studio di funzione - University of Cagliariunica2.unica.it/roberarg/pdf/studio di funzione.pdfsoddisfa le ipotesi del teorema, non è derivabile nel punto 0 che appartiene all’intervallo

Studio di funzione

R.Argiolas

STUDIO DI FUNZIONE

110

Introduzione Presentiamo lo studio del grafico di alcune funzioni svolte durante le esercitazioni del corso di analisi matematica I e assegnate nelle prove scritte. Ringrazio anticipatamente tutti quelli che vorranno segnalarmi eventuali errori o consigli per migliorare il lavoro.

R.A.

STUDIO DI FUNZIONE

111

Indice Ricerca degli asintoti di una funzione pag. 112

• Asintoto verticale

• Asintoto orizzontale

• Asintoto obliquo Punti di non derivabilità pag. 113

• Punti angolosi

• Cuspidi

• Flesso a tangente verticale Teoremi sulle derivate pag.117 Esercizi sullo studio di funzione pag. 119

STUDIO DI FUNZIONE

112

Ricerca degli asintoti di una funzione

Asintoto verticale Se al tendere di 0 a xx la funzione tende ad infinito, cioè se è verificata la condizione:

±∞=→

)(lim0

xfxx

la retta di equazione 0xx = (retta parallela all'asse delle ordinate) è un asintoto della funzione detto asintoto verticale. La ricerca degli asintoti verticali si riconduce quindi a quella dei valori finiti che rendono infinita la funzione. Osservazioni: 1. una funzione algebrica intera non presenta asintoti verticali, 2. una funzione algebrica razionale fratta ammette tanti asintoti verticali quanti sono gli zeri del suo denominatore, 3. una funzione algebrica irrazionale fratta ammette tanti asintoti verticali quanti sono gli zeri reali del suo denominatore appartenenti al dominio di tutti i radicali di indice pari, 4. le funzioni goniometriche ammettono infiniti asintoti verticali o nessuno, 5. la funzione esponenziale )( xfa ammette tanti asintoti verticali quanti sono i valori finiti della x che rendono infinita, positiva, la funzione f(x) se a>1, infinita negativa se 0<a<1, 6. la funzione logaritmica ammette tanti asintoti verticali quanti sono gli zeri reali della funzione e i valori finiti della x che rendono infinita la funzione. Asintoto orizzontale Se al tendere di ∞ a x la funzione tende ad un numero finito, cioè se è verificata la condizione:

kxfx

=±∞→

)(lim la retta di equazione ky = (retta parallela all'asse delle ascisse) è un asintoto della funzione detto asintoto orizzontale.

STUDIO DI FUNZIONE

113

Osservazioni: 1. una funzione algebrica intera non presenta asintoti orizzontali, 2. una funzione algebrica razionale fratta ammette asintoto orizzontale y=k (con k uguale al rapporto tra i coefficienti di grado massimo) quando il numeratore e il denominatore sono dello stesso grado, inoltre una funzione algebrica razionale fratta ammette per asintoto l'asse delle ascisse se il grado del denominatore è superiore al grado del numeratore. Asintoto obliquo Assegnata una funzione, si utilizza il calcolo dei limiti per determinare l'eventuale asintoto obliquo a tale funzione. Ricordiamo che un asintoto obliquo è una retta del tipo:

qmxy += tale che

[ ] 0)()(lim =+−±∞→

qmxxfx

dove:

zero da diverso finito esistere deve )(limxxfm

x ±∞→=

( ) finito esistere deve )(lim mxxfq

x−=

±∞→

Osservazioni: 1. una funzione algebrica intera non presenta asintoti obliqui, 2. una funzione algebrica razionale fratta ammette un solo asintoto obliquo (che non potrà mai coesistere con l'asintoto orizzontale) solo quando il grado del numeratore supera di uno il grado del denominatore, 3. le funzioni irrazionali il cui campo di esistenza si estende all'infinito potranno anche aver più asintoti obliqui o asintoti orizzontali e obliqui. Punti di non derivabilità Punti angolosi

STUDIO DI FUNZIONE

114

Indicati con DD ′ e rispettivamente il dominio della funzione f(x) e della sua derivata ( )xf ′ , se in un punto Dx ∈0 ma Dx ′∉0 , esistono finite e diverse la derivata sinistra ( )xf −′ e destra ( )xf +

′ , si dice che il grafico della funzione presenta nel punto un ( ))(, 00 xfxP punto angoloso (si può chiamare anche punto angoloso un punto per

quale uno dei due limiti destro o sinistro del rapporto incrementale esista finito e l'altro infinito). Esempio: La funzione xxf =)( presenta in x=0 un punto angoloso, infatti la funzione è definita su tutto l'asse reale mentre la sua derivata prima è definita ovunque tranne che nell'origine. Grafico della funzione

-4 -2 2 4

12345

<−

>==′

01

01)(

x

x

xxxf

La derivata destra e sinistra sono diverse fra loro ma finite, infatti:

1)0( =′+f 1)0( −=′

−f quindi l'origine è un punto di non derivabilità per la funzione assegnata e prende il nome di punto angoloso. Cuspidi Indicati con DD ′ e rispettivamente il dominio della funzione f(x) e della sua derivata

( )xf ′ , se in un punto Dx ∈0 , ma Dx ′∉0 , e inoltre

+∞=′+→

)(lim0

xfxx

−∞=′−→

)(lim0

xfxx

oppure

STUDIO DI FUNZIONE

115

−∞=′

+→)(lim

0xf

xx +∞=

−→)(lim

0xf

xx

il grafico della funzione presenta nel punto ( ))(, 00 xfxP una cuspide. Esempio

La funzione 31

)( xxf = presenta nell'origine un punto di cuspide, infatti è definita su tutta l’asse reale ed è ivi continua, ma la sua derivata prima:

xxxxf ⋅=′ − 3

2

31)(

non è definita nell'origine. In tale punto si ha:

( ) +∞=′+ 0f ( ) −∞=′

− 0f Grafico

-2 -1 1 2

0.20.40.60.81

1.2

Flesso a tangente verticale Indicati con DD ′ e rispettivamente il dominio della funzione f(x) e della sua derivata

( )xf ′ , se un punto Dx ∈0 , ma Dx ′∉0 e inoltre:

+∞=′+→

)(lim0

xfxx

+∞=′−→

)(lim0

xfxx

oppure

−∞=′+→

)(lim0

xfxx

−∞=−→

)(lim0

xfxx

allora si dice che il grafico della funzione presenta nel punto ( ))(, 00 xfxP un flesso a tangente verticale.

