Struktur Data - ryancom.files.wordpress.com · Title: Microsoft Word - Struktur Data.DOC Author: ï¿½ï¿½Sinurat Created Date: ï¿½ï¿½D:20180405094645Z

Struktur Data

24Diktat Kuliah Struktur Data : Noferianto Sitompul

STRUKTUR DATA

Diktat Kuliah

OLEH : Noferianto Sitompul

STMIK BUDIDARMA MEDAN2016

Struktur Data


KATA PENGANTAR

Merancang sebuah program sangat didukung oleh tatanan struktur data yang benar,

Struktur Data merupakan bagian yang sangat penting (program = algoritma + struktur data)

untuk dikuasai. Hampir semua bahasa pemrograman menggunakan bantuan struktur data

untuk mendisain program, perlu dibedakan bahwa struktur data tidak sama dengan sintaksis,

dimana sintaksis merupakan tata tulis sedangkan struktur data menyangkut proses

semantiknya (makna). Contoh array, linked list, stack, queue, tree, graph. Dari terminologi-

terminologi tersebut perlu dibedakan kapan menggunakan mereka. Efisiensi dan

kompleksitas mungkin salah satu konsideran yang mungkin ada hubungannya dengan

memory ataupun tentang disain programnya, itu sebabnya bahwa struktur data harus benar-

benar dipahami apalagi untuk disain program yang kuantitasnya sangat besar (berskala

besar).

Melihat kompleksnya pemahaman akan struktur data, maka penulis mencoba

menuangkan materi-materi struktur data dalam diktat ini dengan berdasarkan pengalaman

mendisin program dan juga didukung dengan rujukan-rujukan buku yang up to date.

Sekalipun demikian penulis sadar masih banyak yang kurang rinci atau kurang deskriptif

bahkan tidak terbahas dikarenakan mengingat waktu penyusunan sangat singkat dan urgensi

penggunaan sangat perlu. Oleh sebab itu penulis akan sangat berterimakasih kepada para

pembaca yang berkenan memberikan saran-saran atau masukan-masukan kepada penulis

untuk seterusnya ditindak lanjuti.

Akhir kata Penulis mengucapkan banyak terimakasih semua pihak yang terlibat baik

secara langsung atau tidak langsung dalam penyusunan Diktat ini, semoga berguna dan

dapat membantu anda dalam memahami struktur data.

Medan, September 2016

Penulis,

Noferianto Sitompul

Struktur Data


DAFTAR ISIHalaman :

Lembar JudulKata Pengantar ……….. iDaftar Isi ……….. iiDaftar Gambar ……….. ivDaftar Tabel ……….. viBab I. Pendahuluan ……….. 1I.1. Pengertian ……….. 1I.2. Konsep Array ……….. 2I.3. Konsep Linked List ……….. 2I.4. Konsep Tree ……….. 3I.5. Konsep Stack ……….. 4I.6. Konsep Queue ……….. 4I.7. Konsep Graph ……….. 4Bab II. Fungsi, Tipe Data dan Notasi Algoritma ……….. 5II.1. Fungsi dan Notasi Matematika ……….. 5II.2. Tipe Data ……….. 6II.3. Notasi Algoritma ……….. 7Bab III. Array, Record, Set, Pointer ……….. 8III.1. Array ……….. 8III.2. Record ……….. 10III.3. Set ……….. 11III.4. Pointer ……….. 12Bab IV. Linked List ……….. 13IV.1. Statemen New, Dispose dan Variabel Pointer ……….. 13IV.2. Linked List (linier) ……….. 14IV.2.1. Algortima Traversal Linked List ……….. 15IV.2.2. Algortima Sisip Data Dalam Linked List ……….. 16IV.2.3. Algortima Hapus Data Dalam Linked List ……….. 17IV.3. Linked List Dengan Multi Pointer ……….. 21IV.3.1. List Circular ……….. 21IV.3.2. Linked List Multi Arah ……….. 22Bab V. Notasi Polish, Rekursif, Stack, Queue ……….. 26V.1. Notasi Polish ……….. 26V.2. Rekursif ……….. 27V.3. Stack ……….. 29V.4. Queue ……….. 30Bab VI. Tree ……….. 33VI.1. Pemahaman ……….. 33VI.2. Binary Tree ……….. 37VI.3. Binary Search Tree ……….. 38VI.3.1. Konsep Umum BST ……….. 38VI.3.2. Representasi BST Dalam Array ……….. 40VI.3.3. Operasi Hapus dan Sisip Dalam BST ……….. 41VI.4. AVL-Tree ……….. 43VI.5. B-Tree ……….. 50VI.6. Binary B-Tree ……….. 57

Struktur Data


Halaman :

Bab VII. Hashing dan Kompresi ……….. 63VII.1. Konsep Hash ……….. 63VII.2. Linier Probing ……….. 65VII.3. Quadratic Probing ……….. 66VII.4. Kompresi ……….. 71Bab VIII Graph ……….. 80VIII.1. Defenisi Graph ……….. 80VIII.2. Shortest path Problem ……….. 81VIII.3. Algoritma Minimal Spanning Tree ……….. 82

Struktur Data


DAFTAR GAMBAR

Halaman :

Gambar 1.1. Bentuk List ……….. 2Gambar 1.2. Jenis-jenis Linked List ……….. 3Gambar 1.3. Bentuk Pohon ……….. 3Gambar 1.4. Bentuk Tumpukan ……….. 4Gambar 1.5. Bentuk Antrian ……….. 4Gambar 1.6. Bentuk salah satu graph .............. 4Gambar 3.1. Diagram Proses Array ……….. 8Gambar 3.2. Konsep Array dalam memory ............. 9Gambar 3.3. Bentuk Array Linier ……….. 10Gambar 3.4. Diagram Proses Record ……….. 10Gambar 3.5. Diagram Proses Set ……….. 11Gambar 4.1. Operasi New dan Dispose ……….. 13Gambar 4.2. Operasi Entry List ……….. 13Gambar 4.3. Operasi Pointer Next ……….. 13Gambar 4.4. Deskripsi Linked List ……….. 14Gambar 4.5. Operasi Pertukaran Head List ……….. 14Gambar 4.6. Linked List Dengan 5 Node ……….. 14Gambar 4.7. Proses Pointer Dalam Linked List ……….. 14Gambar 4.8. Bentuk Implementasi New Dalam List Array ……….. 14Gambar 4.9. Bentuk Sisipan List Baru Dalam Linked List ……….. 16Gambar 4.10. Proses penyisipan list baru pada Linked List ……….. 16Gambar 4.11. Proses penghapusan suatu list dari Linked List ……….. 17Gambar 4.12. Linked List Circular ……….. 21Gambar 4.13. List Dua Arah ……….. 22Gambar 4.14. List Circular Dua Arah ……….. 22Gambar 4.15. Proses Hapus Pada List dua Arah ……….. 23Gambar 4.16. Proses Sisip Node Baru Pada List dua Arah ……….. 23Gambar 5.1. Menara Hanoi ……….. 28Gambar 5.2. Operasi Stack ……….. 29Gambar 5.3. Diagram Antrian ……….. 31Gambar 5.4. Proses Enqueue ……….. 31Gambar 5.5. Proses Dequeue ……….. 31Gambar 6.1. Bentuk Umum Tree ……….. 33Gambar 6.2. Pohon Dengan Pola Rekursif ……….. 33Gambar 6.3. Subtree Dari Tree ……….. 34Gambar 6.4. Bentuk Binary Tree ……….. 37Gambar 6.5. Rute Kunjungan Dengan Preorder, Post Order, inorder ………. 37Gambar 6.6. Probe Dalam Pohon ……….. 39Gambar 6.7. Pohon Seimbang ……….. 39Gambar 6.8. Representasi BST Dalam Array ……….. 40Gambar 6.9. Operasi Sisip Node Dalam BST ……….. 41Gambar 6.10. Operasi Node Dengan BST ……….. 41Gambar 6.11. Rotasi Tunggal Pada AVL Tidak Seimbang ……….. 46Gambar 6.12. Rotasi Ganda Pada AVL Tidak Seimbang ……….. 46

Struktur Data


Halaman :

Gambar 6.13. Pohon Bentukan BST ……….. 47Gambar 6.14. AVL-Tree ……….. 48Gambar 6.15. B-Tree dengan M key ……….. 51Gambar 6.16. B-Tree Untuk Order 2 ……….. 51Gambar 6.17. B-Tree Dengan Sisipan Data ……….. 52Gambar 6.18. Keadaan B-Tree Setelah Proses Penyisipan Data ……….. 53Gambar 6.19. Keadaan B-Tree Setelah Proses Penghapusan Data ……….. 54Gambar 6.20. Representasi Node Dalam BB-Tree ……….. 58Gambar 6.21. Penyisipan Node Pada BB-Tree ……….. 59Gambar 6.22. Penghapusan Node Pada BB-Tree ……….. 59Gambar 6.23. Pengembangan Hedge Tree Pada Proses Sisip ……….. 60Gambar 7.1. Metode Midsquare ……….. 64Gambar 7.2. Proses Linier Probing ……….. 64Gambar 7.3. Quadratic Probing ……….. 66Gambar 7.4. Infinitive Probing ……….. 67Gambar 7.5. Rehashing ……….. 69Gambar 7.6. Pembentukan Subtree Pohon Huffman ……….. 71Gambar 7.7. Proses Pembentukan Pohon Huffman ……….. 73Gambar 8.1. Graph Berarah ……….. 80Gambar 8.2. Graph Berarah SPP ……….. 81Gambar 8.3. Graph Berarah SPP lain ……….. 81Gambar 8.4. Algoritma MST Prims ……….. 83Gambar 8.5. Algoritma MST Kruskal ……….. 83

Struktur Data


DAFTAR TABEL

Halaman :

Tabel 2.1. Tipe Data Integer ……….. 6Tabel 2.2. Tipe Data Real ……….. 7Tabel 5.1. Skala Prioritas ……….. 26Tabel 5.2. Operasi Stack ……….. 27Tabel 6.1. Jumlah Data Tiap Level ……….. 39Tabel 7.1. Proses Probing ……….. 66Tabel 7.2. Proses Infinitive Probing ……….. 67Tabel 7.3. Konversi Alpabetik Dengan Fungsi Ordinal ……….. 68Tabel 7.4. Fungsi Rehashing ……….. 68Tabel 7.5. Penempatan Probing ……….. 68Tabel 7.6. Data Pohon Huffman ……….. 71Tabel 7.7. Kode Karakter ……….. 73Tabel 7.8. Proses Dekoding ……….. 78

Struktur Data


BAB IPENDAHULUAN

I.1. PENGERTIANBerbicara dengan struktur data maka perlu memperhatikan beberapa aspek seperti

logika, algoritma dan kompleksitas program. Struktur data menjadi sangat penting dalammendisain sebuah program yang efisien dengan akses yang sangat efektif. Sebuah programmerupakan proses bentukan dari stuktur data dan algoritma.

Data diorganisasi sedemikian rupa dengan cara yang berbeda-beda, baik menurutlogika maupun model model matematika kemudian disusun menurut aturan-aturan yangbenar yang disebut dengan struktur data. Data adalah fakta-fakta / angka-angka yang sudahterekam tetapi belum digunakan untuk suatu keperluan. Struktur adalah elemen-elemenpebentuk atau pengaturan hubungan antar elemen dalam suatu sistem.

Model data dapat dipandang dengan 2 cara yaitu :1. Struktur yang cukup menghubungkan data dalam dunia nyata2. Struktur sederhana untuk dapat mengefektifkan proses data yang diperlukan.

Struktur data dibagi atas 3 tingkatan struktur yaitu :1. Defenisi fungsional2. Referensi logika3. Struktur fisik

Nilai data (data value) adalah suatu data yang dipandang sebagai satu kesatuan tunggal(single entity) sedangkan tipe data adalah kombinasi antara himpunan nilai data (set ofvalue) dan himpunan operasi terhadap nilai-nilai data tersebut.

Struktur data abstrak dibagi menjadi beberapa bagian yaitu :1. List linier (Linked list)2. linked list banyak (Multi linked list)3. Tumpukan (Stack)4. Antrian (Queue)5. Pohon (Tree)6. Grafik (Graph)

Struktur data non abstrak dikelompokkan dalam beberapa bagian yaitu :1. Set2. Array3. Record4. File5. Pointer, dan lain-lain

Tipe data abstrak (TDA)Dapat dipadang sebagai model matematika dan sekumpulan operasi yang

didefenisikan terhadap suatu model.

