gdje (i) predstavlja rang podatka, a N neparan broj podataka, medijana se izračunava koristeći sljedeću formulu:

12

NMe x +⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= (2.35)

Uređena statistička serija od 11 podataka:

Rang (i): 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Podaci (xi): 42 48 53 58 60 64 68 79 88

60 xx (5)2

192

1 ====⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +NxMe


59

• Paran broj podataka

U uređenoj seriji x(i); (i)=1,..., N, gdje (i) predstavlja rang podatka, a N paran broj podataka medijana se izračunava koristeći sljedeću formulu:

1

2 2

2

N Nx x

Me⎛ ⎞ ⎛ ⎞+⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

+

= (2.36)

U uređenoj seriji veličine 10:

Rang (i): 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Podaci (xi): 42 48 53 58 60 64 68 79 88 90

622

646022

2

)6()5(1

210

2101

22 =+=

+=

+

=

+

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ xx

xxxx

MeNN

2.4.6.2. Određivanje medijane za statističku distribuciju frekvencija

Tabela 2.7. Statistička distribucija frekvencija završenih stanova prema broju soba u Federaciji Bosne i Hercegovine u 2004. g.

Broj soba xj Frekvencije fj Rang (i) 1 184 1 - 184 2 238 185 - 422 3 115 423 - 537 4 35 538 - 572 5 2 573 - 574

Ukupno 574 Izvor: Statistički godišnjak Federacije Bosne i Hercegovine 2005, str.157.

Medijana je jednaka aritmetičkoj sredini modaliteta koji zauzima rang 287 (574/2=287) i modaliteta koji zauzima rang 288.

( ) ( )1 287 2882 2 2 2 2 2 2 2

N Nx xx x

Me⎛ ⎞ ⎛ ⎞+⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

++ += = = =


60

U seriji grupisanoj u intervale, medijana se računa na sljedeći način:

12 Me

Me MeMe

N SMe x a

f

−−= + ⋅ (2.37)

gdje je: x

Me lijeva granica medijanskog intervala, a

Me amplituda medijanskog intervala,

fMe frekvencija medijanskog intervala,

SMe-1

kumulativna frekvencija predmedijanskog intervala, N zbir svih frekvencija.

Praktičnije je računati medijanu ukoliko koristimo kumulativne relativne frekvencije:

Me

MeMeMe

Me

MeMeMe

pFax

pFMeFaxMe

1

1

50,0

)(

−

−

−⋅+=

−⋅+= (2.38)

gdje je: x

Me lijeva granica medijanskog intervala, a

Me amplituda medijanskog intervala F

Me teorijska kumulativna relativna frekvencija medijane,

FMe-1

kumulativna relativna frekvencija predmedijanskog intervala, p

Me relativna frekvencija medijanskog intervala.

Medijana se grafički može odrediti na osnovu kumulativnog dijagrama frekvencija. Kumulativnu krivu dobijemo spajanjem kumulativnih frekvencija koje odgovaraju svakom modalitetu ili u slučaju intervalno grupisanih serija gornjim granicama svakog intervala.

2.4.6.3. Medijana i kumulativna frekvencija

U uređenoj seriji (klasiranoj po rastućem ili opadajućem redosljedu podataka) broj podataka koji prethode medijani je jednak broju podataka


61

koji se nalaze poslije medijane. Na osnovu ove definicije mogli bismo zaključiti da je kumulativna frekvencija medijane uvijek jednaka 50 %. Provjerićemo da li je to tačno na jednom primjeru za koji smo neophodne podatke kompletirali i prezentirali u tabeli 2.8.

Tabela 2.8. Određivanje kumulativne frekvencije medijane

Opservacije x(i)

Rang (i)

Frekvencije fi

Kumulativne frekvencije

Si

Relativne frekvencije

pi

Kumulativne relativne

frekvencije Fi

42 1 1 1 0,09 0,09 48 2 1 2 0,09 0,18 50 3 1 3 0,09 0,27 52 4 1 4 0,09 0,36 54 5 1 5 0,09 0,45 58 6 1 6 0,09 0,54 58 7 1 7 0,09 0,63 58 8 1 8 0,09 0,72 64 9 1 9 0,09 0,81 68 10 1 10 0,09 0,90 70 11 1 11 0,09 0,99≈1,00

Ukupno - 11 0,99≈1,00

( )1 11 1 62 2

58NMe x x x+ +⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= = = =

Konstatujemo da 5 podataka prethodi medijani koja je jednaka 58 i 5 podataka se nalazi poslije medijane. Uočavamo da se podatak 58 ponavlja tri puta i da je kumulativna rastuća frekvencija ovog modaliteta jednaka 0,72 (dakle 72%), što je znatno više od 50% koliko je teorijska kumulativna frekvencija medijane. Dakle, u slučaju kada jedna vrijednost zauzima centralni rang u seriji, ali i više ostalih rangova, odgovarajuća kumulativna frekvencija se može znatno razlikovati od teorijski pretpostavljene.


62

2.4.6.4. Karakteristike medijane

Medijana je parametar centralne pozicije u seriji na koju ekstremne vrijednosti nemaju uticaja jer medijana ne zavisi od vrijednosti podataka nego od njihovog ranga, pozicije u seriji. Ako su npr. greškom evidentirane neke ekstremne vrijednosti one neće uticati na medijanu.

Posmatrajmo dvije uređene serije veličine 11:

Rang (i): 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Varijabla X1: 42 48 50 52 54 58 59 63 74 78 80 Varijabla X2: 42 48 50 52 54 58 59 63 74 78 200

U oba slučaja medijana je jednaka 58. Kako u uređenoj seriji polovina podataka prethodi medijani i polovina podataka se nalazi poslije medijane, medijana se naziva također kvantil reda 0,5 (ili reda 50%).

2.4.7. Kvantili

U uređenoj seriji x(i) kvantil reda p koji označavamo sa xp je jednak vrijednosti varijable za koju postoji proporcija opservacija koje su jednake ili manje od xp i komplementarna proporcija (1-p) opservacija koje su veće od xp:

10

)1()( i )( *

<<

−>⋅≤

p

pNxFpNxF pp (2.39)

ili u apsolutnim kumulativnim frekvencijama

10

)1()(S i )( *

<<

−>⋅≤

p

pNxpNxS pp (2.40)

2.4.7.1. Određivanje kvantila u uređenoj seriji

Ako u uređenoj seriji postoji vrijednost xj za koju je

1 ,

tada je j j

p j

S N p S

x x− < ⋅ <

= (2.41)


63

uz pretpostavku da je S=0 ako je j=1.

Ako u uređenoj seriji postoji vrijednost xj takva da Sj=Np tada je vrijednost kvantila reda p jednaka:

21++

= jjp

xxx (2.42)

2.4.7.2. Određivanje kvantila u intervalno grupisanoj seriji

Poslije određivanja kvantilne klase, kvantile određujemo korištenjem sljedeće relacije:

q

qqqp f

SNpaxx 1−−

⋅+= (2.43)

gdje je: xq donja granica kvantilnog intervala aq amplituda kvantilnog intervala Sq-1

kumulativna frekvencija predkvantilnog intervala fq frekvencija kvantilnog intrevala

Koristeći kumulativne relativne frekvencije kvantile izračunavamo koristeći sljedeći izraz:

q

qpqqp p

FxFaxx 1)( −−

⋅+= (2.44)

2.4.7.3. Kvartili

Kvartili se označavaju sa Q1, Q2, Q3 i predstavljaju kvantile reda p=1/4, p=1/2 i p=3/4 ili reda 25%, 50% i 75%. Kvartili su vrijednosti varijable koji distribuciju uređenu po veličini dijele na 4 jednaka dijela.

U uređenoj seriji prvi kvartil Q1 je jednak modalitetu vrijednosti varijable od kojeg 25% elemenata skupa ima jednaku ili manju vrijednost i 75% elemenata skupa ima veću vrijednost posmatranog obilježja. Dakle, 25% opservacija prethode Q1 i 75% opservacija se nalaze poslije Q1. Medijana je jednaka drugom kvartilu Me=Q2.


64

• Određivanje kvartila u intervalno grupisanoj distribuciji

U intervalno grupisanoj distribuciji prvi kvartil određujemo koristeći sljedeći izraz:

1

1

11

1

14

Q

Q

QQ f

SN

axQ−−

⋅+= (2.45)

gdje je: x Q1 donja granica kvartilnog intervala a Q1 amplituda kvartilnog intervala S Q1-1 kumulativna apsolutna frekvencija pretkvartilnog intervala f Q1 apsolutna frekvencija kvartilnog intrevala N broj podataka u seriji

Praktičnije je utvrditi prvi kvartil koristeći kumulativne relativne frekvencije:

1

1

11

1

1

11

1

111

25,0

)(

Q

QQQ

Q

QQQ

pF

ax

pFQF

axQ

−

−

−⋅+=

−⋅+=

(2.46)

gdje je: x Q1 donja granica kvartilnog intervala a Q1 amplituda kvartilnog intervala FQ1 kumulativna relativna teorijska frekvencija FQ1-1 kumulativna relativna frekvencija pretkvartilnog intervala p Q1 relativna frekvencija kvartilnog intrevala N broj podataka u seriji

Za određivanje trećeg kvartila u intervalno grupisanoj distribuciji koristimo sljedeće izraze zavisno od toga da li smo računali apsolutne kumulativne frekvencije:

3

3

33

1

34

3

Q

Q

QQ f

SN

axQ−−

⋅+= (2.47)


65

gdje je: x Q3 donja granica kvartilnog intervala a Q3 amplituda kvartilnog intervala S Q3-1 kumulativna apsolutna frekvencija pretkvartilnog intervala f Q3 apsolutna frekvencija kvartilnog intrevala N broj podataka u seriji

ili relativne kumulativne frekvencije:

3

3

33

3

3

33

1

133

75,0

)(

Q

QQQ

Q

QQQ

pF

ax

pFQF

axQ

−

−

−⋅+=

−⋅+=

(2.48)

gdje je: x Q3 donja granica kvartilnog intervala a Q3 amplituda kvartilnog intervala FQ3 kumulativna relativna teorijska frekvencija FQ3-1 kumulativna relativna frekvencija pretkvartilnog intervala p Q3 relativna frekvencija kvartilnog intrevala N broj podataka u seriji

2.4.7.4. Decili

Decili se označavaju sa D1, D2, …..D9, predstavljaju kvantile reda 10%, 20%, ..., 90%. Ima ih devet i dijele uređenu statističku seriju na 10 jednakih dijelova. U uređenoj seriji 20% opservacija prethodi D2, a 80% opservacija se nalazi poslije D2.

2.4.6.5. Centili

Centili se označavaju sa C1, C2, ..C95, … C99 i predstavljaju kvantile reda 1%, 2%, .., 95%, ..., 99%. Ima ih, dakle, 99 i dijele uređenu statističku seriju na 100 jednakih dijelova. U uređenoj seriji 1% podataka prethodi C1 i 99% podataka slijedi poslije C1. Kao i za medijanu, kumulativna frekvencija kvantila reda p % je vrlo blizu p % kada su podaci istovremeno mnogobrojni i različiti.


66

Primjer 2.4.

U sljedećem primjeru ćemo analizirati i komentarisati medijanu i decile. Ako je statistička tabela prezentovana u sljedećem obliku, normalno je pretpostaviti da su sve kumulativne frekvencije vrlo blizu teorijskih vrijednosti za svaki od analiziranih parametara.

Tabela 2.9. Distribucija neto plata u preduzećima u Francuskoj u 2000.g.

Decili Godišnje plate u eurima

Kumulativne frekvencije u %

D1 10 780 10 D2 12 490 20 D3 13 930 30 D4 15 420 40

Medijana=D5 17 130 50 D6 19 200 60 D7 22 030 70 D8 26 470 80 D9 35 700 90

Izvor: Tableau d’économie francaise (TEF) 2002-2003, INSEE, Paris, str. 91.

Medijanska plata je 17130 €. To znači da je 50% godišnjih neto plata u preduzećima u Francuskoj u 2000.g. bilo manje ili jednako 17130 €. Vrijednost sedmog decila nam daje informaciju da je 70% godišnjih neto plata u preduzećima u Francuskoj u 2000.g. bilo manje ili jednako od 22030€. 305 godišnjih neto plata je bilo veće od 22030€.

2.5. MJERE DISPERZIJE ILI VARIJACIJE

Postoje dva pristupa konstrukciji parametara disperzije: 1. Mjerenje odstupanja između dva podatka u seriji ili između dva

parametra centralne tendencije, 2. Mjerenje odstupanja podataka od nekog reprezentativnog parametra.

Mjere disperzije možemo klasificirati na apsolutne i relativne. Apsolutne mjere disperzije su: raspon varijacije, interkvantilno apsolutno odstupanje, srednje apsolutno odstupanje, varijansa i standardna devijacija.


67

Relativne mjere disperzije su: interkvantilna relativna odstupanja, koeficijent varijacije i koeficijent kvartilne devijacije.

2.5.1. Apsolutne mjere disperzije

2.5.1.1. Raspon varijacije

Raspon varijacije predstavlja apsolutno odstupanje između maksimalne i minimalne vrijednosti varijable:

RV = xmax-xmin (2.49)

Ovaj pokazatelj je jednostavan za računanje i tumačenje, ali ima ozbiljan nedostatak jer uzima u obzir samo dvije, i to ekstremne vrijednosti serije i ne daje informaciju o varijabilitetu pojava unutar serije.

2.5.1.2. Interkvantilno apsolutno odstupanje

Da bi se otklonio nedostatak raspona varijacije, konstruisani su parametri koji «eliminišu» određenu proporciju opservacija na početku i na kraju serije, dakle određenu proporciju najmanjih i najvećih vrijednosti. Interdecilno odstupanje D9-D1 eliminiše 10% opservacija na početku serije i 10% opservacija na kraju serije. Na taj način dobijamo mjeru disperzije koja se odnosi na 80% centralnih opservacija.

Najčešće korištena interkvantilna odstupanja su:

Interkvartilno odstupanje IQ=Q3-Q1 (2.50) Interdecilno odstupanje ID=D9-D1 (2.51) Intercentilno odstupanje IC=C99-C1 (2.52)

Interkvantilna odstupanja treba primjenjivati u zavisnosti od analiziranog problema i potrebe da se detaljnije analizira jedan dio distribucije. Najčešće se primjenjuje interkvartilno odstupanje.

2.5.1.3. Box Plot

Box plot je grafička prezentacija koja omogućava istovremeno posmatranje pozicionih mjera srednjih vrijednosti i interkvartilnog odstupanja kao mjere


68

disperzije. Ovaj grafički prikaz omogućava vizuelno pozicioniranje 50% vrijednosti podataka unutar box-a i na taj način omogućava analizu disperzije.

Za konstukciju Box Plota treba izračunati vrijednosti tri kvartila. Nacrtamo pravougaonik (box - kutiju) čiju osnovu predstavlja interkvartilno odstupanje. Bočne strane su određene vrijednostima prvog i trećeg kvartila. Pravougaonik je presječen na dva dijela medijanom. Od desne i lijeve strane pravougaonika povučemo linije do maksimalne i minimalne vrijednosti varijable. Box plot nam omogućuje da sagledamo na jednostavan i ilustrativan način osnovne karakteristike serije.

Box plotGrafikon 2.8.

25% 25% 25% 25%

1Q 3QMe

minx maxx

U slučaju da serija sadrži netipične i ekstremne vrijednosti krakovi postaju previše dugi što otežava interpretaciju. U tim slučajevima se preporučuje računanje graničnih vrijednosti prema relaciji:

a1=Q1–1,5(Q3-Q1)

a2=Q3+1,5(Q3-Q1) (2.53)

Ove granice su udaljene od bočnih strana pravougaonika za 1,5 njegovu dužinu. Praktična iskustva su pokazala da se većina serija koje ne sadrže netipične vrijednosti nalazi u intervalu (a1, a2). Mogu se računati i granice udaljene od pravougaonika za dvije ili tri njegove dužine da bi se odredile netipične ili ekstremne vrijednosti.


69

2.5.1.4. Srednje apsolutno odstupanje

Srednje apsolutno odstupanje spada u mjere disperzije koje se konstruišu kao odstupanje modaliteta od nekog reprezentativnog parametra. Da bismo konstruisali srednje apsolutno odstupanje, analizirat ćemo četiri sljedeće faze.

Faza 1: Izabrati reprezentativni pokazatelj

Za reprezentativni pokazatelj odabiremo aritmetičku sredinu zbog njenih karakteristika i prednosti u odnosu na ostale parametre srednje vrijednosti i zbog osobine koju možemo provjeriti koristeći teoremu König-Huygens-a.

Odaberimo bilo koji parametar centralne tendencije koji možemo označiti sa k. Aritmetička sredina odstupanja opservacija od tog parametra je jednaka:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

2 2

1 1

2

1

2 2

1

2 2

1 1

1 1

1

1 2

1 12

N N

i ii i

N

ii

N

i ii

N N

i ii i

x k x x x kN N

x x x kN

x x x k x x x kN

x x x k x x x kN N

= =

=

=

= =

− = − + −

⎡ ⎤= − + −⎣ ⎦

⎡ ⎤= − + − − + −⎣ ⎦

⎡ ⎤= − + − − + −⎢ ⎥⎣ ⎦

∑ ∑

∑

∑

∑ ∑

(2.54)

Kako je drugi član u gornjem izrazu jednak nuli ( ) ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ =−∑i

i xx 0 sljedi:

( ) ( ) ( )∑∑==

−+−=−N

ii

N

ii kxxx

Nkx

N 1

22

1

2 11 (2.55)

Prvi član na desnoj strani izraza ne zavisi od k i predstavlja varijansu varijable X. Slijedi da gornji izraz ima minimalnu vrijednost kada je:

( )2 0, odnosno kada je xx k k− = = (2.56)

Konstatujemo da je aritmetička sredina najbolji reprezentativni pokazatelj centralne tendencije jer su vrijednosti odstupanja opservacija od aritmetičke


70

sredine manje nego odstupanja opservacija od bilo kojeg drugog parametra centralne tendencije.

Faza 2: Mjeriti odstupanje između svakog modaliteta i aritmetičke sredine Za svaki modalitet računamo odstupanje: yi = xi - x Faza 3: Da bismo sintetizirati u jednom broju poziciju svih izračunatih odstupanja, računamo njihovu aritmetičku sredinu. Ovako izračunata aritmetička sredina odstupanja modaliteta od njihove aritmetičke sredine je jednaka nuli zbog toga što se anuliraju pozitivna i negativna odstupanja od aritmetičke sredine.

Faza 4: Da bismo izbjegli anuliranje pozitivnih odstupanja od aritmetičke sredine sa negativnim odstupanjima od aritmetičke sredine, računamo za svaki modalitet apsolutnu vrijednost odstupanja od aritmetičke sredine: zi = xi - x Završna faza je utvrđivanje prosječnog apsolutnog odstupanja koje je jednako aritmetičkoj sredini apsolutnih odstupanja između modaliteta i njihove aritmetičke sredine.

Formule za računanje prosječnog apsolutnog odstupanja MAD5: • za negrupisanu seriju:

∑

=

−=N

ii xx

NMAD

1

1

(2.57) • za uređenu seriju:

1 21

1 1 ( ...... )N

i Ni

x x x x xN N=

= = + +∑ (2.58)

• za statističku distribuciju frekvencija:

∑∑==

=−=J

jj

J

jjj fNjegdjexxf

NMAD

11

,1 (2.59)

5 MAD je skraćenica od engleskog izraza sa srednje apsolutno odstupanje - Mean

Apsolutely Deviation.


71

• za statističku distribuciju relativnih frekvencija:

∑∑==

=−=J

jj

J

jjj pjegdjexxpMAD

111, (2.60)

Pri računanju treba primijeniti odgovarajuću formulu u zavisnosti od raspoloživih podataka. Srednje apsolutno odstupanje je parametar koji je jednostavno objasniti. Veća vrijednost srednjeg apsolutnog odstupanja ukazuje na veću disperziju podataka u odnosu na njihovu aritmetičku sredinu. Srednje apsolutno odstupanje ne može biti jednako nuli, osim u slučaju kad su svi modaliteti jednaki, ali tada se problem sinteze podataka ne postavlja. Ovaj parametar se rijetko koristi i ima više teorijsku nego praktičnu vrijednost.

2.5.1.5. Varijansa

Za konstrukciju varijanse primjenjujemo četiri faze. Prve tri faze su iste kao faze koje smo analizirali za konstrukciju srednjeg apsolutnog odstupanja (MAD).

Postupak za rješavanje četvrte faze je različit. Da bismo izbjegli anuliranje pozitivnih odstupanja od aritmetičke sredine sa negativnim odstupanjima od aritmetičke sredine, za svaku opservaciju računamo kvadratno odstupanje od aritmetičke sredine (xi - x )2 i zatim računamo njihovu aritmetičku sredinu.

Varijansa je jednaka aritmetičkoj sredini kvadrata odstupanja između modaliteta i njihove aritmetičke sredine.

Formule za računanje varijanse: • za negrupisanu seriju:

( )∑=

−==n

iiX xx

nXVar

1

22 1)( σ (2.61)

• za uređenu seriju:

( )∑=

−==N

iiX xx

NXVar

1)(

2)(

2 1)( σ (2.62)


72


( )∑=

−==J

jjjX xxf

NXVar

1

22 1)( σ (2.63)

• za statističku distribuciju relativnih frekvencija:

( ) 1,)(11

22 =−== ∑∑==

J

jj

J

jjjX pjegdjexxpXVar σ (2.64)

Za izračunavanje varijanse treba primijeniti odgovarajuću formulu zavisno od raspoloživih podataka.

U tabeli 2.10. ilustrovat ćemo faze konstrukcije i utvrđivanje srednjeg apsolutnog odstupanja i varijanse.

Tabela 2.10. Primjer postupka konstrukcije srednjeg apsolutnog odstupanja i varijanse

Modaliteti xi

Odstupanje modaliteta od

aritmetičke sredine ( )i id x x= −

Apsolutna odstupanja

i ib x x= −

Kvadrat odstupanja modaliteta od

aritmetičke sredine 2( )i ik x x= −

20 -20 20 400 10 -30 30 900 30 -10 10 100 40 0 0 0 60 20 20 400 80 40 40 1600

x =40 0d = 20=b 566,66k =

Na osnovu rezultata prezentovanih u tabeli 2.10. konstatujemo da je zbir odstupanja modaliteta od aritmetičke sredine jednak nuli. Srednje apsolutno odstupanje je jednako 20, a varijansa 566,66.

Za primjenu je praktičnija razvijena formula varijanse. Dokazaćemo izvođenje razvijene formule prema prema Königu za negrupisanu seriju:


73

( ) ( )∑∑==

+−=−=N

iii

N

iiX xxxx

Nxx

N 1

22

1

22 211σ

∑ ∑∑= ==

+−=N

i

N

i

N

iiiX x

Nx

Nxx

N 1 1

2

1

22 121σ

∑=

+−=N

iiX xN

NxN

Nxx

N 1

222 121σ

∑=

+−=N

iiX xxx

N 1

2222 21σ

2

1

22 1 xxN

N

iix −= ∑

=

σ (2.65)

222 xxx −=σ

Razvijene formule varijanse za statističku distribuciju frekvencija i relativnih frekvencija su jednake6:

2

1

22 1 xxfN

J

jjjx −= ∑

=σ (2.66)

22

1

2 xxp j

J

jjx −=∑

=

σ (2.67)

2.5.1.5.1. Osobine varijanse

Osobine varijanse možemo formalizirati na sljedeći način: • Ako svakoj opservaciji dodamo isti broj, varijansa se neće

promijeniti:

Var (X+b)=VarX (2.68)

• Ako svaki podatak u posmatranoj seriji pomnožimo sa nekim brojem a, varijansa će biti pomnožena sa a2:

Var (aX)=a2VarX (2.69)

6 Ove dvije formule se mogu izvesti analogno dokazu za negrupisanu seriju.


74

• Dvije prethodne osobine možemo istovremeno posmatrati i izraziti sljedećom relacijom:

Var (aX+b)=a2VarX (2.70)

• Osobine agregiranja varijanse:

Ako su za dvije statističke serije poznati sljedeći podaci 2 2

1 1 1 2 2 2, , i , , , N x N xσ σ varijansu globalne serije utvrđujemo koristeći sljedeću relaciju:

( ) ( )21

222

211

21

222

2112

NNxxNxxN

NNNN

+−+−

+++= σσσ (2.71)

Prvi član na desnoj strani date relacije predstavlja ponderisanu aritmetičku sredinu varijansi dvije serije i naziva se varijansa u serijama. Drugi član predstavlja varijansu aritmetičkih sredina i naziva se varijansa između serija. Ovo pravilo možemo generalizirati u slučajevima agregiranja (ili dekompozicije) više statističkih serija.

2.5.1.6. Standardna devijacija

Varijansa je parametar disperzije čija se numerička vrijednost ne može korektno objasniti, ali koja posjeduje analizirane osobine računanja. Zbog toga definišemo standardnu devijaciju čija se numerička vrijednost može konkretno objasniti, ali ona nema osobine računanja koje smo pokazali za varijansu. Standardna devijacija je najznačajnija mjera disperzije opšteprihvaćena u statističkoj analizi i predstavlja prosječno odstupanje vrijednosti numeričke varijable od njene aritmetičke sredine. Standardna devijacija je definisana kao pozitivni kvadratni korijen iz varijanse:

( )∑=

−===N

iiXX xx

NXVar

1

22 1)( σσ (2.72)

Manje vrijednosti standardne devijacije ukazuju na manju disperziju vrijednosti varijable od aritmetičke sredine i na homogeniju seriju. Standardna devijacija se izražava u istoj jedinici mjere kao i posmatrana varijabla.


75

U našem primjeru, u tabeli 2.10. varijansa iznosi 566,66. Standardna devijacija je jednaka 23,8. Ova vrijednost ima konkretno ekonomsko značenje i pokazuje da podaci u prosjeku odstupaju od aritmetičke sredine za 23,8.

Ostale formule za izračunavanje standardne devijacije u zavisnosti od raspoloživih podataka su:

2 2 2

1

1 N

X X ii

x xN

σ σ=

= = −∑ (2.73)

2

1

22 1 xxfN

J

jjjxx −== ∑

=

σσ (2.74)

22

1

2 xxp j

J

jjxx −== ∑

=

σσ (2.75)

2.5.2. Relativne mjere disperzije

2.5.2.1. Interkvantilna relativna odstupanja

Interkvantilna relativna odstupanja dobijamo tako što u odnos stavimo odgovarajuće kvantile. Najčešća interkvantilna relativna odstupanja su:

• interkvartilno odstupanje izraženo odnosom trećeg i prvog kvartila Q3 / Q1

• interkvartilno odstupanje 1

13

QQQ −

• interdecilno odstupanje izraženo odnosom devetog i prvog decila D9 / D1

• intercentilno odstupanje C99 / C1

Interkvantilna relativna odstupanja su parametri disperzije i veća vrijednost ovih parametara ukazuje na veću disperziju.

Interkvantilni relativni pokazatelji su posebno korisni za poređenje disperzije serija koje su izražene u različitim jedinicama mjere, npr. plate u eurima i KM.


76

2.5.2.2. Koeficijent kvartilne devijacije

Koeficijent kvartilne devijacije je relativni pokazatelj disperzije i definišemo ga na sljedeći način:

10,13

13 ≤≤+−

= QDQD kQQQQ

k (2.76)

Vrijednost ovog koeficijenta se kreće u intervalu od 0 do 1, ili od 0 do 100% ako ga izrazimo u procentima. Ako je vrijednost ovog koeficijenta jednaka nuli tada nema disperzije.Veća vrijednost ovog koeficijenta ukazuje na veću disperziju.

2.5.2.3. Koeficijent varijacije

Standardna devijacija je mjera varijabilnosti izražena u istoj jedinici mjere kao i varijabla X. Zbog toga je ne možemo koristiti za poređenje varijabiliteta serija izraženih u različitim jedinicama mjere. Da bi se izbjegao taj nedostatak i mogle porediti različite serije konstruisana je relativna mjera disperzije kao odnos standardne devijacije i aritmetičke sredine. Tako konstruisan pokazatelj nazivamo koeficijent varijacije. Koeficijent varijacije je dakle relativna mjera disperzije definisana odnosom između standardne devijacije i aritmetičke sredine.

xkV

σ= ; odnosno 100⋅=x

kVσ

(2.77)

Koeficijent varijacije je neimenovani broj i uobičajeno je da ga izražavamo u procentima. Koeficijent varijacije pokazuje koliko jedinica standardne devijacije u prosjeku otpada na svaku jedinicu aritmetičke sredine. Izražen u procentima pokazuje koliko procentualno iznosi standardna devijacija od aritmetičke sredine. Koristimo ga za poređenje disperzije u slučajevima kada su varijable izražene u različitim jedinicama mjere i kada su aritmetičke sredine varijabli različite.

2.5.2.4. Standardizovane varijable

Standardna devijacija je parametar koji opisuje disperziju statističke serije kao cjeline. Za utvrđivanje relativnog položaja modaliteta varijable u seriji


77

primjenjuje se standardizovana vrijednost varijable koja je definisana sljedećim izrazom:

, 1, 2,...,ii

x xz i Nσ−= = (2.78)

Standardizovana varijabla je jednaka količniku između odstupanja vrijednosti varijable od aritmetičke sredine i standardne devijacije.

Standardizovana varijabla je relativan pokazatelj pogodan za poređenje položaja podataka u različitim serijama. Standardizovana varijabla je linearna transformacija vrijednosti varijable X. Aritmetička sredina standardizovane varijable je jednaka nuli:

( )∑∑∑

=

== =−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

==N

ii

N

i

iN

ii

xxNN

xx

N

zz

1

11 01σ

σ (2.79)

Varijansa i standardna devijacija standardizovane varijable su jednake jedinici:

( ) ( )

( )

22 22

1 1 1

22

1

2

1 1 1 =

1 1 1

1 1

N N Ni

z i ii i i

N

ii

z z

x xz z zN N N

x xN

σσ

σ

σ σ

= = =

=

−⎛ ⎞= − = = ⎜ ⎟⎝ ⎠

= ⋅ − =

= = =

∑ ∑ ∑

∑ (2.80)

2.5.3. Čebiševa teorema

Čebiševa teorema omogućava istovremeno tumačenje aritmetičke sredine i standardne devijacije. Prema teoremi Čebiševa, u nekoj distribuciji ima najmanje (1-1/k2) modaliteta koje odstupaju od aritmetičke sredine za k puta standardna devijacija:

1k ,11)( 2 >−>+<<−k

kxXkxP σσ (2.81)

Primjenu ove teoreme ilustrujemo na sljedećem primjeru. Pretpostavimo da je poznata prosječna mjesečna plata 460 eura, standardna devijacija 180 eura i k=2. Primjenom Čebiševe teoreme dobijamo:


78

[ ]620;300802460 =⋅±=± σkx

%7521111 22 =−=−

k

Prema teoremi Čebiševa, najmanje 75% plata ove distribucije se nalaze u intervalu između 300 i 620 eura.

Primjena ove teoreme omogućava procjenu moguće vrijednosti neke varijable i raspona varijacije u kojem se očekuje određena proporcija modaliteta. U pravilu, vrijednosti varijable rijetko odstupaju od aritmetičke sredine za više od tri standardne devijacije. Ova teorema se koristi za definisanje karakterističnih intervala u inferencijalnoj statistici.

2.5.4. Primjer grafičke sinteze parametara pozicije i disperzije

Na osnovu podataka datih u tabeli 2.11. predstavit ćemo grafičku sintezu parametara pozicije i disperzije.

Tabela 2.11. Distribucija neto plata u preduzećima u Francuskoj u 2000.g. grupisana prema decilima

Decili Godišnje plate u eurima xj

Kumulativne frekvencije Fj u %

D1 10 780 10 D2 12 490 20 D3 13 930 30 D4 15 420 40

Medijana=D5 17 130 50 D6 19 200 60 D7 22 030 70 D8 26 470 80 D9 35 700 90

Izvor: Tableau d’économie francaise (TEF) 2002-2003, INSEE, Paris, str. 91.

Na osnovu podataka iz tabele konstruisali smo kumulativnu krivu, grafički i analitički odredili kvartile i konstruisali box plot.


79

6

decili u %

godišnje plate (u 000 €)

10095908580757065605550454035302520151050

Kumulativna kriva godišnjih neto plata u eurimaGrafikon 2.9.

8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36

1

13, 210Q 3

24, 250QMe

17,130minx

Medijanska plata je 17130 €. To znači da je 50% godišnjih neto plata u preduzećima u Francuskoj u 2000.g. bilo manje ili jednako 17130 €. Prvi kvartil Q1 je 13210 € što pokazuje da je 25% godišnjih neto plata u preduzećima u Francuskoj u 2000.g. bilo manje ili jednako od 13210 € . Vrijednost trećeg kvartila nam daje informaciju da je 75% godišnjih neto plata u preduzećima u Francuskoj u 2000.g. bilo manje ili jednako od 24250 €.

2.5.5. Pregled mjera srednje vrijednosti i varijacije

U šemi 2.1. dajemo pregled mjera srednje vrijednosti i varijacije koje smo analizirali za kvantitativnu statističku varijablu.


80

Kvantitativna varijabla

Mjere srednje vrijednosti

Mjere varijacije

Potpune Pozicione Apsolutne Relativne

Aritmeticka sredina

Geometrijska sredina

Harmonijska sredina

Kvadratna sredina

Kubna sredina

Medijana

Mod

Kvantili

Interkvartilno

Interdecilno

Intercentilno

Raspon varijacije

Srednje apsolutno

odstupanje

Varijansa

Standardna devijacija

Interkvantilna odstupanja

Koeficijent varijacije

Koeficijent kvartilne devijacije

Interkvantilna relativna

odstupanja

Mjere srednje vrijednosti i varijacijeŠema 2.1.

2.6. MJERE OBLIKA DISTRIBUCIJE

2.6.1. Momenti distribucije frekvencija

Za konstrukciju parametara oblika distribucije frekvencije koristimo centralne momente distribucije frekvencija koji se definišu na bazi višestepenih odstupanja vrijednosti varijable od aritmetičke sredine. Centralni moment r-tog reda je dat sljedećim izrazima:

• za negrupisanu seriju:

( ) [ ]1

1 , 0,1,...,N

rr i

i

x x r NN

μ=

= − ∈∑ (2.82)


81


( ) [ ]1

1 , 0,1,...,J r

r j jj

f x x r NN

μ=

= − ∈∑ (2.83)

2.6.2. Mjere asimetrije

Razlikuju se tri tipa distribucije: simetrična, lijevo asimetrična i desno asimetrična. Često nam analiza dijagrama u stupcima ili histograma omogućava da uočimo da li je distribucija simetrična ili ne. Analiza box-plota nam omogućava također da konstatujemo simetriju ili asimetriju distribucije. Pored navedenih, konstruisani su i specifični pokazatelji za mjerenje asimetrije koji mjere asimetriju u odnosu na pravac: xx = . Polazna veličina za mjerenje asimetrije je treći momenat oko aritmetičke sredine koji je jednak aritmetičkoj sredini odstupanja vrijednosti varijable od aritmetičke sredine podignutih na treći stepen.

Za negrupisane podatke moment trećeg reda je jednak:

( )N

xxN

ii∑

=−

= 1

3

3μ (2.84)

Za grupisanu distribuciju frekvencija treći moment oko sredine je jednak:

( )3

13

1

,

J

j j Jj

jj

f x xN f

Nμ =

=

−= =∑

∑ (2.85)

Analiza osobina ovog parametra omogućava da konstatujemo da je u slučaju simetrične distribucije brojnik navedenih izraza jednak nuli i treći momenat oko sredine jednak nuli. U slučaju desne asimetrije moment trećeg reda je pozitivan. Za lijevo asimetričnu distribuciju moment trećeg reda je negativan:

asimetrija lijeva 0asimetrija desna 0

simetrija 0

3

3

3

<>=

μμμ

(2.86)


82

Moment trećeg reda zavisi od jedinica mjere u kojima je izražena varijabla i zbog toga je njegova direktna primjena otežana. Da bi otklonio taj nedostatak. Ficher je predložio sljedeći koeficijent asimetrije:

33

3 σμα = (2.87)

Ovaj koeficijent predstavlja relativnu mjeru smjera i veličine asimetrije:


simetrija 0

3

3

3

<>=

ααα

(2.88)

Vrijednost Ficherovog koeficijenta asimetrije se najčešće nalazi u intervalu [-2;+2].

Postoje i drugi koeficijenti asimetrije koji su brži za računanje, a čije osobine proizilaze iz empirijskih iskustava. To su:

• Pearsonov koeficijent:

σ

Ok

MxS −= (2.89)

koji je predstavljen kao standardizirano odstupanje moda od aritmetičke sredine. Najčešća vrijednost ovog koeficijenta se nalazi u intervalu [-3;+3].

Pearsonov koeficijent je nepotpuna mjera asimetrije:


simetrija 0

<>=

k

k

k

SSS

(2.90)

• Koeficijent Yule i Kendall je jednak sljedećem izrazu:


simetrija 0

11- ,2

13

31

<>=

≤≤−−+=

k

k

k

ke

k

YYY

YQQ

MQQY

(2.91)


83

Na grafikonu 2.10. je predstavljena simetrična distribucija. Kod simetrične distribucije aritmetička sredina, mod i medijana su jednaki.

Odnos parametara kod simetrične distribucijeGrafikon 2.10.

0

3 3

M Me0 0; 0k

xa Sμ

= == ⇒ = =

jf

jxx

Za desno asimetričnu distribuciju aritmetička sredina je veća od medijane i moda. Relativna mjera asimetrije je pozitivna.

Asimetrična distribucija – desna asimetrijaGrafikon 2.11.

3 3

Mo<Μe <0, 0; 0k

xa Sμ > ⇒ > >

Mo Me x jx

jf

Za lijevo asimetričnu distribuciju aritmetička sredina je manja od medijane i moda. Relativna mjera asimetrije je negativna.


84

Asimetrična distribucija – lijeva asimetrijaGrafikon 2.12.

3 3

Me < Mo0 0; 0x

a Skμ<

< ⇒ < <

jf

x MoMe jx

2.6.3. Parametri spljoštenosti

Konstrukcija parametara spljoštenosti je bazirana na četvrtom momentu oko sredine:

( )44

1

44

1 1

1

1 ( ) ,

N

ii

J J

j j jj j

x xN

f x x N fN

μ

μ

=

= =

= −

= − =

∑

∑ ∑ (2.92)

Četvrti moment oko sredine je prosječno odstupanje vrijednosti varijable od njene aritmetičke sredine podignuto na četvrti stepen.

Zaobljenost se upoređuje i mjeri prema zaobljenosti modalnog vrha normalne distribucije koristeći sljedeće koeficijente:

Pearsonov koeficijent zaobljenosti:

44

4 σμα = (2.93)

Ficherov koeficijent zaobljenosti je jednak:

344

4 −=σμϕ (2.94)


85

Za normalnu distribuciju frekvencija vrijede sljedeće vrijednosti koeficijenata:

03 44 =⇒= ϕα (2.95)

Spljoštenost ostalih distribucija mjerimo u odnosu na normalnu. Ako je 03 44 >⇒> ϕα distribucija je uža, šiljastija od normalne, a ako je 03 44 <⇒< ϕα distribucija je šira, spljoštenija od normalne. Ficherov

koeficijent je jednostavniji za upotrebu. Ako je distribucija šiljastija, vrijednost koeficijenta je veća. Manja vrijednost koeficijenta ukazuje na spljoštenost distribucije.

Na grafikonu 2.13. su prezentovana tri tipa spljoštenosti distribucije.

Mjere spljoštenosti distribucije

normalnadistribucija

Grafikon 2.13.

jf

jxx

4 4

4 4

4 4

3; 03; 03; 0

aaa

ϕϕϕ

= => >< <

Excel nam pruža mogućnost dobijanja sumarnog pregleda ocjena parametara koje smo analizirali.


86

Rezultati našeg primjera ocjena na ispitu iz Statistike dobijeni u Excelu su predstavljeni u tabeli 2.12.

Tabela 2.12. Output Excela za analizu ocjena na ispitu iz Statistike

Descriptive Statistics Mean 8,235294118

Standard Error 0,239051988 Median 8 Mode 10

Standard Deviation 1,393900643 Sample Variance 1,942959002

Kurtosis -1,291933142 Skewness -0,09156866

Range 4 Minimum 6 Maximum 10

Sum 280 Count 34

U tabeli u prilogu je dat prijevod tabele 2.12.


87

Prosječna ocjena je 8,2, medijana je 8, a ocjena koja je bila najčešća je 10. Standardna devijacija je 1,39. To znači da su u prosjeku ocjene odstupale oko aritmetičke sredine za 1,39.

2.7. MJERE KONCENTRACIJE

Mjere koncentracije analiziraju način raspodjele agregatnih veličina ili globalnih vrijednosti na modalitete statističkih varijabli. Mjere koncentracije se dijele na apsolutne i relativne. Najpoznatije apsolutne mjere koncentracije su koncentracijski omjer i Herfindahlov indeks. Relativne mjere koncentracije se nazivaju i mjere nejednakosti u raspodjeli agregatnih veličina. Među najpoznatije mjere koncentracije ubrajaju se Lorenzova kriva ili kriva koncentracije i Ginijev koeficijent. Mi ćemo prezentovati i analizirati relativne mjere koncentracije.

2.7.1. Lorenzova kriva

Lorenzova kriva se konstruiše u pravougaonom koordinatnom sistemu na osnovu relativnih kumulativnih frekvencija i relativne kumulativne globalne vrijednosti. Globalna vrijednost predstavlja proizvod f

j xcj u kojem je f

j

frekvencija intervala čiji je centar xcj. Na apscisu se nanose kumulativne

relativne frekvencije jF a na ordinatu relativne kumulativne globalne

vrijednosti jQ . Kategorije koje koristimo u analizi mjera koncentracije formaliziramo na sljedeći način:

1;;;;11

1

====== ∑∑∑

∑∑==

=

≤≤

N

jj

N

jjN

jjj

jjj

jj

xxjj

xxjj qp

fx

fxq

Nf

pqQpFjj

(2.96) Dvije kumulativne frekvencije Fj i Qj variraju u intervalu [0;1]. Da bismo nacrtali Lorezovu krivu prvo konstruišemo kvadrat čije su strane jednake jedinici kao na grafikonu 2.14. Ovaj kvadrat je poznat pod imenom Ginijev kvadrat. Dijagonala kvadrata odgovara liniji jednake raspodjele. Lorenzova kriva se nalazi u trouglu čija tjemena imaju koordinate (0,0), (1,1) i (0,1). Potpuna nejednakost u raspodjeli je određena katetama trougla (0,1) i (1,1). Kada se kriva više udaljava od dijagonale koncentracija je veća i raspodjela je neravnomjernija i obrnuto.


88

Lorenzova krivaGrafikon 2.14.

potpuna jednakost

potpuna nejednakost

10

1

Lorenzova kriva

Na grafikonu 2.15. je predstavljena Lorenzova kriva u slučaju kada kumulativne frekvencije Fj i Qj izrazimo u procentima.

0


10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

(u %)Q

(u %)F


89

Na sljedećem primjeru ćemo ilustrovati konstrukciju Lorenzove krive.

Primjer 2.5.

Tabela 2.13. Dio agregiranih prihoda u % koje je primila svaka četvrtina od ukupnog broja domaćinstava u državi X.

Godina Broj domaćinstava 1/4 2/4 3/4 4/4 2000 650 000 4,5 15,5 22,5 57,5 100 2005 690 000 3,5 12,5 19,5 64,5 100

U 2000, 25% domaćinstava čiji su prihodi bili najniži su primili 4,5% agregiranih prihoda, što znači 4,5 % od ukupne mase prihoda svih 650000 domaćinstava. 50% domaćinstava sa najnižim primanjima su dobijali 20% od ukupne mase primanja svih domaćinstava, a 25% domaćinstava čiji su prihodi bili najviši su dobijali 57,5% agregiranih prihoda.

U ovom slučaju koncentracija prihoda je vrlo izražena zato što jedan mali procenat domaćinstava (25%) prima veliki procenat mase ukupnih prihoda svih domaćinstava. Pokazatelji koncentracije mjere u ovom slučaju nejednakost u raspodjeli mase ukupnih prihoda domaćinstava.

Nejednakost u raspodjeli ukupne mase prihoda domaćinstava se povećala u 2005.g. 25% najbogatijih domaćinstava je raspolagalo sa 64,5% mase ukupnih prihoda, a preostalih 75% domaćinstava raspolažu sa 35,5% mase ukupnih prihoda. U ovom slučaju koncentracija je jaka zato što jedan mali procenat domaćinstava prima veliki procenat mase ukupnih prihoda svih domaćinstava. Da bismo konstruisali Lorenzovu krivu za gore navedene podatke potrebno je kompletirati radnu tabelu za 2000. i za 2005. godinu:

Tabela 2.14. Radna tabela za 2000. godinu

Frekvencija pj u %

Agregatna primanja qj u %

Kumulativna frekvencija Fj u %

Kumulativni agregat Qj u %

25 4,5 25 4,5 25 15,5 50 20 25 25,5 75 45,5 25 54,5 100 100


90

Tabela 2.15. Radna tabela za 2005. godinu

Frekvencija pj u %

Agregatna primanja qj u %

Kumulativna frekvencija Fj u %

Kumulativni agregat Qj u %

25 3,5 25 3,5 25 12,5 50 16 25 19,5 75 35,5 25 64,5 100 100

Na osnovu podataka o kumulativnim frekvencijama i kumulativnom agregatu iz radnih tabela konstruisali smo Lorenzovu krivu za 2000.g. i za 2005.g.

100

100

0


2005. godina2000. godina

(u %)Q

(u %)F

Na osnovu položaja Lorenzovih krivih u odnosu na liniju jednake raspodjele možemo konstatovati da je došlo do porasta nejednakosti u raspodjeli mase ukupnih prihoda između domaćinstava u 2005.g. u odnosu na 2000.g.


91

2.7.2. Ginijev koeficijent

Ginijev koeficijent je relativna mjera koncentracije i definisan je kao odnos površine između Lorenzove krive i pravca jednake raspodjele i površine trougla koji se nalazi ispod dijagonale koja predstavlja pravac jednake raspodjele. Površina između Lorenzove krive i pravca jednake raspodjele se naziva i površina koncentracije. Ginijev koeficijent G se izračunava korištenjem sljedeće relacije:

Površina koncentracije 2

Površina trougla 0,5SG S= = = (2.97)

Površina trougla je jednaka 0,5. Ginijev koeficijent je jednak dva puta površina koncentracije i kreće se u intervalu [0;1]. Kada je ova površina veća, nejednakost u raspodjeli je značajnija. Dva granična slučaja su vrijednosti koeficijenta jednake nuli i jedinici.

Kada je Ginijev koeficijent jednak nuli, koncentracija je jednaka nuli i postoji perfektna jednakost u raspodjeli mase primanja. Ako je Ginijev koeficijent jednak jedinici koncentracija je maksimalna i postoji maksimalna nejednakost u raspodjeli ukupne mase primanja. Npr. jedna osoba prima ukupnu masu, dok ostali ne primaju ništa. Dakle, veća vrijednost Ginijevog koeficijenta odgovara većoj koncentraciji i većoj nejednakosti u raspodjeli.

Ginijev koeficijent se može izračunati primjenom metode trapeza koja je praktičnija i grafički se jednostavnije ilustruje i metodom trouglova.


92

2.7.2.1. Određivanje Ginijevog koeficijenta metodom trapeza


100

100

0

(u %)Q

(u %)F

1jQ −

1jF −

( )2

a c h+ ⋅

jQ

jFh

ca

Formula za računanje Ginijevog koeficijenta metodom trapeza:

1 ( )22 2

a c hG + ⋅⎡ ⎤= ⋅ −⎢ ⎥⎣ ⎦∑

( ) ( )1 1122 2

j j j jQ Q F FG − −

⎡ ⎤+ ⋅ −⎢ ⎥= ⋅ −⎢ ⎥⎣ ⎦

∑

( )∑ +⋅−= − jjj QQpG 11 (2.98)

Ako koristimo relativne frekvencije izražene u procentima, formula za izračunavanje Ginijevog koeficijenta je jednaka sljedećem izrazu:


93

14

11 ( )10 j j jG p Q Q−= − +∑ (2.99)

Na osnovu analiziranog primjera izračunat ćemo Ginijev koeficijent za 2000. godinu korištenjem metode trapeza.

[]

1 0,25 (0 0,045) 0,25 (0,045 0,20)0,25 (0,20 0,455) 0,25 (0,455 1)

G = − ⋅ + + ⋅ + ++ ⋅ + + ⋅ +

G 2000 =0,41

Ginijev koeficijent za 2000. godinu je jednak 0,41.

Na isti način računamo Ginijev koeficijent za 2005. godinu:

[]

1 0,25 (0 0,035) 0, 25 (0,035 0,16)0, 25 (0,16 0,355) 0, 25 (0,355 1)

G = − ⋅ + + ⋅ + ++ ⋅ + + ⋅ +

G 2005 =0,48

Ginijev koeficijent za 2005. godinu je jednak 0,48.

Ginijev koeficijent u 2005.g. je veći od Ginijevog koeficijenta u 2000.g. Izračunate vrijednosti Ginijevog koeficijenta potvrđuju da je nejednakost u raspodjeli, odnosno koncentracija mase agregatnih prihoda bila veća u 2005. godini. Do istog zaključka smo došli analizirajući Lorenzovu krivu.

2.7.2.2. Određivanje Ginijevog koeficijenta metodom trouglova

Za statističku kvantitativnu neprekidnu varijablu čiji su podaci grupisani u J intervala površina koncentracije može biti definisana kao skup J trouglova. Na tom osnovu je definisana metoda trouglova za izračunavanje Ginijevog koeficijenta prema sljedećoj formuli:

( )∑−

=++ −=

1

111

J

jjjjj QFQFG (2.100)

U konkretnim primjerima je dovoljno kompletirati radnu tabelu računajući za svaki interval vrijednosti ( )jjjj QFQF 11 ++ − . Zbir svih tako izračunatih vrijednosti predstavlja Ginijev koeficijent koncentracije.


94

U tabeli 2.16. su dati podaci o izračunatim indeksima nejednakosti u raspodjeli potrošnje stanovništva Bosne i Hercegovine i entiteta.

Tabela 2.16. Indeksi nejednakosti za BiH i entitete u 2001.g.

Indeks nejednakosti BiH RS FBiH Decilni omjeri potrošnje po stanovniku (omjer potrošnje od bogatih do siromašnih) 90/10 postotni omjer Od srednjih ka siromašnim (50/10) Bogati ka srednjim (90/50)

3,29 1,82 1,81

3,49 2,00 1,74

3,13 1,74 1,80

Kvantilni udjeli u ukupnoj nacionalnoj i entitetskoj potrošnji Najsiromašnijih 20% stanovništva Donja sredina 20% Sredina 20% Gornja sredina 20% Najbogatijih 20% stanovništva

9,5

14,2 17,9 22,7 35,8

9,2

14,3 18,3 23,1 35,1

9,9

14,2 17,7 22,5 35,8

Ostali indeksi nejednakosti Gini indeks Devijacija srednjeg loga (Theil) Indeks entropije Gini indeks: koristeći OECD skalu

0,26 0,11 0,12 0,24

0,26 0,11 0,11 0,24

0,26 0,11 0,12 0,23

Izvor: Bosnia and Herzegovina: Poverty Assessment, Volume II: Data on Poverty, Report No.25343-BiH, Document of the World Bank, 2003. g., str. 35.

U prvom dijelu tabele su prezentirani decilni omjeri kao relativni pokazatelji potrošnje po stanovniku. Relativni interdecilni omjer D9/D1 izmedu 10% najbogatije i 10% najsiromašnije proporcije stanovništva prema potrošnji pokazuje da je potrošnja osobe koja se nalazi na početku desetog dijela bila za 3,29 puta veća od potrošnje osobe koja se nalazi u gornjem dijelu prvih 10% stanovništva. Ili, globalno, potrošnja 10% najbogatijih je bila za 3,29 puta veća od potrošnje 10% najsiromašnijih. Predstavljeni su i interdecilni omjeri: D5/D1 označen kao omjer od srednje bogatih ka siromašnim, kao i odnos D9/D5 kao omjer bogatih prema srednje bogatim. Relativni odnosi D9/D1 i D5/D1 ukazuju na veću nejednakost u entitetu RS u odnosu na FBiH, dok je u slučaju interdecilnog omjera D9/D5 nejednakost više izražena u FBiH.


95

U drugom dijelu tabele su prezentovani kvantilni udjeli u ukupnoj nacionalnoj i entitetskoj potrošnji proporcija od po 20% stanovništva rangiranih od najsiromašnijih do najbogatijih. U BiH udio 20% najsiromašnijih u ukupnoj potrošnji je 9,5% a 20% najbogatijih čak 35,8% što ukazuje na značajnu nejednakost u raspodjeli ukupne potrošnje. Proporcije po entitetima su približno istog reda vrijednosti.

Vrijednost Ginijevog indeksa je 0,26 što ukazuje na značajan nivo koncentracije potrošnje, odnosno na nejednakost u raspodjeli ukupne potrošnje u BiH i entitetima. Ginijev indeks prilagođen OECD skali je još niži i iznosi 0,24.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

%

%

Lorenzova kriva za BiH

potpuna jednakost

Lorenzova kriva potrošnjeper capita u BiH za 2001. godinuGrafikon 2.18.

2.7.3. Medijala

Medijala je vrijednost varijable pridružena relativnoj kumulativnoj rastućoj globalnoj vrijednosti od 50%.

Postupak za određivanje medijale je sljedeći: • izračunati globalne vrijednosti jj xf ⋅


96

• izračunati relativne globalne vrijednosti jjjjj xfxfq ⋅⋅= ∑/

• izračunati relativne kumulativne rastuće frekvencije globalne vrijednosti Qj

• odrediti medijalnu klasu • izračunati vrijednost medijale korištenjem sljedećeg izraza

( ) [ ]1 1

11

0,50 ( )( ) ( )

i i ii

i i

x x Q xMle x

Q x Q x− −

−−

− ⋅ −= +

− (2.101)

Odstupanje između medijale i medijane je pokazatelj koncentracije:

eM l eM Mδ = − (2.102)

Veća vrijednost ovog pokazatelja predstavlja veću koncentraciju i veću nejednakost u raspodjeli.

2.8. TEORIJSKA PITANJA

1. Definišite pojam statistike. 2. Navedite etape statističkog istraživanja. 3. Navedite sinonime za statistički skup i statističku varijablu. 4. Definišite statističku varijablu. 5. Definišite i analizirajte četiri osnovna tipa mjernih skala i njihove

osobine. Definišite nominalnu mjernu skalu i njene karakteristike. 6. Definišite statističku kvalitativnu varijablu i analizirajte njene tipove i

karakteristike. 7. Analizirajte vrste kvantitativnih statističkih varijabli i njihove osobine. 8. Uporedite i komentirajte negrupisanu statističku seriju, uređenu

statističku seriju i statističku distribuciju frekvencija. 9. Koje vrste frekvencija poznajete? Definišite ih i napišite formule za

njihovo izračunavanje. 10. Definišite rastuću kumulativnu frekvenciju. 11. Nabrojite parametre centralne tendencije. 12. Definišite medijanu i analizirajte njene osobine. 13. Definišite mod. 14. Definišite aritmetičku sredinu i analizirajte njene osobine. 15. Koja je proporcija elemenata date serije koji se nalaze između Q1 i

medijane?


97

16. Koja je proporcija elemenata date serije koji se nalaze između Q1 i Q3? 17. Koja je proporcija elemenata date serije koji se nalaze između D1 i D9? 18. Koja je proporcija elemenata date serije koji se nalaze iznad C99? 19. Definišite geometrijsku sredinu. 20. Definišite harmonijsku sredinu. 21. Nabrojite parametre disperzije. 22. Definišite interkvartilno apsolutno odstupanje. 23. Navedite karakteristike prosječnog apsolutnog odstupanja. 24. Definišite i analizirajte detaljno osobine i ekonomsko značenje

standardne devijacije i varijanse. 25. Objasnite četiri etape u konstrukciji varijanse. 26. Napišite formule za varijansu i standardnu devijaciju i objasnite

njihove prednosti i nedostatke u odnosu na ostale parametre disperzije. 27. U kojim jedinicama mjere je izražena standardna devijacija i da li je

možemo koristiti za poređenje serija izraženih u različitim jedinicama mjere?

28. Definišite koeficijent varijacije i njegove karakteristike. 29. Navedite teoremu koja omogućuje istovremeno tumačenje aritmetičke

sredine i standardne devijacije. 30. Koje informacije pruža Box-plot? 31. Koje tipove asimetrije poznajete i kako ih možete analizirati? 32. Analizirajte mjere zaobljenosti. 33. Definišite mjere koncentracije. 34. Objasnite konstrukciju i značenje Lorenzove krive. 35. Definišite Ginijev koeficijent. 36. Ako su vrijednosti Ginijevog koeficijenta 0,2 i 0,8 objasnite njihovo

značenje


98

2.9. RIJEŠENI ZADACI I ZADACI SA ELEMENTIMA RJEŠENJA

Zadatak 1.

1. Koje su vrste varijabli pomoću kojih možemo mjeriti: 2. Godine jedne osobe: kvantitativna diskretna 3. Cijenu hljeba: kvantitativna (diskretna ili kontinuirana) ili kvalitativna

ordinalna 4. Temperaturu u amfiteatru: kvantitativna (intervalna skala) 5. Ljubaznost jedne osobe: kvalitativna ordinalna 6. Boju očiju vaše djevojke: kvalitativna nominalna 7. Jačinu tona: kvantitativna 8. Inteligenciju jedne osobe: kvalitativna ordinalna ili kvantitativna ako je

izražena preko koeficijenta inteligencije 9. Stručnu spremu zaposlenih na zaposlenih na fakultetu: kvalitativna

ordinalna 10. Nivo razvijenosti jedne zemlje: kvalitativna ordinalna 11. Težinu studenata: kvantitativna kontinuirana 12. Visinu studentica: kvantitativna kontinuirana 13. Razumijevanje ovog pitanja: kvalitativna ordinalna

Zadatak 2.

Ispit iz predmeta Ekonometrija je bio sastavljen od 6 pitanja. Poslije ispravke 100 radova, nastavnik je evidentirao broj tačnih odgovora svakog studenta u sljedećoj tabeli:

3 6 5 2 3 3 3 4 5 4 2 3 2 2 2 4 5 5 6 2 5 1 1 2 5 4 6 0 4 1 4 6 2 4 5 1 3 3 3 1 2 3 4 1 1 4 2 3 1 5 2 3 1 3 3 5 2 2 2 1 1 3 2 5 2 4 6 3 1 2 4 5 2 4 6 1 2 3 1 1 4 3 1 4 6 1 2 3 1 6 1 4 5 2 2 6 1 3 3 2

1. Definišite populaciju, elemente populacije i posmatranu varijablu. Koji je tip posmatrane varijable?

2. Koja je veličina populacije? Koji su modaliteti posmatrane varijable? 3. Kompletirajte statističku distribuciju. 4. Predstavite grafički ovu distribuciju. 5. Komentarišite uspjeh studenata na ovom ispitu. Koji je prosječan broj

tačnih odgovora? Odredite mod i medijanu.


99

Elementi rješenja:

1. i 2. Populacija: radovi studenata, element populacije: rad studenta, varijabla: kvantitativna diskretna tačan broj odgovora ima 7 modaliteta, veličina populacije 100 radova studenata.

3. Modaliteti

xj Apsolutna frekvencija

fj


pj

Relativna rastuća kumulativna frekvencija

Fj 0 1 0,01 0,01 1 20 0,20 0,21 2 23 0,23 0,44 3 20 0,20 0,64 4 15 0,15 0,79 5 12 0,12 0,91 6 9 0,09 1,00 - 100 1,00 -

4.

0

5

10

15

20

25

Broj tacnih odgovora

Bro

j stu

dena

ta

0 1 2 3 4 5 6

Ispitni rezultatiGrafikon 2.19.

5. Prosječan broj tačnih odgovora je 3. Mod je jednak 2. Medijana je jednaka 3.


100

Zadatak 3.

Među osobama koje su se vjenčale u junu 2002 godine, 10 osoba je jedinac/jedinica, 16 osoba ima jednog brata ili sestru, 7 osoba ima 2 brata ili sestre, 3 osobe imaju 3 brata ili sestre, 3 osobe 4 brata ili sestre, nijedna osoba nema 5 braće ili sestara i jedna osoba ima 6 braće ili sestara. 1. Odredite posmatranu populaciju i njenu veličinu. 2. Koja je posmatrana varijabla, njen tip i modaliteti ? 3. Kompletirajte statističku distribuciju i grafički je predstavite. 4. Izračunajte mod, medijan i aritmetičku sredinu.

Elementi rješenja:

3.

Varijabla Apsolutna frekvencija

Kumulativna apsolutna

frekvencija


Relativna rastuća

kumulativna frekvencija

Broj braće i sestara (xj)

fj Sj pj Fj

0 10 10 0,25 0,25 1 16 26 0,4 0,65 2 7 33 0,175 0,825 3 3 36 0,075 0,9 4 3 39 0,075 0,975 5 0 39 0 0,975 6 1 40 0,025 1

Ukupno 40 1


101

10

16

7

3 3

01

0

5

10

15

20

0 1 2 3 4 5 6Broj brace i sestara

Aps

olut

na fr

ekve

ncija

Dijagram sa stupcima za varijablu broj brace i sestaraGrafikon 2.20.

4. Parametri centralne tendencije • Mod: 1 brat ili sestra • Medijana: 1 brat ili sestra • Aritmetička sredina: 1,425

Zadatak 4.

Za svaku od sljedećih distribucija kompletirajte intervale i izračunajte centre svakog intervala.

Prečnik u mm: Godine starosti: Težina u kg:

140-145 0- 5 godina manje od 70 145-150 6-10 godina 70 i manje od 75

150-155 11-15 godina 75 i manje od 80 155-160 16-20 godina 80 i manje od 85

160-165 21-25 godina 85 i manje od 90 165-170 26-30 godina 90 i manje od 100 više od 100

Komentirajte kompletirane distribucije.


102

Elementi rješenja:

Prečnik u mm: xj

Centar xc

Godine starosti: xj

Centarxc

Težina u kg: xj

Centar xc

[140-145[ 142,5 [0-5,5[ 2,75 [0-70[ 35 [145-150[ 147,5 [5,5-10,5[ 8 [70-75[ 72,5 [150-155[ 152,5 [10,5-15,5[ 13 [75-80[ 77,5 [155-160[ 157,5 [15,5-20,5[ 18 [80-85[ 82,5 [160-165[ 162,5 [20,5-25,5[ 23 [85-90[ 87,5 [165-170] 167,5 [25,5-30,5] 28 [90-100[ 95

[100;+∞] -

U trećoj distribuciji zadnji interval nema centra i zbog toga trebate biti vrlo oprezni u tumačenju rezultata.

Zadatak 5.

Kompletirajte sljedeću tabelu:

Klase xj

Centrixc

pj Rastuća kumulativna relativna frekvencija Fj

Korigovana relativna

frekvencija pj/aj [10;20[ 0,08 [20;30[ 0,21 [30;40[ 0,55 [40;60[ 0,86 [60;80]

Elementi rješenja:

Klase Amplitudaaj

Centrixc

pj Fj Korigovana relativna

frekvencija pj/aj [10;20[ 10 15 0,08 0,08 0,008 [20;30[ 10 25 0,21 0,29 0,021 [30;40[ 10 35 0,26 0,55 0,026 [40;60[ 20 50 0,31 0,86 0,015 [60;80] 20 70 0,14 1,00 0,007


103

Zadatak 6.

Na osnovu statističkog istraživanja jedne populacije izvršeno je grupisanje elemenata populacije u intervale čiji su centri sljedeći: 52, 60, 68, 76, 84, 92. 1. Koja je amplituda posmatranih intervala? 2. Izračunajte gornju i donju granicu svakog intervala i kompletirajte tako

grupisanu distribuciju.

Elementi rješenja:

1. Amplituda svake klase je 8. 2. [48;56[, ..........., [88;96[

Zadatak 7.

50 studenata je odgovaralo na test koji se sastojao od 20 pitanja. Sljedeća serija je kompletirana na osnovu broja tačnih odgovora:

10 8 3 12 13 9 12 9 12 11 11 11 8 5 13 14 14 6 12 16

7 11 10 10 2 15 12 10 1 14 11 7 8 10 13 9 13 9 7 13 11 19 9 4 10 8 9 6 7 14

1. Predstavite rezultate u obliku distribucije frekvencija grupisane u intervale tako da prvi i posljednji interval imaju amplitudu 5 a ostale klase amplitudu 2.

2. Izračunajte relativne frekvencije. 3. Izračunajte kumulativne relativne frekvencije. 4. Koja je proporcija studenata čiji je broj tačnih odgovora bio manji od 9? 5. Koja je proporcija studenata čiji je broj tačnih odgovora bio jednak ili

veći od 13? 6. Koja je proporcija studenata čiji je broj tačnih odgovora bio između 5 i

20? 7. U kojem intervalu je gustoća najmanja, a u kojoj najveća? 8. Konstruišite odgovarajuću grafičku prezentaciju analizirane distribucije.


104

Elementi rješenja:

U tabeli odgovori 1.,2.,3.

Intervali xj

fj pj Fj Korigovana frekvencija (gustoća) pj / aj

[0;5[ 4 0,08 0,08 0,8 [5;7[ 3 0,06 0,14 1,5 [7;9[ 8 0,16 0,30 4,0

[9;11[ 12 0,24 0,54 6,0 [11;13[ 11 0,22 0,76 5,5 [13;15[ 9 0,18 0,94 4,5 [15;20] 3 0,06 1,00 0,6 Ukupno 50 1,00 - -

4. Proporcija studenata čiji je broj tačnih odgovora bio manji od 9 je 30%. 5. Proporcija studenata čiji je broj tačnih odgovora bio jednak ili veći od

13 je 24%. 6. Proporcija studenata čiji je broj tačnih odgovora bio između 5 i 20 je

92%. 7. Najmanja gustoća 0,6 je u intervalu [15;20[, a najveća u intervalu [9;11[

i iznosi 6,0. 8. Grafička prezentacija analizirane distribucije je histogram koji je

potrebno konstruisati na osnovu podataka kolone korigovana frekvencija.

Zadatak 8.

U sljedećoj statističkoj seriji je predstavljen broj sati koje je 13 studenata posvetilo pripremi testa iz Statistike:

5 6 2 7 11 9 3 4 9 8 7 3 7

1. Odredite aritmetičku sredinu. 2. Odredite medijanu i njenu kumulativnu frekvenciju. Komentarišite

dobijeni rezultat. 3. Odredite mod.


105

Elementi rješenja: 1. Aritmetička sredina jednaka je 6,23.

2. Uređena serija po rastućem redu podataka: 2 3 3 4 5 6 7 7 7 8 9 9 11 Broj podataka je neparan i medijana je jednaka:

7)7()2

113()2

1(==== ++ xxxM ne

Kumulativna frekvencija je jednaka: %23,696923,0139

⇒===NS

F jj

xj 2 3 4 5 6 7 8 9 11 Ukupno fj 1 2 1 1 1 3 1 2 1 13 Sj 1 3 4 5 6 9 10 12 13

3. Mod je jednak 7.

Zadatak 9.

Dati su sljedeći podaci o distribuciji zaposlenih prema godišnjoj plati u eurima: Prosječna plata 12 090 eura Medijanska plata 11 175 eura Standardna devijacija 4 600 eura Ginijev koeficijent 0,20 Plate variraju u intervalu od 8 400 do 30 500 eura.

Kako će se mijenjati navedeni parametri uz sljedeće pretpostavke: 1. Sve plate su povećane za 200 eura. 2. Za 150 eura su povećane samo plate manje od 9 050 eura. 3. Za 10% su smanjene plate veće od 22 870 eura. 4. Sve plate su povećane za 10%. 5. Za svaki odgovor dajte neophodna objašnjenja.

Elementi rješenja:

1. Ako su sve plate povećane za 200 eura, ukupni platni fond (masa plata) se povećava. Prosječna plata i medijana se povećaju za 200 eura.


106

Standardna devijacija ostaje nepromijenjena. Ginijev koeficijent se smanjuje. Plate variraju u intervalu (8600; 30700) eura.

2. Ako se za 150 eura povećaju samo plate manje od 9 050, eura ukupna masa plata i prosječna plata se povećavaju. Pošto nijedna povećana plata nije veća od medijane, medijana ostaje nepromijenjena. Disperzija se smanjuje jer se povećane plate približavaju prosječnoj plati. Ginijev indeks se smanjuje. Plate variraju u intervalu (8 550; 30 500) eura.

3. Ako su za 10% smanjene plate veće od 22 870, eura masa plata i prosječna plata se smanjuju. Medijana se ne mijenja jer je 22 870 veće od 11 175 eura. Disperzija se smanjuje jer se smanjene plate približavaju prosječnoj plati. Standardna devijacija se smanjuje. Nejednakost u raspodijeli mase plata se smanjuje i Ginijev koeficijent također se smanjuje. Plate variraju u intervalu (8 400; 27 450) eura.

4. Ako se sve plate povećaju za 10%, prosječna plata, medijana, i standardna devijacija se povećavaju za 10%. Ginijev koeficijent se ne mijenja. Raspon plata se povećava i plate variraju u intervalu (9 240; 33 550) eura.

Zadatak 10.

Poznata je sljedeća distribucija godišnjih plata u jednom preduzeću:

Godišnje plate xi u KM Broj zaposlenih (fj) Frekvencija (pj) u% [5000;7000[ 60 15,00 [7000;8000[ 80 20,00 [8000;9000[ 105 26,25 [9000;11000[ 110 27,50 [11000;15000[ 35 8,75 [15000;20000] 10 2,50 Ukupno 400 100,00

1. Nacrtajte kumulativnu krivu. 2. Pomoću kumulativne krive procijenite grafički, a zatim odredite

analitički vrijednosti kvartila. 3. Nacrtajte box- plot i komentarišite karakteristike distribucije. 4. Odredite prosječnu platu, standardnu devijaciju i koeficijent varijacije.

Objasnite dobijene rezultate. 5. Kompletirajte sljedeću tabelu:


107

Godišnje plate xi u KM

Broj zapo-slenih

(fj)

Frekve-ncija (pj) u%

Kumu-lativna frekve-ncija (Fj) u %

Centar inter-vala

xcj

Masa plata

(agregat)

fj .xcj

Rela-tivni Agre-

gat

qj u%

Relativni kumula-

tivni agregat

Qj u %

[5000;7000[ 60 15,00 15 6 000 360 000 10,0 10,0 [7000;8000[ 80 20,00 35 7 000 600 000 16,7 26,8 [8000;9000[ 105 26,25 61,25 8 500 892 500 24,9 51,7 [9000;11000[ 110 27,50 88,75 10 000 1 100 000 30,7 82,4 [11000;15000[ 35 8,75 97,5 13 000 455 000 12,7 95,1 [15000;20000] 10 2,50 100 17 500 175 000 4,9 100,0 Ukupno 400 100,00 - 3 582 500 100,0

6. Konstruišite Lorenzovu krivu. 7. Izračunajte Ginijev koeficijent. 8. Koji bi bio oblik Lorenzove krive ako bi svih 400 zaposlenih imali

jednaku platu? 9. Koji bi bio oblik Lorenzove krive ako 399 zaposlenih ne bi primali

platu, a 1 zaposleni (šef) primio 3 582 500 KM? 10. Koji je vaš zaključak o disperziji i koncentraciji analizirane distribucije

plata?

