1

UNIVERSITATEA “ POLITEHNICA “ BUCUREŞTI CATEDRA DE FIZICĂ

LABORATORUL DE FIZICĂ ATOMICĂ ŞI NUCLEARĂ BN-030

STUDIUL ATENUĂRII FASCICULULUI DE PARTICULE α ÎN AER ŞI

DETERMINAREA ENERGIEI LOR DIN RELAŢIA ENERGIE - PARCURS

2004 - 2005

2

STUDIUL ATENUĂRII FASCICULULUI DE PARTICULE α ÎN AER ŞI DETERMINAREA ENERGIEI LOR

DIN RELAŢIA ENERGIE - PARCURS 1. Scopul lucrării În lucrare se urmăreşte măsurarea parcursului particulelor α în aer, şi determinarea energiei lor, folosind relaţia dintre energie şi parcurs ( 3 / 20,32R E= ⋅ ). 2. Teoria lucrării Rolul esenţial în procesul de frânare a particulelor α îl joacă ciocnirile neelastice cu electronii mediului străbătut, care provoacă ionizarea sau excitarea atomilor (moleculelor) mediului.

Fig. 1

Se consideră o particulă incidentă de masă m şi viteză v care se ciocneşte într-un punct A cu o particulă în repaus (faţă de SL) şi de masă M. În cursul ciocnirii, centrul de masă al sistemului celor două particule se mişcă rectiliniu şi uniform pe direcţia Ox a vitezei v . Viteza acestei mişcări este:

mvum M

=+

.

După ciocnire, particula incidentă se depărtează de A după o direcţie care face cu Ox unghiul θ , având viteza 'v v< . Particula ciocnită se depărtează de A cu o viteză v , după o direcţie care face unghiul 'θ cu Ox; unghiurile θ şi 'θ reprezintă deviaţiile absolute; deschiderea furcii este 'ψ = θ+ θ . În momentul când, după ciocnire, centrul de masă comun al celor 2 particule se află într-o poziţie oarecare G, particula incidentă se află în A', iar particula ciocnită în B. Mişcările finale ale celor două particule pot fi deci descrise ca rezultante ale unei mişcări comune de translaţie cu viteza u pe direcţia Ox şi ale unor mişcări relative de-a lungul dreptei A'GB cu vitezele 1u respectiv 2u . Se demonstrează că 2u u= . Unghiul ϕ este deviaţia relativă a particulei incidente în referenţialul legat de centrul de masă al celor 2 particule). Unghiul ′ϕ este, la fel, deviaţia relativă a particulei ciocnite:

′ϕ+ ϕ = π , ( )tg 0′ϕ + ϕ = , iar 2′ ′ϕ = θ , 2 ′ϕ+ θ = π . Unghiul ϕ , calculat cu aproximatie admiţând valabilitatea legii lui Coulomb, este dat de:

3

2

1 22tg

2z z e m M

mMbvϕ += ⋅ (1)

1z e - sarcina particulei incidente; 2z e - sarcina particulei ciocnite; b - parametrul de şoc. Dar:

sintgcosvv u

′ θϕ =

′ θ − sintg

cosVV u

′θϕ =

′θ − (2)

Rezultă cos2Vu

′= θ şi ţinând seama de valoarea lui u:

2 cosV mv m M

′= θ+

(3)

Energia preluată de particula ciocnită se calculează din raportul 2 2/MV mv :

( )

22

4 cosmM

m M

′ε ′= θε +

(4)

unde ′ε şi ε sunt energiile particulei ciocnite (după ciocnire) şi ale particulei incidente (înainte de ciocnire). A. Ciocnirile neelastice ale particulelor α cu nucleele joacă un rol neglijabil din punct de vedere al pierderilor de energie. Aceasta se poate arăta foarte simplu dacă se consideră cazul împrăstierii neelastice sub unghiuri mici, care este cel mai probabil. Particula ciocnită capătă conform relaţiei (4) şi ţinând seama de faptul că / 2ϕ este complementar cu θ viteza V:

2 sin2

mV vm M

ϕ=

+ (5)

deci energia cinetică:

( )

22 2

22 sin2 2

MV mMmvm M

ϕ′ε = =+

(6)

Exprimând 2sin2ϕ prin pătratul tangentei şi înlocuind tg

2ϕ prin valoarea dată de (1)

se obţine:

2

1 22 2

2 1

tg2

z z eM v b

′ε = ϕ +

(7)

ϕ mic, 2tg2ϕ se neglijează la numitor faţă de b.

În primă aproximaţie:

22

1 22 z z eM bv

′ε =

(8)

Dacă particula incidentă este o particulă α ( 1 2z = ) ea va pierde la o ciocnire neelastică cu un nucleu:

4 2

2 28

ne Zb v M

∆ε =

(Z - numărul atomic al nucleului), iar la ciocnirea cu un electron (presupus liber) pierde energie:

4

4

2 20

8e

eb v m

∆ε = .

