Studio della evoluzione temporale del numero di individui di una popolazione mediante il programma Excell

Con i simboli

0 1 2, , ,...A A ASi indica il numero di individui all’inizio, dopo un periodo di tempo (es. 1 mese, o 1 anno) , dopo un periodo doppio,ecc.

Modello geometrico o modello malthusiano

)1(1 rAA nn

E’ quello secondo il quale l’aumento della popolazione in un periodo unitario di tempo è proporzionale alla popolazione presente al momento in cui si calcola la variazione

1n n nA A r A cioè

Critica al modello di crescita malthusiano

Sono stati raccolti i dati della popolazione degli USA negli anni dal 1790 al 1950.

Data la tabella di crescita effettiva della popolazione degli USA si può verificare se il modello malthusiano descrive correttamente la variazione di popolazione nel corso degli anni.

La formula del modello malthusiano

dipende dalla costante di crescita r :

t anno popolazione effettiva

0 1790 3.929.000

1 1800 5.308.000

2 1810 7.240.000

3 1820 9.638.000

4 1830 12.866.000

5 1840 17.069.000

6 1850 23.192.000

7 1860 31.443.000

8 1870 38.558.000

9 1880 50.156.000

10 1890 62.948.000

11 1900 75.995.000

12 1910 91.972.000

13 1920 105.711.000

14 1930 122.775.000

15 1940 131.669.000

16 1950 150.697.000

n

nn

A

AAr

1

)1(1 rAA nn

Calcolando la popolazione utilizzando la formula di crescita del modello malthusiano

si constata che i valori della popolazione fino al 7° periodo sono simili mentre dall’8° periodo iniziano a differire con notevoli errori.

)1(1 rAA nn

t anno popolazione effettiva r r medio popolazione con legge errore assolutoerrore percentuale

0 1790 3.929.000 0,35098 0,346038 3.929.000 0 0,00%

1 1800 5.308.000 0,363979   5.288.582 -19.418 -0,37%

2 1810 7.240.000 0,331215   7.118.630 -121.370 -1,68%

3 1820 9.638.000 0,334924   9.581.943 -56.057 -0,58%

4 1830 12.866.000 0,326675   12.897.656 31.656 0,25%

5 1840 17.069.000 0,35872   17.360.730 291.730 1,71%

6 1850 23.192.000 0,355769   23.368.195 176.195 0,76%

7 1860 31.443.000 0,226282   31.454.470 11.470 0,04%

8 1870 38.558.000 0,300794   42.338.899 3.780.899 9,81%

9 1880 50.156.000 0,255044   56.989.750 6.833.750 13,62%

10 1890 62.948.000 0,207266   76.710.346 13.762.346 21,86%

11 1900 75.995.000 0,210238   103.255.010 27.260.010 35,87%

12 1910 91.972.000 0,149382   138.985.126 47.013.126 51,12%

13 1920 105.711.000 0,161421   187.079.206 81.368.206 76,97%

14 1930 122.775.000 0,072441   251.815.645 129.040.645 105,10%

15 1940 131.669.000 0,144514   338.953.326 207.284.326 157,43%

16 1950 150.697.000     456.243.921 305.546.921 202,76%

Grafico popolazione effettiva e popolazione calcolata con modello malthusiano

0

50.000.000

100.000.000

150.000.000

200.000.000

250.000.000

300.000.000

350.000.000

400.000.000

450.000.000

500.000.000

1780 1800 1820 1840 1860 1880 1900 1920 1940 1960

anno

po

po

lazi

on

e

popolazione effettiva

popolazione con legge

Il modello logistico

Si deve sostituire alla costante r una funzione che rappresenti il rapporto di crescita

Bisogna fare alcune ipotesi.

L’ambiente in cui vive la popolazione può sostenere un numero massimo di individui L. Se An>L non ci sono abbastanza risorse e il numero di morti supera quello dei nati

Se An<L la popolazione aumenta

Se An è molto piccolo in rapporto a L, allora la funzione di crescita è simile al fattore r

0)( nAf

n

nnn A

AAAf

1)(

LAn

LAn 0)( nAf

LAn rAf n )(

Individuare una funzione che abbia le caratteristiche descritte

Sapendo che il modello di crescita dipende dalla funzione si deve individuare la funzione che si comporti secondo le caratteristiche precedentemente descritte.

)( nAf

nnnn AAfAA )(1

)( nAf

Individuiamo la funzione:

L

ALrAf

ArLrAfL

ArrAfLL

A

r

rAf

xx

xx

yy

yy

nn

nn

nn

nn

)()(

)(

))((0

0

0

)(

)()(

)()(

)()(

)()(

12

1

12

1

)1()( )()( L

ArAf n

n

Con questa funzione si ottiene che e quindi , possiamo ora calcolare con la nuova formula la

popolazione secondo il modello logistico.

)1( )()()()1( L

AArAA nnnn

2)()()1( )1( nnn A

L

rArA

anno popolazione effettiva r medio con modello logistico L errore errore percentuale

1790 3.929.000 0,346038 3.929.000 195.000.000 0 0,00%

1800 5.308.000   5.261.188   -46.812 -0,88%

1810 7.240.000   7.032.637   -207.363 -2,86%

1820 9.638.000   9.378.428   -259.572 -2,69%

1830 12.866.000   12.467.636   -398.364 -3,10%

1840 17.069.000   16.506.067   -562.933 -3,30%

1850 23.192.000   21.734.310   -1.457.690 -6,29%

1860 31.443.000   28.416.935   -3.026.065 -9,62%

1870 38.558.000   36.817.274   -1.740.726 -4,51%

1880 50.156.000   47.152.009   -3.003.991 -5,99%

1890 62.948.000   59.522.995   -3.425.005 -5,44%

1900 75.995.000   73.832.975   -2.162.025 -2,84%

1910 91.972.000   89.708.332   -2.263.668 -2,46%

1920 105.711.000   106.469.932   758.932 0,72%

1930 122.775.000   123.196.485   421.485 0,34%

1940 131.669.000   138.894.065   7.225.065 5,49%

1950 150.697.000   152.722.759   2.025.759 1,34%

Confrontando la popolazione effettiva con quella calcolata con il modello logistico possiamo vedere dal grafico che coincidono.

0

20.000.000

40.000.000

60.000.000

80.000.000

100.000.000

120.000.000

140.000.000

160.000.000

180.000.000

1750 1800 1850 1900 1950 2000

anno

po

po

lazio

ne

popolazione effettiva

con modello logistico

Prendendo un qualsiasi valore della popolazione iniziale e calcolando la crescita con il modello logistico si nota che tutte le curve si stabilizzano quando raggiungono il numero massimo di individui L.

0

50.000.000

100.000.000

150.000.000

200.000.000

250.000.000

300.000.000

350.000.000

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45

Rapidità di crescitaovvero come e quando la curva cresce e decresce

)()1()( nnn AAA

rapidità di crescita crescente

rapidità di crescita decrescente

1.332.188 16.726.553

1.771.449 15.697.580

2.345.791 13.828.694

3.089.208 11.457.743

4.038.431 8.979.162

5.228.243 6.711.116

6.682.625 4.829.096

8.400.338 3.375.963

10.334.735 2.310.941

12.370.986 1.558.582

14.309.980 1.040.462

15.875.357 689.782

16.761.600 455.178

  299.441

  196.588

  128.890

  84.430

  55.275

  36.174

  23.667

rapidità di crescita

0

2.000.000

4.000.000

6.000.000

8.000.000

10.000.000

12.000.000

14.000.000

16.000.000

18.000.000

1750 1800 1850 1900 1950 2000 2050 2100 2150

anno

dA

(n)

Guardando il grafico si nota che la curva raggiunge il massimo della rapidità e inizia a decrescere circa a metà tra il punto di partenza della popolazione e il numero massimo di individui.