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Struktur von Pflasterungen mit Dominos
Adam Nielsen, Timo Strunk
Technische Universitat Berlin
31. Januar 2010
Adam Nielsen, Timo Strunk Tiling Seminar
Motivation
Ziel: Eine Struktur aller Domino-Tilings einer gegebenen FlacheIdee: Betrachte einfache Modifikationen von Tilings.
Adam Nielsen, Timo Strunk Tiling Seminar
Modell
Betrachte den Zellgraphen der Flache, sowie dessen Bipartition(schwarze und weiße Knoten).
Adam Nielsen, Timo Strunk Tiling Seminar
Modell - Orientierung des Graphen
Orientiere den Graphen, so dass:e ∈ E ist von schwarz nach weiß gerichtet⇔ die inzidenten Zellen werden vom gleichen Domino uberdeckt.
Adam Nielsen, Timo Strunk Tiling Seminar
Modell - Orientierung des Graphen
Die Flache wird vollstandig und uberschneidungslos uberdeckt.⇒ outdeg(v) = 1 fur alle schwarzen Knoten v,outdeg(w) = deg(w)− 1 fur alle weißen Knoten w.
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Modell - Orientierung des Graphen
Ruckwartsgegeben: Orientierung mit outdeg(v) = 1 fur schwarze Knoten v,outdeg(w) = deg(v)-1 fur weiße Knoten w:
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Modell - Orientierung des Graphen
Induzierte Pflasterung
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α-Orientierungen
Definition 1Sei G = (V,E) ein planarer Graph mit fester Einbettung in dieEbene, α eine Abbildung V → N. Dann ist eine Orientierung vonG so dass fur alle Knoten v gilt outdeg(v) = α(v) eineα-Orientierung.
Bemerkung: Wenn wir in Zukunft von α-Orientierungen sprechen,werden wir dabei α immer als fest gegeben voraussetzen.
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Beziehungen zwischen α-Orientierungen
Lemma 1Sind A und B α-Orientierungen, so lassen sie sich durchSukzessives Umorientieren gerichteter Zykel ineinander uberfuhren.
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Beziehungen zwischen α-Orientierungen
Lemma 1 - BeweisIst C ein gerichteter Zykel in einer α-Orientierung, erhalt mandurch umdrehen aller Kanten von C wieder eine α-Orientierung, dain jedem Knoten von C eine Innenkante und eine Außenkanteumgedreht wird.
Orientierung A Orientierung B
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Beziehungen zwischen α-Orientierungen
Lemma 1 - BeweisDie Symmetrische Differenz zweier α-Orientierungen induzierteinen gerichteten Eulerschen Subgraphen in jeweils beidenOrientierungen.#Out∆ = #OutA ∩ InB = α−#OutA ∩ OutB = #OutB ∩ InA =#In∆
Orientierung A Orientierung B Differenz
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Beziehungen zwischen α-Orientierungen
Lemma 1 - Beispiel
2 verschiedene α-Orientierungen
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Beziehungen zwischen α-Orientierungen
Lemma 1 - Beispiel
Differenz
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starre Kanten
Definition 2Eine Kante, die in jeder α-Orientierung gleich gerichtet ist, heisststarr.
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essenzielle Zykel
Definition 3Ein einfacher Kreis C in G heisst essenziell, wenn er keine Sehnenbesitzt, in einer α-Orientierung gerichtet ist und sein innererSchnitt (die Kanten zwischen Punkten auf C und der von Ceingeschlossenen Flache) starr ist.
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Sehnenpfade
Definition 4Sei C ein Kreis in G, α eine Orientierung von G. Dann heißt einPfad P Sehnenpfad von C wenn er gerichtet ist, im Inneren von Cliegt und sein erster und letzter Knoten auf C liegen.
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Sehnenpfade
Lemma 2Sei C ein Kreis und es gibt eine α-Orientierung sodass C keinenSehnenpfad hat. Dann ist der innere Schnitt von C starr.
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Sehnenpfade
Lemma 2 - BeweisA = { c ∈ Int(C ) |v auf gerichtetem Pfad von C erreichbar}B = { c ∈ Int(C ) |v nicht auf gerichtetem Pfad von C erreichbar}
A
B
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Sehnenpfade
Lemma 2 - BeweisWir sehen: A hat keine ausgehenden Kanten, B keine eingehendenKanten. Es gilt
∑v∈A α(v) =| E (A) |.
