Corso diCorso di

TECNICA DELLE COSTRUZIONITECNICA DELLE COSTRUZIONI

POLITECNICO DI TORINO

II Facoltà d’IngegneriaII Facoltà d’Ingegneria

(Vercelli)

Docente:

Rosario Ceravolo

Dip. Ingegneria strutturale e geotecnica

PARTE 3:PARTE 3:

STRUTTURE IN ACCIAIOSTRUTTURE IN ACCIAIO

COMPOSIZIONE STRUTTURALECOMPOSIZIONE STRUTTURALELa struttura in acciaio deriva dall’assemblaggio di elementi monodimensionali, i

profilati, e/o bidimensionali, le lamiere, prodotti in officina.

Acciaieria Carpenteria Cantiere

Montaggio

in opera

Produzione

profilati e lamiere

Trasformazione in elementi o

complessi strutturali

Vincolo mutuo

tendenzialmente

debole

S o lu z io n e e c o n o m ic a

C e r n ie r a

S o lu z io n e c o s to s a

I n c a s t r o

La tendenza a semplificare le giunzioni può portare a labilità del complesso:

In tro d u z io n e d i u lte r io ri e lem en ti

Nonostante il materiale presenti un legame simmetrico sia a trazione, che

compressione, i problemi di stabilità locale e di insieme possono rendere non

simmetrica la risposta degli elementi strutturali (aste compresse, travi inflesse,

pannelli e anima delle travi, zone compresse delle sezioni).

asta industriale indefinitamente elastica Ncr=π2·E·A/λ2

asta teorica

asta industriale elasto-plastica λ=l0/ρ

L’asta soggetta a carico assiale presenta

risposta non simmetrica: elasto-plastica, a

trazione; non lineare ed in funzione di λ e

delle imperfezioni, a compressione.

δ

N

f yA

Trazione

Compressione

λ

La necessità di controllare accuratamente la presenza di eventuali labilità e di valutare

correttamente le risposte dei differenti elementi strutturali nei riguardi

dell’instabilità richiede di concepire la struttura nello spazio a tre dimensioni.

Le strutture in acciaio presentano elevata deformabilità in presenza delle azioni di

esercizio a causa degli elevati livelli tensionali raggiungibili e del modesto

contributo del peso proprio.

La verifica a deformazione può diventare determinante nel dimensionamento, più che

quella di resistenza. Limitazioni di freccia dell’ordine di 1/500 l risultano più

condizionanti dei limiti tensionali.condizionanti dei limiti tensionali.

Edifici multipianoEdifici multipianoI carichi verticali vengono raccolti dagli

impalcati a struttura mista, trasferiti

alle travi principali e da queste alle

colonne, fino alla fondazione.

L’impalcato può essere realizzato con:

pannelli in C.A. o C.A.P. o misti con

laterizio gettati in opera (soluzione

“a”, “b”);

Colonne, travi

principali e

secondarie in

acciaio. Soletta

collaborante in

calcestruzzo

“a”, “b”);

pannelli in C.A. o C.A.P. o misti con

laterizio prefabbricati (sol.“c”, “d ”);

lamiere grecate riempite con

materiale inerte (sol.“e”);

lamiere grecate riempite con

calcestruzzo collaborante (sol.“f ”).

Lamiere

grecate:

Le azioni orizzontali vengono riportate

dagli elementi di facciata, i

tamponamenti, ai solai, e da questi

alle colonne che li devono trasferire in

fondazione. I solai quindi devono

operare come lastre oltre che come

piastre. Gli elementi verticali in

generale sono impegnati a sforzo

normale e flessione.

Combinando le diverse membrature si

evince che la struttura è un complesso

di elementi idonei a sopportare tutte

le caratteristiche di sollecitazione

(M,N,T). In particolare, ciò vale anche

per le giunzioni che dovranno essere

in grado di trasmettere tutte le

componenti della sollecitazione.

Lelle figure sottostanti sono riportati alcuni tipi di nodi strutturali:

• Nodo “a” e ”c” bullonato, e saldato,

in grado di trasferire completamente

il momento flettente;

• Nodo “b” e “d” in grado di trasferire

solo parzialmente il momento

flettente, attraverso la sola anima.

Una notevole semplificazione nei nodi strutturali si può ottenere combinando una

struttura labile orizzontale con una isostatica.struttura labile orizzontale con una isostatica.

I nodi saldati in opera sono molto

onerosi (talora non

consentiti), quindi sono

preferibili quelli imbullonati.

I nodi sono chiamati a

trasmettere solo sforzi

normali e tagli (cerniere), le

colonne sono solo soggette a

forze assiali (bielle).

Le strutture di “controvento” possono essere realizzate in calcestruzzo armato, come i

vani scala, o in acciaio, come ad esempio i diagonali posti tra travi e colonne.

Nodi in grado di trasmettere solo taglio

e sforzo normale (cerniere).

Strutture di controvento a croce

di S. Andrea (a) ed a “K”

(b) sono impegnate a

flessione e a taglio ed

occorre verificare la

rigidezza del complesso.

Esaminando nel complesso spaziale la risposta dell’edificio deve risultare che:

• Ogni impalcato deve operare come lastra vincolata ai controventi verticali;

• I controventi devono garantire almeno tre condizioni di vincolo ad ogni piano;

• L’impalcato deve essere dimensionato anche per le azioni orizzontali provenienti

dal comportamento di insieme dell’edificio.

Ogni elemento di controvento verticale fornisce le condizioni di vincolo che

corrispondono al movimento che è in grado di controllare:

• Parete in C.A. vincolo di appoggio

o reticolare semplice;o reticolare semplice;

• Incrocio di pareti vincolo di

in C.A. o reticolare cerniera;

• Nucleo scale vincolo di

o ascensore incastro.

In presenza di “q” distribuita risulta:

In presenza dei carichi agenti sulla facciata

trasversale risulta invece:

02

321 === Rql

RR

21 2FFFR

aFaFRR ++=

⋅+⋅=−=

Nel caso successivo si sono usati esclusivamente controventi in acciaio sia in

direzione verticale che orizzontale.

321321

21

2FFFR

L

aFaFRR ++=

⋅+⋅=−=

Edifici monopianoEdifici monopianoIn genere edificio industriale, a maglia rettangolare, con eventuali vie di corsa per

carri-ponte.

I carichi verticali sono trasferiti alle travi

principali tramite la struttura di

copertura (lamiera grecata) e gli

arcarecci, oppure tramite le travi

secondarie e gli arcarecci.

Pertanto gli arcarecci sono inflessiPertanto gli arcarecci sono inflessi

(flessione deviata con pendenza del

tetto) e per lo più si comportano

come travi continue su 2/3 della luce.

Le travi principali hanno il corrente

superiore compresso (carichi nei

nodi) o pressoinflesso (carichi anche

tra i nodi) e trasmettono il loro

carico direttamente alle colonne

oppure ad una trave di bordo.

E’ ora agevole definire le lunghezze libere di inflessione:

• Nel piano della capriata lc,v è pari alla distanza tra i nodi;

• Nel piano orizzontale il corrente superiore può sbandare tra le colonne (l0 = lc,H ),

sia nelle travi principali, che in quelle secondarie;

Occorre quindi introdurre dei controventi di falda idonei a stabilizzare i correnti

superiori.

• Nella figura “a” è presente il controvento che stabilizza il corrente superiore delle

travi principali ad appoggio diretto sulle colonne: in tal caso l0 = lc (distanza tra i

nodi del controvento);nodi del controvento);

• Nella figura “b” è presente anche il controvento longitudinale, necessario a

stabilizzare il corrente superiore della trave secondaria e quindi a tener fissa la

principale appoggiata in falso.

Le azioni orizzontali della copertura vengono poi trasmesse a terra o impegnando le

colonne in uno schema a telaio con le travi, o facendole operare come mensole,

oppure introducendo dei controventi di parete longitudinali e/o trasversali e

riducendo le colonne a semplici bielle.

Schematizzazioni di calcoloSchematizzazioni di calcoloLa complessità dei collegamenti costringe all’introduzione di semplificazioni di

calcolo che devono però rappresentare in modo fedele lo schema di calcolo

adottato, contando poi sul teorema statico per la sicurezza a collasso.

Se si adotta uno schema pendolare, cioè si immaginano dei collegamenti a cerniera

tra travi e colonna, e di conseguenza sia il tipo di connessione che le luci di

calcolo reali dovranno adeguarsi a tale ipotesi.

Tenuto conto della dimensione fisica del vincolo esistono diverse possibilità:

Nello schema 1 le colonne sonoNello schema 1 le colonne sono

semplicemente compresse e la

trave opera sulla luce “L”. Il giunto

nella sezione X-X deve assorbire

oltre al taglio V=R1 anche un

momento M=R1*a. Il giunto nella

sezione Y-Y deve assorbire oltre al

taglio V=R1 anche un momento

M=R1(a+e).

Nello schema 2 la colonna “B” è compressa (N=R1B+R2B) ed inflessa nel nodo da una

coppia M=a(R1B-R2B). La colonna “A” è compressa (N=R1) e caricata nel nodo da

un momento M=R1a; la trave opera su una luce L-2a. Il giunto in X-X assorbe

solo il taglio (V=R1), ed in Y-Y oltre al taglio anche un momento M=R1e.

Nello schema 3 la colonna “B” oltre ad

N=R1B+R2B è soggetta ad M=(R1B-

R2B)(a+e); la colonna “A” è compressa

(N=R1) e caricata da una coppia

M=N(a+e); la trave opera su una luce L-

2(a+e). Il giunto in X-X assorbe il taglio2(a+e). Il giunto in X-X assorbe il taglio

V=R1 ed un momento M=R1e. Il giunto in

Y-Y assorbe solo il taglio V=R1.

Si può scegliere uno qualunque di questi:

• Lo schema 1 minimizza le sollecitazioni

nelle colonne (orientate con la rigidezza

minima);

• Lo schema 2 è conveniente se le colonne

sono orientate con la rigidezza massima;

• Lo schema 3 non è usualmente

conveniente.

Nelle travi reticolari ci deve essere congruenza tra lo schema di collegamento nodale ,

le cerniere, e la posizione dell’asse nel nodo (assi aste concorrenti nel nodo ideale

di calcolo).

I momenti nodali possono essere trascurati purché si valutino correttamente le

lunghezze libere di inflessione (l0 = distanza tra i nodi ideale).

Se la bullonatura non può essere nel baricentro (L) interviene localmente un momento

parassita sui bulloni. Si può anche tracciare sugli assi di truschino a patto di

distribuire il momento parassita tra le aste.

Nei controventi si può operare con due differentiNei controventi si può operare con due differenti

schemi:

• Immaginare attive sia le aste di parete tese che

compresse, ma allora λ≤100 (comportamento

pressoché uguale a compressione e trazione);

• Immaginare attive solo le aste di parete tese,

allora λ≥200 (sbandamento in campo elastico e

quindi efficienza per inversione di segno

dell’azione).

IL MATERIALEIL MATERIALETutti gli elementi provengono da processi di laminazione, e si distinguono in lamiere

e profilati.

LAMIERE

lamierini lamiere sottili lamiere medie lamiere spesse

(s < 1 mm) (1 mm < s < 4 mm) (4 mm < s < 50 mm) (50 mm < s)

PROFILATI

I (IPN) I e H (ali //) C, L, T,Z tubolari saldati a I sagomati a freddo

ali IPE, HEA, (da lamiere) (forme varie)

rastremate HEB, HEM ISE,HSE,HSL, (smax=3÷4mm)

HSA,HSH,

HSN, HSD

(Hmax=1700)

Imperfezioni strutturali o meccanicheImperfezioni strutturali o meccaniche

Nei materiali è possibile riscontrare due tipi di imperfezioni strutturali o meccaniche:

• Tensioni residue (autotensioni): stati tensionali elastici autoequilibrati dovuti al

processo di produzione (raffreddamento, saldatura, taglio alla fiamma,

laminazione a freddo, raddrizzamento, ecc…);

• Disomogeneità caratteristiche meccaniche (snervamento): legata strettamente al

processo industriale di produzione.

