Successionin

A suo tempo abbiamo introdotto il sistema numerico dei numeri naturali N. Con successivi ampliamentiabbiamo costruito tutti i sistemi numerici fino ai numeri complessi.

Il concetto di successivo e la proprieta’ di induzione rendono il sistema dei n umeri naturali semplicee flessibile. Anzi, tutti i suoi elementi possiamo disporli in un sequenza ordinata per successivo:

N := 0, 1, 2, 3, 4, ..., n, ........ := {n}n∈N := {n}.

Il termine adottato per tale disposizione e’ ” successione” ovvero ” l’atto di seguire in ordine osequenza”; sono stati elencati i diversi modi di indicare la successione dei numeri naturali.

Inoltre, per indicare insiemi che hanno qualche relazione con i naturali, e’ stato introdotto l’aggettivo” numerabile ” e si dice che un insieme E e’ numerabile se e’ possibile porlo in corrispondenza biunivocacon l’insieme N (come insieme).

Se si vuole ordinare l’insieme E, esso viene posto in corrispondenza biunivoca con la successione deinumeri naturali. In questo caso E viene chiamato successione. Allora possiamo dare la definizione disuccessione nel seguente modo

Si dice successione un insieme E di oggetti o elementi che e’ posto in corrispondenza biunivoca con lasuccessione dei numeri naturali

Tali elementi possono essere di natura qualsiasi. Un modo semplice per denotare la successione e’ quellodi usare una lettera munita di un indice, il numero naturale corrispondente che ne denota il posto nellasequenza:

E := {an} := {an}n∈N := a0, a1, a2, ...., an, ...

Useremo piu’ frequentemente la notazione {an}.Dunque una successione e’ definita dalla legge che, assegnato il posto n, costruisce l’elemento an

che occupa quel posto. L’ elemento an e’ anche detto l’ elemento generale o elemento n-esimo dellasuccessione. Per ogni n, an+1 e’ successivo di an. Se n ≤ m si dice che am segue an o che an precede am.

Possiamo concludere che la successione e’ una funzione definita sull’insieme dei numeri naturali Nconsiderati posti in sequenza. Questa osservazione giustifica la definizione di successione numerica cheabbiamo dato negli appunti sulle funzioni in R, ad essa abbiamo applicato tutte le nozioni costruiteper le funzioni, in generale. Da ora in poi consideriamo quale codominio il campo dei numeri Reali.Riprendiamo quella definizione per poi adattare alle successioni tutta la potenza del calcolo che abbiamocostruito per le funzioni.

Definizione: Chiameremo successione numerica una funzione f con dominio N e codominio R ovvero

f : N → R; o f : n 7→ y, ed y = f(n).

Posto f(n) = an abbiamo la successione definita sopra. Per le successione posssiamo, quindi, dare ilconcetto di immagine che e’

Imf = {y ∈ R|y = f(n), n ∈ N}

e, con l’ovvio significato dei simboli, possiamo scrivere piu’ semplicemente

Imf := {an} := a0, a2, ..., an, ..

Inoltre possiamo definire il grafico di f nel piano O(x, y) di una successione:

G = {(x, y)|x = n, y = f(n) = an}.

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Se N1 ⊆ N possiamo parlare di restrizione di {an} ad N1 come una successione {bn} con bn = an pern ∈ N1.

Cosi’ diremo che1) una successione {an} e’ limitata superiormente se esiste un numero reale k tale che an ≤ k perogni n ∈ N.

Il numero k e’ detto maggiorante della successione;2) una successione {an} e’ limitata inferiormente se esiste un numero reale h tale che an ≥ h per ognin ∈ N.

Il numero reale h e’ detto minorante della successione;3) una successione {an} e’ detta limitata se esistono due numeri reali h < k tale che h ≤ an ≤ k per ognin ∈ N o in forma piu’ compatta se esiste un numero positivo C tale che |an| ≤ C per ogni n ∈ N.4) Ovviamente, in caso contrario, diremo che la successione e’ illimitata superiormene, inferiormenteo illimitata.

La successione {an} si dice monotona crescente ( o crescente in senso stretto) quando

a0 < a1 < ... < an < ...

. {an} e’ detta monotona crescente in senso lato o non decrescente se vale

a0 ≤ a1 ≤ ... ≤ an ≤ ...

Simmetricamente, si dice che {an} e’ monotona decrescente o decrescente in senso stretto se

a0 > a1 > ...an > ...

o monotona decrescente in senso lato o non crescente se

a0 ≥ a1 ≥ ... ≥ an ≥ ...

(brevemente: crescente se an ≤ an+1 per ogni n oppure decrescente se an ≥ an+1 per ogni n ).Alle successioni possiamo applicare il concetto di limite al solo punto +∞ considerato come il solo

punto di accumulazione dei naturali. Come ci e’ noto con esso si studia il comportamento delle funzioniin intorni di punti di accumulazione o meglio il loro comportamento o proprieta’ locale. Nella teoria dellesuccessioni questo comportamento locale viene espresso nel seguente modo: la successione ha definitiva-mente una certa proprieta’ o un certo comportamento. Cioe’ la proprieta’ non e’ detto che valga pertutti gli elementi ma sicuramente per tutti gli elementi che hanno per indice un numero opportunamentegrande ( ovvero vicino all’infinito); ancora c’e’ solo un numero finito di oggetti che non ha la proprieta’.

Ad esempio la successione

0, 1, 0,−1, 0,−3, 2, 0,−1, 1, 3, 4, 6, 7, ...

non e’ totalmente monotona ma lo e’ dal nono posto in poi ovvero per n > 9 quindi la monotonia e’ unaproprieta’ che viene acquisita definitivamente dopo il posto 9.

Si da’ la seguente definizione:

Si dice che una successione {an} possiede definitivamente una proprieta’ P se esiste un indice ν chedipende da P tale che gli elementi della successione aν , aν+1, ..., an, .... hanno la proprieta’ P. Ovvero laproprieta’ P vale vicino all’infinito.

Definizione di limite per le successioni

Abbiamo gia’ dato, a suo tempo, la definizione di limite per le funzioni e per le successioni. Si e’ osservatoche il limite vale solo per il punto +∞ e rispetto a quello gia’ dato per le funzioni si cambia la variabilecontinua x con la variabile discreta n.

Con il concetto di limite si valuta il carattere della successione.

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Definizione di convergenza - Si dice che la successione di numeri reali {an} e’ convergente al numeroa (finito) e si scrive

limn→+∞

an = a oppure an → a per n → +∞

quando, comunque fissato un intorno U di a, la successione cade definitivamente in U , ovvero

∀ϵ > 0 ∃ un numero intero Nϵ > 0 (dipendente da ϵ) tale che per ogni n > Nϵ si ha |an − a| < ϵ.

Possiame affermare che la successione cade definitivamente nell’intervallo (a− ϵ, a+ ϵ). Altri modi di dire: an converge ad a; an tende ad a.

Una successione si dice convergente se ammette limite finito

Qualche variazione.

Si dira’ che an converge ad a per eccesso o dalla destra e si scrive

limn→+∞

an = a+ oppure an → a+ per → +∞

se ∀ϵ > 0 ∃ un numero intero Nϵ > 0 (dipendente da ϵ) tale che per ogni n > Nϵ si ha a < an < a+ ϵ.

Analogamente si ha il limite per difetto o dalla sinistra

limn→+∞

an = a− oppure an → a− per → +∞

se ∀ϵ > 0 ∃ un numero intero Nϵ > 0 (dipendente da ϵ) tale che per ogni n > Nϵ si ha a− ϵ < an < a.

Veniamo ora alla definizione di divergenza.

Definizione di divergenza - Si dice che la successione di numeri reali {an} diverge a ( o tende a) +∞e si scrive

limn→+∞

an = +∞ oppure an → +∞ per n → +∞

se ∀K > 0 ∃ un numero naturale NK > 0 (dipendente da K) tale che per ogni n > NK si ha an > K.

Si dice che la successione di numeri reali {an} diverge a ( o tende a) −∞ e si scrive

limn→+∞

an = −∞ oppure an → −∞ per n → +∞

se ∀K > 0 ∃ un numero naturale NK > 0 (dipendente da K) tale che per ogni n > NK si ha an < −K.

Si dice che la successione di numeri reali {an} diverge a ( o tende a) ∞ (infinito senza segno ) e si scrive

limn→+∞

an = ∞ oppure an → ∞ per n → +∞

se ∀K > 0 ∃ un numero naturale NK > 0 (dipendente da K) tale che per ogni n > NK si ha |an| > K.

Una successione che ha limite infinito e’ detta divergente

Una successione che ha limite viene detta regolare.

Se una successione non ha limite e’ detta oscillante oppure indeterminata oppure irregolare.Tutte le osservazioni fatte sulle funzioni che hanno limite, quali l’unicita’ del limite, la permanenza

del segno, la limitatezza , il limite del modulo etc.. valgono per le successioni.Enunciamo tali teoremi

Teorema -Se an ha limite esso e’ unico.

Teorema della permanenza del segno -Se an → a > 0 allora definitivament an > 0.

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ConseguenzaSe an → a e bn → b e se a < b allora definitivamente an < bn.

Se si ha an → a ed a < k allora {an} e’ definitivamente minorante della successione costante di elementik .

Teorema inverso della permanenza del segno -Se an → a ed an ≥ 0 allora a ≥ 0.

ConseguenzaSe an ≤ bn ed an → a e bn → b allora a ≤ b.

Caso particolare: se an ≤ k per ogni n e an → a allora a ≤ k.Interessante e’ mostrare la limitatezza di una successione che ha limite finito.Nella definizione, ponendo ϵ = 1, si ha che per n > N1 si ha a− 1 < an < a+ 1. allora scelto

K = max(|a0|, |a1|, ..., |aN1 |, |a− 1|, |a+ 1|)

si ha|an| ≤ K

per ogni n.

Qualche criterio

Definizione : Siano {an} e {bn} due successioni con an ≤ bn per ogni n. Si dice che {an} e’ minorantedi {bn} od anche {bn} e’ maggiorante di {an}.

In particolare se an ≤ k allora diremo che k e’ maggiorante di an considerandolo come una successionecostante k := k, k, k, k, k.....

Casi particolari della conseguenza del teorema della permanenza del segno.

1) se an → a ed an ≤ k per ogni n (o definitivamente) allora a ≤ k;

2) se an → a e bn → b con an ≤ bn per ogni n (o definitivamente) allora a ≤ b:

3) se an → 0 ed |bn| ≤ |an| per ogni n (o definitivamente) allora bn → 0.

4) se an → +∞ ed an ≤ bn per ogni n (o definitivamente) allora bn → +∞.

Criterio del confronto di tre successioni

Riscriviamoamo in forma di successioni il teorema del confronto per le funzioni.

Teorema - Siano {an}, {bn}, {cn} con an ≤ bn ≤ cn definitivamente (ovvero a meno di un numerofinito di indici). Se an → l e cn → l allora bn → l.

Criterio per il carattere delle successioni monotone

Per le funzioni monotone abbiamo osservato, a suo tempo, che hanno un buon comportamento rispettoal processo di limite. Per le successioni questo comportamento ha una forma piu’ completa. Riscriviamoil teorema di monotonia per le successioni.

Teorema - Ogni successione monotona, crescente o decrescente, e’ regolare: essa o e’ convergente(per difetto se crescente, per eccesso se decrescente) o e’ divergente (a +∞ se e’ crescente o −∞ se e’decrescente).1) Se essa e’ monotona non decrescente e limitata superiormente allora e’ convergente e se L e’ il suoestremo superiore allora converge a L−;2) Se essa e’ monotona non decrescente e illimitata superiormente allora diverge a +∞;3) Se essa e’ monotona non crescente e limitata inferiormente allora converge a l+ se l e’ estremoinferiore;4) Se e’ monotona non crescente ed illimitata inferiormente allora diverge a −∞.

In breve

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1) Sia an ≤ an+1. Allora an → Supan finito o infinito (+∞).2) Sia an > an+1. Allora an → Infan finito o infinito (−∞).

Dimostriamo, a mo’ d’esempio, l’affermazione che se {an} e’ monotona non decrescente e limitata supe-riormente allora e’ convergente a L = Supan .

Se la successione e’ costante non c’e’ niente da dimostrare. Allora assumiamo {an} almeno nondefinitivamente costante e sia L = Supan . Allora per ogni ϵ > 0 esiste un elemento anϵ tale cheL − ϵ < anϵ

≤ L. Dalla monotonia si ha che per ogni n > nϵ vale L − ϵ < anϵ< an ≤ L. Questa e’ la

definizione di limite per difetto.

Appare chiaro che se una successione e’ o convergente o divergente non e’ detto che sia monotona.

Sottosuccessioni o successioni parziali

Sia {nk} := n1, n2, n3, ..., nk, ... una successione crescente di numeri naturali ovvero (n1 < n2 < n3 <... < nk < ...). La successione {ank

} e’ detta sottosuccessione o successione parziale di {an}. Ovvero{ank

} e’ una restrizione di {an} all’insieme {nk}.

Se una successione e’ regolare ogni sua sottosuccessione e’ regolare; in particolare da an → a per n → +∞si ha ank

→ a per k → ∞.Non vale il contrario: se una sottosuccessione e’ regolare non si puo’ affermare che la successione sia

regolare.Esempio: Sia {an} := 0, 1, 0, 2, 0, 3, ..... La sottosuccessione formata dagli elementi di posto dispari e’

costante e tende a 0, quella di posto pari tende a +∞ e la successione globale non e’ regolare.

