Sucesiones Aritméticas y Geométricas

Unidad I «Estudiemos Sucesiones Aritméticas y

Geométricas»

2º Año de Bachillerato 2011

Fuente Principal: http://sucesiones.webnode.com/ http://www.vitutor.com/al/sucesiones/sucContenidos.html

Definición de una sucesiónConceptos básicos.

 Se llama sucesión a un conjunto de números dispuestos uno a continuación de otro: a1, a2, a3 ,..., an

 Por ejemplo:     3, 6, 9,..., 3n

 A los números a1, a2 , a3 , ... se les llaman términos de la sucesión.

El subíndice indica el lugar que el término ocupa en la sucesión.

El término general es an es un criterio que nos permite determinar cualquier término de la sucesión.

 Dicha sucesión se representará por (an)

Tema: Sucesiones Aritméticas Definición: Una sucesión aritmética (SA) es aquella

compuesta de números tales que cada uno de ellos (salvo el primero) es igual al anterior más un número fijo llamado diferencia que se representa por “d”.

Por ejemplo, sea la sucesión siguiente:  8, 3, -2, -7, -12, ...3 - 8 = -5-2 - 3 = -5-7 - (-2) = -5-12 - (-7) = -5Es decir, d= -5

1. Obtención del término general… El Término general de una SA se puede obtener de dos

formas dependiendo de lo que conozcamos: 1) Si conocemos el 1er término.

an = a1 + (n - 1) · d

 Ejemplo: Halla el término general de la sucesión 8, 3, -2, -7, -12, ..

Solución:El término general vendrá dado por:an= 8 + (n-1) (-5) = 8 -5n +5 = -5n + 13

…Obtención del término general…

2) Si conocemos el valor que ocupa cualquier otro término de la sucesión (ak).

an = ak + (n - k) · d

Ejemplo: Halla el término general sabiendo que a4= -7 y d = -5

Solución:El término general vendrá dado por:

  an = -7+ (n - 4) · (-5)= -7 -5n +20 = -5n + 13 

Otros ejemplos: Definir si las siguientes sucesiones son aritméticas, y

en caso de serlo obtenga su término general.a) 5, 12, 19, 26, …b) 3/7, 5/7, 1, 9/7,…c) 2/3, 1/3, 0, -1/3,…d) Calcule para el literal a) el 10º término.e) Calcule para el literal b) el 35º término.f) Calcule para el literal c) el 90º término.

2. Interpolación de Términos Aritméticos Interpolar medios aritméticos entre dos números, es

construir una sucesión aritmética que tenga por extremos los números dados.

Sean los extremos a y b, y el número de términos a interpolar “k”. Entonces la diferencia se calcula a través de la siguiente expresión.

1kab

d

…Interpolación de Términos Aritméticos… Ejemplo: Interpolar 3 términos aritméticos entre 17 y 41.

Solución.Calculamos “d”, en este caso se piden k=3 términos a interpolar, y tenemos que a=17 y b=41, por lo que se obtiene:d=(41-17)/(3+1)=6Calculando el término general tenemos:an=17+(n-1)(6)=6n+11n 1 2 3 4 5

an 17 23 29 35 41

Interpolación: Otros Ejemplos Interpolar 6 medios aritméticos entre -18 y 25. Interpolar 4 medios aritméticos entre 8 y 0. Interpolar 3 medios aritméticos entre 1/2 y 1.

Suma de “n” términos

Tema: Sucesiones Geométricas Definición: Una Sucesión Geométrica (SG) es una sucesión en la que

cada término se obtiene multiplicando al anterior una cantidad fija “r”, llamada razón.

Por ejemplo si tenemos la sucesión: 3, 6, 12, 24, 48, ...6/3 = 212/6 = 224/12 = 2 48/24 = 2

Es una sucesión geométrica de razón: r= 2.

1. Obtención del término general… El Término general de una SG se puede obtener de dos

formas dependiendo de lo que conozcamos: 1) Si conocemos el 1er término.

an = a1 · rn-1

Ejemplo: Halla el término general de la sucesión 3, 6, 12, 24, 48, …

El término general vendrá dado por:

an = 3· 2n-1 = 3· 2n · 2-1 = (3/2)· 2n

…Obtención del término general… 2) Si conocemos el valor que ocupa cualquier otro término

de la sucesión (ak) an = ak · rn-k

Ejemplo: Halla el término general sabiendo que a4= 24, k=4 y r=2

El término general vendrá dado por:an = a4 · rn-4= 24· 2n-4= (24/16)· 2n = (3/2).2n

2. Interpolación de términos en una Sucesión Geométrica Interpolar medios geométricos o proporcionales entre dos

números, es construir una sucesión geométrica que tenga por extremos los números dados.

Sean los extremos a y b, y el número de términos a interpolar “k”. Entonces la razón se calcula a través de la siguiente expresión.

1k

ab

r

Otros ejemplos: Definir si las siguientes sucesiones son geométricas,

y en caso de serlo obtenga su término general.a) 2, 4, 8, 16, …b) 1/2, 1/4, 1/8, 1/16,…c) -1, 1, -1, -1,…d) Calcule para el literal a) el 15º término.e) Calcule para el literal b) el 18º término.f) Calcule para el literal c) el 75º término.

…Interpolación de Términos Geométricos… Ejemplo: Interpolar 3 términos aritméticos entre 3 y 48.

Solución.Calculamos “r”, en este caso se piden k=3 términos a interpolar, y tenemos que a=3 y b=48, por lo que se obtiene:

Calculando el término general tenemos:an=3.(2)n-1=(3/2).(2n)

n 1 2 3 4 5

an 3 6 12 24 48

2348

13 r

Interpolación: Otros Ejemplos Interpolar 6 medios geométricos entre 78125 y

128.

Interpolar 4 medios geométricos entre 32 y 32768.

Interpolar 3 medios geométricos entre 1/16 y 16.

Suma de “n” términos