Strutture dati - 2 -Alberi binari

Definizione

• L’albero è un insieme di elementi (nodi), sui quali è definita una relazione di discendenza con due proprietà:

• esiste un solo nodo radice senza predecessori

• ogni altro nodo ha un unico predecessore

Definizione• tree=〈V, E〉dove V è un insieme di valori,

E⊆V×V è una relazione su Ve =〈vparent, vchild〉 e∈E

• Grado di uscita: numero dei successori diretti di un nodo

• Profondità: distanza di un nodo dalla radice; la radice ha profondità 0; ogni nodo≠radice ha profondità pari a quella del predecessore + 1

Operazioni

• Si eseguono le stesse operazioni effettuate sulle liste ma:

• esistono più nodi terminali (le foglie): si deve decidere un criterio per l’inserimento in coda

• l’inserimento in testa o nodi intermedi fa degenerare l’albero su una forma sequenziale: è da evitare

Alberi binari di ricerca

• Ogni nodo a grado di uscita ≤ 2

• Il valore codificato su un nodo è ≥ del valore codificato sul figlio sinistro e < del valore codificato sul figlio destro

• Un albero è bilanciato se ogni nodo su un livello diverso dall’ultimo o penultimo ha due figli

Alberi binari di ricerca: esempi

Numero di nodi

• Un albero di profondità D è bilanciato sse contiene tutti i nodi che posso essere ospitati sui livelli D+1, da cui se esiste almeno un nodo al livello D il numero N dei nodi è:

• da cui D≤ ln2N

€

N ≥1+ 2dd= 0

D−1

∑ = 2D

Implementazione

• Implementazione con puntatori

• i puntatori sono ai nodi figli, se non esistono hanno valore NULL

struct btree{ float value; struct btree *left; struct btree *right;}

Attraversamento dell’albero

• Preorder: visita radice, albero sinistro, albero destro

• Inorder: visita albero sinistro, radice, albero destro

• Postorder: visita albero sinistro, albero destro, radice

• Il carico sullo stack è sempre O(ln2N)

Visita• L’implementazione ricorsiva è simile a

quella della lista:

void visit_r(struct btree *ptr){ if ( ptr!=NULL ) { visit_r( ptr->left ); printf(“%f”,ptr->value); visit_r( ptr->right ); }}

• E’ un attraversamento inorder

Visita - 2 -

void visit_r(struct btree *ptr){ if ( ptr!=NULL ) { visit_r( ptr->left ); visit_r( ptr->right ); //postorder printf(“%f”,ptr->value); }}

• E’ una visita postorder, ovvero depth-first

Ricerca

• In un albero bilanciato la ricerca è O(ln2N), se l’albero degenera diventa O(N)

• Algoritmo: se la radice contiene il target ci si ferma con successo; se la radice è > target si deve cercare sul sotto-albero di sinistra, altrimenti su quello di destra

Ricerca: implementazione ricorsiva

Boolean search_r(struct btree *ptr, float target){ if ( ptr!=NULL ) { if ( ptr->value == target ) return TRUE; else { if ( ptr->value > target ) search_r( ptr->left, target ); else search_r( ptr->right, target ); } } else return FALSE;}

Inserimento• Si deve stabilire il criterio di inserimento in

coda

• in un albero binario di ricerca si inserisce il valore nell’unica foglia che mantiene l’albero in ordine

• si scende dalla radice e si opera sul sottoalbero appropriato

• raggiunta una foglia si effettua l’inserimento

• E’ O(ln2N)

Inserimento: implementazione ricorsiva

void insert_inorder_r(struct btree **pptr, value){ if ( *pptr != NULL ) { if ( (*pptr)->value > value ) insert_inorder_r( (*pptr)->left, value ); else insert_inorder_r( (*pptr)->right, value ); } else { (*pptr)=(struct btree *)malloc(sizeof(struct btree)); (*pptr)->value = value; (*pptr)->left = NULL; (*pptr)->right = NULL; }}

Cancellazione

• Dipende dal numero di figli di un nodo:

• 0 (foglia): si cancella il nodo

• 1: si cambia il puntatore al nodo cancellato, facendolo puntare al figlio

• 2: ci si riconduce al caso precedente spostando uno dei sotto-alberi

Cancellazione - 2 -

• Si deve mantenere l’ordine:

• Se si sposta il sottoalbero di sinistra, la sua radice diventa figlia di sinistra del nodo più a sinistra (che è il minimo)

• Se si sposta il sottoalbero di destra, la sua radice diventa figlia di destra del nodo più a destra (che è il massimo)

Cancellazione: implementazione

void delete(struct btree **pptr){ struct btree *tmp;

if ( *pptr != NULL ) { tmp = *pptr; *pptr = (*pptr)->right;

pptr = &((*pptr)->right); while ( *pptr != NULL ) pptr = & ((*pptr)->left);

*pptr = tmp->left;

free( tmp ); // cancellazione del nodo }}

Inserimenti e cancellazioni: esempi