STOCHASTICKÉ MODELOVANIE

Prednáška 6

MODELY OBNOVYModely obnovyTeória obnovy

J. Lotka v r. 1933 - analýzu obnovy súborov strojov

rozpracovanie M. Frechet, V. Feller, aplikácie I. Kožniewska.

ÚLOHY TEÓRIE OBNOVY

Nahradenie objektu, zariadením novým. Výmena celého objektu, resp. niektorých

jeho prvkov - pokles výkonnosti Problematika výmen prvkov

nemeniacich svoje vlastnosti - zlyhanie

Typickým rysom modelov obnovy - odhady a prognózy pravdepodobnostného

charakteru

KLASIFIKÁCIA MODELOV OBNOVY1.Možnosť realizovania opráv:

- opravovaných objektov- neopravovaných objektov- technicky homogénnych resp. nehomogénnych súborov objektov- s rovnorodou resp. nerovnorodou začiatočnou vekovou štruktúrou 

2. Výskyt náhodných veličín:- deterministické - stochastické

 3. Predpoklad diskrétneho alebo spojitého procesu obnovy:- diskrétne modely obnovy - spojité modely obnovy

 4. Zohľadnenie nákladov:- bez nákladov/ s nákladmi- s diskontovaním/bez diskontovania nákladov budúcich období

MODELY OPTIMÁLNEJ ŽIVOTNOSTI A STRATÉGIE OBNOVYOBNOVA OPRAVOVANÝCH OBJEKTOV S

DISKONTOVANÍMNÁKLADOV

optimalizovať proces obnovy stratégiou obnovy optimálna stratégia obnovy

Diskontované náklady:

1nn

1n

n0v.c

i11cc

Kc1, c2, …., cncj-1 < cj pre j = 1,2, …, n Diskontná hodnota N(n) všetkých budúcich nákladov po každých n - obdobiach: 

 

...vc...vcv)cK(

vc...vcvccK)n(N1n2

n1n

2n

1

1nn

2321

n

1i

1ii

n1in

1ii

...)vcK(v)vcK()n(N

n

n

1i

1ii

v1

vcK)n(N

Kritérium pre optimalizáciu počtu období n pre obnovu objektu:

N(n-1) – N(n) > 0 a N(n+1) – N(n) > 0, 

N(n) minimum

1n

1i

1i

1n

1i

1ii

2n

2n1n21

nv

vcK

v...v1

vc...vccKc

n

1i

1i

1in

1ii

1n

1nn21

1nv

vcK

v...v1

vc...vccKc

Optimálna stratégia obnovy: - neobnovovať objekt:

c(n+1) < vážený priemer N(n)

- obnovovať objekt

c(n+1) > vážený priemer N(n)

PRÍKLADObstarávacie náklady objektu sú 100000 p.j., ročná

úroková miera je 7 a predpokladané náklady na údržbu objektu sú v jednotlivých rokoch uvedené v tabuľke.

Treba určiť optimálne obdobie pre obnovu objektu tak, aby sa minimalizovala diskontovaná hodnota všetkých budúcich nákladov na obstarávanie a údržbu objektu.

A B

i ci v^(i-1) ci*v^(i-1) A/B

1 0

2 5000

3 5500

4 7000

5 8500

6 10000

7 15000

8 25000

1

1n

i

iv

1n

1i

1iivcK

MODELY OBNOVY OBJEKTOV VYRAĎOVANÝCH PO ZLYHANÍ1. DISKRÉTNE MODELY OBNOVY

Životnosť -  pravdepodobnosťou zlyhania objektu v k-tom

období: ak

  pravdepodobnosťou prežitia k –období: rk

N0 - počet objektov na začiatku pozorovaniaNk - počet objektov činných v k-tom období

Pravdepodobnosť prežitia k období bez zlyhania:

 

Pravdepodobnosť zlyhania v k-tom období:

 Potenciálna životnosť objektu do budúcna:

 T - fyzická hranica životnosti objektov 

 

0

kk N

Nr

k1k0

k1kk

rrN

NNa

1T...,1,0k;a...aarT2k1kk

T

1kk0

1ar

Pravdepodobnosť vyradenia:

 Miera zlyhania :

 

Priemerná životnosť (priemerný čas bezporuchovej prevádzky):

 

kkr1q

k

k1k

k

kk N

NN

r

a

0k

ka.k

1T

0kk1T10

rr...rr

A. DISKRÉTNY MODEL OBNOVY S ROVNORODOU ZAČIATOČNOU VEKOVOU ŠTRUKTÚROU

Podľa začiatočnej vekovej štruktúry objektov: modely s rovnorodou začiatočnou vekovou

štruktúrou modely s rôznorodou začiatočnou vekovou

štruktúrou

uk – počet objektov, ktoré na začiatku k-teho obdobia zaraďujeme namiesto vyradených na konci k-1 obdobia.