STUDIO DI FUNZIONE

116

Esempio

La funzione 31

)( xxf = è definita su tutto l'asse reale ed è ivi continua ma presenta nell'origine un flesso a tangente verticale, infatti:

32

31)( −=′ xxf

non è definita nell'origine. In tale punto si ha:

( ) +∞=′+ 0f ( ) +∞=′

− 0f Esercizio Studiare la continuità e derivabilità della funzione:

21arccos xy −= Svolgimento La funzione è goniometrica irrazionale con indice pari. Dominio:

[ ]2,2.. −=EC La funzione è continua in tutto il dominio di definizione. Calcoliamo la derivata

( )

>−<−−

−

<<−−

=−−

−−−=′

1 1 21

11 1

11

1111

22

2

2

2

22

xxxx

x

xxx

x

xx

xx

xxy

è definita per ( ) ( ) ( ) ( )2,11,00,11,2 ∪∪−∪−−∈x Analizziamo il comportamento della derivata destra e sinistra nei punti di non derivabilità:

( ) 10 =′+f ( ) 10 −=′

−f

STUDIO DI FUNZIONE

117

In x=0 si ha un punto angoloso con tangenti rispettivamente di coefficiente angolare 1 e -1. Le equazioni delle rette tangenti sono y=x (tangente destra) e y=-x (tangente sinistra). Inltre

( ) −∞=−′+ 1f ( ) +∞=−′− 1f Quindi in x=-1 si ha un punto di cuspide. Mentre in x=1 si ha

( ) −∞=′+ 1f ( ) +∞=′

− 1f Perciò in x=1 abbiamo un altro punto di cuspide. Inoltre

( ) +∞=−′+ 2f ( ) −∞=′− 2f

Grafico

-1 -0.5 0.5 1

0.25

0.5

0.75

1

1.25

1.5

Teoremi sulle derivate Il teorema di Lagrange Data una funzione continua nell' intervallo chiuso e limitato [ ]ba, e derivabile nell'intervallo aperto ( )ba, esiste (almeno) un punto c tale che:

( )ab

afbfcf−−

=′ )()(

Significato geometrico del teorema Il teorema di Lagrange afferma che è sempre possibile determinare un punto appartenente all'intervallo considerato per il quale la retta tangente al grafico della

STUDIO DI FUNZIONE

118

funzione in quel punto è parallela alla retta congiungente gli estremi. Infatti la quantità:

abafbf

−− )()(

individua il coefficiente angolare della retta di estremi ))(,( )),(,( bfbBafaA mentre

( )cf ′ individua il coefficiente angolare della retta tangente ( vedi significato geometrico di derivata di una funzione in un punto ) nel punto ))(,( cfcC L'uguaglianza tra le due quantità è la ben nota condizione di parallelismo tra due rette. Osservazione: Il teorema afferma l'esistenza di almeno un punto c. Ciò equivale ad affermare non l'unicità di tale punto ma la possibilità che di punti che soddisfano tale condizione ve ne siano più di uno! Un punto però è sempre possibile determinarlo (purchè siano soddisfatte le ipotesi del teorema!!!) Esempio Dire se è applicabile il teorema di Lagrange alla funzione xy = negli intervalli [-2,1] , [1,3], [0,1]. Svolgimento 1. La risposta è negativa nell'intervallo [-2,1]. Infatti la funzione assegnata non soddisfa le ipotesi del teorema, non è derivabile nel punto 0 che appartiene all’intervallo ( -2,1), benché sia continua in tutto l'intervallo assegnato. 2. La risposta è positiva nell'intervallo [1,3], infatti in tale intervallo la funzione è continua e derivabile in qualsiasi punto. 3. La risposta è positiva nell'intervallo [0,1], infatti si osservi che benché la funzione non sia derivabile nel punto 0 questo non crea problemi perchè il teorema richiede come ipotesi la derivabilità nell'aperto e non negli estremi! Grafico

-4 -2 2 4

12345

STUDIO DI FUNZIONE

119

Esercizio Dire se è applicabile il teorema di Lagrange alla funzione:

1arctan −= xy nell’intervallo [ ]2,1− . Svolgimento La funzione assegnata è continua in tutto l'intervallo (chiuso), bisogna stabilire anche se è derivabile in tutto l'intervallo aperto, per far questo calcoliamo la derivata prima:

( ) ( )1sgn1

1112

1−

−−+=′ x

xxy

Si vede con pochi calcoli che la funzione presenta un punto di cuspide ( e quindi di non derivabilità) nel punto di ascissa x=1, pertanto nell'intervallo assegnato non è applicabile il teorema di Lagrange. Grafico

-2 -1 1 2

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Esercizi sullo studio di funzione

Nello studio di una funzione ( )xf è sempre meglio seguire uno scheda preordinato in modo poter utilizzare tutte le informazioni necessarie per poter tracciare un grafico della funzione il più accurato possibile. Lo schema che consigliamo è il seguente: 1. Determinare il campo di esistenza della funzione assegnata (questo è il punto più importante, determinare un errato campo di esistenza compromette l'intero

STUDIO DI FUNZIONE

120

studio di funzione). A tal proposito, ricordiamo quanto già enunciato nella dispensa “funzioni reali di variabile reale e continuità”:

Le funzioni elementari Si dividono in due classi:

1. Funzioni algebriche Sono costituite da quelle funzioni dove il legame tra x e y è di tipo algebrico. Possono essere cosi suddivise: a) Funzioni razionali intere b) Funzioni razionali fratte c) Funzioni irrazionali

2. Funzioni trascendenti Sono costituite da quelle funzioni dove il legame tra x e y non è di tipo algebrico. Possono essere cosi suddivise: a) Funzioni goniometriche b) Funzioni esponenziali c) Funzioni logaritmiche

Dominio o campo di esistenza

Assegnata una funzione è necessario determinare l’insieme dei valori della variabile indipendente che definisce la funzione. Ricordiamo il dominio delle funzioni elementari. 1. Funzioni algebriche

a) Le funzioni razionali intere sono definite in tutto il campo reale b) Le funzioni razionali fratte sono definite per tutti quei valori che NON

annullano il denominatore

( )( ) ( ){ }0/C.E. )( ≠== xQxxQxPxf

c) Il dominio delle funzionali irrazionali dipende dall’indice della radice,

distinguiamo quindi due casi.

