UNIVERZITET U NIŠU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET

DEPARTMAN ZA MATEMATIKU

Stohastičke diferencijalne jednačine

Master rad

Mentor Student Prof. dr Svetlana Janković Miljana Stanković

Niš, 2014.

1

Sadržaj Uvod ........................................................................................................................................... 2

1 Uvodni pojmovi ..................................................................................................................... 3

1.1 Stohastički procesi ......................................................................................................................... 3

1.2 Brownovo kretanje ........................................................................................................................ 8

2 Stohastički integral Itôa ...................................................................................................... 11

2.1 Konstrukcija stohastičkog integrala Itôa ...................................................................................... 11

2.2 Neodređeni stohastički integral Itôa ........................................................................................... 17

2.3 Formula Itôa ................................................................................................................................. 21

2.4 Nejednakosti sa momentima ....................................................................................................... 27

3 Stohastičke diferencijalne jednačine ................................................................................. 32

3.1 Motivacija .................................................................................................................................... 32

3.2 Osnovni pojmovi i definicija ........................................................................................................ 32

3.3 Egzistencija i jedinstvenost rešenja ............................................................................................ 34

3.4 Lp-ocene rešenja........................................................................................................................... 40

4 Linearne stohastičke diferencijalne jednačine ................................................................ 44

4.1 Uvod ............................................................................................................................................ 44

4.2 Vektorske homogene linearne SDJ ............................................................................................. 45

4.3 Vektorske nehomogene linearne SDJ ......................................................................................... 47

4.4 Posebni slučajevi ......................................................................................................................... 48

4.5 Reducibilne SDJ ........................................................................................................................... 53

Zaključak ................................................................................................................................ 60

Literatura ................................................................................................................................ 61

Biografija ................................................................................................................................ 62

2

Uvod Poznato je da realni sistemi koje istražuju različite nauke obiluju neizvesnošću, tako da se u većini slučajeva njihovo ponašanje ne može matematički opisati determinističkim modelima. Adekvatno rešenje zahteva uvođenje slučajnosti u deterministički model. Zbog toga se opisivanje posmatranog sistema u terminima verovatnoće, odnosno u terminima vrednosti stohastičkog sistema, često zasiva na modelu oblika

f (x(t) ,t) + g (x(t), t)ξ(t), t

x(t0) x0,

gde je x(t), t ≥ nepoznati stohastički proces, a ξ(t), t ≥ , dati stohastički proces uveden kao faktor slučajnosti. Za početni uslov x0 se pretpostavlja da je u opštem slučaju slučajna promenjiva. Ovakav stohastički model predstavlja precizniju matematičku reprezentaciju posmatranog sistema u odnosu na deterministički sistem i opisan je stohastičkom diferencijalnom jednačinom koja će biti glavni predmet ovog izlaganja.

U prvoj glavi se uvode osnovni pojmovi i rezultati teorije stohastičkih procesa, a zatim se analiziraju osnovna svojstva Brownovog kretanja, koja će u daljem radu biti motivacija za uvođenje pojma stohastičkog integrala i zasnivanje teorije stohastičkih diferencijalnih jednačina. Navode se neke od mnogobrojnih osobina Brownovog kretanja, kao što su neprekidnost Brownovog kretanja, nediferencijabilnost trajektorija, neograničenost varijacije trajektorija, martingalnost Brownovog kretanja itd. Kada je reč o Brownovom kretanju, nemoguće je izbeći Gaussov beli šum jer, iako ovaj proces u prirodi ne postoji, on ima značajnu ulogu pri matematičkoj apstrakciji nekih slučajnih pojava.

U drugoj glavi se postupno definiše stohastički inegral Itôa, uvodi se pojam stepenastog stohastičkog procesa i za njega se definiše integral Itôa, a onda se ovaj integral proširuje na širu klasu slučajnih procesa, tako što se posmatrani proces aproksimira stepenastim slučajnim procesima. Navode se najvažnija svojstva integrala Itôa, kao i formula Itôa za stohastičko diferenciranje.

U trećoj glavi su izloženi osnovni rezultati teorije stohastičkih diferencijalnih jednačina. Dokazuje se teorema egzistencije i jedinstvenosti rešenja stohastičke diferencijalne jednačine i daju se -ocene rešenja.

U četvrtoj glavi se detaljnije analiziraju linearne stohastičke diferencijalne jednačine, koje su od izuzetne važnosti zbog njihove rešivosti. Razmatraju se homogene stohastičke diferencijalne jednačine i nehomogene linearne stohastičke diferencijalne jednačine kao i neki posebni slučajevi. Kroz nekoliko primera se interpretira primena linearnih stohastičkih diferencijalnih jednačina, kao i postupak svođenja nekih jednačina na linearne radi njihovog rešavanja.

Zahvaljujem mentoru, prof. dr Svetlani Janković, na velikoj pomoći i strpljenju pri izradi ovog rada.

3

1 Uvodni pojmovi U ovoj glavi su izloženi osnovni pojmovi iz teorije stohastičkih procesa, sa posebnim

osvrtom na Brownovo kretanje. Ovi pojmovi su neophodni za definisanje stohastičkog integrala Itôa i zasnivanje teorije stohastičkih diferencijalnih jednačina.

1.1 Stohastički procesi Zamislimo da se u svakom vremenskom trenutku t T, posmatra neka

karakteristika x koja uzima vrednosti na slučajan način. U tom smislu x(t) je slučajna promenljiva za svako t T, a skup svih slučajnih promenljivih predstavlja slučajnu veličinu koja se menja u vremenu, tj. dobija se slučajna funkcija vremena.

Za opisivanje stohastičkog procesa neophodno je zadati prostor verovatnoća (Ω, ℱ, P) i parametarski skup T. Skup T je obično poluprava [0,∞), ali može biti i [0,T] ili [t ,T] [0,∞).

Definicija 1.1 Stohastički (slučajan) proces x(t)t T je familija ℱ-merljivih slučajnih promenljivih x(t) sa vrednostima u Rd, definisanih na istom prostoru verovatnoća (Ω, ℱ ,P). Skup T je parametarski skup, a realni prostor Rd je skup stanja procesa.

Ovakav proces se naziva stohastički proces sa vrednostima u Rd ili d-dimenzionalan proces. Za stohastički proces, pored oznake x(t)t є T koristi se još i xtt є T ili samo xt, ako se zna šta je parametarski skup T.

Kako je stohastički proces za fiksirano t T slučajna promenljiva, a svaka slučajna promenljiva je funkcija od ω Ω, sledi da je stohastički proces funkcija od dva argumenta, tj. x(t,ω) | t T, ω Ω. Ukoliko je fiksirano t T, dobija se slučajna promenljiva x(t) : Ω→ Rd koja se naziva zasek stohastičkog procesa u trenutku t. Za fiksirano ω Ω, dobija se realna funkcija vremena t → xt(ω) Rd, t T, koja se naziva trajektorija ili realizacija stohastičkog procesa.

Ako je T diskretan skup, T=0,1,2,…, familija x(t)|t T se naziva slučajnim nizom, ili stohastičkim procesom sa diskretnim vremenom.

Definicija 1.2 Familija funkcija raspodela Fn(t1,…,tn ; x1,…,xn) | n N, ti T, xi Rd, i=1,…,n naziva se familijom konačno-dimenzionalnih funkcija raspodele stohastičkog procesa x(t)|t T.

Teorema 1.1 Konačno-dimenzionalne funkcije raspodela stohastičkog procesa x(t)| t T imaju osobine da za svako n N i sve t1,…,tn T, x1,…,xn Rd važi:

(i) ΔFn (t1,…,tn ; x1,…,xn) 0 (nenegativnost); (ii) Fn je neprekidna sa leva po svakom argumentu x1,…,xn;

(iii) 0 (asimptotika)

= 1;

4

(iv) Fn (t1,…,tn ; x1,…,xn) = Fn ( ,…, ; ,…, ), gde je (i1,…,in) bilo koja permutacija skupa 1,2,…,n ;

(v) = Fn-1(t1,…,tn-1 ; x1,…,xn-1) .

Teorema 1.2 (Kolmogorov) Za svaku familiju funkcija raspodela koja zadovoljava uslove (i)-(v) postoji prostor verovatnoća (Ω, ℱ, P) i na njemu definisana familija d-dimenzionalnih slučajnih promenljivih x(t,ω)|t T, ω Ω tako da je za svako n N i sve t1,…,tn T, i x1,…,xn Rd, Fn (t1,…,tn ; x1,…,xn) funkcija raspodele stohastičkog vektora (x(t1),...,x(tn)).

Definicija 1.3 Stohastički process x(t)| t T je merljiv ako je funkcija x(t,ω) merljiva u odnosu na BT F, gde je BT Borelova -algebra na T, tj.

( S Bd) ( (t,ω)|x(t,ω) S BT F).

Neka je x(t) | t T stohastički proces sa vrednostima Rd.

Definicija 1.4 Stohastički proces je x(t)| t T stohastički neprekidan u tački t0 T ako x(t) konvergira u verovatnoći ka x(t0) kada t→t0, tj.

( 0) (P|x(t) x(t0)| → 0, t → t0).

Ako je proces stohastički neprekidan u svakoj tački segmenta [ ] onda je proces stohastički neprekidan na segmentu [ ].

Definicija 1.5 Stohastički proces x(t)| t T je neprekidan (skoro izvesno neprekidan) na skupu S T ako su skoro sve njegove trajektorije neprekidne na S.

Teorema 1.3 (Kriterijum Kolmogorova) Stohastički proces je x(t)| t T skoro izvesno neprekidan na T ako postoje pozitivni brojevi p, q i k tako da za sve t, s T važi

E|x(t) x(s)|p k |t s|q+1.

Definicija 1.6 Stohastički proces x(t)| t T je srednje-kvadratno neprekidan u tački t0 T ako je

E|x(t) x(t0)|2→ 0, t → t0.

Definicija 1.7 Stohastički procesi x(t) | t T i y(t) | t T, definisani na istom prostoru verovatnoća (Ω, ℱ, P) i istom parametarskom skupu T, su stohastički ekvivalentni ako je

( t T) (Px(t) y(t)=0),

odnosno, ako za svako t T postoji Λt F sa P(Λt)=0 tako da je x(t,ω)=y(t,ω), za svako ω .

Definicija 1.8 Stohastički proces x(t) | t T je separabilan ako postoji prebrojiv svuda gust skup S T i fiksiran događaj Λ ℱ sa P(Λ) = 0, tako da se za svaki otvoren skup Q T i svaki zatvoren skup F R, skupovi ω : xt(ω) F, t Q i ω : xt(ω) F, t Q S razlikuju na podskupu od Λ.

5

Teorema 1.4 (Doob) Za svaki stohastički proces x(t)| t T postoji stohastički proces y(t) | t T definisan na istom prostoru verovatnoća tako da je :

1) y(t) | t T separabilan proces; 2) x(t)| t T i y(t) | t T su stohastički ekvivalentni.

Ako je x(t)| t T stohastički neprekidan, onda je y(t) | t T merljiv.

Prethodna teorema pokazuje da se neseparabilnost procesa jednostavno može prevazići kompletiranjem prostora verovatnoća, tj. dodavanjem -algebri ℱ sve podskupove događaja čija je verovatnoća jednaka nuli.

Definicija 1.9 Neka je (Ω, ℱ, P) kompletan prostor verovatnoća. Filtracija Ft | t [0,T] je familija -algebri tako da za sve 0 ≤ s ≤ t ≤ T važi Fs Ft ℱ. Ako je T=[0,∞), onda je F∞= Ft.

Definicija 1.10 Prostor verovatnoća (Ω, ℱ, P) snabdeven filtracijom F=Ft |t [0,T], u oznaci (Ω, F, ℱ, P), naziva se stohastički bazis.

Filtracija F=Ft | t [0,T] je:

(i) neprekidna sa desna ako je Ft = = ⋂ s i = FT;

(ii) neprekidna sa leva ako je Ft = = (⋃ s) i = F0; (iii) neprekidna ako je Ft = = , t [0,T]. (iv) filtracija Ft | t ≥ 0 zadovoljava uobičajene uslove ako je neprekidna sa desna i F0

sadrži sve skupove P-mere nula.

Definicija 1.11 Stohastički proces x(t)| t [0,T] je adaptiran u odnosu na filtraciju F= Ft | t [0,T] ako je za svako t [0,T] slučajna promenljiva x(t) Ft-merljiva, tj.

( t [0,T]) ( S Bd) (ω|x(t,ω) S Ft).

Definicija 1.12 Familija -algebri Fx= | t [0,T] je prirodna filtracija za proces x(t)| t [0,T] ako je

= x(s)|0 s t, t [0,T].

To znači da je za svako s [0,T] zasek x(s) -merljiva slučajna promenljiva. Ako je F=Ft| t [0,T] proizvoljna filtracija u odnosu na koju je proces x(t)| t [0,T] adaptiran, mora biti Ft, t [0,T]. Prema tome, je minimalna filtracija u odnosu na koju je proces x(t)| t [0,T] adaptiran.

Teorema 1.5 (Fubinijeva teorema) Neka je x(t) | t T merljiv stohastički proces definisan na kompletnom prostoru verovatnoća (Ω, ℱ, P). Tada:

a) Skoro sve trajektorije su merljive funkcije po t T. b) Ako postoji očekivanje Ex(t) za svako t T, onda je u(t) = Ex(t) merljiva funkcija po t

T.

6

c) Ako je S merljiv skup na T=[0,∞) i ∫

(t)|dt < ∞, onda je ∫

(t)|dt < ∞ sa verovatnoćom jedan, tj. skoro sve trajektorije su integrabilne na S i

∫

(t)dt = E∫

(t)dt.

Definicija 1.13 Stohastički proces x(t) | t 0 je progresivno merljiv ako za svako T 0 i svaki S Bd važi (t,ω)| t T, ω Ω, x(t,ω) S B([0,T]) FT, pri čemu je B([0,T]) Borelova -algebra na [0,T].

Svaki progresivno merljiv proces je merljiv i adaptiran u odnosu na filtraciju Ft | t 0.

Definicija 1.14 Neka je (Ω,F,ℱ,P) stohastički bazis sa filtracijom F=Ft|t 0. Slučajna promenljiva τ : Ω→[0,+∞] je vreme zaustavljanja u odnosu na filtraciju F ako je ω:τ(ω) t Ft za svako t 0.

Za vremena zaustavljanja τ i ρ definišemo stohastički interval na sledeći način:

[[τ,ρ[[=(t,ω) R+ Ω:τ(ω) t ρ(ω).

Slično možemo definisati: [[τ,ρ]], ]]τ,ρ]] i ]]τ,ρ[[.

Ako je τ vreme zaustavljanja i važi Pω| τ(ω) < ∞=1, definišemo -algebru

Fτ = A ℱ | A τ ≤ t Ft.

Očigledno, Fτ F.

Lema 1.6 Ako su τ i ρ vremena zaustavljanja tako da je τ ρ skoro izvesno, onda Fτ Fρ.

