Studiju kurss Veselo skaitl¸u teorija 4.lekcija...1 DAUGAVPILS UNIVERSITATE¯ Dabaszin¯atnu¸ un matem¯atikas fakult¯ate Matem¯atikas katedra Studiju kurss Veselo skaitl¸u teorija

1

DAUGAVPILS UNIVERSITATEDabaszinatnu un matematikas fakultate

Matematikas katedra

Studiju kurss

Veselo skaitlu teorija

4.lekcijaDocetajs: Dr. P. Daugulis

2009./2010.studiju gads

Saturs Sakums Beigas J I Atpakal Aizvert Pilns ekrans

2

Saturs

1. Atlikumu klasu gredzens 41.1. Salıdzinamıbas mod m ekvivalences klases . . . . . . . 41.2. Operacijas ar atlikumu klasem . . . . . . . . . . . . . 61.3. Atlikumu klasu operaciju ıpasıbas . . . . . . . . . . . . 7

2. Modularas aritmetikas pielietojumi 132.1. Aritmetisko operaciju parbaude . . . . . . . . . . . . . 132.2. Pozicionalais pieraksts . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.2.1. Teorija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.2.2. Parveidosanas algoritmi . . . . . . . . . . . . . 18

2.3. Dalamıbas pazımes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.3.1. Pamatideja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.3.2. Dalamıba ar 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.3.3. Dalamıba ar 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3. 4.majasdarbs 253.1. Obligatie uzdevumi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25


3

3.2. Paaugstinatas grutıbas un petnieciska rakstura uzdevumi 26

Lekcijas merkis:• apgut modularas aritmetikas pamatus,• apgut svarıgakos modularas aritmetikas pielietojumus.

Lekcijas kopsavilkums:• atlikumu klasu kopas var definet operacijas un petıt to ıpasıbas,

kas seko no veselo skaitlu ıpasıbam,• atlikumu operacijas var tikt izmantotas dazados veidos.

Svarıgakie jedzieni: atlikumu klase mod m, pilna un kanoniskaatlikumu klasu parstavju kopa, redukcija mod m, operacijas ar atli-kumu klasem, multiplikatıvi invertejama atlikumu klase, Eilera fun-kcija ϕ, pozicionalais pieraksts, dalamıbas pazımes.

Svarıgakie fakti un metodes: atlikumu klasu operaciju ıpasıbas,aritmetisko operaciju parbaude, pozicionalo pierakstu parveidosanasalgoritmi.


4

1. Atlikumu klasu gredzens

1.1. Salıdzinamıbas mod m ekvivalences klases

Salıdzinamıbas attiecıbai atbilstosa veselo skaitlu kopas sadalıjumaapakskopas vai klases sauc par atlikumu klasem mod m. Katra atli-kumu klase ir visi veselie skaitli, kas dalıjuma ar m dod vienu un topasu atlikumu.

1.1. piemers. m = 2, Z = C0

⋃C1, kur

C0 ir 0 klase - para skaitli, 2k,C1 ir 1 klase - nepara skaitli, 2k + 1.

m = 3, Z = C0

⋃C1

⋃C2, kur

C0 ir 0 klase - skaitli forma 3k,C1 ir 1 klase - skaitli forma 3k + 1,C2 ir 2 klase - skaitli forma 3k + 2.

1.1. teorema. Atlikumu klasu skaits mod m ir vienads ar |m|.Saturs Sakums Beigas J I Atpakal Aizvert Pilns ekrans

5

PIERADIJUMS Atlikums dalot ar m var but vesels skaitlis robezasno 0 lıdz |m| − 1, tatad klasu skaits ir |m|.¥

Jebkuru kopas Z apakskopu, kas satur tiesi vienu elementu nokatras atlikumu klases, sauksim par pilnu atlikumu klasu parstavjukopu (PAK).

Par kanonisko klasu parstavju kopu sauksim kopu

{0, 1, ..., |m| − 1}.Ja m ir nepara skaitlis, tad var izmantot arı atlikumu klasu par-

stavju kopu, kas ir simetriska attiecıba uz 0:

{−|m| − 12

, ...− 1, 0, 1, ...,|m| − 1

2}, ja m ir nepara skaitlis.

Skaitla r atlikuma klasi mod m, biezi apzıme ka mZ+ r.