• Se l’indice della radice è un numero pari il campo di esistenza è dato da tutti quei valori della x che rendono il radicando maggiore o uguale a zero.

STUDIO DI FUNZIONE

121

( ) ( ){ }0/C.E. pari indicecon Q)( ≥== xQxxxf n

• Se l’indice è dispari, le funzioni irrazionali sono definite su tutto il campo

reale.

( ) ℜ== C.E. dispari indicecon Q)( n xxf . 2. Funzioni trascendenti

a) Le funzioni goniometriche come seno e coseno sono definite in tutto l’asse reale, mentre tangente e cotangente sono definite per tutti quei valori che non annullano il denominatore. Le funzioni inverse sono definite come segue:

( ) { }

( ) { }

( )

( ) ℜ=

ℜ=

≤=

≤=

:C.E. cot

:C.E. arctan

1x/ :C.E. arccos

1 / :C.E. arcsin

xarcxf

xxf

xxxf

xxxxf

b) Le funzioni esponenziali sono definite in tutto l’asse reale.

c) La funzione logaritmica è definita per tutti i valori della x che rendono

l’argomento (del logaritmo) strettamente positivo.

( )+∞== ,0 C.E. log)( xxf a 2. Stabilire se vi sono eventuali simmetrie (rispetto all'origine, rispetto all'asse y o rispetto ad una retta generica, etc.). Ricordiamo che: Una funzione si dice “pari” (o simmetrica rispetto all’asse delle ordinate) se

( ) C.E. x )( ∈∀−= xfxf

Una funzione si dice “dispari” (o simmetrica rispetto all’origine) se

( ) C.E. x )( ∈∀−−= xfxf 3. Determinare le eventuali intersezioni con gli assi.

STUDIO DI FUNZIONE

122

4. Studiare il comportamento della funzione agli estremi del dominio di definizione, determinando quindi gli eventuali asintoti verticali, orizzontali e obliqui. 5. Se conviene, studiare il segno della funzione per stabile dove è positiva e dove è negativa ( a seconda della funzione questo calcolo risulta complicato, conviene quindi non utilizzarlo sempre, ma solo quando è conveniente). 6. Studiare la derivata prima. Analizzare i punti di non derivabilità e successivamente studiare il segno della derivata per determinare eventuali punti di massimo e minimo. 7. Calcolare, quando è conveniente, la derivata seconda e determinare gli eventuali punti di flesso. Concavità e convessità Sia ℜ→If : , dove I è un intervallo di numeri, una funzione continua due volte derivabile in I. Diremo che:

• f è convessa in I se e solo se 0≥′′f in I • f è concava in I se e solo se 0≤′′f in I

Test di monotonia Sia ℜ→If : , derivabile. Allora

( ) Ixxfcrescentef ∈∀≥′⇔ 0

( ) Ixxfedecrescentf ∈∀≤′⇔ 0 . _____________________________________________________________________

ESERCIZI

Esercizio 1 Studiare il grafico della seguente funzione:

xxexf1

)(−

= Dire se è applicabile il teorema di Lagrange nell'intervallo [-1,1]. svolgimento

STUDIO DI FUNZIONE

123

Si tratta di una funzione esponenziale fratta. Dominio

( ) ( )+∞∪∞−= ,00,..EC Simmetrie La funzione è dispari, infatti

( ) ( ) C.E. x )(1

∈∀=−−=−− −−

xfexxf x sarà quindi sufficiente studiarla solo nell'intervallo ( )+∞,0 . Si osservi che nel dominio considerato il valore assoluto è superfluo! Comportamento della funzione agli estremi del campo di esistenza

0lim1

0=

−

+→

x

xxe

Nel punto x=0 la funzione presenta una discontinuità eliminabile. Possiamo quindi prolungare con continuità la funzione ridefinendola come segue:

( )

=

≠=

−

00

01

x

xxexG

x

Inoltre

+∞=−

+∞→

x

xxe

1

lim Non ci sono asintoti orizzontali. Ricerca di eventuali asintoti obliqui.

1limlim1

1

===−

+∞→

−

+∞→

x

x

x

xe

xxem

)1(lim)(lim11

−=−=−

+∞→

−

+∞→

x

x

x

xexxxeq

poiché:

STUDIO DI FUNZIONE

124

xe x 11

1

−≈−−

si ha:

1)1(lim −=−=+∞→ x

xqx

quindi la retta y = x-1 è un asintoto obliquo per la funzione. Derivata prima e ricerca dei punti di massimo e minimo

( )

+=′

−

xexf x 11

1

la derivata prima, nell'intervallo considerato, non si annulla mai ed è sempre positiva, la funzione quindi è sempre crescente. Si osservi inoltre che:

( ) òx

x xexf 011lim

1

0=

+=′

−

+→

Derivata seconda

( ) xex

xf1

3

1 −

=′′

La derivata seconda non si annulla mai in ( )+∞,0 , inoltre poiché la funzione è sempre crescente in ( )+∞,0 , la derivata seconda è sempre positiva in ( )+∞,0 . Grafico

-1 -0.5 0.5 1

-0.02

-0.01

0.01

STUDIO DI FUNZIONE

125

a) Il teorema di Lagrange non è applicabile poiché la funzione non è continua nel punto x=0 (punto interno all'intervallo assegnato)


xexxf1

2)(−

= svolgimento Si tratta di una funzione esponenziale fratta. Dominio

( ) ( )+∞∪∞−= ,00,..EC Simmetrie La funzione è pari, infatti:

( ) ( )xfexxf x =−=− −−

12)(

Sarà quindi sufficiente studiarla solo nell'intervallo ( )+∞,0 . Comportamento della funzione agli estremi del campo di esistenza

0lim1

2

0=

−

+→

x

xex

Il punto x=0 è una discontinuità eliminabile. Possiamo quindi prolungare con continuità la funzione ridefinendola come segue:

( )

=

≠=

−

00

01

2

x

xexxG

x

Inoltre

+∞=−

+∞→

x

xex

12lim

Quindi non ci sono asintoti orizzontali.