Definicija 1.15 Stohastički proces x(t), Ft, t 0 je martingal u odnosu na filtraciju Ft|t 0 ako važi:

(i) E|x(t)| < ∞ za svako t ; (ii) E(x(t)| Fs) = x(s) s.i. za 0 ≤ s ˂ t.

Ako se u uslovu (ii) znak jednakosti zameni znakom “ ”, onda je reč o supermartingalu, dok je u slučaju „ “, reč o submartingalu.

Definicija 1.16 Za stohastički proces x(t)t≥0 i vreme zaustavljanja , stohastički proces xτ=xt˄τt≥0 je zaustavljen proces od x(t)t≥0, pri čemu je

xt˄τ =

Teorema 1.7 Zaustavljen proces je martingal u odnosu na filtraciju F, tj.

E(xτ˄t|Fs) = xτ˄s s.i.

za 0 s < t < ∞.

7

Teorema 1.8 (Doob) Neka je x(t), Ft |t 0 neprekidan sa desna martingal i neka je E|x(t)|p < ∞, za svako t 0. Neka je [a,b] [0,∞] ograničen interval. Tada važi:

(i) ako je p 1, onda je Pω: x(t)| c

za svako c > 0;

(ii) ako je p 1, onda je E( x(t)|p) (

)

E|x(b)|p.

Definicija 1.17 Stohastički process x(t) | t 0 je kvadratno integrabilan, ako je E za svako t 0.

Definicija 1.18 Martingal x(t) | t 0 je Lp-martingal, p 1, ako je E|x(t)|p < ∞, za svako t 0.

Definicija 1.19 Martingal x(t) | t 0 je Lp-ograničen za p 1 ako je |x(t)|p < ∞.

Ako je x(t)t≥0 realan kvadratno integrabilan neprekidan martingal, može se pokazati da postoji jedinstven neprekidan integrabilan adaptiran rastući proces <x,x>t takav da je xt

2 <x,x>tt ≥ 0 neprekidan martingal i <x,x>0 = 0. Proces <x,x>t se naziva kvadratna varijacija martingala x(t)t≥0.

Definicija 1.20 Nepekidan sa desna process xt, Ft | t 0 se naziva lokalnim martingalom ako postoji rastući niz τk | k 1 vremena zaustavljanja, τk↑∞ skoro izvesno, tako da je zaustavljen proces x0t≥0 martingal.

Jasno, svaki martingal je lokalni martingal, prema Teoremi 1.12.

Teorema 1.9 Svaki ograničeni lokalni martingal je martingal.

Definicija 1.21 Stohastički proces x(t) | t T je proces sa nezavisnim priraštajima ako su za svako n i sve t0 < t1 <…< tn iz T slučajne promenljive x( , x( x( ),...,x( ) x( ) nezavisne.

Definicija 1.22 Stohastički proces x(t) | t T je Gaussov proces ako je svako njegovo n-dimenzionalno sečenje Gaussova slučajna promenljiva.

Definicija 1.23 a) Stohastički proces x(t) | t 0 je strogo stacionaran ako su sve njegove konačno-dimenzionalne funkcije raspodela invarijantne u odnosu na translaciju vremena, tj.

( n N) ( t1,…,tn R) ( h R) (Fn (t1+h,…,tn+h ; x1,…,xn) = Fn(t1,…,tn ; x1,…,xn)).

b) Stohastički proces x(t) | t T je slabo stacionaran ako je:

(i) E|x(t)|2 < ∞, t T; (ii) Ex(t) = m, m = const. ;

(iii) k(t,s) = E[x(t) m)( ] = β(t s).

Definicija 1.24 Stohastički proces x(t) | t 0 je proces Markova ako za svaki B d, n sve 0 i x1,..., xn Rd važi

8

Px(t) B | x(t1) x1,...,x(tn) xn P x(t) B| x(tn) xn

Proces Markova je homogen ako njegove verovatnoće prelaza zavise samo od razlike vremenskih trenutaka.

Sledeći rezultat će biti neophodan za dalji rad.

Teorema 1.10 (Gronwallova nejednakost) Neka je T>0 i c≥0. Neka je u(·) Borel-merljiva ograničena nenegativna funkcija na [0,T], i neka je v(·) nenegativna integrabilna funkcija na [0,T]. Ako je

u(t) ≤ c+∫

(s)u(s)ds, 0 ≤ t ≤ T,

tada je

u(t) ≤ c exp(∫

(s)ds), 0 ≤ t ≤ T.

1.2 Brownovo kretanje Brownovo kretanje je naziv za haotično kretanje čestica polena u vodi koje je uočio

škotski botaničar Robert Brown 1828. Njegovo zapažanje je uglavnom ostalo na nivou percepcije. Međutim, on je ipak zaključio da je reč o sudaranju mikroskopski malih čestica materijala sa molekulima vode. A. Einstein je 1905. godine postavio fizičko-matematički model Brownovog kretanja, ali ga nije u potpunosti matematički opisao. Zaključio je da je haotično kretanje rezultat sudaranja polenovog praha sa molekulima vode, pri čemu čestice polena i molekuli vode imaju istu kinetičku energiju. Strogu matematičku formulaciju Brownovog kretanja uveo je Robert Wiener 1922. godine. Zahvaljujući njegovim rezultatima Brownovo kretanje se smatra matematičkim pojmom, a ne samo fizičkom pojavom, i često se naziva Wienerov proces.

Definicija 2.1 Jednodimenzionalan stohastički proces B=B(t) | t 0 je Brownovo kretanje sa parametrom 0 ako važi:

(i) B(0) = 0 s.i. ; (ii) proces je sa nezavisnim priraštajima, tj. za svako n N i sve 0 t0 < t1 <… < tn,

slučajne promenljive B(t0), B(t1) B(t0),...,B(tn) B(tn-1) su nezavisne; (iii) B(t) B(s) : N(0 ; 2 |t s|) za s t, s,t 0.

Parametar 2 naziva se koeficijentom difuzije. Specijalno, za 2= 1 dobija se standardno Brownovo kretanje.

Ako je dat prostor verovatnoća (Ω , ℱ, P) sa filtracijom Ft | t 0, onda se može uvesti drugačija definicija Brownovog kretanja.

Definicija 2.2 Standardno jednodimenzionalno Brownovo kretanje je realan, neprekidan Ft-adaptiran proces B(t)t ≥ 0 sa sledećim svojstvima:

(i) B(0) = 0 s.i. ;

9

(ii) B(t) B(s) : N(0 ; |t-s|), s t, s, t 0; (iii) za 0 s < t < ∞, priraštaj B(t) B(s) je nezavisan od Fs.

Ako je FtB B(s)| 0 s t za t 0, filtracija Ft

Bt≥0 se naziva prirodnom filtracijom. Jasno, Brownovo kretanje B(t) je adaptirano u odnosu na prirodnu filtraciju Ft

Bt ≥ 0. Takođe je FtB Ft za svako t 0.

Nadalje se, ukoliko drugačije nije naglašeno, pretpostavlja da je prostor verovatnoća (Ω, ℱ, P) kompletan sa filtracijom Ft koja zadovoljava uobičajene uslove (neprekidna je sa desna i F0 sadrži sve skupove P-mere nula) i da je na njemu definisano Brownovo kretanje.

U nastavku su navedene neke od osobina Brownovog kretanja.

1) B(t) B(s) ima gustinu g (t s ; x) =

√

, x R, t s.

2) Konačno-dimenzionalne gustine su: za n N, 0 t1 t2 ... tn, x1, x2,..., xn R,

gn(t1,..., tn ;x1,…,xn)

(√ ) ∏

√

( )

.

3) Brownovo kretanje je homogen proces Markova (sledi iz osobine 2)). 4) Brownovo kretanje je srednje-kvadratno neprekidan proces, jer E|B(t) –B(t0)|2 =

|t t0| kad t → t0 . 5) Brownovo kretanje je skoro izvesno neprekidan proces na [0,∞) (sledi na osnovu

Teoreme Kolmogorova 1.3; E 3 ). 6) Brownovo kretanje je martingal ( E(B(t) | Fs) E(B(t) – B(s) | Fs) E(B(s) | Fs)

B(s) skoro izvesno za 0 s ). 7) Ako je B=B(t), Ft | t 0 standardno Brownovo kretanje, onda su Brownova kretanja

i procesi: (i) Z(t), Ft |t 0, gde je Z(t) = B(t+s) B(s), t 0, za svako s [0,+∞);

(ii) U(t), Ft |t 0, gde je U(t) = c B(

), c=const. 0;

(iii) V(t), Ft |t 0, V(t) = t B( ), t > 0 i V(0) = 0 skoro izvesno.

8)

= 0 s.i. (na osnovu strogog zakona velikih brojeva).

9) Važi nejednakost Dooba (na osnovu Teoreme 1.8): E [ ]

2 4 EB2(t) = 4t, t 0, kao i

E [ ] B(s) 2√ . 10) Koristeći zakon ponovljenog logaritma ocenjuje se ponašanje trajektorija:

√ = 1 s.i. ,

√ = 1 s.i.

11) Na osnovu (7)(iii) sledi

√

= 1 s.i. ,

√

= 1 s.i. ,

10

iz čega se zaključuje da Brownovo kretanje ima beskonačno mnogo nula (beskonačno mnogo puta seče t-osu) na proizvoljnom segmentu [ ]

12) Trajektorije Brownovog kretanja su skoro izvesno nediferencijabilne funkcije. Za fiksirano t količnik priraštaja procesa i priraštaja argumenta

ima N ﴾0;

﴿

raspodelu. Ova normalna raspodela divergira kada h→ 0 u smislu da za svaki skup B B1,

P

→0 kada h → 0. 13) Skoro sve trajektorije Brownovog kretanja su neograničene varijacije na proizvoljnom

konačnom vremenskom intervalu, u sledećem smislu: Za proizvoljnu particiju s zatvorenog vremenskog intervala [ ] takvu da 0 kada n i za proizvoljno M 0,

P ∑ 1 kada n .

14) Kada se govori o Brownovom kretanju, ne treba izostaviti Gaussov beli šum kojim se modelira veliki broj pojava iz bioloških, fizičkih, tehničkih i ekonomskih nauka. Definicija 2.3 Gaussov beli šum je slabo stacioniran Gaussov proces ξ(t)t ≥ 0 srednje vrednosti jednake nuli i konstantne spektralne gustine g(λ) = S0, R. (g(λ) =

∫

(λτ)K(τ) , gde je K(τ) korelaciona funkcija).

Reč “beli šum” u nazivu potiče iz radiotehnike i ima smisla ako se ima u vidu da

je za ξ(t) spektralni sastav nepromenjen, kao i kod bele svetlosti. Za Gaussov beli šum vrednosti ξ(t) i ξ(s) su međusobno nekorelirane za t s, a

pošto se radi o Gaussovom procesu, one su i nezavisne. Prema tome, Gaussov beli šum je proces sa nezavisnim vrednostima beskonačne disperzije i kao takav ne postoji u prirodi, ali se u primenama često koristi kao pogodna matematička apstrakcija.

Gaussov beli šum ξ(t) se može posmatrati kao uopšten stohastički proces koji predstavlja formalan izvod Brownovog kretanja, tj. ξ(t) =

= Ḃ(t), a koristi se

samo u integralnom obliku,

B(t) =∫

(s) .

15) Definicija 2.4 Stohastički proces B(t), t 0=(B1(t),…,Bd(t)) |t 0 je d-dimenzionalno Brownovo kretanje ako su zadovoljeni sledeći uslovi:

1) B(0) = 0 s.i. ; 2) ima nezavisne priraštaje; 3) B(t) B(s) : N(0; 2(t s)I), 0 s < t, gde je I jedinična matrica reda d.

Koordinate d-dimenzionalnog Brownovog kretanja su nezavisna Brownova kretanja. Za njega važe iste osobine kao za jednodimenzionalan slučaj.

11

2 Stohastički integral Itôa U ovoj glavi se definiše stohastički integral ∫

u odnosu na Brownovo kretanje

B=B(t) | t 0. Kako su skoro sve trajektorije Brownovog kretanja skoro svuda nediferencijalne funkcije i nisu ograničene varijacije, ovaj integral ne može biti definisan na uobičajen način. Međutim, može se definisati integral za široku klasu stohastičkih procesa koristeći stohastičku prirodu Brownovog kretanja. Ovaj integral je prvi definisao K. Itô 1949. godine i danas je poznat kao stohastički integral Itôa.

2.1 Konstrukcija stohastičkog integrala Itôa Neka je (Ω, ℱ, P) kompletan prostor verovatnoća sa filtracijom Ft| t 0 i B=B(t), Ft|t 0 jednodimenzionalno Brownovo kretanje definisano na ovom prostoru verovatnoća.

Definicija 1.1 Za 0 ≤ a < b < ∞, sa M2 ([a,b] ; R) je označena klasa stohastičkih procesa = (t) | t [a,b] za koje važi:

je B([a,b]) ℱ-merljiv, tj.( S B1) ((t,ω) | (t,ω) S B([a,b]) ℱ); je adaptiran u odnosu na familiju Ft | t [a,b]; ‖ ‖2 =∫

| (t)|2 < ∞.

Prostor ( M2( [a,b] ; R), ‖ ‖ ) je Banachov i u tom prostoru se i poistovećuju ako je

‖ ‖=0.

Za stohastički proces M2([a,b]; R) postupno se definiše integral Itôa ∫

(t) (t).

Najpre se ovaj integral definiše za klasu stepenastih slučajnih procesa. Zatim se pokazuje da se svaki stohastički proces M2([a,b];R) može aproksimirati nizom stepenastih slučajnih procesa , da bi na kraju integral ∫

(t) (t) bio definisan kao srednje-kvadratni

limes integrala ∫

(t) (t).

U nastavku, generalno se pretpostavlja da su procesi i Brownovo kretanje nezavisni.

Definicija 1.2 Realan stohastički proces = (t) | t [a,b] je stepenast stohastički proces ako postoji particija a = t0 < t1 < ... < tk = b segmenta [a,b] i ako postoje ograničene slučajne promenljive ξi , 0 ≤ i ≤ k 1 takve da su ξi -merljive i nezavisne od Brownovog kretanja i

(t) = ξ0 [ ](t) + ∑ ](t). (1.2)

Označimo sa M0 ([a,b]; R) familiju takvih procesa. Jasno, M0( [a,b]; R) M2([a,b];R).

Definicija 1.3 Za stepenast proces M0([a,b];R) slučajna promenljiva

I( ) =∫

(t) (t) = ∑

i (B(ti+1) B(ti))

12

se naziva stohastički integral procesa u odnosu na Brownovo kretanje B(t), ili integral Itôa.

Očigledno je I( ) Fb-merljiva slučajna promenljiva.

Lema 1.1 Ako je M0([a,b]; R), onda je

E∫

(t) (t) 0, (1.3)

E|∫

(t) (t)|2 E∫

(t)|2 (1.4)

Dokaz. Kako su ξi -merljive i ne zavisi od , to je

E∫

(t) (t) = ∑ [

i (B(ti+1) B(ti)] = ∑ i) E[B(ti+1) B(ti)] = 0.

Kako je

E[ ][ ( ) ( )]

,

sledi da je

E|∫

(t) (t)|2 = E∑ ∑

= ∑

= E∫

(t)|2 .

