Structure Des Materiaux I Cristallographie

Structure des Matériaux 2011 – IUT Annecy – Mesures Physiques PG – Partie I

STRUCTURE DES MATERIAUX I

CRISTALLOGRAPHIE

CRISTALLOCHIMIE

DIFFRACTION

Représentation schématique de la structure du graphite

Structure des Matériaux 2011 – IUT Annecy – Mesures Physiques PG – Partie I 2

Cristaux naturels de pyrite FeS2

Cristal de LiIO3 (croissance en solution)

La forme extérieure des cristaux, avec des faces parfaitement planes, des arêtes rectilignes, des angles entre les faces ou les arêtes particuliers et réguliers, est le reflet d’une organisation interne des atomes ou des molécules.

La cristallographie est la science qui décrit la forme, la croissance et l’organisation interne des cristaux.

La cristallochimie établit le lien entre les propriétés chimiques des éléments d’un cristal et son organisation interne.

La diffraction est la technique la plus employée pour déterminer l’organisation interne d’un cristal, sa structure.


NOTIONS DE CRISTALLOGRAPHIE

L’ ETAT CRISTALLIN……………………………………………….. 4 LE RESEAU DE TRANSLATION……………………………………... 8 LES OPERATIONS DE SYMETRIE…………………………………… 13 LES SYSTEMES CRISTALLINS……………………………………… 19 LES 4 SYSTEMES BIDIMENSIONNELS……………………………… 19 LES 7 SYSTEMES CRISTALLINS……………………………………. 19 LE VOLUME DE LA MAILLE ……………………………………….. 20 LES 14 RESEAUX DE BRAVAIS…………………………………….. 21 POSITIONS ENGENDREES PAR LES TRANSLATIONS

DU MODE DE RESEAU………………………………………... 25 LES GROUPES D’ESPACE…………………………………………... 28 DESCRIPTION D’UNE STRUCTURE…………………………………. 29

NOTIONS DE CRISTALLOCHIMIE

CLASSIFICATION DES STRUCTURES CRISTALLINES……………….. 36 EMPILEMENTS COMPACTS………………………………………… 38 LA COORDINENCE………………………………………………… 46 LES COMPOSES IONIQUES…………………………………………. 47 LES COMPOSES COVALENTS………………………………………. 50 LES COMPOSES METALLIQUES……………………………………. 53 LES TYPES STRUCTURAUX………………………………………… 54 SUBSTANCES ADOPTANT PLUSIEURS STRUCTURES……………….. 55 RELATIONS STRUCTURALES………………………………………. 57

NOTIONS DE DIFFRACTION

PLANS RETICULAIRES……………………………………………... 60 FORMES CRISTALLINES ET PROPRIETES…………………..………..64 RAYONNEMENTS UTILISES POUR L’ETUDE DES CRISTAUX…………66 LA LOI DE BRAGG…………………………………………………. 67 LES RAYONS X…………………………………………………….. 68 DIFFUSION PAR UN ATOME A PLUSIEURS ELECTRONS…………….. 70 DIFFRACTION……………………………………………………… 74 EXTINCTION ET FACTEUR DE STRUCTURE………………………… 82


L’ ETAT CRISTALLIN Gaz ≡ Particules sans interaction (gaz parfait) ou en

interaction très faible ; évolution libre ou presque (CO2 à température ambiante)

Liquide ≡ Interactions attractives faibles et à courte distance (H2O à température ambiante)

Solide ≡ Atomes ou molécules en interaction forte ; force de nature électrostatique

(NaCl à température ambiante)

La solidification, le passage de l’état liquide à l’état solide, si elle est suffisamment lente s’accompagne d’une mise en ordre à grande distance des atomes ou molécules, aussi parfaite que possible.

Le résultat est ce que l’on appelle un cristal, où, autour de chaque atome, sont disposés d’autres atomes suivant un schéma rigoureux sur des distances macroscopiques.

Distances macroscopiques : de la fraction de millimètre au centimètre. A comparer à la distance entre atomes dans un solide de l’ordre de l’Angström (1 Å = 10-10 m = 0,1 nm).


