STRESS A

ND STR

AIN

KE L O

MP O

K 2

KELOMPOK 2

• EDO PRATAMA (1215051020)

• FERRY ANGGRIAWAN (1215051023)

• KUKUH DIALOSA (1215051030)

• NURUL ABDILLA (1215051042)

• SOULTAN SALAUDIN (1215051052)

PENGERTIAN STRESS DAN STRAIN

• Stress merupakan gaya yang menyebabkan suatu deformasi pada suatu materi

• Strain merupkan deformasi dalam material 3 dimensi

STRESS TENSORBayangkan sebuah bidang homogen yang elastis pada keseimbangan yang statis. Orientasi dari bidang mungkin akan lebih spesifik oleh unit normal vektor, . Gaya per satuan luas yang diberikan oleh sisi ke arah n di bidang ini disebut traksi dan diwakili oleh vektor . Ada gaya yang sama dan berlawanan yang diberikan oleh sisi berlawanan , sehingga t(-) = -t(). Bagian dari t yang tegak lurus ke bidang disebut Stress normal (normal Stress), yang sejajar dengan hal itu disebut Shear Stress. Pada kasus ini cairan, tidak ada Shear Stress dan , dimana P adalah tekanan.

Stress Tensor, τ, dalam sistem koordinat Cartesian (Gambar. 2.1), dapat didefinisikan oleh traksi di seluruh bidang

Karena benda padat memiliki keseimbangan statis , tidak ada rotasi dari Stress Shear. Sebagai contoh, perhatikan Stress Shear pada bidang xz . Untuk keseimbangan torsi, τxz = τzx . Demikian pula, τxy = τyx dan τyz = τzy , dan τ Stress tensor simetris, yaitu,

Traksi di setiap bidang orientasi didefinisikan oleh yang dapat diperoleh dengan mengalikan Stress tensors dengan , yaitu,

Stress tensor adalah operator linier sederhana yang menghasilkan vektor traksi t dari vektor normal , dan dalam pengertian ini, Stress tensor independen dari setiap sistem koordinat tertentu . Dalam seismologi kita hampir selalu menulis Stress tensor sebagai matriks 3x3 dalam geometri Cartesian .

Untuk setiap Stress tensor , selalu mungkin untuk menemukan arah sedemikian rupa sehingga tidak ada Stress Shear (Shear Strain) di bidang normal , yaitu t() dalam arah . Dalam hal ini

 

Dimana I adalah matriks identitas dan λ adalah skalar . Ini adalah masalah nilai eigen yang memiliki solusi trivial hanya ketika

Karena τ simetris dan nyata , nilai eigen adalah nyata, sesuai dengan nilai-nilai eigen adalah vektor eigen (1) , (2) , dan (3) . Vektor eigen adalah ortogonal dan menentukan sumbu utama Stress .

Bidang-bidang yang tegak lurus terhadap sumbu tersebut disebut bidang utama . Kita bisa memutar τ ke (1) , (2) , dan (3) sistem koordinat dengan menerapkan transformasi kesamaan :

Dimana τR adalah Stress tensor putar dan τ1 , τ2 , dan τ3 adalah Stress utama ( identik dengan eigenvalues λ1 , λ2 , dan λ3 ) . Berikut N adalah matriks vektor eigen

Jika τ1 = τ2 = τ3 , maka medan Stress disebut hidrostatik dan tidak ada bidang dari orientasi di mana Stress Shear (Shear Stress) ada. Dalam cairan Stress tensor dapat ditulis

BESARAN UNTUK STRESS

Stress memiliki satuan dari gaya per satuan luas. Didalam satuan SI

Tabel 2.1 Tekanan berbanding dengan kedalaman bumi

1 Newton (N) = 1 kg m s-2 = 105 dyne. Satuan lain yang biasa digunakan untuk Stress adalah bar.

Kedalaman (km) Region Tekanan (Gpa)

0-24 Kerak 0-0.6

24-400 Mantel Atas 0.6-13.4

400-670 Zona Transisi 13.4-23.8

670-2891 Mantel Bawah 23.8-135.8

2891-5150 Inti Luar 135.8-328.9

5150-6371 Inti Dalam 328.9-363.9

STRAIN TENSOR

Lokasi dari setiap titik relatif terhadap posisinya pada waktu acuan t0 yang dituliskan dalam vektor bidang, sehingga, bidang perpindahan u dinyatakan :

Dimana r adalah posisi titik sekarang dan r0 adalah lokasi titik acuan. Bidang perpindahan adalah konsep penting yang merupakan pengukuran absolut dari perubahan posisi. Perbedaannya, Strain adalah pengukuran lokal dari perubahan relatif dalam bidang perpindahan, yakni, gradien spasial dari bidang perpindahan. Strain berelasi dengan deformasi. Sebagai contoh Strain ekstensional diartikan sebagai perubahan pada panjang dengan panjang.

Mempertimbangkan perpindahan u = (ux, uy, uz) pada posisi x, sedikit jarak dari posisi acuan x0. Kita dapat menjabarkan u dalam deret taylor untuk mendapatkan :

(2.10)

 

Dimana d = x – x0.

