STATİK - selcuk.edu.tr Ders Notlari - 2 1 İki... · Kuvvet vektörü, kendi tesir çizgisi üzerinde kaydırılırsa incelenen sisteme etki eden dış kuvvetler değişmez. Fakat

Statik Ders Notları Sınav Soru ve Çözümleri Behcet DAĞHANBehcet DAĞHAN

Behcet DAĞHAN

MÜHENDİSLİK MEKANİĞİ

Behcet DAĞHANBehcet DAĞHAN

www.makina.selcuk.edu.tr

STATİK

Behcet DAĞHAN

İÇİNDEKİLER

1. GİRİŞ - Skalerler ve Vektörler - Newton Kanunları

2. KUVVET SİSTEMLERİ - İki Boyutlu Kuvvet Sistemleri - Üç Boyutlu Kuvvet Sistemleri

3. DENGE - Düzlemde Denge - Üç Boyutta Denge

4. YAPILAR - Düzlem Kafes Sistemler - Çerçeveler ve Makinalar

5. SÜRTÜNME

6. KÜTLE MERKEZLERİ ve GEOMETRİK MERKEZLER

MÜHENDİSLİK MEKANİĞİ Behcet DAĞHANBehcet DAĞHAN


STATİK

STATİK

KUVVET SİSTEMLERİ

Behcet DAĞHAN

2Behcet DAĞHAN

Behcet DAĞHAN


Behcet DAĞHAN

İki Boyutlu Kuvvet Sistemleri

2.1STATİK



Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN


Behcet DAĞHAN


Statik Kuvvet Sistemleri 2.1. İki Boyutlu Kuvvet Sistemleri 1

Kuvvet, bir cismin diğer bir cisme yaptığı mekanik etkidir.

Kuvvet, vektörel bir büyüklüktür.

Statik dersindeki kuvvet vektörü kayan vektördür. Dolayısı ile belirli bir tesir çizgisi vardır.

Kuvvet vektörü, kendi tesir çizgisi üzerinde kaydırılırsa incelenen sisteme etki eden dış kuvvetler değişmez.

Fakat sistemin iç kuvvetleri değişir.

Statik dersinde sadece dış kuvvetler göz önüne alındığı için bunun bir önemi yoktur.

Dış kuvvet, incelenen sisteme onun dışındaki sistemler tarafından uygulanan kuvvettir.

İç kuvvet, incelenen sistemi oluşturan parçaların birbirine uyguladığı kuvvettir.

Tesirçizgisi

F

F

F

A B

A B

C D

A BC D

CD CD

D B

BD BD

D

BDCD

F kuvveti, tesir çizgisi üzerinde kaydırılırsakafes sisteme etki eden dış kuvvetler değişmez.Fakat kafes sistemi oluşturanparçalara gelen kuvvetler değişir.

Bir sistemin tamamı için iç kuvvet olan bir kuvvet,o sistemin bir parçası için dış kuvvet olabilir.Mesela, kafes sistemi parçalara ayırıp incelerken,sistemin tamamı için iç kuvvet olan kuvvetler,sistemin parçaları için dış kuvvet olurlar.

F, A ve B kuvvetleri,kafes sistemin tamamı içinsisteme dışarıdan uygulanankuvvet olduklarından dolayıdış kuvvetlerdir.

İncelenen bir sistemin parçalarının birbirlerine uyguladığı iç kuvvetler,birbirlerini dengelediği için göz önüne alınmazlar.



Behcet DAĞHAN



Bazen bir kuvvetin yerine geçecekiki veya daha fazla kuvvet yerleştirilir.

F2

F1 R

Bileşen

BileşenBileşke

F2

F1 R

m

W

N

Yayılı kuvvet

Tekil kuvvet

Uygulamadaki kuvvetler genellikle yayılı kuvvettir.

İşlem yaparken onların yerine geçen tekil kuvvetler kullanılır.

R

F2

F1

F2

F1

R

∟

∟

∟

R ≠ F1 + F2

→ → →

∟

Bazen de tesir çizgileri kesişen iki veya daha fazla kuvvetinyerine geçecek bir tek kuvvet yerleştirilir.

