Studio delle singolarità del robot a 7 giunti KUKA LWR4

Relatore

Prof. Alessandro De Luca

Candidato

Francesco Bella

La convenzione di Denavit-Hartenberg

• Asse zi lungo l’asse di giunto i+1

• Asse xi lungo la normale comune agli assi di giunto i e i+1 (verso: i → i+1)

• ai = distanza Oi’ Oi orientata con xi (costante = ‘‘lunghezza’’ braccio i)

• di = distanza Oi-1 Oi orientata con zi-1 (variabile se giunto i PRISMATICO)

• αi = angolo di twist tra zi-1 e zi intorno a xi (costante)

• θi = angolo tra xi-1 e xi intorno a zi-1 (variabile se giunto i ROTATORIO)

Assegnazione delle terne al KUKA LWR4

i θi[rad] di[m] ai[m] αi[rad]

1 q1 0 0 π/2

2 q2 0 0 -π/2

3 q3 0.4 0 -π/2

4 q4 0 0 π/2

5 q5 0.4 0 π/2

6 q6 0 0 -π/2

7 q7 0 0 0

Matrici di trasformazione omogenea ed espressione della cinematica diretta

T0n(q) = A0

1(q1)A12(q2)…An-1

n(qn)

Si può ottenere la cinematica del KUKA LWR4 in maniera

sistematica attraverso semplici prodotti di matrici di trasformazione omogenea, ognuna delle quali risulta funzione di una singola variabile di

giunto.

La cinematica differenziale

Caratterizza i legami tra la velocità dei giunti e le corrispondenti velocità lineare ed angolare dell’organo terminale. Tali legami sono descritti dallo Jacobiano geometrico.

Giunto i-esimo prismatico

Giunto i-esimo rotatorio

JLi(q) Zi-1 Zi-1 x pi-1,E

JAi(q) 0 Zi-1

Cosa sono le singolarità cinematiche?

Sono tutte quelle configurazioni in cui lo Jacobiano diminuisce di rango

La caratterizzazione delle singolarità è di notevole interesse perché se il robot è in una configurazione singolare:

1.Si ha una perdita di mobilità della struttura → non è possibile imporre all’organo terminale leggi di moto arbitrarie

2.Possono esistere infinite soluzioni al problema cinematico inverso

3.Velocità ridotte nello spazio operativo possono indurre velocità molto alte nello spazio dei giunti

Lo Jacobiano geometrico e lo Jacobiano Mid-Frame 4x4Primo approccio

Analisi dei 7 determinanti dei minori (6x6) dello Jacobiano. L’annullamento simultaneo in una stessa configurazione dei 7 determinanti corrisponde ad una singolarità.

Data la complessità della struttura del Jacobiano si utilizza il Jacobiano Mid-Frame 4x4.

Nonostante la forma semplificata anche il Jacobiano Mid-Frame 4x4 non porta a risultati convincenti.

Solo alcune configurazioni risultano individuabili nell’immediato per la loro capacità di rendere il determinante nullo, ma non si potrebbe dare certezza sulla completezza e l’unicità delle stesse.

Formula di Cauchy-BinetSiano A e B due matrici rispettivamente di tipo mxn e nxm. Il loro prodotto AB è quindi una matrice quadrata mxm. La formula di Cauchy-Binet esprime il determinante di AB come

dove S varia fra i sottoinsiemi con m elementi dell’insieme [1…n]. Per ogni S, la matrice AS è il minore di ordine m ottenuto da A prendendo solo le colonne i cui indici appartengono a S. Analogamente, BS è il minore di ordine m ottenuto da B prendendo solo le righe i cui indici appartengono a S.

Applicazione della formula al KUKA LWR4

Grazie alla formula di Cauchy-Binet, una configurazione singolare si verifica quando si annulla la somma di quadrati di determinanti

con Jimn l’i-esimo minore ottenuto sopprimendo le colonne i della matrice Jmn. I termini della prima

sommatoria hanno una forma triangolare a blocchi inferiore e per questo si possono riscrivere come

rg(J11) < 3 rg(J22) < 3Condizione sufficiente(a sx) e condizione necessaria(a dx)

Condizioni per le singolarità del KUKA LWR4

Condizioni sufficienti Condizioni necessariePer quali valori si annullano i 4 determinanti dei minori di J11?

3. q6 = kπ

1. q4 = kπ2. q2 = k π ˄ q3 = π/2 + kπ

Per quali valori si annulla il determinante di J22?

Altre condizioni sufficienti

4. q2 = kπ ˄ q6 = kπ

5. q5 = π/2+kπ ˄ q6 = kπ

ConclusioniL’analisi delle singolarità è stata portata a termine con successo grazie all’utilizzo della formula di Cauchy-Binet.

Infatti l’annullamento dei 7 determinanti dei minori di ordine 6 dello Jacobiano geometrico, si è rivelato molto ostico e computazionalmente complesso da perseguire nonostante l’utilizzo di Matlab.

Al contrario l’idea di partizionare il Jacobiano e sfruttarne la struttura triangolare per avere calcoli meno complessi, si è rivelata di semplice risoluzione.

Naturalmente sono state testate le configurazioni ottenute con il secondo metodo, con sostituzioni esplicite nei vari determinanti, ed effettivamente i 7 determinanti ottenuti nel primo caso si annullano.

In conclusione, sono stati raggiunti gli obiettivi prefissati all’inizio del progetto.