technicky homogénne objekty ak=rk

1. Pravdepodobný počet obnov v k-tom období – uk

Rovnica obnovy  počet objektov na začiatku u0 počet objektov vyradených na konci

1.obdobia, počet obnov po 1.období a1 . u0 = u12.obdobia:

začiatočný súbor a2 . u0doplnený súbor (u1) a1 . u1

 a2u0 + a1u1 = u2

Sústava rovníc

u1 = a1 . u0 u2 = a1u1 + a2u0

u3 = a1u2 + a2u1 + a3u0...................................uT-1 = a1uT-2 + a2uT-3 + … + aT-1u0

 

 

n ≥ T: un = a1un-1 + a2un-2 + … + aTun-T 

 

Pri T = 2 je riešenie:

 

Asymptotický počet obnov:

in

T

1iinuau

1n2

2

0n

)a(1.a1

uu

0n

n

uulim

2. VEKOVÁ ŠTRUKTÚRA OBJEKTOV V JEDNOTLIVÝCH OBDOBIACHPravdepodobnosti dožitia rk

Počet nových objektov u0 = u0 . r0

Na konci 1. obdobia:Počet nových objektov sa rovná u1 = u1 . r0

Počet jedno obdobie starých objektovu0 – u1 = u0 – a1u0 = u0(1 – a1) = u0( -a1) = u0. =u0.r1

Na konci 2. obdobia:Počet nových objektov sa rovná u2 = u2 . r0

Počet jedno obdobie starých objektov:u1 – a1u1 = u1(1 – a1) = u1.r1

Počet dve obdobia starých objektov:u0 – a1u0 – a2u0 = u0(1 – a1 – a2) = u0r2

T

1kk

a

T

2kk

a

T

1kk0

1ar

Tabuľka obnov a vekovej štruktúry:

Čas Vek

0 1 2 … T-1 T … n-1 N

0 u0r0 u1r0 u2r0 uT-1r0 uTr0 un-1r0 unr0

1 u0r1 u1r1 uT-2r1 uT-1r1 un-2r1 un-1r1

2 u0r2 uT-3r2 uT-2r2 un-3r2 un-2r2

: : : : :

T-1 u0rT-1 u1rT-1 un-TrT-1 un-T+1rT-1

u0 u0 u0 u0 u0 u0 u0

PRÍKLADUvažujme súbor 10000 kusov drevených obalov,

ktoré majú maximálnu životnosť 3 roky (T=3). Zo skúseností vyplynulo, že 25% obalov je potrebné vymeniť po prvom roku používania, 35% po druhom a 40% po treťom roku.

Stanovte priemerný počet nových obalov, potrebných na náhradu opotrebených na dobu 5 rokov tak, aby na začiatku každého roku ich bolo 10000. Na začiatku boli všetky obaly nové.

B. DISKRÉTNY MODEL JEDNODUCHEJ OBNOVY S RÔZNORODOU ZAČIATOČNOU VEKOVOU ŠTRUKTÚROU

rk /rk-1

u1 = a1*v0 + v1*a2/r1 + v2*a3/r2 + ... + v(T-2)*a(T-1)/r(T-2) + v(T-1)

u2 = a1*u1 + a2*v0 + v1*a3/r1 + v2*a4/r2 + ... + v(T-3)*a(T-1)/r(T-3) +

v(T-2)*aT/r(T-2)...u(T-1) = a1*u(T-2) + a2*u(T-3) + ... +a(t-1)*u0 + v1*aT/r1...u(n) = a1*u(n-1) + a2*u(n-2) + ... + aT*u(n-T)

TABUĽKA OBNOV A VEKOVEJ ŠTRUKTÚRY

ČasVek

0 1 2 … T-1 T ... n

0 v0 u1r0 u2r0 uT-1r0 uTr0 unr0

1 v1 v0r1 u1r1 uT-2r1 uT-1r1 un-1r1

2 v2 v1r2/r1 v0r2 uT-3r2 uT-2r2 un-2r2

3 v3 v2r3/r2 v1r3/r1 uT-4r3 uT-3r3 un-3r3

T-1 vT-1 vT-2 vT-3 v0rT-1 u1rT-1 un-T+1rT-1

N N N … N N … N2T

1T

r

r

3T

1T

r

r

PRÍKLADUvažujme súbor 1000 objektov, ktoré majú maximálnu

životnosť 5 rokov (T=5). Zo skúseností vyplynulo, že 20% objektov je potrebné vymeniť po prvom roku používania, 43% po druhom, 17% po treťom roku, 17% po štvrtom a 0,03% po piatom roku.

Na začiatku je nasledovná veková štruktúra: v0 = 500 kusov, v1 = 320 kusov, v2 = 74 kusov, v3 =

100 kusov a v4 = 6 kusov.Úlohou je stanoviť priemerný počet nových objektov,

potrebných na náhradu opotrebených na dobu 7 rokov tak, aby na začiatku každého roku ich bolo 1000.