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  • A G I R

    MATHMATIQUES

    COLLGE LYCE

    statistiques & probabilits

    De la sixime la terminale

    Christophe RolandEnseignant au lyce Paul Duez de Cambrai

    Anne KellerEnseignante au collge Louise Michel de Lille

    Xavier BrioitEnseignant au lyce Marguerite de Flandre de Gondecourt

    Laurent CharlemagneEnseignant au lyce Marguerite Yourcenar de Beuvry

    Charles SuquetProfesseur des universits, UFR de mathmatiques, Lille 1

    Michael KaimEnseignant au lyce International Montebello de Lille

    Luc PicotEnseignant au lyce International Montebello de Lille

    Coordonn par Christophe RolandEnseignant au lyce Paul Duez de Cambrai

    Sous la direction de Franois Capy et Michel GouyIA-IPR de mathmatiques

  • Sommaire

    7 Prface

    9 Introduction

    13 STATISTIQUE DESCRIPTIVE

    17 LA NOTION DE FRQUENCE AU COLLGE

    19 Comprendre et utiliser les diffrentes critures dune frquence

    21 Dterminer une proportion en appliquant successivement deux taux de pourcentage

    23 Dterminer une frquence lors de la runion de deux groupes

    24 Comprendre et utiliser un pourcentage dvolution

    30 Comprendre limportance des effectifs

    34 Dautres ressources

    37 LA NOTION DE MOYENNE AU COLLGE

    39 Calculer une moyenne pour de petits effectifs

    41 Calculer une pente moyenne

    45 Utiliser le tableur pour calculer une moyenne

    50 Dautres ressources

    53 LES NOTIONS DE MDIANE, QUARTILES ET TENDUE AU COLLGE

    55 Introduire de nouvelles caractristiques pour exploiter une srie statistique

    60 Travailler mentalement les notions de mdiane et dtendue

    62 Interprter des caractristiques dune srie statistique

    63 Utiliser le tableur pour exploiter une srie statistique

    67 ANALYSE DE DONNES EN CLASSE DE SECONDE

    69 Construire des sries statistiques sous contraintes

    71 Critiquer et proposer une reprsentation

    72 Un exemple de travail interdisciplinaire

    77 Dterminer les paramtres statistiques dune srie discrte ou continue

    PARTIE 1

  • 83 ANALYSE DE DONNES EN CLASSE DE PREMIRE

    84 Introduire lcart-type

    87 Calculer un cart-type avec de petits effectifs

    89 Comparer des sries

    91 Dautres ressources

    93 DU CT DE LA THORIE

    Mesure ponctuelle associe une srie statistique*

    Intgration par rapport une mesure ponctuelle*

    Fonction de rpartition et mdiane(s)*

    Fonction de rpartition et moyenne*

    Rsums dune srie statistique et minimisation*

    97 PROBABILITS

    99 LA NOTION DE PROBABILIT

    101 Comprendre des notions lmentaires de probabilit

    110 Utiliser des notions lmentaires de probabilit (1)

    112 Utiliser des notions lmentaires de probabilit (2)

    115 Utiliser les probabilits pour laborer une stratgie

    118 tudier et modliser une exprience alatoire

    121 Interprter des vnements de manire ensembliste

    127 Proposer et valider un modle probabiliste

    133 LA NOTION DE LOI DE PROBABILIT DUNE VARIABLE ALATOIRE DISCRTE

    135 Prendre une dcision partir de lesprance

    138 Choisir sa stratgie partir dune esprance

    141 Justifier ses choix laide doutils probabilistes

    146 Dcouvrir la loi binomiale

    152 Consolider les connaissances sur la loi binomiale

    156 Complter et exploiter un arbre pondr

    160 Dcouvrir dautres lois discrtes

    165 LA NOTION DE LOI DE PROBABILIT DENSIT

    167 Introduire la loi uniforme et dcouvrir dautres lois continues (triangulaire, de Bates)

    174 Dcouvrir le thorme de la limite centre. Introduire la loi normale

    PARTIE 2

  • 179 Centrer et rduire

    183 Consolider les connaissances sur la loi normale

    185 Exploiter les lois exponentielles

    193 Dcouvrir une autre loi continue : la loi bta

    195 DU CT DE LA THORIE

    Espaces probabiliss*

    Probabilits conditionnelles*

    Indpendance*

    Variables alatoires relles*

    Lois classiques*

    Esprance*

    Loi des grands nombres*

    TLC (convergence vers une loi normale)*

    199 STATISTIQUE INFRENTIELLE**

    201 LA NOTION DE FLUCTUATION

    203 Dcouvrir un intervalle de fluctuation et les notions affrentes

    208 Faire une analyse critique dun rsultat dchantillonnage

    213 Comprendre limportance de la population de rfrence

    216 Prendre une dcision partir dun chantillon

    221 DU CT DE LA THORIE

    Intervalle de fluctuation*

    Intervalle de confiance*

    pilogue*

    PARTIE 3

    * Ces chapitres sont consultables en ligne : https://www.reseau-canope.fr/notice/statistiques-et-probabilites-de-la-6e-a-la-terminale.html.