STUDIO DI FUNZIONE

126

Ricerca degli asintoti obliqui

+∞===−

+∞→

−

+∞→

x

x

x

xxe

xexm

11

2

limlim

non vi sono quindi asintoti obliqui (si ricordi che m deve esistere finito diverso da zero). Derivata prima e ricerca dei punti di massimo e minimo

( ) ( )121

+=′−

xexf x La derivata prima, nell'intervallo considerato, cioè ( )+∞,0 non si annulla mai ed è sempre positiva, la funzione quindi è sempre crescente. Inoltre si osservi che:

( ) ( ) 012limlim1

00=+=′

−

+→+→xexf x

xx

Derivata seconda

( )

++

=′′−

2

21 122x

xxexf x

La derivata seconda è sempre positiva (nell'intervallo considerato) essendo la funzione sempre crescente. Grafico

-1 -0.5 0.5 1

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

Esercizio 3.

Studiare il grafico della seguente funzione:

STUDIO DI FUNZIONE

127

1arctan34

)( −+−= xxxf π

svolgimento Si tratta di una funzione goniometrica irrazionale (con indice pari). Dominio La funzione è definita su tutto l'asse reale

( )+∞∞−= ,..EC Comportamento agli estremi del dominio

±∞=

−+−=

±∞→±∞→1arctan

34lim)(lim xxxfxx

π

Non ci sono asintoti orizzontali. Ricerca di eventuali asintoti obliqui.

411arctan

34lim =−+−

=±∞→ x

xx

mx

π

61arctan

3lim

411arctan

34lim πππ

=

−+−=

−−+−=

±∞→±∞→xxxxq

xx

quindi la retta 64π

+=xy è un asintoto obliquo per la funzione.

Derivata prima e ricerca dei punti di massimo e minimo.

<−

⋅−

−=′

>−

⋅+=′

=−−

⋅−

⋅−+

+=′

1121

21

41)(

112

1141)(

11

121

111

41)(

2

1

xxx

xf

xxx

xf

xx

xxxf

Si osservi che il campo di definizione della derivata è differente da quello della funzione iniziale, infatti per la derivata abbiamo:

STUDIO DI FUNZIONE

128

( ) ( )+∞∪∞−= ,11, derivata della ..EC Studio dei punti di non derivabilità:

( ) +∞=′+→

xfx 1lim ( ) −∞=′

−→xf

x 1lim

quindi nel punto di ascissa x=1 si ha una cuspide. Sostituendo x=1 nella funzione

determiniamo il punto

−

341,1 πP .

Si osservi inoltre che )(1 xf ′ è sempre positiva per x>1, mentre per )(2 xf ′ si ha:

( )

0 0)85( 4)1()2(

21)2( 0124

21)2( 0121

21

41

22 <⇒<+−⇒>−−⇒

⇒>−−⇒>−−−−−

⇒>−−

−

xxxxxx

xxxx

xxxx

Il punto

−

12,0 πQ è un punto di massimo per la funzione.

Derivata seconda

( )

( ) ( )

<−−

−⋅

−=′′

>−−

−=′′

=′′

1114

342

1)(

1114

31)(

)(

22

21

xxx

xx

xf

xxxx

xxf

xf

Non ci sono punti di flesso.

Grafico

STUDIO DI FUNZIONE

129

-7.5 -5 -2.5 2.5 5 7.5

-1.5

-1

-0.5

0.5

Esercizio 4 Studiare il grafico della funzione:

)2ln(13)(−−

=x

xf

Svolgimento Si tratta di una funzione logaritmica fratta Dominio

),2()2,2(.. 2ex

2x

0)2ln(1

02+∞+∪+=⇒

+≠

>⇒

≠−−

>−eeEC

x

x

Comportamento agli estremi del dominio:

0)2ln(1

3lim2

=−−+→ xx

In x=2 vi è un punto di arresto. Inoltre

( )−∞=

−−++→ )2ln(13lim

2 xex

STUDIO DI FUNZIONE

130

( )+∞=

−−−+→ )2ln(13lim

2 xex

La retta x=2+e è un asintoto verticale. infine

0)2ln(1

3lim =−−+∞→ xx

La retta y=0 è un asintoto orizzontale, non vi sono asintoti obliqui. Derivata prima e ricerca dei punti massimo e minimo

( )( )2)2ln(123)(

−−−=′

xxxf

si osservi che la derivata prima non si annulla mai, inoltre è positiva per:

( )( ) ..per 0)2ln(12 2 ECxxx ∈∀>−−− La funzione non presenta né massimi né minimi, ed è sempre crescente. Derivata seconda

( )( ) ( )32 )2ln(12

)2ln(13)(−−−

−+=′′

xxxxf

Grafico

3 4 5 6 7 8 9

-40

-20

20

40

Esercizio 5

STUDIO DI FUNZIONE

131


−

−=1

1log)(x

xxf

Svolgimento Si tratta di una funzione logaritmica fratta Dominio

21 1 1

1 0

11 <⇒−<⇒<

−⇒>

−− xxx

xx

xx

inoltre 01 ≠−x quindi:

∞−=

21,..EC

Comportamento agli estremi del dominio di definizione Si osservi che:

<<

−−

≤

−−

=

−

−=

210

112log

0 1

1log

11log)(

xxx

xx

xxxf

quindi:

−∞=

−−

−→ 1

12loglim21 x

xx

La retta 21

=x è un asintoto verticale (destro) per la funzione

Inoltre

−∞=

−−

−∞→ 11loglim

xx

Non vi sono asintoti orizzontali

STUDIO DI FUNZIONE

132

Ricerca di eventuali asintoti obliqui. Non vi sono asintoti obliqui, infatti:

0)1log(lim1

1log1lim =−−

=

−−

=−∞→−∞→ x

xxx

mxx

(m deve esistere finito diverso da zero) Derivata prima e ricerca dei massimi e minimi

( )( )

<<−−

−

<−−

=

−

−−

−−

=′

210

1121

0 1

1

1

1)1(

1

11

1)(2

xxx

xx

xx

xx

xx

xxf

Si osservi che il campo di esistenza della derivata è differente da quello della funzione assegnata, infatti si ha:

( )

∪∞−

21,00, :derivata della ..EC

Determiniamo quindi gli eventuali punti di non derivabilità:

( )( ) 1112

1lim0

−=−−

−+→ xxx

( ) 11

1lim0

=−−

−→ xx

In x=0 la funzione presenta un punto angoloso. In corrispondenza di tale punto si hanno due rette tangenti al grafico della funzione, y=-x (retta tangente destra) e y=x (retta tangente sinistra). Inoltre

0

01

01

1

0)( <

>−

>−

−

⇒>′ x

xx

xx

xf

STUDIO DI FUNZIONE

133

quindi la funzione è crescente per x<0, decrescente in 0<x<1/2. Derivata seconda

( )

( ) ( )

<<−−

−

<−

=′′

210

11234

0 1

1

)(

22

2

xxx

x

xx

xf

Si verifica facilmente che non ci sono punti di flesso. Grafico:

-8 -6 -4 -2

-4

-3

-2

-1

Esercizio 6.


)1(51

2 )1()( +−−= xexxf Svolgimento Si tratta di una funzione esponenziale irrazionale (con indice dispari) Dominio:

( )+∞∞−= , ..EC Comportamento agli estremi

STUDIO DI FUNZIONE

134

0)1(lim )1(51

2 =− +−

+∞→

x

xex (per la gerarchia degli infiniti)

La retta y=0 è un asintoto orizzontale destro, mentre

+∞=− +−

−∞→

)1(51

2 )1(lim x

xex

quindi non vi è asintoto orizzontale sinistro. Ricerca di eventuali asintoti obliqui.

+∞=−

=+−

−∞→ xexm

x

x

)1(51

2 )1(lim

Non ci sono asintoti obliqui. Derivata prima e ricerca di eventuali punti di massimo e minimo:

campo di esistenza della derivata:

( ) ( ) ( )+∞∪−∪−∞−= ,11,11, ..EC studio dei punti di non derivabilità:

−∞=′−−→

)(lim1

xfx

−∞=′+−→

)(lim1

xfx

+∞=′

−→)(lim

1xf

x +∞=′

+→)(lim

1xf

x

nei punti di ascissa 1±=x il grafico della funzione presenta dei flessi a tangente verticale. Si osservi inoltre che:

5261

5261 0525 0)( 2 +

<<−

⇒<−−⇒>′ xxxxf

la funzione presenta nei punti di ascissa 5

261−=x e

5261+

=x , rispettivamente,

un minimo e un massimo.

)1(

54

2

2

)1(5

525)( +−

−

−−−=′ xe

x

xxxf

STUDIO DI FUNZIONE

135

Grafico (lasciato al lettore come esercizio con il calcolo della derivata seconda)

Esercizio 7. Studiare il grafico della seguente funzione:

24

)( −+

= xx

xexf svolgimento Si tratta di una funzione esponenziale fratta Dominio:

( ) ( )+∞∪∞−= ,22,..EC Comportamento agli estremi del dominio

+∞=−+

+→

24

2lim x

x

xxe

0lim 24

2=−

+

−→

xx

xxe

la retta x=2 è un asintoto verticale destro per la funzione Si osservi che:

xexe xx

~24

−+

per ±∞→x quindi

−∞=−+

−∞→

24

lim xx

xxe

+∞=−+

+∞→

24

lim xx

xxe

Perciò non ci sono asintoti orizzontali Ricerca di eventuali asintoti obliqui:

ex

xemxx

x==

−+

−∞→

24

lim ex

xemxx

x==

−+

+∞→

24

lim

STUDIO DI FUNZIONE

136

−=

−=

−−+

−∞→

−+

−∞→1limlim

124

24

xx

x

xx

xexeexxeq

−=

−=

−−+

+∞→

−+

+∞→1limlim

124

24

xx

x

xx

xexeexxeq

si osservi che:

26~1

124

−

−

−−+

xe x

x

per ±∞→x

quindi:

ex

xeexeqx

xx

x6

26lim1lim

124

=−

=

−=

±∞→

−−+

±∞→

abbiamo il seguente asintoto obliquo: y=ex+6e Derivata prima e ricerca dei punti di massimo e minimo:

( )24

2

2

224

)2(410

261)( −

+−+

−+−

=

−

−=′ xx

xx

ex

xxx

xexf

Si osservi che il campo di esistenza della derivata è lo stesso della funzione iniziale, non vi sono quindi punti di non derivabilità. Inoltre:

215,215 0410 0)( 2 +>−<⇒>+−⇒>′ xxxxxf abbiamo in corrispondenza dei punti 215 e 215 +=−= xx , rispettivamente, un punto di massimo e uno di minimo. Derivata seconda

24

4)2(4860)( −

+

−−

=′′ xx

exxxf

Annullando la derivata seconda si trova il punto di flesso per

−4

54,

54 eF .

