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1
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE – UFRN
CENTRO DE ENSINO SUPERIOR DO SERIDÓ – CERES
DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS E APLICADAS – DCEA
PROGRAMA INSTITUCIONAL DE BOLSAS DE INICIAÇÃO Á DOCÊNCIA
(PIBID)
KALINE ARAÚJO DA SILVA
LUANA GONÇALVES DE LIMA
SUBPROJETO DE MATEMÁTICA-2014
ATIVIDADES DESENVOLVIDAS
CAICÓ/RN
2014
2
KALINE ARAÚJO DA SILVA
LUANA GONÇALVES DE LIMA
SUBPROJETO DE MATEMÁTICA-2014
ATIVIDADES DESENVOLVIDAS
Relatório apresentado à coordenadora
Maroni Lopes do curso Matemática,
referente às atividades desenvolvidas no 2º
semestre pelo PIBID na turma do 8º ano do
turno vespertino da Escola Estadual Zuza
Januário.
CAICÓ/RN
2014
3
SUMÁRIO
1. INTRODUÇÃO..........................................................................................4
2. ATIVIDADES DESENVOLVIDAS NA SALA DE AULA.............................5
ANEXOS
4
INTRODUÇÃO
Neste relatório anexaremos as atividades realizadas pelo Programa de
Iniciação à Docência - PIBID de matemática durante o período de 15 de agosto
de 2014 até 5 de dezembro de 2014 na turma do 8º ano vespertino da Escola
Estadual Zuza Januário. O trabalho foi uma revisão de todo o assunto dado pela
Professora Supervisora Marcilene, tendo como conteúdos apresentados:
Produtos notáveis, fatoração, frações algébricas (simplificação, operações de
adição, subtração, multiplicação e divisão) e sistemas de equações. Com o
intuito de reforçar a aprendizagem e melhorar o rendimento escolar dos alunos.
5
ATIVIDADES DESENVOLVIDAS NA SALA DE AULA
PRODUTOS NOTÁVEIS
A expressão algébrica (a+b)² apresenta uma soma de dois termos, a+b, elevada
ao quadrado – por isso é denominada o quadrado da soma de dois termos.
Mas podemos formar a resposta sem precisar ficar multiplicando termo a
termo. Por isso, dizemos que é um produto notável.
Quadrado da Soma de Dois Termos
O quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo,
mais duas vezes o produto do primeiro pelo segundo termo, mais o quadrado do
segundo termo:
Exemplos
Quadrado da Diferença de Dois Termos
O quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo,
menos duas vezes o produto do primeiro pelo segundo termo, mais o quadrado do
segundo termo:
Exemplos
Produto da Soma pela Diferença de Dois Termos
O produto da soma pela diferença de dois termos é igual ao quadrado do
primeiro termo menos o quadrado do segundo termo:
Exemplos
6
EXERCICIOS
1- Calcule:
a) (2x + 1)²
b) (a + 5)²
c) (a + 10)²
d) (2a + 5)²
e) (a + 2b)²
f) (5a + 3b)²
g) (2a + 9)²
h) (3x + 2y)²
i) (2xy + 4)²
j) (x + ½)²
k) (2a + 10)²
l) (5x -3y)²
m) (5a – 3b)²
n) (3a – 2b)²
2- Calcule os produtos:
a) (x +1)(x+1)
b) (a + 5)(a - 5)
c) (3b + 7)(3b – 7)
d) (x² + 2)(x² - 2)
e) (3 – ab)(3 + ab)
f) (3x – 2y)(3x + 2y)
j) (7x + 6)(7x – 6)
k) (3x² - 4)(3x² + 4)
7
3- Resolva as expressões algébricas:
a) (x + y)2 – 2xy =
b) (5 – 2z)2 – (25 +10z) =
c) (3x+1)2 + (3x-1)2 – 2 =
d) (2 – 2x)2 + (3 – 2x)2 – 2(x – 3) =
e) (x – 3)(x + 3) – x(x – 3y) =
f) (5a + 3)2 + (5a - 3)2 – 2(a + 5) =
g) (2x – 3)2 + (x – 5)(x + 5) – (x + 4)2 =
h) (a - 1)² + a(3a + 2) =
8
FATORAÇÃO
Fatorar um número significa escrevê-lo na forma de produto de números
primos. Por exemplo, a fatoração do número 36 consiste na multiplicação entre os
números 2 * 2 * 3 * 3.
Na fatoração de polinômios devemos escrever o mesmo através do produto
entre outros polinômios. As fatorações mais conhecidas são: fator comum em
evidência, agrupamento, diferença entre dois quadrados, trinômio quadrado perfeito e
trinômio soma e produto.
Fator comum em evidência.
Nesse modelo de fatoração temos que determinar o elemento comum aos
termos que formam o polinômio. Observe:
No polinômio x² + 2x, temos que a variável x é comum aos dois termos. Ela será
o termo em evidência, a qual dividirá todos os termos do polinômio original.
Exemplos:
x² + 2x → x * (x + 2)
x² : x = x
2x : x = 2
4x³ – 2x² → 2x² * (2x – 1)
4x³ : 2x² = 2x
2x : 2x = 1
16x² + 8 → 8 * (2x² + 1)
16x² : 8 = 2x²
8 : 8 = 1
Fatoração por Agrupamento
Na fatoração por agrupamento, utilizamos inicialmente a fatoração por evidência e logo
em seguida agrupamos os termos sob certas condições também de evidenciação.
Exemplo:
2yx – x – 6y + 3, aplicar evidência entre 2yx e –x e entre –6y e 3.
2yx – x → x * (2y – 1)
–6y + 3 → –3 * (2y – 1)
2yx – x – 6y + 3 → x * (2y – 1) – 3 * (2y – 1) → (x – 3) * (2y – 1)
9
SIMPLIFICAÇÃO DE FRAÇÕES ALGÉBRICAS
A simplificação de frações é feita dividindo o numerador e o denominador pelo
mesmo número, isto seria o mesmo que eliminar todos os fatores comuns, obtendo uma
fração mais simples e equivalente. Observe os exemplos:
Com base nesse mesmo procedimento, simplificamos frações algébricas que apresentam
fatores em comum. Veja exemplos:
24𝑥4𝑦³𝑧
18𝑥²𝑦4=
2 ∗ 2 ∗ 2 ∗ 3 ∗ 𝑥 ∗ 𝑥 ∗ 𝑥 ∗ 𝑥 ∗ 𝑦 ∗ 𝑦 ∗ 𝑦 ∗ 𝑧
2 ∗ 3 ∗ 3 ∗ 𝑥 ∗ 𝑥 ∗ 𝑦 ∗ 𝑦 ∗ 𝑦 ∗ 𝑦=
2 ∗ 2 ∗ 𝑥 ∗ 𝑥 ∗ 𝑧
3 ∗ 𝑦=
4𝑥²𝑧
3𝑦
Para serem desenvolvidas, algumas simplificações requerem, primeiramente, o
uso de técnicas de produtos notáveis e fatoração.
Fator comum em evidência
𝑥² + 𝑥
2𝑥 + 2=
𝑥(𝑥 + 1)
2(𝑥 + 1)=
𝑥
2
Diferença entre dois quadrados
10
Agrupamento e fator comum em evidência
Trinômio quadrado perfeito
Efetuando operações antes de simplifica
Exercícios
1 - Simplifique as frações algébricas:
a) 12x/15 =
b) 12m/6a =
c) 8x/10x² =
d) 4x³/10xy =
e) 4x⁴a/6x³ =
f) 6a⁵/7a³x =
g) 8ay/2xy³ =
h) 4x²y/10xy³ =
i) 8am/-4am =
j) -14x³c/2x =
k) 64a³n²/4an² =
2 – Simplifique as frações utilizando a técnica de fator comum em evidência:
a) (3a – 3b)/12 =
b) (2x + 4y)/2a =
c) (3x – 3)/(4x – 4) =
d) (3x – 3)/( 3x + 6) =
e) (5x + 10)/5x =
f) (8x – 8y)/(10x – 10y) =
g) (3a + 3b)/(6a + 6b) =
h) (15x² + 5x)/5x =
i) (6x – 6y)/(3x – 3y) =
j) (18x – 18)/(15x – 15) =
k) (x² - x)/(x – 1) =
l) (2x + 2y)/6 =
11
FRAÇÕES ALGÉBRICAS são aquelas em que aparecem incógnitas no denominador.
Só podemos adicionar ou subtrair frações algébricas de mesmo denominador, caso
elas possuam denominadores diferentes, precisaremos igualá-los.
Denominadores iguais
Para adicionarmos/subtrairmos frações de mesmo denominador, conservamos o
denominador comum e adicionamos/subtrairmos os numeradores.
Exemplos:
Denominadores diferentes
Se os denominadores forem diferentes, reduzimos ao menor denominador comum,
determinando o m.m.c. e efetuamos as operações seguintes do mesmo modo quando
somamos ou subtraímos frações com denominadores diferentes.
Exemplo 1:
M.m.c. (3, a, 4a²) = 12a²
12
Exemplo3:
3/(x-2) + 5/(x + 2)
Temos m.m.c. = (x – 2) ( x + 2)
3/(x-2)+5/(x + 2) =
3(x +2) / (x – 2) ( x + 2) + 5(x - 2) / (x – 2) ( x + 2) =
3x + 6 + 5x -10 /(x – 2) ( x + 2) =
8x -4/ (x – 2) ( x + 2)
Exemplo 2:
Exercícios
1 – Resolva a soma e subtração das frações algébricas de denominadores iguais:
a) y
2x +
1
2x=
b) 12c
a+
3−5c
a=
c) 3
x²y +
2
x²y =
d) 3x
y+
2x
y=
e) 4x+1
2x−
2x+2
2x=
f) 5
x+
7
x=
g) a+b
a²b+
2a+b
a²b=
13
h) m+1
x−
4
x=
i) a−1
b−
2a−1
b=
j) a+b²
x−y−
b2−a
x−y=
k) 4
m−
1
m=
l) 9a
b²+
a
b²=
m) y−1
a+3−
y+5
a+3=
n) 3x−1
a+
3x+2
a=
o) 2x+3
b−
3x+1
b=
p) a−5
2a+
4
2a=
q) x
x+y−
3x
x+y=
2- Resolva a soma e subtração das frações algébricas de denominadores diferentes:
a) 10/x – 25/3x =
b) 5y/3x + 3y/2x =
c) 3/2x² - 8/x =
d) 5/yx – x/3y =
e) (a + 3)/4m + 1/2m =
f) (6x + 13)/2y + (x + 3) 3y =
g) 4 / (x + 1) + 2 /(x – 1) =
h) 4/x + 5/(x -2) =
i) 1/(x -3) – 6/ (x² - 9)=
j) (3x + 2) / (x² - 4) – 4 / (x + 2) =
MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO DE FRAÇÕES NUMÉRICAS
Multiplicação
A multiplicação de frações é muito simples, basta multiplicarmos numerador por
numerador e denominador por denominador, respeitando suas posições. Observe:
14
Divisão
A divisão deve ser efetuada aplicando uma regra prática e de fácil assimilação, que diz:
“repetir a primeira fração e multiplicar pelo inverso da segunda”.
MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO DE FRAÇÕES ALGÉBRICAS
Multiplicação
Para multiplicar frações algébricas, multiplique os numeradores entre si e os
denominadores também entre si.
Exemplos:
a/b . x/y = ax/by
3a /x . 7/5y = 21a /5xy
2x/5c . 4x² /3c = 8x³/15c²
(x + y)/ 4b . (x – y)/ m = (x² - y²) / 4bm
Nos casos em que o numerador e o denominador têm fatores comuns, podemos cancelá-
los antes de efetuar a multiplicação.
Exemplos:
a/3x . 2x/5 = 2a /15
(3x – 2) / 5 . 7a / (3x -2) = 7a / 5
Divisão
15
Para dividir frações algébricas, conserve a primeira fração e divida-a pelo inverso da
segunda.
Exemplos:
2x/a : 3m/5c = 2x/a . 5c/3m = 10cx/3am
5x²/ 3a : 7b/2x = 5x²/3a . 2x/7b = 10x³/21ab
a/(x + y) : m/(x + y) = a/(x + y) . (x +y)/m = a/m
EXERCÍCIOS
1) Efetue as multiplicações de frações algébricas:
a) 3 a / x . y/2 =
b) 2x/5 . 4a/x =
c) 3/a .5y/y =
d) 2 a/x . 5b / y =
e) 7 a /m² . 2 a/5m =
f) m/x² . 6a³/7x=
g) 3x/2y . x²/4 =
h) 3xy/5 a . 2x³ / a²y =
i) 5x²/3y . 2x / y³ =
j) 4 / (x + y) . ( x + y ) / 5 =
k) 1 / (x – y) . 1 /(x + y) =
l) ( x + 1) / ( x – 5) . ( x – 1) / ( x + 5) =
m) 8m / ( m -1) . m / (m + 1) =
n) ( x² - 9) / 5 . 10/(x – 3) =
2) Calcule as divisões de frações algébricas:
a) 2a/ b : x/y =
b) 3x/4 : 5y/7 =
c) 3x/2 : 6x²/4 =
d) 2y/x : 10x/3y=
f) 2a / 3x² : 5a² / 9xy =
g) x/2 : 5x²/8 =
h) 2x³/ y² : 4x / y⁵ =
i) (x + 1) /5x : a / (x -1) =
j) am/(x + y) : m/( x + y) =
k) ( x² - 1) / (5x + 5) : ( 5x – 5)/ (x + 1) =
16
SISTEMAS DE EQUAÇÕES
Para encontrarmos numa equação de 1º grau com duas incógnitas, por exemplo,
4x + 3y = 0, os valores de x e de y é preciso relacionar essa equação com outra ou outras
com as mesmas incógnitas. Essa relação é chamada de sistema.
Um sistema de equação de 1º grau com duas incógnitas é formado por: duas equações de
1º grau com duas incógnitas diferentes em cada equação. Veja um exemplo:
Para encontramos o par ordenado solução desse sistema é preciso utilizar dois
métodos para a sua solução.
Esses dois métodos são: Substituição e Adição.
Método da substituição
Esse método consiste em escolher uma das duas equações, isolar uma das incógnitas e
substituir na outra equação, veja como:
Dado o sistema , enumeramos as equações.
Escolhemos a equação 1 e isolamos o x:
x + y = 20
17
x = 20 – y
Agora na equação 2 substituímos o valor de x = 20 – y.
3x + 4 y = 72
3 (20 – y) + 4y = 72
60-3y + 4y = 72
-3y + 4y = 72 – 60
y = 12
Descobrimos o valor de y, para descobrir o valor de x basta substituir 12 na equação
x = 20 – y.
x = 20 – y
x = 20 – 12
x = 8
Portanto, a solução do sistema é S = (8, 12)
Método da adição
Esse método consiste em adicionar as duas equações de tal forma que a soma de uma das
incógnitas seja zero. Para que isso aconteça será preciso que multipliquemos algumas
vezes as duas equações ou apenas uma equação por números inteiros para que a soma de
uma das incógnitas seja zero.
18
Dado o sistema:
Para adicionarmos as duas equações e a soma de uma das incógnitas de zero, teremos que
multiplicar a primeira equação por – 3.
Agora, o sistema fica assim:
Adicionando as duas equações:
- 3x – 3y = - 60
+ 3x + 4y = 72
y = 12
Para descobrirmos o valor de x basta escolher uma das duas equações e substituir o valor
de y encontrado:
x + y = 20
x + 12 = 20
x = 20 – 12
19
x = 8
Portanto, a solução desse sistema é: S = (8, 12).
Se resolver um sistema utilizando qualquer um dois métodos o valor da solução será
sempre o mesmo.
Exercícios
1- Encontre o conjunto solução dos sistemas de equações pelo método da adição:
a)
2372
1352
yx
yx
b)
642
94
yx
yx
c)
1316
10216
sr
sr
d)
625
627
nm
nm
e)
ab
ba
35
313
2- Encontre o conjunto solução dos sistemas de equações pelo método da
substituição:
a)
1727
2154
yx
yx
b)
3235
853
ba
ba
c)
1054
1269
nm
nm
d)
2437
5112
qp
qp
20
ANEXOS
21
Gincana realizada por todos os PIBIDs que atuam na EEZJ – 17/10/2014
22
Alunos do PIBID-Matemática resolvendo exercícios propostos em sala de aula –
07/11/2014