6

Atlikumu klasu sadalıjums (faktorkopa) mod m, kuru apzıme kaZ/mZ vai Zm define sirjektıvu funkciju - dabisko projekciju

πm : Z→ Zm,

kas katram skaitlim piekarto to atlikumu klasi, kurai tas pieder.

Skaitlim n atlikumu klasi πm(n) = n = [n] sauksim par n redukcijumod m. Stradajot ar atlikumu klasem parasti ekonomijas noluka [n]raksta ka n.

1.2. Operacijas ar atlikumu klasem

Fiksesim skaitli m. Par divu atlikumu klasu mod m C un Dsummu C + D, sauksim klasi πm(a + b), kur a ∈ C un b ∈ D.

Par divu atlikumu klasu C un D reizinajumu CD, sauksim klasiπm(ab), kur a ∈ C un b ∈ D.

1.2. piemers. [2] + [3] = [5] = [0](mod 5),[2] · [3] = [6] = [1](mod 5).


7

1.3. Atlikumu klasu operaciju ıpasıbas

1.2. teorema. (atlikumu operaciju pamatıpasıbas)1. Atlikuma klasu operacijas ir definetas korekti - nav atkarıgas no

parstavju izveles.

2. π(a + b) = π(a) + π(b).

3. π(ab) = π(a)π(b).

4. C + C ′ = C ′ + C.

5. CC ′ = C ′C.

6. (C + C ′) + C ′′ = C + (C ′ + C ′′).

7. (CC ′)C ′′ = C(C ′C ′′).

8. C(C ′ + C ′′) = CC ′ + CC ′′.

9. [0] + C = C + [0] = C.

10. [1] · C = C.

PIERADIJUMS


8

1. Pienemsim, ka a ≡ a′(mod m), b ≡ b′(mod m) - a un a′ parstavvienu klasi, b un b′ parstav vienu klasi.{

a ≡ a′(mod m)b ≡ b′(mod m) =⇒ a + b ≡ a′ + b′(mod m).

2., 3. Seko no klasu operaciju definıcijam.

4.-10. Seko no aritmetisko operaciju ıpasıbam. ¥

Atlikumu kopu mod m ar taja uzdotam saskaitısanas un reizina-sanas operacijam sauksim par atlikumu gredzenu mod m (Zm,+, ·).Atlikumu klasu vienadıbu apzımesim ar pierakstu ≡ (mod m).

1.1. piezıme. Par atlikumu klasu kopu var domat ka par veseloskaitlu kopu, kas ir ”uztıta” uz rinka lınijas. Atbilstosi var interpretetoperacijas ar atlikumu klasem.


9

1.3. teorema. Atlikumu gredzena Zm ir speka sadas ıpasıbas:1. ∀ x ∈ Zm ∃ viens un tikai viens y ∈ Zm:

x + y ≡ 0(mod m)

(aditıvi inversa elementa eksistence un viennozımıgums),

2. p ∈ P =⇒(xy ≡ 0(mod p)

)=⇒

(x ≡ 0(mod p) vai y ≡ 0(mod p)

)

(nulles dalıtaju neeksistence),

3. p ∈ P =⇒ ∀ x ∈ Zp, x 6≡ 0(mod p) ∃ viens un tikai viensz ∈ Zp:

xz ≡ 1(mod p),

4. m 6∈ P =⇒ ∃ x, y ∈ Zm:

xy ≡ 0(mod m)x 6≡ 0(mod m)y 6≡ 0(mod m)


10

5. x ir invertejams attiecıba uz reizinasanu mod m (∃ y : xy ≡1(mod m)) ⇐⇒ LKD(x,m) = 1 (multiplikatıvi inversa ele-menta eksistence).

PIERADIJUMS1. ∀ x ∈ Z ∃ y ∈ Z : x + y = m =⇒ [x] + [y] = [0].x + y1 ≡ x + y2 ≡ 0(mod m) =⇒ y1 ≡ y2(mod m).

2. p ∈ P =⇒(p|xy =⇒ p|x vai p|y

). Partulkojot to atli-

kumu klasu terminos: xy ≡ 0(mod p) =⇒(x ≡ 0(mod p) vai y ≡

0(mod p)).

3. p ∈ P =⇒(1 ≤ x ≤ p−1 =⇒ LKD(x, p) = 1

)=⇒ saskana

ar LKD linearas kombinacijas ıpasıbu ∃ a, b ∈ Z : ax + bp = 1 =⇒ax + bp ≡ ax + b · 0 ≡ ax ≡ 1 (mod p).