Elementi rješenja:

2. F(Q1)=0,25 interval kojem pripada prvi kvartil je 7000-8000 i primjenom formule na bazi kumulativnih frekvencija dobijamo: Q1=7500; Q2=Me=8571,42≈8571; Q3=10 000

4. Prosječna plata (aritmetička sredina) je jednaka približno 8956 KM; standardna devijacija 2312 KM i koeficijent varijacije 0,26%.

5. Tabela kompletirana na početku.

7. Ginijev koeficijent

1

14

1 ( )

11 ( )10

j j j

j j j

G f Q Q

G f Q Q

−

−

= − +

= − +

∑∑


108

4

4

15(0 10,05) 20(10,05 26,8) 26,25(26,8 51,71)1127,5(51,71 82, 41) 8,75(82,41 95,11) 2,5(95,11 100)10

11 8678 0,13210

G

G

+ + + + + +⎡ ⎤= − ⎢ ⎥+ + + + + +⎣ ⎦

= − ⋅ =

8. Lorenzova kriva bi se podudarala sa dijagonalom (linijom jednake raspodjele) i koncentracija bi bila jednaka nuli, dakle raspodjela bi bila savršeno ravnomjerna.

9. Lorenzova kriva bi se podudarala sa katetama trougla ispod dijagonale, koncentracija bi bila jednaka jedinici i postojala bi savršena nejednakost u raspodjeli.

10. Distribucija mase plata (globalne vrijednosti) je relativno ravnomjerno raspodijeljena. Disperzija plata nije previše izražena. Plate su uglavnom koncentrisane u sredini serije.

Zadatak 11.

U sljedećoj tabeli su predstavljeni podaci koji se odnose na koncentraciju prihoda domaćinstava u regionu X u 2005. godini.

Broj grupe Fj u % Prihod u KM Qj u % Grupa 1 25 45 046 0,82 Grupa 2 50 267 274 6,04 Grupa 3 75 628 832 25,64

1. Koji je statistički termin za podatke predstavljene u trećoj koloni? 2. Konstruišite kumulativnu krivu uz pretpostavku da je maksimalan

prihod domaćinstva 1 milion KM. Nacrtajte box-plot i komentirajte dobijene rezultate.

3. Nacrtajte Lorenzovu krivu. Komentarišite. 4. Izračunajte Ginijev koeficijent i objasnite ga. Uporedite vaš odgovor sa

komentarom datim pod tačkom 3.


109

Elementi rješenja:

4.

[ ]14

4

11 ( ) 110

25(0 0,82) 25(0,82 6,04) 25(6,04 25,64) 25(25,64 100)11 4276 1 0, 4276 0,5724

10

j j jG f Q Q−= − + = −

− + + + + + + +

= − ⋅ = − =

∑

Postoji jaka koncentracija mase prihoda domaćinstava u regionu X u 2005.g.

Zadatak 12.

Data je sljedeća distribucija plata:

Iznos u novčanim jedinicama xj Frekvencija fj

5 000-10 000 410 10 000-20 000 637 20 000-40 000 785 40 000-90 000 724 Ukupno 2556

1. Kompletirati sljedeći tabelu:

xj fj pj u % Fj u %

xc xc ⋅ fj qj u % Qj u %

5 000-10 000 410 16,04 16,04 7 500 3 075 000 3,69 3,69 10 000-20 000 637 24,92 40,96 15 000 9 555 000 11,48 15,17 20 000-40 000 785 30,71 71,67 30 000 23 550 000 28,29 43,46 40 000-90 000 724 28,33 100 65 000 47 060 000 56,54 100,00 Ukupno 2556 100 83 240 000 100,00

2. Odredite medijanu polazeći od kumulativnih frekvencija 3. Izračunajte Ginijev koeficijent i komentarišite dobijeni rezultat. 4. Konstruišite Lorenzovu krivu i dajte vaš komentar. 5. Izračunajte medijalu. 6. Izračunajte odstupanje medijala-medijana.


110

Elementi rješenja:

1. Tabela kompletirana. 2. Me=25 885,35 3. G=0,3606 4. Lorenzova kriva pokazuje veliku nejednakost u raspodjeli ukupne mase

plata. 5. Medijala: 45 783,52 6. Odstupanje medijala-medijana: 45 783,52-25 885,35=19 898,17

111

POGLAVLJE 3.

REGRESIONA I KORELACIONA ANALIZA

U dosadašnjim poglavljima smo analizirali i istraživali populaciju u odnosu na samo jednu varijablu. Međutim, vrlo često se dešava da se statistička istraživanja jedne populacije baziraju simultano na dvije ili više kvantitativnih varijabli. Pitanje koje se postavlja u ovom slučaju je traženje i određivanje eventualne veze između ovih varijabli. U prvom dijelu ovog poglavlja ćemo analizirati modelizaciju veza između dvije ili više varijabli, a zatim metode kvantifikacije veza i njihovu primjenu. Drugi dio poglavlja obrađuje mjere reprezentativnosti i kvaliteta ocijenjenih modela.

3.1. MODELIZACIJA VEZA IZMEĐU VARIJABLI

Da bismo pristupili modelizaciji veza između dvije ili više varijabli polazimo od sljedećih pretpostavki:

1. Modeliziranje možemo vršiti ukoliko postoji zavisnost između varijabli.

2. Mogu se modelizirati jedino kvantitativne varijable, jer je u tom slučaju moguće kompletirati oblak (dijagram) rasipanja, računati mjere centralne tendencije i disperzije.


112

3.1.1. Etape konstrukcije modela

Model je pojednostavljena slika realnosti i služi da bismo na pogodan način kvantificirali složene ekonomske fenomene. Etape konstrukcije i ocjene jednog modela su sljedeće:

• Odabrati nezavisnu i zavisnu varijablu • Grafički predstaviti na dijagramu rasipanja posmatrane podatke da

bi se potvrdila ili odbacila pretpostavka o zavisnosti 2 statističke varijable.

• Na osnovu dijagrama procijeniti oblik veze između posmatranih varijabli i konstruisati odgovarajući model. Postoje različiti oblici veza kao npr. linearna, krivolinijska, eksponencijalna itd.

• Ocijeniti primjenom odgovarajućih metoda odabrani model. • Izračunati rezidualna (neobjašnjena) odstupanja ocijenjenih od

posmatranih podataka i analizirati ih. • Procijeniti kvalitet ocijenjenog modela.

3.1.1.1. Dijagram (oblak) rasipanja

Postoje različiti oblici zavisnosti varijabli. Neke od njih smo predstavili na sljedećem grafikonu.

Razliciti oblici veza izmedu dvije varijable – dijagram rasipanjaGrafikon 3.1.

f

YYY

Y Y Y

XXX

XXX

ed

cba

Poglavlje 3. – Regresiona i korelaciona analiza

113

U slučajevima a i b veze su linearne. U slučaju a, sa rastom nezavisne dolazi do rasta zavisne varijable. U slučaju b, rast nezavisne varijable uzrokuje opadanje zavisne varijable. U slučaju c ne bismo mogli utvrditi postojanje veze jer povećanje nezavisne varijable ne mijenja zavisnu varijablu. U slučajevima d, e i f postoje krivolinijske veze između nezavisne i zavisne varijable. Smjer njihovih promjena je isti u slučaju d, a suprotan u slučaju f.

Dijagram rasipanja pruža polaznu informaciji o obliku zavisnosti između dvije varijable.

3.2. KOVARIJANSA

Kovarijansa mjeri uzajamnu varijabilnost dvije varijable u odnosu na njihove respektivne aritmetičke sredine:

( ) ( )1

1( , )n

i ii

Cov X Y x x y yn =

= − ⋅ −∑ . (3.1)

Kovarijansa nam omogućava da utvrdimo da li postoji simultana varijacija između vrijednosti varijabli X i Y u odnosu na odabranu tačku čije su koordinate aritmetičke sredine varijabli X i Y.b

Razvijena formula kovarijanse omogućava jednostavnije izražavanje varijanse:

( ) ( )1( , ) i ii

Cov X Y x x y yn

= − ⋅ −∑ ( )1i i i i

ix y x y xy x y

n= − − + ⋅∑

1 1 1i i i i

i i ix y y x x y x y

n n n= − − + ⋅∑ ∑ ∑

1i i

ix y y x x y x y

n= − ⋅ − ⋅ + ⋅∑

1

1( , )n

i ii

Cov X Y x y x yn =

= − ⋅∑ (3.2)

( , )Cov X Y xy x y= − ⋅


114

Na osnovu gornje relacije možemo zaključiti da je kovarijansa jednaka razlici između aritmetičke sredine proizvoda i proizvoda aritmetičkih sredina varijabli X i Y.

Kovarijansa varijable X sa varijablom X (sa samom sobom) predstavlja generaliziranu formulu varijanse:lnih zavisnosti

( )( ) ( )2 2

1 1

1 1( , )n n

i i i Xi i

Cov X X x x x x x xn n

σ= =

= − − = − =∑ ∑ (3.3)

Kovarijansa je pozitivna ako oblak rasipanja ima generalno rastuću tendenciju. Kovarijansa je negativna kada oblak rasipanja ima generalno opadajuću tendenciju. Kovarijansa je jednaka ili približno jednaka nuli ako oblak rasipanja nije ni rastući ni opadajući ili ukoliko je pola opadajući, a pola rastući. Kada X i Y variraju u istom smjeru, kovarijansa je pozitivna. Kada X i Y variraju u suprotnom smjeru, kovarijansa je negativna. Ako nema ni rastuće ni opadajuće generalne tendencije, kovarijansa je jednaka nuli.

Na sljedećem primjeru ćemo ilustrovati kompletiranje oblaka rasipanja i izračunavanje kovarijanse.

Primjer 3.1.

Tabela 3.1. Prihod preduzeća izražen u hiljadama KM (Y) i proizvodnja izražena u kilogramima (X)k

xi zyi

50 20 100 25 150 25 200 35 250 30 300 35 350 40

U ovom slučaju prihod preduzeća Y je zavisna varijabla, a proizvodnja izražena u kilogramima nezavisna varijabla. Mi ćemo posmatrati prihod u funkciji ostvarene proizvodnje i konstruisati dijagram rasipanja.


115

0

10

20

30

40

50

0 50 100 150 200 250 300 350 400Proizvodnja u kg

Prih

od u

000

KM

Dijagram rasipanjaGrafikon 3.2.

Na osnovu dijagrama rasipanja konstatujemo da postoji linearna veza između dvije posmatrane varijable. Da bismo potvrdili ovu konstataciju, izračunat ćemo vrijednost kovarijanse.

Tabela 3.2. Radna tabela za računanje kovarijanse

ix iy )( xxi − )( yyi − ))(( yyxx ii −− 2)( xxi − 50 20 -150 -10 1500 22500

100 25 -100 -5 500 10000 150 25 -50 -5 250 2500 200 35 0 5 0 0 250 30 50 0 0 2500 300 35 100 5 500 10000

350 40 150 10 1500 22500 Σ 1400 210 0 0 4250 70000

Aritmetička sredina varijabli X i Y je 200=x ; 30=y . Na osnovu podataka iz tabele izračunali smo kovarijansu:

Cov( ( ) ( )1

1 1, ) 4250 607,147

n

i ii

X Y x x y yn =

= − − = ⋅ =∑


116

Visoka vrijednost kovarijanse potvrđuje već konstatovanu činjenicu uzajamne varijabilnosti varijabli X i Y.

• Zbir i razlika statističkih varijabli

Koristeći kovarijansu možemo analizirati varijansu zbira i razlike statističkih varijabli i izraziti ih na sljedeći način:.

Var(X+Y)=VarX + Var Y+ 2 Cov(X,Y) (3.4)

Var(X-Y)=VarX + Var Y- 2 Cov(X,Y) (3.5)

Ako su X i Y nezavisne, kovarijansa je jednala nuli (Cov(X, Y)=0). U tom slučaju zbir i razlika statističkih varijabli se mogu izraziti sljedećim relacijama:

Var(X+Y)=VarX + Var Y (3.6)

Var(X-Y)=VarX + Var Y (3.7)

3.3. REGRESIONA ANALIZA

Kada se pomoću statističkih metoda istražuje jedna pojava nezavisno od ostalih, radi se o jednodimenzionalnoj statističkoj analizi. Statističkim metodama možemo analizirati i međusobne odnose više pojava. U tom slučaju se radi o višedimenzionalnoj analizi. Ovim metodama ne analiziramo uzroke ni posljedice pojava, već zavisnost pojava i njihovih promjena. Veze među pojavama, kao što smo već istakli, mogu biti funkcionalne i stohastičke. Statistička analiza odnosa između dvije ili više pojava se vrši metodama deskriptivne i inferencijalne statistike. Stepen statističke povezanosti između pojava se istražuje metodama korelacione analize. Za određivanje analitičkog odnosa među pojavama primjenjuju se regresioni modeli. Veza među pojavama je funkcionalna ako su vrijednostima jedne pojave u potpunosti određene vrijednosti druge pojave. U tom slučaju za svaku vrijednost nezavisne varijable možemo precizno odrediti vrijednosti zavisne varijable. Funkcionalne veze najčešće susrećemo u prirodnim naukama i u manjoj mjeri u društvenim naukama. Kada jednoj vrijednosti nezavisno promjenljive X odgovara više vrijednosti zavisno promjenljive Y kažemo da je njihova veza stohastička. Npr. veza između potrošnje i dohotka domaćinstava.

Opšti oblik regresionog modela je sljedeći:


117

eXXXfY K += ),....,,( 21 (3.8)

gdje je Y zavisna promjenljiva, X su nezavisne promjenljive i parametar e slučajno odstupanje. Model (3.8.) se naziva model višestruke regresije ili višedimenzionalni regresioni model.

Model koji sadrži zavisnu i jednu nezavisnu promjenljivu naziva se model jednostavne regresije ili jednodimenzionalni regresioni model. Model jednostavne regresije ima sljedeći oblik:

eXfY += )( (3.9)

Zadatak regresione analize je istraživanje analitičkog oblika veze između pojava kojem se najviše približavaju promjene analiziranih pojava. Zadatak korelacione analize je utvrđivanje stepena i smjera povezanosti pojava.

3.3.1. Kriterij izbora regresione prave i metod najmanjih kvadrata

Pretpostavimo da je veza zavisne varijable Y i nezavisne varijable X linearna. Y je varijabla koju treba objasniti pomoću varijable X. Polazni model linearne regresije za skup od n vrijednosti (xi, yi) varijabli X i Y se može napisati u sljedećem obliku:

.1,2,...,i , nebxay iii =++= (3.10)

Označimo sa

ii bxay +=ˆ (3.11)

funkcionalni dio modela gdje su a i b parametri koje treba ocijeniti. Podaci su dati kao n posmatranih parova (xi, yi), a îy predstavlja ocijenjene vrijednosti Y na osnovu posmatranih vrijednosti xi od X. Na osnovu izraza (3.9.) i (3.10) možemo napisati relaciju

iii eyy += ˆ (3.12)

iz koje možemo izraziti slučajno ili rezidualno odstupanje ei kao razliku između posmatranih i ocijenjenih vrijednosti varijable Y:

iii

iii

bxayyy

−−=−=

e ê

(3.13)


118

Slučajno odstupanje smo predstavili na sljedećem grafikonu.

Rezidualna odstupanjaGrafikon 3.3.

î iy a bx= +

î i ie y y= −

yiy

îy

ix x

Cilj je primijeniti metod za ocjenu parametara regresionog modela koji će minimizirati rezidualna odstupanja. Pitanje koje se postavlja je izbor kriterija koji će obezbijediti minimizaciju slučajnih odstupanja. Jedan od kriterija bi mogao biti zbir rezidualnih odstupanja jednak nuli:

ˆ( ) 0i i ii i

e y y= − =∑ ∑

Sve prave koje prolaze kroz tačku gravitacije ),( yxG zadovoljavaju ovaj kriterij jer se pozitivna i negativna rezidualna odstupanja anuliraju. Zbog toga ovaj kriterij ne može poslužiti za izbor najbolje regresione prave.

Kriterij koji nam omogućava izbor najbolje regresione prave je minimiziranje zbira kvadrata rezidualnih odstupanja:

2minimum ii

e∑ (3.14)

Na ovom kriteriju je baziran metod najmanjih kvadrata. Minimiziranje zbira kvadrata rezidualnih odstupanja:

2

1

2

11

2 )()ˆ( i

n

iii

n

ii

n

ii bxayyye −−=−= ∑∑∑

=== (3.15)


119

je moguće uz potrebne uslove koji zahtijevaju da parcijalni izvodi ovog zbira po parametrima a i b budu jednaki nuli:

0)1)((2 1

1

2

=−−−=∂

∂∑

∑=

=i

n

ii

n

ii

bxaya

e (3.16)

0))((2 1

1

2

=−−−=∂

∂∑

∑=

=ii

n

ii

n

ii

xbxayb

e (3.17)

Iz ovih uslova slijedi sistem normalnih jednačina

∑∑==

+=n

ii

n

ii xbnay

11 (3.18)

∑∑∑===

+=n

ii

n

ii

n

iii xbxayx

1

2

11 (3.19)

Rješavanjem ovog sistema normalnih jednačina dobijamo izraze za ocjenu parametara a i b:

n

xb

n

ya

n

ii

n

ii ∑∑

== −= 11 (3.20)

xbya −= (3.21)

Zamjenom ovog izraza u drugu normalnu jednačinu 3.19. dobijamo izraz za izračunavanje parametra b:

∑∑∑ +−= 2)( iiii xbxxbyyx

∑∑∑∑ +−= 2iiiii xbxxbxyyx

∑ ∑∑∑ −=− )( 2iiiii xxxbxyyx

∑ ∑∑∑

−−

=ii

iii

xxxxyyx

b 2 (3.22)


120

Parametar b možemo izraziti i u sljedećem obliku:

∑

∑

=

=

−

⋅⋅−= n

ii

n

iii

xnx

yxnyxb

1

22

1 (3.23)

odnosno

∑

∑

=

=

−

⋅−= n

ii

n

iii

xxn

yxyxnb

1

22

1

1

1

(3.24)

Izraz u brojniku predstavlja razvijenu formulu kovarijanse Cov(X,Y), a izraz u nazivniku razvijenu formulu varijanse varijable X. Dakle, izraz za izračunavanje parametra b možemo napisati u sljedećem obliku:

2

),(

X

YXCovbσ

= (3.25)

3.3.2. Pretpostavke o osobinama stohastičnosti modela

Regresioni model izražen regresionom pravom:

, 1, 2,..., .i i iy a bx e i n= + + = (3.26)

je sastavljen iz dva dijela. Prvi dio modela (a+bxi) predstavlja funkcionalnu vezu pri kojoj je Y linearno zavisna od X ako su drugi faktori konstantni. Drugi, stohastički dio modela (ei), predstavlja slučajne varijacije, kojima se uzima u obzir djelovanje promjena drugih varijabli koje nisu eksplicitno uključene u model. Pod uslovom da specifikacija modela odgovara ekonomskoj relaciji u stvarnosti, i da bismo probleme mjerenja ekonomskih relacija preveli u probleme statističkog ocjenjivanja parametara rasporeda vjerovatnoće, neophodno je navesti pretpostavke o osobinama stohastičnosti linearnog regresionog modela:

a. E(ei) = 0, (očekivana vrijednost greške je jednaka nuli)

b. 2 2E( )ie σ= , (konstantna zajednička varijansa)


121

c. E(ei ej)= 0, za svako i, j; i≠j; (nezavisnost)

d. ei: N(0, σ2), (normalnost)

e. E(eiXj) = 0, za sve i, j; (nezavisnost od Xj).

3.3.3. Aplikacija analiziranih metoda

Na osnovu radne tabele 3.2. kompletirane na osnovu tabele 3.1. primjera 3.1. izračunavamo vrijednost parametara a i b i kompletiramo regresionu jednačinu:

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )1 1

2 2

1 1

1( , )( ) 1

n n

i i i ii i

n n

i ii i

x x y y x x y ynCov X Yb

Var Xx x x x

n

= =

= =

− − − −= = =

− −

∑ ∑

∑ ∑

4250 0,06170000

b = =

30 0,061 200 17,857a y b x= − ⋅ = − ⋅ =

ˆ 17,857 0,061 iy x= + ⋅

Za ocjenu parametara regresione prave možemo koristiti statističke funkcije Excel-a. Rezultate dobijene primjenom ovog programa prezentujemo sljedećim tabelama i grafikonom.

Tabela 3.3. (a., b., c.) Output Excela za regresiono-korelacionu analizu na primjeru 3.1.

a. REGRESSION STATISTICS

Multiple R 0,927426 R Square 0,860119 Adjusted R Square 0,832143 Standard Error 2,897043 Observations 7


122

b. ANOVA

df SS MS F Significance F Regression 1 258,0357 258,0357 30,74468 0,00262 Residual 5 41,96429 8,392857 Total 6 300

COEFFICIENTS STANDARD ERROR T STAT

Intercept 17,85714 2,448448 7,29325 X Variable 1 0,060714 0,01095 5,544789

xy 061,0857,17ˆ += c.

OBSERVATION PREDICTED Y RESIDUALS 1 20,89286 -0,89286 2 23,92857 1,071429 3 26,96429 -1,96429 4 30 5 5 33,03571 -3,03571 6 36,07143 -1,07143 7 39,10714 0,892857

0

10

20

30

40

50

0 100 200 300 400Proizvodnja u kg

Pri

hod

u 00

0 K

M

Dijagram rasipanja i regresiona prava Grafikon 3.4.

2

ˆ 0,0607 17,8570,8601

y xR

= +=


123

Koristeći navedeni program dobili smo ocjene vrijednosti parametara, jednačinu regresione prave, grafički prikaz i statističke parametre koji nam omogućuju analizu kvaliteta dobijene ocjene. Vrijednost parametra a je predstavljena kao odsječak na ordinatnoj osi. Vrijednost parametra b pokazuje za koliko jedinica se poveća prihod Y ako se proizvodnja X poveća za jedan kilogram.

Primjenu navedenog programa ćemo ilustrovati i na sljedećem primjeru u kojem ćemo ocijeniti vezu između društvenog bruto proizvoda i prosječnog broja stanovnika. Posmatramo društveni bruto proizvod kao zavisnu i broj stanovnika kao nezavisnu ili eksplikativnu promjenljivu.

Primjer 3.2.

Tabela 3.4. Društveni bruto proizvod (DBP) u milionima KM i prosječan broj stanovnika u 000

Godina DBP u milionima KM Prosječan broj stanovnika u hiljadama

1996 3049 3645 1997 6367 3756 1998 7244 3654 1999 8604 3752 2000 9611 3781 2001 10480 3798

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

3600 3650 3700 3750 3800 3850prosječan broj stanovnika u 000

DBP

u m

ilioni

ma

KM

Oblak rasipanja Grafikon 3.5.


124

Dijagram rasipanja nam ukazuje na linearnu vezu između ove dvije promjenljive. Primjenom metode najmanjih kvadrata određujemo jednačinu regresione prave koja se najbolje prilagođava datim podacima. Ocijenjena regresiona prava zadovoljava uslov minimizacije kvadrata odstupanja ocijenjenih od posmatranih vrijednosti promjenljive Y.

Tabela 3.5. (a., b., c.) Output Excela za regresiono-korelacionu analizu na primjeru 3.2.

a. COEFFICIENTS STANDARD ERROR

Intercept -115045 45307,76 X Variable 1 32,86094 12,14204

xy 86,32115045ˆ +−=

b. REGRESSION STATISTICS Multiple R 0,804228 R Square 0,646783 Adjusted R Square 0,558479 Standard Error 1775,397 Observations 6

c. OBSERVATION PREDICTED Y RESIDUALS

1 4733,125 -1684,13 2 8380,69 -2013,69 3 5028,874 2215,126 4 8249,247 354,7535 5 9202,214 408,7861 6 9760,85 719,15


125

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

3600 3650 3700 3750 3800 3850

Prosjecan broj stanovnika u 000

DB

P u

mili

onim

a K

M

Oblak rasipanja i linearna regresijaGrafikon 3.6.

2

ˆ 32,861 1150450,6468

y xR

= −=

-3000

-2000

-1000

0

1000

2000

3000

3600 3650 3700 3750 3800

varijabla

Reziduali

Dijagram rezidualnih odstupanjaGrafikon 3.7.

x

Dobijene su pouzdane ocjene parametara. Na osnovu parametra b ocijenjene regresione jednačine konstatujemo da ako se broj stanovnika poveća za 1 000 društveni bruto proizod će se povećati za 32,86 miliona KM.

Prava regresije metode najmanjih kvadrata prolazi kroz srednju tačku dijagrama čije su koordinate aritmetičke sredine analiziranih varijabli X i Y. Zadovoljavanje kriterija minimizacije kvadrata odstupanja podrazumijeva i zadovoljenje prvog kriterija, a to je da zbir rezidualnih odstupanja mora biti jednak nuli.


126

ˆ ˆ0 ( ) 0i i i i ii i i i

e y y y y= ⇔ − = ⇔ =∑ ∑ ∑ ∑

1 1 ˆ î ii i

y y y yn n

⇔ = ⇔ =∑ ∑ (3.27)

Zbir rezidualnih odstupanja jednak nuli formalno znači da je aritmetička sredina posmatranih originalnih podataka jednaka aritmetičkoj sredini ocijenjenih podataka.

3.4. MJERENJE REPREZENTATIVNOSTI REGRESIONOG MODELA

Da bismo ocijenili reprezentativnost i pouzdanost ocijenjenog modela potrebno je analizirati pokazatelje koji nam to omogućuju. Kao pokazatelje reprezentativnosti analizirat ćemo koeficijent determinacije, koeficijent korelacije, standardnu grešku i koeficijent varijacije regresionog modela.

3.4.1. Koeficijent determinacije

Da bismo konstruisali koeficijent determinacije i objasnili njegovo značenje prezentirat ćemo grafički i formalizovati dekompoziciju varijanse.

Dekompozicija varijanse promjenljive Y:

yi

x

y

xi

Dekompozicija varijanseGrafikon 3.8.

y

x

( x, y )

y i -

y

ˆ iy

ˆ i iy a bx= +


127

Na osnovu grafikona 3.8. možemo izvršiti sljedeću formalizaciju. Ukupno odstupanje je jednako zbiru objašnjenog i neobjašnjenog odstupanja:

ˆ ˆ( ) ( ) ( )i i i iy y y y y y− = − + − (3.28)

Kako je yy ˆ= slijedi:

ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( )i i i iy y y y y y− = − + − (3.29)

što omogućava da pokažemo da je ukupna varijansa varijable Y jednaka zbiru objašnjene i neobjašnjene (rezidualne) varijanse:

( ) ( ) ( )22 21 1 1ˆ ˆ î i i i

i i iy y y y y y

n n n− = − + −∑ ∑ ∑ (3.30)

Ovaj izraz možemo napisati u sljedećem obliku:

nyy

nyy

nyy iiii

222 )ˆ()ˆ()( −∑+

−∑=

−∑ (3.31)

u kojem izraz na lijevoj strani predstavlja ukupnu varijansu, prvi član zbira na desnoj strani objašnjenu a drugi neobjašnjenu varijansu. Gornji izraz možemo napisati u dekomponovanoj formi uvodeći simbole za označavanje objašnjene i neobjašnjene varijanse:

22 ( )

Ukupna varijansa iy

y yn

σ ∑ −= = (3.32)

22 /

ˆ( )Objašnjena varijansa : i

y xy y

nσ ∑ −

= (3.33)

Rezidualna2

2ˆ

ˆ( )(neobjašnjena) varijansa: i i

yy y

nσ ∑ −

= (3.34)

2 2 2ˆ / Ukupna varijansa : y y x yσ σ σ= + (3.35)

Koeficijent determinacije definišemo kao odnos objašnjene i ukupne varijanse:

2

22

2 2

ˆ( )ˆ( )Objašnjena varijansa

Ukupna varijansa ( ) ( )

i

i

i i

y yy ynr

y y y yn

∑ −∑ −

= = =∑ − ∑ −

(3.36)


128

ili pomoću sljedećeg izraza: 2

22

2 2

ˆ( )ˆ( )Neobjašnjena varijansa1 1 1

Ukupna varijansa ( ) ( )

i i

i i

i i

y yy ynr

y y y yn

∑ −∑ −

= − = − = −∑ − ∑ −

(3.37)

Vrijednost ovog koeficijenta se kreće između nule i jedinice. On pokazuje koja je proporcija ukupne varijacije varijable Y objašnjena ocijenjenom regresionom jednačinom i uobičajeno je da se izražava u procentima. Veća vrijednost ovog koeficijenta ukazuje da je veća proporcija objašnjene u ukupnoj varijaciji i da je odabrani model pouzdaniji i reprezentativniji.

Vrijednost koeficijenta determinacije u primjeru 3.1. je bila r2=0,86 što znači da linearni model u kojem je nezavisna (eksplikativna) varijabla proizvodnja u kilogramima objašnjava 86 % varijacije ukupnih prihoda posmatranog preduzeća.

3.4.2. Koeficijent korelacije

Koeficijent linearne korelacije mjeri jačinu i smjer povezanosti dvije pojave za koje poznajemo empirijske vrijednosti kvantitatinih varijabli i za koje pretpostavljamo da imaju linearnu vezu. Ovaj koeficijent ne zavisi od jedinica mjere. To je, dakle, neimenovan broj.

Koeficijent linearne korelacije je definisan kao odnos kovarijanse varijabli X i Y i proizvoda standardnih devijacija varijable X i varijable Y.

2 2

( )( )( , )

( ) ( )i i

X Y i i

x x y yCov X Yrx x y yσ σ

− −= =

⋅ − ⋅ −∑

∑ ∑ (3.38)

Vrijednost koeficijenta linearne korelacije se nalazi između -1 i 1. Veća vrijednost koeficijenta ukazuje na postojanje veće linearne povezanosti između promjenjljivih X i Y. Potrebno je naglasiti da manja vrijednost ovog koeficijenta ne mora uvijek značiti da je slaba korelacija jer se može raditi o pogrešnoj primjeni koeficijenta linearne korelacije za mjerenje jačine veze pojava koje nisu u linearnom odnosu.

• Za vrijednosti: -1 < r < 0 korelacija je negativna. • Za vrijednosti: 0 < r < 1 korelacija je pozitivna.


129

• Za vrijednosti –1 i 1, radi se o perfektnoj negativnoj, odnosno pozitivnoj korelaciji.

Koeficijent linearne korelacije možemo izraziti kao kvadratni korijen koeficijenta determinacije:

2

22

)()ˆ(

yyyy

rri

i

−∑−∑

== (3.39)

ili

2

2

)()ˆ(

1yyyy

ri

ii

−∑−∑

−= (3.40)

Koeficijent determinacije možemo izraziti koristeći definiciju koeficijenta linearne korelacije. U tom slučaju koeficijent determinacije izražavamo u sljedećem obliku:

YX

YXCovr 22

22 ),(

σσ ⋅= (3.41)

3.4.3. Standardna greška regresionog modela

Pored koeficijenta linearne korelacije i koeficijenta determinacije, kvalitet ocjene se može mjeriti i pomoću standardne greške ocjene regresionog modela i koeficijenta varijacije ocijenjenog regresionog modela. Standardna greška ocijenjenog modela može se nazvati i rezidualnom standardnom greškom jer se definiše na osnovu rezidualnog zbira kvadrata odstupanja i jednaka je kvadratnom korijenu rezidualne (neobjašnjene) varijanse:

2

1ˆ

ˆ( )n

i ii

y

y y

nσ =

−=∑

(3.42)

Standardna greška regresije mjeri kvalitet i reprezentativnost ocijenjenog regresionog modela i pokazuje prosječno odstupanje empirijskih vrijednosti zavisne varijable Y od vrijednosti ocijenjenih regresionim modelom. Standardna greška regresije je apsolutna mjera disperzije oko regresije jer se izražava u istim jedinicama mjere kao zavisna varijabla.


130

3.4.4. Koeficijent varijacije regresionog modela

Koefecijent varijacije ocijenjenog regresionog modela je relativni pokazatelj kvaliteta ocjene i jednak je odnosu standardne greške ocijenjenog regresionog modela i aritmetičke sredine zavisne varijable Y:

100ˆˆ ⋅=

yk y

yV

σ (3.43)

Na osnovu vrijednosti ovog koeficijenta možemo procijeniti preciznost i kvalitet ocjene na sljedeći način:

• Ako je 7%<y

yσ≤ 10% ocjena je dosta dobra

• Ako je 4%<y

yσ≤ 7% ocjena je dobra

• Ako je 1%< y

yσ≤ 4% ocjena je vrlo dobra

• Ako je y

yσ≤1% ocjena je odlična.

Primjenu ovih parametara za procjenu kvaliteta ocjene ćemo ilustrovati na primjeru na kojem ćemo ocijeniti linearni i više različitih tipova nelinearnih regresionih modela da bismo odabrali model koji najbolje reprezentuje posmatrane podatke.

3.4.5. Aplikacija različitih oblika regresionog modela

Na sljedećem primjeru ćemo aplicirati etape konstrukcije regresionog modela i izvršiti ocjenu različitih oblika modela.


131

3.4.5.1. Linearni model

Primjer 3.3.

Tabela 3.6. Godišnja stanarina u KM u 2003. prema veličini stana izraženoj brojem soba u stanu

Stan (broj soba) X

Godišnja stanarinaY

Broj stanova fj

1 1 870 75 500 2 2 480 81 750 3 3 470 35 500 4 4 980 14 000 5 6 900 7 500 7 11 560 7 000

Ukupno 31 260 221 250

Statistička jedinica je stan.

Podatke iz tabele možemo sintetizirati na sljedeći način:

Tabela 3.7. Parametri za analizirane varijable

Stan (broj soba) Godišnja stanarina Aritmetička sredina 2,206 3 025,99 Standardna devijacija 1,345 1 911,11 Koeficijent varijacije 0,61 0,63

• Prva etapa je izbor varijabli X i Y. Mi želimo objasniti godišnju stanarinu kao funkciju veličine stana. Varijabla X će predstavljati veličinu stana (broj soba) i to je nezavisna ili eksplikativna varijabla. Varijabla Y je godišnja stanarina i to je zavisna ili varijabla koju trebamo objasniti.

• Druga etapa je kompletiranje dijagrama rasipanja podataka.


132

18702480

3470

6900

11560

4980

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

0 1 2 3 4 5 6 7Veličina stana

God

išnj

a st

anar

ina

Dijagram rasipanjaGrafikon 3.9.

• Treća etapa je ocjena regresione prave. Posmatrajući dijagram rasipanja čini nam se, na prvi pogled, da bismo mogli ocijeniti linearnu regresionu jednačinu: ii bxay +=ˆ

Primjenom analiziranih postupaka ocjene dobijamo vrijednost parametara a i b: 14,755−=a i 86,1626=b , i kompletiramo jednačinu ocijenjene regresione prave: ˆ 755,14 1626,86i iy x= − +

Koeficijent linearne korelacije je r=0,9757 i koeficijent determinacije r2=0,9520. Značenje parametara a i b: parametar a predstavlja odsječak na ordinatnoj osi. Ovdje realno nema odsječka na Y osi jer ukoliko nema stanova za izdavanje, nema ni stanarine. Parametar b predstavlja nagib prave i značenje mu je sljedeće: ako se veličina stana poveća za jednu sobu, godišnja stanarina će u prosjeku rasti za 1626,86 KM.

• Četvrta etapa je izračunavanje rezidualnih odstupanja. Uvrštavajući vrijednosti xi u gore ocijenjenu jednačinu, izračunat ćemo ocijenjene vrijednosti zavisne varijable. Rezultate računanja predstavljamo u sljedećoj tabeli.


133

Tabela 3.8. Radna tabela za primjer 3.3.

xi yi iy ii yy ˆ− ( ii yy ˆ− )2

1 1 870 871,71 998,29 996 582,92 2 2 480 2 498,57 -18,57 344,84 3 3 470 4 125,43 -655,43 429 588,48 4 4 980 5 752,29 -772,29 596 431,84 5 6 900 7 379,14 -479,14 229 575,14 7 11 560 10 632,86 927,14 859 588,58

Ukupno 31 260 31 260 0 3 112 111,80

Pošto je î iy y=∑ ∑ treba izračunati 2ˆ( )i iy y−∑

• Peta etapa: procjena kvaliteta ocijenjene linearne prave - rezidualna standardna devijacija

2

ˆ1

ˆ( ) 3112111,80 720,206

ni i

yi

y y KMn

σ=

−= = =∑

- koeficijent varijacije regresije: ˆ 720,20 0,1382 13,82%5210

y

yσ

= = ⇒

Ova dva parametra imaju visoku vrijednost i ukazuju na vrlo loš kvalitet ocjene.

Koeficijent linearne korelacije je r =0,9757 i koeficijent determinacije r2=0,9520. Vrijednost koeficijenta korelacije je blizu jedinici, a koeficijent determinacije znači da je 95,20 % varijabiliteta stanarine objašnjeno varijabilitetom veličina stana. Dakle, na osnovu vrijednosti ova dva koeficijenta mogli bismo zaključiti da je ocjena kvalitetna ali rezidualna standardna devijacija i koeficijent preciznosti ne potvrđuju ovaj rezultat.


134

• Šesta etapa: Analiza rezidualnih odstupanja

Tabela 3.9. Rezidualna odstupanja za primjer 3.3.

xi Rezidualna odstupanja ( ii yy ˆ− )

1 998,29 2 -18,57 3 -655,43 4 -772,29 5 -479,14 7 927,14

Ukupno 0

Kada je ocjena dobra i pouzdana, rezidualna odstupanja su slučajna i imaju malu vrijednost kao što smo već naveli analizirajući njihove osobine. Ako bismo predstavili dijagram rasipanja rezidualnih odstupanja vidjeli bismo da on ne zadovoljava gore navedene uslove i da ima paraboličan oblik. To znači da ocijenjeni linearni model ne možemo prihvatiti kao pouzdan i odbacujemo ga. Zbog toga ćemo ocijeniti nekoliko nelinearnih modela.

3.4.5.2. Eksponencijalni model

Jednačina eksponencijalnog modela je:

ˆ ixiy a b= ⋅ (3.44)

Ocijenjeni eksponencijalni model je dat sljedećim izrazom7:

ˆ 1377,32 1,3648 ixiy = ⋅

Ako se broj soba uveća za jednu sobu, stanarina se prosječno uveća za 36,48%. Da bismo analizirali rezidualnu standardnu devijaciju i koeficijent preciznosti ocjene izračunali smo neophodne podatke na isti način kao u slučaju linearne ocjene i dobili rezidualnu standardnu devijaciju:

7 Ovaj i ostali modeli su ocijenjeni korištenjem programa RATS (Regression

Analysis for Time Series). Analizirani modeli mogu biti ocijenjeni korištenjem programa Excel ili digitrona koji imaju odgovarajuće statističke funkcije.


135

2

ˆ1

ˆ( ) 539406,11 299,83 KM6

ni i

yi

y yn

σ=

−= = =∑

i koeficijent varijacije: ˆ 299,83 0,0575 5,75%5210

y

yσ

= = ⇒

Ova ocjena je pouzdanija nego linearna.

3.4.5.3. Stepeni model

Ocjenom jednačine stepenog modela:

ˆ bi iy a x= ⋅ (3.45)

dobili smo sljedeći rezultat: 0,9299ˆ 1517,195i iy x= ⋅

Kvalitet ocjene smo i u ovom slučaju procijenili standardnom devijacijom modela i koeficijentom varijacije:

KMn

yyn

i

iiy 67,1032

687,6398464)ˆ(

1

2

ˆ ==−

= ∑=

σ

%82,195210

67,1032ˆ ==y

yσ

Ova ocjena nije pouzdana zbog visoke standardne devijacije i koeficijenta varijacije.

3.4.5.4. Logaritamski model

Jednačinu logaritamskog modela:

ˆ lni iy a b x= + ⋅ (3.46)

smo ocijenili i dobili sljedeći izraz:

ii xy ln4219,4508497,150ˆ +=


136

Dva parametra koja smo ocijenili i za ostale modele u ovom slučaju imaju sljedeće vrijednosti:

2

1ˆ

ˆ( )15483442,81 1606,42 KM

6

n

i ii

y

y y

nσ =

−= = =∑

%83,305210

42,1606ˆ ==y

yσ

Ni ova ocjena nije pouzdana zbog vrlo visoke vrijednosti standardne devijacije i koeficijenta varijacije.

Rezultate dobijenih ocjena predstavljamo u tabeli 3.10.

Tabela 3.10. Ocjene za različite regresione modele

Model Linearni Eksponencijalni

ii xy 86,162614,755ˆ +−= x3648,132,1377y i ⋅=

yσ 720,20 KM 299,83 KM

yyσ

13,82%

5,75%

Model Stepeni Logaritamski

9299,0i 195,1517y ix⋅= ii xy ln4219,4508497,150ˆ +=

yσ 1032,67 KM 1606,42 KM

yyσ

19,82% 30,83%

Na osnovu prezentovanih podataka zaključujemo da je ocjena eksponencijalnog modela najpouzdanija i najkvalitetnija jer ima najmanju standardnu devijaciju i najniži koeficijent varijacije. Eksponencijalni model se u analiziranom slučaju najbolje prilagođava datim podacima i reprezentuje vezu između visine stanarine i veličine stana.


137

Primjer 3.4.

Koeficijent linearne korelacije je mjera linearne korelacije između varijabli. Međutim, linearnu regresiju ne treba koristiti “automatski” uvijek kad dobijemo visok koeficijent linearne korelacije. Neophodno je, kao što smo već i naglasili, nacrtati dijagram rasipanja podataka koji nam može pomoći da vizuelno uočimo da li se radi o linearnoj vezi između dvije posmatrane varijable i da poslije izvršene ocjene provjerimo njen kvalitet izračunavanjem parametara koje smo već analizirali. Analizirat ćemo jedan poznati primjer koji je predložio Anscombe8 i na kojem je ilustrovana primjena linearne regresije na četiri distribucije podataka koje predstavljamo u tabeli 3.11.

Tabela 3.11. Primjer četiri distribucije podataka

Distribucija A Distribucija B Distribucija C Distribucija D xi yi xi yi xi yi xi yi 10 8,04 10 9,14 10 7,46 8 6,58

8 6,95 8 8,14 8 6,77 8 5,76 13 7,58 13 8,74 13 12,74 8 7,71

9 8,81 9 8,77 9 7,11 8 8,84 11 8,33 11 9,26 11 7,81 8 8,47 14 9,96 14 8,1 14 8,84 8 7,04

6 7,24 6 6,13 6 6,08 8 5,52 4 4,26 4 3,1 4 5,39 19 12,5

12 10,84 12 9,13 12 8,15 8 5,56 7 4,82 7 7,26 7 6,42 8 7,91 5 5,68 5 4,74 5 5,73 8 6,89

Za svaku od četiri navedene distribucije varijabli X i Y izračunali smo sljedeće statističke pokazatelje.

2 211; 9; 7,5; 10; 3,75; ( , ) 5x yn x y Cov X Yσ σ= = = = = = Koeficijent korelacije r =0,816.

8 Anscombe, F.J.: Graph in Statistical Analysis, The American Statistican 27,

str. 17-21, prema Droesbeke, J.J.: Eléments de Statistiques, Ellipses, Paris, 1977. g., str. 398-399.


138

Šest izračunatih pokazatelja su jednaki za sve četiri distribucije. Ako bismo posmatrali samo ove parametre i koeficijent linearne korelacije te ocijenili linearnu regresiju za sva četiri slučaja, napravili bismo grešku. Zbog toga uvijek treba prije ocjene analizirati dijagram rasipanja (analiza a priori) i poslije izvršene ocjene analizirati rezidualna odstupanja (analiza a posteriori). Pošto ponekad ni na osnovu dijagrama rasipanja ne možemo precizno odrediti oblik veze, potrebno je izvršiti ocjene više različitih modela i izabrati najpouzdaniju ocjenu na osnovu analiziranih kriterija.

Na sljedećim grafikonima predstavljamo dijagrame rasipanja i linearnu pravu koju smo dobili ocijenjujući linearnu regresiju metodom najmanjih kvadrata.

xy 5,03ˆ +=

Koeficijent determinacije je jednak r2=0,667.

0

2

4

6

8

10

12

0 2 4 6 8 10 12 14 16

A: Dijagram rasipanja i regresiona pravaGrafikon 3.10.

x

y


139

0

2

4

6

8

10

12

0 2 4 6 8 10 12 14

B: Dijagram rasipanja i regresiona pravaGrafikon 3.11.

y

x

02468

101214

0 2 4 6 8 10 12 14 16

C: Dijagram rasipanja i regresiona pravaGrafikon 3.12.

y

x

02468

101214

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

D: Dijagram rasipanja i regresiona pravaGrafikon 3.13.

x

y


140

Konstatujemo i naglašavamo da je samo u slučaju A moguće prihvatiti i ocijeniti regresionu pravu. Za ostale slučajeve regresiona prava ne prezentuje adekvatno oblak rasipanja. Analiza a posteriori rezidualnih odstupanja u slučajevima B, C i D pokazuje da se u ova tri slučaja ne može prihvatiti ocjena regresione prave i da je potrebno tražiti i ocijeniti neki drugi model.

3.4.6. Spearmanov koeficijent korelacije ranga

Za utvrđivanje stepena povezanosti između pojava za koje su podaci dati u obliku modaliteta rang varijable koristi se Spearmanov koeficijent korelacije ranga. Ovaj koeficijent korelacije se označava simbolom rs i određuje korištenjem sljedećeg izraza:

∑=−

−=n

iis d

nnr

1

22 )1(61 (3.47)

di = r(xi) – r(yi), i=1, 2,...,n. (3.48)

di predstavlja razlike rangova za odgovarajuće parove vrijednosti varijabli ranga. Kao i za koeficijent linearne korelacije, vrijednost koeficijenta korelacije ranga se uvijek kreće između –1 i +1. Zavisnost je potpuna ako je |rs| = 1.

3.5. MODEL VIŠESTRUKE REGRESIJE

Model višestruke ili multiple regresije možemo napisati u sljedećem obliku:

eXXXfY K += ),....,,( 21 (3.49)

Zavisna varijabla Y je izražena kao funkcija K nezavisnih varijabli i slučajnog odstupanja e. Ukoliko je funkcionalni dio modela definisan linearnom funkcijom možemo definisati standardni model višestruke linearne regresije sljedećim izrazom:

eXbXbXbaY KK +++++= ...2211 (3.50)

odnosno za n vrijednosti:

niexbxbxbay iiKKiii ,...,2,1,...2211 =+++++= . (3.51)


141

Koeficijenti u regresionom modelu imaju sljedeće značenje: parametar a je slobodni, konstantni član koji predstavlja očekivanu vrijednost zavisne varijable Y kada je vrijednost svih K nezavisnih varijabli (X1, X2,...,XK) jednaka nuli. Vrijednost ovog parametra nema uvijek logičko objašnjenje.

Parametar bi (i=1,2,....,K) ili regresioni koeficijent pokazuje prosječnu promjenu zavisne varijable Y uslovljenu jediničnim povećanjem nezavisne varijable Xi, uz uslov da ostale nezavisne varijable ostanu nepromijenjene. Pozitivna vrijednost parametra bi ukazuje na proporcionalan odnos varijabli Y i Xi. To znači da rast nezavisne varijable Xi uslovljava rast zavisne varijable Y. Negativna vrijednost koeficijenta bi znači obrnuto proporcionalan odnos zavisne varijable Y i nezavisne varijable Xi. U ovom slučaju smjer promjene nezavisne i zavisne varijable je suprotan, odnosno rast Xi uzrokuje opadanje zavisne varijable Y, a opadanje Xi uzrokuje rast zavisne varijable Y.

3.5.1. Koeficijent multiple determinacije, multiple linearne korelacije, koeficijenti parcijalne korelacije i korelaciona matrica

Koeficijent multiple determinacije je definisan sljedećim izrazom:

10 ,)()ˆ( 2

2

22

,..,2,1; ,..,2,1;≤≤

−∑−∑=

KYR

yyyyR

i

iKY (3.52)

Koeficijent multiple linearne korelacije mjeri jačinu varijabiliteta između zavisne varijable i zbirnog varijabiliteta K nezavisnih varijabli. Određuje se kao kvadratni korijen koeficijenta multiple determinacije:

10 ,)()ˆ(

,..,2,1;2

2

,..,2,1; ≤≤−∑−∑= KY

i

iKY R

yyyyR (3.53)

ili pomoću izraza:

yy

iiKY n

yyyyRσσ

)ˆ)((,..,2,1;

−−∑= (3.54)

Koeficijentu se ne pridružuje predznak jer odnosi između zavisne i nezavisnih varijabli mogu biti raznosmjerni. Koeficijent parcijalne korelacije pokazuje jačinu i smjer veze zavisne varijable Y i j-te nezavisne


142

varijable uz nepromijenjen uticaj preostalih (K-1) varijabli koje označavamo sa c. Vrijednost ovog koeficijenta se kreće u sljedećim granicama: 11 ,; ≤≤− cjyr .

Koeficijenti parcijalne korelacije prvog reda za K=2 definišu se pomoću koeficijenata jednostavne linearne korelacije na sljedeći način:

;1 ;2 1,2 ;2 ;1 1,2;1,2 ;2,12 2 2 2

;1 1,2 ;2 1,2

;(1 )(1 ) (1 )(1 )

y y y yy y

y y

r r r r r rr r

r r r r

− −= =

− − − − (3.55)

Pored koeficijenata multiple i parcijalne korelacije, u višedimnzionalnoj regresionoj analizi se primjenjuju i koeficijenti jednostavne linearne korelacije. Ovi koeficijenti se predstavljaju u obliku korelacione matrice:

1

1 1

2 21 2

1

1 ....

1 ....

....

.............................. 1

y yK

y K

y K

Ky K

r r

r r

R r r r

r r

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(3.56)

U prvom redu matrice R se nalaze koeficijenti jednostavne linearne korelacije između zavisne i svake nezavisne varijable. U prvoj koloni su koeficijenti jednostavne linearne korelacije između svake nezavisne i zavisne varijable. Za koeficijente jednostavne linearne korelacije vrijedi osobina simetričnosti. To znači da se vrijednost koeficijenta jednostavne linearne korelacije ne mijenja ako se zamijeni mjesto varijabli:

, 1,2,...., . , , 1,2,...., .yj jy jk kjr r j K r r j k K= = = =

Iz navedenog zaključujemo da je korelaciona matrica simetrična. Na glavnoj dijagonali se nalaze jedinice, jer je koeficijent jednostavne linearne korelacije jedne varijable sa tom varijablom jednak jedinici.

3.5.2. Analiza numeričkog primjera

Na sljedećem primjeru ćemo ilustrovati ocjenu višestrukog regresionog modela i značenje ocijenjenih parametara.


143

Primjer 3.5.

Tabela 3.12. Prihod preduzeća izražen u hiljadama KM (Y), proizvodnja izražena u kilogramima (X1) i troškovi proizvodnje po kg (X2) izraženi u KM.

Y X1 X2

20 50 280 25 100 260 25 150 260 35 200 248 30 250 196 35 300 178 40 350 160

Ocijenićemo regresioni model 2211 XbXbaY ++= primjenom Excela. Izlazne tabele Excela nam daju sljedeće rezultate.

Tabela 3.13. (a.,b.,c.) Output Excela za multiplu regresiono-korelacionu analizu na primjeru 3.5.

a.

SUMMARY OUTPUT REGRESSION STATISTICS

Multiple R 0,9528 R Square 0,9078 Adjusted R Square 0,8617 Standard Error 2,6292 Observations 7

b.

ANOVA df SS MS F Significance F Regression 2 272,3485 136,1742 19,6986 0,0085 Residual 4 27,6515 6,9129 Total 6 300


144

c.

COEFFICIENTS STANDARD ERROR T- STAT P-VALUE Intercept -20,7251 26,9055 -0,7703 0,4841

X1 0,1130 0,0377 3,0000 0,0399 X2 0,1245 0,0865 1,4389 0,2236

Ocijenjeni regresioni model je:

21 1245,01130,07251,20 XXY ++−=

Zavisna varijabla Y predstavlja prihod preduzeća izražen u hiljadama KM, varijabla X1 je proizvodnja izražena u kilogramima i varijabla X2 troškovi proizvodnje po kg izraženi u KM.

Značenje dobijenih rezultata je sljedeće: konstantni član a = -20,7251. Ukoliko ne bi bilo proizvodnje, niti troškova proizvodnje, očekivani prihod bi bio negativan. Prihod se ne bi ostvarivao, a morale bi se plaćati već preuzete obaveze vezane za pokretanje proizvodnje. Značenje parametra uz varijablu X1 čija je vrijednost 0,1130 je sljedeće: ukoliko se proizvodnja poveća za jedan kg, prihod će se povećati za 1130 KM uz pretpostavku da troškovi po jedinici proizvoda ostaju nepromijenjeni. Koeficijent uz varijablu X2 je jednak 0,1245. Ukoliko bi se troškovi proizvodnje po jedinici proizvoda povećali za 1 KM, prihod bi se povećao za 1245 KM, uz pretpostavku da nivo proizvodnje ostaje nepromijenjen.

Koeficijent multiple korelacije R koji predstavlja povezanost izmedu zavisne i dvije nezavisne varijable je jednak R = 0,95. To znači da postoji jaka povezanost između ukupnog prihoda Y i dvije posmatrane nezavisne varijable koje su proizvodanja izražena u kg i troškovi po jedinici proizvodnje. Koeficijent multiple determinacije R2 predstavlja dio varijacije zavisne varijable objašnjen ocijenjenim linearnim regresionim modelom. Njegova vrijednost je R2 = 0,91 što znači da je 91% varijacije prihoda objašnjeno proizvodnjom izraženom u kg i troškovima po jedinici proizvoda.

Statistička značajnost regresijskog modela je određena empirijskim F omjerom i odgovarajućom p vrijednosti u tabeli ANOVA. U našem slučaju p = 0,0085 < 0,01 pa zaključujemo da barem jedna od nezavisnih varijabli statistički značajno utiče na vrijednost zavisne varijable uz nivo rizika od 1%. U izlaznoj tabeli Excela prezentovane su i statističke značajnosti


145

regresionih koeficijanata koje se određuju pomoću t-statistike i pripadajućih p vrijednosti. Za varijablu X1 vrijednost p= 0,0399, a za X2 p=0,2236. Konstatujemo da u ocijenjenom regresionom modelu varijabla proizvodnja u kg statistički značajno utiče na zavisnu varijablu Y zbog toga što je odgovarajuća vrijednost p manja od 0,05. Za drugu varijablu p vrijednost je veća od 0,05 i to znači da uticaj troškova po jedinici proizvodnje u ovom modelu nije statistički značajan.


1. Na kojem kriteriju je bazirana metoda najmanjih kvadrata? 2. Napišite formule za ocjenu parametara a i b regresione prave. 3. Objasnite značenje parametara a i b regresione prave. 4. Definišite i objasnite kovarijansu. 5. Da li je kovarijansa pokazatelj nezavisnosti posmatranih pojava? 6. Koji koeficijenti služe za mjerenje jačine i smjera povezanosti

ekonomskih pojava? 7. Definišite i objasnite značenje koeficijenta determinacije. 8. U kojem intervalu se mogu kretati vrijednosti koeficijenta

determinacije? 9. Definišite i objasnite koeficijent linearne korelacije? 10. Koje vrijednosti može imati koeficijent linearne korelacije? 11. Definišite varijansu zbira i razlike dvije nezavisne statističke varijable. 12. Definišite varijansu zbira i razlike dvije statističke varijable. 13. Napišite izraz za dekompoziciju ukupne varijanse. 14. Definišite rezidualnu (neobjašnjenu) varijansu. 15. Definišite objašnjenu varijansu.


146

3.7. RIJEŠENI ZADACI

Zadatak 1.

U sljedećoj tabeli su dati podaci o troškovima promocije i prihodu od prodaje proizvoda Z:

Godine Troškovi promocije (u 000 eura)

Prihod od prodaje (u 000 eura)

1999 50 280 2000 20 220 2001 10 180 2002 30 220 2003 80 320 2004 100 330 2005 120 350

Prvi dio: 1. Odredite zavisnu i nezavisu varijablu? 2. Predstavite dijagram rasipanja. Koji tip funkcije se najbolje prilagođava

datom dijagramu? 3. Koji je, po vašem mišljenju, znak kovarijanse između dvije posmatrane

varijable? 4. Izračunajte jednačinu regresione prave. 5. Predstavite grafički ovu pravu na dijagramu rasipanja. Komentarišite. 6. Izračunajte koeficijent linearne korelacije i koeficijent determinacije i

objasnite njihova značenja. 7. Marketing servis predviđa za 2006 godinu budžet za promociju u iznosu

od 125000 €. Procijenite prihod od prodaje za 2006 godinu. Komentarišite.


147

Drugi dio:

Godine Posmatrana prodaja

iy

Prodaja procijenjena

modelom

iy

( )2îi yy − ( )2ˆ yyi −

1999 280 258,50 462,14 167,08 2000 220 213,26 45,40 3383,35 2001 180 198,18 330,58 5365,09 2002 220 228,34 69,59 1856,43 2003 320 303,74 264,28 1044,24 2004 330 333,90 15,24 3903,15 2005 350 364,06 197,80 8581,35

Ukupno 1900 1900 1385,03 24300,69

1. Provjerite rezultat prve linije gornje tabele za 1999. godinu. 2. Uporedite aritmetičku sredinu posmatranih prodaja i aritmetičku sredinu

procijenjenih prodaja. 3. Izračunati neobjašnjenu varijansu i varijansu objašnjenu regresijonom

pravom. 4. Provjerite numerički jednakost: Ukupna varijansa = Objašnjena varijansa + Neobjašnjena (rezidualna)

varijansa. 5. Provjerite vrijednosti dobijene za koeficijent determinacije u prvom

dijelu.

Elementi rješenja:

Prvi dio: 1. U ovom primjeru promjenljiva Y, prihod od prodaje proizvoda Z, je

zavisna promijenljiva. Posmatramo je kao funkciju nezavisne promjenljive troškovi promocije X.


148

2.

0

100

200

300

400

Troškovi reklame

Prih

od

Dijagram rasipanja i regresiona pravaGrafikon 3.14

0 20 40 60 80 100 120 140

2

ˆ 1,508 183,109461

y xR

= +=

3. Kovarijansa je pozitivna. 4. xy 51,11,183ˆ += 5. Model linearne regresije se najbolje prilagođava datim podacima. 6. Koeficijent linearne korelacije r je jednak 0,97. To znači da postoji

visok stepen linearne korelacije između dvije posmatrane varijable. Vrijednost koeficijenta determinacije je jednaka 0,946 i to znači da je 94,6% varijacije prihoda objašnjeno troškovima promocije.

972,0),( ==YX

YXCovrσσ

22

2 2

( , ) 0,946x y

Cov X Yrσ σ

= =

7. Y ocjenjeno za 2006. godinu:

xy 51,11,183ˆ +=

85,37112551,11,183ˆ =⋅+=y

Ako bi budžet za promociju u 2006. godini iznosio 125 000 eura, prihod od prodaje u ovoj godini bi bio 371850 eura.


149

Drugi dio:

1. Y procjenjeno za 1999

6,2585051,11,183ˆ =⋅+=y 2. Aritmetička sredina posmatranih prodaja i aritmetička sredina

procijenjenih prodaja su jednake 271,43. 3. Neobjašnjena varijansa:

86.1977

03.1385)ˆ( 22

/ ==−∑

=n

yy iixyσ

Objašnjena varijansa:

52.34717

69.24300)ˆ( 22

/ ==−∑

=n

yyixyσ

4. Ukupna varijansa:

38.366952.347186.197)ˆ()ˆ()( 222

=+=−∑

+−∑

=−∑n

yyn

yyn

yy iii

5. 946.038.366952.3471

varijansaukupna varijansaobjašnjena2 ===r

946.00539.0138.3669

86.1971 varijansaukupna

varijansananeobjašnje12 =−=−=−=r

Zadatak 2.

U sljedećoj tabeli posmatramo kretanje varijabli X i Y. Y je zavisna varijabla.

Godine X Y 1999 0 2 2000 3 5 2001 5 3 2002 8 6

Ukupno 16 16


150

Poznate su sljedeće vrijednosti: aritmetička sredina varijable X jednaka je 4, varijansa od X jednaka je 8,5, aritmetička sredina varijable Y jednaka je 4, varijansa od Y jednaka je 2,5 i Cov(X, Y)=4.

1. Odrediti jednačinu regresione prave. 2. Izračunati koeficijent determinacije i objasniti ga.

Elementi rješenja:

2

( , ) 4 0,478,5

4 0,47 4 2,12ˆ 2,12 0,47

X

Cov X Yb

a y bxy x

σ= = =

= − = − ⋅ == +

22

2 2

( , ) 4 0,1888,5 2,5X Y

Cov X Yrσ σ

= = =⋅

Zadatak 3.

Za varijable X i Y poznato je 15 parova vrijednosti (xi, yi). Y je zavisna varijabla. Poznati su sljedeći parametri ove dvije distribucije:

24, 3.75Xx σ= =

24, 3Yy σ= =

i koeficijent pravca regresione prave: b = - 0.8

1. Odredite jednačinu regresione prave. 2. Izračunajte koeficijent linearne korelacije. 3. Odredite varijansu objašnjenu regresionom pravom.

Elementi rješenja:

4 0,8 4 7,2

ˆ 7,2 0,8( , )

X Y

a y bxy x

Cov X Yrσ σ

= − = + ⋅ == −

=


151

2

2

( , )

( , ) 0,8 3,75 3( , ) 3 0,89

3,35

X

X

X Y

Cov X Yb

Cov X Y bCov X Yr

σσ

σ σ

= ⇒

= ⋅ = − ⋅ = −−= = = −

2

2

Objašnjena varijansaUkupna varijansa

Objašnjena varijansa Ukupna varijansa 0,79 3 2,37

r

r

= ⇒

= ⋅ = ⋅ =

153

POGLAVLJE 4.

DINAMIČKA ANALIZA I MJERENJE EVOLUCIJE

Za istraživanje i analizu promjena pojava u vremenu primjenjuju se metode dinamičke analize. Dinamička analiza omogućava praćenje promjena pojava u vremenu i predviđanje tendencije razvoja pojava.

4.1. APSOLUTNA I RELATIVNA PROMJENA

Apsolutna promjena pojave V između datuma t i datuma 0 je jednaka:

ot VVV −=Δ (4.1)

Apsolutna promjena je izražena u jedinicama mjere analizirane varijable. Apsolutna promjena može biti negativna.

Relativna promjena veličine pojave V između perioda t i 0 je jednaka:

0

0

VVV

VV t −=Δ

(4.2)


154

Relativna promjena se naziva stopa promjene. Ukoliko je stopa promjene pozitivna naziva se stopa rasta. Stopu promjene možemo izraziti i sljedećom formulom:

100

0 −=−=ΔVV

VVV

VV tt (4.3)

Izračunavanje i objašnjenje apsolutne i relativne promjene ćemo ilustrovati na primjeru 4.1.

Primjer 4.1.

Tabela 4.1. Broj studenata i nastavnog osoblja na fakultetima u Federaciji BiH

1997/98 1998/99 1999/00 2000/01 2001/02 Kod za školsku godinu (1) (2) (3) (4) (5) Redovni studenti 22 697 26 649 28 912 31 861 32 614 Vanredni studenti 6 451 9 315 11 483 11 360 12 192 Nastavnici 1 250 1 294 1 442 860 777 Saradnici 1 080 1 185 1 248 913 898 Broj fakulteta 40 48 47 48 48

Izvor: Statistički godišnjak Federacije BiH, 2002, Sarajevo, str.309.

U koloni posmatramo strukturu studenata, nastavnog osoblja i broja fakulteta. U 2001/02 godini je bilo 32 614 redovnih i 12 192 vanredna studenta. Broj nastavnika je bio 777, a saradnika 898. Broj fakulteta je bio 48. Za svaku od posmatranih godina možemo analizirati datu strukturu. Analiza redova u datoj tabeli omogućava istraživanje evolucije analiziranih pokazatelja i struktura u vremenu.

Na grafikonima 4.1. i 4.2. je prezentirana struktura posmatranih pokazatelja i njihova evolucija u vremenu.

Poglavlje 4. – Dinamička analiza i mjerenje evolucije

155

1997/98 1998/99 1999/00 2000/01 2001/020

5000

10000

15000

20000

25000

30000

35000

redovni studenti

vanredni studenti

nastavnici

saradnici

Struktura studenata i nastavnog osobljaGrafikon 4.1.

redovni vanredni nastavnici saradnici0

5000

10000

15000

20000

25000

30000

35000

1997/98

1998/99

1999/00

2000/01

2001/02

Evolucija broja studenata i nastavnog osobljaGrafikon 4.2.

U posmatranom periodu broj studenata, redovnih i vanrednih, je u stalnom porastu. Broj nastavnika i saradnika pokazuje tendenciju opadanja od 1999/00 godine. Koristeći prezentiranu i analiziranu definiciju i izraz za apsolutnu promjenu izračunali smo i prezentirali u narednoj tabeli apsolutne stope promjene broja studenata i nastavnog osoblja na fakultetima u Federaciji Bosne i Hercegovine.


156

Tabela 4.2. Apsolutne promjene broja studenata i nastavnog osoblja na fakultetima u Federaciji Bosne i Hercegovine

ΔV2-1 ΔV3-2 ΔV4-3 ΔV5-4 ΔV5-1 Redovni studenti 3 952 2 263 2 949 753 9 917 Vanredni studenti 2 864 2 168 -123 832 5 741 Nastavnici 44 146 -582 -83 -473 Saradnici 105 63 -335 -15 -182

Najveća apsolutna promjena broja redovnih studenata je bila između 1997/98 i 1998/99 akademske godine. Broj redovnih studenata se u periodu između ove dvije akademske godine povećao za 3952. Najmanja apsolutna promjena je bila između 2000/01 i 2001/02 akademske godine. Broj studenata se povećao za samo 753. Apsolutna promjena broja redovnih studenata između 2001/02 i 1998/99 je bila 9 917 studenata. Ovu apsolutnu promjenu smo izračunali na osnovu definicije apsolutne promjene.

Apsolutnu promjenu u ovom periodu možemo izračunati i sabiranjem uzastopnih apsolutnih promjena u posmatranim godinama:

ΔV5-1= ΔV2-1+ΔV3-2+ΔV4-3+ΔV5-4 .

Npr. za redovne studente: 9917=3952+2263+2949+753.

Na isti način bismo mogli utvrditi apsolutne promjene i za ostale posmatrane kategorije.

Apsolutne promjene broja vanrednih studenata su bile pozitivne, osim u periodu između 1999/00 i 2000/01 godine.

Apsolutne promjene broja nastavnika i saradnika su bile pozitivne u prve dvije akademske godine, a u naredne dvije godine su bile negativne što ukazuje na to da se broj nastavnika i saradnika smanjio u tim godinama. Broj nastavnika se smanjio za 473 u 2001/02 u odnosu na 1997/98 godinu.

U posmatranom periodu, za tri od pet akademskih godina utvrdili smo negativnu apsolutnu promjenu saradnika.


157

Tabela 4.3. Relativna promjena broja studenata i nastavnog osoblja na fakultetima u Federaciji Bosne i Hercegovine

1

12

VVV −

3 2

2

V VV−

3

34

VVV −

4

45

VVV −

1

15

VVV −

Redovni studenti 17,41 8,49 10,20 2,36 43,69 Vanredni studenti 44,39 23,27 -1,07 7,32 88,99 Nastavnici 3,52 11,28 -40,36 -9,65 -37,84 Saradnici 9,72 5,32 -26,84 -1,64 -16,85

Relativne promjene redovnih studenata su u svim posmatranim godinama bile pozitivne. U periodu između 1997/98 i 2001/02 godine stopa promjene je dostigla nivo 43,69%.

Relativne promjene, odnosno stope promjene se ne mogu sabirati. Stope promjene ne posjeduju osobine računanja. Stopa promjene u periodu između 1998/99 i 2001/02 godine nije jednaka zbiru stopa promjene za pojedine godine posmatranog perioda:

4

45

3

34

2

23

1

12

1

15

VV

VV

VV

VV

VV −−−−− Δ+Δ+Δ+Δ≠Δ

Ovu osobinu stope promjene provjeravamo na primjeru redovnih studenata:

43,69≠17,41+8,49+10,20+2,36=38,48

Najveću stopu rasta konstatujemo kod vanrednih studenata između prve i posljednje posmatrane akademske godine. Stopa rasta je bila 88,99 %. Negativne stope promjene konstatujemo u dva perioda kod nastavnika i saradnika. U 2001/02 u odnosu na 1997/98 godinu broj nastavnika se smanjio za 37,84 %, a broj saradnika za 16,85 %. Da bi analiza bila kompletna, potrebno je istovremeno posmatrati i relativne i apsolutne promjene.

U narednom primjeru ćemo grafički ilustrovati, izračunati i analizirati apsolutne i relativne promjene broja nezaposlenih u Federaciji Bosne i Hercegovine prema stručnoj spremi.


158

Tabela 4.4. Broj nezaposlenih osoba u Federaciji BiH prema stručnoj spremi

1998 1999 2000 2001 VSS 2 851 2 635 2 853 3 043 VSS 2 358 2 485 2 827 3 236 SSS 48 383 49 870 51 684 54 877 VKV, KV 84 273 87 852 90 330 95 359 PKV, NSS 10 786 14 997 15 226 15 965 NKV 107 836 103 954 98 853 96 524 Ukupno 256 487 261 793 261 773 269 004

Izvor: Statistički godišnjak Federacije BiH, 2002, Sarajevo, 2002, str.270.

0

20,000

40,000

60,000

80,000

100,000

120,000

1998 1999 2000 2001

VSS

VŠS

SSS

VKV, KV

PKV, NSS

NKV

Struktura nezaposlenih prema stručnoj spremi u Federaciji BiHGrafikon 4.3.

VSS VŠS SSS VKV, KV PKV, NSS NKV0

20,000

40,000

60,000

80,000

100,000

120,000

1998

1999

2000

2001

Evolucija broja nezaposlenih u Federaciji BiH prema stručnoj spremiGrafikon 4.4.


159

Tabela 4.5. Apsolutne promjene broja nezaposlenih osoba u Federaciji BiH prema stručnoj spremi

1999/98 2000/99 2001/00 2001/98 VSS -216 218 190 192 VŠS 127 342 409 878 SSS 1 487 1814 3 193 6494 VKV, KV 3 579 2 478 5 029 11 086 PKV, NSS 4 211 229 739 5 170 NKV -3 882 -5101 -2 329 -11312 Ukupno 5 306 -20 7 236 12 517

-15000

-10000

-5000

0

5000

10000

15000

VSS VŠS SSS VKV, KV PKV, NSS

NKV

1998/99 1999/00 2000/01 1998/01

Absolutne promjene broja nezaposlenih u Federaciji BiHGrafikon 4.5.