R = F1 + F2

→ → →F1

→

F2

→R→ →→

F2

F1 R

R

F2

F1 ∟

∟

F1 + F2 = R→ → →F1

→

F2

→R→

→

→

Etki kuvveti

Tepki kuvveti

!

→

→

→

→



Behcet DAĞHAN



R = F1 + F2

→ → →

F2

F1

F2

F1 R R

A A A

≡ ≡

Bileşkenin tesir çizgisi, bileşenlerin tesir çizgilerinin kesişme noktasından geçer.

F2

F1

R

AAA

≡ ≡F2

F1 R

F1 + F2 = R→ → →F1

→

F2

→R→

→

→

F1

→

F2

→R→ →→



Behcet DAĞHAN



F2

R

≡ ≡

F1 + F2 = R→ → →

F1 + F2 = R

F2

≡ ≡

F1 + F2 = R→ → →

F2 < 0

R

R = 0

Aynı yönde olan paralel iki kuvvetin bileşkesi onlara paraleldir, tesir çizgisi bileşenlerin arasındadır ve büyük bileşene yakındır.

Zıt yönde olan paralel iki kuvvetin bileşkesi de onlara paraleldir, tesir çizgisi dışarıdadır ve yine büyük bileşene yakındır.

→Özel durum:

+

F1 + F2 = R

+

| F1 | > | F2 |→ →

| F1 | = | F2 |→ →

R

F2

F1

−F

F→

→F1

F2

F1

−F

F→

→ R

F1

→



Behcet DAĞHAN



Dik Bileşenler

F

Fx

Fy

F = Fx + Fy

→ → →

x

y

Fx

→

→

Fy

F→

→i→

→j→

O

θ > 0

F = Fx i + Fy j→ → →

Fx = F cosθ

Fy = F sinθ

F 2 = Fx2+ Fy

2

tanθ = –––Fy

Fx

Fx ve Fy pozitif veya negatif olabilir.

Ama F daima pozitiftir.

θ açısı yönlü bir açıdır.

Pozitif yönü şekilde gösterilmiştir.

Fy

x

y

Fx

→

→F→

O

θβ

Fx = F cosθ

Fy = F sinθ

Fx = −F cosβ

Fy = F sinβ

Fx < 0 olabilmesi için bu işareti biz yerleştirmeliyiz.

→ cosθ < 0 olduğundan dolayı kendiliğinden Fx < 0 olur.

Fx < 0

Fy > 0

θ < 0

veya!

Behcet DAĞHAN


Behcet DAĞHAN



F1

F2xx

y

F1y

→i→

→j→

O

F2

R

F1x

F2y

Rx

Ry

R = F1 + F2

→ → →

F1 = F1x + F1y

→ → →

F1 = F1x i + F1y j→ → →

F2 = F2x + F1y

→ → →

F2 = F2x i + F2y j→ → →

R = Rx + Ry

→ → →

R = Rx i + Ry j→ → →

Rx i + Ry j = (F1x i + F1y j ) + (F2x i + F2y j )→ → → → →

Rx i + Ry j = (F1x + F2x ) i + (F1y + F2y ) j→ → →} }

Rx = ΣFx

Ry = ΣFy

θ

R 2 = Rx2+ Ry

2

tanθ = –––Ry

Rx

İki kuvvetin bileşkesinin dik bileşenler kullanılarak bulunması

= ΣFx = ΣFy

Behcet DAĞHAN

Bileşkenin yönünü ve şiddetini bulmak için:

→

→

∟

Behcet DAĞHAN


Behcet DAĞHAN



Örnek Problem 2/1

Verilenler:

İstenenler:

Şekildeki mesnede A noktasından uygulanan 600 N luk kuvvetin yerine geçecek iki tanekuvvet yerleştirilecektir. Bu iki kuvvetten Fa nın tesir çizgisi a-a doğrultusu ve Fb nintesir çizgisi b-b doğrultusu olacaktır. Fa yı ve Fb yi bulunuz.

F = 600 N

Fa = ?

Fb = ?