Struktur Data


Contoh :Himpunan bilangan bulat : {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...} operasi yang dapat dilakukan terhadaphimpunan ini adalah gabungan, irisan, dan lain-lain.TDA dapat dibagi menjadi :1. Generalisasi : proses membangkitkan tipe-tipe data dasar / primitif (real, integer, dan

lain-lain) seperti juga prosedur yang merupakan generalisasi dari operasi-operasi dasar,seperti : +, -, *, /, dan lain-lain

2. Enkapsulasi : Merupakan TDA yang melingkupi / menyelimuti tipe data, artinyadefenisi jenis data dan operasi-operasi yang diperbolehkan dilokalisasi dalam satubagian program. Tipe data dari sebuah variabel adalah kumpulan nilai tertentu yangdimuat oleh variabel tersebut. Misalnya tipe data boolean yang hanya bernilai true ataufalse dan tidak boleh yang lain.

I.2. KONSEP ARRAYArray merupakan struktur data yang paling sederhana, kesederhanaannya dapat

dilihat dari pemberian notasi model linier (dimensi). Dalam array linier dengan jumlah dataterbatas (finite) didefenisikan sebagai berikut : A1, A2, A3, ..., An atau dengan notasi dalamkurung :

A(1), A(2), A(3), ..., A(n)atau dengan notasi dalam kurung siku :

A[1], A[2], A[3], ... A[n].Dilihat dari notasi-notasi di atas bahwa A adalah variabel operand dan 1, 2, 3, ... , n adalahindeks yang menyatakan sekuensi proses.

Selain model notasi linier satu dimensi juga diperbolehkan untuk dua atau tigadimensi misalnya, dengan dimensi 2 :

A[1,1], A[1,2], ..., A[1,n], A[2,1], A[2,2], …, A[m,n]dan oleh karena itu array disebut juga dengan dense list (struktur data statis).

Dimensi Array :1. Array 1 dimensi : List dan vektor2. Array 2 dimensi : tabel dan matriks3. Array multidimensional : secara teoritis bahwa jumlah dimensi tidak terbatas akan tetapi

hanya dibatasi oleh besarnya memory4. Array-array special :− Array segitiga (triagular array) :

¾ Lower triangular array : array 2-dimensi berbentuk bujur sangkar (U1 = U2),dimana semua komponen di atas diagonal berisi 0

¾ Upper triangular array : perbedaan lower triangular array adalah semua komponendi bawah diagonal yang berisi 0. Penyimpanan memerlukan lebih sedikit memory,karena angka 0 tidak perlu disimpan. Rumus AMF untuk triangular array adalah :Address (S[i,j] = C0 + C1 x (i x (i-1)) + C2 x j, dimana C0 = B, C1 = L/2 , C2 = LJumlah elemen = (U x (U+100/2 danJumlah memory = L x jumlah elemen− Array jarang (Sparse Array) : Array yang kebanyakan komponennya mempunyai satu

nilai yang sama, misalnya nilai 0, hanya sebagian kecil yang tidak sama dengan 0.

Struktur Data


I.3. KONSEP LINKED LISTList dianalogikan sebagai daftar (record), kemudian beberapa daftar / record

digabung atau dihubungkan sebagai rangkaian suatu proses yang disebut dengan link. Suatuentitas dimana record-recor yang termuatdi dalamnya dihubungkan (linked) menjadi satuproses bersama disebut linked list. Linked list untuk pertama kalinya dapat dikenali dandihubungkan dengan suatu pointer head. Perhatikan diagram berikut dalam gambar 1.1Contoh :

Gambar 1.1. Bentuk list

Pada gambar 1.1. ditunjukkan bahwa head akan merujuk (menyimpan alamat) recordtersebut. Rangkaian linked list dikenali dengan head, listlist terkait dan tail

Jenis-jenis linked list antara lain :

Gambar 1.2. Jenis-jenis linked list

Struktur Data


I.4. KONSEP TREETree (pohon) adalah struktur data yang menyatakan frekuensi data dengan relasi

dalam suatu hirarki antara elemen-elemen data, induk relasi tersebut adalah root (akar) dancabang-cabang yang memiliki data disebut dengan leave dan leaf.

Contoh :Record : mahasiswa {nim, nama, alamat{jalan, area{kota,kdpos}}, umur, jurusan, hobby}Perhatikan diagram berikut dalam gambar 1.3.

Gambar 1.3. Bentuk pohon

I.5. KONSEP STACKStack (tumpukan) adalah struktur data (list linier) yang menganut paham LIFO (last

in first out), dimana proses yang dapat dilakukan adalah sisip dan hapus data, dan selalumengambil posisi di akhir tumpukan (top of stack) dengan bentuk penotasiannya denganpostfix. Operasi pada stack adalah PUSH (memasukkan data dalam stack) dan POP(mengambil data dari stack). Perhatikan diagram berikut dalam gambar 1.4.

Gambar 1.4. Bentuk Tumpukan

Struktur Data


I.6. KONSEP QUEUEQueue (antrian) adalah struktur data (list linier) yang menganut paham FIFO (first in

first out) dimana operasi penghapusan dilakukan di depan (front) list dan operasi sisipdilakukan di belakang (rear) list. Perhatikan diagram berikut dalam gambar 1.5.

Gambar 1.5. Bentuk Antrian

1.7. KONSEP GRAPHGraph (grafik) merupakan bagian struktur data yang mengindikasikan adanya relasi-

relasi (many to many) yang beraturan dan tidak beraturan diantara pasangan elemen-elemendata baik untuk tipe yang sama atau berbeda dengan berbentuk network / jaringan.

Contoh Grafik :

Gambar 1.6. Bentuk salah satu graph

Struktur Data


BAB IIFUNGSI, TIPE DATA DAN NOTASI ALGORITMA

Pemahaman struktur data lebih lanjut perlu mengetahui bentuk-bentuk fungsi dannotasi yang sering digunakan baik dalam algoritma maupun program.

II.1. FUNGSI DAN NOTASI MATEMATIKA

FUNGSI FLOOR DAN CEILINGMisalkan X adalah bilangan real, dimana X berada diantara 2 buah bilangan integer

disebut dengan FLOOR dan CEILING.

FLOOR X ( X ) adalah pembulatan nilai X ke bawah dan diambil desimal terbesar.CEILING X ( X ) adalah pembulatan nilai X ke atas dan diambil desimal terbesar.Contoh :

3.14 = 3 3.14 = 48.5 = 8 8.5 = 9

FUNGSI SISA (MODULUS)Misalkan X adalah nilai integer dan M adalah positif integer maka nilainya adalah

sisa pembagian. Bentuknya adalah X (mod) M.Contoh :

25 (mod) 7 = 4 25 (mod) 5 = 0 35 (mod) 11 = 2

FUNGSI INTEGER dan ABSOLUTEMisalkan X adalah integer, maka nilai integer X ditulis INT(X) dengan

mengkonversi X ke dalam integer dan menghapus bagian fraksional bilangan.Contoh :

int (3.14) = 3 int (8.5) = 8 int (7) = 7abs |-15| = 15 abs |-3.33| = 3.33 abs|4.44| = 4.44

FUNGSI SUM (Σ)Proses berdasarkan sikuensi a1, a2, a3, ... , an maka a1 + a2 + a3 + ... + an maka

bentuknya adalah :n

Sum (Σ) = Σ aij=1

FUNGSI FAKTORIALMisalkan bilangan integer positif dari satu sampai dengan n dinotasi dengan n !

maka bentuknya adalah n ! = 1 x 2 x 3 x ... x (n-2) x (n-1) x n.Contohnya :

5! = 5 * 4!4 = 4 * 3!

3 = 3 * 2!2 = 2 * 1!

= 2 * 1 = 23 = 3 * 2 = 6

4 = 4 * 6 = 245 ! = 5 * 24 = 120

Struktur Data


FUNGSI PERMUTASIJumlah pasangan berurutan suatu himpunan dari n buah objek dengan jumlah

pasangan masing-masing adalah r buah besaran, dimana r ≤ n.Misalnya : {a, b, c}

b (a,b) terdapat 6 buah pasangan n = 3 dan r = 2 makaa rumus :

c (a,c)

a (b,a)b

c (b,c)

a (c,a)c

b (c,b)

n !P (n, r) =

(n –r) !

II.2. TIPE DATADalam mendisain sebuah program yang baik maka sangat penting memperhatikan

jenis tipe data yang akan dipakai untuk menentukan efisiensi penggunaan memori.

Jenis-jenis tipe data sebagai berikut :- Numeric integer (Int)- Numerik real (real, Float)- Charakter (Char)- String- Boolean (True, False)- Pointer- Ordinal (subset tipe data sederhana kecuali tipe data real dan tipe data yang didefenisi

oleh user yaitu enumerate type dan subrange type)

NUMERIK INTEGERMerupakan nilai bilangan bulat dalam bentuk decimal maupun hexadecimal.

Perhatikan tabel 2.1. berikut :

Tabel 2.1. Tipe data integerTipe Ukuran memori

(byte)Range nilai

ByteShortintIntegerWordLongint

1248

10

0 ... 125-128 ... 127

-32768 …327670 … 65535

-2147483648 … 2147483647

Struktur Data


NUMERIK REALNilai konstanta numeric berkisar dari 1E-38 sampai dengan 1E + 38 dengan

mantissa yang signifikan sampai dengan 11 digit. Nilai E menunjukkan 10 pangkat. Nilaikonstanta numerik real menempati memori 6 byte.

Tabel 2.2. Tipe data realTipe Ukuran Memori

(byte)Range nilai Signifikansi

DigitSingleDoubleExtendedComp

48

1016

1.5 x 10E-45 … 3.4 x 10E385.0 x 10E-324 … 1.7 x 10E3081.9 x 10E-4951 … 1.1 x 10E4932-2E + 63 + 1 … 2E +63- 1

7 – 815 – 1619 – 2019 - 20

II.3. NOTASI ALGORITMANotasi algoritma yang dipakai pada umumnya adalah :Assign ekspressi adalah = atau := atau ←Misalnya : untuk meng-assign suatu nilai terhadap suatu variabelX = 2 atau X := 2 atau X ← 2

Assign kondisi adalah == atau =

Pembanding adalah case … of atau if … then … [else] ….Misalnya untuk membandingkan dua buah nilai butuh operator == atau =(tergantung bahasa pemrograman yang digunakan) dan dimuatkan ke dalam suatupembanding atau perulangan suatu operasi dapat dilakukan dengan :If (a == b) then ekspressi atau if (a ==b) then ekspressi1 else ekspressi 2

Case a of1: ekspressi1 ; 2: ekspressi2; ...... end;

Operator adalah + atau - atau / atau *Misalya : untuk mejumlahkan atau mengurangkan atau membagi bahkan untukmengalikan dilakukan dengan :a * b atau a / b atau a + b atau a-b

Perulangan adalah for … do atau while ... do atau do … while atau repeat … until ()Relasi adalah ≥ atau > atau ≤ atau < atau atau .GE. atau .GT. atau .LE. atau .LT. atau.NE. dan lain-lain.

Misalnya : untuk membandingkan dua buah nilai maka harus menggunakanoperator kondisi atau looping

for ( a < b) do ekspressi atau while (a < b) do ekspressiRepeat

EkspressiUntil (kondisi)

Struktur Data


BAB IIIARRAY, RECORD, SET, POINTER

III.1. ARRAYMerupakan gugus yang menggambarkan struktur yang mengalokasi alamat (storage)

di memory untuk suatu operand dengan suatu indeks. Array dapat bertipe data sederhanaataupun tipe data enumerate. Perhatikan diagram berikut pada gambar 3.1.

Gambar 3.1. Diagram proses Array

Pencapaian / akses data dibagi 2 :1. Positional access

Merupakan akses dilakukan berdasarkan nilai indeksnya, sedangkan2. Associative access

Merupakan akses berdasarkan nilai atau isi komponennya. Akses berdasarkan indeksadalah alamat komponen memory dapat dihitung berdasarkan komponen indeksnya.

Akses berdasarkan indeks dibedakan :1. Alamat (address) komponen dalam memory dapat dihitung berdasarkan nilai indeksnya2. Untuk array dengan D dimensi, dibutuhkan D penjumlahan dan D perkalian3. Kecepatan perhitungan tidak tergantung kepada banyaknya komponen, tetapi tergantung

kepada besarnya dimensi.

