of 26/26
1 DAUGAVPILS UNIVERSIT ¯ ATE Dabaszin¯at¸ nuunmatem¯atikasfakult¯ate Matem¯atikaskatedra Studiju kurss Veselo skaitl ¸u teorija 4.lekcija Doc¯ et¯ajs: Dr. P. Daugulis 2009./2010.studiju gads Saturs akums Beigas J I Atpakal ¸ Aizv¯ ert Pilns ekr¯ ans

Studiju kurss Veselo skaitl¸u teorija 4.lekcija...1 DAUGAVPILS UNIVERSITATE¯ Dabaszin¯atnu¸ un matem¯atikas fakult¯ate Matem¯atikas katedra Studiju kurss Veselo skaitl¸u teorija

  • View
    2

  • Download
    0

Embed Size (px)

Text of Studiju kurss Veselo skaitl¸u teorija 4.lekcija...1 DAUGAVPILS UNIVERSITATE¯ Dabaszin¯atnu¸ un...

  • 1

    DAUGAVPILS UNIVERSITĀTEDabaszinātņu un matemātikas fakultāte

    Matemātikas katedra

    Studiju kurss

    Veselo skaitļu teorija

    4.lekcijaDocētājs: Dr. P. Daugulis

    2009./2010.studiju gads

    Saturs Sākums Beigas J I Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns

  • 2

    Saturs

    1. Atlikumu klašu gredzens 41.1. Sal̄ıdzināmı̄bas mod m ekvivalences klases . . . . . . . 41.2. Operācijas ar atlikumu klasēm . . . . . . . . . . . . . 61.3. Atlikumu klašu operāciju ı̄paš̄ıbas . . . . . . . . . . . . 7

    2. Modulārās aritmētikas pielietojumi 132.1. Aritmētisko operāciju pārbaude . . . . . . . . . . . . . 132.2. Pozicionālais pieraksts . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

    2.2.1. Teorija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.2.2. Pārveidošanas algoritmi . . . . . . . . . . . . . 18

    2.3. Dalāmı̄bas paz̄ımes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.3.1. Pamatideja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.3.2. Dalāmı̄ba ar 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.3.3. Dalāmı̄ba ar 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

    3. 4.mājasdarbs 253.1. Obligātie uzdevumi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

    Saturs Sākums Beigas J I Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns

  • 3

    3.2. Paaugstinātas grūt̄ıbas un pētnieciska rakstura uzdevumi 26

    Lekcijas mērķis:• apgūt modulārās aritmētikas pamatus,• apgūt svar̄ıgākos modulārās aritmētikas pielietojumus.

    Lekcijas kopsavilkums:• atlikumu klašu kopās var definēt operācijas un pēt̄ıt to ı̄paš̄ıbas,

    kas seko no veselo skaitļu ı̄paš̄ıbām,• atlikumu operācijas var tikt izmantotas dažādos veidos.

    Svar̄ıgākie jēdzieni: atlikumu klase mod m, pilna un kanoniskaatlikumu klašu pārstāvju kopa, redukcija mod m, operācijas ar atli-kumu klasēm, multiplikat̄ıvi invertējama atlikumu klase, Eilera fun-kcija ϕ, pozicionālais pieraksts, dalāmı̄bas paz̄ımes.

    Svar̄ıgākie fakti un metodes: atlikumu klašu operāciju ı̄paš̄ıbas,aritmētisko operāciju pārbaude, pozicionālo pierakstu pārveidošanasalgoritmi.

    Saturs Sākums Beigas J I Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns

  • 4

    1. Atlikumu klašu gredzens

    1.1. Sal̄ıdzināmı̄bas mod m ekvivalences klases

    Sal̄ıdzināmı̄bas attiec̄ıbai atbilstošā veselo skaitļu kopas sadal̄ıjumaapakškopas vai klases sauc par atlikumu klasēm mod m. Katrā atli-kumu klasē ir visi veselie skaitļi, kas dal̄ıjumā ar m dod vienu un topašu atlikumu.

    1.1. piemērs. m = 2, Z = C0⋃

    C1, kurC0 ir 0 klase - pāra skaitļi, 2k,C1 ir 1 klase - nepāra skaitļi, 2k + 1.

    m = 3, Z = C0⋃

    C1⋃

    C2, kurC0 ir 0 klase - skaitļi formā 3k,C1 ir 1 klase - skaitļi formā 3k + 1,C2 ir 2 klase - skaitļi formā 3k + 2.