Abso

lutn

a pr

omje

na

Tabela 4.6. Relativna promjena broja nezaposlenih osoba u Federaciji BiH prema stručnoj spremi u %

1999/98 2000/99 2001/00 2001/98 VSS -7,58 8,27 6,66 6,73 VŠS 5,38 13,76 14,47 37,23 SSS 3,07 3,64 6,18 13,42 VKV, KV 4,25 2,82 5,57 13,15 PKV, NSS 39,04 1,53 4,85 47,93 NKV -3,60 -4,91 -2,36 -10,49 Ukupno 2,07 -0,008 2,76 4,88


160

%

-20-10

01020

30405060 1999/98 2000/99 2001/00 2001/98

VSS VŠS SSS VKV, KV PKV, NSSNKV

Relativne stope promjene nezaposlenih u Federaciji BiH u %Grafikon 4.6.

Rel

ativ

na s

topa

pro

mje

ne

Na osnovu izračunatih i prezentiranih parametara i njihovih grafičkih prikaza možemo dati kompletnu analizu evolucije nezaposlenih osoba prema stručnoj spremi. Grafički prikazi koje smo kompletirali su ilustrativniji od desetine rečenica jer nam omogućavaju vizuelno posmatranje promjena i u strukturi i u evoluciji nezaposlenih u posmatranom periodu.

Zapažamo da je došlo do porasta broja nezaposlenih više i srednje stručne spreme, kao i svih kategorija kvalifikovanih radnika. Jedino smanjenje broja nezaposlenih bilježe nekvalifikovani radnici. Ove konstatacije potvrđuju i izračunate relativne promjene.

4.2. INDEKSI

Statistička analiza razlikuje apsolutne i relativne promjene. Termin relativne promjene se razvio na više nivoa u slučajevima kada se porede različite veličine u prostoru i vremenu. Za opis i poređenje evolucije pojava i varijabli čiji je red veličina različit najčešće se koriste indeksi.

Indeks je broj koji objašnjava relativnu promjenu jednostavne ili kompleksne veličine između dva perioda, od kojih se jedan odabire kao bazni period. Kako je indeks odnos između dvije veličine iste prirode, on ne posjeduje jedinicu mjere. Indeks je, dakle, neimenovan broj.


161

Najpoznatija dihotomija ideksa je na individualne (elementarne, proste) i agregatne (sintetičke) indekse.

• Individualni indeksi se primjenjuju u slučaju kada želimo analizirati homogene veličine. Individualni indeksi se konstruišu tako da fiksiramo bazni period i izračunavamo promjenu posmatrane veličine između posmatranog perioda, koji ćemo označiti sa t, i baznog perioda, koji označavamo sa 0. Individualni indeks je bazni elemenat statističke analize hronoloških serija.

• Agregatni indeksi se baziraju na istim principima, ali se primjenjuju za analizu heterogenih veličina. Neki od njih služe kao referentni indeksi. Najpoznatiji su indeksi vrijednosti, indeksi cijena, indeksi fizičkog obima proizvodnje, indeksi troškova života, berzni indeksi (Dow Jones, CAC 40), itd. Njihova konstrukcija je tehnički i metodološki vrlo komplikovana što ponekad otežava njihovo tumačenje.

Praktična korisnost indeksa dolazi posebno do izražaja ako se analiza vrši za duži period. Fiksira se bazna godina za koju je indeks jednak 1 (ili 100), zatim se računaju indeksi za svaku godinu. Ukoliko su indeksi veći od 100, posmatrana pojava je relativno rasla u odnosu na bazni ili prethodni period. Kada su indeksi manji od 100, analizirana pojava je opadala u odnosu na bazni ili prethodni period.

Indeksi nam pružaju direktno sintetički pogled na evoluciju u odnosu na bazni ili prethodni period i omogućavaju praćenje promjena analiziranih veličina između svih posmatranih perioda.

4.2.1. Individualni indeksi

Individualni indeks se primjenjuje za analizu promjena u vremenu posmatrane veličine, kao i za poređenje evolucije više različitih veličina. Indeksi se mogu izraziti u odnosu na bazu 1 ili 100. Za izračunavanja se, iz praktičnih razloga, koriste indeksi u bazi 1. Konačni rezultati se prezentiraju u formi indeksa čija je baza 100 ili u obliku stope promjene u procentima. Indeks nema jedinice mjere. Indeks je, kao što smo već naveli, neimenovan broj koji ima veliku praktičnu upotrebu.

Individualni indeksi se mogu izračunavati na osnovu stalne i promjenljive baze.


162

4.2.1.1. Indeksi sa stalnom bazom (bazni indeksi)

Bazne indekse ili indekse sa stalnom bazom izračunavamo kao količnik između veličine analizirane pojave u posmatranom i odabranom baznom periodu. Da bismo izračunali indeks sa stalnom bazom potrebno je prvo odabrati baznu godinu za koju indeks ima vrijednost 1 (ili 100). Ako sa Vt označimo veličinu analizirane pojave u periodu t i sa V0 označimo veličinu analizirane pojave u baznom periodu, individualni indeks između ta dva perioda ćemo izračunati na sljedeći način:

00/ V

Vi tt = (4.4)

Individualni indeks veličine V za period t u odnosu na bazni period 0 ako je baza 100 u periodu 0 je dat sljedećim izrazom:

1001000

0/0/ ⋅=⋅=VV

iI ttt

9 (4.5)

Bazni indeksi se definišu kao indeksi razvoja. Ovi indeksi su pokazatelj razvoja pojava u posmatranom periodu u odnosu na bazni period. Bazni indeksi se koriste i za poređenja razvoja više pojava. Indeksi sa stalnom bazom se koriste za analizu i poređenja na isti način kao i originalni podaci o vrijednostima posmatranih pojava.

Razlika između dva bazna indeksa je pokazatelj indeksnih poena.

Na bazi podataka iz tabele 4.4., izračunali smo bazne indekse nezaposlenih osoba prema stručnoj spremi. Za bazu smo odabrali 1998. godinu. Izračunate indekse prezentujemo u tabeli 4.7.

9 Sa malim i označavamo proste indekse ako su izraženi u bazi 1. Množenjem ovih

indeksa sa 100 dobijamo indekse izražene u bazi 100 i označavamo ih sa velikim slovom I.


163

Tabela 4.7. Bazni indeksi 0/tI

I1998 I99/98 I00/98 I01/98 VSS 100 92,42 100,07 106,73 VŠS 100 105,39 119,89 137,23 SSS 100 103,7 106,82 113,42 VKV, KV 100 104,25 107,19 113,15 PKV, NSS 100 139,04 141,16 148,02 NKV 100 96,40 91,67 89,51 Ukupno 100 102,07 102,06 104,88

Indeks nezaposlenosti za visoku stručnu spremu u 1999.g. baza 100 u 1998.g. je jednak 92,42. To znači da je nezaposlenost VSS u tom periodu opala za 7,58 %. Indeks nezaposlenosti VSS u 2001. baza 100 u 1998.g. je 106,73. Stopa rasta nezaposlenosti VSS u ovom periodu je bila 6,73%. Indeks ukupnog broja nezaposlenih u periodu 1998.-2001. godine je bio 104,88. U ovom periodu ukupan broj nezaposlenih je porastao za 4,88%. Po analogiji sa datim objašnjenjima mogli bismo analizirati i ostale podatke iz tabele 4.7. za sve kategorije nezaposlenih u posmatranim periodima.

Na dva grafikona koji slijede smo predstavili bazične indekse nezaposlenih osoba visoke stručne spreme (VSS).

100

92,42

100,07

106,73

85

90

95

100

105

110

1998 1999/98 2000/98 2001/98

Bazni indeksi broja nezaposlenih VSS baza 100 u 1998.g.Grafikon 4.7.


164

1998 1999/98 2000/98 2001/9890

95

100

105

110

100

92,42

100,07

106,73

Bazni indeksi broja nezaposlenih VSS, baza 100 u 1998. godiniGrafikon 4.8.

2.1.2. Indeksi sa promjenljivom bazom (lančani, verižni indeksi)

Indeksi sa promjenljivom bazom predstavljaju odnose veličine pojave u posmatranom i prethodnom periodu. Da bismo konstruisali indekse sa promjenljivom bazom ili lančane indekse kao bazni period odabiremo svaki put prethodni period. Indekse sa promjenljivom bazom izračunavamo tako da za bazu uzimamo svaki put podatke iz prethodnog perioda. Lančani indeks veličine V u periodu t u odnosu na period (t-1) ako je baza 1 u periodu (t-1) je jednak:

11/

−− =

t

ttt V

Vi (4.6)

Lančani indeks veličine V za period t u odnosu na period (t-1) ako je baza 100 u periodu (t-1) je jednak:

1001001

1/1/ ⋅=⋅=−

−−t

ttttt V

ViI (4.7)

Ovi indeksi se nazivaju i koeficijenti dinamike, jer pokazuju dinamiku i tempo promjene posmatrane pojave u odnosu na prethodni period.

Koristeći podatke iz tabele 4.4. izračunali smo lančane indekse nezaposlenih osoba prema stručnoj spremi. Izračunate indekse prezentujemo u tabeli 4.8.


165

Tabela 4.8. Lančani indeksi I t/t-1

I99/98 I00/99 I01/00 VSS 92,42 108,27 106,66 VŠS 105,39 113,76 114,47 SSS 103,7 103,64 106,18 VKV, KV 104,25 102,82 105,57 PKV, NSS 139,04 101,53 104,85 NKV 96,40 95,09 97,64 Ukupno 102,07 99,99 102,76

Ukupan broj nezaposlenih se povećao u 1999. u odnosu na 1998. godinu za 2,07%. Između 1999. i 2000.g. broj nezaposlenih je ostao skoro nepromijenjen. U periodu 2000.-2001. godina ukupan broj nezaposlenih se povećao za 2,76%.

Na sljedećem grafikonu su predstavljeni lančani indeksi nezaposlenih visoke stručne spreme (VSS).

9092949698

100102104106108110

19981999 2000 2001

Lančani indeksi nezaposlenih VSSGrafikon 4.9.

Koristeći podatke o broju diplomiranih studenata na ekonomskim fakultetima i Fakultetu za poslovni menadžment u Sarajevu izračunali smo bazne i lančane indeksa koje zajedno sa podacima predstavljamo u sljedećoj tabeli.


166

Tabela 4.9. Broj diplomiranih studenata na E.F., bazni i lančani indeksi

Godine 1998 1999 2000 2001 2002 Ukupan broj studenata 581 484 532 665 462 Žene 345 273 310 373 275 Procenat žena po godinama 59,38% 56,40% 58,27% 56,09% 59,52% Bazni indeksi (1998) - Ukupno 100 83,30 91,57 114,46 79,52 Lančani indeksi -Ukupno 83,30 109,92 125,00 69,47 Bazni indeksi (1998) - Žene 100 79,13 89,86 108,12 79,71 Lančani indeksi - Žene 79,13 113,55 120,32 73,73

Izvor: Statistički godišnjak Bosne i Hercegovine 2005., Federalni zavod za statistiku, Sarajevo, str. 295.

Na sljedećim grafikonima smo prezentirali bazne i lančane indekse za ukupan broj studenata, kao i bazne i lančane indekse za žene.

60

70

80

90

100

110

120

1998 1999 2000 2001 2002

100

83.30

91.57

114.46

79.52

Bazni indeksi ukupnog broja studenata sa bazom u 1998. godiniGrafikon 4.10.


167

5060708090

100110120130

1998

1999 2000

2001

2002

Lančani indeksi ukupnog broja studenatau periodu od 1998. do 2002. g.

Grafikon 4.11.

60

70

80

90

100

110

120

100

79,13

89,86

108,12

79,71

1998 1999 2000 2001 2002

Bazni indeksi broja studentica sa bazom u 1998.g.Grafikon 4.12.


168

50

60

70

80

90

100

110

120

130

1998

1999 2000 20012002

Lančani indeksi broja studenticau periodu od 1998. do 2002. godineGrafikon 4.13.

Primjer 4.2.

Na osnovu podataka datih u tabeli 4.10.a. izračunati i grafički predstaviti bazne indekse (baza 1997. godina), lančane indekse i prosječnu godišnju stopu promjene društvenog proizvoda Bosne i Hercegovine u periodu 1997-2001.

Tabela 4.10.a. Društveni bruto proizvod BiH u milionima KM

1997. 1998. 1999. 2000. 2001.

DBP 6367 7244 8604 9611 10480

Izvor: Statistički bilten broj 1., Agencija za statistiku BiH, 2003., str. 20.

Bazni indeksi su predstavljeni u sljedećoj tabeli i grafikonima.

Naprimjer: 13,13510063678604

97/99 =⋅=I . Stopa rasta DBP između 1997. i

1999. je bila 35,13%.


169

Tabela 4.10.b. Bazni indeksi za društveni bruto proizvod BiH u milionima KM

I 97 I 98/97 I 99/97 I 00/97 I 01/97

100 113,77 135,13 155,95 164,60

100,00113,77

135,13150,95

164,60

1997 1998 1999 2000 20010

20406080

100120140160180

Bazni indeksi DBP BiH baza 100 u 1997. godiniGrafikon 4.14.

020406080

100120140160180

1997 1998 1999 2000 2001

Bazni indeksi DBP BiH baza 100 u 1997. godiniGrafikon 4.15.

Na osnovu podataka iz tabele 4.10.a. izračunali smo seriju lančanih indeksa društvenog proizvoda Bosne i Hercegovine baza 100 u periodu (t-1).


170

77,11810072448604

98/99 =⋅=I

Tabela 4.10.c. Lančani indeksi za društveni bruto proizvod BiH u milionima KM

I 97/96 I 98/97 I 99/98 I 00/99 I 01/00

- 113,77 118,77 111,70 109,04

109,04

111,7

118,77

113,77

1998/97 1999/98 2000/99 2001/00105

110

115

120

Lančani indeksi DBP BiH baza 100 (t-1)Grafikon 4.16.

Primjer 4.3.

U narednoj tabeli i grafikonu predstavljamo podatke o indeksima cijena na malo i indeksima troškova života u Federaciji BiH.

Tabela 4.11. Indeksi cijena na malo u Federaciji BiH

19991998

20001999

20012000

20022001

20032002

2004 2003

Indeksi cijena na malo 99,1 101,2 101,7 99,8 100,2 99,7 Indeksi troškova života 99,3 101,4 102,1 101,0 100,6 100,0

Izvor: Statistički godišnjak Federacije Bosne i Hercegovine 2005, str. 260. i 262.


171

98

99

100

101

102

103

1999/98 2000/99 2001/00 2002/01 2003/02 2004/03

Indeksi cijena i troškova životaGrafikon 4.17.

Indeksi cijena na maloIndeksi troškova života

4.2.2. Osobine indeksa

• Indeks ostaje nepromijenjen ako se posmatrana veličina ne mijenja. Ova osobina se naziva osobina identiteta. Ako je V

t=V

0,

odgovarajući indeksi ostaju nepromijenjeni tj.

it/0

= i0/0

=1 (4.8)

• Osobina tranzitivnosti je izražena sljedećom relacijom:

00

'

'0/''/0/ V

VVV

VV

iii tt

t

ttttt =⋅=⋅= (4.9)

Ovu osobinu zadovoljavaju indeksi čiji je proizvod jednak odnosu veličine pojave u posmatranom i baznom periodu.

Ova osobina se može generalizirati na seriju sukscesivnih indeksa. Naprimjer, vrijednost indeksa u periodu t = 4 u odnosu na bazni period 0 (i

4/0) je jednaka proizvodu uzastopnih indeksa u prethodnim periodima:

0

4

0

1

1

2

2

3

3

40/11/22/33/40/4 V

VVV

VV

VV

VViiiii =⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=


172

Koristeći izraz:

0/'

0/'/

t

ttt i

ii = (4.10)

možemo porediti posmatranu veličinu u periodima t i t’. • Osobina recipročnosti se može definisati u odnosu na vrijeme. Ova

osobina kaže da je recipročan indeks neutralan u odnosu na vrijeme. To znači da se promjena baznog datuma predstavlja inverznom formulom:

11/00/

/00/ =⋅⇒= tt

tt ii

ii (4.11)

Za t =1 gornja formula ima sljedeći oblik:

111/00/1

1/00/1 =⋅⇒= ii

ii (4.12)

Inverzijom baznog i tekućeg perioda ostvaruje se recipročnost indeksa. Recipročnost indeksa ne znači da su procenti rasta i opadanja identični. Posmatrajmo indeks čija je vrijednost jednaka 1 u baznom i 1,5 u periodu 1:

67,05,1

11

5,115,1

0/11/0

0

10/1

===

===

ii

VVi

Rast između datuma 0 i 1 je 50%. Opadanje između 1 i 0 je 33%.

• Osobina cirkularnosti. Kada su zadovoljene osobine tranzitivnosti i recipročnosti definisana je i osobina cirkularnosti:

1

odnosno ,1

0

0

'

'

/00//00/''/

==⋅⋅

=⋅=⋅⋅

t

t

t

t

t

t

tttttt

VV

VV

VV

VV

iiiii (4.13)

ili


173

1

odnosno ,1

2

2

2

0

0

1

1

2

2/00/22/00/11/2

==⋅⋅

=⋅=⋅⋅

VV

VV

VV

VV

iiiii (4.14)

Na osnovu tranzitivnosti, proizvod prva dva člana je jednak i2/0. Na osnovu recipročnosti i2/0 × i0/2=1.

Primjer 4. 4.

Primjena osobina indeksa na primjeru iz tabele 4.7. za visoku stručnu spremu (VSS) i ukupan broj nezaposlenih:

I 99/98 I 00/99 I 01/00 I 01/98

VSS 92,42 108,27 106,66 106,73 Ukupno 102,07 99,99 102,76 104,88

Da bismo izračunali indeks nezaposlenih VSS u periodu od 1998. do 2001. godine na osnovu lančanih indeksa za prethodne tri godine primijenićemo osobinu tranzitivnosti indeksa:

98

01

98

99

99

00

00

0198/9999/0000/0198/01 V

VVV

VV

VV

iiii =⋅⋅=⋅⋅=

0673,19242,00827,10666,198/01 =⋅⋅=i

73,10610098/0198/01 =⋅= iI

Primjenom osobine tranzitivnosti smo izračunali i indeks ukupnog broja nezaposlenih u istom periodu i rezultat upisali u gornju tabelu.

• Primjena indeksa u izračunavanju stope promjene

Stopu promjene smo definisali sljedećim izrazom:

100

0 −=−=ΔVV

VVV

VV tt


174

Pošto je indeks na bazi 1 jednak 0

0/ VVi t

t = izraz za stopu promjene možemo

napisati na sljedeći način:

11 0/00

0 −=−=−

=Δt

tt iVV

VVV

VV

(4.15)

Stopa promjene koju možemo označiti sa s je jednaka razlici između indeksa u bazi 1 jedinice:

10/ −=Δ= tiVVs (4.16)

Indeks u bazi 1 je jednak zbiru stope promjene i jedinice. Pošto stope promjene ne posjeduju osobine računanja, u izračunavanju stopa potrebno je koristiti indekse u bazi 1, a konačni rezultat se može izraziti ili u bazi 100, ili kao stopa promjene u procentima.

Na osnovu izračunatih relativnih promjena broja nezaposlenih osoba visoke stručne spreme (u %) u Federaciji BiH prezentovanih u tabeli 4.6. izračunat ćemo stopu promjene broja nezaposlenih u periodu 1998/2001. Dakle, na osnovu sljedećih podataka

1999/98 2000/99 2001/00 2001/98

VSS -7,58 8,27 6,66

ćemo izračunati traženu stopu. Kako stope promjene nemaju nikakvu osobinu računanja potrebno je primijeniti indekse na bazi 1.

Na osnovu podataka iz gornje tabele, računamo proste indekse za tri posmatrana perioda. Prvo stope promjene izrazimo u obliku decimalnih brojeva, a zatim primijenimo vezu prema kojoj je indeks u bazi 1 jednak stopi promjene uvećanoj za jedinicu. Ovim postupkom smo dobili sljedeće rezultate:

9242,010758,098/99 =+−=i

0827,110827,099/00 =+=i

0666,110666,000/01 =+=i


175

Primjenom osobine tranzitivnosti računamo indeks za traženi period:

01/98 99/98 00/99 01/ 00

0,9242 1,0827 1,0666 1,06727 1,0673i i i i= ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅ = ≈

Da bismo izračunali stopu promjene, broja nezaposelnih u periodu 1998-2001, koristiti ćemo vezu između indeksa i stope promjene. U ovom primjeru stopa promjene je jednaka indeksu u bazi jedan umanjenom za jedinicu: 1,0673-1=0,0673. Ako rezultat želimo izraziti u procentima pomnožićemo ga sa 100. U periodu između 1998. i 2001.g., broj nezaposelnih sa visokom stručnom spremom se povećao za 6,73%.

Stope promjene se ne mogu sabirati. Zbir stopa promjene u uzastopnim periodima ne daje stopu promjene u periodu koji sadrži te uzastopne periode. Npr. stope promjene od –7,58 zatim 8,27 i 6,66 ne uvećavaju nezaposlenost za 7,35% = (–7,58 + 8,27 + 6,66) nego kao što smo izračunali za 6,73%.

• Prosječna godišnja stopa promjene

Pretpostavimo da veličina V raste po godišnjoj stopi r. Označimo njenu vrijednost u periodu 1, dakle, u polaznoj godini, sa V1. Godinu poslije vrijednost veličine V će biti jednaka:

V2 =V1 + V1 · r = V1 (1+r) (4.17)

Ako se rast nastavi po istoj stopi, u periodu 3 ćemo imati:

V3 =V2 + V2 ·r = V2 (1+r) = V1 (1+r)2 (4.18)

Poslije t godina veličina će biti jednaka:

Vt = V1 (1+r)t-1 (4.19)

1

1

1

1

11 /11

(1 )

(1 )

1 1

t t

tt

t tt t

VrV

VrV

Vr iV

−

−

−−

+ =

+ =

= − = −

(4.20)


176

Izraz 1

1

ttVV

− se naziva prosječan indeks promjene i predstavlja geometrijsku

sredinu lančanih indeksa. Prosječna godišnja stopa promjene je jednaka prosječnom godišnjem indeksu promjene umanjenom za jedinicu. Ukoliko stopu promjene želimo izraziti u procentima, izraz za stopu promjene ćemo pomnožiti sa 100:

( )11 /11

1 100 1 100t tt tVr iV

−−⎛ ⎞

= − ⋅ = − ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

(4.21)

Prosječna godišnja stopa promjene je jednaka geometrijskoj sredini lančanih indeksa umanjenoj za jedinicu.

Ova formula može biti korištena direktno ukoliko poznajemo prosječni godišnji indeks ili vrijednosti posmatrane varijable u posmatranim periodima10.

Izraz za prosječnu godišnju stopu možemo napisati i u razvijenom obliku:

( )( )

-1 21 1

1 -1 -2 1

1/ -1 1/ 2 2 /1

1/1

1 100 1 100

1 100

1 100

t t tt t

t t

tt t t t

tt

V V V VrV V V V

i i i

i

− −

−− −

−

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − ⋅ = ⋅ ⋅⋅⋅ − ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= ⋅ ⋅⋅⋅ − ⋅

= − ⋅

(4.22)

Izraz 1

1

(1 ) t tVrV

−+ = možemo korištenjem logaritama izraziti u sljedećem

obliku:

1

1

( 1) log (1 ) log

log loglog (1 )1

t

t

Vt rV

V Vrt

− ⋅ + =

−+ =−

10 Ovu vrijednost može biti izračunata direktno korištenjem digitrona ili primjenom

logaritama.


177

1

1

log log(1 ) log1

log loglog 11

t

t

V Vr antit

V Vr antit

−⎛ ⎞+ = ⎜ ⎟−⎝ ⎠−⎛ ⎞= −⎜ ⎟−⎝ ⎠

(4.23)

i izračunati korištenjem logaritama.

Period t za koji bi se dostigao planirani nivo veličine V se izračunava na sljedeći način:

1

1

1

1

1

1

−

−

=+

−=

t t

t t

VV

r

VV

r

( )1loglog1

1)1log( VVt

r t −−

=+

( )1

)1log(loglog 1 ++

−=

rVV

t t (4.24)

Primjer 4.5.

Da bismo na osnovu podataka iz tabele 4.10. izračunali prosječnu godišnju stopu promjene društvenog proizvoda BiH u periodu 1997.-2001. potrebno je prvo izračunati indekse na bazi 1, a zatim izračunati prosječan godišnji indeks u periodu 1997.-2001. i na osnovu tog podatka, izračunati prosječnu godišnju stopu promjene.

Godišnji indeks u periodu 1997.-2001. je jednak:

97/9898/9999/0000/0197/01 iiiii ⋅⋅⋅=

646,11377,11877,11170,10904,197/01 =⋅⋅⋅=i

Prosječni godišnji indeks dobijamo na sljedeći način:

1327,16460,16460,1 4/14 ===i


178

Prosječni godišnji indeks je 1,1327. Prosječna godišnja stopa rasta je bila 13,27%.

Dakle, prosječna godišnja stopa promjene je jednaka geometrijskoj sredini lančanih indeksa (baza 1) umanjenoj za jedinicu za posmatrani period:

1327,011327,116460,111377,11877,11170,10904,1

1144

497/9898/9999/0000/01

497/0197/01

=−=−=−⋅⋅⋅=

−⋅⋅⋅=−= iiiiir

Prosječna godišnja stopa rasta društvenog proizvoda u periodu 1997.-2001. godina je bila 13,27%.

Utvrđivanje prosječne godišnje stope promjene r možemo formalizirati i na sljedeći način:

401/ 00 00 / 99 99 / 98 98 / 97

01 00 99 984

00 99 98 97

01 44 01/ 9797

4

1

1

1 1

1,646 1 1,1327 1 0,1327

r i i i i

V V V VV V V V

Vi

V

= ⋅ ⋅ ⋅ −

= ⋅ ⋅ ⋅ −

= − = −

= − = − =

Primjer 4.6.

Odrediti prosječnu godišnju stopu promjene ako agregatni pokazatelj V raste 10% prve godine, 20% druge, 25% treće i 40% četvrte godine.

( ) ( )1 41 11 1t

tV V r V r−= + = +

( ) ( ) ( ) ( )1 1 0,1 1 0,2 1 0,25 1 0,40tV V= + ⋅ + ⋅ + ⋅ +

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 31,240,125,12,11,11 4 =⋅⋅⋅=+ r

4/14 31,231,2)1( ==+ r

23,023,1)1(

==+

rr


179

ili

( ) 0909,04

31,2log1log ==+ r

%2323,0

23,1)1(0909,0log)1(

==

=+=+

rr

rantir

Prosječna godišnja stopa rasta je bila 23%.

Primjer 4.7.

Veličina V se uvećala u prvoj godini 20%, a u drugoj godini se smanjila za 20%.

a) Koliko se veličina V promijenila u toku dvije godine? b) Kolika je prosječna godišnja stopa promjene? c) Ako se veličina V uvećala za 20% prve godine, koliko treba da se

promijeni u drugoj godini da bi dostigla nivo iz prve godine?

a) ( )2 1 1 0, 2V V= ⋅ +

( ) ( ) ( )3 2 11 0,2 1 0,2 1 0,2V V V⎡ ⎤= ⋅ − = ⋅ + ⋅ −⎣ ⎦

( ) ( )3 1 11, 2 0,8 0,96V V V= ⋅ ⋅ = ⋅

Veličina V je opala za 4% u toku dvije godine.

b) ( )23 1 1V V r= +

( ) 96,01 2 =+ r

9798,01 =+ r

r = -0,0202

r = -2,02%

Prosječna godišnja stopa promjene je jednaka -2,2%.


180

Ili 2 /1 1/ 0 1 0,8 1,2 1 0,96 1 0,9798 1 0,0202

2,02%r i ir

= ⋅ − = ⋅ − = − = − = −= −

c) ( )3 2 1V V r= +

2 1 1, 20V V= ⋅

Slijedi:

( ) ( ) ( )3 111,20 1 1,20 1 1 120

V V r r r= ⋅ ⋅ + ⇒ ⋅ + = ⇒ + =

1666,0

120,11

−=

−=

r

r

Poslije povećanja od 20% V se mora smanjiti za 16,66% da bi dostigao svoj nivo iz baznog perioda.

Primjer 4.8.

U periodu 1993.-2002. stopa poreza je rasla u apsolutnom iznosu 1% svake godine, a u 2003. i 2004. godini je rasla za 0,5% godišnje. U 2005.g. je opala za 1%.

U 2002. stopa poreza je bila 44%. a) Izračunati prosječnu godišnju stopu poreza između 1993. i 2005.

b) U kojoj godini bi ova stopa bila veća od 50%? Rješenje: a) U 1993: 0,44 0,09 0,35− = U 2004: 45,001,044,0 =+ U 2005: 44,001,045,0 =−

12120, 44 1 1,2571 1 1,0193 10,35

r = − = − = − ⇒ %93,1=r

b) U 2005.g. r = 44%. Ova stopa će biti veća od 50%, t godina poslije 2005.g. ako se uvećava po prosječnoj stopi od 1,93% godišnje.


181

( ) 10, 44 1,0193 0,50t−⋅ =

( ) 1 0,501,0193 1,13640,44

t− = =

log1,13641 6,68 7,78 8 godinalog1,0193

t t− = = ⇒ = ≈

Stopa bi bila veća od 50% u 2013. godini.

Primjer 4.9.

Veličina V je rasla po istoj stopi u toku 3 godine. U 2002. je bila 2000 €, a u 2005. 2662 €. Koja je bila prosječna godišnja stopa rasta?

31

1

26621 12000

ttVrV

−= − = −

%1010,011,11331,13

==−=−=

rr

ili

( )3

2000log2662log1log −=+ r

( )( ) 04139,0log1

04139,01logantir

r=+

=+

( ) %1010,010,11 ⇒=⇒=+ rr

4.2.3. Relacije između baznih i lančanih indeksa

4.2.3.1. Pretvaranje lančanih indeksa u bazne

Lančani indeksi se pretvaraju u bazne postupkom postepenog množenja indeksa prema sljedećem izrazu:

⎩⎨⎧

=⋅==

=−− .,..,3,2,1,100

)1/(0/)1(0/ ntiI

btI

tttt (4.25)


182

Lančani indeksi mogu se pretvarati u indekse na stalnoj bazi vezanoj za bilo koji period primjenom sljedeće relacije:

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

>⋅

<

=

=

−−

+

+

btiI

iI

bt

I

ttt

tt

tt

,

bt,

,100

)1/(0/)1(

/)1(

0/)1(0/ (4.26)

U prethodnom izrazu b je bazni period i za t = b indeks je jednak 100. Bazne indekse za prethodne periode dobijamo dijeleći bazni indeks naredne sa lančanim indeksom te iste godine.

Bazni indeksi za naredne periode dobiju se postupnim množenjem baznog indeksa iz prethodnog i lančanog indeksa iz posmatranog perioda.

4.2.3.2. Pretvaranje baznih u lančane indekse

Pošto su indeksi na stalnoj bazi upravo proporcionalni orginalnim podacima, u postupku pretvaranja baznih u lančane indekse postupa se kao da se radi sa izvornim podacima. Indeksi na stalnoj bazi pretvaraju se u lančane tako da se indeks iz tekućeg perioda dijeli sa prethodnim indeksom i rezultat pomnoži sa 100.

/ 0/( 1)

( 1) / 0

100, 2,3,.., .tt t

t

II t n

I−−

= ⋅ = (4.27)

Pri pretvaranju baznih u lančane indekse nije bitno koji period ćemo izabrati za bazno razdoblje.

4.2.3.3. Pretvaranje indeksa na stalnoj bazi u indekse na drugu stalnu bazu

Indeksi na stalnoj bazi preračunavaju se na drugu bazu tako da se svaki indeks podijeli indeksom novog baznog razdoblja i dobijeni odnos pomnoži sa 100.

100*0/

0/*0/ ⋅=

b

tt I

II (4.28)


183

Dva najčešća razloga promjene baze indeksa su potreba poređenja različitih varijabli (DBP, nezaposlenost, itd.) čiji objavljeni indeksi su rijetko izraženi na osnovu iste baze i periodično usklađivanje baza kada je potrebno reaktualizirati bazu ako se serija previše udaljava od orginalne vrijednosti.

U ovom slučaju koristi se osobina tranzitivnosti 0/1

0/1/0/11/0/ i

iiiii tttt =⇒⋅= .

Novi indeks je jednak količniku između polaznog baznog indeksa i indeksa nove bazne godine izraženog u staroj bazi 0.

Primjer 4.10.

Lančani indeksi industrijske proizvodnje Federacije BiH su predstavljeni u sljedećoj tabeli:

Tabela 4.12. Lančani indeksi industrijske proizvodnje Federacije BiH

I96/95 I97/96 I98/97 I99/98 I00/99 I01/00 187,6 135,7 123,8 110,6 108,8 112,2

Izvor: Statistički godišnjak Federacije BiH, 2002, str.113.

Na ovom primjeru ćemo ilustrovati pretvaranje lančanih u bazne indekse uz pretpostavku da je baza 100 u 1998. godini.

Tabela 4.12.a. Pretvaranje lančanih u bazne indekse

1995. 1996. 1997. 1998. 1999. 2000. 2001. Postupak 59,5/1,876 80,8/1,357 100/1,238 100 110,6 110,6⋅1,088 120,3⋅1,122⋅ Indeksi 31,7 59,5 80,8 100 110,6 120,3 134,97≈135

4.2.4. Agregatni indeksi

Najznačajniji agregatni indeksi su: indeks vrijednosti, indeks cijena, indeks fizičkog obima proizvodnje, indeksi troškova života, itd.

Konstrukciju agregatnih indeksa ćemo ilustrovati na primjeru potrošnje dva proizvoda.


184

Tabela 4.13. Cijena proizvoda A i B

Proizvod A Proizvod B Cijena KM/kom Cijena KM/kom

2004. 4 10 2005. 6 11

Na osnovu datih podataka možemo izračunati samo individualne indekse cijena svakog proizvoda gdje je 2004. bazna godina.

15010046 =⋅=ApI

1101001011 =⋅=BpI

Konstatujemo da se cijena proizvoda A povećala za 50%, a cijena proizvoda B za 10% u posmatranom periodu.

Ako gornju tabelu kompletiramo sa podacima o kupljenim količinama svakog proizvoda:

Tabela 4.14. Cijena i kupljena količina proizvoda A i B

Proizvod A Proizvod B Cijena KM/kom Komad Cijena KM/kom Komad

2004. 4 10 10 8 2005. 6 12 11 10

Možemo izračunati za svaku godinu budžet utrošen za kupovinu tih proizvoda:

Budžet u 2004.:

KMKMKMkomkomKMkomkomKM 12080408/1010/4 =+=⋅+⋅

Budžet u 2005.:

KMKMKMkomkomKMkomkomKM 1821107210/1112/6 =+=⋅+⋅


185

i izračunati sljedeći indeks vrijednosti:

0505 / 04

04

182 100 151,67120W

WI

W= = ⋅ =

na osnovu kojeg konstatujemo da se budžet potrošača utrošen na kupovinu dva posmatrana proizvoda povećao za 51,67% u 2005. u odnosu na 2004. godinu.

4.2.4.1. Konstrukcija agregatnih indeksa Laspeyres i Paasche metodom agregiranja

Da bismo objasnili konstrukciju agregatnih indeksa cijena metodom agregiranja formalizaciju ćemo predstaviti na sljedeći način:

Tabela 4.15. Konstrukcija agregatnih indeksa cijena

Proizvod A (j)=1 Proizvod B (j)=2

Cijena KM/kompi

(1) Komad

qi(1)

Cijena KM/kompi

(2) Litar qi

(2)

Vrijednost potrošačke korpe (W)

(i=0) 2004. 4 10 10 8 120 (i=1) 2005. 6 12 11 10 182

U gornjoj tabeli smo uveli sljedeće simbole: p je cijena, q je količina, i je indeks datuma, a j indeks proizvoda, bazna godina je 2004. (i=0) i posmatrana godina 2005. (i=1).

Potrošnja u 2004.: (i=0)

∑ 00qp = 12081010420

20

10

10

2

1

)(0

)(0 =⋅+⋅=+=∑

=qpqpqp

j

jj

Potrošnja u 2005.: (i=1)

182101112621

21

11

11

2

1

)(1

)(111 =⋅+⋅=+==∑∑

=qpqpqpqp

j

jj

Indeks vrijednosti ćemo označiti sa IW i izračunati na sljedeći način:


186

1 11/ 0

0 0

182100 100 151,67120W

p qI

p q= ⋅ = ⋅ =∑∑

Indeks vrijednosti mjeri evoluciju cijena i kupljenih količina. Budžet utrošen za kupovinu ova dva proizvoda se povećao za 51,67%.

Da bismo izračunali indeks cijena možemo fiksirati strukturu potrošnje u baznom ili u posmatranom periodu.

• Struktura potrošnje (količina) fiksirana u baznom periodu

Ako strukturu potrošnje fiksiramo u 2004. godini (bazni datum) dobijamo Laspeyres (Lasperov) indeks cijena:

1 1 2 21 0 1 0 1 0

1/ 0 1 1 2 20 0 0 0 0 0

100 100

6 10 11 8 148100 100 123,33120 120

p

p q p q p qL

p q p q p q+

= ⋅ = ⋅ =+

⋅ + ⋅= ⋅ = ⋅ =

∑∑

148 KM je fiktivna vrijednost koju bi imala potrošačka korpa u 2005. ako bi potrošnja ostala ista kao u 2004. Laspeyres indeks cijena u 2005. baza 100 u 2004. je jednak 123,33. Na osnovu ovog indeksa konstatujemo povećanje cijena od 23,33% u posmatranom periodu.

• Struktura potrošnje (količina) fiksirana u posmatranom periodu

Ako strukturu potrošnje fiksiramo u posmatranom periodu, tj. u 2005. godini, dobijamo Paasche (Pašev) indeks cijena:

1 1 2 21 1 1 1 1 1

1/ 0 1 1 2 20 1 0 1 0 1

100 100

6 12 11 10 182100 100 122,974 12 10 10 148

p

p q p q p qP

p q p q p q+

= ⋅ = ⋅ =+

⋅ + ⋅= ⋅ = ⋅ =⋅ + ⋅

∑∑

148 KM je fiktivna vrijednost koju bi imala potrošačka korpa ako bi u 2004.g. potrošnja bila jednaka potrošnji u 2005.g. Paasche indeks cijena potrošnje u 2005.g. baza 100 u 2004.g. je jednak 122,97. Na osnovu ovog indeksa konstatujemo povećanje cijena od 22,97%.


187

Indeks izračunat na bazi ponderacija iz posmatranog perioda je najčešće manji od indeksa utvrđenog na osnovu ponderacija iz baznog perioda.

4.2.4.2. Konstrukcija indeksa Laspeyres i Paasche pomoću ponderisanih sredina

Laspeyres i Paasche indeks možemo formalizirati koristeći ponderisane sredine.

• Laspeyres indeks možemo izraziti u obliku aritmetičke sredine na sljedeći način:

)(0/1

)(

)(00/1

jp

j

jp IL ⋅=∑α

gdje )(0

jα predstavlja realni budžetski koeficijent (ponder) proizvoda (j) utvrđen u baznom periodu 0. Dobijamo ga kao odnos realne potrošnje za svaki proizvod u baznom periodu i realne vrijednosti potrošačke korpe u baznom periodu.

Za proizvod A (j=1):

33,0120

10420

20

10

10

10

10)1(

0 =⋅=⋅+⋅

⋅=

qpqpqpα

Za proizvod B (j=2):

67,012080

20

20

10

10

20

20)2(

0 ==⋅+⋅

⋅=

qpqpqpα

167,033,0)2(0

)1(0 =+=+ αα

20/1

20

10/1

10

)(0/1

)(

)(00/1 pp

jp

j

jp IIIL ⋅+⋅=⋅=∑ ααα

Bp

Ap II ⋅+⋅= 67,033,0

2,12311067,015033,0 =⋅+⋅=

Dobili smo isti rezultat kao sa agregatnim oblikom Laspeyres indeksa cijena.


188

• Paasche indeks u obliku aritmetičke sredine

)(04/05

)(

)(0104/05

jp

j

jp IP ⋅=∑ β

)(01

jβ je fiktivni budžetski koeficijent proizvoda (j) računat na osnovu cijena iz baznog perioda i količina iz posmatranog perioda. Dobijamo ga kao odnos fiktivne potrošnje svakog proizvoda i fiktivne vrijednosti potrošačke korpe.

Za proizvod A (j=1):

32,014848

21

20

11

10

11

101

1,0 ==⋅+⋅

⋅=== qpqp

qpqpβ

68,0148100

21

20

11

10

21

202

1,0 ==⋅+⋅

⋅=== qpqp

qpqpβ

8,12211068,015032,0221,0

111,004/05

=⋅+⋅=⋅+⋅= ==== pqppqpp IIP ββ

Dobili smo naravno isti rezultat kao sa agregatnim oblikom Paasche indeksa cijena.

Na osnovu izračunatih indeksa možemo posmatrati evoluciju strukture potrošnje. Realne proporcije u 2004.g. su sljedeće: 33% budžeta je utrošeno za proizvod A (indeks cijena: 150) i 67% budžeta je utrošeno za proizvod B (indeks cijena: 110).

Realne proporcije u 2005.g. su: 40% budžeta je utrošeno za proizvod A i 60% budžeta je utrošeno za proizvod B.

4.2.4.3. Formule za računanje i osobine agregatnih indeksa

• Formule za agregatne indekse dobijene metodom agregiranja su sljedeće:

- Agregatni indeksi cijena

1. Laspeyres:

∑∑⋅=

00

010/1

100qpqp

Lp (4.29)

količina je fiksirana u baznom periodu.


189

2. Paasche:

∑∑⋅=

10

110/1

100qpqp

Pp (4.30)

količina je fiksirana u posmatranom periodu.

- Agregatni indeksi količina

1. Laspeyres:

∑∑⋅=

00

100/1

100qpqp

Lq (4.31)

cijene su fiksirane u baznom periodu.

2. Paasche:

∑∑⋅=

01

110/1

100qpqp

Pq (4.32)

cijene su fiksirane u posmatranom periodu.

• Formule dobijene na osnovu ponderisanih sredina

- Agregatni indeks cijena

1. Laspeyres: )(0/1

)(

)(00/1

jp

j

jp IL ⋅=∑α (4.33)

Laspeyres indeks cijena je jednak aritmetičkoj sredini individualnih indeksa cijena proizvoda koji sačinjavaju potrošačku korpu ponderisanim sa realnim budžetskim koeficijentima na osnovu baznog perioda.

2. Paasche:

)(0/1)(

)(1

0/1 11

jpj

jp

I

P⋅

=∑α

(4.34)


190

Paasche indeks cijena je jednak harmonijskoj sredini individualnih indeksa cijena proizvoda koji sačinjavaju potrošačku korpu ponderisanim sa realnim budžetskim koeficijentima na osnovu posmatranog perioda.

• Agregatni indeksi količina

Agregatne indekse količina definišemo sljedećim izrazima:

1. Laspeyres: )(

0/1)(

)(00/1

jq

j

jq IL ⋅=∑α (4.35)

2. Paasche:

)(0/1)(

)(1

0/1 11

jqj

jq

I

P⋅

=∑α

(4.36)

• Osobine agregatnih indeksa

Laspeyres indeksi koji se izračunavaju kao ponderisana aritmetička sredina imaju osobinu agregiranja. Teorijski ni indeksi Laspeyres, ni indeksi Paasche nemaju osobinu tranzitivnosti. U praksi se, zbog činjenice da je ova osobina numerički skoro zadovoljena, pretpostavlja da i ovi indeksi zadovoljavaju osobinu tranzitivnosti da bi se pojednostavila njihova primjena.

Primjer 4.11.

Indeks troškova života 2000./1999. u Federaciji BiH je jednak:

014,1 00/99 =tži

Indeks troškova života 2001./2000. u Federaciji BiH je jednak:

021,101/00 =tži

Konstatujemo da je: 035,1021,1014,101/99 =⋅=tži Dakle, stopa inflacije u periodu od dvije godine je jednaka 3,5%

U statističkoj praksi se za određivanje indeksa cijena koristi najčešće Laspeyres indeks. Federalni zavod za statistiku BiH i Agencija za statistiku BiH koriste Laspeyres indeks za utvrđivanje cijena.


191

4.2.4.4. Fischerov indeks cijena

Fischerov indeks cijena je jednak geometrijskoj sredini Laspeyres i Paasche indeksa cijena:

0/10/10/1 ppp PLF ⋅= (4.37)

Ako uvrstimo Laspeyres i Paasche indeks cijena iz našeg primjera, dobijamo Ficherov indeks cijena.

15,12397,12233,12302/03

=⋅=pF

Na osnovu ovog indeksa konstatujemo povećanje cijena od 23,15%

4.2.4.5. Agregatni indeks vrijednosti i njegova dekompozicija

Agregatni indeks vrijednosti je definisan sljedećim izrazom:

1 / 0

1 1

0 0

100W

p qI

p q= ⋅∑∑

(4.38)

Agregatni indeks vrijednosti možemo dekomponovati na sljedeći način:

1 / 0

1 1 1 1 1 1 0 1

0 0 0 0 0 1 0 0W

p q p q p q p qXip q X p q p q p q

= = ⋅ = ⋅∑ ∑ ∑ ∑∑ ∑ ∑ ∑

1 / 0Wi = pp.lq(4.39)

1 / 0

1 1 1 1 1 1 1 0

0 0 0 0 1 0 0 0W

p q p q p q p qYip q Y p q p q p q

= = ⋅ = ⋅∑ ∑ ∑ ∑∑ ∑ ∑ ∑

1 / 0Wi = pq .lp (4.40)

Primjena na našem primjeru:

233,1120148

1201010124

00

100/1

==⋅+⋅==∑∑

qpqp

lq


192

230,15059

811106182

01

110/1

==⋅+⋅

==∑∑

qpqp

pq

1, 233 1,230 1,52W p qi l p= ⋅ = ⋅ =

Povećanje od 52 % vrijednosti potrošačke korpe je rezultat zajedničkog efekta povećanja cijena za 23,3% i povećanja kupljene količine za 23%.

1,23 1,233 1,52W p qi p l= ⋅ = ⋅ =

Povećanje od 52% vrijednosti potrošačke korpe je rezultat zajedničkog efekta povećanja cijena za 23% i povećanja kupljene količine za 23,3%.

4.2.4.6. Inflacija i deflator

Inflacija je ekonomska neravnoteža koja se manifestuje konstantnim povećanjem cijena. Porast cijena, koji je simptom inflacije, se mjeri pomoću indeksa troškova života koji računaju i objavljuju zvanične statističke institucije.

Indeks troškova života za 2001./2000. u Federaciji BiH je bio jednak 021,101/00 =tži .

To znači da je stopa rasta troškova života u periodu 2000.-2001. bila 2,1%.

Deflator je statistički indikator pomoću kojeg eliminišemo uticaj inflacije koja vještački povećava vrijednost proizvoda i usluga. Deflator nam omogućava da veličine izražene u tekućim cijenama izrazimo u stalnim cijenama. Na sljedećem primjeru ćemo ilustrovati primjenu deflatora.

Tabela 4.16. Prosječne godišnje neto plate u Federaciji BiH

1997. 1998. 1999. 2000. 2001. Prosječne godišnje neto plate u KM 266,33 329,12 374,54 412,72 443,26

Indeksi troškova života 106,8 99,3 101,4 102,1

Izvor: Statistički godišnjak Federacije BiH 2001, str. 267., Statistički godišnjak Federacije BiH 2002, str. 271.


193

Izračunaćemo nominalni i realni indeks plata za period 1997.-1998. i 2000.-2001. godina.

• U analizi plata kao deflator koristimo indeks troškova života. Prvo ćemo izračunati nominalni indeks plata za 98./97.

In plata 98/97=329,12/266,33=123,6.

Prema ovom indeksu, plate su se u periodu 97.-98. povećale za 23,6%.

• Da bismo izračunali realni indeks plata, nominalne indekse plata smo deflacionirali indeksom troškova života. Realni indeks plata 98./97. je jednak:

Ir plata 98/97= In / Itž =123,6/106,8=115,7.

Prema ovom indeksu plata, za isti period, konstatujemo da su se plate povećale za 15,7%.

Kao deflator se može koristiti i indeks cijena na malo koji računaju i objavljuju zvanične statističke institucije.

U opštem slučaju da bismo pokazatelje izražene u tekućim izrazili u stalnim cijenama koristimo odgovarajući deflator. Da bismo dobili stalne cijene, tekuće cijene je potrebno podijeliti sa deflatorom isc=itc /deflator.

U slučaju plata u našem primjeru koristili smo kao deflator indeks troškova života isc=itc/itž.

Da bismo izrazili realne indekse plata bilo je potrebno podijeliti nominalne indekse plata sa indeksima troškova života ir=in/itž.

4.3. VREMENSKE (HRONOLOŠKE) SERIJE

Polaznu osnovu za analizu pojava u vremenu čini vremenska serija. Vremenska serija je skup hronološki utvrđenih vrijednosti neke pojave. Zadaci analize vremenskih serija su:

• Opis razvoja pojave u vremenu • Objašnjenje varijacije pojave u vremenu • Predviđanje razvoja pojave.


194

4.3.1. Konstitutivni elementi vremenske serije

Konstitutivni elementi vremenske serije su: dugoročna tendencija ili trend, ciklične varijacije, sezonske promjene i slučajne ili rezidualne promjene.

• Tendencija ili trend

Trend izražava dugoročnu evoluciju ili osnovni tok kretanja pojave i izražava se funkcijama vremena. Trend predstavlja dugoročnu generalnu tendenciju rasta ili opadanja pojave koja se istražuje.

U ekonomiji dugoročna tendencija ima trajanje duže od 10 godina. Ova dugoročna tendencija potiče iz fenomena čiji se efekti manifestuju poslije dugo vremena (rađanje/struktura populacije prema godinama starosti, tehničke promjene/efikasnost osnovnih sredstava itd.). Primjer dugoročne tendencije rasta pokazuje cijene troškova života.

• Ciklične varijacije

Ciklične varijacije mogu biti različitog intenziteta i trajanja. Njihova periodičnost je od 2 do 10 godina. Uzrok ovih varijacija su uglavnom fluktuacije u tokovima (potrošnja, investicije itd.). Cikličnu komponentu koja predstavlja dugoročne varijacije oko trenda je često teško identifikovati tako da se može smatrati kao dio trenda.

• Sezonske varijacije

Sezonske varijacije pokazuju sezonski ili periodični uticaj na analiziranu pojavu. Sezonske promjene karakterišu oscilacije regularnog trajanja i intenziteta oko trenda. Periodičnost pojavljivanja sezonskih varijacija je manja ili jednaka godini. Sezonske varijacije se mogu lahko uočiti ukoliko kretanje pojave predstavimo grafički. Tipični primjeri ovog tipa varijacija su: potrošnja električne energije, proizvodnja poljoprivrednih proizvoda, broj noćenja u turizmu, dolazak novih osoba na tržište rada itd.

• Slučajne ili rezidualne promjene

Slučajne promjene ne možemo objasniti sa tri prethodno analizirane grupe promjena. Slučajne promjene su nepredvidljive i neregularne. Primjer: ratovi, štrajkovi, poplave, požari i druge netipične promjene.


195

Trend komponenta, ciklične i sezonske promjene se nazivaju sistematskim, determinističkim komponentama jer predstavljaju kovarijacije pojave koje se mogu izraziti funkcijom vremena. Slučajna komponenta je nesiste-matska. Ona ukazuje na postojanje neregularnih promjena.

Vremenska serija ne mora uvijek sadržavati sve navedene komponente. Osnovni zadatak u analizi vremenskih serija je identificiranje, izolovanje i eliminisanje uticaja cikličnih, sezonskih i slučajnih promjena da bi se mogla odrediti dugoročna tendencija posmatrane pojave.

Za određivanje dugoročnih tendencija (trenda) promjene pojava predstavljenih vremenskim serijama najčešće koristimo empirijski metod pokretnih sredina i analitički metod najmanjih kvadrata.

4.3.2. Metod pokretnih sredina za određivanje trenda

Pokretne sredine reda p (p<T) serije xt, t =1,….,T se definišu kao sukscesivne sredine računate za p sukcesivnih datuma. Pošto se vrijednosti svaki put pomjeraju za rang udesno na vremenskoj osi nazivaju se pokretnim sredinama.

Pokretne sredine se izračunavaju prema sljedećoj formuli u slučaju kada je red pokretne sredine p neparan broj p = 2m+1:

∑+

−=+=

m

mkktp x

ptPS 1)( (4.41)

ili u razvijenom obliku:

1 1... ...( ) t m t t t t m

pX X X X X

PS tp

− − + ++ + + + + += (4.42)

Broj izračunatih pokretnih sredina je manji od broja originalnih podataka u seriji. Kada je red pokretnih sredina p neparan broj može se izračunati (T-p+1) pokretnih sredina. Pokretne sredine neparnog reda su jednostavne i simetrične.

Kada je red pokretnih sredina p paran broj, p=2m, pokretne sredine se računaju korištenjem sljedeće relacije:


196

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ ++== ∑−

+−=

++

−1

1 221)(

m

mk

mtkt

mttp

xx

xp

ytPS (4.43)

Pokretna sredina parnog reda je ponderisana sredina vrijednosti serije za datume (t-1) i (t+1) sa koeficijentima ponderacije jednakim 1/2p za dvije ekstremne vrijednosti xt-m i xt+m i jednakim 1/p za (p-2) intermedijarne vrijednosti xt-m+1 do xt+m-1 da bismo odredili datum t. Ova pokretna sredina sadrži (p+1) elemenata za njeno izračunavanje. Može se izračunati (T-p) pokretnih sredina parnog reda.

Metod pokretnih sredina i njegovu primjenu ćemo ilustrovati na sljedećim primjerima.

4.3.2.1. Određivanje tendencije metodom pokretnih sredina neparnog reda

Određivanje tendencije metodom pokretnih sredina neparnog reda ćemo ilustrovati na sljedećem primjeru:

Tabela 4.17. Bruto podaci i izračunate pokretne sredine trećeg reda

N° Datum Bruto podaci PS3 1 2005-1 80 2 2005-2 100 100,00 3 2005-3 120 101,33 4 2005-4 84 103,00 5 2005-5 105 108,33 6 2005-6 136 110,33 7 2005-7 90 112,00 8 2005-8 110 119,33 9 2005-9 158 120,00

10 2005-10 92 121,67 11 2005-11 115 115,67 12 2005-12 140

Na osnovu podataka prezentiranih u tabeli 4.17. predstavili smo na sljedećem dijagramu promjenu posmatrane pojave u vremenu. Dijagram nam pomaže da uočimo da li su prisutne sezonske promjene i koji je red njihove periodičnosti.


197

0

20

40

60

80

100

120

140

160

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

80100

120

84

105

136

90

110

145

92

115

140

Vremenska serija bruto podatakaGrafikon 4.18.

Niv

o po

jave

0N

Na osnovu grafičkog prikaza možemo konstatovati da su prisutne sezonske varijacije i da je red njihove periodičnosti 3.

Na osnovu podataka datih u tabeli 4.17. računamo pokretne sredine trećeg reda.

3)2(3 321 xxx

tPS++

== 1003

12010080 =++=

3)3(3 432 xxx

tPS++

== 3,1013

84120100 =++=

3)4(3 543 xxx

tPS++

== 1033

10584120 =++=

3)5(3 654 xxx

tPS++

== 33,1083

13610584 =++=

Ostale izračunate vrijednosti pokretnih sredina trećeg reda predstavili smo u tabeli 4.17. Dobijene podatke o pokretnim sredinama ćemo prikazati na grafikonu 4.19. na kojem su već predstavljeni bruto podaci. Metoda pokretnih sredina nam je omogućila da odredimo dugoročnu tendenciju ove pojave, koju nije bilo moguće uočiti na osnovu bruto podataka. Metodom pokretnih sredina eliminisali smo sezonski karakter pojava i možemo konstatovati da je ova pojava imala rastući karakter.

Pokretne sredine računate u ovom slučaju su bile neparnog reda pa se problem datuma nije postavljao. Npr. vrijednost na ordinati pokretne sredine reda 3 PS3 (t=2) je računata na osnovu bruto podataka u datumima


198

1, 2 i 3 i prirodno je da joj dodijelimo datum medijane t=2. Nismo mogli izračunati pokretnu sredinu za prvi i posljednji mjesec zato što nismo imali za prvi prethodni, a za 12. podatak koji slijedi.

020406080

100120140160180

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

kretanje pojave pokretne sredine trećeg reda

Vremenska serija i pokretne serije trećeg redaGrafikon 4.19.

Na osnovu grafičke prezentacije krive, koju smo dobili spajajući izračunate pokretne sredine trećeg reda, možemo konstatovati da je ove pojava u posmatranom periodu imala dugoročnu tendenciju rasta. Izračunavanjem pokretnih sredina mi smo eliminisali uticaj sezonskih varijacija na posmatranu pojavu.

4.3.2.2. Određivanje tendencije metodom pokretnih sredina parnog reda

Primjenu metoda pokretnih sredina četvrtog reda ćemo ilustrovati na primjeru pojave čiji su bruto podaci predstavljeni u tabeli 4.18.

Tabela 4.18. Metoda pokretnih sredina četvrtog reda

R.broj Datum Bruto podaci PS4 1 2000-T1 2350 2 T2 2495 3 T3 2159 2772,4 4 T4 4263 2688,5 5 2001-T1 1995 2657,8 6 T2 2179 2689,0 7 T3 2229 2743,3


199

Tabela 4.18. nastavak

8 T4 4443 2823,3 9 2002-T1 2249 2885,6

10 T2 2565 2931,1 11 T3 2342 2974,0 12 T4 4694 2993,8 13 2003-T1 2341 2986,5 14 T2 2631 2972,0 15 T3 2218 2947,3 16 T4 4702 2900,0 17 2004-T1 2135 2918,0 18 T2 2459 2963,5 19 T3 2534 2976,4 20 T4 4750 2989,6 21 2005-T1 2190 3015,4 22 T2 2510 3038,9 23 T3 2689 24 T4 4783

Bruto podatke smo predstavili na sljedećem grafikonu.

T1 T2 T3 T4

2000

T1 T2 T3 T4

2001

T1 T2 T3 T4

2002

T1 T2 T3 T4

2003

T1 T2 T3 T4

2004

T1 T2 T3 T4

2005

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

Vremenska serija bruto podatakaGrafikon 4.20.

Nivo pojave

Trimestar

Na osnovu dijagrama možemo konstatovati prisustvo sezonskih varijacija čija je periodičnost ili sezonalitet četvrtog reda.


200

Za izračunavanje pokretne sredine parnog reda, npr. reda četiri, logički bi trebalo toj sredini pridružiti datum medijane. Naprimjer, u slučaju da

računamo sredinu sa četiri sljedeće vrijednosti 4

?)(4 4321 xxxxtPS

+++==

logički bi joj trebalo pridružiti datum medijane 2,5. Međutim, ovaj datum ne postoji u datoj seriji.

Sljedećoj sredini računatoj na osnovu 4 vrijednosti

4?)(4 5432 xxxx

tPS+++

== bi trebalo logički pridružiti datum medijane

koji je ovdje 3,5. Ali ni ovaj datum ne postoji u datoj seriji.

Da bi se riješio problem datuma potrebno je izračunati aritmetičku sredinu na osnovu dvije već izračunate sredine i njoj dodijeliti datum 3 (datum medijane od 2,5 i 3,5).

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +++

++++

==442

1)3(4 54324321 xxxxxxxxtPS

54321 81)(

82

81)3(4 xxxxxtPS ++++==

Za izračunavanje pokretne sredine reda 4 se koristi pet vrijednosti koje imaju različite pondere. Svaka od 3 centralne vrijednosti ima ponder dva puta veći od pondera za dvije ekstremne vrijednosti. U svim slučajevima zbir pondera je jednak 1. Pokretne sredine parnog reda su simetrične ponderisane sredine.

Izračunavanje pokretnih sredina parnog reda na osnovu bruto podataka iz tabele 4.18.

Za prva tri perioda vršimo na sljedeći način:

54321 81)(

82

81)3(4 xxxxxtPS ++++==

4,2772199581)426321592495(

822350

81)3(4 =++++==tPS

65432 81)(

82

81)4(4 xxxxxtPS ++++==


201

5,2688217981)199542632159(

822495

81)4(4 =++++==tPS

3 4 5 6 71 2 14( 5) ( )8 8 8

PS t x x x x x= = + + + +

1 2 14( 5) 2159 (4263 1995 2179) 2229 2657,88 8 8

PS t = = + + + + =

Izračunate vrijednosti za pokretne sredine četvrtog reda za ostale datume su predstavljene u tabeli 4.18.

bruto podaci pokretne sredine četvrtog reda

T1 T2 T3 T4

2000

T1 T2 T3 T4

2001

T1 T2 T3 T4

2002

T1 T2 T3 T4

2003

T1 T2 T3 T4

2004

T1 T2 T3 T42005

0

1000

2000

3000

4000

5000

Vremenska serija i pokretne sredine četvrtog redaGrafikon 4.21.

Nivo pojave

Trimestar

Kompletiranjem grafikona bruto podataka sa grafičkim prikazom koji smo dobili na osnovu podataka o izračunatim pokretnim sredinama četvrtog reda konstatujemo trend blagog porasta pojave u posmatranom periodu. Ovaj zaključak nismo mogli donijeti na osnovu bruto podataka. Serija izračunatih pokretnih sredina ne sadrži sezonske varijacije.

Za jednostavnije razumijevanje pokretnih sredina parnog reda napisat ćemo u razvijenom obliku izraze za izračunavanje pokretne sredine šestog reda za period t = 4 i 12 reda za period t = 7.

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +++++

++++++

==662

1)4(6 765432654321 xxxxxxxxxxxxtPS

7654321 121)(

122

121)4(6 xxxxxxxtPS ++++++==


202

Pokretnu sredinu reda 6 ne možemo izračunati za tri prva i tri posljednja podatka u seriji.

Pokretnu sredinu reda 12, računamo na sljedeći način za period t=7:

1312321 241).....(

242

241)7(12 xxxxxtPS +++++==∗

a za ostale periode po analogiji primjenjujući opštu formulu. Ne možemo računati pokretnu sredinu PS12 za 6 prvih i 6 posljednjih datuma.

Primjenom metode pokretnih sredina moguće je korigovati bruto podatke eliminišući sezonske varijacije. Na taj način dobijamo podatke korigovane na osnovu sezonskih varijacija koji nam omogućuju da procijenimo tendenciju kretanja posmatrane pojave.

4.3.3. Aditivni model

Označimo sa X bruto podatke u vremenskoj seriji, sa T trend, S periodične varijacije, C ciklične varijacije i E slučajne varijacije.

Ukoliko je periodičnost konstanta u odnosu na trend, odabire se aditivni model koji možemo napisati u sljedećem obliku:

X=T+C+S+E (4.44)

U ovom modelu komponente djeluju nezavisno i zbog toga se uticaji pojedinih komponenti vremenske serije sabiraju.

Primjer i podaci predstavljeni u tabeli 4.17. odgovaraju aditivnom modelu. Grafički prikaz ovog primjera u kojem smo analizirali dugoročnu tendenciju primjenom pokretnih sredina trećeg reda je predstavljen na grafikonu 4.19. Grafički prikaz tog slučaja je primjer aditivnog modela.

4.3.4. Multiplikativni model

Multiplikativni model se predstavlja u sljedećem obliku:

ECSTX ⋅⋅⋅= (4.45)

U ovom modelu uticaji se množe. Ovaj model se primjenjuje ukoliko su varijacije vremenske serije proporcionalne trendu, odnosno rastu ili opadaju sa trendom.


203

4.3.5. Metod najmanjih kvadrata za određivanje dugoročne tendencije (trenda)

Pokazali smo da se vremenska serija može raščlaniti na nekoliko sastavnih komponenti koje karakterišu različite promjene. Pošto promjene mogu imati različit karakter i tendencija pojave može imati različite oblike.

Da bismo donijeli odluku o obliku trenda, pojavu možemo prikazati pomoću dijagrama rasipanja podataka vremenske serije.

Određivanje modela koji će izražavati razvojnu tendenciju kretanja date pojave podrazumijeva pronalaženje matematičke funkcije koja se najbolje prilagođava vrijednostima vremenske serije koju analiziramo.

Zavisno od tendencija kretanja pojave određuje se oblik trenda čija se reprezentativnost mjeri pomoću standardne greške trenda.

Najčešći oblici matematičkih funkcija koji se koriste su linearni, krivolinijski, eksponencijalni itd.

Oblike trenda koje možemo odabrati u Excelu prikazujemo na sljedećoj slici:


204

4.3.5.1. Linearni trend

Ako se analizirana pojava mijenja za približno isti apsolutni iznos u vremenskim jedinicama opšti oblik funkcije kojim možemo predstaviti to kretanje ima sljedeći oblik:

Y=a+bX (4.46)

gdje X predstavlja nezavisno promjenljivu vrijeme, Y je zavisno promje-nljiva koja predstavlja vrijednost trenda, a i b su parametri koje treba ocijeniti.

Parametar a predstavlja konstantni član, dakle vrijednost trenda za razdoblje koje prethodi prvom. Parametar b pokazuje za koliko se promijeni vrijednost trenda y ako se varijabla vrijeme x poveća za jedinicu.

Jednačinu î iy a bx= + ocjenjujemo metodom najmanjih kvadrata koju smo detaljno analizirali u poglavlju Regresiona analiza. Primjenom metode najmanjih kvadrata kompletiramo sistem normalnih jednačina:

∑∑∑

∑∑

===

==

+=

+=

n

ii

n

ii

n

iii

n

ii

n

ii

xbxayx

xbnay

1

2

11

11 (4.47)

Njihovim rješavanjem dobijamo izraze za ocjenu parametara a i b:

xbya −=

∑

∑

∑ ∑

∑ ∑∑

=

=

= =

= ==

−

⋅⋅−=

−

−= n

ii

n

iii

n

i

n

iii

n

i

n

ii

n

iiii

xnx

yxnyx

xxn

yxyxnb

1

22

1

1 1

22

1 11

)( (4.48)

Postupak ocjene parametara možemo pojednostaviti centriranjem varijable X11. Varijabla se centrira tako da se izrazi odstupanjima od aritmetičke

11 Mi ćemo objasniti pojednostavljeni postupak, ali preporučujemo korištenje Excela,

SPSS, RATS - Regression Analysis for Time Series) ili drugih statističkih programa za ocjenu navedenih parametara.


205

sredine. Pošto je zbir tih odstupanja jednak nuli izrazi za računanje parametara se pojednostavljuju. Varijabla se transformira na sljedeći način:

, cijelog broja2

2( ), cijeli broj2

i

i

i

nx xx

nx x

⎧ − ≠⎪⎪= ⎨⎪ − =⎪⎩

(4.49)

∑∑= 2

*

i

ii

xyx

b (4.50)

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−=

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

≠=

21

broj cijeli 2

,2b

broja cijelog 2

,

*

*

nbya

n

nbb

(4.51)

Pošto X predstavlja vremenske jedinice možemo ih zamijeniti rednim brojevima tako da njihov zbir bude jednak nuli. Središnja vremenska jedinica kod serije sa neparnim podacima se označi sa nulom (0). Prethodne vremenske jedinice se označe sa negativnim, a naredne sa pozitivnim rednim brojevima.

Kod serija sa parnim brojem podataka dvije središnje vremenske jedinice se označe sa –0,5 i +0,5. Prethodne vremenske jedinice se označe za jedinicu manjim, a naredne za jedinicu većim brojem. Tako postižemo da je zbir rednih brojeva koji predstavljaju vremenske jedinice jednak nuli i njihova aritmetička sredina je jednaka nuli.

Pojednostavljene formule za ocjenu parametara su jednake sljedećim izrazima:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−=

=∑∑

21

2

nbya

xyx

bi

ii

(4.52)

Za utvrđivanje reprezentativnosti trenda koristimo standardnu devijaciju trenda koja je jednaka sljedećem izrazu:


206

( )n

yy iiy

∑ −=

2

ˆ

ˆσ (4.53)

Standardna greška trenda pokazuje prosječno odstupanje empirijskih vrijednosti serije od procijenjenih trend vrijednosti.

Možemo definisati i relativnu grešku trenda koja je izražena koeficijentom varijacije trenda i koristi se za poređenje serija izraženih u različitim jedinicama mjere:

100ˆˆ

⋅=y

k yV y

σ (4.54)

Primjer 4.12.

Na osnovu serije podataka iz tabele 4.16. za koju smo konstatovali prisustvo sezonskih varijacija trećeg reda, u Excelu smo ocijenili sljedeći linearni trend.

mjeseci

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

vrije

dnos

t y

Linearni trendGrafikon 4.22.

2

ˆ 3,2797 89,5150,2395

y xR

= +=

Primjer 4.13.

Na primjeru podataka iz tabele 4.17., u kojoj smo konstatovali sezonske varijacije četvrtog reda, u Excelu smo dobili sljedeći grafički prikaz linearnog trenda.


207

trimestri

vrije

dnos

t y

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 240

1000

2000

3000

4000

5000

6000

Linearni trendGrafikon 4.23.

2

ˆ 31,787 2515,40,0489

y xR

= +=

Vrijednost koeficijenta determinacije je vrlo niska i ova ocjena linearnog trenda nije prihvatljiva.

4.3.5.2. Parabolični trend

Ako kretanje pojave u posmatranom periodu pokazuje tendenciju krivolinijskog rasporeda koristimo parabolični trend. Jednačina paraboličnog trenda je data sljedećim izrazom:

2î i iy a bx cx= + + i=1,2,…..,n (4.55)

Parametre a, b i c ocjenjujemo metodom najmanjih kvadrata na osnovu kojeg dobijamo sistem normalnih jednačina:

iiiii

iiiii

iii

yxxcxbxa

yxxcxbxa

yxcxbna

∑∑∑∑

∑∑∑∑∑∑ ∑

=++

=++

=++

2432

32

2

(4.56)

na osnovu kojeg izračunavamo vrijednost parametara a, b i c.

Ako koristimo transformisane vrijednosti varijable X dobijamo: 2

2i i

i i i

na c x y

b x x y

+ =

=

∑ ∑∑ ∑


208

2 4 2i i i ia x c x x y+ =∑ ∑ ∑ (4.57)

224

22

2

2

)(∑∑∑∑∑

∑∑

∑

−−

=

=

−=

ii

iiii

i

ii

i

xxnxyyxn

c

x

yxb

xncya

(4.58)

4.3.5.3. Eksponencijalni trend

Eksponencijalni trend primjenjujemo u slučaju kada kretanje pojave u sukcesivnim vremenskim intervalima pokazuje istu relativnu promjenu odnosno kada se osnovna tendencija manifestuje kao eksponencijalna kovarijansa sa vremenom.

Jednačina eksponencijalnog trenda je data sljedećim izrazom: ix

i aby =ˆ (4.59)

Model lineariziramo logaritamskom transformacijom: bxay ii logloglog += (4.60)

Sistem normalnih jednačina ima sljedeći oblik:

iiii

ii

yxxbxa

yxban

logloglog

logloglog2 ∑∑∑∑∑

=+

=+ (4.61)

na osnovu kojeg određujemo parametre a i b.