Parameter array adalah berdasarkan :1. Base Address (B)

Alamat (byte pertama) dari array yang diberikan pada saat binding time. Binding timeadalah waktu dimana array diberikan pada suatu lokasi /address di memory, bisa padasaat compile, execute, dan lain-lain.

2. Component length (L)Panjangnya memory untuk menyimpan satu komponen. L tergantung dari tipekomponen dan bahasa pemrograman, misalnya pada Turbo Pascal 7.0 tipe integermempunyai L=2, Turbo C 2.0 tipe integer L = 2, Visual C++ 5.0 tipe integer L = 4

3. Upper Bound (Ik) dan Lower bound (Uk)Ik adalah nilai indeks yang terkecil sedangkan Uk adalah nilai indeks yang terbesar.Contoh : int s[10]; maka Ik = 0 , Lk = 9

4. Dimension (D)Besarnya dimensi dari suatu array.Contoh : int S[10][20]; atau var S : array[1..10][1..20] of integer; maka D = 2

int S[9]; atau var S : array[1..9] of integer; maka D = 1

Struktur Data


Gambar 3.2. Konsep Array dalam memory

ARRAY MAPPING FUNCTION (AMF)AMF merupakan suatu fungsi untuk memetakan nilai indeks ke alamat komponen.

Fungsi Mapping / Pemetaan yaitu :1. Row major order

Merupakan cara penyimpanan array dalam bahasa pemrograman2. Virtual origin atau virtual base

nilai konstan C0 (lokas dari komponen dengan indeks 0) dalam AMF.

Rumus dalam AMF :Address (S[I1][I2] … [Id]) = C0 + C1 x I1 + C2 x I2 + … + Cn x id ;dimana Cd = L

Ct-1 = (Ut – It + 1) x Cd x Ct ; dan i

Struktur Data


S[1] = 500 + (2 x 1) = 502

Besarnya memory yang dibutuhkan adalah :M = L x ( U1 – I1 + 1) = 2 x (5 – 0 + 1) = 10 byte

Bila dideklarasikan suatu variabel dengan var x : array [1..n] of integer;maka implementasi array secara linier dalam memory adalah :

Gambar 3.3. Bentuk array linier

Contoh fragmen program dari/* Bahasa Pascal adalah : */ /* Bahasa C/C++ adalah : */Uses CRT; #include ,stdio.h>Var x : array [1..7] of integer; int x[7], i;

i : byte; { for (i=0; i

Struktur Data


Proses pembacaannya dapat digantikan dengan cara :Begin

With x do beginReadln(nama, umur);

endend;

III.3. SETBagian struktur data yang mengatur objek-objek dalam set, dimana anggota-anggota

set mempuyai tipe yang sam (base type) yaitu tipe ordinal (integer, boolean, cahr, skalarkecuali real).

Perhatikan diagram berikut pada gambar 3.4.

Gambar 3.5. Diagram proses Set

Fragmen program dari Bahasa Pascal adalah :Contoh1 :Type huruf_hidup = set of (’a’, ’e’, ’o’, ’i’, ’u’);Var teks : string;

Jlh, i : integer;Begin

Readln(teks);Jlh := 0;For i:=1 to ord(teks[0]) do

If teks[i] in huruf_hidup thenJlh := jlh + 1;

Writeln (‘Jumlah huruf hidup : ‘, jlh);End.Contoh 2 :{ Menghasilkan huruf yang pernah dipakai dalam suatu kalmia }Type karakter = set of char;Var karset : karakter;

i : byte;pakai, kalimat : string;

BeginKarset := [];Write(‘Masukkan suatu kalimat : ‘); readln(kalimat);For i:=1 to length(kalimat) do

If not ([kalimat[i]]

Struktur Data


III.4. POINTERMerupakan struktur data berupa variable dinamis yang tidak dapat dideklarasikan

secara eksplisit seperti variabel statis dan tidak dapat langsung ditunjukkan oleh suatupengenal (identifier).

Pointer ini hanya dapat ditunjukkan oleh variable khusus yang berisi alamat memoryyang digunakan oelh variable dinamis. Jadi variabel pointer hanya dapat dideklarasikandengan tipe data pointer (simbol ↑ baca carat atau circumflex). Perhatikan contoh fragmenprogram berikut :

Contoh 1 :Type kalimat : string; pointkal = ^kalimat;Var nama : pointkal;Begin

Nama^ := ’Belajar struktur data’;Write(nama^);

End.

Contoh 2 :Type kar = ^catchar;

Catchar = recordKode : string;Nama : string;Gaji : real;

End;Var datakar : array [1..5] of kar;

i : byte;Begin

For i := 1 to 5 doBegin

New (datakar[i]);With datakar[i]^ doBegin

Readln(kode);Readln(nama);Readln(gaji);

End;End;For i := 1 to 5 doBegin

With datakar[i]^ doBegin

Writeln(i, kode, nama, gaji);End;

End;End;

Tugas : Buatlah program dari salah satu bahasa pemrograman untuk menginput beberapadata kemudian mengurutkan hasilnya secara menaik (ascending) atau menurun(descending).

Struktur Data


BAB IVLINKED LIST

Linked list merupakan struktur data dinamis, dimana list dianalogikan sebagai daftar/ record yang berisi item data. Dalam list kita harus mengenali masing-masing elemen /node, misalnya : elemen1, elemen2, ...., elemenn.

Elemen-elemen ini harus dihubungkan (link) dengan suatu pointer (penujuk) padaalamat-alamat tertentu. Berikut akan dijelaskan lebih dahulu deklarasi-deklarasi list.

IV.1. STATEMENT NEW, DISPOSE DAN VARIABEL POINTER

Statement NEWDigunakan untuk mengalokasi storage dalam node baru kemudian kita mereferensi

masing-masing node baru yang menyimpan informasi tentang variabel pointer tersebut.

Statement DISPOSEDigunakan untuk membebaskan list dari rangkaian linked list yang ada.

Perhatikan diagram berikut pada gambar 4.1.Type Str1 = array [1..3] of char;

Node = RecordKata : String;Next : ^node;

End;Nodepointer = ^node;

Sehingga operasi dapat dilakukan dengan :

Gambar 4.1. Operasi New dan Dispose

Jika dimisalkan entry data adalah : P^.Kata =’Agus’ dan Q^.Kata = ’Budi’ maka bentuklistnya adalah sebagai berikut :

Gambar 4.2. Operasi entri list Gambar 4.3. Operasi pointer next

Perhatikan proses perpindahan ke list berikutnya dengan memisalkan bahwa :P^.Next = 3 dan Q^.Next = 5 maka bentuk listnya pada gambar 4.3.

Struktur Data


Sehingga bentuk linked list yang sebenarnya dapat dideskripsikan sebagai berikut :

Gambar 4.4. Deskripsi linked list

Misalkan statement r:=q ; p:=q; q:=r maka bentuk linked listnya :

Gambar 4.5. Operasi pertukaran head list

Bila gambar 4.5. dibubuhi operasi : Write(P^.Kata, Q^.Kata, R^.Kata) maka akan diperolehhasilnya : BudiAgusAgus.

IV.2. LINKED LIST (LINIER)Linked list (linier) merupakan deretan list-list yang terhubung dengan suatu head /

start di depan. Perhatikan diagram berikut pada gambar 4.6.

Gambar 4.6. Linked list dengan 5 node

Implementasi data dalam linked list dengan pointer yang merujuk mulai dari list awalsampai dengan list terakhir. Perhatikan diagram berikut dalam gambar 4.7.

Gambar 4.7. Proses pointer dalam linked list

Struktur Data


Dalam merepresentasi list-list dalam array dilakukan dengan :

Gambar 4.8. Bentuk implementasi New dalam array

IV.2.1. ALGORITMA TRAVERSAL LINKED LISTa.Traversal proses linked list// Traversing dengan array :Ptr = headWhile (ptr nil) do

Proses (info [ptr]); Ptr = link [ptr]Endwhile

// Traversing proses dengan pointer :Ptr = headWhile (ptr nil) do

Proses (ptr^.info); Ptr = ptr^.nextEndwhile

b.Traversal cetak linked list// Dengan array :Ptr = headWhile (ptr nil) do

Write (info [ptr]); Ptr = link [ptr]Endwhile

// Dengan pointer :Ptr = headWhile (ptr nil) do

Write (ptr^.info); Ptr = ptr^.nextEndwhile// Menghitung jumlah proses :num =0ptr = headWhile (ptr nil) do

Num = num + 1; Ptr = ptr^.nextEndwhile

Struktur Data


c.Algoritma mencari suatu item padadata tidak terurut :

ptr = headWhile (ptr nil) do

If (item = ptr^.info) thenLoc = ptr

Else Ptr = ptr^.next EndifLoc = nil

Endwhile

d. Algoritma mencari suatu item padadata terurut :

ptr = headwhile (ptr nil) do

if (item = ptr^.info) thenptr = ptr^.next

elseif (item = ptr^.info) then

loc = ptr; exitelse loc = nilendif

endifEndwhile

IV.2.2. ALGORITMA SISIP DATA DALAM LINKED LIST

Gambar 4.9. Bentuk sisipan list baru dalam linked list

A. SISIP AWAL

a. Sisip list baru di awal linked list

Struktur Data


B. SISIP TENGAH

b. Sisip list baru di tengah linked list

C. SISIP AKHIR

c. Sisip list baru di akhir linked listGambar 4.10. Proses penyisipan list baru pada linked list

IV.2.3. ALGORITMA HAPUS DATA DALAM LINKED LIST

A. HAPUS LIST AWAL

a. Hapus list awal dari linked list

B. HAPUS LIST TENGAH

b. Hapus list awal dari linked list

Struktur Data


C. HAPUS LIST AKHIR

Gambar 4.11. Proses penghapusan suatu list dari Linked List

Berikut ini disajikan program pascal yang mengimplementasi proses linked list (sisip awal,tengah, akhir dan hapus awal, tengah, akhir) :

Uses CRT;Const garis = ’-------------------------------’;

Pesan =’Linked list masih kosong’ ;Type simpul = ^data;

Data = RecordNama : string;Alamat : string;Next : simpul;

End;Var head, tail : simpul;

Pilih : char;Cacah : integer;

Function menu : char;Var p : char;Begin

Clrscr;Writeln(’Pilihan Anda : ’);Writeln(‘a. Sisip list di awal’);Writeln(‘b. Sisip list di tengah’);Writeln(‘c. Sisip list di akhir’);Writeln(‘d. Hapus list di awal’);Writeln(‘e. Hapus list di tengah’);Writeln(‘f. Hapus list di akhir’);Writeln(‘g. Cetak isi linked list’);Writeln(’h. Selesai’);Repeat

Writeln(’Pilih salah satu : ’);P := upcase (readkey);

Until p in[‘A’,‘B’,‘C’,‘D’,’E’,’F’,’G’];Menu := p

End;

Function simpul_baru : simpul;Var b : simpul;Begin New(b)

; With b^do

BeginWriteln(‘Nama :‘); readln(nama);Writeln(‘Alamat :’); readln(alamat);Next := nil;

End;Simpul_baru := b

End;

Procedure sisip_awal(n : integer);Var baru : simpul;Begin

If n 0 thenBegin

Writeln(‘Menambah list di awal link list’);Writeln(copy(garis,1,45))

End;Baru := simpul_baru;If head = nil then tail := baru elseBaru^.next := head;Head :=baru

End;

Procedure sisip_tengah;Var baru, Bantu : simpul;

Posisi, i : integer;Begin

Writeln(’Menambah list ditengah linked list’)Writeln(garis);Writeln(’Linked list berisi :’,cacah:2,’ simpul’);Repeat

Writeln(‘List baru ditempatkan di urutanberapa ?’);

Readln(posisi);Until posisi in[1 .. cacah+1);If posisi = 1 then sisip_awal(0) elseIf posisi = cacah+1 then sisip_akhir(0) elseBegin

Baru := simpul_baru;

Struktur Data


Bantu := head;For i:=1 to posisi-2 do

Bantu := Bantu^.next;Baru^.next := Bantu^.next;Bantu^.next := baru;

End;End;

Procedure sisip_akhir(n:integer);Var baru : simpul;Begin

If n 0 thenBegin

Writeln(’Tambah list baru di akhir list’);Writeln(copy(garis,1,46))

End;Baru := simpul_baru;If head = nil then

Head = baru elseTail^.next := baru;Tail := baru;

End ;