    1.1. teorēma. Atlikumu klašu skaits mod m ir vienāds ar |m|.Saturs Sākums Beigas J I Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns

  • 5

    PIERĀDĪJUMS Atlikums dalot ar m var būt vesels skaitlis robežāsno 0 l̄ıdz |m| − 1, tātad klašu skaits ir |m|.¥

    Jebkuru kopas Z apakškopu, kas satur tieši vienu elementu nokatras atlikumu klases, sauksim par pilnu atlikumu klašu pārstāvjukopu (PAK).

    Par kanonisko klašu pārstāvju kopu sauksim kopu

    {0, 1, ..., |m| − 1}.Ja m ir nepāra skaitlis, tad var izmantot ar̄ı atlikumu klašu pār-

    stāvju kopu, kas ir simetriska attiec̄ıbā uz 0:

    {−|m| − 12

    , ...− 1, 0, 1, ..., |m| − 12

    }, ja m ir nepāra skaitlis.

    Skaitļa r atlikuma klasi mod m, bieži apz̄ımē kā mZ+ r.

    Saturs Sākums Beigas J I Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns

  • 6

    Atlikumu klašu sadal̄ıjums (faktorkopa) mod m, kuru apz̄ımē kāZ/mZ vai Zm definē sirjekt̄ıvu funkciju - dabisko projekciju

    πm : Z→ Zm,kas katram skaitlim piekārto to atlikumu klasi, kurai tas pieder.

    Skaitlim n atlikumu klasi πm(n) = n = [n] sauksim par n redukcijumod m. Strādājot ar atlikumu klasēm parasti ekonomijas nolūkā [n]raksta kā n.

    1.2. Operācijas ar atlikumu klasēm

    Fiksēsim skaitli m. Par divu atlikumu klašu mod m C un Dsummu C + D, sauksim klasi πm(a + b), kur a ∈ C un b ∈ D.

    Par divu atlikumu klašu C un D reizinājumu CD, sauksim klasiπm(ab), kur a ∈ C un b ∈ D.1.2. piemērs. [2] + [3] = [5] = [0](mod 5),

    [2] · [3] = [6] = [1](mod 5).Saturs Sākums Beigas J I Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns

  • 7

    1.3. Atlikumu klašu operāciju ı̄paš̄ıbas

    1.2. teorēma. (atlikumu operāciju pamat̄ıpaš̄ıbas)1. Atlikuma klašu operācijas ir definētas korekti - nav atkar̄ıgas no

    pārstāvju izvēles.

    2. π(a + b) = π(a) + π(b).

    3. π(ab) = π(a)π(b).

    4. C + C ′ = C ′ + C.

    5. CC ′ = C ′C.

    6. (C + C ′) + C ′′ = C + (C ′ + C ′′).

    7. (CC ′)C ′′ = C(C ′C ′′).

    8. C(C ′ + C ′′) = CC ′ + CC ′′.

    9. [0] + C = C + [0] = C.

    10. [1] · C = C.

    PIERĀDĪJUMS

    Saturs Sākums Beigas J I Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns

  • 8

    1. Pieņemsim, ka a ≡ a′(mod m), b ≡ b′(mod m) - a un a′ pārstāvvienu klasi, b un b′ pārstāv vienu klasi.{

    a ≡ a′(mod m)b ≡ b′(mod m) =⇒ a + b ≡ a

    ′ + b′(mod m).

    2., 3. Seko no klašu operāciju defin̄ıcijām.

    4.-10. Seko no aritmētisko operāciju ı̄paš̄ıbām. ¥

    Atlikumu kopu mod m ar tajā uzdotām saskait̄ı̌sanas un reizinā-šanas operācijām sauksim par atlikumu gredzenu mod m (Zm,+, ·).Atlikumu klašu vienād̄ıbu apz̄ımēsim ar pierakstu ≡ (mod m).

    1.1. piez̄ıme. Par atlikumu klašu kopu var domāt kā par veseloskaitļu kopu, kas ir ”uzt̄ıta” uz riņķa l̄ınijas. Atbilstoši var interpretētoperācijas ar atlikumu klasēm.