Çözüm

F

b

b

a a60o 30o

A Fb

Fa

tan30o = –––Fa

FFa = 693 N

Fb = 346 N

60o

F = Fa + Fb

→ → →

30o∟

cos30o = –––F

Fb

Behcet DAĞHAN


Behcet DAĞHAN



Örnek Problem 2/2

Verilenler:

İstenenler:

Şekildeki iki kuvvetin bileşkesinin şiddetinin 2000 N olması için 800 N luk kuvvetin açısı θ ne olmalıdır?Bu şartlarda R ile düşey doğrultu arasındaki açı β yı bulunuz.

F1 = 1400 N

θ = ?

β = ?

Çözüm

N

N

F2 = 800 N

R = 2000 N

F1

F2

R

θ

β

düşey

R 2 = F12 + F2

2 + 2 F1 F2 cosθ θ = 51.3o

F22 = R2 + F1

2 − 2 R F1 cosβ β = 18.2o

R = F1 + F2

→ → →

θ

↕

Behcet DAĞHAN


Behcet DAĞHAN



Bu işaretleri biz yerleştirmeliyiz.

Örnek Problem 2/3

Verilenler:

İstenenler:

Şekildeki mekanizmanın AB koluna etki eden P kuvvetinin x ve y bileşenlerini bulunuz.

P = 260 N

Px = ?

Py = ?

x

y

C

Çözüm

P

30o

5

12

13

Px = − P –––1213

B

Px

Py

Py = − P –––513

Px = − 240 N

Py = − 100 N

Veya üçgenlerin benzerliğinden:

––– = ––– = –––12 13

|Px| |Py|

5

P

A

→→

Behcet DAĞHAN


Behcet DAĞHAN



Örnek Problem 2/4

Verilenler:

İstenenler:

Şekildeki mesnedin A noktasına uygulanmış olan iki kuvvetin bileşkesinin yönünü ve şiddetini bulunuz.

F1 = 800 N

R = ?

θ = ?

Çözüm

F2 = 900 N

F1

F2

y

x

A

25o

10o

R

β

R = F1 + F2

→ → →

R 2 = F12 + F2

2 + 2 F1 F2 cos105o

R = 1038 N

sin(25o+β)––––––––– = ––––––

F1

75o

sin75o

R

β = 23.1o

Rx = ΣFx

Ry = ΣFy

R 2 = Rx2+ Ry

2

tanθ = –––Ry

Rx

Rx = F1x + F2x = F1 cos10o − F2 sin25o

Rx = 407 N

Ry = F1y + F2y = − F1 sin10o − F2 cos25o

Ry = − 954 N

R = 1038 N

θ < 0

θ = − 66.9o

Behcet DAĞHAN

105o

Behcet DAĞHAN


Behcet DAĞHAN



Moment

F

Moment, bir kuvvetin herhangi bir eksene göre döndürme etkisidir.

Bir kuvvetin kendi tesir çizgisi ile kesişen bir eksene göre momenti yoktur,

tesir çizgisine paralel olan bir eksene göre de momenti yoktur.

Moment vektörel bir büyüklüktür.

Moment vektörünü M ile göstereceğiz.

Moment vektörünün yönü sağ el kuralı ile bulunur.

Sağ elimizin dört parmağını kuvvet yönünde tutup avucumuzun içini moment alınan eksenedöndürüp avucumuzu kapattığımız zaman baş parmağımız moment vektörünün yönünü gösterir.

→

∟

A ∟d

MA

MA = F d

Momentalınaneksen

Momentalınannokta

Bir noktaya göre moment

Bir kuvvetin bir noktaya göre momenti, kuvvet ile noktanın içinde bulunduğu düzleme dik olan ve moment alınan noktadan geçen bir eksene göre döndürme etkisidir.

Herhangi bir A noktasına göre alınan momentin şiddeti:

Behcet DAĞHAN

Momentkolu



Behcet DAĞHAN



FA

d

İki boyutlu kuvvet sistemini oluşturan kuvvetlerin, içinde bulundukları düzlemde yer alan bir noktaya göre momentleri düzleme diktir.

Eğer kuvvetlerin içinde bulunduğu düzlem x-y düzlemi ile çakıştırılırsa, moment vektörleri de düzleme dik olan z-eksenine paralel olur.

Moment vektörlerinin tamamı birbirine paralel olduğu için sadece şiddetleri ile ilgilenmek yeterli olur.

Yönlerini belirtmek için de şiddetleri pozitif veya negatif alınır.