Deci raportul pierderilor de energie este:

20

e

n

Mm Z

∆ε=

∆ε (9)

În primă aproximaţie p 02000M Am Am≅ ≅ (A - numărul de masă; pm - masa prototipului); la elemente nu prea grele 2A Z≅ :

4000e

n Z∆ε

=∆ε

.

Astfel la He (Z = 2) energia pierdută de o particulă α la o împrăştiere neelastică pe un nucleu este de aproximativ 2000 ori mai mică decât la ciocnire cu un electron dacă se consideră parametrul de şoc acelaşi. B. Ne propunem să aflăm energia medie pierdută de o particulă încărcată, pe unitatea de absorbant, datorită ciocnirilor ei neelastice cu electronii. Procesul individual de interacţie se petrec conform schemei din fig. 1. Fie em - masa electronului împrăştiat (iniţial în repaos în SL) şi M - masa particulei incidente care se mişcă cu viteza v pe direcţia Ox. (Centrul de masă în tot timpul ciocnirii se mişcă rectiliniu şi uniform pe direcţia Ox, cu viteza:

Mu vm M

=+

(10)

Dacă z e⋅ este sarcina particulei incidente, probabilitatea pe secundă ca ea să fie deviată cu unghiul ϕ (deviaţie relativă) este dată de o relaţie de tip Rutherford:

( )2 4

2 2 4

12 sin

2

z ePu v

ϕ =ϕ

(11)

unde µ este masa redusă mMm M

µ =+

.

Considerând particula nerelativistă, raţionamentul este condus astfel, componenta xV a vitezei electronului V după interacţie este: 2 cosxV u u= − ϕ şi pentru că 2u u=

( )1 cosxV u= − ϕ Componenta zV a vitezei V este: 2 sin sinzV u u= − ϕ = − ϕ deci:

( )22 2 2 21 cos sin 4sin 2 sin2 2x zV V V u u uϕ ϕ

= + = − ϕ + ϕ = = ⋅ . (12)

Introducând (10) în (12) se obţine:

2 sin2

MV vm M

ϕ=

+ relaţie identică cu (3).

Urmează că energia şi respectiv impulsul electronului după ciocnire vor fi:

( )2

2 22

1 2 sin2 2

1

mvE mVmM

ϕϕ = =

+

(13)

5

( ) 2 sin21

mvp mV mM

ϕϕ = =

+ (14)

Din ecuaţia (11) urmează că probabilitatea împrăştierii particulei incidente în unitatea de unghi solid: 2 sind dΩ = π ϕ ϕ este:

( )2 4

2 4 4

2 1 sin4 sin

2

z eP d dv

πϕ ϕ = ϕ ϕ

ϕµ.

Energia medie pierdută de o particulă incidentă prin fiecare ciocnire va fi:

( ) ( )2 4 2

4 2 2sin

sin1

z e mvE E P d dv m

M

π ϕ−δ = ϕ ϕ ϕ = ϕ

ϕ +

∫ ∫ .

Dar cum sin 4sin sin2 2

d ϕ ϕ ϕ ϕ =

şi 2

242

2

Mm1

mv1

vmv

+=

µ se obţine:

2 4

2

sin4 2

sin2

dz eEmv

ϕ π −δ =

ϕ.

Dacă se iau ca limite de integrare ( )0,π se obţine E−δ →∞ . Dificultatea se înlătură prin observarea că valorilor mici ale lui ϕ le corespund transferuri de energie şi impuls mici. Ori, particula difuzată fiind legată în atom, ionizarea nu poate avea loc decât dacă electronul primeşte energie mai mare sau cel puţin egală cu o cantitate minimă, corespunzătoare unei anumite valori minime ale lui ϕ , notată minϕ . Prin urmare:

2 4

2 min

4 1lnsin

2

z eEmvπ

−δ =ϕ

.

Dacă substanţa străbătută de particula incidentă are număul atomic Z şi este formată din N atomi pe unitatea de volum, ea va conţine NZ dx electroni pe unitatea de suprafaţă. Se găseşte că pierderea medie de energie pe unitatea de lungime în mediul străbătut este:

2 4

2 min

4 1lnsin

2

dE z edx mv

π− =

ϕ (15)

Rămâne de precizat doar valoarea minϕ . Procesul de interacţiune între particulă şi electron va fi adiabatic, adică nu va modifica starea cuantică a electronilor din atom, dacă

inversul "duratei de şoc" τ , este mic faţă de frecvenţa de ionizare ν , definită prin Ih

ν = ,

unde I este energia medie de ionizare a atomilor mediului, iar h - constanta lui Planck. Pe de altă parte, dacă λ este lungimea de undă asociată electronului proiectat prin ciocnire, regiunea spaţială în care se petrece acest proces nu poate fi mai mică decât λ . Este uşor de

văzut că ( )hp

λ =ϕ

.