Procedure hapus_awal ;Begin

If head nil thenBegin

Head := head^.next;Writeln(‘List awal telah dihapus’)

End else writeln(pesan);Writeln(‘Tekan sembarang tombol’);Repeat until keypressed

End;

Procedure hapus_tengah;Var posisi,I : integer;

Bantu, bantu1 : simpul;Begin

If cacah = 0 thenBegin

Writeln(pesan);Writeln(‘Tekan sembarang tombol’);Repeat until keypressed

End elseBegin

Writeln(‘Menghapus list di tengah’);Writeln(copy(garis,1,35));Writeln(‘List berisi :’,cacah:2,’ simpul’);Repeat

Writeln(‘Urutan list akan dihapus ? ’);Readln(posisi);

Until posisi in[1..cacah];If posisi = 1 then hapus_awal elseIf posisi = cacah then hapus_akhir elseBegin

For i:=1 to pisisi – 2 doBantu := Bantu^.next;

Bantu1 := bantu^.next;Bantu^.next := bantu1^.next;

Bantu1^.next := nil;Dispose(bantu1)

EndEnd

End;

Procedure hapus_akhir;Var bantu : simpul;

h : integer;Begin

If head = nil thenBegin

Writeln(pesan);h := 0

End elseIf head = tail thenBegin

Head := nil;Tail := nil;h : = 1

End elseBegin

Bantu := head;While (bantu^.next tail) do

Bantu := bantu^.next;Tail := bantuTail^.next := nil;h := 1

End ;If h=1 then

Writeln(‘List akhir telah dihapus’) ;Writeln(‘Tekan sembarang tombol’);Repeat until keypressed

End;

Procedure baca_list;Var bantu : simpul;

i : integer;Begin

i := 1;Writeln(’Membaca isi linked list’);Writeln(‘copy(garis,1,42));Bantu := head;If bantu = nil then writeln(pesan) else

While (bantu nil) doBegin

Writeln(‘Simpul:‘,i:2,’→nama:‘,bantu^.nama);

Writeln(’ ’:17,’Alamat : ’,bantu^.next);Inc (i)

End;Repeat until keypressed

End;

{Program utama}Begin

Cacah := 0;Head := nil;Tail := nil;

Struktur Data


RepeatPilih := menu;Clrscr ;Case pilih of‘a’ : sisip_awal(1) ;‘b’ : sisip_tengah;‘c’ : sisip_akhir(1);‘d’ : hapus_awal;‘e’ : hapus_tengah;‘f’ : hapus_akhir;

‘g’ : baca_list;End;

If pilih in [‘A’,’B’,’C’,] thenInc(cacah) else

If pilih in [’D’,’E’,’F’] and (cacah 0)Then dec(cacah);

Until pilih = ‘H’End.

Tugas :1. Buatlah prosedur untuk mengiput dua buah linked list dan menggabung keduanya

menjadi Satu2. Buatlah prosedur untuk mencari data tertentu pada linked list3. Buat prosedur untuk mengganti data tertentu dalam linked list4. Buatlah prosedur untuk mengurutkan data linked list

IV.3. LINKED LIST DENGAN MULTI POINTER

IV.3.1. LIST CIRCULARList circular (list berputar) adalah linked list yang tidak mempunyai node awal dan

node akhir. Perhatikan diagram berikut pada gambar 4.12.

Gambar 4.12. Linked list circular

Operasi-operasi pada list circular ditunjukkan pada algoritma berikut :Traverse :P = headPtr = p^.nextWhile ptr p do

Proses ptr^.dataPtr = ptr^.next

Endwhile

Mencari (search) posisi loc yang berisi item :

Procedure search (data, next, p, item, loc)Ptr = p^.nextWhile (ptr^.next item) and (ptr p) do

Ptr = p^.nextEndwhileIf ptr^.data = item then

Loc = ptrElse loc = nil

Struktur Data


EndifEndprocMenemukan posisi loc pada node awal dimana item berada :

Procedure FindHL (data, next, p, item, locp);Save = pPtr = p^.nextWhile (ptr^.data item) and (ptr p) do

Save = ptrPtr = p^.next

Endwhile

If ptr^.data = item thenLoc = ptrLocp = save

ElseLoc = nilLocp = save

EndifEndproc

Menghapus (delete) node awal :

Procedure dellocHL (data, next, p, avail, item)FindHL (data, next, p, item, locp)If loc = nil then

Write(‘Data tidak ada dalam list’)Exit

EndifLocp^.next = loc^.nextLoc^.next = availAvail = loc

Endproc

IV.3.2. LINKED LIST MULTI ARAH

Deklarasi tipe data sebagai berikut :Type link = ^multi_node;

Multi_node = Recordfield1 : type_field1 ;… : …….. ;fieldn : type_fieldn ;left, right : link ;

End;

Struktur Data


Bentuk umum diagram multi linked list diperlihatkan pada gambar 4.13.

Gambar 4.13. Linked list dua arah

Linked list 2 arah dengan bentuk circular terdapat perbedaan dengan linked list lainnya.Perhatikan diagram berikut pada gambar 4.14.

Gambar 4.14. Linked list circular dua arah

Perhatikan proses penghapusan node tertentu dalam linked list dua arah dan urutan proses,ditunjukkan dalam gambar 4.15. berikut :

Gambar 4.15. Proses penghapusan Linked list dua arah

Demikian juga proses penyisipan node baru pada posisi tertentu dalam linked list 2 arah.Perhatikan urutan proses pada gambar 4.16. berikut :

Gambar 4.16. Proses penyisipan node baru pada linked list dua arah

Struktur Data


Operasi-operasi pada linked list 2 arah diperlihatkan pada algoritma berikut :Menyisip list baru ke dalam linked 2 arah :

Procedure insert (data, forwd, back, p, avail, locA, locB, item)If avail = nil then

Write(‘Overflow’)Exit

EndifBaru = availAvail = forwd^.availBaru^.data = itemLocA^.forwd = newNew^.forwd = locBLocB^.back = locA

Endproc

Menghapus node tertentu dalam linked list dua arah :

Procedure delete (data, forwd, back, p, avail, loc)Loc^.(back^.forwd) = loc^.forwd(Loc^.forwd)^.back = loc^.backLoc^.forwd = availAvail = loc

Endproc

Berikut ini implementasi algoritma linked list dua arah dalam Bahasa pemrograman Pascal :Program linked_list;Type Penunjuk = ^RecNama;

RecNama = RecordNama : string;Pra, post : penunjuk;

End;Var datanama, head, tail : penunjuk;

Procedure MasukData;Var lagi : char;Begin

Mark(datanama);Head : datanama;Tail := datanama;Lagi := ’Y’;While (UpCase(lagi)=’Y’) doBegin

New (datanama);Writeln(‘Nama : ‘);Readln(datanama^.nama);Datanama^.pra := nil;Tail^.post := datanama;Datanama^.pra := nil;Tail:= datanama;Write(’Ada lagi (Y/T) : ’);Readln(lagi0 ;

End ;End ;

Procedure urutkan ;Var x, i, j : penunjuk ;Begin

Tail = head;Datanama := head^.post;Head^.pra := nil;While (datanama^.nama nil) doBegin

i := datanama^.post;If datanama^.nama >= tail^.namaThen begin

Datanama^.pra := tail;Tail^.post := datanama;Tail := datanama;Datanama^.post := nil

End elseBegin

j := tail^.pra;While(datanama^.nama

Struktur Data


x := j^.post;j^.post := datanama;x^.pra := datanama;datanama^.pra := j;datanama^.post := x;

EndEndDatanama := i

EndEnd;

Procedure tampilkan;Begin

Datanama := head;While datanama nil doBegin

Writeln(datanama^.nama);Datanama := datanama^.post

EndEnd;

{ Program utama }Begin

MasukData;Writeln(’Data sebelum diurutkan : ’);Tampilkan;Urutkan;Writeln(’Data sesudah diurutkan : ’);Tampilkan;

End.

Struktur Data


BAB VNOTASI POLISH, REKURSIF, STACK, QUEUE

V.1. NOTASI POLISHSuatu metode untuk menulis/memetakan semua operator-operator sesuai dengan

presedensi (prioritas) sebelum (prefix) operand-operand, sesudah (postfix) operand-operand atau diantara (infix) operand-operand yang juga merupakan operasi dalam stack.

Berikut diberikan evaluasi skala prioritas operator seperti :

Tabel 5.1. Skala prioritasOperator-operator Keterangan Presedensi

(prioritas)^

* , / , div , mod+ , - (binary)

= , ≠ , < , > , ≤ , ≥not and

, or:=

Ekponensial / pemangkatanPerkalian, pembagian, sisa bagiPenjumlahan, PenguranganSama dengan, tidak sama dengan, lebih kecil,lebih besar, Lebih kecil atau sama dengan,Lebih besar atau sama denganTidakDan, AtauSama dengan

6543

210

Notasi infix adalah jika operator berada diantara kedua operandnya, misalnya : suatuekspressi c := a + b.

Notasi prefix (notasi polish) adalah jika operator berada di depan kedua operandnya,misalnya : dari infix c := a + b menjadi := c + a b.

Notasi postfix/suffix (reverse polish) adalah jika operator berada di belakang keduaoperandnya, misalnya : dari infix c := a + b menjadi c a b + :=

Algoritma infix :1. Scan dari kiri ke kanan sampai ketemu dengan kurung tutup yang paling awal2. Scan kembali dari posisi sebelumnya ke kiri sampai ketemu kurung buka pertama3. Lakukan operasi yang berada dalam tanda kurung4. Ganti ekspresi di dalam kurung tersebut dengan hasil operasi5. Ulangi langkah 1 sampai dengan selesai.

Kelemahan algoritma ini adalah lama dan tidak efisien

Algoritma posfix/suffix :1. Scan dari kiri ke kanan sampai ketemu dengan operator2. Ambil 2 operand yang berada langsung di sebelah kiri operator tersebut3. Ganti ekspresi dengan hasil operasi4. Scan lagi hasil operasi tadi ke kanan, jadi tidak perlu discan dari depan sekali seperti

pada proses infix

Struktur Data


Keuntungan dari notasi postfix/suffix ini adalah tidak perlu memakai tanda kurung untukmenyatakan prioritas pengerjaan serta lebih cepat dan efisien, karena tidak perlu selaluscan dari depan atau paling kiri.

Untuk pekerjaan algoritma posfix/suffix ini, dipergunakan stack untuk menyimpanoperand yang dibaca, yang belum dilakukan operasi terhadapnya.

Perhatikan contoh ekspresi berikut :Infix : ( A + ( B * C – ( D / E ^ F ) * G ) * H )Postfix : A B C * D E F ^ / G * - h * +

Tabel 5.2. Operasi StackNo Simbol

yangdiscan

Stack Ekspresi postfix Keterangan

1234567891011121314151617181920

A+(B*C-(D/E^F)*G)*H)

(( +( + (( + (( + ( *( + ( *( + ( -( + ( - (( + ( - (( + ( - ( /( + ( - ( /( + ( - ( / ^( + ( - ( / ^( + ( -( + ( - *( + ( - *( +( + *( + *

AAAABABABCABC*ABC*ABC*DABC*DABC*DEABC*DEABC*DEFABC*DEF^/ABC*DEF^/ABC*DEF^/GABC*DEF^/G*-ABC*DEF^/G*-ABC*DEF^/G*-HABC*DEF^/G*-H*+

Baris 13 : Tanda ^ dipop karenasudah ketemu pasangan ( dan )

Baris 16 : Pasangan ( dan ) sudahketemu maka dipop semuaoperator yang ada diantara ( dan )Baris 19 : sudah ketemu pasangan( dan )

V.2. REKURSIFRekursif adalah merupakan salah bagian yang penting yang harus dipahami untuk

operasi stack (tumpukan) maupun queue (antrian).

Karakteristik rekursif adalah :1. Terdapat satu atau lebih kasus sederhana dengan solusinya (stopping cases)2. Kasus lain diselesaikan dengan mensubstitusi satu atau lebih kasus yang

disederhanakan (closer to stopping cases)3. Masalah yang disederhanakan hanya pada stopping cases yang relatif mudah

diselesaikan.

Struktur Data


Fungsi-fungsi yang menggunakan prinsip rekursif adalah :a. Fungsi faktorial

Misalkan n ! = 1 x 2 x 3 x … x nJika n = 0 atau 1 maka n ! = 1 lainnya n ! = n * (n – 1) !Contoh : 4 ! = 4 * 3 !