Saat ibrelerinin dönme yönünün tersi pozitif yön olarak alınacaktır.

∟

x

y

M > 0

M < 0

O

pozitif z-yönünde

negatif z-yönünde

→

→

M = − 12 N·m

Yön belirtir

MA

M = Mz

→ →

→F

Herhangi bir kuvvetin, kendi tesir çizgisi üzerindeki noktalar hariç,bütün noktalara göre döndürme etkisi vardır.

Bu momentlerin bir kısmı pozitif, bir kısmı da negatif yöndedir.

Bu momentler, kuvvet uygulandığı zaman ortaya çıkan döndürme etkileridir.Yani kuvvetin yanında ayrıca uygulanmış değillerdir.

M < 0

M > 0

!

Behcet DAĞHAN


Behcet DAĞHAN



Varignon Teoremi

Ar

MA R = r × R

→ → →F2

F1 R

MA F1 = r × F1

→ → →

MA F2 = r × F2

→ → →

MAR

MAF1

MAF2R = F1 + F2

→ → →

r × R = r × (F1 + F2) = r × F1 + r × F2→ → → → → → → → →

MA R = MA

F1 + MAF2

→ → →MA

R = MAF1 + MA

F2

Bileşkenin bir noktaya göre momenti, bileşenlerinin o noktaya göre momentleri toplamına eşittir.

Behcet DAĞHAN

B

İki boyutlu kuvvet sistemindemoment vektörlerinin hepsibirbirine paralel olduğu içinbu eşitlik skaler olarak da

geçerlidir.

↔

Bir noktaya göre momentin vektörel çarpımla bulunması

F

A

d

∟rMA = r × F

→ → → αMA = r F sinα

MA = F dMA = F r sinα

d = r sinα→

r vektörü, moment alınan noktadan başlar,kuvvetin tesir çizgisi üzerinde herhangi bir noktada biter.

αMA

MA ≠ F × r→ → →!

→

Behcet DAĞHAN


Behcet DAĞHAN



A

R

d

∟

A

RF1

F2

∟d1

d2

∟

A

RF1

F2

d1

∟

A

R F1

F2

d2

∟

≡ ≡ ≡

MAR = R d MA

R = F1 d1 + F2 d2 MAR = F1 d1 + 0 MA

R = 0 + F2 d2

∟

∟

∟

Behcet DAĞHANBir kuvvetin bir noktaya göre momenti alınırken takip edilebilecek yollar:

A

R

MAR = ?

Behcet DAĞHAN


Behcet DAĞHAN



Örnek Problem 2/5

Verilenler:

İstenenler:

30 N luk P kuvveti şekildeki çubuğun BC kısmına dik olarak uygulanmıştır. P nin B noktasına ve A noktasına göremomentini bulunuz.

P = 30 N

MA = ?

Çözüm

MB = ?

d

P

A

d

∟

MA = P d

P

B

∟

MB = P d

d = 1.6 m

MB = 48 N·m

d = 1.6 + 1.6 cos45o

45o

MB = 81.9 N·m

MB

MA

∟

Behcet DAĞHAN


Behcet DAĞHAN



Örnek Problem 2/6

Verilenler:

İstenenler:

(a) θ = 15o ise 90 N luk kuvvetin O noktasına göre momentini hesaplayınız. Ayrıca O ya göre momenti (b) sıfır ve(c) maksimum yapan θ değerlerini bulunuz.

F = 90 N

MO = ?

Çözüm

θ = ?

O

F

θF1

F2

d1 = 800 mm

d2 = 600 mm

MO = 0 ise:

θ = ?

MO = MOmax ise:

θ = 15o ise:

MO = − F1 d1 + F2 d2

MO = − F sinθ d1 + F cosθ d2

(a)

θ = 15o ise:

MO = 33.5 N·m

(b)

MO = 0 ise:

θ = 36.9o

0 = − F sinθ d1 + F cosθ d2

1 1

(c)

MO = MOmax ise:

θ = − 53.1o

dMO

dθ–––– = 0

dMO

dθ–––– = F (− cosθ d1 − sinθ d2) }

M > 0

M < 0

Varignon teoreminden:

veya θ + 180o

veya θ + 180o

O

F

θ

O

Fθ < 0

θ

d1

d2

F

F

∟

d1

d2

d1

d2

Behcet DAĞHAN


Behcet DAĞHAN



Örnek Problem 2/7

Verilenler:

İstenenler:

Bir direk ucu bağlantı parçası, iki tane kuvveti şekildeki gibi taşımaktadır. Bu iki kuvvetin O noktasına göre

momentleri toplamının sıfır olabilmesi için T nin şiddeti ne olmalıdır?