La sicurezza strutturale si valuta in relazione alle aste reali (industriali) e non a quelleLa sicurezza strutturale si valuta in relazione alle aste reali (industriali) e non a quelle

ideali.

Le imperfezioni si possono analizzare distinguendole a seconda dei profili:

• Laminati a caldo;

• Saldati;

• Laminati a freddo.

PROFILI LAMINATI A CALDO

Le tensioni residue si formano nel raffreddamento

susseguente alla laminazione, cioè per

temperature di circa 600°C.

Da T0 (600°C) a T1 le parti più esposte si

raffreddano prima , e quindi vanno in trazione

(b).

Da T1 a T2 le parti centrali fluiscono plasticamente

e riducono le precedenti punte tensionali (c).

Da T2 a T le parti esposte si raffreddanoDa T2 a T le parti esposte si raffreddano

completamente ed impediscono la contrazione

delle altre.

Alla fine si ottiene lo stato tensionale (d) con compressioni nelle zone più esposte.

La presenza di tensioni residue di compressione nelle ali è sfavorevole nei riguardi

del rischio di instabilità.

Ulteriori tensioni residue si generano nel processo di raddrizzamento (meccanico che

si effettua mediante passaggio attraverso rulliere). In genere questo ha un effetto

riducente sullo stato tensionale di natura termica.

La disomogeneità delle caratteristiche meccaniche comporta: resistenza e

snervamento maggiori, con resilienza e allungamento minori, e viceversa.

PROFILI LAMINATI A FREDDO

Per effetto della laminazione si hanno compressioni sulla superficie e trazioni nelle

zone interne. L’operazione di piegatura comporta un innalzamento del limite

elastico e la conseguente riduzione della resilienza.

PROFILI SALDATI

Forte apporto termico per la presenza di materiale di asporto fuso. A causa

dell’impedimento esercitato dalle zone limitrofe, si raggiungono nella zona del

giunto tensioni superiori allo snervamento a caldo e conseguenti accorciamenti

plastici.plastici.

Dopo il raffreddamento nelle zone prossime alla saldatura e nel cordone nascono

tensioni residue di trazione e nelle zone più lontane di compressione.

L’entità e la distribuzione delle autotensioni dipendono da: modalità della saldatura,

sezione del cordone, spessore dei lembi e geometria degli elementi saldati.

-

-

+

-

Una classica distribuzione delle tensioni residue in travi a I

composte per saldatura è riportato in figura.

Nel cordone di saldatura si raggiunge il limite di snervamento del

materiale d’apporto.

Resilienza: resistenza alla rottura fragile degli acciai (tenacità); prova col pendolo di

Charpy su provetta intagliata (la differenza di quota nella risalita del pendolo è

proporzionale all’energia assorbita). Dipende dalla temperatura.

T° = temperatura di transizione;

27 J/cm2 = valore minimo da garantire a diverse temperature (-20°,0°,+20°)

ACCIAI DA CARPENTERIA

Resistenza a faticaResistenza a faticaNel caso, infatti, siano presenti cicli di tensione che si

ripetono nel tempo il cedimento del materiale può

manifestarsi per carichi inferiori a quelli di

rottura, cioè per fatica: in tal caso:

• La rottura si manifesta per σmax < fy;

• La rottura è fragile;

• Esiste un valore limite della tensione al di sotto

del quale la rottura non si manifesta fino ad unR = σmin/σmaxdel quale la rottura non si manifesta fino ad un

numero “N” di cicli. Se N = ∞ tale limite di

tensione si chiama: resistenza originaria se σ ha

sempre lo stesso segno, oppure resistenza a sforzi

alterni se la tensione passa attraverso lo zero (per

gli acciai N = 5000000 ≅ ∞);

• Sovrapponendo al ∆σ una tensione statica i limiti

di fatica variano.

I diagrammi di Smith riportano in ascissa la tensione

media ed in ordinata le tensioni massima e

minima del ciclo per cui si ha rottura in N cicli.

Criteri di resistenzaCriteri di resistenzaIn un generico punto di ogni elemento lo stato tensionale è caratterizzato dalle

componenti pij(P) del tensore degli sforzi, occorre controllare la compatibilità con

la risposta elastica del materiale. E’ quindi necessario determinare il

moltiplicatore di pij(P) che consente di raggiungere lo snervamento in P.

E’ necessario adottare un criterio di resistenza per valutare il cimento tensionale.

In tutti i paesi, per le strutture in acciaio, si usa il criteri detto di Huber-Hencky-Von

Mises.

L’energia potenziale elastica totale del materiale può essere espressa come somma di

quella dovuta alla variazione di forma (distorsione) Φ e quella dovuta allaquella dovuta alla variazione di forma (distorsione) ΦD e quella dovuta alla

variazione di volume, il criterio di Huber-Hencky-Von Mises fa dipendere la crisi

del materiale solo da ΦD. Allora occorre dividere il tensore di tensione espresso in

tensioni principali nella somma di 2 tensori:

=

σσ

σ

3

2

1

00

00

00

Pij

+

−

−

−

=

σσ

σ

σσσσ

σσ

m

m

m

m

m

m

ijP

00

00

00

00

00

00

3

2

1

con deviatore di tensione tensore idrostatico

(en. distorcente) (en. per variaz. di vol.)3

321 σσσσ++

=m

L’energia distorcente vale:

in un regime triassiale

in un regime monoassiale

−+−+−=Φ )))

2

13

2

32

2

21(((

12

1σσσσσσ

gD

σ 2

6

1

gD =Φ

Applicando il criterio di ugual cimento ai due regimi (monodimensionale e

tridimensionale) e ponendo σ = σid, si valuta:

[ ] σσσσσσσσσσσσσσσσ 321321

2

3

2

2

2

1

2

13

2

23

2

21 )()()(2

1−−−++−+−+− ==id 2id

σσσσσ 2122

21 −+=idPer stati tensionali piani o biassiali (σ3 = 0) si ottiene:

τσσσσσ 222 3 xyyxyxid +−+=Riferendosi alle componenti speciali della tensione:

τσσ 22 3 xyxid +=In presenza di flessione e taglio (σ2 = 0) si ha:

τσ ⋅= 3idE per pura tensione tangenziale (σx = σy = 0):

Metodi di verificaMetodi di verifica- Stati limite classici → allo s.l.u. γm = 1,1 (plasticizzazione completa)

- Stato limite elastico → allo s.l.el. γm = 1 (snervamento)

m

kf

df

idSji

pdFS

dF

γσ =≤→→→ )(

,)(

- Tensioni ammissibili → alle t.a. σadm ≥ σid

Acciaioσadm (Mpa)

t<40 mm t>40 mm

Fe360 160 140

Fe430 190 170

Fe510 240 210

Acciaioσadm (Mpa)

I → permanenti, variabili (no vento, sisma, coazioni)

(σid ≤ σadm)2 condizioni di carico:

II → tutte le azioni

(σid ≤ 1,125σadm)

Nello s.l.u. e s.l.el. →

con γg = 1,5 γq = 1,5 ψ0i = 0,7 (devono anche esser verificati gli s.l.e.)

- s.l.el.: calcolo elastico delle sollecitazioni;

- s.l.u. (di collasso plastico): trasformazione della struttura in un meccanismo

(cerniere plastiche), con verifica di duttilità nelle zone plasticizzate. Non

consentito se le strutture sono soggette a significativi fenomeni di fatica (rischio

di rottura fragile).

- s.l.e.: γ = 1 γ = 1 γ = 1

⋅++⋅= ∑

=

n

i

ikikqkgd QQGF2

01 ψγγ

- s.l.e.: γg = 1 γq = 1 γm = 1Nella pratica progettuale:

- Molto diffuso il metodo delle t.a.;

- Facilmente applicabile il progetto con s.l.el.;

- Complessa l’applicazione del metodo a s.l.u. (Eurocodice 3).

UNIONI SALDATEUNIONI SALDATELe procedure di saldatura autogena per fusione si possono dividere in base alla

tipologia della sorgente di calore e alla modalità di protezione del bagno fuso, e

sono le seguenti:

- Ossiacetilenica: (diffusione elevata in passato, oggi muore) la sorgente termica è

la fiamma ossiacetilenica (C2H2+O2), la temperatura è di circa 3100°C e provoca

la produzione di CO e H2;

- Arco con elettrodi rivestiti: (procedimento molto flessibile) la sorgente termica è- Arco con elettrodi rivestiti: (procedimento molto flessibile) la sorgente termica è

un arco elettrico che scocca tra elettrodo e materiale base:

-elettrodo è rivestito con materiale che fondendo protegge il bagno;

-elettrodi basici hanno buone caratteristiche meccaniche e metallurgiche;

-elettrodi acidi hanno buone caratteristiche meccaniche;

-elettrodi cellulosici per tubazioni.

- Arco sommerso: (grandi saldature ed elevata produttività) la sorgente termica è un

arco elettrico tra elettrodo e materiale base (filo continuo a matassa ad

avanzamento automatico). Utilizzo di fluido sul giunto che forma un cumulo

protettivo al cui interno scocca l’arco;

- Saldatura con protezione di gas ed elettrodo fusibile (MIG-MAG): si usa per

acciai dolci e poco legati. La saldatura ad arco a filo continuo con protezione del

bagno con gas inerte (argon / MIG) o attivo (co2 / MAG);

- Saldatura con protezione di gas ed elettrodo infusibile (TIG): si utilizza

prevalentemente per l’acciaio inox, e per le leghe di alluminio. L’arco è protetto

con argon inserito tra il tungsteno e materiale base. Il materiale di apporto fornito

a parte (bacchetta).

- Saldatura ad elettroscossa: (saldature in verticale) (pezzi a forte spessore/1

passata). Si realizza con un elettrodo a filo continuo, collegato ad un generatorepassata). Si realizza con un elettrodo a filo continuo, collegato ad un generatore

di corrente assieme al materiale base. Entrambi arrivano a fusione per effetto

Joule. Pattini in rame raffreddati con acqua costituiscono il crogiolo.

Le conseguenze della saldatura sono: la solidificazione del materiale fuso nelle (a)

passate (a) e il trattamento termico zona materiale di base prossima alla saldatura.

I cicli termici hanno un effetto di tempera che produce zone ad elevata durezza nel

materiale base e possono originare criccature a freddo. Per evitare la formazione

occorre addolcire il ciclo termico con un preriscaldamento dei pezzi ed uso di

elettrodi basici.

Le cricche a caldo si formano per eccesso di impurità nella zona fusa, per effetto di

temperature di solidificazione differenziate (effettuare più passate).

CRICCHE A FREDDO CRICCHE ACALDO

I difetti delle saldature sono i seguenti:

- Cricche;

- Soffiature;

- Mancanza di penetrazione e di fusione;

- Incollatura.

I mezzi di indagine per scoprire eventuali imperfezioni nelle saldature sono:

- Raggi X o raggi γ (macchie scure sulle pellicole);

- Ultrasuoni (onde deviate dai difetti);

- Esame magnetoscopico (campo magnetico individua cricche superficiali);- Esame magnetoscopico (campo magnetico individua cricche superficiali);

- Liquidi penetranti.

MANCANZADI PENETRAZIONE E DI FUSIONE

Classificazione delle unioni saldateClassificazione delle unioni saldateIN ORDINE DI DIFFICOLTA’ CRESCENTE

- In piano (1);

- In verticale (2);

- Frontale (3);

- Sopratesta (4).

- Giunti testa a testa (I);

VARI TIPI DI GIUNZIONI

VARI TIPI DI SEZIONE DEL CORDONE DI SALDATURA

- Giunti testa a testa (I);

- Saldatura d’orlo (II);

- Saldatura d’angolo (III);

- Giunto ad “L” (IV);

- Giunto a “T” (V);

- Giunto per sovrapposizione (VI).

- Piena (a);

- Convessa (b);

- Concava (c);

VARI TIPI DI GIUNTI TESTA A TESTA

Nei giunti testa a testa se si vuole una completa penetrazione occorre smussare i

lembi in modo da creare un vano completamente accessibile.