    Saturs Sākums Beigas J I Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns

  • 9

    1.3. teorēma. Atlikumu gredzenā Zm ir spēkā šādas ı̄paš̄ıbas:1. ∀ x ∈ Zm ∃ viens un tikai viens y ∈ Zm:

    x + y ≡ 0(mod m)(adit̄ıvi inversā elementa eksistence un viennoz̄ımı̄gums),

    2. p ∈ P =⇒(xy ≡ 0(mod p)

    )=⇒

    (x ≡ 0(mod p) vai y ≡ 0(mod p)

    )

    (nulles dal̄ıtāju neeksistence),

    3. p ∈ P =⇒ ∀ x ∈ Zp, x 6≡ 0(mod p) ∃ viens un tikai viensz ∈ Zp:

    xz ≡ 1(mod p),4. m 6∈ P =⇒ ∃ x, y ∈ Zm:

    xy ≡ 0(mod m)x 6≡ 0(mod m)y 6≡ 0(mod m)

    Saturs Sākums Beigas J I Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns

  • 10

    5. x ir invertējams attiec̄ıbā uz reizināšanu mod m (∃ y : xy ≡1(mod m)) ⇐⇒ LKD(x,m) = 1 (multiplikat̄ıvi inversā ele-menta eksistence).

    PIERĀDĪJUMS1. ∀ x ∈ Z ∃ y ∈ Z : x + y = m =⇒ [x] + [y] = [0].x + y1 ≡ x + y2 ≡ 0(mod m) =⇒ y1 ≡ y2(mod m).

    2. p ∈ P =⇒(p|xy =⇒ p|x vai p|y

    ). Pārtulkojot to atli-

    kumu klašu terminos: xy ≡ 0(mod p) =⇒(x ≡ 0(mod p) vai y ≡

    0(mod p)).

    3. p ∈ P =⇒(1 ≤ x ≤ p−1 =⇒ LKD(x, p) = 1

    )=⇒ saskaņā

    ar LKD lineārās kombinācijas ı̄paš̄ıbu ∃ a, b ∈ Z : ax + bp = 1 =⇒ax + bp ≡ ax + b · 0 ≡ ax ≡ 1 (mod p).

    Saturs Sākums Beigas J I Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns

  • 11

    4. m 6∈ P =⇒ ∃ vismaz divi skaitļi a > 1 un b > 1 : ab = m =⇒ab ≡ m ≡ 0(mod m).

    5. LKD(x, m) = 1 =⇒ ∃ a, b ∈ Z : ax + bm = 1 =⇒ax + bm ≡ ax + b · 0 ≡ ax ≡ 1(mod m).

    Ja ∃ y : xy ≡ 1(mod m) =⇒ xy − 1 = mq un xy − mq = 1.Reducējot mod d = LKD(x,m) =⇒ 0 ≡ 1(mod d) =⇒ d = 1. ¥

    Par n ∈ N Eilera funkciju ϕ(n) sauksim tādu x ∈ Z skaitu, kuriemizpildās nosac̄ıjumi

    • 0 ≤ x < n,• LKD(x, n) = 1.

    1.2. piez̄ıme. No teorēmas seko, ka to atlikuma klašu skaits mod m,kurām eksistē multiplikat̄ıvi inversais elements, ir vienāds ar ϕ(m).Šādas atlikumu klases sauksim par invertējamām mod m.

    Saturs Sākums Beigas J I Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns

  • 12

    Jebkuru šādu klašu pārstāvju kopu sauksim par reducētu atlikumuklašu kopu mod m. Kopas Zm multiplikat̄ıvi invertējamo elementukopu apz̄ımēsim ar (Zm)× vai Um.

    1.3. piemērs. ϕ(p) = p − 1, jo visi skaitļi kopā {1, ..., p − 1} ir sav-starpēji pirmskaitļi ar p un LKD(0, p) = p.

    ϕ(4) = |{1, 3}| = 2.3−1 ≡ 3.ϕ(6) = |{1, 5}| = 2.5−1 ≡ 5.ϕ(8) = |{1, 3, 5, 7}| = 4.3−1 ≡ 3. 5−1 ≡ 5. 7−1 ≡ 7.ϕ(9) = |{1, 2, 4, 5, 7, 8}| = 6.2−1 ≡ 5. 5−1 ≡ 2. 4−1 ≡ 7. 7−1 ≡ 4. 8−1 ≡ 8.

