Subiecte Etapa a II-a cls 5-8-22 februarie 2015.pdf

Concursul NaConcursul NaConcursul NaConcursul NaŃional de Matematicional de Matematicional de Matematicional de Matematică “Arhimede”“Arhimede”“Arhimede”“Arhimede”

EdiEdiEdiEdiŃia a XIIia a XIIia a XIIia a XII----a, Etapa a Ia, Etapa a Ia, Etapa a Ia, Etapa a IIIII----aaaa, , , , 22 februarie22 februarie22 februarie22 februarie 2012012012015555

Clasa a Clasa a Clasa a Clasa a IIIIIIII----aaaa

I. 1. CalculaŃi:

(2p) a) =−− 999900

(3p) b) =−+−+− 114116118120122124

2. AflaŃi suma numerelor a, b şi c dacă:

(4p) 312321231123 =−=−=+ cba

II. 1. ScrieŃi numărul 36 ca produs de:

(1p) a) 2 factori diferiŃi de 1

(1p) b) 3 factori diferiŃi de 1

(2p) c) 4 factori diferiŃi de 1

(2p) d) 5 factori, cu suma acestor factori egală cu 15

(3p) 2. În imaginea alăturată, Ana a desenat două linii drepte şi şapte cerculeŃe. Ea scrie în cerculeŃe numerele naturale de la 1 la 7, fără a le repeta, astfel încât suma numerelor de pe fiecare linie să fie 15. Ce număr a scris Ana în fiecare cerculeŃ?

III. (4p) 1. Începând de luni dimineaŃă, Zâna Florilor pictează în fiecare zi floricele în grădina sa, astfel: dimineaŃa două flori, la prânz trei flori, iar seara o floare. Câte flori pictează timp de 7 zile? Câte flori a pictat în total, dacă în dimineaŃa celei de-a zecea zi, înainte de a începe lucrul, mai avea de pictat în grădină doar 8 flori? În ce zi a săptămânii a terminat de pictat toate florile?

(5p) 2. Un joc pe calculator se desfăşoară astfel: la fiecare nivel, se afişează pe monitor un dreptunghi mare, ca în figura de mai jos. După primele 3 niveluri au fost afişate următoarele dreptunghiuri:

Nivelul 1 Nivelul 2 Nivelul 3

a) Ce dreptunghi va fi afişat pe ecran la nivelul 5? b) Care va fi suma tuturor numerelor afişate pe ecran în cerculeŃele din mijloc, după primele 9 niveluri? c) La al câtelea nivel va apărea pentru prima dată pe ecran numărul 19? Justificare!

IV. (4p) 1. Dacă Andrei ar mai avea 5 timbre, ar putea aşeza câte 7 timbre pe fiecare din cele 8 pagini ale albumului său. El primeşte de la bunicul său câteva timbre şi constată că acum poate aşeza câte 9 timbre pe fiecare pagină. Câte timbre avea Andrei la început? Câte timbre a primit de la bunicul său?

(5p) 2. Alexandru a construit trei castele şi a folosit în total 200 de piese Lego roşii şi albastre. Primul castel este construit din 55 de piese, toate roşii. Pentru al doilea castel a folosit 76 de piese, din care 25 sunt albastre, iar al treilea castel este construit numai din piese albastre. Din câte piese Lego albastre a construit Alexandru cel de-al treilea castel?

Notă. Toate subiectele sunt obligatorii. Fiecare subiect se notează de la 1 la 10 p. La fiecare subiect se acordă 1p din oficiu. Punctajul

maxim la o problemă se acordă pentru rezolvare corectă, completă şi cu explicaŃii clare. Timp de lucru: 2ore.

1 2 3 6

7

2 3 5 10

3 4 7 14

7

7



Clasa a Clasa a Clasa a Clasa a IIIIIIIIIIII----aaaa

I. (3p) 1) Figurile geometrice ascund cifre diferite. DescoperiŃi care este cifra corespunzătoare fiecărei figuri geometrice, pentru a se putea obŃine rezultatele următoare:

– : – : = 1

× – – – = 4

: + + + : = 20

× – – – : = 23

= ? = ? = ? = ?

(3p) 2) AflaŃi toate numerele naturale de 3 cifre diferite, de forma abc , ştiind că 248 =++× cba .

