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Statistische Methoden IISS 2007
Vorlesung: Prof. Dr. Michael SchürmannZeit: Freitag 10.00 - 12.30
(Pause: 11.30 - 11.45)Ort: Hörsaal Loefflerstraße
ÜbungenGruppe 3: Melanie Hinz Di 8.00 -
10.00Gruppe 1: Rüdiger Zeller Di 10.00 -
12.00Gruppe 6: Melanie Hinz Di 12.00 -
14.00Gruppe 4: Hermann Haase Mi 8.00 -
10.00Gruppe 5: Hermann Haase Mi 10.00 -
12.00Gruppe 2: Marcus Vollmer Mi 12.00 -
14.00
Ort: SR 222 Fleischmannstraße 6, 2. OG
Beginn der Übungen nächste Woche
Statistische Methoden IWS 2006/2007
Zur Geschichte der Statistik
I. Beschreibende Statistik
1. Grundlegende Begriffe
2. Eindimensionales Datenmaterial2.1. Der Häufigkeitsbegriff2.2. Lage- und Streuungsparameter2.3. Konzentrationsmaße (Lorenz-Kurve)
3. Mehrdimensionales Datenmaterial3.1. Korrelations- und Regressionsrechnung3.2. Indexzahlen3.3. Saisonbereinigung
II. Wahrscheinlichkeitstheorie1. Laplacesche Wahrscheinlicheitsräume
1.1. Kombinatorische Formeln1.2. Berechnung von Laplace-Wahrschein-
lichkeiten2. Allgemeine Wahrscheinlichkeitsräume
2.1. Der diskrete Fall2.2. Der stetige Fall2.3. Unabhängigkeit und bedingte
Wahrscheinlichkeit3. Zufallsvariablen
3.1. Grundbegriffe3.2. Erwartungswert und Varianz
3.3. Binomial- und Poisson-Verteilung 3.4. Die Normalverteilung und der Zentrale Grenzwertsatz
4. Markov-Ketten 4.1. Übergangsmatrizen 4.2. Grenzverhalten irreduzibler Markov-Ketten 4.3. Gewinnwahrscheinlichkeiten 4.4. Beispiel „Ruin der Spieler“ 4.5. Anwendungen
III. Induktive Statistik
1. Schätztheorie 1.1. Grundbegriffe, Stichproben 1.2. Maximum-Likelihood-Schätzer 1.3. Erwartungstreue Schätzer 1.4. Konfidenzintervalle 1.5. Spezialfall Binomial-Verteilung
2. Spezialfall Normalverteilung 2.1. Student- und Chi-Quadrat-Verteilung 2.2. Konfidenzintervalle
3. Tests 3.1. Grundbegriffe 3.2. Tests einfacher Hypothesen (Neyman-Pearson-Test) 3.3. Tests zusammengesetzter Hypothesen 3.4. Vergleich zweier unabhängiger Stichproben 3.5. Chi-Quadrat-Tests 3.6. Kolmogorov-Smirnov-Test 3.7. Einfache Varianzanalyse
Beschreibende Statistik(= Deskriptive Statistik)Beschreibung von Datenmaterial
Schließenden Statistik(= Induktive Statistik)Analyse von Datenmaterial,Hypothesen, Prognosen
1. Semester
2.Semester
Wahrscheinlich-keitstheorie
1. Semester
Die hypergeometrische Verteilung
Notation
Eine Urne enthält n Kugeln, davon N weiße und n - N schwarze.
Aus der Urne werden nacheinander m Kugelnohne Zurücklegen gezogen.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau k weiße Kugeln zu ziehen?
Sie beträgt gerade H(n, N, m)(k)!
Schätzung der Zahl der Fische in einem See in Mecklenburg
N Fische werden gefangen und markiert
Die Fische werden in den See zurückgegeben. Man wartet, bis die markierten Fische sich (möglichst gleichmäßig) im See verteilt haben.
Man geht erneut auf Fischzug und fäng m Fische. Von diesen seien k markiert.
Schätzung für die Gesamtzahl der Fische im See:
Statistische Struktur(diskreter Fall)
Dabei sind:
Schätzproblem
Schätzer
Ω
ΘModell
Beobachtung(Stichprobe)
Grundgesamtheit(mögliche Beobachtungen)
Schätzung
Ω
ΘModell
Beobachtung(Stichprobe)
Grundgesamtheit(mögliche Beobachtungen)
Schätzung
Eg
Berliner Taxifahrer
Ein Berliner Taxifahrer notierte imJanuar 1987 während 5 Schichten mit je 20 Fahrten, welchen Prozentsatz des Fahrpreises lt. Taxameterdie Fahrgäste als Trinkgeld gaben.
