Studiju kurss Veselo skaitl»u teorija 8.lekcija · 5 1.2. Papildfakti no grupu teorijas Par grupas G elementa a •gener„etu apak•sgrupu hai µ G sauk- sim visu a pak„apju

1

DAUGAVPILS UNIVERSITATEDabaszinatnu un matematikas fakultate

Matematikas katedraBakalaura studiju programma “Matematika”

Studiju kurss

Veselo skaitlu teorija

8.lekcijaDocetajs: Dr. P. Daugulis

2007./2008.studiju gads

Saturs Sakums Beigas J I Atpakal Aizvert Pilns ekrans

2

Saturs

1. Invertejamo atlikuma klasu kopas Um ıpasıbas 31.1. Um ka grupa attiecıba uz atlikumu klasu reizinasanas

operaciju . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2. Papildfakti no grupu teorijas . . . . . . . . . . . . . . 51.3. Elementa karta un tas ıpasıbas . . . . . . . . . . . . . 61.4. Klasu skaits ar dotu kartu . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2. 8.majasdarbs 22


3

1. Invertejamo atlikuma klasu kopas Um

ıpasıbas

1.1. Um ka grupa attiecıba uz atlikumu klasu rei-zinasanas operaciju

Um (multiplikatıvi invertejamo atlikuma klasu kopa pec modulam) ar atlikumu reizinasanas operaciju ir komutatıva grupa, jo izpildasgrupas aksiomas:

• Um ir slegta attiecıba uz reizinasanas operaicju: ja a ∈ Un unb ∈ Um, tad ab ∈ Um, jo

(ab)(b−1a−1) ≡ a(bb−1)a−1 ≡ a · 1 · a−1 ≡ aa−1 ≡ 1 (mod m);

• atlikumu reizinasana ir asociatıva;• eksiste neitralais elements attiecıba uz reizinasanu: katram a ∈

Um izpildasa · 1 ≡ 1 · a ≡ a (mod m);

• katram elementam eksiste multiplikatıvi inversais elements;


4

• atlikumu reizinasana ir komutatıva - ab ≡ ba (mod m).

Elementu skaits grupa Um ir vienads ar ϕ(m).


5

1.2. Papildfakti no grupu teorijas

Par grupas G elementa a generetu apaksgrupu 〈a〉 ⊆ G sauk-sim visu a pakapju (ieskaitot negatıvas) kopu. Elementu a sauc parapaksgrupas 〈a〉 generatoru. Katru G apaksgrupu H, kas ir izsakamaforma H = 〈h〉, sauc par ciklisku apaksgrupu. Grupu G sauc parciklisku, ja eksiste elements g ∈ G tads, ka G = 〈g〉.

1.1. piemers. Skaitli 1 un −1 katrs ir (Z,+) generators, ja katrsvesels skaitlis ir izsakams ka vairaku 1 vai −1 summa. Klase 1 irZ/mZ generators katram m.

Par grupas elementa a kartu sauksim mazako naturalo skaitli k,tadu, ka ak = e. Galıga grupa katram elementam eksiste karta, jokadam n un k izpildas an = ak, tapec an−k = e. Bezgalıgas grupaselementiem karta var neeksistet. Piemers - Z.


6

1.3. Elementa karta un tas ıpasıbas

Par elementa a ∈ Um kartu sauksim mazako nenegatıvo veseloskaitli k tadu, ka

ak ≡ 1 (mod m).No Eilera teoremas seko, ka katram a ∈ Um izpildas nosacıjums

k ≤ ϕ(m).

Elementa a kartu apzımesim ar Pm(a) vai P (a), ja m ir fiksets. Ele-menta 1 karta ir vienada ar 1.

1.2. piemers. Atradısim kartas invertejamiem elementiem gredzenosGF (5), GF (7). Var izmantot MAGMA vai Mathematica.


7

1.1. teorema. Ja ak ≡ 1 (mod m), tad Pm(a)|k.

PIERADIJUMS Izdalısim k ar Pm(a): k = qPm(a) + r, kur 0 ≤r < Pm(a). Redzam, ka

ak ≡ aqPm(a)+r ≡ (aPm(a))qar ≡ ar ≡ 1 (mod m).

