I. Sub Ring

DEFINISI

Suatu himpunan bagian tak kosong S dari suatu ring R, dikatakan suatu sub-ring dari R, jika

S adalah suatu ring yang relatif terhadap kedua operasi biner penjumlahan dan perkalian

yang di definisikan atas R.

Karena setiap himpunan dimana himpunan bagian dari himpunan tersebut adalah dirinya

sendiri, maka R adalah gelanggang, maka R pasti sub-ring dari R.

Contoh

1. Ring dari bilangan bulat genap adalah subring dari ring himpunan bilangan bulat.

2. Ring dari bilangan bulat adalah subring dari ring bilangan rasional.

TEOREMA 1

Syarat perlu dan syarat cukup untuk suatu himpunan bagian tidak kosong dari S dari ring R

adalah sub-ring dari R jika dan hanya jika memenuhi :

a ϵS, b ϵS → a−bϵS, dan

a ϵS, b ϵS → abϵS

Bukti

Syarat perlu. Jika S adalah sub-ring dari ring R

Bila a dan b ϵ S, maka

a ϵS, b ϵS → aϵS ,−bϵS

→ a− (−b ) ϵS

→ a+b ϵS

Dan juga a ϵS, b ϵS → abϵS

Syarat cukup, Jika S adalah himpunan bagian tidak kosong dari ring R sehingga

a ϵS, b ϵS → a−bϵs, dan

a ϵS, b ϵS → abϵS

dengan menggunakan sifat ring, diperoleh:

a ϵS, a ϵS → a−aϵS

→ 0 ϵS

Dan, 0 ϵS , aϵS →0−a ϵS

→−aϵS

Mengakibatkan:

a ϵS, b ϵS → aϵS ,−bϵS

→ a− (−b ) ϵS

→ a+b ϵS

Dan juga a ϵS, b ϵS → abϵS

Terbukti, karena S ⊆ R, S suatu subring dari R

Contoh

Himpunan S = ¿¿

adalah subring dari R

Penyelesaian

Diketahui S ⊆ φ dari R

Ambil sembarang dua unsure A1 = ¿ [ a1 0¿ ]¿

¿¿dan

A2 = ¿ [ a2 0 ¿ ] ¿¿

¿ berada di S

Sehingga

A1 − A2 = ¿ [ a1 0¿ ]¿¿

¿

= ¿ [a1− a2 0 ¿ ] ¿¿

¿

Selanjutnya

A1 A2 = ¿ [ a1 0¿ ]¿¿

¿

= ¿ [a1− a2 0 ¿ ] ¿¿

¿

Jadi terbukti S adalah subgrup

TEOREMA 2

Syarat perlu dan syarat cukup untuk suatu himpunan bagian tak kosong S dari ring R adalah

sub-ring, dimana:

(i) S + (-S) = S

(ii) SS⊆S

Dimana (-S) adalah bilangan negative untuk semua anggota S

Bukti

Syarat Perlu

Jika S adalah sub-ring R, maka S adalah suatu sb grup pada grup penjumlahan di R.

Sekarang, jika a+(-b) dapat diubah menjadi bentuk S+(-S), maka

a+ (−b ) ϵ S+ (−S )⇒aϵS ,−bϵ−S

⇒ a ϵS ,bϵS

⇒ a−b ϵ S

⇒ a+(−b )ϵ S

Sehingga : S+(−S )⊆ S

Juga bentuk dari a anggota S diubah, menjadi:

a=a+0=a+(−0 ) ϵ S+(−S)

Sehingga: a ϵS⇒ aϵS+(−S )

dan jugaS⊆S+(−S )

mengakibatkan S+(−S )=S

Karena S juga suatu sub-ring, maka pada bentuk perkalian menjadi:

ab ϵ SS⇒a ϵ S ,b ϵ S

⇒ a b ϵ S

Sehingga SS⊆S

Syarat cukup

Jika S adalah himpunan tidak kosong dari ring R mengakibatkan, S+(−S )=S dan SS⊆ S

Maka,`

a ϵ S , b ϵ S⇒ a ϵS ,−bϵ (−S)

⇒ a+(−b )ϵS+(−S)

⇒ a−b ϵ S+(−S )

⇒ a+(−b )ϵ S

Juga: a ϵ S , b ϵ S⇒ ab ϵ SS

⇒ a b ϵ S

Sehingga a ϵ S , b S⇒ a−bϵ Sdan ab ϵ S

Karena syarat cukup dan perlu terpenuhi untuk S menjadi sub-ring, maka S adalah sub-ring

dari ring R

II. IDEAL

DEFENISI

Suatu sub ring S dari suatu ring R dikatakan

Ideal kanan dari R jika a∈ S dan r ∈ R maka ar ∈ S

Ideal kiri dari R jika a ∈ S dan r ∈ R maka ra ∈ S

Ideal dari R artinya ideal kiri dan ideal kann jika a∈S, r∈R maka ar ∈ S dan ra ∈ S

TEOREMA 1

Andaikan R adalah suatu gelanggang, suatu himpunan bagian tak kosong S dari R dikatakan

Ideal dari R jika S memenuhi

Untuk setiap a ∈ S dan b ∈S maka a – b ∈ S

Untuk setiap a ∈ S dan r ∈ R maka ar ∈ S dan ra ∈ S

Bukti

Ditunjukkan S adalah ideal dari ring R. Menurut defenisi Ideal, S adalah subring dari R

seperti a ∈ S, r ∈ R maka ar ∈ S dan ra ∈ S

Syarat perlu dan syarat cukup untuk himpunan bagian tak kosong S sebagai tambahan

Untuk a ∈ S dan b ∈S maka a – b ∈ S

akibatnya

a ∈ S, b ∈ S maka a – b ∈ S

dan a ∈ S, r ∈ S maka ar ∈ S dan ra ∈ R

Selanjutnya

Ditunjukkan S adalah himpunan bagian tak kosong dari ring R dengan membuktikan

(i) a ∈S, b ∈ S maka a - b ∈ S (ii) a ∈ S, r ∈ R maka ar ∈ S dan ra ∈ S

Jika a dan b adalah dua anggota sembarang dari S

Maka untuk (i) a ∈S, b ∈ S maka a - b ∈ S

Juga untuk (ii) a ∈ S, b ∈ S maka a ∈ S , b ∈ R maka ab ∈S

Demikian juga a ∈ S, b ∈ S maka a – b ∈ S dan ab ∈S

a ∈ S, r ∈ S maka ar ∈ S dan ra ∈S

Contoh 1

Buktikan bahwa himpunan N = ¿¿

adalah ideal dari Ring

R = ¿¿

Penyelesaian

Ambil sebarang A1 = ¿ [ a1 0¿ ]¿

¿¿

Maka

A1 − A2 = ¿ [a1 0 ¿ ] ¿¿

¿

= ¿ [a1 − a2 0 ¿ ] ¿

¿¿

Karena (a1 − a2 ) , (b1 − b2 ) ∈ Z jadi A1 − A2 ∈ z

Ambil sebarang A = ¿ [ a 0 ¿ ] ¿

¿¿

Maka

BA = ¿ [ x y ¿ ]¿¿

¿

= ¿ [ xa + yb 0 ¿ ]¿

¿¿

Karena ( xa+ yb ) , (ua+vb ) ∈ N maka BA ∈ N sehingga BA adalah ideal kiri dari R

AB = ¿ [ a 0 ¿ ]¿¿

¿

= ¿ [ ax ay ¿ ]¿

¿¿

karena AB ∉ N maka N bukan ideal kanan

Sehingga dapat dibuktikan bahwa N merupakan ideal kiri dari ring R

Contoh 2

Apakah himpunan N = ¿¿

adalah ideal dari ring

R = ¿¿Penyelesaian

Ambil sebarang dua unsur A1 = ¿ [ a1 c1 ¿ ] ¿

¿¿

Maka

A1 − A2 = ¿ [a1 c1 ¿ ] ¿¿

¿

= ¿ [a1 − a2 c 1 − c2 ¿ ] ¿

¿¿

Karena (a1 − a2 ) , (b1 − b2 ), (c1 − c2 ), (d1 − d2 ) ∈ z jadi A1 − A2 ∈ N

Ambil sebarang A = ¿ [ a c ¿ ] ¿

¿¿

Maka

AB = ¿ [a c ¿ ]¿¿

¿

= ¿ [ ap + cr aq +cs ¿ ]¿

¿¿

Karena (ap+cr ) , ( bp+dr ), (aq+cs ), (bq+ds ) ∈ z jadi AB ∈ N

BA = ¿ [ p q ¿ ]¿¿

¿

= ¿ [ pa + qb pc + qd ¿ ]¿

¿¿

Karena ( pa+qb ) , (ra+sb ) , ( pc+qd ) , (rc+sd ) ∈ z jadi BA ∈ N

Sehingga terbukti bahwa N ideal dari R

TEOREMA 2

Jika R adalah ring yang komutatif dan a ∈ R, Ra = {ra : r ∈ R } adalah ideal dari R

Bukti

Ditujukkan r1 a dan r2 a ∈ Ra , sehingga

r1 a − r2a = (r1−r2 ) a ∈ Ra

Karena

r1 ∈ R , r2 ∈ R ⇒ r1 − r 2 ∈ R

Ambil sebarang r ∈ R dan ra ∈ Ra sehingga

r (r1 a) = ( rr1 )a ∈ Ra

Karena

r ∈ R , r1 ∈ R ⇒ r r ∈ R

dan

(r1 a ) r = ( r1 r )a ∈ Ra

Karena

r1 ∈ R , r ∈ R ⇒ r1 r ∈ R

Karena R komutatif maka Ra ideal dari R

III. IDEAL PRINCIPAL

DEFENISI

Ideal N pada teorema 2 disebut ideal yang principal yang dibangun oleh unsur a. Suatu ring

demikian semua idealnya adalah ideal principal disebut sebagai ring ideal principal.

Contoh

Dari Z12 diperoleh

N1 = Z12 yaitu ideal principal yang dibangun oleh unsur 1

N2 = {0, 2, 4, 6, 8, 10} ideal principal yang dibangun oleh unsur 2

N3 = {0, 3, 6, 8} ideal principal yang dibangun oleh unsur 3

N4 ={0, 4, 8} ideal principal yang dibangun oleh unsur 4

IV. IDEAL PRIMA

DEFINISI

Suatu ideal sejati Ra dari ring R dikatakan ideal prima jika untuk semua x,y є R dengan xy є

Ra, maka x є N atau y є N

Contoh 1

Dalam ring bilangan bulat Z, maka ideal pZ adalah suatu ideal prima. Perhatikan semua x,y

є Z dengan xy є pZ. Hal ini berakibat xy = kp. Tetapi ini berarti p membagi x atau p

membagi y. Dengan perkataan lain, x є pZ atau y є pZ

Contoh 2

Ring <Z6, + , x >

Semua ideal sejati N dari Z6 adalah {0, 2, 4} dan {0, 3} merupakan ideal prima karena untuk

semua x,y є Z6 dengan xy є N, maka x є N atau y є N

Contoh 3

Ring <Z12, + , x > Semua ideal sejati dari Z12 adalah S1 = {0, 2, 4, 6, 8, 10}

S2 = {0, 3, 6, 9}

S3 = {0, 4, 8}

S4 = {0, 6}

Akan dibuktikan Ideal prima dari Z12

Untuk S1 = {0, 2, 4, 6, 8, 10} merupakan ideal prima karena untuk semua x,y є Z12 dengan

xy є S1, maka x є S1 atau y є S1

Untuk S2 = {0, 3, 6, 9} merupakan ideal prima karena untuk semua x,y є Z12 dengan xy є

S2, maka x є S2 atau y є S2

Untuk S3 = {0, 4, 8} bukan merupakan ideal prima karena untuk semua x,y є Z12 dengan

xy є S3, maka x ∉ S3 atau y ∉ S3

Untuk S4 = {0, 6} bukan merupakan ideal prima karena untuk semua x,y є Z12 dengan xy

є S4, maka x ∉ S4 atau y ∉ S4

V. IDEAL MAKSIMAL

DEFINISI

Suatu ideal sejati N dari ring R dikatakan ideal maksimal dari ring R, bila untuk setiap ideal

M di R berlaku hubungan M ⊆ N ⊆ R

Contoh 1

Ring <Z6, + , x >

Semua ideal sejati dari Z6 adalah {0, 2, 4} dan {0, 3}

Z6

{0, 2, 4} {0, 3}

Sehingga {0, 2, 4} dan {0, 3} masing-masing adalah ideal maksimal dari Z12.

Contoh 2

Ring <Z12, + , x >

Semua ideal sejati dari Z12 adalah {0, 2, 4, 6, 8, 10} , {0, 3, 6, 9} , {0, 4, 8} dan {0, 6}.

Z12

{0, 2, 4, 6, 8, 10} {0, 3, 6, 9}

{0, 4, 8} {0, 6}

Sehingga {0, 2, 4, 6, 8, 10} dan {0, 3, 6, 9} masing-masing adalah ideal maksimal dari Z12.

TEOREMA

Andaikan R adalah suatu ring dengan unsur kesatuan 1, jika N adalah ideal dari R yang

mengandung unsur satuan, maka N = R

Bukti

Misalkan a є N adalah unsur satuan. Maka ada a-1 є R. Karena N adalah suatu ideal, maka a-1

a = 1 є N. Hal ini berakibat bahwa untuk setiap r є R, maka r = r.1 є N. Jadi N = R

Akibatnya

Jika F adalah suatu Field , maka F tidak mempunyai ideal sejati

Bukti

Andaikan N adalah sebarang ideal dari Field F . Jika N = {0}, maka N adalah ideal tak sejati

dari F. Selanjutnya kita misalkan N ≠ {0}, karena F adalah suatu Field, setiap n є N dengan n

≠ {0} adalah suatu unsur satuan. Teorema sebelumnya menyatakan N = F. Sehingga F tidak

mempunyai ideal sejati.

Contoh

Z5 adalah sebuah Field dan tidak mempunyai sub ideal sejati karena Z5 tidak mempunyai sub

ring.

VI. RIng Faktor

DEFINISI

Misalkan R adalah suatu Ring dan N adalah suatu ideal dari R .

R/N = { r + N r R} adalah Ring dengan (r1 + N) + (r2 + N) = (r1 + r2) + N dan

(r1 + N) (r2 + N) = (r1 r2) + N. Ring semacam ini disebut Ring Faktor atau Ring

Koisen

Ring Faktor terdiri dari himpunan koset-koset ring tersebut yang diantaranya adalah ideal-

ideal.

Teorema 1:

Andaikan R adalah suatu Ring dan misalkan N adalah ideal dari R. Bila pada

himpunan R/N = {r + N : r R} didefinisikan operasi

(r1 + N) + (r2 + N) = (r1 + r2) + N

dan (r1 + N) (r2 + N) = r1 r2 + N

Untuk semua (r1 + N), (r2 + N) R/N, maka (R/N, +, ∙ ) adalah suatu Ring.

Bukti :

Dik : R/N = {r + N : r R}

didefinisikan operasi (r1 + N) + (r2 + N) = (r1 + r2) + N

dan (r1 + N) (r2 + N) = r1 r2 + N

Adt: <R/N, +, ∙ > merupakan suatu ring .

Pembuktian yang diberikan dengan menggunakan definisi Ring, yaitu

i. <R/N, + > merupakan grup komutatif

1. Sifat Ketertutupan ( a, b R/N berlaku a+b R/N)

2. Sifat Assosiatif ( a, b, c R/N berlaku (a+b)+c=a+(b+c))

3. Sifat Identitas ( e R/N e+a=a+e, a R/N)

4. Sifat Invers ( a R/N, !a-1 R/N a+ a-1 = a-1+a = e)

5. Sifat Komutatif ( a, b R/N berlaku a+b = b+a )

ii. <R/N, ∙ > merupakan semi grup

1. Sifat tertutup ( a, b R/N berlaku a.b R/N)

2. memenuhi sifat Assosiatif ( a, b, c R/N berlaku (ab)c=a(bc))

iii. <R/N, +, ∙ > memenuhi sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan

1. a,b,c R/N berlaku a(b+c) = ab +ac

2. a,b,c R/N berlaku (a+b)c = ac +bc

Bukti:

i. . 1. Ambil sembarang a, b R/N ,

misal a= (r1 + N),

b= (r2 + N), dengan r1 , r2 R

maka diperoleh a + b = (r1 + N)+ (r2 + N)

= (r1+r2) + N R/N (karena r1 , r2R maka (r1+r2)+NR/N)

Jadi terbukti <R/N, + > memenuhi sifat tertutup

2. Ambil sembarang a, b, c R/N

misal a= (r1 + N),

b= (r2 + N),

c= (r3 + N) .

berlaku (a+b)+c= ((r1 + N)+ (r2 + N)) + (r3 + N)

= ((r1+r2)+N)+ (r3 + N)

= ((r1+r2 )+r3) + N

= (r1 + (r2+r3)) + N

= (r1+ N) + ((r2+r3) + N)

= (r1+ N) + ((r2+N) + (r3 + N))

= a+(b+c)

Jadi sifat assosiatif pada perkalian dipenuhi.

3.ambil sembarang a= r1+ N R/N,

Pilih e = 0+N R/N

Sedemikian sehingga a + e = (r1 + N)+ (0+N) dan e +a = (0 + N)+ (r1+N)

= (r1+0) + N = (0 +r1) +N

= r1+N = r1+ N

= a = a

Jadi e = 0 +N R/N e+a=a+e, a R/N terbukti, artinya sifat identitas pada

penjumlahan dipenuhi

4. ambil sembarang a= r1+ N R/N,

Maka ada a-1, sehingga diperoleh a-1 =(-r1+N ) R/N

Sedemikian sehingga a + a-1 = (r1 + N)+ (-r1+N) dan a-1 +a = (-r1 + N)+ (r1+N)

= (r1+(-r1)) + N =((-r1 )+r1) +N

= 0+N = 0+ N

= e = e

Jadi a R/N, !a-1 R/N a+ a-1 = a-1+a = e terbukti artinya sifat Invers dipenuhi

5. Ambil sembarang a, b R/N ,

misal a= (r1 + N),

b= (r2 + N), dengan r1 , r2 R

maka diperoleh a + b = (r1 + N)+ (r2 + N)

= ( r1+r2) + N ( karena R ring maka r1+r2 = r2+r1)

= (r2+r1) + N

= (r2 + N) + (r1+ N)

= b + a

Jadi a, b R/N berlaku a+b = b+a terbukti artinya sifat komutatif di penuhi

Dari 1, 2, 3, 4, 5 disimpulkan bahwa <R/N, +> merupakan grup komutatif

ii. 1. . Ambil sembarang a, b R/N ,

misal a= (r1 + N),

b= (r2 + N), dengan r1 , r2 R

maka diperoleh a . b = (r1 + N). (r2 + N)

= (r1.r2) + N R/N ( karena r1 , r2 R maka (r1.r2)+ N R/N

Jadi terbukti <R/N, + > memenuhi sifat tertutup pada perkalian

2. Ambil sembarang a , b, c R/N ,

misal a= (r1 + N),

b= (r2 + N),

c= (r3 + N) .

Maka

(ab)c = ((r1 + N) (r2 + N)) (r3 + N)

= (r1 r2 + N) (r3 + N)

= (r1 r2)r3 + N

= r1(r2 r3) + N

= (r1 + N) (r2 r3 + N)

= (r1 + N) ((r2 + N) (r3 + N))

= a(bc)

Sehingga berlakulah sifat asosiatif pada operasi perkalian .

Dari 1 dan 2 di simpulkan <R/N, . > merupakan semi grup

iii.. Ambil sembarang a , b, c R/N ,

misal a= (r1 + N),

b= (r2 + N),

c= (r3 + N) , r1, r2, r3 R

Selanjutnya diperoleh

1.a(b+c)= (r1 + N) ((r2 + N) + (r3 + N))

= (r1 + N) ((r2 + r3) + N)

= (r1 (r2 + r3) + N)

= (r1 r2 + r1 r3) + N

= (r1 r2 + N) + (r1 r3 + N)

= (r1 + N) (r2 + N) + (r1 + N) (r3 + N),

= ab + ac

Jadi sifat Distributif kiri dipenuhi

Dengan cara yang sama dapat diperlihatkan bahwa

(a+b)c =((r1 + N) + (r2 + N)) (r3 + N)

=( (r1+ r2)+ N) (r3 + N)

= ( (r1+ r2)r3 + N)

=( (r1r3+ r2r3) + N)

=( r1r3 + N) (r2r3 + N)

= (r1 + N) (r3 + N) + (r2 + N) (r3 + N).

=ac +bc

Jadi sifat Distributif kanan terbukti

Dari 1 dan 2 di simpulkan <R/N, +, ∙ > memenuhi sifat distributif perkalian terhadap

penjumlahan

Dari i, ii, iii di simpulkan bahwa <R/N, +, ∙ > merupakan suatu ring. Dan dikenal dengan

RING FAKTOR dari R modulo N.

Berikut ini kita diskusikan sifat-sifat dari Ring faktor. Berikut ini kita perlihatkan salah satu

sifat dari Ring R/N.

SIFAT – SIFAT RING FAKTOR

TEOREMA 2 :

Andaikan R adalah ring komutatif dengan unsur kesatuan 1. Bila N adalah suatu ideal dari

R, maka R/N adalah suatu ring komutatif dengan unsur kesatuan. (1+N)

Bukti :

Andaikan R ring komutatif dengan unsur kesatuan 1 dan N ideal dari R.

Akan ditunjukkkan bahwa :

i) R/N adalah ring komutatif ( r1+N, r2+N R/N, berlaku (r1+N)(r2+N)= (r2 + N) (r1 + N))

ii) R/N adalah ring dengan unsur kesatuan ((1+N)R/N (1+N)(r+N) =(r+N)(1+N) =

(r+N) , (r+N) R/N) .

i) Karena R ring dan N ideal dari R, maka berdasarkan Teorema 1 di atas menjamin R/N

adalah suatu ring.

Selanjutnya ambil sembarang r1 + N, r2 + N R/N,

Berlaku (r1 + N) (r2 + N) = r1 r2 + N

= r2 r1 + N (karena R ring komutatif maka r1 r2= r2 r1)

= (r2 + N) (r1 + N), ( Definisi operasi perkalian di R/N)

Sehingga R/N adalah ring komutatif.

ii) ambil sembarang (r+N) R/N dan pilih (1+N) R/N

selanjutnya diperoleh (1 + N) (r + N) = (1.r) + N dan (r+N)(1+N) = (r.1)+N

= (r+N) = (r+N)

Jadi untuk semua (r + N) R/N, maka (1 + N) adalah unsur kesatuan dari R/N.

Dari (i) dan (ii), maka teorema 2 terbukti.

Teorema 3 :

Andaikan R adalah suatu ring komutatif dengan unsur kesatuan 1, dan misalkan N adalah

suatu ideal dari N. R/N adalah suatu field jika dan hanya jika N adalah ideal maksimal.

Bukti :

Andaikan R ring komutatif dengan unsur kesatuan 1 dan N ideal dari R akan dibuktikan

1. R/N adalah field N ideal maksimal

2. N ideal maksimal maka R/N adalah field

1. Misalkan R/N adalah field akan diperlihatkan N ideal maksimal artinya hanya

ditunjukkan ada N dimana N M R dan M = R

Misalkan M ideal dari N dan N M, b M tetapi b N, maka b + N adalah elemen

tak nol dari R/N. Karena R/N field maka ada c + N dimana cR, sedemikian sehingga

(b+N) (c+N) = 1 + N dengan 1 + N merupakan identitas perkalian di R/N. Karena

bM dan M ideal maka bc M, oleh sebab itu 1 + N = (b+N) (c+N) = bc + N

Kita peroleh 1 – bc N M, jadi 1 = (1-bc) + bc M. Maka terbukti M = R.

Artinya N ideal maksimal.

2. Misalkan N ideal maksimal dari R/N . Kita perlihatkan R/N adalah suatu lapangan.

Karena R komutatif dengan unsur kesatuan, berdasarkan Teorema 2 maka R/N ring

komutatif dengan unsur kesatuan (1+N) jadi kita cukup memperlihatkan bahwa setiap

(r + N) R/N adalah unsur satuan. Perhatikan himpunan

S = {sr + n : r R dan n N}

Jelaslah bahwa N S. Kita perlihatkan bahwa S adalah suatu ideal dari R.

Untuk sebarang sr1 + n1, sr2 + n2 S,

(sr1 + n1) - (sr2 + n2) = sr1 - sr2 + n1 - n2

= s(r1 - r2) + (n1 - n2)

Karena (r1 - r2) R dan (n1 - n2) N, maka (sr1+n1) - (sr2+n2) S. Selanjutnya,

perhatikan sebarang unsur r` R dan sr + n S, maka r`(sr+n) = r`sr + r`n = sr`r +

r`n. Jelaslah bahwa r`r R, kemudian karena N adalah suatu ideal maka r`n N.

Jadi r`(sr+n) S. Dengan cara yang sama,kita dapat memperlihatkan bahwa (sr+n)r`

S. Jadi, S adalah ideal dari R. Karena N adalah ideal maksimal dari R dan N S,

maka S = R. Sehingga unsur kesatuan 1 S. Misalkan 1 = sr + n` dengan n’ N,

maka

(1 + N) = sr + n` + N = sr + N = (s + N) (r + N)

Hal ini berakibat bahwa setiap unsur tak nol dari R/N adalah unsur satuan. Sehingga

R/N adalah suatu lapangan (field).

Teorema 4 :

Andaikan R adalah suatu ring komutatif dengan unsur kesatuan 1 dan misalkan N adalah

ideal dari R. R/N adalah suatu daerah integral jika dan hanya jika N adalah ideal prima.

Bukti :

Diketahui R ring komutatif dengan unsur kesatuan 1, N adalah ideal dari R, akan dibuktikan

R/N adalah daerah integral jika dan hanya jika N Ideal prima, artinya:

i) R/N adalah daerah integral N ideal prima

ii) N ideal prima R/N adalah daerah integral

i. ) Misalkan R/N adalah daerah integral (RTPN, Ring komutatif dengan unsur

kesatuan).

Akan ditunjukkan N adalah ideal prima ( dan

atau ) .

Ambil sembarang a,b R dan ab N dari a,b N. Dari a,b R maka

a + N R/N dan b + N R/N

Selanjutnya , kita peroleh (a+N) (b+N) = ab + N = 0+N , karena R/N daeral

integral

Maka a+N = 0+N = N atau b+N = 0+N=N artinya a N atau b N.

Artinya, N ideal prima terbukti.

ii. ) Diketahui N ideal prima dan R Ring komutatif dengan unsur kesatuan.

Akan ditunjukkan R/N merupakan daerah integral.

Artinya : - R/N Ring Komutatif

- R/N Ring dengan unsur kesatuan

- R/N RTPN

Karena R ring komutatif dengan unsur kesatuan 1 dan N ideal dari R.

Berdasarkan teorema 2 maka R/N merupakan Ring Komutatif dengan unsur

kesatuan 1+N. Selanjutnya kita tinggal menunjukkan bahwa R/N RTPN. Artinya

apabila (a + N) (b + N) = 0 + N maka harus diperlihatkan a + N = 0 + N atau b +

N = 0 + N.

Misalkan (a + N) (b + N) = 0 + N maka ab + N = 0 + N = N.

Hal ini berarti ab N karena N ideal prima maka a N atau b N sehingga a+N

= N=0+N atau b+N = N=0+N. Jadi R/N merupakan RTPN terbukti.

Karena R/N ring komutatif, Ring dengan unsur kesatuan, dan RTPN maka R/N

merupakan Daerah Integral

CONTOH - CONTOH SOAL

Contoh 1 :

Perhatikan Ring Z12 dengan ideal maksimal N = {0, 3, 6, 9}.

Maka Z12/N = {N, 1 + N, 2 + N} adalah suatu ring

Dengan tabel Cayley dari operasi penjumlahan dan perkaliannya adalah sebagai berikut :

+ N 1 + N 2 + N

N N 1 + N 2 + N

1 + N 1 + N 2 + N N

2 + N 2 + N N 1 + N

. N 1 + N 2 + N

N N N N

1 + N N 1 + N 2 + N

2 + N N 2 + N 1 + N

Dari tabel di atas kita ketahui bahwa R/N adalah suatu lapangan (field) dan juga R/N adalah

suatu daerah integral.

Akibat dari Teorema 3 dan Teorema 4 :

Setiap ideal maksimal dari ring komutatif R dengan unsur kesatuan adalah ideal prima.

Bukti :

Jika N adalah ideal maksimal dari gelanggang komutatif R dengan unsur kesatuan, maka

Teorema 3 mengakibatkan R/N adalah suatu lapangan (Field). Sehingga R/N juga suatu

daerah integral. Selanjutnya, Teorema 4 menjamin N adalah suatu ideal prima.

Contoh 2

Bila K = {0, 2, 4} adalah suatu ideal dari Z6. Tunjukkan Z6/K adalah merupakan Ring

Faktor.?

Penyelesaian:

Ada dua koset dari K dalam Z6, yaitu :

K = { 0, 2, 4} dan

K + 1= {1, 3, 5 }

Maka Z6/K = {K, (K+1) }

Karena anggota himpunan Z6/K finit, maka digunakan table Cayle, sebagai berikut:

Tabel 2 menunjukkan penjumlahan dan perkalian unsur-unsur dari Z6/K

Selanjutnya dari tabel, kita akan membuktikan bahwa Z6/K merupakan ring Faktor. Artinya

harus ditunjukkan bahwa Z6/K memenuhi syarat-syarat Ring. Adapun Syarat-syaratnya

sebagai berikut:

1. (Z6/K, + ) merupakan grup komutatif

a) Sifat Ketertutupan ( a, b Z6/K berlaku a+b Z6/K)

Dari table terlihat hasil operasi dari anggota Z6/K berada dalam Z6/K. Jadi sifat

ketertutupan dipenuhi

b) Sifat Assosiatif ( a, b, c Z6/K berlaku (a+b)+c=a+(b+c))

Sifat Assosiatif pada operasi penjumlahan berlaku pada Z6, maka berlaku juga

pada Z6/K

c) Sifat Identitas ( e Z6/K e+a=a+e, a Z6/K)

Dari table terlihat ada e = K+0 a+e=e+a,a Z6/K

d) Sifat Invers ( a Z6/K, !a-1 Z6/K a+ a-1 = a-1+a = e)

Dari table terlihat bahwa K inversnya K, dan K=1 inversnya K+1

e) Sifat Komutatif ( a, b Z6/K berlaku a+b = b+a )

Dari table operasi penjumlahan terlihat unsur-unsur di Z6/K simetri terhadap

diagonal utamanya, maka (Z6/K,+) berlaku sifat komutatif

2. (Z6/K, ∙ ) memenuhi sifat Assosiatif ( a, b, c Z6/K berlaku (ab)c=a(bc))

Sifat Assosiatif pada operasi perkalian berlaku pada Z6, maka berlaku juga pada Z6/K

3. (Z6/K, +, ∙ ) memenuhi sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan

a. a,b,c Z6/K berlaku a(b+c) = ab +ac

Sifat Distributif Kiri berlaku di Z6, maka berlaku juga pada Z6/K

b. a,b,c Z6/K berlaku (a+b)c = ac +bc

Sifat Distributif kanan berlaku di Z6, maka berlaku juga pada Z6/K

Contoh :

Z12 = {0, 1, 2, 3, …, 11} adalah ring dari bilangan-bilangan bulat modulo 12.

IDEAL RING FAKTOR

P = { 0, 6 } Z12 / P = { P, {1,7}, {2,8}, {3,9}, {4,10}, {5,11} }

Q = { 0, 4, 8 } Z12 / Q = {Q, {1,5,9}, {2,6,10}, {3,7,11}}

R = { 0, 3, 6, 9 } Z12 / R = {R,{1,4,7,10}, {2,5,8,11}}

S = { 0, 2, 4, 6, 8, 10 } Z12 / S = {S, {1,3,5,7,9,11}}

KATA PENGANTAR

Puji dan syukur penulis ucapkan kepada Allah SWT atas segala berkah dan

hidayahnya sehingga penulis dapat menyelesaikan makalah ini. Makalah ini berjudul “SUB

RING, IDEAL DAN RING FAKTOR”. Tulisan ini dibuat sebagai tugas mata kuliah

Struktur Aljabar pada Program Studi Pendidikan Matematika Pascasarjana UNIMED.

Terima kasih yang sebesar-besarnya penulis persembahkan kepada Ibu Dr.

Izwita Dewi, M.Pd sebagai Dosen Pengampu mata kuliah yang telah membuka cakrawala

berpikir penulis. Dan ucapan terima kasih juga penulis ucapkan kepada teman-teman kelas

Reguler A Semester 2 Prodi Pendidikan Matematika.

Sebagai hasil makalah mahasiswa, tentu saja makalah ini masih banyak

kekurangan maupun keraguan di dalamnya. Untuk itu kami berharap kepada seluruh pihak

untuk memberi saran dan kritikan guna memperbaiki tulisan ini.

Medan, april 2011

Penulis

Kelompok 1