Arrangement des atomes dans la structure de TlBa2CuO5

Image HREM du supraconducteur (Cu,C)Ba2Ca2Cu3Oz


Image HREM d’un cristal de cordiérite Mg2Al 4Si5O18

Substances cristallines Substances non cristallines ou amorphes

minéraux, roches, métaux, verres, caoutchoucs, résines briques, béton, céramiques, la plupart des substances organiques solides


Un cristal est donc un solide qui possède une structure interne ordonnée à trois dimensions. La cristallographie est la science qui s’attache à étudier les solides cristallins et les principes qui gouvernent leur croissance, leur forme externe et leur structure interne. La caractéristique fondamentale de la matière cristallisée est la distribution périodique des atomes ou molécules dans l’espace. Les conséquences de ce qui précède sont qu’un cristal :

- se compose de la répétition de blocs identiques, appelés motifs, dans les trois direction de l’espace et qui remplissent complètement ce dernier. La façon dont les motifs sont répétés définit la symétrie de translation. Un motif peut être constitué d’un ou plusieurs atomes, d’une ou plusieurs molécules.

- est le siège de bien d’autres symétries liées à la position

relative des atomes dans le motif et à la symétrie de translation..

Les cristallographes ont défini un langage commun pour décrire les cristaux que nous allons maintenant expliciter.


LE RESEAU DE TRANSLATION

Cristal : Arrangement ordonné d’atomes ou de molécules Motif : Groupe d’atomes ou de molécules répété à intervalle

régulier Réseau : Ensemble de points imaginaires, appelés nœuds, représentant la symétrie de translation.

Structure : Motif ⊕ Réseau

Remarque : Les nœuds du réseau de translation ne représentent

pas des atomes. Il ne décrit que la périodicité de la structure, c’est-à-dire une propriété de symétrie.

Le réseau est défini par un groupe de trois vecteurs de translation non coplanaires qui joignent les nœuds entre eux. Le groupe de vecteur n’est pas défini de manière unique.



Réseau bidimensionnel

Maille : Parallélogramme formé par deux vecteurs de

translation (a, b) non colinéaires joignant des nœuds du réseau.

Il suffit de connaître le contenu d’une maille pour construire toute la structure au moyen des opérations de translation (répétition de la maille pour remplir la surface). Une maille simple ou primitive contient un seul nœud. Une maille contenant plusieurs nœuds est dite multiple . Toutes les mailles primitives ont la même surface. Une maille multiple contenant n nœuds a une surface n fois plus grande. On donne la préférence à la maille la plus petite en accord avec la symétrie de la structure.


Trouver une maille primitive et une maille multiple dans chacun des cas suivants. Qu’en est-il du motif ?


Réseau tridimensionnel

Maille : Parallélépipède formé par trois vecteurs de translation

(a, b, c) non coplanaires joignant des nœuds du réseau. Les trois vecteurs forment un trièdre direct.

La maille peut être primitive ou multiple. Toutes les mailles primitives ont même volume… On choisit par convention la maille la plus petite en accord avec la symétrie de la structure.

Pour décrire la maille, on donne généralement six paramètres : les longueurs des trois arêtes (a, b, c) et les trois angles (α, β, γ).

La face A est formée par les vecteurs b et c (B par a et c, C par a et b).


LES OPERATION DE SYMETRIE Axes de rotation

Un axe de rotation d’ordre n est une opération de symétrie qui consiste en une rotation de 2π/n autour de cet axe dans le sens trigonométrique. Une structure cristalline possède un axe de rotation d’ordre n si on peut l’amener en coïncidence avec elle-même par une rotation de 2π/n dans le sens inverse des aiguilles d’une montre (sens trigonométrique).

xxx x

x

x x

x

x

x

x

x

xx

x

x

1 2 3 4 6 2π/1 ≡ 360 2π/2 ≡ 180° 2π/3 ≡ 120° 2π/4 ≡ 90° 2π/6 ≡ 60°

Molécule de benzène et dérivés fluorés


Axes de rotation-inversion Une structure cristalline possède un axe de rotation-inversion d’ordre n si on peut l’amener en coïncidence avec elle-même par une rotation d’ordre de 2π/n suivie d’une inversion i par rapport à un point défini de l’axe.

xo

ox x

x

x o

o

o

x

o

x

o

x

x

x

1 2 ≡ m 3 ≡ 3 + 1 4 6 ≡ 3 + m

2π/1 ≡ 360° 2π/2 ≡ 180° 2π/3 ≡ 120° 2π/4 ≡ 90° 2π/6 ≡ 60° + i + i + i + i + i L’axe 2 est généralement appelé plan de réflexion m, ou miroir, le plan étant perpendiculaire à la direction de l’axe binaire et passant par le centre de symétrie.