    Saturs Sākums Beigas J I Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns

  • 13

    2. Modulārās aritmētikas pielietojumi

    2.1. Aritmētisko operāciju pārbaude

    Aritmētisko operāciju rezultātu pareiz̄ıbas pārbaudē var izmantotvienu no modulārās aritmētikas ı̄paš̄ıbām:

    a = b =⇒ a ≡ b (mod m)∀m.Pretējais apgalvojums:

    ∃m : a 6≡ b (mod m) =⇒ a 6= b.Pārbaudes algoritms:1. Atrodam operācijas rezultātu c = a ? b,

    2. Atrodam c′ = a ? b (mod m) un c′′ = c (mod m)),

    3. Ja c′ 6= c′′, tad konstatējam kļūdu.

    Saturs Sākums Beigas J I Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns

  • 14

    2.2. Pozicionālais pieraksts

    2.2.1. Teorija

    Senajos laikos cilvēki izmantoja primit̄ıvu skaitļu pierakstu, kaspēc būt̄ıbas ir l̄ıdz̄ıgs sv̄ıtriņu vilkšanai (nepozicionālās sistēmas), pie-mēram:

    • viena sv̄ıtriņa (I) - vieninieks vai viens objekts,• pārsv̄ıtrota sv̄ıtriņa (X) - desmitnieks vai desmit objekti,• ı̄paši simboli (hieroglifiskajās sistēmās), kas apz̄ımē 100 u.t.t.• burti (alfabētiskās sistēmas senajā Grieķijā un Izraēlā)

    Šādā pierakstā simbola vietai nav lielas noz̄ımes. Parasti sim-boli tika sakārtoti noteiktā kārt̄ıbā, piemēram, lielākā svara simboliatradās pieraksta sākumā.

    Problēmas - ar šādu pierakstu grūti veikt aritmētiskās operācijas.

    Saturs Sākums Beigas J I Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns

  • 15

    Būtiskas izmaiņas notika tad, kad cilvēki sāka pierakst̄ıt skaitļustā, lai simbola atrašanās vietai būtu lielāka noz̄ıme - pozicionālajāssistēmās. Tāds pieraksts tika ieviests Indijā ap 500 AD. Viduslaikostas tika pārņemts Eiropā un tiek izmantots l̄ıdz pat mūsu dienām.

    2.1. teorēma. m ∈ N. ∀ n ∈ N ir viennoz̄ımı̄gi izsakāms formā

    n =k∑

    i=0

    aimi, kur ak 6= 0, ∀ i : 0 ≤ ai < m.

    PIERĀDĪJUMS Aprakst̄ısim algoritmu, ar kura pal̄ıdz̄ıbu var at-rast skaitļus ai:

    1. Izdal̄ısim n ar m:n = q1m + a0;

    2. Izdal̄ısim q1 ar m:q1 = q2m + a1,

    ievērosim, ka

    Saturs Sākums Beigas J I Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns

  • 16

    n = q1m + a0 = (q2m + a1)m + a0 = q2m2 + a1m + a0;

    3. Izdal̄ısim q2 ar m:q2 = q3m + a2,

    ievērosim, ka

    n = q2m2 + a1m + a0 =

    (q3m + a2)m2 + a1m + a0 =

    q3m3 + a2m2 + a1m + a0;

    ... ...Algoritms tiek uzskat̄ıts par pabeigtu, kad kārtējais dal̄ıjums ir

    vienāds ar 0 - pēdējais nenulles atlikums ir ak.

    Ievērosim, ka algoritma izpilde vienmēr apstājas, jo dal̄ıjumu vir-kne q1, q2, ... ir stingri dilstoša.

    Algoritma izpildes rezultātā iegūsim skaitļu virkni (a0, a1, ..., ak),kas apmierina vienād̄ıbu

    n = akmk + ak−1mk−1 + ... + a2m2 + a1m + a0,

    Saturs Sākums Beigas J I Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns

  • 17

    tātad skaitļu virkne, kas ir deklarēta teorēmas apgalvojumā, eksistē.