3 ! = 3 * 2 !2 ! = 2 * 1 !

= 2 * 1 = 23! = 3 * 2 = 6

4 ! = 4 * 6 = 24

Algoritma :Function Factorial (n : integer) : integer;Begin

If (n = 0) or (n = 1) then Factorial := 1 elseFactorial := n * Factorial (n –1);

End;

b. Fungsi FibonacciJika n=0 atau n = 1 atau n = 2 maka Fibonacci = 1 lainnyaFibonacci = Fibonacci (n-1) * Fibonacci(n-2);

Algoritma :Function Fibo(n : integer) : integer;Begin

If (n=0) or (n=1) or (n=2) then Fibo := 1 elseFibo := Fibo(n-1) * Fibo(n-2);

End;

c. Fungsi LoopProses penulisan ulang dengan cara berulang-ulang (rekursif)

Algoritma :Procedure Deret (n : integer);Begin

Writeln(n:3);If n

Struktur Data


Gambar 5.1. Menara Hanoi

Implementasi algoritma dengan fragmen program dalam bahasa pemrogramanpascal :

Var cacah, cacah_gerak : integer;Procedure Hanoi(var cacah_gerak : integer; cacah, asal, lewat, tujuan : integer);Begin

If cacah>0 thenBegin

Hanoi(cacah_gerak, cacah-1, asal, tujuan, lewat);Cacah_gerak := succ(cacah_gerak);Write(‘Langkah ke : ‘, cacah_gerak:2);Write(‘, pindahkan piringan no. ‘, cacah:2);Write(‘ dari tiang ‘, char(asal+64));Writeln(‘ ke tiang ‘, char(tujuan+64));Hanoi(cacah_gerak, cacah-1, lewat, asal, tujuan);

EndEnd;

BeginWrite(‘Berapa jumlah piringan : ‘); readln(cacah);Cacah_gerak := 0;Hanoi(cacah_gerak, cacah, 1, 2, 3);Writeln(‘Piringan sebanyak : ‘, cacah:2, ‘ buah, memerlukan’,

Cacah_gerak:3,’ kali pemindahan’);End.

V.3. STACKStack (tumpukan) merupakan bagian dari list (struktur linier) dimana item-item

data ditambah atau dihapus selalu di posisi terakhir (LIFO =last in first out) yang disebuttop. Pada stack terdapat terminologi Push dan Pop, dimana push maksudnya adalahmemasukkan elemen data pada stack sedangkan pop adalah mengambil elemen data padastack.

Manfaat Stack adalah sebagai berikut :1. Pengelolaan struktur yang bersarang (nested) atau yang berisi salinan dirinya sendiri

dalam dirinya. Misalnya pengelolaan ekspressi aljabar, himpunan dari himpunan2. Implementasi algoritma parsing, evaluasi dan backtracking3. Digunakan oleh sistem operasi untuk memungkinkan prosedur yang nested4. Digunakan untuk memungkinkan konversi program rekursif menjadi non rekursif

Struktur Data


5. Untuk mendukung pushdown automata6. Untuk mendukung kompiler mengkonversi infix menjadi postfix dan kemudian

mengevaluasi postfix menjadi atomik (assembly) command.

Perhatikan diagram berikut : misalkan terdapat deretan input : A, B, C

Gambar 5.2. Operasi Stack

Perhatikan implementasi algoritma berikut :

Const sentinel = ‘#’;Type stackpointer = ^stacknode;

Stacknode = RecordData : char;Next : stackpointer;

End;Var top : stackpointer;

Nextchar : char;

Function emptystack(top : stackpointer) :boolean;Begin

Emptystack := top = nilEnd;

Procedure push(nextchar : char; var top :stackpointer);Var temp : stackpointer;Begin

New(temp);Temp^.data := nextchar;Temp^,next := top;Top := temp;

End;

Procedure pop(var item : char; var top :stackpointer);Var temp : stackpointer;Begin

If emptystack(top) thenWriteln(‘Stack kosong’) elseBegin

Item := top^.data;Top := top^.next;

End;End;Begin { program utama }

Top := nil;Readln(nextchar);While nextchar = sentinel doBegin

Push (nextchar);Readln(nextchar)

End;While not emptystack (top) doBegin

Writeln(nextchar);Pop(nextchar,top)

EndEnd.

Struktur Data


V.4. QUEUESuatu queue (antrian) juga bagian dari linked list yang digunakan untuk memodelkan

sesuatu, seperti barisan tunggu pada suatu counter dengan model FIFO (first in first out).Operasi-operasi yang digunakan oleh queue antara lain enqueue adalah untuk memasukkandata dalam antrian sedangkan dequeue adalah untuk mengeluarkan data dari queue.

Manfaat queue sebagai berikut :1. Digunakan oleh sistem operasi untuk mengatur eksekusi task dalam suatu sistem untuk

mencapai perlakuan “adil” (waiting line)2. Untuk mail box dalam komunikasi antar proses3. Untuk buffer dalam mekanisme print spooler komunikasi data4. Untuk simulasi dan modelling, misalnya simulasi sistem pengendali lalu lintas udara

dalam memprediksi performansi.

Untuk lebih jelasnya perhatikan diagram berikut :

Gambar 5.3. Diagram Antrian

Berikut akan disajikan bagaimana proses enqueue dan dequeue dalam queue seperti diagramdi bawah ini :

Gambar 5.4. Proses enqueue

Struktur Data


Gambar 5.5. Proses dequeue

Berikut diberikan implementasi algoritma queue :

{untuk mencek apakah queue dalamkeadaan kosong atau tidak}function emptyqueue(front : passpointer): boolean;begin

emptyqueue := front = nilend;Procedure enqueue(newpass : passanger;var front, rear : passpointer);Var temp : passpointer;Begin

New(temp);temp^.passinfo := newpass;rear^.next := temp;temp^.next := nil;rear := temp;If emptyqueue(front) then front := rear

End;

Procedure dequeue(var nextpass :passanger; var front, rear : passpointer);Begin

If emptyqueue(front) thenwriteln(‘Queue kosong’) else

Beginnextpass := front^.passinfo;front := front^.link;If emptyqueue(front) then

front := nilEnd

End;

Struktur Data

33Diktat Kuliah Struktur Data Noferianto Sitompul

BAB VIT R E E

VI.1. PEMAHAMANTree (pohon) didefenisikan sebagai set (himpunan) node-node atau simpul-simpul

dengan edge (penghubung node) secara langsung antara dua atau beberapa node. Prosestree tidak memiliki prinsip non rekursif.

Root suatu tree memiliki sifat-sifat antara lain :- Salah satu node sebagai root- Setiap node kecuali root terhubung dengan satu edge terhadap rootnya- Terdapat lintasan unik dari root terhadap node dan sejumlah edge harus dihubungkan

dengan panjang lintasan.

Perhatikan diagram di bawah ini yang menunjukkan bentuk pohon secara umum denganketinggian (heigh) dan kedalaman (depth) tertentu sebagai berikut :

Gambar 6.1. Bentuk umum tree

Terminologi-terminologi dalam tree sebagai berikut :a. Root/ parent adalah subtree yang paling atas pada sebuah pohonb. Child adalah anak dari suatu root, misalnya : b, c, d, e adalah child dari a dan f, g

adalah child dari b dan seterusnyac. Sabling adalah node yang tergolong dari root yang sama (saudara kandung), misalnya

: c, d, e adalah sabling dari b dan seterusnyad. Leaf adalah node-node yang tidak memiliki cabang lagi (tidak punya anak)e. Ancestor adalah nenek moyang (ayah dari nenek), misalnya : a adalah ancestor dari kf. Descendand adalah keturunan/ anak dari cucu, misalnya : k adalah descendand dari ag. Depth adalah kedalaman suatu node (length) yang terhitung dari root, misalnya :

Depth f, g, h, I, j adalah 2 ; Depth k adalah 3Depth b, d, c, e adalah 1 ; Depth a adalah 0

h. Heigh adalah ketinggian (level) dari suatu pohon yang terhitung dari root (pathterpanjang), misalnya heigh dari pohon diatas adalah 3

i. Satu node (single node) dapat juga disebut tree dengan heigh = 0 dan depth = 0Dari pohon di atas dapat dibentuk sub-sub tree untuk membedakannya sebagai berikut :

Struktur Data


Gambar 6.2. Pohon dengan pola rekursif

Pada tree secara otomatis termuat konsep linked list, dimana di antara setiap nodediasumsikan sebagai record / list. Perhatikan diagram berikut ini :

Gambar 6.3. Subtree dari tree

Dalam pohon dikenal istilah keseimbangan yaitu jika masing-masing node pada subtreekiri dan subtree kanan memiliki perbedaan paling banyak satu.

Perhatikan implementasi algoritma berikut :

Type ref = ^node;Node = Record

Key : integer;Left, right : ref;

End;Var n : integer; root : ref;

Function tree(n : integer) : ref;Var newnode = ref;

x, nl, nr : integer;Begin

If n = 0 then tree := nil elseBegin

nl := n div 2;nr := n – nl –1;read (x); new (newnode);with newnode^ dobegin

key := x;left := tree(nl);right := tree(nr)

end;tree := newnode

endend;

Procedure printtree(t: ref; h : integer);Var I : integer;Begin

If t^ thenBegin

Printtree(left, h+1);For i:= 1 to h do write(‘ ‘);Writeln(key);Printtree(right, h+1)

End;End;

BeginWrite(‘Masukkan banyak data : ‘);Readln (n);Printtree(root, 0);

End.

Struktur Data


Berikut akan dibuat suatu fragmen program untuk membangun pohon :

(* deklarasi *)Var i, n, nl, nr, x : integer;

Root, p, q, r, dmy : ref;s : array[1..30] of

record n : integer;rf : ref;

end;Begin

Write(‘Masukkan banyak data : ‘);Readln(n);New(root); new(dmy);i:= 1; s[1].n := n; s[1].rf := root;repeat

n := s[i].n; r:=s[i].rf ; i:=i-1; {pop}if (n=0) then r^.right := nil else

beginp := dmy;repeat

nl := n div 2; nr := n – nl –1;write(‘input banyak data:‘);readln(x);new(q); q^.key := x; {push}n := nl; p^.left := q; p := q;

until n = 0;q^.left := nil;r.right := dmy^.left;

end; until I = 0;printtree(root^.right,0);

end;

fragmen program untuk mencari data dari pohon sebagai berikut :

Var root : ref;k : integer;

Procedure printtree (w : ref; l : integer);Var i : integer;begin

if w nil thenwith w^ dobegin

printtree(left, l+1);for i:= 1 to l do

write(‘ ‘);writeln(key);printtree(right, l+1)

endend;

Procedure search(x : integer; var p : ref);Begin

If p = nil then

BeginNew(p);With p^ doBegin

key := x; count := 1;Left := nil; right := nil

EndEnd elseIf x p^.key then search(x, p^.right)Else p^.count := p^.count + 1

end;Begin

Root := nil;While not eof(input) doBegin

Read (k); search(k, root)End;Printtree(root,0)

End.

Struktur Data


fragmen program untuk menghapus data dari pohon sebagai berikut :

Type ref = ^data;Data = Record

key : integer;count : integer;left, right : ref;

end;

Procedure delete(x : integer; var p : ref);Var p,q : ref;

Procedure del (var r : ref);Begin

If r^.right nil then del(r^.right)elseBegin q^.key:=r^.key;

q^.count:= r^.count;q := r; r := r^.left

endend;

BeginIf p= nil then

writeln(‘Tidak temu’) elseIf x < p^.key then delete(x,p^.left)else If x > p^.key then

delete(x,p^.right)Begin

If q^.right = nil thenp := q^.left else

If q^.left = nil thenp := q^.right else

Del(q^.left)End

End;

VI.2. BINARY TREEDikatakan suatu binary tree apabila suatu pohon dengan masing-masing node

maksimal memiliki dua anak. Perhatikan diagram berikut :

Gambar 6.4. Bentuk Binary tree

Traversal yang digunakan adalah inorder, preorder, dan postorder. Dari gambar 6.4 di atasdiperoleh informasi sebagai berikut :Preorder : RAB (kunjungan root sebelum subtree)Inorder : ARBPostorder : ABR (kunjungan root sesudah subtree)

Contoh suatu ekspressi : inorder : a + b / c * d – e * f menjadiPreorder : * + a / b c – d * e f menjadiPostorder : a b c / + d e f * - *

Struktur Data


Proses perubahan dari inorder ke preorder dan postorder ditunjukkan pada gambar berikutini :

Gambar 6.5. Rute kunjungan dengan preorder, postorder, inorder

Sub klas binary tree :- Full binary tree : setiap interval node tepat memiliki 2 cabang- Perfect binary tree : semua node leaf berada pada level sama- Complete binary tree :

1. Semua node leaf berada pada level terendah, merapat ke sebelah kiri ataumembentuk perfect binary tree

2. Jika tinggi = 0 berarti node tunggal3. Jika tinggi = 1 berarti node hanya dianak kiri4. Jika tinggi = h yaitu perfect tree adalah root yang memiliki subtree dari root dengan

tinggi h-1 adalah perfect binary tree di sebelah kiri dan sebelah kanan5. Subtree di sebelah kiri root adalah complete binary tree dengan tinggi h-1 dan sub

tree dari root adalah complete binary tree di kanan dengan tinggi h-2- Extended binary tree : binary tree dengan penggambaran tree-tree kosong dengan label

(legenda) node yang lain.