Durata de şoc τ este egală vλ , adică

( )h

vp ϕ de unde ( )1 v p

h= ϕ

τ. Presupunem că

1 Ihτ

= , deci ( )I vp= ϕ şi ţinând seama de (14),

6

min2 sin21

mvI vmM

ϕ=

+

,

de unde:

min2

1sin

2 2

mIM

mv

+ ϕ = .

Introducând în (15), se obţine:

2 4 2

24 2ln

1

dE z e mvNZmdx mv IM

π− =

+

(16)

În cazul particulelor α se ia în primă aproximaţie 0mM

= :

2 4 2

24 2lndE z e mvNZ

dx Imvπ

− = (17)

Pe baza modelului statistic (Thomas - Fermi) se poate lua: 9,5I Z≅ (în eV).

Se poate considera că pierderea de energie medie pe unitatea de lungime într-un mediu dat, variază invers proporţional cu pătratul vitezei (deci cu energia) particulelor incidente

(factorul logaritmic are o influenţă redusă asupra lui dEdx

). Pierderile de energie pe unitatea de

masă superficială în aer NTP ( dEdx

- MeV/g cm-2) se trec în pierderi de energie pe unitatea de

lungime. Pierderile de energie pe unitatea de masă superficială în aer ( dEdx

- MeV/cm)

înmulţindu-le pe primele cu densitatea aerului 0,001293 g/cm3. C. O mărime importantă pentru determinarea energiei particulelor încărcate este parcursul, adică grosimea R de strat absorbant necesară pentru a reduce la zero viteza particulelor, direcţia lor de incidenţă fiind normala la suprafaţa stratului. În principiu acest număr variază cu distanţa datorită atenuării, de la valoarea initiala 0N la N după parcurgerea distanţei x (vezi fig.2). În cazul particulelor grele (deutroni, α ) ale căror traiectorii în absorbant sunt practic rectilinii, parcursul se poate măsura cu o bună precizie, abstracţie făcând fenomenul fluctuaţiei parcursului asupra căruia vom reveni. Parcursul R se defineşte astfel: dat fiind că variaţia medie de energie, pe unitatea de distanţă este funcţie de energia particulei

( ) ( )dE dEf E dxdx f E

− = → = −

( ) ( )

0

0

0

0 0

ER

E

dE dEdx Rf E f E

= = − =∫ ∫ ∫

admiţând în primă aproximaţie după cum rezultă din (17):

( )0 2 00

1 1~ ~f EEv

20~2ER sau 4

0~E v

Parcursul particulelor α se poate determina experimental:

7

Numărarea particulelor α care trec într-o secundă prin unitatea de secţiune dreaptă a unui fascicul paralel monocinetic de particule α arată că la diferite distanţe x de sursă, acest număr n rămâne practic constant până la o anumită distanţă minx R= . Această distanţă este "parcursul minim" în mediul cercetat (aer NPT) al particulelor α de viteza iniţială 0v . De la

minR , n scade până la zero, la o distanţă maxx R= . maxR este parcursul maxim. minR şi

maxR determină limitele în care are loc "fluctuaţia parcursului". Între aceste limite se defineşte parcursul cel mai probabil ( pR ). pR se poate determina din abscisa corespunzătoare maximului care se obţine la derivarea curbei din fig. 3. Ca formulă de lucru pentru calculul aproximativ al parcursului particulelor α în aer în NPT se foloseşte: 3 / 2

00,32R E≅ ⋅ (cm) (18) unde 0E este exprimat în MeV. 3. Descrierea montajului şi a aparaturii necesare Pentru a măsura numărul de particule α care provin de la o sursă în funcţie de grosimea de aer (în cm) prin care trece fasciculul, se foloseşte un detector cu scintilaţie (D), un numărător de tip "Nardeux" şi o sursă (S) de Americiu care prin dezintegrare

241 237AM Np458 ani

95 95α→

oferă un fascicul de particule α caracterizat de trei energii ( 1 2 3, ,E E Eα α α ) care poate fi

considerat aproximativ monoenergetic datorită faptului că ponderea radiaţiei 1α în fascicul este de 86 %≅ ( 2 312,7 %, 1,3 %α → α → ). Sursa şi detectorul sunt plasate într-o cameră obscură pentru ca lumina să nu ajungă pe detector.