Lema 1.2 Neka 1, 2 M0 ([a,b]; R) i c1, c2 R.Tada c1 1 + c2 2 M0 ([a,b]; R) i

∫ [

c1 1(t) + c2 2(t)] B(t) = c1∫

1(t) B(t) + c2∫

2(t) B(t).

Dokaz. Kako je 1 M0([a,b]; R), to postoji particija segmenta [a,b] i postoje ograničene slučajne promenljive ξi, 0 i k 1 koje su -merljive, tako da je

1(t) = ξ0 [ ] + ∑

i I ].

Za 2 M0([a,b]; R) u odnosu na istu particiju segmenta [a,b] postoje ograničene slučajne promenljive Θi koje su -merljive, tako da je

2(t) = Θ0 I [ ] + ∑

i I ].

Tada je

c1 1(t)+c2 2(t) = c1[ ξ0 I [ ]+∑

i I ]]+c2[Θ0 I [ ]

+∑ i I ]

]

= (c1ξ0+c2Θ0) I [ ] + ∑

c1ξi + c2Θi) I ] ,

13

pri čemu su c1ξi + c2Θi ograničene slučajne promenljive za 0 i k 1 koje su merljive. Prema tome, c1 1 + c2 2 M0 ([a,b];R).

Sada je

∫

c1 1(t) + c2 2(t)) B(t) ∫

c1 1+c2 2 B(t)

∑ c1ξi + c2Θi)(B(ti+1) B(ti))

c1∑ i(B(ti+1) B(ti))+c2∑

i(B(ti+1) B(ti))

c1∫

1(t) (t)+c2∫

2(t) (t).

Teorema 1.3 Neka je B=B(t), Ft | t 0 Brownovo kretanje i M2 ([a,b]; R).Tada:

a) postoji niz stepenastih slučajnih procesa n | n N tako da ‖ ‖

=∫

| (t) n(t)|2 → 0 kada n → ∞;

b) ako niz stepenastih procesa n | n N aproksimira u smislu da ‖ ‖ →0, kada n → ∞ i ako je I( ) definisano kao u Definiciji 1.3, tada je niz slučajnih promenljivih I( n) | n N srednje-kvadratno konvergentan kada n → ∞;

c) ako su n | n N i | n N dva niza stepenastih slučajnih procesa koji

aproksimiraju , tada je s.k. ( ) = s.k. ( ).

Dokaz. a) Najpre pretpostavimo da je srednje-kvadratno neprekidan proces. Tada je E| (t)|2 neprekidna funkcija, tako da niz stepenastih procesa n | n N može biti konstruisan proizvoljnim razbijanjem segmenta [a,b]: a = t0

(n) < t1(n) <…< tk

(n) = b. Za tj(n) t <tj+1

(n), j , stavimo n(t) = (tj

(n)) s.i. i max0 ≤ j ≤ k-1 (tj+1(n) tj

(n)) → 0 kada n → ∞. Pošto je srednje- kvadratno neprekidan proces, sledi da je E| (t) n(t)|2 → 0, n → ∞, za svako t

[a,b]. Na osnovu Teoreme o dominantnoj konvergenciji1 sledi da ∫

| (t) n(t)|2 → 0,

kada n →∞. U opštem slučaju, ako M2 ([a,b]; R) nije srednje-kvadratno neprekidan proces, možemo ga postupno aproksimirati nizom stepenastih procesa u smislu date norme ‖ ‖ . Najpre ćemo aproksimirati nizom ograničenih skoro izvesno neprekidnih stohastičkih procesa m | m N, gde je

m(ω,t) = max m, min (ω,t), m.

Jasno, m M2([a,b];R) za svaki m N i m(ω,t) = (ω,t) za one (ω,t) za koje je | (ω,t)| < m s.i. Pošto je

∫

| (t) n(t)|2 ∫

| (t)|2 < ∞,

na osnovu Teoreme o dominantnoj konvergenciji sledi

1 Neka je p 1, ,k , i Y . Pretpostavimo da je s.i. i konvergira u

verovatnoći ka X. Tada je X , konvergira ka X u i

14

‖ ‖ =∫

| (t) m(t)|2 → 0, m → ∞. (1.4)

Kako je m(t) skoro izvesno ograničen proces i ima Lebesgue-merljive trajektorije, onda je ∫

m(t)|2 < ∞ skoro izvesno i

∫

m(ω,t+h) m(ω,t)|2 → 0 s.i. kada h → 0. (1.5)

Sada za svako m možemo definisati niz procesa gk | k N na sledeci način

gk(ω,t) = k ∫

m(ω,s) .

Kako je φm M2([a,b]; R) i skoro izvesno ograničeno za svako t [ ], proces gk je B ℱ-merljiv i gk(ω,t) je Ft-merljiv za svako t [a,b]. |gk(ω,t)| m (1 ) skoro izvesno, onda je E|gk(t)|2 konačno i integrabilno na [a,b]. Dakle, gk M2 ([a,b]; R). Štaviše, trajektorije od gk zadovoljavaju

|gk(ω,t) gk(ω,s)| m ,

tako da su one skoro izvesno neprekidne.

Pokažimo sada da gk| k N aproksimira φm u smislu norme ‖ ‖. Zaista,

‖ ‖ =∫

| m(t) gk(t)|2

=∫

|k∫

[ m(t) m(s)] + m(t)|2

≤ 2∫

∫

| m(t) m(t

)|2 +2 ∫

| m(t)|2 .

Koristeći (1.5) i Teoremu o dominantnoj konvergenciji zaključujemo da

∫

| m(t) m(t

)|2 →0 kada k →∞,

iz čega sledi da je

‖ ‖ → 0, k→∞. (1.6)

Kako je gk srednje-kvadratno neprekidan proces, može se aproksimirati nizom stepenastih procesa n , n N kao u prvom delu dokaza, tj. ‖ ‖ → 0 kada n → ∞. Iz ove činjenice i iz (1.4) i (1.6), sledi da se za bilo koje > 0 i dovoljno velike m, k i n može izabrati m, gk i n tako da je

‖ ‖

, ‖ ‖ <

, ‖ ‖ <

,

pa je, prema tome, ‖ ‖ , odnosno ‖ ‖ → 0, n → ∞.

b) Neka ‖ ‖ →0, n → ∞. Treba pokazati da niz I( n), n N srednje-kvaratno konvergira.

15

Neka je n+m, n M2 ([a,b]; R). Tada je n+m n M2([a,b]; R). Primenom Leme 1.1 i Leme 1.2 sledi

E|I( n+m) I( n)|2 = E|I( n+m n)|2 = ∫

| n+m(t) n(t)|2

= ∫

| n+m(t) n(t) (t) + (t)|2

2 ∫

| n+m(t) (t)|2 + 2∫

| n(t) (t)|2

= 2 ‖ ‖ + 2 ‖ ‖ →0, kada n, m .

Prema tome, I( n)| n N je Cauchyjev niz u L2(Ω;R), pa srednje-kvadratno konvergira. To znači da postoji slučajna pomenljiva I( ) takva da je E|I( )|2 < ∞ i

E|I( ) I( n)|2 → 0 kada n → ∞.

c) Prema pretpostavci, ‖ ‖→0 kada n →∞ i ‖ ‖ → 0 kada n →∞. Kako je ,

M0 ([a,b]; R) za svaki n N, to je n

M0 ([a,b]; R). Primenom Leme 1.1, dobija se

E|I( n) I( )|2 = E|I( n

)|2

=∫

|( n

)(t)|2 = ∫

|( n(t) –

(t)|2

∫

|( n(t) (t)|2 + ∫

|(

(t) (t)|2

2 ‖ ‖ + 2 ‖ ‖ →0, n→∞,

odnosno s.k. ( n) = s.k. ( ).

Na osnovu Teoreme 1.3 može se uvesti sledeća definicija integrala Itôa.

Definicija 1.4 Integral Itôa stohastičkog procesa M2 ([a,b]; R) u odnosu na Brownovo kretanje B=Bt | t je srednje-kvadratna granična vrednost niza slučajnih promenljivih I( n), n N, tj.

I( ) =∫

(t) (t):= s.k. ∫

n(t) (t).

Ova granična vrednost je jedinstveno određena u srednje-kvadratnom smislu i ne zavisi od izbora niza stepenastih procesa n , n N.

Teorema 1.4 Neka su , Ψ M2 ([a,b]; R) i α, β R. Tada važi:

a) I( ) je Fb-merljiva slučajna promenljiva; b) I(α + β Ψ) = α l( ) + β I(Ψ); c) EI( ) = 0; d) E|I( )|2 =∫

| (t)|2 .

16

Dokaz. a) i b) slede neposredno iz definicije integrala Itôa.

c) važi ako je stepenast proces. Ako nije stepenast proces, onda postoji niz stepenastih procesa koji aproksimira φ, tj.

E → 0, kada n → ∞ na [a,b].

Na osnovu Teoreme 1.3 je

0 (EI( ) EI( n))2 E → 0, n → ∞, (1.7)

pa je EI( ) = 0.

(d) Ako je stepenast proces, dokaz sledi na osnovu Leme 1.1. Ako nije stepenast proces, onda postoji niz n, n N stepenastih procesa koji aproksimira . Tada je

E E

E 2E[ ] E

.

Primenom nejednakosti (1.7) i teoreme o dominantnoj konvergenciji sledi da je

E = ∫

∫

| n(t)|2 = ∫

| (t)|2 .

Teorema 1.5 Neka M2 ([a,b]; R). Tada je:

E(∫

(t) (t)|Fa) 0, (1.8)

i

E( ∫

) E(∫

) =∫

(t)|2| Fa) t. (1.9)

Za dokaz ove teoreme, neophodno je prethodno dokazati naredno tvrđenje.

Lema 1.6 Ako je M2([a,b]; R) i realna ograničena Fa-merljiva slučajna promenljiva, onda je ξ M2 ([a,b];R) i

∫

φ(t) (t) = ξ ∫

(t) (t). (1.10)

Dokaz. Jasno, ξ M2 ([a,b]; R). Ako je stepenast proces, tada (1.10) sledi neposredno iz definicije stohastičkog integrala. Uopšte, za M2 ([a,b]; R) neka je n | n N niz stepenastih procesa koji aproksimira . Sada se jednostavno zaključuje da važi (1.10) ako (1.10) primenimo na svako n i pustimo da n→∞, odmah dobijamo (1.10).

Dokaz Teoreme 1.5 Prema osobini uslovnog očekivanja, (1.8) važi akko

17

E( ∫

) = 0

za sve skupove A Fa. Primenjujući Lemu 1.6 i Teoremu 1.4, onosno osobinu c) integrala Itôa, zaključujemo da je

E( ∫

) E∫

φ(t) (t)=0.

Slično,

E( ∫

) E( ∫

)

E( ∫

)

E(∫

)

E(∫

)

∫

(| (t) | ) .

2.2 Neodređeni stohastički integral Itôa Neka je T > 0 i M2 ([0,T]; R). Za sve 0 a < b T je φ(t) | t [a,b] M2 ([a,b]; R), tako da je ∫

(t) (t) dobro definisan. Lako je pokazati da važi

∫

(t) (t) + ∫

(t) (t) =∫

(t) (t) za 0 a b c T. (2.1)

Ova osobina integrala Itôa omogućava uvođenje pojma nedređenog integrala Itôa.

Definicija 2.1 Neka je Is<t indikator skupa [t0,t], t0 s < t < T. Neodređeni stohastički integral Itôa procesa M2 ([t0,T]; R) je stohastički proces x(t) | t [t0,T], definisan kao

x(t):=∫

s<t (s) (s)=∫

(s) (s), t [t0,T].

Neodređeni stohastički integral Itôa ima sledeća svojstva:

1) x(t) je Ft -adaptiran; 2) x(t), Ft, t [t0,T] ima separabilnu i merljivu verziju; 3) x(t0) = 0 s.i. ; 4) x(t) x(s) =∫

(u) (u), s, t [t0,T];

5) Ex(t) = 0; 6) E|x(t)|2 = ∫

| (s)|2 .

Osobina 3) sledi trivijalno, osobina 4) na osnovu (2.1), a osobine 1), 5) i 6) na osnovu Teoreme 1.4. Dokažimo samo 2).

18

Za t, t+h [t0,T] je

E|x(t+h) x(t)|2 =∫

|[Is < t+h Is < t] (s)|2 = [Is <t+h Is < t]∫

| (s)|2 → 0, h → 0.

Dakle, x(t) je srednje-kvadratno neprekidan, pa je neprekidan u verovatnoći. Prema Teoremi 1.4 iz prve glave (teorema Dooba) postoji stohastički proces koji je separabilna i merljiva verzija procesa x(t) i jedinstven je do stohastičke ekvivalencije.

Teorema 2.1 Ako je M2 ([t0,T];R), onda je neodređeni integral Itôa x(t), Ft, t [t0,T] kvadratno integrabilan marginal u odnosu na filtraciju Ft. Pored toga je

E[ ∫

] 4E∫

φ(s)|2 . (2.2)

Dokaz. Proces X=x(t), t [t0,T] je kvadratno integrabilan jer je

E|x(t)|2 = E|∫

|

∫

|φ(s)|2 < ∞.

Da bismo pokazali svojstvo martingalnosti, uzmimo t0 s < t T. Prema (1.10) i Teoremi 1.5 je

E(x(t)| Fs) = E(x(s) | Fs) + E(∫

(r) (r) | Fs) = x(s) s.i.

Nejednakost (2.2) sledi iz nejednakosti Dooba za martingale, tj. na osnovu Teoreme 1.8 iz prve glave,

E[ ∫

(s) (s)|2] (

)

E|∫

(s) (s)|2 = 4 E∫

φ(s)|2 .

Teorema 2.2 Ako je φ M2 ([t0,T]; R), onda je neodređeni integral Itôa x(t); Ft, t [t0,T] skoro izvesno neprekidan.

Dokaz. Neka je φ stepenast proces, t0 < t1 <…< tn < t, i ξi ograničene -merljive slučajne promenljive. Tada je

x(t) =∫

(s) (s) = ξ0 (B(t1) B(t0))+…+ξn [B(t) B(tn)],

tako da skoro izvesna neprekidnost za x(t) sledi iz skoro izvesne neprekidnosti Brownovog kretanja.

Ako φ nije stepenast proces, onda postoji niz stepenastih procesa n | n N koji aproksimira φ u smislu da je

∫

| (t) n(t)|2

za sve n N.

Primenom Čebiševljeve nejednakosti i nejednakosti (2.2) dobija se

P ∫

∫

19

≤ E[ ∫

∫

] n2

≤ 4 n2∫

|φ(s) φn(s)|2

4n2

= 4 / n2.

Kako je

∑ ∫

∫

< ∞,

na osnovu Borel-Cantellijeve leme2 sledi da je skup

B=⋂ ⋃ ∫

∫

P-mere nula, tj. za sve ω nejednakost

∫

(s) (s) ∫

n(s) (s)|

može važiti za najviše konačno mnogo n. Tada, za ω Ω \ B,

∫

(s) (s) ∫

n(s) (s)| → 0 s.i. kada n → ∞.