Ako centriramo varijablu X, odnosno odredimo periode tako da Σxi bude jednako nula, kao što smo ilustrovali na primjeru linearnog trenda, možemo računati parametre a i b korištenjem sljedećih pojednostavljenih izraza:

∑∑

∑

=

=

2

loglog

loglog

i

ii

i

xyx

b

ny

a (4.62)


209


1. U kojim slučajevima govorimo o mjerenju evolucije neke veličine? 2. Definišite apsolutnu promjenu. 3. Definišite relativnu promjenu. 4. Da li apsolutna promjena može biti negativna? 5. Koji su sinonimi za relativnu promjenu? Da li relativna promjena

posjeduje osobine računanja? 6. Definišite stopu promjene. 7. Pomoću kojih parametara možete mjeriti evoluciju neke veličine? 8. Koju podjelu indeksa poznajete? 9. Definišite indeks na bazi 1 i indeks na bazi 100 i komentarišite vezu

između ova dva indeksa. 10. Nabrojite osobine individualnih indeksa. 11. Definišite i ilustrujte na jednom primjeru osobinu tranzitivnosti. 12. Definišite i ilustrujte na jednom primjeru osobinu recipročnosti. 13. Definišite indekse sa stalnom bazom. 14. Definišite lančane indekse. 15. Koje indekse možemo nazvati indeksima razvoja? 16. Da li indekse možemo grafički predstavljati? 17. U kojim jedinicama mjere su izraženi indeksi? 18. Koja je veza između stope promjene i indeksa? 19. Napišite vezu između indeksa na bazi 1 i stope promjene. 20. Napišite vezu između indeksa na bazi 100 i stope promjene. 21. Kako izračunavamo prosječni godišnji indeks? 22. Kako izračunavamo prosječnu godišnju stopu rasta? 23. Koje su prednosti indeksa u odnosu na stopu promjene? 24. Koju sredinu koristimo za izračunavanju prosječne godišnje stope

promjene? 25. Koji izraz i koju osobinu koristimo za promjenu baznog datuma ? 26. Koje metode koristimo za konstrukciju agregatnih indeksa? 27. Koje agregatne indekse poznajete? 28. Definišite indeks koji se konstruiše agregiranjem na osnovu baznog

perioda.


210

29. U odnosu na koji period vršite agregiranje da biste konstruisali Paasche indeks cijena?

30. Napišite formule za izračunavanje Laspeyres i Paasche indeksa cijena i količina.

31. Definišite Fischerov indeks. 32. Definišite indeks vrijednosti. 33. Kompletirajte i objasnite dekompoziciju indeksa vrijednosti. 34. Definišite realni budžetski koeficijent. 35. Definišite fiktivni budžetski koeficijent. 36. Definišite i napišite formule za sintetičke indekse cijena i količina

konstruisane na osnovu ponderisanih sredina. 37. Definišite pokretnu sredinu neparnog reda. 38. Definišite pokretnu sredinu parnog reda. 39. Koje su osnovne komponente vremenske serije? 40. Zašto i kada primjenjujemo metod pokretnih sredina? 41. Pomoću kojih metoda možemo odrediti tendenciju ili trend?


Zadatak 1

Evolucija poslovnih rezultata firme Nestle, prema aktivnostima u 2000./2001. godini:

2000. 2001. Čokolada ? 328 Piće 340 347 Mliječni proizvodi 613 677 Gotova jela 893 1045 Sladoled ? 145 Ostali proizvodi 1479 1715 Ukupno 3762 4257

Kompletirajte tabelu na osnovu sljedećih podataka i odgovorite na pitanja:


211

1. U 2000. godini apsolutno odstupanje između poslovnog rezultat Mliječnih proizvoda i Sladoleda je bilo 474 miliona eura. Koji je poslovni rezultat aktivnosti Sladoled u 2000. godini?

2. Poslovni rezultat aktivnosti Čokolada je manji za 12,4% od poslovnog rezultata Piće u 2000. godini. Koji je poslovni rezultat aktivnosti Čokolada za ovu godinu? Zaokružite na cijeli broj dobiveni rezultat.

3. a) Izračunajte proporciju aktivnosti Piće u 2000. i 2001. godini. b) Izračunajte stopu varijacije aktivnosti Piće između 2000. i 2001.

godine. c) Komentarišite rezultate a) i b). 4. Izračunajte relativno odstupanje između Aktivnosti Gotova jela i

Mliječni proizvodi u 2000. godini. Isto pitanje za 2001. godinu. Analizirajući tabelu uočavate da su se poslovni rezultati Gotova jela i

Mliječni proizvodi uvećali između 2000. i 2001. Da li bez dodatnih računanja možete objasniti evoluciju poslovnih rezultata na osnovu relativnih odstupanja koje ste izračunali?

Elementi rješenja:

1. AO u 2000.: (PRMP-PRS)=474 miliona eura⇒ (613- PRS)=474⇒ PRS =139 miliona eura.

2. PR Č2000=87.6% od PRPiće 2000⇒ PR Č2000=0.876•340=297.84 miliona eura.

Zaokružujemo rezultat na 298 miliona eura.

3. a) Proporcija Piće 2000= PRPiće 2000 /PR Ukupno 2000=340/3762=0.0904

⇒9.04%

Proporcija Piće 2001= PRPiće 2001 /PR Ukupno 2001==347/4257=0.0815⇒8.15%

b) Stopa promjene:

2001 20002001

2000 2000

347 340 0.0206 2.06%340

PR PRPR

PR− −= = = ⇒


212

c. U 2001. godini, iako je poslovni rezultat (PR) aktivnosti Piće uvećan za 2.06% u odnosu na 2000. g., njegova proporcija u ukupnom PR se smanjila sa 9.04% u 2000. na 8,15% u 2001. Ove dvije informacije su komplementarne.

4. Relativno odstupanje između Gotova jela i Mliječni proizvodi u 2000:

GJ2000 MP20002000

MP2000

893 613 0.4568 45.68%613

PR PRRO

PR− −= = = ⇒

Relativno odstupanje između Gotova jela i Mliječni proizvodi u 2001.:

GJ2001 MP20012001

MP2001

1045 677 0.5436 54.36%677

PR PRRO

PR− −= = = ⇒

Relativno odstupanje PR između aktivnosti Gotova jela i aktivnosti Mliječni proizvodi je veće u 2001. nego u 2000. U 2000. PR aktivnosti Gotova jela je bio za 45.68% veći od PR aktivnosti Mliječni proizvodi.U 2001. PR aktivnosti Gotova jela je za 54.36% veći od PR aktivnosti Mliječni proizvodi.

Možemo konstatovati da je PR aktivnosti Gotova jela više uvećan od PR aktivnosti Mliječni proizvodi u 2001.

Zadatak 2

Diplomirani studenti u Federaciji BiH:

1996. 1997. 1998. 1999. 2000. 2001. Ukupno 2046 2700 2461 2364 2820 3442 Redovni studenti 1492 1793 1584 1614 1923 2240 Vanredni studenti 554 907 877 750 897 1202 Ekonomski fakultet 205 258 581 484 532 665 Redovni studenti 130 173 301 295 365 466 Vanredni studenti 75 85 280 189 167 199

Izvor: Statistički godišnjak Federacije BiH, 2002., Sarajevo, strane 326 i 329.

1. Analizirati datu tabelu (populacija, elementi populacije, period, kolona –analiza strukture, vrsta - analiza evolucije posmatranih struktura analizirane populacije).


213

2. Odrediti proporciju studenata Ekonomskog fakulteta u Sarajevu u ukupnom broju studenata.

3. Izrazite u procentima strukturu ukupnog broja studenata (redovni i vanredni).

4. Izrazite u procentima strukturu studenata Ekonomskog fakulteta u Sarajevu.

5. Odredite apsolutne promjene broja ukupnih studenata i broja studenata Ekonomskog fakulteta u Sarajevu i komentarišite dobijene rezultate.

6. Odredite relativne promjene broja ukupnih studenata i broja studenata Ekonomskog fakulteta i komentarišite dobijene rezultate.

7. Uporedite rezultate dobijene u pitanjima e) i f). 8. Izračunajte bazne indekse baza 100 u 1996. godini za ukupan broj

studenata i za studente Ekonomskog fakulteta i objasnite dobijene rezultate.

9. Predstavite grafički izračunate bazne indekse. 10. Izračunajte lančane indekse za ukupan broj studenata i za studente

Ekonomskog fakulteta i komentarišite dobijene rezultate. 11. Izračunajte stope promjene broja ukupnih i broja studenata

Ekonomskog fakulteta. 12. Izračunajte prosječnu godišnju stopu promjene broja ukupnih studenata

i broja studenata Ekonomskog fakulteta: 1) polazeći od izračunatih lančanih indeksa i 2) korištenjem podataka iz polazne tabele.

13. Koristeći podatke iz polazne tabele izračunajte prosječne godišnje stope rasta ukupnog broja redovnih i vanrednih studenata kao i prosječne godišnje stope rasta redovnih i vanrednih studenata Ekonomskog fakulteta.

14. Komentarišite dobijene rezultate.

Elementi rješenja:

2. Proporcija studenata ekonomskih fakulteta

1996. 1997. 1998. 1999. 2000. 2001. Ekonomski fakultet 205 258 581 484 532 665 Ukupno 2046 2700 2461 2364 2820 3442 Ekonomski fak. % 10,0% 9,6% 23,6% 20,5% 18,9% 19,3%


214

3. Struktura ukupnog broja diplomiranih studenata

1996. 1997. 1998. 1999. 2000. 2001. Redovni studenti 72,9% 66,4% 64,4% 68,3% 68,2% 65,1% Vanredni studenti 27,1% 33,6% 35,6% 31,7% 31,8% 34,9% Ukupno 100,0% 100,0% 100,0% 100,0% 100,0% 100,0%

4. Struktura diplomiranih studenata Ekonomskog fakulteta:

1996. 1997. 1998. 1999. 2000. 2001. Redovni studenti 63,4% 67,1% 51,8% 61,0% 68,6% 70,1% Vanredni studenti 36,6% 32,9% 48,2% 39,0% 31,4% 29,9% Ukupno Ekon.f. 100,0% 100,0% 100,0% 100,0% 100,0% 100,0%

5. Apsolutne promjene:

1997-96 1998-97 1999-98 2000-99 2001-00 Ukupno 654 -239 -97 456 622 Ekonomski fakultet 53 323 -97 48 133

6. Relativne promjene

(97-96)/96 (98-97)/97 (99-98)/98 (00-99)/99 (01-00)/00 Ukupno 31,96 -8,85 -3,94 19,29 22,06 Ekonomski fak. 25,85 125,19 -16,70 9,92 25,00

Rješenje za pitanja 8, 9 i 10.

1996. 1997. 1998. 1999. 2000. 2001. Ukupno 2046 2700 2461 2364 2820 3442 Baza 96 100 132,0 120,3 115,5 137,8 168,2 Lančani 132,0 91,1 96,1 119,3 122,1


215

100125,9

283,4236,1

259,5324,4

0

50

100

150

200

250

300

350

1996 1997 1998 1999 2000 2001

Bazni indeksi broja diplomiranih studenata Ekonomskog fakulteta baza 100 u 1996. g.

Grafikon 4.24.

1996. 1997. 1998. 1999. 2000. 2001.

Ekonomski fakultet 205 258 581 484 532 665 Baza 96 100 125,9 283,4 236,1 259,5 324,4 Lančani 125,9 225,2 83,3 109,9 125,0

100

132,0120,3 115,5

137,8 168,2

020406080

100120140160180

1996 1997 1998 1999 2000 2001

Bazni indeksi ukupnog broja diplomiranih studenatabaza 100 u 1996. godiniGrafik 4.25.


216

Zadatak 3

Dati su sljedeći podaci:

Godine 1996. 1997. 1998. 1999. 2000. Stopa rasta t/t-1 (u %) minimalnih plata 2.6 4.5 8.7 1.3 2.2 Indeks kupovne moći baza 100 u periodu (t-1)

100.6 103.3 107.9 100.8 100.5

1. Koja je relativna promjena kupovne moći u periodu 1995.-2000. g.? 2. Izračunajte prosječnu godišnju stopu promjene kupovne moći

između1995. i 2000. 3. Izračunajte prosječnu godišnju stopu rasta minimalnih plata u periodu

1995.-2000.

Elementi rješenja:

1. Relativna promjena kupovne moći između 1995. i 2000. je bila 13.6%.

i00/95 = i00/99·i99/98·i98/97·i97/96·i96/95=1.006·1.033·1.079·1.008·1.005=1.1359.

2. Prosječna godišnja stopa promjene kupovne moći između 1995. i 2000. g. je 2.6%.

iprosječni godišnji 00/95= 026.10258.11359.15 ≈=

Veza indeksa i stope: Stopa = indeks –1=1,026-1=0,026·100=2,6%.

3. Prosječna godišnja stopa rasta minimalnih plata u periodu 1995.-2000. god.:

i00/95 = i00/99·i99/98·i98/97·i97/96·i96/95=1.026·1.045·1.087·1.013·1.022=1.20657.

iprosječni godišnji 00/95= 038.1)20657.1(20657.1 515 ≈=

Prosječna godišnja stopa rasta r = 3,8%.


217

Zadatak 4

U sljedećoj tabeli su prezentovani podaci o stopi promjene troškova (u %) namijenjenih za istraživanje i razvoj u Francuskoj:

1995/1990 1997/1995 1999/1997

Stopa promjene u % 15,31 1,60 5,15

Izvor: INSEE, TEF 2001-2002, strana 177.

1. Izračunajte stopu varijacije u periodu 1999./1995. 2. Izračunajte stopu varijacije u periodu 1999./1990. 3. Komentarišite dobijene rezultate.

Elementi rješenja:

1. Potrebno je koristiti indekse na bazi 1 i pravilo tranzitivnosti:

i99/95=i99/97•i97/95=1.0515•1.016=1.068324

Stopa rasta u periodu 1999./1995. je bila 6,83%

2. i99/90=i99/97•i97/95• i95/90=1.0515•1.016•1,1531=1.23188

Stopa rasta u periodu 1999./1990. je bila 23,19%

Zadatak 5

Tabela: Evolucija značaja sektora državnih preduzeća u Francuskoj:

1994. 1995. 1996. 1997. 1998. 1999.

Broj preduzeća 2 716 2 636 2 506 2 510 1 785 1 540

Izvor: INSEE, TEF2001-2002, strana 143.

1. Izračunajte indekse baza 100 u 1994. i odredite stope promjene. 2. Izračunajte i objasnite lančane indekse. 3. Izračunajte prosječnu godišnju stopu promjene broja državnih

preduzeća u periodu 1999./1994.


218

Elementi rješenja:

1. Indeksi I94/94 I95/94 I96/94 I97/94 I98/94 I99/94

100 97,1 92,3 92,4 65,7 56,7 Stopa promjene (%) - -2,9 -7,7 -7,6 -34,3 -43,3

Broj državnih preduzeća se konstantno smanjuje. Osnovni razlog je privatizacija i zakon o privatizaciji iz jula 1993. od kada broj državnih preduzeća ne prestaje opadati.

2. Lančani indeksi

I95/94 I96/95 I97/96 I98/97 I99/98 Lančani indeksi baza 100 u (t-1) 97,1 95,1 100,2 71,1 86,3 Stopa promjene (%) -2,9 -4,9 0,2 -28,9 -13,7 Lančani indeks baza 1 u (t-1) 0.971 0.951 1.02 0.711 0.863

3. Prosječna godišnja stopa promjene u periodu 1999./1994. je –10,73. Možemo je računati na dva načina:

Na osnovu polaznih podataka o broju preduzeća:

( ) %73.101073.018927.01567.0

12716154011

51

515

1

94

995

94

9994/99

−⇒−=−=−=

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=−=

VV

VVr

Ili koristeći lančane indekse:

i99/94 = i99/98 · i98/97 · i97/96 · i96/95 · i95/94 = 0.5779.

iprosječni godišnji 99/94 = 0.57791/5=0.896.

Prosječna godišnja stopa promjene:

r 99/94 = i99/94–1=0.896-1= -0.104→ -10.4%

Razlika između stopa je rezultat zaokruživanja.


219

Zadatak 6

Posmatrajmo jednu veličinu čija je stopa rasta u toku tri uzastopne godine bila: 0,9% u prvoj, 0,9% u drugoj i 4% u trećoj godini.

Prosječna godišnja stopa rasta za tri godine je jednaka:

1. ( ) ( )[ ] 312 04,0009,0 ×

2. ( )04,0009,0231 +×

3. ( )[ ] 104,1009,1 312 −×

4. aritmetička sredina.

Elementi rješenja:

Tačan odgovor je 3.

Zadatak 7

Poznati su individualni indeksi cijena jednog proizvoda:

ip99/94=1,41

ip2001/94=1,62

Možete li odrediti evoluciju cijene ovog proizvoda između 1999. i 2001.?

Elementi rješenja:

Individualni indeksi su tranzitivni:

ip2001/94= ip2001/99· ip99/94, odakle

ip2001/99= ip2001/94/ ip99/94=1,62/1,41=1,15

Između 1999. i 2001. cijena se uvećala za 15%.


220

Zadatak 8

Preduzeće je uvećalo svoj poslovni rezultat na osnovu proizvoda P za 5% između juna 2002. i juna 2001. Indeks cijena ovog proizvoda (juni 2002/juni 2001) je jednak 108. Da li su se u toku ovog perioda prodate količine ovog proizvoda uvećale ili smanjile i za koliko?

Elementi rješenja:

Poslovni rezultat je jednak (p·q)

IPR·100 = Ip·Iq

Iq = (IPR·100)/Ip≈97,2

Prodane količine su se smanjile za 2,8%.

Zadatak 9 1. Prodaja jednog proizvoda se uvećala za 15% između 2000. i 2001.

godine i 10% između 2001. i 2002. godine. Koja je bila stopa povećanja prodaje između 2000. i 2002. godine?

2. Prodaje proizvoda su smanjene za 5% između 2000. i 2001. i zatim još 5% između 2001. i 2002. Koja je stopa opadanja prodaje između 2000. i 2002. godine?

Elementi rješenja:

Tranzitivnost:

i2002/2000=i2002/2001⋅i2001/2000=1,10⋅1,15=1,265 Povećanje 26,5%

i2002/2000=i2002/2001⋅i2001/2000=0,95⋅0,95=0,9025 Smanjenje 9,75%.

Zadatak 10

Lančani indeksi industrijske proizvodnje Federacije BiH su dati u sljedećoj tabeli:

96/95 97/96 98/97 99/98 2000/99 2001/2000

Indeksi 187,6 135,7 123,8 110,6 108,8 112,2

Izvor: Statistički godišnjak Federacije BiH,2002, str.113-115


221

1. Izračunajte bazne indekse uz pretpostavku da je baza 100 u 2000. godini.

2. Izračunajte bazne indekse uz pretpostavku da je baza 100 u 1998. godini 3. Uporedite i komentarišite rezultate 1. i 2.

Elementi rješenja:

1. 1995. 1996. 1997. 1998. 1999. 2000. 2001.

Indeksi 26,3 49,4 67,1 83,1 91,9 100 112,2

2. 1995. 1996. 1997. 1998. 1999. 2000. 2001.

Postupak 59,5/1,876 80,8/1,357 100/1,238 100 110,6 108,8·1,106 112,2⋅1,203 Indeksi 31,7 59,5 80,8 100 110,6 120,3 134,97≈135

Zadatak 11

U sljedećoj tabeli su date cijene, količine i individualni indeksi vrijednosti za dva proizvoda A i B za dva različita perioda: bazni period 0 i posmatrani period 1.

Tabela 1.

1. Odrediti individualne indekse cijena za A i B u baznom i posmatranom periodu.

2. Odrediti količinu proizvoda B u baznom i proizvoda A u posmatranom periodu.

3. Odrediti budžetske koeficijente za A i B u baznom periodu. 4. Izračunati Laspeyresov indeks cijena u periodu 1 ako je baza 100 u

baznom periodu 0 (koristite formulu na osnovu ponderisane aritmetičke sredine) i Paasche-ov indeks količina (koristite agregiranu formulu)

Period 0 Period 1 Proizvod Cijena Količina Cijena Količina

Indeks vrijednosti baza 100=period 0

A 10 29 12 111.72 B 14 16 17 121.42


222

5. Izračunati indeks globalne vrijednosti. Raščlanite ga i dajte kvantitativno objašnjenje stope rasta globalne potrošnje.

Elementi rješenja:

1. Ip1/0(A)= 20.1i 12010

12100100 (A)p1/0)(

0

)(1 =⇒=⋅=⋅ A

A

pp

Ip1/0(B)= 143.1i 28.11414

16100100 (B)p1/0)(

0

)(1 =⇒=⋅=⋅ B

B

pp 3

Između perioda 0 i perioda 1 cijena proizvoda A se uvećala za 20% i B za 14.3%.

2. Proizvod A:

( ) ( ) ( )1/ 0 1/ 0 1/ 0100A A A

W p qI i i= ⋅ ⋅

( )

( ) 1/ 01/ 0 ( )

1/ 0

111.72 93.11.2

AA W

q Ap

II

i= = =

⇒⋅= 100 )(0

)(1)(

0/1 A

AA

q qqI 27999.26

1001.9329

100

)(0

)(0/1)(

1 ≈=⋅=⋅

=AA

qA qIq

Proizvod B:

( )

( ) 1/ 01/ 0 ( )

1/ 0

121.42 106.251.1428

BB W

q Bp

II

i= = =

⇒⋅= 100 )(0

)(1)(

0/1 B

BB

q qqI 16

25.10617100100

)(0/1

)(1)(

0 =⋅=⋅= Bq

BB

Iqq

3. Budžetski koeficijent u periodu 0: ∑ ⋅

⋅=

j

jj

jjj

qpqp

)(0

)(0

)(0

)(0

0α

Ukupna vrijednost potrošačke korpe u periodu 0:


223

51416142910)(0

)(0

)(0

)(0

)(0

)(0 =⋅+⋅=⋅+⋅=⋅∑

=

BBAAB

Aj

jj qpqpqp

5642.0514

2910)(

0)(

0

)(0

)(0)(

0 =⋅=⋅

⋅=∑

j

jj

AAA

qpqpα

4358.0514

1614)(

0)(

0

)(0

)(0)(

0 =⋅=⋅

⋅=∑

j

jj

BBB

qpqpα

Konstatujemo da je: )(0

Aα + )(0

Bα =1

4. )(0/1

)(0

)(0/1

)(0

)(0/1

)(00/1

Bp

BAp

Ajp

j

jp IIIL ⋅+⋅=⋅=∑ ααα

0/1pL =0.5642 120+0.4358 114.3=117.51 dakle povećanje cijena od 17.5%.

67.989867.01001616291217162712100100 )(

0)(

1

)(1

)(1

0/1 =⋅=⋅+⋅⋅+⋅⋅=

⋅

⋅⋅=∑∑

j

jjj

jj

qqp

qpP , dakle smanjenje

količine za 1.33%.

5. Indeks vrijednosti je jednak

( ) ( )1 1

1/ 0 ( ) ( )0 0

12 27 16 17100 100 115.95 11610 29 14 16

j j

jW j j

j

p qI

p q

⋅⋅ + ⋅= ⋅ = ⋅ = ≈⋅ + ⋅⋅

∑∑

Dakle, povećanje vrijednosti za 16%.

Dekompozicija indeksa vrijednosti:

1/ 0wi =lp· pq=1.175·0.9867=1.159~1.16

Povećanje vrijednosti globalne potrošnje (potrošačke korpe) od 16% je rezultat povećanja cijena od 17.5% i smanjenja količina od 1.33%.


224

Zadatak 12

Data je sljedeća tabela:

2000. 2001. Proizvodi Cijene Količine Cijene Količine

A 9,00 27 9,25 37 B 4,90 31 5,20 40 C 3,65 40 5,00 28 D 8,10 15 7,70 30

1. Izračunati Laspeyresov i Paascheov indeks cijena i količina u 2001. u odnosu na 2000. za grupu od četiri posmatrana proizvoda.

2. Izračunati indeks vrijednosti, raščlaniti ga i objasniti. 3. Izračunati Fisherov indeks cijena i količina.

Elementi rješenja:

j PJ,00QJ,00 PJ,00QJ,01 PJ,01QJ01 PJ,01QJ,00 1 243,00 333,00 342,25 249,75 2 151,90 196,00 208,00 161,20 3 146,00 102,20 140,00 200,00 4 121,50 243,00 231,00 115,50

Ukupno 662,40 874,20 921,25 726,45

11010040,66245,7261004

10000

4

10001

00/01 ≈⋅=⋅=∑

∑

=

=

j

jj

j

jj

p

qp

qpL

13210040,66220,8741004

10000

4

10100

00/01 ≈⋅=⋅=∑

∑

=

=

j

jj

j

jj

q

qp

qpL

10510020,87425,9211004

10100

4

10101

00/01 ≈⋅=⋅=∑

∑

=

=

j

jj

j

jj

p

qp

qpP


225

12710045,72625,9211004

10001

4

10101

00/01 ≈⋅=⋅=∑

∑

=

=

j

jj

j

jj

q

qp

qpP

01/ 00

01 01

00 00

921,25 100 139,08662,40

j j

w j j

p qI

p q⋅

= = ⋅ ≈∑∑

01/ 00wI = pp · lq=1,05 ·1,32=1,386

01/ 00wI = pq · lp=1,27 ·1,10=1,397

47,10710511000/0100/0100/01 ≈⋅=⋅= ppp PLF

48,12912713200/0100/0100/01 ≈⋅=⋅= qqp PLF

Zadatak 13

Na osnovu sljedećih podataka izračunajte pokretne sredine reda 2, 3, 4 i 5 koje nedostaju u donjoj tabeli. Rezultate zaokružite na jednu decimalu.

t Y PS2 PS3 PS4 PS5 1 110 2 116 115,8 115,7 3 121 121,3 121,3 120,1 ? 4 127 127,3 127,3 124,6 124,7 5 134 133,8 ? 130,7 130,8 6 140 140,3 140,3 ? 137,3 7 147 ? 147,3 144,2 144,3 8 155 155,0 155,0 150,4 149,8 9 163 160,3 159,3 153,5 ?

10 160 157,0 ? 154,3 153,3 11 145 150,0 151,7 154,1 153,8 12 150 148,8 148,3 ? 151,3 13 150 ? 146,7 148,0 149,2 14 140 145,0 146,7 148,5 149,2 15 150 150,0 150,0 16 160


226

Elementi rješenja:

PS 2(t=7)=147,3; PS 2(t=13)=147,5; PS 3(t=5)=133,7; PS 3(t=10)=156;

PS 4(t=6)=137,2; PS 4(t=12)=151,3; PS 5(t=3)=121,6; PS 5(t=9)=151,7.

Zadatak 14

U sljedećoj tabeli dati su podaci o poslovnom rezultatima po trimestrima u hotelima A kategorije u poznatom turističkom ljetovalištu. Poslovni rezultati su izraženi u 000 eura. Date su i pokretne sredine četvrtog reda (PS4).

Datum PR u 000 PS4 2000-T1 54500 - 2000-T2 55400 - 2000-T3 55600 55175,0 2000-T4 55050 55250,0 2001-T1 54800 55325,0 2001-T2 55700 55412,5 2001-T3 55900 55525,0 2001-T4 55450 55646,3 2002-T1 55300 55767,5 2002-T2 56170 55888,8 2002-T3 56400 55985,0 2002-T4 55920 56048,8 2003-T1 55600 56075,0 2003-T2 56380 56035,0 2003-T3 56400 55951,3 2003-T4 55600 55860,0 2004-T1 55250 55787,5 2004-T2 56000 55768,8 2004-T3 56200 55793,8 2004-T4 55650 55847,5 2005-T1 55400 55913,8 2005-T2 56280 55977,5 2005-T3 56450 - 2005-T4 55910 -


227

1. Predstavite grafički seriju poslovnih rezultata. Komentarišite dati grafički prikaz i odredite periodičnost sezonske komponente.

2. Koji su nepovoljni trimestri sa stanovišta poslovnih rezultata i zašto? 3. Izračunajte stopu varijacije između T2/T1 za 2001. na osnovu

originalnih i desezoniranih podataka i komentarišite dobijene rezultate. 4. Izračunajte stopu varijacije između T4 2004. i T4 2000. na osnovu

originalnih podataka i na osnovu podataka PS4. Uporedite i komentarišite dobijene rezultate.

5. Provjerite primjenom odgovarajućih formula rezultate računa za PS4 za T3 2003. i za T4 2004. godine.

6. Predstavite na grafikonu pod 1) seriju izračunatih PS4. Da li vam se procjena tendencije ovom metodom čini zadovoljavajuća?

Elementi rješenja:

1.

54300

54800

55300

55800

56300

56800

2000

-T1

2000

-T2

2000

-T3

2000

-T4

2001

-T1

2001

-T2

2001

-T3

2001

-T4

2002

-T1

2002

-T2

2002

-T3

2002

-T4

2003

-T1

2003

-T2

2003

-T3

2003

-T4

2004

-T1

2004

-T2

2004

-T3

2004

-T4

2005

-T1

2005

-T2

2005

-T3

2005

-T4

Pokretne sredine četvrtog redaGrafikon 4.26.

posl

ovni

rezu

ltati

2. T1 i T4 .

3. Na osnovu polaznih podataka: iT2/T1 2001=55700/54800=1,0164. Stopa je 1,64%

Na osnovu korigovanih podataka: iT2/T1 2001=55412,5/55325=1,0016. Stopa 0,16%

4. Na osnovu polaznih podataka: iT42004/T4 2000=1,01899. Stopa je 1,9%.

Na osnovu korigovanih podataka: iT42004/T4 2000 =1,0108. Stopa je 1,08%.


228

5. 13 14 15 16 14 15 16 1714( 15)2 4 4

y y y y y y y yPS t

⎡ ⎤+ + + + + += = +⎢ ⎥

⎣ ⎦

( )13 14 15 16 171 2 14( 15)8 8 8

PS t y y y y y= = + + + +

( )1 24( 15) 55600 56380 56400 556008 81 55250 55951.25 55951.38

PS t = = + + + +

+ = ≈

18 19 20 21 19 20 21 2214( 20)2 4 4

y y y y y y y yPS t

⎡ ⎤+ + + + + += = +⎢ ⎥

⎣ ⎦=….= 55847,5

229

POGLAVLJE 5.

OSNOVI VJEROVATNOĆE I TEORIJSKE DISTRIBUCIJE

VJEROVATNOĆE

5.1. Uloga i značaj eksperimenta u statistici

Posmatranje cjelokupne pojave ili samo njenog dijela i eksperimenti su bitan faktor u naučnim istraživanjima. Posmatranja i eksperimente izvode stručnjaci i naučnici različitih struka i za tu svrhu upotrebljavaju odgovarajuću aparaturu. Statistička priroda tih ispitivanja je često kompleksna i to dovodi do sve veće potrebe za statističarima, kako pri planiranju istraživanja tako i pri obradi i analizi rezultata.

Statistička teorija, koja je u osnovi deduktivna, doprinosi racionalizaciji i kvalitetu induktivnog procesa posmatranja. Posmatranje se najčešće sastoji u ispitivanju dijela jedinica osnovnog skupa koji se naziva uzorak da bi se donio sud o osnovnom skupu ili populaciji, bilo da su oni konačni ili beskonačni.

Da li će neko posmatranje imati deduktivne atribute zavisi od toga da li se ispituje cjelokupna populacija ili samo jedan njen dio. Ako se posmatranje izvodi na osnovu samo jednog dijela populacije onda je ono induktivno. U


230

tom slučaju se na osnovu osobina iz uzorka primjenom odgovarajućih metoda, koje se baziraju na teoriji vjerovatnoće, donose zaključci o osobinama osnovnog skupa uz odabrani nivo pouzdanosti.

Statistička inferencija omogućuje izvođenje dvije vrste zaključaka o osnovnom skupu na osnovu uzorka.

• Prvi su ocjene nepoznate vrijednosti ili intervala povjerenja za posmatrana obilježja osnovnog skupa uz odgovarajući nivo pouzdanosti, odnosno uz odgovarajuću grešku ili rizik procjene. Ocjenama se kvantificira, odnosno ocjenjuje vrijednost nepoznatog parametra ili češće interval u kojem se nepoznati parametar osnovnog skupa nalazi uz odabranu grešku ocjene.

• Drugi pristup se primjenjuje u slučajevima kada na osnovu prethodnih eksperimenata ili iskustava mogu pretpostaviti vrijednosti obilježja osnovnog skupa. Da bi se provjerila ta pretpostavka, poredi se pretpostavljena vrijednost obilježja osnovnog skupa sa vrijednošću obilježja koja je izračunata na osnovu uzorka odabranog iz tog osnovnog skupa.

Oba analizirana pristupa se baziraju na istim teorijskim pretpostavkama. Uz odgovarajući nivo pouzdanosti, testiraju se pretpostavljene vrijednosti i prihvataju ili odbacuju kao moguća obilježja osnovnog skupa. Osnovno pitanje inferencijalne kao i deskriptivne statistike je: «Kako analizirati podatke da bismo dobili korisnu informaciju?»

Da bismo dobili informaciju o populaciji, inferencijalna statistika ima, u odnosu na deskriptivnu statistiku, jednu dodatnu etapu čiji je cilj da odredi, odnosno inferira, polazeći od posmatranih obilježja (karakteristika) na uzorku, vjerovatnu vrijednost tih obilježja za ukupnu istraživanu populaciju ili osnovni skup.

5.1.1. Slučajni eksperiment, skup mogućih rezultata eksperimenta i događaji

Slučajni ili statistički eksperiment je potpuno određeni postupak ili proces prikupljanja podataka koji se može modelirati u okviru teorije vjerovatnoće ako:

• može biti ponavljan u istim uslovima veliki broj puta, • rezultat eksperimenta nije unaprijed poznat,

Poglavlje 5. – Osnovi vjerovatnoće i teorijske distribucije vjerovatnoće

231

• se može definisati skup mogućih rezultata (ishoda) tog eksperimenta.

Skup mogućih rezultata esperimenta označavamo velikim grčkim slovom omega Ω. Modelizacija skupa mogućih rezultata eksperimenta ε se sastoji u slučajnom izvlačenju samo jednog elementa iz skupa Ω. Svaki rezultat eksperimenta se naziva elementarnim događajem i označava malim grčkim slovom omega ω. Skup elementarnih događaja može biti konačan ili beskonačan. Skup mogućih rezultata jednog eksperimenta izražavamo sljedećom relacijom:

nωωω ,...,, 21=Ω (5.1)

Skup mogućih rezultata bacanja homogene kocke je 6,5,4,3,2,1=Ω . Svaki od šest mogućih rezultata eksperimenta predstavlja jedan elementarni događaj. U slučaju bacanja kocke postoji šest elementarnih događaja. Ukoliko bismo željeli modelizirati događaj «dobiti neparan broj» on bi predstavljao podskup skupa Ω. Modelizaciju skupa mogućih rezultata bacanja homogene kocke i događaja «dobiti neparan broj» predstavljamo na sljedećim grafikonima.

A

skup mogućihrezultata eksperimenta realizacija događaja A

a) b)

Skup mogućih rezultata eksperimenta (a) i realizacija određenog događaja (b)Grafikon 5.1.

1ω

6ω5ω

4ω3ω

2ω

1ω5ω

3ω

6ω4ω

2ω

Ω Ω

Događaje označavamo velikim slovima abecede. Događaj A definišemo kao podskup skupa Ω, tj. Ω⊆A . Događaj koji je sastavljen od dva ili više elementarnih događaja koji imaju zajedničku osobinu je složeni događaj. U ovom slučaju događaj «dobiti neparan broj» bi bio sastavljen od tri elementarna događaja 1,3,5.,, 321 == ωωωA


232

5.1.1.1. Vrste događaja

Događaj može, kao što smo već definisali, biti elementaran i složen. Svaki rezultat eksperimenta se naziva elementarni događaj. Događaj sastavljen od više elementarnih događaja koji imaju zajedničku karakteristiku je složeni događaj. Pored navedenih, analiziraćemo i druge vrste događaja.

• Siguran događaj

Siguran događaj je događaj koji je realizovan prilikom svakog ponavljanja eksperimenta. Model sigurnog događaja treba ispuniti dva uslova. Siguran događaj treba predstavljati dio skupa mogućih rezultata i biti realizovan u svakom ponavljanju eksperimenta.

• Nemoguć događaj

Nemoguć događaj je događaj koji se nikada ne realizuje bez obzira na broj ponavljanja eksperimenta. Model nemogućeg događaja treba ispuniti dva uslova. Nemoguć događaj treba predstavljati dio skupa mogućih rezultata. Ovaj događaj se nikada ne realizuje bez obzira na broj ponavljanja eksperimenta. Model nemogućeg događaja je prazan skup.

• Unija i presjek događaja

Uniju događaja definišemo na sljedeći način: događaj (A ili B) je realizovan ako je realizovan događaj A ili događaj B, ili ako su realizovana oba događaja. Ukoliko su ispunjeni uslovi ove definicije, događaj C izražavamo kao uniju događaja A i B i formaliziramo sljedećim izrazom:

BAC ∪= (5.2)

Presjek događaja A i B je označava sa BA∩ . Događaj (A i B) je realizovan ako su A i B istovremeno realizovani. Događaj C će biti realizovan ako se istovremeno realizuju i događaj A i događaj B. Formalizaciju presjeka događaja izražavamo na sljedeći način:

BAC ∩= (5.3)


233

Unija (a) i presjek (b) dva događaja

A

B

A

B

Grafikon 5.2.

a) b)

3 4 5 7 8 , , , , A B ω ω ω ω ω∪ = 1 11 , A B ω ω∩ =

10ω

8ω

7ω

6ω

5ω4ω

3ω2ω 1ω

11ω1ω

2ω

3ω

4ω

5ω

6ω

7ω8ω

Ω Ω

nω

• Komplementarni događaji

A i B su dva suprotna ili komplementarna događaja ako realizacija eksprimenta rezultira ili u realizaciji samo događaja A ili u realizaciji samo događaja B. U slučaju komplementarnih događaja koristimo notaciju Ā=B i sljedeći uslovi trebaju biti zadovoljeni:

Ω=∪ BA i =∩ BA Ø.

odnosno

Ø=∩Ω=∪ AAiAA (5.4)

• Nekompatibilni događaji

Dva događaja su nekompatibilna ako se ne mogu istovremeno, odnosno simultano realizovati. A i B su nekompatibilni ako je njihov presjek prazan skup: =∩ BA Ø. Na grafikonu 5.3. su predstavljeni komplementarni i nekompatibilni događaji.


234

A

B

AA

Skup komplementarnih događaja (a) i nekompatibilnost događaja (b)Grafikon 5.3.

a) b)

komplementarni događaji i,

A AA A A A∪ = Ω ∩ = ∅

nekompatibilni događaji iA BA B∩ = ∅

11ω

10ω

9ω

8ω7ω

6ω

5ω

4ω

3ω2ω

1ω 3ω1ω

5ω2ω

7ω4ω

8ω6ω

Ω Ω

• Kompletan sistem događaja

Skup događaja nAAA ,..., 21 predstavlja kompletan ili potpun sistem događaja ako svaka realizacija eksperimenta dovodi do realizacije jednog događaja iA . Modelizacija kompletnog sistema događaja je:

Ω=∪∪ nAAA ...21 (5.5)

uz uslov da je za svako i i j, ji ≠ zadovoljena slijedeća relacija: =∩ ji AA Ø

A1A2 A3 A4

Kompletan sistem događajaGrafikon 5.4.

1 2 3 4

i jA A

A A A A

∩ = ∅

∪ ∪ ∪ = Ω

11ω10ω

9ω

3ω

1ω5ω

2ω7ω

4ω

8ω

6ω

Ω


235

5.1.1.2. Osobine skupova

Za operacije sa skupovima se primjenjuju De Morganovi zakoni. Prema De Morganovim zakonima, događaj suprotan presjeku događaja A i B je jednak uniji suprotnih događaja od A i B što se notira izrazom:

BABA ∪=∩ (5.6)

Komplementaran događaj unije A i B je jednak presjeku komplementarnih događaja A i B:

BABA ∩=∪ (5.7)

Za operacije sa skupovima vrijede i osobine distributivnosti presjeka prema uniji i distributivnosi unije prema presjeku:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )CABACBA

CABACBA∪∩∪=∩∪∩∪∩=∪∩

(5.8)

Ako je događaj A dio skupa mogućih rezultata Ω tada vrijede uslovi:

ØØ =∩=Ω∩ AAA

ØA A A∪ Ω = Ω ∪ = (5.9)

Pojmove siguran događaj, nemoguć događaj i nekompatibilan događaj smo modelizirali i formalizirali bez korištenja termina vjerovatnoća.

U slijedećem dijelu ćemo analizu proširiti definisanjem pojma vjerovatoća i modela slučajnog eksperimenta i slučajnog događaja.

5.2. DEFINISANJE VJEROVATNOĆE

Razlikuju se dva osnovna tipa vjerovatnoće: vjerovatnoća a priori i vjerovatnoća a posteriori. Vjerovatnoća a priori je unaprijed poznata vjerovatnoća. Vjerovatnoća nekog događaja može biti poznata unaprijed ako znamo broj povoljnih i broj mogućih ishoda ili rezultata slučajnog eksperimenta. Ako znamo da se u posudi nalaze dvije kuglice različite boje (crvena i bijela), u tom slučaju vjerovatnoća izvlačenja svake od tih kuglica je poznata i iznosi 50%.


236

U najvećem broju slučajeva nisu unaprijed poznati elementi za izračunavanje vjerovatnoće i potrebno je eksperimentisanjem, ili na neki drugi način, izračunati vjerovatnoću naknadno, poslije realizacije eksperimenta ili a posteriori.

U definisanju vjerovatnoće prezentovaćemo dva pristupa eksperimentalni i teorijski.

5.2.1. Eksperimentalni pristup definisanju vjerovatnoće

Eksperimentalni pristup definiše vjerovatnoću na bazi frekvencija. Ovako definisana vjerovatnoća se naziva još i empirijska, statistička ili vjerovatnoća a posteriori. Ovaj pristup se koristi u konkretnim slučajevima da bi se odredila numerička vrijednost vjerovatoće jednog događaja. Prema ovoj definiciji, vjerovatnoća je definisana kao granična vrijednost relativne frekvencije i određuje se poslije izvršenog eksperimenta na osnovu prikupljenih empirijskih podataka. Ako sa n označimo broj ponavljanja slučajnog eksperimenta, a sa n(A) broj realizacija događaja A u n ponavljanja, tada odnos n(A)/n predstavlja relativnu frekvenciju događaja A.

Vjerovatnoća događaja A se utvrđuje kao granična vrijednost relativne frekvencije kada broj ponavljanja slučajnog eksperimenta teži beskonačnosti:

nAnAp

n

)(lim)(∞→

= (5.10)

Ukoliko slučajni eksperiment bacanje novčića ponavljamo veliki broj puta vjerovatnoća dobijanja lica će dostići «granicu» kada broj bacanja novčića n teži beskonačnosti:

( ) limn

broj bacanja kada se pojavi licevjerovatnoća licebroj bacanja→∞

=

)(lim)( licenjapojavljivaafrekvencijrelativnalicećavjerovatnon ∞→

=

Ustvari, vjerovatno je da relativna frekvencija pojavljivanja “lice” teži prema nekoj granici i ta granica se naziva vjerovatnoća.


237

5.2.2. Teorijska definicija vjerovatnoće

Teorijski pristup definisanju vjerovatnoće predstavlja aksiomatsku definiciju vjerovatnoće ili vjerovatnoću a priori.

Pretpostavimo da su: ε slučajni eksperiment, Ω skup svih mogućih rezultata tog eksperimenta nωωω ,...,, 21=Ω , koji može biti konačan ili

beskonačan i P ( ) i jØ, , A ,ωΩ = Ω skup svih događaja koji se mogu realizovati kao rezultat slučajnog eksperimenta. Sastavni dio ovog skupa su pored elementarnih događaja ωi i događaja Aj, uvijek i nemoguć događaj Ø i siguran događaj Ω . U slučaju eksperimenta bacanje kocke čije su strane označene od 1 do 6 skup mogućih rezultata je 6,5,4,3,2,1=Ω . U tom slučaju skup svih događaja (elementarnih i složenih) koji se mogu realizovati kao rezultat eksperimenta bacanje kocke je:

P i( ) Ø, , ,jAωΩ = Ω =

Ø , 1 ,., 2,6 ,.., 1,3,5 ,.., 2,4,5,6 ,.., 1,3,4,5,6, ,.., 1,2,3,4,5,6=

Vjerovatnoća se naziva aplikacija p koja svakom događaju iz skupa P ( )Ω

pridružuje jednu vrijednost iz intervala [ ]1,0 , odnosno p: P ( ) [ ]0,1Ω → , i zadovoljava dva sljedeća aksioma:

1. Zbir vjerovatnoća svih elementarnih događaja je jednak 1:

( ) ( ) ( )1 2 ... 1np p pω ω ω+ + = (5.11)

gdje je: 1p(0 ≤)≤ iω .

2. Vjerovatnoća bilo kojeg događaja A je jednaka zbiru vjerovatnoća elementarnih događaja koji čine događaj A: ( ) ( )∑

∈

=A

ii

pApω

ω .

Da bi se odredila vjerovatnoća skupa mogućih rezultata eksperimenta potrebno je svakom elementarnom događaju iω pridružiti vjerovatnoću

( )ip ω . Primjena ove definicije vjerovatnoće se zasniva na pretpostavci da je za sve elementarne događaje poznata vjerovatnoća koja može uzimati vrijednosti iz intervala [ ]1,0 . Vjerovatnoća događaja A se izračunava matematičkim putem prije realizacije eksperimenta, dakle a priori. Definisanom događaju A pridružujemo realan broj koji


238

obilježavamo sa p(A) i nazivamo vjerovatnoćom događaja A ako zadovoljava sljedeće uslove:

( ) 10 ≤≤ Ap ; p(Ω)=1 (5.12)

Posljedice aksiomatske definicije su sljedeće: • Vjerovatnoća skupa svih mogućih rezultata slučajnog eksperimenta

je jednaka jedinici p(Ω)=1. Prema aksiomu 1: ( ) ( ) ( ) 1...21 =++ nppp ωωω , dakle ( ) 1=Ωp .

• Zbir vjerovatnoće događaja A i vjerovatnoće njemu komplementarnog događaja A je jednak jedinici

( ) ( ) 1=+ ApAp (5.13) Iz izraza (5.13) slijedi da je vjerovatnoća događaja A jednaka razlici

između jedinice i vjerovatnoće komplementarnog događaja A :

( ) ( )ApAp −=1

• Vjerovatnoća nemogućeg događaja koji predstavljamo kao prazan skup je jednaka nuli:

( ) 0Ø =p (5.14)

• Za svaki događaj vjerovatnoća se kreće između nule i jedinice:

( ) 10 , ≤≤∀ ApA (5.15)

Primjer 5.1.

Ako je ε eksperiment izvlačenje loptica čiji je skup mogućih rezultata ( )žuta zelena, crvena, plava,=Ω i vjerovatnoća izvlačenja svake od loptica:

p (plava) = 0,3, p (crvena) = 0,4 p (zelena) = 0,2 p (žuta) = 0,1

provjeriti aksiom 1 teorijske definicije i utvrditi vjerovatnoću događaja A koji se sastoji od elementarnih događaja izvući plavu ili zelenu kuglicu.

Aksiom 1 je provjeren jer je zbir vjerovatnoća jednak jedinici.


239

( ) 11,02,04,03,0 =+++=Ωp

Prema aksiomu 2, vjerovatnoća događaja A = plava, zelena je jednaka:

p(A)= p(plava)+ p(zelena)=0,3+0,2=0,5

Vjerovatnoća događaja A je jednaka p(A)=0,5.

5.2.3. Teoreme vjerovatnoće

Prezentiraćemo nekoliko teorema vjerovatnoće koje se najčešće koriste i čije je poznavanje neophodno za analizu i istraživanje.

5.2.3.1. Teorema aditivnosti

Primjenom teoreme aditivnosti definišemo vjerovatnoću nekompatibilnih i kompatibilnih događaja.

• Vjerovatnoća nekompatibilnih događaja

Vjerovatnoću da će se dogoditi ili događaj A ili događaj B, odnosno vjerovatnoću unije nekompatibilnih događaja, primjenom teoreme aditivnosti izražavamo sljedećom relacijom:

Ako je ( ) ( ) ( )BpApBApBA +=∪=∩ je tadaØ (5.16)

• Vjerovatnoća kompatibilnih događaja

Ako je Ø, A B∩ ≠ tada vjerovatnoću unije kompatibilnih događaja A i B izražavamo sljedećom relacijom:

( ) ( ) ( ) ( )BApBpApBAp ∩−+=∪ (5.17)

U oba slučaja važi uslov da je vjerovatnoća realizacije skupa elementarnih događaja, dakle sigurnog događaja, jednaka jedinici, a vjerovatnoća nemogućeg događaja jednaka nuli: ( ) 1=Ωp , ( ) 0Ø =p .


240

5.2.3.2.Teorema multiplikativnosti

Za nezavisne događaje A i B teorema multiplikativnosti izražava vjerovatnoću presjeka događaja A i B, kao proizvod vjerovatnoće događaja A i vjerovatnoće događaja B, sljedećom relacijom:

( ) ( ) ( )BpApBAp ⋅=∩ (5.18)

5.2.3.3. Uslovna vjerovatnoća i nezavisnost slučajnih događaja

5.2.3.3.1. Uslovna vjerovatnoća

Uslovna vjerovatnoća događaja B se definiše kao vjerovatnoća realizacije događaja B, znajući da je događaj A već realizovan i da je vjerovatnoća njegove realizacije različita od nule.

Vjerovatnoća događaja B, uz uslov da se događaj A već realizovao, se označava ( )BpA ili p(B/A) i utvrđuje korištenjem sljedećeg izraza:

( ) ( )( )Ap

BApABp ∩=/ (5.19)

Na analogan način se definiše i uslovna vjerovatnoća događaja A: p(A/B)

( )( / )( )

p A Bp A Bp B

∩= (5.20)

5.2.3.3.2. Vjerovatnoća presjeka događaja A i B

Vjerovatnoća presjeka događaja A i B, ( )BAp ∩ se definiše polazeći od uslovne vjerovatnoće:

( ) ( )( )Ap

BApABp ∩=/ (5.21)

( ) ( ) ( )ApABpBAp ⋅=∩ / (5.22)

( ) ( )( )Bp

BApBAp ∩=/ (5.23)

( ) ( ) ( )BpBApBAp ⋅=∩ / (5.24)


241

Vjerovatnoća presjeka događaja je jednaka proizvodu vjerovatnoće jednog od ta dva događaja i uslovne vjerovatnoće drugog događaja, pod uslovom da se prvi događaj realizovao:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )BpBApApABpBAp ⋅=⋅=∩ // (5.25)

5.2.3.3.3. Nezavisnost slučajnih događaja

Nezavisnost događaja se može definisati na dva načina. • Događaj A je nezavisan od događaja B ako vjerovatnoća realizacije

događaja A ne zavisi od vjerovatnoće realizacije događaja B:

( ) ( )ApBAp =/ (5.26) Vjerovatnoća realizacije događaja B ne utiče na vjerovatnoću

realizacije događaja A. • Druga definicija slijedi iz teoreme multiplikativnosti i prema ovoj

definiciji dva događaja A i B su nezavisni u odnosu na vjerovatnoću p ako je zadovoljen sljedeći izraz:

( ) ( ) ( )BpApBAp ⋅=∩ (5.27)

Dvije analizirane definicije su ekvivalentne. Druga ima praktičnu prednost jer je simetrična u odnosu na događaje A i B.

5.2.3.4. Bayesova teorema

Bayesova teorema daje odgovor na pitanje: «Ako se realizovao neki događaj koji može biti rezultat (posljedica) dva ili više uzroka, kolika je vjerovatnoća da se on realizovao upravo kao posljedica jednog konkretnog uzroka?» U ovom slučaju se ispituje vjerovatnoća uzroka zbog toga što se traži uzrok dešavanja događaja.

Za svaki događaj B čija je vjerovatnoća pozitivna i za kompletan sistem događaja iA , 1,i n= čija je vjerovatnoća pozitivna dobijamo za svako i:

( ) ( ) ( )( ) ( )∑

=

⋅

⋅= n

kkk

iii

ApABp

ApABpBAp

1/

// (5.28)


242

Dokaz:

( ) ( )( )

( ) ( )( )Bp

ApABpBp

BApBAp iiii

⋅=∩= //

( )∪∪n

kk

n

kk ABABBB

11 ==

∩=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∩=Ω∩=

Događaji kAB ∩ su nekompatibilni jer su kA nekompatibilni. Zaključujemo da je:

( ) ( )∑=

∩=n

kkABpBp

1

( ) ( ) ( ) ( )kABpABpABpBp ∩++∩+∩= ....21

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2

1

/ / ...

... / /n

n n k kk

p B p B A p A p B A p A

p B A p A p B A p A=

= ⋅ + ⋅ +

+ ⋅ = ⋅∑

( ) ( ) ( )k

n

kk ApABpBp ⋅=∑

=1

/ (5.29)

Primjenu Bayesove teoreme ćemo ilustrovati na sljedećem primjeru.

Primjer 5.2.

Tri fabrike A, B i C snabdijevaju respektivno sa 30%, 20% i 40% keramičkih pločica građevinsko preduzeće. U njihovim isporukama ima respektivno 6%, 5% i 3% neupotrebljivih pločica. Jedna pločica slučajno izabrana u stoku je neupotrebljiva. Koja je vjerovatnoća da ova pločica dolazi iz fabrike C?

Da bismo izračunali traženu vjerovatnoću definisaćemo događaje i formalizirati poznate informacije. Događaj A: pločica potiče iz fabrike A, događaj B: pločica potiče iz fabrike B, događaj C: pločica potiče iz fabrike C i događaj D: pločica je neispravna. Poznate vjerovatnoće su:

( ) 30,0=Ap ( ) 20,0=Bp ( ) 40,0=Cp

( ) 06,0/ =ADp ( ) 05,0/ =BDp ( ) 03,0/ =CDp


243

Traženu vjerovatnoću da slučajno izabrana neispravna pločica dolazi iz fabrike C označavamo sa ( )DCp / i izražavamo sljedećom relacijom:

( ) ( )( )

( ) ( )( )Dp

CpCDppDp

DCpDCp ⋅=∩= //

Da bi se izračunala vjerovatnoća ( )Dp potrebno je definisati kompletan sistem događaja (KSD) «mogućih izvora» neispravne pločice.

Ω=∪∪

=CBA

CBAKSD ,,

Događaji A,B i C su nekompatibilni:

ØØ;Ø; =∩=∩=∩ CBCABA

Određujemo skup događaja D:

( )CBADDDD

∪∪∩=Ω∩=

( ) ( ) ( )CDBDADD ∩∪∩∪∩=

Ova tri događaja su međusobno nekompatibilna. To ćemo pokazati za dva od njih:

( ) ( )

( )( ) ØØ

=∩=∩∩=

∩∩∩=∩∩∩=∩∩∩

DBAD

BADDBDADBDAD

Vjerovatnoća događaja D je jednaka: ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )CpCDpBpBDpApADpDp

CDpBDpADpDp⋅+⋅+⋅=

∩+∩+∩=///

odakle slijedi:

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )DpCDpBpBDpApADp

CpCDpDCp

DpCpCDpDCp

⋅+⋅+⋅⋅=

⋅=

/////

//


244

Kada zamijenimo numeričke podatke u gornju relaciju dobijamo traženu vjerovatnoću ( ) %30/ =DCp . Zaključujemo da je vjerovatnoća da slučajno izabrana neispravna pločica potiče iz fabrike C jednaka 30%.

Vjerovatnoće da slučajno izabrana neispravna pločica potiče iz fabrike A i iz fabrike B su 45% i 25% respektivno: %25)/( i %45)/( == DBpDAp .

5.2.4. Kombinatorika

Kombinatorika podrazumijeva skup mogućih rasporeda i grupacija određenog broja elemenata. Pošto definicije vjerovatnoće podrazumijevaju poznavanje broja mogućih i broja povoljnih ishoda realizacije slučajnog eksperimenta, za njihovo utvrđivanje koristimo metode kombinatorike.

5.2.4.1. Permutacije

Izvršiti permutaciju n elemenata nekog skupa znači rasporediti elemente na sve moguće načine. Zavisno od toga da li se neki elementi ponavljaju ili ne, razlikujemo:

• Permutacije bez ponavljanja:

P = n! (5.30) • Permutacije sa ponavljanjem:

( )!!...!

!

21..., 21

knnn nnn

nnPk ⋅

= (5.31)

gdje je 1

k

ii

n n=

=∑

5.2.4.2. Kombinacije

Kombinacija predstavlja svaki podskup od k elemenata skupa od n elemenata i može biti bez ponavljanja i sa ponavljanjem.

• Kombinacije bez ponavljanja:

( )!!!

knkn

kn

Cnk −

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= (5.32)


245

• Kombinacije sa ponavljanjem:

( )

( )1!!1

11

−−+=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+=−+

nkkn

kkn

C knk (5.33)

5.2.4.3. Varijacije

Varijacije predstavljaju permutacije podskupova od k elemenata uzetih istovremeno iz skupa od n elemenata.

• Varijacije bez ponavljanja:

)!(

!kn

nV nk −

= (5.34)

• Varijacije sa ponavljanjem:

knk nV = (5.35)

5.2.5. Slučajna ili stohastička varijabla

Ako je ε stohastički eksperiment i Ω skup svih mogućih rezultata (ishoda) tog eksperimenta tada se svaka aplikacija (X) koja svakom elementarnom događaju iω od Ω pridružuje jednu vrijednost naziva slučajna (stohastička, aleatorna) varijabla.

Vrijednosti koje može uzeti ova stohastička varijabla nazivaju se realizacijama eksperimenta ( ).ix Skup svih tih vrijednosti naziva se skup realizacija eksperimenta i označava se sa ( ).ΩX Slučajne varijable se mogu podijeliti na osnovu toga da li uzimaju samo izolovane vrijednosti u nekom intervalu ili sve moguće vrijednosti iz tog intervala. Prema ovom kriteriju, slučajne varijable se dijele na prekidne i neprekidne. Slučajna varijabla je prekidna ili diskretna ukoliko može uzeti prebrojivo mnogo vrijednosti, odnosno konačan broj izolovanih vrijednosti koje se mogu prebrojati skupom cijelih nenegativnih brojeva. Slučajna varijabla je neprekidna ili kontinuirana ako može uzeti bilo koju vrijednost iz posmatranog intervala. Vrijednosti ove varijable su rezultat mjerenja. Varijable čije vrijednosti se dobijaju mjerenjem su po svojoj prirodi kontinuirane.


246

5.2.5.1. Prekidna slučajna varijabla

Ako slučajna varijabla X uzima diskretne vrijednosti ni xxxx ,...,,...,, 21 iz skupa mogućih rezultata sa vjerovatnoćama ( ) ( ) ( ) ( ),,...,,...,, 21 ni xpxpxpxp skup čiji su elementi uređeni parovi

( ) nixpx ii ,...,2,1,, = (5.36)

predstavlja distribuciju (zakon, raspored) vjerovatnoće slučajne varijable X. Svaka distribucija vjerovatnoće prekidne slučajne varijable zadovoljava sljedeće uslove:

( )

( ) 1

,...,2,1i ,0

1

=

=≥

∑=

n

ii

i

xp

nxp (5.37)

Zakon vjerovatnoće prekidne slučajne varijable se može napisati i u sljedećim oblicima:

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

ni

ni

ppppxxxx

XD . . . . . . . .

:21

21 (5.38)

ili

( ) nipx

XDi

i ,....,1,

: =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ (5.39)

Distribucija prekidne varijable X je definisana skupom realizacija X(Ω) i vjerovatnoćom svake realizacije. Grafički prikaz slučajne prekidne varijable se predstavlja dijagramom sa stupcima.

• Kumulativne vjerovatnoće i funkcija distribucije prekidne slučajne varijable X

Kumulativna distribucija vjerovatnoće slučajne prekidne varijable je jednaka:

( ) [ ] ( )∑≤

=≤=ixx

iii xpxXPxF (5.40)

i pomoću nje se određuje funkcija distribucije (zakona, rasporeda) prekidne slučajne varijable X. Funkcija distribucije (zakona, rasporeda) prekidne slučajne varijable je definisana kao vjerovatnoća za koju X uzima


247

vrijednosti manje ili jednake od nekog realnog broja x. Ovu funkciju formalizujemo na sljedeći način:

( ) ( ) 11

, , 1, 1j

i j ji

F x P X x p x x x j n+=

= ≤ = ≤ < = −∑

( )⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

≥

−=<≤

<

= ∑=

+

n

j

ijji

xx

njxxxp

xx

xF

je ako ,1

1,1, je ako ,

je ako 0

11

1

(5.41)

( ) ( )0, 1F F−∞ = ∞ = . ( ) ( ) 0=−∞≤=∞− xPF se odnosi na vjerovatnoću nemogućeg događaja, a ( ) ( ) 1=+∞≤=∞+ xPF je vjerovatnoća sigurnog događaja koja je uvijek jednaka jedinici.

Vjerovatnoću da će se prekidna slučajna varijabla naći u intervalu (a,b) utvrđujemo sljedećim izrazom:

( ) ( ) ( ) ∑<≤

=−=<≤bxa

ii

paFbFbXaP (5.42)

5.2.5.1.1. Očekivana vrijednost i varijansa

Svaku prekidnu slučajnu varijablu karakterišu njeni parametri. To su očekivana vrijednost i varijansa prekidne slučajne varijable.

Očekivana vrijednost (aritmetička sredina ili matematička nada) prekidne slučajne varijable X je jednaka:

( ) ∑=+++=i

iinn xpxpxpxpXE ...2211 (5.43)

• Osobine očekivane vrijednosti su aditivnost i linearnost. Ove osobine izražavamo sljedećim relacijama:

( )( ) ( )XEaaXE

bXEbXE⋅=

+=+ )( (5.44)

odnosno

( ) ( ) bXEabaXE +⋅=+ (5.45)


248

( ) ( ) ( )YEXEYXE +=+ (5.46)

• Očekivana vrijednost odstupanja varijable X od njene očekivane vrijednosti je jednaka nuli:

( )[ ] 0=− XExE , odnosno ( )( )∑ =−i

ii XExp 0 (5.47)

• Varijansa prekidne slučajne varijable po definiciji je jednaka:

( )[ ]22 XEXE −=σ (5.48)

Iz izraza (5.48) izvodimo izraz za varijansu razvijena oblika.

( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( ) ( )[ ]22

22

2

2

XEXEXEXE

XEXXEXE

+⋅−

+−

( ) ( )[ ] ( )[ ] ( ) ( )XEXEXEXEXE −=+− 2222 2

[ ] ( )[ ]222 XEXEx −=σ (5.49)

U mnogim slučajevima varijansu je jednostavnije izračunati korištenjem razvijenog oblika, odnosno izraza (5.49).

Primjer 5.3.

Za distribuciju vjerovatnoće prekidne slučajne varijable X date sljedećim izrazom:

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛2,00,2 0,1 0,3 2,0

54 3 2 1:XD

utvrditi funkciju distribucije (kumulativnu distribuciju) i grafički predstaviti distribuciju prekidne slučajne varijable X i funkciju distribucije prekidne slučajne varijable X.

Za posmatranu distribuciju kompletiramo i kumulativnu distribuciju:

( ) 1

0, ako je 1

ako je 1 5 0 0,2 0,5 0,6 0,8 1,0

1, ako je 5

j

ii

x

F x p x

x=

<⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪= ≤ < =⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪≥⎩ ⎭

∑


249

Distribucija (zakon, raspored) prekidne slučajne varijable i njoj odgovarajujuća funkcija distribucije su predstavljeni na sljedećim grafikonima.

1 2 3 4 5

0,1

0,2

0,3

0,4

0

Distribucija prekidne slučajne varijableGrafikon 5.5.

( )p x

x

0 1 2 3 4 5 6

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

00,1

0,3

0,5

0,7

0,9

Funkcija distribucije prekidne slučajne varijableGrafikon 5.6.

x

( )F x


250

5.2.5.2. Neprekidna slučajna varijabla

Slučajna varijabla je neprekidna ili kontinuirana ako može uzeti bilo koju vrijednost iz posmatranog intervala. Vrijednosti ove varijable su rezultat mjerenja. Varijable čije vrijednosti se dobijaju mjerenjem po svojoj prirodi su kontinuirane. Da bi se odredila distribucija (zakon, raspored) vjerovatnoće neprekidne slučajne varijable potrebno je definisati:

1. Skup svih realizacija ( )ΩX slučajne neprekidne varijable. Slučajna varijabla je neprekidna ako može uzeti bilo koju vrijednost iz posmatranog skupa realizacija ( )ΩX .

2. Funkciju gustine vjerovatnoće ( )xf koja treba biti nenegativna za svako x: ( ) xxf , 0 ∀≥ . Prema definiciji ukupna površina ispod krive gustine vjerovatnoće je jednaka jedinici.

( ) 1=∫∞

∞−

dxxf (5.50)

3. Funkcija distribucije vjerovatnoće je definisana sljedećim izrazom:

( ) ( )dxxfaxFa

∫∞−

== (5.51)

( ) [ ] [ ]aXpaXpaF ≤<∞−=≤= i jednaka je površini ispod krive u intervalu [ ]a;∞− .

Ukupna površina ispod krive f(x) je jednaka jedinici pošto se radi o vjerovatnoći sigurnog događaja:

[ ] 1=+∞<<∞− Xp

Za slučajnu neprekidnu varijablu sve vjerovatnoće u tačci su jednake nuli:

( ) ,0 aaxP ∀==

Posljedice ove osobine su sljedeće:

[ ] [ ] [ ] [ ]bXaPbXaPbXaPbXaP ≤<=<≤=<<=≤≤

Na sljedećim grafikonima smo prezentovali nekoliko slučajeva izračunavanja vjerovatnoće. Ukupna površina ispod krive gustoće vjerovatnoće je jednaka 1.


251

Na grafikonu 5.7. traženu vjerovatnoću izračunavamo na sljedeći način:

[ ] [ ] [ ] )()( aFbFaxpbxpbxap −=≤−≤=≤≤

Vjerovatnoca u intervalu: Grafikon 5.7. [ ]p a x b≤ ≤

x

( )f x

ba

Vjerovatnoća predstavljena na grafikonu 5.8. je jednaka:

[ ] [ ] )(bFbxpbxp =≤=≤<∞−

Vjerovatnoća u intervalu: Grafikon 5.8. [ ]p x b−∞ ≤ ≤

( )f x

xb


252

Vjerovatnoća na grafikonu 5.9. je jednaka [ ] [ ] )(11( bFbxpbxp −=≤−=≥

Vjerovatnoća Grafikon 5.9. [ ]p x b≥

b

( )f x

x

5.2.5.2.1. Očekivana vrijednost i varijansa slučajne neprekidne varijable

Očekivana vrijednost i varijansa slučajne neprekidne varijable su definisane sljedećim izrazima:

( ) ( ) dxxxfXE ⋅⋅== ∫+∞

∞−μ (5.52)

( ) ( ) ( )XEdxxfx =−= ∫+∞

∞−μμσ ,

22 (5.53)

5.2.6. Čebiševa teorema

Za prekidnu i kontiniranu slučajnu varijablu X čija je očekivana vrijednost µ, standardna devijacija σ i k realan striktno pozitivan broj, vrijedi sljedeća relacija:

[ ] 2

11k

kXkp −≥+<<− σμσμ (5.54)

koja izražava vjerovatnoću da će se slučajna varijabla X udaljavati od svoje aritmetičke sredine za k puta standardna devijacija. Vjerovatnoća da će se


253

slučajna varijabla X nalaziti u intervalu [ ]σμ k± će biti najmanje

%11 2 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

k .

5.2.7. Prekidne distribucije (zakoni, rasporedi) vjerovatnoće

Od prekidnih distribucija vjerovatnoće mi ćemo analizirati: uniformnu, Bernoullijevu, binomnu, Poissonovu i hipergeometrijsku distribuciju vjerovatnoće.

5.2.7.1. Uniformni zakon vjerovatnoće

Da bismo definisali uniformni zakon vjerovatnoće treba da budu ispunjeni sljedeći uslovi:

• Populacija sastavljena od jedinica označenih brojevima od 1 do n od kojih svaka ima jednaku vjerovatnoću da bude izabrana.

• Realizacijom slučajnog eksperimenta slučajno se odabire jedna jedinica iz posmatrane populacije. X je slučajna varijabla jednaka broju jedinice koja je izabrana.

• Skup realizacija i vjerovatnoća svake realizacije su formalizirani sljedećim izrazima. Skup realizacija je ( ) nX ,...,2,1=Ω .

Vjerovatnoća svake realizacije ( )n

xXp i1== i zbir vjerovatnoća:

( ) 1=∑ ixp .

Slučajna varijabla je raspoređena prema prekidnoj unifomnoj distribuciji ako sve realizacije x varijable X imaju jednaku vjerovatnoću u intervalu [1, n].

[ ]~ 1, X U n

( ) n

pnxpx xx1 je gdje ,,...,1,, == (5.55)

Očekivana vrijednost i varijansa prekidne uniformne distribucije je data sljedećim izrazima:

( )12

1;2

1 22 −=+= nnXE σ (5.56)


254

Primjer 5.4.

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛1/5 1/5 1/5 1/5 5/1

5 4 3 2 1:XD

[ ]5,1~ UX

Izračunati očekivanu vrijednost i varijansu prekidne uniformne distribucije i grafički predstaviti prekidnu uniformnu distribuciju i funkciju prekidne uniformne distribucije.

Očekivana vrijednost i varijansa prekidne uniformne distribucije su

( )

1224

121

32

1

22 =−=

=+=

n

nXE

σ

Funkcija kumulativne prekidne uniformne distribucije je

1;80,0;60,0;40,0;20,0;0)( =xF

Na sljedećim grafikonima su predstavljene prekidna uniformna distribucija i kumulativna funkcija vjerovatnoće prekidne uniformne distribucije.

1 2 3 4 5

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0

Uniformna distribucijaGrafikon 5.10.

( )p x

x


255

0 1 2 3 4 5 6

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

00,1

0,3

0,5

0,7

0,9

Funkcija uniformne distribucije vjerovatnoćeGrafikon 5.11.

( )f x

x

5.2.7.2. Bernoullijeva distribucija vjerovatnoće

Posmatrajmo slučajni eksperiment koji može imati samo dva rezultata (ishoda) koji se mogu označiti kao «uspjeh» i «neuspjeh». To je alternativna situacija čiji ishodi su komplementarni i zbir njihovih vjerovatnoća je jednak jedinici. X je slučajna prekidna varijabla indikator događaja. X uzima vrijednost 1 ako je ishod «uspjeh» i vjerovatnoća ishoda «uspjeh» je jednaka p. X uzima vrijednost 0 ako je ishod neuspjeh i odgovarajuća vjerovatnoća je jednaka (1- )q p= .

Distribucija (zakon, raspored) vjerovatnoće slučajne varijable X je jednak:

0 1( ) :

1- D X

p p⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

(5.57)

U prvom redu su vrijednosti xi, a u drugom odgovarajuće vjerovatnoće. Kumulativna distribucija je jednaka:

)1()0( pxF −==

1)1()1( =+−=≤ ppxF (5.58)

Ukoliko su zadovoljeni gore navedeni uslovi, slučajna varijabla X slijedi Bernoullijev zakon vjerovatnoće koji zavisi od parametra p, koji predstavlja vjerovatnoću realizacije ishoda «uspjeh».