Octaèdre : axe 3

Tétraèdre : axe 4


Les axes de rotation d’ordre 5, 7, 8 … sont incompatibles avec l’existence d’un réseau de translation. On ne peut pas paver une surface avec des pentagones, des heptagones ou des octogones. Preuve :

La condition 2 cos(2π/X) = 2 CE/d = CE/d + DF/d = entier n’est réalisée que pour X = 1, 2, 3, 4 ou 6.


Axes hélicoïdaux L’opération se compose d’une rotation de 2π/n suivie d’une translation d’une fraction m/n (m < n) de la période de translation dans la direction de l’axe de rotation. Les axes hélicoïdaux sont notés nm. Exemple : Si l’axe est parallèle à c, 42 ≡ Rotation de π/2 autour de l’axe + translation 2/4 c.

Il y a en tout 11 axes hélicoïdaux : - 21, - 31, 32 - 41, 42, 43, - 61, 62, 63, 64, 65.


Plan de réflexion avec glissement L’opération se compose d’une réflexion par rapport à un plan, suivie d’une translation d’une fraction d’un vecteur de translation t parallèle à ce plan. 2D : La droite de réflexion m peut être remplacée par une droite de

réflexion avec glissement g, où la réflexion est suivie par une translation de t/2.

3D : Le plan de réflexion miroir m peut être remplacé par :

- un plan de glissement a, b, ou c (où l’opération est suivie d’une translation de a/2, b/2 ou c/2, respectivement),

- un plan de glissement n (translation de la demi-diagonale d’une face (a+b)/2, (b+c)/2 ou (c+a)/2) ou,

- un plan de glissement d (translation d’un quart de la grande diagonale de la maille (a+b+c)/4).

La translation est toujours parallèle au plan de glissement.


RESUME SUR LES OPERATIONS DE

SYMETRIE Translation Réseau t = ua + vb + wc u,v,w entiers Rotation Axes de rotation 1 2 3 4 6 Axes de rotation-inversion 1 2 3 4 6 (≡ m) Rotation + Translation Axes hélicoïdaux 21 31 41 61 32 42 62

43 63 64 65

Plan de symétrie Miroir m Plan de symétrie + translation Plans de glissement g (a, b, c, n, d)


LES SYSTEMES CRISTALLINS Seules certaines combinaisons d’axes de symétrie sont compatibles avec l’existence d’un réseau de translation. L’ordre de l’axe le plus élevé et l’orientation mutuelle des axes détermine à quel système cristallin une structure appartient. Chaque système cristallin possède donc une symétrie minimale spécifique et une maille caractéristique, décrite selon un choix conventionnel.

LES QUATRE SYSTÈMES BIDIMENSIONNELS

Système Symétrie

minimale Maille

Oblique

Un axe d’ordre 1 Parallélogramme a, b, γ

Rectangulaire Une droite de

reflexion m Rectangle a, b, γ = 90°

Carré Un axe d’ordre 4 Carré

a = b, γ = 90°

Hexagonal Un axe d’ordre 3 Un tiers

d’hexagone a = b, γ = 120°

LE

S S

EP

T S

YS

TÈ

ME

S C

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TA

LLIN

S

Sys

tèm

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lém

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1

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a, b

, c

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, γ

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Pri

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b, c

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= 9

0°,

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2

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2

Pri

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dro

it su

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ase

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b, c

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= γ

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0°

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, c p

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T

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d’o

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sme

dro

it su

r b

ase

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a =

b,

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= β

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= 9

0°

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aral

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axe

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e S

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inim

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Mai

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lém

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sme

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a =

b =

c

α =

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γ

a, b

, c é

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3

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rdre

6

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e d

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sur

bas

e h

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ale

: a

= b

, c

γ = 1

20

°

c p

aral

lèle

à l’