Kako su trajektorije integrala Itôa stepenastih procesa φn | n N skoro izvesno neprekidne i kako je integral ∫

(s) (s) skoro izvesno uniformna granična vrednost tih integrala na

[t0,T], to je i on sam skoro izvesno neprekidan.

Teorema 2.3 Neka φ M2 ([t0,T]; R). Tada je neodređeni integral Itôa kvadratno integrabilan martingal i njegova kvadratna varijacija je

<x,x>t =∫

φ(s)|2 , t0 t T. (2.3)

Dokaz. Kako martingalnost neoređenog integrala Itôa sledi iz Teoreme 2.1, treba samo pokazati jednakost (2.3). Prema definiciji kvadratne varijacije, treba pokazati da je x2(t) <x,x>t neprekidan martingal koji se anulira za t = t0. Očigledno je . Štaviše, ako je t0 ≤ r ≤ t ≤ T, primenom Teoreme 1.5 sledi

E(x2(t) <x,x>t |Fr)

E[(∫

)

∫

]

E[(∫

∫

)

(∫

∫

) ]

2 Borell- Cantellijeva lema. Ako ℱ, k N, i ∑

, onda P( ) 0, tj. postoji događaj ℱ tako da je P( ) 1 i postoji celobrojna slučajna promenljiva k0 takva da za svako sledi da za k .

20

E[ ∫

|∫

|

∫

∫

]

x2(r) <x,x>r + 2 x(r) E(∫

)

E( ∫

) E(∫

)

x2(r) <x,x>r.

Neka je τ vreme zaustavljanja u odnosu na . Tada je I [[ ]] t ≥ 0 ograničen neprekidan sa desna Ft-adaptiran proces. Štaviše, za svako t 0 je

ω : I[[0,τ]] (t,ω) r =

Ω

,

Prema tome, I[[0,τ]](t) je Ft-merljiv.

Definicija 2.2 Neka je φ M2 ([0,T]; R) i neka je τ vreme zaustavljanja u odnosu na Ft, takvo da je 0 τ T. Tada I [[ ]] φ(t)0 ≤ t≤ T M2 ([0,T]; R). Definišimo

∫

(s) (s) =∫

[[o,τ]](s)φ(s) (s).

Sada ćemo proširiti stohastički integral Itôa na višedimenzionalan slučaj. Neka je B(t) = (B1(t),…,Bm(t))T t ≥ 0 m - dimenzionalno Brownovo kretanje definisano na kompletnom prostoru verovatnoća (Ω, ℱ, P) i adaptirano u odnosu na filtraciju Ft | t ≥ 0. Neka je M2 ([0,T]; Rdxm) familija merljivih Ft-adaptiranih procesa φ =

sa vrednostima u prostoru matrica formata d m, takvih da je ‖ ‖2=∫

|φ(t)|2dt < ∞, gde je

|·| oznaka za trag matrice |φ|2 =∑ ∑

ij|2 = tr (φφ ).

Definicija 2.3 Neka φ M2([0,T];Rdxm). Višedimenzionalni neodređeni integral Itôa je d-dimenzionalan vektor-kolona,

∫

(s)dB(s)=∫ (

)

(

)

čija je i-ta komponenta sledeća suma jednodimenzionalnih integrala Itôa,

∑ ∫

ij(s)dBj(s).

Višedimenzionalni integral Itôa ima sve osobine jednodimenzionalnog integral Itôa.

21

Integral Itôa može biti definisan pod slabijim uslovima. Neka je L2([ ], ) klasa zajednički merljivih i adaptiranih stohastičkih procesa koji zadovoljavaju uslov

P∫

1.

Očigledno, M2 [ ] L2 [ ] .

Teorema 2.4 Neka je Brownovo kretanje i L2([ ], ). Neka je [ ]

definisano na sledeći način,

∫

i I( ∫

. Tada, konvergira u verovatnoći kada n .

Dokaz. Za proizvoljne m,n N i svako takve da je

∫

,

važi [ ] 0. Tada je ∫ ∫

skoro izvesno. Sledi

da je za svako 0,

P ∫

kada m, n .

Stoga je Caushyjev niz koji konvergira u verovatnoći.

Za L2([ ], ) postoji slučajna promenljiva I( ) takva da I( ) u verovatnoći kada n . U ovom slučaju integral Itôa se definiše kao

I( ) u verovatnoći.

Primetimo da svojstvo d) u Teoremi 1.4 ne važi za ovaj tip stohastičkog integrala.

2.3 Formula Itôa U prethodnom odeljku je definisan stohastički integral Itôa. Međutim, nije pogodno efektivno rešavanje ovog integrala na osnovu njegove definicije. Ovo je slučaj i kod klasične integracije, gde se za određivanje vrednosti integrala primenjuju pravila integralnog računa. U ovom delu će se razmatrati stohastička verzija smene promenljivih za rešavanje integrala Itôa, poznata kao formula Itôa. Formula Itôa nije korisna samo za rešavanje integrala Itôa, već igra ključnu ulogu u stohastičkoj analizi i rešavanju stohastičkih diferencijalnih jednačina.

Najpre ćemo dati jednodimenzionalnu formulu Itôa, a onda je uopštiti na višedimenzionalan slučaj.

Neka je B(t)t ≥ 0 jednodimenzionalno Brownovo kretanje definisano na kompletnom prostoru verovatnoća (Ω, ℱ, P) i adaptirano u odnosu na filtraciju Ft | t ≥ 0. Označimo sa

22

L1(R+; Rd) i L2(R+; Rd) familije svih Ft-adaptiranih merljivih procesa f = f(t)t ≥ 0 i g , respektivno, sa vrednostima u Rd tako da je za svako T 0,

∫

f(t)|dt < ∞ s.i. i ∫

s.i.

Definicija 3.1 Jednodimenzionalan proces Itôa je neprekidan adaptiran proces x(t)t ≥ 0 oblika

x(t) = x(0) +∫

(s)ds +∫

(s)dB(s), (3.1)

gde f L1(R+; R), i g L2 (R+; R). Proces x(t) ima stohastički diferencijal dx(t) za t ≥ 0, oblika

dx(t) = f(t)dt + g(t)dB(t).

Jasno, proces Itôa x(t) i njegov stohastički diferencijal dx(t) se mogu zadati na bilo kom segmentu [a,b] R.

Prvi integral u izrazu (3.1) je Lebesgueov integral, dok je drugi integral Itôa. Oba integrala su merljiva, Ft -adaptirana i skoro izvesno neprekidna, pa i proces Itôa ima ove osobine.

Označimo sa C2,1(R R+; R) familiju realnih funkcija V(x,t) definisanih na R R+, dva puta neprekidno diferencijalnih po x i jednom po t.

Teorema 3.1 (Formula Itôa) Neka je x(t)t ≥ 0 proces Itôa sa stohastičkim diferencijalom

dx(t) = f(t)dt + g(t)dBt,

gde je f L1(R+; R) i g L2(R+; R). Neka je V C2,1(R R+; R). Tada je i V(x(t),t) proces Itôa sa stohastičkim diferencijalom

dV(x(t),t) = [Vt(x(t),t) + Vx(x(t),t)f(t) + Vxx(x(t),t)g2(t)]dt + Vx(x(t),t)g(t)dB(t) s.i. (3.2)

Dokaz. Zbog dužine dokaza izvešćemo dokaz u više koraka.

1. Pretpostavimo da je proces x(t) ograničen, na primer konstantom k, tako da vrednost funkcije V(x,t) za x [-k,k] zanemarujemo. Za svako n ≥ 1, definišemo vreme zaustavljanja

τn = inf t ≥ 0: ≥ n.

Jasno, τn ↑∞ skoro izvesno. Takođe, definišimo stohastički proces

xn(t) = [ n x(0)] ⋀ n +∫

(s) ⟦ ⟧(s)ds + ∫

(s) ⟦ ⟧(s)dBs , t ≥ 0.

Kako je |xn(t)| ≤ n, tj. xn(t) je ograničen proces, za svako t ≥ 0 i skoro svako ω Ω postoji ceo broj n0 n0(t,ω) tako da je

xn(s,ω) = x(s,ω) za 0 ≤ s ≤ t i n ≥ n0.

23

Dakle, ako (3.2.) važi za ograničen niz xn(t), tj. ako je

V(xn(t),t) V(x(0),0) = ∫ [

Vt(xn(s),s) + Vx(xn(s),s)f(s) ⟦ ⟧(s)

+ Vxx(xn(s),s)g2(s) ⟦ ⟧(s)]ds+∫

x(xn(s),s)g(s) ⟦ ⟧(s)dB(s),

do izraza (3.2) dolazimo kada pustimo da n → ∞.

2. Pretpostavimo dalje da je V(x,t) C2,2(R R+; R), tj. da je dva puta neprekidno diferencijalna po obe promenljive (x,t). Sa druge strane možemo naći niz Vn(x,t) C2,2(R R+; R) tako da važi

Vn(x,t)→V(x,t),

Vn(x,t)→Vt(x,t),

Vn(x,t)→Vx(x,t),

Vn(x,t)→Vxx(x,t)

uniformno na svakom kompaktnom podskupu od R R+. Ako možemo da pokažemo formulu Itôa za svako Vn, tj.

Vn(x(t),t) Vn(x(0),0)

=∫ [

Vn(x(s),s) +

Vn(x(s),s)f(s) +

Vn(x(s),s)g2(s)]ds + ∫

Vn(x(s),s)g(s)dB(s),

Do željenog rezultata dolazimo kada pustimo da n → ∞. Prema koracima 1. i 2. možemo pretpostaviti bez gubitka opštosti da su V,Vt,Vtt,Vx,Vtx i Vxx ograničene funkcije na R [0,t], za svako t ≥0.

3. Pokazaćemo (3.2.) u slučaju da su f i g stepenasti stohastički procesi, pošto se procesi u L1(R+; R) mogu aproksimirati stepenastim procesima.

Fiksiramo t > 0 i pretpostavimo da su V, Vt ,Vtt ,Vx ,Vtx ,Vxx ograničene funkcije na R [0,t]. Neka je ∏=t0,t1,…,tk particija na [0,t], (0 = t0 < t1 <…<t k = t) i neka je

f(s) = fi, g(s) = gi, ako s (ti,ti+1].

Primenom Taylorove formule dobijamo

V(x(t),t) V(x(0),0) = ∑ [ V(x(ti+1),ti+1) V(x(ti),ti)]

= ∑ t(x(ti),ti)∆ti + ∑

x(x(ti),ti)∆xi+ ∑ tt(x(ti),ti)(∆ti)2

+ ∑ tx(x(ti),ti)∆ti∆xi+

∑ xx(x(ti),ti)(∆xi)2 + ∑

i, (3.3)

gde je ∆ti = ti+1 ti, ∆xi = x(ti+1) x(ti), Ri = ((∆ti)2 + (∆xi)2).

Neka je |∏|= ti. Lako je videti da kada |∏| → 0, onda sa verovatnoćom 1,

∑ t(x(ti),ti)∆ti → ∫

t(x(s),s)ds, (3.4)

24

∑ x(x(ti),ti)∆xi→∫

x(x(s),s)dx(s) = ∫

x(x(s),s)f(s)ds + ∫

x(x(s),s)g(s)dBs, (3.5)

∑ tt(x(ti),ti)(∆ti)2 → 0, i ∑

i → 0. (3.6)

Primetimo da je

∑ tx(x(ti),ti)∆ti∆xi = ∑

tx(x(ti),ti)fi(∆ti)2 + ∑ tx(x(ti),ti)gi∆ti∆Bi

gde je ∆Bi = B B . Kada |∏|→ 0, prvi član teži 0 skoro izvesno dok drugi član teži 0 u L2-smislu pošto je

E(∑ tx(x(ti),ti)gi∆ti∆Bi)2 = ∑

[Vtx(x(ti),ti)gi]2(∆ti)3 → 0.

Drugim rečima, (uz pretpostavku o ograničenosti) sledi

∑ tx(x(ti),ti)∆ti∆xi → 0 u L2. (3.7)

Takođe,

∑ xx(x(ti),ti)(∆xi)2 = ∑

xx(x(ti),ti)[fi2(∆ti)2 + 2figi∆ti∆Bi] + ∑

xx(x(ti),ti)gi2(∆Bi)2.

Prvi član teži 0 u L2-smislu kada |∏| → 0, a drugi član teži ka ∫

xx(x(s),s)g2(s)ds u L2-smislu iz istih razloga kao prethodno.

Označimo sa

h(t) = Vxx(x(t),t)g2(t), hi = Vxx(x(ti),ti)gi2

i ocenimo

E(∑ i(∆Bi)2 ∑

i∆ti)2 = E(∑ ∑

i hj[(∆Bi)2 ∆ti][(∆Bj)2 ∆tj])

= ∑ (hi

2[(∆Bi)2 ∆ti]2) = ∑ hi

2 E[(∆Bi)4 2(∆Bi)2∆ti+(∆ti)2]

= ∑ hi

2[3(∆ti)2 2(∆ti)2 + (∆ti)2] = 2∑ hi

2(∆ti)2 → 0,

gde je korišćena poznata činjenica da je E(∆Bi)2n = (2n )!!(∆ti)n. Otuda,

∑ i(∆Bi)2 →∫

(s)ds u L2-smislu. (3.8)

Drugim rečima,

∑ xx(x(ti),ti)(∆xi)2 → ∫

xx(x(s),s)g2(s)ds u L2-smislu.

Stavljajući (3.4) - (3.8) u (3.3), dobija se

25

V(x(t),t) V(x(0),0)

∫ [

Vt(x(s),s) + Vx(x(s),s)f(s) +

Vxx(x(s),s)g2(s)]ds +∫

x(x(s),s)g(s)dB s.i.,

odnosno važi formula Itôa (3.2) u integralnom obliku. Kako su stepenasti procesi ograničeni, dokaz konačno sledi na osnovu koraka 1. i 2.

Sada ćemo proširiti jednodimenzionalnu formulu Itôa na višedimenzionalan slučaj.

Neka je B(t) = (B1(t),…, Bm(t))T, t ≥ 0 m-dimenzionalno Brownovo kretanje definisano na kompletnom prostoru verovatnoća (Ω, ℱ, P), adaptirano u odnosu na filtraciju Ftt ≥ 0.

Definicija 3.2 d-dimenzionalan proces Itôa je neprekidan adaptiran proces x(t)=(x1(t),...,xd(t))T, t ≥ 0, oblika

x(t) = x(0) + ∫

(s)ds + ∫

(s)dB(s),

gde je f = (f1,...,fd)T L1(R+; Rd) i g = (gij)dxm L2(R+; Rdxm). Proces x(t) ima stohastički diferencijal dx(t) za t ≥ 0, oblika

dx(t) = f(t)dt + g(t)dB(t).

Označimo sa C2,1(Rd R+; R) familiju realnih funkcija V(x,t) definisanih na Rd R+ takvih da su dva puta neprekidno diferencijalne po x i jednom po t. Ako V C2,1(Rd R+; R), onda

Vt =

, Vx = (

,...,

),

Vxx = (

)dxd = (

).