    ** Ce chapitre est le complment de larticle consquent Les intervalles de fluctuation de la seconde la terminale contenu dans louvrage Mathmatiques : comptences et volution des pratiques, classe de terminale. Cet article est consultable en ligne : https://www.reseau-canope.fr/notice/statistiques-et-proba-bilites-de-la-6e-a-la-terminale.html.

  • Prface

    Le monde contemporain se caractrise par une profusion dinformations, parmi lesquelles les donnes chiffres occupent une place importante. Pour exercer son libre arbitre, le citoyen doit tre en mesure de se reprer parmi elles afin de les interprter avec discernement.

    Statistiques et probabilits de la sixime la terminale sinscrit pleinement dans cette perspective. Proposant une grande diversit de situations, il prend appui sur des questions de la vie courante ou sur des documents issus des mdias.

    Ainsi conu, lenseignement des statistiques et des probabilits est propice un renouvellement des pratiques pdagogiques, en offrant un terrain privilgi pour placer les lves en situation dactivit.

    Les diffrentes tapes du travail (synthse, reprsentation, caractrisation dun chantillon, simulation, calculs, etc.) visent prparer linterprtation des donnes. La dmarche de llve consiste faire merger des questions et rsumer des informations, pour comprendre et analyser une situation en vue dmettre un avis ou de prparer une dcision.

    Dans cet esprit, lusage dun tableur ou dautres logiciels facilite lexploitation de donnes relles, qui peuvent tre issues dautres disciplines.

    Cet ouvrage prsente le double mrite de couvrir lensemble des classes du collge au lyce et darticuler lapproche des statistiques avec celle des probabilits.

    Les problmes proposs, issus de situations concrtes, donnent lieu des tches non guides propices la prise dinitiative. ce titre, ils correspondent parfaitement aux enjeux des programmes. Dbouchant sur des questions ouvertes, ils fournissent loccasion dinstaurer dans la classe un dbat au cours duquel les lves doivent faire valoir leurs arguments.

    Rjouissons nous de cette initiative de lacadmie de Lille. Que soient flicits les auteurs pour la qualit de ce travail, qui contribuera enrichir la rflexion des quipes de professeurs et dvelopper le got des lves pour les math-matiques travers la rsolution de problmes stimulants !

    Xavier Sorbe Inspecteur gnral de lducation nationale.

  • 19

    LA NOTION DE FRQUENCE AU COLLGE

    Comprendre et utiliser les diffrentes critures dune frquence

    LAVARE

    Niveau : cinquime

    Prrequis : diffrentes critures dun nombre ; passage dune criture une autre ; critures fractionnaires.

    Objectifs : motiver et travailler le passage dune criture une autre ; introduire (ou rinvestir) la comparaison de deux proportions (ici exprimes sous la forme de fractions de numrateur gal 1) ;

    mettre en uvre un travail interdisciplinaire.

    Comptences mises en uvre1 : matrise de la langue ; argumentation loral.

    Lexpression pour cent sest impose au sicle des Lumires, comme latteste lEncyclopdie de Diderot et dAlembert. Auparavant, une frquence ou un taux snonait en recherchant le dnominateur dune fraction quivalente dont le numrateur est gal 1.

    Dans lextrait suivant de LAvare (acte II, scne I), la Flche, valet de Clante, parle dun prt au denier dix-huit . Pour actualiser les propos du personnage, il est ncessaire de comprendre lexpression et de la reformuler en passant dune criture fractionnaire une criture en pourcentage.

    DROULEMENTCette activit est introduite en classe entire, pour sassurer de la comprhension par tous de la situation et du rle de chaque personnage. Il ne sagit pas, cette tape, dexpliquer tout le vocabulaire, certes droutant pour certains lves, mais de permettre chacun de sinvestir dans le travail de groupe qui va suivre. Le professeur peut notamment inviter les lves reformuler les questions, traduire les expressions sp-cifiques lactivit avec leurs propres mots ( prteur , taux dintrt , taux dusure ). Les questions sont formules pour susciter des changes entre les lves et laisser place leurs initiatives dans la phase de rcriture.

    1 Outre lacquisition de connaissances et de capacits, les programmes visent dvelopper des comptences spcifiques notre matire et transversales, et ce, pour favoriser la formation tout au long de la vie et pour mieux apprhender notre socit en constante volution. Pour le collge, on consultera le socle commun des connaissances et des comptences. Pour le lyce, on consultera le texte de rfrence Les comptences mathmatiques au lyce produit par le groupe des mathmatiques de lIGEN (http://mathematiques.discipline.ac-lille.fr/lycee/documents-lycee/programmes-lycee/competences-lycee.pdf).

  • 20

    STATISTIQUES & PROBABILITS

    ACTIVITHarpagon, lavare, naime que son argent. Il ne voit que des voleurs autour de lui, il souponne tout le monde de vouloir lui voler son argent. Il prive ses enfants du ncessaire. Son fils, Clante, qui ne peut compter sur son pre, a besoin de 15 000 francs. Son