- A “V” (1);

- A “U” (2);

- A “X” (3);

- A “Y” (4).

SECONDO LA DIREZIONE DELL’AZIONE SOLLECITANTE

- Laterali (I);4

3

2

1

- Giunti a completa penetrazione;

- Giunti a cordone d’angolo.

Esistono due classi di saldatura la prima classe prevede che i giunti devono superare

controlli molto restrittivi, mentre per la seconda i controlli sono meno severi. In

ogni caso occorre comunque eliminare i difetti prima di effettuare le passate

successive o le successive saldature. Le norme UNI 7272 precisano le modalità di

controllo.

- Laterali (I);

- Frontali (II);

- Obliqui (III).

SECONDO LA VERIFICA DI SICUREZZA

IIII

II

Resistenza della giunzione saldataResistenza della giunzione saldata

In un giunto testa a testa privo di difetti lo stato tensionale corrisponde a quello di un

mezzo continuo. La sezione resistente è quindi pari allo spessore per la lunghezza

del giunto e la resistenza del materiale di apporto fd,cr viene espressa come una

frazione di quella del materiale base:

fd,cr = µcr fd con µcr = coefficiente di efficienza.

Le tensioni agenti nel cordone sono:

GIUNTI TESTA A TESTA

Le tensioni agenti nel cordone sono:

- σ⊥ : tensione normale di trazione o compressione ortogonale alla gola;

- τ : tensione tangenziale parallela alla gola;

- σ// : tensione normale di trazione o compressione parallela alla gola.

Si può calcolare la tensione ideale:

Deve risultare:

τσσσσσ 32

//

2

//

2+−+=

⊥⊥id

I σid < fd σid < σadm

II σid < 0,85 fd σid < 0,85 σadm

Classe s.l.el. t.a.

GIUNTI A CORDONE D’ANGOLO

Si considera come sezione resistente il prodotto

dell’altezza della gola “a” per la lunghezza

del cordone. Il calcolo convenzionale delle

tensioni viene eseguito ribaltando su uno

dei lati del cordone la sezione di gola.

In sede di verifica le componenti (valori

assoluti) delle tensioni dovranno soddisfare

le verifiche allo s.l.el. (per le t.a. si

sostituisce f con σ ) riportate qui asostituisce fd con σadm) riportate qui a

fianco.

In presenza di cordoni inclinati si decompone

la sollecitazione agente nelle componenti

normale ed ortogonale al cordone.

In combinazione di cordoni d’angolo laterali e

frontali non è prudente sommare tutti i

contributi resistenti; meglio affidare tutto lo

sforzo ad una tipologia di cordone. Se ciò

non è possibile, verificare che risulti:

al ⋅≤∑ 60

N = F cos θ

T = N sen θ

2

//

22 ττσ ++ ⊥⊥

τ

//τ

⊥σ//σ

l⊥τ

//σ

a

l

- Cordoni frontali soggetti a sforzo normale:

al

F

⋅⋅=⊥

2τ

- Cordoni laterali soggetti a sforzo normale:

al

F

⋅⋅=

4//τ

- Cordoni frontali longitudinali soggetti aF/2

F/2F

l

FF/2

F/2l

ESEMPI

- Cordoni frontali longitudinali soggetti a

taglio e momento flettente:

ah

F

ha

lF

ha

lF

⋅⋅=

⋅⋅⋅

=⋅⋅⋅⋅

=⊥2

3

2

6//22max τσ

- Cordoni frontali trasversali soggetti a taglio e momento

flettente:

at

F

tha

lF

⋅⋅=

⋅⋅⋅

= ⊥⊥2

τσ

F

h

l

l

h

F

t

- Combinazione di cordoni trasversali e longitudinali soggetti a taglio e

momento (le tensioni normali dovute al flettente si valutano considerando

attiva tutta la saldatura):

(cordoni a1, a2, a3)11 , la max⊥σ

max'⊥σ

33 , la

, la

2h1h

totW

lF ⋅=⊥maxσ

33

//2 al

F

⋅⋅=τ (taglio ai cordoni

d’anima)

La verifica si fa nei punti più sollecitati, cioè nel cordone l1/a1 (solo σ⊥) ed agli

estremi di quello d’anima (σ⊥ e t//).

Un’ulteriore possibilità di progetto consiste nell’attribuire ai cordoni d’ala

l’assorbimento del flettente ed a quelli d’anima quello del taglio.

//τ22 , la

3

2

32221113

12 alhalhalWtot ⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅=

1

3max'

h

l

W

lF

tot

⋅⋅

=⊥σ

- Sollecitazioni di torsione, flessione e taglio:

i metodi di calcolo semplificato sono due: il metodo del momento polare e il

metodo delle due forze

- metodo del momento polare (cordoni laterali soggetti a torsione, taglio e

momento flettente):

Si calcola il baricentro G dei cordoni ribaltati sul piano della giunzione ed il

loro momento polare rispetto a G (I0); si calcola quindi la sollecitazione τmax

agente nel punto più lontano P ed ortogonale alla congiungente P con G.

0

maxmax

I

rMT ⋅=τ

Si decompone τmax nelle

direzioni dei cordoni e si

valutano τ// e τ⊥.

Si procede a verifica.

0I

θττ sinmax// ⋅=

d

d

f

f

≤+

≤++

⊥⊥

⊥⊥

στ

σττ 85,022

//

2

)'(cosmax ⊥⊥ +⋅= τθττ

- metodo delle forze (conservativo) (cordoni frontali soggetti a torsione, taglio

e momento flettente):

Si ammette MT bilanciato da due forze H agenti orizzontalmente nei cordoni:

Le forze H generano solo

componenti parallele ai cordoni:

Qualora i cordoni siano frontali

)( ah

MH t

+=

la

H

⋅=//τ

la

V

⋅=//'τ

la

F

⋅⋅=

2"//τ

////// "' τττ +=

Qualora i cordoni siano frontali

l’equilibrio si realizza con due forze V:

z

eFV

⋅=

Nel caso di presenza di 4 cordoni di saldatura si può ammettere che:

– Il torcente sia equilibrato da 2 coppie di forze (H e V) che se lo ripartiscono

in base alle relative resistenze:

– Il taglio sia suddiviso tra i 4 cordoni con analoghe modalità:

maxmax

max

TVTH

TH

TTHMM

MMM

+=

maxmax

max

TVTH

TVTTV

MM

MMM

+=

maxHVVV = maxVVVV =maxmax

max

VH

H

HVV

VVV

+=

maxmax

max

VH

V

VVV

VVV

+=

- Per sezioni aperte con saldature continue lungo tutto il perimetro in genere, a

favore di sicurezza, nel dimensionamento dei cordoni di saldatura, si trascura il

In alternativa il taglio può esser suddiviso tra i cordoni verticali.

Nel caso di presenza di 3 cordoni (2 orizzontali e 1 verticale) alla coppia che si

genera in quelli orizzontali si affida il torcente ed a quello verticale il taglio.

- Nel caso di sezioni a cassone:

- Se il perimetro è completamente saldato → Bredt

- Se mancano tratti di saldatura → metodo delle forzeaA

M T

⋅⋅=

2//τ

favore di sicurezza, nel dimensionamento dei cordoni di saldatura, si trascura il

contributo della torsione secondaria.

UNIONI BULLONATEUNIONI BULLONATELa bulloneria è divisa in classi

(materiale); le classi di resistenza

associate sono nella tabella a lato.

I bulloni devono essere serrati in modo

da applicare nel gambo una

Vite 4.6 5.6 6.6 8.8 10.9

Dado 4D 5D 6D 6S 10K

normali ad alta resistenza

da applicare nel gambo una

trazione pari a:

dove Ares = area resistente.

AfN resNKs ⋅⋅=,

8,0

La coppia di serraglio vale:

dove d è il diametro nominale del

bullone.

dNT ss ⋅⋅= 2,0

Nella tabella seguente sono riportati i valori di Ares, d, Ts, e Ns per le diverse classi di

bulloni:

4,6 5,6 6,6 8,8 10,9 4,6 5,6 6,6 8,8 10,9

12 84 39 48 58 90 113 16 20 24 38 47

14 115 62 77 93 144 180 22 28 33 52 64

16 157 96 121 145 225 261 30 38 45 70 88

18 192 133 166 199 309 387 37 46 55 86 108

20 245 188 235 282 439 549 47 59 71 110 137

22 303 256 320 384 597 747 58 73 87 136 170

24 353 325 407 488 759 949 68 85 102 158 198

27 459 476 595 714 1110 1388 88 110 132 206 257

Ns (kN)d (mm)

Ares

(mm2)

Ts (N.m)

27 459 476 595 714 1110 1388 88 110 132 206 257

30 561 646 808 969 1508 1885 108 135 161 251 314

TOLLERANZE FORO – BULLONE (=> deriva scorrimento del giunto)

In genere: φ-d ≤ 1 mm con d ≤ 20 mm

φ-d ≤ 1,5 mm con d > 20 mm

Fori calibrati: φ-d ≤ 0,3 mm con d ≤ 20 mm (inversione di sforzo)

φ-d ≤ 0,5 mm con d > 20 mm

Nella valutazione della capacità portante delle unioni bullonate si tiene conto delle

distribuzioni delle sollecitazioni sui singoli bulloni in corrispondenza dello s.l.u..

La loro applicabilità è però condizionata al rispetto di parametri dimensionali che

individuano il campo di validità delle indagini sperimentali.

INTERASSE E DISTANZADEI BULLONI DAI BORDI

pa1

- p nella direzione della forza:

Per elementi tesi: 25tmin ≥ p ≥ 3dPer elementi compressi: 15tmin ≥ p ≥ 3d

- a ≥ 2d:

a p ap

a1t1

- a ≥ 2d:Bordo non irrigidito: a ≤ 6tminBordo irrigidito: a ≤ 9tmin

- a1 ≥ 1,5d:Bordo non irrigidito: a1 ≤ 6tminBordo irrigidito: a1 ≤ 9tmin

Resistenza delle unioni bullonateResistenza delle unioni bullonate

Tipiche della carpenteria, per

ripristinare la continuità tra due

elementi interrotti.

UNIONI BULLONATE A TAGLIO

Caratterizza l’unione:Carico limite d’esercizio (inizio scorrimento tra A e B) → V f 0

Caratterizza l’unione:Carico limite ultimo (resistenza dell’unione)

γµ

f

fs

f

nNV

⋅⋅=

0con: γf = 1,25 (coefficiente di sicurezza);

nf = numero di superfici a contatto;

0,30 per superfici non trattate;

µ =

0,45 per superfici trattate;

Riguardo µ, per valori superiori di 0,45 occorre fare prove sperimentali di

determinazione diretta.

V

Lo stato limite ultimo può essere raggiunto per:

- Rottura a taglio del bullone;

- Rottura per rifollamento della lamiera;

- Rottura per taglio della lamiera;

- Rottura per trazione nella lamiera.

Nel rifollamento la pressione di contatto viene supposta uniforme:

dove: tmin = spessore complessivo lamiere impiegate in una direzione;

d = diametro bullone;

minmin, tdftdfV drifrifd ⋅⋅⋅=⋅⋅= α

Bullone = elemento tozzoresNkresVdd AfAfV ⋅⋅=⋅= ,,0, 7,0

d = diametro bullone;

α = a/d ≤ 2,5La resistenza a trazione delle lamiere viene valutata assumendo una distribuzione

uniforme delle tensioni, contando cioè su ridistribuzioni plastiche locali.

a

bd

In presenza di più bulloni ci si può riferire alla sezione

minima (minimo percorso) ottenuta attraverso 1 o più

fori. Se le piastre sono sollecitate solo a trazione si può

ottimizzare le dimensioni uguagliando resistenze a

trazione e rifollamento:

( ) 1minmin +=⇒⋅=−⇒≅⋅⋅⋅=⋅−⋅ ααφαφd

bddbdcondtftbf dd

UNIONI BULLONATE A TRAZIONE

Il carico agente sul bullone è trasmesso attraverso le lamiere che si deformano

flessionalmente non consentendo il distacco completo degli elementi. In esercizio

si assume prudenzialmente una forza di decompressione pari a quella di serraggio

Ns.

