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Struktur von Pflasterungen mit Dominos Adam Nielsen, Timo Strunk Technische Universit¨ at Berlin 31. Januar 2010 Adam Nielsen, Timo Strunk Tiling Seminar

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Struktur von Pflasterungen mit Dominos

Adam Nielsen, Timo Strunk

Technische Universitat Berlin

31. Januar 2010

Adam Nielsen, Timo Strunk Tiling Seminar

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Motivation

Ziel: Eine Struktur aller Domino-Tilings einer gegebenen FlacheIdee: Betrachte einfache Modifikationen von Tilings.

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Modell

Betrachte den Zellgraphen der Flache, sowie dessen Bipartition(schwarze und weiße Knoten).

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Modell - Orientierung des Graphen

Orientiere den Graphen, so dass:e ∈ E ist von schwarz nach weiß gerichtet⇔ die inzidenten Zellen werden vom gleichen Domino uberdeckt.

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Modell - Orientierung des Graphen

Die Flache wird vollstandig und uberschneidungslos uberdeckt.⇒ outdeg(v) = 1 fur alle schwarzen Knoten v,outdeg(w) = deg(w)− 1 fur alle weißen Knoten w.

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Modell - Orientierung des Graphen

Ruckwartsgegeben: Orientierung mit outdeg(v) = 1 fur schwarze Knoten v,outdeg(w) = deg(v)-1 fur weiße Knoten w:

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Modell - Orientierung des Graphen

Induzierte Pflasterung

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α-Orientierungen

Definition 1Sei G = (V,E) ein planarer Graph mit fester Einbettung in dieEbene, α eine Abbildung V → N. Dann ist eine Orientierung vonG so dass fur alle Knoten v gilt outdeg(v) = α(v) eineα-Orientierung.

Bemerkung: Wenn wir in Zukunft von α-Orientierungen sprechen,werden wir dabei α immer als fest gegeben voraussetzen.

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Beziehungen zwischen α-Orientierungen

Lemma 1Sind A und B α-Orientierungen, so lassen sie sich durchSukzessives Umorientieren gerichteter Zykel ineinander uberfuhren.

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Beziehungen zwischen α-Orientierungen

Lemma 1 - BeweisIst C ein gerichteter Zykel in einer α-Orientierung, erhalt mandurch umdrehen aller Kanten von C wieder eine α-Orientierung, dain jedem Knoten von C eine Innenkante und eine Außenkanteumgedreht wird.

Orientierung A Orientierung B

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Beziehungen zwischen α-Orientierungen

Lemma 1 - BeweisDie Symmetrische Differenz zweier α-Orientierungen induzierteinen gerichteten Eulerschen Subgraphen in jeweils beidenOrientierungen.#Out∆ = #OutA ∩ InB = α−#OutA ∩ OutB = #OutB ∩ InA =#In∆

Orientierung A Orientierung B Differenz

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Beziehungen zwischen α-Orientierungen

Lemma 1 - Beispiel

2 verschiedene α-Orientierungen

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Beziehungen zwischen α-Orientierungen

Lemma 1 - Beispiel

Differenz

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starre Kanten

Definition 2Eine Kante, die in jeder α-Orientierung gleich gerichtet ist, heisststarr.

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essenzielle Zykel

Definition 3Ein einfacher Kreis C in G heisst essenziell, wenn er keine Sehnenbesitzt, in einer α-Orientierung gerichtet ist und sein innererSchnitt (die Kanten zwischen Punkten auf C und der von Ceingeschlossenen Flache) starr ist.

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Sehnenpfade

Definition 4Sei C ein Kreis in G, α eine Orientierung von G. Dann heißt einPfad P Sehnenpfad von C wenn er gerichtet ist, im Inneren von Cliegt und sein erster und letzter Knoten auf C liegen.

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Sehnenpfade

Lemma 2Sei C ein Kreis und es gibt eine α-Orientierung sodass C keinenSehnenpfad hat. Dann ist der innere Schnitt von C starr.

