Subiecte Si Bareme LALESCU 2011 RESITA

  • View
    1.584

  • Download
    5

Embed Size (px)

Text of Subiecte Si Bareme LALESCU 2011 RESITA

Universitatea de Vest din Timioara s Facultatea de Matematic i Informatic as a

Inspectoratul colar judetean s Cara-Severin s

Concursul interjudetean de matematic a Traian Lalescu, Editia a XXV-a, Reita, 25-27 martie 2011 s Clasa a V-a

1. Aati suma tuturor cifrelor care apar scrierea numerelor 1, 2, 3, n . . . , 10n 1. 2. Artati c nu exist niciun numr natural care s se mreasc de 7 sau a a a a a a a de 9 ori prin mutarea primei cifre la sfrit. as 3. Artati c, oricum am alege 7 numere naturale nenule distincte mai a a mici sau egale cu 126, printre ele se vor aa dou astfel at cel mai a nc mare dintre ele s e mai mic sau egal cu dublul celui mai mic. a

Not: Toate subiectele sunt obligatorii. Timp de lucru efectiv 2 ore. a

w w

w

.n eu t

rin

o.

ro

Universitatea de Vest din Timioara s Facultatea de Matematic i Informatic as a

Inspectoratul colar judetean s Cara-Severin s

Concursul interjudetean de matematic a

Subiectul 1.

Ociu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p

Grupeaz numerele perechi de forma (a, 10n 1 a) . . . . . . . . . . . 3p a n Observ c suma cifrelor din ecare pereche este 9n . . . . . . . . . . . . . . 3p a a

Suma total este 9n 10 a 2 Subiectul 2.

Ociu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p primul caz, prima cifr este 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,75p In a

1xy . . . z3 7 = xy . . . z31, deci z = 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p

w w

Toate cifrele numrului cutat sunt egale cu 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . 1,25p a a Prima cifr a numrului este 1, deci nu exist astfel de numere . . 0,5p a a a cel de-al doilea caz prima cifr este 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .0,75p In a Are loc 1xy . . . zt 9 = xy . . . zt1, deci t = 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p 1xy . . . z9 9 = xy . . . z91, deci z = 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p 1

w

Atunci 1xy . . . zt 7 = xy . . . zt1, deci t = 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p

.n eu tn

Calculeaz numrul perechilor ca ind a a

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p

rin10n 2

Adaug 0 ir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p a n s

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p

o.

ro

Traian Lalescu, Editia a XXV-a, Reita, 25-27 martie 2011 s Barem de corectare pentru clasa a V-a

Toate cifrele numrului cutat sunt egale cu 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . 1,25p a a Prima cifr a numrului este 1, deci nu exist astfel de numere . . 0,5p a a a Subiectul 3. Ociu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p

Submultimile cutate sunt {1, 2}, {3, 4, 5, 6}, {7, . . . , 14}, {15, . . . 30}, a {31, . . . , 62}, {63, . . . , 126} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3p

w w

w2

.n eu t

rin

Oricum am alege 7 numere din multimea {1, 2, . . . , 126}, cel putin dou a vor aceeai submultime . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2p n s

o.

ro

Imparte multimea {1, 2, . . . , 126} submultimi disjuncte astfel at n nc ecare element al unei submultimi s e de cel mult 2 ori mai mare ca a oricare alt element al aceleiai submultimi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4p s

Universitatea de Vest din Timioara s Facultatea de Matematic i Informatic as a

Inspectoratul colar judetean s Cara-Severin s

Concursul interjudetean de matematic a Traian Lalescu, Editia a XXV-a, Reita, 25-27 martie 2011 s Clasa a VI-a 1. Artati c nu exist nici un numr natural care s se mreasc de 2, 5, a a a a a a a 6 sau 8 ori prin mutarea primei cifre la sfritul numrului. as a 2. a) Determinati numerele strict pozitive a i b astfel at s nc an + bn = an+1 + bn+1 = an+2 + bn+2 ,

3. Fie P OQ un unghi ascutit i B (OQ. Construim din B o perpendi s cular pe OP care intersecteaz aceast dreapt A. Punctul C este a a a a n ales astfel at triunghiul ABC s e echilateral, iar O i C s nu e nc a s a de aceeai parte a dreptei AB. Fie D simetricul lui C fata de OP i s s 1 M (OQ astfel at [OC] [OM ]. Stiind c m(P OC) = m(P OQ), nc a 3 a) artati c [AD] [CM ]; a a b) calculati m(P OQ).

w w

4. Un gardian deschide pe rnd toate celulele unei a nchisori, care sunt aezate linie dreapt. Apoi, el s n a nchide celulele cu numarul 2, 4, 6 . a. m. d. Dup aceea, lund celulele din 3 3, rsucete cheia s a a n a s n broasca acestor celule, nchizndu-le pe cele deschise i deschizndu-le a s a pe cele nchise. El continu acest fel, la pasul i lund celulele i, 2i, a n a 3i, ..., i rsucind cheia broasca lor. Detinutii ale cror celule au s a n a rmas deschise dup efectuarea tuturor operatiilor posibile de acest fel a a sunt pui libertate. s n S se arate c detinutii eliberati vor cei din celulele avnd numrul de a a a a ordine un ptrat perfect. (Fiecare operatie a ncepe din dreptul primei celule.)

Not: Toate subiectele sunt obligatorii. Timp de lucru efectiv 3 ore. a

w

.n eu t

rin

pentru un numr natural n 2 xat. a b) Dac a, b i c sunt numere naturale avndu-l pe 1 drept cel mai a s a 1 1 1 a a s mare divizor comun i + + = 1, artati c a + b, a c i s a b c b c sunt ptrate perfecte. a

o.

ro

Universitatea de Vest din Timioara s Facultatea de Matematic i Informatic as a

Inspectoratul colar judetean s Cara-Severin s

Concursul interjudetean de matematic aTraian Lalescu, Editia a XXV-a, Reita, 25-27 martie 2011 s Barem de corectare pentru clasa a VI-a

Subiectul 1. Ociu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p Arat c prima cifr poate doar 1, dar prin mutarea acesteia la a a a sfritul numrului, acesta nu este multiplu de 5, deci nu exist astfel as a a de numere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p Arat c prima cifr poate doar 1, dar prin mutarea acesteia la a a a sfritul numrului, acesta nu este multiplu de 6, deci nu exist astfel as a a de numere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p Arat c prima cifr poate doar 1, dar prin mutarea acesteia la a a a sfritul numrului, acesta nu este multiplu de 8, deci nu exist astfel as a a de numere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p cazul numrului care se dubleaz, prima cifr este 2 sau 4 . . . . . . 1p In a a a s Dac prima cifr este 2, atunci 2xy . . . zt 2 = xy . . . zt2 i t este 1 sau a a 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p Dac t = 1, atunci 2xy . . . z1 este impar, iar xy . . . z12 este multiplu de a 4, contradictie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,75p Dac t = 6, atunci 2xy . . . z6 2 = M4 , iar xy . . . 62 = M4 , a contradictie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .0,75p Dac prima cifr este 4, atunci 4xy . . . zt 2 = xy . . . zt4, deci t este 2 a a sau 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p

1

Dac t = 2, 4xy . . . z2 2 = xy . . . z24 i z este 1 sau 6. primul caz, a s In al doilea caz, 4xy . . . 622 = M8 4xy . . . 122 = M8 i xy . . . 124 = M8 . In s i xy . . . 624 = M8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,75p s Dac t = 7, 4xy . . . z7 2 = xy . . . z74 i z este 3 sau 8. Arat c a s a a n ambele cazuri nu exist astfel de numere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,75p a Subiectul 2. Ociu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p a) Observ c an+2 + bn+2 = (a + b)(an+1 + bn+1 ) ab(an + bn ) . . . 1p a a Noteaz x = an + bn i observ c x = (a + b)x abx, deci a s a a (a 1)(b 1) = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p Dac a = 1, atunci b = 1 i invers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p a s b) Arat c a, b, c - distincte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p a a Presupune a > b > c 1 1 1 3 3 < + + < c < 3 . . . . . . . . . . . . . . 1p a a b c c

c = 1 nu convine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5p 1 1 1 2 1 1 2 Pentru c = 2 rezult + = . Atunci < + < , de unde a a b 2 a a b b b = 3, deci a = 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2,5p Solutia a = 6, b = 3, c = 2 veric conditia problemei . . . . . . . . . . . . . . 1p a Subiectul 3. Ociu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p Figura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1p a) ADC e