Allo s.l.u., con γn = 1,25 (tiene conto del percorso di distacco della testa e delle

flessioni parassite):

γ nres

NKdA

fN ⋅=,0

UNIONI BULLONATE A TRAZIONE E TAGLIO

γ n

In condizione di esercizio l’interazione V-N è espressa da un dominio lineare; Allo

stato limite ultimo il dominio di interazione può essere assunto di forma ellittica.

)1(0

NVV

sff

N−⋅=

1

0,0,

22

≤+

N

N

V

V

dd

Sollecitazioni

a) Taglio e torsione agenti nel piano delle lamiere

(gambi sollecitati a taglio)

b) Sforzo normale e flettente in piani paralleli al gambo

(gambi sollecitati a trazione)

EFFETTI DELLE CARATTERISTICHE DI SOLLECITAZIONE AGENTI

SULLA UNIONE

(gambi sollecitati a trazione)

La ripartizione delle forze sui singoli bulloni si effettua con metodi convenzionali

supportati da conferme sperimentali

vv

v

v

v

v

FV

vT1

vT6

vT5

vT3

vT2

vT4

v1

v2

v6 v3

v5 v4

T

NNF

V

VV⋅

=

iiT akV ⋅=,

k

k

i

k

i

iViiTV

aN

Tk

akNaVNT

⋅=⇒

⋅⋅=⋅⋅=

∑

∑ ∑= =

2

1 1

2

,

a) UNIONI BULLONATE A TAGLIO E TORSIONE

vv vT4v5 v4

ik

i

iV

iiT

i

iV

ak

aN

aTV

aN

⋅=⋅

⋅=⇒

⋅

∑

∑

=

=

1

2,

1

2

con: N = numero bulloni;

NV = numero sezioni resistenti per bullone;

ai = distanza centro bullone – baricentro bullonatura.

Combinando verticalmente le componenti:

,V x

x

V

FV

N N=

⋅,V y

y

V

FV

N N=

⋅

∑=

+⋅

⋅=

k

i

iiV

ixiT

yxN

yTV

1

22,,

)( ∑=

+⋅

⋅=

k

i

iiV

iyiT

yxN

xTV

1

22,,

)(

2 2

, , , ,( ) ( )i x T i x y T i yV V V V V= + + +

b) UNIONI BULLONATE A TRAZIONE E FLESSIONE

b1) forza di trazione interna al nocciolo della sezione dei soli bulloni (giunti

interamente tex)

b2) forza esterna al nocciolo bulloni (trazione) o forza esterna di compressione

esterna al nocciolo della flangia => sezione parzializzata

ik

i

i

NNi y

y

lF

k

FN ⋅

⋅+=

∑=1

2

ciii yykN −∆= )(

cc

ciii

ky

yykN

=

−∆=

σ

)(

Occorre determinare la posizione di “C”.

Flessione semplice:

2

1 1

02

k kc

c i i i c

i i

b yy A A y y

= =

⋅+ ⋅ − ⋅ = ⇒∑ ∑

32

1

( ) ; ; ( )3

kc c

i i c i c i i c

i

M y b yMN y y A I A y y

I Iσ

=

⋅ ⋅= − ⋅ = = + −∑

UNIONI BULLONATE A FLESSIONE E SFORZO ASSIALE

Momento inerzia sezione reagente rispetto all’asse neutro

Momento statico sezione reagente rispetto all’asse neutro==

S

JyC

022226 11

23

=

+−⋅−

+−⋅+

−⋅⋅

+⋅

∑∑==

n

i

iii

n

i

iiCCC y

aeyAy

aeAy

ae

byby

(equazione cubica)

⋅= CN yF

σ ( )Cii yyAN

−⋅= σ

FN

a/2

a/2

e

yi y

C

ε σ

Ni/Ai

( )∑=

−−⋅

=n

i

CiiC

C

yyAby

1

2

2

σ ( )C

CiiCi

y

yyAN

−⋅= σ

e > 0 per N < 0

e < 0 per N > 0

0J

yF CN

C

⋅=σ

COLLEGAMENTICOLLEGAMENTI

- Articolazioni → cinematismi;

- Giunti a parziale ripristino trasferiscono parzialmente M, N, e T;

- Giunti a totale ripristino trasferiscono globalmente M, N, e T;

- Duttilità nel collegamento: condiziona la duttilità di insieme (possibile solo con

saldatura, non con bullonatura).

Giunti tesiGiunti tesi

Saldatura a

completa

penetrazione

Coprigiunti

saldati

Coprigiunti

saldati

Coprigiunti

bullonati

Distribuire i coprigiunti

in parti proporzionali

alle sezioni dei profili

per non deviare il flusso

degli sforzi

Giunti tesi flangiatiGiunti tesi flangiati

Giunti compressiGiunti compressiNei giunti bullonati le flange devono avere

sezione proporzionale a quella degli

elementi da collegare.

saldati a completa penetrazione bullonato

per contatto

Giunti di baseGiunti di base

Il taglio viene assorbito:

- Per attrito (µ = 0,1) → V/N ≤ 0,4;- Per contrasto diretto → incassando il profilo nel calcestruzzo.

Giunti inflessi intermediGiunti inflessi intermedi- A completo ripristino:

- diM e V in qualunque sezione;

- diM in ogni sezione in cui V < Vpl/3;

- A parziale ripristino di M: devono permettere le rotazioni nello schema statico

assunto.

Completo ripristino M, V Ripristino di M completo o parziale e completo di V

Ripristino completo se la ripartizione delle

forze nelle unioni è condotta secondo la

resisistenza delle parti collegate.

A ripristino completo o

parziale a seconda della

resistenza di piastra e bulloni.

A ripristino

del solo

talgio.

Completo ripristino di M e V Completo ripristino di M e V

Giunti inflessi di estremitàGiunti inflessi di estremità

Parziale ripristino - flangia inferiore a

contatto (spessorata) - trasmette, al

massimo, V e parte di M.

Completo ripristino di M e V (trave Gerber)

Completo ripristino di M e V Completo ripristino di M e V

Completo ripristino di V e

parziale di M

Cerniera

CernieraCerniera

Cerniera

Giunti trave Giunti trave -- colonnacolonna

Completo ripristino Completo o parziale ripristino Completo o parziale ripristino

Completo o parziale ripristino Completo o parziale ripristino

Giunti “pendolari”Giunti “pendolari”

Nei giunti con coprigiunto a totale ripristino flessionale il

flettente deve essere suddiviso tra ali ed anima; questa deve

inoltre assorbire anche V.

Nel caso di parziale ripristino flessionale si attribuisce al

coprigiunto delle ali tutto il flettente ed a quelli d’anima il

taglio.

Nei giunti flangiati il taglio viene trasmesso da tutti i bulloni, il

flettente sui bulloni tesi e la zona compressa della della

Giunti a squadretta ed osservazioniGiunti a squadretta ed osservazioni

RR/2e1

e2

V2

b

R/2 R/2R

flettente sui bulloni tesi e la zona compressa della della

flangia.

Nei giunti a squadretta (L) occorre tener conto delle eccentricità

delle reazioni:

- a: faccia sulla trave principale

- V = R → V1 = V/2 = R/2- T = V⋅e1 → H = T/d = V⋅e1/d

- b: faccia sulla trave secondaria

- V = R/2 → V2 = R/4

- T = R ⋅e2/2 → H2 = R ⋅e2/2d

d

V2

V2 H2

H2H1

V1

H1 V1

a

- a: su due sezioni

- b: su una sezione2

2

2

22

2

1

2

11

HVR

HVR

+=

+=

Si definiscono unioni correnti quei dispositivi di collegamento fra due o più piatti o

profilati la cui composizione permette di ottenere un elemento strutturale

complesso.

RICHIAMO DELL’IMPOSTAZIONE DEL PROBLEMAALLA JOURAWSKI

Si consideri la trave composta rappresentata in Fig. 1, soggetta a M, N e T.

Giunti di composizione delle sezioniGiunti di composizione delle sezioni

Ipotizzando un’azione assiale costante e un momento variabile lungo un concio di

trave di lunghezza dx, per l’equilibrio alla rotazione si ottiene:

ovvero il taglio è legato alla variazione di momento.

L’equilibrio alla traslazione di un concio dell’ala superiore della trave è garantito se la

saldatura tra l’ala e l’anima è in grado di assorbire gli sforzi di scorrimento (Fig. 2).

Alla variazione di momento è associata una variazione di sforzi di compressione

nell’ala superiore (il profilo a C in figura) di risultante pari a:

TdxdM =

dzbbJ

bSTdz

J

STdz

J

dAydMdA

J

ydMdAddNdS

G

C

G

C

A GA GA

⋅⋅=⋅⋅

==⋅

=⋅⋅

=⋅== ∫∫∫ τσ

S = momento statico della sezione del

G

C

Jb

ST

dzb

dC

⋅⋅

=⋅

=//τ

Gli sforzi di taglio alla Jourawski nascono per

garantire l’equilibrio alla traslazione e nascono solo

se è presente una variazione di momento flettente.

Per reciprocità, secondo Cauchy, le tensioni

taglianti si ribaltano in direzione orizzontale lungo

la sezione congiungente l’anima con l’ala.

SC = momento statico della sezione del

profilo a C rispetto all’asse baricentrico

della trave

JG = momento d’inerzia baricentrico

della sezione composta della trave

Per la verifica della bullonatura 1, si considera la forza di scorrimento Sm1:

eJ

STS ALAm

⋅=1

Unione bullonata

a

b

al

S

lbS

m

m

22//

⋅=

⋅∆=

∆⋅⋅=

ττ

τ

Unione saldata

ALAmb

AnJ

eST

An

S

⋅⋅⋅⋅

=⋅

= 11τ

con S/// = momento statico dell’ala (tratteggiata in Fig. 5) rispetto all’asse baricentrico

della sezione.

Per la verifica della bullonatura 2, si considera la forza di scorrimento Sm2:

In teoria il momento statico nel secondo caso andrebbe calcolato sommando quello

dell’ala e degli angolari. Nella pratica non è consigliabile, l’angolare è un elemento

discontinuo sulla lunghezza della trave e quindi non trasmette momento.

JGm1

bGb

bAnJAn ⋅⋅⋅

eJ

STS

G

ALAm

⋅=2

bG

ALA

b

mb

AnJ

eST

An

S

⋅⋅⋅⋅

=⋅

= 22τ

Rotture dei giuntiRotture dei giunti

Rottura zona compressa

altrimenti costole

Rottura zona tesa Rottura per taglio

d

W

Wf

ht

235

30≥

yc

yb

ff

f

fk

Akt

=

⋅≥

1

4,0

W

fWh

Akt3

1 ⋅≥

VERIFICHE DI RESISTENZAVERIFICHE DI RESISTENZA

Aeff è l’area del profilo o di una sua sezione netta

(depurata di fori) quando il profilo è collegato in

modo simmetrico rispetto al baricentro;

penalizzazioni in caso di collegamenti eccentrici

(CNR 10011).

TRAZIONE

( )..LSN fA deff

d

N≤=σ

( )..ATN

adm

effAN σσ ≤=

COMPRESSIONE

( )..LSN fA d

d

N≤=σ

( )..ATN

adm

d

AN σσ ≤=

A è l’area netta del profilo, depurata dei fori.

FLESSIONE

( )..max

LSfdd

≤σ( )..

maxAT

admσσ ≤

L

1

ψ

ψMef res ψMe

Μ/MeFLESSIONE RETTA

w

M

ψσ =max

ψ ≥ 1: coeff. adattamento

plastico (o di forma).

FLESSIONE DEVIATA

ψσ1

max⋅

+=

Y

Y

X

X

W

M

W

M

χ/χeεr/εe

ψ YX WW

ψΜe: valore del momento che produce una freccia residua allo scarico fr = L/1000.