axe

d’o

rdre

6

C

ubiq

ue

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’ord

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e 7

0,5

3°

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be

: a

= b

= c

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= β

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= 9

0°

a, b

, c p

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’ord

re 2

(o

u 4

) ;

dia

go

nal

es s

pat

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s d

u

cub

e p

aral

lèle

s au

x ax

es

d’o

rdre

3


Atomes partagés entre plusieurs mailles

Position d’un atome sur le parallélépipède

Nombre de mailles partageant le même atome

Positions équivalentes sur le parallélépipède

Nombre d’atome dans une maille

Intérieur Face Arête Sommet

1 2 4 8

1 2 (6) 4 (12) 8

1 × 1 = 1 2 × ½ = 1 (6 × ½ = 3) 4 × ¼ = 1 (12 × ¼ = 3) 8 × 1/8 = 1

Les nombres entre parenthèses sont relatifs au cas particulier d’une maille cubique.

VOLUME DE LA MAILLE Formule générale : V = a × b · c

Système

Triclinique : V = abc (1 – cos²α – cos²β – cos²γ + 2cosα cosβ cosγ)1/2

Monoclinique : V = abc sinβ

Orthorhombique : V = abc

Tétragonal : V = a²c

Trigonal : V = a3 (1-3 cos²α + 2 cos3α)1/2

Hexagonal : V = (√3 / 2) a²c

Cubique : V = a3


LES 14 RESEAUX DE BRAVAIS Les 14 réseaux de Bravais représentent les 14 possibilités d’organiser un volume par une distribution tridimensionnelle de points quand on considère la symétrie. Les modes de réseaux (1) Chaque nœud doit avoir le même environnement, autrement dit,

tous les nœuds doivent être identiques. (2) La maille doit posséder la symétrie minimale du système

cristallin correspondant. (3) Seule la maille la plus petite qui respecte les conditions

précédentes sera retenue.

Base centrée C Corps centré I Faces centrées F

Mailles pour des réseaux base centrée, corps centré et faces centrées ; Projection suivant l’axe vertical.


Mode de réseau

P (ou R) primitif I corps centré

F faces centrées

C base centrée

Position des nœuds

0 0 0 0 0 0 , ½ ½ ½ 0 0 0, 0 ½ ½ ½ 0 ½, ½ ½ 0

0 0 0, ½ ½ 0

Système triclinique

Système mono-clinique

Système ortho-rhombique

Système tétragonal

Système rhombo-édrique


Mode de réseau

P (ou R) primitif I corps centré

F faces centrées

C base centrée

Position des nœuds

0 0 0 0 0 0 , ½ ½ ½ 0 0 0, 0 ½ ½ ½ 0 ½, ½ ½ 0

0 0 0, ½ ½ 0

Système hexagonal

Système cubique

7 Systèmes Cristallins ⊕ 4 Modes de réseaux

⇒ 14 Réseaux de Bravais



POSITIONS ENGENDREES PAR LES

TRANSLATIONS DU MODE DE RESEAU P primitif x y z + (0 0 0) Une position dans la maille : x y z I corps centré x y z + (0 0 0, ½ ½ ½) Deux positions dans la maille : x y z, x + ½ y + ½ z + ½ F faces centrées x y z + (0 0 0, 0 ½ ½, ½ 0 ½, ½ ½ 0) Quatre positions dans la maille : x y z, x y + ½ z + ½

x + ½ y z + ½, x + ½ y + ½ z C base centrée x y z + (0 0 0, ½ ½ 0) Deux positions dans la maille : x y z, x + ½ y + ½ z


Polonium, α-Po cubique P a = 3.36 Å Po 0 0 0

Fer, α-Fe cubique I a = 2.87 Å Fe 0 0 0, ½ ½ ½


Chlorure de sodium, NaCl cubique F a = 5.45 Å Cl 0 0 0, 0 ½ ½, ½ 0 ½, ½ ½ 0 (vert) Na ½ ½ ½, ½ 0 0, 0 ½ 0, 0 0 ½ (rouge)

Uranium, α-U orthorhombique C a = 2.85, b = 5.87, c = 4.96 Å U 0 0.1025 ¼, ½ 0.6025 ¼, (bleu) 0 0.8975 ¾, ½ 0.3975 ¾ (jaune)


LES GROUPES D’ESPACE Il existe 230 manières de combiner axes de rotation, plans de réflexion et réseaux de Bravais. Ce sont les 230 groupes d’espace, décrits dans le premier volume des Tables Internationales de Cristallographie. Chaque groupe d’espace est désigné par une suite caractéristique d’opérations de symétrie, le symbole de Hermann-Mauguin. L’ordre des caractères est bien défini pour chaque système cristallin.