F = 5 kN

MO = 0 ise:

→

T = ?

Çözüm

F

Moment alırken,bir kuvveti bu şekilde bileşenlere ayırmak tavsiye edilmez.

Çünkü bileşenlerin tesir çizgilerininnereden geçtiği açıkça belli olmalıdır.

Kuvveti, tesir çizgisi üzerindeuygun bir yere kaydırdıktan sonra

bileşenlere ayırmak gerekir.

T

FT

MO = F cos30o (90) + F sin30o (60) − T –––– (120) − T –––– (60) = 0


2

5√29

5

√29

2

√29

T = 4.04 kN

!



Behcet DAĞHAN



F1 + F2 = R→ → →

F1 + F2 = R

F2

F1 + F2 = R→ → →

F2 < 0

R = 0

Paralel iki kuvvetin bileşkesinin tesir çizgisinin yerinin varignon teoremi yardımıyla bulunması

→Özel durum:

+

F1 + F2 = R

+

| F1 | > | F2 |→ →

| F1 | = | F2 |→ →

R

F1

F2

F1

R

→

A

a

b

MAR = MA

F1 + MAF2

R (0) = − F1 (a) + F2 (b)

––– = –––a

b

F1

F2

MAR = MA

F1 + MAF2

R (0) = F1 (a) − F2 (b)

a

b

A

a = b

––– = –––a

b

F1

F2

→Özel durum: F1 = F2

Behcet DAĞHAN


Behcet DAĞHAN



Kuvvet çifti

Kuvvet çifti, birbirine paralel, eşit şiddette ve zıt yönde olan iki kuvvetten oluşan bir sistemdir (d ≠ 0).

F

d ∟MA

F

∟

Elde edilen sonuç göstermektedir ki, kuvvet çiftinin momenti, moment alınan noktadan bağımsızdır.

Kuvvet çiftinin bileşkesi sıfırdır.

Kuvvet çiftinin nereye uygulandığı önemli değildir.

a

A

R = F + (− F )→ → →

R = 0→ →

MA = F (a + d) − F a = F d

Kuvvet çiftinin sadece döndürme etkisi vardır.

→ →

Behcet DAĞHAN

Kuvvet çiftinin herhangi bir A noktasına göre momentini alalım.

M = F d

Bu kuvvetlerden birisine F dersek diğeri de − F olur.

Kuvvet çiftinin momenti serbest vektördür.

∟





F

d ∟

F

∟

Kuvvet çiftinin bütün noktalara göre döndürme etkisi aynıdır.

M = F d

M = F d

≡ F

d ∟M = F dA A

Bir tek kuvvet, kuvvet çiftinin yerine geçmez.

Behcet DAĞHAN

Kuvvet çifti

!

F1

d1 ∟

F1

∟

≡ ≡F2

d2

F2

∟

∟

Kuvvet çiftini sadece bu işaret ile de gösteririz.

M

veya

M = F1 d1 = F2 d2

Kuvvet çiftini oluşturan kuvvetler veya aralarındaki uzaklık tek başına önemli değildir. Önemli olan kuvvet çiftinin momentidir.

Kuvvet çifti

Momenti eşit olan bütün kuvvet çiftleri denktir.

Behcet DAĞHAN


Behcet DAĞHAN



F

F

F

d ∟

F

∟

=x x x

xd––2

M

+

x=+ xd––2

d––2

d––2 d––

2d––2

z M z M z

Bakış yönü

d ∟∟

d ∟∟

→

Bakış yönü

→

Bakış yönü

→

Behcet DAĞHANKuvvet çiftinin bütün noktalara göre momentinin aynı olduğunun bir açıklaması

F F

F F

d

∟∟

d

∟∟

Behcet DAĞHAN


Behcet DAĞHAN



≡ M = F d

Bir kuvvetin tesir çizgisinin değiştirilmesi

F

d ∟ ≡F ∟

F

F F

Bir kuvvet, tesir çizgisi üzerinde kaydırıldığı zaman etkisi değişmez. Ama tesir çizgisinin dışına çıkarılırsa etkisi değişir.Kuvvetin tesir çizgisini değiştirmek istediğimiz zaman, etkisinin değişmemesi için kuvvete ilaveten bir de kuvvet çifti uygulamamız gerekir.