Di bawah ini diberikan implementasi algoritma dengan bahasa pascal sebagai berikut :

Type ref = ^node;Node = Record

Data : string;Left, right : ref;

End;

Procedure preorder (t : ref);Begin

If t nil thenBegin

Write(t^.data);Preorder(t^.left);Preorder(t^.right)

EndEnd;

Procedure postorder (t : ref);Begin

If t nil thenBegin

Postorder(t^.left);Postorder(t^.right)Write(t^.data);

EndEnd;

Procedure inorder (t : ref);Begin

If t nil thenBegin

inorder(t^.left);Write(t^.data);inorder(t^.right)

EndEnd;

Struktur Data


VI.3. BINARY SEARCH TREEVI.3.1. KONSEP UMUM BST

Binary search tree(BST) adalah suatu tree yang setiap nodenya berisi key-key dalamBST tersebut sebagai berikut :a. Key dari root lebih besar dari key yang ada pada subtree kirib. Key dari root kanan lebih besar dari key yang ada pada subtree kiri.Point a) dan b) juga berlaku pada node-node di subtree.

BST ini digunakan untuk menyusun data karena fleksibel (mudah digunakan) danefisien (memiliki probe log n) dan natural (memiliki sifat representasi alami). Probe adalahtempat yang harus dilalui sampai ditemukan data yang diinginkan, perhatikan diagramberikut :

Gambar 6.6. Probe dalam pohon

Bila jumlah data = jumlah level disebut perfect binary tree (pohon seimbang) dengan depthadalah log N dan jika tidak seimbang depth = log N-1 , dan untuk lebih jelas perhatikandiagram berikut :

Gambar 6.7. Pohon seimbang

Jika jumlah data = N maka jumlah level (L) : untuk batas bawah 2log n + 1 dan batas atas2log (n+1) .

Bila jumlah data untuk tiap level : root = level–1 dan jumlah node pada tiap levelke i = 1 .. 2i-1, lengkapnya perhatikan tabel berikut :

Tabel 6.1. Jumlah data tiap levelLevel ke – i Jumlah data1234567

1 .. 11 .. 21 .. 41 .. 81 .. 161 .. 321 .. 64

Struktur Data


Jika tiap level dari binary tree dengan L level penuh atau maksimum maka jumlah node jugamaksimum :

L-1

21-1 + 22-1 + 23-1 + .. + 2L-1 = 20 + 21 + 22 + .. + 2L-1 = ∑ 2i = 2L-1i=0

Perhatikan contoh berikut :1. N=10 maka Lmin =

2log 10 + 1 = 3 + 1 = 4 atau Lmax =2log (10+1) = 3.0…. ≈ 4

2. N= 130 maka L = 8 atau Lmin =2log 130 + 1 = 7 + 1 = 8

Misalkan sebuah pohon biner memiliki Llevel maka jumlah data adalah L .. 2i-1, dari contoh

di atas untuk L = 5 maka jumlah data = 5 .. 25-1 = 5 .. 31.

VI.3.2. REPRESENTASI BST DALAM ARRAYUntuk mencek posisi-posisi data dipohon dalam bentuk implementasi array bahwa

node root berada pada posisi i, anak kiri menempati posisi 2*i dan anak kanannyamenempati posisi 2*i+1 ; i adalah level.

Perhatikan bentuk pohon sebagai berikut :

a. BST dalam pohon

Selanjutnya juga dalam bentuk implementasi array, perhatikan diagram berikut ini :

b. BST dalam array

Gambar 6.8. Representasi BST dalam array

Struktur Data


VI.3.3. OPERASI SISIP, HAPUS DALAM BSTA. Operasi SISIP

Dapat digambarkan untuk setiap keadaan sebagai berikut :

Gambar 6.9. Operasi sisip node dengan BST

B. Operasi HAPUSDapat digambarkan untuk setiap keadaan sebagai berikut :

Gambar 6.10. Operasi hapus node dengan BST

Struktur Data


Berikut diberikan implementasi algoritma BST :

Type data = record….. : ….;

end;BST = record

node : tipe_data;left, right : ^BST;

end;T = ^BST;

Function makenull(P : T) : T;Begin

P := nil; makenull := p;End;

Procedure sisip(x : tipe_data ; var p : T);Begin

If p = nil thenBegin

New(p);P^.data := x; p^.left := nil;P^.right := nil;

End elseIf x.key p^.data.key then

sisip(x, p^right) elseWrite(‘duplikat’);

End;

Function cari (x : tipe_data, p : T) : boolean;Begin

If p=nil then cari := false elseIf x=p^.data.key thencari := true elseIf x

Struktur Data


Terminologi yang digunakan antara lain :- Successor adalah penghapusan suatu node dimana posisi-posisi nilai node sesudahnya

akan dipindahkan ke rootnya- Predecessor adalah melihat apakah ada nilai node (child) di sebelah kiri dimasukkan ke

root dan di sebelah kanan tetap- Balanced value / vector adalah suatu proses penambahan node untuk melakukan

keseimbangan.

Proses AVL tree dengan BST dimana setiap internal node (node dalam) adalahmaksimum jumlah record kiri (ketinggian sub tree) dan jumlah record kanan (ketinggiansubtree kanan) berbeda maksimum 1 (0, 1). Faktor kesetimbangan yang diterima (kiri, root,kanan) adalah (-1,0,1).

Faktor kesetimbangan dapat dilakukan dengan rotasi, yang pada dasarnyapenyeimbangan kembali dilakukan dengan merotasikan node-node tertentu dalam subtreetersebut berdasarkan harga-harga faktor ketimbangan tingkat node-node atas dalam subtree.

Ada 4 jenis rotasi :1. Rotasi kiri tunggal

Bila N adalah subtree dimana terjadi penyisipan ( atau N adalah node baru di sisipan itusendiri) dan N adalah ancestor paling bawah yang mendapatkan faktor keseimbanganmenjadi –2, sementara P anak kiri dari R yang mana N adalah anak kiri dari P denganfaktor kesetimbangan P=-1. Rotasi dilakukan sehingga P menjadi ayah dari N dan Ryang masing-masing anak kiri dan kanan dari P sementara jika ada subtree kanan dari Pdengan x sebagai root maka akan menjadi subtree kiri dari R. Faktor kesetimbangan dariR dan P keduanya menjadi 0.

2. Rotasi kanan tunggalBila N adalah subtree dimana terjadi penyisipan ( atau N adalah node baru di sisipan itusendiri) dan N adalah ancestor paling bawah yang mendapatkan faktor keseimbanganmenjadi +2, sementara P anak kanan dari R yang mana N adalah anak kanan dari Pdengan faktor kesetimbangan P=+1. Rotasi dilakukan sehingga P menjadi ayah dari Ndan R yang masing-masing anak kiri dan kanan dari P sementara jika ada subtree kanandari P dengan x sebagai root maka akan menjadi subtree kanan dari R. Faktorkesetimbangan dari R dan P keduanya menjadi 0.

3. Rotasi kiri gandaBila N adalah subtree dimana terjadi penyisipan ( atau N adalah node baru di sisipan itusendiri) dan R adalah ancestor paling bawah yang mendapatkan faktor keseimbanganmenjadi –2, sementara P anak kiri dari R yang mana N adalah anak kanan dari P denganfaktor kesetimbangan P=-1. Rotasi dilakukan 2 kali pertama dalam subtree P yangmenghasilkan P sebagai anak kiri dari N. Jika N memiliki subtree kanan maka subtreeini menjadi subtree kiri dari R dan juga jika N memiliki subtree kiri maka subtree inimenjadi subtree kanan dari P. Faktor kesetimbangan menjadi 0. Faktor kesetimbangan Ndan R tergantung faktor kesetimbangan N semula. Jika faktor kesetimbangan N=0 makafaktor kesetimbangan P dan R keduanya menjadi 0. Jika faktor kesetimbangan =-1 makafaktor kesetimbangan menjadi 0 dan R = +1. Jika faktor kesetimbangan N = +1 makafaktor kesetimbangan P = -1 dan faktor kesetimbangan R = 0.

4. Rotasi kanan gandaBila N adalah subtree dimana terjadi penyisipan (atau N adalah node baru di sisipan itusendiri) dan R adalah ancestor paling bawah yang mendapatkan faktor keseimbanganmenjadi +2, sementara P anak kanan dari R yang mana N adalah anak kiri dari P denganfaktor kesetimbangan P=-1. Rotasi dilakukan 2 kali pertama dalam subtree P yang

Struktur Data


menghasilkan P sebagai anak kanan dari N. Jika N memiliki subtree kiri maka subtreeini menjadi subtree kanan dari R dan juga jika N memiliki subtree kanan maka subtreeini menjadi subtree kiri dari P. Faktor kesetimbangan menjadi 0. Faktor kesetimbanganN dan R tergantung faktor kesetimbangan N semula. Jika faktor kesetimbangan N=0maka faktor kesetimbangan P dan R keduanya menjadi 0. Jika faktor kesetimbangan =-1maka faktor kesetimbangan menjadi 0 dan R = +1. Jika faktor kesetimbangan N = +1maka faktor kesetimbangan P = -1 dan faktor kesetimbangan R = 0.

Algoritma Menyeimbangkan kembali pada penyisisipan- Jika faktor kesetimbangan P semula adalah –1 (atau +1) dan sekarang menjadi 0 maka

proses selesai- Jika faktor kesetimbangan semula adalah 0 dan sekarang menjadi +1 (atau –1) maka

faktor kesetimbangan (ayah dari P) berkurang 1 dan jika P anak kiri dari R atau faktorkesetimbangan (ayah dari P) bertambah 1 jika P anak kanan dari R

- Bila faktor kesetimbangan R menjadi 0 maka selesai- (Berarti faktor kesetimbangan R menjadi –1 atau +1) Periksa secara rekursif ayah dari R

(jika ada) sebagai R sekarang, R semula menjadi P, P semula menjadi N sampai denganR = root atau selesai akibat kasus-kasus point sebelumnya

- (Berarti faktor kesetimbangan R semula adalah +1 menjadi +2 atau semula –1 menjadi –2). Periksa faktor kesetimbangan R dan P :1. Kasus faktor kesetimbangan P = -1 atau 0 dan faktor kesetimbangan R = -2.

Lakukan rotasi kiri tunggal dan selesai2. Kasus faktor kesetimbangan P = +1 dan faktor kesetimbangan R = -2. Lakukan

rotasi kanan ganda dan selesai3. Kasus faktor kesetimbangan P = +1 atau 0 dan faktor kesetimbangan R = +2.