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Sehnenpfade

Lemma 2 - BeweisA = { c ∈ Int(C ) |v auf gerichtetem Pfad von C erreichbar}B = { c ∈ Int(C ) |v nicht auf gerichtetem Pfad von C erreichbar}

A

B

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Sehnenpfade

Lemma 2 - BeweisWir sehen: A hat keine ausgehenden Kanten, B keine eingehendenKanten. Es gilt

∑v∈A α(v) =| E (A) |.

Diese Gleichung gilt fur alle α-Orientierungen, daher sind auch injeder anderen α-Orientierung alle Kanten im Schnitt von Aeingehende Kanten. Durch Komplementbildung folgt analog, dassdie Kanten im Schnitt von B in keiner α-Orientierung eingehendeKanten sind.Damit sind diese Kanten starr.

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Sehnenpfade

Lemma 3Wenn fur eine α-Orientierung C gerichtet ist und einen Sehnenpfadhat, dann ist der innere Schnitt von C nicht starr.

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Sehnenpfade

Lemma 3 - BeweisDer Pfad bildet mit einem Segment von C einen gerichteten Zykel,Umorientieren liefert α-Orientierung mit umgekehrter Orientierung

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essenzielle Zykel

Lemma 4Wenn C und D essentielle Zykel sind gilt:Die eingeschlossenen Flachen von C und D uberschneiden sichnicht oder ihre Knotenmengen sind disjunkt.

KorollarJede Kante ist maximal Teil von 2 essentiellen Zykeln.

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essenzielle Zykel

Lemma 4 - Beweisangenommen nicht, dann verlauft ein Teil eines Zykels im Innerndes anderen. Umdrehen des Zykels liefert andere Orientierung derKanten im Schnitt.

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Zerlegen von gerichteten Zykeln

Lemma 5Seien A und B Orientierungen, die sich in der Orientierung einesgerichteten Zykels C unterscheiden(B heißt dann AC )Dann kann man B durch sukzessives Umkehren von essentiellenZykeln aus A erhalten.

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Zerlegen von gerichteten Zykeln

Lemma 5 - BeweisFall 1: C ist bereits essenziell. Dann kehre C um.Fall 2: C ist nicht essenziell ⇒ innerer Schnitt ist nicht starr.Lemma 2 ⇒ ∃ Sehnenpfad → zerlegt C in zwei kleinere Kreise.Rekursives Anwenden der Fallunterscheidung.

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Zerlegen von gerichteten Zykeln

Lemma 6Sei A eine α-Orientierung, C ein im Uhrzeigersinn gerichteter Zykel.Dann kann man AC durch sukzessives Umkehren im Uhrzeigersinngerichteter essenzieller Zykel erhalten und die Auswahl (nicht dieReihenfolge) dieser Zykel ist eindeutig und es ist die MinimaleMenge so dass ihre Innenflachen die Innenflache von C uberdecken.

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Zerlegen von gerichteten Zykeln

Lemma 6 - BeweisExistenz: Lemma 5 liefert die gewunschte Zerlegung.Eindeutigkeit: Betrachte Menge M von Zykeln die eine von demInneren des Zykels verschiedene Flache uberdecken ⇒ Rand wirdumgekehrt.Betrachte mehr als minimale Menge: Enthalt innere Zykel.

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Anwendungsbeispiel

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Anwendungsbeispiel

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Anwendungsbeispiel

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Anwendungsbeispiel

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Anwendung des Modells

GesehenTilings ↔ α-Orientierungen

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Anwendung des Modells

sehen leichtparallele Dominos → essenzieller Zykel

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Anwendung des Modells

zeigen

parallele Dominos ← essenzieller Zykel (bei vollstandigem Inneren)Sei C Zykel, keine Zelle. Zeige: ∃ Sehnenpfad.

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Anwendung des Modells

KonstruktionWahlen Richtung durch erste Kante; finden von weißen Knotenimmer Kanten in Richtung, von schwarzen Knoten keine Kantengegen Richtung.

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Anwendung des Modells

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Anwendung des Modells

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Weitere Modellierungen

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Weitere Modellierungen

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