Statystyczne Metody Opracowania Pomiarów Iusers.uj.edu.pl/~ufkamys/BK/smop1N_h.pdf · B.Kamys; Notatki do wykªadu SMOP-I 2014/15 3 3.Je»eli A 1 i A 2 a szdarzeniami losowymi to

B.Kamys; Notatki do wykªadu SMOP-I 2014/15 1

Statystyczne Metody OpracowaniaPomiarów I

B. Kamys; Instytut Fizyki UJ

Spis tre±ci

1 Elementy teorii prawdopodobie«stwa 2

1.1 De�nicje podstawowych poj¦¢ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Wªasno±ci prawdopodobie«stwa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2 Podstawowe poj¦cia teorii estymacji 5

3 Ilo±ciowy opis zmiennych losowych 7

4 Funkcje zmiennej losowej 9

5 Charakterystyki rozkªadu prawdopodobie«stwa 11

6 Rozkªad normalny (Gaussa) 15

7 Podstawy rachunku niepewno±ci pomiarowych 17

7.1 Rozkªad pomiarów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

7.2 Estymator warto±ci oczekiwanej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

7.3 Estymator odchylenia standardowego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

7.4 Zapis wyników pomiarów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

7.5 Rozkªad liczby pozytywnie zako«czonych do±wiadcze« . . . . . . . . . . . . . . 26

7.6 Niepewno±¢ statystyczna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

7.7 Pomiary po±rednie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

7.7.1 Estymator E(Y) dla pomiaru po±redniego Y . . . . . . . . . . . . . . . . 29

7.7.2 Niepewno±¢ pomiaru po±redniego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

7.7.3 Bª¡d maksymalny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

8 Regresja liniowa 31

9 Indeks 34


1 ELEMENTY TEORII PRAWDOPODOBIE�STWA

1.1 DEFINICJE PODSTAWOWYCH POJ��

DEFINICJA: Zbiór zdarze« elementarnych - zbiór takich zdarze«, które si�e wzajemnie wyklu-

czaj�a oraz wyczerpuj�a wszystkie mo»liwo±ci (tzn. w ka»dym mo»liwym przypadku przynaj-

mniej jedno z nich musi zachodzi¢).

DEFINICJA: Zdarzeniem jest dowolny podzbiór zdarze« elementarnych E .

DEFINICJA: Zdarzeniem pewnym jest zdarzenie zawieraj�ace wszystkie elementy zbioru E (za-

chodzi zawsze).

DEFINICJA: Zdarzeniem niemo»liwym jest zdarzenie nie zawieraj�ace »adnego elementu zbioru

E tj. zbiór pusty Ø.

DEFINICJA: Zdarzenie A zawiera si�e w zdarzeniu B je»eli ka»de zdarzenie elementarne na-

le»�ace do zbioru A nale»y do B: 'A ⊂ B'

DEFINICJA: Zdarzenia A i B s�a równe

gdy A ⊂ B i B ⊂ A.

DEFINICJA: Suma zdarze« A+B

to zdarzenie zawieraj�ace te i tylko te zdarzenia elementarne, które nale»�a do któregokolwiek

ze zdarze« A, B,... (suma logiczna zbiorów zdarze« elementarnych 'A⋃

B⋃

..').

DEFINICJA: Ró»nica zdarze« A-B

to zdarzenie zawieraj�ace te i tylko te zdarzenia elementarne, które nale»�a do zdarzenia A a

nie nale»�a do zdarzenia B.

DEFINICJA: Iloczyn zdarze« A.B

to zdarzenie zawieraj�ace te i tylko te zdarzenia elementarne, które nale»�a do wszystkich

zdarze« A, B (tzn. w j�ezyku zbiorów 'A⋂

B').

DEFINICJA: Zdarzeniem przeciwnym do A: A nazywamy ró»nic�e 'E-A'

DEFINICJA: Zdarzeniem losowym - nazywamy zdarzenie speªniaj�ace poni»sze warunki:

1. W zbiorze zdarze« losowych znajduje si�e zdarzenie pewne oraz zdarzenie niemo»-

liwe.

2. Je»eli zdarzenia A1, A2,... w ilo±ci sko«czonej lub przeliczalnej s�a zdarzeniami losowymi

to ich iloczyn i ich suma s�a równie» zdarzeniami losowymi.


3. Je»eli A1 i A2 s�a zdarzeniami losowymi to ich ró»nica jest równie» zdarzeniem loso-

wym.

INTUICYJNE OKRE�LENIE: Zdarzenie losowe to takie, o którym nie mo»emy po-

wiedzie¢ czy zajdzie w danych warunkach czy te» nie zajdzie.

DEFINICJA: Zmienn�a losow�a nazywamy jednoznaczn�a funkcj�e rzeczywist�a X(e) okre-

±lon�a na zbiorze E zdarze« elementarnych tak�a, »e ka»demu przedziaªowi warto±ci funkcji

X typu (-∞,x) odpowiada zdarzenie losowe.

DEFINICJA: Zmienna losowa typu skokowego (dyskretnego) to taka, która przyjmuje

tylko co najwy»ej przeliczalny zbiór warto±ci. Zmienna losowa typu ci�agªego - mo»e przyj-

mowa¢ dowolne warto±ci od minus do plus niesko«czono±ci.

DEFINICJA: De�nicja prawdopodobie«stwa

Aksjomat 1: Ka»demu zdarzeniu losowemu przyporz�adkowana jest jednoznacznie nie-

ujemna liczba rzeczywista zwana prawdopodobie«stwem.

Aksjomat 2: Prawdopodobie«stwo zdarzenia pewnego jest równe jedno±ci.

Aksjomat 3: Je»eli zdarzenie losowe Z jest sum�a sko«czonej lub przeliczalnej liczby rozª�acznych

zdarze« losowych Z1,Z2,.. to prawdopodobie«stwo zrealizowania si�e zdarzenia Z jest

równe sumie prawdopodobie«stw zdarze« Z1,Z2, ..

Aksjomat 4: Prawdopodobie«stwo warunkowe zdarzenia A pod warunkiem, »e zachodzi

zdarzenie B; 'P(A|B)' wyra»a si�e wzorem:

P(A|B) = P (A.B)P (B)

Prawdopodobie«stwo to jest nieokre±lone, gdy prawdopodobie«stwo zdarzenia B wy-

nosi zero.

1.2 W�ASNO�CI PRAWDOPODOBIE�STWA

1.) Zdarzenie przeciwne do A :

P(A) = 1 - P(A)

Dowód:

A+A = E a wi�ec P(A+A) = P(E) = 1,

z drugiej strony A i A wykluczaj�a si�e wi�ec

P(A+A) = P(A) + P(A).

St�ad P(A) = P( E) - P(A) czyli P(A) = 1 - P(A) c.b.d.o.


2.) Zdarzenie niemo»liwe :

P(Ø) = 0

Dowód:

E i Ø wykluczaj�a si�e wi�ec P(E+Ø)=P(E)+P(Ø) oraz E+Ø=E a wi�ec P(E+Ø)=P(E), czyli

P(Ø) = 0

c.b.d.o.

3.) Zdarzenie A zawiera si�e w B :

P(A) ≤ P(B)

Dowód: P(B) = P(A+(A.B)) = P(A)+P(A.B) ≥ P(A) c.b.d.o.

4.) Dowolne zdarzenie losowe :

0 ≤ P(A) ≤ 1

Dowód: Dla ka»dego zdarzenia jest prawdziwe:

Ø ⊂ A+Ø = A = A.E ⊂ E

a wi�ec prawdopodobie«stwa zdarze« Ø,A i E speªniaj�a:

0 ≤ P(A) ≤ 1 c.b.d.o.

5.) Suma dowolnych zdarze« A+B :

P(A+B) = P(A) + P(B) - P(A.B)

Dowód:

Zarówno A+B jak i B mo»emy zapisa¢ jako sumy rozª�acznych (wykluczaj�acych si�e) zdarze«:

A+B = A+ (B −A.B) oraz

B = A.B + (B −A.B),

stosujemy aksjomat nr 3 de�nicji prawdopodobie«stwa,

P (A+B) = P (A) + P (B −A.B),

P (B) = P (A.B) + P (B −A.B)

odejmujemy stronami: P(A+B) = P(A) + P(B) - P(A.B) c.b.d.o.

6.) Iloczyn zdarze« A.B :

P(A.B) = P(B).P(A|B) = P(A).P(B|A)

Dowód:

Wynika to automatycznie z 4 aksjomatu de�nicji prawdopodobie«stwa.


DEFINICJA: Zdarzenie A jest niezale»ne od B gdy P(A|B) = P(A).

7.) Je»eli A nie zale»y od B to B nie zale»y od A. Dowód:

Korzystamy z dwu wzorów na prawdopodobie«stwo A.B podanych wy»ej, przy czym w pierw-

szym z nich uwzgl�edniamy, »e A jest niezale»ne od B. Wówczas z porównania obu wzorów

dostajemy P(B|A) = P(B).

c.b.d.o.

8.) WKW niezale»nosci: P(A.B) = P(A).P(B) Dowód:

Wynika to automatycznie ze wzoru na prawdopodobie«stwo iloczynu zdarze«.

c.b.d.o

9.) Formuªa 'caªkowitego prawdopodobie«stwa': Je»eli istnieje zbiór zdarze« A1, A2

... wykluczaj�acych si�e wzajemnie i wyczerpuj�acych wszystkie mo»liwo±ci wówczas praw-

dopodobie«stwo dowolnego zdarzenia B mo»e by¢ zapisane nast�epuj�aco:

P(B) =∑iP (Ai).P (B | Ai)

Dowód:

B =∑

i B.Ai (suma rozª�acznych zdarze«) a wiec P(B) =∑

i P(B.Ai) a ka»dy skªadnik mo»na

zapisa¢ jako P(Ai).P(B|Ai). c.b.d.o.

2 PODSTAWOWE POJ�CIA TEORII ESTYMACJI

DEFINICJA: W statystyce sko«czony zespóª do±wiadcze« nazywamy prób�a a wniosko-

wanie na podstawie próby o wªasno±ciach niesko«czonego (zwykle) zespoªu wszystkich mo»-

liwych do±wiadcze« zwanego populacj�a generaln�a , nazywamy estymacj�a .

DEFINICJA: Przez prób�e prost�a rozumiemy ci�ag niezale»nych do±wiadcze« odnosz�acych

si�e do tej samej populacji generalnej.

DEFINICJA: Statystyk�a nazywamy tak�a funkcj�e zmiennych losowych obserwowanych w

próbie, która sama jest zmienn�a losow�a.

DEFINICJA: Estymatorem Tn(x1, x2, ..xn; θ) parametru θ lub w skrócie Tn(θ) nazy-

wamy statystyk�e o rozkªadzie prawdopodobie«stwa zale»nym od θ. Tu x1, x2, .. oznaczaj�a

wyniki pomiarów próby a przez rozkªad prawdopodobie«stwa rozumiemy przyporz�adkowanie


prawdopodobie«stw ró»nym warto±ciom statystyki Tn.

DEFINICJA: Estymacja punktowa to taka estymacja, która polega na oszacowaniu war-

to±ci danego parametru θ przez warto±¢ jego estymatora.

DEFINICJA: Estymacja przedziaªowa polega na szukaniu przedziaªu liczbowego, wewn�atrz

którego z zaªo»onym prawdopodobie«stwem le»y prawdziwa warto±¢ parametru.

DEFINICJA: Estymator Tn(θ), jest zgodny je»eli dla ka»dego ε > 0 jest speªniony

warunek:

limn→∞P (| Tn(θ)− θ |< ε) = 1

W takim przypadku u»ywa si�e cz�esto okre±lenia, »e estymator speªnia prawo wielkich liczb .

PRZYK�AD:TWIERDZENIE (Bernoulli): Wzgl�edna cz�esto±¢ pojawiania si�e zdarzenia

'A' w ci�agu 'n' do±wiadcze« speªnia prawo wielkich liczb czyli jest zgodnym estymatorem

prawdopodobie«stwa zdarzenia A: P(A).

limn→∞ P( | nA/n - P(A) |< ε ) = 1

DEFINICJA:

Estymator speªniaj�acy mocne prawo wielkich liczb to taki, który jest zbie»ny do estymowa-

nego parametru z prawdopodobie«stwem równym jedno±ci.

P( limn→∞ Tn(θ) = θ ) = 1

PRZYK�AD:

TWIERDZENIE: F.P.Cantelli udowodniª w 1917 roku, »e wzgl�edna cz�esto±¢ pozytyw-

nego zako«czenia do±wiadczenia; nA/n jest zbie»na do prawdopodobie«stwa zdarzenia A;

P(A) z prawdopodobie«stwem równym jedno±ci:

P( limn→∞ (nA/n) = P(A) ) = 1

czyli wzgl�edna cz�esto±¢ speªnia mocne prawo wielkich liczb.


3 ILO�CIOWY OPIS ZMIENNYCH LOSOWYCH

Ilo±ciowy opis zmiennych losowych uzyskujemy stosuj�ac

• Dystrybuant�e (Zwan�a cz�esto przez statystyków funkcj�a rozkªadu)

• Rozkªad prawdopodobie«stwa (Tylko dla zmiennych dyskretnych)

• Funkcj�e g�esto±ci prawdopodobie«stwa (Tylko dla zmiennych ci�agªych) oraz wielko±ci

charakteryzuj�ace te powy»ej wymienione twory.

DEFINICJA: Dystrybuant�a F(x) nazywamy prawdopodobie«stwo tego, »e zmienna lo-

sowa X przyjmie warto±¢ mniejsz�a od x. ('X' - to symbol zmiennej losowej a 'x' to jej

konkretna warto±¢). Oczywi±cie dystrybuanta jest funkcj�a x.

F(x) ≡ P( X < x )

Wªasno±ci dystrybuanty:

1. 0 ≤ F(x) ≤ 1

2. F(-∞) = 0

3. F(+∞) = 1

4. F(x) jest niemalej�ac�a funkcj�a

5. F(x) nie posiada wymiaru

Przykªad:

Dla rzutu kostk�a do gry, gdzie jako zmienn�a losow�a przyj�eto liczb�e wyrzuconych punktów:

F (x) = 0 dla x ≤ 1,

= 1/6 dla 1 < x ≤ 2,

= 2/6 dla 2 < x ≤ 3,

= 3/6 dla 3 < x ≤ 4,

= 4/6 dla 4 < x ≤ 5,

= 5/6 dla 5 < x ≤ 6,

= 1 dla x > 6


DEFINICJA: Rozkªad prawdopodobie«stwa : Je»eli xi (i=1,2,...) s�a warto±ciami dys-

kretnej zmiennej losowej to rozkªadem prawdopodobie«stwa nazywamy zespóª prawdopo-

dobie«stw:

P(X=xi) = pi,∑i pi = 1

Przykªad:

Rozkªad prawdopodobie«stwa dla rzutu kostk�a do gry omawianego powy»ej: pi = 1/6 dla

i = 1,2 .. 6.

DEFINICJA:

Funkcja g�esto±ci prawdopodobie«stwa f(x)

f(x)dx ≡ P(x ≤ X < x+dx)

Wªasno±ci funkcji g¦sto±ci prawdopodobie«stwa:

1. f(x) ≥ 0,

2. f(x) jest unormowana tj.∫ +∞−∞ f(x)dx = 1

3. f(x)=dF (x)dx

4. Wymiar f(x) = wymiar (1/x)

Przykªad:

Rozkªad jednorodny w przedziale [a,b]:

f(x) = 0 dla x < a

= 1/(b− a) dla a ≤ x ≤ b

= 0 dla b < x


4 FUNKCJE ZMIENNEJ LOSOWEJ

Funkcja Y zmiennej losowej X: Y = Y(X) jest równie» zmienn�a losow�a. Dlatego te» mo»na

dla niej okre±li¢ dystrybuant�e, rozkªad prawdopodobie«stwa lub funkcj�e g�esto±ci prawdopo-

dobie«stwa. S�a one prosto zwi�azane z odpowiednimi wielko±ciami dla zmiennej X. Nale»y

rozpatrzy¢ niezale»nie przypadek, gdy funkcja Y(X) jest monotoniczna oraz gdy nie posiada

tej wªasnosci.

a) Funkcja Y = Y(X) jest monotoniczna.

Mo»na wówczas jednoznacznie okre±li¢ funkcj�e odwrotn�a X=X(Y).

1. Dystrybuanta funkcji Y(X): G(y)

Y(X) jest rosn�aca :

G(y) = F(x(y))

Y(X) jest malej�aca :

G(y) = 1 - F(x(y)) - P(x;y=y(x)

Dowód: Wychodz�ac z de�nicji dla Y(X) rosn�acej:

G(y) = P (Y < y)

= P (X(Y ) < x)

= F (x(y))

dla Y(X) malej�acej:

G(y) = P (Y < y)

= P (X(Y ) > x)

= 1− P (X(Y ) ≤ x)

= 1− P (X(Y ) < x)− P (X(Y ) = x)

= 1− F (x(y))− P (x;Y = y(x)) c.b.d.o.

2. Rozkªad prawdopodobie«stwa P(y):

P(yi) = P(xi;yi=Y(xi))


3. Funkcja g�esto±ci prawdopodobie«stwa g(y):

g(y) = f(x(y)) | dx(y)dy|

gdzie X(Y) jest funkcj�a odwrotn�a do Y(X).

Z de�nicji: f(x) dx = P(x ≤ X < x+dx) a to prawdopodobie«stwo przy jednoznacznym

zwi�azku mi�edzy X i Y wynosi P(y ≤ Y < y+dy)=g(y) dy.

Znak moduªu przy pochodnej pojawia si�e st�ad, »e przy malej�acej funkcji Y(X) pochodna

b�edzie ujemna co powodowaªoby, »e g(y) byªaby ujemna a zgodnie z de�nicj�a musi by¢ nie-

ujemna.

Przykªad dla funkcji monotonicznej:

Y(X) = a X + b; a i b to rzeczywiste staªe

1. Rozkªad prawdopodobie«stwa:

P(Y=yi) = P(a xi + b =yi) = P(xi =yi−b

a)

2. Dystrybuanta:

dla a > 0, G(y) = F(x = y−ba

),

dla a < 0, G(y)=1 - F(x= y−ba

) - P(x=y−ba

)

3. G�esto±¢ prawdopodobie«stwa:

g(y)= 1|a| f(x=

y−ba

)

b.) Funkcja Y(X) nie jest monotoniczna .

Wówczas dzielimy obszar zmienno±ci X na przedziaªy, w których Y(X) jest monoto-

niczna i powtarzamy powy»sze rozwa»ania sumuj�ac przyczynki od rozª�acznych prze-

dziaªów.


Przykªad dla funkcji niemonotonicznej:

Y(X)=X2

1. Rozkªad prawdopodobie«stwa:

P(yi) = P(X2=yi) = P(X=-√yi)+P(X=+

√yi)

2. Dystrybuanta:

G(y) = P(Y <y) = P(X2 < y) =

P(-√y < X < +

√y)

G(y) = 0 dla y ≤ 0

G(y) = F (√y)− F (−√y) dla y ≥ 0

3. Rozkªad g�esto±ci prawdopodobie«stwa:

g(y) = 0 dla y < 0

g(y) = |−1

2√y| f(√y) +

1

2√yf(−√y)

=1

2√y

(f(√y) + f(−√y)) dla y ≥ 0

5 CHARAKTERYSTYKI ROZK�ADU PRAWDOPODOBIE�STWA

W praktycznych zastosowaniach cz�esto wystarcza poznanie warto±ci pewnych wielko±ci, które

charakteryzuj�a rozkªad prawdopodobie«stwa zamiast peªnej informacji o rozkªadzie.

Oto najcz¦±ciej stosowane:

DEFINICJA: fraktyl xq (zwany równie» kwantylem) jest to warto±¢ zmiennej losowej, dla

której dystrybuanta przyjmuje warto±¢ 'q'.

F(xq) = q

Najwa»niejsze fraktyle to dolny kwartyl: x0.25 , górny kwartyl: x0.75 oraz mediana: x0.5.


DEFINICJA: Moda (zwana równie» warto±ci�a modaln�a jest to taka warto±¢ zmiennej loso-

wej, dla której rozkªad prawdopodobie«stwa (lub funkcja g�esto±ci prawdopodobie«stwa) przyjmuje

maksimum.

DEFINICJA: Rozkªady prawdopodobie«stwa posiadaj�ace jedn�a mod�e zwane s�a

jednomodalnymi a te, które maj�a wi�ecej ni» jedn�a - wielomodalnymi.

DEFINICJA: Momentem rozkªadu rz�edu 'k'

wzgl�edem punktu x0, nazywamy nast�epuj�ac�a wielko±¢:

mk(x0) ≡∫(x - x0)

k f(x) dx

mk(x0) ≡∑i (xi-x0)

k p(xi)

dla zmiennych ci�agªych i dyskretnych odpowiednio.

Najwa»niejszymi momentami s�a te, które liczone s�a wzgl�edem pocz�atku ukªadu wspóªrz�ednych

tj. x0=0 - (b�edziemy je oznaczali przez ' mk ' ) oraz momenty liczone wzgl�edem X0 = m1 tj.

wzgl�edem pierwszego momentu wzgl�edem pocz�atku ukªadu wspóªrz�ednych. Te ostatnie momenty

nazywa si�e momentami centralnymi (b�edziemy je oznacza¢ przez ' µk ').

DEFINICJA:m1 zwany warto±ci�a oczekiwan�a, warto±ci�a ±redni�a lub nadziej�a matematyczn�a.

B�edziemy go oznaczali przez E(X) (stosuje si�e równie» oznaczenie M(X) lub X ).

E(X) ≡∑i pi xi dla zmiennych dyskretnych,

E(X) ≡∫f(x) x dx dla zmiennych ci�agªych

Je»eli powy»sza caªka (lub suma) sa bezwzgl�ednie zbie»ne to mówimy, »e istnieje warto±¢ oczeki-

wana. W przeciwnym wypadku (nawet je»eli caªka jest zbie»na) mówimy, »e warto±¢ oczekiwana

nie istnieje !

Interpretacja E(X):

E(X) jest wspóªrz�edn�a punktu, który byªby ±rodkiem masy rozkªadu prawdopodobie«stwa (lub

pola pod funkcj�a g�esto±ci prawdopodobie«stwa) gdyby prawdopodobie«stwa poszczególnych war-

to±ci "xi"traktowa¢ jako masy (lub odpowiednio g¦sto±¢ prawdodobie«stwa jako zwykª�a g�esto±¢).


Wªasno±ci E(X):

E(X) jest operatorem liniowym a wi�ec:

1. E(∑i Ci Xi) =

∑i Ci E(Xi)

Co w szczególnych przypadkach daje:

(a) E(C)=C

(b) E(CX)=C.E(X)

(c) E(X1 + X2)=E(X1)+E(X2)

2. Dla zmiennych niezale»nych X1, ... , Xn

E(Πi Xi) = Πi E(Xi)

UWAGA: Warunkiem koniecznym i wystarczaj�acym by zmienne byªy niezale»ne jest aby

wspólny rozkªad prawdopodobie«stwa faktoryzowaª si�e: f(X1,X2,..,Xn) = f1(X1) . f2(X2)

... f3(Xn). Rozkªady wielu zmiennych losowych omówimy pó¹niej.

3. Dla funkcji zmiennej X; Y=Y(X)

warto±¢ oczekiwana E(Y) mo»e by¢ znaleziona przy pomocy rozkªadu zmiennej X bez ko-

nieczno±ci szukania rozkªadu f(y):

E(Y) =∑i y(xi) pi, E(Y) =

∫y(x) f(x) dx

dla zmiennej dyskretnej i dla zmiennej ci�agªej odpowiednio.

Korzystaj�ac z tej wªasno±ci zauwa»amy natychmiast,

»e dowolny moment mk(x0) mo»e by¢ potraktowany jako warto±¢ oczekiwana

funkcji Y(X)=(X-x0)k:

mk(x0) ≡∫dx f(x) (x-x0)

k = E((x-x0)k)

DEFINICJA: µ2, zwany wariancj�a lub dyspersj�a

B�edziemy go oznacza¢ przez ' σ2(X) ' lub ' var(X) ' (stosuje si�e równie» oznaczenie ' D(X) ').

Pierwiastek z wariancji nazywany jest odchyleniem standardowymi oznaczany ' σ(X)' ale czasami

u»ywa si�e równie» nazwy ' dyspersja '.

σ2(X) ≡∑ipi (xi - E(x))

2 zmienna dyskretna

σ2(X) ≡∫f(x)(x-E(x))2 dx zmienna ci�agªa


Wªasno±ci wariancji:

1. Wariancja mo»e by¢ wyra»ona przez momenty liczone wzgl�edem pocz�atku ukªadu wspóªrz�ednych:

σ2(X) = m2 −m21

σ2(X) = E(X2)− E2(X)

Dowód: Korzystamy z trzeciej wªasno±ci warto±ci oczekiwanej tj.

m2(E(X)) = E((X − E(X))2)

= E(X2 − 2X.E(X) + E2(X))

= E(X2)− 2E(X).E(X) + E2(X)

= E(X2)− E2(X)

c.b.d.o.

Posªugujac si�e tym przedstawieniem wariancji dostajemy natychmiast nast�epuj�ace wªasno-

±ci:

(a) var(C)=0 .

bo E(C2)-E2(C)=C2-C2=0 c.b.d.o.

(b) var(CX)=C2var(X)

jest to nast�epstwo liniowo±ci E(X), przez któr�a de�niowali±my var(X).

(c) var(C1X+C2) = C2 var(X)

2. Dla zmiennych niezale»nych

var(∑i Ci Xi) =

∑i C

2i var(X)

Wzór ten ªatwo wyprowadzi¢ korzystaj�ac z 3 wªasno±ci warto±ci oczekiwanej:

var(y=∑iCiXi) ≡ E((y − E(Y ))2).

Po wstawieniu do wzoru oraz podniesieniu do kwadratu otrzymamy sum�e kwadratów wyra»e«

' Ci(Xi - E(Xi)) ' oraz iloczyny mieszane tych wyra»e«. Iloczyny mieszane znikn�a w chwili gdy

podziaªa na nie zewn�etrzny operator warto±ci oczekiwanej (poniewa» E(X-E(X))=E(X)-E(X)=0).

Zaªo»enie niezale»no±ci jest potrzebne przy liczeniu warto±ci oczekiwanej z iloczynów mieszanych

(wówczas warto±¢ oczekiwana iloczynu równa jest iloczynowi warto±ci oczekiwanych). Suma war-

to±ci oczekiwanych z kwadratów wyra»e« 'Ci(Xi-E(Xi))' jest wªa±nie oczekiwanym przez nas

wyra»eniem.


Interpretacja wariancji wynika z nierówno±ci Czebyszewa, któr�a mo»na zapisa¢ nast�epuj�aco:

P( | X-E(X) | ≥ a.σ(X)) ≤ a−2

TWIERDZENIE:

Prawdopodobie«stwo odchylenia warto±ci zmiennej losowej od warto±ci oczekiwanej E(X) o 'a'

-krotn�a warto±¢ odchylenia standardowego jest mniejsze lub równe od 1a2 .

Twierdzenie to jest sªuszne dla wszystkich rozkªadów, które posiadaj�a wariancj�e (a wi�ec, co za tym

idzie i warto±¢ oczekiwan�a). Liczba ' a ' jest dowoln�a dodatni�a rzeczywist�a liczb�a.

Interpretacja wariancji

Korzystaj�ac z powy»szego twierdzenia dochodzimy do wniosku, »e wariancja (lub odchylenie

standardowe) jest miar�a rozrzutu zmiennej losowej dokoªa warto±ci oczekiwanej.

Jest to bardzo wa»ny wniosek bo w analizie danych do±wiadczalnych uto»samiamy

warto±¢ oczekiwan�a pomiarów wykonanych w obecno±ci bª�edów przypadkowych z

warto±ci�a prawdziw�a mierzonej wielko±ci. Wtedy miar�a bª�edu przypadkowego

jest odchylenie standardowe bo ono okre±la rozrzut wyników dokoªa warto±ci prawdzi-

wej.

6 ROZK�AD NORMALNY (Gaussa)

DEFINICJA:

Ci�agªa zmienna losowa X, której funkcja g�esto±ci prawdopodobie«stwa ma nast�epuj�ac�a posta¢:

f(X) = 1√2π B

exp(−(X−A)2

2B2 )

nazywa si�e zmienn�a o rozkªadzie normalnym N(A,B).

Wªasno±ci rozkªadu normalnego f(X) ≡ N(A,B):

Warto±¢ oczekiwana: E(X) = A

Odchylenie standardowe: σ(X) = B


St�ad ªatwo wida¢, »e N(A,B) ≡ N( E(X),σ(X) )

Dystrybuanta rozkªadu normalnego nie wyra»a si�e przez funkcje elementarne.

Warto zapami�eta¢ nast�epuj�ace warto±ci prawdopodobie«stwa znalezienia zmiennej X

w danym przedziale:

P( E(X) - σ(X) ≤ X < E(X) + σ(X) ) = 0.6827

P( E(X) - 2σ(X) ≤ X < E(X) + 2σ(X) ) = 0.9545

P( E(X) - 3σ(X) ≤ X < E(X) + 3σ(X) ) = 0.9973

Uwaga:

Dowoln�a zmienn�a Y o rozkªadzie normalnym mo»na standaryzowa¢ tworz�ac wielko±¢ Z o rozkªa-

dzie 'standardowym normalnym' N(0,1):

Z = (Y - E(Y))/σ(Y).

Standaryzacja jest wa»na ze wzgl�edu na mo»liwo±¢ tablicowania zarówno funkcji g�esto±ci praw-

dopodobie«stwa, jak i dystrybuanty rozkªadu N(0,1) a potem wykorzystania faktu, »e maj�ac

zmienn�a X o rozkªadzie N(0,1) mo»emy stworzy¢ zmienn�a Y o rozkªadzie N(A,B) przez prost�a

transformacj�e: Y = B*X+A .

Co wi¦cej, przez standaryzacj¦ sprowadzamy wszystkie warto±ci oryginalnej zmiennej do obszaru

w pobli»u zera a jednostk¡ jest odchylenie standardowe. Dzi¦ki temu mo»na porównywa¢ rozkªady

wielko±ci ró»ni¡ce si¦ znacznie poªo»eniem centrum i skal¡ warto±ci.

Centralne Twierdzenie Graniczne (Intuicyjne sformuªowanie)

Zmienna Z b�ed�aca standaryzowan�a sum�a niezale»nych zmiennych losowych bedzie miaªa standar-

dowy rozkªad normalny gdy liczba skªadników w sumie d�a»y do niesko«czono±ci oraz w sumie nie

wyst�epuj�a zmienne o wariancjach dominuj�acych w stosunku do reszty skªadników.

Wªa±nie to twierdzenie powoduje, »e rozkªad normalny jest wyró»nionym rozkªadem

- bardzo cz¦sto stosowanym w statystyce.


7 PODSTAWY RACHUNKU NIEPEWNO�CI POMIAROWYCH

Wynik pomiaru bez podania dokªadno±ci do±wiadczenia (niepewno±ci pomiaru)

jest bezwarto±ciowy.

DEFINICJA: Pomiarem bezpo±rednim nazywamy do±wiadczenie, w którym przy po-

mocy odpowiednich przyrz�adow mierzymy (porównujemy z jednostk�a) interesuj�ac�a

nas wielko±¢ �zyczn�a.

Przykªad:

• Pomiar dªugo±ci przedmiotu przy pomocy linijki

• Pomiar dªugo±ci odcinka czasu przy pomocy zegara

DEFINICJA: Pomiarem po±rednim nazywamy do±wiadczenie, w którym wyznaczamy

warto±¢ interesuj�acej nas wielko±ci �zycznej przez pomiar innych wielko±ci �zycznych

zwi�azanych z dan�a wielko±ci�a znanym zwi�azkiem funkcyjnym.

Przykªad:

• Pomiar oporu elektrycznego przewodnika: mierzymy spadek napi�ecia 'U' na

przewodniku i pr�ad 'I' przez niego pªyn�acy a opór 'R' wyznaczamy z prawa

Ohma: R=U/I.

• Pomiar g�esto±ci stopu, z którego zbudowany jest prostopadªo±cian: mierzymy

bezpo±rednio dªugo±¢ kraw�edzi 'a','b' i 'c' prostopadªo±cianu i jego mas�e 'm' a

g�esto±¢ wyznaczamy ze wzoru: ρ = m/(a . b . c).

DEFINICJA: Tradycyjnie bª�edem pomiaru 'e' nazywano ró»nic�e pomi�edzy warto±ci�a

'X' uzyskan�a w do±wiadczeniu a prawdziw�a (nieznan�a) warto±ci�a 'X0' danej wielko±ci:

e = X-X0

Bª�edy dzielono na grube, systematyczne i przypadkowe


Zgodnie z NORM� ISO (Mi¦dzynarodowej Organizacji Normalizacyjnej) wprowadzon¡ w

1995 roku nale»y unika¢ sªowa �bª¡d� zast¦puj¡c go sªowami �niepewno±ci pomiarowe�.

�Bª¡d� nale»y zarezerwowa¢ tylko dla pomyªek eksperymentatora (tj. do bª¦dów grubych)

lub niewªa±ciwej metody pomiarowej (tj. do bª¦dów systematycznych) - patrz poni»ej.

Norma zaleca u»ywanie symbolu u(x) dla niepewno±ci pomiaru zmiennej x. Symbol ten

pochodzi od angielskiego sªowa �uncertainty� ≡ �niepewno±¢�.

DEFINICJA: Bª�edy grube to bª�edy, które pojawiaj�a si�e w wyniku pomyªki ekspery-

mentatora (np. odczyt na niewªa±ciwej skali przyrz�adu) lub w wyniku niesprawno±ci

aparatury pomiarowej. Zwykle s�a one na tyle du»e, »e mo»na je ªatwo zauwa»y¢.

Dla unikni�ecia tych bª�edów nale»y starannie zorganizowa¢ proces pomiaru i u»y-

wa¢ do do±wiadcze« tylko wªa±ciwie wytestowanych przyrz�adów.

DEFINICJA: Bª�edy systematyczne to takie, które podczas wykonywania pomiaru

systematycznie przesuwaj�a wyniki pomiarów w jedn�a stron�e w stosunku do prawdzi-

wej warto±ci.

Przykªad: Przy pomiarze oporu mo»emy zastosowa¢ dwa ró»ne schematy podª�aczenia wol-

tomierza i amperomierza:

1. Woltomierz podª�aczony równolegle do oporu a szeregowo do nich amperomierz. Wów-

czas spadek napi�ecia mierzony jest rzeczywi±cie na oporniku ale pr�ad mierzony przez

amperomierz odpowiada nie samemu pr�adowi pªyn�acemu przez przewodnik lecz sumie

pr�adów - opornika i woltomierza. Systematycznie zawy»amy warto±¢ pr�adu 'I' co w

przypadku gdy opór woltomierza nie jest wielokrotnie wi�ekszy od oporu przewodnika

mo»e prowadzi¢ do znacz�acego bª�edu.

V

A

2. Woltomierz podª�aczony jest równolegle do ukªadu szeregowo poª�aczonego opornika i

amperomierza. Wówczas woltomierz mierzy spadek napi�ecia na przewodniku oraz na

amperomierzu równocze±nie. Systematycznie zawy»amy napi�ecie 'U' co w przypadku

gdy opór wewn�etrzny amperomierza nie jest wielokrotnie mniejszy od oporu przewod-

nika mo»e prowadzi¢ do znacz�acego bª¦du.


V

A

Bªedy systematyczne s�a trudne do zauwa»enia i oszacowania. Dla ich unikni�ecia

stosuje si�e:

• staranne przemy±lenie metody pomiaru w poszukiwaniu mo»liwych ¹ródeª bª�edów

systematycznych i rezygnacja z metod, które prowadz�a do takich bª�edów,

• zmian�e metody pomiaru np. opór w powy»szym przykªadzie mo»na mierzy¢ me-

tod�a mostka, która nie wprowadza takich systematycznych bª�edów jak omówione

najprostsze schematy pomiaru. Wa»ne staªe �zyczne takie jak pr�edko±¢ ±wiatªa

'c' byªy wielokrotnie mierzone ró»nymi metodami, gªównie po to by upewni¢

si�e, »e unikni�eto bª�edów systematycznych,

• unikanie oczywistych ¹ródeª bª�edu jak np. "bª�ad paralaksy"polegaj�acy na od-

czytaniu skali nie patrz�ac na ni�a z kierunku prostopadªego,

• pomiary wzgl�edne polegaj�ace na tym, »e mierzymy równocze±nie, t�a sam�a me-

tod�a dwie wielko±ci - jedn�a dobrze znan�a a drug�a - t�e, któr�a chcemy zmierzy¢.

Odnosz�ac wynik pomiaru nieznanej wielko±ci do wyniku pomiaru znanej wiel-

ko±ci zwykle mo»emy wyeliminowa¢ bª�edy systematyczne.

DEFINICJA: Przypadkowe niepewno±ci pomiarowe (zwane tradycyjnie �bª¦dami przy-

padkowymi�) to niepewno±ci, które zmieniaj�a si�e od pomiaru do pomiaru, powoduj�ac

odchylenia od warto±ci prawdziwej zarówno w dóª jak i w gór¦. Zakªada si�e, »e spo-

wodowane s�a one przez wiele niezale»nych przyczyn o porównywalnym znaczeniu.

Metody statystyki pozwalaj�a na oszacowanie tego typu niepewno±ci zarówno jako-

±ciowo jak i ilo±ciowo. Nie mówi�a jednak nic o bª�edach systematycznych czy grubych.

Dlatego dalsze rozwa»ania dotyczy¢ b¦d¡ tylko niepewno±ci przypadkowych.

Je»eli mamy do czynienia tylko z niepewno±ciami przypadkowymi to s�a speªnione

zaªo»enia centralnego twierdzenia granicznego a wi�ec:

Rozkªad niepewno±ci przypadkowej u to rozkªad N(0,σ(u)).


f(u) = 1√2π σ(u)

exp( −u2

2σ2(u))

7.1 ROZK�AD POMIARÓW

Poniewa» warto±¢ oczekiwana niepewno±ci przypadkowej jest z de�nicji równa zero

i rozrzut niepewno±ci dokoªa warto±ci oczekiwanej niepewno±ci jest okre±lony przez

odchylenie standardowe σ(u) a wynik pomiaru 'X' ró»ni si�e od niepewno±ci pomiaro-

wej 'u' tylko przesuni�eciem skali wspóªrz�ednych o 'X0' (warto±¢ prawdziw�a mierzonej

wielko±ci) to rozkªad warto±ci mierzonej 'X' jest rozkªadem Gaussa N(X0, σ(u)):

f(X) = 1√2π σ(u)

exp(−(X−X0)2

2σ2(u)).

WA�NE WNIOSKI:

• Warto±¢ prawdziwa mierzonej wielko±ci jest równa warto±ci oczekiwanej pomia-

rów (je»eli s�a tylko niepewno±ci przypadkowe).

• Rozrzut pomiarów dokoªa warto±ci prawdziwej jest okre±lony przez odchylenie

standardowe σ(e) rozkªadu niepewno±ci przypadkowych.

• Miar�a niepewno±ci pojedynczego pomiaru jest odchylenie standardowe pomia-

rów.

Z powy»szych faktów wynika, »e:

Szukanie prawdziwej warto±ci mierzonej wielko±ci i jej niepewno±ci to

estymacja warto±ci oczekiwanej i odchylenia standardowego pomiarów

DEFINICJA: Estymatorem nieobci�a»onym Tn(θ) parametru θ nazywamy taki estymator,

którego warto±¢ oczekiwana równa jest warto±ci estymowanego parametru niezale»nie

od rozmiarów próby:

E(Tn(θ)) = θ


DEFINICJA: Obci�a»eniem estymatora 'Bn' nazywamy ró»nic�e jego warto±ci oczekiwanej

i warto±ci estymowanego parametru:

Bn = E(Tn(θ)) - θ

DEFINICJA: Estymatorem obci�a»onym nazywamy taki estymator, którego obci�a»enie

jest ró»ne od zera.

DEFINICJA: Estymatorem asymptotycznie nieobci�a»onym nazywamy taki estymator obci�a»ony,

którego obci�a»enie zmierza do zera gdy rozmiary próby niesko«czenie rosn�a:

limn→∞ Bn = 0

TWIERDZENIE:

Je»eli wariancja estymatora nieobci�a»onego lub asymptotycznie nieobci�a»onego d�a»y

do zera gdy rozmiary próby rosn�a nieograniczenie wówczas estymator ten jest zgodny.

TWIERDZENIE:

Je»eli Tn(θ) jest zgodnym estymatorem θ i je»eli h(θ) jest wielomianem lub ilorazem

wielomianów to estymator h(Tn(θ)) jest estymatorem zgodnym dla h(θ).

DEFINICJA:

Je»eli mamy zbiór estymatorów tego samego parametru θ: T(1)n (θ),T(2)

n (θ), ... T(k)n (θ),

wówczas ten spo±ród nich nazywany jest najbardziej efektywnym, który ma najmniejsz�a

wariancj�e.

OD 'DOBREGO' ESTYMATORA �A�DAMY ABY:

• speªniaª mocne prawo wielkich liczb lub byª zgodny

• O ile to mo»liwe chcemy by byª:

� Nieobci�a»ony,

� Najbardziej efektywny.


7.2 ESTYMATOR WARTO�CI OCZEKIWANEJ

Jako estymator warto±ci oczekiwanej Tn(E(X)) przyjmuje si�e ±redni�a arytmetyczn�a nie-

zale»nych pomiarów wielko±ci X. B�edziemy j�a oznacza¢ przez X :

Tn(E(X)) ≡ X = 1n

∑ni=1Xi

Estymator ten posiada optymalne wªasno±ci:

1. Koªmogorow pokazaª, »eX speªnia mocne prawo wielkich liczb a wi�ec oczywi±cie

jest zgodny,

2. Estymator X jest nieobci�a»ony.

E( 1n

∑i Xi) =

1n

∑i E(Xi) =

1n(n.E(X)) = E(X) c.b.d.o.

Tu wykorzystano fakt, »e wszystkie warto±ci oczekiwane s�a równe E(Xi)=E(X).

3. Mo»na pokaza¢, »e X jest najbardziej efektywnym estymatorem E(X).

TWIERDZENIE:

Estymator X warto±ci oczekiwanej E(X) ma rozkªad normalny N(E(X),σ(X)√n

) gdzie 'n'

jest liczb�a pomiarów w próbie.

WNIOSKI:

1. Odchylenie standardowe ±redniej arytmetycznej X jest√n - krotnie mniejsze

od odchylenia standardowego pojedynczego pomiaru.

2. Odchylenie standardowe σ(X) czyli standardowa niepewno±¢ pomiaru ±redniej

arytmetycznej u(X) (wg tradycyjnej nomenklatury bª�ad ±redni kwadratowy

±redniej arytmetycznej ) charakteryzuje dokªadno±¢ wyznaczenia prawdziwej war-

to±ci X w danym pomiarze skªadaj�acym si�e z n niezale»nych do±wiadcze«.

3. Aby charakteryzowa¢ dokªadno±¢ metody pomiarowej nale»y jako miar�e dokªad-

no±ci poda¢ standardow¡ niepewno±¢ pojedynczego pomiaru u(X) ≡ σ(X) (wg

tradycyjnej nomenklatury - bª¡d pojedynczego pomiaru) .

4. W granicach wyznaczonych przez σ(X) powinno le»e¢ 68.27% wszystkich po-

miarów a nie wszystkie pomiary.


7.3 ESTYMATOR ODCHYLENIA STANDARDOWEGO

(1) S(X) ≡√

1n−1

∑ni=1(Xi −X)2

Jest to zgodny, asymptotycznie nieobci�a»ony estymator.

UWAGA: zaleca si¦ u»ywa¢ tego estymatora odchylenia standardowego.

(2) s(X) ≡√

1n

∑ni=1(Xi −X)2

Jest to zgodny, asymptotycznie nieobci�a»ony i najbardziej efektywny estymator

(3)S(X) ≡ kn S(X)

gdzie kn =√n−1

2

Γ(n−12

)

Γ(n2

)

Jest to zgodny i nieobci�a»ony estymator σ(X).

Wspóªczynnik "kn"mo»na zast�api¢ z niezªym przybli»eniem przez wstawienie do

wzoru na S(X) zamiast 1/(n-1) czynnika 1/(n-1.45).

Poni»ej podajemy w tabelce przykªadowe warto±ci wspóªczynnika kn dla ró»nych

'n':

n kn√

n−1n−1.45

3 1.1284 1.1359

4 1.0853 1.0847

5 1.0640 1.0615

6 1.0506 1.0482

7 1.0423 1.0397

10 1.0280 1.0260

15 1.0181 1.0165

20 1.0134 1.0121

25 1.0104 1.0095

50 1.0051 1.0046


7.4 ZAPIS WYNIKÓW POMIARÓW

Poniewa» z do±wiadczenia nie uzyskujemy prawdziwej warto±ci oczekiwanej E(X)

oraz odchylenia standardowego σ(X) a tylko ich estymatory wi�ec nie podaje si�e ich

warto±ci z peªn�a (uzyskan�a z oblicze«) liczb�a cyfr znacz�acych.

KONWENCJA: Stosuje si�e nast�epuj�ac�a konwencje� zapisu wyników, gdzie jako miar¦

niepewno±ci pomiaru podaje si¦ niepewno±¢ standardow¡ u(x) ≡ S(x).

• Pozostawia si�e tylko dwie cyfry znacz�ace standardowej nie-

pewno±ci pomiarowej, np. 0,023.

• Wynik pomiaru obliczamy tak aby wyznaczy¢ jedno

miejsce dziesi�etne dalej ni» miejsce dziesi�etne, na któ-

rym zaokr�aglono niepewno±¢ pomiarow¡, a nast�epnie za-

okr�aglamy do tego samego miejsca dziesi�etnego, do którego

wyznaczono niepewno±¢ pomiarow¡, np. zamiast 1,9024

bierzemy 1,902.

• Wynik wraz z niepewno±ci¡ pomiarow¡ podajemy w ten

sposób, »e po wypisaniu wyniku dopisujemy w nawiasie dwie

cyfry znacz¡ce reprezentuj¡ce niepewno±¢ pomiaru i podajemy

jednostk¦, np.

m = 1,902(23) kg lub m = 1,902(0,023) kg

INNA FORMA ZAPISU:

•

Stosuje si¦ równie» zapis:

x = (wynik(x)± U(x)) jednostka(x) , gdzie U(x) ≡ k · u(x)

tzw. niepewno±¢ rozszerzona.

Wspóªczynnik rozszerzenia �k� przyjmuje warto±ci 2 ≤ k ≤ 3

przy czym domy±lnie, tzn. je»eli nie podaje si¦ tego jawnie,

przyjmuje si¦ k = 2.

• UWAGA: ten zapis jest identyczny jak zapis stosowany dawniej (przed przyj¦-

ciem aktualnej konwencji zapisu) ale wtedy podawaªo si¦ standardow¡ niepewno±¢

u(x) zamiast rozszerzonej niepewno±ci U(x) ≡ k · u(x).


•

Zapis przykªadowy przytaczanego

powy»ej wyniku:

masa = (1,902 ± 0.046) kg .

UWAGA: Zastosowanie formy zapisu: (wynik ± niepewno±¢ pomiaru) mo»e pro-

wadzi¢ do nieporozumienia, gdy nie napiszemy wyra¹nie, »e stosujemy now¡ konwen-

cj¦ i »e jako wspóªczynnik rozszerzenia niepewno±ci bierzemy k = 2.

Zaleca si¦ wi¦c stosowanie zapisu, w którym podaje si¦ w nawiasie

2 cyfry znacz¡ce standardowej niepewno±ci pomiarowej. W prze-

ciwnym wypadku nale»y wyra¹nie zaznaczy¢, »e podajemy rozsze-

rzon¡ niepewno±¢ standardow¡ oraz wypisa¢ warto±¢ k.

UWAGA: Poniewa» omawiana metoda szacowania niepewno±ci opiera si¦ o staty-

styczny rozrzut pomiarów rz¡dzony rozkªadem Gaussa, to

• Niepewno±¢ standardowa pomiaru okre±la przedziaª warto±ci mierzonej wielko±ci

gdzie

z prawdopodobie«stwem ≈ 0.68 znajduje si¦ prawdziwa warto±¢ mierzonej wiel-

ko±ci.

• Rozszerzona niepewno±¢ z czynnikiem rozszerzenia k=2 okre±la przedziaª,

gdzie

z prawdopodobie«stwem ≈ 0.95 znajduje si¦ prawdziwa warto±¢.

Norma ISO okre±lania niepewno±ci pomiarowych proponuje zastosowanie dwu me-

tod do tego celu:

Metoda A szacowania niepewno±ci pomiarowych to opisane powy»ej wnioskowanie o

niepewno±ci pomiaru z rozrzutu statystycznego wyników pomiaru

Metoda B stosuje si¦, gdy nie mo»emy takiego rozrzutu zaobserwowa¢ , np. gdy

• Dziaªka skali przyrz¡du pomiarowego jest wi¦ksza od obserwowanego roz-

rzutu,

• Pomiar mo»na wykona¢ tylko jednokrotnie bo, np. towarzyszy mu znisz-

czenie badanego obiektu, itp.


W metodzie B: post¦pujemy nast¦puj¡co:

• Szukamy takiego przedziaªu [a, b] warto±ci mierzonej wielko±ci x, »e wszyst-

kie warto±ci x ∈ [a, b] (np. dªugo±¢ [a, b] to wielko±¢ dziaªki skali przyrz¡du).

• Zakªadamy funkcj¦ g¦sto±ci prawdopodobie«stwa zmiennej x; najcz¦±ciej

zakªada si¦ jednostajny rozkªad: f(x) = 1/(b− a).

• Odchylenie standardowe tej wielko±ci bierzemy jako warto±¢ niepewno±ci

standardowej, np. dla rozkªadu jednostajnego

u(x) ≡ σ(x) = (b− a)/(2√

3).

UWAGA: Poniewa» (b−a)/2 ≡ ∆x, gdzie ∆x to (tradycyjnie) tzw. bª¡d maksymalny

wi¦c wtedy standardowa niepewno±¢

u(x) = ∆x/√

3.

7.5 ROZK�AD LICZBY POZYTYWNIE ZAKO�CZONYCH DO�WIAD-

CZE�

TWIERDZENIE: Je»eli prawdopodobie«stwo zrealizowania si�e danego zdarzenia lo-

sowego w pojedynczym do±wiadczeniu jest równe 'p' to liczba 'k' zrealizowanych

zdarze« w 'N ' niezale»nych do±wiadczeniach rz�adzona jest rozkªadem Bernoulliego

( dwumianowym, binomialnym):

P (k) = N!k!(N−k)!

pk(1− p)N−k; k = 0, 1, ..N

�atwo mo»na pokaza¢, »e

E(k) = N · pσ(k) =

√N · p · (1− p)

W �zyce cz�esto zdarza si�e sytuacja gdy 'N ' jest bardzo du»e, 'p' bardzo maªe a

warto±¢ oczekiwana rejestrowanych zdarze« E(k) ≡ N · p jest staªa. np. N - liczba

radioaktywnych j�ader w badanej próbce, p - prawdopodobie«stwo rozpadu pojedynczego radioaktyw-

nego j�adra w jednostce czasu, k - liczba rejestrowanych rozpadów w jednostce czasu


W takiej sytuacji rozkªad Bernoulliego przechodzi w rozkªad Poissona:

P (k) = λk

k!exp(−λ)

Warto±¢ oczekiwana i odchylenie standardowe wyra»aj�a si�e wzorem:

E(k) = λ

σ(k) =√λ

Mo»na pokaza¢, »e dla dla N ⇒∞ rozkªad Bernoulliego i rozkªad Poissona d�a»�a

do rozkªadu normalnego N(N.p,√N.p.(1− p)) i N(λ,

√λ) odpowiednio.

7.6 NIEPEWNO�� STATYSTYCZNA

Liczba rejestrowanych w danym okresie czasu zdarze« 'k' rz�adzonych powy»szymi

prawami jest zmienn�a losow�a a wi�ec �prawdziwa� liczba zdarze« to E(k) a jej niepew-

no±¢ to σ(k). T¦ niepewno±¢ nazywana jest �niepewno±ci¡ statystyczn¡� (tradycyjnie

�bª¦dem statystycznym�).

ESTYMATOR prawdziwej liczby zdarze« i jej niepewno±ci statystycznej.

Jako estymator prawdziwej liczby zdarze« przyjmuje si�e liczb�e �k� zarejestrowa-

nych zdarze« podczas pojedynczego pomiaru:

Tn(E(k)) = k

a jako estymator niepewno±ci statystycznej pierwiastek z tej liczby:

Tn(σ(k)) =√

k

POZORNY PARADOKS: Im dªu»ej mierzymy tym statystyczna niepewno±¢ liczby

zarejestrowanych zdarze« jest wi�eksza.

WYT�UMACZENIE: Istotna jest statystyczna niepewno±¢ wzgl�edna a nie bezwzgl�edna:

Tn(σ(k)E(k)

) = 1√k.


NOMENKLATURA: Pomiar z maª¡ statystyczn¡ niepewno±ci¡ wzgl�edn¡ to pomiar z

DOBRA� a z du»¡ statystyczn¡ niepewno±ci¡ wzgl¦dn¡ to pomiar ze Z�A� STATYSTYKA� .

W praktyce do opisu rejestracji liczby zdarze« stosujemy rozkªad Poissona. Inte-

resuje nas jednak nie tylko odpowied¹ na pytanie:

'Ile zdarze« zachodzi w okre±lonym czasie ?'

ale równie» odpowied¹ na inne pytanie:

'Ile zachodzi zdarze« DANEGO TYPU ?'

PRZYK�AD: Rejestrujemy produkty reakcji j�adrowej. Chcemy wiedzie¢ nie tylko

ile reakcji zachodzi ale tak»e ile jest produktów posiadaj�acych okre±lon�a energi�e.

PYTANIA:

1. Jakim rozkªadem rz�adzona jest liczba zdarze« w ka»dym przedziale (�kanale�)

energii?

2. Co by si�e staªo gdyby±my dodali liczby zdarze« z kilku s�asiednich kanaªów (dla

poprawienia �statystyki� liczby zdarze«) ?

ODPOWIEDZI:

ad 1 Liczba zdarze« w ka»dym kanale jest rz�adzona rozkªadem Poissona ale ka»dy z

tych rozkªadów ma zwykle ró»ny parametr λ.

ad 2 Korzystaj�ac z poni»szego twierdzenia:

TWIERDZENIE

Rozkªad prawdopodobie«stwa sumy sko«czonej liczby niezale»nych skªadników,

z których ka»dy rz�adzony jest rozkªadem Poissona o parametrze λi jest równie»

rozkªadem Poissona ale o nowym parametrze λ =∑iλi .

stwierdzamy, »e liczba zdarze« w kilku wysumowanych kanaªach k =∑iki b�edzie

dalej rz�adzona rozkªadem Poissona z parametrem λ, którego estymator jest

równy Tn(E(k)) =∑iki.


7.7 POMIARY PO�REDNIE

Je»eli w do±wiadczeniu mierzymy wielko±ci X1, X2, .. XN a nast�epnie wyliczamy

warto±¢ funkcji Y = Y(X1, X2, .. XN) to tak�a procedur�e nazywamy pomiarem po-

±rednim.

7.7.1 ESTYMATOR E(Y) POMIARU PO�REDNIEGO Y

Estymatorem E(Y) jest warto±¢ funkcji Y wyliczona dla argumentów, które s�a esty-

matorami X1, X2, .. XN tzn. dla ±rednich arytmetycznych X1,X2, ...,XN :

Tn(E(Y(X1,X2, ..XN))) = Y(X1,X2, ...,XN)

lub inaczej

E(Y(X1,X2, ..XN)) ≈ Y(X1,X2, ...,XN)

7.7.2 NIEPEWNO�� POMIARU PO�REDNIEGO

Przy zaªo»eniu, »e pomiary X1, X2, .. XN byªy wykonywane niezale»nie odpowied-

nio n1, n2, .. nN razy, niepewno±¢ pomiaru po±redniego nazywana wg NORMY

ISO �niepewno±ci¡ zªo»on¡� (tradycyjnie bª¦dem ±rednim kwadratowym) oszacowuje

si�e nast�epuj�aco:

σ(Y ) ≈√N∑i

( ∂Y∂Xi

)2Xi=Xi

· σ2(Xi)

UWAGA:

1. X1, X2, .. XN to ró»ne wielko±ci a nie kolejne pomiary wielko±ci "X",

2. Pochodne liczone wzgl�edem 'Xi' to pochodne cz�astkowe tzn. liczone przy zaªo-

»eniu, »e pozostaªe zmienne 'X' s�a ustalone,

3. Zamiast wariancji zmiennej σ2(Xi) u»ywa si�e jej estymatora tzn. S2(Xi) N-

krotnie mniejszego od estymatora S2(Xi).

Je»eli pomiary wielko±ci mierzonych bezpo±rednio byªy wykonywane jednokrotnie

to nie mo»emy oszacowa¢ σ(X) z rozrzutu (tj. metod¡ A wg NORMY ISO) lecz

stosujemy metod¦ B oszacowania niepewno±ci standardowej pomiaru bezpo±redniego

opisan¡ powy»ej.


7.7.3 B�A�D MAKSYMALNY

Bª¡d maksymalny pomiaru po±redniego to tradycyjne poj¦cie, które stosowano, gdy

nie mo»na byªo oszacowa¢ niepewno±ci pomiaru bezpo±redniego z rozrzutu wyników.

Liczono go wg poni»szego wzoru, tzn. metoda� ró»niczki zupeªnej.

∆(Y ) ≈N∑i| ∂Y∂Xi| ·∆(Xi)

Tu moduªy pochodnych s�a wyliczane dla jednokrotnie zmierzonych wielko±ci Xi a

symbol ∆(Xi) oznacza maksymalny bª�ad tej wielko±ci mierzonej bezpo±rednio.

Zgodnie z NORM� ISO : Nie nale»y u»ywa¢ poj¦cia bª¦du maksymalnego po-

miaru po±redniego lecz liczy¢ niepewno±¢ pomiaru po±redniego jako zªo»on¡ niepew-

no±¢ pomiarow¡ wstawiaj¡c zamiast niepewno±ci pomiarów bezpo±rednich otrzyma-

nych "metod¡ A"(tzn. z rozrzutu pomiarów) niepewno±ci oszacowane "metod¡ B".

Nale»y tak post¦powa¢ bo:

• W odró»nieniu od zªo»onej niepewno±ci standardowej bª�ad maksymalny nie ma

interpretacji statystycznej.

• �atwo mo»na pokaza¢ , »e bª¡d maksymalny obliczony metod�a ró»niczki zupeªnej

jest zawsze wi�ekszy od zªo»onej niepewno±ci standardowej.


8 REGRESJA LINIOWA

DEFINICJA Regresja liniowa zmiennej Y wzgle�dem zmiennej X to linia prosta

Y = a ·X + b,

której parametry �a� i �b� dobiera si¦ tak aby minimalizowa¢ sum�e kwadratów

odchyle« wspóªrz�ednych (Yi, i = 1, 2, ..n) zespoªu 'n' punktów o wspóªrz�ednych

(X1, Y1),(X2, Y2),... (Xn, Yn) od linii.

UWAGA Regresja liniowa X wzgl�edem Y tj. prosta X = c · Y + d pokrywa

si�e z regresj�a liniow�a Y wzgl�edem X tj. prost�a Y = a · X + b znalezion�a dla tego

samego zespoªu punktów do±wiadczalnych tylko wtedy gdy zwi�azek pomi�edzy X i Y

jest funkcyjnym zwi�azkiem liniowym (a nie zale»no±ci�a statystyczn�a).

Rozwa»ymy tu specy�czn�a sytuacj�e polegaj�ac�a na tym, »e:

• zmienna X ma zaniedbywalnie maªe niepewno±ci pomiarowe

(mówimy wtedy, »e 'X jest zmienn�a kontrolowan�a')

• zmienna obja±niana Y jest zmienn�a losow�a o znanej niepewno±ci standardowej σ(yi)

dla ka»dego punktu o wspóªrz¦dnych (xi, yi).

Wtedy dostajemy nast¦puj¡ce estymatory parametrów regresji:

Tn (a) =

n∑i=1

wiyi (xi − xw)

n∑i=1

wi (xi − xw)2

Tn (b) = yw − Tn (a) · xw

gdzie

wi ≡ 1/σ2(yi), xw ≡

n∑i=1

wixi

n∑i=1

wi

, yw ≡

n∑i=1

wiyi

n∑i=1

wi


Niepewno±ci standardowe estymatorów parametrów a i b równie» wyra»aj�a si�e ana-

litycznymi wzorami:

σ (Tn (a)) = 1/

√√√√ n∑i=1

wi (xi − xw)2

σ (Tn (b)) =

√√√√√ 1n∑i=1

wi

+x2w

n∑i=1

wi (xi − xw)2

Niepewno±¢ standardowa warto±ci Y przewidzianej przez lini�e regresji (zale»na od x):

σ (y (x)) =

√√√√√√ 1n∑i=1

wi

+(x− xw)2

n∑i=1

wi (xi − xw)2

Mo»emy spotka¢ si¦ z jeszcze prostsz¡ sytuacj¡ polegaj¡c¡ na tym, »e:

• Zmienna X jest zmienn¡ kontrolowan¡ a niepewno±¢ standardowa zmiennej Y

jest taka sama dla wszystkich punktów i wynosi σ(Y ).

Wtedy dostajemy proste, analityczne wzory na estymatory parametrów regresji:

Tn(b) =(∑iXi

2) · (∑i Yi)− (

∑iXi) · (

∑iXi · Yi)

W

Tn(a) =n · (

∑iXi · Yi)− (

∑iXi) · (

∑i Yi)

W

W ≡ n ·∑i

X2i − (

∑i

Xi)2

Wska¹nik sumowania �i� przebiega warto±ci od 1 do �n�.


Niepewno±ci standardowe estymatorów parametrów �a� i �b� równie» wyra»aj�a si�e

analitycznymi wzorami:

u(b) ≡ Tn(σ(b)) = σ(Y ) ·

√∑iX

2i

W

u(a) ≡ Tn(σ(a)) = σ(Y ) ·√n

W

Mo»emy równie» poda¢ wzór na niepewno±¢ standardow¡ warto±ci Y przewidzia-

nej przez lini�e regresji (zale»n¡ od X):

u(Y (X)) ≡ Tn(σ(Y (X))) = σ(Y ) ·

√√√√ 1

n+

(X −X)2∑i (Xi −X)2

Symbol X oznacza tu ±redni¡ arytmetyczn¡.

• Tn(σ(Y (X))) to estymator niepewno±ci standardowej warto±ci Y (X) przewi-

dzianej przez regresj�e,

• σ(Y ) to niepewno±c pomiaru wspóªrz�ednej Yi (z zaªo»enia taka sama dla wszyst-

kich punktów).

Gdy jej nie znamy wpisujemy tu (i do wzorów na niepewno±ci parametrów a i b) estymator

Tn(σ(Y )),

• X to ±rednia arytmetyczna warto±ci zmiennej kontrolowanej wyliczona ze wspóªrz�ednych

punktów X1,X2,... Xn,

• X - to warto±¢ zmiennej kontrolowanej X, dla której wyliczamy warto±¢ regresji

liniowej Y (X) oraz estymator niepewno±ci regresji liniowej Y (X) dla tej warto±ci

argumentu X.


9 INDEKS

- Bª¡dde�nicja 17,

gruby 18,

maksymalny 30,

przypadkowy 19,

systematyczny 18,

statystyczny 27,

- Centralne twierdzenie graniczne 16

- Dystrybuantazmiennej losowej 7 ,

funkcji zmiennej losowej 9,

- Estymacjapunktowa 6,

przedziaªowa 6

- Estymatorasymptotycznie nieobci¡»ony 21,

standardowej niepewno±ci pojedynczego pomiaru 24,

standardowej niepewno±ci pomiaru po±redniego 29,

standardowej niepewno±ci parametrów regresji liniowej 32,

standardowej niepewno±ci regresji liniowej 33,

standardowej niepewno±ci ±redniej arytmetycznej 22,

niepewno±ci statystycznej 27,

najbardziej efektywny 21,

nieobci¡»ony 20,

obci¡»ony 21,

odchylenia standardowego 23,

prawdopodobie«stwa 6,

speªniaj¡cy mocne prawo wielkich liczb 6,

warto±ci oczekiwanej 22,

zgodny (speªniaj¡cy prawo wielkich liczb) 6,

- Kwantyl (fraktyl)dolny kwartyl 11,

górny kwartyl 11,

mediana 11


- Moda 12

- Moment 12

- Niepewno±¢ pomiarowametoda A wyznaczania 25,

metoda B wyznaczania 25,

rozszerzona 24,

rozszerzona - zapis 24,

standardowa pomiaru bezpo±redniego 20,

standardowa pomiaru po±redniego (niepewno±¢ zªo»ona) 29,

standardowa - zapis 24,

statystyczna 27,

statystyczna - wzgl¦dna 27,

- Prawdopodobie«stwode�nicja 3,

estymator 6,

g¦sto±¢ 8,

rozkªad 8,

wªasno±ci 3,

- Regresja liniowa 31

- RozkªadBernoulliego (dwumianowy, binomialny) 26,

Gaussa (normalny) 15,

Poissona 27,

- Statystyka 5

- Warto±¢ oczekiwana

(nadzieja matematyczna, warto±¢ ±rednia) 12

- Wariancja

(dyspersja, kwadrat odchylenia standardowego) 13

- Wspóªczynnik rozszerzenia (niepewno±ci pomiarowej), 24

- Zapis wyników, 24


- Zdarzenia 2elementarne 2,

iloczyn zdarze« 2,

losowe 2, 3,

niemo»liwe 2,

niezale»ne 5,

pewne 2,

przeciwne 2,

ró»nica zdarze« 2,

suma zdarze« 2,

- Zmiennalosowa 3,

losowa skokowa 3

SZANOWNY CZYTELNIKU !

• Notatki, które czytasz nie maj¡ zast¡pi¢ wykªadu SMOP-I, co najlepiej wi-

da¢ po tym, »e prawie nie zawieraj¡ komentarzy. S¡dz¦ jednak, »e mog¡ by¢

po»yteczne dla tych, którzy chc¡ znale¹¢ w jednym miejscu podstawowe de�-

nicje i wzory niezb¦dne do analizy statystycznej danych na poziomie Pierw-

szej Pracowni Fizycznej. Mog¡ równie» stanowi¢ wst¦p do nauki bardziej

zaawansowanych metod statystycznych - wykªadanych w ramach wykªadu

SMOP-II.

• Mam nadziej¦, »e w tych notatkach jest stosunkowo maªo pomy-

ªek. Jednak»e wielokrotnie przekonaªem si¦, »e bª¦dów nie robi¡

tylko ci co nic nie robi¡ a wi¦c z pewno±ci¡ znajd¡ si¦ tu bª¦dy.

B¦d¦ wdzi¦czny za powiadomienie mnie o tych bª¦dach oraz za wszelkie

uwagi, które pomog¡ poprawi¢ te notatki oraz jako±¢ wykªadu na nich opar-

tego.

(B. Kamys; [email protected])

mailto:[email protected]

Documents

Statystyczne Metody Opracowania Pomiarów Iusers.uj.edu.pl/~ufkamys/BK/smop1N_h.pdf · B.Kamys; Notatki do wykªadu SMOP-I 2014/15 3 3.Je»eli A 1 i A 2 a szdarzeniami losowymi to