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STEREOMETRIA STEREOMETRIA STEREOS: SOLIDO STEREOS: SOLIDO METRIA: MISURAZIONE METRIA: MISURAZIONE

STEREOMETRIA STEREOS: SOLIDO METRIA: MISURAZIONE

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Page 1: STEREOMETRIA STEREOS: SOLIDO METRIA: MISURAZIONE

STEREOMETRIASTEREOMETRIA

STEREOS: SOLIDOSTEREOS: SOLIDO

METRIA: MISURAZIONEMETRIA: MISURAZIONE

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Postulati di appartenenzaPostulati di appartenenza

A1 : una retta r contiene almeno due puntiA1 : una retta r contiene almeno due punti

A2 : tre punti appartengono ad uno e un A2 : tre punti appartengono ad uno e un solo pianosolo piano

A3 : Se due punti appartengono ad un A3 : Se due punti appartengono ad un piano, l’intera retta passante per tali punti piano, l’intera retta passante per tali punti appartiene al pianoappartiene al piano

A4 : Non tutti i punti appartengono allo A4 : Non tutti i punti appartengono allo stesso piano stesso piano

GEOMETRIA SOLIDA

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Mutua posizione Mutua posizione di rette nello spaziodi rette nello spazio

Rette incidenti: hanno un punto in comune. Due rette incidenti sono complanari e il loro piano è unico.

Rette parallele: appartenenti allo stesso piano e ivi parallele

Rette sghembe: quattro punti non complanari individuano rette sghembe, cioè rette non aventi punti in comune e non appartenenti al medesimo piano.

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Mutua posizione di pianiMutua posizione di piani

Piani paralleliPiani paralleli: non hanno alcun punto in : non hanno alcun punto in comune o sono coincidenticomune o sono coincidenti

Piani incidenti: hanno in comune una retta che è detta intersezione dei due piani

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FASCIO DI PIANI: INSIEME DI PIANI PASSANTI FASCIO DI PIANI: INSIEME DI PIANI PASSANTI PER UNA STESSA RETTAPER UNA STESSA RETTA

STELLA DI RETTE : INSIEMI DI RETTE STELLA DI RETTE : INSIEMI DI RETTE PASSANTIPER UN PUNTOPASSANTIPER UN PUNTO

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Ps

d

π

r

t

Teorema Se una retta (r) è perpendicolare a altre due (t e s), passanti per un medesimo punto P, allora essa è perpendicolare ad ogni altra retta del loro fascio (p), ma a nessun altra retta della loro stella (d).

p

Perpendicolarità tra rette e pianiPerpendicolarità tra rette e piani

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Una retta che incontra il piano senza essergli perpendicolare si dice obliqua rispetto al piano (d obliqua a π)

Definizioni

Una retta è perpendicolare ad un piano quando incontrandolo è perpendicolare ad ogni retta passante per quel punto e appartenente al piano(r perpendicolare a π)

Si dice distanza di un punto da un piano il segmento di perpendicolare condotto dal punto al piano

Ps

d

π

r

t p

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r

P

s

t

α

β

Teorema delle tre perpendicolariSe una retta r è perpendicolare ad un piano α in un punto P e da questo si conduce una retta s perpendicolare ad una retta t di α, questa è perpendicolare al piano β individuato da r e da s.

H

H intersezione tra s e tPrendiamo A su rPrendiamo B e C su t tali che HB = HC PHB e PHC congruenti PB=PC APB e APC congruenti AB=ACABC isoscele AH mediana AH altezza t è perpendicolare a AH e PH, ovvero a β generato da esse

A

B

C

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Angolo diedro

L’angolo diedro è ciascuna delle due parti nelle quali lo spazio viene diviso da due semipiani aventi l’origine in comune

Angolo diedro convesso

Faccia

Spigolo

Page 10: STEREOMETRIA STEREOS: SOLIDO METRIA: MISURAZIONE

Sezione normale

Angolo piano ottenuto intersecando un angolo diedro con un piano perpendicolare allo spigolo

Page 11: STEREOMETRIA STEREOS: SOLIDO METRIA: MISURAZIONE

Le sezioni normali di uno stesso diedro sono congruenti

Due angoli diedri si dicono congruenti quando sono congruenti le loro sezioni normali

Si può definire ampiezza di un angolo diedro l’ampiezza dell’angolo piano , sua sezione normale

Page 12: STEREOMETRIA STEREOS: SOLIDO METRIA: MISURAZIONE

Due piani si dicono perpendicolari quando incontrandosi formano angoli diedri retti

Se due piani sono perpendicolari , ogni retta dell’uno, che sia perpendicolare alla loro intersezione, è perpendicolare anche all’altro

Se una retta è perpendicolare ad un piano α, tutti i piani che la contengono sono perpendicolari al piano α

Page 13: STEREOMETRIA STEREOS: SOLIDO METRIA: MISURAZIONE

ANGOLOIDIDefinizione: Si consideri un poligono p e un punto V non appartenente ad esso. Si definisce angoloide la figura determinata da tutte le semirette aventi origine in V e passanti per i punti del poligono.