Bu moment, kuvvetin momenti değildir.Kuvvete ilaveten dışarıdan uygulananbir kuvvet çiftidir.

≡M = F dF

d∟ ≡F ∟

F

FF

Bazen de bir kuvvet ile kuvvet çiftinden oluşan bir sistemin yerine geçecek bir tek kuvvet yerleştiririz.

Behcet DAĞHAN

Bir kuvveti, başka bir tesir çizgisine taşırken kuvvetin yönünü ve şiddetini bozmadan aynen taşırız.Ayrıca yanına bir de kuvvet çifti ilave etmemiz gerekir.Bu kuvvet çiftinin momenti, kuvvetin, yeni tesir çizgisi üzerindeki herhangi bir noktaya göre momentine eşittir.

!

↑

Behcet DAĞHAN


Behcet DAĞHAN



Örnek Problem 2/8

Verilenler:

İstenenler:

OA çubuğu, iki makara ve ince bir bandın bir bölümünden oluşan sisteme şekildeki gibi 180 N luk iki

kuvvet uygulanmıştır. Bu kuvvetlerin (a) A noktasına göre ve (b) O noktasına göre momentleri

toplamını bulunuz.

F = 180 N

MA = ?

Çözüm

M = 21 728 N·mm = 21.7 N·mMO = ?

Bu kuvvet sistemi, eşit şiddette, zıt yönde ve birbirine paralel iki kuvvetten oluşanbir sistem olduğu için kuvvet çiftidir.

MA = MO = M = F d

d = 100 sin45o + 2 r

r = 25 mm

} M = 180 (120.7)∟

d

∟

180 N

180 N

Kuvvet çiftinin bütün noktalara göre momenti aynıdır.

Behcet DAĞHAN


Behcet DAĞHAN



Örnek Problem 2/9

Verilenler:

İstenenler:

Bir sürücü sağa dönerken otomobilin direksiyonuna şekildeki gibi 8 N luk iki kuvvet uygulamaktadır.

Bu kuvvetlerin oluşturduğu momenti hesaplayınız.

F = 8 N

M = ?

Çözüm

Bu kuvvet sistemi, eşit şiddette, zıt yönde ve birbirine paralel iki kuvvetten oluşanbir sistem olduğu için kuvvet çiftidir.

M = MO = −2 F cos30o (375/2)

Kuvvet çiftinin bütün noktalara göre momenti aynıdır.

M = − 2598 N·mm

Yön belirtirSaat ibrelerinin dönme yönündedir.

↑

Behcet DAĞHAN


Behcet DAĞHAN



Örnek Problem 2/10

Verilenler:

İstenenler:

Şekildeki 1200 N luk kuvvetin, dirseğin A pimine göre momentini hesaplayınız.

Bunu yaparken, kuvveti önce C noktasından geçen bir tesir çizgisine taşıyınız.

Çözüm

F = 1200 N

r = 200 mm

MC

F

MC = F r

1

2

√5

MA = MC + F ––– 6001

√5

MA = 1200 (200 + ––– 600)1

√5

MA = 562 N·m

F –––1

√5

∟ r

F

MA = ?

Kuvveti önce C noktasına taşımakA noktasına göre moment almayı kolaylaştırır.

Behcet DAĞHAN


Behcet DAĞHAN



Örnek Problem 2/11

Verilenler:

İstenenler:

Birbirine tutturulmuş olan iki dişliye gelen iki kuvvet şekilde gösterilmiştir. Bu iki kuvveti O noktasına

taşıyıp bir R kuvvetine ve bir M kuvvet çiftine indirgeyiniz ve şiddetlerini bulunuz.

Çözüm

F1 = 1.5 kN

F2 = 2.4 kN

R = ?

MO = M = ?