(3p) 3) AflaŃi diferenŃa dintre cel mai mare număr natural de 3 cifre cu produsul cifrelor egal cu 8 şi cel mai mic număr natural de 3 cifre diferite cu produsul cifrelor egal cu 8.

II. (3p) 1) Tata Spiri şi mama Duşa au 3 perechi de gemeni. Care e vârsta fiecărui copil, ştiind că produsul vârstelor tuturor copiilor este 36? (vârsta fiecărui copil este exprimată în ani, numere naturale)

(3p) 2) Mica Sirenă a scris pe nisip toate numerele de la 1 la 8, inclusiv. AjutaŃi-o să împartă aceste numere în 3 grupe cu sume egale.

(3p) 3) UrsuleŃul Beni-Ben a numerotat căsuŃele animalelor din Pădurea Veselă cu numere consecutive crescător, începând de la 1. În scrierea numerelor căsuŃelor, ursuleŃul a folosit cifra 3 de 42 de ori. Numărul ultimei

căsuŃe e de forma 5ab . Câte căsuŃe sunt în Pădurea Veselă?

III. (5p) 1) Corbul, lupul şi vulpea sunt prieteni. Suma vârstelor celor trei prieteni este de 56 de ani. Corbul e cu 16 ani mai în vârstă decât lupul, iar lupul este cu 2 ani mai mare decât vulpea.

a) CâŃi ani are fiecare? b) Cu câŃi ani în urmă corbul avea vârsta de 3 ori mai mare decât a lupului?

(4p) 2) AflaŃi un număr, ştiind că triplul sfertului dublului său este 12.

IV. (4p) 1) Alice citeşte o carte care are 120 de pagini. În prima zi citeşte o pagină, în a doua zi două pagini, astfel încât în fiecare zi citeşte cu o pagină mai mult decât în ziua precedentă. În câte zile termină de citit cartea?

(5p) 2) Peter-Pan are 3 săculeŃi cu smaralde (S1, S2, S3). În fiecare săculeŃ este un număr de smaralde. Din primul săculeŃ pune în cel de-al doilea tot atâtea smaralde câte vede că sunt deja în al doilea. Apoi, din S2 pune în S3 tot atâtea smaralde câte sunt în S3. La sfârşit, din S3 pune în S2 tot atâtea smaralde câte conŃine acum S2.

Acum, în primul săculeŃ sunt 38 de smaralde, în al doilea 8, iar în al treilea 36. Câte smaralde erau la început în fiecare săculeŃ? Notă. Toate subiectele sunt obligatorii. Fiecare subiect se notează de la 1 la 10 p. La fiecare subiect se acordă 1p din

oficiu. Punctajul maxim la o problemă se acordă pentru rezolvare corectă, completă şi cu explicaŃii clare. Timp de lucru: 2ore.

Concursul NaConcursul NaConcursul NaConcursul NaŃional de Matemational de Matemational de Matemational de Matematicicicică “Arhimede”“Arhimede”“Arhimede”“Arhimede”

EdiEdiEdiEdiŃia a XIIia a XIIia a XIIia a XII----a, Etapa a a, Etapa a a, Etapa a a, Etapa a IIIIIIII----aaaa, , , , 22 februarie22 februarie22 februarie22 februarie 2012012012015555

Clasa a Clasa a Clasa a Clasa a IVIVIVIV----aaaa

I. (3p) 1) CalculaŃi: =×− 9478100000

=×−×+ 0403:20152015:201520152015:2015

(3p) 2) Formele geometrice ascund numere naturale diferite:

+ = + +

+ + = +

+ + = 1488 = ?

(3p) 3) Fie numărul 888888=N . Calculează BA− unde: A este cel mai mic număr natural mai mare decât N şi este format din 6 cifre distincte, B este cel mai mare număr natural mai mic decât N şi este format din 6 cifre distincte.

II. (3p) 1) AflaŃi toate numerele naturale de forma abcd cu dcba <<< şi 18=+++ dcba .

(3p) 2) DeterminaŃi perechile de numere naturale a şi b ştiind că diferenŃa lor este 194, iar câtul împărŃirii numărului a la b este 10, iar restul nenul.

(3p) 3) Într-o cutie sunt 27 de cuburi roşii, 20 de cuburi verzi şi 15 cuburi albastre. Care este numărul maxim de cuburi pe care trebuie să le scot din cutie, fără să mă uit, pentru a fi sigur că în cutie rămân cel puŃin câte 10 cuburi din fiecare culoare?

III. (4p) 1) Mă gândesc la un număr. Îl înjumătăŃesc, apoi măresc rezultatul cu 3. Triplez noul rezultat şi îl măresc cu 6. Împart la 4 ultimul rezultat şi obŃin numărul la care m-am gândit iniŃial. Care este acela?

(2p) 2) Calculează suma cifrelor rezultatului 96...99...9996996966 +++++ 9 (în ultimul număr din adunare, cifra 9 se repetă de 9 ori).

(3p) 3) Cei 7 pitici ai Albei ca Zăpada au vârste exprimate prin ani numere naturale diferite (nu există gemeni). Dacă adunăm diferenŃele dintre vârsta celui mai mare pitic şi vârsta fiecăruia dintre ceilalŃi pitici (deci 6 diferenŃe) obŃinem suma 21. AflaŃi vârsta fiecărui pitic, ştiind că suma vârstelor celor 7 pitici este 126 ani.

IV. (5p) 1) Ioana şi Mihai sunt colegi de clasă. Ioana are de 4 ori mai multe colege decât colegi, iar Mihai are de 5 ori mai multe colege decât colegi.

CâŃi elevi sunt în acea clasă?

(4p) 2) În tabara de la munte elevii se organizează pe echipe. La primul concurs, echipele sunt formate din câte 2 băieŃi şi 2 fete iar 1 băiat şi 2 fete nu participă la concurs. La al doilea concurs se formează echipe de câte 5 băieŃi şi 5 fete, şi 3 băieŃi şi 4 fete nu participă la concurs.

Câte fete şi câŃi băieŃi sunt în tabară dacă tabăra poate găzdui maxim 34 elevi? Notă. Toate subiectele sunt obligatorii. Fiecare subiect se notează de la 1 la 10 p. La fiecare subiect se acordă 1p din

oficiu. Punctajul maxim la o problemă se acordă pentru rezolvare corectă, completă şi cu explicaŃii clare. Timp de lucru: 2 ore şi 30 minute.



Clasa a Clasa a Clasa a Clasa a VVVV----aaaa

I. Se consideră numărul

��cifre 2015

99...99...999999 ++++=n

(3p) a) Să se afle suma cifrelor lui n;

(3p) b) Să se afle ultimele 4 cifre ale lui n;

(3p) c) Să se arate că numărul n nu este pătrat perfect.

II. (3p) a) Să se afle ce resturi se pot obŃine împărŃind un pătrat perfect la 8.

(3p) b) Să se stabilească dacă numărul 2015 se poate scrie ca o sumă de 3 pătrate perfecte.

(3p) c) Să se scrie 2015 ca o sumă de 5 pătrate perfecte.

Prof. M. Goşoniu

III. (4p) a) ArătaŃi că nu există numere naturale care împărŃite la 5 dau restul 2 şi împărŃite la 10 dau restul 3.

(5p) b) AflaŃi restul împărŃirii numărului.

73875149 23 +++ nnn

prin 37, unde Nn∈

prof. Vasile Tarciniu, Odobeşti, Vrancea

IV. (9p) Să se arate că orice număr natural nenul n admite un multiplu care se scrie folosind toate cifrele

sistemului zecimal, fiecare cifră folosindu-se de acelaşi număr de ori.

Prof. Traian Preda

Notă. Toate subiectele sunt obligatorii. Fiecare subiect se notează de la 1 la 10 p. La fiecare subiect se acordă 1p din oficiu. Punctajul maxim la o problemă se acordă pentru rezolvare corectă, completă şi cu explicaŃii clare. Timp de lucru: 2 ore şi 30 minute.


EdiEdiEdiEdiŃia a XIIia a XIIia a XIIia a XII----a, Etapa a IIa, Etapa a IIa, Etapa a IIa, Etapa a II----aaaa, , , , 22 februarie22 februarie22 februarie22 februarie 2012012012015555

Clasa a Clasa a Clasa a Clasa a VIVIVIVI----aaaa

I. Se consideră DOECODBOCAOB ∠∠∠∠ ,,, şi EOA∠ , unghiuri în jurul unui punct având măsurile

exprimate în grade 12 ,9 ,6 ,3 , ++++ aaaaa .

(3p) a) Să se afle măsurile celor 5 unghiuri.

(3p) b) Să se afle măsura unghiului format de bisectoarele unghiurilor AOB∠ şi BOC∠ .

(3p) c) Să se determine ( )AODm ∠ .

II. (4p) a) Dacă numerele prime p,q,r şi numerele naturale nenule x,y,z verifică simultan condiŃiile:

px < , qy < , rz < , Zy

q

x

p∈+ , Z

z

r

y

q∈+ , atunci zyx ==

Prof. Ion NeaŃă, Slatina

(5p) b) ArătaŃi că există o infinitate de numere nenule n astfel încât toate fracŃiile 1

,2

1,...

1

2,

1 nn

nn

−−

să

fie ireductibile.

Prof. Gheorghe Stoica

III. Se consideră triunghiul ABC cu ][][ ACAB ≡ şi punctele )(ABM ∈ , )(ACN ∈ astfel încât

][][ ANAM ≡ .

(3p) a) Să se arate că ACMABN ∆≡∆ ;

(3p) b) Să se arate că CMNBMN ∆≡∆ ;

(3p) c) Dacă }{PCMBN =∩ , să se arate că AT[ este bisectoarea unghiului BAC.

Prof. M. Goşoniu

IV. (9p) Se dau n numere naturale consecutive, 3≥n , din care se scot două numere x şi y cu yx > . Să se

determine numerele naturale n, x, y ştiind că media aritmetică a celor 2−n numere rămase este egală

cu y.

Prof. Traian Preda

Notă. Toate subiectele sunt obligatorii. Fiecare subiect se notează de la 1 la 10 p. La fiecare subiect se acordă 1p din oficiu. Punctajul maxim la o problemă se acordă pentru rezolvare corectă, completă şi cu explicaŃii clare. Timp de lucru: 2 ore şi 30 minute.


EdiEdiEdiEdiŃia a XIIia a XIIia a XIIia a XII----a, Etaa, Etaa, Etaa, Etapa a IIpa a IIpa a IIpa a II----aaaa, , , , 22 februarie22 februarie22 februarie22 februarie 2012012012015555

Clasa a Clasa a Clasa a Clasa a VIVIVIVIIIII----aaaa

I. Să se calculeze:

(4p) a)

+++⋅

++−

++⋅

+++4

1

3

1

2

11

5

1

4

1

3

1

4

1

3

1

2

1

5

1

4

1

3

11 .

(5p) b) −

++++⋅

+++++2014

1...

4

1

3

1

2

1

2015

1

2014

1...

4

1

3

11

+++++⋅

++++−2014

1...

4

1

3

1

2

11

2015

1

2014

1...

4

1

3

1

II. (3p) 1. a) Să se găsească *, Nba ∈ a.î. 22 43 ba + să fie raŃional.

(3p) b) Să se arate că numerele 22 43 ba + şi 22 34 ba + nu pot fi simultan raŃionale.

(3p) 2. Să se arate că ecuaŃia:

baab

ya

b

xb

a

yb

a

x+=

−

−+

−

−

are soluŃii în mulŃimea numerelor naturale ( *, Nba ∈ ).

Prof. Gheorghe Stoica, Petroşani

III. (9p) În dreptunghiul ABCD, notăm cu O intersecŃia diagonalelor, cu M mijlocul laturii [AB] şi cu N

mijlocul segmentului [OD]. Să se demonstreze că patrulaterul ABCD este pătrat dacă şi numai dacă

triunghiul MNC este dreptunghic isoscel (cu �90)ˆ( =Nm )

Prof. Traian Preda

IV. (9p) Fie triunghiul isoscel ABC cu ][][ ACAB = , ( ) �20=∠BACm , ( )ACM ∈ . Dacă ][][ BCAM = , aflaŃi

măsura unghiului ABM.

Prof. Ion NeaŃă şi Ion Burcă, Slatina

Notă. Toate subiectele sunt obligatorii. Fiecare subiect se notează de la 1 la 10 p. La fiecare subiect se acordă 1p din

oficiu. Punctajul maxim la o problemă se acordă pentru rezolvare corectă, completă şi cu explicaŃii clare. Timp de lucru: 3 ore.



Clasa a Clasa a Clasa a Clasa a VIIIVIIIVIIIVIII----aaaa

I. (4p) a) Să se arate că pentru orice *Nn∈ , avem:

( ) 1

11

11

1

+−=

+++ nnnnnn

(5p) b) Să se arate că numărul

2025202420242025

1...

3223

1

22

1

+++

++

+=r este raŃional.

II. (4p) a) Să se arate că oricare ar fi ( )∞∈ ,0,, cba , are loc inegalitatea:

2

3≥

++

++

+ ba

c

ac

b

cb

a.

(5p) b) Se dau numerele a şi b strict pozitive. Să se determine minimul expresiei:

( )( ) ( )( ) ( )( )bxaybyax

z

bxazbzax

y

byazbzay

xE

+++

+++

++=

222

ştiind că ( )∞∈ ,0,, zyx

Prof. Marcel ChiriŃă

III. (4p) a) Trei dintre lungimile diagonalelor feŃelor unui paralelipiped dreptunghic sunt numere prime

distincte. Să se demonstreze că lungimea diagonalei paralelipipedului este un număr iraŃional.

(5p) b) Să se demonstreze că un paralelipiped dreptunghic nu poate avea lungimile diagonalelor a 3 feŃe

exprimate prin trei puteri distincte care au aceeaşi bază.

Prof. Traian Preda

IV. (9p) Pe planul patrulaterului convex ABCD cu AB = a, BC = b, CD = c, DA = d, 060)( =∠Am , se ridică

perpendiculara 2

3aMB = . Dacă are loc relaŃia

( ) ( ) abcddcbaabcddabcdabcdabc 282 ≤+++++++ , să se afle distanŃa de la punctul M la

dreapta AC.

Prof. Ion NeaŃă, Slatina

Notă. Toate subiectele sunt obligatorii. Fiecare subiect se notează de la 1 la 10 p. La fiecare subiect se acordă 1p din oficiu. Punctajul maxim la o problemă se acordă pentru rezolvare corectă, completă şi cu explicaŃii clare. Timp de lucru: 3 ore.

Concursul NaConcursul NaConcursul NaConcursul NaŃional de Matematicional de Matematicional de Matematicional de Matematică “Ar“Ar“Ar“Arhimede”himede”himede”himede”


Clasa a Clasa a Clasa a Clasa a IXIXIXIX----aaaa

I. Să se demonstreze că

(4p) a). ( ) ( ) ( ) ( ) ( )222222222222442448888 2abcddcbadcbadcbadcba +−+−+−+−=+++ ,

Rdcba ∈,,, .

(5p) b) Numărul

( )882 baN += se poate scrie ca suma a 3 pătrate de numere întregi, pentru orice Zba ∈, .

Gheorghe Stoica

II. Fie ABCD un patrulater convex.

(4p) a).Să se determine punctul M din plan astfel încât suma

|||||||||||||||| MDMCMBMA +++

să fie minimă.

(5p) b) Notăm cu p lungimea perimetrului patrulaterului ABCD şi cu d1 şi d2 lungimile diagonalelor

patrulaterului.

Să se arate că

( ) 21212 ddpdd +>>+ .

Georgeta Alexandrescu

III. (9p) Să se detrmine cel mai mare număr natural n cu proprietatea că există x şi y numere reale cu

următoarele proprietăŃi:

1. Zyx kk ∈+ , pentru orice },...,2,1{ nk∈

2. Zyx nn ∉+ ++ 11

Sorin Rădulescu, Marius Rădulescu

IV. (9p) Fie *Qa∈ . Să se determine toate funcŃiile QQf →: cu proprietatea că

( ) yaxyfxaff +=+ )()( , Qyx ∈,

Dan Popescu, Mihai Piticari




Clasa a Clasa a Clasa a Clasa a XXXX----aaaa

I. Să se rezolve ecuaŃiile exponenŃiale:

(4p) a) 2121 333444 ++++ ++=++ xxxxxx

(5p) b) ( )( ) ( )( ) 08191649342 =−−+−− xxxx

II. Se consideră funcŃiile: RRgf →:, , ||)( xxxf = , Rx∈ şi

=

∈=

0pentru ,0

pentru ,||)(

*

x

Rxx

x

xg

Să se calculeze

(3p) a) gf �

(3p) b) fg �

(3p) c) 1−f şi 1−g

Iuliana Turcu

III. Să se determine soluŃiile pozitive ale ecuaŃiilor:

(4p) a) ( ) 3lg2lg1 xx =+

(5p) b) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )xxxxxx 3232322

32

2 loglog2log24logloglog3loglog ++=++

Marius Drăgan, Niculai Stanciu

IV. (9p) Fie Czzzz ∈4321 ,,, cu următoarele proprietăŃi:

a) 1|||||||| 4321 ==== zzzz

b) Zzzzz nnnn ∈+++ 4321 , ( ) }4,3,2,1{ ∈∀ n .

Atunci

Zzzzz nnnn ∈+++ 4321 , ( ) 1 ≥∀ n


Notă. Toate subiectele sunt obligatorii. Fiecare subiect se notează de la 1 la 10 p. La fiecare subiect se acordă 1p din

oficiu. Punctajul maxim la o problemă se acordă pentru rezolvare corectă, completă şi cu explicaŃii clare. Timp de lucru: 3 ore.



Clasa a Clasa a Clasa a Clasa a XIXIXIXI----aaaa

I. Să se rezolve ecuaŃiile:

(4p) a) 0

111

111

111

111

=

x

x

x

x

; (5p) b) 0

12332

64452

1312

=

+++

+++

++

xxx

xxx

xxx

II. Considerăm şirurile de numere reale

23

1...

23

1

23

11

2 +++

++

++=

nna , 1≥n

nnb

3

1...

3

1

3

11

2++++= , 1≥n

Să se demonstreze că:

(3p) a) 1 , ≥< nba nn

(3p) b) 2

3lim =

∞→n

nb

(3p) c) 4

6

4

5<< na , 2≥n

Marcel ChiriŃă

III. Fie ( )njiijaA≤≤

=,1

o matrice 33× cu elemente numere întregi. Considerăm matricile EAB += 2 ,

32 IAC += ,

=

111

111

111

E . Să se arate că:

(4p) a) Toate elementele matricilor nB , 1≥n sunt numere impare.

(5p) b) Cdet este un număr impar.

IV. (9p) Fie ( ) 1≥nnx un şir de numere strict pozitive cu proprietatea că +∞=∞→ n

xn

nlim

Să se demonstreze că +∞=+++

∞→n

n

n nx

xxx 222

21 ...

lim



Concursul NaConcursul NaConcursul NaConcursul NaŃional de Matemational de Matemational de Matemational de Matematicicicică “Arhimede”“Arhimede”“Arhimede”“Arhimede”


Clasa a Clasa a Clasa a Clasa a XXXXIIIIIIII----aaaa

I. Fie ba <<0 şi 1

... 11

+++++

=−−

n

babbaax

nnnn

n , 1≥n

Să se demonstreze că:

(4p) a) ∫−=

b

a

nn dtt

abx

1, 1 )( ≥∀ n

(5p) b) nmnm xxx 222 ⋅≤+ , 1, ≥nm

Gheorghe Stoica

II. Fie nnnnS 15...2̂1̂ +++= , 1≥n în 16Z .

Să se calculeze:

(3p) a) 1S

(3p) b) 12 +kS , 1≥k

(3p) c) kS4 , 1≥k

III. Fie * , Nnk ∈ . Să se arate că:

(4p) a) ∫ =+

2/

00

cossin

2cosπdx

xx

xnn

(5p) b) Există Raaa k ∈,...,, 21 distincte cu proprietatea că ∫ =+

⋅⋅2/

021 0cossin

cos...coscosπdx

xx

xaxaxann

k

Marius Drăgan

IV. (9p) Fie G un grup necomutativ de ordin impar.

Notăm } )( ,|{)( GyyxxyGxGZ ∈∀=∈=

Să se demonstreze că

( )GZG 9≥

Am notat cu |A| cardinalul mulŃimii A.



Documents

Subiecte Etapa a II-a cls 5-8-22 februarie 2015.pdf