Lakukan rotasi kiri tunggal dan selesai4. Kasus faktor kesetimbangan P = -1 dan faktor kesetimbangan R = +2. Lakukan

rotasi kanan ganda dan selesai

Algoritma Menyeimbangkan kembali pada penghapusan- Tahap pertama penghapusan suatu node pada AVL tree adalah melakukan penghapusan

sebagai yang dilakukan BST dan dilanjutkan dengan menyeimbangkan kembali- Misalkan suatu node yang dihapus adalah D, setiap ancestor R mulai dari ayah D ke atas

dilakukan pemeriksaan apakah terjadi perubahan faktor kesetimbangan- Jika D adalah suatu anak (keturunan) kanan dari R dan faktor kesetimbangan R semula

adalah 0 (yang menjadi –1 maka subtree R tetap seimbang serta tidak terjadipemendekan R sehingga proses selesai

- Jika D adalah suatu anak (keturunan) kiri dari R dan faktor kesetimbangan R semulaadalah 0 (yang menjadi +1 maka subtree R tetap seimbang serta tidak terjadipemendekan R sehingga proses selesai

- Jika faktor keseimbangan R semula adalah +1 atau –1 dan menjadi 0 maka terjadipemendekan subtree R dan proses pemeriksaan dilanjutkan ke ayah dari R sebagai Rsekarang

- Jika faktor keseimbangan R semula adalah –1 menjadi –2 (catatan : D adalahketurunan/anak kanan dari R) maka dengan anak kiri R disebut P dari anak kanan Rdisebut N1. Jika faktor keseimbangan P = 0 maka lakukan rotasi kanan tunggal dan selesai

karena tidak terjadi pemendekan subtree R

Struktur Data


2. Jika faktor keseimbangan P = -1 maka lakukan rotasi kanan tunggal namun karenaterjadi pemendekan subtree R pemeriksaan untuk penyeimbangan kembalidilanjutkan pada ayah R sebagai R sekarang

3. (Berarti faktor keseimbangan = +1) dilakukan rotasi kanan ganda dan karena terjadipemendekan R dan proses penyeimbangan kembali dilakukan pada ayah R sebagai Rsekarang

- Faktor keseimbangan R semula adalah +1 dan menjadi +2 (catatan D adalahketurunan/anak kiri dari R) maka anak kanan R disebut P dan anak kiri R disebut N :1. Jika faktor keseimbangan P = 0 maka dilakukan rotasi kanan tunggal dan selesai

karena tidak terjadi pemendekan subtree R2. Jika faktor keseimbangan P = +1 maka dilakukan rotasi kanan tunggal namun karena

terjadi pemendekan subtree R pemeriksaan untuk penyeimbangan kembalidilanjutkan pada ayah R sebagai R sekarang

3. (Berarti faktor keseimbangan = -1) dilakukan rotasi kiri ganda dan karena terjadipemendekan R dan proses penyeimbangan kembali dilakukan pada ayah R sebagai Rsekarang

Contoh 1:

Gambar 6.11. Rotasi tunggal pada AVL tidak seimbang

Contoh 2:

Gambar 6.12. Rotasi ganda pada AVL tidak seimbang

Struktur Data


Contoh 3 : Diberikan data sebagai berikut : 35, 40, 10, 12, 16, 17Bentuklah BST dan tahap-tahap AVL tree dari data ini.

Gambar 6.13. Pohon bentukan BST

Tahap-tahap pembentukan AVL tree :

Gambar 6.14. AVL tree

Struktur Data


Berikut di bawah ini disajikan implementasi algoritma :Algoritma sisip dapat diambil dari yang sebelumnya dengan melakukan search dankemudian insert sebagai berikut :

Type ref =^node;Node = Record

Key : integer;Count : integer;Left, right : ref;Bal : -1 .. 1

End;

Procedure search (x : integer; var p : ref; varh : boolean;Var p1, p2 : ref; { h := false }Begin


New (p); h := true;With P^ do begin

Key := x; count :=1;left := nil; right := nil;Bal := 0

EndEnd elseIf x p^.key thenbegin

search(x, p^.right, h);if h then

Case p^.bal of1 : begin

p^.bal := 0; h:= false;end;

0 : p^.bal := 1;-1 : begin {rebalanced}

p1 := p^.right;if p1^.bal := 1 thenbegin{single rotasi kanan }p^.right := p1^.left;p1^.left := p;

p^.bal := 0; p:=p1;end elsebegin (double rotasi}p2 := p1^.left;p1^.left := p2^.rightp2^.right := p1;p^.right := p2^.left;p2^.left := p;

if p2^.bal = 1 thenp^.bal := -1 elsep^.bal := 0;if p2^.bal := -1 thenp1^.bal := 1 elsep1^.bal :=0; p := p2;

end;p^.bal := 0; h:=false

endend else

beginp^.count := p^.count + 1;h:=false

end

Struktur Data


Procedure delete(x : integer; var p : ref; varh : boolean);Var q, ref; {h := false}

Procedure balance1(var p : ref; var h :boolean);

Var p1, p2 : ref;b1,b2 :-1..1;

begincase p^.bal of-1 : p^.bal := 0;0 : begin

p^.bal := 1; h := false;end;

1 : beginp1 := p1^right;b1 := p1^.bal;if b1 >=0 thenbegin { single rotasi kiri }

p^.right := p1.left;p1.left:= p;if b1 = 0 then

beginp^.bal := 1;

p1^.bal := -1; h:=falseend elsebegin

p^.bal := 0; p1^.bal :=0;end;p := p1;

end elsebegin{ rotasi ganda }

p2 := p1^.left;b2 := p2^.bal;p1^.left := p2^.right;

p2^.right := p1;p^.right := p2^.left;p2^.left := p;if b2 = 1 then p^.bal := -1

else p^.bal := 0;if b2 = -1 then

p1^.bal := +1else p1^.bal := 0;p := p2; p2^.bal := 0;

end;end;

end;end;

Procedure balance2(var p : ref; var h :boolean);Var p1, p2 : ref;

B1, b2 : -1 .. 1;Begin

Case p^.bal of1 : p^.bal := 0;

0 : begin p^.bal := -1; h:=fasle; end;-1 : begin { rebalance }

p1 := p^.left; b1 := p1^.bal;if b1

Struktur Data


If p^.key thenBegin

Delete(x, p^.left, h);If h then balance1(p,h)

End elseIf x > p^.key thenBegin

Delete(x,p^.right,h);If h then balance2(p,h)

End elseBegin

q := p;if q^.right = nil then

beginp := q^.left; h:= true

end elseif q^.left = nil thenbegin

p := q^.right; h:= trueend elsebegin

del(q^.left, h);if h then balance1(p,h)

endend

end;

VI.5. B-TREEB-Tree adalah struktur data yang sangat populer untuk pencarian disk bound. Sifat-

sifat B-Tree adalah :1. Item data disimpan pada leaves2. Node-node non leaf data sampai ke key M-1 yang merujuk pencarian key I yang

merepresentasi key yang paling kecil dalam subtree i+13. Root adalah juga suatu leaf atau yang memiliki anak antara 2 sampai dengan M4. Semua node non leaf (kecuali root) memiliki anak antara M/2 dan M5. Semua leaves dengan depth sama memiliki anak anatara L/2 dan L untuk setiap L

Perhatikan diagram berikut :

P0 K1 P1K2 …. Pm-

Gambar 6.15. B-Tree dengan M key

Misalnya di bawah ini ditunjukkan suatu B-Tree dengan order 2 dan 3 level, semua frameberisi 2, 3 atau 4 kecuali root diijinkan item tunggal.

Gambar 6.16. B-Tree untuk Order 2

Jika pencarian tidak berhasil kita berada dalam salah satu situasi berikut :1. Ki < X < Ki+1 untuk 1

Struktur Data


1. Key 22 tidak ada dalam frame, sisip di frame C, ini tidak memungkinkan sebab frame Cpenuh

2. Frame C dipecah menjadi 2 frame, misalnya frame baru D dialokasi3. Key m+1 adalah sama diletakkan pada C dan D key tengah pindah ke atas 1 level

kedalam ancestor frame A.

Untuk melihat keadaan penyisipan, perhatikan diagram berikut :

Gambar 6.17. B-Tree dengan sisipan data

Contoh 1:Buatlah B-Tree dengan sikuensi data sebagai berikut :20; 40 10 30 15 ; 35 7 26 18 22 ; 5 ; 42 13 46 27 8 32 ; 38 24 45 25 ;Catatan : tanda ; adalah batas frame.

Gambar 6.18. Keadaan B-Tree setelah proses penyisipan data

Struktur Data


Contoh 2:Buatlah B-Tree dengan sikuensi data yang akan dihapus sebagai berikut :25; 45 24 ; 38 32 ; 8 27 46 13 42 ; 5 22 18 26 ; 7 35 15 ;

Gambar 6.19. Keadaan B-Tree setelah penghapusan data

Struktur Data


Berikut perhatikan implementasi algoritma dengan bahasa pemrograman Pascal :

Const n = 2;nn = 4; { page size }

type ref = ^frame;item = record

key : integer;p : ref;count : integer

end;end;

end;m := n; b^.m := n;

b^.p0 := v.p; v.p := b;end;

end;frame = record

m : 0 .. nn;po : ref;e : array[1..nn] of item

end;var root, q : ref;

x : integer;h : boolean;u : item;

Procedure search(x : integer; a : ref; var h :boolean; var v : item);Var k,l, r : integer; q : ref; u: item;Procedure insert;Var I : integer; b: ref;Begin

With a^ doBegin

If n < nn thenBegin

Inc(m); h:=false;For i:= m downto r+2 do

e[i]:=e[i-1];e[r+1] := u

end elsebegin

new(b);if r 1 thenbegin

e[k].count := e[k].count + 1;h:= false

end elsebegin

if r=0 then q:=p0else q := e[r].p;search(x,q,h,u);If h then insert

EndEnd;

End;

Procedure delete (x : integer; a : ref; var h :boolean);Var i, k, l, r : integer; q : ref;Procedure underflow (c,a : ref; s : integer;var h : boolean);Var b : ref; i, k, mb, mc : integer;Begin

mc := c^.m;if s < mc thenbegin

s := s+1; b:= c^.e[s].p;mb := b^.m ; k:= (mb-n+1) div 2;a^.e[n] := c^.e[s];a^.e[n].p := b^.p0;

Struktur Data


if k>0 thenbegin

for i:= 1 to k-1 doa^.e[i+n] := b^.e[i];

c^.e[s] := b^.e[k]; c^.e[s].p := b;b^.p0 := b^.e[k].p; mb:=mb – k;for i:= 1 to mb do

b^.e[i] := b^.e[i+k];b^.m := mb; a^.m := n-1+k;h:= false;

end elsebegin

for i:= 1 to n doa^.e[i+n] := b^.e[i];

for i:= s to mc-1 doc^.e[i] := c^.e[i+1];

a^.m := nn; c^.m := mc –1;h := c^.m < n

endend elsebegin

if s=1 then b:= c^.p0else b:=c^.e[s-1].p;mb := b^.m + 1; k := (mb-n) div 2;if k>0 thenBegin

For i:= n-1 downto 1 doa^.e[i+k] := a^.e[i];

a^.e[k] := c^.e[s];a^.e[k].p := a^.p0; mb := mb – k;For i:= k-1 downto 1 do

a^.e[i] := b^.e[i+mb];a^.p0 := b^.e[mb].p;c^.e[s] := b^.e[mb];

c^.e[s].p := a; b^.m := mb-1;a^.m := n-1+k; h:= false

end elsebegin

b^.e[mb] := c^.e[s];b^.e[mb].p a^.p0;for i:= 1 to n-1 do

b^.e[i+mb] := a^.e[i];b^.m := nn; c^.m := me-1;h:= c^.m 1 thenbegin

if q = nil thenbegin

dec(m); h:= m

Struktur Data


Writeln;Printtree(p0,l+1);For i:= 1 to m do

Printtree(e[i].p, l+1);End;

End;

BeginRoot := nil;While x 0 doBegin

Writeln(‘Cari key’,x);Search(x,root,h,u);

If h thenBegin

q := root; new(root);with root^ dobegin

m := 1; p0 := q; e[1] := uend

end;printtree(root,1);read(x)

endEnd.

VI.6. BINARY B-TREEBinary B-Tree (BB-Tree) adalah B-Tree khusus dimana order pertama B-Tree (n=1)

yang mengaproksimasi setengah frame-frame hanya akan berisi item tunggal untukdisimpan (store) yang berada pada satu level.

B-Tree berisi node-node (frame) dengan 1 atau 2 item lainnya, kemudian 1 page /frame berisi 2 atau 3 pointer (terhadap sabling) yang akan mengindikasikan 2 sampaidengan 3 tahap pohon.