Teorema 3.2 (Višedimenzionalna formula Itôa) Neka je x(t)t ≥ 0 d-dimenzionalan proces Itôa sa stohastičkim diferencijalom

dx(t) = f(t)dt + g(t)dB(t),

gde f L1(R+; Rd) i g L2(R+; Rdxm). Neka V C2,1(Rd R+; R). Tada je V(x(t),t) proces Itôa sa stohastičkim diferencijalom

dV(x(t),t) = [Vt(x(t),t)+Vx(x(t),t)f(t) + tr(gT(t)Vxxg(t))]dt + Vx(x(t),t)g(t)dB(t) s.i. (3.9)

Dokaz je sličan kao u jednodimenzionalnom slučaju.

Sledeća tabela olakšava primenu višedimenzionalne formule Itôa,

dtdt=0, dBidt=0 dBidBi=dt dBidBj=0, ako je i≠j

Na primer,

26

dxi(t)dxj(t) = ∑ ik(t)gjk(t)dt. (3.10)

Primetimo da formula Itôa može biti zapisana u obliku

dV(x(t),t) = Vt(x(t),t)dt + Vx(x(t),t)dx(t) + dxT(t) Vxx(x(t),t)dx(t) (3.11)

Kada bi x(t) bilo neprekidno diferencijabilno po t, onda (prema klasičnoj formuli za totalni diferencijal) izraza

dxT(t) Vxx(x(t),t)dx(t) ne bi bilo u poslednjoj jednakosti. Na primer, za

V(x,t) je

d[ ]

∑ . (3.12)

Postoji stohastička verzija formule parcijalne integracije koja je slična klasičnoj.

Teorema 3.3 (Formula parcijalne integracije) Neka je x(t)t ≥ 0 jednodimenzionalan proces Itôa sa stohastičkim diferencijalom

dx(t) = f(t)dt + g(t)dB(t),

gde je

f L1(R+; R) i g L2(R+; R1xm). Neka je y(t)t ≥ 0 realan neprekidan adaptiran proces ograničene varijacije. Tada je

d[x(t)y(t)] = y(t)dx(t) + x(t)dy(t), (3.13)

tj.

x(t)y(t) x(0)y(0) = ∫

(s)[f(s)ds+g(s)dB(s)] + ∫

(s)dy(s), (3.14)

gde je poslednji integral Lebesgue - Stieltjesov.

Dokaz ove teoreme sledi na osnovu (3.12), pri čemu je poslednji sabirak u jednakosti jednak nuli, pošto je y(t)t ≥ 0 realan proces, ali ne proces Itôa.

Primer 3.1 Neka je B(t) jednodimenzionalno Brownovo kretanje. Za određivanje stohastičkog integrala ∫

dB(s) primenjuje se formula Itôa na B2(t) (tj. neka V(x,t) = x2,

x(t) = B(t)). Kako je dB(t) = 0·dt + 1·dB(t), to je

d(B2(t)) = 2B(t)dB(t)+dt,

tj.

B2(t) = 2∫

(s)dB(s) + t,

odakle je

∫

(s)dB(s) =

[B2(t) t]. ◊

27

Primer 3.2 Neka je B(t) jednodimenzionalno Brownovo kretanje.Treba izračunati stohastički integral

∫

dB(s).

Neka je V(x,t) = e- t/2 + x i x(t) = B(t). Prema formuli Itôa sledi

d[e -t/2 + B(t)] =

e -t/2 + B(t)dt + e -t/2 + B(t)dB(t) +

e -t/2 + B(t)dt = e -t/2 + B(t)dB(t),

pa je

∫

dB(s) = 1. ◊

Primer 3.3 Neka je B(t) jednodimenzionalno Brownovo kretanje. Odredimo integral po trajektoriji Brownovog kretanja na vremenskom intervalu [0,t], odnosno, ∫

(s)ds.

Na osnovu formule parcijalne integracije imamo

d[tB(t)] = B(t)dt + tdB(t),

odnosno

∫

(s)ds = tB(t) ∫

dB(s).

Sa druge strane, može se primeniti formula Itôa na B3(t),

dB3(t) = 3B2(t)dB(t) + 3B(t)dt,

odakle je

∫

(s)ds =

B3(t) ∫

2(s)dB(s). ◊

Primer 3.4 Neka je x(t) d-dimenzionalan process Itôa iz definicije 3.2 i neka je Q konstantna matrica dimenzije d d. Primenjuje se formula Itôa na V(x,t) . Kako je Vt 0, Vx i Vxx , tada je

xT(t)Qx(t) xT(0)Qx(0) ∫

[ ]

∫

. ◊

2.4 Nejednakosti sa momentima U ovom delu se primenjuje formula Itôa u izvođenju nekoliko veoma važnih nejednakosti za momente stohastičkih integrala.

Neka je B(t) = (B1(t),…,Bm(t))T, t ≥ 0 m - dimenzionalno Brownovo kretanje definisano na kompletnom prostoru verovatnoća (Ω, ℱ, P) i adaptirano u odnosu na filtraciju Ftt ≥ 0.

28

Teorema 4.1. Neka je p ≥ 2, g Mp ([0,T]); Rdxm) i E∫

pds < ∞. Tada je

E|∫

|

≤ (

)

E∫

pds. (4.1.)

Specijalno, za p =2 važi jednakost.

Dokaz. Za p = 2 jednakost važi na osnovu svojstva integrala Itôa,

E|∫

|

E∫

.

Neka je p 2. Za 0 ≤ t < T stavimo

x(t) =∫

(s)dB(s).

Neka je V(x,t) , x R . Tada je Vt 0, Vx i Vxx .

Na osnovu formule Itôa se dobija

E E∫ [

]ds (4.2)

E∫

ds. (4.3)

Primenom Hölderove nejednakosti za

i

, gde je,

, sledi

E

(E∫

ds)(p-2)/p (E∫

pds)2/p

(∫

pds)(p-2)/p( ∫

) 2/p.

Iz (4.2) sledi da je E|x(t)|p neopadajuće po t, tako da je

E

(p-2)/p ( ∫

) 2/p,

odakle je

E (

)

t(p-2)/2 E∫

g(s)|pds.

Tražena nejednakost se dobija za t T.

Teorema 4.2 Pri istim uslovima kao u Teoremi 4.1 važi

E( ∫

) (

) ⁄

T(p-2)/2 E∫

g(s)|pds. (4.4)

29

Dokaz. Na osnovu Teoreme 2.1 i Teoreme 2.2 stohastički integral ∫

(s)dB(s) je neprekidan

martingal, pa primenom nejednakosti Dooba za martingale (Teorema 1.8 iz prve glave) sledi

E( ∫

(s)dB(s)|p) ≤ (

)

E|∫

|

.

Sada se neposredno primenom Teoreme 4.1 dobija. (4.4).

Teorema 4.3 (Burkholder−Davis−Gundy) Neka g L2(R+; Rdxm). Neka je za t ≥ 0

x(t) =∫

(s)dB(s) i A(t) =∫

g(s)|2ds.

Tada, za svako p > 0 postoje jedinstvene pozitivne konstante cp i Cp (koje zavise samo od p), takve da je

cp E p/2 ≤ E( x(s)|p) ≤ Cp E p/2 , t ≥ 0 (4.5)

gde je

cp = (p/2)p , Cp = (32/p)p/2 ako je 0 < p < 2,

cp = 1 , Cp = 4 ako je p = 2,

cp = (2p)-p/2, Cp = [pp+1/2(p-1)p-1]p/2 ako je p > 2.

Dokaz. Pretpostavimo bez gubitka opštosti da su x(t) i A(t) ograničeni procesi. U suprotnom, za svaki n ≥ 1 se definiše vreme zaustavljanja

τn = inf t ≥ 0:

i pokazuje da (4.5) važi za zaustavljane procese x(t⋀τn) i A(t⋀τn), a onda se oslobađamo pretpostavke o ograničenosti puštajući da n→∞.

Uvedimo oznaku x*(t)= x(s)|.

1) Neka je p = 2. Primenom svojstva integrala Itôa i nejednakosti Dooba dobija se

E E∫

E|∫

|

E E( )

E( |∫

| 4E∫

4E .

2) Neka je p > 2. Iz (4.3), primenom Hölderove nejednakosti za

i

, sledi

E

E[|x*(t)|p-2A(t)] ≤

[E|x*(t)|p](p-2)/ p [E|A(t)|p/2]2/ p. (4.6)

Prema nejednakosti Dooba za martingale i ocene (4.6) je

E (

)

E p [ ⁄ ] ⁄ ⁄ ,

30

što je desna strana nejednakosti (4.5). Da bismo dokazali levu stranu nejednakosti (4.5), stavimo

y(t) =∫

A(s)|(p-2)/4g(s)dB(s).

Tada je E 2 = E∫

(p-2)/2 2ds = E∫

(p-2)/2dA(s) =

E|A(t)|p/2. (4.7)

Sa druge strane, primenom formule parcijalne integracije je x(t) |A(t)|(p-2)/4 = ∫

A(s)|(p-2)/4dx(s) + ∫

(s)d(|A(s)|(p-2)/4)

= y(t) +∫

(s)d(|A(s)|(p-2)/4),

tako da je ≤ (p-2)/4 + ∫

d( (p-2)/4) ≤ 2x*(t)|A(t)|(p-2)/4.

Iz ove ocene i (4.7), primenom Hӧlderove nejednakosti se dobija

E|A(t)|p/2 ≤ 4E[|x*(t)|2 |A(t)|(p-2)/2] ≤ 4[E|x*(t)|p]2/p [E|A(t)|p/2](p-2)/p,

odakle sledi da važi i leva strana nejednakosti (4.5), jer je 1/(2p)p/2 E|A(t)|p/2 ≤ E|x*(t)|p.

3) Neka je 0 < p < 2. Za proizvoljno 0 definišimo proces ɳ(t) =∫ [

ɛ+A(s)](p-2)/4g(s)dB(s)

i označimo ɳ*(t) = ɳ(s)|.Tada je E 2 = E∫ [

ɛ+A(s)](p-2)/2dA(s) ≤

E[ɛ+A(t)]p/2 . (4.8)

Primenom formule parcijalne integracije je

ɳ(t) [ɛ+A(t)](2-p)/4 = ∫

(s)dB(s) + ∫

(s)d([ɛ+A(s)](2-p)/4)

= x(t) +∫

(s)d([ɛ+A(s)](2-p)/4).

Odavde je ≤ [ɛ+A(t)](2-p)/4 + ∫

d([ɛ+A(s)](2-p)/4) ≤ 2ɳ*(t)[ɛ+A(t)](2-p)/4.

Kako ovo važi za svako t ≥ 0 i desna strana nejednakosti je neopadajuća, primenom Hӧlderove nejednakosti se dobija E ≤ 2p E[ p [ɛ+A(t)]p(2-p)/4 ≤ 2p [E 2]p/2 [E[ɛ+A(t)]p/2](2-p)/2. (4.9) Na osnovu nejednakosti Dooba za martingale i (4.8) sledi

E 2 ≤ 4E 2 ≤ E[ɛ+A(t)]p/2.

Iz ove ocene i (4.9) dobija se ocena

E ≤ ( )

E[ɛ+A(t)]p/2.

Kada ɛ→ 0, dobija se desna strana nejednakosti (4.5). Da bismo pokazali levu stranu nejednakosti, za svako fiksirano stavimo

|A(t)|p/2 = (|A(t)|p/2 [ɛ+x*(t)]-p(2-p)/2) [ɛ+x*(t)]p(2-p)/2. Primenom Hölderove nejednakosti se dobija

31

E|A(t)|p/2 ≤ [E(A(t)[ +x*(t)]p-2)]p/2 (E[ +x*(t)]p)(2-p)/2. (4.10) Neka je

ξ(t) =∫ [

ɛ+x*(s)](p-2)/2g(s)dB(s).

Tada je E|ξ(t)|2 = E∫ [

ɛ+ x*(s)]p-2dA(s) ≥ E([ɛ+x*(t)]p-2A(t)). (4.11)

Sa druge strane, primenom formule parcijalne integracije je x(t)[ɛ+x*(t)](p-2)/2 = ξ(t) + ∫

(s)d([ɛ+x*(s)](p-2)/2)

= ξ(t) + ∫

(s)[ɛ+x*(s)](p-4)/2d[ɛ+x*(s)].

Prema tome, |ξ(t)| x*(t)[ɛ+x*(t)](p-2)/2 +

∫

*(s)[ɛ+x*(s)](p-4)/2d[ɛ+x*(s)]

[ɛ+x*(t)]p/2+ ∫ [

ɛ+x*(s)](p-2)/2d[ɛ+x*(s)]

[ɛ+x*(t)]p/2.

Ovo zajedno sa (4.11) daje

E([ɛ+x*(t)]p-2A(t)) ≤ ( )

E[ɛ+x*(t)]p.

Zamenom ove ocene u (4.10) dobija se

E|A(t)|p/2 ≤ ( )

E[ɛ+x*(t)]p.

Konačno, kada ɛ→ 0 dobija se tražena ocena,

( )

E|A(t)|p/2 ≤ E|x*(t)|p,

čime je ova teorema u potpunosti dokazana.

32

3 Stohastičke diferencijalne jednačine Mnoge pojave iz mehanike, fizike, biologije i finansija se matematički modeliraju stohastičkim diferencijalnim jednačinama što ukazuje na njihov značaj. U ovoj glavi uvešćemo osnove teorije stohastičkih diferencijalnih jednačina i izložiti fundamentalne rezultate, koji se odnose na njihovu rešivost. Glavni akcenat je na dokazu teoreme o egzistenciji i jedinstvenosti rešenja stohastičkih diferencijalnih jednačina.

3.1 Motivacija Razmotrimo jednostavan model rasta populacije.

, t 0,

sa početnom vrednošću N(0) N0, gde je N(t) veličina populacije u vremenskom trenutku t, a r(t) stopa rasta u vremenskom trenutku t. Međutim, u realnosti najčešće r(t) zavisi od nekih slučajnih uticaja iz okoline, tj.

r(t) a(t) ξ(t),

pri čemu se pretpostavlja da su a(t) i neslučajne funkcije, a ξ(t) je slučajna funkcija Gaussovog belog šuma. Kako je ξ(t) u smislu formalnog izvoda, posmatrana jednačina će biti oblika

dN(t) = a(t)N(t)dt + (t)N(t)dB(t), t ≥ 0,

gde je B(t) Brownovo kretanje, a N(t) stohastički proces. Ovo je stohastička diferencijalna jednačina tipa Itôa, a njen integralni oblik je

N(t) N0 ∫ ∫

, t 0.

3.2 Osnovni pojmovi i definicija Neka je (Ω, ℱ, P) kompletan prostor verovatnoća sa filtracijom Ftt ≥ 0 koja zadovoljava uobičajene uslove, neprekidna je sa desna i F0 sadrži sve skupove P-mere 0. Neka je B(t) = (B1(t),...,Bm(t))T, t ≥ 0 m-dimenzionalno Brownovo kretanje definisano na ovom prostoru verovatnoća. Za 0 ≤ t0 < T < ∞, neka je x0 -merljiva slučajna promenljiva sa vrednostima u Rd i nezavisna Brownovog kretanja. Neka su f: Rd [t0,T]→Rd i g: Rd [ ] R date Borel-merljive funkcije.