    Pierād̄ısim šādas skaitļu virknes (a0, a1, ..., ak) vien̄ıgumu. Pieņem-sim, ka eksistē divi izvirz̄ıjumi

    n = akmk + ak−1mk−1 + ... + a2m2 + a1m + a0 =

    bkmk + bk−1mk−1 + ... + b2m2 + b1m + b0

    un sāksim sal̄ıdzināt skaitļus ai un bi sākot no i = 0:1. n ≡ a0 ≡ b0 (mod m) =⇒ a0 = b0.2. Reducēsim n−a0m pēc moduļa m:

    n− a0m

    = akmk−1 + ... + a2m + a1 ≡ a1 ≡bkm

    k−1 + ... + b2m + b1 ≡ b1 (mod m),tāpēc

    a1 = b1,

    Saturs Sākums Beigas J I Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns

  • 18

    3. Reducēsim n−a0−a1mm2 pēc moduļa m:

    n− a0 − a1mm2

    = akmk−2 + ... + a3m + a2 ≡ a2 ≡bkm

    k−2 + ... + b3m + b2 ≡ b2 (mod m),tāpēc

    a2 = b2¥

    2.1. piez̄ıme. Skaitļa izvirz̄ıjumu m pakāpju lineārās kombinācijasveidā sauksim par skaitļa m-āro pozicionālo pierakstu (vai par m-adisko pierakstu) un apz̄ımēsim ar akak−1...a0m vai kādā vienkāršākāveidā, ja nav riska pārprast pierakstu. Pēc noklusēšanas pieņemsimakak−1...a0 = akak−1...a010. Skaitli m sauksim par pieraksta bāzi.

    2.2.2. Pārveidošanas algoritmi

    2.2. piez̄ıme. Mūsdienās cilvēki gandr̄ız vienmēr strādā ar decimālopierakstu (m = 10), ar̄ı ciparu skaits ir saskaņots ar šo m vērt̄ıbu.

    Saturs Sākums Beigas J I Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns

  • 19

    Plašāk pielietotie pieraksti datorzinātnēs un datortehnoloǧijās -• m = 2 - binārais pieraksts, simbolus 0, 1 sauc par bitiem,• m = 8 - oktālais pieraksts,• m = 16 (ar cipariem 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A = 10,B = 11,C =

    12,D = 13,E = 14,F = 15) - heksadecimālais pieraksts.

    Algoritms skaitļa n pārveidošanai no decimālās sistēmas uz m-ārosistēmu:

    1. izdal̄ıt n ar m: n → (q1, a0), kur n = q1m + a0, ja q1 6= 0, tadiet tālāk;

    2. izdal̄ıt q1 ar m: (q1, a0) → (q2, a1), kur q1 = q2m+a1, ja q2 6= 0,tad iet tālāk;

    3. izdal̄ıt q2 ar m: (q2, a1) → (q3, a2), kur q2 = q3m+a2, ja q3 6= 0,tad iet tālāk;

    ... izdal̄ıt ...

    k+1. Uzrakst̄ıt simbolus pareizā kārt̄ıbā - akak−1...a0m;

    Saturs Sākums Beigas J I Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns

  • 20

    k+2. Veikt pārbaudi: akmk + ak−1mk−1 + ... + a0?= n.

    2.1. piemērs. Pārveidosim skaitli 2007 5-ārajā pierakstā:1. 2007 = 401 · 5 + 2 → a0 = 2, q1 = 401;2. 401 = 80 · 5 + 1 → a1 = 1, q2 = 80;3. 80 = 16 · 5 + 0 → a2 = 0, q3 = 16;4. 16 = 3 · 5 + 1 → a3 = 1, q4 = 3;5. 3 = 0 · 5 + 3 → a4 = 3, q5 = 0;6. Pierakstām rezultātu 2007 = 310125;

    7. Veicam pārbaudi: 3 ·54 +1 ·53 +0 ·52 +1 ·51 +2 = 1875+125+5 + 2 = 2007.

    Saturs Sākums Beigas J I Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns

  • 21

    Algoritms skaitļa n pārveidošanai no m-ārās sistēmas uz decimālosistēmu:

    1. Ja ir dots skaitlis n = akak−1...a0m, aprēķināt decimālajā pie-rakstā summu

    n = akmk + ak−1mk−1 + ... + a0.

    2.2. piemērs. Ja skaitlis 7-ārajā pierakstā ir 36217, tad decimālajāpierakstā tas ir 3 · 73 + 6 · 72 + 6 · 71 + 1 = 1338.

    Algoritms skaitļa n pārveidošanai no m1-ārās sistēmas uz m2-ārosistēmu:

    1. Pārveidot skaitli n no m1-ārā pieraksta uz decimālo pierakstu,

    2. Pārveidot skaitli n no decimālā pieraksta uz m2-āro pierakstu.

    2.3. piemērs. Pārveidosim skaitli 36217 uz heksadecimālo pierakstu:

    36217 → 1338 → 53A16

    Saturs Sākums Beigas J I Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns

  • 22

    2.3. piez̄ıme. Pozicionālās sistēmas plusi:• simbolu ekonomija,• ērti veikt aritmētiskās operācijas - algoritmi visiem ir zināmi,

    tos var vispārināt no m = 10 uz jebkuru m vērt̄ıbu.