C m c 21

- Système orthorhombique - Réseau de Bravais de type C - Plan de réflexion m perpendiculaire à a - Plan de réflexion avec glissement c perpendiculaire à b - Axe hélicoïdal 21 parammèle à c

F m 3 m

- Système cubique - Réseau de Bravais de type F - Plans de réflexion m perpendiculaires aux axes

cristallographiques (a, b et c) - Axes de rotation-inversion d’ordre 3 parallèles aux diagonales

spatiales - Plans de réflexion m perpendiculaires aux diagonales des

faces

P 63/m m c

- Système hexagonal - Axe hélicoïdal 63 parallèle et plan de réflexion m

perpendiculaire à c - Plans de réflexion m perpendiculaires à a et b - Plan de réflexion avec glissement c perpendiculaire à la

diagonale longue de la face C


DESCRIPTION D’UNE STRUCTURE Pour décrire une structure cristalline, il faut préciser :

(a) la symétrie La symétrie est définie en indiquant le symbole de Hermann-Mauguin du groupe d’espace qui contient aussi toutes les informations sur le système cristallin et le mode de réseau de Bravais.

(b) les paramètres de maille (a, b, c, α, β, γ) Monoclinique : a, b, c, β ; orthorhombique : a, b, c ; rhomboédrique : a, α ; tétragonal, hexagonal : (a, b, c, α, β, γ) ; cubique : (a, b, c, α, β, γ) Les paramètres de maille sont, le plus souvent exprimés en Angtröm (1 Å = 10-10 m). L’IUCr recommande de les exprimer en nm (10-9 m).

(c) les coordonnées atomiques non équivalentes par symétrie (x y z) Les positions des atomes sont données par les coordonnées x y z, exprimées en fraction des paramètres de la maille (0 ≤ x, y, z < 1).

site atomique : ensemble des positions atomiques reliées par les opérations de symétrie.

Il suffit de donner les coordonnées d’une seule position pour chaque site atomique, si le groupe d’espace est spécifié.


Wurtzite, ZnS hexagonal, P63mc 2 sites atomiques a = 3.82, c = 6.26 Å Zn 1/3 2/3 0.000, 2/3 1/3 0.500 (gris) S 1/3 2/3 0.371, 2/3 1/3 0.871 (jaune)

Perovskite, CaTiO3 cubique, Pm3m a = 3.80 Å 3 sites atomiques Ti 0 0 0 (bleu) Ca ½ ½ ½ (vert) O ½ 0 0, 0 ½ 0, 0 0 ½ (rouge)


Supraconducteur à haute Tc, La2CuO4 tétragonal, I4/mmm a = 3.78, c = 13.23 Å La 0 0 0.360, ½ ½ 0.860 (vert) 0 0 0.640, ½ ½ 0.140 Cu 0 0 0, ½ ½ ½ (rouge foncé) O(1) 0 0 0.818, ½ ½ 0.318 (rouge) 0 0 0.192, ½ ½ 0.692 O(2) ½ 0 0, 0 ½ ½ (rouge)


Nombre d’unités de formule par maille Z

Z [entier] = nombre d’unités de formule chimique par maille élémentaire

Exemple précédent : Z = 2 Masse moléculaire Mr

Mr [g mol-1] = Σ masses atomiques par unité formulaire Masse volumique Dx

Dx [Mg m-3] = (Z · Mr) / (N · V) , où Z - nombre d’unités de formule par maille Mr - masse moléculaire [ Mg.mol-1] N - nombre d’Avogadro [6.022x1023 mol-1], V - volume de la maille [m3] Remarque : le nombre ainsi obtenu pour Dx donne aussi la masse volumique exprimée en g.cm-3.

