Statistique Biosciences Licence 1 - Accueil · Indications sur le Cours Bref historique Premi eres notions Moyenne, Variance, Ecart-type Mode, M ediane, Quartiles Reprsentations Graphiques

Indications sur le CoursBref historique

Premieres notionsMoyenne, Variance, Ecart-type

Mode, Mediane, QuartilesReprsentations Graphiques

StatistiqueBiosciences Licence 1

Richard Emilion

February 14, 2012

Richard Emilion Statistique Biosciences Licence 1




2 / 36

Indications sur le Cours

Chapitre I : Statistique Descriptive Univariee





2 / 36







2 / 36







HorairesContenu du CoursChapitre I : Statistique descriptive univariee

Indications sur le Cours 3 / 36






Horaires 4 / 36

4 cours de 2h

Mardi 24/01, 14/02, 06/03, 13/03, 15h45-17h45 (Orleans)

Jeudi 26/01, 16/02, 08/03, 15/03, 15h30-17h30 (Chartres)

[email protected]://www.univ-orleans.fr/mapmo/membres/emilion

4 seances de TD de 2h






Contenu du Cours 5 / 36

Chapitre I : Statistique descriptive univariee

Chapitre II : Regression lineaire simple

Chapitre III : Test de Student

































Chapitre I : Statistique descriptive univariee 6 / 36





Bref Historique 7 / 36

Status (latin), Stato (Italien) : Etat → Statistique

Statista (1500), Statistica (1633)

Statistik (1746), Statistics (1798), Statistique (1868)

John Graunt (1620 - 1674) : tables de naissance/mortalite,estimation de la population d’une ville

A l’origine : Statistique ←→ Demographie

Biologie ←→ Statistique

Sir R.A. Fisher : Biologie, Genetique, Statistique

Interaction : biostatistique, biotechnologies, bioinformatique

Biologie ←→ Statistique ←→ Informatique





















































































































Population, Individus, Unite, EchantillonObjectifEchantillonnageTable de nombres au hasard 12 / 36Caractere, Domaine, ModalitesTypologie des VariablesObservations, Notation : xi , DistributionEffectif, Notation : (xi ,Ni )

Premieres notions 8 / 36






Population, Individus, Unite, Echantillon 9 / 36

Ensemble que l’on veut etudier : Population, Ω

Exemples : Ω = baleines, Ω = cellules du foie, Ω = Sangde Claude ...

Element ω de Ω : individu ou unite statistique

Ex : ω = une baleine, ω = une cellule, ω = une ’goutte’

Echantillon de Ω : sous-ensemble fini de Ω : ω1, . . . , ωN

Exemples : 30 baleines, 100 cellules, 1000 ’gouttes’

Taille N de l’Echantillon : nombre d’elements del’echantillon.Ex : N = 30, 100, 1000.

Echantillonnage : techniques de choix judicieux et realiste del’echantillon


























































































Objectif 10 / 36

Objectif : A partir de l’echantillon observe, inferer (deduire)des proprietes sur Ω

Interets pratiques : decrire, controler, predire, apporterune aide a la decision






Objectif 10 / 36

Objectif : A partir de l’echantillon observe, inferer (deduire)des proprietes sur Ω

Interets pratiques : decrire, controler, predire, apporterune aide a la decision






Echantillonnage, Strates 11 / 36

L’echantillonnage peut etre

Probabiliste : toute unite a une chance d’etre choisie

Non probabiliste : choix arbitraire des sondes

Stratifie : Ω est partitionne en strates (groupes) homogenesdisjoints, selection dans chaque strate d’un petit echantilllon.Exemple : strates d’ages, de profession, ...
































Table de nombres au hasard

Figure: Parcourir dans un sens choisi





Caractere, Domaine, Modalites 13 / 36

Caractere ou Variable X : Application de Ω dans unensemble connu V appele Domaine.Les elements de V sont appeles Modalites

Caractere, Variable, Descripteur

Exemple : Ω = baleines, X : Ω −→ [0,+∞[X (ω) : poids de la baleine ω. Donc ici V = [0,+∞[.

Exemple : Ω = cellules, X : Ω −→ V = cancereuse, noncancereuse














































Typologie des Variables 14 / 36

Caractere Quantitatif : on peut faire des operationsarithmetiques sur V . En general V = N,Z,R,R2, ...

Exemples : Poids, Taille, Duree

Quantitatif discret : V est denombrable. Ex : X (ω) =Nombre de feuilles de ω.

Quantitatif continu : V non denombrable. Ex : Temps dereaction.

Caractere Qualitatif : type, couleur, profession

Qualitatif ordinal. Ex. V = Blanc, Gris, Noir peut etreordonne

Qualitatif nominal. Ex. V = Homme, Femme

































































Qualitatif nominal. Ex. V = Homme, FemmeRichard Emilion Statistique Biosciences Licence 1





























Observations, Notation : xi 15 / 36

Si l’echantillon a N elements : ω1, . . . , ωN

on note x1 l’observation X (ω1), . . . , xN l’observation X (ωN).

Exemple : N = 30 baleines, X : Poids en Kgxi =167.446, 153.526, 150.396, 167.047 163.550 155.365,163.267, 159.660, 165.748, 165.574, 159.962, 160.164,151.824, 165.327, 157.652, 162.033, 166.092, 160.608,162.841, 167.416, 167.685, 167.041, 153.067, 150.644,157.343, 157.836, 156.868, 163.500, 154.077, 161.737.

On dit aussi qu’on a observe une distribution de N nombres.




































Effectif, Notation : (xi ,Ni) 16 / 36

Pour simplifier l’affichage, si une donnee (une observation) xi serepete Ni fois on affiche simplement (xi ,Ni ).Exemple : xi = 5, 3, 4, 3, 7, 5, 4, 3, 9, 7, 3, 4 , 5 , 7, 4, 8, 4, 9se notera (xi ,Ni ) = (3,4), (4,5), (5,3), (7,3), (8,1), (9,2).Ces dernieres valeurs sont distinctes.Ni s’appelle l’effectif de la valeur xiIci la taille de l’echantillon est N = 18. Noter que la somme deseffectifs 4 + 5 + 3 + 3 + 1 + 2 vaut 18, la taille de l’echantillon.De maniere generale, on a ∑

i

Ni = N





MoyenneProprietes de la MoyenneVariance avec biaisVariance : DemonstrationVariance sans biaisEcart-typeErreur standard, coefficient de variationGraphique moyenne, Erreur-StandardExemple de calcul

Moyenne, Variance, Ecart-type 17 / 36






Moyenne 18 / 36

Variable quantitative. On appelle moyenne m de l’echantillonobserve la moyenne arithmetique des observations:

m = x1+...+xNN

Si les observations distinctes sont exprimees avec des effectifs, enremarquant que 5+5+5 = 3x5, on a

x1 + . . .+ xN =∑i

Nixi

et donc

m =∑

i NixiN






Proprietes de la Moyenne 19 / 36

la moyenne resume la distribution de N nombres en un seulnombre

on peut montrer que c’est le meilleur, en un certain sens,resume

la moyenne indique une tendance generale de la distribution.

Quand N est assez grand, on montre que la moyenne m estune ’bonne’ estimation (approximation) de la moyenneinconnue, notee µ, de la population Ω

x − x est de moyenne nulle : on a centre x







































Variance avec biais 20 / 36

Variance, var : moyenne des carres des ecarts entre observationset m. var ≥ 0, On pose s =

√var , soit var = s2. Donc s ≥ 0 et

s2 =(x1 −m)2 + . . .+ (xN −m)2

N.

On va montrer que

s2 =x2

1 +...+x2N

N −m2

s2 = moyenne des carres moins carre de la moyenne.Si les observations distinctes sont exprimees avec des effectifs, on a

s2 =∑

i Nix2i

N −m2






Variance : Demonstration 21 / 36

On part de (xi −m)2 = x2i − 2xim + m2 On a∑

i

(xi −m)2 =∑i

x2i − 2m

∑i

xi +∑i

m2

=∑i

x2i − 2mNm + Nm2 car

∑i

xi = Nm

=∑i

x2i − Nm2

en divisant les deux membres par N on obtient donc

s2 =x2

1 + . . .+ x2N

N−m2






Variance sans biais 22 / 36

si les observations sont en metres, variance : en metres carres

variance petite : distribution concentree autour de m

variance grande : distribution dispersee par rapport a m

s2 : estimation de la variance inconnue de la population,s’ecarte de celle-ci : estimation avec biais.

On pose σ =√

NN−1s soit σ2 = N

N−1s2

σ2 : estimation sans biais de la variance inconnue de lapopulation











On pose σ =√


N−1s2












On pose σ =√


N−1s2












On pose σ =√


N−1s2












On pose σ =√


N−1s2












On pose σ =√


N−1s2







Ecart-type 23 / 36

On appelle ecart-type le nombre

s =√var

s est dans la meme unite que les observations

s exprime une distance entre la distribution et la moyenne m

plus s est petit plus la distribution est concentree autour de lamoyenne m

σ est l’ecart-type correspondant a une variance sans biais.






Ecart-type 23 / 36


s =√var










Ecart-type 23 / 36


s =√var










Ecart-type 23 / 36


s =√var










Ecart-type 23 / 36


s =√var










Erreur standard, coefficient de variation 24 / 36

On appelle Erreur standard (e.s.) le nombres√N

ou dans le cas sans biaisσ√N

sm : Coefficient de Variation. Indicateur de turbulence enphysique, de volatilite en finance
























Graphique moyenne, Erreur-Standard 25 / 36

L’intervalle [m− s√N

,m + s√N

] centre en m : souvent choisi comme

intervalle qui contient la vraie moyenne µ de la population avecune grande confiance.

Figure: [m − s√n

,m + s√n

]Richard Emilion Statistique Biosciences Licence 1





Exemple de calcul 26 / 36

Temps de reaction (secondes) par ordre croissantΣ

xi 7 8 9 10 11

Ni 35 102 154 124 50 N = 465Nixi 245 816 1386 1240 550 4237Nix

2i 1715 6528 12474 12400 6050 39167

Nicum 35 137 291 415 465

m = 9,11, s2 = 1,205, s = 1,098.e.s. = s√

465= 0, 051





ModeMediane (1)Mediane (2)Mediane (3)Quartiles

Mode 27 / 36

Temps de reaction (secondes).Σ

xi 7 8 9 10 11

Ni 35 102 154 124 50 N = 465Nixi 245 816 1386 1240 550 4237Nix

2i 1715 6528 12474 12400 6050 39167

Ni cum 35 137 291 415 465

Mode = 9. Valeur pour laquelle l’effectif est le plus grand.Ici il n’y a qu’un seul mode. Distribution monomodale. Il se peutqu’il y ait deux modes : distribution bimodale, ou plusieurs modes: distribution multimodale.






Mediane, N impair 28 / 36

N = 11 longueurs de petales d’iris (Fisher)

xi = 5.1 1.7 5.1 1.5 4.4 4.4 5.4 5.6 6.1 1.5 4.1

Ranger par ordre croissant

x(1) = 1.5, x(2) = 1.5, x(3)= 1.7, x(4) = 4.1, x(5) = 4.4, x(6) =4.4, x(7) = 5.1, x(8) = 5.1, x(9) = 5.4, x(10) = 5.6, x(11) = 6.1

Mediane : valeur centrale, 50% de l’echantillon est audessous de cette valeur, 50% au dessus.

Dans ce cas-ci : Mediane = x(6) = 4.4. Il y a 6 observationsen dessous de cette valeur et 6 au dessus (en comptant lamediane).








xi = 5.1 1.7 5.1 1.5 4.4 4.4 5.4 5.6 6.1 1.5 4.1


x(1) = 1.5, x(2) = 1.5, x(3)= 1.7, x(4) = 4.1, x(5) = 4.4, x(6) =4.4, x(7) = 5.1, x(8) = 5.1, x(9) = 5.4, x(10) = 5.6, x(11) = 6.1










xi = 5.1 1.7 5.1 1.5 4.4 4.4 5.4 5.6 6.1 1.5 4.1


x(1) = 1.5, x(2) = 1.5, x(3)= 1.7, x(4) = 4.1, x(5) = 4.4, x(6) =4.4, x(7) = 5.1, x(8) = 5.1, x(9) = 5.4, x(10) = 5.6, x(11) = 6.1