    2.3. Dalāmı̄bas paz̄ımes

    Dalāmı̄bas ar m paz̄ıme - ı̄paš̄ıba, kas piemı̄t m daudzkārtņu cipa-riem (parasti 10-ārajā pierakstā).

    Šajā sadaļā pieņemam, ka

    n = akak−1...a0 = ak · 10k + ... + a1 · 10 + a0.

    2.3.1. Pamatideja

    n ∈ N. Lai atrastu dalāmı̄bas paz̄ımi ar m, ir lietder̄ıgi izteikt ndecimālajā pierakstā un apskat̄ıt n(mod m):

    n = akak−1...a0 = ak · 10k + ... + a1 · 10 + a0(mod m).Saturs Sākums Beigas J I Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns

  • 23

    2.3.2. Dalāmı̄ba ar 3

    Tā kā 10l ≡ 1 (mod 3), tadn ≡ ak · 1 + ak−1 · 1 + ... + a0 ≡ ak + ak−1 + ... + a0 (mod 3).Dalāmı̄bas paz̄ıme ar 3:

    3|n ⇐⇒ 3|ak + ak−1 + ... + a0(ja n ciparu summa dalās ar 3).

    2.3.3. Dalāmı̄ba ar 11

    Tā kā 10 ≡ −1 (mod 11), tad102j ≡ (−1)2j ≡ 1 (mod 11)

    un102j+1 ≡ (−1)2j+1 ≡ −1 (mod 11).

    Redzam, ka

    n ≡ ak(−1)k + ... + a2 − a1 + a0 (mod 11).Saturs Sākums Beigas J I Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns

  • 24

    Dalāmı̄bas paz̄ıme ar 11:

    11|n ⇐⇒ 11|a0 − a1 + a2 + ... + ak(−1)k(ja n ciparu alternējoša summa dalās ar 11).

    Saturs Sākums Beigas J I Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns

  • 25

    3. 4.mājasdarbs

    3.1. Obligātie uzdevumi

    4.1 Atrodiet saskait̄ı̌sanas un reizināšanas tabulas atlikumu klasēmmod 7 un 8. Uzrādiet visus elementus, kuriem eksistē multipli-kat̄ıvi inversie elementi.

    4.2 Katram atlikumu gredzenam mod 3, 5, 7, 11, 13 atrodiet visasklases, kuru pakāpes veido dotā gredzena nenulles elementus (vi-sus a tādus, ka katrs x 6≡ 0(mod p) ir izsakāms formā ak(mod p)).

    4.3 Skaitli 2008 pārveidojiet šādos pozicionālajos pierakstos:a) binārajā,b) oktālajā,c) heksadecimālajā,d) ternārajā.

    4.4 Atrodiet dalāmı̄bas paz̄ımi ar(a) 18;(b) 7.

    Saturs Sākums Beigas J I Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns

  • 26

    3.2. Paaugstinātas grūt̄ıbas un pētnieciska rakstu-ra uzdevumi

    4.5 Pierād̄ıt, ka(a) maksimālais naturālais skaitlis, ko var ierakst̄ıt m-ārajā sis-

    tēmā ar k simboliem ir vienāds ar mk+1 − 1,(b) lai skaitli n ierakst̄ıtu m-ārajā sistēmā, ir nepieciešami

    kn = [logm n] + 1

    simboli.

    Saturs Sākums Beigas J I Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns

    1. Atlikumu klašu gredzens1.1. Salidzinamibas mod m ekvivalences klases1.2. Operacijas ar atlikumu klasem1.3. Atlikumu klašu operaciju ipašibas

    2. Modularas aritmetikas pielietojumi2.1. Aritmetisko operaciju parbaude2.2. Pozicionalais pieraksts2.2.1. Teorija2.2.2. Parveidošanas algoritmi

    2.3. Dalamibas pazimes2.3.1. Pamatideja2.3.2. Dalamiba ar 32.3.3. Dalamiba ar 11

    3. 4.majasdarbs3.1. Obligatie uzdevumi3.2. Paaugstinatas grutibas un petnieciska rakstura uzdevumi