Description complète d’une structure (1) la formule chimique du composé (2) le groupe d’espace (notation condensée pour le système

cristallin, le mode du réseau de Bravais et les éléments de symétrie)

(3) les paramètres de maille (a, b, c, α, β, γ), éventuellement aussi le volume de la maille (V)

(4) le nombre d’unités de formule par maille (Z) (5) la masse volumique calculée (Dx), parfois comparée à la valeur

mesurée (Dm) (6) les coordonnées atomiques non équivalentes par symétrie

( x y z) On ajoute également la température et la pression auxquelles les mesures pour déterminer la structure ont été faites.


Cuivre, Cu cubique, Fm3 m a = 3.61 Å Cu 0 0 0 (≡ quatre atomes de Cu en 0 0 0, 0 ½ ½, ½ 0 ½, ½ ½ 0) V = 47.05 Å3 Z = 4 Mr = 63.55 g mol-1 Dx = 8.97 Mg m-3 (Dm = 8.94 Mg m-3)

Cu3Au cubique, Pm3 m a = 3.74 Å

V = 52.31 Å3 Au 0 0 0 (bleu) Cu 0 ½ ½ (rouge)

(≡ trois atomes de Cu en 0 ½ ½, ½ 0 ½, ½ ½ 0) Z = 1 Mr = 387.6 g mol-1 Dx = 12.30 Mg m-3


STRUCTURE CRISTALLOGRAPHIQUE DE

Ca4.78Cu6O11.60 Université de Savoie – SYMME – 2000 – Journal of Solid State Chemistry


Ca4.78Cu6O11.60 Système cristallin : monoclinique Mode du réseau de Bravais : primitif Groupe d’espace : P2/c (n° 13) a = 10.9456(4) Å b = 6.3192(2) Å c = 16.8408(5) Å β = 104.952(2)° V = 1125.39(6) Å3 Z = 4 ; Dx = 4.48(2) Mg m-3 Atom WP Neutrons, 1.5944Å x y z B(Å2) occ. Cu1 2a 0 0 0 0.52(3) Cu2 4g -0.003(1) 0.0073(16) 0.1698(6) 0.52(3) Cu3 4g -0.005(1) 0.5155(15) 0.0770(6) 0.52(3) Cu4 2e 0 0.5178(22) 1/4 0.52(3) Cu5 2d 1/2 0 0 0.52(3) Cu6 4g 0.499(1) 0.0158(16) 0.1660(6) 0.52(3) Cu7 4g 0.497(1) 0.5047(21) 0.0807(8) 0.52(3) Cu8 2f 1/2 0.508(3) 1/4 0.52(3) Ca1 4g 0.2447(18) 0.745(3) 0.4515(10) 0.43(6) Ca2 4g 0.2467(18) 0.743(3) 0.0479(10) 0.43(6) Ca3 4g 0.2593(22) 0.745(4) 0.8565(11) 0.43(6) 0.78(3) Ca4 4g 0.2513(18) 0.748(3) 0.6555(9) 0.43(6) Ca5 4g 0.2593(16) 0.751(3) 0.2680(8) 0.43(6) O1 4g 0.3743(13) -0.077(2) 0.3906(9) 0.58(3) O2 4g 0.3768(16) 0.0664(25) 0.0689(9) 0.58(3) O3 4g 0.3864(16) -0.003(3) 0.2311(10) 0.58(3) 0.89(4) O4 4g 0.1261(14) -0.041(2) 0.1057(9) 0.58(3) O5 4g 0.1285(14) 0.0717(24) 0.4363(9) 0.58(3) O6 4g 0.1149(18) 0.0265(23) 0.2678(11) 0.58(3) 0.90(4) O7 4g 0.1214(15) 0.4442(24) 0.0231(9) 0.58(3) O8 4g 0.1244(16) 0.5413(25) 0.3472(10) 0.58(3) O9 4g 0.1242(15) 0.5280(21) 0.1880(9) 0.58(3) 0.93(4) O10 4g 0.3868(14) 0.4484(23) 0.4760(9) 0.58(3) O11 4g 0.3769(14) 0.5422(22) 0.1498(10) 0.58(3) O12 4g 0.3895(15) 0.4775(24) 0.3074(10) 0.58(3) 0.88(4)

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