Criterio generale di convergenza : Condizione di Cauchy

I criteri sopra studiati riguardano alcune particolari proprieta’ della struttura delle successioni che impli-cano la convergenza della successione stessa. La domanda che ci poniamo e’ quella della esistenza di unaproprieta’ di struttura generale che caratterizzi la convergenza o meglio che sia equivalente alla esistenzadel limite della successione. Da quanto si e’ costruito fino ad ora appare chiaro che una tale proprieta’deve controllare l’oscillazione della successione. Questa circonstanza ci e’ suggerita dalla definizione stessadel limite. Se esiste il limite a di {an}, allora la successione, definitivamente, deve soddisfare la relazione

a− ϵ < an < a+ ϵ.

Prendiamo due indici n e m che la soddisfino, si ha

a− ϵ < an < a+ ϵ e a− ϵ < am < a+ ϵ

da cui−2ϵ < an − am < 2ϵ

ovvero|an − am| < 2ϵ.

Abbiamo ottenuto una relazione che attiene alla struttura della successione indipendentemente dalvalore del limite.

Questa relazione caratterizza le successioni convergenti. Si ha il seguente

Criterio di convergenza di Cauchy - Condizione necessaria e sufficiente affinche’ la successione {an}sia convergente ed abbia limite a e’ che (condizione di Cauchy ):

CC ∀ϵ > 0 ∃ Nϵ > 0 : ∀n,m > Nϵ ⇒ |an − am| < ϵ.

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1) (CC) e’ necessaria ovvero e’ conseguenza dell’esistenza del limite. L’abbiamo gia’ dimostrata. Ripeti-amola. Supponiamo che esista il limite: an → a. Allora per ogni ϵ > 0 esiste Nϵ > 0 (naturale) tale cheper n > Nϵ si ha |an − a| < ϵ. Allora scelti n,m > Nϵ si ha |an − a| < ϵ e |am − a| < ϵ da cui

|an − am| = |an − a+ a− am| < |an − a|+ |am − a| < 2ϵ.

2) CC e’ sufficiente ovvero se essa vale la successione e’ convergente.Dalla condizione si ha che fissato ϵ > 0 esiste Nϵ > 0 tale che per ogni n,m > Nϵ

|an − am| < ϵ.

Anzitutto la successione risulta limitata; infatti fissato ϵ > 0 ed n > Nϵ > 0 si ha an−ϵ < am < an+ϵper ogni m > Nϵ. Quindi la successione e’ definitivamente limitata e di consequenza e’ limitata. Per ilTeorema di Bolzano-Weierstrass l’insieme {an} ha un punto di accumulazione a ∈ R ovvero esiste unasottosuccessione {ank

} di {an} convergente ad a. Dunque, per ogni ϵ > 0 esiste un intero νϵ > 0 taleche per ogni k > νϵ si ha |ank

− a| < ϵ; dalla condizione (CC) si ha anche che |an − am| < ϵ per ognin,m > Nϵ. Quindi scelto nk > sup(nνϵ , Nϵ) si ha

|an − a| = |an − ank+ ank

− a| ≤ |an − ank|+ |ank

− a| < 2ϵ.

Il criterio e’ dimostrato.

Calcolo dei limiti

Ora presentiamo con qualche dimostrazione l’algebra dei limiti in forma di successione. Questa algebral’abbiamo abbondandente considerata negli appunti sui limiti delle funzioni. Come abbiamo gia’ a suotempo osservato si vuole valutare il limite di somma, differenza, rapporto di successioni di cui si conoscegia’ il carattere.

Teorema della somma di successioni convergenti - Siano {an} e {bn} due successioni convergentiovvero an → a e bn → b con a, b finiti. Allora {an + bn} e’ convergente e si ha an + bn → a+ b.

Dimostrazione. Dobbiamo considerare i limiti simultaneamente. Si ha

per ogni ϵ > 0 esiste Nϵ > 0 tale che per n > Nϵ si ha |an − a| < ϵ,

per ogni ϵ > 0 esiste µϵ > 0 tale che per n > µϵ si ha |bn − b| < ϵ.

Le due definizioni sono una indipendente dall’altra. Tale indipendenza e’ dovuta ai numeri µϵ, Nϵ.Rendiamo ora validi simultaneamente i due limiti; per questo basta considerare n > sup(Nϵ, µϵ); per talin valgono contemporaneamente

|an − a| < ϵ, |bn − b| < ϵ.

Allora si puo’ scrivere|an + bn − a− b| < |an − a|+ |bn − b| < 2ϵ,

e questa e’ la definizione di limite.

E’ ben noto che i limiti possono essere anche infiniti, e dalla parziale aritmetica degli infiniti, il teoremacontinua a valere tranne nel caso di indecisione ∞−∞.

Teorema della moltiplicazione per un numero c di una successione convergente - Sia {an}una successione convergente, ovvero an → a. Allora

can → ca.

Basta osservare che |c(an − a)| < |c|ϵ quando |an − a| < ϵ. Ponendo c = −1 si ha il seguente

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Teorema della differenza di successioni convergenti - Siano {an} e {bn} due successioni convergentiovvero an → a e bn → b con a, b finiti. Allora {an − bn} e’ convergente e si ha an − bn → a− b.

Questo teorema e’ ricondotto al limite della somma scrivendo an − bn = an + (−bn).

Teorema del limite del prodotto di successioni convergenti - Siano {an} e {bn} due successioniconvergenti, ovvero an → a e bn → b con a, b finiti. Allora {an · bn} e’ convergente e si ha an · bn → a · b.

La dimostrazione poggia sulla osservazione che una successione convergente e’ limitata (definitivamente)e che il prodotto di una successione limitata per un’altra convergente a zero tende a zero. Allora scrivendo

anbn − ab = anbn − abn + abn − ab = bn(an − a) + a(bn − b) → 0.

Il teorema continua a valere anche per limiti infiniti nel senso che il limite del prodotto e’ ancora ilprodotto dei limiti, usando la parziale aritmetica degli infiniti, tranne il caso 0∞.

Teorema del limite del rapporto di successioni convergenti - Siano {an} e {bn} due successioniconvergenti, ovvero an → a e bn → b ̸= 0 con a, b finiti. Allora {an

bn} e’ convergente e si ha an

bn→ a

b .Anche questo teorema continua a valere per limiti infiniti e per zero tranne i casi ∞/∞ e 0/0.

Limiti di potenze con base costante

Consideriamo successioni della forma {abn} con a > 0 dal momento che bn e’ reale.Esaminiamo alcuni casi particolari:

1) bn → +∞Possiamo considerare bn > 1. Allora abbiamoi) se a > 1 allora, posto a = eδ (δ > 0 opportuno), abn = eδbn ≥ δbn e dal criterio del confronto si ha

abn → +∞.ii) se a = 1 la successione e’ costante ed uguale ad 1.iii) se 0 < a < 1 allora 1

a > 1 per cui ( 1a )bn → +∞ quindi abn = 1

( 1a )bn

→ 0+.

2) bn → −∞

dal punto 1) ponendo abn = ( 1a )−bn si ha

i) se a > 1 allora abn → 0+,

ii) se a = 1 la successione e’ costante ed uguale ad 1,

iii) se 0 < a < 1 allora abn → +∞.

3) Dalla definizione di limite possiamo affermare che:

da bn → 0 si ha abn → 1.Infatti per 1 > ϵ > 0 si ha con a > 1

1− ϵ < abn < 1 + ϵ ⇔ loga(1− ϵ) < bn < loga(1 + ϵ).

Dato che bn → 0, definitivamente, si ha loga(1− ϵ) < bn < loga(1 + ϵ) per cui e’ verificata la definizionedi limite.

Per a < 1 basta invertire l’ordine.

Possiasmo dimostrare che:

4) se bn → b ̸= 0 allora abn → ab.

Infatti abn − ab = ab(abn−b − 1) → 0dal momento che bn − b → 0 e il prodotto di una costante per un infinitesimo e’ un infinitesimo.

5) an → 1 e |bn| < c ⇒ abnn → 1.

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Infatti esiste un numero naturale N tale che −N < bn < N si ha a−N < abn < aN oppure aN < abn <a−N se a > 1 oppure 0 < a < 1 ( an e’ definitivamente positivo). Dal teorema del prodotto a±N

n → 1 eddal teorema del confronto si ha l’asserto.

7) Consideriamo il caso generale dove base ed esponente sono variabili e convergenti

an → a > 0 e bn → b allora abnn → ab.

Infatti possiamo scrivere

abnn = ab · abn−b · (ana)bn → ab.

Infatti an e’ definitivamente positivo (permanenza del segno) e bn definitivamente limitato; poi abn−b → 1e an

a → 1.

Lo stesso risultato si ottiene ponendoabnn = ebnlogan .

e otteniamo una potenza con base costante.Nota: Per i limiti di potenza con base ed esponente variabile sussistono le seguenti forme di indecisione

00 ∞0 1∞.

Tutte le altre forme sono decise.

logaritmi

1) Date due successioni convergenti {an} e {bn} con limiti a e b, rispettivamente, si vuole valutare ilcarattere della successione

logbnan.

Dapprima semplifichiamo la forma

logbnan = logban : logbbn = (logbana

+ logba) : (logbbnb

+ logbb).

Per valutare il limite di logbnan basta valutare i limiti di logban

a e di logbbnb . Hanno la stessa struttura

allora e’ sufficiente valutarne uno solo. Verifichiamo mediante la definizione chelogb

an

a → 0 e logbbnb → 0.

Supponiamo b > 1 (il caso 0 < b < 1 e’ analogo), allora per ogni ϵ > 0 si ha b−ϵ < 1 < bϵ ovvero unintorno di 1. Dal momento che an/a tende ad 1 allora, definitivamente, si ha

b−ϵ <ana

< bϵ

possando ai logaritmi si ha

−ϵ < logbana

< ϵ.

Questa e’ la definizione di limite. Quindi abbiamo dimostrato che

logbnan → logba.

2) Il caso an → +∞ e bn → b > 0 viene valutato facilmente per b > 1.In questo caso per H > 0, arbitrariamente grande, si ha an > bH definitivamente perche’ an tende

all’infinito..Allora logban > H e questo e’ sufficiente a dimostrare che .

logbnan → +∞.

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Se 0 < b < 1 allora ponendo b′ = 1/b e logb′an = −logban ritroviamo il caso precedente ed abbiamo

logbnan → −∞.

3) se an → 0+ e bn → b > 0 ̸= 1, ponendo a′ = 1/an ci riduciamo ai casi precedenti:

logbnan → −∞, per b > 1,

logbnan → +∞, per 0 < b < 1.

Per i casi an → +∞ e bn → 0+ ; an → 0+ e bn → 0;

an → 0+ e bn → +∞; an → 1 e bn → 1

non si puo’ dedurre il carattere della successione, abbiamo forme di indecisionwe del tipo

log0 +∞; log00; log∞0; log11.

Molte delle considerazioni sopra esposte le abbiamo affrontate nell’ambito delle funzioni. Sopra abbi-amo utilizzato solo procedimenti nell’ambito delle successioni.

Ricordiamo anche che per definire il numero e sono state utilizzate le successioni ed il criterio dimonotonia.

Infinitesimi, infiniti. Criteri

In questo paragrafo introdurremo criteri che attengono alle proprieta’ caratterizzanti le successioni.Dapprima diamo la definizione di infinitesimo

Definizione - Si dice successione infinitesima una successione che converge a zero.

Se la successione {an} e’ infinitesima si dice anche che an e’ infinitesimo per n → +∞. Quando nonsorgono equivoci si sottindente ”n → +∞”.

Per stabilire se una successione e’ infinitesima si usano alcuni semplici criteri.

• Criterio del confronto

Sia definitivamente |an| ≤ |bn|; se bn → 0 allora an → 0. Se an → ∞ allora bn → ∞.

• Criterio della radice

Se esiste un numero positivo ρ < 1 (0 < ρ < 1) per cui

|an|1/n < ρ

allora an → 0.

Infatti da |an|1/n < ρ si ottiene |an| < ρn. Essendo 0 < ρ < 1 si ha ρn → 0 e per il criterio del confrontoan → 0.

Una forma di uso piu’ frequente del criterio della radice richiede l’esistenza del limite della radice n-esina:

• Criterio della radice asintotico

Se |an|1/n → λ < 1 allora an → 0.

Sia ρ tale che λ < ρ < 1; dalla definizione di limite o dal teorema della permanenza del segno nella formadi confronto, si ha, definitivamente, |an|1/n ≤ λ + ϵ < ρ < 1 con ϵ < ρ − λ. Siamo alla formulazioneprecedente.

• Criterio del rapporto

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Sia an ̸= 0. Se esiste un numero ρ positivo e minore di 1 (0 < ρ < 1) per cui

|an+1

an| ≤ ρ,

(il valore assoluto del rapporto di ogni elemento con il suo precedente)allora

an → 0.

Infatti, consideriamo la successione |an| da un posto N in poi ovvero per n > N ( e’ sufficiente questo) esia

|an+1

an| ≤ ρ.

allora valgono le disuguaglianze

|aN+1| ≤ ρ|aN |,|aN+2| ≤ ρ|aN+1| ≤ ρ2|aN |,· · · ·|an| ≤ ρ|an−1| ≤ ρ2|an−2| ≤ · · · ≤ ρn−N |aN |.

Ora |aN | e’ un numero fissato, ρn−N = ρ−Nρn → 0 per n → +∞ ne consegue

an → 0.

Anche questo criterio ha una forma di uso frequente che richiede il limite del rapporto.

• Criterio del rapporto asintoticoSe

|an+1

an| → λ < 1,

allora an → 0

E’ facile ricondurre questa forma a quella precedente.Infatti, nel caso del criterio della radice, dalla definizione del limite o dalla permanenza del segno

esiste un numero positivo ρ con λ < ρ < 1 per cui

|an+1

an| ≤ ρ

vale definitivamente (da un certo indice in poi) ed e’ verificata la condizione del criterio nella formaprecedente.