Kita dapat membagi rotasi rigid dengan membagi J menjadi bagian simetris dan antisimetris :

Dimana tensor Strain, e, adalah simetris (eij = eji) dan diberikan oleh :

 

Dan tensor rotasi, , adalah antisimetris (Ωij = -Ωji) dan diberikan oleh :

Efek dari e dan Ω dapat diilustrasikan dengan mempertimbangkan apa yang terjadi pada kubus yang sangat kecil (gbr. 2.2). elemen off-diagonal e menyebabkan Strain Shear: sebagai contoh, pada 2 dimensi, jika Ω=0 dan tidak ada perubahan volume,

dan

Dimana adalah sudut (dalam radian, bukan derajat) yang dilalui yang berotasi disetiap sisi. Catatan bahwa perubahan total pada sudut antar sisi adalah 2. Perbedaannya, matrik Ω menyebabkan rotasi rigid, sebagai contoh, jika e = 0, kemudian dan

Pada kedua kasus ini tidak ada perubahan volume pada material. Kenaikan volume relatif, atau dilatasi, , diberikan dengan menjumlahkan pertambahan pada arah x, y, dan z :

(2.16)

 

Dimana tr[e] = e11 + e22 + e33 , trace e. Catatan bahwa dilatasi diberikan dengan divergensi bidang perubahan.

Bagaimana dengan curl bidang perubahan? Perhatikan kembali definisi curl pada bidang vektor :

Sumbu utama Strain mungkin ditemukan dengan menghitung arah n untuk perpindahan pada jarak yang sama, yaitu :

 

Sejalan dengan kasus tensor Stress yang sudah dibahas sebelumnya. Tiga eigenvalue adalah Strain utama, e1, e2, dan e3, ketika eigenvektor menetapkan sumbu utama. Catatan bahwa, kecuali dalam kasus e1=e2=e3 (Strain hidrostatik), selalu ada beberapa Strain Shear muncul. Sebagai contoh, berdasarkan persegi dua dimensi dengan penambahan hanya di arah x , sehingga e dapat dinyatakan oleh :

BESARAN UNTUK STRAIN

Strain is Dimensionless since it represents a change in length devided by length. Dynamic strains associated with the passage of seismic waves in the far field are typically less than 10-6

HUBUNGAN LINIER STRESS-STRAIN

Stress dan Strain berkaitan dalam suatu medium yang elastis yang terjadi Stress-Strain. Garis hubungan yang paling umum antar Stress dan Strain tensor dapat di tulis

Dimana merupakan elastis tensor. Persamaan diatas mengasumsikan elastisitas sempurna. Tidak ada energi yang hilang atau melemah selama material deformasi merespon terhadap Stress yang terjadi.

Elastic tensor, , adalah tensor urutan keempat dengan 81 (34) komponen. Namun karena simetri Stress dan Strain tensor dan hukum termodinamika, hanya ada 21 komponen. 21 komponen ini diperlukan untuk menentukan hubungan Stress-Strain untuk bentuk yang paling umum dari elastis padat.

Sifat-sifat yang solid tersebut dapat bervariasi sesuai arah atau berbeda dalam setiap arah, jika memang begitu, material itu disebut anisotrop. Sebaliknya, sifat dari isotrop padat adalah nilainya sama dalam segala arah. Isotrop dapat menjadi orde pertama untuk penafsiran interior bumi, namun dibeberapa daerah anisotrop telah diamati dan ini merupakan area yang penting dari penelitian saat ini.

Jika kita mengasumsikan isotrop ( variasi terhadap rotasi bumi), dapat ditunjukan bahwa jumlah parameter tunggal berkurang menjadi 2:

 

Dimana µ dan disebut lame parameter material dan adalah kroneker delta(= 1, untuk i = j, = 0 untuk i ≠ j).

Seperti yang kita ketahui lame parameter, bersamaan dengan densitas, dapat menetukan kecepatan material seismik. Persamaan Stress-Strain untuk isotrop padat

Dimana kita telah menggunakan eij = eji untuk kombinasi terminologi µ. Dicatat bahwa ekk = tr[e], jumlah dari elemen diagonal e. Dengan menggunakan persamaan ini, kita bisa langsung menulis komponen dari stress tensor dalam hal Strain:

Modulus young E: rasio Stress ekstensional terhadap Strain ekstensional yang dihasilkan untuk silinder ditarik pada kedua ujungnya. dapat ditunjukkan bahwa

 

Bulk Modulus k: Rasio tekanan hidrostatik untuk perubahan volume yang dihasilkan, ukuran inkompresibilitas material. Dapat dinyatakan sebagai

 

Poisson’s Ratio: Rasio kontraksi lateral silinder (ditarik pada ujung-ujungnya) untuk perpanjangan longitudinal. dapat dinyatakan sebagai

Dalam seismologi, terdapat kaitan antara tekanan (P) dan perpindahan (S) kecepatan. ini dapat dihitung dari elastisitas konstan dan kerapatan, p:

ρ velocity,α dapat dinyatakan

S velocity, β dapat dinyatakan

Rasio poisson yang sering digunakan sebagai ukuran dari ukuran relatif dari P dan S kecepatan, dapat ditunjukkan

 

Dicatat bahwa σ berdimensi dan bervariasi antara 0 dan 0,5 dengan batas atas yang mewakili fluida (µ=0). Untuk poison padat . λ = µ, σ = 0,25, dan . sebagian besar batuan kerak memiliki rasio antaran 0,25 dan 0,30.

UNIT UNTUK MODULUS ELASTIK

Lame parameter, modulus young dan modulus bulk semua itu memiliki satuan yang sama dengan Stress , ingat bahwa:

1 Pa=1 Nm=1 kg m

diketahui bahwa ketika ini dibagi dengan kepadatan (kg m-3) hasilnya adalah satuan kecepatan kuadrat