11

4. m 6∈ P =⇒ ∃ vismaz divi skaitli a > 1 un b > 1 : ab = m =⇒ab ≡ m ≡ 0(mod m).

5. LKD(x, m) = 1 =⇒ ∃ a, b ∈ Z : ax + bm = 1 =⇒ax + bm ≡ ax + b · 0 ≡ ax ≡ 1(mod m).

Ja ∃ y : xy ≡ 1(mod m) =⇒ xy − 1 = mq un xy − mq = 1.Reducejot mod d = LKD(x,m) =⇒ 0 ≡ 1(mod d) =⇒ d = 1. ¥

Par n ∈ N Eilera funkciju ϕ(n) sauksim tadu x ∈ Z skaitu, kuriemizpildas nosacıjumi

• 0 ≤ x < n,

• LKD(x, n) = 1.

1.2. piezıme. No teoremas seko, ka to atlikuma klasu skaits mod m,kuram eksiste multiplikatıvi inversais elements, ir vienads ar ϕ(m).Sadas atlikumu klases sauksim par invertejamam mod m.


12

Jebkuru sadu klasu parstavju kopu sauksim par reducetu atlikumuklasu kopu mod m. Kopas Zm multiplikatıvi invertejamo elementukopu apzımesim ar (Zm)× vai Um.

1.3. piemers. ϕ(p) = p − 1, jo visi skaitli kopa {1, ..., p − 1} ir sav-starpeji pirmskaitli ar p un LKD(0, p) = p.

ϕ(4) = |{1, 3}| = 2.3−1 ≡ 3.ϕ(6) = |{1, 5}| = 2.5−1 ≡ 5.ϕ(8) = |{1, 3, 5, 7}| = 4.3−1 ≡ 3. 5−1 ≡ 5. 7−1 ≡ 7.ϕ(9) = |{1, 2, 4, 5, 7, 8}| = 6.2−1 ≡ 5. 5−1 ≡ 2. 4−1 ≡ 7. 7−1 ≡ 4. 8−1 ≡ 8.


13

2. Modularas aritmetikas pielietojumi

2.1. Aritmetisko operaciju parbaude

Aritmetisko operaciju rezultatu pareizıbas parbaude var izmantotvienu no modularas aritmetikas ıpasıbam:

a = b =⇒ a ≡ b (mod m)∀m.

Pretejais apgalvojums:

∃m : a 6≡ b (mod m) =⇒ a 6= b.

Parbaudes algoritms:1. Atrodam operacijas rezultatu c = a ? b,

2. Atrodam c′ = a ? b (mod m) un c′′ = c (mod m)),

3. Ja c′ 6= c′′, tad konstatejam kludu.


14

2.2. Pozicionalais pieraksts

2.2.1. Teorija

Senajos laikos cilveki izmantoja primitıvu skaitlu pierakstu, kaspec butıbas ir lıdzıgs svıtrinu vilksanai (nepozicionalas sistemas), pie-meram:

• viena svıtrina (I) - vieninieks vai viens objekts,

• parsvıtrota svıtrina (X) - desmitnieks vai desmit objekti,

• ıpasi simboli (hieroglifiskajas sistemas), kas apzıme 100 u.t.t.

• burti (alfabetiskas sistemas senaja Griekija un Izraela)

Sada pieraksta simbola vietai nav lielas nozımes. Parasti sim-boli tika sakartoti noteikta kartıba, piemeram, lielaka svara simboliatradas pieraksta sakuma.

Problemas - ar sadu pierakstu gruti veikt aritmetiskas operacijas.


15

Butiskas izmainas notika tad, kad cilveki saka pierakstıt skaitlusta, lai simbola atrasanas vietai butu lielaka nozıme - pozicionalajassistemas. Tads pieraksts tika ieviests Indija ap 500 AD. Viduslaikostas tika parnemts Eiropa un tiek izmantots lıdz pat musu dienam.

2.1. teorema. m ∈ N. ∀ n ∈ N ir viennozımıgi izsakams forma

n =k∑

i=0

aimi, kur ak 6= 0, ∀ i : 0 ≤ ai < m.