Fig. 2 Fig. 3 4. Modul de lucru 1. Înainte de a conecta instalaţia la tensiune, se va urmări pe panoul frontal al numărătorului ca: - ambele întrerupătoare să fie pe poziţia "Arret"; - fotomultiplicatorul să fie conectat la "P. M. (α )"; - comutatorul din mijloc să fie pe poziţia "T. H. T."; - comutatorul din dreapta să fie pe poziţia "P. M. (α )". 2. Se conectează la tensiune instalaţia şi se vor fixa pe poziţia "Marche" ambele întrerupătoare, observându-se dacă pe detector avem aplicată o tensiune de lucru de 1800 V. 3. Cu ajutorul cremalierei se aduce sursa cât mai aproape de detector şi se notează această poziţie (se va ţine seamă că în această poziţie, datorită colimării fasciculului de particule α , grosimea de aer este 0 1,5x ≅ cm).

8

4. Se trece comutatorul din mijloc pe poziţia "1000 c/s". 5. Pentru a trasa curba ( )n f x= , adică numărul de pulsuri înregistrate într-o secundă funcţie de grosimea de aer în cm, se va depărta sursa faţă de detector cu câte 1 mm, corespunzătoare unei jumătăţi de ture ale şurubului, la fiecare măsurătoare până când instalaţia nu mai înregistrează nimic, trecând succesiv comutatorul din mijloc pe poziţia 100 c/s sau, corespunzător, după caz. Datele se introduc în următorul tabel :

x(cm) n (imp/s) ncitit din curba trasată (imp/s)

dn/dx (imp/s/cm)

5. Indicaţii pentru prelucrarea datelor 1. Fiecărei măsurări i se poate aplica corecţia de unghi solid (vezi fig 4 ):

( )2 2

2 1 cos 2 1 x

R x

Ω = π − θ = π − +

2Ω′Ω =π

( 2π - sursa e plană)

intregintreg emis emis

2 2

( 3 cm)1

nn n n Rx

x R

′= Ω → = ≅−

+

.

2. Se va obţine o curbă asemănătoare celei din fig. 3, (este de dorit ca pe grafic să se reprezinte şi eroarea ce caracterizează fiecare măsurare), după care se va face, la nevoie, derivarea curbei.

Fig. 4

9

Pentru aceasta se consideră o diviziune a abscisei x. Fie intervalul ( 1,i ix x + ) şi valorile ordonatelor corespunzătoare ( 1,i in n + ). Se va trasa graficul:

1

1

i i

i i

n ndndx x x

+

+

−=

− pentru

1 ...2

i iix xx x + −

= + etc.

Se va determina abscisa punctului de extremum al curbei obţinute, care va fi tocmai pR . 3. Cu ajutorul relaţiei (18) se va determina energia particulelor (considerând că foiţa de staniol de pe fereastra detectorului are un echivalent în aer de 1 cm). Este recomandabil ca pR să se obţină printr-o mediere a mai multor determinări şi cu

pR să se determine energia particulelor.

6. Utilitatea lucrării Lucrarea permite determinarea energiei fasciculelor de radiaţii α , parcursul, şi în acelaşi timp, identificarea acestora. În practică, se pot determina densităţi, grosimi foarte mici, grosimi de acoperire, etc. 7. Întrebări preliminare 1. Ce reprezintă radiaţia alfa ? Dar dezintegrarea alfa ? Care este masa de rapaus a unei

particule alfa ? Dar energia sa de repaus ? 2. Ce reprezintă defectul de masă ? Dar energia de legatură a unui nucleu ? În ce relaţie

se găsesc acestea ? 3. Ce este parcursul unei radiaţii în substanţă ? 4. Ce este şi cum se stabileşte o relaţie parcurs - energie ? 5. Cum se stabileşte valoarea pierderii medii de energie a unui fascicul de particule α pe

unitatea de lungime ? 6. Care este unghiul solid sub care o sursă de radiaţii "vede" un detector ? 7. Descrieţi instalaţia folosită în această lucrare. 8. Care este dependenţa experimentală a numărului de particule alfa care ajung în

detector în unitatea de timp de grosimea stratului de aer străbătut ? 9. Cum se face grafic derivarea unei curbe ? 10. Considerînd că pierderea de energie a unei particule alfa pe unitatea de parcurs este

invers proporţională cu viteza sa, să se obţină o relaţie parcurs-energie. 11. Ce relaţii parcurs - energie cunoaşteţi pentru radiaţiile α ? Dar pentru radiaţiile β ? 8. Observaţii Lucrarea poate fi efectuată în multe variante, folosind pentru detectarea particulelor α instalaţii foarte diverse; în lucrarea de faţă se foloseşte un detector cu scintilaţie, urmat de un cadenţmetru. Atenţie !: Detectorul cu scintilaţie trebuie bine protejat faţă de lumina exterioară: Impactul fasciculului de particule α pe detector poate fi sesizat atât prin creşterea bruscă a cadenţei, cât şi prin semnalul sonor produs de aparat.