Storia dell'informatica - uniud 2009- 10 - corrado bonfanti - traccia lez.1-2 1 ABACHI DA TAVOLO A GETTONI

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ABACHI DA TAVOLO A GETTONIABACHI DA TAVOLO A GETTONI


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Abachi da tavolo a gettoni

La più antica attestazione di abaco da tavolo, incisa su lastra di pietra:

la “Stele di Salamina” (VI-V sec. a.C.)


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Abachista greco (pittura su vaso)


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Introduzione della decima cifra: lo ZEROZERO.

Dall’India alla cultura araba medievale e da questa all’Europa.

Liber abbaci (1202), opera di Leonardo Pisano, detto Fibonacci.

Oltre che come cifra (fondamentale per la notazione posizionale), lo zero comincia ad essere considerato come un numero a tutti gli effetti (seppure con proprietà un po’ particolari, come del resto anche il numero uno).

Nuovi algoritmialgoritmi di calcolo (algorismi) “con carta e matita” molto più semplici di quelli in uso fino ad allora (vedi per esempio, più avanti, lo scacchiere di Gerberto).


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Cifre indo-arabe senza lo ZEROZERO

(manoscritto spagnolo datato 976)


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La contesa tra algoristialgoristi (dopo l’introduzione dello zero) e abachistiabachisti, illustrata in alcune edizioni cinquecentine.


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Gettoni per abaco “personalizzati” (colonie francesi in America; 18° sec.)

Varie forme di abachi da tavolo a gettoni di epoca rinascimentale. Da un abaco di questo genere, usato fin dal tardo medioevo per il calcolo dei tributi dovuti alla Corona, deriva la denominazione ancora attuale del ministro delle finanze

inglese: Chancellor of the Exchequer (Cancelliere dello Scacchiere)


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} 80.000

} 7.000

} 400

} 50

} 2

} 200.000

287.452

Rappresentazione delle cifre nell’abaco a gettoni (variante biquinaria)


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Fino a tutto il XVIII secolo, i manuali di aritmetica “commerciale” dedicavano ampio spazio all’uso dell’abaco a gettoni.

5.000 1.000 500 100 50 10 5 1

7.897 - 3.676 = 4.221


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ABACHI ATIPICIABACHI ATIPICI


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(*) Gérbrèrt d’Aurillac (Papa Silvestro II; intorno all’anno Mille)

Calcolare senza lo zero: scacchiere di Gerberto scacchiere di Gerberto(*) a gettoni numerali


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Calcolare senza lo zero: scacchiere di Gerberto scacchiere di Gerberto a gettoni numerali

In tutti i tipi di abaco da tavolo il valore dei gettoni dipende esclusivamente dalla loro posizione sul piano di calcolo;

questo di Gerberto è l’unico in cui i gettoni (apices) recano impresso un valore numerico (da moltiplicare per il rango, che è impresso in simboli romani in testa alla rispettiva colonna).


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Notazione numerica a bastoncelli

Tavolo di calcolo cineseTavolo di calcolo cinese (scacchiere “algebrico” a bastoncelli)


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Rappresentazione di un sistema di tre equazioni lineari in tre incognite sull’abaco algebrico. (Trattato cinese del II sec.)


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Rappresentazione di un sistema di tre equazioni lineari in tre incognite sull’abaco algebrico. (Da un testo cinese del II sec.)

L’autore cinese arriva alla soluzione esatta x = 3574/355; y = - 92/71; z = 354/355

eseguendo sullo scacchiere un algoritmo (metodo di eliminazione) che, in occidente, siamo soliti attribuire a Gauss (inizio XIX sec.).

I coefficienti delle incognite nel sistema 2x - 3y + 8z = 32 6x - 2y - z = 62 3x + 21y - 3z = 0

sono iscritti nelle prime tre righe dello scacchiere; i termini noti nella quarta. Si noti l’uso esplicito dei numeri negativi.


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Abaco frazionarioAbaco frazionario

Un espediente “moderno”, di scarso successo.

Le illustrazioni lasciano intuire il principio di base in quanto i “manicotti” scorrevoli rappresentano l’unità (in alto) e, procedendo verso il basso, l’unità suddivisa in 2, 3, 4, … 10 parti uguali, corrispondenti ciascuna alle frazioni 1/2, 1/3, 1/4, … 1/10. L’esemplare fotografato(*) manca di alcuni elementi.

(*) Mateureka - Museo del Calcolo (Pennabilli -PU)


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RICHIAMO SULL’ALGORITMO DI ELIMINAZIONE, DETTO DI GAUSS - UN ESEMPIO

Sia da risolvere il sistema descritto nella slide precedente (tre equazioni lineari in tre incognite)

EQ1 2x - 3y + 8z = 32 EQ1 2x - 3y + 8z = 32

EQ2 6x - 2y - z = 62 calcoliamo + 8 EQ2 ovvero 48x - 16y - 8z = 496

EQ3 3x + 21y - 3z = 0 = EQ4 50x - 19y = 528

3 EQ2 18x - 6y - 3z = 186

calcoliamo - EQ3 ovvero - 3x - 21y + 3z = 0

= EQ5 15x - 27y = 186

27 EQ4 1350x - 513y = 14256

calcoliamo - 19 EQ5 ovvero - 285x + 513y = -3534

= EQ6 1065x = 10722

Il sistema è ora trasformato in

EQ6 1065x = 10722 da cui: x = 3574 / 355

EQ4 50x - 19y = 528 50 3574 / 355 - 19y = 528; y = - 92 / 71

EQ3 3x + 21y - 3z = 0 3 3574 / 355 -21 92 / 71 -3z = 0; z = 354 / 355

La regola sottostante è la sostituzione di un’equazione con una combinazione lineare di equazioni comprese nel sistema. Le combinazioni lineari utili alla soluzione sono costruite in modo da eliminare progressivamente la

z (EQ4 e EQ5) e la y (EQ6). Una volta ricavato il valore di x da EQ6, si procede a ritroso risolvendo per

sostituzione: da EQ4 si ricava il valore di y e da EQ1 quello di z.

È evidente che l’algoritmo si può generalizzare per la soluzione di un sistema di n equazioni lineari in n incognite.

{ {

{ {


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BIBLIOGRAFIA SPECIFICA

Ifrah G. Enciclopedia universale dei numeri; Arnoldo Mondadori Editore, 2008.

George Gheverghese Joseph C’era una volta un numero; Il Saggiatore, 2000.

Vari articoli di Bagni G.T., Bitto D., Bonfanti C., Giangrandi P., Mirolo C. pubblicati in:

L’insegnamento della matematica e delle scienze integrate; Vol.28 A-B N.6 - Nov.-Dic. 2005.

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