Jednačina

dx(t) = f(x(t),t)dt + g(x(t),t) dB(t), t0 ≤ t ≤ T (2.1)

33

sa početnom vrednošću x(t0)=x0 naziva se d-dimenzionalna stohastička diferencijalna jednačina tipa Itôa. Prema definiciji stohastičkog diferencijala, ova jednačina je ekvivalentna sledećoj stohastičkoj integralnoj jednačini,

x(t) = x0+∫ ∫

za t0 ≤ t ≤ T. (2.2)

Definicija 2.1 Stohastički proces sa vrednostima u Rd je rešenje jednačine (2.1) ako ima sledeća svojstva:

(i) x(t) je neprekidan i Ft – adaptiran proces;

(ii) f(x(t),t) L1 ([t0,T] ; Rd) i g(x(t),t) L2 ([t0,T] ; Rdxm);

(iii) x(t0) = x0 s.i. ;

(iv) Jednačina (2.2) je zadovoljena sa verovatnoćom jedan za svako t [t0,T].

Rešenje je jedinstveno ako za bilo koje drugo rešenje važi

za svako t0 ≤ t ≤ T = 1.

Ako označimo sa rešenje jednačine (2.1), iz jednačine (2.2) za svako [ ] je

∫

∫

, (2.3)

Ovo je stohastička diferencijalna jednačina na [s,T] sa početnom vrednošću , čije je rešenje označeno sa ( ). Prema tome, rešenje jednačine (2.1) ima sledeće svojstvo,

( ), .

Pored toga, koeficijenti i mogu zavisiti od , odnosno, mogu biti slučajni procesi, ali se u tom sučaju zahteva njihova adaptiranost.

Primer 2.1 Neka je B(t), jednodimenzionalno Brownovo kretanje. Definišimo dvodimenzionalan stohastički proces,

( ) ( )

, .

Proces se naziva Brownovo kretanje na jediničnom krugu, jer je ,

t . Pokazaćemo da zadovoljava linearnu stohastičku diferencijalnu jednačinu. Prema formuli Itôa je

( )

( )

( )

( )

tj. u matričnom zapisu,

34

, gde je (

). ◊

3.3 Egzistencija i jedinstvenost rešenja U opštem slučaju jednačina Itôa ne mora imati jedinstveno rešenje definisano na celom intervalu [ ] . Naredna teorema daje dovoljne uslove koji garantuju egzistenciju i jedinstvenost rešenja na [ ].

Teorema 3.1 Neka je i neka postoje dve pozitivne konstante i K takve da važi:

(i) (Lipschitzov uslov) Za sve R i [ ],

(3.1)

(ii) (Uslov linearnog rasta) Za sve R [ ],

( ). (3.2)

Tada postoji jedinstveno rešenje jednačine

(3.3)

koje pripada klasi M2([ ] R ).

Za dokaz ove teoreme, neophodno je dokazati sledeću lemu.

Lema 3.2 Neka je i neka važi uslov linearnog rasta (3.2). Ako je rešenje jednačine (3.3), onda je

( )

, , (3.4)

tj. rešenje pripada klasi ([ ] R ).

Dokaz. Za svaki ceo broj definišemo vreme zaustavljanja

[ ] .

Jasno, skoro izvesno. Stavimo za [ ]. Onda zadovoljava jednačinu

∫ [[ τ ]] ∫ [[ τ ]]

.

Koristeći nejednakost ( ), Cauchy–Schwarz nejednakost kao i uslov linearnog rasta, sledi da je

∫ ( ) |∫ [[ ]]

|

.

35

Prema Teoremi 4.3 (Burkholder-Davis- Gundy nejednakost) iz druge glave i na osnovu uslova linearnog rasta sledi

( )

( - ) ∫ ∫

[[ ]]

∫

.

Sada je

∫ [ ]

.

Na osnovu Gronwallove nejednakosti (Teorema 1.10 iz prve glave) je

,

odnosno,

( )

( )

Tražena nejednakost (3.4) se dobija kada pustimo da n .

Dokaz Teoreme 3.1 Jedinstvenost. Neka su i dva rešenja jednačine

koja zadovoljavaju isti početni uslov. Prema Lemi 3.2 oba rešenja pripadaju ([ ] R ).

Iz integralnog oblika ove jednačine sledi

∫ [ ]

∫ [ ]

.

Primenom Hölderove nejednakosti, Teoreme 4.2 iz druge glave i Lipschitzovog uslova (3.1) može se pokazati, na isti način kao u dokazu Leme 3.2, da je

( ) ∫ (

)

.

Na osnovu Gronwallove nejednakosti sledi

( ) ,

odnosno, za sve skoro izvesno.

Egzistencija. Neka je i neka je za svako i [ ] definisan Picardov iterativni niz

∫

∫

, [ ] (3.5)

36

Kako je E , to je ([ ] R ). Štaviše, lako je indukcijom pokazati da je

([ ] R

), jer je iz (3.5)

∫

, (3.6)

gde je . Takođe, iz (3.5) sledi da za bilo koje ,

∫

∫

∫

gde je . Gronwallova nejednakost implicira

.

Kako je proizvoljno, sledi da je

za sve (3.7)

Takođe je

|∫ ∫

|

|∫

|

|∫

|

.

Koristeći uslov linearnog rasta (3.2) i nejednakost Caushy–Schwarza na prvi integral, dobija se

(3.8)

gde je . Dokažimo da je za svaki ,

[ ]

za , (3.9)

gde je . Dokaz se izvodi indukcijom.

Na osnovu (3.8) sledi da (3.9) važi za . Pretpostavimo da (3.9) važi za neko i pokažimo da važi za .

Iz iterativnog niza (3.5) je

37

|∫ [ ]

| (3.10)

|∫ [ ]

|

Ako se prođe očekivanjem, koristi (3.1) (Lipschitzov uslov), induktivna pretpostavka i ocene integral kao u (3.8), dobija se

E ∫

ds

∫

∫ [ ]

[ ]

,

tj., (3.9) važi za . Prema tome, (3.9) važi za sve . Štaviše, zamenom n sa u (3.10), dobija se

∫

|∫ [ ]

|

.

Primenom Teoreme 4.2 iz druge glave i ocene (3.9), nalazimo da je

(

) ∫

∫ [ ]

[ ]

Primenom Čebiševljeve nejednakosti je

[ ]

Kako je ∑ [ ]

, na osnovu Borel-Cantellijeve leme zaključujemo da za skoro sve postoji pozitivan ceo broj tako da je

kad god je ,

što implicira da sa verovatnoćom 1 delimične sume

∑ [ ]

38

konvergiraju uniformno na [ ] ka nekom procesu , pri čemu je ovaj proces neprekidan i Ft-adaptiran. Štaviše, iz (3.9) sledi da je za svako t, Cauchyjev niz u , pa u .

Ako u (3.7) , onda je

za sve .

Prema tome, ([ ] R ).

Ostaje još da se pokaže da zadovoljava jednačinu (3.3).

Kako je

|∫ ∫

|

|∫ ∫

|

∫

, ,

dokaz sledi neposredno kada u (3.5) pustimo da , odakle je

∫

∫

,

tj. Picardov iterativni niz konvergira ka jedinstvenom rešenju jednačine (3.3).

Sledeća teorema pokazuje brzinu konvergencije Picardovog iterativnog niza.

Teorema 3.3 Neka važe pretpostavke Teoreme 3.1 i neka je jedinstveno rešenje jednačine (3.3) i Picardov iterativni niz definisan sa (3.5). Tada je

(

) [ ]

, n , (3.11)

gde su konstante C i iste kao u dokazu Teoreme 3.1, tj.

i .

Dokaz. Kako je

∫

∫

,

sledi da je

(

)

∫

39

∫ ∫

.

Iz ocene (3.9) se dobija

(

) ∫ [ ]

∫

[ ]

∫ (

)

Nejednakost (3.11) sada neposredno sledi primenom Gronwallove nejednakosti.

Sledeća teorema je uopštenje Teoreme 3.1, u kojoj je Lipschitzov uslov zamenjen lokalnim Lipschitzovim uslovom.

Teorema 2.4 Neka važi uslov linearnog rasta (3.2) i lokalni Lipschitzov uslov:

Za svaki postoji pozitivna konstanta takva da, za sve [ ] i R takve da je ,

. (3.12)

Tada postoji jedinstveno rešenje jednačine (3.3) iz ([ ] R ).

Dokaz. Navešćemo samo liniju dokaza. Za svaki definišemo funkciju

Funkcije se analogno definišu. Tada i zadovoljavaju Lipschitzov uslov (3.1) i uslov linearnog rasta (3.2). Po Teoremi 3.1 postoji jedinstveno rešenje iz ([ ] R

) jednačine

∫ ∫

, [ ] (3.13)

Neka je vreme zaustavljanja

[ ] .

Jasno, skoro izvesno kad n . Pritom je

, za . (3.14)

Zatim se koristi uslov linearnog rasta da se pokaže da za skoro sve postoji ceo broj ω τ za . Sada definišemo sa

, [ ].

Prema (3.14), , a onda iz (3.13) sledi da je

40

∫

∫

∫

∫

Kada , sledi da je rešenje jednačine (3.3), koje prema Lemi 3.2 pripada ([ ] R

).

Lipschitzov uslov zapravo znači da se se koeficijenti f(x,t) i g(x,t) ne menjaju brže nego x, što implicira neprekidnost funkcija f(x,t) i g(x,t) za svako t [ ] . To znači da je Lipschitzov uslov previse ograničavajući, jer ga, na primer, ne zadovoljava funkcija Prethodna teorema je uopštenje Teoreme 3.1 u kojoj je Lipschitzov uslov zamenjen lokalnim Lipschitzovim uslovom.

3.4 Lp-ocene rešenja U ovom odeljku se pretpostavlja da je

jedinstveno rešenje jednačine

, (4.1) sa početnom vrednošću . Procenjuje se p-ti momenat rešanja.

Teorema 4.1 Neka je i ( R ). Pretpostavimo da postoji konstanta tako da je za sve R [ ],

( ) (4.2)

Tada je

za sve [ ]. (4.3)

Dokaz. Primenom formule a na funkciju V(x,t)

, na osnovu nejednakosti i na osnovu uslova (4.2) sledi da za [ ] važi

[ ]

[ ]

∫ [ ]

∫ [ ]

∫ [ ]

ds

∫ [ ]

dB(s)

∫ [ ]

[

]

41

∫ [ ]

∫ [ ]

∫ [ ]

. (4.4)

Za svaki ceo broj definišemo vreme zaustavljanja [ ] .

Jasno, τ ∞ Štaviše, iz (4.4) i svojstva integrala a sledi da je

([ ]

)

∫ [ ]

∫ ([

]

)

.

Na osnovu Gronwallove nejednakosti je

([ ]

)

.

Kada , dobija se

([ ]

)

, (4.5)

odakle sledi tražena nejednakost (4.3).

Pokažimo sada da ako je ispunjen uslov linearnog rasta, onda je zadovoljen i uslov (4.2) za √ . Koristeći (4.3) i nejednakost , odnosno

, za svako važi

(√ ) (

√ )

Stavimo da je √ . Tada je

√ ( )

[√

] ( ).

Sada se mogu iskazati naredna tvrđenja.

Posledica 4.2 Neka je , ( R ) i neka važi uslov linearnog rasta (3.2). Tada za rešenje jednačine (4.1) važi ocena (4.3) sa √ .

42

Teorema 4.3. Neka je , ( R ) i neka važi uslov linearnog rasta (3.2). Tada je

, , (4.6)

gde je ([ ]

[ ]

) i √

Štaviše, p-ti momenat rešenja je neprekidan na [ ].

Dokaz. Kako je

|∫

|

|∫

|

,

na osnovu Hölderove nejednakosti, Teoreme 4.1 iz druge glave i uslova linearnog rasta sledi

[ ] ∫

[ ]

∫

∫

gde je

([ ]

[ ]

). Primenjujući ocenu (4.5) dobija se

∫

što je tražena nejednakost (4.6).

Teorema 4.4. Neka je , ( R ) i neka važi uslov linearnog rasta (3.2). Tada je

(

) β za sve

gde je β

[

(

)

].

Dokaz se izostavlja jer je sličan dokazu Tereme 4.1 i neposredno sledi na osnovu Teoreme 4.2 iz druge glave.

Razmotrimo sada slučaj kada je . Kako je na osnovu Hölderove nejednakosti

[ ]

,

ocena za se može izvršiti pomoću ocene za moment drugog reda. Neposredne posledice ove činjenice su naredna tvrđenja.

43

Posledica 4.5 Neka je , ( R ) i neka postoji konstanta takva da za sve R [ ] važi

( ).

Tada je

za sve [ ].

Posledica 4.6 Neka je , ( R ) i neka važi uslov linearnog rasta (3.2). Tada je

za sve ,

gde je [( √ ) ]

44

4 Linearne stohastičke diferencijalne jednačine Zbog svoje složenosti, stohastičke diferencijalne jednačine u opštem slučaju nisu efektivno rešive. Međutim, postoje neke klase efektivno rešivih stohastičkih diferencijalnih jednačina, na primer, linearne stohastičke diferencijalne jednačine, kao i one koje se pogodnim transformacijama mogu svesti na linearne.

4.1 Uvod Razmotrimo stohastički model rasta populacije pod uticajem Gaussovog belog šuma ξ(t) (ξ(t) ) predstavljen linearnom stohastičkom diferencijalnom jednačinom

dN(t)=r(t)N(t)dt+ (t)N(t)dB(t), za t ≥ 0,

sa početnom vrednošću N(0)=N0, gde je N(t) veličina populacije u vremenskom trenutku t, a r(t) je stopa rasta.

Primenom formule Itôa na , t ≥ 0, dobija se

d(ln(N(t)) = [

]dt +

(t)N(t)dB(t)

[

] .

Kako je

lnN(t) lnN0+∫

r(s)

)ds+∫

(s)dB(s),

to je

N(t) N0exp[∫

∫

].

U ovoj glavi se efektivno određuje rešenje d-dimenzionalne nehomogene linearne SDJ

dx(t) = (F(t)x(t)+f(t))dt+∑ Gk(t)x(t)+gk(t))dBk(t) na [t0,T],

gde su F(·) i Gk(·) d d matrične funkcije, f(·) i gk(·) su funkcije sa vrednostima u Rd i B(t)=(B1(t),…,Bm(t))T je m-dimenzionalno Brownovo kretanje.

Definicija 1.1 d-dimenzionalna nehomogena linearna SDJ je jednačina oblika

dx(t) = (F(t)x(t)+f(t))dt + ∑ Gk(t)x(t)+gk(t))dBk(t) (1.1)

gde u F(·) i Gk(·) d d matrične funkcije, f(·) i gk(·) funkcije sa vrednostima u Rd i B(t) m-dimenzionalno Brownovo kretanje.