xi = 5.1 1.7 5.1 1.5 4.4 4.4 5.4 5.6 6.1 1.5 4.1


x(1) = 1.5, x(2) = 1.5, x(3)= 1.7, x(4) = 4.1, x(5) = 4.4, x(6) =4.4, x(7) = 5.1, x(8) = 5.1, x(9) = 5.4, x(10) = 5.6, x(11) = 6.1










xi = 5.1 1.7 5.1 1.5 4.4 4.4 5.4 5.6 6.1 1.5 4.1


x(1) = 1.5, x(2) = 1.5, x(3)= 1.7, x(4) = 4.1, x(5) = 4.4, x(6) =4.4, x(7) = 5.1, x(8) = 5.1, x(9) = 5.4, x(10) = 5.6, x(11) = 6.1










xi = 5.1 1.7 5.1 1.5 4.4 4.4 5.4 5.6 6.1 1.5 4.1


x(1) = 1.5, x(2) = 1.5, x(3)= 1.7, x(4) = 4.1, x(5) = 4.4, x(6) =4.4, x(7) = 5.1, x(8) = 5.1, x(9) = 5.4, x(10) = 5.6, x(11) = 6.1








Mediane, N pair 29 / 36

N = 10 longueurs de petales d’iris

xi = 5.1 1.7 5.1 1.5 4.4 4.4 5.4 5.6 6.1 1.5


x(1) = 1.5, x(2) = 1.5, x(3)= 1.7, x(4) = 4.4, x(5) = 4.4, x(6) =5.1, x(7) = 5.1, x(8) = 5.4, x(9) = 5.6, x(10) = 6.1

Mediane : valeur centrale, 50% de l’echantillon est audessous de cette valeur, 50% au dessus dessus.

Dans ce cas-ci : Mediane =x(5)+x(6)

2 = 9.52 = 4.75.

Il y a 5 observations en dessous et 5 au dessus de cette valeur.








xi = 5.1 1.7 5.1 1.5 4.4 4.4 5.4 5.6 6.1 1.5


x(1) = 1.5, x(2) = 1.5, x(3)= 1.7, x(4) = 4.4, x(5) = 4.4, x(6) =5.1, x(7) = 5.1, x(8) = 5.4, x(9) = 5.6, x(10) = 6.1



2 = 9.52 = 4.75.









xi = 5.1 1.7 5.1 1.5 4.4 4.4 5.4 5.6 6.1 1.5


x(1) = 1.5, x(2) = 1.5, x(3)= 1.7, x(4) = 4.4, x(5) = 4.4, x(6) =5.1, x(7) = 5.1, x(8) = 5.4, x(9) = 5.6, x(10) = 6.1



2 = 9.52 = 4.75.









xi = 5.1 1.7 5.1 1.5 4.4 4.4 5.4 5.6 6.1 1.5


x(1) = 1.5, x(2) = 1.5, x(3)= 1.7, x(4) = 4.4, x(5) = 4.4, x(6) =5.1, x(7) = 5.1, x(8) = 5.4, x(9) = 5.6, x(10) = 6.1



2 = 9.52 = 4.75.









xi = 5.1 1.7 5.1 1.5 4.4 4.4 5.4 5.6 6.1 1.5


x(1) = 1.5, x(2) = 1.5, x(3)= 1.7, x(4) = 4.4, x(5) = 4.4, x(6) =5.1, x(7) = 5.1, x(8) = 5.4, x(9) = 5.6, x(10) = 6.1



2 = 9.52 = 4.75.









xi = 5.1 1.7 5.1 1.5 4.4 4.4 5.4 5.6 6.1 1.5


x(1) = 1.5, x(2) = 1.5, x(3)= 1.7, x(4) = 4.4, x(5) = 4.4, x(6) =5.1, x(7) = 5.1, x(8) = 5.4, x(9) = 5.6, x(10) = 6.1



2 = 9.52 = 4.75.









xi = 5.1 1.7 5.1 1.5 4.4 4.4 5.4 5.6 6.1 1.5


x(1) = 1.5, x(2) = 1.5, x(3)= 1.7, x(4) = 4.4, x(5) = 4.4, x(6) =5.1, x(7) = 5.1, x(8) = 5.4, x(9) = 5.6, x(10) = 6.1



2 = 9.52 = 4.75.