Grafico (lasciato al lettore come esercizio)

STUDIO DI FUNZIONE

137


xxxf log)( 32

= svolgimento Si tratta di una funzione logaritmica irrazionale (con indice dispari). Dominio:

( )+∞= ,0..EC Comportamento agli estremi del dominio

[ ] 0loglim)1( posto 0loglim32

32

0=

−===∞⋅=

+∞→+→ y

yx

yxxyx

(dalla gerarchia degli infiniti)

In x=0 si ha una discontinuità di terza specie (eliminabile). Inoltre

+∞=+∞→

xxx

loglim 32

Non ci sono asintoti orizzontali. Ricerca di eventuali asintoti obliqui:

0loglimloglim31

32

===+∞→+∞→

x

xx

xxmxx

non ci sono asintoti obliqui. Derivata prima e ricerca dei punti di massimo e minimi

)3log2(31)( 3

1

+=′−

xxxf

Risulta

23

03log2 0)(−

>⇒>+⇒>′ exxxf

nel punto di ascissa 23

−

= ex la funzione presenta un minimo.

STUDIO DI FUNZIONE

138

Inoltre si osservi che:

−∞=+=′−

+→+→)3log2(

31lim)(lim 3

1

00xxxf

xx

Derivata seconda

)3log2(91)( 3

4

+−=′′−

xxxf

Annullando la derivata seconda si trova il punto di flesso

eeF

23,2

3

.

Grafico:

1 2 3 4 5

1

2

3

4

Esercizio 9

Studiare la seguente frunzione:

)2arctan(2)( −−= xexxf Svolgimento La funzione è goniometrica. Dominio

),(.. +∞−∞=EC

STUDIO DI FUNZIONE

139

Si osservi che operando la traslazione X=x-2 la funzione assume la forma:

xexXfxg arctan)2()( =+= Comportamento agli estremi del dominio

+∞=+∞→

x

xxe arctanlim −∞=−

−∞→

x

xxe arctanlim

Non ci sono asintoti orizzontali. Ricerca degli eventuali asintoti obliqui

2arctanarctan

limlimπ

eex

xem x

x

x

x===

+∞→+∞→

[ ] 2arctan

2

2arctan

222arctan

1lim01limlim

ππππ

eex

xexexexeq x

x

Hx

x

x

x−=

+−

=∞⋅=

−=

−=

+∞→

+−

+∞→+∞→

2arctan

arctan

limlimπ

−

+∞→−∞→−=−=

−= ee

xxem x

x

x

x

[ ] 2arctan

2

2arctan

222arctan

1lim01limlim

ππππ−

−∞→

+−

−∞→

−

−∞→=

+=∞⋅=

+−=

+−= ee

xxexexexeq x

x

Hx

x

x

x

abbiamo quindi l’asintoto obliquo +∞→−= xxey per)1(2π

e

−∞→−−=−

xxey per)1(2π

. Derivata prima e eventuali punti di massimo e minimo La derivata non è definita in x=0, analizziamo la natura di questo punto di non derivabilità:

<

+++

−

>

+++

=

++=′

0 1

1

0 1

1

1)(

2

2arctan

2

2arctan

2

arctan

xx

xxe

xx

xxe

xx

xxexg

x

x

x

La derivata non è definita in x=0, analizziamo la natura di questo punto di non derivabilità:

STUDIO DI FUNZIONE

140

11

1lim2

2arctan

0=

+++

+→ xxxe x

x 1

11lim

2

2arctan

0−=

+++

−−→ x

xxe x

x

abbiamo qundi un punto angoloso di ascissa x=0. Si osservi inoltre che la derivata prima non si annulla mai, e la funzione è sempre crescente per 0≥x e decrescente per x<0. Grafico:

-6 -4 -2 2 4 6

2

4

6

8

10


+−

−+=11arcsin32)(

2

2

xxxxf

Svolgimento Si tratta di una funzione goniometrica fratta Dominio Si osservi che il denominatore della frazione è sempre diverso da zero, deve risultare:

0) x(tranne 0 11 1 11 222

2

2

=≥⇒+≤−⇒≤+− xxx

xx

quindi

STUDIO DI FUNZIONE

141

( )+∞∞−= ,..EC Comportamento della funzione agli estremi del dominio

±∞=

+−

−+±∞→ 1

1arcsin32lim2

2

xxx

x

Non vi sono asintoti orizzontali. Ricerca di eventuali asintoti obliqui

111arcsin32

lim2

2

=

+−

−+=

±∞→ xxxx

mx

232

11arcsin32lim

2

2 π−=

−

+−

−+=±∞→

xxxxq

x

abbiamo determinato l'asintoto obliquo di equazione:

232 π

−+= xy

Derivata prima e ricerca dei massimi e minimi:

( )

>+−

<++

=+

−=+

⋅

+−

−

−=′

0 15

0 17

)1(61

14

111

31)(

2

2

2

2

2222

2

2

xxx

xxx

xxx

xx

xx

xf

si osservi che il campo di definizione della derivata è differente dal campo di definizione della funzione iniziale, per la derivata si ha:

( ) ( )+∞∪∞−= ,00,..EC Studiamo quindi la derivata sinistra nel punto zero:

( ) 7lim0

=′−→x

xf ( ) 5lim0

−=′+→x

xf

Nell'origine si presenta un punto angoloso

STUDIO DI FUNZIONE

142

Studiando il segno della deriva prima si determina un punto di minimo con ascissa 5=x .

Derivata seconda

( )

( )

>+

<+

−

=′′

0 1

12

0 1

12

)(

22

22

xx

x

xx

x

xf

Grafico:

-2 2 4

-4

-2

2

4

6


( )

−

+=

11

arctanxx

xf

Svolgimento Si tratta di una funzione goniometrica fratta

STUDIO DI FUNZIONE

143

Dominio Posto 01 ≠−x , da cui segue che:

( ) ( ) ( )+∞∪−∪−∞−= ,11,11,..EC Comportamento agli estremi del dominio

411

arctanlim π=

−

+±∞→ x

xx

La retta 4π

=y un asintoto orizzontale.