Diese Gleichung gilt fur alle α-Orientierungen, daher sind auch injeder anderen α-Orientierung alle Kanten im Schnitt von Aeingehende Kanten. Durch Komplementbildung folgt analog, dassdie Kanten im Schnitt von B in keiner α-Orientierung eingehendeKanten sind.Damit sind diese Kanten starr.
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Sehnenpfade
Lemma 3Wenn fur eine α-Orientierung C gerichtet ist und einen Sehnenpfadhat, dann ist der innere Schnitt von C nicht starr.
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Sehnenpfade
Lemma 3 - BeweisDer Pfad bildet mit einem Segment von C einen gerichteten Zykel,Umorientieren liefert α-Orientierung mit umgekehrter Orientierung
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essenzielle Zykel
Lemma 4Wenn C und D essentielle Zykel sind gilt:Die eingeschlossenen Flachen von C und D uberschneiden sichnicht oder ihre Knotenmengen sind disjunkt.
KorollarJede Kante ist maximal Teil von 2 essentiellen Zykeln.
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essenzielle Zykel
Lemma 4 - Beweisangenommen nicht, dann verlauft ein Teil eines Zykels im Innerndes anderen. Umdrehen des Zykels liefert andere Orientierung derKanten im Schnitt.
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Zerlegen von gerichteten Zykeln
Lemma 5Seien A und B Orientierungen, die sich in der Orientierung einesgerichteten Zykels C unterscheiden(B heißt dann AC )Dann kann man B durch sukzessives Umkehren von essentiellenZykeln aus A erhalten.
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Zerlegen von gerichteten Zykeln
Lemma 5 - BeweisFall 1: C ist bereits essenziell. Dann kehre C um.Fall 2: C ist nicht essenziell ⇒ innerer Schnitt ist nicht starr.Lemma 2 ⇒ ∃ Sehnenpfad → zerlegt C in zwei kleinere Kreise.Rekursives Anwenden der Fallunterscheidung.
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Zerlegen von gerichteten Zykeln
Lemma 6Sei A eine α-Orientierung, C ein im Uhrzeigersinn gerichteter Zykel.Dann kann man AC durch sukzessives Umkehren im Uhrzeigersinngerichteter essenzieller Zykel erhalten und die Auswahl (nicht dieReihenfolge) dieser Zykel ist eindeutig und es ist die MinimaleMenge so dass ihre Innenflachen die Innenflache von C uberdecken.
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Zerlegen von gerichteten Zykeln
Lemma 6 - BeweisExistenz: Lemma 5 liefert die gewunschte Zerlegung.Eindeutigkeit: Betrachte Menge M von Zykeln die eine von demInneren des Zykels verschiedene Flache uberdecken ⇒ Rand wirdumgekehrt.Betrachte mehr als minimale Menge: Enthalt innere Zykel.
Adam Nielsen, Timo Strunk Tiling Seminar
Anwendungsbeispiel
Adam Nielsen, Timo Strunk Tiling Seminar
Anwendungsbeispiel
Adam Nielsen, Timo Strunk Tiling Seminar
Anwendungsbeispiel
Adam Nielsen, Timo Strunk Tiling Seminar
Anwendungsbeispiel
Adam Nielsen, Timo Strunk Tiling Seminar
Anwendung des Modells
GesehenTilings ↔ α-Orientierungen
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Anwendung des Modells
sehen leichtparallele Dominos → essenzieller Zykel
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Anwendung des Modells
zeigen
parallele Dominos ← essenzieller Zykel (bei vollstandigem Inneren)Sei C Zykel, keine Zelle. Zeige: ∃ Sehnenpfad.
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Anwendung des Modells
KonstruktionWahlen Richtung durch erste Kante; finden von weißen Knotenimmer Kanten in Richtung, von schwarzen Knoten keine Kantengegen Richtung.
Adam Nielsen, Timo Strunk Tiling Seminar
Anwendung des Modells
Adam Nielsen, Timo Strunk Tiling Seminar
Anwendung des Modells
Adam Nielsen, Timo Strunk Tiling Seminar
Weitere Modellierungen
Adam Nielsen, Timo Strunk Tiling Seminar
Weitere Modellierungen
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