• V si chiama vertice• Le semirette passanti per i vertici del poligono si dicono spigoli• Gli angoli formati da due spigoli consecutivi si chiamano facce

V

p

Si può pensare come intersezione di più diedri

Page 14: STEREOMETRIA STEREOS: SOLIDO METRIA: MISURAZIONE

Esempio: Triedro

E’ un angoloide con tre facce

Faccia

Triedro è l’intersezione tra tre diedri

V

a

b

c

Page 15: STEREOMETRIA STEREOS: SOLIDO METRIA: MISURAZIONE

In un angoloide la somma delle facce è minore di un angolo giro

V

A

B

C

Page 16: STEREOMETRIA STEREOS: SOLIDO METRIA: MISURAZIONE

POLIEDRIDefinizione Un poliedro è una figura intersezione di più semispazi.

Il suo confine è rappresentato da almeno quattro poligoni, detti facce.

Ogni spigolo individua un diedro e un vertice un angoloide

( Può essere pensato come l’intersezione di più angoloidi)

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4 Tetraedro5 Pentaedro6 Esaedro8 Ottaedro12 dodecaedro20 icosaedro

Un poliedro prende il nome dal numero di facce

Formula di Eulero

f = numero facces = numero spigoliv = numero vertici

f + v = s + 2Esempio: pentaedro

f = 5s = 8v = 5

Page 18: STEREOMETRIA STEREOS: SOLIDO METRIA: MISURAZIONE

ClassificazioneClassificazione

POLIEDRI

PRISMI

POLIEDRI REGOLARI

PIRAMIDI

CUBI TETRAEDRI REGOLARI

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POLIEDRI REGOLARI

Definizione: Solido convesso avente come facce poligoni regolari tutti uguali fra loro

TETRAEDRO

OTTAEDRO

ESAEDRO (CUBO)

DODECAEDRO

ICOSAEDRO

Page 20: STEREOMETRIA STEREOS: SOLIDO METRIA: MISURAZIONE

Definizione: Consideriamo un angoloide di vertice V ed un piano π non passante per V che incontra tutti i suoi spigoli. Si dice piramide l’intersezione del semispazio individuato dal piano π e contenente V con l’angoloide.

PIRAMIDI

Base: poligono intersezione tra angoloide e piano

Altezza: distanza vertice V dal piano della base

Page 21: STEREOMETRIA STEREOS: SOLIDO METRIA: MISURAZIONE

Piramide retta: ha per base un poligono circoscrittibile ad una circonferenza il cui centro è il piede dell’altezza

Piramide retta regolare: la base è un poligono regolare

Apotema di una piramide retta: altezza di una faccia. Congiunge V con i punti di tangenza dei lati di base con la circonferenza. E’ uguale in tutte le facce.

Tetraedro regolare : poliedro regolare

Page 22: STEREOMETRIA STEREOS: SOLIDO METRIA: MISURAZIONE

PRISMI

Superficie prismatica: insieme delle rette aventi la direzione fissata passanti per i punti dei lati di un poligono fissato.

Prisma indefinito: parte di spazio delimitato da una superficie prismatica

Prisma è la parte di prisma indefinito delimitato da una coppia di piani paralleli

Page 23: STEREOMETRIA STEREOS: SOLIDO METRIA: MISURAZIONE

Basi : poligoni individuati dai due piani paralleli

Facce laterali : parallelogrammi che delimitano il prisma

Altezza: distanza tra i piani delle basi

Prisma retto: gli spigoli laterali sono perpendicolari ai piani delle basi

Prisma retto regolare: i poligoni di base sono poligoni regolari.

Cubo:Poliedro regolare

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SOLIDI di ROTAZIONESono i solidi che si ottengono dalla rotazione di 360° di una figura piana attorno ad una retta

CILINDRO – rotazione di un rettangolo

CONO – rotazione di un triangolo rettangolo

SFERA – rotazione di una semicirconferenza

Le sezioni ottenute tagliando il solido con un piano perpendicolare alla figura piana che ha dato origine al solido stesso sono tutte circonferenze.