~ Bernoulli ( )X p


256

• Očekivana vrijednost i varijansa Bernoullijevog zakona vjerovatnoće

Očekivana vrijednost Bernoullijevog zakona vjerovatnoće je jednaka p:

( ) ( ) ppppxXEi

ii =⋅+−⋅==∑=

1102

1

(5.59)

Varijansa ovog zakona vjerovatnoće je jednaka: ( ) qpppx ⋅=−= 12σ (5.60)

Varijansa se dobija na sljedeći način:

( ) ( )[ ]( ) ∑

=

=⋅+−⋅==

−=2

1

22

222

1)1(0i

ii

x

ppppxxE

xExEσ

( )[ ]( )pppp

pxE

x −=−==

122

22

σ

Bernoullijeva distribucija vjerovatnoće i kumulativna distribucija vjerovatnoće su predstavljene na grafikonu 5.12.

p

1-p

0 1x 0Bernoullijeva distribucija vjerovatnoće

1

1-p

1

Bernoullijeva distribucija i funkcija distribucije Grafikon 5.12.

Funkcija distribucije vjerovatnoće ( )F xx


257

Bernoullijev zakon vjerovatnoće je poseban slučaj gdje je zakon vjerovatnoće od X jednak zakonu vjerovatnoće od 2X .

2 0 1 0 1: i :

1- 1- X X

p p p p⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(5.61)

5.2.7.3. Binomna distribucija vjerovatnoće

Ako ponavljamo n puta uzastopno (sukcesivno) slučajni eksperiment koji ima dva moguća ishoda (uspjeh i neuspjeh) pod uslovom da vjerovatnoća p ostaje nepromijenjena i da su ishodi eksperimenta nezavisni (izvlačenje se vrši sa ponavljanjem) dobijamo n Bernoullijevih varijabli. Tako dobijene Bernoullijeve varijable su međusobno nezavisne i raspoređene prema istoj distribuciji vjerovatnoće koja je funkcija vjerovatnoće p.

X je prekidna slučajna varijabla jednaka broju ishoda koje smo označili kao uspjeh, a koje smo dobili ponavljanjem n identičnih i nezavisnih slučajnih eksperimenata. Slučajna prekidna varijabla X slijedi binomnu distribuciju vjerovatnoće i zavisi od parametra n i p što označavamo kao:

X ~ ( )pnB , (5.62)

Skup realizacija slučajne varijable X je:

( ) nX ,...,3,2,1,0=Ω

Vjerovatnoće realizacija predstavljaju članove razvijenog binoma:

( ) ( )

( ) ( ) nxppxn

xp

nkppkn

kXp

xnx

knk

,...,1,0 ,1

,...,0,1

=−⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

=−⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==

−

−

(5.63)

( ) ( )( ) ( )

( )

1

1

! , 0,...,! !

n kk kn

n xx xn

kn

p X k C p p

p x C p p

n nC k nk k n k

−

−

= = ⋅ −

= ⋅ −

⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ −⎝ ⎠


258

Kumulativna distribucija vjerovatnoće je jednaka:

( )⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

≥

−=<≤

<

= ∑=

+−

n

j

kjj

knkkn

xx

njxxxqpC

x

xF

je ako ,1

1,1, je ako,

0 je ako ,0

01 (5.64)

Osobine binomnog zakona možemo rezimirati na sljedeći način. Poznat je broj realizovanih eksperimenta (n). Svaki eksperiment je slučajan i nezavisan. U svakom eksperimentu su moguća dva ishoda: uspjeh ili neuspjeh. U svakom eksperimentu vjerovatnoća uspjeha i neuspjeha su konstantne.

• Očekivana vrijednost i varijansa binomne distribucije vjerovatnoće

Prekidna slučajna varijabla X koja se ponaša prema binomnoj distribuciji vjerovatnoće sa parametrima n i p je jednaka zbiru n slučajnih varijabli iX koje su nezavisne:

∑=

=n

iiXX

1

Ako sve nezavisne prekidne slučajne varijable Xi slijede Bernoullijevu distribuciju ( )pBernoulliX i ~ , očekivana vrijednost prekidne slučajne varijable X je jednaka

( )E X n p= ⋅ (5.65)

Ovu vrijednost dobijamo na sljedeći način:

( ) ( )∑∑==

=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=n

ii

n

ii XEXEXE

11

Za svako i očekivana vrijednost je jednaka p: ( ) pXE i = . Slijedi

( ) ( )∑=

⋅=+++==n

ii pnpppXEXE

1

...

( )E X n p= ⋅


259

Varijansa prekidne slučajne varijable X koja slijedi binomni zakon vjerovatnoće se definiše na sljedeći način:

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛= ∑=

n

iix X

1

22 σσ (5.66)

Pošto su n slučajnih varijabli iX nezavisne promjenom osobine aditivnosti varijanse dobijamo:

( )∑=

=n

iix X

1

22 σσ

Za svako Xi varijansa je jednaka ( ) ( ) qpppX i ⋅=−⋅= 12σ . Slijedi:

( ) ( ) ( ) ( )pnpppppppx −=−++−+−= 11...112σ

( ) qpnpnpx ⋅⋅=−= 12σ

Očekivana vrijednost i varijansa prekidne slučajne varijable X koja slijedi binomni zakon vjerovatnoće sa parametrima n i p, X ~ B(n,p), su

( ) ( )pnppnXE x −=⋅= 1 2σ (5.67)

U opštem slučaju binomna distribucija je asimetrična. Ako je p=q=0,5 binomna distribucija je simetrična. Ako je p<0,5 tada je distribucija pozitvno asimetrična, odnosno za p>0,5 negativno asimetrična.

Izrazi za koeficijente asimetrije i spljoštenosti su:

Koeficijent asimetrije je jednak

npqpq −=3α (5.68)

Koeficijent spljoštenosti je

npqpq6134

−+=α (5.69)

Koeficijent varijacije je jednak sljedećem izrazu:


260

( ) 100100100 ⋅⋅

=⋅⋅

⋅⋅=⋅=

pnq

pnqpn

xEkv

σ (5.70)

Binomnu distribuciju vjerovatnoće za n=6 i p=0,5 i funkciju vjerovatnoće predstavljamo na sljedećim grafikonima:

0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6

1

Binomna distribucija vjerovatnoće B(6, 0,5) i funkcija distribucije vjerovatnoćeGrafikon 5.13.

F (x )p

x x

Grafički prikaz binomne distribucije za n=10 i p=0,10 je predstavljen na grafikonu 5.14.

0 1 2 3 4 5 10

0,1

0,2

0,3

0,4

0

Binomna distribucija za n =10 i p=0,1Grafikon 5.14.

p(xi)

xi


261

Binomne distribucije za n=10 i p=0,5 je simetrična i predstavljena na grafikonu 5.15.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Binomna distribucija za n =10 i p=0,5Grafikon 5.15.

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0

( )ip x

ix

Binomna distribucija je tabelirana. Binomna distribucija vjerovatnoće je specijalan slučaj prekidnih distribucija vjerovatnoće koja ima vrlo široku primjenu.

5.2.7.4. Poissonova distribucija vjerovatnoće

Kada slučajna prekidna varijabla X može uzimati kao vrijednosti nulu i sve pozitivne cijele brojeve X(Ω)=(0,1,2,…, + ∞) kojima odgovaraju vjerovatnoće date sljedećim izrazom:

( ) pnex

exXpx

⋅==⋅== − λλλ ,718,2,!

(5.71)

tada je varijabla X raspoređena prema Poissonovom rasporedu koja je funkcija parametra 0>= npλ , koji predstavlja prosječan broj javljanja događaja u vremenskoj ili prostornoj jedinici.

X ~ ( )λP (5.72)

Očekivana vrijednost i varijansa slučajne prekidne varijable koja se ponaša po ovoj distribuciji su jednake:

( ) λσλμ === 2, xXE (5.73)


262

Osobinu da je λσμ == 2x ima samo Poissonov raspored, pa možemo reći

da je svaki raspored u kome je izražena ta osobina Poissonov raspored.

Koeficijent varijacije je:

( ) 101100100 ⋅=⋅=⋅=λλ

λσxE

kv (5.74)

Parametri simetričnosti i spljoštenosti su:

λα

λα 13 ,1

43 +== (5.75)

Funkcija distribucije vjerovatnoće je jednaka:

( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

+<≤

<=∑

=

−

brojprirodan cijeli za ,1 je ako ,!

0 je ako 0,

0jjxj

ke

x xF j

k

kλλ (5.76)

Poissonova distribucija je granični slučaj binomne distribucije. Ako je vjerovatnoća p vrlo mala i broj ponavljanja slučajnog eksperimenta n veliki tj.: p<0,1; n>50 binomna distrubicja se može aproksimirati Poissonovom distribucijom. Poissonova distribucija se naziva i distribucija malih vjerovatnoća ili distribucija rijetkih fenomena. Ova distribucija se najčešće primjenjuje u slučajevima kada je broj javljanja događaja nezavisan od vremenske ili prostorne jedinice, kada je vjerovatnoća javljanja događaja proporcionalna dužini vremena ili prostora i kada je vjerovatnoća istovremenog javljanja dva ili više događaja u maloj vremenskoj jedinici zanemarljiva. Ovaj model rasporeda ima veliku praktičnu primjenu, posebno u teoriji redova čekanja.

Rekurzivna formula za jednostavnije izračunavanje vjerovatnoće je data sljedećim izrazom:

( ) ( 1)p X x p X xxλ= = = − (5.77)

Pomoću ove formule se postepeno izračunavaju ostale vjerovatnoće ako se zna da je vjerovatnoća p(0) jednaka:

( ) λ−== eXp 0


263

Ova distribucija je tabelirana. Poissonovu distribuciju vjerovatnoće smo predstavili na grafikonima 5.16. i 5.17. za razne vrijednosti parametara n i p, odnosno za razne vrijednosti parametra λ.

0,1

0,2

0,3

0,4

0

Poissonova distribucija za n =10 i p =0,1Grafikon 5.16.

0 1 2 3 4 5 10

p(xi)

xi

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

00 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30

Poissonova distribucija za n =30 i p =0,1Grafikon 5.17.

p(xi)

xi

Binomna distribucija se može aproksimirati Poissonovom ako su ispunjeni određeni uslovi. Na sljedećim grafikonima su za odabrane vrijednosti n i p predstavljene aproksimacije binomne Poissonovom distribucijom. Uslovi za aproksimaciju binomne distribucije Poissonovom su 10,030 ≤≥ pin .


264

1 2 3 4 5 6 3070

0,1

0,2

0,3

0,4

Aproksimacija binomne Poissonovom distribucijom za vrijednosti n=30 i p=0,05Grafikon 5.18.

0

binomna distribucija

Poissonovadistribucija

p(xi)

xi

500

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

Aproksimacija binomne Poissonovom distribucijom za vrijednosti n=50 i p=0,05Grafikon 5.19.



1 2 3 4 5 6 7 80

p(xi)

xi


265

1 2 3 4 5 6 7 8 9

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

30

Aproksimacija binomne Poissonovom distribucijomza vrijednosti n=30 i p=0,1Grafikon 5.20.



00

p(xi)

xi

Aproksimacija binomne Poissonovom distribucijomza vrijednosti n=50 i p=0,1Grafikon 5.21.

0,1

0,2

0,3

0,4

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 500



0

p(xi)

xi

Na osnovu prezentiranih grafikona možemo konstatovati da je aproksimacija bolja ukoliko n raste, a vjerovatnoća p opada.


266

5.2.7.5. Hipergeometrijska distribucija vjerovatnoće

Hipergeometrijska distribucija vjerovatnoće H(N,n,p) je distribucija zbira n slučajnih Bernouillijevih zavisnih varijabli. Radi se dakle o izvlačenju bez ponavljanja. Broj povoljnih ishoda među n slučajnih sukcesivnih Bernouillijevih eksperimenata se kreće između max (0,n,N2) i min (n,N1). Ova slučajna varijabla ima istu očekivanu vrijednost kao binomna varijabla, ali je varijansa manja za odnos (N-n)/(N-1) koji se naziva faktor egzostivnosti. Označimo sa: N=N1+N2 broj elemenata skupa, N1 broj povoljnih ishoda ili broj elemenata skupa koji posjeduje traženo obilježje, N2=N-N1 broj nepovoljnih ishoda ili broj elemenata skupa koji ne posjeduju traženo obilježje i k broj povoljnih ishoda ili broj elemenata u uzorku koji posjeduju dato obilježje. Uz uslov da je NNkNn ≤≤≤ 1 , , skup mogućih realizacija i vjerovatnoća svake od realizacija su dati sljedećim izrazima:

( ) ( ) ( ) 12 ,min,...,,0max NnNnX −=Ω

( ) nN

knN

kN

CCC

nN

knN

kN

kXp−⋅

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

== 21

21

(5.78)

Očekivana vrijednost i varijansa su:

( )1

; 2121

−−⋅⋅=⋅=

NnN

NN

NNn

NNnXE σ (5.79)

Ova distribucija se primjenjuje u rješavanju problema izbora uzoraka. Uzorak se može odabrati sa ponavljanjem i bez ponavljanja elemenata. Nezavisnost elemenata obezbjeđuju uzorci sa ponavljanjem.

U slučajevima kada je populacija vrlo velika, ili kada je odnos (n/N<1/10), ova distribucija se može aproksimirati pomoću binomne distribucije.

5.2.7.6. Tabelarni pregled prekidnih distribucija

U narednoj tabeli je prezentiran pregled analiziranih prekidnih distribucija i njima odgovarajućih očekivanih vrijednosti i varijansi.


267

Tabela 5.1. Prekidne distribucije vjerovatnoće

Prekidne distribucije

Distribucije vjerovatnoće

Očekivana vrijednost

Varijansa

Uniformna [ ]~U 1, X n ( )

npnxpx xx

1 je gdje ,,...,1,, == ( ) 12

nE X +=

1212

2 −= nσ

Bernoullijeva X~Bernoulli (p)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛p p-11 0

:)(XD

pXE =)(

( ) qpppx ⋅=−= 12σ

Binomna X ~ B(n,p)

( ) ( ) xnxxn ppCxp −−⋅= 1

pnXE ⋅=)(

( )pnpx −= 1 2σ

Poissonova X ~ ( )λP

( ) , 2,718,!

x

p X x e e n px

λ λ λ−= = ⋅ = = ⋅

( )E X μ λ= =

λσ =2x

Hipergeo- metrijska H(N,n,p) ( ) n

N

knN

kN

CCC

nN

knN

kN

kXp−⋅

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

== 21

21

( ) 1NE X nN

= ⋅

1212

−−⋅⋅=

NnN

NN

NNnσ

5.2.8. Neprekidne distribucije vjerovatnoće

5.2.8.1. Neprekidna uniformna distribucija

Varijabla X ima neprekidnu uniformnu distribuciju u intervalu [ ]ba; ako je:

1. ( ) [ ]baX ;=Ω 2. Funkcija gustoće vjerovatnoće f(x) definisana kao:

( )[ ] ( )[ ] ( )⎪⎩

⎪⎨⎧

−=∈

=∉=

abxfbaxako

xfbaxakoxf 1 ;

0 ; (5.80)

3. Funkcija distribucije vjerovatnoće

( ) [ ] ( )x

F x P X x f x dx−∞

= ≤ = ⋅∫


268

( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

≥

≤≤−−

≤

=

bx

bxazaabax

ax

xF

za 1,

za,0

(5.81)

Ako slučajna prekidna varijabla slijedi uniformnu distribuciju [ ] ; ~ baUX tada su očekivana vrijednost i varijansa definisane sljedećim

izrazima:

( ) ( )12

i 2

22 abbaXE −=+= σ (5.82)

Neprekidni uniformni zakon vjerovatnoće i njemu odgovarajuću funkciju zakona vjerovatnoće predstavljamo na sljedećim grafikonima:

a b x

1b-a

Neprekidna uniformna distribucija vjerovatnoćeGrafikon 5.22.

f (x)

a b x

1

Funkcija neprekidne uniformne distribucije vjerovatnoće Grafikon 5.23.

F(x)


269

5.2.8.2. Normalna distribucija vjerovatnoće ili Laplace-Gaussova distribucija

Varijabla X ima Laplace-Gaussov zakon vjerovatnoće koji zavisi od parametra 2 i μ σ ( )2,~ σμNX ako su zadovoljeni sljedeći uslovi:

1. ( ) RX =Ω (skup realnih brojeva) tj. ( )+∞∞−∈ ;X 2. Funkcija gustine vjerovatnoće f (x) je definisana za svako x:

( ) ( )21

21 , gdje je 3,14... i2

x

f x e E xμ

σ π μσ π

−⎛ ⎞− ⎜ ⎟⎝ ⎠= = = (5.83)

3. Funkcija distribucije vjerovatnoće je jednaka:

( )21

212

xx

F x e dxμ

σ

σ π

−⎛ ⎞− ⎜ ⎟⎝ ⎠

−∞

= ∫ (5.84)

Na grafikonu 5.24. je predstavljena kriva normalne distribucije ( )2,σμN .

Normalna distribucijaGrafikon 5.24.

3-μ σ -2μ σ -μ σ μ +μ σ +2μ σ 3+μ σ

( )if x

ix

2( ; )N μ σ

Normalna distribucija za n=10, aritmetičku sredinu μ=5, i varijansu σ2 =2,5 je prikazana na sljedećem grafikonu:


270

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

00 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0,30

Normalna distribucija zaGrafikon 5.25.

f(xi)

xi

210 5 2 5, , ,n μ σ= = =

Na grafikonu 5.26. su predstavljene dvije normalne distribucije sa različitim aritmetičkim sredinama i jednakom varijansom: ( )4,5 2

1 === σμN i ( )4,8 2

2 === σμN . Kriva normalne distribucije N2 sa većom aritmetičkom sredinom je pomjerena udesno u odnosu na krivu normalne distribucije N1.

Poređenje normalnih distribucija sa različitim aritmetičkim sredinama i jednakim varijansama Grafikon 5.26.

N1 N2f(xi)

xi

( )4,5 21 === σμN

( )4,8 22 === σμN

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

-4 -2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18

Na grafikonu 5.27. su predstavljene dvije normalne distribucije sa jednakim aritmetičkim sredinama i različitim varijansama: ( )4,5 2

1 === σμN i ( )8,5 2

2 === σμN . Kriva normalne distribucije N1, čija je varijansa


271

manja, šiljastija je u odnosu na krivu N2 koja je spljoštenija jer je njena varijansa veća. Ukoliko su varijansa i standardna devijacija veće, kriva normalne distribucije je spljoštenija (šira) jer u tom slučaju podaci više odstupaju od aritmetičke sredine.

Poređenje normalnih distribucija sa jednakim aritmetičkim sredinama i različitim varijansama

Grafikon 5.27.

N1 N2

xi

( )8,5 22 === σμN

( )4,5 21 === σμN

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

-4 -2 0 2 4 6 8 10 12 14

f (xi)

5.2.8.2.1. Standardizovana normalna distribucija

Normalna distribucija se može svesti na standardizovanu normalnu distribuciju koja ima vrlo široku primjenu. Normalna distribucija se standardizuje ako se X linearno transformira σμ ZX += , tako da dobijemo standarizovanu varijablu Z sa parametrima .1 i 0 == σμ

Pretpostavimo da X~N ( ) ; 2σμ i da je slučajna standardizovana varijabla Z jednaka:

σμ−= XZ

σμ

σ−= XZ 1 (5.85)

Z ima normalnu distribuciju čije parametre treba odrediti.

( ) ( )1 1 0E Z E X E Xμ μ μ μσ σ σ σ σ σ⎛ ⎞= − = − = − =⎜ ⎟⎝ ⎠

(5.86)


272

Primjenjujući osobinu nelinearnosti varijanse dobijamo

( ) ( )2

2 2 22 2

1 1 1Z X Xμ σσ σ σσ σ σ σ⎛ ⎞= − = = =⎜ ⎟⎝ ⎠ (5.87)

Ako je ( )σ

μσμ −= XZNX i ;~ 2 , Z slijedi standardizovanu normalnu

distribuciju čija je aritmetička sredina jednaka nuli, a varijansa i standardna devijacija jedinici: Z~N(0,1)

-3 -2 2 3

Standardizovana normalna distribucija N (0;1)Grafikon 5.28.

-1 10

f(zi)

zi

Standardizovani oblik modela normalne distribucije je:

( ) ( )2

21 , 12

z

f z e f z dzπ

+∞−

−∞

= =∫ (5.88)

Funkcija distribucije vjerovatnoće standardizovanog normalnog rasporeda je data sljedećim izrazom:

( ) ( )2

212

z z z

F z f z dz e dzπ

−

−∞ −∞

= =∫ ∫ (5.89)

Aritmetička sredina standardizovane distribucije je jednaka nuli. Varijansa i standardna devijacija su jednake jedinici. Ova distribucija je simetrična u odnosu na nulu (tj. aritmetičku sredinu čija je vrijednost u ovom slučaju


273

jednaka nuli). Ova distribucija je tabelirana i odgovarajuće tablice se nalaze u prilogu.

Na sljedećim grafikonima je ilustrovano određivanje površine ispod normalne krive, odnosno odgovarajuće gustine vjerovatnoće. Vjerovatnoća na grafikonu 5.29. je jednaka ==≤ )25,1()25,1( Fzp 0,89435.

F (1,25)Grafikon 5.29.

-1,25 1,250 3-3 z

[ ]1 25z ,p ≤

Gustina vjerovatnoće koja je predstavljena na grafikonu 5.30. se određuje na sljedeći način:

( 1, 25) ( 1,25) ( 1,25) 1 ( 1,25)( 1,25) 1 (1,25)

F p z p z p zF F

− = ≤ − = ≥ = − ≤− = −

10565,089435,01)25,1( =−=−F

F (-1,25)Grafikon 5.30.

-1,25 1,250 3-3 z

[ ]1 25z ,p ≤


274

5.2.8.2.2. Osobine normalne distribucije

Najznačajnije osobine normalne distribucije su sljedeće: • Normalna distribucija je u potpunsti definisana očekivanom

vrijednošću, odnosno aritmetičkom sredinom i varijansom ( )2,~ σμNX .

• Kriva normalne distribucije ima zvonasti oblik, unimodalna je i simetrična je u odnosu na očekivanu vrijednost (aritmetičku sredinu).

• Aritmetička sredina, medijana i mod su jednaki. • Relativna mjera asimetrije α3 je jednaka nuli. • Vrijednost relativne mjere spljoštenosti α4 je jednaka tri.

Spljoštenost normalne distribucije zavisi od veličine standardne devijacije. Normalna distribucija je spljoštenija ukoliko standardna devijacija ima veću vrijednost.

• Ukupna površina ispod krive je jednaka jedinici. Pošto je kriva normalne distribucije simetrična, 50% površine se nalazi lijevo i 50% površine desno od aritmetičke sredine. Površina ispod normalne krive je jednaka gustini vjerovatnoće. Vjerovatnoća da neprekidna varijabla X uzme vrijednost veću (ili manju) od aritmetičke sredine jednaka je 50%.

• Normalna distribucija posjeduje osobine linearnosti i aditivnosti. • Linearnost normalne distribucije

Ako je slučajna neprekidna varijabla X raspoređena prema normalnoj distribuciji, tada je i varijabla Y =aX+b raspoređena prema normalnoj distribuciji.

• Aditivnost normalne distribucije

Ako X~N i Y~N, i ako su X i Y nezavisne varijable, tada varijabla S=X+Y ima normalnu distribuciju sa parametrima E(S) i varijansu od S koji se izračunavaju koristeći analizirane osobine ova dva parametra.

( ) ( )222

211 , ~,, ~ σμσμ NYNX

( ) ( )[ ]( ) ( )[ ]2

12121

21

2121

; ~)(

; ~)(

σσμμσσμμ

+−−=

+++=

NYXS

NYXS (5.90)


275

Primjer 5.5.

X ~ N(12;3) i Y=4X+6

Treba odrediti očekivanu vrijednost i varijansu slučajne varijable Y: Y ~ N(E(Y);σy

2).

E(Y)=E(4X+6)=4E(X)+6= 546124 =+⋅ .

Koristeći nelinearnost varijanse dobijamo σy2= 48.

( ))48;54( ~

483161664 222

NYX XY =⋅=⋅=+= σσσ

5.2.8.2.3. Karakteristični intervali normalne distribucije

Pretpostavimo da X~N );( 2σμ i odredimo vjerovatnoću da se slučajna varijabla nalazi u intervalu [ ]σμσμ kXkp +≤≤− .

VjerovatnoćaGrafikon 5.31.

3μ σ− ⋅ 3μ σ+ ⋅kμ σ+ ⋅kμ σ− ⋅ μ x

[ ]p k X kμ σ μ σ− ⋅ ≤ ≤ + ⋅

Koristićemo standardizovanu varijablu σ

μ−= XZ . Slučajna varijabla Z se

ponaša po standardizovanom normalnom rasporedu ( )1;0 ~ NZ , pa slijedi:

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −+≤−≤−−

σμσμ

σμ

σμσμ kXkp

[ ] kZkp ≤≤− (5.91)


276

Odredimo vjerovatnoću da će se slučajna varijabla Z nalaziti u intervalu (-k;k).

VjerovatnoćaGrafikon 5.32.

0 3-3

2 1( )F k −

[ ]p k Z k− ≤ ≤

k zk−

Vjerovatnoća da će se slučajna varijabla Z nalaziti u intervalu (-k;k) je jednaka:

[ ] ( ) ( ) ( ) ( )[ ] 1 kFkFkFkFkZkp −−=−−=≤≤−

[ ] ( ) 12 −=≤≤− kFkZkp

[ ] ( ) 12 −=+≤≤− kFkXkp σμσμ (5.92)

Za različite vrijednosti od k dobijamo sljedeće intervale: • ( ) 8413,01 1 == Fk

[ ] 6826,0=+≤≤− σμσμ Xp

• ( ) 9772,02 2 == Fk

[ ] 9544,022 =+≤≤− σμσμ Xp

• ( ) 99865,03 3 == Fk

[ ] 9973,033 =+≤≤− σμσμ Xp

Ukoliko zaokružimo dobijene vrijednosti možemo napisati tri karakteristična intervala standardizovane normalne distribucije. Vjerovatnoća da slučajna varijabla X odstupa od aritmetičke sredine za


277

jednu standardnu devijaciju je 68,3%, za dvije standardne devijacije je 95,4% i za tri 99,7%.

[ ] %3,68=+≤≤− σμσμ Xp

[ ] %4,9522 =+≤≤− σμσμ Xp

[ ] %7,9933 =+≤≤− σμσμ Xp

Definisani intervali su predstavljeni na grafikonu 5.33.

68,3%

95,4%

f (xi)

Karakteristični intervali normalne distribucijeGrafikon 5.33.

xi

99,7%

3-μ σ -2μ σ -μ σ μ +μ σ +2μ σ 3+μ σ

Za slučajnu varijablu raspoređenu po standardizovanoj normalnoj distribuciji vrijedi sljedeća relacija ~ (0;1)X N . Aritmetička sredina ovog rasporeda je jednaka nuli, a varijansa i standardna devijacija jedinici. U tom slučaju karakteristični intervali su:

[ ] %3,6811 =≤≤− Xp

[ ] %4,9522 =≤≤− Xp

[ ] %7,9933 =≤≤− Xp

Prikaz karakterističnih intervala za standardizovanu normalnu distribuciju je predstavljen na grafikonu 5.34.


278

-3 -2 2 3

68,3%

95,4%

f (zi)

Karakteristicni intervali standardizovane normalne distribucije

-1 1 zi

99,7%

0

Grafikon 5.34.

5.2.8.2.4. Vjerovatnoće normalne distribucije

Za jednostavnije izračunavanje vjerovatnoće korištenjem tablica standar-dizovane normalne distribucije navodimo nekoliko najčešćih odnosa za svako i < j:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )jjj

ijjjji

zFzZpzZp

zFzFzZpzZpzZzp

−=≤−=≥

−=≤−≤=≤≤

11 (5.93)

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 121

11

−=+−=−≤−≤=≤≤−

=≤=−≥

−=≤−=≥=−≤

jijjjjj

jjj

jjjj

zFzFzFzZpzZpzZzp

zFzZpzZp

zFzZpzZpzZp

Normalna distribucija vjerovatnoće predstavlja najznačajniju distribuciju vjerovatnoće zbog toga što:

• veliki broj pojava ima približno normalan raspored; • normalnim rasporedom se mogu aproksimirati prekidni rasporedi uz

odgovarajuće uslove; • iz normalnog rasporeda se izvode drugi neprekidni rasporedi; • normalni raspored predstavlja osnovu za parametarsko zaključivanje.


279

5.2.8.3. Aproksimacije distribucija vjerovatnoće

Aproksimaciju binomne distribucije Poissonovom distribucijom smo analizirali u dijelu 5.2.7.4. Binomna i Poissonova distribucija vjerovatnoće se mogu, uz određene uslove, aproksimirati normalnom distribucijom vjerovatnoće.

• Aproksimacija binomne distribucije normalnom distribucijom vjerovatnoće

Uslovi za aproksimaciju binomne distribucije normalnom distribucijom su sljedeći: 10)1(,10,20 ≥−≥≥ pnnpn . U prva dva slučaja (grafikoni 5.35. i 5.36.) uslovi aproksimacije nisu zadovoljeni i aproksimacija, kao što se uočava na grafikonima, nije zadovoljavajuća.

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0

0,6

1 2 3 40 10

Aproksimacija binomne normalnom distribucijom za vrijednosti n=10 i p=0,05Grafikon 5.35.


normalnadistribucijaf(xi)

p(xi)

xi


280

1 2 3 40 5 100

Aproksimacija binomne normalnom distribucijomza vrijednosti n=10 i p=0,1Grafikon 5.36.

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,35

0,40

0,45



f(xi)p(xi)

xi

U druga dva slučaja predstavljena na grafikonima 5.37. i 5.38. uslovi aproksimacije su zadovoljeni i aproksimacija je prihvatljiva.

0

0,02

0,04

0,06

0,08

0,1

0,12

0,14

0,16

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30




f(xi)p(xi)

xi


281

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50




f(xi)p(xi)

xi0

0,02

0,04

0,06

0,08

0,1

0,12

• Aproksimacija Poissonove distribucije normalnom distribucijom vjerovatnoće

Uslov za aproksimaciju Poissonove distribucije normalnom distribucijom vjerovatnoće je 15≥⋅= pnλ . Na grafikonu 5.39. uslov za aproksimaciju nije zadovoljen, a na grafikonima 5.40. i 5.41. uslov za aproksimaciju je zadovoljen.

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Aproksimacija Poissonove normalnom distribucijom zaGrafikon 5.39.

f(xi)p(xi)

xi

Poissonova distribucija


5npλ = =


282

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 290

0,02

0,04

0,06

0,08

0,1

0,12

0,14

0,16

30

f(xi)p(xi)

xi




15npλ = =


f(xi)p(xi)

xi

0

0,02

0,04

0,06

0,08

0,1

0,12

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50



25npλ = =

Uslovi za aproksimaciju12 distribucija vjerovatnoće su predstavljeni u sljedećoj šemi:

12 J.J. Droesbeke: Elements de statistiques, Ellipses Paris et Editions de l'Universite

libre de Bruxelles, Bruxelles, 1977, str. 262.


283

( , , )H N n p ( , )B n p ( )P λ

15λ ≥( , )N μ σ

Uslovi za aproksimacijeŠema 5.1.

10

30

%nNn

⎧ ≤⎪⎨⎪ ≥⎩

2010

1 10( )

nnpn p

≥⎧⎪ ≥⎨⎪ − ≥⎩

300 10,

np

≥⎧⎨ ≤⎩

10%nN

≤

5.2.8.4. Hi-kvadrat ( )2χ distribucija

Posmatramo n slučajnih varijabli: nXXX ,...,, 21 koje su nezavisne i svaka ima normalnu standardizovanu distribuciju. Ako je varijabla X jednaka zbiru kvadrata varijabli iX :

∑=

+++=n

inXXXX

1

222

21 ... (5.94)

kažemo da varijabla X ima hi-kvadrat distribuciju sa n stepeni slobode: 2 stepeni slobode ~ nX χ (5.95)

Ova distribucija se primjenjuje kada analiziramo značajnost razlika stvarnih i teorijskih frekvencija, vrijednosti varijabli itd. Definiše se kao zbir kvadrata razlika između stvarnih i očekivanih vrijednosti prema očekivanim vrijednostima:

( )∑=

−=

n

i i

ii

eem

1

22χ (5.96)


284

+∞<≤ 20 χ , gdje je mi stvarna, a ei očekivana frekvencija. Hi-kvadrat distribucija može uzeti vrijednosti od 0 do beskonačno, dakle ne može biti negativna jer je jednaka zbiru kvadrata i zavisi o broju stepeni slobode (degrees of freedom - df). Broj stepeni slobode se definiše kao broj nezavisnih vrijednosti podataka umanjen za broj ograničenja koja se nameću tim vrijednostima. Vrijednosti distribucije su tabelirane. U pretkoloni su brojevi stepeni slobode od 1 do 30. U zaglavlju su vjerovatnoće. U tabeli su date kritične vrijednosti koje će hi-kvadrat premašiti za datu vjerovatnoću i broj stepeni slobode. To pokriva skoro sve slučajeve u praksi, jer su slučajevi sa brojem stepeni slobode većim od 30 rijetki.

Ova distribucija je asimetrična i sa porastom broja stepeni slobode približava se normalnoj distribuciji.

Hi-kvadrat distribucija je data sljedećim izrazom:

( ) ( ) 222

2

2

2

2

22

1 χ

χχ−−

⋅⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛Γ

= en

fn

n

( ) ( ) ( ) 1 ,00

222 => ∫+∞

χχχ dff (5.97)

Hi-kvadrat distribucija je predstavljena na sljedećem grafikonu.

distribucijaGrafikon 5.42.

0

2( )f χ

2, /2n aχ 2

,1 /2n aχ −2χ

2χ


285

Gama funkcija koja se koristi u definisanju hi-kvadrat distribucije data je sljedećim izrazom:

( ) ∫+∞

−− >=Γ0

1 0, ρρ ρ dxex x (5.98)

Izrazi za očekivanu vrijednost, koja je jednaka broju stepeni slobode, i varijansu ove distribucije su:

υσυμ 2,)( 2 ===XE (5.99)

Koeficijent varijacije je:

1002 ⋅=n

kv (5.100)

Koeficijenti asimetrije i spljoštenosti su:

n24

3 =α i n

1234 +=α (5.101)


( ) ( ) ( )

+

−−

∈

⋅⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛Γ

= ∫

02

22

0

22

2

2

2

22

22

1

R

den

Fjx n

n

χ

χχχχ

(5.102)

5.2.8.5. Studentova t distribucija

Pretpostavimo da je Z slučajna varijabla koja ima normalnu standardizovanu distribuciju i X slučajna varijabla koja ima hi-kvadrat distribuciju sa n stepeni slobode. Ako su Z i X nezavisne varijable, tada varijabla T

nX

ZT = (5.103)

slijedi Studentovu distribuciju sa n stepeni slobode.


286

Za slučajnu promjenljivu T kažemo da ima Studentovu distribuciju vjerovatnoće ako je njena funkcija vjerovatnoće za t jednaka:

( )

( ) ( ) ( )tftfitf

nt

n

n

ntf

n

−=>

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⋅

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛Γ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +Γ

⋅=

+

0

1

2

21

1 21

2

π (5.104)

Studentova distribucija je razvučena na obje strane normalne distribucije i to utoliko više što je broj stepeni slobode n manji. Ova distribucija je simetrična u odnosu na ordinatnu osu i promjenljiva t uzima vrijednosti od ∞+∞− do . Kada ( ) 0,/ →∞−+→ tft i apscisa postaje asimptota ove funkcije. Studentova distribucija je unimodalna.

Očekivana vrijednost i varijansa ove distribucije su:

( ) 2,2

,0 2 >−

=== nn

ntE σμ (5.105)

Relativne mjere asimetrije i spljoštenosti su:

463,0 43 −

+==n

αα (5.106)


( ) ∫∞−

+−

⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛Γ⋅

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +Γ

=t

n

dtnt

nn

n

tS2

12

1

2

21

π (5.107

odnosno

( ) ( ) ( )∫∞−

=≤<∞−=jt

jjn dttfttPtS (5.108)

Osobine funkcije distribucije ( )jn tS koje se često koriste u praktičnim izračunavanjima su:


287

( ) ( ) ( )jnjj tSttpttp −=≤−=> 11

( ) ( ) ( )jnjnj tStSttp −=−=−≤ 1

( ) ( ) ( )injnji tStStttp −=≤<

( ) ( ) 12 −=≤<− jnjj tStttp

( ) ( )[ ]jnj tSttp −=> 12 (5.109)

Studentova distribucija se primjenjuje u slučaju malih uzoraka. Uzorak se smatra malim ukoliko ima manje od 30 elemenata (n<30). Oblik Studentove distribucije zavisi od veličine n. U izrazu za funkciju vjerovatnoće veličina n predstavlja broj stepeni slobode (degres of freedom). Broj stepeni slobode nekog pokazatelja predstavlja broj nezavisnih ponavljanja umanjen za broj parametara koji su potrebni da bi se izračunao dati pokazatelj. Na grafikonu 5.43. je predstavljena Studentova t distribucija.

Studentova distribucijaGrafikon 5.43.

0

( )f t

nt− nt t

Na grafikonu 5.44. prezentirane su Studentova t distribucija i standardizovana normalna distribucija. Kao što smo već konstatovali, Studentova t distribucija je spljoštenija od normalne distribucije.


288

standardizovana normalnat distribucija

Standardizovana normalna i t distribucijaGrafikon 5.44.

( )( )

i

i

f tf x

( )( )

i

i

tx

5.2.8.6. Ficher-Snedecorova (F) distribucija

Ukoliko je X slučajna varijabla koja ima hi-kvadrat distribuciju ( )2χ sa m stepeni slobode i Y slučajna varijabla koja ima hi-kvadrat distribuciju ( )2χ sa n stepeni slobode i ako su ove dvije varijable nezavisne, tada varijabla F

nYmXF

//= (5.110)

slijedi Ficher-Snedecorovu distribuciju sa ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛nm

stepeni slobode. Distribucija

vjerovatnoće nije simetrična u odnosu na m i n.

Slučajna varijabla uzima vrijednost iz intervala (0; ∞− ) i distribucija ima sljedeći oblik:

( )( ) 2

12

,

12

2nm

m

nm

x

xn

sm

nm

xf +

−

+⋅

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ΓΓ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +Γ

= (5.111)

m i n su broj stepeni slobode (df).

Očekivana vrijednost i varijansa ove distribucije su:


289

2 za 2

>−

= nn

mμ

( )( ) ( ) 4 za ,

4222

22 >

−−−+= n

nnmnmσ (5.112)

Ako uvedemo smjenu FnmX = dobijamo Ficher-Snedecorovu distribuciju

sa ν1 i ν2 stepeni slobode. Distribucija vjerovatnoće je tada jednaka:

( ) 2)(

12

12

21

22

21

21121

),()(

ννννν

νννννν +

−−+⋅⋅= FF

BFf (5.113)


( )dF

F

FB

FPF

⋅+

⋅⋅= ∫∞+

+−

−

0

21

121

2)(

12

12

21

22

21

),()( νν

ννν

νννννν . (5.114)

Ficherova (F) distribucija se koristi u slučajevima kada želimo analizirati varijabilnost dva osnovna skupa na osnovu uzorka. Pomoću F distribucije se provjerava hipoteza o jednakosti dvije varijanse uzoraka preko njihovog odnosa na bazi broja stepeni slobode za svaku od njih. Kada su posmatrani osnovni skupovi normalno distribuirani tada je količnik dvije nezavisne ocjene varijanse dat u obliku:

22

21

σσ=F (5.115)

Vrijednosti distribucije su tabelirane. U zaglavlju su navedeni stepeni slobode (df) za procjenu varijanse koja se nalazi u brojniku odnosa F, a u pretkoloni brojevi stepeni slobode za procjenu varijanse koja se nalazi u nazivniku odnosa F.

Ova distribucija zavisi od dva parametra: stepena slobode prve varijable (prvog skupa) i stepena slobode druge varijable (drugog skupa).


290

5.2.8.7. Tabelarni pregled neprekidnih distribucija vjerovatnoće

U tabeli broj 5.2. su prezentirane neprekidne distribucije vjerovatnoće i njima odgovarajuće očekivane vrijednosti i varijanse.

Tabela 5.2. Neprekidne distribucije vjerovatnoće

Neprekidne distribucije

Distribucija vjerovatnoće Očekivana vrijednost

Varijansa

Uniformna

[ ] ; ~ baUX ( )[ ] ( )

[ ] ( )

; 01 ;

ako x a b f xf x

ako x a b f xb a

⎧ ∉ =⎪= ⎨

∈ =⎪ −⎩

( )2

a bE X += ( )12

2

2 ab −=σ

Normalna ( )2,~ σμNX ( )

2

21

21 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −−

= σμ

πσ

x

exf

( )E X μ=

2σ

Standardi-zovana

normalna Z~N(0,1)

( ) 2

2

21 z

ezf−

=π

( ) 0E X μ= =

12 =σ

Hi kvadrat

2df ~ nX χ

( ) ( ) 222

2

2

22

22

1 χ

χχ−−

⋅⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛Γ

= en

fn

n

( )E X nμ= =

n22 =σ

Studentova

( )

( ) ( ) ( )tftfitf

nt

n

n

ntf

n

−=>

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⋅

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛Γ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +Γ

⋅=

+

0

1

2

21

1 21

2

π

( ) 0,E t μ= =

2,2

2 >−

= nn

nσ

Ficher-

Snedecorova ( )( ) 2

12

,

12

2nm

m

nm

x

xn

sm

nm

xf +

−

+⋅

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ΓΓ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +Γ

=

2 za

2

>−

=

nn

mμ

( )

( ) ( ) 4 za ,4222

22 >

−−−+= n

nnmnmσ

5.2.8.8. Centralna granična teorema

Normalna distribucija je fundamentalna distribucija vjerovatnoće i ova distribucija se koristi u velikom broju slučajeva koji su vezani za primjenu centralne granične teoreme. Posmatrajmo seriju od n slučajnih varijabli (prekidnih ili neprekidnih) nXXX ,...,, 21 .


291

Ako su ove slučajne varijable iX međusobno nezavisne i ako sve imaju istu

distribuciju (bilo koju, ali istu), tada njihov zbir ∑=

n

iiX

1

(kada n postaje vrlo

velik) teži prema normalnoj distribuciji.

Ova teorema ima vrlo široko područje primjene, posebno u oblasti teorije uzoraka.

5.2.8.9. Šematski prikaz prekidnih i neprekidnih distribucija vjerovatnoće

U sljedećem šematskom prikazu su predstavljene prekidne i neprekidne distribucije vjerovatnoće koje smo analizirali u ovom poglavlju.

Neprekidne distribucije vjerovatnoće

Neprekidna uniformna distribucija

Normalna distribucija vjerovatnoće

Hi-kvadratdistribucija

Studentovadistribucija

Ficher-Snedecerova distribucija

Prekidne distribucije vjerovatnoće

Uniformni zakonvjerovatnoće

Bernoullijeva distribucija vjerovatnoće

Binomna distribucija vjerovatnoće

Poissonova distribucija vjerovatnoće

Hipergeometrijska distribucija vjerovatnoće

Distribucije vjerovatnoćeŠema 5.2.


292


1. Definišite eksperiment, skup mogućih rezultata eksperimenta i elementarni događaj.

2. Definišite vjeovatnoću koristeći eksperimentalni i teorijski pristup. 3. Analizirajte uslovnu vjerovatnoću. 4. Definišite i analizirajte Bayesovu teoremu. 5. Definišite i analizirajte slučajnu varijablu. 6. Koje tipove slučajne varijable poznajete? 7. Analizirajte prekidnu slučajnu varijablu i distribuciju vjerovatnoće ove

varijable. 8. Definišite Čebiševu teoremu. 9. Koje korisne informacije nam pruža primjena Čebiševe teoreme? 10. Nabrojite prekidne distribucije (rasporede) vjerovatnoće. 11. Analizirajte binomnu distribuciju vjerovatnoće i njene osobine. 12. Analizirajte Poissonovu distribuciju vjerovatnoće i njene osobine. 13. Definišite i analizirajte osobine neprekidne slučajne varijable. 14. Nabrojite neprekidne distribucije vjerovatnoće. Koja od njih se

najčešće koristi? 15. Analizirajte normalnu distribuciju vjerovatnoće. 16. Koje su osobine normalne distribucije vjerovatrnoće? 17. Analizirajte standardizovanu normalnu distribuciju. 18. Koja je razlika između normalne i standardizovane normalne

distribucije? 19. Nabrojite nekoliko slučajeva praktične primjene normalnog rasporeda

vjerovatnoće u određivanju intervala povjerenja i testiranju hipoteza. 20. Koji se rasporedi i uz koje uslove mogu aproksimirati normalnim

rasporedom vjerovatnoće? 21. Koja je osnovna razlika između binomnog i normalnog rasporeda

vjerovatnoće? Od kojih parametara zavise jedan i drugi raspored i koji su izrazi za njihove aritmetičke sredine i varijanse?

22. Predstavite šemu i uslove za aproksimacije. 23. Definišite i analizirajte hi-kvadrat distribuciju. 24. Definišite i analizirajte Studentovu distribuciju. 25. Definišite i analizirajte Ficher-Snedecorovu distribuciju.


293

26. Definišite stepene slobode. 27. Definišite i analizirajte, uz grafičku prezentaciju, normalnu distribuciju

vjerovatnoće. Koja je njena prednost u odnosu na ostale distribucije i koje su oblasti u kojima se primjenjuje?


Zadatak 1.

X~B(10;0,4) odrediti:

a) Vjerovatnoću da je X veće ili jednako 4 b) Vjerovatnoću da je X manje ili jednako 4 c) Vjerovatnoću da je X jednako 9 d) Vjerovatnoću da je X veće od 10 e) Vjerovatnoću da se X nalazi između 4 i 10.

Elementi rješenja:

X~B(10;0,4)

a) ( ) ( ) ( ) 6177,03823,0131414 =−=≤−=<−=≥ xpxpxp

b) ( ) ( ) 6331,044 ==≤ Fxp

c) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0006,09983,09999,089899 =−=−=≤−≤== FFxpxpxp

d) ( ) ( ) ( ) 01110110110 =−=−=≤−=> Fxpxp

e) ( ) ( ) ( ) 3668,06331,09999,049104 =−=≤−≤=<< xpxpxp

Zadatak 2.

Za X~P(0,5) i X~P(4) odrediti:

a) ( )0=xp ; b) ( )3=xp ; c) ( )10=xp ; d) ( )5≥xp ; e) ( )2<xp ; f) ( )3>xp


294

Elementi rješenja: • X~P(0,5)

a) ( ) 60653,00 ==xp

b) ( ) 07582,03 ==xp

c) ( ) 010 ==xp

d) ( ) ( ) ( ) 0002,09998,0141515 =−=≤−=<−=≥ xpxpxp

e) ( ) ( ) 9098,012 =≤=< xpxp

f) ( ) ( ) ( ) 01438,098562,0131313 =−=−=≤−=> Fxpxp

• X~P(4) a) ( ) 0183,00 ==xp

b) ( ) 014653,02 ==xp

c) ( ) 020 ==xp

d) ( ) ( ) ( ) 3712,06288,0141515 =−=≤−=<−=≥ xpxpxp

e) ( ) ( ) 0916,012 =≤=< xpxp

f) ( ) ( ) ( ) 5665,04335,0131313 =−=−=≤−=> Fxpxp

Zadatak 3.

Ako su godine grupe osoba distribuirane po normalnom rasporedu N(41;8) odrediti teorijski procenat osoba iz grupe koje imaju:

a) manje od 53 godine b) između 25 i 49 godina c) najmanje 35 godina

Elementi rješenja:

X~N(41,64), E(X)= μ = 41; σ = 8

a) Z~N(0,1)

( ) ( ) ( ) 9332,05,15,153 ==<=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −<=< Fzpxzpxp

σμ

93,32% osoba imaju manje od 53 godine.


295

b)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )[ ] ( )

( ) ( )[ ] ( ) ( )

0,8185 1-0,97720,8413

1212119772,018413,0 218413,0218413,0

212125494925

=+=

=−+=−−=+−==+−=−−=

=−−=<−<=<−<=<<

FFFFFF

FFzpzpxpxpxp

81,85% osoba imaju više od 25, a manje od 49 godina.

c)

( ) ( )( )

( )[ ]( ) 7734,075,0

75,011 75,01

35135

==−−=

−≤−=≤−=≥

FF

zpxpxp

77,34% osoba imaju 35 ili više godina.

Zadatak 4.

Mašina puni automatski kutije šećera tako da je težina šećera u kutiji slučajna varijabla koja slijedi normalnu distribuciju sa parametrima μ i σ izraženim u kg. Želi se regulisati mašina tako da težina šećera u kutiji prelazi 990 grama sa najmanje 95% vjerovatnoće.

a) Ako je σ=0,02 kg, koja mora biti minimalna prosječna težina μ? b) Ako je prosječna težina μ=1 kg, koje može biti maksimalno

odstupanje u težini (σ) uz vjerovatnoću od najmanje 95%?

Elementi rješenja:

a) ( ) ( )σμ,~;95,099,0 Nxxp ≥>

0,99 0,95xp μ μσ σ− −⎛ ⎞> ≥⎜ ⎟

⎝ ⎠

( ) , ~N 0,1xz zμσ−=


296

0,99 0,95p z μσ

−⎛ ⎞> ≥⎜ ⎟⎝ ⎠

0,991 0,95p z μσ

−⎛ ⎞− < ≥⎜ ⎟⎝ ⎠

0,99 0,050,02

p z μ−⎛ ⎞< ≤⎜ ⎟⎝ ⎠

k⇒ je negativan

kg029,1

6449,102,0

99,0

≥⇒

−≤−⇒

μ

μ

Potrebno je da prosječna težina kutije bude 029,1≥μ kg da bi sa standardnom greškom od kg 02,0=σ (20 gr) mogli imati kutije od najmanje 0,99 kg (990 gr) težine uz vjerovatnoću %.95≥

b) ? 1 == σμ kg

( ) 95,099,0 ≥>xp

95,001,01

95,0199,0

≥⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −<−

≥⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −>

σ

σ

zp

zp

05,001,0 ≤⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −<

σzp

6449,101,0 −≤−σ

00608,0≤σ

Potrebno je da standardna greška σ bude ± 6,08 gr da bi jedna kutija težila najmanje 0,99 kg uz vjerovatnoću .95,0≥p


297

Zadatak 5.

Statističkom anketom je obuhvaćeno 5.000 vozača početnika. Utvrđeno je da su 5 od njih uzrokovali tešku saobraćajnu nesreću u prvoj godini vožnje, a 100 od njih su uzrokovali lakšu saobraćajnu nesreću u prvoj godini vožnje.

Odrediti vjerovatnoću: p1 - uzrokovati tešku saobraćajnu nesreću i vjerovatnoću p2 - uzrokovati lakšu saobraćajnu nesreću u prvoj godini vožnje. Izaberemo slučajno 50 vozača početnika i sa X označimo broj vozača koji su izazvali tešku saobraćajnu nesreću. Pomoću kojih distribucija vjerovatnoće možemo analizirati X. Izračunati vjerovatnoću da je X=0 i X=2.

Elementi rješenja:

a) 001,05000

51 ===

nnp A

02,05000100

2 ===nnp B

b) Određivanje distribucije vjerovatnoće X

Ako je Xi slučajna varijabla

Xi = 1 ako je prouzrokovana teška saobraćajna nesreća

0 ako nije prouzrokovana teška saobraćajna nesreća

i=1,..., 50.

Vjerovatnoća ( ) i za 001,01 ∀==iXp

Slučajne varijable iX nisu nezavisne (izvlačenje bez ponavljanja)

∑=

=50

1iiXX

X ima hipergeometrijsku distribuciju vjerovatnoće X∼H (5000; 50; 0,001) i odgovarajuća vjerovatnoća je jednaka.


298

( ) 505000

504995521

CCC

CCC

kXpkk

nN

knN

kN

−− ⋅=⋅

==

Ovu formulu zbog složenosti ne koristimo u računanju vjerovatnoće. Koristićemo aproksimaciju binomnim rasporedom jer je uslov za aproksimaciju zadovoljen:

101

1001

500050 <<==

Nn

To znači da možemo pretpostaviti da su iX nezavisne ⇒X~B(50; 0,001)

( )

( ) 001168,0999,0001,0!48!2

!50250

2

95,0999,00

482482222

50505000

=⋅⋅=⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⋅⋅==

=====

− qpqpCxp

qqpCxp

nn

n

Binomnu distribuciju možemo aproksimirati Poissonovom distribucijom ako je zadovoljen uslov da je n > 50, p <0,1 (distribucija rijetkih događaja) n = 50 p=0,001 <<0,1 ⇒

( ) ( ) ( )05,0 ~ dakle , ~ PXPXpnPX ⇒λ , gdje je 05.0=⋅= pnλ .

( )!k

ekXpkλλ−

==

( ) 95,0!0

1,00 05,0005,0

==⋅== −−

eeXp

( ) 0012,0!2

1,02205,0

=⋅==−exp

Napomena:

Ne može se izvršiti aproksimacija normalnom distribucijom jer svi uslovi aproksimacije u ovom slučaju nisu zadovoljeni (npr.: n⋅p>10 nije zadovoljen u našem slučaju jer je n⋅p=50·0,001=0,05<10).


299

Zadatak 6.

U jednoj bolnici, vjerovatnoća da se rodi dječak je 32 . X predstavlja broj

rođenih dječaka u uzorku od 1800 beba. a) Nađite srednju vrijednost od X. b) Nađite standardnu devijaciju od X.

Elementi rješenja:

Znamo da je X ~ B(1800, 32 ).

a)

( )2( ) 18003

( ) 1200

E X n p

E X

E X

= ⋅

= ⋅

=

b)

( ) (1 )

2( ) 1200 13

1( ) 12003

( ) 400 20

X n p p

X

X

X

σ

σ

σ

σ

= ⋅ ⋅ −

⎛ ⎞= ⋅ −⎜ ⎟⎝ ⎠

= ⋅

= =

Zadatak 7.

Vjerovatnoća da će padati kiša tokom ljeta u Sarajevu je 0,2. U Sarajevu, vjerovatnoća da će dnevna temperatura biti veća od 30°C tokom ljeta je 0,3 kada pada kiša, a 0,6 kada ne pada kiša. Znajući da je dnevna temperatura veća od 30°C tokom jednog ljetnog dana, pronađite vjerovatnoću da je tog dana padala kiša.

Elementi rješenja:

(temperatura 30 ) 0,2 0,3 0,8 0,6(temperatura 30 ) 0,54

p Cp C

≥ ° = ⋅ + ⋅≥ ° =


300

0,2 0,3(pada kiša / temperatura 30 )0,54

p C ⋅≥ ° =

91

54,006,0)30/( ==°≥ Catemperaturkišapadap

Zadatak 8.

Emir i Amir se spremaju za ispit iz statistike tako što se uzajamno ispituju. Emir odgovara na Amirova pitanja. Vjerovatnoća da će Emir tačno odgovoriti na pitanje je 0,4. Amir mu postavlja 6 pitanja.

a) Nađite vjerovatnoću da će Emir tačno odgovoriti na 4 pitanja. b) Nađite vjerovatnoću da će Emir prvi tačan odgovor dati kada mu

Amir postavi treće pitanje.

Elementi rješenja:

a) X ~ B(6, 0,4)

4 26( 4) 0,4 0,6

4( 4) 15 0,0256 0,36

p x

p x

⎛ ⎞= = ⋅ ⋅⎜ ⎟

⎝ ⎠= = ⋅ ⋅

14,0)4( ==xp

b) Ako je Emir prvi tačan odgovor dao na Amirovo treće pitanje, to znači da je netačno odgovorio na prvo i drugo pitanje, i tražena vjerovatnoća je:

144,04,06,06,0 =⋅⋅=p

Zadatak 9.

Težine tek rođenih beba su normalno distrubuirane sa srednjom težinom od 3,5 kg i standardnom devijacijom od 0,2. Nađite vjerovatnoću da će težina jedne slučajno odabrane bebe biti između 3,1 kg i 3,8 kg.

Elementi rješenja:

Tražimo 3,1 < x < 3,8.


301

Znajući da je 2,05,3 == σμ i koristićemo standardizovanu slučajnu

varijablu σ

μ−= xz .

5,12,0

5,38,3

22,0

5,31,3

=−=+

−=−=−

σμ

σμ

X

X

9104,00228,09332,0

)9772,01(9332,0))2(1()5,1(

)2()5,1()2()5,1(

)5,12()8,31,3(

=−=

−−=<−−<=

>−<=−<−<=

<<−=<<

zPzPzPzPzPzP

zPxP

Vjerovatnoća da će težina jedne slučajno odabrane bebe biti između 3,1 kg i 3,8 kg je 91,04%.

Zadatak 10.

Demonstrator predmeta Statistika koristi svakog jutra autobus da bi došao na fakultet. Vrijeme koje on čeka svakog jutra autobus je normalno distribuirano sa aritmetičkom sredinom jednakom 10 minuta i standardnom devijacijom jednakom 2 minute.

1. Koje je vjerovatnoća da će demonstrator jednog određenog jutra čekati autobus više od 8 minuta?

2. U toku određene sedmice (od ponedjeljka do petka) koje je vjerovatnoća da: a) ukupno vrijeme čekanja neće biti više od 45 minuta? b) čeka manje od 8 minuta najmanje tri dana u sedmici? c) njegovo prosječno dnevno vrijeme čekanja je veće od 9 minuta?


302

Elementi rješenja:

1. )4;10(~

);(~ 2

NXNX σμ

)1,0(~,;)8( Nzxzxpσ

μ−=≥

841,0)1()1(

2108)8(

=≤=−≥

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −≥−=≥

pzpzp

xpxpσ

μ

2. a)

)20,50(~

),(~

5

1

25

1

NX

NX

ii

ii

∑

∑

=

=

σμ

45 50( 45) ( ) ( 1,12) 1 ( 1,12)20

1 0,8686 0,1314

p x p z p z p z−≤ = ≤ = ≤ − = − ≤ =

= − =

∑

b)

159,0841,01)8(841,0)8(

=−=≤=>

xpxp

Y je promjenljiva koja predstavlja broj dana u kojima demonstrator čeka autobus manje od 8 minuta.

~ ( , ) , ~ (5;0,159)( 3) ( 3) ( 4) ( 5)

Y B n p Y Bp y p y p y p y≥ = = + = + =

3 25( 3) 0,159 0,841 0,02843

3p y ⎛ ⎞= = ⋅ ⋅ =⎜ ⎟

⎝ ⎠


303

4 15( 4) 0,159 0,841 0,00269

4p y ⎛ ⎞= = ⋅ ⋅ =⎜ ⎟

⎝ ⎠

5 05( 5) 0,159 0,841 0,000101

5p y ⎛ ⎞= = ⋅ ⋅ =⎜ ⎟

⎝ ⎠

( 3) 0,02843 0,00569 0,000101 0,0312p y ≥ = + + =

ili

0312,09687,01213 =−=≤−=≥ )p(y)p(y

c)

)54;10(~,);(~

)4;10(~,);(~2

2

NXn

NX

NXNXσμ

σμ

8686,0)12,1(

)12,1(

52109)9(

=<=

=−>=⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛−>=>

zp

zpzpxp

ili

.8686,01314,01)45(1)45()9(

=−=

=<−=>=> ∑∑ XpXpxp

305

POGLAVLJE 6.

TEORIJA I METODA UZORAKA I STATISTIČKO ZAKLJUČIVANJE

Teorija i metoda uzoraka je oblast statistike koja se bavi praktičnim metodama za izbor uzoraka i analizu dijela populacije u cilju donošenja zaključaka o cijeloj populaciji. Postupak donošenja zaključaka o osnovnom skupu na osnovu podataka iz uzorka se naziva statističko zaključivanje. Ovaj postupak se sastoji iz statističkog ocjenjivanja i testiranja hipoteza. Proces primjene metode uzoraka i statističkog zaključivanja se može podjeliti u tri etape. Prva je izbor slučajnog (objektivnog, reprezentativnog) uzorka uz uslov da su vjerovatnoće izbora jedinica u uzorak poznate i pozitivne. Druga etapa je prikupljane podataka o jedinicama uzorka. Treća etapa podrazumijeva donošenje zaključaka o populaciji na temelju rezultata uzorka.

U prvom dijelu poglavlja Teorija i metodi uzoraka i statističko zaključivanje ćemo analizirati i prezentirati osnove metode uzoraka, vrste uzoraka kao i značaj primjene metode uzoraka u ekonomskim istraživanjima.

U drugom dijelu ćemo analizirati procjenu karakteristika osnovnog skupa na osnovu uzoraka i testiranje hipoteza.


306

6.1. OSNOVE TEORIJE UZORAKA

Za analizu masovnih pojava koje su predmet statističkih istraživanja mi smo obrađivali statističke metode kojima se analizira statistički skup ili populacija. Za primjenu metoda potrebno je prikupiti podatke o osnovnom skupu. Kako statistički skupovi imaju vrlo veliki broj elemenata, potpuno prikupljanje podataka je veoma složen, dugotrajan i skup posao. Zbog toga se taj postupak pojednostavljuje ispitivanjem osnovnog skupa metodom uzorka. Pod uzorkom se podrazumijeva dio skupa na osnovu kojeg istražujemo i analiziramo osobine osnovnog skupa.

Primjena metode uzorka se bazira na teoriji vjerovatnoće i omogućuje da se uz odgovarajući rizik utvrde granice povjerenja i preciznost ocjene parametara osnovnog skupa na osnovu ocijenjenih parametara iz uzorka. Razlozi za primjenu metode uzorka su:

• smanjenje troškova realizacije statističkog istraživanja jer obuhvata manji broj jedinica,

• smanjenje greške pri prikupljanju podataka jer istraživanje u ovom slučaju provodi manji broj stručnih lica,

• manji utrošak vremena i efikasnije dobijanje rezultata, • racionalnost (kontrola kvalitete često uništava testirani proizvod), • pouzdanost dobijenih rezultata (kada je populacija suviše velika,

rezultati dobijeni na osnovu uzorka mogu biti pouzdaniji od rezultata dobijenih na osnovu egzostivne analize).

Da bismo dobili informaciju o ukupnoj populaciji, inferencijalna statistika ima jednu dodatnu etapu čiji je cilj da odredi (inferira), polazeći od posmatranih karakteristika na uzorku, vjerovatnu vrijednost tih karakteristika za ukupnu populaciju.

Statistička teorija, koja je u osnovi deduktivna, doprinosi također racionalizaciji i kvalitetu induktivnog procesa posmatranja i zaključivanja.

Induktivno posmatranje se sastoji u ispitivanju uzorka elemenata populacije kako bi se dobile informacije o cijeloj populaciji koja može biti konačna i beskonačna.

Kada se ispituje cijela populacija, posmatranje i zaključivanje je deduktivno. Analiza, istraživanje i zaključivanje na osnovu uzorka je induktivno.

Poglavlje 6. – Teorija i metoda uzoraka i statističko zaključivanje

307

Statističke metode omogućavaju donošenje induktivnih zaključaka. Generalizacija procjena sadrži određeni stepen nepouzdanosti, nepreciznosti, neizvjesnosti, rizika. Rizik je moguće statističkim metodama postaviti u odgovarajuće okvire, procijeniti, kontrolisati i utvrditi stepen neizvjesnosti procjene.

Statistička inferencija ima veliku praktičnu primjenu i sa tog stanovišta je značajan faktor unapređenja naučnih istraživanja u različitim naučnim domenima. Primjenom statističkih metoda moguće je donositi zaključke o osnovnom skupu na osnovu samo jednog njegovog dijela, ali je zbog teorijskih problema vezanih za induktivno zaključivanje potrebno primijeniti odgovarajuću proceduru kako bi se zaključci postavili u određene okvire.

Statistička inferencija omogućuje primjenu dvije vrste metoda za izvođenje zaključaka na osnovu podataka dobijenih iz uzorka ili eksperimentisanjem i to ocjene intervala povjerenja i testiranje hipoteza. Ocjenama se određuju nepoznati parametri uz odgovarajuću grešku ocjene, a testovima se provjeravaju postavljene hipoteze.

Da bi zaključci o osnovnom skupu na osnovu uzorka bili što tačniji, uzorak mora biti reprezentativan. Uzorak će biti reprezentativan ako posjeduje karakteristike osnovnog skupa i ako njegova struktura odgovara strukturi osnovnog skupa. Da bi uzorak predstavljao umanjenu sliku osnovnog skupa, izbor elemenata se mora izvršiti na odgovarajući način. To se postiže pravilnim izborom elemenata osnovnog skupa koji će predstavljati uzorak.

Cilj metode uzoraka je: • Da se na osnovu karakteristika uzorka dođe do procjene

karakteristika osnovnog skupa • Da se statističkim metodama odredi pouzdanost i preciznost te

procjene.

Prvi zadatak ove metode je da na osnovu uzorka izabranog iz osnovnog skupa procijeni karakteristike osnovnog skupa. Drugi zadatak je da se na osnovu podataka dobivenih uzorkom donese odluka o prihvatanju ili odbacivanju određene hipoteze koja se odnosi na osnovni skup. Navedeni postupci čine metodu koja se naziva metoda uzorka ili reprezentativna metoda.

Izbor elemenata osnovnog skupa u uzorak može biti:


308

• bez ponavljanja (kada se odabrani elementi ne vraćaju ponovo u osnovni skup) i

• sa ponavljanjem (elementi se poslije izbora vraćaju u osnovni skup i tako sudjeluju u izboru sljedećeg elemenata u uzorak).

Izbor uzorka može biti namjeran i slučajan. Kada su elementi izabrani slučajno, tada se na rezultate tog uzorka može primijeniti teorija vjerovatnoće. U tom slučaju može se odrediti greška koja je nastala u procjeni karakteristika osnovnog skupa ili u postupku testiranja hipoteze. Slučajni izbor se može izvršiti na više načina koje ćemo detaljnije analizirati.

Greške u statističkim istraživanjima mogu biti sistematske i slučajne. Ukupna greška procjene sadrži sistematsku i slučajnu grešku. Slučajna greška nastaje zbog slučajnog izbora elemenata u uzorak i utiče na preciznost ocjene. Slučajna greška predstavlja razliku između stvarne i ocijenjene vrijednosti parametra osnovnog skupa. Slučajna greška se smanjuje i preciznost ocjene se povećava sa porastom veličine uzorka. Sistematske greške nastaju zbog više razloga i teško ih je kontrolisati. Najčešći razlozi zbog kojih nastaju sistematske greške su: loše odabrana baza i okvir za izbor uzorka, nepravilna realizacija slučajnog izbora elemenata u uzorak, nepreciznosti upitnika, greške anketara, tehničke greške prilikom obrade podataka, itd. Veličina uzorka ne utiče na promjenu sistematske greške. Uzorak sa sistematskom greškom je pristrasan uzorak, a uzorak sa slučajnom greškom je nepristrasan. Da bi se smanjila pristrasnost ocjene (sistematska greška) neophodno je primijeniti objektivnu proceduru u izboru jedinica osnovnog skupa u uzorak. Ukoliko je pristrasnost manja od 1/10 standardne devijacije smatra se da njen uticaj na dobijene ocjene nije značajan.

Da bi se metoda uzorka efikasno realizovala neophodno je precizno i jasno definisati:

• cilj istraživanja • populaciju • jedinice populacije • plan uzorka • bazu uzorka • veličinu uzorka • nivo preciznosti.


309

• Definisati cilj istraživanja

Prva etapa je što preciznije definisanje ciljeva istraživanja, podataka koje je potrebno prikupiti, kao i metode za prikupljanje podataka. Podaci se mogu prikupiti popisom, anketom, izvještajima. Ako odaberemo anketu pomoću uzoraka, u njenoj primjeni je potrebno realizovati sljedeće korake. Mora se odrediti terminologija i potrebne definicije koje se odnose na podatke kako bi se osigurala konzistentnost ankete.

• Definisati populaciju koja je predmet istraživanja

Populacija koja je predmet istraživanja je cijela populacija za koju su nam potrebne informacije. Ukoliko nije moguće prikupiti podatke o svim jedinicama populacije, potrebno je odabrati određeni broj jedinica populacije koji čine uzorak i na osnovu uzorka analizirati obilježja istraživane populacije. Naprimjer, ako želimo analizirati studentsku populaciju BiH evidentno je da ovu populaciju čine svi studenti u BiH.

• Definisati jedinice populacije

Potrebno je jasno opisati i definisati jedinice populacije i njihove karakteristike koje ih precizno identificiraju. Populacija koja je predmet istraživanja se može definisati pomoću sljedećih karakteristika:

- Priroda podataka koji su potrebni: o osobama, o ustanovama, o regionima itd.

- Geografsko područje: potrebno je odrediti geografske granice za posmatranu populaciju, kao i nivo geografske preciznosti koji je neophodan (opština, grad, region, država, itd.).

- Period posmatranja je period određen anketom. - Ostale karakteristike, kao npr. sociodemografske karakteristike (npr.

različite starosne grupe, itd.)

• Definisati plan izbora uzorka

Cilj plana uzorka je odabiranje reprezentativnog uzorka. Uzorak je reprezentativan ako njegova struktura odgovara strukturi osnovnog skupa, odnosno ako predstavlja umanjenu sliku osnovnog skupa. U planu je potrebno precizirati način izbora elemenata u uzorak. Pri definisanju plana izbora uzorka treba nastojati izabrati slučajni uzorak koji daje preciznije


310

ocjene parametara u odnosu na uzorke koji nisu slučajno odabrani. Mogu se i kombinovati različiti tipovi izbora elemenata u uzorak koji će biti analizirani u daljim izlaganjima.

• Formulisati i odrediti bazu uzorka ili okvir za izbor

Najjednostavniji okvir izbora je popis elemenata osnovnog skupa. Dakle, baza uzorka ili okvir za izbor je lista na kojoj se mogu identifikovati sve jedinice populacije koje mogu biti izabrane u uzorak.

• Odrediti veličinu uzorka

Veličina uzorka zavisi od više faktora kao što su priroda istraživanja, veličina populacije, vrsta analize podataka, preciznost istraživanja, osobine koje se istražuju, raspoloživi resursi itd. Stepen preciznosti potreban za procjene koje vršimo na osnovu ankete utiče na veličinu uzorka. Generalno, realna veličina uzorka jedne ankete se nalazi između stepeni preciznosti koji je potrebno postići, budžeta kojim anketa raspolože i svih ostalih ograničenja. Među navedenim faktorima koji utiču na određivanje veličine uzorka naglašavamo značaj sljedećih:

- Varijabilnost karakteristika koje se posmatraju. Ukoliko studenti imaju isti iznos stipendije, dovoljan je podatak o jednoj stipendiji da bismo procijenili prosječnu stipendiju. Ako su stipendije vrlo različite potreban je veći uzorak da bismo dobili pouzdanu procjenu prosječne stipendije.

- Veličina populacije: što je veća populacija postoji potreba da se odabere veći uzorak. Međutim, kada se dostigne određeni nivo dalje uvećanje populacije nema uticaja na veličinu uzorka. Veličina uzorka neophodna da bi se postigao određen stepen preciznosti biće, naprimjer skoro jednaka za jednu populaciju od milion kao i za dva puta veću populaciju.