Ja r 6= 0, tad ar 6≡ 1 (mod m), jo r < Pm(a) un Pm(a) ir a karta.Tatad r = 0 un Pm(a)|k. ¥

1.2. teorema. Pm(a)|ϕ(m).

PIERADIJUMS Apgalvojums seko no Eilera teoremas un iepriek-sejas teoremas. Ta ka aϕ(m) ≡ 1 (mod m), tad Pm(a)|ϕ(m).¥


8

1.3. piemers. Elementu kartas var but tikai ϕ(m) dalıtaji. Ap-skatısim m = 20, ϕ(20) = 8. Invertejamie elementi ir

{1, 3, 7, 9, 11, 13, 17, 19}.Elementa karta var but 1,2,4 vai 8. Invertejamo elementu kvadrati ir

12 ≡ 1, 32 ≡ 9, 72 ≡ 9, 92 ≡ 1, 112 ≡ 1,

132 ≡ 9, 172 ≡ (−3)2 ≡ 9, 192 ≡ 1.

Tatad elementiem 9, 11, 19 karta ir 2. Visu invertejamo elementuceturtas pakapes ir kongruentas ar 1, jo 92 ≡ 1. Tatad tiem elemen-tiem, kuru karta nav ne 1, ne 2, ta ir vienada ar 4. Sie elementi ir3, 7, 13, 17.


9

1.3. teorema. ak1 ≡ ak2 (mod m) tad un tikai tad, ja

k1 ≡ k2(mod Pm(a)).

PIERADIJUMS Ja ak1 ≡ ak2 (mod m), tad ak1−k2 ≡ 1 (mod m).No ta seko, ka Pm(a)|k1 − k2 jeb k1 ≡ k2 (mod Pm(a)).

Ja k1 ≡ k2(mod Pm(a)), tad k1 − k2 = qPm(a) un k1 = k2 +qPm(a). Redzam, ka

ak1 ≡ ak2+qPm(a) ≡ ak2(aPm(a))q ≡ ak2 (mod m).

¥

1.4. teorema. Dazado elementa a pakapju skaits ir vienads ar Pm(a).

PIERADIJUMS Apgalvojums seko no ieprieksejas teoremas. ¥


10

1.5. teorema. Pm(ak) = Pm(a) tad un tikai tad, ja

LKD(k, Pm(a)) = 1.

PIERADIJUMS No sakuma atzımesim, ka

Pm(ak) ≤ Pn(a),

jo elementa ak pakapju kopa ir a pakapju kopas apakskopa. Ja

LKD(k, Pm(a)) = 1,

tad no kongruences

(ak)t ≡ akt ≡ 1 (mod m)

seko, ka Pm(a)|kt un Pm(a)|t. Tatad Pm(ak) = Pm(a).Ja LKD(k, Pm(a)) = d 6= 1, tad

(ak)Pm(a)

d ≡ (aPm(a))kd ≡ 1 (mod m).

Seko, ka Pm(ak) = Pm(a)d < Pm(a). ¥


11

1.6. teorema. (palıgteorema - Lagranza teorema) Ja f(x) ir nekon-stants polinoms ar pakapi n un veseliem koeficientiem un p ir pirm-skaitlis, tad vienadojumam

f(x) ≡ 0 (mod p)

ir ne vairak ka n dazadi (savstarpeji nekongruenti) atrisinajumi

PIERADIJUMS Izmantosim matematisko indukciju pec parame-tra n. Ja polinoma pakape ir 1, tad vienadojums ir

a1x + a0 ≡ 0 (mod p).

Tam ir tiesi viens atrisinajums x ≡ a−11 (−a0) (mod p). Indukcijas

baze ir pieradıta.Pienemsim, ja teoremas apgalvojums ir speka, ja polinoma pakape

neparsniedz i− 1. Apskatısim polinomu

f(x) = aixi + ai−1x

i−1 + ... + a1x + a0 =i∑

j=0

ajxj ,


12

kura pakape ir vienada ar i. Ja tam nav atrisinajumu, tad indukcijassolis ir pieradıts. Ja tam ir atrisinajums x0, tad

f(x) ≡ f(x)−f(x0) ≡i∑

j=0

ajxj−

i∑

j=0

ajxj0 =

i∑

j=0

aj(xj−xj0) (mod p).