Berdasarkan B-Tree bahwa semua node/frame leaf berada pada level yang sama, dansemua frame (keturunan) non leaf yang kedua 2 atau ketiga termasuk root. Alternatif darisuatu alokasi linked yang masing-masing berisi masing-masing node terdapat linked listdengan panjang item 1 atau 2. Perhatikan diagram di bawah ini untuk lebih memperjelaspemahaman akan BB-Tree sebagai berikut :

Gambar 6.20. Representasi node dalam BB-Tree

Proses pencarian pohon menjamin panjang path maksimum P = 2 log N

Struktur Data


Saat melakukan penyisipan ada 4 kemungkinan yang perlu diperhatikan antara lain :1. Pada saat subtree kanan dibuat dan A merupakan key pada frame tersebut, kemudian

keturunan B menjadi sabling (saudara) A, misalnya pointer vertikal menjadi horijontalpointer

2. Tentukan frame berikut dengan 3 node dengan memecah dan merotasinya.

3. Bila subtree B diproses pada ketinggian tertentu maka pointer A akan merepresentasiketurunan, kemudian keturunan subtree A diijinkan menjadi saudara B. Dengandemikian frame mempunyai anggota 3 node sebagai berikut :

4. Dengan adanya pemotongan tanpa memperhatikan seperti langkah kedua, maka akandiperoleh sebagai berikut :

Gambar 6.21. Penyisipan node dalam BB-Tree

Pencarian dengan cara seperti diatas menunjukkan perbedaan (tidak efektif) apakahproses sepanjang horijontal dan vertikal (kasus langkah ketiga). Untuk menangani haltersebut subtree kiri dan kanan diselesaikan secara intuisi yaitu “fisky” dengan membuangyang asimetris, sehingga dinamakan Symetric Binary B-Tree (SBB-Tree).

Pencarian yang lebih efektif, untuk mencapai rata-rata, tetapi proses sisip dan hapusakan lebih kompleks dimana masing-masing nodc butuh 2 bit (variabel boolean lh dan rh)untuk mengindikasi 2 pointer secara alami.

Berikut dibawah ini terdapat 4 kasus penyisipan dalam SBB-Tree, semuanya akanmerepleksikan kejadian frame yang overflow dan pemisahan sub sikuensi frame.

Struktur Data


Gambar 6.22. Penyisipan node dalam SBB-Tree

Contoh :Deretan data (; adalah tanda pemisah frame (sanpshot)) dimana semua node tersebut beradadalam 1 level disebut hedge.(1) 1 2 ; 3 ; 4 5 6 ; 7 ;(2) 5 4 ; 3 ; 1 2 7 6 ;(3) 6 2 ; 4 ; 1 7 3 5 ;(4) 4 2 6 ; 1 7 ; 3 5 ;

Struktur Data


Gambar 6.23. Pengembangan Hedge Tree pada proses sisip

Hal-hal yang perlu diperhatikan sebagai berikut :1. Jika h=0 maka subtree P tidak meminta pertukaran struktur pohon2. Jika h=1 maka node P mempunyai sabling (saudara tertentu)3. Jika h=2 maka subtree P memiliki pertambahan dalam ketinggian.

Implementasi algoritma dengan bahasa pemrograman pascal sebagai berikut :

Procedure search(x : integer; var p : ref; varh : integer);Var p1, p2 : ref;Begin


New(p); h := 2;With p^ doBegin

Key := x; count := 1;Left := nil; right := nil;Lh := false; rh := false

EndEnd elseIf x < p^.key thenBegin

Search(x, p^.left, h);

If h 0 thenIf p^.lh thenBegin

P1 := p^.left ;h:=2;p^.lh := false;If p1^.lh thenBegin

P^.left := p1^.right;P1^.right := p;p1^.lh := false;p:= p1

End elseIf p1^.rh thenbegin

P2 := p1^.right;p1^.rh := false;

Struktur Data


endend elsebegin

P1^.right := p2^.left;p2^.left := p1;p^.left:= p2^.right;p2^.right := p; p:=p2;

h:= h-1;if h 0 then

p^.lh :=trueend;

end elseIf x < p^.key thenBegin

Search(x, p^.right, h);If h 0 then

If p^.rh thenBegin

P1 := p^.left ;h:=2;p^.rh := false;If p1^.rh thenBegin

P^.right := p1^.left;P1^.left := p;

p1^.rh := false;p:= p1

End elseIf p1^.lh thenbegin

P2 := p1^.left; p1^.lh:= false; P1^.left :=p2^.right; p2^.right:= p1; p^.right:=p2^.left; p2^.left := p;p:=p2;

endend elsebegin

h:= h-1;if h 0 then

p^.rh :=trueend;

end elsebegin

p^.count := p^.count+1 ;h:= 0;

endend;

Struktur Data


BAB VII HASHING DANKOMPRESI

VII.1. KONSEP HASHTabel hashing digunakan untuk mengimplementasikan kamus dalam waktu

konstan per operasi. Tabel hash mendukung pemanggilan dan penghapusan padabeberapa item yang telah dinamai sebelumnya.

Untuk mengimplementasikan hash dapat mempergunakan array, dimana arraytersebut akan diinisialisasi dengan indeks-indeks tertentu untuk melaksanakan prosespenyisipan data dengan memetakan item-item ke dalam indeks dikenal fungsi.

Fungsi hash digunakan untuk mengkonversi suatu item yang bernilai integerdengan indeks array dimana item tersimpan. Jika fungsi hash satu ke satu, kita dapatmengakses item dengan indeks arraynya sendiri sedangkan yang lainnya sebagian itemmengambil beberapa indeks yang sama dan akan mengakibatkan tabrakan (collision).Misalnya suatu fungsi polinomial : A3x

3 + A2x2 + A1x

1 + A0x0 dapat dievaluasi

sebagai (((A3)x + A2)x + A1)x + A0

Metode pemilihan key adalah :1. Metode pembagian modulus (mod) yaitu menggunakan sisa dari setiap item data,

dimana f(key) = h(key) = k mod b ; dimana k adalah key dan b adalah jumlah blokyang tersedia (biasanya bilangan prima).

2. Metode midsquare yaitu masing-masing item-item data yang akan disimpandikwadratkan, kemudian memilih blok (bucket) penampung sesuai dengan nilai digityang di tengah dari hasil data yang dikuadratkan tersebut.

Misalnya jumlah blok (bucket) = 13

Gambar 7.1. Metode midsquare

3. Metode penjumlahan digit yaitu setiap digit dari suatu bilangan dijumlah dankemudian data tersebut disimpan pada blok yang sesuaiContoh :

169 529 225 256f(K)= 1+6+9 5+2+9 2+2+5 2+5+6

= 16 16 9 13

Collision

Jenis-jenis hashing :1. Open hashing (hashing terbuka)

Open hash (external hash) adalah suatu table dimana proses pertukaran item datadengan pointer masing-masing (tidak terpisahkan) tidak terbatas

Struktur Data


F(key) : 3 0 10 2 3 0 1 11 8 11Maka :

2. Close hashing (hashing tertutup)Proses pemetaan data dalam tabel dengan indeks masing-masing, dimanakelemahannya sering terjadi collision.

Untuk mengatasi collision terdapat beberapa cara :1. Metode separate chaining

Bahwa tabel hash T[0], T[1], T[2], … , T[n] akan berisi header list yang merujuk listdengan nilai f(K). Setiap lokasi berisi header list pada elemen data f(key) = i. Metodeini membutuhkan temporary space (tempat tambahan)

2. Metode closed chainingMerupakan modifikasi separate chaining dimana setiap item data ditambahkan link[i]yang merujuk item data selanjutnya. Proses ini akan selalu mencari tempat yangkosong untuk memetakan data, sedang pencarian biasanya dilakukan mulai dari posisiN sampai dengan posisi 1 dengan catatan tidak ditemukan collision.

3. Linier probing dan quadratic probing (open addressing)Merupakan metode chaining yang secara sekuensial yang tidak menggunakan spaceuntuk link item data.

Probe adalah suatu proses perbandingan nilai data pertama dengan data lain. Probeminimum (terbaik) = 1 berarti kompleksitasnya O(N) = 1 dan probe maksimum(terburuk) = N berarti kompleksitasnya O(N) = N (terurut) dan probe rata-rata = (1 + n)/2berarti kompleksitasnya O(1+N)/2 = (1 + N)/2 dan probe kegagalan adalah O(N) = 0.

Perhatikan contoh berikut :Diberikan deretan data adalah : 3, 13, 23, 15, 16, 26, 27, 37, 47, 50 data-data ini akandipetakan ke dalam 13 blok (bucket) untuk menyimpan item-item data sebagai berikut :- f(3) = 3 mod 13 = 3- f(13) = 13 mod 13 = 0- f(23) = 23 mod 13 = 10- f(15) = 15 mod 13 = 2- f(16) = 16 mod 13 = 3- f(23) = 26 mod 13 = 0- f(27) = 27 mod 13 = 1- f(37) = 37 mod 13 = 11- f(47) = 47 mod 13 = 8- f(50) = 50 mod 13 = 11

Collision

Collision

Collision

VII.2. LINIER PROBINGMerupakan pencarian secara sekuensial dalam array, pencarian dilakukan nulai

dari posisi awal sampai dengan akhir tabel. Jika collision pada suatu alamat maka akandicari alamat kosong kemudian kembali ke awal pengalamatan.

Data : 3 13 23 15 16 26 27 37 47 50

Struktur Data


Key Fungsi Probe (kali)313231516

f(3)=3f(13)=0f(23)=10f(15)=2f(16)=3

11111

Gambar 7.2. Proses linier probing

Jadi melihat proses pemetaan data ke dalam array maka dapat kita lihat berapa kali prosesprobing, seperti diperlihatkan pada tabel 7.1. berikut di bawah ini :

Tabel 7.1. Proses probing

Jumlah probeRata-rata probe = -----------------

Jumlah data= 17/10 = 1,7

Struktur Data


26

27

374750

f(16)=4f(26)=0f(26)=1f(27)=1f(27)=2f(27)=3f(27)=4f(27)=5f(37)=11f(47)=8f(50)=11f(50)=12

111111111111

Total 17

VII.3. QUADRATIC PROBINGProses mengkwadratkan posisi-posisi elemen data, kemudian membagi (mod)

setiap elemen data, misalnya x = 5 bila B = 100 maka alamat hash (x) = 52 mod 100 = 25untuk menghindari collision digunakan quadratic probing.

Misalnya h(x) = y maka h2(x) = (y2 + y) mod B atau hi(x) = (hi-1(x) + P) mod B ; dimanap = 1,2,3…Hash function mengevaluasi H kemudian mencoba H2+12 ; H2+22 ;H2+32; …; H2+n2 ;dengan qwadratic probing dapat diselesaikan dilakukan dengan 2 cara :

Cara I :

Gambar 7.3. Qaudratic probing

Berarti :

Struktur Data


Cara II :

Tabel 7.2. Proses infinitive probingIndeks Key Modulo Address Probe Collision

123456

7

89

H(2)H(3)H(5)H(7)H(11)H(13)H(13)H(17)H(17)H(19)H(23)H(23)H(23)H(23)

…..

2 %102 %105 %107 %1011 %1013 %10(13+12) %1017 % 10(17 + 12) %1019 % 1023 % 10(23+12)%10(23+22)%10(23+32)%10

……

23571347893472

……

11111111111111

….

1

1

1111

……

Sehingga untuk sikuensi data diatas apabila diselesaikan dengan quadratic probing akanterjadi collision yang tidak terbatas (infinity) seperti pada item data 23 (tabel 7.2)

Gambar 7. 4. Infinitive Probing

Kasus :Selesaikan dengan quadratic probing kasus berikut :Diberikan key-key yang akan diinput dalam tabel hash “satu”, “dua”, “tiga”, “empat”,“lima”, “enam”, “tujuh”, “delapan”, “sembilan”, “sepuluh”.Spesifikasi :- Jumlah blok/bucket (ukuran hash) = 17 (indeks 0 sampai dengan 16)- Fungsi hash H(x) berdasarkan metode perkalian dengan A = 0.618- Fungsi ordinal () total bilangan alpabetik dari huruf-huruf pada key (“a”=1, “b”=2,

“c”=3, ..., “z”=26)- Coallision dipecahkan dengan cara rehashing dengan fungsi h2(x,i)=-i *

((ord*(x)%5)+1) sehingga penempatan probing ke i adalah hi(x) = h1(x) + h2(x)dengan i =1,2,3, …

Tunjukkan urutan penempatan key-key tersebut dalam tabel dan berapa jumlah collisionyang terjadi pada masing-masing penempatan key.Jawab :

Tabel 7.3. Konversi alpabetik dengan fungsi ordinal

Struktur Data

63Diktat Kuliah Struktur Data N

Documents

Struktur Data - ryancom.files.wordpress.com · Title: Microsoft Word - Struktur Data.DOC Author: ï¿½ï¿½Sinurat Created Date: ï¿½ï¿½D:20180405094645Z