F1

F2

Ox

y

Ox

y

20o

20o

MOF1

MOF2

Rx = F1x + F2x Ry = F1y + F2y

Rx = ΣFx Ry = ΣFy

Rx = F1 cos20o+ F2 sin20o Ry = F1 sin20o+ F2 cos20o

Rx = 2.23 kN Ry = 2.77 kN

R2 = Rx2 + Ry

2

R = 3.56 kN

R

MOF1 = F1 cos20o (200)

MOF1 = 282 N·m

MOF2 = − F2 cos20o (120)

MOF2 = − 271 N·m

MO = MOF1 + MO

F2

M = 11.3 N·m

M

≡

Yön belirten bu işareti biz yerleştirmeliyiz.

veya

R2 = F12 + F2

2 + 2 F1 F2 cos50o←

50o

F1

F2

←

Behcet DAĞHAN

Behcet DAĞHAN

Behcet DAĞHAN

Behcet DAĞHAN



İki boyutlu bir kuvvet sisteminin bileşkesi

M1

Fn

Bazen göz önüne alınan kuvvet sisteminin yerine geçecek bir tek kuvvet aranır.

Bu bileşke kuvvetin yönü, şiddeti ve tesir çizgisinin nereden geçtiği bulunmalıdır.

Kuvvetlerin içinde bulunduğu düzlemi x-y düzlemi ile çakıştıralım.

x

y

O

R = F1 + ··· + Fn

→ → →

Rx i + Ry j = (F1x i + F1y j ) + ∙∙∙ + (Fnx i + Fny j )→ → → → →

Rx i + Ry j = (F1x + ··· + Fnx) i + (F1y + ∙∙∙ + Fny) j→ → →} }

= ΣFx = ΣFy

x

y

O

R

F1

θ

≡

Rx = ΣFx

Ry = ΣFy

R 2 = Rx2+ Ry

2

tanθ = –––Ry

Rx

Bileşkenin tesir çizgisinin geçtiği yeri bulmak için:

Bileşkenin yönünü ve şiddetini bulmak için:

Bileşkenin herhangi bir noktaya göre momenti,kuvvet sistemini oluşturan kuvvetlerin

o noktaya göre momentleri toplamına eşittir.

MAR = ΣMA

Genelleştirilmiş Varignon Teoremi

Behcet DAĞHAN

Kuvvet çiftleri,bileşkenin yönünü ve şiddetini etkilemez.

Sadece tesir çizgisinin yerini etkiler.

→

→

Mm

Behcet DAĞHAN

Behcet DAĞHAN

Behcet DAĞHAN

Behcet DAĞHAN



Bir kuvvet sisteminin keyfi olarak seçilen bir noktaya indirgenmesi

≡

Behcet DAĞHAN

A

≡

Bir kuvvet sistemini herhangi bir noktaya indirgemek istediğimiz zaman bütün kuvvetleri o noktaya taşırız.

Kuvvetleri taşırken de sisteme ilave etmemiz gereken kuvvet çiftlerini ilave ederiz.

Bu kuvvet çiftlerinin momentleri, taşıdığımız kuvvetlerin o noktaya göre momentlerine eşittir.

A

Fn

F1

MAF1

M1

MAFn

M = ΣM

Kuvvet çiftlerininmomentlerinin toplamı

Kuvvetlerintoplamı

→→

R = ΣF→→

M1

FnF1

Mm

Mm

ΣM = M1 + ... + Mm + MAF1 + ... + MA

Fn

ΣF = F1 + ··· + Fn

→ → →

→ → → → →

Behcet DAĞHAN


Behcet DAĞHAN



Örnek Problem 2/12

Verilenler:

İstenenler:

İki kuvvetten ve bir kuvvet çiftinden oluşan şekildeki kuvvet sisteminin bileşkesi

O noktasından geçiyorsa kuvvet çiftinin şiddeti M nedir?

Çözüm

F1 = 320 N

F2 = 400 N

M = ?

M = 148 N·m

0

M − 400 (150 cos30o) − 320 (150 + 150) = 0M + MOF1 + MO

F2 = 0Kuvvet çiftinin

bütün noktalara göredöndürme etkisi aynıdır.

Bileşkenin tesir çizgisiO noktasından geçmektedir.