• Nivo preciznosti

Najčešće se ocjene parametara osnovnog skupa na osnovu ocjena dobivenih iz uzorka vrše uz rizik od 5% ili 1%, odnosno uz nivo pouzdanosti 95% ili 99%. Postoji uvijek odgovarajući nivo rizika, greške ili nepreciznosti koji se vezuje za procjene dobijene na osnovu uzorka. Ako npr. želimo procijeniti prosječnu ocjenu 100 studenata i odaberemo uzorak od 15 studenata,


311

procjena će zavisiti od toga kojih smo 15 studenata odabrali. Ako odaberemo 15 studenata sa najvišom ili 15 sa najnižom ocjenom, rezultat ne može sa sigurnošću predstavljati prosječnu ocjenu svih studenata. Varijacija u prosječnoj ocjeni između različitih uzoraka proizvodi grešku uzorka. Statističari mogu procijeniti grešku uzorka za svako posebno istraživanje i nastojati da je što više smanje.

Kada se priprema anketa potrebno je odrediti prihvatljivi nivo nesigurnosti-nepouzdanosti procjena koji se dobijaju na osnovu ankete.

6.2. VRSTE UZORKA I METODE ZA IZBOR UZORKA

Postoji više metoda za izbor uzoraka. Najzanačajnija je podjela na slučajno i namjerno odabrane uzorke. Razlika između ove dvije metode je u tome da se za slučajno izabrane uzorke za svaku jedinicu može unaprijed odrediti mogućnost da bude odabrana i ova mogućnost se može kvantifikovati, odnosno izraziti vjerovatnoćom izbora svake jedinice u uzorak. U slučaju namjernih uzoraka to nije moguće uraditi jer se zbog namjernog izbora jedinica u uzorak ne može primijeniti teorija vjerovatnoće.

Slučajan izbor se naziva i objektivan način izbora jer se bazira na proceduri koja podrazumijeva da svaka jedinica osnovnog skupa ima jednaku mogućnost da bude izabrana za ispitivanje, odnosno unaprijed se može odrediti vjerovatnoća izbora svakog elementa u uzorak. Ako je poznata vjerovatnoća izbora u uzorak različita od nule uzorak je slučajan.

Namjeran izbor jedinica u uzorak je subjektivan jer se izbor jedinica vrši prema ličnoj odluci i uvjerenju. Primjena ovog načina izbora podrazumijeva izbor tipičnih ili reprezentativnih jedinica osnovnog skupa prema mišljenju organizatora realizacije ankete. Pošto se jedinice odabiru namjerno za njih nije moguće utvrditi vjerovatnoću izbora.

6.2.1. Slučajni uzorci

Slučajne uzorke karakteriše osobina da se jedinice populacije odabiru slučajno u uzorak. U ovom slučaju je moguće utvrditi vjerovatnoću izbora svake jedinice u uzorak. Izbor uzoraka se bazira na principu vjerovatnoće i ova vrsta uzoraka je relativno skuplja. Zahvaljujući ovom tipu uzoraka moguće je vršiti pouzdane procjene kao i procjene greške uzorka i


312

procjenjivati karakteristike populacije. Postoji više različitih metoda koje se mogu korisiti za izbor uzorka na osnovu vjerovatnoće. Metoda koja se odabire zavisi od određenog broja faktora kao što su baza posmatranja kojom se raspolaže, način na koji je populacija raspoređena, troškovi anketiranja, jedinice populacije i način na koji će korisnici analizirati podatke. Ako se odabere uzorak na osnovu vjerovatnoće cilj treba da bude da se što je moguće više smanji greška procjene za analizirane osobine osnovnog skupa. Najčešće metode koje se koriste za izbor uzoraka na osnovu vjerovatnoće su:

• Jednostavni slučajni uzorak • Sistematski uzorak • Uzorak sa vjerovatnoćom proporcionalnom veličini • Stratifikovani uzorak • Uzorak skupina • Višestepeni (višeetapni) uzorak • Višefazni uzorak • Panel uzorak

6.2.1.1. Jednostavni slučajni uzorak

Kada odabiremo jednostavni slučajni uzorak svaki elemenat populacije ima jednaku vjerovatnoću da bude odabran u uzorak. Svaka kombinacija elemanata populacije ima također jednaku vjerovatnoću da predstavlja uzorak. Ove dvije osobine definišu jednostavni slučajni uzorak. Potrebno je kompletirati listu svih jedinica koji čine posmatranu populaciju da bi se odabrao jednostavni slučajni uzorak.

Jednostavni slučajni uzorak se može odabrati sa i bez ponavljanja. Uzorak sa ponavljanjem znači da svaka jedinica populacije može biti izabrana u uzorak više puta. Ovim načinom izbora je obezbjeđena međusobna nezavisnost uzastopnih izbora elemenata u uzorak. U primjeni su više koristi prosti slučajni uzorak bez ponavljanja. On je efikasniji zato što svaka nova jedinica nosi novu informaciju i daje preciznije rezultate. Osnovni skupovi koji se analiziraju su vrlo veliki pa se promjene nastale vraćanjem jednog elementa u osnovni skup s obzirom na vjerovatnoću mogu zanemariti.


313

Jednostavni slučajni uzorak je najjednostavniji za primjenu i najčešće se koristi. Postoje tipske formule za određivanje veličine uzorka i za procjene i ove formule su jednostavne za primjenu.

Izvlačenje lota je primjer jednostavnog slučajnog uzorka. Treba slučajno izabrati uzorak od šest brojeva polazeći od osnovnog skupa od 49 brojeva. Svaki broj ima jednaku vjerovatnoću da bude izabran.

Izbor jednostavnog slučajnog uzorka može se vršiti korištenjem tablice slučajnih brojeva. Ako je osnovni skup beskonačan iz njega možemo odabrati beskonačan broj različitih uzoraka veličine n. Prost slučajan uzorak iz beskonačnog osnovnog skupa je uzorak u kome su sve opservacije međusobno nezavisne. Zato je ovaj tip uzorka ekvivalentan sa prostim slučajnim uzorkom sa ponavljanjem odabranim iz konačnog osnovnog skupa. U oba slučaja izbori elemenata u uzorak su međusobno nezavisni.

• Kada se izvlačenje vrši iz konačnog osnovnog skupa sa ponavljanjem, ili iz beskonačnog osnovnog skupa, vjerovatnoća da svaki elemenat skupa od N elemenata bude izabran je jednaka

N1 (6.1)

• Ako se za uzorak odabere n elemenata, vjerovatnoća izbora za cijeli uzorak je jednaka

Nn

Nn =⋅ 1 (6.2)

Vjerovatnoća da se izabere jedan elemenat:

• U prvom izvlačenju je N1 .

• U drugom izvlačenju 1

1−N

uz uslov da nije bio izabran u prvom

NN 1− .

Vjerovatnoća izbora tog elementa u drugom izvlačenju je složena

vjerovatnoća NNN

N 11

11 =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ − .


314

Vjerovatnoća da će taj elemenat biti izabran u trećem izvlačenju je

jednaka proizvodu između 1

1−N

i vjerovatnoća da nije bio izabran

u prvom i drugom izvlačenju:

NN

NN

NN

1121

21 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−

Na isti način će se dobiti vjerovatnoća 1/N i za ostala izvlačenja. Vjerovatnoća za izbor čitavog uzorka od n elemenata je:

Nn

Nn =⋅ 1 .

Jednostavni slučajni uzorak veličine n elemenata dobijamo iz skupa od N elemenata ako se izbor obavlja tako da svaki uzorak veličine n koji se može slučajno izabrati iz osnovnog skupa ima istu vjerovatnoću da bude izabran.

Iz konačnog osnovnog skupa veličine N ako se izbor vrši bez ponavljanja može se odabrati:

( )!

! !NNCnn N n⎛ ⎞

= = ⎜ ⎟− ⎝ ⎠ (6.3)

kao broj uzoraka koji je jednak broju mogućih kombinacija od n različitih elemenata iz ukupno N elemenata.

Vjerovatnoća za svaku kombinaciju ili uzorak od n elemenata da bude

izabrana je jednaka

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛nN1 . Izraz

Nn

Nn =⋅ 1 predstavlja proporciju

elemenata osnovnog skupa koji su izabrani u uzorak i ta se proporcija naziva i stopa, kvota ili frakcija izbora i označava sa f=n/N. Recipročna vrijednost stope izbora

1/f=N/n=k (6.4)

se naziva interval ili korak izbora.


315

Broj mogućih uzoraka veličine 10 izabranih iz osnovnog skupa N=30 je

142506. ( ) 142506120

3029282726!530!5

!30 =⋅⋅⋅⋅=−

=k . Vjerovatnoća da

jedan određeni uzorak bude izabran je jednaka 1/142506.

Iz osnovnog skupa od N=8 elemenata možemo odabrati 28 uzoraka od n=2

elementa: ( ) 282187

!28!2!8 =

⋅⋅=

−=k . Za svaki od 28 uzoraka vjerovatnoća

da bude izabran je 1/28.

Osnovni nedostatak ovog tipa uzorka je nereprezentativnost. Postoje načini da se i ovaj problem riješi odabirom ili primjenom stratifikovanog uzorka koji ćemo također analizirati.

6.2.1.2. Sistematski uzorak

Sistematski uzorak je slučajan uzorak u kojem izbor elemenata u uzorak vršimo po nekom sistematskom redu odabirući slučajno početak. Jenostavnim sistematskim izborom se po redu broje elementi osnovnog skupa i za uzorak se odabere npr. svaki drugi, peti, k-ti elemenat. Redni broj od kojeg počinje brojanje se određuje slučajnim izborom iz tablice slučajnih brojeva. Npr. ako na osnovu skupa od N=60 elemenata želimo odabrati sistematski uzorak od n=20 elemenata tada ćemo izabrati svaki k-ti elemenat k=N/n gdje je k interval ili korak izbora (k=60/20=3).

U sistematskom izboru postoji jedno odstupanje ili interval između svake jedinice izabrane u uzorak. Da bi se odabrao sistematski uzorak potrebno je slijediti sljedeće etape:

• Označiti od 1 do N jedinice uključene u bazu (gdje je N veličina posmatrane populacije)

• Odrediti interval uzorka k kao dijeleći broj jedinica uključenih u populaciju sa veličinom uzorka koja se želi dobiti k=N/n. Ako želimo odabrati uzorak od 100 jedinica iz populacije od 400 jedinica interval uzorka će biti 4. Znači da je potrebno odabrati jednu jedinicu od četiri da bi se dobio uzorak veličine 100.

• Odabrati slučajno jedan broj između 1 i k. Ovaj broj se naziva slučajno odabran početak i bit će prvi broj uključen u uzorak. Izabire se jedan broj od 1 do 4 na osnovu tabele slučajnih brojeva.


316

Ako se odabere 3, treća jedinica baze podataka će biti prva jedinica uzorka.

• Odabire se svaka k-ta jedinica poslije ovog prvog broja. Uzorak naprimjer može biti sljedeći: 3, 7, 11, 15, 19....395, 399.

U ovom primjeru možemo konstatovati da svaka jedinica ima jednu šansu na četiri da bude izabrana u uzorak, dakle postoje ukupno četiri uzorka. Njena vjerovatnoća da bude izabrana je ista kao da se odabire jednostavni slučajni uzorak od 100 jedinica. Osnovna razlika je što u slučaju jednostavnog slučajnog uzorka svaka kombinacija od 100 jedinica ima jednu šansu da predstavlja uzorak, a u slučaju sistematskog uzorka postoje samo četiri moguća uzorka. To nam potvrđuje preciznost sistematskog uzorka u odnosu na jednostavni slučajni uzorak.

Red prema kojem su jedinice populacije uključene u posmatranje odredit će moguće uzorke u ovom slučaju. Ako su jedinice populacije raspoređene slučajno u bazi posmatranja, sistematski uzorak daje rezultate slične kao jednostavni slučajni uzorak. Ova metoda se može korisiti u industriji da bi se selekcionisale jedinice za kontrolu u jednom proizvodnom procesu. Naprimjer, za kontrolu kvaliteta može se odabrati svaki 20-ti proizvod na liniji montaže. Može se odabrati jedan slučajni početak između brojeva jedan i dvadeset. Tim se određuje prvi proizvod za kontrolu i svaki 20-ti koji slijedi će biti podložan kontroli. Za istraživanje tržišta pomoću ankete uzorka može se odabrati naprimjer svaka 10-ta osoba koja uđe u prodavnicu poslije slučajno odabrane prve osobe. Prednost sistematskog uzorka je jednostavnost izbora uzorka. Broj mogućih uzoraka je manji i do njih se jednostavnije dolazi, posebno kod velikog uzorka. Potrebno je odabrati slučajni početak i ostatak uzorka slijedi automatski tako da je uzorak raspoređen u jednakim proporcijama u populaciji. Najveći nedostatak ovog tipa uzorka je nereprezentativnost u slučajevima kada postoji određeni način prema kojem je populacija upisana u listu i ako se taj način poklapa sa intervalom uzorka.

6.2.1.3. Uzorak sa nejednakom vjerovatnoćom izbora jedinica

Za uzorak odabran na osnovu teorije vjerovatnoće je potrebno da svaka jedinica posmatrane populacije ima određenu vjerovatnoću da bude odabrana u uzorak, ali ta vjerovatnoća ne mora biti jednaka za sve jedinice. Ako u bazi posmatranja raspolažemo sa informacijom o veličini svake jedinice (kao naprimjer broj zaposlenih u svim preduzećima koja se


317

posmatraju) i ako veličina ovih jedinica varira, ova informacija se može koristiti da bi se povećala efikasnost izbora uzorka. Takav tip uzorka se naziva i uzorak sa vjerovatnoćom proporcionalnom veličini posmatranih jedinica populacije. U slučaju ove metode veća jedinica ima više šansi da bude odabrana u uzorak. Potrebno je da mjerenje veličina bude tačno da bi ova metoda povećala efikasnost. Ova metoda je vrlo kompleksna.

6.2.1.4. Stratifikovani uzorak

Kada je osnovni skup heterogen potrebno ga je podijeliti na karkteristične, jasno razgraničene homogene podskupove koji se nazivaju stratumima. Tako svaki stratum postaje jedan nezavisan podskup. Karakteristike jedinica unutar stratuma treba da budu što sličnije. Zatim se za svaki stratum određuje veličina uzorka i iz svakog stratuma bira po jedan slučajni uzorak. Na taj način se formira stratifikovani uzorak koji je sastavljen od prostih slučajnih nezavisnih uzoraka od kojih je svaki izabran iz jednog stratuma. Metoda izbora jedinica iz svakog stratuma može da bude različita. Ako se koristi jednostavni slučajni uzorak za izbor uzoraka iz svih stratuma takav uzorak se naziva jednostavni slučajni stratifikovani uzorak. Sve jedinice stratuma imaju jednaku vjerovatnoću da budu izabrane u uzorak. Pošto stratumi nisu jednake veličine, sve jedinice skupa imaju različite, ali poznate vjerovatnoće izbora. Najvažnije je odabrati kriterij za stratifikaciju prema kome formiramo relativno homogene i razgraničene stratume kojima obezbjeđujemo reprezentativnost i donošenje preciznijih zaključaka o osnovnom skupu. Prednosti ovog tipa uzorka su efikasnost i preciznost procjene karakteristika osnovnog skupa.

6.2.1.5. Uzorak skupina (klaster uzorak)

U slučajevima kada ne raspolažemo listom svih jedinica, odnosno odgovarajućom bazom uzorka, ili kada je osnovni skup velik i sastavljen od jedinica koje su npr. prostorno vrlo udaljene, tada troškovi ankete mogu biti vrlo veliki. Da bi se smanjili troškovi moguće je primijeniti metodu uzorka skupina.

Populacija se dijeli na skupine. Selekcioniše se slučajno određeni broj skupina koje predstavljaju populaciju, a zatim se u uzorak uključuju sve jedinice koje se nalaze u selekcionisanim skupinama. Potrebno je da skupine po strukturi budu što sličnije strukturi osnovnog skupa. One


318

predstavljaju cjeline unutar osnovnog skupa i razlikuju se po veličini. Zatim se izvrši popis svih elemenata u odabranim skupinama i takav uzorak nazivamo prostim uzorkom skupina. U uzorak se ne odabiru jedinice koje se ne nalaze u selekcionisanim skupinama. Pretpostavlja se da su one reprezentovane jedinicama iz selekcionisanih skupina.

Razlika između ovog tipa uzorka i stratifikovanog uzorka je činjenica da se u slučaju stratifikovanog uzorka izbor jedinica u uzorak vrši iz svake grupe – stratuma. Selekcionisane skupine se koriste da bi prezentirale populaciju. Činjenica da se vrlo često ne raspolaže sa listama svih jedinica populacije (lista je neophodna za jednostavni slučajni uzorak, sistematski uzorak ili uzorak sa vjerovatnoćom proporcionalnom veličini) i da je jednostavnije kompletirati listu skupina, predstavlja jedan od razloga za primjenu uzorka skupina.

Nedostatak ove metode je manja efikasnost nego u slučaju jednostavnog slučajnog uzorka. Korisnije je odabrati veliki broj manjih skupina nego mali broj velikih skupina zbog toga što se jedinice koje su bliže jedne drugima sličnije i tako odabran uzorak nije dovoljno reprezentativan za cijelu populaciju. Uzorci skupina ne omogućavaju da se kontroliše konačna veličina uzorka i to je jedna od nedostataka ove metode. Naprimjer, sve škole nemaju isti broj učenika četvrtih razreda i ako se želi anketirati svaki učenik odabran u uzorak, uzorak može biti veći ili manji nego što se očekuje.

6.2.1.6. Višestepeni uzorak

Ovaj tip uzorka je sličan uzorku skupina. U slučaju uzorka skupina potrebno je uključiti sve jedinice selekcionisanih skupina. Uzorak može da bude sastavljen od grupa ili skupina koje se sastoje od manjeg broja elementarnih jedinica.

Kod višestepenog uzorka izbor se odvija u više etapa. Ovaj tip uzorka se naziva i višeetapni. U prvoj etapi se iz osnovnog skupa odabire uzorak (skupina), a zatim se iz tako odabranih uzoraka vrši dalji izbor jedinica. Višestepeni uzorak zahtijeva najmanje dva nivoa. Na prvom nivou se odaberu velike grupe ili skupine i one sadrže veći broj jedinica nego što je potrebno za finalni uzorak.

Da bi se dobio finalni uzorak na drugom nivou se odabiru jedinice populacije iz selekcionisanih skupina primjenom jedne od prethodno


319

analiziranih metoda. Ako se koristi više od dva nivoa, proces selekcije jedinica populacije iz skupina se nastavlja do kompletiranja finalnog uzorka. Ovaj tip uzorka ima veličinu veću nego jednostavni slučajni uzorak. Nema potrebe za listom cijele populacije, ali traži više informacija nego uzorak skupina. (Naprimjer, prva faza bi bio izbor opština, a druga domaćinstva u odabranim opštinama).

Na sljedećem primjeru ćemo uporediti uzorak skupina i višestepeni uzorak. Želimo analizirati sportske aktivnosti učenika 4-tih razreda srednjih škola u BiH.

Odabere se uzorak od npr. 50 škola. Ove škole predstavljaju uzorak skupina. Zatim se ispituje svaki učenik 4-tog razreda ovih škola. Međutim, može se odabrati 50 škola, kompletirati lista svih učenika 4-tih razreda tih škola i odabrati uzorak učenika iz svakog razreda koji će se ispitivati. U ovom slučaju radi se o dvostepenom planu uzorka. Može se pri izboru postupiti i na sljedeći način: prvo selekcionisati škole, odabrati slučajnim uzorkom na osnovu liste 4-tih razreda uzorak razreda iz svake škole, a zatim na osnovu liste učenika odabranih razreda odabrati slučajan uzorak učenika koji će biti ispitani.

Elementarne jedinice su skoncentrisane što smanjuje troškove ankete, ali je preciznost manja nego kod prostog slučajnog i stratifikovanog uzorka.

6.2.1.7. Višefazni uzorci

U prvoj fazi se odabire veliki uzorak i prikupljaju podaci o karakteristikama jedinica uzorka. Zatim se u drugoj fazi iz postojećeg odabire poduzorak za čije se jedinice vrši detaljnije prikupljanje podataka. Najčešće se koristi dvofazni uzorak, ali je, naravno, moguća upotreba uzorka u tri ili više faza.

Višefazni uzorak se dosta razlikuje od višestepenog uzorka. Iako se i u ovom slučaju odabiru dva ili više uzoraka, baza za njihov izbor je uvijek ista i jedinice su iste u svakoj fazi.

Plan uzorka i procjene na osnovu uzorka postaju kompleksniji ako se koristi više faza u odabiru uzorka. Ovaj tip uzorka je koristan kada u bazi uzorka nedostaju dodatne informacije koje omogućavaju primjenu stratifikovanog uzorka i u slučajevima kada se ne raspolaže sa dovoljno sredstava da bi se sakupili podaci na osnovu cijelog uzorka.


320

6.2.1.8. Panel uzorak

Panel uzorak se najčešće koristi da bi se istražile promjene karakteristika populacije u vremenu. Zadatak je da se kontinuirano prate neke pojave. Česta upotreba panel uzorka je u istraživanju tržišta, praćenju troškova života, itd. Izabrani potrošači odgovaraju na povremene ankete. Međutim, promjena ispitivanih jedinica kao i promjena pojave su značajni nedostaci ovog tipa uzorka. Primjena panel uzorka je ograničena na prethodna istraživanja u primjeni ankete.

6.2.1.9. Namjerni uzorci

Namjerno izabrani uzorci su uzorci odabrani na osnovu subjektivnih kriterija ili uzorci koji se ne baziraju na teoriji vjerovatnoće. U ovom izboru se pretpostavlja da je distribucija karakteristika unutar populacije jednaka.

U ovom slučaju, pošto se jedinice odabiru proizvoljno, ne postoji nikakva mogućnost da se procijeni vjerovatnoća uključivanja jedne jedinice u uzorak. Ne postoji ni mogućnost utvrđivanja pouzdanosti ovog plana uzorka i preciznosti dobijenih ocjena, dakle ne može se odrediti greška procjene karakteristika osnovnog skupa. Bez obzira na navedene nedostatke, plan uzorka koji se ne bazira na vjerovatnoći može biti koristan ako se žele dobiti deskriptivni komentari o pojavi koja se istražuije. Njihova primjena zahtijeva mali utrošak vremena i sredstava, pa su ekonomični i praktični. Ovaj tip uzorka se može kombinovati sa uzorkom na bazi vjerovatnoće. Vrlo često se koriste i kombinuju namjerni i slučajni uzorci. Npr. namjerni uzorci se koriste da bi se testirali upitnici ili u nekim preliminarnim fazama konstrukcije ankete, a zatim slučajni za realizaciju anketa.

Upotreba namjernog uzorka je opravdana u nekim okolnostima. Prednost ovog tipa uzorka je što se u uzorak mogu odabrati jedinice do kojih je lakše doći ili za koje se pretpostavlja da mogu pružiti informacije o istraživanoj pojavi. Ovaj tip uzorka je pogodan za pilot istraživanja da bi se o osnovnom skupu dobile bitne polazne informacije.

6.2.1.9.1. Kvota uzorak

Među namjernim uzorcima je najčešći kvota uzorak. U tom planu izbora uzorka se, u skladu sa specifičnim kriterijem i ciljem istraživanja, odabiru potpopulacije iz koji se mora anektirati određeni broj jedinica. Svaki


321

anketar dobije uputu o broju ili proporciji jedinica iz svakog podskupa, odnosno grupe koje treba anketirati.

Kvota uzorak zavisi od odluke i sklonosti anketara. Kvota uzorak se mnogo primjenjuje u ispitivanju javnog mišljenja. Može dati zadovoljavajuće rezultate ako se anketari pridržavaju datih uputa. Ovaj tip uzorka nije skup, jednostavno se realizuje i ima poželjnu osobinu da respektuje proporcije u populaciji. U ovom slučaju, kao i u slučaju ostalih namjernih uzoraka, pretpostavlja se da su odabrane jedinice slične onima koje nisu odabrane da bi se mogle donijeti sudovi o karakteristikama populacije.

6.2.1.9.2. Prigodan uzorak

Prigodan izbor uzorka se obavlja prema prigodi, a ne slučajno, niti prema nahođenju. Uzorak dobiven iz raspoloživih listi (telefonski imenik ili registar pretplatnika) prigodno je izabran, a nije slučajan iako je slučajno izabran iz spomenute liste. Ova vrsta uzorka se primjenjuje vrlo često u ispitivanju javnog mišljenja. Korisna primjena ovog tipa uzorka je u pilot ispitivanju, pri testiranju upitnika i za dobivanje potrebnih informacija za izbor definitivnog plana istraživanja.

6.2.1.9.3. Dobrovoljan uzorak

Dobrovoljan uzorak je uzorak koji se dobije ukoliko osobe same ponude svoje usluge za ispitivanje. Klasičan primjer ovog tipa uzorka je testiranje novih lijekova. Iz grupe dobrovoljaca se odabire uzorak osoba na kojima će se vršiti testiranje.

Vrlo često se kombinuju različiti planovi izbora uzoraka da bi se postigao cilj - preciznost, pouzdanost i efikasnost procjene karakteristika osnovnog skupa na osnovu rezultata dobijenih u uzorku.

6.3. PROCJENE OBILJEŽJA OSNOVNOG SKUPA NA OSNOVU UZORKA

Promjenom metoda inferencijalne statistike zaključci o parametrima osnovnog skupa se donose procjenom na osnovu podataka iz uzoraka. Postupak kojim se na osnovu podataka iz uzorka vrši procjena parametara osnovnog skupa se naziva metoda procjene. Kada se iz osnovnog skupa


322

(konačnog ili beskonačnog) izabere uzorak, parametri osnovnog skupa se procjenjuju na osnovu vrijednosti izračunatih iz uzorka. Formula, funkcija ili izraz koji se koristi za procjenu se naziva procjenitelj ili estimator. Procjenitelj je, dakle, funkcija vrijednosti iz uzorka. To je slučajna varijabla koja varira za različite uzorke. Sve procjene dobivene na osnovu slučajnih uzoraka veličine n iz istog osnovnog skupa koje su izračunate metodom procjena čine distribuciju vjerovatnoće procjenitelja. Distribucija vjerovatnoće procjenitelja je teorijska distribucija za koju se mogu izračunati očekivana vrijednost, standardna devijacija i koeficijent varijacije. Procjenitelj je predstavljen formulom koja omogućuje da se iz podataka uzorka dobije numerička vrijednost za osnovni skup koja se naziva procjena. Procjene mogu biti izražene jednim brojem ili intervalom procjene. Procjenom jednim brojem se dolazi do vrijednosti parametra osnovnog skupa. Pomoću intervalne procjene se utvrđuju granice ili raspon vrijednosti u kojima se, uz određeni nivo pouzdanosti, nalazi nepoznati parametar osnovnog skupa. Predmet naše analize će biti intervalne procjene. Drugi pristup procjeni karakteritika osnovnog skupa je ispitivanje pretpostavki o parametrima testiranjem hipoteza.

Postupak procjene ćemo objasniti i generalizirati na sljedećem primjeru. Iz osnovnog skupa od N elemenata se izabire ( )1N različitih uzoraka veličine

n. Za svaki od tih uzoraka se izračuna parametar θ pomoću kojeg će se procijeniti taj parametar za osnovni skup. Ova parametar je različit od iste karakteristike posmatranog skupa i različit za svaki od uzoraka. Varijacija ovog parametra za različite uzorke se naziva varijacija izbora uzorka i formira distribuciju parametra procjenitelja.

Ako su uzorci izabrani slučajno i vrijednosti ovog parametra su slučajne što znači da se radi o slučajnoj varijabli θ . Vrijednosti ove varijable su slučajno raspoređene prema nekoj distribuciji vjerovatnoće. Ako se može odrediti distribucija vjerovatnoće ove varijable tada se može odrediti i vjerovatnoća da će θ imati vrijednost manju ili jednaku od nekog realnog broja, ako se radi o prekidnoj varijabli, ili vjerovatnoća da će se θ nalaziti u intervalu realnih brojeva, ako se radi o kontinuiranoj varijabli.

Za ovu distribuciju možemo odrediti očekivanu vrijednost (aritmetičku sredinu) i varijansu, odnosno standardnu devijaciju.


323

Procjena parametra osnovnog skupa θ se vrši na osnovu izračunate vrijednosti θ iz uzorka. Da bi se dobila intervalna procjena potrebno je izračunati donju i gornju granica intervala u kojem se, sa određenom vjerovatnoćom, nalazi parametar osnovnog skupa θ . Intervalnu procjenu izražavamo na sljedeći način:

θ - greška procjene < θ <θ +greška procjene (6.5)

Ocjena parametra osnovnog skupa pomoću parametra iz uzorka će biti nepristrasna ako je očekivana vrijednost (aritmetička sredina) parametra iz uzorka θ jednaka vrijednosti parametra iz osnovnog skupa:

θθ =)ˆ(E (6.6)

Ukoliko ovaj uslov nije zadovoljen, ocjena je pristrasna. Statistička pristrastnost je, dakle, razlika izmedu očekivane vrijednosti procjenitelja θ i prave vrijednosti osobine osnovnog skupa.

Poželjne osobine ocjene su, pored nepristrasnosti, efikasnost i konzistentnost. Ocjena je efikasna ukoliko ima manji varijabilitet za istu veličinu uzorka. Ocjena parametara osnovnog skupa na osnovu uzorka je konzistentna ukoliko sa povećanjem uzorka teži stvarnoj vrijednosti parametra osnovnog skupa.

U narednom dijelu ćemo analizirati osobine procjenitelja aritmetičke sredine u slučajevima uzorka sa ponavljanjem i uzorka bez ponavljanja.

• Slučajan uzorak sa ponavljanjem

Ako iz osnovnog skupa N izvučemo k uzoraka veličine n i za svaki od tih uzoraka izračunamo aritmetičku sredinu dobićemo onoliko artimetičkih sredina koliko imamo uzoraka. S obzirom da su uzorci izabrani slučajno, aritmetička sredina uzorka je slučajna varijabla za koju možemo izračunati aritmetičku sredinu.

Za svaki uzorak možemo odrediti aritmetičku sredinu:

∑=

=n

iii x

nx

1

1 (6.7)


324

Aritmetička sredina aritmetičkih sredina uzoraka je jednaka:

∑=

=k

iix

kx

1

1 (6.8)

Očekivanu vrijednost (aritmetičku sredinu) aritmetičkih sredina uzoraka možemo posmatrati kao očekivanu vrijednost aritmetičke sredine uzorka uz pretpostavku da su aritmetičke sredine uzoraka ix nezavisne

( ) ( ) ( )∑ ∑∑= ==

=⋅===⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛==n

i

n

ii

n

iii n

nnxE

nx

nExExE

1 11

1111 μμμ (6.9)

čime dokazujemo da je aritmetička sredina aritmetičkih sredina uzoraka jednaka aritmetičkoj sredini osnovnog skupa. To znači da je procjena aritmetičke sredine osnovnog skupa na osnovu aritmetičke sredine uzorka nepristrasna procjena i parametar procjene ili procjenitelj je nepristrasan.

Jedinice uzorka posmatramo kao nezavisne slučajne promjenljive čije su očekivane vrijednosti jednake međusobno i jednake očekivanoj vrijednosti osnovnog skupa koji je normalno raspoređen sa parametrima N(μ,σ2)

E(x1)=E(x2)=...E(xn)= μ (6.10)

Iz izraza (6.9.) i (6.10.) slijedi da je aritmetička sredina aritmetičkih sredina uzorka jednaka aritmetičkoj sredini osnovnog skupa.

Pošto su varijable Xi nezavisne možemo odrediti i varijansu aritmetičke sredine uzoraka sa ponavljanjem:

( ) ∑∑==

=⋅⋅==⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛==n

i

n

iii n

nnn

xn

x1

22

22

21

222 111 σσσσσσ (6.11)

Ovaj parametar služi za mjerenje disperzije aritmetičkih sredina uzoraka oko aritmetičke sredine osnovnog skupa što omogućuje mjerenje greške uzoraka. Ako je ovaj parametar manji, greška ocjene je manja i ocjena preciznija.

Drugi korijen iz varijanse distribucije sredina uzoraka daje standardnu devijaciju distribucije sredina uzoraka koja se zove „standard error“ ili standardna greška ocjene aritmetičke sredine osnovnog skupa. Pošto standardna devijacija predstavlja mjeru odstupanja artimetičke sredine


325

uzorka od aritmetičke sredine osnovnog skupa ona pokazuje i koju grešku u prosjeku činimo ovom ocjenom i zbog toga se naziva i standardna geška ocjene.

• Slučajni uzorak bez ponavljanja

U slučaju uzorka bez ponavljanja uzastopna izvlačenja nisu nezavisna pa slučajne promjenljive uzorka nisu nezavisne. Pokazuje se da je u ovom slučaju varijansa aritmetičke sredine uzorka jednaka:

( )nn

nNxix

222

1σσσ ⋅

−−== (6.12)

Varijansu aritmetičkih sredina uzoraka od n elemenata možemo odrediti ako poznajemo varijansu i veličinu osnovnog skupa. Standardnu devijaciju aritmetičke sredine uzoraka nazivamo standardnom greškom i računamo pomoću sljedećeg izraza:

nNnN

xσσ ⋅

−−=

1 (6.13)

U ovom izrazu faktor

1−−

NnN (6.14)

predstavlja faktor korekcije za konačne osnovne skupove.

Ako je n =1 tada je varijansa uzorka jednaka varijansi osnovnog skupa 22 σσ =x .

Za N=n uzorak se izjednačava sa osnovnim skupom pa je varijansa jednaka nuli 02 =xσ .

Ako je osnovni skup veliki tada je faktor korekcije približno jednak jedinici, a varijansa aritmetičkih sredina uzoraka približno jednaka varijansi osnovnog skupa podijeljenoj sa n:

ni

NnN

x

22 1

1σσ ≈≈

−− (6.15)


326

Dakle, dobijamo isti rezultat kao i u primjeni nezavisnih uzoraka.

Standardna devijacija je jednaka nx

σσ = .

Ako varijansa osnovnog skupa nije poznata, njenu procjenu ne možemo vršiti na osnovu varijanse uzorka zbog toga što je varijabilitet u uzorcima manji od varijabiliteta u osnovnom skupu. U tom slučaju procjena varijanse bi bila pristrasna ako bismo koristili izraz:

( )∑=

−=n

iii xx

n 1

22 1σ (6.16)

Zbog toga se za dobijanje nepristrasne ocjene varijanse koristi izraz:

( )∑=

−−

=n

ii xx

n 1

22

11σ (6.17)

koji možemo napisati i u sljedećem obliku:

( ) ( )∑ ∑= =

−⋅−

=⋅−−

=n

i

n

iii xx

nnn

nnxx

n 1 1

222 111

1σ

22

1ˆ in

n σσ ⋅−

= (6.18)

koji se naziva korigovana varijansa. Ovaj izraz predstavlja nepristrasnu ocjenu varijanse osnovnog skupa u kojoj je član n/(n-1) faktor korekcije pristrasnosti ocjene, a 2

iσ predstavlja varijansu uzorka. Za velike uzorke (n≥30) faktor korekcije se približava jedinici pa se u praktičnim izračunavanjima može i zanemariti.

U ovom slučaju standardnu devijaciju osnovnog skupa treba zamijeniti izrazom za korigovanu standardnu devijaciju. Tada će se standardna greška procjene aritmetičke sredine osnovnog skupa moći izračunati iz podataka o uzorku koristeći sljedeću relaciju:

1ˆ

−−⋅=

NnN

nxσσ ⇒

11

−−⋅

⋅−=

NnN

nn

ni

x

σσ


327

11 −−⋅

−=

NnN

ni

xσσ (6.19)

Ukoliko je frakcija izbora manja od 0,03 tj 100

3<Nn , ili prema nekim

autorima od 0.05, faktor korekcije za konačne osnovne skupove je jednak jedinici pa gornju relaciju pišemo u sljedećem obliku:

11ˆ

−=−==

nnn

n

ni

ixσσσσ (6.20)

Varijansa se smanjuje ukoliko se poveća veličina uzorka. Ocjena je konzistentna ako teži stvarnoj vrijednosti parametra kada se uzorak povećava.

6.4. ODREĐIVANJE INTERVALA POVJERENJA

Mi ćemo analizirati i prezentirati određivanje intervala povjerenja, odnosno intervalne procjene za: aritmetičku sredinu, proporciju, varijansu i standardnu devijaciju, parametre modela linearne regresije, totala osnovnog skupa, medijane i koeficijenta korelacije.

6.4.1. Intervalna procjena aritmetičke sredine osnovnog skupa

6.4.1.1. Intervalna procjena aritmetičke sredine osnovnog skupa čija je varijansa poznata

Pretpostavimo da je osnovni skup normalno raspoređen. Tada varijabla X osnovnog skupa i varijable X1, X2, ..., Xn uzorka imaju normalnu distribuciju: X ~ N(μ,σ2). Tada aritmetička sredina uzorka ima normalnu distribuciju sa aritmetičkom sredinom μ i varijansom 2( / ) :nσ

2

~ ,x Nn

σμ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

(6.21)


328

Ilustraciju analiziranog slučaja smo predstavili na grafikonu 6.1.

Distribucija aritmetičke sredine uzorka – normalna distribucijaGrafikon 6.1.

( )f x

nσ

xμ

Ako standardiziramo slučajnu varijablu aritmetička sredina uzorka x dobijamo:

)1,0(~ /

Nn

xZσ

μ−= (6.22)

Ako Z ~ N(0,1) i 2/1 α−z je kvantil reda (1-α/2) od Z, tada možemo napisati izraz za vjerovatnoću da će se Z nalaziti u intervalu 2/1 α−± z :

( ) ααα −=≤≤− −− 12/12/1 zZzp (6.23)

U praksi se najčešće koristi greška, odnosno rizik ocjene koji označavamo sa α od 5% ili 1%. U tim slučajevima nivo pouzdanosti ( α−1 ) je 95% i 99% respektivno, a odgovarajuća vrijednost koeficijenta pouzdanosti 2/1 α−z je jednaka 1,96 i 2,58 respektivno. Za sve ostale nivoe greške koeficijenti

2/1 α−z su tabelirani i nalaze se u tablici standardizovane normalne distribucije. Tablice ove distribucije se nalaze u prilogu knjige.


329

Interval povjerenja aritmetičke sredine osnovnog skupa čija je varijansa poznataGrafikon 6.2.

( )f z

(0;1)z N∼

1 a−

/ 2a / 2a

1 / 2az −− 1 / 2az − z3− 30

(1 )a−

Ako u izrazu 6.23. zamijenimo Z sa /

xZnμ

σ−= dobijamo:

ασ

μαα −=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ≤−≤− −− 1/ 2/12/1 z

nxzp

ασμσαα −=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ⋅≤−≤⋅− −− 12/12/1 nzx

nzp

ασμσαα −=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ⋅+−≤−≤⋅−− −− 12/12/1 nzx

nzxp

ασμσαα −=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅+≤≤⋅− −− 12/12/1 nzx

nzxp

(6.24)

Kada odaberemo kontrolisanu grešku ili rizik ocjene α, tada će interval povjerenja (1-α) za aritmetičku sredinu osnovnog skupa biti μ:

nzx σ

α ⋅± − 2/1 , odnosno


330

1 / 2 1 / 2x z x zn nα α

σ σμ− −− ⋅ ≤ ≤ + ⋅ (6.25)

Grafička ilustracija ovog intervala povjerenja je prezentirana na grafikonu 6.3.

Interval povjerenjaGrafikon 6.3.

1- / 2- ·( / )ax z nσ 1- / 2 ·( / )ax z nσ+

za 1 / 21 ( / )aa x z nμ σ−− ± ⋅

( )f x

1 a−

μ

Širina intervala povjerenja se smanjuje ako se α povećava, odnosno ako se (1-α) smanjuje ili ako se n povećava.

Ako je potrebno izračunati veličinu uzorka n, uz uslov da polovina širine intervala povjerenja bude manja ili jednaka od neke vrijednosti, treba postupiti na sljedeći način:

dn

z ≤⋅−σ

α 2/1

ndz ≤⋅− σα 2/1

dz

nσα ⋅

≥ − 2/1

22/1 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅≥ −

dzn σα (6.26)


331

6.4.1.2. Procjena intervala aritmetičke sredine osnovnog skupa čija je varijansa nepoznata

Za standardizovanu varijablu Z= )1,0(~/

Nn

xσ

μ− , nepristrasna ocjena od

n/σ je jednaka

11ˆ

−=−==

nnn

n

nni

iσσσσ (6.27)

Zamjenjujući izraz (6.27) u izraz za standardizovanu varijablu Z dobijamo

promjenljivu 1/ −

−n

x

iσμ koja ima Studentovu distribuciju t sa (n-1) stepeni

slobode:

1~1/ −−

−n

i

tn

xσ

μ (6.28)

Interval povjerenja za aritmetičku sredinu osnovnog skupa μ za nivo pouzdanosti (1-α) je jednak:

ασ

μαα −=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛≤

−−≤− −−−− 1

1/ 2/1;12/1;1 ni

n tn

xt (6.29)

gdje je 2/1;1 α−−nt kvantil reda (1-α/2) od 1−nt .

Interval povjerenja za aritmetičku sredinu osnovnog skupa μ je jednak:

12/1;1 −⋅± −− n

tx in

σα (6.30)

Na grafikonu 6.4. smo predstavili interval povjerenja za aritmetičku sredinu osnovnog skupa čija varijansa nije poznata.


332

Studentova distribucija za interval povjerenja aritmetičke sredine osnovnog skupa

čija je varijansa nepoznataGrafikon 6.4.

1;1 / 2n at − −− 1;1 / 2n at − −−

( )f t

1 a−

/ 2a / 2a

t0

6.4.1.3. Interval povjerenja za aritmetičku sredinu osnovnog skupa čija distribucija nije poznata

Interval povjerenja za aritmetičku sredinu osnovnog skupa čija distribucija nije poznata ćemo analizirati za uzorke sa ponavljanjem i za uzorke bez ponavljanja.

6.4.1.3.1. Uzorak sa ponavljanjem i poznatom varijansom osnovnog skupa

Kada je varijansa osnovnog skupa poznata dobijamo isti interval povjerenja kao u slučaju kada arimetička sredina ima normalnu distribuciju. Ovaj rezultat je “asimptotičan” jer primjenjujemo centralnu graničnu teoremu kada ∞→n . Interval povjerenja (I.P) za aritmetičku sredinu osnovnog skupa je jednak:

( )n

zxPI σμα α ⋅±− − 2/1: za 1.. (6.31)


333

6.4.1.3.2. Uzorak sa ponavljanjem i nepoznatom varijansom osnovnog skupa

Interval povjerenja ocjene aritmetičke sredine osnovnog skupa za uzorak sa ponavljanjem i nepoznatom varijansom osnovnog skupa je jednak:

( )1

: za 1.. 2/1;1 −⋅±− −− n

txPI in

σμα α (6.32)

Ako je n ≥30 možemo izvršiti aproksimaciju pomoću normalne distribucije i dobiti sljedeći interval povjerenja:

( )1

: za 1.. 2/1 −⋅±− − n

zxPI iσμα α (6.33)

6.4.1.3.3. Uzorak bez ponavljanja ako je n dovoljno velik (n≥30) i poznata varijansa osnovnog skupa

U ovom slučaju aritmetička sredina uzorka slijedi normalnu distribuciju sa parametrima

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−−⋅

1n,N~

NnNx σμ (6.34)

Interval povjerenja za nivo povjerenja (1-α) je jednak:

( )1

:1.. 2/1 −−⋅±− − N

nNn

zxPI σα α (6.35)

6.4.1.3.4. Uzorak bez ponavljanja ako je n dovoljno velik (n≥30) i varijansa osnovnog skupa nije poznata

Interval povjerenja u ovom slučaju jednak je:

( )11

: za 1.. 2/1 −−

−⋅±− − N

nNn

zxPI iσμα α (6.36)

U narednoj šemi smo prezentirali procjenu intervala arimetičke sredine osnovnog skupa za različite slučajeve koje smo prethodno analizirali.


334

Procjena intervala povjerenja aritmetičke sredine osnovnog

skupa

osnovni skup ima normalnu distribuciju osnovni skup s

nepoznatom distribucijom

uzorci sa ponavljanjem

poznata varijansa osnovnog skupa

nepoznata varijansa osnovnog skupa

uzorci bez ponavljanja

poznata varijansa nepoznata varijansa

ako je aproksimiramo

poznata varijansa nepoznata varijansa

Procjena intervala povjerenja aritmetičke sredine osnovnog skupaŠema 6.1.

μ

30n >

30n >

μ

i

12

−± ⋅x z

nασ

1;12 1

in

x tnασ

− −± ⋅

−

12

x znα

σ−

± ⋅ 1;12 1

in

x tnασ

− −± ⋅

−

12 1

ix znασ

−± ⋅

−

12 1

N nx zNnα

σ−

−± ⋅ ⋅− 1

2 11i N nx z

Nnασ

−

−± ⋅ ⋅−−

6.4.2. Procjena intervala povjerenja za proporciju

Da bismo procijenili interval povjerenja za proporciju osnovnog skupa pored simbola označenih na sljedećem grafikonu primijenićemo sljedeće termine i simbole:

• n veličina uzorka • pA proporcija događaja A u osnovnom skupu, • nA veličina uzorka koji sadrži događaj A

• proporcija događaja A u uzorku:n

np AA =ˆ


335

A(NA) A(N-NA)

nA n-nA

Procjena intervala povjerenja za proporcijuGrafikon 6.5.

Osnovni skup

Uzorak

1-pA

pA

Osnovni skup je podijeljen na dva dijela. Pretpostavimo da se radi o jednostavnom slučajnom uzorku u kojem su izvlačenja elemenata u uzorak nezavisna, a vjerovatnoća pA je uniformna i konstantna. Analiziraćemo

osobine nnn A

A i . An je raspoređen prema binomnoj distribuciji

vjerovatnoće, a očekivana vrijednost i varijansa su date sljedećim izrazima:

( )( ) ( )AAnAA

AA

pnpnpnE

pnn

A−== 1 ,

,B~2σ

(6.37)

Iz dvije prethodne relacije izražavamo očekivanu vrijednost i varijansu za (nA /n):

( )n

ppnnp

nnE AAA

AA −=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⇒

1 , 2σ (6.38)

U slučajevima kada je veličina uzorka dovoljno velika koristimo aproksimaciju ove distribucije normalnom standardizovanom distribucijom. Slučajna standardizovana varijabla je data sljedećim izrazom:

( ) )1,0(1

ˆN

npp

pp

AA

AA ∼−

−


336

)1,0(ˆ

Npp

Ap

AA ∼−σ

(6.39)

Kako je Ap nepoznato, za ocjenu standardne greške koristimo sljedeći izraz:

( )n

pp AAp A

ˆ1ˆˆ

−=σ (6.40)

Interval povjerenja određujemo na sljedeći način:

ασ αα −=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛≤−≤− −− 1

ˆ2/1

ˆ2/1 zppzp

Ap

AA

…………..

( ) -1ˆˆ ˆ2/1ˆ2/ ασσ αα =+≤≤− −− AA pAApaA zppzpp

ApAA zppPI ˆ2/1ˆ: za .. σα−± (6.41)

6.4.3. Intervalna procjena standardne devijacije i varijanse osnovnog skupa

6.4.3.1. Intervalna procjena standardne devijacije

Ako je osnovni skup normalno distribuiran i veličina uzorka dovoljno velika distribucija standardnih devijacija uzoraka se približava normalnoj distribuciji. U tom slučaju standardna greška procjene standardne devijacije osnovnog skupa pomoću uzorka je jednaka:

n2ˆ

ˆσσσ = (6.42)

Interval povjerenja za standardnu devijaciju je:

( ) ασσσσσ σασα −=+≤≤− −− 1ˆˆ ˆ2/1ˆ2/1 zzp

( ) ( )σα σσσα ˆ2/1ˆ: za 1.. −±− zPI (6.43)


337

6.4.3.2. Intervalna procjena varijanse osnovnog skupa pomoću hi-kvadrat distribucije na osnovu poznate varijanse malog uzorka

Ako definišemo pokazatelj: 2

22 ˆ

σσχ n= (6.44)

gdje je 2σ varijansa osnovnog skupa procijenjena pomoću varijanse uzorka i 2σ varijansa osnovnog skupa tada će interval povjerenja za varijansu osnovnog skupa biti jednak:

αχσσχ αα −=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛≤≤ −−− 1

ˆ 22/1;12

22

2/;1 nnnp

2 22

2 21;1 / 2 1, / 2

ˆ ˆ1

n n

n npα α

σ σσ αχ χ− − −

⎛ ⎞≤ ≤ = −⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ (6.45)

Na sljedećem grafikonu smo prikazali interval povjerenja za varijansu.

distribucija za interval povjerenja varijanse osnovnog skupa na bazi poznate varijanse malog uzorkaGrafikon 6.6.

0 2χ

2χ

1 a−

2( )f χ

2a/2χ 2

1 a/2χ −

2/a 2/a

6.4.3.3. Interval povjerenja za varijansu velikog uzorka

Ako je je uzorak veliki (n≥30) izraz 22χ teži ( )1;32 −nN i interval povjerenja za varijansu osnovnog skupa je jednak sljedećem izrazu:


338

( ) αχ −=+−≤≤−− 132232 2 znznp

( ) ( ) ασσσ

ασσ

−=⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−−≤≤

+−

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−≤≤−−

132

ˆ2

32

ˆ2

132ˆ

232

2

22

2

2

2

2

zn

n

zn

np

znnznp

(6.46)

6.4.4. Interval povjerenja totala osnovnog skupa

Total je zbir vrijednosti numeričkog obilježja elemenata ∑= xT . Total je jednak proizvodu aritmetičke sredine i broja elemenata. Kada se total procjenjuje pomoću uzorka, aritmetičku sredinu uzorka treba pomnožiti sa brojem elemenata u osnovnom skupu N: xNT =ˆ . Standardna greška procjene totala osnovnog skupa je jednaka N puta standardna greška procjene aritmetičke sredine: xT Nσσ =ˆ .

xx

TT

zNxNTzNxNzTTzT

σσσσ

+≤≤−

+≤≤− ˆˆˆˆ

(6.47)

Interval povjerenja za total osnovnog skupa T uz vjerovatnoću (1-α) je jednak:

xNzxN σα ⋅± − 2/1 (6.48)

Veličina uzorka za procjenu totala osnovnog skupa se izračunava po formuli:

2

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=

dzNn σ

(6.49)

6.4.5. Interval povjerenja za medijanu

Distribucija medijane uzoraka asimptotski se približava normalnoj distribuciji sa porastom veličine uzorka.Varijansa ocjene medijane je jednaka:


339

570726,12

222ˆ ⋅=

⋅=

nneM

σπσσ

25331.12ˆ ⋅== xeM n

σπσσ (6.50)

Poslije odgovarajućih transformacija dobija se interval povjerenja za ocjenu medijane osnovnog skupa:

eM

MeeMz

zzzp

ˆ

2/12/1

ˆ1)(

σ

ααα

−=

−=≤≤− −−

.....

1)ˆ

( 2/1ˆ

2/1 ασ αα −=≤−≤− −− zMeeMzp

eM

ασσαα −=+≤≤−

−− 1)ˆˆ( ˆˆ2/1 2/1 eMeM zeMMezeMp (6.51)

Interval povjerenja za medijanu je dat sljedećim izrazom:

eMeeMe zMMezM ˆˆˆˆ σσ +≤≤− (6.52)

6.4.6. Ocjena intervala za parametre modela linearne regresije

Model jednostavne linearne regresije za osnovni skup je:

niebxay iii ,...,,2,1 , =++= (6.53)

Vrijednosti zavisne varijable u ponovljenim realizacijama imaju različite vrijednosti za fiksne vrijednosti nezavisne varijable zbog prisustva slučajnih varijabli. Zbog toga se mogu tretirati kao uzorak vrijednosti iz osnovnog skupa. Za ocjenu parametara polazni oblik modela je:

ˆî i iy a bx e= + + (6.54)

Da bi se dobila intervalna procjena parametara potrebno je poznavati distribuciju ocjena uzoraka. Ako se pretpostavi da su slučajne veličine normalno distribuirane sa aritmetičkom sredinom jednakom nula za svako i,


340

sa konstantnom varijansom i da nisu korelirane međusobno, distribucija uzoraka ocjena ima oblik Studentove distribucije sa (n-2) stepeni slobode. Standardna greška ocjene parametra b je data sljedećim izrazom:

,ˆ

2ˆ

∑=

n

ii

b

x

σσ (6.55)

2

)ˆ(ˆ

2

−

−=∑

n

yyn

iii

σ

Odgovarajući interval povjerenja je

ασσ −=+≤≤− −−−− 1)ˆˆ( ˆ2/1;1ˆ2/1;1 bnbn tbbtbp (6.56)

ili jednostavnije

bbtbbtb ˆˆ

ˆˆ σσ +≤≤− (6.57)

6.4.7. Intervalna procjena koeficijenta korelacije

Iz osnovnog skupa se može odabrati u uzorak n parova vrijednosti dvije varijable (X,Y) i izračunati koeficijent korelacije uzorka pomoću kojeg procjenjujemo koeficijent korelacije osnovnog skupa.

Ako je koeficijent korelacije osnovnog skupa jednak nuli (r = 0) distribucija koeficijenata korelacije uzoraka će imati oblik normalne distribucije sa očekivanom vrijednosti koeficijenta korelacije i standardnom greškom koeficijenta korelacije koja je data sljedećim izrazima za veliki i mali uzorak respektivno:

11−

=nrσ (6.58)

21 2

−−=

nr

rσ (6.59)


341

Distribucija koeficijenata korelacije uzoraka je više asimetrična što se koeficijent korelacije osnovnog skupa više udaljava od nule i približava jedinici. Navedene formule se koriste za testiranje hipoteze da je koeficijent linearne korelacije jednak nuli r = 0.

Za procjenu intervala povjerenja se primjenjuje postupak koji je predložio R.A.Fisher. Koeficijent korelacije se transformiše tako da se dobije koeficijent čija distribucija koeficijenata korelacije uzoraka ima oblik normalne distribucije. Tako transformisan koeficijent ćemo označiti sa Z. Funkcija Z od r je data sljedećim izrazom:

rrZ

−+=

11ln

21

Očekivana vrijednost i varijansa od Z su:

ρρ

−+=

11ln

21)(ZE (6.60)

312

−=

nZσ (6.61)

Za ocjenu koeficijenta korelacije osnovnog skupa se koristi koeficijent korelacije uzorka dat sljedećim izrazom:

∑∑

∑

==

=

−−

−−==

n

ii

n

ii

n

iii

YX

YX

yyn

xxn

yyxxnCov

r

1

2

1

2

1,

)(1)(1

))((1

σσ (6.62)

Ocjena se vrši na sljedeći način: • izračuna se koeficijent korelacije r iz podataka o uzorku • iz odgovarajuće tablice (tablica u prilogu) se pronađe vrijednost Z

koja odgovara koeficijentu korelacije i to je vrijednost Z uzorka (Zu) • izračuna se standardna greška procjene Z • izračunava se interval povjerenja uz odgovarajući nivo pouzdanosti:

ασσ αα −=−≤≤− −− 1)( 2/12/1 zuzu zZZzZp (6.63)


342

• u tablici se pronađe vrijednost r koja odgovara za broj dobiven za granice intervala i to su granice intervala povjerenja koeficijenta korelacije osnovnog skupa uz određeni nivo pouzdanosti.

Pored navedenih, mogu se procijenjivati intervali povjerenja za kvartile osnovnog skupa, mjere asimetrije osnovnog skupa, mjere zaobljenosti osnovnog skupa, itd.

6.5. TESTIRANJE HIPOTEZA

Informacije iz uzorka koristimo da bismo ispitali pretpostavke o obilježjima i parametrima osnovnog skupa. Pretpostavimo na osnovu prethodnih istraživanja i saznanja da neko obilježje osnovnog skupa ima određenu vrijednost. Na osnovu uzorka odabranog iz tog skupa izračunamo to obilježje. Izračunato obilježje poredimo sa pretpostavljenom vrijednošću i donosimo odluku o odbacivanju ili prihvatanju hipotetičke vrijednosti uz odgovarajuću grešku procjene.

Statistička hipoteza je precizno formulisana tvrdnja ili pretpostavka o obilježjima osnovnog skupa. Naučni metod kojim provjeravamo prihvatljivost prethodno definisane tvrdnje ili pretpostavke se naziva testiranje statističke hipoteze.

U postupku testiranja hipoteza mogu se definisati sljedeće etape: 1. Formulisanje nulte i alternativne hipoteze 2. Izbor kriterija za testiranje i distribucije vjerovatnoće 3. Izbor nivoa značajnosti testa 4. Formulisanje pravila za odbacivanje ili prihvatanje nulte hipoteze 5. Izbor uzorka, izračunavanje vrijednosti procjenitelja i koeficijenta

testa 6. Donošenje odluke o odbacivanju ili prihvatanju nulte hipoteze

6.5.1. Formulisanje hipoteza

Nulta i alternativna hipoteza su dvije međusobno isključive tvrdnje o obilježjima osnovnog skupa koje su izražene vrijednostima parametara osnovnog skupa.


343

Nulta hipoteza je tvrdnja o vrijednosti parametra osnovnog skupa koja se testiranjem nastoji osporiti. Ovom hipotezom se tvrdi da je parametar osnovnog skupa jednak nekoj pretpostavljenoj vrijednosti.

Svakoj nultoj hipotezi se pridružuje alternativna ili istraživačka hipoteza. Pretpostavka, koja se smatra tačnom i koju tokom testiranja treba potvrditi, se izražava alternativnom hipotezom.

Testira se samo nulta hipoteza polazeći od pretpostavke da je istinita i nastoji se odbaciti.

Pretpostavimo da je hipotetička vrijednost neke karakteristike osnovnog skupa 0θθ = . Za testiranje hipoteza mogu se koristiti dvosmjerni i jednosmjerni testovi. Češće se koriste dvosmjerni testovi kojima se želi utvrditi da li postoji statistički značajna razlika između pretpostavljene i stvarne karakteristike osnovnog skupa bez obzira na smjer razlike. Oblast odbacivanja nulte hipoteze se nalazi simetrično na oba kraja distribucije. Kod jednosmjernih testova oblast odbacivanja se nalazi na jednom kraju distribucije. Analiziraćemo definisanje i postavku nulte hipoteze za slučajeve dvosmjernog i jednosmjernog testa na donju i gornju granicu.

• Dvosmjerni test

Hipoteza koju treba testirati je nulta hipoteza da je parametar osnovnog skupa jednak pretpostavljenoj vrijednosti:

00 : θθ =H (6.64)

Alternativna hipoteza je da je parametar osnovnog skupa različit od pretpostavljene vrijednosti:

01 : θθ ≠H (6.65)

• Jednosmjerni test na gornju granicu

Za jednosmjerni test na gornju granicu nulta i alternativna hipoteza su formulisane na sljedeći način:

0100 :: θθθθ >⇒≤ HH (6.66)


344

• Jednosmjerni test na donju granicu

U ovom slučaju nulta i alternativna hipoteza su definisane sljedećim izrazima:

0100 :: θθθθ <⇒≥ HH (6.67)

6.5.1.1. Donošenje odluke i greške tipa I i II

Prilikom donošenja odluke o odbacivanju ili prihvatanju nulte hipoteze mogu da nastanu greške tipa I i II. Različite odluke i tipovi grešaka su predstavljeni u sljedećoj tabeli:

Tabela 6.1. Tipovi grešaka

Odluke Nulta hipoteza je prihvaćena

Nulta hipoteza je odbačena

Nulta hipoteza je istinita

Odluka je ispravna (1- α)

Napravljena je greška tipa I α

Nulta hipoteza nije istinita

Napravljena je greška tipa IIβ

Odluka je ispravna (1- β)

Na grafikonu 6.6. smo predstavili slučaj određivanja intervala povjerenja, testiranje hipoteza i greške prve i druge vrste.

IP

Određivanje intervala povjerenja i greške druge vrsteGrafikon 6.7.

/ 2a / 2aβ


345

Vjerovatnoća greške prve vrste (ili tipa I) se označava sa α , a vjerovatnoća greške druge vrste (ili greška tipa II) sa β . Uobičajeno je da se odabire kontrola greške prve vrste α i da se definiše pravilo odbacivanja hipoteze koje će rezultirati da greška druge vrste β bude što je moguće manja. Vrijednost greške β je određena sljedećim faktorima: stvarnom vrijednošću testiranog parametra, nivoom značajnosti testa α, veličinom uzorka i oblikom testa. Često se koristi i izraz jačina testa (1- β) koji izražava vjerovatnoću odbacivanja netačne nulte hipoteze. Ovaj izraz predstavlja komplementarnu vrijednost greške β. Zbir ove dvije komplementarne vjerovatnoće je jednak jedinici:

p(Ho odbaci/Ho netačna)+ p(Ho prihvati/Ho netačna)=1 (6.68)

6.5.1.2. Empirijski nivo značajnosti p-vrijednost

U statističkim programima se sve više umjesto teorijskog nivoa značajnosti, koji je sastavni dio svakog testa, izračunava p-vrijednost. Ova vrijednost predstavlja empirijski nivo značajnosti koji se izračunava na osnovu podataka iz uzorka pomoću empirijskih z ili t vrijednosti. p-vrijednost predstavlja najmanji nivo značajnosti uz koji se nulta hipoteza može odbaciti na osnovu podataka iz uzorka. Ova vrijednost se naziva i realizovani nivo značajnosti. Postupak donošenja odluke na osnovu p-vrijednosti se zasniva na poređenju ove vrijednosti sa teorijskim nivoom značajnosti. Ako je p-vrijednost manja od α, odbacuje se nulta hipoteza. Ako je p-vrijednost veća od α, prihvata se nulta hipoteza. Manja p-vrijednost znači manju empirijski utvrđenu vjerovatnoću odbacivanja istinite nulte hipoteze.

U postupku testiranja hipoteza o aritmetičkoj sredini baza za izračunavanje p-vrijednosti je empirijska z ili t vrijednost u zavisnosti od toga da li se radi o velikom ili malom uzorku. Ukoliko je nulta hipoteza istinita Z varijabla se ponaša po standardizovanoj normalnoj distribuciji i u tom slučaju p-vrijednost predstavlja vjerovatnoću da varijabla Z uzme vrijednost veću od vrijednosti izračunate na osnovu datog uzorka. Postupak izračunavanja empirijskog nivoa značajnosti je sljedeći:

Za 0100 :: θθθθ ≠⇒= HH p-vrijednost = 2 ( )p Z z>

Za 0100 :: θθθθ >⇒≤ HH p-vrijednost= p(Z>z)

Za 0100 :: θθθθ <⇒≥ HH p-vrijednost= ( )p Z z>


346

6.5.2. Testiranje hipoteze o aritmetičkoj sredini osnovnog skupa

Ako pretpostavimo da je aritmetička sredina osnovnog skupa jednaka nekoj vrijednosti 0μ tada hipotezu možemo formulisati u obliku dvosmjernog testa na sljedeći način:

0100 :: μμμμ ≠↔= HH (6.69)

Ako ( )2,~ σμNX ili ako X ima bilo koju distribuciju ukoliko je n ≥ 30

vrijedi sljedeća relacija: Z= )1,0(~/

Nn

xσ

μ− i za analizu koristimo z test.

Analiziraćemo nekoliko karakterističnih slučajeva u zavisnosti od toga da li su poznate varijansa i oblik distribucije i da li je uzorak veliki ili mali.

6.5.2.1. Varijansa osnovnog skupa poznata

U slučaju kada je varijansa osnovnog skupa poznata analiziraćemo dvosmjerni test i jednostrane testove na gornju i donju granicu.

6.5.2.1.1. Dvosmjerni test za aritmetičku sredinu

Ako pretpostavimo da je nulta hipoteza 00 : μμ =H istinita tada

(0,1)./

xZ Nnμ

σ−= ∼

Vrijednost izračunatog z poredimo sa teorijskim z iz tablica i uz odgovarajući nivo pouzdanosti donosimo odluku o odbacivanju ili prihvatanju nulte hipoteze.

U praksi se najčešće koristi greška, odnosno rizik ocjene koji označavamo sa α od 5% ili 1%. U tim slučajevima nivo pouzdanosti ( α−1 ) je 95% i 99% respektivno, a odgovarajuća teorijska vrijednost koeficijenta pouzdanosti 2/1 α−z je jednaka 1,96 i 2,58 respektivno. Za sve ostale nivoe greške koeficijenti 2/1 α−z su tabelirani i nalaze se u tablici standardizovane normalne distribucije. Na sljedećem grafikonu je data ilustracija dvosmjernog testa za aritmetičku sredinu.


347

-3 3

Dvostrani test za aritmetičku sredinu poznata varijansa osnovnog skupaGrafikon 6.8.

0

oblastprihvatanja

nulte hipoteze

1 / 2az −− 1 / 2az −

( )f z

z/ 2a / 2a

1 a−

Ako je nulta hipoteza istinita za:

1/ 2/1

02/1 α

σμ

αα −=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ≤−≤− −− z

nxzp

; 1);(/ 2/12/1

0 ασ

μαα −=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −∈−−− zz

nxp

[ ] 2/1izrač2/12/1izrač ; ααα −−− ≤⇒−∈ zzzzz (6.70)

prihvatamo je. Dakle, nultu hipotezu prihvatamo ako aritmetička sredina pripada sljedećem intervalu:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ ⋅±∈ − nzx σμ α 2/10 (6.71)

Nultu hipotezu H0 odbacujemo ako je ispunjen jedan od sljedećih uslova:

( )[ ]

2/1;2/1izrač

2/1;2/10

αα

αα ασ

μ

−−

−−

−∉

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −∉−

zzz

zzn

xp

(6.72)

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ ⋅+⋅−∉ −− nz

nzx σμσμ αα 2/102/10 ;


348

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ ⋅±∉ − nzx σμ α 2/10 (6.73)

Ostale ekvivalentne forme pomoću kojih izražavamo odluku o odbacivanju nulte hipoteze su:

2/12/10 ili

/ αασ

μ−− >>

−zzz

nx

(6.74)

nzx σμ α ⋅>− − 2/10 (6.75)

Oblast prihvatanja i odbacivanja nulte hipoteze su prikazane na grafikonu 6.9.

Oblast prihvatanja nulte hipotezeGrafikon 6.9.

oblastprihvatanja

nulte hipoteze

oblast odbacivanja

oblast odbacivanja

0 1 / 2 ( / )az nμ σ−− ⋅ 0 1 / 2 ( / )az nμ σ−+ ⋅

( )f x

x0μ

6.5.2.1.2. Jednosmjerni test aritmetičke sredine na gornju granicu u slučaju poznate varijanse osnovnog skupa

Jednosmjerni test aritmetičke sredine na gornju granicu se definiše sljedećim izrazom:

0100 :: μμμμ >⇒≤ HH (6.76)


349

Ne odbacujemo, odnosno prihvatamo nultu hipotezu ako je ispunjen sljedeći uslov:

ασμ

−≤−

10

/z

nx

α−≤ 1zzizrač (6.77)

Odbacujemo nultu hipotezu ako je:

ασμ

−>−

10

/z

nx

α−> 1zzizrač (6.78)

Oblast prihvatanja i oblast odbacivanja nulte hipoteze su prikazane na grafikonu 6.10.

Jednosmjerni test za aritmetičku sredinu na gornju granicuGrafikon 6.10.

oblastprihvatanja

nulte hipoteze

oblast odbacivanja

1 aZ −

( )f z

z0

1 a−

a

6.5.2.1.3. Jednosmjerni test za aritmetičku sredinu na donju granicu ako je poznata varijansa

0100 :: μμμμ <⇒≥ HH (6.79)

Nulta hipoteza se ne odbacuje ako je:


350

ασμ

−≥−

10

/z

nx

ili jednostavnije

α−≥ 1zzizrač (6.80)


ασμ

−−<−1

0

/z

nx

α−−< 1zzizrač (6.81)

Na grafikonu 6.11. su predstavljene oblast prihvatanja i oblast odbacivanja nulte hipoteze.

Jednosmjerni test za aritmetičku sredinu na donju granicuGrafikon 6.11.

oblastprihvatanja

nulte hipoteze

oblast odbacivanja

( )f t

1 a−

1-z a−z

a

0

6.5.2.2. Testiranje hipoteze o aritmetičkoj sredini osnovnog skupa u slučaju kada varijansa osnovnog skupa nije poznata i n ≥30 – dvosmjerni test

Za bilo koji osnovni skup čiji uzorak ima veličinu n ≥30 prihvatamo nultu hipotezu ako je:


351

01 / 2 1 / 2ili

/ 1i

x z z zn α αμ

σ − −−

≤ ≤−

(6.82)

U izrazu (6.80) iσ je standardna devijacija uzorka.

Nulta hipoteza se odbacuje ukoliko je zadovoljen sljedeći uslov:

01 / 2 1 / 2ili

/ 1i

x z z zn α αμ

σ − −−

> >−

(6.83)

gdje je iσ standardna devijacija uzorka.

6.5.2.3. Testiranje hipoteze o aritmetičkoj sredini osnovnog skupa u slučaju kada varijansa osnovnog skupa nije poznata i n<30

Za testiranje u ovom slučaju se koristi Studentov t test.

6.5.2.3.1. Dvosmjerni test aritmetičke sredine

Hipoteze su definisane sljedećim izrazom:

0100 :: μμμμ ≠⇒= HH

Za osnovni skup koji ima normalnu distribuciju, nepoznatu varijansu i veličinu uzorka manju od 30 (n < 30) ne odbacujemo nultu hipotezu ako je:

2/1;12/1;10 ili

1/ αασμ

−−−− ≤≤−

−nn

i

tttn

x (6.84)

Za osnovni skup koji ima normalnu distribuciju odbacujemo nultu hipotezu ako je:

2/12/10 ili

1/ αασμ

−− >>−

− tttn

x

i

(6.85)

Oblasti prihvatanja i odbacivanja nulte hipoteze su predstavljene na grafikonu 6.12.


352

Dvosmjerni test za aritmetičku sredinu kada varijansa osnovnog skupa nije poznataGrafikon 6.12.

oblastprihvatanja

nulte hipoteze

oblast odbacivanja

oblast odbacivanja

1 / 2, n-1at −− 1 / 2, n-1at −

( )f t

t0

6.5.2.3.2. Jednosmjerni test aritmetičke sredine na gornju granicu

Hipoteze su definisane izrazom:

0100 :: μμμμ >⇒≤ HH (6.86)

Nulta hipoteza se ne odbacuje ako je ispunjen sljedeći uslov:

01;1/ 1 n

i

x tn αμ

σ − −−

≤−

α−−≤ 1;1nizrač tt (6.87)

Nulta hipoteza se odbacuje ako je:

01;1/ 1 n

i

x tn αμ

σ − −−

>−

α−−> 1;1nizrač tt (6.88)

Na grafikonu 6.13. su date oblasti prihvatanja i odbacivanja nulte hipoteze ovog jednosmjernog testa.