I criteri sufficienti sopra esposti per successioni infinitesime si adottano anche come criteri sufficienti perle successioni divergenti: scriviamoli. Osservando che da an → ∞ con an ̸= 0 si ha 1/an → 0.

Scriviamoli esplicitamente.

Trattiamo con successioni divergenti.

• Criterio del confronto

Sia definitivamente |an| ≤ |bn|; se an → ∞ allora bn → ∞.

• Criterio della radice

Se esiste un numero positivo ρ > 1 per cui |an|1/n > ρ allora {an} diverge.

• Criterio del rapporto

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Sia an ̸= 0. Se esiste un numero ρ > 1 per cui

|an+1

an| ≥ ρ,

(il valore assoluto del rapporto di ogni elemento con il suo precedente)allora {an} diverge.

Qualche interessante applicazione

• Per ogni numero k si ha

nk

en→ 0;

(logn)k

n→ 0.

Applichiamo il criterio del rapporto nella prima:

(n+1)k

en+1

nk

en

= (n+ 1

n)k · 1

e→ 1

e< 1.

Il criterio del rapporto termina la dimostrazione.Lasciamo allo studente la verifica del secondo limite.

Osserviamo che il rapporto considerato e’ la restrizione ai numeri naturali del rapporto delle funzionixk ed ex. A suo tempo per valutare con altrettanta ” semplicita’” il limite abbiamo fatto intervenire laregola di DeL′Hospital. Quindi, se e’ possibile valutare il carattere delle successioni con i semplici critericonsiderati, e’ bene applicarli. Certo se si riesce a determinare la funzione di cui la successione e’ unarestrizione ai numeri naturali si ha a disposizione strumenti ben collaudati per studiarne il carattere.

• I simboli di equivalenza asintotica e di o piccolo ( rapporto infinitesimo)

an ∼ bn e si legge an e’ asintotica a bn quando an

bn→ 1.

Scriviamoan = o(bn) e si legge an e’ o piccola di bn quando an

bn→ 0.

Esempi: n+√b ∼ n, 1

n + sennn2 ∼ 1

n ,n+logn√

n∼

√n, 1

n = o( 1√n), logn = o(

√n).

Per quanto riguarda il confronto fra successioni infinitesime e divergenti rimandiamo al confronto gia’ampiamente illustrato negli appunti sui limiti.

Formula di Eulero-Mascheroni

Valutiamo la somma degli inversi dei primi n numeri naturali.

Vale il seguente

Teorema -

Sn = 1 +1

2+

1

3+

1

4+ · · ·+ 1

n= logn+ C + ϵn,

ove C e’ una costante e 0 < ϵn < 1/n.

Dimostriamo solo Sn ∼ logn.Dalla dimostrazione del numero e si ha

(1 +1

n)n < e < (1 +

1

n)n+1

e passando ai logaritmi (e ricordandone la monotonia) si ha

11

nlog(1 +1

n) < 1 < (n+ 1)log(1 +

1

n),

ovvero

1

n+ 1< log(

n+ 1

n) <

1

n.

Sommando i membri della disequazione al variare di n ed osservando che per ogni n vale

log2

1+log

3

2+log

4

3+...+log

n

n− 1= (log2−log1)+(log3−log2)+(log4−log3)+...+(logn−log(n−1)) = logn

si ha

Sn − 1 < logn < Sn−1 = Sn − 1

n

Sn ∼ logn.

Dal teorema del confronto abbiamo che Sn → +∞.Esempi:

1.

an =√n− 3

√n =

√n(1−

3√n√n) =

√n(1− 1

6√n) → +∞;

√n− 3

√n ∼

√n;

2.

an =

√n− 1√n+ 1

=

√n(1− 1√

n)

√n(1 + 1√

n)→ 1−

3.n3 − n− 2

2n2 + n2/3 + n=

n3(1− 1n2 − 2

n3 )

n2(2 + 13 + 1

n )→ +∞;

4.

nlogn+ 1

n3/2 + 2→ +∞log0+ = −∞;

5.

an =1√nlog(1 +

1

n) =

1

n√n

log(1 + 1n )

1n

→ 0+;

1√nlog(1 +

1

n) ∼ 1

n√n.

6. criterio del confronto

an =n!

nn=

1 · 2 · 3 · ... · (n− 1) · nn · n · n · n · n · ... · n

<1

n→ 0.

7.

an =sen(n+ 1)

n; |sen(n+ 1)

n| ≤ 1

n→ 0 ⇒ an → 0.

12

8. Criterio del rapporto

an =n!

nn.

an =

(n+1)!(n+1)n+1

n!nn

=

n!(n+1)(n+1)(n+1)n

n!nn

=nn

(n+ 1)n=

1

(1 + 1n )

n→ e−1.

la successione e’ convergente.

9.

an = (n+ 2

n+ 3)n

1

n=

(1 + 2n )

n

(1 + 3n )

n

1

n→ e−10 = 0.

an ∼ 1

en.

10.

an = n(2n+1

n2 − 1) =(2

n+1

n2 − 1)n+1n2

· n · n+ 1

n2→ log2.

11. Criterio della radice

an =2n+1

nn;

n

√2n+1

nn=

n√22

n→ 0 ⇒ anconverge

oppure

an =2n+1

nn= 2

2n

nn= (per n ≥ 2) 2(

2

n)n → 0 ⇒ an → 0.

13

Serie numeriche

In questo paragrafo tratteremo del concetto di serie o meglio di serie numeriche. Questo concetto e lenozioni che ad essa attengono sono strettamente connesse con quelle che attengono alle successioni. Questae’ una delle ragioni per cui abbiamo adattato alle successioni molte nozioni che sono state estesamentepresentate nell’ambito della teoria delle funzioni di una variabile reale.

Il concetto di serie si presenta quando si intende sommare infiniti numeri. Questa esigenza si e’presentata piu’ volte anche nel’aritmetica con la rappresentazione decimale dei numeri reali, nel calcolointegrale. Ci e’ familiare l’operazione di somma di due numeri. In modo induttivo, abbiamo esteso taleoperazione a piu’ numeri, conservandone le proprieta’. Si vuole estendere questa operazione ad infinitielementi e cercando di conservarne il piu’ possibile le proprieta’ e di darne un significato coerente ed utile.

Certo non ci mettiamo a sommare uno alla volta gli infiniti numeri; sussiste un problema di spazio edi tempo. Gia’ con il concetto di limite siamo riusciti a trattare in modo utile e ragionevole il concetto di”infinito”. Recentemente abbiamo trattato integrali impropri affiancando il concetto di limite al concettodi integrale classico. Questo atteggiamento lo adotteremo anche per estendere l’operazione di somma diinfiniti numer: alle somme finite di numeri reali applicheremo il passaggio al limite.

Serie numeriche. Convergenza. Divergenza

Definizione Sia {an} una successione di numeri reali. Si dice serie (o serie numerica) la scrittura:

(∗) a0 + a1 + a2 + ...+ an + ....

Terminologia: + e’ il segno + o simbolo di addizione; a0, a1, a2, ..., an, .... termini della serie; an terminedi indice n o termine generale.

Si usa indicare la scrittura (*) utilizzando il simbolo di sommatoria

1)

∞∑n=0

an;

∞∑0

an;∑

an.

In ogni scrittura puo’ essere sottinteso un segno quando questo non comporta equivoci. La serie e’definita quando e’ assegnata la successione {an} ovvero quando e’ assegnata la legge per costruire iltermine generale. Ora assegniamo ai simboli sopra introdotti un numero in modo coerente e pratico.Coerente nel senso che includa la somma finita e ne conservi le proprieta’ il piu’ possibile. Si opera nelseguente modo: consideriamo le seguenti somme

(∗∗) s0 = a0, s1 = a0 + a1, s2 = a0 + a1 + a2, ..., sn = a0 + a1 + a2 + ...+ an, ....

Scriveremo anche

sn =

n∑i=0

ai.

Con l’operazione di somma finita abbiamo costruito una successione.Ognuno dei numeri in (**) viene chiamato somma parziale o ridotta.Cosi’ sn e’ chiamato somma parziale n-esima o di posto n o ridotta. Alla scrittura (*) viene associata

la successione delle somme parziali

(∗ ∗ ∗) s0, s1, s2, ..., sn, ...

Inoltre la scrittura

14

an+1 + an+2 + an+3 + an+4 + an+5 + ...+ an+p + ... =∞∑

i=n+1

ai

e’ detta serie residua di posto n.Ora siamo in grado di associare al simbolo in (1) un numero nel seguente modo.

Definizione - Si dice che la serie∞∑

n=0

an

e’ convergente ed ha per somma il numero S quando {sn} e’ convergente ed e’

sn → S per n → +∞

e si scrive

S =

∞∑n=0

an.

Definizione - Si dice che la serie∞∑

n=0

an

e’ divergente quando {sn} e’divergente.

Definizione - Si dice che la serie∞∑

n=0

an

e’ regolare quando {sn} e’ o convergente o divergente. Per ogni altro caso la serie viene detta irregolareod oscillante.

In breve: si attribuisce alle serie il carattere delle proprie successioni parziali.

Qualche variazione:

Definizione - Si dice che la serie∞∑

n=0

an

converge per difetto ad S e scriveremo∞∑

n=0

an = S−

quando sn → S−. Cosi’ diremo che la serie∞∑

n=0

an

converge per eccesso ad S e scriveremo∞∑

n=0

an = S+

quando s → S+ per n → +∞.Abbiamo posto un simbolo uguale ad un numero. Non occorre sconvolgersi piu’ di tanto. Si cerchera’

di avere delle proprieta’ sul simbolo, per quanto possibile, coerenti con quelle dei numeri.

15

In accordo alle locuzioni introdotte per le successioni, risultera’ chiaro il senso delle affermazioni: laserie ha definitivamente i termini non nulli; ha i termini definitivamente positivi; ha la successione deitermini definitivamente monotona, etc.

Esempi. La serie di Mengoli. La serie armonica. La serie geometrica.

Le serie che stiamo per scrivere devono essere considerate sia per l’interesse in se’ sia come serie test o diriferimento.

• Serie di Mengoli

La serie∞∑

n=1

1

n(n+ 1)=

1

1 · 2+

1

2 · 3+ ...+

1

n · (n+ 1)+ ...

e’ detta serie di Mengoli.Per valutarne il carattere consideriamo le somme parziali.Dapprima osserviamo che

1

n · (n+ 1)=

1

n− 1

n+ 1.

Quindi

sn = (1− 1

2) + (

1

2− 1

3) + ...+ (

1

n− 1

n+ 1) = 1− 1

n+ 1.

Allora sn → 1− per n → +∞.La serie di Mengoli e’ convergente ed ha somma 1. Scriviamo

∞∑n=1

1

n(n+ 1)= 1.

• Serie armonica

∞∑n=1

1

n= 1 +

1

2+ ...+

1

n+ ....

e’ detta serie armonica.Per valutarne il carattere usiamo la formula di Eulero -Mascheroni

sn = 1 +1

2+ ...+

1

n∼ logn.

La serie armonica e’ divergente.

• Serie geometrica

La serie

∞∑n=0

qn = 1 + q + q2 + ...+ qn + ...

e’ detta serie geometrica di ragione q.

Valutiamo il carattere della serie geometrica. E’ palese che esso dipende dal valore di q.Se q = 1 si ha sn = n+ 1 e la serie diverge. Quindi poniamo q ̸= 1. Calcoliamo

sn = 1 + q + q2 + ...qn.

16

Osserviamo cheqsn = q + q2 + ...+ qn + qn+1.

Sottraendo termine a termine le due somme, si ha

sn(1− q) = sn − qsn = 1 + q + q2 + ...+ qn − (q + q2 + ...qn + qn+1) = 1− qn+1.

Concludiamo che

sn =1− qn+1

1− q.

Si presentano vari casi:

1) q ≥ 1 ⇒ qn → +∞ da cui la serie geometrica diverge.

2) |q| < 1 ovvero −1 < q < 1 allora qn → 0 pertanto

sn =1− qn+1

1− q→ 1

1− q.

La serie geometrica e’ convergente ed ha somma

1

1− q.

3) q < −1, per indici pari la somma parziale ha valore > n → +∞, per indici dispari la somma parzialeha valore < −n → −∞ . Quindi la successione delle somme parziali ha sottosuccessioni divergenti a +∞e sottosuccessioni divergenti a −∞ per cui la successione delle somme parziali diverge a ∞ (infinito senzasegno).

4) q = −1. La serie e’ 1− 1 + 1− 1 + .... allora {sn} := 1, 0, 1, 0, 1, ...La serie e’ irregolare.

Concludiamo affermando che la serie geometrica e’ convergente per −1 < q < 1, e’ irregolare per q = −1e diverge per tutti gli altri valori di q.

Alcune proprieta’ delle serie

Sia data la serie

∞∑n=0

an.

la serie∞∑

n=p+1

an

ottenuta trascurando i primi p termini della serie originaria, e’ detta serie residua (o ridotta) p−esimoo di posto p”; indicheremo Rp la somma (se esiste) della serie ridotta che viene chiamato ”resto dellaserie (convergente) dopo il posto p e si scrive

Rp =∞∑

n=p+1

an.

Inoltre le somme parziali della serie residua o ridotta sonos̄1 = ap+1, s̄2 = ap+1 + ap+2, s̄3 = ap+1 + ap+2 + ap+3, ..., s̄n = ap+1 + ap+2 + ...+ ap+n

17

Non compare la somma dei primi p termini della serie iniziale. Allora se {s̄n} ha limite finito loindicheremo Rp e lo chiameremo

” resto di posto p”.Poiche’ le somme parziali delle due serie differiscono solo per una costante (la somma dei primi p

termini), e’ chiaro che le due serie hanno lo stesso carattere (ma non la stessa somma). Si usa esprimerequesto fatto dicendo che il carattere di una serie non dipende dai primi p termini della serie stessa.Ovviamente cambia la somma.