χ/χe = ε/εe (sezioni simmetriche).

ψ ≅ 1 (cautelativo)

PRESSOFLESSIONE

( )..max

LSfddNd

≤+σσ( )..

maxAT

admN σσσ ≤+

( )..3

maxLS

Aw

V fdd ≤≅τ

( )..3

maxAT

Aw

V admστ ≤≅

TAGLIO

TorsioneTorsioneLa teoria di d.s.v. sottovaluta la resistenza a torsione delle travi a sezione aperta in

parete sottile.

Risultati più realistici si ottengono con la teoria delle “aree settoriali” o della

“torsione non uniforme”.Flusso primario classico (d.s.v.) associato alla

torsione pura o uniforme.

Flusso secondario associato alle τ legate

Flusso delle τ dovute al torcente

Flusso secondario associato alle τ legate

(equilibrio) alle σ dovute all’ingobbamento

disuniforme delle sezioni generato dal flusso

primario (torsione d’ingobbamento).

TORSIONE PURA

≅

⋅== circolaresezioneperII

IG

T

dz

dt

t

I

0

θθ

In sezione aperta a spessore sottile:

t

I

S

n

i

iit

I

tTtG

tbdstI

⋅=⋅⋅=

⋅≅= ∫ ∑=

θτmax

1

33

3

1

3

1

n = numero di elementi costituenti la sezione

∫∫

Ω⋅=⋅

⋅Ω⋅=

⋅Ω⋅=

S

tS

dst

IdstG

T

dz

d

t

T

1

41

42

2

2

θτ

In sezione cava a spessore sottile:

TORSIONE DA INGOBBAMENTO IMPEDITO

In una trave a sezione costante soggetta a

torsione la componente w

d’ingobbamento vale:

Trave con appoggi con vincolo torsionale. Nella mezzaria spostamenti w = 0 per

simmetria. Nella mezzaria torsione d’ingobbamento impedito, agli estremi (w =

0) torsione primaria ⇒ torsione mista.

Nelle altre sezioni sono presenti entrambi i comportamenti torsionali.

/

con ω = ω(x,y) = area settoriale

(funzione della geometria della

sezione).

dz

dw

θω=

w rappresenta il doppio dell’area generale dal raggio C-M per M che descrive la linea

media della sezione.

FissandoM0 (punto qualunque della linea media):

Variando w in funzione di z risulta:

( ) ( )∫==S

t dsss0

τωω

II

zz

II

z EEz

wθωεσθωε ωωω ⋅⋅=⋅=⋅=

∂∂

= ,,,

La funzione è tabulata per i profili più usuali unificati. Insorgono anche tensioni

tangenziali nella sezione trasversale:

Il torcente secondario si ottiene per integrazione dei momenti delle forze di taglio

rispetto al centro di taglio:

z∂

( ) ∫=⋅⋅

−=A

III

dAsScont

SEω

θτ ω

ωω momento statico settoriale

∫=⋅⋅−=A

III dAIconIET 2ωθ ωωω momento d’inerzia settoriale

TORSIONE MISTA

In generale per effetto torcente sono presenti τT (prim.), σzw e τw (second.). In ogni

sezione il torcente si decompone in:

ωTTT T +=

La ripartizione del torcente tra TT e Tω è fortemente dipendente dalla geometria della

sezione.

Nelle sezioni piene o a cassone Tω è sempre trascurabile rispetto a TT.

Nelle sezioni aperte TT può essere trascurabile rispetto a Tω e quindi trascurare

l’ingobbamento impedito può portare a notevole sottostima della resistenza

TT

Tω

Tω

TT

l’ingobbamento impedito può portare a notevole sottostima della resistenza

torsionale dei profili usuali.

Qui di fianco si nota il quadro riassuntivo

completo delle tensioni da torsione

mista.

Ripartizione tra TT e Tω:

Se il torcente unitario applicato vale:

III

I

TT

T

IET

IGT

TTT

θ

θ

ωω

ω

⋅⋅−=

⋅⋅=

+=

( ) ( )

( )ztIGIE

ztdz

dTdz

dz

dTTztT

II

T

IV =⋅⋅−⋅⋅⇒

=−⇒=+++−

θθω

0

( ) ( ) ( )zezqzt ⋅=

la condizione di equilibrio per

l’elemento di lunghezza dz è:

(eq. differenziale 4° ordine)

L’integrale generale è del tipo:

Imposte le condizioni al contorno per ricavare C1, C2, C3, C4 e θ0 si ottiene:

I

T

III

II

I

IGIET

IEM

w

θθ

θ

θω

ω

ωω

⋅⋅+⋅⋅−=

⋅⋅−=

⋅=

Lo stato tensionale completo nel sistema di

ω

θθIE

IGLkconz

L

kchCz

L

kshC

L

zCC T

⋅

⋅=++++= 43210

k: lunghezza adimensionale caratteristica della trave

Lo stato tensionale completo nel sistema di

coordinate generalizzate x(s), y(s), ω(s)

vale:

( )( )

( ) ( ) ( )

( )stx

T

sSI

TsS

I

TsS

I

T

sts

I

Mx

I

My

I

M

T

TT

y

y

y

x

x

x

y

y

x

xz

=

++=

++=

τ

τ

ωσ

ωω

ω

ω

ω

1

VERIFICHE DI STABILITA’VERIFICHE DI STABILITA’

Elementi compressiElementi compressi- Pilastri di strutture pendolari in cui le azioni orizzontali sono affidate ad elementi

di controvento;

- Aste delle strutture reticolari.In relazione alla forma della sezione trasversale l’instabilità può manifestarsi con tre

diversi meccanismi:

- Instabilità piana: inflessione guidata in un piano (sezioni a doppio asse di

simmetria) coincidente con quello di massima snellezza;simmetria) coincidente con quello di massima snellezza;

- Instabilità torsionale: interessa sezioni con rigidezza torsionale secondaria

trascurabile (sezioni a croce);

- Instabilità flesso-torsionale : combinazione delle precedenti (sbandamento

più avvitamento).

Le imperfezioni di natura costruttiva devono comportare uno scostamento dalla

configurazione rettilinea non superiore ad 1/1000 della lunghezza libera di

inflessione (altrimenti elementi precompressi):

1000

100 ⋅≤ lV

La lunghezza libera di inflessione è funzione della lunghezza reale dell’asta (l) e

delle condizioni di vincolo:

Nelle diverse tipologie si adottano le seguenti indicazioni:

β = 1 nel piano della travatura;

β = 1 nel piano ortogonale alla travatura

ll ⋅= β0

- β = 1 se i vincoli sono assimilabili a cerniere;

- β = 0,7 se i vincoli estremi sono assimilabili ad incastri;

- β = 0,8 se un vincolo è assimilabile a cerniera e l’altro ad incastro;

- β = 2 se in un estremo c’è un incastro perfetto,e l’altro è libero.

Aste di corrente di travi reticolari piane

β = 1 nel piano ortogonale alla travatura

se esistono ritegni rigidi di estremo, in

caso di ritegni elastici urgono verifiche

più accurate;

β = d/l ≥ 0,8 dove d è l’interasse tra le giunzioni;

Aste di parete di travi reticolari

β ≥ 0,5 nel caso d’incrocio di aste tese e

compresse con resistenza del nodo non minore di

1/5 dello sforzo di estremo dell’asta compressa;

valori di β:

nel piano di parete

fuori dal piano di parete

Colonne di edifici β = 1 in presenza di ritegni rigidi a livello dei piani.

In ogni caso deve risultare:

i

l0=λ

- ≤ 200 nelle membrature principali (azioni statiche);

- ≤ 250 nelle membrature secondarie (azioni statiche);

- ≤ 150 nelle membrature principali (azioni dinamiche);

- ≤ 200 nelle membrature secondarie (azioni dinamiche).

La verifica di sicurezza comporta che risulti:

νσσ ≥c

- ν = 1,0 stati limite;

- ν = 1,5 tensioni ammissibili condizione 1;

- ν = 1,5/1,125 tensioni ammissibili condizione 2.- ν = 1,5/1,125 tensioni ammissibili condizione 2.

A

N cc=σ tensione corrispondente alla forza che comporta l’inflessione laterale

nel piano considerato.

A

N=σ tensione di compressione media corrispondente al carico N presente.

Come tecnica di verifica si utilizza il metodo “ω” che riduce la verifica di stabilità a

quella statica corrispondente, ma con una azione maggiorata:

σω

admA

N=

⋅

σσσω ν

c

y

c

admf

==con

Per sezioni doppiamente simmetriche o dotate di un unico asse di simmetria

ortogonale (limitatamente ad un inflessione nella direzione di tale asse) i valori di

fy

cσω

=1

sono tabulati per quattro tipi di sezioni in funzioni del rapporto λ/λc, dove λc è la

snellezza corrispondente al limite di validità del comportamento elastico della

membratura.

fy

c

Eπλ =da ⇒

2

2

cy

Ef

λπ

=fycλ

I valori diagrammati corrispondono a quei tabulati e per le 4 curve risulta(riportate in

forma tabellare nel CNR 10011/88):

- curva a: tubi (quadri, rettangolari e tondi);

- curva b: sezioni a I laminate con h/b>1,2;

sezioni a I con ali rinforzate da piatti saldati;

sezioni chiuse a cassone composte con saldatura;

- curva c: aste laminate diverse da “b”;

sezioni aperte composte con saldatura;

Aste composte da più profilati;

- curva d: aste semplici e composte con spessore t ≥ 40 mm.

I singoli elementi in acciaio possono essere composti dando luogo ad aste composte:

- tralicciate (a);

- calastrellate (b);

- abbottonate (c).

Le sezioni composte in figura (d) si

comportano come aste semplici

per l’ inflessione in direzione y,

composte in direzione x.

Le membrature composte in figura

(e) si comportano invece come(e) si comportano invece come

aste composte in entrambe le

direzioni.

(d)

(e)

Il comportamento delle aste composte dipende sia dalle prestazioni flessionali

dell’asta semplice che da quello dei collegamenti che, deformandosi, esaltano le

inflessioni e quindi gli effetti instabilizzanti.

La capacità portante dipende pertanto da i seguenti parametri:

- Comportamento globale dell’asta;

- Comportamento locale di ogni corrente;

- Effetto delle azioni sui collegamenti.

Il comportamento globale dipende dalla deformabilità per flessione e per taglio che

condizionano l’inflessione laterale dovuta alle imperfezioni iniziali. La

deformabilità per flessione dipende dal momento di inerzia complessivo:deformabilità per flessione dipende dal momento di inerzia complessivo:

422

2

11d

AII ⋅⋅+⋅=

I1: momento inerzia singolo profilo;

A1: area singolo profilo;

d: distanza baricentri profili correnti(2 correnti)

La deformabilità a taglio dipende da quella delle aste di collegamento e dei correnti, e

precisamente:

- Nelle aste tralicciate dalla deformabilità assiale delle aste di parete;

- Nelle aste calastrellate dalla deformabilità flessionale dei correnti e dei

calastrelli (trave Vierendeel);

Il comportamento di ogni corrente tra i collegamenti dipende dal tipo di

- Nelle aste abbottonate dalla deformabilità flessionale dei correnti e

dall’eventuale scorrimento nella giunzione.

Il comportamento di ogni corrente tra i collegamenti dipende dal tipo di

collegamento, e precisamente:

- Per aste tralicciate ogni corrente è un asta compressa con l0 pari all’interasse

tra i collegamenti;

- Per aste calastrellate ogni corrente è un asta pressoinflessa (M circa

bitriangolare);

- Per aste abbottonate ogni corrente è pressoinflesso.

L’influenza del comportamento locale su quello globale è di difficile valutazione.

Viene quindi coperta da limitazioni dimensionali che ne riducono la portata a

valori più significativi.

La pratica progettuale porta ad una definizione di snellezza equivalente dell’asta

composta, cioè:

- Nella direzione perpendicolare ad un asse principale d’inerzia (x-x) che

taglia tutte le sezioni: snellezza valutata come per un’asta semplice;

- Nella direzione perpendicolare ad un asse principale d’inerzia (y-y) che

non taglia tutte le sezioni: λ dipende dal tipo di collegamento.