353

Jednosmjerni test za aritmetičku sredinu na gornju granicu kada varijansa

osnovnog skupa nije poznataGrafikon 6.13.

oblast odbacivanja

oblastprihvatanja

nulte hipoteze

1;1n at − −

( )f t

ta

0

6.5.2.3.3. Jednosmjerni test aritmetičke sredine na donju granicu

0100 :: μμμμ <⇒≥ HH (6.89)

Nulta hipoteza se ne odbacuje ako je

01;1/ 1 n

i

x tn αμ

σ − −−

≥ −−

α−−−≥ 1;1nizrač tt (6.90)


01;1 / 2/ 1 n

i

x tn αμ

σ − −−

< −−

2/1;1 α−−−< nizrač tt (6.91)

Oblasti prihvatanja i odbacivanja nulte hipoteze jednosmjernog testa na donju granicu su predstavljene na sljedećem grafikonu.


354

Jednosmjerni test za aritmetičku sredinu na donju granicu kada varijansa osnovnog skupa nije poznata

Grafikon 6.14.

oblast odbacivanja

oblastprihvatanja

nulte hipoteze

1;1n at − −−

( )f t

ta

0

U šemi 6.2. dajemo pregled različitih slučajeva testiranja hipoteze o aritmetičkoj sredini osnovnog skupa i kriterije za odbacivanje nulte hipoteze.

Testiranje hipoteze o aritmetičkoj sredini osnovnog skupa i kriteriji za odbacivanje nulte

hipoteze

osnovni skup ima normalnu distribuciju ili

bilo koju distribuciju ukoliko je

osnovni skup ima normalnu distribuciju i

poznata varijansa osnovnog skupa



0 0:H μ μ=

0 0:H μ μ≤

0 0:H μ μ≥

1 0:H μ μ≠

1 0:H μ μ>

1 0:H μ μ<

Testiranje hipoteze o aritmetičkoj sredini µ osnovnog skupai kriteriji za odbacivanje nulte hipotezeŠema 6.2.

30n > 30n <

μ

0 0.

1

izrix

x xZ

n

μ μσσ

− −= =

−

0.izr

x

x xZ

n

μ μσσ

− −= = 0 0.

1

izrix

x xt

n

μ μσσ

− −= =

−

. 12

izrz z α−> . 1

2izrz z α−

>

. 1izrz z α−> . 1izrz z α−>

. 1izrz z α−< − . 1izrz z α−< −

. 1; 12

izr nt t α− −

>

. 1; 1izr nt t α− −>

. 1; 1izr nt t α− −< −


355

6.5.3. Test hipoteze za proporciju

Da bismo analizirali test hipoteze za proporciju podsjetićemo se simbola i oznaka koje smo koristili za ocjenu intervala povjerenja, a koje su predstavljene na sljedećem grafikonu.

A(NA) A(N-NA)

nA n-nA

Test hipoteze za proporcijuGrafikon 6.15.

Osnovni skup

Uzorak

1-pA

pA

6.5.3.1. Dvosmjerni test hipoteze za proporciju

Dvosmjerni test za proporciju se definiše sljedećim izrazom:

0100 :: ppHppH AA ≠↔= (6.92)

Pokazali smo da ako je veličina uzorka n velika (n≥30) slijedi:

( ) ( )1,0~1

ˆN

npp

pp

AA

AA

−− (6.93)

Zamjenjujući uslove hipoteze ako je istinita dobijamo:

( ) ( )1,0~1

ˆ

00

0 N

npp

ppA

−−

(6.94)

Ako uvedemo smjenu:


356

00002 1, pq

nqp

p −==σ

tada možemo izraziti z kao:

p

A ppzσ

0ˆ −= (6.95)

Ne odbacujemo nultu hipotezu ako je ispunjen sljedeći uslov:

2/10

2/1

ˆαα σ −− ≤

−≤− z

ppz

p

A

2/12/1 αα −− ≤≤− zzz (6.96)

6.5.3.2. Jednosmjerni test za proporciju na gornju granicu

0100 :: ppHppH AA >↔≤ (6.97)

Prihvatamo nultu hipotezu ako je

ασ −≤−

= 10ˆ

zpp

zp

Aizrač (6.98)

a odbacujemo ako ovaj uslov nije zadovoljen, odnosno ukoliko je α−> 1zzizrač .

6.5.3.3. Jednosmjerni test za proporciju na donju granicu

0100 :: ppHppH AA <↔≥ (6.99)

Prihvatamo nultu hipotezu ako je

ασ −−≥−

= 10ˆ

zpp

zp

Aizrač (6.100)

a odbacujemo ukoliko je α−−< 1zzizrač .


357

6.5.4. Testiranje hipoteze o varijansi osnovnog skupa

6.5.4.1. Dvosmjerni test

Dvosmjerni test hipoteze o varijansi osnovnog skupa formulišemo sljedećom relacijom:

20

21

20

20 :: σσσσ ≠↔= HH (6.101)

Za testiranje se koristi hi-kvadrat test 20

22 ˆ

σσχ n=

Prihvatamo nultu hipotezu ako je: 2

2/1;122

2/;1 αα χχχ −−− ≤≤ nn (6.102)

Ne prihvatamo nultu hipotezu ako je:

[ ]22/1;1

22/;1

2 ; αα χχχ −−−∉ nn (6.103)

Ilustracija oblasti prihvatanja i odbacivanja nulte hipoteze o varijansi osnovnog skupa je prezentirana na sljedećem grafikonu.

Testiranje hipoteze o varijansi osnovnog skupaGrafikon 6.16.

oblast prihvatanja nulte hipoteze

oblast odbacivanja

nulte hipoteze

oblast odbacivanja

nulte hipoteze

1 a−

2( )f χ

/ 2a/ 2a

2-1, / 2n aχ 2

-1,1- / 2n aχ 2χ


358

6.5.4.2. Test hipoteze za varijansu na gornju granicu

Test na gornju granicu je formulisan sljedećim izrazom: 20

21

20

20 :: σσσσ >↔≤ HH (6.104)

Prihvatamo nultu hipotezu ako je:

2;1;12

0

22 ˆ

αχσσχ −−≤= n

n (6.105)

Ukoliko gornji uslov nije zadovoljen, odbacujemo nultu hipotezu.

6.5.4.3. Test hipoteze za varijansu na donju granicu

Test na donju granicu je formulisan sljedećim izrazom: 2 2 2 2

0 0 1 0: :H Hσ σ σ σ≥ ↔ < (6.106)


2;;12

0

22 ˆ

αχσσχ −≥= n

n (6.107)

U suprotnom slučaju nultu hipotezu odbacujemo.

6.5.5. Testiranje hipoteze o značajnosti parametara u regresionom modelu

Ako se pođe od pretpostavke da, za date vrijednosti nezavisnih varijabli, vrijednosti zavisne varijable predstavljaju uzorak, ocjene parametara mogu poslužiti za testiranje hipoteze o značajnosti parametara u modelu regresije. Postoji više testova o parametrima u regresionom modelu. Testovi mogu biti pojedinačni i skupni. Test je pojedinačan ako se testira značajnost jednog parametra u regresionom modelu. Skupnim testom se ispituje značajnost svih varijabli u modelu.


359

6.5.5.1. Pojedinačni test značajnosti parametra regresionog modela

Za primjenu pojedinačnog testa o značajnosti parametra odabrane varijable Xj hipoteze za dvosmjerni test se definišu na sljedeći način:

0:

0:

1

0

≠

=

j

j

bH

bH (6.108)

Testiranje se vrši pomoću t-distribucije. Područje prihvatanja nulte hipoteze je:

ˆ/ 20j

j bb tα σ⎡ ⎤∈ ± ⋅⎢ ⎥⎣ ⎦ (6.109)

gdje 2/αt predstavlja vrijednost t distribucije koji zavisi o odabranom nivou pouzdanosti i broju stepeni slobode (n-K-1). K je broj parametara koje treba ocijeniti, a

jbσ je standardna greška parametra:

( )1

ˆ2 2

1

ˆˆ ˆ,

2j

n

i ii

b n

ii

y y

nx nx

σσ σ =

=

−= =

−−

∑

∑ (6.110)

σ predstavlja ocjenu standardne devijacije regresije. Ako se vrijednost regresijskog parametra jb nađe u navedenom intervalu prihvata se nulta hipoteza kao istinita. U suprotnom slučaju nulta hipoteza se odbacuje.

Test se može realizovati i upoređivanjem empirijskog t-odnosa i teorijske vrijednosti za t. Empirijski t-odnos je dat sljedećom relacijom:

jb

jbt

ˆ

ˆ

σ= (6.111)

Nulta hipoteza se prihvaća ako je empirijski t-odnos manji po apsolutnoj vrijednosti od teorijske vrijednosti t-distribucije. U suprotnom slučaju hipoteza se odbacuje.


360

6.5.5.2. Testiranje značajnosti svih varijabli u modelu

Model višestruke linearne regresije čiji je funkcionalni dio modela definisan linearnom funkcijom smo definisali u sljedećem obliku:

1 1 2 2 ... K KY a b X b X b X e= + + + + + (6.112)

Za istovremeno testiranje značajnosti svih parametara hipoteze definišemo na sljedeći način:

.,...,2,1,0:0...:

1

210

KjbHbbbH

j

K

=≠====

(6.113)

Ako su ispunjene određene pretpostavke o osobinama varijabli, u modelu za testiranje se primjenjuje empirijski F odnos između objašnjene i neobjašnjene varijanse i njima odgovarajućih stepeni slobode:

( )

( ) ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −−

−

−=∑

=

KKn

yy

yyF

i

n

ii 1

ˆ

ˆ

21

2

(6.114)

Odluka se donosi upoređivanjem empirijskog (izračunatog) F-odnosa i teorijske F-distribucije. Ako je empirijski F-odnos manji od teorijskog nulta hipoteza se ne odbacuje. Dakle, ukoliko je e tF F≤ nulta hipoteza 0H se prihvata. Ukoliko je te FF > nulta hipoteza se odbacuje.

Teorijska F-distribucija je određena nivoom značajnosti i brojem stepeni slobode brojnika i nazivnika. Broj stepeni slobode je (K, n-K-1).

6.5.5.3. Testiranje hipoteze o razlici (jednakosti) airtmetičkih sredina dva osnovna skupa

Potrebno je testirati hipotezu o razlici aritmetičkih sredina dva osnovna skupa ukoliko su poznati sljedeći podaci. Za osnovni skup 1:

• Aritmetička sredina 1μ

• Varijansa 21σ

• Veliki uzorak od n1 elemenata sa aritmetičkom sredinom uzorka 1x i varijansom uzorka 2

1σ .


361

Za osnovni skup 2: • Aritmetička sredina 2μ

• Varijansa 22σ

• Veliki uzorak od 2n elemenata sa aritmetičkom sredinom uzorka

2x i varijansom uzorka 22σ .

Da bi se izvršilo testiranje potrebno je izračunati razlike između aritmetičkih sredina uzoraka izabranih iz prvog i drugog osnovnog skupa. Distribucija tih razlika će imati približno oblik normalne distribucije sa aritmetičkom sredinom jednakoj razlici aritmetičke sredine prvog i drugog osnovnog skupa ( 21 μμ − ) i sa standardnom greškom:

2

22

1

21

21 nnxxσσσ +=− (6.115)

Ova saznanja možemo primijeniti na testiranje nulte hipoteze da je aritmetička sredina jednog osnovnog skupa jednaka aritmetičkoj sredini drugog osnovnog skupa odnosno da je razlika između njih jednaka nuli:

211210

211210

:0:::

μμμμμμμμ

≠⇒=−≠⇒=

HHHH

(6.116)

Pošto odstupanje između aritmetičkih sredina može biti i posljedica različtih varijansi osnovnih skupova u testu se pretpostavlja da su varijanse osnovnih skupova međusobno jednake:

222

21 σσσ == (6.117)

Uz ovu pretpostavku, standardna greška razlike aritmetičkih sredina se može izraziti sljedećom relacijom:

1 21 2

1 1x x n n

σ σ− = + (6.118)

Ukoliko je varijansa osnovnog skupa poznata, interval prihvatanja nulte hipoteze je:

210 xxz −⋅± σ (6.119)


362

odnosno, z izračunato je jednako:

22

21

11nn

xxzizrač

+

−=σ

(6.120)

Uslovi za prihvatanje i odbacivanje nulte hipoteze su sljedeći:

10; HzzHzz tizračtizrač ⇒∉⇒∈

Kada standardna devijacija osnovnog skupa nije poznata, procjenjujemo je na osnovu podataka iz oba uzorka 2

221 ˆˆ σσ ≠ :

2 21 1 2 2

1 2

ˆ ˆˆ2

n nn nσ σσ +=

+ − (6.121)

Ako u izraz (6.115) uvrstimo za standardnu devijaciju osnovnog skupa procjenu (6.118) dobivamo standardnu grešku:

1 2

2 21 1 2 2 2 2

1 2 1 2

ˆ ˆˆ2x x

n n n nn n n nσ σσ −

⎛ ⎞+ += ⎜ ⎟+ − ⋅⎝ ⎠ (6.122)

Za veliki uzorak može se koristiti jednostavniji izraz:

2

22

1

21 ˆˆˆ

21 nnxxσσσ +=− (6.123)

Interval prihvatanja nulte hipoteze za veliki uzorak je jednak:

21ˆ0 xxz −± σ (6.124)

Interval prihvatanja nulte hipoteze za mali uzorak je jednak:

21ˆ0 xxt −± σ (6.125)

Ako se razlika aritmetičkih sredina dva uzorka nalazi izvan područja prihvatanja nulte hipoteze to znači da su aritmetičke sredine dva osnovna skupa različite.


363

Nulta hipoteza se prihvata ako se razlika sredina dva uzorka nalazi u području prihvatanja nulte hipoteze.

6.5.5.4. Testiranje hipoteze o jednakosti aritmetičkih sredina više osnovnih skupova – Analiza varijanse

Hipoteza da su aritmetičke sredine više osnovnih skupova međusobno jednake testira se metodom poznatom pod nazivom analiza varijanse.

Tabela 6.2. Podaci za analizu varijanse

Element Uzorak Total 1 2 j k

1 11x 12x 1 jx lkx 1 jx∑

2 21x 22x jx2 kx2 ∑ jx2

. . . . . . i xi1 xi2 xij xik ∑ ijx . . . . . . n xn1 xn2 xnj xnk ∑ njx Sredine

1x 2x jx kx x

Značenja simbola u datoj tabeli su sljedeća: xij je vrijednost obilježja svakog elementa izabranog u uzorak, i označava kojem elementu u uzorku pripada vrijednost, j označava uzorak kome pripada element.

Ukupan zbir kvadrata odstupanja je:

( ) ( ) ( )∑∑∑∑∑= === =

−+−=−k

j

n

ijij

k

jj

k

j

n

iij xxxxnxx

1 1

2.

2

1.

2

1 1 (6.126)

Ukupan zbir kvadrata odstupanja je jednak zbiru kvadrata odstupanja između uzoraka i zbiru kvadrata odstupanja u uzorku. Analizu varijanse predstavljamo u tabeli 6.3.


364

Tabela 6.3. Analiza varijanse

Izvor varijacija Broj stepeni slobode Uzorci

različite veličine

Uzorci jednake veličine

Zbir

kvadrata

Varijansa

Između uzoraka k-1 k-1 ( )2

1.∑

=

−k

jj xxn 2

2σ

Unutar uzorka (rezidual) n-k k(n-1) ( )∑∑

= =

−k

j

n

ijij xx

1 1

2.

21σ

Ukupno n-1 kn-1 ( )2

1 1∑∑

= =

−k

j

n

iij xx

Pretpostavljamo da su aritmetičke sredine osnovnih skupova međusobno jednake:

μμμμμ ===== kH ....: 3210 (6.127)

Pretpostavlja se da su i varijanse jednake:

σσσσ ==== 222

21 .... k (6.128)

Suština primjene metode analize varijanse u testiranju hipoteze je činjenica da se pomoću zbira kvadrata odstupanja na desnoj strani jednačine analize varijanse može procijeniti varijansa osnovnog skupa. Kada svaki zbir kvadrata odstupanja podijelimo sa odgovarjućim brojem stepeni slobode dobijamo procjenu varijanse osnovnog skupa.

Odluku o tome da li je razlika između dvije procjene varijanse slučajna ili značajna donosimo na osnovu odnosa te dvije procjene primjenom F testa

21

22

ˆˆ

σσ

=F (6.129)

Odnos F se izračunava tako da se za brojnik uzima veća procjena varijanse. Ako je F izračunato manje od F tabelarnog za odgovarajući broj stepeni slobode i nivo pouzdanosti, to znači da su razlike između ove dvije procjene slučajne i da se nulta hipoteza može prihvatiti.


365

6.5.5.5. Testiranje hipoteze o jednakosti koeficijenta korelacije dva osnovna skupa

Hipoteze formulišemo sljedećim izrazom:

0:0:

211

210

≠−=−

rrHrrH

(6.130)

Iz svakog osnovnog skupa izabiremo po jedan uzorak i za svaki izračunavamo koeficijent korelacije 21 ˆˆ rir . Oba koeficijenta

transformišemo u Fisherove koeficijente 21ˆ,ˆ ZZ .

Standardna greška razlike između dva Fisherova koeficijenta iznosi:

31

31

21ˆˆ

21 −+

−=− nnZZσ (6.131)

Oblast prihvatanja nulte hipoteze je:

11ˆˆ2/10 ZZz −−± σα (6.132)

Pored analiziranih, mogu se realizirati i testiranja hipoteza za sljedeće parametre:

• Testiranje hipoteze o jednakosti proporcija dva ili više osnovnih skupova

• Testiranje hipoteze da distribucija osnovnog skupa ima određeni oblik

• Testiranje hipoteze o nezavisnosti dva obilježja elemenata osnovnog skupa

• Testiranje hipoteze da je koeficijent korelacije osnovnog skupa jednak nuli

• Testiranje hipoteze da je koeficijent detrminacije osnovnog skupa jednak nuli, itd.


366

6.6. NEPARAMETARSKI TESTOVI

Parametarski statistički testovi koje smo analizirali su bazirani na određenim pretpostavkama vezanim za parametre ili distribucije osnovnog skupa iz kojih je posmatrani uzorak odabran.

Neparametarski statistički testovi su bazirani na modelima koji ne uključuju nikakve preduslove u vezi parametara osnovnog skupa iz kojeg je uzorak odabran.

Neparametarski testovi ne zahtijevaju precizna mjerenja kao parametarski testovi i zbog toga se oni mogu primijeniti na podatke date u ordinalnoj skali, a neki i na podatke iz nominale skale.

Najpoznatiji neparametarski testovi su: • Binomni test • Hi-kvadrat test • Test podobnosti modela • Kolmogorov – Smirnov test.

Neparametarski testovi će biti istraživani i analizirani u budućim izdanjima ove knjige.


1. Objasnite i analizirajte osnovne pojmove teorije uzoraka. 2. Koji su osnovni razlozi za primjenu teorije i metoda uzoraka u

statistici? 3. Koji je osnovni cilj metode uzoraka? 4. Koje vrste uzoraka poznajete? 5. Definišite i analizirajte prosti slučajni uzorak. 6. Koje vrste slučajnih uzoraka poznajete? 7. Koje su prednosti slučajnog uzorka u odnosu na ostale vrste uzoraka? 8. Koje tipove namjernog uzorka poznajete? 9. Za koje parametre poznajete postupak analize intervalnih procjena? 10. Koje slučajeve intervalne procjene aritmetičke poznajete?


367

11. Analizirajte intervalnu procjenu aritmetičke sredine u slučaju kada je varijansa osnovnog skupa poznata.

12. Analizirajte intervalnu procjenu aritmetičke sredine u slučaju kada varijansa osnovnog skupa nije poznata.

13. Analizirajte interval povjerenja za aritmetičku sredinu osnovnog skupa čija distribucija nije poznata.

14. Analizirajte intervalnu procjenu standardne devijacije i varijanse osnovnog skupa.

15. Analizirajte procjenu intervala povjerenja za proporciju. 16. Analizirajte metodološki pristup testiranju hipoteza. 17. Definišite greške tipa I i II koje mogu nastati prilikom donošenja

odluke o prihvatanju ili odbacivanju nulte hipoteze. 18. Nabrojite različite slučajeve testiranja hipoteze o aritmetičkoj sredini

osnovnog skupa i analizirajte detaljno, po vašem izboru, jedan od nabrojanih slučajeva.

19. Analizirajte testiranje hipoteze o aritmetičkoj sredini osnovnog skupa kada je varijansa poznata (dvosmjerni test).

20. Analizirajte testiranje hipoteze o aritmetičkoj sredini osnovnog skupa kada varijansa nije poznata (dvosmjerni test).

21. Analizirajte testiranje hipoteze o aritmetičkoj sredini osnovnog skupa kada je varijansa poznata (jednosmjerni test na gornju granicu).

22. Analizirajte testiranje hipoteze o aritmetičkoj sredini osnovnog skupa kada varijansa nije poznata (jednosmjerni test na donju granicu).

23. Analizirajte testiranje hipoteze za proporciju (dvosmjerni i jednosmjerni testovi).

24. Analizirajte postupak testiranja hipoteze o značajnosti parametara u regresionom modelu.

25. Objasnite i analizirajte testiranje hipoteze o aritmetičkoj sredini osnovnog skupa kada varijansa osnovnog skupa nije poznata (dvosmjerni test). Postavite hipotezu, objasnite postupak njene primjene i kriterij za prihvatanje ili odbacivanje nulte hipoteze. Predstavite oblast prihvatanja hipoteze koju ste testirali na grafikonu.

26. Objasnite, po vašem izboru, jedan slučaj testiranja hipoteze koji se odnosi na aritmetičku sredinu. Postavite hipotezu, objasnite postupak njene primjene i kriterij za prihvatanje ili odbacivanje nulte hipoteze. Predstavite oblast prihvatanja hipoteze koju ste testirali na grafikonu.


368

27. Objasnite i analizirajte dvosmjerni test hipoteze za proporciju. Postavite hipotezu, objasnite postupak njene primjene i kriterij za prihvatanje ili odbacivanje nulte hipoteze.

28. Koja je razlika između intervalnih procjena parametara i testiranja hipoteza?


Zadatak 1.

Iz osnovnog skupa čija je aritmetička sredina nepoznata i standardna devijacija jednaka 4 odabran je slučajni uzorak veličine n = 64 i izračunata njegova aritmetička sredina .48=x

Za vrijednost 01,0 i 05,0 == αα testirajte sljedeće hipoteze:

a) 0 1: 50 : 50H Hμ μ= ⇒ ≠

b) 50:50: 10 <⇒≥ μμ HH

c) 50:50: 10 >⇒≤ μμ HH

Elementi rješenja:

a) Poznata je standardna devijacija i varijansa osnovnog skupa. Nije poznata distribucija, ali kako je 3064 >=n konstatujemo da:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛n

x2

0 ,N~ σμ

N(0,1)~/

0

nxZσ

μ−=

( )

01 / 2 1 / 2 0

01 / 2 1 / 2 0

1 prihvatamo

; odbacujemo

xp z z H

nx

p z z Hn

α α

α α

μ ασ

μ ασ

− −

− −

−⎛ ⎞− ≤ ≤ = − ⇒⎜ ⎟⎝ ⎠

−⎡ ⎤∉ − = ⇒⎢ ⎥⎣ ⎦


369

( )

01 / 2 1 / 2 0

1 0,05/ 2 1 0,05/ 2

0,975 0,975

1 prihvatamo /48 50 1 0,054 / 64

4 0,95

1,96 4 1,96

xp z z Hn

p z z

p z z

α αμ α

σ− −

− −

−⎛ ⎞− ≤ ≤ = − ⇒⎜ ⎟⎝ ⎠

−⎛ ⎞− ≤ ≤ = −⎜ ⎟⎝ ⎠− ≤ − ≤ =

− ≤ − ≤

Ne prihvatamo nultu hipotezu.

Za 00,01 prihvatamo ako jeHα =

( )

01 / 2 1 / 2

1 0,01/ 2 1 0,01/ 2

0,995 0,995

1/48 50 1 0,014 / 64

4 0,999

2,5758 4 2,5758

xp z zn

p z z

p z z

α αμ α

σ− −

− −

−⎛ ⎞− ≤ ≤ = −⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞−− ≤ ≤ = −⎜ ⎟⎝ ⎠

− ≤ − ≤ =

− ≤ − ≤

Ne prihvatamo nultu hipotezu.

Ili jednostavnije, nultu hipotezu ne prihvatamo ako je:

01 / 2/

x zn α

μσ −

− >

96,105,0 975,02/1 ==⇒= − zz αα

1 / 2 0,9950,01 2,5758 2,58z zαα −= ⇒ = = ≈

96,1464/45048

/0 >=−=−n

xσ

μ

0 48 50 4 2,58/ 4 / 64

xn

μσ

− −= = >


370

Odbacuje se nulta hipoteza što znači da je aritmetička sredina uzorka uz nivoe pouzdanosti 95% i 99% udaljena od pretpostavljene vrijednosti aritmetičke sredine koja je jednaka 50.

b) Test na donju granicu

01/

x zn α

μσ −

− >

1

0,954

4 1,96 prihvatamo nultu hipotezu.

z zz

α−> −> −

> −

Zadatak 2.

Proizvođač sokova želi provjeriti da li je prosječan sadržaj soka u falšama manji od sadržaja označenog na flašama koji je 75 cl.

Slučajno je odabrano 10 flaša i mjerenje njihovog sadržaja je dalo sljedeće vrijednosti: 73,2 72,6 74,5 75,0 73,7 74,1 75,1 74,8 74,0 75,0

Ako pretpostavimo da je dobijena distribucija normalna, može li proizvođač zaključiti da je prosječan sadržaj flaša manji od 75 cl uz vjerovatnoću greške ocjene α=0,05?

(Za vježbu odgovorite na isto pitanje uz vjerovatnoću greške ocjene α=0,01?)

Elementi rješenja:

Test na gornju granicu.

8,0 ,10 ,2,7475:75:

::

1

10

0100

===>⇒≤

>⇒≤

σμμ

μμμμ

nclxclHclH

HH



371

095,0;9

95,0;9

1;10

prihvatamo 833,13833,1

32667,0

752,74

1/

Ht

t

tt

tn

x

izrač

izrač

ni

⇒<−⇒=

−=−=

<

<−

−−− ασ

μ

Prihvatamo nultu hipotezu da je sadržaj soka u flašama manji od 75 cl.

Ili ako zadatak postavimo drugačije: Test na donju granicu je:

8,0 ,10 ,2,7475:75:

::

1

10

0100

===<⇒≥

<⇒≥

σμμ

μμμμ

nclxclHclH

HH

01;1

9;0,95 0

9;0,95 0

/ 1 prihvatamo

74,2 75 30,26671,833 3 1,833 odbacujemo

ni

izrač

izrač

x tn

t t H

t

t H

αμ

σ − −−

>−

> −

−= = −

= − ⇒ − < ⇒

Odbacujemo nultu hipotezu da je sadržaj u flaši veći od 75 cl.

Zadatak 3.

Uzorak od 145 osoba je odabran slučajno iz populacije stranih turista koji provode odmor u Bosni i Hercegovini. Prosječna sedmična potrošnja po osobi posmatranog uzorka je 830 KM i standardna devijacija 240 KM.

a) Testirajte uz nivo rizika 5% hipotezu prema kojoj je prosječna sedmična potrošnja jednog turiste različita od 800 KM.

b) Koji je minimalan nivo rizika uz koji možemo odbaciti hipotezu u testu realizovanom u a).


372

Elementi rješenja:

a) 05,0,240,830,145 ==== ασ ixn

)1,0(~1/

30145

800:800:

0

100

Nn

xn

HH

i −−

⇒>=

≠↔==

σμ

μμμ

01 / 2 0prihvatamo

/ 1i

xz H

n αμ

σ −−

< ⇒−

5,112/240800830 =−=z

1 / 2 1 0,05 / 2 0,975

0,975 0

0,05 1,96

1,5 1,96 prihvatamo

z z z

z z Hαα − −= ⇒ = = =

= < = ⇒

b) Da bi se odbacila nulta hipoteza uz minimalan rizik:

01 / 2 0

1 / 2

ne prihvatamo / 1

1,5 tablica1 / 2 0,93

/ 2 0,93 10,14

i

xz H

nz

α

α

μσ

αα

α

−

−

−≥ ⇒

−≤ ⇒

− ≤− ≤ −

≥

Zadatak 4.

Pretpostavimo da je stopa smrtnosti, računata na osnovu slučajno odabranog uzorka, od 100 osoba koji boluju od iste bolesti 13%. Testirajte sljedeće hipoteze:

a) 0 0 1 0: 0,20 : 0,20, 0,05A AH p p H p p α≥ = ↔ < = =

b) 0 1: 0,10 0,10, 0,01AH p H α≤ ↔ > =


373

Elementi rješenja:

a) 0 0 1 0: 0,20 : 0,20A AH p p H p p≥ = ↔ < =

Prihvatamo 0H ako je

( )0 0

10 0

1 0,95 1

ˆ ˆ

1

0,13 0,20 1,750,20 0,80

1001,6449 1,75 1,6449

A A

p

p p p pz zp p

n

z

z z z z

α

α α

σ −

− −

− −= = > −

−

−= = −⋅

− = − = − ⇒ = − < − = −

Dakle, odbacujemo postavljenu nultu hipotezu.

Ili jednostavnije prihvatamo nultu hipotezu ako je:

( )0

1

0 0

0,95 0

ˆ

1

1,75 1,6449 odbacujemo

Ap pz z

p pn

z z H

α−−

= < ⇒−

= > = ⇒

b) 0 0 1: 0,10 0,10, 0,01H p H α= ↔ > =

Prihvatamo 0H ako je

( )

75,1

10080,020,020,013,0

ˆ1

ˆ1

0

0

0

−=⋅

−=

<−=−

−= −

z

zpp

npp

ppzp

AAασ


374

099,0

99,01

prihvatamo3263,213263,2

Hzzzz

⇒=<=⇒==−α

Zadatak 5.

U posudi se nalaze bijele i crvene loptice. Želimo testirati hipotezu da ima jednak broj bijelih i crvenih kuglica. Odabrali smo slučajni uzorak od 144 kuglice.

a) Testirajte hipotezu uz nivo rizika 0,05 i 0,01. b) Koji će biti vaš odgovor ako u uzorku dobijete 128 bijelih kuglica?

Elementi rješenja:

1144, 2bn p= = , što bi značilp da prihvatamo hipotezu da je u kutiji jednak

broj bijelih i crvenih kuglica.

( )

0 1

0

01

0 0

: 1/ 2 : 1/ 2Prihvatamo ako je

ˆz

1

b b

b

H p H pH

p pz

p pn

α−

= ↔ ≠

−= =< ⇒

−

a) 144

5,05,05,0ˆ 2/1⋅⋅<− −αzpb

042,05,0ˆ 2/1 ⋅<− −αzpb

96,105,0 975,02/1 ==⇒= − zz αα

042,096,15,0ˆ ⋅<−bp

08,05,0ˆ <−bp

5758,201,0 995,02/1 ==⇒= − zz αα

042,05758,25,0ˆ ⋅<−bp

11,05,0ˆ <−bp


375

b)

0

0

odbacujemo11,039,011,05,0ˆ01,0

odbacujemo08,039,08,05,0ˆ05,0

39,05,089,05,0ˆ

89,0144128ˆ

Hp

Hp

pnn

p

b

b

b

bb

⇒>⇒

<−⇒=⇒>⇒

<−⇒=

=−=−

===

α

α

Zadatak 6.

Aparat za kafu je konstruisan tako da puni čaše čiji je prosječan sadržaj kafe 15 cl. Kontrola aparata je pokazala da sadržaj kafe varira od čaše do čaše i da može biti posmatran kao sohastička varijabla koja ima normalnu distribuciju vjerovatnoće čija je standardna devijacija 1,5 cl bez obzira na prosječan sadržaj kafe u čaši. Odabran je slučajni uzorak od 100 čaša i mjerenje sadržaja je pokazalo da je prosječan sadržaj kafe u čaši 14,2 cl.

a) Da li biste uz rizik od 5% mogli tvrditi da je prosječan sadržaj kafe u čaši 15 cl?

b) Izračunajte grešku druge vrste ukoliko je prosječan sadržaj jednak 14,2 cl i ako je prosječan sadržaj jednak 14,6. Uporedite dobijene rezultate i komentarišite ih.

Elementi rješenja:

a) 05,0,2,14,100

15:15:5,1

10

===≠↔=

=

αμμ

σ

clxnHH

cl

2/1/ ασμ

−>−= zn

xz


376

2/1

975,02/1 96,1

3,510/5,1152,14

/

α

α

σμ

−

−

>

⇒==

=−=−=

zz

zzn

xz

Dakle, odbacujemo nultu hipotezu kao neistinitu uz rizik 5%. U kojem intervalu bi se trebao kretati prosječan sadržaj da bi nulta hipoteza bila prihvaćena uz dati rizik?

Prosječan sadržaj bi se trebao kretati u sljedećem intervalu:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ ⋅±∈ − nzx σμ α 2/10

[ ][ ]15 1,96 0,15

14,71; 15,29

x

x

∈ ± ⋅

∈

b) Ako je nulta hipoteza odbačena tada je prosječni sadržaj jednak nekoj vrijednosti različitoj od pretpostavljene 15. Ako je ta vrijednost 14,2 cl, možemo napisati:

( )00 ako prihvatiti HHp=β

( )( )

[ ] ( )0

14,2;0,15

prihvatiti 14,2;0,15

14,7 15,29 14,2;0,15

14,71 14,2 15,29 14,20,15 0,15

x N

p H x N

p x x N

p z

β

β

β

⎡ ⎤= ⎣ ⎦= < <

− −⎡ ⎤= < <⎢ ⎥⎣ ⎦

∼

∼

∼

gdje ( )14,2 0,10,15

xz N−= ∼

[ ] ( ) ( )3,373 7,293 7,293 3,3731 0,9996 0,0004p z F Fβ

β= < < = −= − =


377

( )( )

( )[ ] ( )

( )

[ ] ( ) ( )

0 0

0

prihvatiti

14,6;0,15

prihvatiti 14,6;0,15

14,71 15,29 14,6;0,15

14,71 14,6 15,29 14,60,15 0,1514,6gdje 0,1

0,150,71 4,63 4,63 0,71

1 0,7611 0,238

p H ako H

x N

p H x N

p x x N

p z

xz N

p z F F

β

β

β

β

ββ

=

= ⎡ ⎤⎣ ⎦= < < ⎤⎦

− −⎡ ⎤= < <⎢ ⎥⎣ ⎦−=

= < < = −= − =

∼

∼

∼

∼

9

Greška drugog tipa je manja ukoliko je prava vrijednost prosječnog sadržaja više udaljena od pretpostavljene vrijednosti.

Zadatak 7.

Na testu iz Statistike 50 studenata je dalo sljedeći broj tačnih odgovora:

Broj tačnih odgovara

xj 10 11 12 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 29 40

Broj studenata fj 1 1 1 3 4 6 10 7 7 3 2 2 1 1 1

a) Konstruišite box-plot ove distribucije i komentarišite ga. b) Grupišete ovu distribuciju u sedam klasa i predstavite njen histogram.

(Savjet: za donju granicu prve klase uzmite vrijednost 9,5 i koristite širinu klase jednaku 3 za 5 prvih klasa i jednaku 9 za dvije posljednje).

c) Izračunajte aritmetičku sredinu i standardnu devijaciju tako grupisane distribucije.

d) Pretpostavimo da grupisana distribucija predstavlja slučajni uzorak veličine n=50. 1) Utvrdite interval povjerenja za prosječan broj tačnih odgovora

studentske populacije uz nivo povjerenja 0,95. 2) Ako je p proporcija studenata populacije koji su imali najmanje 20

tačnih odgovora, testirajte uz grešku 0,05 sljedeću hipotezu:


378

4,0:4,0: 10 <↔≥ pHpH

Elementi rješenja:

a) 20;18;17 321 ==== QMQQ e

Distribucija ima desnu asimetriju.

c) 18,74; 4,25x σ≈ =

d) 1) Interval povjerenja za aritmetičku sredinu u slučaju kada varijansa osnovnog skupa nije poznata i kada je uzorak veći od 30.

( )

( )

( )

( ) [ ][ ]

1 / 2 1 / 2

1 / 2

0,95

. . 1 :

1/ 1

. . 1 :1

4,25. . 1 : 18,74 1,967

. . 1 : 18,74 1,19

. . : 17,55;19,93

i

i

I P za

xp z zn

I P x zn

I P

I P

I P

α α

α

α μ

μ ασ

σα μ

α μ

α μμ

− −

−

−

⎛ ⎞−− < < = −⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠⎡ ⎤− + ⋅⎢ ⎥−⎣ ⎦⎡ ⎤− ± ⋅⎢ ⎥⎣ ⎦

− ±

d) 2) Uzorak ima 17 studenata koji su imali najmanje 20 tačnih odgovora.

4,0:4,0:

34,05017ˆ17,50

100 <↔≥

===⇒==

pHpHn

npnn AAA


( )0

10 0

ˆ1

Ap pz zp p

n

α−−= > −−


379

( )0

0 0

1 0,95

ˆ 0,34 0, 4 0,870, 4 0,61

501,6449

0,87 1,6449

Ap pzp p

nz zα−

− −= = = −⋅−

= = ⇒

− > −

Nulta hipoteza se prihvata. Dakle, polazeći od uzorka možemo tvrditi sa pouzdanošću od 95% da je proporcija studenata čiji je broj tačnih odgovora najmanje 20 u ukupnoj populaciji veća ili jednaka 0,4 (40%).

Zadatak 8.

Transportno preduzeće nabavlja auto gume marke A ili marke B. Odluku o nabavci guma donosi nakon testiranja nulte hipoteze da je prosječno trajanje guma A i guma B izraženo u pređenim kilometrima jednako:

0:0:

211

210

≠−=−

μμμμ

HH

Testiranje se vrši uz rizik od 5%.

Preduzeće je na svojim automobilima pratilo trajanje 50 guma marke A i 40 guma marke B. Prosječno trajanje 50 guma marke A iznosilo je 24.430 km, a prosječno trajanje 40 guma marke B 25.860 KM.

Elementi rješenja:

Razlika artimetičkih sredina ova dva uzorka je 24-430-25.860 = - 1.430 km.

Procjena varijanse prvog osnovnog skupa pomoću uzorka je 6.250.000, a drugog osnovnog skupa 9.000.000.

Standardna greška razlike sredina je:

2

22

1

21 ˆˆˆ

21 nnxxσσσ +=−

6,59140109

50000.250.6ˆ

6

21=⋅+=−xxσ


380

Granice intervala prihvatanja nulte hipoteze su:

159.106,59196,10

ˆ021

±⋅±

± −xxzσ

Zaključak: odbacujemo nultu, prihvatamo altenrativnu hipotezu. Aritmetička sredina za gume B je veća, to jeste prosječno trajanje je duže i preduzeće se odlučuje za nabavku guma B.

Zadatak 9.

Studenti su na vježbama iz statistike podijeljeni u tri grupe i u svakoj grupi smo primjenili drugu nastavnu metodu vježbi. Da bismo utvrdili da li postoji razlika u efikasnosti tri primijenjene metode iz svake grupe smo odabrali uzorak od 10 studenata. Svi su dobili iste zadatke i mogli su dobiti maksimalno 100 bodova. Postignute rezultate u rješavanju zadataka smo predstavili u slijedećoj tabeli:

Student Uzorak 1 Uzorak 2 Uzorak 3 1 57 73 60 2 41 64 71 3 79 85 64 4 62 51 53 5 70 69 41 6 45 76 62 7 64 89 75 8 82 63 57 9 48 74 43

10 62 66 64

Ocijenite da li postoje razlike u efikasnosti tri primijenjene metode na rezultate testa.

Elementi rješenja:

Postavljamo nultu hipotezu da su prosječne ocjene studenata koji su učili po različitim metodama jednake: 3210 : μμμ ==H . Kriterij za donošenje odluke zavisi od odnosa F testa. Ako je Fizračunato >F tablično nulta hipoteza se odbacuje.


381

Pomoću Excela dobijamo sljedeću izlaznu tabelu:

Anova: Single Factor

SUMMARY Groups Count Sum Average Variance

Column 1 10 610 61 188,6667 Column 2 10 730 73 131,1111 Column 3 10 590 59 120 Source of Variation SS df MS F P-value F crit

Between Groups 1146,667 2 573,3333 3,91107 0,032238 3,35413

Within Groups 3958 27 146,5926

Total 5104,667 29

Poređenjm F izračunatog (F=3,91) i F tabličnog (F=3,35) konstatujemo da nultu hipotezu treba odbaciti jer je tablična vrijednost manja od izračunate. Nultu hipotezu odbacujemo na nivou pouzdanosti 97% (p-vrijednost je 0,03) što znači da se prosječno postignuti rezultati primjenom tri različite metode međusobno razlikuju i da tri metode vježbanja nisu jednako efikasne. Postoji rizik da smo samo u 3 % slučajeva pogrešno zaključili donošenjem ove odluke.

Zadatak 10.

Ocjenom modela bxay +=ˆ na osnovu 7 podataka dobili smo vrijednost parametra b=1,51 i standardne greške ocjene parametra b ˆ 0,16

bσ = .

Testirajte hipotezu o značajnosti ovog parametra u regresionom modelu.

Elementi rješenja:

0:,0: 10 ≠= bHbH

Testiranje nulte hipoteze ćemo izvršiti uz grešku 0,05. Tablična vrijednost t za dvosmjerni test i broj stepeni slobode n-K-1=7-2=5 iznosi

571.2025.0;5 =t .


382

Područje prihvatanja nulte hipoteze je:

( )( )0 2,571 0,16

0 0,41

t

t

∈ ± ⋅

∈ ±

Pošto je ocijenjena vrijednost parametra b=1,51>0,41 nulta hipoteza se odbacuje. To znači da ne možemo prihvatiti pretpostavku da je parameter b jednak 0.

Do istog rezultata dolazimo i pomoću empirijskog t-odnosa. Vrijednost te

veličine je 16,051,1ˆ

==σbti =9,44, dok je teorijski t znatno manji 2,571. Pošto

je empirijski odnos veći od teorijskog, nulta hipoteza se ne prihvata.

Zadatak 11.

Za ocijenjeni regresioni model 21 1245,01130,07251,20 XXY ++−= testirajte značajnost parametara uz varijable u modelu koristeći se sljedećom izlaznim tabelama Excela.

SUMMARY OUTPUT

REGRESSION STATISTICS Multiple R 0,9528 R Square 0,9078 Adjusted R Square 0,8617 Standard Error 2,6292 Observations 7

ANOVA

df SS MS F Significance F Regression 2 272,3485 136,1742 19,6986 0,0085 Residual 4 27,6515 6,9129 Total 6 300


383

Coefficients Standard Error t- Stat P-value Intercept -20,7251 26,9055 -0,7703 0,4841 X1 0,1130 0,0377 3,0000 0,0399 X2 0,1245 0,0865 1,4389 0,2236

Statistička značajnost regresijskog modela je određena empirijskim F omjerom i odgovarajućom p vrijednosti u tabeli ANOVA. U našem slučaju p = 0,0085 < 0,01 pa zaključujemo da barem jedna od nezavisnih varijabli statistički značajno utiče na vrijednost zavisne varijable uz nivo rizika od 1%. U izlaznoj tabeli Excela prezentirane su i statističke značajnosti regresionih koeficijanata koje se određuju pomoću t-statistike i pripadajućih p vrijednosti. Za varijablu X1 vrijednost p= 0,0399 a za X2 p=0,2236. Konstatujemo da u ocijenjenom regresionom modelu varijabla proizvodnja u kg statistički značajno utiče na zavisnu varijablu Y zbog toga što je odgovarajuća vrijednost p manja od 0,05. Za drugu varijablu p vrijednost je veća od 0,05 i to znači da uticaj troškova po jedinici proizvodnje u ovom modelu nije statistički značajan.

Zadatak 12.

Air Bosna želi zabraniti pušenje na kratkim letovima, ali ne želi da izgubi putnike. Zbog toga su odlučili da uvedu probni period od 6 mjeseci bez pušenja. Slučajan uzorak od 200 letova je izabran tokom 6 mjeseci prije probnog perioda bez pušenja i tokom 6 mjeseci probnog perioda i registrovan je broj putnika na tim letovima.

Podaci o broju putnika (n) su dati u sljedećoj tabeli:

Broj putnika (n)

71≤n≤75 76≤n≤80 81≤n≤85 86≤n≤90 91≤n≤95 96≤n≤100

Broj letova Prije probe (X1)

0 15 47 52 64 22

Broj letova tokom probe (X2)

2 20 50 74 43 11

Pretpostavlja se da je broj putnika po letu normalno distribuiran.


384

1. Izračunati interval povjerenja 95% za prosječno smanjanje broja putnika u probnom periodu.

2. Da li je uvođenje zabrane pušenja dovelo da smanjenja prosječnog broja putnika po letu? Koristiti rizik od 5%.

Elementi rješenja:

Izračunavamo standardnu grešku razlike aritmetičkih sredina

304,0ˆ100

1398

774,28200774,31200ˆ

112ˆˆˆ

21

21

212121

222

211

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⋅+⋅=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−++=

−

−

−

xx

xx

xx nnnnnn

σ

σ

σσσ

1. 95% interval povjerenja razlike dvije aritmetičke sredine

304,096,1)225,87775,88(

112ˆˆ

)(2121

222

211

21

⋅±−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−++⋅±−

nnnnnnzxx σσ

95% interval povjerenja za prosječno smanjenje putnika je (0,95; 2,14). Dakle, možemo konstatovati da će u 95% letova prosječno smanjenje biti između jednog i dva putnika.

2.

0 :0:

211

210

≠−=−

μμμμ

HH

2/1

2/1

2121

96,1

098,5304,0

055,1ˆ

)()(

21

α

α

σμμ

−

−

−

>=

=−=−−−=

zzz

xxz

izr

xxizr


385

Odbacujemo nultu hipotezu i konstatujemo da postoji statistički značajna razlika u prosječnom broju putnika u dva posmatrana perioda.

Zadatak 13.

Standardna devijacija vijeka trajanja jednog tipa aparata je 5000 h. Vijek trajanja aparata ima normalan raspored. U uzorku od 15 aparata, prosječan vijek trajanja je 89000 h. Sa greškom 5%, odrediti prosječan vijek trajanja aparata analiziranog tipa.

Elementi rješenja:

158900050000,05?

nxσαμ

=====

Poznata standardna devijacija u populaciji

( ) 1 0,975 1,962t tF z zα

⇒ = − = ⇒ =

5000 129115

89000 1,96 1291 89000 1,96 129186469,64 91530,36 h ( 0,05)

x

t x t x

nx z x z

σσ

σ μ σμ

μ α

= = =

− ⋅ ≤ ≤ + ⋅− ⋅ ≤ ≤ + ⋅ ⇒

⇒ ≤ ≤ =

Zadatak 14.

U jednom gradu u državnim službama zaposleno je 2 500 radnika. Formiran je slučajni uzorak od 34 radnika, kako bi se procijenila starosna struktura zaposlenih u državnim službama. U tom uzorku prosječna starost zaposlenih iznosi 39,24 godine sa standardnom devijacijom 11,5 godina. Ocijeniti prosječnu starost zaposlenih u državnim službama sa pouzdanošću 99%.


386

Elementi rješenja:

25003439,2411,50,01?

i

Nnxσαμ

======

Kako je riječ o velikom uzorku (nepoznata varijansa osnovnog skupa)

koristimo normalni raspored i za grešku procjene ˆ1

ix n

σσ =−

.

0,01( ) 1 1 0,995 2,582 2t tF z zα= − = − = ⇒ =

ˆ ˆt x t xx z x zσ μ σ− ⋅ ≤ ≤ + ⋅

ˆ 11,5ˆ 21 33x n

σσ = = =−

[ ]39,24 2,58 2 39,24 2,58 2 34,08 44,4 godina, ( 1%)μ μ α− ⋅ ≤ ≤ + ⋅ ⇒ ∈ − =

Zadatak 15.

Od 100 kupaca u prodavnici u toku jednog dana anketirano je 20 kupaca. Oni su u prosjeku potrošili 58 KM, sa standardnom devijacijom 7,6 KM. Sa pouzdanošću 95% ocijeniti prosječnu potrošnju kupaca u toj prodavnici.

Elementi rješenja:

10020587,60,05?

i

Nnxσαμ

======


387

U slučaju malog uzorka i nepoznate varijanse osnovnog skupa koristimo

Studentov raspored i za grešku procjene ˆ1

ix n

σσ =−

.

19 ( ) 1 0,975 2,12t tF t tα= − = ⇒ =

ˆ ˆt x t xx t x tσ μ σ− ⋅ ≤ ≤ + ⋅

7,6ˆ 1,741 19

iX n

σσ = = =−

[ ]58 2,1 1,74 58 2,1 1,74 54,346 61,654 KM, ( =5%)μ μ α− ⋅ ≤ ≤ + ⋅ ⇒ ∈ −

Zadatak 16.

U uzorku od 280 studenata jednog univerziteta, 115 su studenti ekonomskog fakulteta. Sa greškom prve vrste 1% ocijeniti učešće studenata ekonomskih fakulteta na ovom univerzitetu.

Elementi rješenja:

280115280 115 1650,01?

a

b

A

nnn

pα

=== − ===

Određujemo proporciju studenata ekonomskih fakulteta u analiziranom uzorku:

115ˆ ˆ ˆ0,41, 1 0,59280

aA A A

np q pn

= = = = − =

Na osnovu podataka iz uzorka ocjenjujemo proporciju studenata ekonomskih fakulteta na nivou univerziteta:

( ) 1 1 0,005 0,995 2,582t tF z zα= − = − = ⇒ =


388

ˆ ˆˆ Â AA t p A A t pp z p p zσ σ− ⋅ ≤ ≤ + ⋅

ˆˆ ˆ 0, 41 0,59 0,0294

280A

A Ap

p qn

σ ⋅ ⋅= = =

0,41 2,58 0,0294 0,41 2,58 0,02940,3341 0,4858 ( 1%)

A

A

pp α

− ⋅ ≤ ≤ + ⋅ ⇒⇒ ≤ ≤ =

Zadatak 17.

U jednom preduzeću je zaposleno 1500 radnika. Na uzorku od 40 radnika, je utvrđeno da je 10 radnika stiglo na posao sa zakašnjenjem dužim od 15 minuta. Potrebno je utvrditi sa pouzdanošću 95% udio i broj radnika koji kasne na posao više od 15 minuta.

Elementi rješenja:

150401040 10 300,05?

a

b

A

Nnnn

pα

==== − ===

Izračunavamo proporciju radnika koji kasne na posao duže od 15 minuta u analiziranom uzorku:

10ˆ ˆ ˆ0,25, 1 0,540

aA A A

np q pn

= = = = − =

Zatim ocjenjujemo proporciju radnika koji kasne na posao duže od 15 minuta u preduzeću:

( ) 1 1 0,025 0,975 1,962t tF z zα= − = − = ⇒ =

ˆ ˆˆ Â AA t p A A t pp z p p zσ σ− ⋅ ≤ ≤ + ⋅


389

ˆˆ ˆ 0, 25 0,75 0,0685

40A

A Ap

p qn

σ ⋅ ⋅= = =

0,25 1,96 0,0685 0,25 1,96 0,06850,11574 0,38426 ( 5%)

A

A

pp α

− ⋅ ≤ ≤ + ⋅ ⇒⇒ ≤ ≤ =

Na osnovu predhodnog zaključujemo da će se broj koji kasne na posao više od 15 minuta kretati u intervalu:

1500 0,11574 1500 0,38426174 576 (sa zaokruživanjem na cijele brojeve)

A

A

N pN p

⋅ ≤ ⋅ ≤ ⋅≤ ⋅ ≤

PRILOZI

1. STATISTIČKE TABLICE

2. PRIJEVODI TERMINA IZ EXCELA

393

BINOMNA DISTRIBUCIJA VJEROVATNOĆE

( ) ( ) knkkn ppCkXp −−⋅== 1

n=5 p 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 k 0 773781 733904 695688 659082 624032 590490 327680 168070 077760 031250 1 203627 234225 261818 286557 308587 328050 409600 360150 259200 156250 2 021434 029901 039413 049836 061039 072900 204800 308700 345600 312500 3 001128 001909 002967 004334 006037 008100 051200 132300 230400 312500 4 000030 000061 000112 000188 000299 000450 006400 028350 076800 156250 5 000000 000001 000002 000003 000006 000010 000320 002430 010240 031250 n=10 p 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 k 0 598737 538615 483982 434388 389416 348678 107374 028248 006047 000977 1 315125 343797 364288 377729 385137 387420 268435 121061 040311 009766 2 074635 098750 123388 147807 171407 193710 301990 233474 120932 043945 3 010475 016809 024766 034274 045206 057396 201327 266828 214991 117188 4 000965 001878 003262 005216 007824 011160 088080 200121 250823 205078 5 000061 000144 000295 000544 000929 001488 026424 102919 200658 246094 6 000003 000008 000018 000039 000077 000138 005505 036757 111477 205078 7 000000 000000 000001 000002 000004 000009 000786 009002 042467 117188 8 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000074 001447 010617 043945 9 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000004 000138 001573 009766 10 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000006 000105 000977 n=15 p 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 k 0 463291 395292 336701 286297 243008 205891 035184 004748 000470 000031 1 365756 378471 380146 373431 360507 343152 131941 030520 004702 000458 2 134752 169104 200292 227306 249582 266896 230897 091560 021942 003204 3 030733 046773 065328 085652 106964 128505 250139 170040 063388 013885 4 004853 008957 014752 022344 031736 042835 187604 218623 126776 041656 5 000562 001258 002443 004274 006905 010471 103182 206130 185938 091644 6 000049 000134 000306 000619 001138 001939 042993 147236 206598 152740 7 000003 000011 000030 000069 000145 000277 013819 081130 177084 196381 8 000000 000001 000002 000006 000014 000031 003455 034770 118056 196381 9 000000 000000 000000 000000 000001 000003 000672 011590 061214 152740 10 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000101 002980 024486 091644 11 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000011 000581 007420 041656 12 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000001 000083 001649 013885 13 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000008 000254 003204 14 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000001 000024 000458 15 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000001 000031


394


( ) ( ) knkkn ppCkXp −−⋅== 1

n=20 p 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5

k 0 358486 290106 234239 188693 151645 121577 011529 000798 000037 000001 1 377354 370348 352618 328162 299957 270170 057646 006839 000487 000019 2 188677 224573 252141 271091 281828 285180 136909 027846 003087 000181 3 059582 086007 113870 141439 167238 190120 205364 071604 012350 001087 4 013328 023332 036426 052271 070295 089779 218199 130421 034991 004621 5 002245 004766 008774 014545 022247 031921 174560 178863 074647 014786 6 000295 000760 001651 003162 005501 008867 109100 191639 124412 036964 7 000031 000097 000249 000550 001088 001970 054550 164262 165882 073929 8 000003 000010 000030 000078 000175 000356 022161 114397 179706 120134 9 000000 000001 000003 000009 000023 000053 007387 065370 159738 160179 10 000000 000000 000000 000001 000003 000006 002031 030817 117142 176197 11 000000 000000 000000 000000 000000 000001 000462 012007 070995 160179 12 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000087 003859 035497 120134 13 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000013 001018 014563 073929 14 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000002 000218 004854 036964 15 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000037 001294 014786 16 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000005 000270 004621 17 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000001 000042 001087 18 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000005 000181 19 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000019 20 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000001

Prilog 1. – Statističke tablice

395


( ) ( ) knkkn ppCkXp −−⋅== 1

n=30 p 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5

k 0 214639 156256 113367 081966 059053 042391 001238 000023 000000 000000 1 338903 299213 255991 213825 175212 141304 009285 000290 000004 000000 2 258637 276931 279388 269605 251266 227656 033656 001801 000043 000000 3 127050 164980 196273 218810 231938 236088 078532 007203 000266 000004 4 045136 071082 099719 128432 154837 177066 132522 020838 001197 000026 5 012353 023593 039030 058074 079631 102305 172279 046440 004149 000133 6 002709 006275 012241 021041 032815 047363 179457 082928 011524 000553 7 000489 001373 003159 006273 011127 018043 153821 121854 026341 001896 8 000074 000252 000684 001568 003164 005764 110559 150141 050487 005451 9 000010 000039 000126 000333 000765 001565 067564 157291 082275 013325 10 000001 000005 000020 000061 000159 000365 035471 141562 115185 027982 11 000000 000001 000003 000010 000029 000074 016123 110308 139619 050876 12 000000 000000 000000 000001 000004 000013 006382 074852 147375 080553 13 000000 000000 000000 000000 000001 000002 002209 044418 136039 111535 14 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000671 023115 110127 135435 15 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000179 010567 078312 144464 16 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000042 004246 048945 135435 17 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000009 001498 026872 111535 18 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000002 000464 012938 080553 19 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000126 005448 050876 20 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000030 001997 027982 21 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000006 000634 013325 22 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000001 000173 005451 23 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000040 001896 24 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000008 000553 25 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000001 000133 26 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000026 27 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000004 28 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 29 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 30 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000


396

POISSONOVA DISTRIBUCIJA VJEROVATNOĆE

( ) pnex

exXpx

⋅==⋅== − λλλ ,718,2,!

λ 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 k 0 904837 818731 740818 670320 606531 548812 496585 449329 406570 367879 1 090484 163746 222245 268128 303265 329287 347610 359463 365913 367879 2 004524 016375 033337 053626 075816 098786 121663 143785 164661 183940 3 000151 001092 003334 007150 012636 019757 028388 038343 049398 061313 4 000004 000055 000250 000715 001580 002964 004968 007669 011115 015328 5 000000 000002 000015 000057 000158 000356 000696 001227 002001 003066 6 000000 000001 000004 000013 000036 000081 000164 000300 000511 7 000000 000000 000001 000003 000008 000019 000039 000073 8 000000 000000 000001 000002 000004 000009 9 000000 000000 000000 000001 10 000000 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30


397

POISSONOVA DISTRIBUCIJA VJEROVATNOĆE

( ) pnex

exXpx

⋅==⋅== − λλλ ,718,2,!

λ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 k 0 135335 049787 018316 006738 002479 000912 000335 000123 000045 1 270671 149361 073263 033690 014873 006383 002684 001111 000454 2 270671 224042 146525 084224 044618 022341 010735 004998 002270 3 180447 224042 195367 140374 089235 052129 028626 014994 007567 4 090224 168031 195367 175467 133853 091226 057252 033737 018917 5 036089 100819 156293 175467 160623 127717 091604 060727 037833 6 012030 050409 104196 146223 160623 149003 122138 091090 063055 7 003437 021604 059540 104445 137677 149003 139587 117116 090079 8 000859 008102 029770 065278 103258 130377 139587 131756 112599 9 000191 002701 013231 036266 068838 101405 124077 131756 125110 10 000038 000810 005292 018133 041303 070983 099262 118580 125110 11 000007 000221 001925 008242 022529 045171 072190 097020 113736 12 000001 000055 000642 003434 011264 026350 048127 072765 094780 13 000000 000013 000197 001321 005199 014188 029616 050376 072908 14 000003 000056 000472 002228 007094 016924 032384 052077 15 000001 000015 000157 000891 003311 009026 019431 034718 16 000000 000004 000049 000334 001448 004513 010930 021699 17 000001 000014 000118 000596 002124 005786 012764 18 000000 000004 000039 000232 000944 002893 007091 19 000001 000012 000085 000397 001370 003732 20 000000 000004 000030 000159 000617 001866 21 000001 000010 000061 000264 000889 22 000000 000003 000022 000108 000404 23 000001 000008 000042 000176 24 000000 000003 000016 000073 25 000001 000006 000029 26 000000 000002 000011 27 000001 000004 28 000000 000001 29 000001 30 000000


398

STANDARDIZOVANA NORMALNA DISTRIBUCIJA VJEROVATNOĆE - funkcija gustine vjerovatnoće f(z)

∫+∞

∞−

−== 1)(,

21)( 2

2

dzzfezfz

π

z druga decimala 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0,0 398942 398922 398862 398763 398623 398444 398225 397966 397668 397330 0,1 396953 396536 396080 395585 395052 394479 393868 393219 392531 391806 0,2 391043 390242 389404 388529 387617 386668 385683 384663 383606 382515

cijeli broj i prva decimala

0,3 381388 380226 379031 377801 376537 375240 373911 372548 371154 369728 0,4 368270 366782 365263 363714 362135 360527 358890 357225 355533 353812 0,5 352065 350292 348493 346668 344818 342944 341046 339124 337180 335213 0,6 333225 331215 329184 327133 325062 322972 320864 318737 316593 314432 0,7 312254 310060 307851 305627 303389 301137 298872 296595 294305 292004 0,8 289692 287369 285036 282694 280344 277985 275618 273244 270864 268477 0,9 266085 263688 261286 258881 256471 254059 251644 249228 246809 244390 1,0 241971 239551 237132 234714 232297 229882 227470 225060 222653 220251 1,1 217852 215458 213069 210686 208308 205936 203571 201214 198863 196520 1,2 194186 191860 189543 187235 184937 182649 180371 178104 175847 173602 1,3 171369 169147 166937 164740 162555 160383 158225 156080 153948 151831 1,4 149727 147639 145564 143505 141460 139431 137417 135418 133435 131468 1,5 129518 127583 125665 123763 121878 120009 118157 116323 114505 112704 1,6 110921 109155 107406 105675 103961 102265 100586 098925 097282 095657 1,7 094049 092459 090887 089333 087796 086277 084776 083293 081828 080380 1,8 078950 077538 076143 074766 073407 072065 070740 069433 068144 066871 1,9 065616 064378 063157 061952 060765 059595 058441 057304 056183 055079 2,0 053991 052919 051864 050824 049800 048792 047800 046823 045861 044915 2,1 043984 043067 042166 041280 040408 039550 038707 037878 037063 036262 2,2 035475 034701 033941 033194 032460 031740 031032 030337 029655 028985 2,3 028327 027682 027048 026426 025817 025218 024631 024056 023491 022937 2,4 022395 021862 021341 020829 020328 019837 019356 018885 018423 017971 2,5 017528 017095 016670 016254 015848 015449 015060 014678 014305 013940 2,6 013583 013234 012892 012558 012232 011912 011600 011295 010997 010706 2,7 010421 010143 009871 009606 009347 009094 008846 008605 008370 008140 2,8 007915 007697 007483 007274 007071 006873 006679 006491 006307 006127 2,9 005953 005782 005616 005454 005296 005143 004993 004847 004705 004567 3,0 004432 004301 004173 004049 003928 003810 003695 003584 003475 003370 3,1 003267 003167 003070 002975 002884 002794 002707 002623 002541 002461 3,2 002384 002309 002236 002165 002096 002029 001964 001901 001840 001780 3,3 001723 001667 001612 001560 001508 001459 001411 001364 001319 001275 3,4 001232 001191 001151 001112 001075 001038 001003 000969 000936 000904 3,5 000873 000843 000814 000785 000758 000732 000706 000681 000657 000634 3,6 000612 000590 000569 000549 000529 000510 000492 000474 000457 000441 3,7 000425 000409 000394 000380 000366 000353 000340 000327 000315 000303 3,8 000292 000281 000271 000260 000251 000241 000232 000223 000215 000207 3,9 000199 000191 000184 000177 000170 000163 000157 000151 000145 000139 4,0 000134 000129 000124 000119 000114 000109 000105 000101 000097 000093


399

STANDARDIZOVANA NORMALNA DISTRIBUCIJA VJEROVATNOĆE - funkcija distribucije vjerovatnoće F(z)

dzezFz z

∫∞−

−= 2

2

21)(π

z druga decimala 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0,0 500000 503989 507978 511966 515953 519939 523922 527903 531881 535856 0,1 539828 543795 547758 551717 555670 559618 563559 567495 571424 575345 0,2 579260 583166 587064 590954 594835 598706 602568 606420 610261 614092 0,3 617911 621720 625516 629300 633072 636831 640576 644309 648027 651732 0,4 655422 659097 662757 666402 670031 673645 677242 680822 684386 687933 0,5 691462 694974 698468 701944 705401 708840 712260 715661 719043 722405 0,6 725747 729069 732371 735653 738914 742154 745373 748571 751748 754903 0,7 758036 761148 764238 767305 770350 773373 776373 779350 782305 785236 0,8 788145 791030 793892 796731 799546 802337 805105 807850 810570 813267

cijeli broj

i prva deci-mala

0,9 815940 818589 821214 823814 826391 828944 831472 833977 836457 838913 1,0 841345 843752 846136 848495 850830 853141 855428 857690 859929 862143 1,1 864334 866500 868643 870762 872857 874928 876976 879000 881000 882977 1,2 884930 886861 888768 890651 892512 894350 896165 897958 899727 901475 1,3 903200 904902 906582 908241 909877 911492 913085 914657 916207 917736 1,4 919243 920730 922196 923641 925066 926471 927855 929219 930563 931888 1,5 933193 934478 935745 936992 938220 939429 940620 941792 942947 944083 1,6 945201 946301 947384 948449 949497 950529 951543 952540 953521 954486 1,7 955435 956367 957284 958185 959070 959941 960796 961636 962462 963273 1,8 964070 964852 965620 966375 967116 967843 968557 969258 969946 970621 1,9 971283 971933 972571 973197 973810 974412 975002 975581 976148 976705 2,0 977250 977784 978308 978822 979325 979818 980301 980774 981237 981691 2,1 982136 982571 982997 983414 983823 984222 984614 984997 985371 985738 2,2 986097 986447 986791 987126 987455 987776 988089 988396 988696 988989 2,3 989276 989556 989830 990097 990358 990613 990863 991106 991344 991576 2,4 991802 992024 992240 992451 992656 992857 993053 993244 993431 993613 2,5 993790 993963 994132 994297 994457 994614 994766 994915 995060 995201 2,6 995339 995473 995604 995731 995855 995975 996093 996207 996319 996427 2,7 996533 996636 996736 996833 996928 997020 997110 997197 997282 997365 2,8 997445 997523 997599 997673 997744 997814 997882 997948 998012 998074 2,9 998134 998193 998250 998305 998359 998411 998462 998511 998559 998605 3,0 998650 998694 998736 998777 998817 998856 998893 998930 998965 998999 3,1 999032 999065 999096 999126 999155 999184 999211 999238 999264 999289 3,2 999313 999336 999359 999381 999402 999423 999443 999462 999481 999499 3,3 999517 999534 999550 999566 999581 999596 999610 999624 999638 999651 3,4 999663 999675 999687 999698 999709 999720 999730 999740 999749 999758 3,5 999767 999776 999784 999792 999800 999807 999815 999822 999828 999835 3,6 999841 999847 999853 999858 999864 999869 999874 999879 999883 999888 3,7 999892 999896 999900 999904 999908 999912 999915 999918 999922 999925 3,8 999928 999931 999933 999936 999938 999941 999943 999946 999948 999950 3,9 999952 999954 999956 999958 999959 999961 999963 999964 999966 999967 4,0 999968 999970 999971 999972 999973 999974 999975 999976 999977 999978


400

STUDENTOVA t DISTRIBUCIJA VJEROVATNOĆE - funkcija distribucije vjerovatnoće S(t)

( ) ∫∞−

+−

⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛Γ⋅

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +Γ

=t

n

dtnt

nn

n

tS2

12

1

2

21

π

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 t 0,0 0,50000 0,50000 0,50000 0,50000 0,50000 0,50000 0,50000 0,50000 0,50000 0,50000 0,1 0,53173 0,53527 0,53667 0,53742 0,53788 0,53820 0,53843 0,53860 0,53873 0,53884 0,2 0,56283 0,57001 0,57286 0,57438 0,57532 0,57596 0,57642 0,57676 0,57704 0,57726 0,3 0,59277 0,60376 0,60812 0,61044 0,61188 0,61285 0,61355 0,61409 0,61450 0,61484 0,4 0,62112 0,63608 0,64203 0,64520 0,64716 0,64850 0,64946 0,65019 0,65076 0,65122 0,5 0,64758 0,66667 0,67428 0,67834 0,68085 0,68256 0,68380 0,68473 0,68546 0,68605 0,6 0,67202 0,69528 0,70460 0,70958 0,71267 0,71477 0,71629 0,71744 0,71835 0,71907 0,7 0,69440 0,72180 0,73284 0,73875 0,74243 0,74493 0,74674 0,74811 0,74919 0,75006 0,8 0,71478 0,74618 0,75890 0,76574 0,76999 0,77289 0,77500 0,77659 0,77784 0,77885 0,9 0,73326 0,76845 0,78277 0,79050 0,79531 0,79860 0,80099 0,80280 0,80422 0,80536 1,0 0,75000 0,78868 0,80450 0,81305 0,81839 0,82204 0,82469 0,82670 0,82828 0,82955 1,1 0,76515 0,80698 0,82416 0,83346 0,83927 0,84325 0,84614 0,84834 0,85006 0,85145 1,2 0,77886 0,82350 0,84187 0,85182 0,85805 0,86232 0,86541 0,86777 0,86961 0,87110 1,3 0,79129 0,83838 0,85777 0,86827 0,87485 0,87935 0,88262 0,88510 0,88705 0,88862 1,4 0,80257 0,85176 0,87200 0,88295 0,88980 0,89448 0,89788 0,90046 0,90249 0,90412 1,5 0,81283 0,86380 0,88471 0,89600 0,90305 0,90786 0,91135 0,91400 0,91607 0,91775 1,6 0,82219 0,87463 0,89605 0,90758 0,91475 0,91964 0,92318 0,92587 0,92797 0,92966 1,7 0,83075 0,88438 0,90615 0,91782 0,92506 0,92998 0,93354 0,93622 0,93833 0,94002 1,8 0,83859 0,89317 0,91516 0,92688 0,93412 0,93902 0,94256 0,94522 0,94730 0,94897 1,9 0,84579 0,90109 0,92318 0,93488 0,94207 0,94692 0,95040 0,95302 0,95506 0,95669 2,0 0,85242 0,90825 0,93034 0,94194 0,94903 0,95379 0,95719 0,95974 0,96172 0,96331 2,1 0,85854 0,91473 0,93672 0,94817 0,95512 0,95976 0,96306 0,96553 0,96744 0,96896 2,2 0,86420 0,92060 0,94241 0,95367 0,96045 0,96495 0,96813 0,97050 0,97233 0,97378 2,3 0,86945 0,92593 0,94751 0,95853 0,96511 0,96945 0,97250 0,97476 0,97650 0,97787 2,4 0,87433 0,93077 0,95206 0,96282 0,96919 0,97335 0,97627 0,97841 0,98005 0,98134 2,5 0,87888 0,93519 0,95615 0,96662 0,97275 0,97674 0,97950 0,98153 0,98307 0,98428 2,6 0,88312 0,93923 0,95981 0,96998 0,97588 0,97967 0,98229 0,98419 0,98563 0,98675 2,7 0,88709 0,94292 0,96311 0,97295 0,97861 0,98221 0,98468 0,98646 0,98780 0,98884 2,8 0,89081 0,94630 0,96607 0,97559 0,98100 0,98442 0,98674 0,98840 0,98964 0,99060 2,9 0,89430 0,94941 0,96875 0,97794 0,98310 0,98633 0,98851 0,99005 0,99120 0,99208 3,0 0,89758 0,95227 0,97117 0,98003 0,98495 0,98800 0,99003 0,99146 0,99252 0,99333


