Strong and weak (1, 2) homotopies on knot projections and new invariants

学習院中等科 瀧村祐介

伊藤昇氏(早稲田大学)との共同研究

Definition

k: knot in R³ p : R³ → R² ⊂ R² U {∞} ≅ S² p(k) : knot projection of k 以後、P と表す

Definition

Reidemeister moves on knot projection

Proposition

∀P₁ , P₂ : knot projections on S

P₁ , P₂ は RI, RII, RIII で移り合う

2

Definition(2013)

Definition(2013)

P を 1b,2b で reduced にしたものを P と表す r

Theorem(2013) P₁ と P₂ が RI, RII で移り合う

P₁ と P₂ が球面上で 同じ knot projection である

Corollary P において、 P は一意的である

r r

r

Eliahou, Harary, Kauffman (2008)

Lune free knot graphs

Definition

Definition

Definition

Definition

P を 1b, strong2b で reduced にしたものを P と表す sr

P を 1b, weak2b で reduced にしたものを P と表す wr

Theorem P₁ と P₂ が strong(1, 2) で移り合う

P₁ と P₂ が球面上で 同じ knot projection である

Corollary P において、 P は一意的である

sr sr

sr

Theorem P₁ と P₂ が weak(1, 2) で移り合う

P₁ と P₂ が球面上で 同じ knot projection である

Corollary P において、 P は一意的である

wr wr

wr

P に向きをつけ、全ての交点において以下の smoothing をしたときに出来るcircle の球面上の配置を τ(P) 、 circle の数を|τ(P)| と表す。

Definition

P

P

P

τ(P) P

|τ(P)| = 3

τ(P) P

Theorem

circle の配置 τ(P) と

circle number |τ(P)| は

strong(1, 2) において不変である

－ strong(1, 2)

Theorem

circle number |τ(P)| は奇数である

⇒

⇒

⇒

不変

2変化

⇒

不変

２変化

|τ(P)|

mod (2) で不変

|τ(P)|

mod (2) で不変

|τ(○)| = 1

|τ(P)|

Theorem

circle number |τ(P)| は奇数である

Proposition

|τ(P#P′)| = |τ(P)| + |τ(P′)| – 1

(連結和において、加法性が成り立つ)

|τ(P#P′)| = |τ(P)| + |τ(P′)| – 1

5= 3 + 3 - 1

Theorem

任意の circle 配置 τ(P) の

knot projection P が存在する

Lemma

任意の τ(P) は、以下のどちらかを部分的に含む

Lemma

Theorem

任意の circle 配置の prime な

knot projection P が 存在する

P において、任意の分解円周が trivial arc であるとき、P を prime であるという。

Definition

prime prime ではない

Lemma

prime ではない knot projection でも

有限回のRI とstrong RII でprime に出来る

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