Y

X

Y

X

Y

X

Y

X

In presenza di calastrelli rigidi:

50342

50;50342 ,1

1

,1

1 ≤

−≤>

−≤

C

x

yC

x

y N

Nse

i

lo

N

N

i

l λλ

Deve in ogni caso risultare:

min,1

11

02

1

2 ;:i

l

i

lcon

y

Yyeq =⋅

=+= λβ

λλλλinterasse calastrelli

(singolo elemento)(tutta la sezione)

In presenza di traliccio (oltre alla verifica locale dei correnti):lt

At

l0

A/2ld

Ad

ltAt

l0

ld A/2

Ad

A B

( )AA

l

A

l

ll

A

t

t

d

d

t

yeq

+

⋅+=

33

2

0

2 10λλ

( )BAll

lA

dt

d

yeq ⋅⋅

⋅⋅+=

2

0

32 10

λλ

I collegamenti trasversali delle aste composte compresse e gli

attacchi ai correnti si dimensionano per:

Nω=

N = forza assiale nell’asta; A B

100

NV

ω=

N = forza assiale nell’asta;

ω = relativo all’asta.

I calastrelli si calcolano ammettendo che il taglio si ripartisca in quote uguali tra i

correnti: V/2

R

V/2

l0/2

l0/2

lt/2

t

t

l

lVR

lRlV 00

22

22

⋅=⇒

⋅=⋅⋅

Devono dividere l’asta almeno in 3 campi e presentare interasse

costante.

Sezioni composte da aste ravvicinate calastrellate:

Per distanze minori di 3 volte lo spessore ⇒ asta semplice purché i

calastrelli siano a passo minore di 50⋅imin (40⋅imin per Fe510),(in

figura calastelli a croce alternati).

Sezioni composte da elementi ravvicinati con imbottiture:

La verifica si conduce per la singola asta composta con:

2

1

2 λλλ +=eq

λ = snellezza effettiva;

λ1 = snellezza locale tra le imbottiture del singolo profilo.

Aste compresse a sezioni aperte e chiuse con pareti di piccolo spessore:Aste compresse a sezioni aperte e chiuse con pareti di piccolo spessore:

Per evitare che si manifesti un imbozzamento locale prima che l’elemento abbia

esaurito la sua resistenza di insieme occorre rispettare dei limiti dimensionali,

quali riportati nella CNR 10011. Tali limiti dipendono dal materiale.

I limiti interessano i rapporti b/t. b1

t1

Nel caso in esame Fe360 Fe430 Fe510

b1/t1 15 14 12

Travi inflesse a parete pienaTravi inflesse a parete pienaIntervento di sbandamento laterale e

torsione fino al collasso prima di

esaurire tutte le risorse flessionali

primarie.

Parametri influenti:

- rigidezze flessionali;

- rigidezza torsionale;

- punto di applicazione del carico;

- parametri di geometria e vincolo.- parametri di geometria e vincolo.

Il fenomeno è descritto dalle 2 variabili

indipendenti “µ ”e “θ ”. Operando

con le CNR 10011 deve risultare:

W

Me

W

Mcon

x

DD

x

D

⋅=

⋅=≤

ψσ

ψσ

νσ

σ max

maxmax

MD = momento max calcolato per il carico critico in campo elasto-plastico;

W = modulo resistente relativo al lembo compresso.

h

t

Travi laminate:

n = 1,5 per travi laminate;

n = 1 per travi saldate.( )nyx

n

Dcr

Dcr

yxD

ff

⋅+⋅⋅=

ψσ

σψσ

,

,

Tensione critica per instabilità flesso-torsionale in

campo elasticoW

M cr

Dcr =,σ

1

1585,0 tb

Lh

E

f y

⋅⋅

⋅⋅

=ω≤⋅

⋅=

W

M

x

eq

ψ

ωσ 1

fd (S.L.)

σadm (T.A.)

ω1 = tabulato in funzione della geometria e tipo d’acciaio;

bMm = momento medio nel campo di trave (L) considerato.

ω1 = tabulato in funzione della geometria e tipo d’acciaio;

t1 = spessore ali;

l = distanza tra 2 ritegni torsionali successivi.

→=≤≤

→=≤≤

meqeq

meqeq

MMMMM

MMMMM

maxmax

maxmax

50,0

3,175,0 Travi appoggiate o continue

Travi con sbalzi o mensole

Per travi a I approssimativamente si può controllare la stabilità nel piano trasversale

supponendo l’ala compressa isolata dall’anima, per uno sforzo normale Neq:

≤⋅

=⇒==A

N

M

MconS

J

MN

eqeq

X

X

eq

ωσηη

max

1

max

1

fd (S.L.)

σadm (T.A.)

( )

N

Ncon

NNN

l

kNper

l

kN

kMl

N

crcr

cr

=−

=−

=⇒−

=⇒

=⇒=

−⋅=⇒

−==⋅⋅

µθµµθ

θθθθ

θ

θθθ

θθθ

000

0

0

0

11

40

4

22

Elementi pressoElementi presso--inflessiinflessi

F

l

2θ

θθ0

k

con θ0 = imperfezione iniziale.

Carico critico per modulo

privo di imperfezioni

Equilibrio:

Modello

cinematico:

N

N

N

cr

−− µθ 11

v F

molla (b)Npl

Ncr

Nlim

(c)

(a)

θθ0 θlim

Alla plasticizzazione della molla:

lk

Ml

MN

k

MlNMvN

pl

pl

pl

pl

⋅+⋅

=

+=⇒⋅⋅==⋅

2

2

22

0

lim

0lim

θ

θθθ

Il comportamento dell’asta continua è descritto dalla curva (c), con una transazione

più graduale dalla curva (a) alla curve (b), dovuta alla progressiva plasticizzazione

della sezione critica.

La norma italiana adotta una formulazione che tiene conto della forma del diagramma

di momento agente sull’asta. Deve risultare:

≤

−⋅

⋅+

crN

NW

M

A

N

νψ

βω

1

fd (S.L.)

σadm (T.A.)con σcr = tensione critica euleriana

(anche in campo plastico)

aeqbabaeq MMeMMconMMMM 4,04,06,0 >≥−==⋅β

β = 1 se M = costanteMa Mb

Nel caso di presso-flessione deviata:

≤

−⋅

⋅+

−⋅

⋅+

Ycr

YY

eqY

Xcr

XX

eqX

N

NW

M

N

NW

M

A

N

,

,

,

,

11 νψ

β

νψ

βω

fd (S.L.)

σadm (T.A.)

Elementi inseriti in un complesso strutturaleElementi inseriti in un complesso strutturale- Condizioni di vincolo non perfette e spesso variabili in funzione del carico;

- Necessità di valutare la rigidezza e resistenza dei vincoli e la conseguente reale

lunghezza libera di inflessione.P P P

l

l1EA

l

k=EA/l1

v

2

2

2

IE

lkPlvkvP

l

IEP

crcr

cr

⋅⋅

⋅=⇒⋅⋅=⋅

⋅⋅=

π

π

In realtà l’intervento della plasticizzazione rende più complesso il problema.

Le norme danno regole empiriche e forfettarie di riferimento che portano a

dimensionare i vincoli per forze comprese tra L’1% ed il 2% del carico agente

sull’elemento da stabilizzare.

3

2

2l

IEkpermeccanismo

⋅⋅<°

π

Aste vincolate agli estremi → l0 = βl

l β = 1 l β = 0,7 β = 2l

l β = 0,5 β = 2β = 1l ll β = 0,5 β = 2β = 1l l

P

l

a

k=a/l

k β0,0 1,00

0,2 1,24

0,4 1,56

0,6 1,93

0,8 2,31

1,0 2,70

l

P

a

k=a/l

k β0,0 2,00

0,2 2,13

0,4 2,27

0,6 2,41

0,8 2,55

1,0 2,70

Aste con vincoli intermedi

Aste con vincoli elastici

Molto spesso i vincoli delle aste non possono esser ritenuti rigidi, allora la loro

deformabilità abbassa la sicurezza nei confronti dei fenomeni d’instabilità.

l

P

oppure

l0=l l0>l- La rigidezza minima efficace del vincolo

elastico deve essere valutata tenendo conto

delle imperfezioni iniziali;

- Il vincolo deve essere verificato in termini

di resistenza nei confronti delle reazioni

vincolari che vi insorgono, legate alla sua

rigidezza. vincolo molto

efficace

vincolo poco

efficace

rigidezza.

Il problema interessa essenzialmente i ponti a sezione aperta (a via inferiore) e le

coperture industriali realizzate con capriate la cui briglia superiore è controventata

da orditure secondarie opportunamente intervallate.

Il problema è stato inizialmente risolto da Engesser nell’ipotesi di corrente compresso

rettilineo, a sezione costante, sollecitata da carico assiale costante, con estremità

incernierate e supporti elastici uniformemente distribuiti.

k = F/v v = spostamento vincolo;

F = reazione vincolo.

Secondo Engesser l’asta raggiunge il carico critico in campo elastico se:

( )2

min 2,14

pervalidaEI

lPkk cr ≥

⋅=≥ β

P

lC=βl

lC

k

l

l0

Nke

ki

( )( )2

22

min2

2

min

4

4

lP

lPkkrisultaredeve

lPEIpoiché

EI

cr

crcr

⋅⋅

⋅⋅=≥

⋅⋅=

βπ

πβ

La procedura è poi stata estesa al campo plastico e si applica come di

seguito indicato.

l ki

ki

ki

ke

a) Sezione e N costanti, appoggi elastici intermedi equidistanti e di

ugual rigidezza:

Si determina la rigidezza k0 (n = numero di campi):

( )0

2

0

0

2

2

0 42

3212

422,12

l

Nkn

l

Nk

nn ⋅−=⇒≤≤=⋅=⇒≤≤> ββ

βπ

β

ricavando λy in funzione di ω (da fd ⋅ A/N o σadm⋅ A/N).

y

y

i

l 0

λβ =

Deve risultare:

( ) ( )( ) ( )( ) ( ) cedevoliestremivincoliATkkoLSkk

cedevoliestremivincoliATkkoLSkk

rigidiestremivincoliATkkoLSkk

eiei

iiii

ii

⇐⋅⋅≥≥

⇐⋅⋅≥≥

⇐≥≥

..5,1..

..5,1..

..5,1..

00

00

00

ηη

ηη

Verifica:

con( )

notoconi

ei ξξη

ηβξ

βξβξη =

⋅⋅+

⋅⋅−+

⋅⋅+=

26,01

41,111

2

6,01

Progetto:

βηη

η1

36,0/6,0

−=

i

ie

ηi noto

In ogni caso ηi ≥ 1,1 e β ≥ 1,2.

b) Sezione variabile da campo a campo, N variabile, campi di lunghezza variabile e

rigidezze dei vincoli intermedi variabili:

Si usa la procedura precedente assumendo:

- N = Nmax- l0 = l0,min- β = media aritmetica dei diversi valori di β- ξ = ki,min/ke

I vincoli elastici si dimensionano per:

inermediappoggiN

F max=

estremiappoggiN

F

inermediappoggiN

F

e

i

100

100

max

max

=

=β

con Nmax = max forza nei campi adiacenti al vincolo.

β = 0,5 (0,7)

β = 0,7 (1)

Aste appartenenti a telai

l0 = distanza tra i 2 punti consecutivi di flesso della deformata critica in campo elastico

di un ritto semplicemente compresso.

β = 1 (2)

β = 2 (>2)

Verifica di stabilità globale:

Si considera agente nella combinazione più gravosa dei carichi verticali un sistema di

forze orizzontali pari ad 1/80 dei carichi verticali.

Gli spostamenti orizzontali conseguenti non devono superare 1/500 dell’altezza totale

del telaio.

Lastre piane irrigiditeLastre piane irrigiditeIl comportamento instabile è strettamente influenzato dal tipo di sollecitazione.