2) Del raccoglimento a fattore comune.Sia c ̸= 0 una costante. Le due serie

∞∑n=0

an e∞∑

n=0

can

hanno lo stesso carattere e se la prima e’ convergente con somma S la seconda e’ convergente con sommacS. Inoltre la seconda viene anche scritta

c

∞∑n=0

an

cioe’ si e’ posto in evidenza il fattore c.

Condizioni di convergenza

1) Sia∞∑

n=0

an

una serie convergente ed S =∑∞

n=0 an la sua somma;allora

an = sn − sn−1 → 0

dal momento che {sn} e {sn−1} sono le stesse successioni a meno di un elemento, pertanto hanno lostesso limite, ovvero sn → S e sn−1 → S.

Quindi abbiamo

Teorema - Condizione necessaria per la convergenza di una serie

∞∑n=0

an

e’ che il termine generale tenda a zero, ovvero an → 0 per n → +∞.

La condizione e’ chiaramente non sufficiente perche’ il termine generale an = 1/n della serie armonicatende a zero eppure la serie armonica e’ divergente.

Sia S la somma della serie convergente∑∞

n=0 an.Ovvero

S =

∞∑n=0

an

.Allora la serie residua di posto (n),

∞∑n=0

an − sn = an+1 + an+2 + ...

18

e’ convergente e la sua somma la incheremo Rn.Rn (e’ un numero ) e’ il resto della serie convergente dopo il posto n.Ora le somme S, sn, Rn (sono numeri) danno

S = sn +Rn

e si deduce che Rn → 0 per n → ∞ poiche’ sn → S.Quindi il resto di posto n tende a zero per n → ∞.Pertanto possiamo dire:Teorema Se una serie e’ convergente il suo resto di posto n-simo tende a zero per n → ∞.

Criterio generale di convergenza

Fino ad ora abbiamo evidenziato una condizione necessaria per la convergenza, ovvero il termine generaletende a zero. Cerchiamo, ora, una condizione che sia anche sufficiente per la convergenza. A tal propositoconsideriamo la seguente espressione

Rn,p = sn+p − sn = an+1 + an+2 + ...an+p.

Rn,p e’ la somma (numero) dei p termini consecutivi al posto n e viene chiamato resto ” parziale ” diposto n.

Dato che la convergenza di∑∞

n=0 an e’ identificata con la convergenza delle somme parziali {sn}possiamo applicare alle serie il criterio di convergenza di Cauchy per le successioni, adattandolo alle serie,ovvero assegnando il ruolo della differenza fra elementi di una successione di posto n e m = n+ p al restoRn,p. Allora abbiamo:

Teorema Condizione necessaria e sufficiente affinche’ una serie∑∞

n=0 an converga e’ che:∀ϵ > 0 e’ possibile determinare un indice Nϵ (dipendente da ϵ) tale che per ogni n > Nϵ e p un numeropositivo arbitrario si abbia

(∗) (|sn+p − sn| =)|Rn,p| = |an+1 + an+2 + an+3 + ...+ an+p| < ϵ.

Una volta osservato che preso m > n e posto m = n+ p si ha

Rn,p = sm − sn

allora abbiamo che l’enunciato del teorema e’ proprio il criterio di convergenza di Cauchy per la successione{sn} delle somme ridotte.

Con questo criterio si puo’ ricavare una conferma che la serie armonica non e’ convergente.Infatti

Rn,2n =1

n+ 1+

1

n+ 2+

1

n+ 3+ ...+

1

n+ n>

n

2n>

1

2.

Insistiamo, il criterio dice che per ogni ϵ > 0 e per tutte le coppie (n, p) (con n > Nϵ) vale la relazione(*). Per la serie armonica abbiamo costruito una coppia di indici per cui la proprieta’ non vale.

Serie a termini positivi

Consideriamo, ora, una serie a termini positivi o definitivamente positivi:

∞∑n=0

an

19

Dato che tutti i termini an sono positivi o nulli la successione delle somme parziali e’ monotona nondecrescente. Ad essa possiamo applicare tutti i risultati gia’ ottenuti in caso di monotonia. Abbiamo ilseguente criterio generale.

Teorema Ogni serie∞∑

n=0

an

con i termini positivi o nulli e’ regolare: e’ convergente o divergente a seconda che sia limitata o no lasuccessione {sn} delle somme parziali. Inoltre se L = Supsn allora

L =∞∑

n=0

an.

Questo criterio non e’ di facile applicazione pratica perche’ non e’ facile stabilire la limitatezza dellasuccessione. Nella pratica sono utili alcuni criteri sufficienti per decidere della convergenza o della diver-genza.

• Criterio del confronto

Definizione Siano∞∑

n=0

an, e

∞∑n=0

bn

due serie a termini non negativi. Se an ≤ bn per ogni n ≥ 0 si dice

∞∑n=0

an e′ minorante della serie∞∑

n=0

an

oppure

∞∑n=0

bn e′ maggiorante della serie∞∑

n=0

bn

Se an ≤ bn vale per n > n0 allora si dice definitivamente minorante .

Teorema Se una serie a termini positivi o definitivamente positivi e’ convergente allora e’ convergenteogni sua serie minorante;se e’ divergente allora e’ divergente ogni sua serie maggiorante.

Inoltre se∑∞

n=0 an e’ minorante di∑∞

n=0 bn = B allora e’∑∞

n=0 an = S ≤ B.

La dimostrazione e’ alquanto semplice.Sia

∞∑n=0

an minorante di∞∑

n=0

bn = B.

con∑∞

n=0 bn convergente.Le somme parziali soddisfano la relazione

a1 + a2 + ...+ an = An ≤ Bn = b1 + b2 + ...+ bn

(Abbiamo indicato le somme parziali con i simboli An e Bn, rispettivamente.)Dato che Bn ≤ B, per ogni n, si ha An ≤ B. Dunque la successione {An} e’ monotona crescente e

limitata superiormente da un numero A ≤ B ; la serie minorante e’ convergente.

Se An → +∞, essendo Bn ≥ An, allora Bn → +∞.Il teorema e’ dimostrato.

20

Questo teorema, come gli altri che seguiranno, non dice, in se’, nulla di particolarmente interessante.L’interesse sta nella possibilita’ di confronto con serie test di cui abbiamo conoscenza completa.

Una forma utile per semplificare il calcolo e di facile applicazione e’ la seguente variante del criterio.

Criterio del confronto asintotico Siano

∞∑n=0

an, e

∞∑n=0

bn

due serie a termini positivi o definitivamente positivi. Se

limn→∞

anbn

= l ̸= 0.

Allora le due serie hanno lo stesso carattere.Va da se’ che nelle condizioni del criterio

an ∼ lbn

In breve:

Due serie a termini positivi ed asintotiche hanno lo stesso carattere

Un altro criterio sufficiente per la regolarita’ di una serie e’ il seguente :

Criterio di condensazione o di Cauchy Sia {an} una successione monotona non crescente. Allorale due serie

a0 + a1 + a2 + a3 + a4 + .......+ an + ...

ea0 + 2a2 + 22a22 + 23a23 + 24a24 + ....+ 2ka2k + ...+ .

sono ambedue convergenti o ambedue divergenti.

Senza perdere la generalita’ consideriamo i termini positivi.

Per costruire la seconda serie si sono presi termini della prima serie di posto potenze di due cioe’ elementicon indice, 2, 22, 23.... ed ognuno e’ moltiplicato per il rispettivo indice. Indichiamo con sn le sommeridotte della prima serie e con σn le somme ridotte della seconda serie.

Osserviamo che ogni termine e ’ maggiore dei successivi, allora abbiamo

a0 ≤ a0,

a1 ≤ a0,

a2 + a3 ≤ 2a2,

a4 + a5 + a6 + a7 ≤ 22a4,

a8 + a9 + a10 + ...+ a15 ≤ 23a8,

..............................

....................................

a2n + a2n+1 + a2n+2 + ...+ a2n+1−1 ≤ 2na2n .

Sommando le disuguagliaze si ha

s2n+1−1 ≤ a0 + σn.

Allora se {σn} e’ convergente allora e’ convergente {sn}; se {sn} e’ divergente allora {σn} e’ divergente.

21

Inoltre

a0 ≥ 1

2a0,

a1 + a2 ≥ 1

22a2,

a3 + a4 ≥ 1

24a4,

a5 + a6 + a7 + a8 ≥ 1

223a8,

..............................

....................................

a2n−1+1 + a2n−1+2 + a2n−1+3 + ...+ a2n+ ≥ 1

22na2n .

Sommando le disuguagliaze si ha

s2n ≥ 12σn.

Pertanto se {sn} converge allora converge {σn}; se {σn} diverge allora diverge {sn}. Il criterio e’ di-mostrato.

Osservazione: per semplicita’ sono stato scelte le potenze di due come indice dei posti della secondaserie. Tutto vale con le potenze di qualsiasi numero naturale k.

Completiamo lo studio della serie armonica generalizzata.

+∞∑n=1

1

ns

Abbiamo gia’ mostrato che la serie diverge per s ≤ 1 e converge per s ≥ 2; esaminiamo il caso1 < s < 2.

Applichiamo il criterio di condensazione per la serie data. Otteniamo

1 +2

2s+

22

22s+

23

23s+ .....+

2n

2ns+ .. = 1 +

1

2s−1+

1

(2s−1)2+

1

(2s−1)3+

1

(2s−1)4+ ...

1

(2s−1)n+ ..

Otteniamo una serie geometrica di ragione q = 12s−1 e, dato che s − 1 > 0, q < 1 per cui la serie

geometrica e’ convergente. Una dimostrazione piu’ costruttiva e’ la seguente:Mostriamo che la serie :

1 +1

2s+

1

3s+

1

4s+

1

5s+ ...+

1

ns+ ..

e’ convergente per s > 1.Raggruppiamo in parentesi i termini nel seguente modo: il primo lo lasciamo senza modifica; per gli

altri, nella prima parentesi poniamo due elementi consecutivi, nella seconda parentesi quattro elementiconsecutivi, poi otto elementi consecutivi etc., allora abbiamo

1 + (1

2s+

1

3s) + (

1

4s+

1

5s+

1

6s+

1

7s) + (

1

8s+ ...

Valutiamo ogni parentesi:

1

2s+

1

3s<

1

2s+

1

2s=

1

2s−1.

1

4s+

1

5s+

1

6s+

1

7s<

1

4s+

1

4s+

1

4s+

1

4s= 4 · 1

4s=

1

(2s−1)2

22

Allora, per induzione, si ha

1 +1

2s−1+

1

(2s−1)2+

1

(2s−1)3+ ...

Questa e’la serie geometrica di ragione 12s−1 che e’ convergente. Allora converge anche la armonica

generalizzata per ogni s > 1.Esempi:

1. La serie ∑ 1

nn= 1 +

1

22+

1

33+ ...+

1

nn+ ...

e’ minorante della serie

1 +1

22+

1

23+ ...+

1

2n...

che e’ la serie geometrica di ragione q = 1/2 priva del secondo termine ovvero e’ la serie

∑qn − 1/2 = 1 +

1

22+

1

23+ ...+

1

2n...

che e’ convergente a 3/2. Pertanto la serie data e’ convergente perche’ e’ minorante di una serieconvergente.

2. La serie a termini positivi

∑ 1

n!= 1 +

1

2!+

1

3!+ ...+

1

n!+ ...

e’ una serie convergente perche’ minorante della serie geometrica di ragione 1/2∑ 1

2n= 1 +

1

2+

1

22+

1

23+ ...+

1

2n...

3. La serie ∑ 1√n= 1 +

1√2+

1√3+ ...+

1√n+ ...

diverge in quanto maggiorante della serie armonica

∑ 1

n= 1 +

1

2+

1

3+ ...+

1

n+ ...

Si ricorda che√n ≤ n da cui 1

n ≤ 1√n.

4.

1)∑ 1

n2= 1 +

1

22+

1

32+ ....

1

n2+ ..

e’ minorante della serie di Mengoli tranne il primo termine.

∑ 1

n(n+ 1)+ 1 = 1 +

1

1 · 2+

1

2 · 3+ ...+

1

n(n+ 1)+ ..

e’maggiorante di

∑ 1

n2= 1 +

1

22+

1

32+ ....

1

n2+ ..

Quindi la serie (1) e’ convergente.

23

5. Abbiamo constatato che e’ facile verificare che la serie∑

1√ne’ maggiorante della serie armonica

di conseguenza e’ divergente.

In generale, per ∑ 1

ns

( serie armonica generalizzata) si ha

i) per 0 < s ≤ 1 e’ maggiorante della serie armonica quindi e’ divergente;

ii) per s ≥ 2 e’ minorante della serie geometrica (priva del secondo termine) quindi e’ convergente.

iii) per 1 < s < 2 e’ convergente.

6. Dimostrare la convergenza della serie

∑ 1√n(1 + n4)

=1√

1(1 + 14)+

1√2(1 + 24)

+ ...+1√

n(1 + n4)+ ...

Risulta

1√n(1 + n4)

≤ 1√n4

≤ 1

n2.

Quindi la serie data e’ minorante di una serie convergente quindi e’ convergente.

7. Studiare il carattere della serie

∑ n2 + n− logn

3n4 + n3 − 2.

In questo caso conviene stabilire il comportamento asintotico del termine generale.

n2 + n− logn

3n4 + n3 − 2=

n2

3n4

1 + n−1 − logn/(n2)

1 + 1/3n− 2/(3n4)∼ 1

3n2.