Inoltre

211

arctanlim1

π=

−

+−−→ x

xx

21

1arctanlim

1

π−=

−

++−→ x

xx

Perciò nel punto x=-1 si ha una dicontinuità di prima specie. Infine

211

arctanlim1

π−=

−

+−→ x

xx

21

1arctanlim

1

π=

−

++→ x

xx

Nel punto x=1 si ha una dicontinuità di prima specie. Derivata prima e ricerca dei punti di massimo e minimo

( ) ( )

( ) )1(1

11

11

1

1)(222 xx

xx

xxxx

xx

xx

xf+

−=−

+−−

⋅

−

++

=′

Si osservi che il dominio della derivata è differente dal dominio della funzione assegnata. La derivata ha il seguente dominio:

( ) ( ) ( ) ( )+∞∪∪−∪−∞−= ,11,00,11,..EC Studiamo quindi il comportamento della derivata in x=0

STUDIO DI FUNZIONE

144

1)1(

lim20

−=

+−

+→ xxx

x 1

)1(lim

20=

+−

−→ xxx

x

ne deduciamo che nel punto x=0 si ha un punto angoloso. Si osservi inoltre che la funzione è sempre decrescente per x>0, mentre è crescente per x<0. Derivata seconda

22 )1()(

xx

xf+

−=′

Grafico:

-7.5 -5 -2.5 2.5 5 7.5

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5


))1log(log()( xxf −= Svolgimento Si tratta di una funzione logaritmica Dominio

STUDIO DI FUNZIONE

145

0 1-1

1

0)1log(

01<⇒

>

<⇒

>−

>−x

x

x

x

x

Quindi

( )0,.. ∞−=EC Comportamento agli estremi del dominio:

−∞=−−→

))1log(log(lim0

xx

Non ci sono asintoti orizzontali. La retta x=0 è un asintoto verticale destro. Inoltre

+∞=−−∞→

))1log(log(lim xx

Ricerca di eventuali asintoti obliqui:

01

)log(lim)1log( (posto ))1log(log(lim =−

=−==−

=−∞→−∞→ yyx e

yxyx

xm

Non ci sono asintoti obliqui. Derivata prima e ricerca dei punti di massimo e minimo

xxxf

−−

⋅−

=′1

1)1log(

1)(

La deriva prima non si annulla mai nel dominio di definizione, inoltre è sempre negativa, quindi la funzione è sempre decrescente. Derivata seconda

( )( ) )1(log1

1log1)(22 xx

xxf−−

−−=′′

Grafico

STUDIO DI FUNZIONE

146

-10 -8 -6 -4 -2

-6

-4

-2

Esercizio 13.


)2log()2()( 3 −⋅−= xxxf Svolgimento La funzione è logaritmica irrazionale Dominio

2 02

0)2( 3

>⇒

>−

>−x

x

x

Comportamento agli estremi

0)log(1lim)2

1 (posto)2log()2(lim23

3

2=−=

−==−⋅−

+∞→+→y

yxyxx

yx

Inoltre

+∞=−⋅−+∞→

)2log()2(lim 3 xxx

Non ci sono asintoti orizzontali. Ricerca di eventuali asintoti obliqui.

STUDIO DI FUNZIONE

147

+∞=−⋅−

=+∞→ x

xxm

x

)2log()2(lim

3

Derivata prima e ricerca dei punti di massimo e minimo

( )

+−−=′ 1)2log(232)( 2

1

xxxf

Si ha:

( ) 32

21

2 x2 01)2log(232 0)(

−

+==⇒=

+−−⇒=′ exxxxf

Inoltre:

( ) 01)2log(232lim)(lim 2

1

22=

+−−=′

+→+→xxxf

xx

Derivata seconda:

( )

+−−=′′ − 4)2log(232

21)( 2

1

xxxf

Si ha:

32

31

32

2 023)2(

−−

+=⇒>=+′′ exeef ascissa del punto di minimo.

Si osservi che il punto x=2 va escluso in quanto non appartiene al campo di esistenza.

Annullando la derivata seconda si trova il punto di flesso

−+ −− 43

8

38,2 eeF

Inoltre la funzione è crescente per 32

2−

+> ex , mentre per 32

22−

+≤< ex la funzione è decrescente. Grafico

STUDIO DI FUNZIONE

148

3 4 5 6 7

1

2

3

4

5


112

)( −+

= xx

xexf svolgimento Si tratta di una funzione esponenziale fratta Dominio:

( ) ( )+∞∪∞−= ,11,..EC Comportamento agli estremi del dominio

0lim 112

1=−

+

−→

xx

xxe

+∞=−+

+→

112

1lim x

x

xxe

la retta x=1 è un asintoto verticale sinistro per la funzione Inoltre

STUDIO DI FUNZIONE

149

−∞=−+

−∞→

112

lim xx

xxe

+∞=−+

+∞→

112

lim xx

xxe

Non ci sono asintoti orizzontali Ricerca di eventuali asintoti obliqui:

2112

lim ex

xemxx

x==

−+

+∞→ 2

112

lim ex

xemxx

x==

−+

+∞−

−=

−=

−−+

+∞→

−+

+∞→1limlim

2112

22112

xx

x

xx

xexexexeq

−=

−=

−−+

−∞→

−+

−∞→1limlim

2112

2224

xx

x

xx

xexexexeq

si osservi che:

13~1

2112

−

−

−−+

xe x

x

per ±∞→x

quindi:

222112

2 31

3lim1lim ex

xeexeqx

xx

x=

−=

−=

±∞→

−−+

±∞→

abbiamo il seguente asintoto obliquo: )3(2 += xey Derivata e ricerca dei punti di massimo e minimo:

112

2

2

)1(15)( −

+

−+−

=′ xx

ex

xxxf

Si osservi che il campo di esistenza della derivata è lo stesso della funzione iniziale, non vi sono quindi punti di non derivabilità. Inoltre:

2215,

2215 015 0)( 2 +

>−

<⇒>+−⇒>′ xxxxxf

STUDIO DI FUNZIONE

150

abbiamo in corrispondenza dei punti 2

215 e 2

215 +>

−< xx , rispettivamente, un

punto di massimo e uno di minimo. Grafico: (lasciato al lettore come esercizio insieme al calcolo della derivata seconda)


−−

=42log)(

2

xxxf

Svolgimento Si tratta di una funzione logaritmica fratta. Dominio:

( ) ( ) ( )+∞∪∪−∞−=⇒

≠

>−⇒

≠−

>−−

,44,22,.. 4x

02

04

042

2

2

ECx

x

xx

Comportamento agli estremi del dominio:

−∞=

−−

−−→ 42loglim

2

2 xx

x −∞=

−−

+→ 42loglim

2

2 xx

x

La retta 2−=x un asintoto verticale (sinistro), mentre la retta 2=x un asintoto verticale (destro). Inoltre

+∞=

−−

−→ 42loglim

2

4 xx

x +∞=

−−

+→ 42loglim

2

4 xx

x

La retta 4=x un asintoto verticale Inoltre

STUDIO DI FUNZIONE

151

+∞=

−−

±∞→ 42loglim

2

xx

x

perciò non vi sono asintoti orizzontali. Ricerca di eventuali asintoti obliqui

04

2log1lim2

=

−−

=−∞→ x

xx

mx

042log1lim

2

=

−−

=+∞→ x

xx

mx

Infatti:

04log

lim41log4log21loglog2

lim4

2log1lim22

=

−

=

−−−

−+

=

−−

=−∞→−∞→−∞→ x

x

x

xx

x

xx

xm

xxx

Non vi sono asintoti obliqui. Derivata prima e ricerca dei massimi e minimi

)2)(4(28)(

2

2

−−+−

=′xxxxxf

Si osservi che 0)( >′ xf quando:

( )+∞+∈∀⇒>−−+− ,144 0

)2)(4(28

2

2

xxxxx

(nella risoluzione della disequazione si è tenuto conto anche del campo di definizione della funzione) La funzione presenta un minimo in 144 +=x . Lasciamo al lettore lo studio della derivata seconda. Grafico:

STUDIO DI FUNZIONE

152

-10 -5 5 10

-6

-4

-2

2

4

6

8

Esercizio 16


−=

xxf

34log)(

Svolgimento Si tratta di una funzione logaritmica fratta. Dominio:

3 03

4<⇒>

−x

x

quindi:

( )3,.. ∞−=EC Simmetrie Non vi sono simmetrie Comportamento agli estremi del dominio

+∞=

−=

− −→−→ xx xx 34limlog

34loglim

33

STUDIO DI FUNZIONE

153

La retta x=3 è un asintoto verticale (sinistro) per la funzione. Inoltre

−∞=

−=

− −∞→−∞→ xx xx 34limlog

34loglim

quindi non vi sono asintoti orizzontali Ricerca di eventuali asintoti obliqui

03

4log1lim =

−−∞→ xxx (dalla gerarchia degli infiniti)

non vi sono asintoti obliqui. Derivata prima ricerca dei punti di massimo e minimo

xxf

−=′

31)(

La derivata prima non si annulla mai, inoltre è sempre positiva nel dominio considerato, quindi la funzione è sempre crescente. Derivata seconda

( )231)(

xxf

−=′′

Grafico

-10 -8 -6 -4 -2 2-1

1

23

45

6

Esercizio 17.

STUDIO DI FUNZIONE

154


−=

13log)(

xxxf

Si tratta di una funzione logaritmica fratta Dominio:

10 1

0 0

13

><⇒

>

>⇒>

−xx

x

x

xx

quindi:

( ) ( )+∞∪∞−= ,10,..EC Simmetrie La funzione non presenta simmetrie. Comportamento della funzione agli estremi del dominio:

−∞=

−−→ 13loglim

0 xx

x +∞=

−+→ 13loglim

1 xx

x

La retta di equazione x=0 è un asintoto verticale sinistro mentre la retta x=1 è un asintoto verticale destro. Inoltre

3log1

3loglim =

−−∞→ xx

x 3log

13loglim =

−+∞→ xx

x

La retta y=log 3 è un asintoto orizzontale per la nostra funzione (non vi sono quindi asintoti obliqui). Derivata prima e ricerca dei massimi e minimi

)1(1)(−

−=′xx

xf

La derivata prima non si annulla mai. Inoltre è sempre positiva nel dominio di definizione, quindi la funzione è sempre decrescente. Derivata seconda

STUDIO DI FUNZIONE

155

22 )1(12)(

−−

=′′xxxxf

E’ facile verificare che la funzione non presenta flessi. Grafico:

-10 -5 5 10

-4

-2

2

4

6

Esercizio 18


111

)( −+= xexf Si tratta di una funzione esponenziale irrazionale (con indice pari) e fratta. Dominio:

−≥≠

⇒

≥+

≠−+

10

01

011

xx

x

x quindi: [ ) ( )+∞∪−= ,00,1..EC

Simmetrie la funzione non presenta simmetrie. Comportamento della funzione agli estremi del dominio

STUDIO DI FUNZIONE

156

0lim 111

0=−+

−→

x

xe 0lim 11

1

0=−+

+→

x

xe

Nel punto x=0 la funzione presenta una discontinuità di seconda specie, inotre la retta di equazione x=0 è un asintoto verticale (sinistro) per la funzione. Inoltre

1lim 111

=−+

+∞→

x

xe

la retta y=1 è un asintoto orizzontale per la funzione. Non vi sono quindi asintoti obliqui. Inoltre si osservi che:

1)1( −=− ef Derivata prima e ricerca dei massimi e minimi

( )11

1

2

11121)( −+

+−+−=′ xe

xxxf

La derivata non si annulla mai, inoltre è sempre negativa nel dominio di definizione, quindi la funzione è sempre decrescente. Si osservi anche che il campo di definizione della derivata è differente dal campo di esistenza della funzione f(x) , infatti la derivata non è definita nel punto di ascissa x=-1. Studiamo quindi il comportamento della derivata prima in tale punto:

( ) −∞=

+−+− −+

+−→

111

21 1112

1lim x

xe

xx

Grafico (lasciato al lettore come esercizio insieme al calcolo della derivata seconda).

Documents

studio di funzione - University of Cagliariunica2.unica.it/roberarg/pdf/studio di funzione.pdfsoddisfa le ipotesi del teorema, non è derivabile nel punto 0 che appartiene all’intervallo