S’individuano 2 categorie di problemi:

Lastre compresse Lastre inflesse

Piattabande e impalcati Anime

Poche riserve in campo elastico Molte riserve in campo elastico

LASTRE COMPRESSE

σ1

σ2

τ

Sono soggette a:

- Tensioni flessionali σ1 associate al

comportamento d’insieme di tutta la

struttura;

- Tensioni tangenziali complanari τ dovute al

comportamento globale a taglio e torsione

(primari e secondaria);

- Tensioni normali trasversali dovute alla deformazione trasversale ed alla presenza

d’irrigidimenti (σ2);- Tensioni flessionali nello spessore dell’impalcato dovute agli effetti locali dei

carichi.

Sono possibili 4 tipi d’instabilità:

Imbozzamento locale dei singoli pannelli Instabilità locale della nervatura (aperta)Imbozzamento locale dei singoli pannelli

tra le nervature

Instabilità locale della nervatura (aperta)

o di una sua parte (chiusa)

Instabilità globale

della lastra con

inflessione

longitudinale tra gli

irrigidimenti

trasversali

Instabilità globale

della lastra con

inflessione

trasversale tra le

travi di bordo

LASTRE INFLESSE

σ1

τ ψσ1

σ1

ψσ1

a

σ2I pannelli d’anima compresi tra le ali delle travi

e le nervature verticali d’irrigidimento

sono in genere soggetti a flessione

composta e taglio.

Molte riserve in campo plastico per via della

forma dei diagrammi tensionali.

Modalità di verifica:

- calcolo del coefficiente d’imbozzamento

sulla base dello stato tensionale nel σ2sulla base dello stato tensionale nel

pannello (kσ);

- Calcolo tensione ideale d’imbozzamento:

σr = kσ σcr,0 (quest’ultimo da tabella).

Deve risultare:

22

11

22

1

,22

1

,

4

3

4

1

3

3

+

⋅

−+⋅

+

+=⋅≥

+

crcrcr

idcr

idcr

ττ

σσψ

σσψ

τσσνβ

τσ

σ

03

0

:

0

00

1,

,

1max,11

11

==

==

<=

>=

στσ

τσσ

τ

σσσ

σσ

se

se

dove

animasolasuvalutata

camponelsecon

camponelsecon

cridcr

cridcr

per

permn

mn

αβ

ασσ

σσβ

>=

≤+

+=

5,11

5,180,0

Mda

Nda

per

m

n

σσ

σσαβ

=

=

>= 5,11

2

,

2

,

,

,

25

152520

8,0

+

−+

=

≅>

idcr

y

idcr

y

didcr

idcrdycr

f

f

f

esostituiscsiaffrisultaSe

σ

σσ

σσ

DUTTILITA’DUTTILITA’Nello studio del comportamento elasto-plastico delle travi e strutture

monodimensionali in acciaio solitamente si fanno le seguenti ipotesi:

- Ipotesi di Navier (cioè il mantenimento delle sezioni piane);

- Piccoli spostamenti;

- Materiale elastico-perfettamente plastico (diagramma di Prandtl);

- Assenza di fenomeni di instabilità.

Definiamo:

- Me: momento elastico, per cui ε,- Me: momento elastico, per cui ε,deformazione massima, raggiunge il

limite elastico εe;

- Mu: momento ultimo, per cui ε = εu;- Mp: momento limite plastico, ε = ∞;

- µ0 = εu/εe :duttilità del materiale;

- β = Mp/Me: fattore di forma della

sezione.

Duttilità delle sezioniDuttilità delle sezioniSezione rettangolare.

Per l’ipotesi di Navier:

2hY e

e εε =

εε e

e

hY ⋅=

2

Eo

eσε =

da cui

dove

⋅−⋅

⋅⋅=

⋅⋅−

⋅⋅=⋅

⋅⋅−⋅

⋅⋅=ε

εσσσσσ 2

2222

3

11

434322

422 eoeooeeo

o

hbYbhbYYbhhbM

Considerando che: =>4

2hbo

pM⋅⋅

= σ

⋅−⋅=

⋅−⋅=

u

eM

u

eMM ppu χ

χ

ε

ε22

3

11

3

11

MMp

oo

hbhhb

e 3

2

623

2

222

2=

⋅⋅=⋅⋅

⋅⋅= σσInoltre, poiché:

e

u

e

u

χχ

εε

µ ==0Avendo osservato che:

Dunque il fattore di forma per sezioni

rettangolari risulta:

2

3==

M

M

e

pβ

Se l’anima è molto sottile, β ≅ 1 e

002

2 σσ ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅≅ hsbh

sbM p

−=

⋅−⋅=

χ

χ

χ

χ eee MMM p

22

323

11=>

A1

A2

A1

A2

-σ0

σ0 σ0

-σ0

-

+

-

+

221

AAA ==

In realtà vi sono altri fattori che

condizionano i diagrammi

momento curvatura e

precisamente:

- Presenza di autotensioni parassite;

- Ramo incrudente dell’acciaio

(solitamente trascurato per

insorgenza di fenomeni

d’instabilità).

2

Duttilità della strutturaDuttilità della strutturaLa duttilità strutturale porta comunque diversi

vantaggi:

1. Collasso duttile e non fragile;

2. Attenuazione dei picchi di sollecitazione e

capacità di ridistribuzione nelle strutture

iperstatiche;

3. Attenuazione delle sollecitazioni dovute ad

azioni sismiche, dinamiche, impulsive (urti).

1

αδ

P

χ/χe

M/Me

χe Lunghezza tratto

plasticizzato dipende

dall’incrudimento delazioni sismiche, dinamiche, impulsive (urti).

Tuttavia, a una duttilità anche illimitata del

materiale o della sezione corrisponde una

limitata duttilità della struttura.

1

1

l

l

M1(x)

-

ESEMPIO: MENSOLA (caricata all’estremo)

dall’incrudimento del

diagrammaM-χ

e

e

e

u

δδ

µδ =

( )∫=l

dxx0

χα( ) ( )∫ ⋅=l

dxxxML0

2

1χ

e

u

αα

µα =

La duttilità della struttura aumenta se si ha un apprezzabile incrudimento nel

diagramma momento-curvatura, e in particolare aumenta con il beneficio plastico

β, fattore di forma.

La duttilità è limitata dal fatto che la plasticizzazione si estende a tratti limitati. Ciò è

dovuto alla variabilità del momento flettente, e cioè alla presenza del taglio.

INFLUENZA DEL TAGLIO

Il taglio può avere un ruolo importante nella

irettngolarsezioniper

79,169,11050 ÷=⇒÷= αµµ

Zona

palsticizzata

taglio

a

Struttura più duttile

Il taglio può avere un ruolo importante nella

plasticizzazione di sezioni a doppio T, al punto che a

volte si considera l’anima già plasticizzata, assumendo

che il collasso avvenga non appena sopraggiunge la

plasticizzazione nelle ali.

La plasticizzazione prematura dell’anima rispetto alle ali,

permette la progettazione di controventi duttili.

In particolare la struttura viene progettata in modo che la

plasticizzazione a taglio avvenga prima

dell’instabilizzazione dei controventi, che

determinerebbe un collasso repentino e poco dissipativo.

INSTABILITA’ DELLE TRAVI IN REGIME INSTABILITA’ DELLE TRAVI IN REGIME

ELASTICOELASTICOCi riferiamo a travi di Eulero-Bernulli, limitatamente deformabili, cui sia applicabile

la teoria linearizzata (cos ϕ = 1, sen ϕ = ϕ).

Dunque:

⇒+= )(4

4

xpy

EJ

dxd

dxy

PdPdxxp d

−=⋅=⋅

2

)( ϕPoiché:

⇒=+⇒ 02

2

4

4

dxd

dxd y

Py

EJ

EJ

P=α 2

conyy

dxd

dxd 0

2

2

2

4

4

=+⇒ α

CCCC xxsenxy 4321cos +++= ααSoluzione:

dxy

PdPdxxp

dxd

−=⋅=⋅

2)( ϕPoiché:

Proviamo a costruire la matrice di rigidezza della trave sulla base della teoria

linearizzata , imponendo le seguenti condizioni al contorno:

0)0( =y

ϕ=)0('y

0)( =ly

0)(' =ly

041 =+CC ϕα =+CC 32

0cos 4321 =+++ CCCC lsenλλ 0cos 321 =++− CCC sen λαλα

CCC xxseny 321 cos' ++−= ααααPoiché

si ha:

D

senC

λλλαϕ cos

1

−⋅=

D

senC

λλλαϕ −−

⋅=cos1

2 DC

λϕ

cos13

−⋅= CC 14 −=

avendo posto α ⋅ l = λ.Risolvendo:

ove .λλλ senD −−= cos22

( ) ( )xsenCxCy αααα 2

2

1

2 cos'' −−=

( ) ( )xCxsenCy αααα cos''' 2

3

1

3 −=

I COLONNA:

( )xsenxEJEJy CCM αα αα 22

12 cos'' +=−=

ϕλλλ

λλλλ

ϕα =⋅−

⋅⋅=−

⋅==coscos

)0(D

sen

l

EJ

D

senEJMM A

ffff

ϕλφ ⋅⋅= )(l

EJ

DlD

ϕλχϕλλλ

λλλλ

ϕαλλλλ

ϕα

⋅⋅=⋅−

⋅=

=

⋅−−

⋅+⋅−

⋅−=−=

)()(

cos1cos

cos)(

l

EJ

D

sen

l

EJ

senD

sen

D

senEJlMM B

( )ϕ

λωϕ

λϕ

λχλφ λ ⋅⋅=⋅−

⋅⋅=⋅+

⋅=+

==−ll

EJ

Dll

EJ

ll

EJ

l

MMVV BABA

)()cos1(1)()(2

II COLONNA:

η=)0(y 0)0(' =y 0)( =ly 0)(' =ly

η=+CC 41

032 =+CCα

0cos 4321 =+++ CCCC lsenλλ

0cos 321 =++− CCC sen λαλα

ηλ

⋅−

=D

C1cos

1 ηλ

⋅−

=D

senC2

ηλλ

⋅⋅−=D

sen

lC3

ηλ

⋅

−−=

DC

cos114

Dl D

( )xsenxEJEJyx CCM αα αα 22

12 cos'')( +=−=

ηλω

ηλλ

ηλ

α ⋅⋅−=⋅−

⋅=⋅−

⋅==ll

EJ

DlEJ

DEJMM A

)(1cos1cos)0(

2

22

ηλω

⋅⋅−==−=ll

EJMlMM AB

)()(

ηλω

ηηλω

⋅

−⋅=⋅−⋅⋅=−=EJ

P

ll

EJ

l

P

ll

EJVV BA 22

)(2)(2

Dunque nell’ipotesi che P non vari apprezzabilmente, il problema rimane lineare e la

matrice di rigidezza [K] della trave assume la forma seguente:

[ ]

−

+−−−−

+−

⋅= EJ

P

llEJ

P

ll

ll

l

EJK

22

)()(

)(2)()(2)(

)()(

)()(

λωλφ

λωλχ

λωλωλωλω

λωλχ

λωλφ

−+−+

−

EJ

P

llEJ

P

ll

ll

l

22

)(2)()(2)(

)()(

)()(

λωλωλωλω

λωλφ

λωλχ

ANALISI STRUTTURALE DEL 2ANALISI STRUTTURALE DEL 2°°°°°°°° ORDINEORDINERiprendiamo la formulazione di rigidezza della trave derivante dalla teoria

linearizzata. La trave fa parte in genere di una travatura più complessa e lo sforzo

normale non può, se non con approssimazione, essere considerato costante :

Insorge dunque un problema di non-linearità detta geometrica. Ulteriori problemi

computazionali in un eventuale calcolo iterativo derivano dalla presenza di

termini non lineari nella stessa matrice locale.

E’ possibile attuare un procedimento semplificato basato sull’assunzione di una

deformata con legge cubica. In altre parole, gli effetti del 2° ordine sui nodideformata con legge cubica. In altre parole, gli effetti del 2° ordine sui nodi

vengono calcolati con riferimento agli spostamenti calcolati con la teoria del 1°

ordine.

A BvTeoria del 1° ordine:

Nella costruzione della matrice di rigidezza, una volta imposto uno spostamento

unitario su un movimento, oltre alle reazioni del 1° ordine, si calcolano le reazioni

rispetto alle sollecitazioni del 2° ordine, che andranno in una matrice detta

“matrice geometrica” [K]G.

Ai fini del calcolo di [K]G, la rotazione apparente

[ ] [ ] η⋅+=− KKSSG0

[ ]

−

−

⋅−=

000000

010010

000000

000000

010010

000000

l

PKG

effetto sway (deragliamento)

l

1≅δ

Ai fini del calcolo di [K]G, la rotazione apparente

dell’asta assume carattere dominante, per cui

facendo riferimento al seguente schema:

Metodo P Metodo P -- δδδδδδδδValuta approssimativamente gli effetti del 2° ordine utilizzando esclusivamente la

matrice di rigidezza elastica sulla base del cosiddetto effetto “sway”.

Facendo riferimento alla figura seguente si scrive l’equazione di equilibrio della

generica trave di un telaio:

uuNuuN

h

N

h

N

iiiiii

p i

ii

i

ii

iH

111

1

11

1

)()( ++−

+

+++

=

−−

=

=

−

−

∑

∑∆δδ

h

uuQ

h

uuQ

h

N

h

N

i

iii

i

iii

p i

i

i

i

1

111

1

1

)()(

+

++−

+

+

−−

=

−

−∑

Il calcolo è iterativo e di volta in volta si considera l’aggravio di carichi orizzontali

aggiuntivi ∆Hi, finché questi diventano sufficientemente piccoli.

Tale metodo permette anche la valutazione di carichi orizzontali aggiuntivi dovuti ad

imperfezioni di verticalità ψ del telaio:

(corrispondente regola empirica di assegnare un ulteriore carico uniforme orizzontale

pari a 1/100÷1/50 del carico orizzontale iniziale)

( ) ψ⋅−=∆ +QQH iii 1

INFLUENZA DELLA DEFORMABILITA’ A INFLUENZA DELLA DEFORMABILITA’ A

TAGLIO SUL CARICO DI PUNTATAGLIO SUL CARICO DI PUNTA

Y P(ϕ+dϕ)ϕ

Il taglio determina una rotazione

aggiuntiva del concio

tagliodifattorecon

AG

yP

AG

TyT

=⋅⋅

⋅=⋅

⋅=

χ

χχ

:

''

che non genera flettenti e va detratto

Pϕ

P(ϕ+dϕ)ϕ

( )

JAG

PJcon

yJE

PyPyyyJE IIIVIIIV

T

IV

⋅⋅

−=

=⋅⋅

+⇒=+−⋅

χ1*

0*

0

AGP

PP

AG

PPPcuida

E

Ecr

cr

Ecr

⋅⋅+

=⇒

⋅

⋅−=

χχ

1

1

che non genera flettenti e va detratto

dall’eq. della linea elastica:

L0

T

m

sLt

α

γd

t

AECos

LT

⋅⋅

⋅

α2

d

t

AECos

LT

⋅⋅

⋅

α3Nel caso di sezione piena in acciaio (l = altezza asta

incernierata, b = base minore sez.) si trova:

( )

22

2

6,2

12

2,1

=

+⋅

⋅⋅

=⋅

⋅

l

b

AE

l

JE

AG

PE

ν

πχ

Valore generalmente trascurabile. Invece tale riduzione

assume importanza nel caso di aste calastrellate e

tralicciate.

T

αT

T/Cos α

tralicciate.

ESEMPIO: TRALICCIO

00

3

00

3

0

cos'

cos

LAE

L

LAE

L

TAG

LAE

LT

LAE

LT

L

s

t

t

d

t

t

t

d

t

⋅⋅+

⋅⋅⋅==

⋅

=⇒

⋅⋅

⋅+

⋅⋅⋅

⋅==

αγχ

γ

αγ

t

tAE

TLm

⋅=

ESEMPIO: TRALICCIO (asta calastrellata)T/2 T/2

L0

correnteinMomentoJE

LTs

icalastrellinMomentoJE

LLTs

t

t

:48

:24

0

3

0

2

2

0

1

⋅⋅

⋅=

⋅⋅

⋅⋅=

0

2

00

2412'

JE

L

JE

LL

TAG t

t

⋅⋅+

⋅⋅

⋅==

⋅

=γχ

γ

In entrambi i casi il problema si può

impostare nella forma seguente:

γ’, e dunque λ1, dipendono in generale da considerazioni teoriche

corroborate e calibrate da prove sperimentali.

T/2T/2

Lt s1 s2( )( )

Eeq

Eeq

E

crit

Pe

P

doveP

E

⋅⋅=+=

⋅+=

⋅+⋅

=

'

,'1

:'1

22

1

2

1

22

22

2

2

γλλλλλ

γλλ

γλπ

σ

INSTABILITA’ LATERALEINSTABILITA’ LATERALEL’instabilità laterale interessa tipicamente le travi inflesse con anima molto sottile. In

alcuni casi, un leggero sbandamento laterale o una torsione, possono portare alla

instabilità.

Esaminiamo il caso di una trave rettangolare soggetta a momenti costanti applicati

sulle estremità.

Si osserva che la configurazione variata determina dei momenti aggiuntivi che

dovranno rispettare le seguenti relazioni:

zxyyy MMEJ ϕϕ ⋅−== 0' yxzt MGJ ϕϕ ⋅= 0'

2

0 0'' xt z z

y

MGJEJ

ϕ ϕ+ ⋅ =

( )( )

2

2 0x

t y

M

GJ EJλ =

Derivando la seconda relazione in z e sostituendo si ottiene:

ove:

0 0 0'' ' zt x x xz y

y

GJ M M MEJ

ϕϕ ϕ

= ⋅ = ⋅ − ⋅

da cui:

Mx0 Mx0

Mx0

Mx0φz

Mx0φy

Mx0

φz

zxyyy MMEJ ϕϕ ⋅−== 0' yxzt MGJ ϕϕ ⋅= 0'

0'' 2 =⋅+ zz ϕλϕ

La soluzione è:

cosz A z Bsen zϕ λ λ= +

Se imponiamo e (rotazioni impedite sugli appoggi),

troviamo:

( 0) 0z zϕ = = ( ) 0z z lϕ = =

0B sen zλ⋅ =0=A e

Oltre alla soluzione banale (B = 0) , si trova

ossia (con K = 1,2…)πλ Kl =( )( )

0x

t y

M l KGJ EJ

π⋅ =

Il valore del carico critico è il più piccolo fra quelli associati ai diversi valori di K:

( ) ( )( )0

t yGJ EJ

x critico lM π= ⋅

( )( )( ) 0.5

0

0

1t y

tx

x

GJ EJ P GJM

l Mπ

− ⋅

= ⋅ ⋅ +

Il valore del carico critico è il più piccolo fra quelli associati ai diversi valori di K:

Nel caso in cui esista anche una forza assiale di compressione P, si dimostra che:

INSTABILITA’ E COLLASSO IN REGIME INSTABILITA’ E COLLASSO IN REGIME

ELASTOELASTO--PLASTICO DELLE TRAVIPLASTICO DELLE TRAVI

Imponendo le condizioni v(0) = 0 e v’(0) = 0 si trova:l

v P

ef( )

( ) ( )JE

PovefexsenCxCv

vfePdx

vdJE

⋅=+++=

−+=⋅

ααα 21

2

2

cos

l

xh

b( ) ( )[ ]( )[ ]

( ))

cos

cos1

cos1

acurval

l

e

f

xefv

⋅⋅−

=

−+=

αα

α

La completa plasticizzazione di una sezione rettangolare si ha quando è soddisfatta la

seguente equazione:

2

0

2

004

22

''2

bM

PbMMM

yybMM

P

PPP ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−=⇒⋅⋅⋅⋅−=

σσσ

2

0

2

0

1

4

−=

⋅⋅=

⋅⋅=

PP

P

P

P

P

M

M

hbP

hbM

σ

σ

Poiché( )

2

6

bh

efP

A

P ++=σ

Allora quando alla base σ=σ0:Allora quando alla base σ=σ0:

( ))014

2

bcurvah

ef

P

P

P

=−+

+

La curva a) esprime la relazione tra il

carico P e lo spostamento in testa f.

La curva b) esprime la condizione di

plasticizzazione completa nella sezione

di base.

La curva c) esprime il collasso a carico di punta in regime elasto-plastico.

Pcr=1,5Pp

ANALISI DI STRUTTURE IN ACCIAIOANALISI DI STRUTTURE IN ACCIAIOI procedimenti dell’analisi limite trovano alcuni limiti nei seguenti problemi:

- Necessità di tenere in conto di un numero cospicuo di condizioni di carico;

- Presenza di imperfezioni geometriche (aste non rettilinee), costruttive (verticalità

delle colonne) , Autotensioni.

Sono detti a nodi fissi quei telai che non hanno resistenza apprezzabile ad azioni

orizzontali e richiedono dunque un contoventamento o un accoppiamento con

strutture molto rigide che si caricano integralmente le azioni orizzontali.

Telai a nodi fissiTelai a nodi fissi

strutture molto rigide che si caricano integralmente le azioni orizzontali.

La loro deformabilità ad azioni orizzontali comporta che i corrispondenti spostamenti

non causino apprezzabili effetti sui regimi di sforzi.

Non si commettono errori importanti a considerare schematizzazioni semplici come le

travi continue.

Telaio con nodi

rigidi

Nodi flessibili o

semi-rigidi

Nodi flessibili

pendolari

A)B)

costruttivamente più semplici

TRAVI

- Profilati di classe III e IV : calcolo elastico lineare, il carico ultimo corrisponde al

raggiungimento del momento ultimo nella prima sezione;

- Profilati classe I e II : E’ possibile effettuare una analisi limite.

Bisognerà, inoltre, evitare instabilità flesso torsionali (esempio: presenza solai).

COLONNE

- Caso A detto pendolo: si effettua la verifica di

instabilità dell’asta reale al carico di punta (instabilità

euleriana);

- Caso B: si effettua la verifica del carico di punta in

presso flessione (Instabilità Euleriana);

Bisognerà, inoltre, evitare instabilità flesso torsionali (esempio: presenza solai).

I controventi saranno calcolati tenendo conto delle imperfezioni di verticalità e, a

meno che non vi siano setti in C.A., degli effetti del 2°ordine (esempio: metodo

P-δ).

Telai a nodi spostabiliTelai a nodi spostabili

Sono telai progettati per sopportare, integralmente o parzialmente, azioni orizzontali.

Essi dunque prevedono collegamenti tra travi e colonne che possano trasmettere

M, T e di solito usano unioni rigide (giunti saldati, bulloni ad attrito), e sono più

onerosi.

I punti A,B e C rappresentano le successive cernierizzazioni, mentre da C in poi si

hanno i seguenti fenomeni:

- Effetto P-δ;- Non linearità geometrica e- Non linearità geometrica e

conseguente instabilità globale.

Le difficoltà dell’analisi sono:

- Non linearità geometrica;

- Non linearità meccanica;

- Influenza delle imperfezioni;

- Instabilità locale.

La non linearità geometrica si risolve con il metodo della matrice geometrica o il

metodo P-δ.

La non linearità meccanica si affronta con i metodi basati sull’ipotesi della plasticità

addensata , tuttavia è necessario verificare di volta le rotazioni delle cerniere. Nel

caso di profilati di classe III e IV le instabilità premature vanificano l’analisi

limite, cosicché il collasso avviene alla formazione della prima cerniera, cioè il

calcolo avviene in campo elastico.

Per quanto riguarda le imperfezioni, generalmente si tiene conto, in sede di analisi

strutturale, dei soli difetti costruttivi. Delle imperfezioni nelle aste e delle

autotensioni si tiene conto in sede di verifica locale.