La serie data e’ asintotica ad una serie convergente quindi e’ convergente.

8. Studiare il carattere della serie che ha come termine generale

an =logn

n2 + 3.

Osserviamo chelogn

np→ 0.

di sicuro per ogni p ≥ 1/2, da cui abbiamo che definitivamente

logn

np< 1.

Al denomonatore abbiamo una buona potenza di n ed una parte di essa la utilizziamo per neutral-izzare il logaritmo. Allora vale

logn

n2 + 3≤ logn

n2=

logn√n

1

n3/2<

1

n3/2

24

definitivamente. Ma 1n3/2 e’ il termine generale della serie armonica generalizzata con potenza

maggiore di 1, quindi convergente. La serie data e’ minorante di una serie convergente pertanto e’convergente.

9. Mostrare che ∑ 1

logn

e’ divergente.

Osserviamo che logn ≤ n per n > 1 quindi 1n ≤ 1

logn per cui la serie data diverge.

10.

11. Mostrare che ∑ 1

nlogn

e’ divergente.

Applichiamo il criterio di condensazione e costruiamo la serie

2

2log2+

22

22log22++

2n

2nlog2n+ ..

Valutiamo il termine generale

2n

2nlog2n=

2n

2nnlog2=

1

nlog2

che e’ il termine generale della serie armonica a meno di una costante. Quindi la serie data e’convergente.

12. Lo studente dimostri, applicando il procedimento dell’esercizio precedente, che per δ > 0 la serie

∑ 1

n1+δlogn

e’ convergente.

• Criterio della radice

Teorema Sia∑∞

n=0 an una serie a termini positivi o definitivamente positivi. Supponiano che esista unnumero ρ positivo minore di 1 (0 < ρ < 1) tale che, almeno definitivamente,

n√an ≤ ρ.

Allora la serie∑∞

n=0 an e’ convergente.Se per infiniti indici n si ha

n√an ≥ 1

allora la serie∑∞

n=0 an e’ divergente.

La dimostrazione e’ alquanto semplice. Nel primo caso si confronta la serie data con una serie geometricadi ragione ρ. Infatti, per ipotesi, si ha, almeno definitivamente, (cioe’ per n abbastanza grande)

n√an ≤ ρ < 1 ⇒ an ≤ ρn.

25

Per cui la serie∑∞

n=0 an e’ minorante della serie geometrica∑∞

n=0 ρn di ragione minore di 1, almeno

definitivamente. Quindi dal teorema del confronto e’ convergente.Per il secondo caso se

n√an ≥ 1

allora an ≥ 1 ed an non puo’ convergere a zero. La serie non puo’ convergere. Dato che e’ regolare devequindi divergere.

Osservazione: Insistiamo che per il carattere di una serie non e’ necessario considerare tutta la serie bensi’una serie residua ove si tralasciano i primi n0 termini; questo e’ cio’ che si intende per definitivamente.In questo caso, nella dimostrazione, si considera la serie geometrica ridotta o residua :

ρn0 + ρn0+1 + ρn0+3.... = ρn0(1 + ρ+ ρ2 + ....

Una pratica variazione del criterio della radice e’ data dal seguente teorema.

Teorema - Criterio della radice asintotico Sia∑∞

n=0 an una serie a termini positivi o definitiva-mente positivi. Supponiamo che esista

limn→+∞

n√an = l.

Allora

1) se l < 1, la serie∑∞

n=0 an e’ convergente.

2) Se l > 1, la serie∑∞

n=0 an e’ divergente.

3) se l = 1, nulla si puo’ dire in generale sul carattere della serie.

Dimostrazione.1) Per il teorema della permanenza del segno si ha che, definitivamente,

n√an < ρ = l + ϵ < 1

con ϵ < 1− l. Ritroviamo le condizioni del criterio della radice.

2) Sempre per il teorema della permanenza del segno, abbiamo, definitivamente

n√an > ρ = l − ϵ > 1

con ϵ < l − 1 e vale il teorema precedente.

Per il terzo caso ci limitiamo a considerare due esempi.

La serie armonica ∑ 1

n

e’ divergente conn√1/n → 1−.

Mentre la serie ∑ 1

n2

e’ convergente in quanto minorante della serie di Mengoli ed ancora

n√1/n2 → 1−.

Per il calcolo dei limiti basta passare al logaritmo ovvero log n√1/n = − logn

n → 0−.

Esempi:

26

1. Stabilire il carattere della serie∑(

n

2n+ 1)n =

1

3+ (

2

5)2 + (

3

7)3 + ...+ (

n

2n+ 1)n..

E’ naturale applicare il criteri della radice:

n

√(

n

2n+ 1)n = (

n

2n+ 1) → 1

2< 1.

La serie e’ convergente.

2. Stabilire il carattere della serie∑ 1

(logn)n=

1

(log2)2+ ...+

1

(logn)n..

Anche in questo caso e’ naturale applicare il criterio della radice:

n

√1

(logn)n=

1

logn→ 0.

La serie data e’ convergente.

3. Stabilire il carattere della serie ∑e−n2+xn

dove x e’ un numero arbitrario.

Applichiamo il criterio della radice

n√e−n2+xn = e−n+x → 0

per ogni x. Quindi la serie data e’ convergente.

4. Si consideri la serie ∑ xn

nn

con x numero positivo qualsiasi.

Applichiamo il criterio delas radice.

n

√xn

nn=

x

n→ 0.

La serie e’ convergente per ogni x ≥ 0.

5. Studiare il carattere della serie ∑xnnk

con x numero non negativo.

Applichiamo il criterio della radice

n√xnnk = x

n√nk → x

.

27

(Si ricorda che usando la forma esponenziale dobbiamo calcolare il limite

log(nk/n) =k

nlogn → 0.)

Qualunque sia k la serie converge per x < 1 e diverge per x > 1.

Per x = 1 la serie diventa ∑nk

Questo caso e’ stato gia’ studiato e si ha che la serie diverge per k ≥ −1 e converge per k < −1.

6. Studiare la serie ∑ 3n2 − n+ 2

2n3 + logn.

Valutiamo il comportamento asintotico d del termine generale:

3n2 − n+ 2

2n3 + logn=

3n2

2n3

(1− 1/(3n) + 2/(3n2))

1 + logn/(2n3)∼ 3

2n.

Quindi e’ asintotica ad una serie amonica moltiplicata per una costante. La serie data e’ divergente.

Per quanto riguarda il criterio della radice asintotico abbiamo detto che per il caso

n√an → 1

nulla si puo’ dire. Pero’ si puo’ osservare che se si ha

n√an → 1+

La serie e’ ovviamente divergente dal momento che definitivamente an ≥ 1 ed il terminegenerale non puo’ tendere a zero.

Il caso incerto resta solo 1−.

• Criterio del rapporto

Teorema Sia∑∞

n=0 an una serie a termini strettamente positivi o definitivamente strettamente positivi.Allora

1) se esiste un numero ρ positivo minore di 1 (0 < ρ < 1) tale che, almeno definitivamente,

an+1

an≤ ρ

la serie∑∞

n=0 an e’ convergente.

2) Sean+1

an≥ ρ ≥ 1

la serie∑∞

n=0 an e’ divergente.

1) Dalla ipotesi si haan+1

an≤ ρ.

Per semplicita’ diciamo per ogni n. Allora

a1 < ρa0; a2 < a1ρ < a0ρ2; ...an < an−1ρ < a0ρ

n.

28

Allora la serie∑∞

n=0 an e’ minorante della serie geometrica di ragione ρ < 1; dal criterio del confronto e’convergente.

2) Dalla ipotesi si ha allora an+1 ≥ ρan per cui∑∞

n=0 an e’ maggiorante di una serie geometrica di ragionemaggiore o uguale ad 1 che diverge. Da cui l’asserto.

Una pratica variazione del criterio del rapporto e’ data dal seguente teorema.

Criterio del rapporto asintotico

Teorema Sia∑∞

n=0 an una serie a termini positivi o definitivamente positivi.Supponiamo che esista

limn→+∞

an+1

an= l.

Allora

1) se l < 1 la serie∑∞

n=0 an e’ convergente.

2) Se l > 1 o l = 1+ la serie∑∞

n=0 an e’ divergente.

3) se l = 1− nulla si puo’ dire in generale sul carattere della serie.

1) Per ipotesi

limn→+∞

an+1

an= l < 1.

Dal teorema della permanenza del segno si ha

an+1

an≤ ρ = l + ϵ < 1

con ϵ < 1− l.Allora ritroviamo le condizioni del teorema del rapporto

2) Sempre dal teorema della permanenza del segno si ha, definitivamente,

limn→+∞

an+1

an= l > 1

si haan+1

an≥ ρ = l − ϵ > 1

con ϵ < l − 1.Se l = 1+ si ha definitivamente an+1 > an ed il termine generale non puo’ tendere zero.

3) Il terzo caso l = 1− e’ giustificato dalle solite due serie∑ 1

n,∑ 1

n2

una diverge e l’altra converge con il limite del rapporto dei termini che tende a 1−.

Esempi:

1. Studiare il carattere della serie∑ 1

n!= 1 +

1

1 · 2+

1

1 · 2 · 3+ ...+

1

1 · 2 · 3 · ... · n+ ...

Applichiamo il criterio del rapporto

n!

(n+ 1)!=

1 · 2 · 3 · .... · n1 · 2 · 3 · .... · n · (n+ 1)

=1

n+ 1→ 0.

La serie e’ convergente.

29

2. Studiare il carattere della serie

∑ n!

nn=

1!

1+

2!

22+ ...

n!

nn...

Applichiamo il criterio del rapporto

(n+1)!(n+1)n+1

n!nn

=(n+ 1)!

(n+ 1)n+1

nn

n!= (

n

n+ 1)n → e−1

.

Quindi la serie data e’ convergente.

3. Studiare il carattere della serie

∑ 2n

n=

2

1+

22

2+ ...+

2n

n...

Applichiamo il criterio del rapporto

2n+1

n+12n

n

=2n+1

n+ 1

n

2n= 2

n

n+ 1> 1.

per n ≥ 2.

Quindi la serie data e’ divergente.

• Serie con termini di segno qualsiasi

Consideriamo ora serie∑∞

n=0 an con termini di segno qualsiasi. Non e’ facile valutarne il carattere. Esse,in generale, hanno successioni di somme parziali a carattere oscillante.

Per applicare a tali serie gli strumenti che sono stati costruiti nei paragrafi precedenti si considera laserie dei valori assoluti dei loro termini. Diamo dunque la seguente definizione.

Definizione Sia∑∞

n=0 an una serie a termini reali. Si dice che e’ assolutamente convergente se convergela serie dei valori assoluti dei suoi termini ovvero se converge la serie a ternini positivi

∞∑n=0

|an|.

E’ intuibile che una serie assolutamente convergente e’ convergente in senso ordinario.Per dimostralo facciamo uso del criterio di Cauchy. La convergenza assoluta della seriee’ equivalente a:

per ogni ϵ > 0 e’ possibile coordinare un numero naturale Nϵ tale che per ogni n > Nϵ e p ≥ 0 si ha

Rn,p := |an|+ |an+1|+ ...+ |an+p| < ϵ.

Allora, con gli stessi indici, per il resto R̄n,p della serie ordinaria si ha

|R̄n,p| = |an + an+1 + ...+ an+p| ≤ |an|+ |an+1|+ ...+ |an+p| < ϵ.

Non v’ e’ dubbio che non vale il contrario ovvero una serie convergente in senso ordinario non e’ dettoche sia anche assolutamente convergente.

Dai criteri di regolarita’ delle serie a termini positivi si ricavano i criteri di assoluta regolarita’ chescriviamo qui di seguito.

30

• Criterio del confronto

Siano∞∑

n=0

an, e∞∑

n=0

bn

due serie di cui la seconda e’ a termini positivi ed almeno definitivamente

|an| ≤ bn

.

Allora se la serie∑∞

n=0 bn e’ convergente la serie∑∞

n=0 an, minorante della serie∑∞

n=0 bn, e’ assoluta-mente convergente.

• Criterio della radice

Se risultan√|an| ≤ ρ < 1

la serie∞∑

n=0

an

converge assolutamente.

Se invece, per infiniti indici, si ha

n√|an| ≥ ρ > 1

la serie data non converge.

Inoltre selim

n→+∞n√|an| = l

la serie data converge assolutamente se l < 1, non converge se l > 1 o l = 1+, se e’l = 1− nulla sipuo’ dire senza una ulteriore indagine.

• Criterio del rapporto

Se risulta|an+1||an|

≤ ρ < 1

la serie∞∑

n=0

an

converge assolutamente.

Se invece per infiniti indici si ha

|an+1||an|

≥ ρ > 1

la serie data non converge, diverge.

Inoltre se

limn→+∞

|an+1||an|

= l.

La serie data converge assolutamente se l < 1, non converge se l > 1 o l+, se l = 1− nulla si puo’dire senza una ulteriore indagine.

31

Un altro interessante tipo di serie e’ quella a segno alternato ovvero serie del tipo∑n=0

(−1)nan

con an ≥ 0.Vale il seguente teorema

Teorema di Leibnitz - Sia ∑n=0

(−1)nan

una serie a segno alternato. Sean+1 ≤ an

elim

n→+∞an = 0

allora la serie e’ convergente.La dimostrazione usa pesantemente la monotonia.Si considerano somme parziali di indice pari ovvero si sommano i primi 2p termini della somma e le

scriviamos2p = a0 − (a1 − a2)− (a3 − a4)− ....− (a2p−1 − a2p).

Questa struttura mostra che la successione delle somme parziali con indice pari e’ non crescente dalmomento che al crescere di p crescono i termini negativi quindi abbiamo

s0 ≥ s2 ≥ s4 ≥ .... ≥ s2p ≥ ...

Inoltre per la monotonia dei termini della serie si ha

s2p = (a0 − a1) + (a2 − a3) + (a4 − a5) + ....+ a2p ≥ 0.

L’insieme delle somme parziali di indice pari e’ inferiormente limitato.Dai teoremi di monotonia esiste

limp→+∞

s2p = S ≥ 0.

Consideriamo le somme parziali di indice dispari. Similmente

s2n+1 ≤ s2n+1 + a2n+2 − a2n+3 = s2n+3.

e quindis1 ≤ s3 ≤ s5 ≤ · · · ≤ s2n+1 ≤ · · ·

s2p+1 = s2p − a2p+1.

La successione delle somme con indice dispari e’ non decrescente.Dato che per ipotesi il termine generale an → 0 si ha

limp→+∞

s2p+1 = limp→+∞

(s2p − a2p+1) = S.

Essendo S il limite delle somme parziali pari, dalla definizione di limite, si ha che per ogni ϵ > 0esiste Nϵ > 0 tale che |S − s2n| < ϵ per ogni 2n > Nϵ. Allo stesso modo, essendo S il limite delle sommeparziali dispari, esiste νϵ > 0 tale che la disuguaglianza |S−s2p+1| < ϵ vale per ogni 2p+1 > νϵ . Quindi,prendendo µϵ = max(Nϵ, µϵ), la disuguaglianza

32

|S − sn| < ϵ

vale per ogni n > µϵ, n pari o dispari, e si ha quindi

limn→∞

sn = S.

La successione delle somme parziali e’ convergente ed ha come limite SPossiamo scrivere allora

S =

∞∑n=0

(−1)nan.

Prodotto della serie per un numero. Somma e differenza di serie

Quando si e’ posto S =∑+∞

n=0 an si ha avuto un po’ di incertezza perche’ alla sinistra abbiamo un numerocon le sue proprieta’ mentre alla destra abbiamo un simbolo di cui conosciamo poco. Ora e’ il momentodi ristabilire una parziale coerenza fra i due simboli. Incominciamo con la moltiplicazione della serie perun numero.

Definizione Si dice moltiplicazione di una serie∑+∞

n=0 an per un numero c la serie∑+∞

n=0 can.Abbiamo gia’ osservato che le due serie, se c ̸= 0, hanno lo stesso carattere e se la prima e’ convergente

ed ha somma S anche la seconda e’ convergente con somma cS. Se la prima e’ assolutamrente convergenteanche la seconda e’ assolutamente convergente.

Inoltre si usa scrivere

+∞∑n=0

can = c

+∞∑n=0

an.

Definizione Si dice serie somma (o differenza) delle due serie∑+∞

n=0 an e∑+∞

n=0 bn la serie

+∞∑n=0

(an + bn),+∞∑n=0

(an − bn).

Stabiliamo il legame fra i simboli.Indichiamo con An le somme parziali di

∑+∞n=0 an e con Bn le somme parziali di

∑+∞n=0 bn e con Cn =

An +Bn o Dn = An −Bn le somme parziali della somma e differenza.

Definizione Si dice serie somma (o differenza) delle due serie∑+∞

n=0 an e∑+∞

n=0 bn la serie∑+∞

n=0(an+bn)

(o∑+∞

n=0(an − bn)).

Se An → A e Bn → B allora Cn → A+B e Dn → A−B per n → +∞. Allora abbiamo

Teorema Se le serie∑+∞

n=0 an e∑+∞

n=0 bnsono convergenti risultano convergenti anche le serie

+∞∑n=0

(an + bn) e

+∞∑n=0

(an − bn)

e vale+∞∑n=0

(an ± bn) =+∞∑n=0

(an)±+∞∑n=0

bn.

Se∑+∞

n=0 an e∑+∞

n=0 bn sono assolutamente convergente lo sono anche∑+∞

n=0(an ± bn).

33

Osserviamo che in caso di convergenza il simbolo di serie∑+∞

n=0 ha la proprieta’ distributiva rispetto

alla somma . Questa non vale in generale. Ad esempio la∑+∞

n=0(an + bn) puo’ convergere senza che

convergano le serie∑+∞

n=0 an e∑+∞

n=0 bn.Considerando la parziale aritmetica dell’infinito possiamo estendere la proprieta’ del teorema anche

ai casi di divergenza con le seguenti modalita’:se A = ∞ (o ±∞) e B e’ un numero allora

+∞∑n=0

(an ± bn) = ∞ (o±∞).

se A = +∞ (−∞) e B = +∞ (−∞) (infiniti dello stesso segno) allora

+∞∑n=0

(an + bn) = +∞ (−∞).

Nulla si puo’ dire se A = ∞ e B = ∞.

Prodotto di serie secondo Cauchy

Veniamo a trattare brevemente il prodotto di due serie.

Definizione di prodotto secondo Cauchy Si dice serie prodotto delle due serie

+∞∑n=0

an e

+∞∑n=0

bn

la serie

+∞∑n=0

cn

ove

c0 = a0b0, c1 = a0b1+a1b0, c2 = a0b2+a1b1+a2b0, ..., cn = a0bn+a1bn−1+a2bn−2+a3bn−3+...+anb0, ...

Scriviamo in forma compatta il termine generale

cn =

n∑i=0

aibn−i (detto prodotto ; di convoluzione discreta).

Si esegua la moltiplicazione, usando il calcolo letterale, di

(a0 + a1 + a2 + a3 + ...+ an + ...)(b0 + b1 + b2 + b3 + b4 ++...+ bn + ...).

Raggruppando poi i termini che hanno la stessa somma degli indici, si ottengono gli elementi dellaserie prodotto secondo Cauchy

a0b0 + (a0b1 + a1b0) + (a0b2 + a1b1 + a2b2) + ....

Vale il seguente teorema.

Teorema Siano+∞∑n=0

an e

+∞∑n=0

bn

34

due serie assolutamente convergenti. Allora anche la serie prodotto

+∞∑n=0

cn

e’ assolutamente convergente ed ha per somma il prodotto delle serie fattori.Posto A =

∑+∞n=0 an e B =

∑+∞n=0 bn allora C =

∑+∞n=0 cn = AB.

Qualche osservazione. Abbiamo messo in evidenza qualche incoerenza formale tra la operazione di sommae quella di serie. Nonostante l’ apparente somiglianza, una serie e’ un concetto molto diverso da quello disomma. Per associare un numero al simbolo di serie non solo abbiamo affiancato al concetto di sommail processo di limite ma abbiamo anche costruito una successione particolare che e’ la successione dellesomme parziali costruite con un certo ordine a cui si applica il limite. In particolare non si possonoapplicare le proprieta’ associativa e commutativa tipiche della somma. Detta {sn} la successione dellesomme parziali di una serie

∑+∞n=0 an, se si associano piu’ termini an si ottiene un’altra serie la cui

successione delle somme parziali ha un numero di somme parziali minore di quella iniziale. Se il numero dielementi mancanti e’ finito nulla cambia per quanto riguarda la somma delle serie. Cambia notevolmenteinvece se il numero delle associazioni e’ infinito. Cosa piu’ complessa quando si dissociano i termini an;in questo caso si inseriscono piu’ somme parziali. Anche in questo caso se si dissociano infiniti elementila serie risultante puo’ avere carattere diverso da quella originaria. Un esempio classico e’ il seguente.

0 = 0 + 0 + 0...+ 0....

Posto 0 = 1− 1 si ha0 = (1− 1) + (1− 1) + (1− 1) + ....(1− 1)...

Ma la serie1− 1 + 1− 1 + 1− 1...+ 1− 1....

e’ una serie indeterminata in quanto la successionedelle somme paziali e’: 1,0,1,01,0,... Cosi’

1 + (−1 + 1) + (−1 + 1) + ...(−1 + 1).... = 1

e’convergente.La situazione puo’ essere piu’ sorprendente se si scambiano i posti dei termini di una serie . Conside-

riamo, per esempio, la serie armonica a segno alterno∑(−1)n+1 1

n= 1− 1

2+

1

3− 1

4... = log2

e’ convergente perche’ verifica le ipotesi del teorema di Leibnitz.Ebbene se riordiniamo i suoi termini come segue

1− 1

2− 1

4+

1

3− 1

6− 1

8+

1

5− ...

(uno positivo e due negativi), la serie e’ ancora convergente ma ha somma ln2/2.Oppure scambiando l’ordine dei termini in modo da avere due termini positivi consecutivi ed uno

negativo . La serie ottenuta ha un’altra somma.Si puo’ addirittura provare che e’ possibile riordinare i termini in modo da ottenere una serie diver-

gente, oppure una serie convergente ad un reale qualsiasi. Solo per le serie assolutamente convergenti (inparticolare quelle positive) le proprieta’ associativa e commutativa continuano a valere: questo il motivoprincipale della loro importanza applicativa.

1bigskip Complementi

Proprieta’ associativa

35

Sia1)

∑an = a0 + a1 + a2 + ...+ an + ...

e

s0, s1, s2, ..., sn, ...

la successione delle sue somme ridotte.Raccogliendo in un unico termine piu’ termini della somma ad esempio a5, a6, a7 e raccogliendo i tre

termini in una parentesi, la serie diventa

a1 + a2 + a3 + a4 + (a5 + a6 + a7) + a8 + .....

Allora per questa nuova serie la successione delle somme ridotte

σ0, σ1, σ2, σ3, σ4, σ5, ..., σn, ..

e’ tale ches0 = σ0, s1 = σ1, s2 = σ2, s3 = σ3, s4 = σ4, s7 = σ5, s8 = σ6, ..

La successione delle somme {σn} coincide con la successione {sn} privata di s5, s6.Dunque {σn} e’ una sottosuccessione di {sn}. Per induzione possiamo affermare che in base a questa

osservazione, se nella serie si associano, con una legge qualsiasi, un numero finito di termini consecutivi,si ottiene una nuova serie la cui successione delle somme ridotte e’ contenuta in quella della serie data(1). Allora vale il

Teorema - Se si associano gruppi di un numero finito di elementi consecutivi di una serie regolare siottiene una nuova serie con la stessa regolarita’ e la stessa somma (finita o infinita).

Sotto le condizioni del teorema, possiamo dire che per le serie vale la proprieta’ associativa.Tale proprieta’ non vale per le serie indeterminate.

2) Cosa piu’ complessa e’ dissociare un numero ovvero scrivere un termine della serie come sommadi piu’ numeri, ad esempio: an = (an1 + an2 + ... + an1). Questo fatto prova l’inserimento di nuovesomme parziali rispetto alle somme parziali iniziali pari al numero degli addendi della dissociazione. Se sieffettuano infinite dissociazioni, in generale, l’effetto e’ imprevedibile. La serie ottenuta per dissociazioneda una serie regolare puo’ essere irregolare. Riscriviamo gli esempi gia’ dati.

0 = 0 + 0 + 0...+ 0....

Posto 0 = 1− 1 si ha0 = (1− 1) + (1− 1) + (1− 1) + ....(1− 1)...

Ma la serie1− 1 + 1− 1 + 1− 1...+ 1− 1....

e’ una serie indeterminata. Cosi’

1 + (−1 + 1) + (−1 + 1) + ...(−1 + 1).... = 1

e’ convergente.

Possiamo affermare che per le serie, in generale, non vale la legge dissociativa.

Come abbiamo gia’ anticipato una risposta certa si puo’ dare sotto alcune condizioni.Se si dissocia ogni termine an di una serie

∑an in un numero finito di termini dello stesso segno

allora la nuova serie ha lo stesso carattere della precedente e se convergenti hanno la stessa somma.Quindi nel contesto delle serie a termini positivi la legge di dissociazione ( in numero finito di termini)vale.

36

3) Proprieta’ commutativa

La situazione e’ piu’ seria per la proprieta’ commutativa. Dapprima precisiamo cosa si intende percambiare o permutare l’ordine dei termini in una serie.

Date due serie, se fra i loro termini si stabilisce una corrispondenza biunivoca tale che gli elementicorrispondenti siano sempre uguali si dice che le due serie differiscono per l’ordine o che una e’ ottenutadall’altra cambiando l’ordine.

Dunque, alterare l’ordine o riordinare i termini di una serie significa dare una legge che permetta,assegnato un termine di posto n della prima serie, di conoscere il posto n′ di questo termine nella nuovaserie. In sostanza il termine ha cambiato posto.

Qual’e’ l’ effetto di questo cambiamento? In certi casi permutando l’ordine dei termini una serieconvergente puo’ restare convergente e cambiare somma oppure divenire divergente oppure indeterminata.Ad esempio . Prendiamo in considerazione la serie armonica a segno alterno

(∗) 1− 1

2+

1

3− 1

4+ .... = log2.

Consideriamo la serie riordinata con due termini positivi seguiti da uno negativo

1 +1

3− 1

2+

1

5+

1

7− 1

4+

1

9+

1

11− ..

1

4n− 3+

1

4n− 1− 1

2n+ ... =

3

2log2.

Mentre, riordinando (*) con un termine positivo seguito da due negativi

1− 1

2− 1

4+

1

3− 1

6− 1

8+ ..... =

1

2log2.

In conclusione per le serie non vale, in generale, la proprieta’ commutativa.Allora le serie che hanno la proprieta’ commutativa sono serie particolari, ammesso che esistano,

ovvero formano un sottoinsieme delle serie che a priori puo’ esseren anche vuoto.Si da’ la seguente definizione.

Definizione - Una serie e’ detta incondizionatamente convergente ( incondizionatamente divergente)quando e’ convergente (divergente) ed e’ convergente ogni serie ottenuta riordinando i suoi termini.

Nel caso contrario si dira’ condizionatamente convergente (divergente).

Dall’esempio dato sembra che la causa della non commutativita’ sia la presenza di infiniti termini di segnoopposto. In effetti e’ cosi’. Questa osservazione e’ confortata dal seguente teorema.

Teorema Permutando l’ordine dei termini di una serie a termini positivi o nulli si ottiene un’altra seriea termini positivi con lo stesso carattere e con la stessa somma finita od infinita. Allora ogni serieconvergente a termini definitivamente positivi e’ incondizionatamente convergente

La dimostrazione e’ semplice. Sia 1)∑

an la serie data a termini positivi e sia 2)∑

bn la serie riordinata.Le successioni parziali di entrambe le serie ammettono limite. Dai teoremi di monotonia tali limiti sonofiniti se le due successioni sono limitate. Sia Bn la somma ridotta della serie (2). Sia ν il piu’ piccolonumero per cui Aν , somma ridotta della serie (1), contenga tutti i termini in Bn. Ovviamente ν > ndipende da n ed e’ un numero finito. Inoltre, dato che tutti i termini sono positivi o al piu’ nulli, si ha

Bn ≤ Aν .

Supponiamo che la serie (1) sia convergente e la sua somma sia A. Si sa che A = SupAn. Allora

Bn ≤ A.

L’insieme delle somme parziali Bn e’ limitato pertanto la serie (2), di termini positivi, e’ convergentecon somma B ≤ A. Scambiando le parti nel procedimento precedente si ha A ≤ B da cui l’asserto.

37

Enunciamo il teorema generale di convergenza incondizionata di Dirichlet.

Teorema di Dirichlet Condizione necessaria e sufficiente affinche’ una serie sia incondizionatamenteconvergente e’ che sia assolutamente convergente e conserva la stessa somma qualunque sia il riordina-mento.

Brevemente: la condizione necessaria e sufficiente vale anche per la divergenza a +∞ (-∞) quandola serie dei suoi termini positivi (negativi) e’ divergente e che i suoi termini negativi (positivi ) nondisturbino troppo ovvero o sono in numero finito opppure la loro somma sia finita.

Le serie a termini definitivamente positivi sono incondizionatamente convergenti.

Successioni e serie a termini complessi

Fino ad ora abbiamo trattato successioni e serie con elementi che sono numeri reali. Quanto detto pertali successioni o serie, mutatis mutandis, si estende in modo naturale ai numeri complessi. Ne diamo unbreve cenno.

Sia∗ {zn} := z0, z1, z2, z3, ....., zn, ....

una successione di numeri complessi: zn = xn + iyn con n = 1, 2, 3, ....E’ manifesto che se vogliamo valutare il carattere della successione (*) dobbiamo considerare il carat-

tere simultaneo delle due successioni {xn} e {yn}. A tal fine procediamo nel seguente modo.

Definizione Diremo che il numero complesso z = x+ iy e’ il limite della successione (*) se risulta

limn→+∞

|zn − z| = 0

ovvero per ogni ϵ > 0 e’ possibile coordinare un numero Nϵ > 0tale che per ogni n > Nϵ si ha

|zn − z| < ϵ.

Osserviamo che le misure delle vicinanze sono espresse da numeri reali. Geometricamente significache, definitivamente , zn e’ contenuta nel cerchio di centro z e raggio δϵ.

Ricordando che|zn − z| = |(xn − x) + i(yn − y)| =

√(xn − x)2 + (yn − y)2

si ha

(|xn − x| e |yn − y|) ≤ |zn − z| ≤ |xn − x|+ |yn − y|

e possiamo affermare che

zn → z ⇔ xn → x e yn → y.

Per quanto riguarda la divergenza la esprimiamo nel seguente modo:

Definizione Diremo che la successione (*) e’ divergente se

limn→+∞

|zn| = +∞

ovvero per ogni K > 0 e’ possibile coordinare un numero NK > 0tale che per ogni n > NK si ha

|zn| > Kϵ.

38

Geometricamente, i numeri complessi zn sono definitivamente esterni al cerchio di centro l’origine eraggio K.

In questo caso non e’ detto che entrambe le successioni {xn} e {yn} tendano all’infinito. Basta chealmeno una non sia limitata.

Osserviamo ancora che tutto e’ regolato dal concetto di distanza o modulo dei numeri complessi.Da queste definizioni la massima parte dei teoremi e criteri che abbiamo stabiliti per le successioni dinumeri reali valgono per le successioni di numeri complessi, in particolare, l’algebra dei limiti, le formedi indecisione il concetto di asintoto di o piccolo, etc.

Con queste nozioni a disposizione possiamo, ora, considerare serie di numeri complessi.Sia

∗ {zn} := z0, z1, z2, z3, ....., zn, ....

una successione di numeri complessi: zn = xn + iyn con n = 1, 2, 3, .... e consideriamo la scrittura chechiamiamo serie di numeri complessi

(∗)∞∑i=0

zn := z0 + z1 + z2 + z3 + .....+ zn, ....

Si costruisce la successione delle somme ridotte {sn} con

sn = z0 + z2 + z3 + ....+ zn =

n∑0

zn =

n∑0

xn + i

n∑0

yn.

Come al solito attribuiamo alla serie il carattere della successione delle somme parziali. In particolare,se

sn → Z = X + iY

diremo che la serie (*) e’ convergente ed ha somma Z e scriveremo

Z =∞∑i=0

zn = z0 + z2 + z3 + .....+ zn, ...

Possiamo anche scrivere

X = limn→+∞

n∑1

xi e Y = limn→+∞

n∑1

yi.

Anche per le serie a termini complessi valgono in massima parte definizioni, teoremi e criteri stabilitiper le serie a termini reali. In particolare, la assoluta convergenza: cioe’ una serie

∞∑i=0

zn

e’ assolutamente convergente se e’ convergente

∞∑i=0

|zn|.

Questa nozione e’ di particolare importanza dal momento che nel campo dei numeri complessi nonvale la consueta nozione di ordine.

Serie di potenze

Una delle serie numeriche di riferimento di notevole importanza e’ la serie geometrica i cui termini sonopotenze di un numero detto ragione. Estendiamo questo tipo di serie nella seguente forma

(∗)+∞∑n=0

anxn := a0 + a1x+ a2x

2 + a3x3 + ...anx

n + ...

39

ove an sono numeri reali ed x la variabile reale x. Se poniamo an = 1 per ogni n e x = q ritroviamola classica serie geometrica. In questo caso la serie e’ convergente per |x| < 1 e la somma della serie e’

1

1− x.

Leggiamo il risultato nel seguente modo: la serie in questione definisce una funzione della variabilex il cui dominio D e’ l’ insieme in cui la serie converge, ossia l’intervallo aperto simmetrico di centro 0ed ampiezza 2 cioe’ I = (−1, 1) o |x| < 1. Le serie di potenze sono un’estensione della serie geometrica:le potenze sono ”centrate” in un generico punto x0 ∈ R e la potenza n-esima viene moltiplicata per uncoeffciente reale an.

Le costanti an sono chiamate coefficienti di xn . Il simbolo x indica la variabile reale. Una serie dipotenze puo’ convergere per alcuni valori di x e divergere per altri. Scritture del tipo (*) le abbiamo gia’incontrate con la formula di Taylor o di Mac-Laurin.

La convergenza della serie (*) dipende dai coefficieti an. Applichiamo il criterio della radice: supponi-amo

limn→∞

n√|an| = A.

Allora

limn→∞

n√

|anxn| = |x| limn→

n√|an| = |x|A < 1.

La serie e’ convergente per x in I = (−R,R) con R = 1A .

Analogamente, se

limn→∞

|an+1||an|

= A

applicando il criterio del rapporto

limn→∞

|an+1xn+1|

|anxn|= |x|limn→∞

|an+1||an|

= A

la serie converge per x ∈ (−R,R) intervallo simmetrico rispetto ad 0.

R lo chiameremo raggio di convergenza.

Se A = ∞ poniamo R = 0 se A = 0 poniamo R = +∞. La serie invece non converge se |x| > R. Ladeterminazione del raggio di convergenza, come suggerisce la dimostrazione precedente, non da’ alcunainformazione sul carattere della serie agli estremi del dominio quando x = ±R. Per dare una risposta inquesti casi bastera’ studiare le serie numeriche corrispondenti ponendo x = ±R.

Caso particolare

an =1

n!.

Per questo caso abbiamo, applicando il criterio del rapporto,

limn→∞

1(n+1)!

1n!

= limn→∞

1

n+ 1= 0.

Allora la serie+∞∑n=1

1

n!xn

e’ convergente per ogni x.

40

Appare chiaro che se la serie di potenze e’ centrata in x0 allora la serie di potenze diventa

+∞∑n=1

an(x− x0)n.

Quanto detto sopra relativo al centro 0 si applica ad x0. L’intervallo simmetrico di convergenza dellaserie e’ |x− x0| < R.

Le serie di potenze dipendono dalla variabile x. E’ naturale indicarle con un simbolo che ricordi questadipendenza. Useremo la seguente scrittura

S(x) =+∞∑n=0

anxn.

Per ora e’ una scrittura formale che ricorda il concetto di funzione della variabile x. Essa e’ bendefinita quando ne preciseremo il dominio D ovvero l’insieme dei valori della variabile per cui la serierisulti convergente. Osserviamo che D non e’ vuoto, contiene 0. La seguente osservazione ha un certointeresse pratico.

Teorema di Abel Sia

S(x) =+∞∑n=0

anxn

e sia x0 un valore della variabile x. Se x0 ∈ D allora l’intervallo |x| < |x0| e’ contenuto in D,ovvero se la serie S(x) converge in x0 allora converge per tutti i punti x soddisfacenti la relazione

|x| < |x0|.

Diamo una dimostrazione semplice assumendo an > 0, per il caso generale si fa uso del criterio di Cauchy:supponiamo x0 > 0. La serie

∑+∞n=0 anx

n0 e’ convergente da cui

anxn0 → 0.

Cronfrontiamo anxn e anx

n0 per |x| < x0, si ha

|anxn||anxn

0 |=

|xn|xn0

< 1.

Quindi

|+∞∑n=0

anxn| ≤

+∞∑n=0

an|xn| ≤+∞∑n=0

anxn0 .

Dal criterio del confronto si ha che∑+∞

n=0 anxn e’ convergente per |x| < x0.

Per x0 < 0 la dimostrazione e’ analoga.

Somme di potenze le abbiamo gia’ costruite con la formula di Taylor o di Mac-Laurin laddove i coefficientisono le derivate di una funzione divise per il fattoriale dell’ordine di derivazione. La Formula di Taylore’ centrata in un punto x0 mentre la formula di Mac-Laurin e’ centrata in 0.

Serie di Taylor e di Mac-Laurin

Sia y = f(x) una funzione definita in un intervallo [a, b]. Sia x0 ∈ (a, b) e la funzione e’ infinitamentederivabile in x0. Diremo serie di Taylor di f(x) relativa al punto x0 la seguente serie di potenze

f(x) =∞∑

n=0

f (n)(x0)

n!(x− x0)

n.

41

(si ricorda che si pone f(x) = f0 e 0! = 1. Data una funzione f(x) infinitamente derivabile in x0,

diremo serie di Mac-Laurin di f(x) relativa al punto 0 l’espressione:

f(x) =

+∞∑n=0

f (n)(0)

n!xn.

L’intervallo di convergenza dipendera’ dalle derivate di f(x)Vale il seguente teorema.Teorema Sia y = f(x) una funzione infinitamente derivabile nell’intervallo simmetrico I = (x0 −

R, x0 +R). Inoltre in I per le derivate di f vale la relazione

|f(n)(x)

n!| ≤ c

Rn

con x ∈ I, c una constante positiva indipendente da n e da R.Allora la serie

∞∑n=0

f (n)(x0)

n!(x− x0)

n

e’ convergente e la sua somma e’ f(x)

Cenni della dimostrazione. Consideriamo la formula di Taylor di f(x) nel punto x0 arrestata all’ordinen con resto di Lagrange:

f(x) =n−1∑k=1

fk(x0)

k!(x− x0)

k +fn(α)

n!(x− x0)

n

con α ∈ I.Si ottiene il risultato se

fn(α)

n!(x− x0)

n → 0

per x → +∞.Dalle ipotesi si ha

|fn(α)

n!(x− x0)

n| ≤ c|x− x0

Rn|n → 0

perche’

|x− x0

R| < 1.

Serie di Mac-Laurin di funzioni note:

ex =+∞∑n=0

xn

n!= 1 + x+

x2

2!+

x3

3!+ ....+

xn

n!+ ...

convergente per ogni x.

senx =

+∞∑n=0

(−1)nx2n+1

(2n+ 1)!= x− x3

3!+

x5

5!− ....(−1)n

x2n+1

(2n+ 1)!+ ...

convergente per ogni x.

cosx =+∞∑n=0

(−1)nx2n

(2n)!= 1− x2

2!+

x4

4!− ....(−1)n

x2n

(2n)!+ ...

42

convergente per ogni x.

1

1− x=

+∞∑n=0

xn = 1 + x2 + x3 + ....+ xn + ...

converge per |x| < 1.

log(1 + x) =

+∞∑n=0

(−1)nxn+1

n+ 1= x− x2

2+

x3

3− ....(−1)n

xn+1

n+ 1+ ...

convergente per |x| < 1.

Ora siamo un possesso degli strumenti per ricavare la identita’ di Eulero

eix = cosx+ isenx

con i unita’ immaginaria. Scriviamo la serie della funzione espenziale con variabile ix

eix =+∞∑n=0

(ix)n

n!= 1 + ix+

(ix)2

2!+

(ix)3

3!+ ....+

(ix)n

n!..

Ricordando che i2 = −1, i3 = −i, i4 = 1.. , separando poi la parte immaginaria da quella reale si ha

eix = (1− x2

2!+

x4

4!− ....(−1)n

x2n

(2n)!+ ...) + i(x− x3

3!+

x5

5!− ....(−1)n

x2n+1

(2n+ 1)!+ ...) = cosx+ isenx.

Ora se poniamo −x al posto di x si ottiene

e−ix = cosx− isenx

da cuieix + e−ix = 2cosx ed eix − e−ix = 2senx.

Serie di potenze a termini complessi

Abbiamo gia’ considerato serie a termini complessi. Cosi’ possiamo considerare serie di potenze del tipogia’ considerate sostituendo alla variabile x la variabile complessa z, si ha

+∞∑n=1

anzn := a0 + a1z + a2z

2 + a3z3 + ...anz

n + ...

con an reale complesso. Quanto abbiamo detto nel caso reale vale nel caso complesso, naturalmenteil modulo e’ inteso nel campo complesso quale distanza di due punti nel piano di Gauss.

Esempi: la serie esponenziale:

ez =∑ zn

n!= 1 + z +

z2

2!+ ...+

zn

n!+ ..

La serie converge asoolutamente per ogni z. La dimostrazione e’ la stessa del caso reale.Per z = 0 non c’ e’ niente da dimostrare. Allora per z ̸= 0 applichiamo il criterio del rapporto:

|zn+1|(n+1)!

|zn|n!

=|z|

n+ 1→ 0

per ogni z.

43

Valgono le seguenti proprieta’

e0 = 1 ; ez1+z2 = ez1 · ez2 .Inoltre

ex+iy = exeiy = ex(cosy + iseny).

Esempi

Stabilire il carattere delle seguenti serie

1.∞∑

n=1

n+ 1

n2 + 1;

valutiamo l’andamento asintotico del termine generale e poi usiamo il criterio del confronto:

n+ 1

n2 + 1=

n

n2· 1 + 1/n

1 + 1/n2∼ 1

n

la serie data e’ asintotica alla serie armonica per cui e’ divergente.

2.∞∑

n=1

1

n2 + 2.

Si ha1

n2 + 2∼ 1

n2.

Quindi la serie data e’ minorante della serie di Mengoli. Dal criterio del confronto e’ convergente.

3.∞∑

n=1

1

(an+ b)2; a ̸= 0.

Si ha 1(an+b)2 ∼ 1

(an)2 . La serie data e’ definitivamente minorante della serie di Mengoli per cui e’

convergente , tralasciando il fattore a.

4.∞∑

n=1

n− 1

3n+ 1.

Valutiamo il termine generale :n− 1

3n+ 1→ 1

3̸= 0

quindi, dato che il termine generale non tende a zero, la serie non converge. Inoltre essendo formatada termini positivi essa e’ divergente. Si ricorda che in questo caso la successione delle sommeparziali e’ crescente.

5.∞∑

n=1

(−1)n

2n.

Si scrive il termine generale(−1)n

2n= (

−1

2)n

quindi la serie data e’ una serie geometrica di ragione q = −12 quindi e’ convergente.

44

6.∞∑

n=2

1√n2 − n

.

E’ una serie a termini positivi. Valutiamo il termine generale:

1√n2 − n

=1

n√1− 1/n

∼ 1

n.

La serie data e’ asintotica alla serie armonica quindi e’ divergente.

7.+∞∑n=1

1

(2n)n;

Si ha1

(2n)n≤ 1

2n.

La serie data e’ minorante della serie geometrica di ragione 12 . La serie data e’ convergente.

8.∞∑

n=1

5n + 1

3n − n.

E’ una serie a termini positivi. Valutiamo il termine generale:

5n + 1

3n − n=

5n(1 + 1/5n)

3n(1− n/3n)∼ (

5

3)n.

La serie data e’ asintotica ad una serie geometrica di ragione 53 . La serie e’ divergente.

9.∞∑

n=1

n+ logn

(n− logn)3

E’ una serie a termini positivi. Valutiamo il termine generale:

n+ logn

(n− logn)3=

n

n3· 1 + logn/n

(1− logn/n)3∼ 1

n2.

La serie e’ asintotica ad una serie minorante della serie di Mengoli. La serie e’ convergente.

10. Studiare il carattere della serie

+∞∑1

1√n+ 1 +

√n.

Il termine generale

an =1√

n+ 1 +√n=

1√n

1√1 + 1/n+ 1

∼ 1

2√n.

La serie data e’ maggiorante della serie armonica per cui e’ divergente.

45

In ogni modo di questa serie possiamo calcolare le somme ridotte: scritto

an =1√

n+ 1 +√n=

√n+ 1−

√n.

sn =√2−

√1 +

√3−

√2 +

√4−

√3 + ....

√n−

√n− 1 +

√n+ 1−

√n =

√n+ 1− 1 → +∞.

11. Studiare la serie

+∞∑1

logn(n+ 2

(n+ 1)2.

Osserviamo che

an = logn(n+ 2

(n+ 1)2→ 0.

inoltre osserviamo che

logn(n+ 2)

(n+ 1)2= log

(n+ 2)

(n+ 1)− log

n+ 1

n.

e’ la differenza di un termine ed il precedente quindi nella somma ridotta sopravvivono solo il primoed ultimo termine per cui

sn = logn+ 2

n+ 1− log2 → log1− log2 = 0− log2.

12. Studiare il carattere della serie

∑ 1

(3n− 1)2.

Consideriamo il termine generale:

1

(3n− 1)2=

1

(3n)21

(1− 1/3n)2<

1

(n)2.

definitivamente. Quindi la serie data e’ convergente perche’ e’ minorante della serie armonicageneralizzata di potenza 2

13. Studiare il carattere della serie

∑ 1√n(n+ 1)

.

Osserviamo il termine generale

1√n(n+ 1)

=1√

n2(1 + 1/n)∼ 1

n.

La serie data e’ asintotica ad una serie armonica quindi diverge.

46

14. Studiare il carattere della serie

∑ 3√n

(n+ 1)√n.

Osserviamo il termine generale

3√n

(n+ 1)√n=

1

(n+ 1) 6√n∼ 1

n1+1/6

La serie data e’ asintotica alla serie armonica generalizzata di potenza > 1 quindi e’ convergente.

15. ∑ 2n

(n)2.

La serie non puo’ convergere perche’ il temine generale tende a +∞. La serie diverge dato che e’ atermini positivi .

16. Studiare il carattere della serie

∑ √n

(2n+ 1).

Osserviamo il termine generale

√n

2n+ 1=

√n

2n(1 + 1/2n)∼ 1

2√n

La serie data e’ asintotica alla serie divergente quindi diverge.

17. Studiare la serie, ∑(

3n

3n+ 1)n.

Consideriamo il comportamento del termine generale

(3n

3n+ 1)n = (

3n

3n(1 + 1/3n))n = (

1

1 + 1/3n)n → e−1/3.

La serie non converge. Essendo a termini positivi essa diverge.

18. Studiare la seguente serie ∑ 2n−1

(n− 1)!.

Utilizziamo il criterio del rapporto

(

2n

(n)!

2n−1

(n−1)!

=2n

(n)!

(n− 1)!

2n−1=

2

n.

La serie converge

47

19. Lo studente verifichi che sono convergenti le seguenti serie,∑(1 + n2

1 + n3)2,

∑(

2n

5n + 1)

20. Studiare la seguente serie ∑ n!

2n + 1.

Utilizziamo il criterio del rapporto

(n+1)!2n+1+1

(n)!2n+1

=(n+ 1)!

2n+1 + 1

2n + 1

(n)!=

(n+ 1)2n + 1

2n+1 + 1∼ n+ 1

2

La serie diverge.

21. Studiare la seguente serie ∑ 3n · n!nn

.

Applichiamo il criterio del rapporto

3n+1·(n+1)!(n+1)n+1

3n·n!nn

= 3(n+ 1)nn

(n+ 1)n(n+ 1)= 3(

n

n+ 1)n → 3

e> 1.

La serie diverge.

22. Studiare la seguente serie √n+ 1

n

Osserviamo che √n+ 1

n→ 1

per cui la serie non converge. Essendo a termini positivi essa diverge.

23. Studiare la seguente serie

∑ senn2

n2 + 1.

senn2 cambia il segno al variare di n per cui conviene studiarne la convergenza assoluta.

Osserviamo chesenn2

n2 + 1≤ 1

n2 + 1≤ 1

n2

dato che |senn2| ≤ 1 e 1n2+1 < 1

n2 .

La serie data e’assolutamente minorante della serie di Mengoli. Quindi converge assolutamente edi consequenza in senso ordinario.

48

24. Studiare la seguente serie

∑(logn

n)2.

Scriviamo in forma opportuna il termine generale

(logn

n)2 =

(logn)2

n2=

1

n1+δ

(logn)2

n1−δ≤ 1

n1+δ

definitivamente poiche’ per ogni 0 < δ < 1 si ha (logn)2

n1−δ → 0 per n → ∞.

Allora la serie data e’ convergente perche’ minorante di una serie armonica generalizzata conver-gente.

25. Studiare la seguente serie

∑ logn!

n3.

Valutiamo il termine generale, ricordando la monotonia di logx

logn!

n3=

log(1 · 2 · 3 · ... · n)n3

≤ lognn

n3≤ n

logn

n3.

Dall’esercizio precedente concludiamo che la serie data e’ convergente.

26. Studiare la seguente serie

∑ 1

(logn)n.

Osserviamo che definitivamente logn > 1 per cui 1logn < 1. Quindi la serie datta e’ minorante di

una serie geometrica di ragione positiva minore di 1. Dunque la serie e’ convergente.

27. Studiare la seguente serie

∑log

n2 + 1

n2.

Consideriamo il termine generale.

logn2 + 1

n2= log(1 +

1

n2) ∼ 1

n2.

La serie data e’ asintotica alla serie di Mengoli quindi e’ convergente.

28. Studiare la seguente serie

∑sen

1

n2.

Si osserva che

sen1

n2∼ 1

n2per n → +∞

pertanto la serie data e’ convergente.

49

29. Lo studente studi la serie

∑(1− cos

1

n).

30. Studiare la seguente serie

∑ 1

nlogn+√(logn)3

.

Valutiamo il termine generale

1

nlogn+√

(logn)3=

1

nlogn(1 +

√(logn)3

nlogn )∼ 1

nlogn

per n → +∞pertanto la serie diverge.

Serie a termini di segno qualsiasi

31. Studiare la serie a segni alternati

∑(−1)n+1 1

2n− 1= 1− 1

3+

1

5− ....(−1)n+1 1

2n− 1+ ..

Verifichiamo se sono soddisfatte le ipotesi del teorema di Leibnitz.

I denominatori sono crescenti quindi le frazioni sono decrescenti inoltre 12n−1 → 0 per n → +∞.

La serie e’ convergente.

32. Studiare la serie a segni alternati

∑(−1)n+1 1

(2n− 1)2= 1− 1

32+

1

52− ....(−1)n+1 1

(2n− 1)2+ ..

E’ una serie che verifica le ipotesi del teorema di Leibnitz quindi e’ convergente. Ma e’ ancheassolutamente convergente in quanto

1

(2n− 1)2∼ 1

(2n)2

che e’ il termine generale di una serie convergente.

33. Studiare la serie a segni alternati

∑(−1)n+1 1√

n= 1− 1√

2+

1√3− ....(−1)n+1 1√

n+ ..

La serie e’ convergente perche’ verifica le ipotesi del teorema di Leibnitz. Non converge assoluta-mente perche’

1√n

e’ il termine generale di una serie divergente.

50

34. Studiare la serie a segni alternati

∑(−1)n+1 n

n+ 1=

1

2− 2

3+ ....(−1)n+1 n

n+ 1+ ..

La serie ha termine generale che tende a 1. Quindi non converge

35. Studiare la serie a segni alternati ∑(−1)n+1 n

6n− 5.

La serie e’ a segno alternato.

Inoltre n6n−5 → 1

6

+per n → +∞. Tutti i termini in valore assoluto sono maggiori di 1

6 . La serieformata dai termini con n dispari diverge a +∞ quella formata dai termini con n pari diverge a−∞. Quindi la serie diverge ad ∞.

36. Studiare la serie a segno alternato

∑(−1)n+1n

3

2n.

La serie e’ assolutamente convergente. Infatti applicando il criterio del rapporto si ha

(n+1)3

2n+1

n3

2n

=1

2(n+ 1

n)3 → 1

2.

La serie e’ assolutamente convergente.

37. Studiare la serie a segno alternato

∑(−1)n

1

n− logn.

La serie soddisfa le ipotesi del teorema di Leibnitz. Infatti1

n−logn → 0 per n → +∞Inoltre

1

n− logn>

1

n+ 1− log(n+ 1).

Infatti

n+ 1− log(n+ 1) > n− logn ⇒ 1− log(1 +1

n) > 0

sempre vera per n > 1.

38. Studiare la serie a segno alternato

∑(−1)n

n+ 2

n2 + 1.

La serie e’ convergente perche’ i termini verificano le ipotesi del teorema di Leibnitz.

Esercizi proposti

51

39. ∑ n+ 1

n− 1(diverge);

40. ∑ n+ 1

n2 + 1(diverge);

41. ∑ 1

( 3√n+ 4

√n+ 1)4

(converge) :

42. ∑(√n+ 1−

√n)2 (diverge);

43. ∑ log(logn)√n(logn)3

(diverge);

44. ∑√nlog

2n2 + 3

2n2 + 2(converge);

45. ∑ log(1 + 1n )√

n+ logn(converge);

46. ∑ 1

n(n+ 2

n+ 3)n (diverge).

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