PIERADIJUMS Aprakstısim algoritmu, ar kura palıdzıbu var at-rast skaitlus ai:

1. Izdalısim n ar m:n = q1m + a0;

2. Izdalısim q1 ar m:q1 = q2m + a1,

ieverosim, ka


16

n = q1m + a0 = (q2m + a1)m + a0 = q2m2 + a1m + a0;

3. Izdalısim q2 ar m:q2 = q3m + a2,

ieverosim, ka

n = q2m2 + a1m + a0 =

(q3m + a2)m2 + a1m + a0 =

q3m3 + a2m

2 + a1m + a0;

... ...Algoritms tiek uzskatıts par pabeigtu, kad kartejais dalıjums ir

vienads ar 0 - pedejais nenulles atlikums ir ak.

Ieverosim, ka algoritma izpilde vienmer apstajas, jo dalıjumu vir-kne q1, q2, ... ir stingri dilstosa.

Algoritma izpildes rezultata iegusim skaitlu virkni (a0, a1, ..., ak),kas apmierina vienadıbu

n = akmk + ak−1mk−1 + ... + a2m

2 + a1m + a0,


17

tatad skaitlu virkne, kas ir deklareta teoremas apgalvojuma, eksiste.

Pieradısim sadas skaitlu virknes (a0, a1, ..., ak) vienıgumu. Pienem-sim, ka eksiste divi izvirzıjumi

n = akmk + ak−1mk−1 + ... + a2m

2 + a1m + a0 =

bkmk + bk−1mk−1 + ... + b2m

2 + b1m + b0

un saksim salıdzinat skaitlus ai un bi sakot no i = 0:1. n ≡ a0 ≡ b0 (mod m) =⇒ a0 = b0.

2. Reducesim n−a0m pec modula m:

n− a0

m= akmk−1 + ... + a2m + a1 ≡ a1 ≡

bkmk−1 + ... + b2m + b1 ≡ b1 (mod m),

tapeca1 = b1,


18

3. Reducesim n−a0−a1mm2 pec modula m:

n− a0 − a1m

m2= akmk−2 + ... + a3m + a2 ≡ a2 ≡

bkmk−2 + ... + b3m + b2 ≡ b2 (mod m),

tapeca2 = b2

¥

2.1. piezıme. Skaitla izvirzıjumu m pakapju linearas kombinacijasveida sauksim par skaitla m-aro pozicionalo pierakstu (vai par m-adisko pierakstu) un apzımesim ar akak−1...a0m vai kada vienkarsakaveida, ja nav riska parprast pierakstu. Pec noklusesanas pienemsimakak−1...a0 = akak−1...a010. Skaitli m sauksim par pieraksta bazi.

2.2.2. Parveidosanas algoritmi

2.2. piezıme. Musdienas cilveki gandrız vienmer strada ar decimalopierakstu (m = 10), arı ciparu skaits ir saskanots ar so m vertıbu.


19

Plasak pielietotie pieraksti datorzinatnes un datortehnologijas -• m = 2 - binarais pieraksts, simbolus 0, 1 sauc par bitiem,

• m = 8 - oktalais pieraksts,

• m = 16 (ar cipariem 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A = 10,B = 11,C =12,D = 13,E = 14,F = 15) - heksadecimalais pieraksts.

Algoritms skaitla n parveidosanai no decimalas sistemas uz m-arosistemu:

1. izdalıt n ar m: n → (q1, a0), kur n = q1m + a0, ja q1 6= 0, tadiet talak;

2. izdalıt q1 ar m: (q1, a0) → (q2, a1), kur q1 = q2m+a1, ja q2 6= 0,tad iet talak;

3. izdalıt q2 ar m: (q2, a1) → (q3, a2), kur q2 = q3m+a2, ja q3 6= 0,tad iet talak;

... izdalıt ...

k+1. Uzrakstıt simbolus pareiza kartıba - akak−1...a0m;


20

k+2. Veikt parbaudi: akmk + ak−1mk−1 + ... + a0

?= n.

2.1. piemers. Parveidosim skaitli 2007 5-araja pieraksta:1. 2007 = 401 · 5 + 2 → a0 = 2, q1 = 401;

2. 401 = 80 · 5 + 1 → a1 = 1, q2 = 80;

3. 80 = 16 · 5 + 0 → a2 = 0, q3 = 16;

4. 16 = 3 · 5 + 1 → a3 = 1, q4 = 3;

5. 3 = 0 · 5 + 3 → a4 = 3, q5 = 0;

6. Pierakstam rezultatu 2007 = 310125;

7. Veicam parbaudi: 3 ·54 +1 ·53 +0 ·52 +1 ·51 +2 = 1875+125+5 + 2 = 2007.


21

Algoritms skaitla n parveidosanai no m-aras sistemas uz decimalosistemu:

1. Ja ir dots skaitlis n = akak−1...a0m, aprekinat decimalaja pie-raksta summu

n = akmk + ak−1mk−1 + ... + a0.