M > 0

M < 0

M

MOR = ΣMO MO

R = ΣMO

ΣMO = 0

R

O


F1 = 320 N

F2 = 400 N

→

→

→

→

→ →

Behcet DAĞHAN


Behcet DAĞHAN



Örnek Problem 2/13

Verilenler:

İstenenler:

Şekildeki üç kuvvetten oluşan sistemin yerine geçecek R kuvvetinin x ve y-bileşenlerini

ve tesir çizgisinin x-eksenini kestiği yerin O noktasına uzaklığını bulunuz.

Çözüm

M > 0

M < 0

Rx = ΣFx Ry = ΣFy

F1 = 160 N

F2 = 240 N

F3 = 200 N

Rx = ?

Ry = ?

x = ?

Rx = F1x + F2x + F3x Ry = F1y + F2y + F3y

Rx = 0 + 0 − F3 Ry = − F1 + F2 + 0

Rx = − 200 N Ry = 80 N

R = Rx + Ry = F1 + F2 + F3→ → → → → →

R d = Rx (0) + 80 (x)x = 1625 mm

R Ry

Rx

x

R d = − 160 (250) + 240 (250+250) + 200 (250) }MO

R = ΣMO


Behcet DAĞHAN


Behcet DAĞHAN



Örnek Problem 2/14

Verilenler:

İstenenler:

Şekildeki üç kuvvetin oluşturduğu sistemin bileşkesini i ve j birim vektörleri cinsinden ifade ediniz.

Bileşkeyi A noktasına taşıyıp, A noktasına taşırken sisteme ilave edilmesi gereken kuvvet çiftini bulunuz.

Ayrıca bileşkeyi A noktasına taşıdıktan sonra tesir çizgisinin denklemini yazınız.

Çözüm

M > 0

M < 0

Rx = ΣFx Ry = ΣFy

F1 = 80 N

F2 = 60 N

F3 = 100 N

y = f(x) = ?

Rx = F1x + F2x + F3x Ry = F1y + F2y + F3y

Rx = F1 + 0 + F3 Ry = 0 − F2 + 0

Rx = 180 N Ry = − 60 N

R = Rx + Ry = F1 + F2 + F3→ → → → → →

MAR = ΣMA

RRy

R = ?→

M = ?

R = 180 i − 60 j N→ →→

Ax

y

Rx

→ →

− R d = ΣMA = F1 (0) − F2 (1.5) − F3 (0.75)

MAR= M = − 165 N·m

y = m x

tanθ = –––Ry

Rx

θ > 0

θ < 0

m = tanθ} y = − –– x

13

Rx = 80 + 0 + 100 Ry = 0 − 60 + 0

ΣMA = 80 (0) − 60 (1.5) − 100 (0.75)

R

M

∟

d


Behcet DAĞHAN


Behcet DAĞHAN



Örnek Problem 2/15

Verilenler:

İstenenler:

Şekildeki kuvvet sisteminin bileşkesinin tesir çizgisinin x-eksenini kestiği yerin x-koordinatını

bulunuz.

Çözüm

M > 0

M < 0

Rx = ΣFx Ry = ΣFy

F1 = 250 N

F2 = 400 N

F3 = 500 N

x = ?

Rx = 346 N Ry = − 2200 N

R = Rx + Ry = F1 + F2 + F3 + F4 + F5 + F6

→ → → → → →

MAR = ΣMA

− R d = |Rx| (0) − |Ry| x = − 400 sin30o (5) − 500 (2.5) − 500 (5) − 500 (7.5) − 250 (10)

x = 5 m

Rx = 400 cos30o Ry = − 250 − 400 sin30o − 500 − 500 − 500 − 250

→ → →

F4 = 500 N

F5 = 500 N

F6 = 250 N

RRy

Rx

x

∟d Momentin işaretini bozmaması için

Rx ve Ry nin işaretini atmalıyız.

Bileşkenin tesir çizgisi x-eksenini G noktasında keser.


→

Documents

STATİK - selcuk.edu.tr Ders Notlari - 2 1 İki... · Kuvvet vektörü, kendi tesir çizgisi üzerinde kaydırılırsa incelenen sisteme etki eden dış kuvvetler değişmez. Fakat