Stichprobe (diskreter Fall)
Mathematischer Rahmen
Stichprobenfunktionen (Beispiele)
StichprobenfunktionenBeispiel „Taxifahrer“
SonntagseinsätzeFeuerwacheFeuerwache
Mittlerer quadratischer Fehler
Gegeben sind:
Statistische Struktur Schätzproblem
Als mittleren quadratischen Fehler bezeichnet man die Größe
Schätzer
„Feuerwache“Angepasste Poisson-Verteilungen
Stichproben (stetiger Fall)
Mathematischer Rahmen
Statistische Struktur diskret stetig
Verwendung der Tafelfür die Normalvertreilung
Maximum-Likelihood-Schätzer(diskreter Fall)
Likelihood-Funktion
mit
oder
M-L-Schätzer
Der Parameter
ist die beste Erklärung für die Beobachtung
Schätzung der Zahl der Fische in einem See in Mecklenburg
N Fische werden gefangen und markiert
Die Fische werden in den See zurückgegeben. Man wartet, bis die markierten Fische sich (möglichst gleichmäßig) im See verteilt haben.
Man geht erneut auf Fischzug und fäng m Fische. Von diesen seien k markiert.
Schätzung für die Gesamtzahl der Fische im See:
ist M-L-Schätzer !
Likelihood-Funktion
Der Logharithmus ln x ist streng monoton wachsend
Beispiel Poisson-Verteilung
Stichprobe vom Umfang n mit Poisson-verteilter Stich-Probenvariablen (Intensität: )
M-L-Schätzer für
oder
Beispiel Bernoulli-Verteilung
Stichprobe vom Umfang n mit Bernoulli- verteilter Stichprobenvariablen(p: Wahrscheinlichkeit des Ereignisses)
M-L-Schätzer für p wieder gegeben durch:
Maximum-Likelihood-Schätzer(stetiger Fall)
Likelihood-Funktion
mit
oder
M-L-Schätzer
Der Parameter
ist die beste Erklärung für die Beobachtung
Maximum-Likelihood-Schätzer(diskreter Fall)
Likelihood-Funktion
mit
oder
M-L-Schätzer
Beispiel Bernoulli-Verteilung
Stichprobe vom Umfang n mit Bernoulli- verteilter Stichprobenvariablen(p: Wahrscheinlichkeit des Ereignisses)
M-L-Schätzer für p wieder gegeben durch:
Normalverteilte Stichprobenvariable
M-L-Schätzer Erwarungswert
Hier spielt es keine Rolle, ob die Varianz bekannt ist oder nicht. In jedem Fall gilt:
Normalverteilte Stichprobenvariable
M-L-Schätzer Varianz bekannt
Normalverteilte Stichprobenvariable
M-L-Schätzer Varianz unbekannt
Übersicht
BeispielGewicht von ÄpfelnÄpfeln
Gewicht von Äpfeln der Sorte Cox-Orange aus einem bestimmten italienischen Anbaugebiet
Erwartungstreue Schätzer
Wenn der Parameter selbst geschätzt werden soll:
Wenn ein allgemeines statistisches Problem vorliegt:
Dabei bedeutet der Index , dass der Erwartungswert bzgl. des W.maßes zum Parameter genommen wird.
Schätzung des Erwartungswertes der Stichprobenvariablen X
Statistisches Problem gegeben durch:
Erwartungstreuer Schätzer:
Schätzung der Varianz der Stichprobenvariablen X
Statistisches Problem gegeben durch:
Erwartungstreuer Schätzer:
Erwartungswert bekannt
Schätzung der Varianz der Stichprobenvariablen X
Statistisches Problem gegeben durch:
Erwartungstreuer Schätzer:
Erwartungswert unbekannt
Normalverteilte StichprobenvariableErwartungstreuer Schätzer
für den Erwarungswert
Hier spielt es wieder keine Rolle, ob die Varianz bekannt ist oder nicht. In jedem Fall gilt:
ist erwartungstreuerwartungstreu
Normalverteilte StichprobenvariableErwartungstreuer Schätzer
für die Varianz
bekannt
ist erwartungstreuerwartungstreu
Normalverteilte StichprobenvariableErwartungstreuer Schätzer
für die Varianz
unbekannt
ist erwartungstreuerwartungstreu
Kein M-L-Schätzer!!
Übersicht
erwartungstreuerwartungstreu
erwartungstreuerwartungstreu
erwartungstreuerwartungstreu
nichtnichterwartungstreuerwartungstreu