45

Definicija 1.2 Linearna SDJ (1.1) je homogena ako je f(t)=g1(t)=...=gm(t)≡0, tj.

dx(t) = F(t)x(t)dt + ∑ k(t)x(t)dBk(t) . (1.2)

Definicija 1.3 Jednačina (1.1) je linearna u užem smislu (in the narrow sense) ako je G1(t)=...=Gm(t)=0, tj.

dx(t) = (F(t)x(t)+f(t))dt + ∑ k(t)dBk(t), (1.3)

ili dx(t) = (F(t)x(t)+f(t))dt + G(t)dB(t), gde je G(t) matrica formata d m čije su kolone vektori gk(t), k 1,...,m.

Definicija 1.4 Jednačina (1.1) je autonomna ako koeficijenti F, f, Gk i gk ne zavise od t, tj.

dx(t) = (Fx(t)+f)dt + ∑ Gkx(t)+gk)dBk(t). (1.4)

Definicija 1.5 Jednačina

dx(t) = (F(t)x(t)+f(t)dt + ∑ Gk(t)x(t)+gk(t))dBk(t), (1.5)

pri čemu su koeficijenti F(t), f(t), Gk(t) i gk(t), k=1,2,…,m merljive i ograničene skalarne funkcije na [t0,T], je skalarna nehomogena linearna SDJ.

4.2 Vektorske homogene linearne SDJ Razmotrimo linearnu SDJ

dx(t) = F(t)x(t)dt + ∑ k(t)x(t)dBk(t) [t0,T]. (2.1)

gde su F(t)=(Fij(t))dxd i Gk(t)=(Gkij(t))dxd Borel-merljive i ograničene funkcije. Za svako

j=1,2,…,d, neka je

ej = ( ⏟

,0, ,0)T.

Neka je ϕj(t)=(ϕ1j(t),…,ϕdj(t))T rešenje jednačine (2.1) sa početnom vrednošću x(t0)=ej. Definišimo matricu formata d d

(t) = (ϕ1(t),…,ϕd(t)) = (ϕij(t))dxd.

Matrica (t) se naziva fundamentalnom matricom jednačine (2.1). Primetimo da je ϕ(t0) jedinična matrica formata d d i

dϕ(t) = F(t)ϕ(t)dt + ∑ k(t)ϕ(t)dBk(t). (2.2)

Jednačina (2.2) se može izraziti na sledeći način: za 1 ≤ i, j ≤ d,

dϕij(t) = ∑ il(t)ϕlj(t)dt + ∑ ∑

kil(t)ϕlj(t)dBk(t). (2.3)

Teorema 2.1 Za početnu vrednost x(t0) = x0, jedinstveno rešenje jednačine (2.1) je

46

x(t) = ϕ(t)x0.

Dokaz. Jasno, x(t0) = ϕ(t0) x0 0. Iz (2.2) je

dϕ(t)x0 = F(t)ϕ(t)x0dt+∑ k(t)ϕ(t)x0dBk(t)

= F(t)x(t)dt+∑ k(t)x(t)dBk(t).

Prema tome, x(t) je rešenje jednačine (2.1). Na osnovu teoreme egzistencije i jedinstvenosti rešenja sledi da je ovo jedino rešenje jednačine (2.1).

Označimo sa W(t) determinantu fundamentalne matrice ϕ(t), tj. detϕ(t)=W(t), koja se naziva stohastički Wronskian. Može se pokazati da je stohastički Wronskian oblika (videti Mao[ ], Teorema 3.2.2)

W(t) = exp[∫

∑ [ ] ∑ ∫

].

Teorema 2.2 Neka su F(·) i Gk(·) realne skalarne Borel-merljive ograničene funkcije na [t0,T]. Tada je

x(t) = x0 exp[∫

∑

∑ ∫

], t [ ]

jedinstveno rešenje skalarne homogene linearne stohastičke diferencijalne jednačine (2.1) sa početnom vrednošću x(t0) = x0.

Dokaz. Označimo sa

y(t) =∫

F(s)

∑

(s))ds + ∑ ∫

k(s)dBk(s).

Tada se x(t) može zapisati na sledeći način,

x(t) = x0ey(t).

Jasno, x(t0) = x0. Kako je

dy(t) = (F(t)

∑

(t))dt + ∑

k(t)dBk(t), (2.4)

primenom formule Itôa na funkciju V(t,y) se dobija

dx(t) = [ (

∑

)

∑

] dt+x0ey(t)∑ k(t)dBk(t)

= x(t)[(

∑

) ∑

] +

x(t) ∑

(t)dt

= F(t)x(t)dt+∑ k(t)x(t)dBk(t),

iz čega sledi da je x(t) je rešenje jednačine (2.4) koje zadovoljava dati početni uslov. Na osnovu teoreme egzistencije i jedinstvenosti rešenja, x(t) je jedinstveno rešenje.

47

4.3 Vektorske nehomogene linearne SDJ Neka je data nehomogena linearna SDJ

dx(t) = (F(t)x(t) + f(t))dt + ∑ Gk(t)x(t) + gk(t))dBk(t), t [ ] (3.1)

x(t0) = x0,

čije je rešenje proces sa vrednostima u Rd. Funkcije F(t) i Gk(t) su sa vrednostima u Rdxd, a f(t) i gk(t) imaju vrednosti u Rd i B(t)=(B1(t),…,Bm(t))T je m-dimenzionalno Brownovo kretanje.

Pretpostavimo da su F , f , Gk , i gk Borel-merljive i ograničene funkcije, tj. zadovoljeni su uslovi teoreme egzistencije i jedinstvenosti rešenja.

Jednačina (2.1) je ogovarajuća homogena jednačina jednačine (3.1). U ovom odeljku ćemo izvesti formulu koja predstavlja jedinstveno rešenje jednačine (3.1) izraženo pomoću fundamentalne matrice odgovarajuće homogene jednačine (2.1).

Teorema 3.1 Linearna SDJ (3.1.) na [t0,T] ima jedinstveno rešenje

x(t) = ϕ(t)( ∫

[ ∑

] ∑ ∫

),

(3.2)

pri čemu je ϕ(t) fundamentalna matrica odgovarajuće homogene linearne SDJ (2.1).

Dokaz. Uvedimo oznaku

ξ(t) ∫

[ ∑

] ∑ ∫

.

Tada ξ(t) ima diferencijal

dξ(t) [ ∑ ] ∑

. (3.3)

Neka je

.

Jasno, . Štaviše, primenom formule Itôa se dobija

d .

Na osnovu (2.2), (3.3) i poslednje jednakosti, koristeći tabelu datu na strani 27, dobija se

d ∑

[ ∑ ] ∑

∑

∑ ∑

48

∑ ,

iz čega sledi da je rešenje jednačine (3.1) koje zadovoljava početni uslov . Na osnovu teoreme egzistencije i jedinstvenosti rešenja sledi da jednačina (3.1) ima jedinstveno rešenje x(t) .

Teorema 3.2 Za rešenja jednačine (3.1) važi da je m(t):=Ex(t) jedinstveno rešenje jednačine

(t) = F(t)m(t) + f(t), [t0,T] (3.2)

sa početnom vrednošću m(t0)=Ex0.

Dokaz. Ako se u integralnom zapisu jednačine (3.1)

x(t) = x0+∫

F(s)x(s)+f(s))ds + ∑ ∫

Gk(s)x(s)+gk(s))dBk(s),

prođe sa očekivanjem, dobija se

Ex(t) = m(t) = Ex0 +∫

F(s)Ex(s)+f(s))ds,

tj.

m(t) = m(t0) +∫

F(s)m(s)+f(s))ds,

što je integralni oblik jednačine (3.2).

4.4 Posebni slučajevi (i) Skalarne nehomogene linearne SDJ. Posmatrajmo skalarnu nehomogenu linearnu SDJ dx(t) = (F(t)x(t)+f(t))dt+∑

Gk(t)x(t)+gk(t))dBk(t), t [ ] (4.1) sa početnom vrednošću x , pri čemu je R -merljiva slučajna promenljiva, i F(t), f(t), Gk(t) i gk(t), k=1,…,m, su merljive i ograničene skalarne funkcije na [t0,T]. Odgovarajuća homogena linearna jednačina je dx(t) = F(t)x(t)dt+∑

k(t)x(t)dBk(t), t [t0,T]. (4.2) Na osnovu Teoreme 2.2, fundamentalno rešenje jednačine (4.2) koje zadovoljava početni uslov x , je

x(t) = exp[∫ (

∑

)

∑ ∫

], t [ ]. (4.3)

Primenom Teoreme 3.1 se dobija rešenje jednačine (4.1),

x(t)=ϕ(t)( ∫

[ ∑

] ∑ ∫

) (4.4)

49

(ii) Linearna jednačina u užem smislu je jednačina oblika

dx(t) = (F(t)x(t)+f(t))dt+∑ k(t)dBk(t), [ ] (4.5)

sa početnom vrednošću x(t0) = x0, gde su F, f i gk isto definisani kao u odeljku 4.1.

Odgovarajuća homogena linearna jednačina je sada obična diferencijalna jednačina

(t) = F(t)x(t). (4.6)

Neka je ϕ(t) fundamentalna matrica jednačine (4.6). Imajući u vidu Teoremu 3.1, rešenje jednačine (4.5) je oblika

x(t) = ϕ(t)[x0+∫

(s)f(s)ds+∑ ∫

(s)gk(s)dBk(s)], [ ] (4.7)

Specijalno, ako F(t) ne zavisi od t, tj. F(t)=F je konstantna matrica formata d d, onda je fundamentalna matrica ϕ(t) oblika ϕ(t) = , a inverzna matrica ϕ-1(t) = . U tom slučaju, za F(t) = F, jednačina (4.5) ima rešenje

x(t) = [ ∫

∑ ∫

]

= +∫

f(s)ds+∑ ∫

gk(s)dBk(s). (4.8)

(iii) Autonomna linearna jednačina je oblika

dx(t) = (Fx(t)+f)dt+∑ Gkx(t) +gk)dBk(t), [ ] (4.9)

sa početnom vrednošću x(t0) = x0, gde je F, Gk Rdxd, f, gk Rd.

Odgovarajuća homogena jednačina je

dx(t) = Fx(t)dt+∑ x(t)dBk(t), [ ] (4.10)

U opštem slučaju fundamentalna matrica se ne može eksplicitno odrediti. Međutim, ako su matrice F, G1,...,Gm komutativne, tj.

FGk = GkF, GkGj = GjGk za sve 1 ≤ k,j≤ m, (4.11)

onda je fundamentalna matrica oblika

ϕ(t)=exp[[

∑

∑

]. (4.12)

Da bismo ovo dokazali, stavimo

y(t) = (

∑

)(t t0)+∑

k(Bk(t) Bk(t0)).

Tada je

ϕ(t) = exp(y(t)).

50

Na osnovu (4.11) je

dϕ(t) = exp(y(t))dy(t)+ exp(y(t)) dt

= ϕ(t)dy(t) + ϕ(t)(∑

)dt

= ϕ(t)[

∑

∑

]+

ϕ(t)∑

dt

= Fϕ(t)dt+∑ kϕ(t)dBk(t),

pa prema tome, ϕ(t) zadovoljava homogenu jednačinu (4.10).

Da bismo odredili rešenje jednačine (4.9), primenimo Teoremu 3.1 po kojoj je

x(t)=ϕ(t)[ ∫

∑

∑

∫

]. (4.13)

(iii) Proces Ornstein‒Uhlenbecka. Najpre posmatramo stohastičku diferencijalnu jednačinu Langevina

dx(t)= αx(t)dt+βdB(t), t ≥ 0, (4.14)

pri čemu je x(0) = x0 , gde su α > 0 i β konstante.

Na osnovu (4.4) je

x(t) = x0+β∫

dB(s), t≥0.

Kako je E|x0|2 < ∞, to je

Ex(t) = E ,

Dx(t) = E|x(t) Ex(t)|2

= E| ∫

|

|∫

|

∫

= Dx0 +

(1 ). ◊

Primetimo da je x0=0 s.i., za proizvoljno x0 i da β∫

α(t-s)dB(s) ima

normalnu raspodelu N(

), tako da raspodela rešenja x(t) teži N(0,

) raspodeli

kada t→∞ , za proizvoljno x0. Štaviše, ako je x0 normalno raspodeljeno ili je konstanta, rešenje x(t) je Gaussov proces koji se naziva procesom Ornstein‒Uhlenbecka. Ako x0 ima

51

raspodelu N(

), onda x(t) ima istu normalnu raspodelu, pa je rešenje stacionaran Gaussov

process, koji se naziva „obojeni šum“.

(iv) Srednje-povratni proces Ornstein‒Uhlenbecka. Rešenje jednačine

dx(t) = α(x(t) μ)dt+βdB(t) , t ≥ 0, (4.15)

sa početnom vrednošću x(0) = x0, gde je μ konstanta, naziva se srednje-povratni Ornstein-Uhlenbeckov proces (the mean-reverting Ornstein-Ulenbeck process).

Na osnovu (4.8) je

x(t) = (x0+αμ∫

αsds+β∫

αsdB(s))

= x0+μ(1 )+β∫

dB(s).

Odavde je

Ex(t) = Ex0 + μ(1 ) → μ, t→∞, a disperzija

Dx(t) = Dx0 +

(1 ) →

, t → ∞.

Prema tome, raspodela rešenja x(t) teži raspodeli N(

) kada t→∞ za proizvoljno x0.

Ako je x0 normalno raspodeljeno ili je konstanta, onda je rešenje x(t) Gaussov proces. Ako x0 ima N(

) raspodelu, onda i rešenje x(t) ima normalnu raspodelu za svako t ≥ 0. ◊

(v) Brownovo kretanje na jediničnom krugu. Posmatrajmo dvodimenzionalnu linearnu SDJ

dx(t)=

x(t)dt +Kx(t)dB(t), t≥0, (4.16)

sa početnom vrednošću x(0)=(1,0)T, gde je

K=(

).

Primenom (4.12), fundamentalna matrica je

ϕ(t) = exp[

],

gde je I jedinična matrica formata 2 2. Kako je K2 I, to je

ϕ(t) = exp[KB(t)]=∑

.

Štaviše, kako je K2n = ( 1)nI i K2k+1 = ( 1)nK za n=0,1,…, to je

ϕ(t)=∑ [

]

=∑ [

]

52

Sada je na osnovu (4.13)

x(t) = ϕ(t)( ) =(

∑

∑

)=(

),

a ovo je Brownovo kretanje na jediničnom krugu (videti prmer na strani 34). ◊

(vi) Brownov most. Neka su a i b konstante. Razmotrimo jednodimenzionalnu linearnu jednačinu

dx(t) =

dt + dB(t), t [0,1) (4.17)

sa početnom vrednošću x(0)= a. Odgovarajuća homogena jednačina

dx(t) =

x(t)dt+dB(t)

ima fundamentalno rešenje

ϕ(t)=exp[ ∫

]=exp(ln(1 t))=1 t.

Dalje je, na osnovu Teoreme 3.1,

x(t)=(1 t)( ∫

∫

)= (1 t)a + bt +(1 t)∫

.