Mediane 30 / 36

Obrservations x1, . . . , xN


x(1) ≤ . . . ≤ x(i) ≤ . . . ≤ x(N)


Mediane =

x(N+1

2) si N est impair

x( N2 )

+x( N2 +1)

2 si N est pair






Mediane 30 / 36



x(1) ≤ . . . ≤ x(i) ≤ . . . ≤ x(N)


Mediane =

x(N+1

2) si N est impair

x( N2 )

+x( N2 +1)

2 si N est pair






Mediane 30 / 36



x(1) ≤ . . . ≤ x(i) ≤ . . . ≤ x(N)


Mediane =

x(N+1

2) si N est impair

x( N2 )

+x( N2 +1)

2 si N est pair






Mediane 30 / 36



x(1) ≤ . . . ≤ x(i) ≤ . . . ≤ x(N)


Mediane =

x(N+1

2) si N est impair

x( N2 )

+x( N2 +1)

2 si N est pair






Mediane 30 / 36



x(1) ≤ . . . ≤ x(i) ≤ . . . ≤ x(N)


Mediane =

x(N+1

2) si N est impair

x( N2 )

+x( N2 +1)

2 si N est pair






Quartiles 31 / 36

Temps de reaction (secondes). Ranger par ordre croissant.Σ

xi 7 8 9 10 11

Ni 35 102 154 124 50 N = 465Nixi 245 816 1386 1240 550 4237Nix

2i 1715 6528 12474 12400 6050 39167

Ni cum 35 137 291 415 465

1er quartile Q1 = 8, plus petite valeur de xi ou le cumul des Ni

depasse 25% de 465 = 116,25.2eme quartile = Mediane, Q2 = 9 (cum depasse 50% 465 =232,5).3eme quartile Q3 = 10 (cumul depasse 75% 465 = 348,75).





Boıte a moustacheDiagramme sectorielHistogrammeFonction de RepartitionFonction de Repartition

Boıte a moustache 32 / 36

Figure: Min,Q1,Q2,Q3,MaxMax - Min : Etendue, Q3 − Q1 : Ecart interquartile






Diagramme sectoriel 33 / 36

Variable Qualitative. Sequence ADN.xi = A, C, G, C, A, T, C, G, A, A, C, T, T, G, A, A, A, A, G, A,G, G, A, A, C, T, C, C, A, A.

Figure: A (43.3%), C (23.3%) G(20%) T(13.3%)






Histogramme de frequence 34 / 36

N = 100,m = 150.45, s2 = 43.03, s = 6.56, σ2 = 43.46, σ = 6.59

Poids de 100 Baleines (Tonnes)

Poids (Tonnes)

Densité

135 140 145 150 155 160 165

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

q1 = 145.7 q2 = 150.5 q3 = 155

Surface Totaledes rectangles = 1

<--Surface S1 = 0.25------>

<---------Surface S2 = 0.50-------------><---------------Surface S3 = 0.75------------------->

Figure: Histogramme de frequence et quartiles






Fonction de Repartition 35 / 36

Variable Quantitative Discrete. Nombre de fourmis (50 feuilles).(xi ,Ni ) = (1, 5), (2, 9), (3, 15), (4, 10), (5, 6), (6, 3), (8, 2) .

Figure: Cumul des frequences 1 (0.1), 2 (0.18), 3 (0.3), 4 (0.2), 5 (0.12),6 (0.06), 8 (0.04)






Fonction de Repartition 36 / 36

Variable Quantitative Continue.Longueur de petale de 50 Iris Ventosa (Fisher).(xi ,Ni ) =(]4.5−5], 9), (]5−5.5], 16), (]5.5−6], 16), (]6−6.5], 5), (]6.5−7], 4)Frequences : 0.18, 0.32, 0.32, 0.10, 0.08

4.5 5.0 5.5 6.0 6.5 7.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

50 Iris Vetosa

Longueur de Pétale

Fréq

uenc

e cu

mul

ée

0.25

Q1=5.12

0.5

Q2=5.5

0.75

Q3=5.9

Figure: Fonction de Repartition, QuartilesRichard Emilion Statistique Biosciences Licence 1

Documents

Statistique Biosciences Licence 1 - Accueil · Indications sur le Cours Bref historique Premi eres notions Moyenne, Variance, Ecart-type Mode, M ediane, Quartiles Reprsentations Graphiques