2.2. piemers. Ja skaitlis 7-araja pieraksta ir 36217, tad decimalajapieraksta tas ir 3 · 73 + 6 · 72 + 6 · 71 + 1 = 1338.

Algoritms skaitla n parveidosanai no m1-aras sistemas uz m2-arosistemu:

1. Parveidot skaitli n no m1-ara pieraksta uz decimalo pierakstu,

2. Parveidot skaitli n no decimala pieraksta uz m2-aro pierakstu.

2.3. piemers. Parveidosim skaitli 36217 uz heksadecimalo pierakstu:

36217 → 1338 → 53A16


22

2.3. piezıme. Pozicionalas sistemas plusi:• simbolu ekonomija,• erti veikt aritmetiskas operacijas - algoritmi visiem ir zinami,

tos var visparinat no m = 10 uz jebkuru m vertıbu.

2.3. Dalamıbas pazımes

Dalamıbas ar m pazıme - ıpasıba, kas piemıt m daudzkartnu cipa-riem (parasti 10-araja pieraksta).

Saja sadala pienemam, ka

n = akak−1...a0 = ak · 10k + ... + a1 · 10 + a0.

2.3.1. Pamatideja

n ∈ N. Lai atrastu dalamıbas pazımi ar m, ir lietderıgi izteikt ndecimalaja pieraksta un apskatıt n(mod m):

n = akak−1...a0 = ak · 10k + ... + a1 · 10 + a0(mod m).


23

2.3.2. Dalamıba ar 3

Ta ka 10l ≡ 1 (mod 3), tad

n ≡ ak · 1 + ak−1 · 1 + ... + a0 ≡ ak + ak−1 + ... + a0 (mod 3).

Dalamıbas pazıme ar 3:

3|n ⇐⇒ 3|ak + ak−1 + ... + a0

(ja n ciparu summa dalas ar 3).

2.3.3. Dalamıba ar 11

Ta ka 10 ≡ −1 (mod 11), tad

102j ≡ (−1)2j ≡ 1 (mod 11)

un102j+1 ≡ (−1)2j+1 ≡ −1 (mod 11).

Redzam, ka

n ≡ ak(−1)k + ... + a2 − a1 + a0 (mod 11).


24

Dalamıbas pazıme ar 11:

11|n ⇐⇒ 11|a0 − a1 + a2 + ... + ak(−1)k

(ja n ciparu alternejosa summa dalas ar 11).


25

3. 4.majasdarbs

3.1. Obligatie uzdevumi

4.1 Atrodiet saskaitısanas un reizinasanas tabulas atlikumu klasemmod 7 un 8. Uzradiet visus elementus, kuriem eksiste multipli-katıvi inversie elementi.

4.2 Katram atlikumu gredzenam mod 3, 5, 7, 11, 13 atrodiet visasklases, kuru pakapes veido dota gredzena nenulles elementus (vi-sus a tadus, ka katrs x 6≡ 0(mod p) ir izsakams forma ak(mod p)).

4.3 Skaitli 2008 parveidojiet sados pozicionalajos pierakstos:a) binaraja,b) oktalaja,c) heksadecimalaja,d) ternaraja.

4.4 Atrodiet dalamıbas pazımi ar(a) 18;(b) 7.


26

3.2. Paaugstinatas grutıbas un petnieciska rakstu-ra uzdevumi

4.5 Pieradıt, ka(a) maksimalais naturalais skaitlis, ko var ierakstıt m-araja sis-

tema ar k simboliem ir vienads ar mk+1 − 1,(b) lai skaitli n ierakstıtu m-araja sistema, ir nepieciesami

kn = [logm n] + 1

simboli.


Documents

Studiju kurss Veselo skaitl¸u teorija 4.lekcija...1 DAUGAVPILS UNIVERSITATE¯ Dabaszin¯atnu¸ un matem¯atikas fakult¯ate Matem¯atikas katedra Studiju kurss Veselo skaitl¸u teorija