Ovo rešenje se naziva Brownov most od a do b i to je Gaussov proces sa očekivanjem Ex(t)=(1 t)a+bt i disperzijom Dx(t)=t(1 t). Primetimo da je Ex(0) i Ex(t) kad t . Dakle, proces x(t) u srednjem, polazeći od tačke a u trenutku t , približava se tački b kada t , sa disperzijama Dx(0) i D kad t . Otuda je i razumljiv naziv Brownov most za ovaj proces. ◊

(vii) Geometrijsko Brownovo kretanje. Geometrijsko Brownovo kretanje je rešenje jednodimenzionalne linearne jednačine

dx(t) = αx(t)dt+βx(t)dB(t), t ≥ 0, (4.18)

sa početnom vrednošću x(0) = x0 s.i. gde su α i β konstante. Rešenje jednačine je

x(t) = x0 exp[

]. (4.19)

Kako prema zakonu ponovljenog logaritma

trajektorije Brownovog kretanja

sporije teže beskonačnosti nego što t , pa iz (4.19) sledi da je

53

Neka je sada p > 0, x0 Lp i E|x0|p ≠ 0. Iz (4.19) sledi da je

E|x(t)|p E( [

])

exp[

]E( [

]) (4.20)

Na osnovu slučaja (iii) je očigledno

ξ(t) = |x0|p exp[

]

jedinstveno rešenje jednačine

dξ(t) = p β ξ(t)dB(t)

sa početnom vrednošću ξ(0) = |x0|p. Štaviše, kako je

ξ(t) = |x0|p+pβ (s)dB(s),

to je Eξ(t)=E|x0|p. Menjajući ovo u (4.20), dobijamo da je

E|x(t)|p = exp[

]E|x0|p.

Zbog toga je

Primetimo da geometrijsko Brownovo kretanje ima fundamentalnu ulogu u stohastičkom modeliranju cena akcija i drugih finansijskih instrumenata u ekonomiji, pre svega na berzi.

4.5 Reducibilne SDJ Reducibilne stohastičke diferencijalne jednačine predstavljaju klasu nelinearnih stohastičkih diferencijalnih jednačina koje se određenim transformacijama mogu svesti na efektivno rešive, najčešće linearne jednačine.

54

Na primer, pogodnom smenom Xt U(t,Yt) stohastička diferencijalna jednačina oblika

dYt a(t,Yt)dt b(t,Yt)dBt (5.1)

pri određenim uslovima se može svesti na linearnu SDJ

dXt [ ]dt [ ]dBt. (5.2)

Neka funkcija U: zadovoljava uslove teoreme o implicitnoj funkciji3. Ako je

(t,y) 0 za svako (t,y) onda teorema o implicitnoj funkciji garantuje

egzistenciju lokalnog inverza y V(t,x) jednačine x U(t,y), tj., x U(t,V(t,x)) i y V(t,U(t,y)). Rešenje jednačine (5.1) onda ima oblik Yt V(t,Xt) gde je Xt određeno sa (5.2) za odgovarajuće koeficijente a1, a2, b1 i b2.

Na osnovu formule Itôa je

dU(t,Yt) (

)

.

Ova jednačina se poklapa sa (5.2) ako je

a1(t)U(t,y) a2(t) (5.3)

b(t,y) b1(t)U(t,y) b2(t). (5.4)

Specijalno, ako je a1(t) b1(t) (koristi se oznaka a2 i b2(t) ), iz (5.3) je

(

),

a iz (5.4) je (

) , odnosno

b(t,y)

.

Neka je b(t,y) 0. Eliminacijom U i njenih parcijalnih izvoda iz prethodnih relacija se dobija

(

(

)

)

3 Teorema o implicitnoj funkciji.Neka je E otvoren skup i (x0,y0) E i neka važi:

1) F: E R je neprekidna funkcija; 2) F(x0,y0) 0;

3) Postoji

i neprekidan je na E;

4)

(x0,y0) 0.

Tada postoji okolina i jedinstveno određena neprekidna funkcija f: takva da je

f(x0) y0 i F(x,f(x)) 0 za svako x .

55

(

(

))

.

Kako je leva strana jednakosti nezavisna od y, to je

0. (5.5)

Ovo je dovoljan uslov za transformaciju nelinearne SDJ (5.1) u eksplicitno integrabilnu SDJ

dXt . (5.6)

Funkcija U(t,y) se može odrediti iz uslova (5.3) i (5.4) koji se u ovom slučaju svode na

b(t,y) .

Iz poslednje jednakosti je

, odakle je

U(t,y) ∫

.

Iz sledi C exp(∫

), što daje

U(t,y) C exp(∫

)∫

,

gde je C proizvoljna konstanta.

Ovaj metod se može primeniti na transformaciju nelinearne autonomne SDJ

dYt a(Yt)dt b(Yt)dBt (5.7)

u linearnu autonomnu SDJ

dXt (a1Xt a2)dt (b1Xt b2) dBt. (5.8)

primenom transformacije nezavisne od vremena, Xt U(Yt). U ovom slučaju (5.3) i (5.4) su oblika

a(y)

a1U(y) a2 (5.9)

b(y) b1U(y) b2. (5.10)

Ako je b(y) 0 i b1 0, iz (5.10) sedi da je

56

U(y) C exp(b1B(y))

, (5.11)

gde je B(y) ∫

i C je proizvoljna konstanta. Zamenom U(y) u (5.9) se dobija

(

) C exp(b1B(y)) a2 a1

, (5.12)

gde je

A(y)

.

Diferenciranjem (5.12) i množenjem sa b(y)exp , a zatim ponovnim diferenciranjem, dobija se relacija

(

) 0. (5.13)

Ovo sigurno važi ako je

0 ili (

(

)

) 0. (5.14)

Prema tome, ako funkcija A zadovoljava (5.14), iz (5.13) se određuje

b1

(

)

.

Ako je b1 0, onda je odgovarajuća transformacija

U(y) Cexp(b1B(y)). (5.15)

Ako je b1 0, onda je

U(y) b2B(y) C, (5.16)

pri čemu je b2 izabrano tako da zadovoljava (5.10).

Primer 5.1 Za nelinearnu SDJ

dYt (5.17)

je a(y)

i b(y) , pa je A(y) 0, tako da je (5.13) zadovoljeno za bilo

koje b1. Za b1 0 i b2 1 iz (5.10) je U na osnovu (5.16). Zamenom u (5.9), dobija se a1 a2 0. Dakle, Xt i (5.8) postaje stohastički diferencijal dXt dBt čije je rešenje

Xt Bt X0 Bt .

Nelinearna SDJ (5.17) sada ima rešenje

57

Yt ( ),

pri čemu je trajektorija procesa rešenja definisana na slučajnom intervalu [ , gde je

. ◊

Primer 5.2 Neka je data nelinearna autonomna SDJ

dYt

, t , Y(0) ,

gde je g diferencijabilna funkcija. Tada je

a(y)

, b(y) ( ).

0.

Prema tome, zadovoljen je uslov (5.14), tj. b1 može biti proizvoljno. Stavimo b1 0, b2 1 i C 0. Na osnovu (5.16) transformacija je oblika

U(y) ∫

.

Sada je iz (5.9)

a1∫

a2

.

Ovo važi za a1 a2 0, pa se data jednačina može svesti na autonomnu linearnu SDJ

dXt dBt, X(0) X0,

za X0 U(Y0), čije je rešenje Xt Bt U(Y0). Rešenje polazne jednačine je tada oblika

Yt ( ) ◊

Primer 5.3 Neka je data autonomna nelinearna SDJ

dYt [

] , t , Y(0) ,

pri čemu je g diferencijabilna funkcija. Ovde je

a(y)

, b(y) .

Dalje je

, tj.

0. Dakle, b1 se moze birati proizvoljno. Za

b1 0 i b2 1 transformacija je oblika U(y) ∫

. Zamenom u (5.9) dobija se

58

a1∫

a2 ,

što je zadovoljeno za a2 i a1 0. Linearna jednačina koja se dobija transformacijom polazne pomoću U(y) je

dXt , X(0) ,

gde je X0 i čije je rešenje

Xt ,

tako da je

( ). ◊

Na sličan način se određuju rešenja jednačina u sledećim primerima, tj. može se pokazati da su sledeće stohastičke diferencijalne jednačine rešive.

Primer 5.4 Jednačina

dYt

dt a dBt

ima rešenje Yt (

) gde je konstanta a . ◊

Primer 5.5 Jednačina

dYt

ima rešenje Yt . ◊

Primer 5.6 Jednačina

dYt

ima rešenje Yt , definisano na slučajnom interval [ , gde je T . ◊

Primer 5.7 Za jednačina

dYt

ima rešenje Yt

. ◊

Primer 5.8 Jednačina

dYt

59

ima rešenje Yt , definisano na dvostranom slučajnom intervalu ( ) gde je

,

. ◊

60

Zaključak U ovom radu su navedeni osnovni pojmovi i rezultati teorije stohastičkih procesa.

Detaljno su obrazloženi pojam Brownovog kretanja i stohastičkog integrala Itôa koji predstavljaju osnovni aparat za zasnivanje teorije stohastičkih diferencijalnih jednačina. Dokazana je teorema egzistencije i jedinstvenosti rešenja i izvedene su neke -ocene rešenja. Međutim, mnoge realne pojave se matematički modeliraju pomoću stohastičkih diferencijalnih jednačina za koje ne važe klasični uslovi egzistencije i jedinstvenosti rešenja. Ispitivanje egzistencije jedinstvenosti rešenja je od primarnog značaja, imajući u vidu da je, zbog njihove složenosti, veoma uska klasa efektivno rešivih stohastičkih diferencijalnih jednačina. Zbog toga su posebno obrađene linearne stohastičke diferencijalne jednačine, kao tip efektivno rešivih stohastičkih diferencijalnih jednačina. Na kraju su navedene neke nelinearne stohastičke diferencijalne jednačine, koje se primenom odgovarajućih transformacija mogu svesti na linearne.

61

Literatura [ ] X. Mao, Stochastic Differential Equations and Applications, Horwood Publishing Chichester, UK 2008.

[ ] P. E. Kloeden, E. Platen, Numerical Solution of Stohastic Differential Equations, Springer Verlang, Berlin, 1999.

[ ] Sv. Janković, M. Jovanović, Analytic Approximations of Solutions to Stohastic Differential Equations, (Monograph) Faculty of Science and Mathematics, University of Niš, 2008.

[ ] J. Mališić, Slučajni procesi: teorija i primene, Građevinska knjiga, 1989.

[ ] Sl. Janković, Uvod u verovatoću, Univerzitet u Nišu, , Prirodno-matematički fakultet, Niš, 2009.

[ ] Sv. Janković, Stohastički procesi, autorizovana predavanja, Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet, Niš.

62

Biografija Miljana Stanković je rodjena 19.07.1990. godine u Leskovcu, Republika Srbija.

Osnovnu školu “Slavko Zlatanović” je završila u Miroševcu. Gimnaziju, prirodno-matematički smer, završila je u Leskovcu.

Prirodno-matematički fakultet u Nišu, odsek za matematiku, upisala je školske 2009/10. Osnovne akademske studije je završila školske 2011/12. sa prosečnom ocenom 9,24. Iste godine upisuje diplomske akademske studije na smeru Matematika. Prosečna ocena na diplomskim akademskim studijama je 9,79 (bez ocene master rada).

63

ПРИРОДНO-MАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ НИШ

КЉУЧНА ДОКУМЕНТАЦИЈСКА ИНФОРМАЦИЈА Редниброј, РБР:

Идентификациони број, ИБР:

Тип документације, ТД: Монографска

Тип записа, ТЗ: текстуални / графички

Врста рада, ВР: мастер рад

Аутор, АУ: Миљана Станковић

Ментор, МН: Проф. др Светлана Јанковић

Наслов рада, НР: Стохастичке диференцијане једначине

Језик публикације, ЈП: Српски

Језик извода, ЈИ: Енглески

Земља публиковања, ЗП: Република Србија

Уже географско подручје, УГП: Србија

Година, ГО: 2014.

Издавач, ИЗ: ауторски репринт

Место и адреса, МА: Ниш, Вишеградска 33.

Физички опис рада, ФО: (поглавља/страна/цитата/табела/слика/графика/прилога)

62 стране/ 4 поглавља

Научнаобласт, НО: Математика

Научна дисциплина, НД: Вероватноћа и статистика

Предметна одредница/Кључне речи, ПО: Брауново кретање, стохастичке диференцијалне једначине, стохастичке линеарне јеначине

УДК 519.216:517.91

Чува се, ЧУ: Библиотека

Важна напомена, ВН:

Извод, ИЗ:

У овом раду су наведени основни појмови и резултати теорије стохастичких процеса. Детаљно су образложени појам Брауновог кретања и стохастичког интеграла Итоа који представљају основни апарат за заснивање теорије стохастичких диференцијалних једначина. Доказана је теорема егзистенције и јединствености решења и изведене су неке Lp-оцене решења. Испитавање егзистеције и јединствености решења је од примарног значаја, имајући у виду да је, због њихове сложености, веома уска класа ефективно решивих стохастичких диференцијалних једначина. Због тога су посебно обрађене линеарне стохастичке диференцијалне једначине.

Датум прихватањатеме, ДП: 15.01.2014. Датум одбране, ДО:

Члановикомисије, КО: Председник:

Члан:

Члан, ментор:

64

ПРИРОДНO-MАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ НИШ

КЉУЧНА ДОКУМЕНТАЦИЈСКА ИНФОРМАЦИЈА Accession number, ANO: Identification number, INO:

Document type, DT: Monograph

Type of record, TR: textual / graphic

Contents code, CC: university master degree thesis

Author, AU: Mijana Stanković

Mentor, MN: Full prof. Svetlana Janković

Title, TI: Stichastic Differential Equations

Language of text, LT: Serbian

Language of abstract, LA: English

Country of publication, CP: Republic of Serbia

Locality of publication, LP: Serbia

Publication year, PY: 2014

Publisher, PB: author’s reprint

Publication place, PP: Niš, Višegradska 33.

Physical description, PD: (chapters/pages/ref./tables/pictures/graphs/appendixes)

62 pages/ 4 chapters

Scientific field, SF: Mathematics

Scientific discipline, SD: Probability and statistics

Subject/Key words, S/KW: Brownian motion, stochastic differential equations, stochastic linear equations

UC 519.216:517.91

Holding data, HD: Library

Note, N:

Abstract, AB:

In this paper the main concepts and results of the theory of stochastic processes are stated. The concept of Brownian motion and Itô stochastic integral which are the basis for the study of the theory of stochastic differential equations, are explained in details. The theorem of the existence and uniqueness of solutions and their Lp-estimates are proved. The study of the existence and uniqueness of solutions is of primary importance, bearing in mind that, due to their complexity, there is a very narrow class of effective solvable stochastic differential equations. Because of that, the linear stochastic differential equations are specially processed, as a type effectively solvable stochastic differential equations.

Accepted by the Scientific Board on, ASB: 15.01.2014.

Defended on, DE:

Defended Board, DB: President:

Member:

Member, Mentor: