STRUTTURE ISOSTATICHE REAZIONI VINCOLARI ED AZIONI …7 Calcolo di alcuni valori per il tracciamento dei diagrammi delle azioni interne. )T 35 =−72.17 N T80 )=242.83 N Il taglio

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ESERCIZI SVOLTI O CON TRACCIA DI SOLUZIONE SU

STRUTTURE ISOSTATICHE

REAZIONI VINCOLARI ED AZIONI INTERNE

v 1.0

2

I PROVA DI VALUTAZIONE 15 Novembre 2006 - Esercizio 2

Data la struttura di figura, ricavare le equazioni delle azioni interne (M, N, T) e tracciare i relativi diagrammi.

110

Struttura isostatica (GdL=6; GdV=6), non labile.

CALCOLO DELLE REAZIONI VINCOLARI

Le azioni interne nella struttura verranno calcolate secondo le convenzioni indicate nella figura

precedente, per cui l’unica reazione vincolare a terra da calcolare è la reazione del carrello RF. Per

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ricavare la reazione RF è sufficiente scrivere l’equazione di equilibrio alla rotazione dell’asta DF con

polo in D.

↻�) −R� ∙ 30 + 30) + 5000 = 0

Si ottiene:

R� = 83.33 N

CALCOLO DELLE AZIONI INTERNE

0 ≤ x1 < 30

N = 0

T + 83.33 = 0

T = −83.33 N

M − 83.33 ∙ x� = 0

M = 83.33 ∙ x�

Calcolo di alcuni valori per il tracciamento dei diagrammi delle azioni interne.

Il momento è lineare, per cui è sufficiente calcolarne il valore agli estremi dell’intervallo.

M0) = 0 M30) = 2500 Nmm

30 ≤ x1 < 60

4

N = 0

T + 83.33 = 0

T = −83.33 N

M − 83.33 ∙ x� + 5000 = 0

M = 83.33 ∙ x� − 5000



M30) = −2500 Nmm M60) = 0

5

Per continuare lo studio della struttura secondo le convenzioni scelte, è necessario ora aprire la cerniera

in D e calcolare le reazioni RDx e RDy interne a tale cerniera.

Tali reazioni si possono calcolare tramite le equazioni di equilibrio alla traslazione in direzione

orizzontale per l’asta FD.

→) R�� − 83.33 ∙ sen 30° = 0

↑) −R� + 83.33 ∙ cos 30° = 0

Si ottiene:

R�� = 41.67 N R� = 72.17 N

0 ≤ x2 < 35

N + 41.67 = 0

N = −41.67 N

6

T + 72.17 = 0

T = −72.17 N

M − 72.17 ∙ x& = 0

M = 72.17 ∙ x&



M0) = 0 M35) = 2526 Nmm

35 ≤ x2 < 80

N + 41.67 = 0

N = −41.67 N

T + 72.17 − 7 ∙ x& − 35) = 0

T = −72.17 + 7 ∙ x& − 35)

M − 72.17 ∙ x& + 7 ∙ x& − 35)&

2 = 0

M = 72.17 ∙ x&−3.5 ∙ x& − 35)&

7


T35) = −72.17 N T80) = 242.83 N

Il taglio assume valore nullo per x' = 45.31 mm, per cui il momento ha un punto di stazionarietà

(massimo/minimo) in tale punto.

Il valore del momento agli estremi del tratto è il seguente:

M35) = 2526 Nmm M80) = −1314 Nmm

Il valore massimo del momento è invece il seguente:

M45.31) = 2898 Nmm

0 ≤ x3 < 110

x 3

N + 7 ∙ 45 ∙ sen 55° + 41.67 ∙ cos 55° − 72.17 ∙ sen 55° = 0

N = −222.82 N

T − 7 ∙ 45 ∙ cos 55° + 41.67 ∙ sen 55° + 72.17 ∙ cos 55° = 0

T = 105.15 N

M + 7 ∙ 45) ∙ )452 +x' ∙ cos 55°* − 41.67 ∙ x' ∙ sen 55°) − 72.17 ∙ 45 + 35 + x' ∙ cos 55°) = 0

M = −1314 − 105.15 ∙ x'