401


( ) ∫∞−

+−

⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛Γ⋅

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +Γ

=t

n

dtnt

nn

n

tS2

12

1

2

21

π

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 t 3,1 0,90067 0,95490 0,97335 0,98189 0,98657 0,98944 0,99134 0,99267 0,99364 0,99437 3,2 0,90359 0,95733 0,97533 0,98355 0,98800 0,99070 0,99247 0,99369 0,99458 0,99525 3,3 0,90634 0,95958 0,97713 0,98503 0,98926 0,99180 0,99344 0,99457 0,99539 0,99599 3,4 0,90895 0,96166 0,97877 0,98636 0,99037 0,99275 0,99428 0,99532 0,99606 0,99661 3,5 0,91141 0,96359 0,98026 0,98755 0,99136 0,99359 0,99500 0,99596 0,99664 0,99714 3,6 0,91375 0,96538 0,98162 0,98862 0,99223 0,99432 0,99563 0,99651 0,99713 0,99758 3,7 0,91598 0,96705 0,98286 0,98958 0,99300 0,99496 0,99617 0,99698 0,99754 0,99795 3,8 0,91809 0,96860 0,98400 0,99045 0,99369 0,99552 0,99664 0,99738 0,99789 0,99826 3,9 0,92010 0,97005 0,98504 0,99123 0,99430 0,99601 0,99705 0,99773 0,99819 0,99852 4,0 0,92202 0,97140 0,98600 0,99193 0,99484 0,99644 0,99741 0,99803 0,99844 0,99874 4,1 0,92385 0,97267 0,98687 0,99257 0,99532 0,99682 0,99771 0,99828 0,99866 0,99893 4,2 0,92560 0,97386 0,98768 0,99315 0,99576 0,99716 0,99798 0,99850 0,99885 0,99909 4,3 0,92727 0,97497 0,98843 0,99368 0,99614 0,99745 0,99822 0,99869 0,99900 0,99922 4,4 0,92887 0,97602 0,98912 0,99415 0,99649 0,99772 0,99842 0,99886 0,99914 0,99933 4,5 0,93040 0,97700 0,98975 0,99459 0,99680 0,99795 0,99860 0,99900 0,99926 0,99943 4,6 0,93186 0,97792 0,99034 0,99498 0,99708 0,99815 0,99876 0,99912 0,99935 0,99951 4,7 0,93327 0,97879 0,99089 0,99535 0,99733 0,99834 0,99890 0,99923 0,99944 0,99958 4,8 0,93462 0,97962 0,99140 0,99568 0,99756 0,99850 0,99902 0,99932 0,99951 0,99964 4,9 0,93592 0,98039 0,99187 0,99598 0,99776 0,99864 0,99912 0,99940 0,99958 0,99969 5,0 0,93717 0,98113 0,99230 0,99625 0,99795 0,99877 0,99922 0,99947 0,99963 0,99973 5,1 0,93837 0,98182 0,99271 0,99651 0,99811 0,99889 0,99930 0,99954 0,99968 0,99977 5,2 0,93952 0,98248 0,99309 0,99674 0,99827 0,99899 0,99937 0,99959 0,99972 0,99980 5,3 0,94064 0,98310 0,99344 0,99696 0,99840 0,99909 0,99944 0,99964 0,99975 0,99983 5,4 0,94171 0,98369 0,99378 0,99715 0,99853 0,99917 0,99950 0,99968 0,99978 0,99985 5,5 0,94275 0,98425 0,99409 0,99734 0,99864 0,99924 0,99955 0,99971 0,99981 0,99987 5,6 0,94375 0,98478 0,99437 0,99750 0,99875 0,99931 0,99959 0,99974 0,99983 0,99989 5,7 0,94472 0,98529 0,99465 0,99766 0,99884 0,99937 0,99963 0,99977 0,99985 0,99990 5,8 0,94565 0,98577 0,99490 0,99780 0,99893 0,99942 0,99967 0,99980 0,99987 0,99991 5,9 0,94656 0,98623 0,99514 0,99794 0,99900 0,99947 0,99970 0,99982 0,99989 0,99992 6,0 0,94743 0,98666 0,99536 0,99806 0,99908 0,99952 0,99973 0,99984 0,99990 0,99993


402


( ) ∫∞−

+−

⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛Γ⋅

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +Γ

=t

n

dtnt

nn

n

tS2

12

1

2

21

π

n 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 t 0,0 0,50000 0,50000 0,50000 0,50000 0,50000 0,50000 0,50000 0,50000 0,50000 0,50000 0,1 0,53893 0,53900 0,53906 0,53912 0,53917 0,53921 0,53924 0,53928 0,53930 0,53933 0,2 0,57743 0,57759 0,57771 0,57782 0,57792 0,57800 0,57807 0,57814 0,57820 0,57825 0,3 0,61511 0,61534 0,61554 0,61571 0,61585 0,61598 0,61609 0,61619 0,61628 0,61636 0,4 0,65159 0,65191 0,65217 0,65240 0,65260 0,65278 0,65293 0,65307 0,65319 0,65330 0,5 0,68654 0,68694 0,68728 0,68758 0,68783 0,68806 0,68826 0,68843 0,68859 0,68873 0,6 0,71967 0,72017 0,72059 0,72095 0,72127 0,72155 0,72179 0,72201 0,72220 0,72238 0,7 0,75077 0,75136 0,75187 0,75230 0,75268 0,75301 0,75330 0,75356 0,75379 0,75400 0,8 0,77968 0,78037 0,78096 0,78146 0,78190 0,78229 0,78263 0,78293 0,78320 0,78344 0,9 0,80630 0,80709 0,80776 0,80833 0,80883 0,80927 0,80965 0,81000 0,81031 0,81059 1,0 0,83060 0,83148 0,83222 0,83286 0,83341 0,83390 0,83433 0,83472 0,83506 0,83537 1,1 0,85259 0,85355 0,85436 0,85506 0,85566 0,85620 0,85667 0,85709 0,85746 0,85780 1,2 0,87233 0,87335 0,87422 0,87497 0,87563 0,87620 0,87670 0,87715 0,87756 0,87792 1,3 0,88991 0,89099 0,89191 0,89270 0,89339 0,89399 0,89452 0,89500 0,89542 0,89581 1,4 0,90546 0,90658 0,90754 0,90836 0,90907 0,90970 0,91025 0,91074 0,91118 0,91158 1,5 0,91912 0,92027 0,92125 0,92209 0,92282 0,92346 0,92402 0,92452 0,92498 0,92538 1,6 0,93105 0,93221 0,93320 0,93404 0,93478 0,93542 0,93599 0,93650 0,93695 0,93736 1,7 0,94140 0,94256 0,94354 0,94439 0,94512 0,94576 0,94632 0,94683 0,94728 0,94768 1,8 0,95034 0,95148 0,95245 0,95328 0,95400 0,95463 0,95518 0,95568 0,95612 0,95652 1,9 0,95802 0,95914 0,96008 0,96089 0,96158 0,96220 0,96273 0,96321 0,96364 0,96403 2,0 0,96460 0,96567 0,96658 0,96736 0,96803 0,96861 0,96913 0,96959 0,97000 0,97037 2,1 0,97020 0,97123 0,97209 0,97283 0,97347 0,97403 0,97452 0,97495 0,97534 0,97569 2,2 0,97496 0,97593 0,97675 0,97745 0,97805 0,97858 0,97904 0,97945 0,97981 0,98014 2,3 0,97898 0,97990 0,98067 0,98132 0,98189 0,98238 0,98281 0,98319 0,98352 0,98383 2,4 0,98238 0,98324 0,98396 0,98457 0,98509 0,98554 0,98594 0,98629 0,98660 0,98688 2,5 0,98525 0,98604 0,98671 0,98727 0,98775 0,98816 0,98853 0,98885 0,98913 0,98938 2,6 0,98765 0,98839 0,98900 0,98951 0,98995 0,99033 0,99066 0,99095 0,99121 0,99144 2,7 0,98967 0,99035 0,99090 0,99137 0,99177 0,99211 0,99241 0,99267 0,99291 0,99311 2,8 0,99136 0,99198 0,99249 0,99291 0,99327 0,99358 0,99385 0,99408 0,99429 0,99447 2,9 0,99278 0,99334 0,99380 0,99418 0,99450 0,99478 0,99502 0,99523 0,99541 0,99557 3,0 0,99396 0,99447 0,99488 0,99522 0,99551 0,99576 0,99597 0,99616 0,99632 0,99646


403


( ) ∫∞−

+−

⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛Γ⋅

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +Γ

=t

n

dtnt

nn

n

tS2

12

1

2

21

π

n 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 t 3,1 0,99495 0,99541 0,99578 0,99608 0,99634 0,99656 0,99675 0,99691 0,99705 0,99718 3,2 0,99577 0,99618 0,99652 0,99679 0,99702 0,99721 0,99738 0,99752 0,99764 0,99775 3,3 0,99646 0,99683 0,99713 0,99737 0,99757 0,99774 0,99788 0,99801 0,99812 0,99821 3,4 0,99704 0,99737 0,99763 0,99784 0,99802 0,99817 0,99830 0,99840 0,99850 0,99858 3,5 0,99751 0,99781 0,99804 0,99823 0,99839 0,99852 0,99863 0,99872 0,99880 0,99887 3,6 0,99792 0,99818 0,99838 0,99855 0,99869 0,99880 0,99890 0,99898 0,99905 0,99911 3,7 0,99825 0,99848 0,99866 0,99881 0,99893 0,99903 0,99911 0,99918 0,99924 0,99929 3,8 0,99853 0,99874 0,99890 0,99902 0,99913 0,99921 0,99928 0,99934 0,99940 0,99944 3,9 0,99876 0,99894 0,99909 0,99920 0,99929 0,99936 0,99942 0,99948 0,99952 0,99956 4,0 0,99896 0,99912 0,99924 0,99934 0,99942 0,99948 0,99954 0,99958 0,99962 0,99965 4,1 0,99912 0,99926 0,99937 0,99946 0,99953 0,99958 0,99963 0,99966 0,99970 0,99972 4,2 0,99926 0,99938 0,99948 0,99955 0,99961 0,99966 0,99970 0,99973 0,99976 0,99978 4,3 0,99937 0,99948 0,99957 0,99963 0,99968 0,99972 0,99976 0,99978 0,99981 0,99983 4,4 0,99947 0,99957 0,99964 0,99970 0,99974 0,99978 0,99980 0,99983 0,99985 0,99986 4,5 0,99955 0,99964 0,99970 0,99975 0,99979 0,99982 0,99984 0,99986 0,99988 0,99989 4,6 0,99962 0,99969 0,99975 0,99979 0,99983 0,99985 0,99987 0,99989 0,99990 0,99991 4,7 0,99967 0,99974 0,99979 0,99983 0,99986 0,99988 0,99990 0,99991 0,99992 0,99993 4,8 0,99972 0,99978 0,99983 0,99986 0,99988 0,99990 0,99992 0,99993 0,99994 0,99995 4,9 0,99976 0,99982 0,99985 0,99988 0,99990 0,99992 0,99993 0,99994 0,99995 0,99996 5,0 0,99980 0,99985 0,99988 0,99990 0,99992 0,99993 0,99995 0,99995 0,99996 0,99997 5,1 0,99983 0,99987 0,99990 0,99992 0,99993 0,99995 0,99996 0,99996 0,99997 0,99997 5,2 0,99985 0,99989 0,99991 0,99993 0,99995 0,99996 0,99996 0,99997 0,99997 0,99998 5,3 0,99987 0,99991 0,99993 0,99994 0,99996 0,99996 0,99997 0,99998 0,99998 0,99998 5,4 0,99989 0,99992 0,99994 0,99995 0,99996 0,99997 0,99998 0,99998 0,99998 0,99999 5,5 0,99991 0,99993 0,99995 0,99996 0,99997 0,99998 0,99998 0,99998 0,99999 0,99999 5,6 0,99992 0,99994 0,99996 0,99997 0,99997 0,99998 0,99998 0,99999 0,99999 0,99999 5,7 0,99993 0,99995 0,99996 0,99997 0,99998 0,99998 0,99999 0,99999 0,99999 0,99999 5,8 0,99994 0,99996 0,99997 0,99998 0,99998 0,99999 0,99999 0,99999 0,99999 0,99999 5,9 0,99995 0,99996 0,99997 0,99998 0,99999 0,99999 0,99999 0,99999 0,99999 1,00000 6,0 0,99996 0,99997 0,99998 0,99998 0,99999 0,99999 0,99999 0,99999 1,00000 1,00000


404


( ) ∫∞−

+−

⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛Γ⋅

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +Γ

=t

n

dtnt

nn

n

tS2

12

1

2

21

π

n 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 t 0,0 0,50000 0,50000 0,50000 0,50000 0,50000 0,50000 0,50000 0,50000 0,50000 0,50000 0,1 0,53935 0,53937 0,53939 0,53941 0,53943 0,53944 0,53946 0,53947 0,53948 0,53950 0,2 0,57830 0,57834 0,57838 0,57842 0,57845 0,57848 0,57851 0,57854 0,57856 0,57858 0,3 0,61644 0,61650 0,61656 0,61662 0,61667 0,61672 0,61676 0,61680 0,61684 0,61688 0,4 0,65340 0,65349 0,65358 0,65365 0,65372 0,65379 0,65385 0,65390 0,65396 0,65400 0,5 0,68886 0,68898 0,68909 0,68919 0,68928 0,68936 0,68944 0,68951 0,68958 0,68964 0,6 0,72254 0,72268 0,72281 0,72294 0,72305 0,72315 0,72325 0,72333 0,72342 0,72349 0,7 0,75420 0,75437 0,75453 0,75467 0,75480 0,75493 0,75504 0,75515 0,75525 0,75534 0,8 0,78367 0,78387 0,78405 0,78422 0,78438 0,78452 0,78465 0,78478 0,78489 0,78500 0,9 0,81084 0,81107 0,81128 0,81147 0,81165 0,81181 0,81196 0,81210 0,81223 0,81236 1,0 0,83565 0,83591 0,83614 0,83636 0,83655 0,83674 0,83691 0,83706 0,83721 0,83735 1,1 0,85811 0,85839 0,85864 0,85888 0,85909 0,85929 0,85948 0,85965 0,85981 0,85996 1,2 0,87825 0,87855 0,87882 0,87907 0,87931 0,87952 0,87972 0,87990 0,88007 0,88023 1,3 0,89616 0,89647 0,89676 0,89703 0,89727 0,89750 0,89770 0,89790 0,89808 0,89825 1,4 0,91194 0,91227 0,91257 0,91285 0,91310 0,91333 0,91355 0,91375 0,91394 0,91411 1,5 0,92575 0,92609 0,92639 0,92667 0,92693 0,92717 0,92739 0,92760 0,92779 0,92797 1,6 0,93773 0,93807 0,93838 0,93866 0,93892 0,93916 0,93938 0,93959 0,93978 0,93996 1,7 0,94805 0,94839 0,94869 0,94897 0,94923 0,94947 0,94969 0,94989 0,95008 0,95026 1,8 0,95688 0,95720 0,95750 0,95778 0,95803 0,95826 0,95848 0,95868 0,95886 0,95904 1,9 0,96437 0,96469 0,96498 0,96524 0,96549 0,96571 0,96592 0,96611 0,96629 0,96646 2,0 0,97070 0,97100 0,97128 0,97153 0,97176 0,97198 0,97217 0,97236 0,97253 0,97269 2,1 0,97601 0,97629 0,97655 0,97679 0,97701 0,97721 0,97740 0,97757 0,97773 0,97788 2,2 0,98043 0,98070 0,98094 0,98116 0,98137 0,98155 0,98173 0,98189 0,98204 0,98218 2,3 0,98410 0,98435 0,98457 0,98478 0,98496 0,98514 0,98530 0,98544 0,98558 0,98571 2,4 0,98713 0,98735 0,98756 0,98775 0,98792 0,98807 0,98822 0,98836 0,98848 0,98860 2,5 0,98961 0,98982 0,99000 0,99017 0,99033 0,99047 0,99060 0,99072 0,99084 0,99094 2,6 0,99164 0,99183 0,99200 0,99215 0,99229 0,99242 0,99253 0,99264 0,99274 0,99284 2,7 0,99330 0,99346 0,99361 0,99375 0,99387 0,99398 0,99409 0,99419 0,99427 0,99436 2,8 0,99464 0,99478 0,99491 0,99504 0,99515 0,99525 0,99534 0,99542 0,99550 0,99557 2,9 0,99572 0,99585 0,99596 0,99607 0,99617 0,99625 0,99633 0,99641 0,99648 0,99654 3,0 0,99659 0,99670 0,99680 0,99690 0,99698 0,99706 0,99713 0,99719 0,99725 0,99731


405


( ) ∫∞−

+−

⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛Γ⋅

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +Γ

=t

n

dtnt

nn

n

tS2

12

1

2

21

π

n 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 t 3,1 0,99729 0,99739 0,99748 0,99756 0,99763 0,99769 0,99775 0,99781 0,99786 0,99791 3,2 0,99785 0,99793 0,99801 0,99808 0,99814 0,99820 0,99825 0,99830 0,99834 0,99838 3,3 0,99830 0,99837 0,99843 0,99849 0,99855 0,99860 0,99864 0,99868 0,99872 0,99875 3,4 0,99865 0,99871 0,99877 0,99882 0,99887 0,99891 0,99894 0,99898 0,99901 0,99904 3,5 0,99893 0,99899 0,99904 0,99908 0,99912 0,99915 0,99918 0,99921 0,99924 0,99926 3,6 0,99916 0,99920 0,99924 0,99928 0,99931 0,99934 0,99937 0,99939 0,99941 0,99943 3,7 0,99934 0,99937 0,99941 0,99944 0,99947 0,99949 0,99951 0,99953 0,99955 0,99957 3,8 0,99948 0,99951 0,99954 0,99956 0,99959 0,99961 0,99963 0,99964 0,99966 0,99967 3,9 0,99959 0,99962 0,99964 0,99966 0,99968 0,99970 0,99971 0,99973 0,99974 0,99975 4,0 0,99968 0,99970 0,99972 0,99974 0,99975 0,99977 0,99978 0,99979 0,99980 0,99981 4,1 0,99974 0,99976 0,99978 0,99980 0,99981 0,99982 0,99983 0,99984 0,99985 0,99986 4,2 0,99980 0,99981 0,99983 0,99984 0,99985 0,99986 0,99987 0,99988 0,99988 0,99989 4,3 0,99984 0,99986 0,99987 0,99988 0,99989 0,99989 0,99990 0,99991 0,99991 0,99992 4,4 0,99988 0,99989 0,99990 0,99990 0,99991 0,99992 0,99992 0,99993 0,99993 0,99994 4,5 0,99990 0,99991 0,99992 0,99993 0,99993 0,99994 0,99994 0,99995 0,99995 0,99995 4,6 0,99992 0,99993 0,99994 0,99994 0,99995 0,99995 0,99996 0,99996 0,99996 0,99996 4,7 0,99994 0,99995 0,99995 0,99996 0,99996 0,99996 0,99997 0,99997 0,99997 0,99997 4,8 0,99995 0,99996 0,99996 0,99997 0,99997 0,99997 0,99997 0,99998 0,99998 0,99998 4,9 0,99996 0,99997 0,99997 0,99997 0,99998 0,99998 0,99998 0,99998 0,99998 0,99998 5,0 0,99997 0,99997 0,99998 0,99998 0,99998 0,99998 0,99998 0,99999 0,99999 0,99999 5,1 0,99998 0,99998 0,99998 0,99998 0,99999 0,99999 0,99999 0,99999 0,99999 0,99999 5,2 0,99998 0,99998 0,99999 0,99999 0,99999 0,99999 0,99999 0,99999 0,99999 0,99999 5,3 0,99999 0,99999 0,99999 0,99999 0,99999 0,99999 0,99999 0,99999 0,99999 1,00000 5,4 0,99999 0,99999 0,99999 0,99999 0,99999 0,99999 0,99999 1,00000 1,00000 1,00000 5,5 0,99999 0,99999 0,99999 0,99999 0,99999 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 5,6 0,99999 0,99999 0,99999 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 5,7 0,99999 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 5,8 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 5,9 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 6,0 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000


406

FISHER - SNEDECOROVA F DISTRIBUCIJA VJEROVATNOĆE

( )dF

F

FB

FPF

⋅+

⋅⋅

= ∫∞+

+−

−

0

21

121

2)(

12

12

21

22

21

),()( νν

ννν

νννννν

P(F)=0,1 n1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

n2 1 39,8635 49,5000 53,5932 55,8330 57,2401 58,2044 58,9060 59,4390 59,8576 60,1950 2 8,5263 9,0000 9,1618 9,2434 9,2926 9,3255 9,3491 9,3668 9,3805 9,3916 3 5,5383 5,4624 5,3908 5,3426 5,3092 5,2847 5,2662 5,2517 5,2400 5,2304 4 4,5448 4,3246 4,1909 4,1072 4,0506 4,0097 3,9790 3,9549 3,9357 3,9199 5 4,0604 3,7797 3,6195 3,5202 3,4530 3,4045 3,3679 3,3393 3,3163 3,2974 6 3,7759 3,4633 3,2888 3,1808 3,1075 3,0546 3,0145 2,9830 2,9577 2,9369 7 3,5894 3,2574 3,0741 2,9605 2,8833 2,8274 2,7849 2,7516 2,7247 2,7025 8 3,4579 3,1131 2,9238 2,8064 2,7264 2,6683 2,6241 2,5893 2,5612 2,5380 9 3,3603 3,0065 2,8129 2,6927 2,6106 2,5509 2,5053 2,4694 2,4403 2,4163 10 3,2850 2,9245 2,7277 2,6053 2,5216 2,4606 2,4140 2,3772 2,3473 2,3226 12 3,1765 2,8068 2,6055 2,4801 2,3940 2,3310 2,2828 2,2446 2,2135 2,1878 15 3,0732 2,6952 2,4898 2,3614 2,2730 2,2081 2,1582 2,1185 2,0862 2,0593 20 2,9747 2,5893 2,3801 2,2489 2,1582 2,0913 2,0397 1,9985 1,9649 1,9367 24 2,9271 2,5383 2,3274 2,1949 2,1030 2,0351 1,9826 1,9407 1,9063 1,8775 30 2,8807 2,4887 2,2761 2,1422 2,0492 1,9803 1,9269 1,8841 1,8490 1,8195 40 2,8354 2,4404 2,2261 2,0909 1,9968 1,9269 1,8725 1,8289 1,7929 1,7627 60 2,7911 2,3933 2,1774 2,0410 1,9457 1,8747 1,8194 1,7748 1,7380 1,7070 120 2,7478 2,3473 2,1300 1,9923 1,8959 1,8238 1,7675 1,7220 1,6842 1,6524 ∞ 2,7055 2,3026 2,0838 1,9449 1,8473 1,7741 1,7167 1,6702 1,6315 1,5987

n1 12 15 20 24 30 40 60 120 ∞

n2 1 60,7052 61,2203 61,7403 62,0020 62,2650 62,5291 62,7943 63,0606 63,3282 2 9,4081 9,4247 9,4413 9,4496 9,4579 9,4662 9,4746 9,4829 9,4912 3 5,2156 5,2003 5,1845 5,1764 5,1681 5,1597 5,1512 5,1425 5,1337 4 3,8955 3,8704 3,8443 3,8310 3,8174 3,8036 3,7896 3,7753 3,7607 5 3,2682 3,2380 3,2067 3,1905 3,1741 3,1573 3,1402 3,1228 3,1050 6 2,9047 2,8712 2,8363 2,8183 2,8000 2,7812 2,7620 2,7423 2,7222 7 2,6681 2,6322 2,5947 2,5753 2,5555 2,5351 2,5142 2,4928 2,4708 8 2,5020 2,4642 2,4246 2,4041 2,3830 2,3614 2,3391 2,3162 2,2926 9 2,3789 2,3396 2,2983 2,2768 2,2547 2,2320 2,2085 2,1843 2,1592 10 2,2841 2,2435 2,2007 2,1784 2,1554 2,1317 2,1072 2,0818 2,0554 12 2,1474 2,1049 2,0597 2,0360 2,0115 1,9861 1,9597 1,9323 1,9036 15 2,0171 1,9722 1,9243 1,8990 1,8728 1,8454 1,8168 1,7867 1,7551 20 1,8924 1,8449 1,7938 1,7667 1,7382 1,7083 1,6768 1,6433 1,6074 24 1,8319 1,7831 1,7302 1,7019 1,6721 1,6407 1,6073 1,5715 1,5327 30 1,7727 1,7223 1,6673 1,6377 1,6065 1,5732 1,5376 1,4989 1,4564 40 1,7146 1,6624 1,6052 1,5741 1,5411 1,5056 1,4672 1,4248 1,3769 60 1,6574 1,6034 1,5435 1,5107 1,4755 1,4373 1,3952 1,3476 1,2915 120 1,6012 1,5450 1,4821 1,4472 1,4094 1,3676 1,3203 1,2646 1,1926 ∞ 1,5458 1,4871 1,4206 1,3832 1,3419 1,2951 1,2400 1,1686 1,0000


407


( )dF

F

FB

FPF

⋅+

⋅⋅

= ∫∞+

+−

−

0

21

121

2)(

12

12

21

22

21

),()( νν

ννν

νννννν

P(F)=0,05 n1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

n2 1 161,4476 199,5000 215,7073 224,5832 230,1619 233,9860 236,7684 238,8827 240,5433 241,8817 2 18,5128 19,0000 19,1643 19,2468 19,2964 19,3295 19,3532 19,3710 19,3848 19,3959 3 10,1280 9,5521 9,2766 9,1172 9,0135 8,9406 8,8867 8,8452 8,8123 8,7855 4 7,7086 6,9443 6,5914 6,3882 6,2561 6,1631 6,0942 6,0410 5,9988 5,9644 5 6,6079 5,7861 5,4095 5,1922 5,0503 4,9503 4,8759 4,8183 4,7725 4,7351 6 5,9874 5,1433 4,7571 4,5337 4,3874 4,2839 4,2067 4,1468 4,0990 4,0600 7 5,5914 4,7374 4,3468 4,1203 3,9715 3,8660 3,7870 3,7257 3,6767 3,6365 8 5,3177 4,4590 4,0662 3,8379 3,6875 3,5806 3,5005 3,4381 3,3881 3,3472 9 5,1174 4,2565 3,8625 3,6331 3,4817 3,3738 3,2927 3,2296 3,1789 3,1373 10 4,9646 4,1028 3,7083 3,4780 3,3258 3,2172 3,1355 3,0717 3,0204 2,9782 12 4,7472 3,8853 3,4903 3,2592 3,1059 2,9961 2,9134 2,8486 2,7964 2,7534 15 4,5431 3,6823 3,2874 3,0556 2,9013 2,7905 2,7066 2,6408 2,5876 2,5437 20 4,3512 3,4928 3,0984 2,8661 2,7109 2,5990 2,5140 2,4471 2,3928 2,3479 24 4,2597 3,4028 3,0088 2,7763 2,6207 2,5082 2,4226 2,3551 2,3002 2,2547 30 4,1709 3,3158 2,9223 2,6896 2,5336 2,4205 2,3343 2,2662 2,2107 2,1646 40 4,0847 3,2317 2,8387 2,6060 2,4495 2,3359 2,2490 2,1802 2,1240 2,0772 60 4,0012 3,1504 2,7581 2,5252 2,3683 2,2541 2,1665 2,0970 2,0401 1,9926 120 3,9201 3,0718 2,6802 2,4472 2,2899 2,1750 2,0868 2,0164 1,9588 1,9105 ∞ 3,8415 2,9957 2,6049 2,3719 2,2141 2,0986 2,0096 1,9384 1,8799 1,8307

n1 12 15 20 24 30 40 60 120 ∞

n2 1 243,9060 245,9499 248,0131 249,0518 250,0951 251,1432 252,1957 253,2529 254,3148 2 19,4125 19,4291 19,4458 19,4541 19,4624 19,4707 19,4791 19,4874 19,4957 3 8,7446 8,7029 8,6602 8,6385 8,6166 8,5944 8,5720 8,5494 8,5264 4 5,9117 5,8578 5,8025 5,7744 5,7459 5,7170 5,6877 5,6581 5,6281 5 4,6777 4,6188 4,5581 4,5272 4,4957 4,4638 4,4314 4,3985 4,3650 6 3,9999 3,9381 3,8742 3,8415 3,8082 3,7743 3,7398 3,7047 3,6689 7 3,5747 3,5107 3,4445 3,4105 3,3758 3,3404 3,3043 3,2674 3,2297 8 3,2839 3,2184 3,1503 3,1152 3,0794 3,0428 3,0053 2,9669 2,9276 9 3,0729 3,0061 2,9365 2,9005 2,8637 2,8259 2,7872 2,7475 2,7067 10 2,9130 2,8450 2,7740 2,7372 2,6996 2,6609 2,6211 2,5801 2,5379 12 2,6866 2,6169 2,5436 2,5055 2,4663 2,4259 2,3842 2,3410 2,2962 15 2,4753 2,4034 2,3275 2,2878 2,2468 2,2043 2,1601 2,1141 2,0658 20 2,2776 2,2033 2,1242 2,0825 2,0391 1,9938 1,9464 1,8963 1,8432 24 2,1834 2,1077 2,0267 1,9838 1,9390 1,8920 1,8424 1,7896 1,7330 30 2,0921 2,0148 1,9317 1,8874 1,8409 1,7918 1,7396 1,6835 1,6223 40 2,0035 1,9245 1,8389 1,7929 1,7444 1,6928 1,6373 1,5766 1,5089 60 1,9174 1,8364 1,7480 1,7001 1,6491 1,5943 1,5343 1,4673 1,3893 120 1,8337 1,7505 1,6587 1,6084 1,5543 1,4952 1,4290 1,3519 1,2539 ∞ 1,7522 1,6664 1,5705 1,5173 1,4591 1,3940 1,3180 1,2214 1,0000


408


( )dF

F

FB

FPF

⋅+

⋅⋅

= ∫∞+

+−

−

0

21

121

2)(

12

12

21

22

21

),()( νν

ννν

νννννν

P(F)=0,01 n1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

n2 1 4052,1807 4999,5000 5403,3520 5624,5833 5763,6496 5858,9861 5928,3557 5981,0703 6022,4732 6055,8467 2 98,5025 99,0000 99,1662 99,2494 99,2993 99,3326 99,3564 99,3742 99,3881 99,3992 3 34,1162 30,8165 29,4567 28,7099 28,2371 27,9107 27,6717 27,4892 27,3452 27,2287 4 21,1977 18,0000 16,6944 15,9770 15,5219 15,2069 14,9758 14,7989 14,6591 14,5459 5 16,2582 13,2739 12,0600 11,3919 10,9670 10,6723 10,4555 10,2893 10,1578 10,0510 6 13,7450 10,9248 9,7795 9,1483 8,7459 8,4661 8,2600 8,1017 7,9761 7,8741 7 12,2464 9,5466 8,4513 7,8466 7,4604 7,1914 6,9928 6,8400 6,7188 6,6201 8 11,2586 8,6491 7,5910 7,0061 6,6318 6,3707 6,1776 6,0289 5,9106 5,8143 9 10,5614 8,0215 6,9919 6,4221 6,0569 5,8018 5,6129 5,4671 5,3511 5,2565 10 10,0443 7,5594 6,5523 5,9943 5,6363 5,3858 5,2001 5,0567 4,9424 4,8491 12 9,3302 6,9266 5,9525 5,4120 5,0643 4,8206 4,6395 4,4994 4,3875 4,2961 15 8,6831 6,3589 5,4170 4,8932 4,5556 4,3183 4,1415 4,0045 3,8948 3,8049 20 8,0960 5,8489 4,9382 4,4307 4,1027 3,8714 3,6987 3,5644 3,4567 3,3682 24 7,8229 5,6136 4,7181 4,2184 3,8951 3,6667 3,4959 3,3629 3,2560 3,1681 30 7,5625 5,3903 4,5097 4,0179 3,6990 3,4735 3,3045 3,1726 3,0665 2,9791 40 7,3141 5,1785 4,3126 3,8283 3,5138 3,2910 3,1238 2,9930 2,8876 2,8005 60 7,0771 4,9774 4,1259 3,6490 3,3389 3,1187 2,9530 2,8233 2,7185 2,6318 120 6,8509 4,7865 3,9491 3,4795 3,1735 2,9559 2,7918 2,6629 2,5586 2,4721 ∞ 6,6349 4,6052 3,7816 3,3192 3,0173 2,8020 2,6393 2,5113 2,4073 2,3209

n1 12 15 20 24 30 40 60 120 ∞

n2 1 6106,3207 6157,2846 6208,7302 6234,6309 6260,6486 6286,7821 6313,0301 6339,3913 6365,8685 2 99,4159 99,4325 99,4492 99,4575 99,4658 99,4742 99,4825 99,4908 99,4992 3 27,0518 26,8722 26,6898 26,5975 26,5045 26,4108 26,3164 26,2211 26,1251 4 14,3736 14,1982 14,0196 13,9291 13,8377 13,7454 13,6522 13,5581 13,4631 5 9,8883 9,7222 9,5526 9,4665 9,3793 9,2912 9,2020 9,1118 9,0204 6 7,7183 7,5590 7,3958 7,3127 7,2285 7,1432 7,0567 6,9690 6,8800 7 6,4691 6,3143 6,1554 6,0743 5,9920 5,9084 5,8236 5,7373 5,6495 8 5,6667 5,5151 5,3591 5,2793 5,1981 5,1156 5,0316 4,9461 4,8588 9 5,1114 4,9621 4,8080 4,7290 4,6486 4,5666 4,4831 4,3978 4,3105 10 4,7059 4,5581 4,4054 4,3269 4,2469 4,1653 4,0819 3,9965 3,9090 12 4,1553 4,0096 3,8584 3,7805 3,7008 3,6192 3,5355 3,4494 3,3608 15 3,6662 3,5222 3,3719 3,2940 3,2141 3,1319 3,0471 2,9595 2,8684 20 3,2311 3,0880 2,9377 2,8594 2,7785 2,6947 2,6077 2,5168 2,4212 24 3,0316 2,8887 2,7380 2,6591 2,5773 2,4923 2,4035 2,3100 2,2107 30 2,8431 2,7002 2,5487 2,4689 2,3860 2,2992 2,2079 2,1108 2,0062 40 2,6648 2,5216 2,3689 2,2880 2,2034 2,1142 2,0194 1,9172 1,8047 60 2,4961 2,3523 2,1978 2,1154 2,0285 1,9360 1,8363 1,7263 1,6006 120 2,3363 2,1915 2,0346 1,9500 1,8600 1,7628 1,6557 1,5330 1,3805 ∞ 2,1847 2,0385 1,8783 1,7908 1,6964 1,5923 1,4730 1,3246 1,0000


409

HI-KVADRAT DISTRIBUCIJA VJEROVATNOĆE - funkcija distribucije vjerovatnoće F (hi kvadrat)

( ) ( ) ( )22

0

22

2

2

2

22

22

1 χχχχ

den

Fjx n

n

−−

⋅⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛Γ

= ∫

hi n 1 2 3 4 5 6 7 8 kvadrat 0,001 0,025227 0,000500 0,000008 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,01 0,079656 0,004988 0,000265 0,000012 0,000001 0,000000 0,000000 0,000000 0,05 0,176937 0,024690 0,002929 0,000307 0,000029 0,000003 0,000000 0,000000 0,1 0,248170 0,048771 0,008163 0,001209 0,000162 0,000020 0,000002 0,000000 0,2 0,345279 0,095163 0,022411 0,004679 0,000886 0,000155 0,000025 0,000004 0,3 0,416118 0,139292 0,039972 0,010186 0,002357 0,000503 0,000100 0,000019 0,4 0,472911 0,181269 0,059758 0,017523 0,004670 0,001148 0,000263 0,000057 0,5 0,520500 0,221199 0,081109 0,026499 0,007877 0,002161 0,000554 0,000133 0,6 0,561422 0,259182 0,103568 0,036936 0,011997 0,003599 0,001008 0,000266 0,7 0,597216 0,295312 0,126796 0,048671 0,017031 0,005509 0,001664 0,000473 0,8 0,628907 0,329680 0,150533 0,061552 0,022967 0,007926 0,002556 0,000776 0,9 0,657218 0,362372 0,174572 0,075439 0,029778 0,010879 0,003715 0,001195 1 0,682689 0,393469 0,198748 0,090204 0,037434 0,014388 0,005171 0,001752 2 0,842701 0,632121 0,427593 0,264241 0,150855 0,080301 0,040160 0,018988 3 0,916735 0,776870 0,608375 0,442175 0,300014 0,191153 0,114998 0,065642 4 0,954500 0,864665 0,738536 0,593994 0,450584 0,323324 0,220223 0,142877 5 0,974653 0,917915 0,828203 0,712703 0,584120 0,456187 0,340037 0,242424 6 0,985694 0,950213 0,888390 0,800852 0,693781 0,576810 0,460251 0,352768 7 0,991849 0,969803 0,928102 0,864112 0,779360 0,679153 0,571120 0,463367 8 0,995322 0,981684 0,953988 0,908422 0,843764 0,761897 0,667406 0,566530 9 0,997300 0,988891 0,970709 0,938901 0,890936 0,826422 0,747344 0,657704 10 0,998435 0,993262 0,981434 0,959572 0,924765 0,875348 0,811427 0,734974 11 0,999089 0,995913 0,988274 0,973436 0,948620 0,911624 0,861381 0,798301 12 0,999468 0,997521 0,992617 0,982649 0,965212 0,938031 0,899441 0,848796 13 0,999689 0,998497 0,995363 0,988724 0,976621 0,956964 0,927892 0,888150 14 0,999817 0,999088 0,997095 0,992705 0,984391 0,970364 0,948819 0,918235 15 0,999892 0,999447 0,998183 0,995299 0,989638 0,979743 0,964001 0,940855 16 0,999937 0,999665 0,998866 0,996981 0,993156 0,986246 0,974884 0,957620 17 0,999963 0,999797 0,999293 0,998067 0,995500 0,990717 0,982604 0,969891 18 0,999978 0,999877 0,999560 0,998766 0,997054 0,993768 0,988030 0,978774 19 0,999987 0,999925 0,999727 0,999214 0,998078 0,995836 0,991813 0,985140 20 0,999992 0,999955 0,999830 0,999501 0,998750 0,997231 0,994430 0,989664


410


( ) ( ) ( )22

0

22

2

2

2

22

22

1 χχχχ

den

Fjx n

n

−−

⋅⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛Γ

= ∫

hi n 1 2 3 4 5 6 7 8 kvadrat 21 0,999995 0,999972 0,999895 0,999683 0,999190 0,998165 0,996230 0,992853 22 0,999997 0,999983 0,999935 0,999800 0,999476 0,998789 0,997460 0,995084 23 0,999998 0,999990 0,999960 0,999873 0,999662 0,999204 0,998295 0,996636 24 0,999999 0,999994 0,999975 0,999920 0,999783 0,999478 0,998861 0,997708 25 0,999999 0,999996 0,999985 0,999950 0,999861 0,999659 0,999241 0,998445 26 1,000000 0,999998 0,999990 0,999968 0,999911 0,999777 0,999496 0,998950 27 1,000000 0,999999 0,999994 0,999980 0,999943 0,999855 0,999667 0,999293 28 1,000000 0,999999 0,999996 0,999988 0,999964 0,999906 0,999780 0,999526 29 1,000000 0,999999 0,999998 0,999992 0,999977 0,999939 0,999855 0,999683 30 1,000000 1,000000 0,999999 0,999995 0,999985 0,999961 0,999905 0,999789 31 1,000000 1,000000 0,999999 0,999997 0,999991 0,999975 0,999938 0,999859 32 1,000000 1,000000 0,999999 0,999998 0,999994 0,999984 0,999959 0,999907 33 1,000000 1,000000 1,000000 0,999999 0,999996 0,999990 0,999974 0,999938 34 1,000000 1,000000 1,000000 0,999999 0,999998 0,999993 0,999983 0,999959 35 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 0,999998 0,999996 0,999989 0,999973 36 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 0,999999 0,999997 0,999993 0,999982 37 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 0,999999 0,999998 0,999995 0,999988 38 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 0,999999 0,999997 0,999992 39 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 0,999999 0,999998 0,999995 40 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 0,999999 0,999997 41 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 0,999999 0,999998 42 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 0,999999 0,999999 43 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 0,999999 44 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 0,999999 45 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 46 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 47 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 48 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 49 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 50 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000


411


( ) ( ) ( )22

0

22

2

2

2

22

22

1 χχχχ

den

Fjx n

n

−−

⋅⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛Γ

= ∫

hi n 9 10 11 12 13 14 15 kvadrat 0,001 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,01 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,05 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,1 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,2 0,000001 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,3 0,000003 0,000001 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,4 0,000012 0,000002 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,5 0,000030 0,000007 0,000001 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,6 0,000066 0,000016 0,000004 0,000001 0,000000 0,000000 0,000000 0,7 0,000128 0,000033 0,000008 0,000002 0,000000 0,000000 0,000000 0,8 0,000223 0,000061 0,000016 0,000004 0,000001 0,000000 0,000000 0,9 0,000365 0,000106 0,000029 0,000008 0,000002 0,000001 0,000000 1 0,000562 0,000172 0,000050 0,000014 0,000004 0,000001 0,000000 2 0,008532 0,003660 0,001504 0,000594 0,000226 0,000083 0,000030 3 0,035705 0,018576 0,009274 0,004456 0,002066 0,000926 0,000402 4 0,088587 0,052653 0,030083 0,016564 0,008809 0,004534 0,002263 5 0,165692 0,108822 0,068833 0,042021 0,024807 0,014187 0,007874 6 0,260082 0,184737 0,126636 0,083918 0,053847 0,033509 0,020252 7 0,362881 0,274555 0,200916 0,142386 0,097848 0,065288 0,042350 8 0,465854 0,371163 0,286696 0,214870 0,156400 0,110674 0,076217 9 0,562726 0,467896 0,378108 0,297070 0,227056 0,168949 0,122483 10 0,649515 0,559507 0,469613 0,384039 0,306066 0,237817 0,180260 11 0,724291 0,642482 0,556737 0,471081 0,389182 0,313964 0,247406 12 0,786691 0,714943 0,636357 0,554320 0,472356 0,393697 0,320971 13 0,837394 0,776328 0,706675 0,630959 0,552188 0,473476 0,397702 14 0,877675 0,827008 0,767007 0,699292 0,626156 0,550289 0,474471 15 0,909064 0,867938 0,817503 0,758564 0,692647 0,621845 0,548583 16 0,933118 0,900368 0,858869 0,808764 0,750870 0,686626 0,617948 17 0,951284 0,925636 0,892124 0,850403 0,800696 0,743822 0,681136 18 0,964826 0,945036 0,918419 0,884309 0,842481 0,793219 0,737334 19 0,974807 0,959737 0,938906 0,911472 0,876896 0,835051 0,786266 20 0,982088 0,970747 0,954659 0,932914 0,904790 0,869859 0,828067


412


( ) ( ) ( )22

0

22

2

2

2

22

22

1 χχχχ

den

Fjx n

n

−−

⋅⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛Γ

= ∫

hi n 9 10 11 12 13 14 15 kvadrat 21 0,987350 0,978906 0,966629 0,949620 0,927071 0,898367 0,863171 22 0,991121 0,984895 0,975627 0,962480 0,944638 0,921386 0,892196 23 0,993804 0,989253 0,982325 0,972274 0,958324 0,939730 0,915860 24 0,995699 0,992400 0,987267 0,979659 0,968870 0,954178 0,934907 25 0,997029 0,994654 0,990883 0,985177 0,976916 0,965433 0,950057 26 0,997957 0,996260 0,993510 0,989266 0,982999 0,974113 0,961977 27 0,998601 0,997396 0,995405 0,992273 0,987559 0,980746 0,971264 28 0,999046 0,998195 0,996763 0,994468 0,990950 0,985772 0,978431 29 0,999352 0,998754 0,997730 0,996060 0,993454 0,989550 0,983915 30 0,999561 0,999143 0,998415 0,997208 0,995290 0,992368 0,988079 31 0,999704 0,999413 0,998898 0,998030 0,996628 0,994456 0,991215 32 0,999801 0,999600 0,999237 0,998616 0,997598 0,995994 0,993562 33 0,999866 0,999728 0,999474 0,999032 0,998296 0,997119 0,995306 34 0,999911 0,999815 0,999638 0,999325 0,998796 0,997938 0,996595 35 0,999940 0,999875 0,999752 0,999532 0,999153 0,998530 0,997541 36 0,999960 0,999916 0,999831 0,999676 0,999407 0,998957 0,998232 37 0,999974 0,999943 0,999885 0,999777 0,999586 0,999262 0,998734 38 0,999983 0,999962 0,999922 0,999846 0,999712 0,999480 0,999098 39 0,999988 0,999975 0,999947 0,999895 0,999800 0,999635 0,999359 40 0,999992 0,999983 0,999964 0,999928 0,999862 0,999745 0,999547 41 0,999995 0,999989 0,999976 0,999951 0,999905 0,999822 0,999680 42 0,999997 0,999993 0,999984 0,999967 0,999935 0,999876 0,999775 43 0,999998 0,999995 0,999989 0,999977 0,999955 0,999914 0,999843 44 0,999999 0,999997 0,999993 0,999985 0,999969 0,999941 0,999890 45 0,999999 0,999998 0,999995 0,999990 0,999979 0,999959 0,999923 46 0,999999 0,999999 0,999997 0,999993 0,999986 0,999972 0,999947 47 1,000000 0,999999 0,999998 0,999995 0,999990 0,999981 0,999963 48 1,000000 0,999999 0,999999 0,999997 0,999993 0,999987 0,999975 49 1,000000 1,000000 0,999999 0,999998 0,999996 0,999991 0,999982 50 1,000000 1,000000 0,999999 0,999999 0,999997 0,999994 0,999988


413


( ) ( ) ( )22

0

22

2

2

2

22

22

1 χχχχ

den

Fjx n

n

−−

⋅⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛Γ

= ∫

hi n 16 17 18 19 20 21 22 23 kvadrat 0,001 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,01 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,05 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,1 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,2 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,3 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,4 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,5 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,6 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,7 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,8 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,9 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 1 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 2 0,000010 0,000003 0,000001 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 3 0,000170 0,000070 0,000028 0,000011 0,000004 0,000002 0,000001 0,000000 4 0,001097 0,000517 0,000237 0,000106 0,000046 0,000020 0,000008 0,000003 5 0,004247 0,002229 0,001140 0,000569 0,000277 0,000132 0,000062 0,000028 6 0,011905 0,006814 0,003803 0,002072 0,001102 0,000574 0,000292 0,000146 7 0,026739 0,016451 0,009874 0,005787 0,003315 0,001858 0,001019 0,000548 8 0,051134 0,033453 0,021363 0,013329 0,008132 0,004856 0,002840 0,001628 9 0,086586 0,059738 0,040257 0,026521 0,017093 0,010786 0,006669 0,004043 10 0,133372 0,096390 0,068094 0,047054 0,031828 0,021088 0,013695 0,008723 11 0,190515 0,143436 0,105643 0,076162 0,053777 0,037213 0,025251 0,016812 12 0,256020 0,199863 0,152763 0,114375 0,083924 0,060382 0,042621 0,029529 13 0,327242 0,263814 0,208427 0,161429 0,122616 0,091376 0,066839 0,048010 14 0,401286 0,332898 0,270909 0,216309 0,169504 0,130401 0,098521 0,073129 15 0,475361 0,404518 0,338033 0,277403 0,223592 0,177048 0,137762 0,105366 16 0,547039 0,476165 0,407453 0,342722 0,283376 0,230349 0,184114 0,144731 17 0,614403 0,545634 0,476895 0,410132 0,347026 0,288894 0,236638 0,190748 18 0,676103 0,611159 0,544347 0,477562 0,412592 0,350996 0,294012 0,242511 19 0,731337 0,671468 0,608177 0,543164 0,478174 0,414860 0,354672 0,298775 20 0,779779 0,725771 0,667180 0,605422 0,542070 0,478739 0,416960 0,358088


414


( ) ( ) ( )22

0

22

2

2

2

22

22

1 χχχχ

den

Fjx n

n

−−

⋅⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛Γ

= ∫

hi n 16 17 18 19 20 21 22 23 kvadrat 21 0,821489 0,773710 0,720587 0,663199 0,602867 0,541056 0,479262 0,418912 22 0,856808 0,815281 0,768015 0,715744 0,659489 0,600490 0,540111 0,479748 23 0,886265 0,850749 0,809410 0,762658 0,711205 0,656022 0,598270 0,539229 24 0,910496 0,880565 0,844972 0,803848 0,757608 0,706941 0,652771 0,596192 25 0,930175 0,905290 0,875084 0,839458 0,798569 0,752836 0,702925 0,649715 26 0,945972 0,925539 0,900242 0,869811 0,834188 0,793551 0,748318 0,699134 27 0,958517 0,941932 0,921005 0,895347 0,864736 0,829147 0,788774 0,744032 28 0,968380 0,955062 0,937945 0,916571 0,890601 0,859849 0,824319 0,784218 29 0,976064 0,965474 0,951621 0,934015 0,912241 0,885998 0,855139 0,819690 30 0,981998 0,973655 0,962554 0,948202 0,930146 0,908012 0,881536 0,850598 31 0,986544 0,980028 0,971213 0,959627 0,944810 0,926342 0,903884 0,877207 32 0,990000 0,984952 0,978013 0,968745 0,956702 0,941450 0,922604 0,899857 33 0,992610 0,988728 0,983310 0,975960 0,966259 0,953783 0,938126 0,918933 34 0,994567 0,991604 0,987404 0,981622 0,973875 0,963761 0,950876 0,934842 35 0,996026 0,993779 0,990548 0,986033 0,979896 0,971765 0,961255 0,947984 36 0,997107 0,995413 0,992944 0,989444 0,984619 0,978135 0,969634 0,958747 37 0,997903 0,996635 0,994759 0,992065 0,988298 0,983166 0,976344 0,967487 38 0,998487 0,997542 0,996127 0,994065 0,991144 0,987111 0,981678 0,974528 39 0,998912 0,998213 0,997150 0,995583 0,993333 0,990185 0,985888 0,980159 40 0,999221 0,998706 0,997913 0,996728 0,995005 0,992563 0,989188 0,984631 41 0,999445 0,999067 0,998478 0,997587 0,996275 0,994393 0,991759 0,988158 42 0,999605 0,999329 0,998894 0,998228 0,997234 0,995792 0,993749 0,990922 43 0,999721 0,999520 0,999200 0,998704 0,997956 0,996857 0,995281 0,993074 44 0,999803 0,999657 0,999423 0,999056 0,998495 0,997662 0,996453 0,994741 45 0,999861 0,999756 0,999586 0,999315 0,998897 0,998268 0,997346 0,996025 46 0,999903 0,999827 0,999703 0,999504 0,999194 0,998722 0,998022 0,997009 47 0,999932 0,999878 0,999788 0,999643 0,999413 0,999061 0,998532 0,997758 48 0,999953 0,999914 0,999849 0,999743 0,999575 0,999312 0,998915 0,998327 49 0,999967 0,999940 0,999893 0,999816 0,999693 0,999498 0,999201 0,998756 50 0,999977 0,999958 0,999925 0,999869 0,999779 0,999635 0,999414 0,999079


415


( ) ( ) ( )22

0

22

2

2

2

22

22

1 χχχχ

den

Fjx n

n

−−

⋅⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛Γ

= ∫

hi n 24 25 26 27 28 29 30 kvadrat 0,001 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,01 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,05 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,1 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,2 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,3 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,4 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,5 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,6 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,7 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,8 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,9 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 1 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 2 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 3 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 4 0,000001 0,000001 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 5 0,000013 0,000006 0,000002 0,000001 0,000000 0,000000 0,000000 6 0,000071 0,000034 0,000016 0,000007 0,000003 0,000002 0,000001 7 0,000289 0,000150 0,000076 0,000038 0,000019 0,000009 0,000004 8 0,000915 0,000505 0,000274 0,000146 0,000076 0,000039 0,000020 9 0,002404 0,001404 0,000805 0,000454 0,000252 0,000137 0,000074 10 0,005453 0,003347 0,002019 0,001197 0,000698 0,000401 0,000226 11 0,010988 0,007054 0,004451 0,002761 0,001685 0,001012 0,000599 12 0,020092 0,013432 0,008827 0,005706 0,003628 0,002271 0,001400 13 0,033880 0,023499 0,016027 0,010753 0,007100 0,004616 0,002956 14 0,053350 0,038268 0,027000 0,018745 0,012811 0,008623 0,005717 15 0,079241 0,058617 0,042666 0,030568 0,021565 0,014985 0,010260 16 0,111924 0,085171 0,063797 0,047053 0,034181 0,024464 0,017257 17 0,151338 0,118206 0,090917 0,068878 0,051411 0,037819 0,027425 18 0,196992 0,157609 0,124227 0,096480 0,073851 0,055728 0,041466 19 0,248010 0,202879 0,163570 0,129999 0,101864 0,078712 0,059992 20 0,303224 0,253175 0,208443 0,169244 0,135536 0,107073 0,083458


416


( ) ( ) ( )22

0

22

2

2

2

22

22

1 χχχχ

den

Fjx n

n

−−

⋅⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛Γ

= ∫

hi n 24 25 26 27 28 29 30 kvadrat 21 0,361275 0,307390 0,258036 0,213712 0,174651 0,140851 0,112112 22 0,420733 0,364256 0,311303 0,262623 0,218709 0,179811 0,145956 23 0,480202 0,422437 0,367053 0,314988 0,266960 0,223457 0,184740 24 0,538403 0,480626 0,424035 0,369684 0,318464 0,271068 0,227975 25 0,594239 0,537626 0,481025 0,425538 0,372165 0,321752 0,274968 26 0,646835 0,592401 0,536895 0,481399 0,426955 0,374509 0,324868 27 0,695547 0,644115 0,590667 0,536205 0,481753 0,428295 0,376729 28 0,739960 0,692147 0,641542 0,589026 0,535552 0,482087 0,429563 29 0,779869 0,736084 0,688918 0,639101 0,587472 0,534934 0,482403 30 0,815248 0,775711 0,732389 0,685846 0,636782 0,585996 0,534346 31 0,846217 0,810981 0,771731 0,728861 0,682919 0,634576 0,584593 32 0,873007 0,841988 0,806878 0,767916 0,725489 0,680127 0,632473 33 0,895927 0,868932 0,837902 0,802930 0,764256 0,722261 0,677458 34 0,915331 0,892092 0,864976 0,833953 0,799127 0,760740 0,719167 35 0,931599 0,911797 0,888351 0,861134 0,830133 0,795460 0,757360 36 0,945113 0,928400 0,908331 0,884701 0,857402 0,826436 0,791923 37 0,956240 0,942263 0,925246 0,904933 0,881139 0,853776 0,822856 38 0,965327 0,953739 0,939439 0,922138 0,901601 0,877664 0,850250 39 0,972691 0,963160 0,951245 0,936641 0,919077 0,898336 0,874271 40 0,978613 0,970836 0,960988 0,948763 0,933872 0,916063 0,895136 41 0,983343 0,977043 0,968966 0,958814 0,946294 0,931134 0,913096 42 0,987095 0,982027 0,975451 0,967085 0,956641 0,943841 0,928426 43 0,990053 0,986003 0,980686 0,973841 0,965195 0,954471 0,941404 44 0,992370 0,989155 0,984884 0,979322 0,972215 0,963298 0,952307 45 0,994175 0,991638 0,988229 0,983739 0,977938 0,970576 0,961398 46 0,995573 0,993582 0,990878 0,987277 0,982572 0,976535 0,968926 47 0,996650 0,995097 0,992964 0,990093 0,986301 0,981383 0,975116 48 0,997476 0,996270 0,994598 0,992322 0,989284 0,985302 0,980175 49 0,998106 0,997175 0,995870 0,994076 0,991656 0,988452 0,984282 50 0,998584 0,997869 0,996856 0,995449 0,993533 0,990968 0,987598


417

TABLICA ZA PRERAČUNAVANJE VRIJEDNOSTI r U Z

.00 .01 .02 .03 .04 .05 .06 .07 .08 .09

.0000 .0100 .0200 .0300 .0400 .0500 .0599 .0699 .0798 .0898

.0997 .1096 .1194 .1293 .1391 .1489 .1586 .1684 .1781 .1877

.1974 .2070 .2165 .2260 .2355 .2449 .2543 .2636 .2729 .2821

.2913 .3004 .3095 .3185 .3275 .3364 .3452 .3540 .3627 .3714

.3800 .3885 .3969 .4053 .4136 .4219 .4301 .4382 .4462 .4542

.4621 .4699 .4777 .4854 .4930 .5005 .5080 .5154 .5227 .5299

.5370 .5441 .5511 .5580 .5649 .5717 .5784 .5850 .5915 .5980

.6044 .6107 .6169 .6231 .6291 .6351 .6411 .6469 .6527 .6584

.6640 .6696 .6751 .6805 .6858 .6911 .6963 .7014 .7064 .7114

.7163 .7211 .7259 .7306 .7352 .7398 .7443 .7487 .7531 .7574

.7616 .7658 .7699 .7739 .7779 .7818 .7857 .7895 .7932 .7969

.8005 .8041 .8076 .8110 .8144 .8178 .8210 .8243 .8275 .8306

.8337 .8367 .8397 .8426 .8455 .8483 .8511 .8538 .8565 .8591

.8617 .8643 .8668 .8692 .8717 .8741 .8764 .8787 .8810 .8832

.8854 .8875 .8896 .8917 .8937 .8957 .8977 .8996 .9015 .9033

.9051 .9069 .9087 .9104 .9121 .9138 .9154 .9170 .9186 .9201

.9217 .9232 .9246 .9261 .9275 .9289 .9302 .9316 .9329 .9341

.9354 .9366 .9379 .9391 .9402 .9414 .9425 .9436 .9447 .9458 .94681 .94783 .94884 .94983 .95080 .95175 .95268 .95359 .95449 .95537 .95624 .95709 .95792 .95873 .95953 .96032 .96109 .96185 .96259 .96331

.96403 .96473 .96541 .96609 .96675 .96739 .96803 .96865 .96926 .96986 .97045 .97103 .97159 .97215 .97269 .97323 .97375 .97426 .97477 .97526 .97574 .97622 .97668 .97714 .97759 .97803 .97846 .97888 .97929 .97970 .98010 .98049 .98087 .98124 .98161 .98197 .98233 .98267 .98301 .98335 .98367 .98399 .98431 .98462 .98492 .98522 .98551 .98579 .98607 .98635

.98661 .98688 .98714 .98739 .98764 .98788 .98812 .98835 .98858 .98881 .98903 .98924 .98945 .98966 .98987 .99007 .99026 .99045 .99064 .99083 .99101 .99118 .99136 .99153 .99170 .99186 .99202 .99218 .99233 .99248 .99263 .99278 .99292 .99306 .99320 .99333 .99346 .99359 .99372 .99384 .99396 .99408 .99420 .99431 .99443 .99454 .99464 .99475 .99485 .99495


418

KRITIČNE VRIJEDNOSTI KOEFICIJENTA KORELACIJE RANGA

N α=.05 α=.025 α=.01 α=.005 5 .900 - - - 6 .829 .886 .943 - 7 .714 .786 .893 - 8 .643 .738 .833 .881 9 .600 .683 .783 .833 10 .564 .648 .745 .794 11 .523 .623 .736 .818 12 .497 .591 .703 .780 13 .475 .566 .673 .745 14 .457 .545 .646 .716 15 .441 .525 .623 .689 16 .425 .507 .601 .666 17 .412 .490 .582 .645 18 .399 .476 .564 .625 19 .388 .462 .549 .608 20 .377 .450 .534 .591 21 .368 .438 .521 .576 22 .359 .428 .508 .562 23 .351 .418 .496 .549 24 .343 .409 .485 .537 25 .336 .400 .475 .526 26 .329 .392 .465 .515 27 .323 .385 .456 .505 28 .317 .377 .448 .496 29 .311 .370 .440 .487 30 .305 .364 .432 .478


419

TABLICA SLUČAJNIH BROJEVA

3001 8355 9205 6697 4595 9697 0706 8227 1136 8246 9473 6108 9117 5830 4537 4751 8580 5743 5007 6444 6963 0432 0076 9115 9259 5016 4198 0376 7787 2046 8342 5043 6786 3299 1119 4115 9673 6024 5855 0568 4062 0666 2925 3774 5794 3128 5756 3060 9747 5394 2402 3246 5764 0422 1550 7126 0805 7872 7955 7368 9473 3504 2094 5064 0753 6549 5884 1195 5972 1095 8516 3538 6007 4280 6181 5260 3026 4061 1580 2277 3186 5133 5773 0729 5116 2619 6113 0051 5066 5739 0525 2038 0637 4275 1088 5600 0995 3406 1411 2834 3341 4952 1288 2877 4712 9840 6131 1133 1786 9245 6895 9376 5241 3465 7251 7685 0514 9725 2578 1334 3557 7165 7784 8468 3795 0164 2499 3570 4828 7572 4297 4772 7275 0366 5448 4720 7674 3787 9281 9160 6373 0834 1885 5376 0705 5847 1725 8179 0832 8071 7700 0502 0711 1424 0122 2189 7183 2806 7421 3844 5743 8741 1328 2931 4484 4482 4122 1049 1816 8188 8926 4106 3650 4881 2049 6042 4718 7217 5771 3152 4569 6656 9084 7463 8533 9657 2237 7650 3798 6540 9173 2989 0417 9953 0048 7493 8738 6316 0702 9271 6618 7541 3900 9669 0403 1117 7203 1635 9933 4803 9697 9530 9910 7212 5063 8878 3280 6504 6292 8769 0330 6386 6535 0213 2662 6846 0466 1707 5310 0519 9070 9012 3515 4925 3091 6442 7293 5808 5851 1078 3275 5586 4856 8061 3190 5099 6930 7409 1297 9780 9343 8878 4763 7570 7150 1132 2250 5467 7467 2385 1924 5834 7124 1885 5642 9466 7689 5680 7619 8310 0746 1305 4116 2400 4162 0417 2941 8326 2647 3491 1824 3057 3701 9689 5820 2852 3468 6868 2476 1156 1575 2668 8053 0601 7581 1608 7541 2638 4400 6649 3862 4565 3971 8026 4639 8889 8516 8660 5781 3907 7421 9702 4687 8215 9527 7311 6509 8244 7749 0417 7069 2988 3412 5481 7639 6567 6955 3739 8231 8727 2775 1224 3894 1921 6871 1520 7049 7150 8738 4703 3296 2225 9400 6555 2264 4956 9054 7422 4283 8790 6025 7931 6902 1536 8015 8926 1975 5056 2718 9546 9739 8374 1891 6476 4701 9780 2303 8626 4991 1300 8466 4135 7597 8609 7431 8103 7666 1093 0476 7149 9984 4358 4438 1478 3129 6433 9058 5363 9911 1529 6450 2886 4699 6275 0042 0676 0230 0420 9552 4638 7129 7702 7359 7449 1429 1000 2352 7894 7997 7663 5947 5394 5316 2310 9293 5102 8909 9867 6287 0010 2363 4935 7258 5973 9900 2282 8791 7126 9799 9784 6006 0051 0381 8410 3488 7160 3956 8114 6494 9800 8645 9767 6445 1830 0828 0852 4869 3396 6083 6329 8407 2131 8437 8300 2525 8294 9195 4573 5434 3682 7711 7166 1280 1465 1395 8429 3271 3126 6183 3966 1694 3673 6621 6548 4627 0846 2294 7174 2324 5970 4498 0656 7114 1336 4280 5321 2785 6329 2946 2553


420

TABLICA SLUČAJNIH BROJEVA

9593 4691 3021 2941 0517 2597 5539 6264 6029 0811 9405 6737 9593 4283 9588 0308 9328 2623 1427 4498 0611 8322 6759 1493 9326 4990 8384 1533 4569 0469 0365 9614 7147 5243 9323 1713 5540 1456 1150 8638 7645 3735 1408 1408 0491 4285 2318 7591 9804 0463 8537 4646 3700 7511 0400 3586 1437 5555 6768 2269 0031 6216 8644 1732 7983 6856 4449 1560 8861 9046 5105 4175 8308 9196 3723 9097 1303 9512 2733 4946 0054 1282 1792 6102 5241 2882 3939 0721 5664 6563 4265 5997 7600 0749 0866 3302 7012 7611 5782 8309 2254 3732 3499 7731 4478 5292 0331 8461 4890 6318 7926 7549 7530 0776 3331 2675 0421 5790 0149 4414 7018 9554 2406 4296 7991 0598 4748 1054 9347 3533 3016 8349 5560 2782 0353 5230 4748 4060 3034 7728 0399 3924 1953 3874 6041 0253 1652 6293 7078 9084 9632 3227 3356 9944 0304 3224 7683 4319 8252 7964 3836 3932 3724 1156 9434 1164 1526 7176 1219 8915 8054 2795 3061 0583 5893 9339 2379 3759 4495 0456 3804 6166 8961 9608 0323 9147 8374 1843 3732 4796 4674 0876 2555 6286 9480 1778 9613 4932 6650 9291 6983 5798 7914 6952 4223 0333 3316 8150 9659 0530 3623 2057 6091 4994 5158 5259 1902 8044 8054 2418 6704 5016 2696 7332 9727 1227 0811 3065 1151 0625 5960 7194 2176 8928 5177 8863 4669 0763 3989 2633 7567 4035 0372 9202 0482 8199 1189 0536 3116 3620 0752 2820 7537 0218 6297 3138 2669 9156 6286 3609 5885 5911 1769 6374 2290 3808 5374 6513 6952 0006 4661 7016 5555 7742 6502 9437 9880 6044 5684 0763 2566 3305 5189 2872 2489 2744 4502 3585 0632 0895 1376 0397 4173 7981 5332 5433 8995 7950 0142 7955 5066 1465 3740 6924 9174 2121 7008 9692 7509 0113 1835 2661 0667 9296 3504 9059 3036 8204 0257 9035 7900 5300 5317 5057 0162 9678 6663 0127 9511 6747 5712 2016 2165 2254 1856 5623 0391 8625 9976 6790 2955 9350 5122 6033 9429 1586 6933 6451 7342 2414 7226 3379 9962 5595 1212 4274 4085 1642 9955 5736 0486 8859 3170 2588 2855 0557 4495 4491 1890 9738 5354 3066 4225 7105 1333 4284 2346 0886 1507 6830 1799 6956 5533 4558 2802 4679 8832 6145 1253 5423 3757 1727 0774 0512 1048 3701 7755 2239 7625 4030 0077 9554 1427 6201 8818 2842 3469 5126 6728 9413 9154 1949 0912 3163 0047 9824 1921 1281 2139 4285 2915 8461 0963 1893 9317 2205 5654 4004 8644 3471 7418 6588 0682 8626 0508 7371 8215 7874 6496 8820 3195 9252 3971 2797 1852 7120 9628 2785 5901 0441 3585 2145 2823 0976 2612 7399 4840 4528 8926 2870 2101 9550 7176 8235 0672 4057 6162 4508 2103 0382 9373 3755 6695 3569 9841 2122 1886 3033 5217 3717 8871 5282 7493 0426 1814 9650 7320 2793 2695 6989 0057 9468 1408 5899 0881 5580 2046 7164 4491 8969 4426 4094 8906 8895 5620 6568 2601 5847 8299 0403

Prilog 2. Prijevodi termina iz Excela

421

PRILOG 2

PRIJEVODI TERMINA IZ EXCELA

Descriptive Statistics Deskriptivna statistika Mean Aritmetička sredina Standard Error Standardna greška Median Medijana Mode Mod Standard Deviation Standardna devijacija Sample Variance Varijansa Kurtosis Zaobljenost Skewness Asimetričnost Range Raspon podataka Minimum Minimum Maximum Maksimum Sum Zbir podataka Count Broj podataka

REGRESSION STATISTICS

REGRESIONA STATISTIKA

Multiple R Koeficijent multiple korelacije

R Square Koeficijent determinacije Adjusted R Square Korigovani koeficijent

determinacije Standard Error Standardna greška Observations Broj podataka


422

ANOVA

df SS MS F Significance F Regression Residual Total

ANALIZA VARIJANSE

Broj stepeni slobode df

Zbir kvadrata

odstupanja Varijansa F test

Nivo značajnosti F

testa Regresija Rezidual Ukupno

COEFFICIENTS STANDARD ERROR T STAT

Intercept X Variable 1

OCJENA

KOEFICIJENATASTANDARDNA

GREŠKA T TEST Slobodni član Parametar uz varijabluX

OBSERVATION PREDICTED Y RESIDUALS

Podaci Ocijeneno Y Reziduali ili

slučajna odstupanja

423

LITERATURA

Anderson D.R., Sweeney D.J., Willams T.A. : Statistiques pour l’économie et la gestion, De Boeck Université, Paris-Bruxelles, 2001.g.

Berenson M.L., Levine D.M., Krehbiel T.C.: Basic business statistics, Pearson Education International, New Yersey, 2004.g.

Bosnia and Herzegovina: Poverty Assessment, Volume II: Data on Poverty, Report No.25343-BiH, Document of the World Bank, 2003.g.

Chauvat G., Reau J.P.: Statistiques descriptives, Armand Colin/HER, Paris, 2001.g.

Comte M.; Gaden J.:Statistiques et probabilité, Presses Universitaires de France, Paris, 2000. g.

Dacić R. : Osnovi statistike, Štamparija Fojnica, Fojnica, 2001.g.

Droesbeke J.J.: Eléments de Statistiques, Editions de l’Universié de Bruxelles, Bruxelles; Ellipses, Paris, 1997. g.

Giard V.: Statistique Descriptive pour les Gestionnaires, Economica, 1995. g.

Goldfarb B., Pardoux C.: Introduction à la méthodes statistique, Dunod, Paris, 1993. g.

Grais, B.: Statistique descriptive, Dunod, Paris, 1986. g.

Lučić B. : Statistika, Ekonomski fakultet, Sarajevo, 1996. g.

Py B.: Statistique descriptive: nouvelle méthode pour bien comprendre et réussir, Economica, Paris 1990. g.

Roger P.:Statistique pour la gestion, EMS, Paris, 2000. g.

Schlacther, D.: De l’analise à la prévision, Ellipses, Paris, 1986.

Somun-Kapetanović R.: Deskriptivna statistika, Ekonomski fakultet, Sarajevo, 2003.g.

Šošić I. :Primijenjena statistika, Školska knjiga, Zagreb, 2004.g.

Šošić I., Serdar V. : Uvod u statistiku, Školska knjiga, Zagreb, 2002. g.

424

Statistički bilten br.1. 2003.g., Agencija za Statistiku Bosne i Hercegovine, Sarajevo, 2003.g.

Statistički godišnjak/ljetopis Federacije Bosne i Hercegovine, 1999-2005. Federalni zavod za Statistiku, Sarajevo.

Tableaux de l’économie française, 1995/1996 - 2003/2004. g., INSEE ; Paris.

Tenenhaus M.:Methodes statistiques en gestion, Dunod, Paris, 1994.g.

Tribout B.: Support de cours de Statistique, premiere partie, Université Robert Schuman, Strasbourg, 1998. g.

Tribout B.: Support de cours de Statistique, Chapitres I,II,III,IV, Université Robert Schuman, Strasbourg, 1998. g.

Žižić M., Lovrić M., Pavličić D.: Metodi statističke analize, Ekonomski fakultet, Beograd, 2001.g.

Wonnacott T.H., Wonnacott R.J.: Statistique, Economica, Paris, 1995. g.

Documents

Statistika u ekonomiji i menadžmentu