Atceresimiem vienadıbu

xj − xj0 = (x− x0)(xj−1 + xj−2x0 + ... + x · xj−2

0 + xj−10 ).

Redzam, ka

f(x) ≡ f(x)− f(x0) ≡ (x− x0)g(x) (mod p),

kur g(x) ir polinoms ar pakapi, kas neparsniedz i − 1. Tadejadivienadojumam

f(x)− f(x0) ≡ (x− x0)g(x) ≡ 0 (mod p)

atrisinajumu skaits neparsniedz i - viens atrisinajums x0 un vel nevairak ka i− 1 vienadojuma

g(x) ≡ 0 (mod p)


13

atrisinajumi.¥


14

1.7. teorema.1. Elementa a pakapes a1, ..., aPm(a) ir vienadojuma

xPm(a) ≡ 1 (mod m)

dazadi atrisinajumi.2. Ja m ir pirmskaitlis, tad elementa a pakapes a1, ..., aPm(a) ir

vienadojumaxPm(a) ≡ 1 (mod m)

visi atrisinajumi.

PIERADIJUMS 1. Ja 0 ≤ l < Pm(a), tad (al)Pm(a) ≡ 1 (mod m).Apgalvojums seko no ieprieksejas teoremas.

2. Saskana ar Lagranza teoremu vienadojumam


ir ne vairak ka Pm(a) nekongruentu atrisinajumu. Bet atlikumu klasesa = a1, ..., aPm(a) ir sı vienadojuma Pm(a) atrisinajumi un citu nevarbut. ¥


15

1.1. piezıme. Iepriekseja teorema lauj risinat vienadojumus

xk ≡ 1 (mod p),

ja p ir pirmskaitlis. Ja k ≤ p − 1 un k - p − 1, tad atrisinajumunoteikti nav. Ja k|p− 1, tad jaatrod vismaz viens elements a tads, kaP (a) = k, ta pakapes bus atrisinajumi.

1.2. piezıme. Ja m nav pirmskaitlis, tad vienadojumam


var but arı citi atrisinajumi:• m = 8, a = 3, P8(3) = 2, vienadojumam x2 ≡ 1 (mod 8)

atrisinajumi ir arı 5 un 7, saja gadıjuma visiem atrisinajumiemkartas ir vienadas;

• m = 15, a = 2, P15(2) = 4, vienadojumam x4 ≡ 1 (mod 15)atrisinajumi ir arı 11 un 14, kuriem kartas ir vienadas ar 2 ;


16

1.4. Klasu skaits ar dotu kartu

Ja m ir fiksets, tad apskatısim visus grupas Um elementus, kurukarta ir vienada ar k. Sadu elementu skaitu apzımesim ar ψ(k).Ieverosim, ka ja k - ϕ(m), tad ψ(k) = 0.

1.4. piemers.• m = 2, ϕ(m) = 1, ψ(1) = 1;

• m = 3, ϕ(m) = 2, ψ(1) = ψ(2) = 1;

• m = 4, ϕ(m) = 2, ψ(1) = ψ(2) = 1;

• m = 5, ϕ(m) = 4, ψ(1) = ψ(2) = 1, ψ(4) = 2;

• m = 6, ϕ(m) = 2, ψ(1) = ψ(2) = 1;

• m = 7, ϕ(m) = 6, ψ(1) = ψ(2) = 1, ψ(3) = ψ(6) = 2;

• m = 8, ϕ(m) = 4, ψ(1) = 1, ψ(2) = 3;

• m = 9, ϕ(m) = 6, ψ(1) = ψ(2) = 1, ψ(3) = ψ(6) = 2;

• m = 10, ϕ(m) = 4, ψ(1) = ψ(2) = 1, ψ(4) = 2;


17

• m = 11, ϕ(m) = 10, ψ(1) = ψ(2) = 1, ψ(5) = ψ(10) = 4;

1.8. teorema. Katram m izpildas vienadıba∑

k|ϕ(m)

ψ(k) = ϕ(m).

PIERADIJUMS Katrai invertejamai atlikuma klasei karta ir ϕ(m)dalıtajs. Summas ∑

a∈Um

1 = ϕ(m)

loceklus varam apvienot grupas, kas atbilst ϕ(m) dalıtajiem - katramϕ(m) dalıtajam k atbildıs ψ(k) vieninieku, tadejadi

∑

a∈Um

1 = 1 + ... + 1︸︷︷︸ψ(k1) locekli

+ 1 + ... + 1︸︷︷︸ψ(k2) locekli

+... + 1 + ... + 1︸︷︷︸ψ(kl) locekli

=

∑

k|ϕ(m)

ψ(k) = ϕ(m)


18

¥

1.9. teorema. Ja m = p ir pirmskaitlis, tad1. katram k 6= 0 izpildas nevienadıba

ψ(k) ≤ ϕ(k).

2. katram k, kuram izpildas nosacıjums k|p− 1, izpildas vienadıba

ψ(k) = ϕ(k).

PIERADIJUMS 1. Ja ψ(k) = 0, tad nevienadıba ir pieradıta. Jaeksiste vismaz viena klase a tada, ka P (a) = k, tad

a) saskana ar ieprieks pieradıtu teoremu pakapes a1, ..., ak ir visivienadojuma xk ≡ 1 (mod p) atrisinajumi;

b) saskana ar (citu) ieprieks pieradıtu teoremu P (as) = P (a) = ktad un tikai tad, ja LKD(s, k) = 1, tadu kapinataju skaits irvienads ar ϕ(k).

No punkta a) seko, ka katra klase b, kurai P (b) = k, pieder kopai{a1, ..., ak}, jo ta apmierina vienadojumu xk ≡ 1 (mod p). Tatad


19

sadu klasu skaits ir vienads ar ϕ(k).2. Izmantosim sadu palıgrezultatu (Eilera funkcijas ıpasıbu), kas

tiks pieradıts atseviski zemak. Katram naturalam m izpildas vienadıba∑

k|mϕ(k) = m.

Ja m = p− 1, tad iegusim vienadıbu∑

k|p−1

ϕ(k) = p− 1.

Tadejadi mums ir divas lıdzıgas vienadıbas:∑

k|p−1

ϕ(k) = p− 1

un∑

k|p−1

ψ(k) = p− 1.


20

(otra ir no ieprieks pieradıtas teoremas). Ieverosim, ka summesanasindeksu kopas ir vienadas. Atnemot no pirmas vienadıbas otro, iegusim

∑

k|p−1

(ϕ(k)− ψ(k)) = 0.

Bet saskana ar sıs teoremas pirmo punktu ϕ(k)−ψ(k) ≥ 0, tapec visilocekli ir vienadi ar 0 un katram k|p−1 izpildas vienadıba ψ(k) = ϕ(k).¥

1.10. teorema. Katram naturalam m ≥ 2 izpildas vienadıba∑

k|mϕ(k) = m.

PIERADIJUMS Apskatısim kopu { 1m , 2

m , ..., mm}. Saja kopa ir m

elementi. Katram no siem skaitliem var izdalıt skaitıtaju un saucejuar kopıgo reizinataju, tadejadi katrs no tiem ir izsakamas forma l

k ,kur k|m un LKD(l, k) = 1. Ja k ir fiksets, tad skaitlu skaits, kuriem


21

saucejs ir vienads ar k, ir ϕ(k). Tapec summa kreisaja puse ir vienadaar m. ¥


22

2. 8.majasdarbs

1. Atrodiet elementu skaitus ar visam kartam, kas dala ϕ(m), ja(a) m = 8;(b) m = 10.

2. Izmantojot tikai pamatfaktus, pieradiet, ka primitıvas saknesneeksiste, ja(a) m = 8;(b) m = 21.

Katra no siem gadıjumiem atrodiet grupas (Un, ·) minimalo gene-rejoso kopu.

3. Izmantojot primitıvas saknes un indeksus, atrisiniet sadus viena-dojumus:(a) x6 ≡ 4 (mod 23);(b) x7 ≡ 9 (mod 18);(c) x2y3 ≡ 5 (mod 11);


Documents

Studiju kurss Veselo skaitl»u teorija 8.lekcija · 5 1.2. Papildfakti no grupu teorijas Par grupas G elementa a •gener„etu apak•sgrupu hai µ G sauk- sim visu a pak„apju