M0) = −1314 Nmm M110) = 12880.5 Nmm

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DIAGRAMMI DELLE AZIONI INTERNE (N, T, M) NELLA STRUTTURA

N

-

-

41.67 N

222.82 N

M

1314 Nmm

45.31 mm

35 mm

12880.5 Nmm

2526 Nmm

1314 Nmm

2898 Nmm

2500 Nmm

2500 Nmm

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Su tali diagrammi si possono fare alcune osservazioni:

- il momento nella cerniera interna D e nel carrello a terra F è nullo;

- il diagramma dei momenti è sempre continuo, e nel punto E, dove è applicata una coppia, è presente

un salto pari al valore della coppia stessa;

- nel tratto CB il momento è parabolico, il taglio varia linearmente ed il momento ha un

massimo/minimo nel punto in cui il taglio è nullo;

- nei tratti FE, ED, DC e BA il momento varia linearmente ed il taglio è costante;

Tutte queste osservazioni indicano come i diagrammi delle azioni interne siano coerenti con lo schema

statico della struttura originaria.

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Data la struttura di figura, ricavare le equazioni delle azioni interne (M, N, T) e tracciare i relativi

diagrammi.


CALCOLI PRELIMINARI

Lunghezza tratti AB e CD.

AB = -100& + 200 − 90 − 35)& = 125 mm CD = -100& + 35& = 105.95 mm

Angoli α e β.

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α = arctg )10075 * = 53.13° β = arctg )100

35 * = 70.71°

senα) = 0.8 cosα) = 0.6 senβ) = 0.94386 cosβ) = 0.33035


Equilibrio alla rotazione di tutta la struttura rispetto al punto A.

↻6) −R� ∙ 200 + 5 ∙ 125&

2 − 3 ∙ 90 ∙ )75 + 902 * = 0

Si ottiene:

R� = 33.3 N

Equilibrio alla traslazione orizzontale di tutta la struttura.

→) R6� + 5 ∙ 125 ∙ sen 53.13° = 0

Si ottiene:

R6� = −500 N

12

Equilibrio alla traslazione verticale di tutta la struttura.

↑) R6 + R� + 3 ∙ 90 − 125 ∙ 5 ∙ cos 53.13° = 0

Si ottiene:

R6 = 71.7 N

Essendo la struttura di tipo ad anello chiuso, è necessario aprire la struttura per procedere al calcolo

delle azioni interne. Essendo l’asta AD una biella scarica, è conveniente aprire la struttura sezionando

l’asta AD immediatamente prima della cerniera D e procedere per il calcolo delle azioni interne

secondo le convenzioni indicate nella figura seguente, dopo aver calcolato le reazioni interne necessarie

(forza RAD).

5 N

/mm

Equilibrio alla rotazione dell’asta DB con polo in B per il calcolo della reazione interna RAD.

↻7) −R6� ∙ 100 − 33.3 ∙ 90 ∙90 + 35) − 3 ∙ 90&

2 = 0

Si ottiene:

R6� = −163.1 N

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0 ≤ x4 ≤ 200

Quest’asta è una biella scarica, per cui è presente solo azione normale.

N − 163.1 = 0

N = 163.1 N

8 = T = 0

0 ≤ x1 ≤ 105.95

N + 33.3 ∙ sen 70.71° + 163.1 ∙ cos 70.71° = 0

N = −85.31 N

T + 33.3 ∙ cos 70.71° − 163.1 ∙ sen 70.71° = 0

T = 143 N

M − 33.3 ∙ cos 70.71° ∙ x� + 163.1 ∙ sen 70.71° ∙ x� = 0

M = −143 ∙ x�

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Calcolo di alcuni valori per il tracciamento dei diagrammi delle azioni interne. Di seguito, i valori del

momento agli estremi dell’intervallo.

M0) = 0 M115.95) = −15150.85 Nmm

0 ≤ x2 ≤ 90

N + 163.1 = 0

N = −163.1 N

T + 33.3 + 3 ∙ x& = 0

T = −3 ∙ x& − 33.3

M − 33.3 ∙ x& + 35) + 163.1 ∙ 100 − 3 ∙ x&&

2 = 0

M = 1.5 ∙ x&& + 33.3 ∙ x& − 15147.15

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T0) = −33.3 N T90) = −303.3 N

Il taglio non assume valore nullo nell’ambito del tratto in questione, per cui il momento non ha un

punto di stazionarietà (massimo/minimo).

E’ sufficiente quindi calcolare il valore del momento agli estremi del tratto.

M0) = −15147.15 M90) = 0

0 ≤ x3 ≤ 125

A

5 N

/mm

71.7 N

500 N

163.1 N

x4

NM

T

53.13°

Reazioni

vincolari Forza che l’asta AD

esercita sulla cerniera A

x 4

N − 500 ∙ cos 53.13° + 71.7 ∙ sen 53.13° + 163.1 ∙ cos 53.13° = 0

N = 144.78 N

T − 500 ∙ sen 53.13° − 71.7 ∙ cos 53.13° + 163.1 ∙ sen 53.13° + 5 ∙ x' = 0

T = 312.5 − 5 ∙ x'

M − 500 ∙ sen 53.13° ∙ x' − 71.7 ∙ cos 53.13° ∙ x' + 163.1 ∙ sen 53.13° ∙ x' + 5 ∙ x'&

2 = 0

M = 312.5 ∙ x' − 2.5 ∙ x'&

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T0) = 312.5N T125) = −312.5 N

Il taglio assume valore nullo per x' = 62.5, per cui il momento ha un punto di stazionarietà

(massimo/minimo) in tale punto.

Il valore del momento agli estremi del tratto è il seguente:

M0) = 0 M125) = 0

Il valore massimo del momento è invece il seguente:

M62.5) = 9765.63 Nmm

17


CB

AD

N-

163.1 N

+

163.1 N

85.31 N -

144.78 N

+

C

B

AD

-

303.3 N +

85.31 N

-

312.5 N

+

T312.5 N

33.3 N

143 N

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- il momento nelle cerniere A, B e D è nullo;

- il diagramma dei momenti è privo di salti, non essendoci coppie applicate;

- nel tratto DC il momento varia linearmente ed il taglio, che è la derivata del momento, è costante;

- l’asta DA è una biella scarica, per cui non presenta né taglio né momento;

- nel tratto AB il momento è parabolico, il taglio varia linearmente ed il momento ha un

massimo/minimo nel punto in cui il taglio è nullo;

- nel tratto CB il momento è parabolico, il taglio varia linearmente ed il momento non ha un punto di

massimo/minimo.




SVOLGIMENTO


40°

C

B

60°

c

A

D

a

E

d

b

160 N


CALCOLI PRELIMINARI

AB = 55 + 80sen 60° = 155.9 mm BC = 90sen 60° = 103.9 mm AC = AB + BC = 259.8 mm CD = 90sen 40° = 140.0 mm DE = 55sen 40° = 85.6 mm CE = CD + DE = 225.6 mm a = 90 + 55 + 80tg 60° = 129.9 mm b = 90 + 55tg 40° = 172.8 mm

c = 55 + 80tg 60° = 77.9 mm d = 55tg 40° = 65.6 mm BD = a + b − (c + d) = 159.2 mm

20

c = 55 + 80tg 60° = 77.9 mm d = 55

tg 40° = 65.6 mm BD = a + b − c + d) = 159.2 mm


C

B

A

D2 N

/mm

E

160 N

RAy

RAx

REx

Equilibrio alla traslazione verticale di tutta la struttura.

↑) R6 − 2 ∙ 259.8 ∙ cos 60° − 160 = 0

Si ottiene:

R6 = 419.8 N

Equilibrio alla rotazione di tutta la struttura rispetto al punto A.

↻6) −R<� ∙ 80 + 2 ∙ 259.8&

2 + 160 ∙ 129.9 + 172.8 − 65.6) = 0

Si ottiene:

R� = 1317.9 N

Equilibrio alla traslazione orizzontale di tutta la struttura.

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→) R6� + 2 ∙ 259.8 ∙ sen 60°−R<� = 0

Si ottiene:

R6� = 867.9 N

E’ ora necessario aprire la struttura per procedere al calcolo delle reazioni interne necessarie per il

calcolo delle azioni interne. Essendo l’asta BD una biella scarica, è conveniente aprire la struttura nel

punto D e procedere per il calcolo delle azioni interne secondo le convenzioni indicate nella figura

seguente, dopo aver calcolato le reazioni interne necessarie.

2 N

/mm

Equilibrio alla rotazione dell’asta EC con polo in C per il calcolo della reazione interna RBD.

↻=) −R7� ∙ 90 − 1317.9 ∙ 90 + 55) + 160 ∙ 172.8 − 65.6) = 0

Si ottiene:

R7� = 2313.9 N

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0 ≤ x1 < 155.9

N + 867.9 ∙ cos 60° + 419.8 ∙ sen 60° = 0

N = −797.5 N

T + 867.9 ∙ sen 60° − 419.8 ∙ cos 60° + 2 ∙ x� = 0

T = −541.7 − 2 ∙ x�

M + 867.9 ∙ sen 60° ∙ x� − 419.8 ∙ cos 60° ∙ x� + 2 ∙ x�&

2 = 0

M = −541.7 ∙ x� − x�&


T0) = −541.7 N T155.9) = −853.5 N


punto di stazionarietà (massimo/minimo). E’ sufficiente quindi calcolare il valore del momento agli

estremi del tratto, sapendo che avrà andamento parabolico.

M0) = 0 M155.9) = −108756 Nmm

155.9 ≤ x1 < 259.8

2 N/mm

N + 867.9 ∙ cos 60° + 419.8 ∙ sen 60° − 2313.9 ∙ cos 60° = 0 N = 359.4 N T + 867.9 ∙ sen 60° − 419.8 ∙ cos 60° + 2 ∙ x − 2313.9 ∙ sen 60° = 0 T = −1412.2 − 2 ∙ x M + 867.9 ∙ sen 60° ∙ x − 419.8 ∙ cos 60° ∙ x + 2 ∙ x 2 − 2313.9 ∙ sen 60° ∙ (x − 155.9) = 0 M = −312407 + 1462.1 ∙ x − x Calcolo di alcuni valori per il tracciamento dei diagrammi delle azioni interne. T(155.9) = 1150.4 N T(259.8) = 942.6 N

Il taglio non assume valore nullo nell’ambito del tratto in questione, per cui il momento non ha un punto di massimo. E’ sufficiente quindi calcolare il valore del momento agli estremi del tratto, sapendo che avrà andamento parabolico. M(155.9) = −108756 Nmm M(259.8) = 0

23

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punto di stazionarietà (massimo/minimo). E’ sufficiente quindi calcolare il valore del momento agli

estremi del tratto, sapendo che avrà andamento parabolico.

M155.9) = −108756 Nmm M259.8) = 0

0 ≤ x2 < 85.6

N + 1317.9 ∙ cos 40° = 0

N = −1009.6 N

T − 1317.9 ∙ sen 40° = 0

T = 847.1 N

M + 1317.9 ∙ sen 40° ∙ x& = 0

M = −847.1 ∙ x&



M0) = 0 M85.6) = −72512 Nmm

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85.6 ≤ x2 < 225.6

N + 1317.9 ∙ cos 40° − 160 ∙ sen 40° − 2313.9 ∙ cos 40° = 0

N = +865.8 N

T − 1317.9 ∙ sen 40° − 160 ∙ cos 40° + 2313.9 ∙ sen 40° = 0

T = −517.7 N

M + 1317.9 ∙ sen 40° ∙ x& + 160 ∙ cos 40° ∙ x& − 85.6) − 2313.9 ∙ sen 40° ∙ x& − 85.6) = 0

M = 517.7 ∙ x& − 116825



M85.6) = −72510 M225.6) = 0

0 ≤ x3 ≤ 159.2

Quest’asta è una biella scarica, per cui è presente solo azione normale.

N + 2313.9 = 0

N = −2313.9 N

8 = T = 0

26


27


- il momento nelle cerniere A, C ed E è nullo;

- il diagramma dei momenti è sempre continuo, non essendoci coppie applicate;

- nei tratti ED e DC il momento varia linearmente ed il taglio è costante;

- l’asta DB è una biella scarica, per cui non presenta né taglio né momento;

- nei tratti AB e BC il momento è parabolico ed il taglio varia linearmente.

- nei punti B e D si ha un salto nel diagramma del taglio pari al valore delle rispettive componenti

perpendicolari all’asta della reazione proveniente dalla biella scarica. Analogamente si ha un salto nel

diagramma dell’azione normale pari al valore delle rispettive componenti parallele all’asta della

reazione proveniente dalla biella scarica.



28


Data la struttura di figura, ricavare le equazioni delle azioni interne (M, N, T) e tracciare i relativi

diagrammi.


CALCOLI PRELIMINARI

Lunghezza tratto CD.

CD = -180& + 240& = 300 mm

Angolo α.

29

α = arctg )180240* = 36.87° cosα) = 0.8 senα) = 0.6


12

N/m

m

Osservando che l’asta CD è una biella scarica, è conveniente aprire la struttura nel modo indicato,

ricavare direttamente la reazione interna RCD e procedere al calcolo delle azioni interne secondo le

convenzioni indicate. In questo modo non è necessario calcolare le reazioni dei vincoli a terra.

Per ricavare la reazione interna RCD è sufficiente scrivere l’equazione di equilibrio alla traslazione

orizzontale per la sola asta DF.

→) R=� ∙ cos 36.87° − 12 ∙ 220 = 0

Si ottiene:

R6� = 3300 N

30


0 ≤ x2 < 300

Essendo una biella scarica, su quest’asta sarà presente solo azione normale.

N + 3300 = 0 N = −3300 N

M = T = 0

0 ≤ x1 < 220

N − 3300 ∙ sen 36.87° = 0

N = 1980 N

T + 3300 ∙ cos 36.87° − 12 ∙ x� = 0

T = 12 ∙ x� − 2640

31

M + 3300 ∙ cos 36.87° ∙ x� − 12 ∙ x�&

2 = 0

M = 6 ∙ x�& − 2640 ∙ x�


T0) = −2640 N T220) = 0

Il taglio assume valore nullo per x� = 220 mm, ovvero nel secondo estremo del tratto in questione, per

cui il momento ha un punto di stazionarietà (massimo/minimo) in tale punto.

E’ sufficiente quindi calcolare il valore del momento agli estremi del tratto, sapendo che avrà

andamento parabolico.

M0) = 0 M220) = −290400 Nmm

220 ≤ x1 < 290

N − 3300 ∙ sen 36.87° = 0

N = 1980 N

32

T + 3300 ∙ cos 36.87° − 12 ∙ 220 = 0

T = 0

M + 3300 ∙ cos 36.87° ∙ x� − 12 ∙ 220 ∙ )x� − 2202 * = 0

M = −290400 Nmm

In questo tratto tutte le azioni interne hanno valore costante.

0 ≤ x3 < 200

N + 3300 ∙ cos 36.87° = 0

N = −2640 N

T + 3300 ∙ sen 36.87° − 100 = 0

T = −1880 N

M + 100 ∙ x' − 3300 ∙ sen 36.87° ∙ x' = 0

M = 1880 ∙ x'


M0) = 0 M200) = 376000 Nmm

33

200 ≤ x3 < 300

N + 3300 ∙ cos 36.87° = 0

N = −2640 N

T + 3300 ∙ sen 36.87° − 100 − 250 = 0

T = −1630 N

M − 3300 ∙ sen 36.87° ∙ x' + 100 ∙ x' + 250 ∙ x' − 200) = 0

M = 1630 ∙ x' + 50000


M200) = 376000 Nmm M300) = 539000 Nmm

34


N

+

-

2640 N

-

-

3300 N

+

1980 N

100 mm

70 m

m

35


- l’asta CD è una biella scarica, per cui non presenta né taglio né momento;

- il momento nelle cerniere C e D è nullo;

- nei punti A ed F, essendoci rispettivamente un incastro ed un pattino, è possibile che il valore del

momento sia diverso da zero.

- il diagramma dei momenti è sempre continuo, non essendoci coppie applicate;

- nei tratti AB e BC il momento varia linearmente ed il taglio è costante;

- nel tratto DE il momento è parabolico ed il taglio varia linearmente.

- nel tratto EF il momento è costante ed il taglio è nullo.

- nel punto B si ha un salto nel diagramma del taglio pari al valore della forza applicata.



36




CALCOLI PRELIMINARI

DE = 80cos 20° = 85.1 mm EF = 120cos 20° = 127.7 mm DF = DE + EF = 212.8 mm

37


Equilibrio alla rotazione dell’asta AC rispetto alla cerniera C. ↻ ) −R ∙ (90 + 60) ∙ cos 35° − 200 ∙ 60 = 0 Si ottiene: R = −97.7 N Conviene ora procedere aprendo la struttura nella cerniera C e calcolando le reazioni interne a tale cerniera.

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Equilibrio alla traslazione orizzontale dell’asta AC. →) − R + 200 ∙ sen 35° = 0 Si ottiene: R = 114.7 N Equilibrio alla traslazione verticale dell’asta AC. ↑) R − 97.7 + 200 ∙ cos 35° = 0 Si ottiene: R = −66.2 N

Le reazioni vincolari trovate sono quelle necessarie per il calcolo delle azioni interne secondo le convenzioni indicate nella figura seguente.

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0 ≤ x1 < 90

N − 97.7 ∙ sen 35° = 0 N = 56 N T − 97.7 ∙ cos 35° = 0 T = 80 N M + 97.7 ∙ cos 35° ∙ x = 0 M = −80 ∙ x Calcolo di alcuni valori per il tracciamento dei diagrammi delle azioni interne. M(0) = 0 M(90) = −7200 Nmm

90 ≤ x1 < 150

N − 97.7 ∙ sen 35° = 0 N = 56 N T − 97.7 ∙ cos 35° + 200 = 0 T = −120 N M + 97.7 ∙ cos 35° ∙ x − 200 ∙ (x − 90) = 0 M = 120 ∙ x − 18000 Calcolo di alcuni valori per il tracciamento dei diagrammi delle azioni interne. M(90) = −7200 Nmm M(150) = 0

40

0 ≤ x2 < 70

N + 66.2 = 0 N = −66.2 N T + 114.7 = 0 T = −114.7 N M + 114.7 ∙ x = 0 M = −114.7 ∙ x Calcolo di alcuni valori per il tracciamento dei diagrammi delle azioni interne. M(0) = 0 M(70) = −8029 Nmm

0 ≤ x3 < 85.1

41

Per calcolare le azioni interne in questo tratto, si proiettano tutte le forze presenti in direzione parallela e perpendicolare al tratto DF. Si ha: 66.2 ∙ sen 20° + 114.7 ∙ cos 20° = 130.4 N 66.2 ∙ cos 20° − 114.7 ∙ sen 20° = 23.0 N Si possono determinare ora le equazioni delle azioni interne. N + 130.4 = 0 N = −130.4 N T − 23 = 0 T = 23 N M + 130.4 ∙ 70 ∙ cos 20° − 23 ∙ (x + 70 ∙ sen 20°) = 0 M = 23 ∙ x − 8029 Calcolo di alcuni valori per il tracciamento dei diagrammi delle azioni interne. M(0) = −8029 Nmm M(85.1) = −6072 Nmm

85.1 ≤ x3 < 212.8

42

N + 130.4 = 0 N = −130.4 N T − 23 + 3 ∙ (x − 85.1) = 0 T = −3 ∙ x + 278.3 M + 130.4 ∙ 70 ∙ cos 20° − 23 ∙ (x + 70 ∙ sen 20°) + 32 ∙ (x − 85.1) = 0 M = −1.5 ∙ x + 278.3 ∙ x − 18892 Calcolo di alcuni valori per il tracciamento dei diagrammi delle azioni interne. T(85.1) = 23 N T(212.8) = −360.1 N Il taglio assume valore nullo per x = 92.8 mm, per cui il momento ha un punto di stazionarietà (massimo/minimo) in tale punto. Calcolando il valore del momento agli estremi del tratto e nel punto di stazionarietà si ottiene: M(85.1) = −6072 Nmm M(92.8) = −5984 Nmm M(212.8) = −27596


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Su tali diagrammi si possono fare alcune osservazioni: - il momento nel carrello A e nella cerniera C è nullo; - il diagramma dei momenti è sempre continuo, non essendoci coppie applicate; - nei tratti AC, CD e DE il momento varia linearmente ed il taglio è costante; - nel tratto EF il momento è parabolico ed il taglio varia linearmente. - nel punto B si ha un salto nel diagramma del taglio pari al valore della forza applicata in tale punto (200 N). - il taglio ha valore nullo per x = 92.8 mm, per cui il momento ha un punto di stazionarietà (massimo/minimo) in tale punto. Tutte queste osservazioni indicano come i diagrammi delle azioni interne siano coerenti con lo schema statico della struttura originaria.

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CALCOLI PRELIMINARI

DE = 30sen 65° = 33.1 mm EF = 80sen 65° = 88.3 mm DF = DE + EF = 121.4 mm

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Essendo l’asta AB una biella scarica, sicuramente trasmetterà alla cerniera B solamente una reazione RBy diretta come la congiungente le cerniere A e B. Conviene allora aprire la struttura nella cerniera interna B, come evidenziato in figura, e studiare l’equilibrio della parte BF. Equilibrio alla traslazione orizzontale asta BF. →) − R ∙ cos 65° + 3 ∙ 88.3 ∙ sen 65° = 0 Si ottiene: R = 567.9 N Equilibrio alla traslazione verticale asta BF. ↑) − R ∙ sen 65° − 3 ∙ 88.3 ∙ cos 65° +R = 0

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Si ottiene: R = 626.6 N Equilibrio alla rotazione asta BF rispetto al punto D. ↻ ) – M −22000 + R ∙ 100 + 3 ∙ 88.3 ∙∙ 70sen 65° = 0

Si ottiene: M = 61113 Nmm Nella figura a sinistra in basso sono riportate le convenzioni che verranno utilizzate per il calcolo delle azioni interne e le reazioni vincolari utili a tale scopo, con i loro valori e versi.


0 ≤ x1 < 90

N + 626.6 = 0 N = −626.6 N

0 ≤ x2 < 40

x2

NMT

x2

626.6 N

B

N = 0 T − 626.6 = 0 T = 626.6 N M − 626.6 ∙ x = 0 M = 626.6 ∙ x Calcolo di alcuni valori per il tracciamento dei diagrammi delle azioni interne. M(0) = 0 M(40) = 25064 Nmm

40 ≤ x2 < 100

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N = 0

T − 626.6 = 0 T = 626.6 N M − 626.6 ∙ x + 22000 = 0 M = 626.6 ∙ x − 22000 Calcolo di alcuni valori per il tracciamento dei diagrammi delle azioni interne. M(40) = 3064 Nmm M(100) = 40660 Nmm

0 ≤ x3 < 88.3

N + 567.9 = 0 N = −567.9 N T − 3 ∙ x = 0 T = 3 ∙ x N M − 61113 + 3 ∙ x 2 = 0

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M = −1.5 ∙ x + 61113 Calcolo di alcuni valori per il tracciamento dei diagrammi delle azioni interne. T(0) = 0 N T(88.3) = 264.9 N Il taglio assume valore nullo per x = 0 mm, ovvero in corrispondenza del pattino, per cui il momento ha un punto di stazionarietà (massimo/minimo) in tale punto. Calcolando il valore del momento agli estremi del tratto e nel punto di stazionarietà si ottiene: M(0) = 61113 Nmm M(88.3) = 49418 Nmm

88.3 ≤ x3 < 121.4

N + 567.9 = 0 N = −567.9 N T − 3 ∙ 88.3 = 0 T = 264.9 N

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M − 61113 + 3 ∙ 88.3 ∙ x − 88.32 = 0 M = −264.9 ∙ x + 72809 Calcolo di alcuni valori per il tracciamento dei diagrammi delle azioni interne. M(88.3) = 49418 Nmm M(121.4) = 40660 Nmm


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Su tali diagrammi si possono fare alcune osservazioni: - il momento nelle cerniere A e B è nullo; - il diagramma dei momenti è sempre continuo tranne che nel punto C, dove è applicata una coppia. In tale punto il diagramma presenta un salto pari al valore della coppia applicata (22000 Nmm); - nell’asta AB, che è una biella scarica, è presente solo azione normale; - nei tratti BC, CD e DE il momento varia linearmente ed il taglio è costante; - nel tratto EF il momento è parabolico ed il taglio varia linearmente; - in F (pattino), essendo il valore del taglio nullo, il momento presenta un punto di stazionarietà (massimo o minimo). Tutte queste osservazioni indicano come i diagrammi delle azioni interne siano coerenti con lo schema statico della struttura originaria.

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STRUTTURE ISOSTATICHE REAZIONI VINCOLARI ED AZIONI …7 Calcolo di alcuni valori per il tracciamento dei diagrammi delle azioni interne. )T 35 =−72.17 N T80 )=242.83 N Il taglio