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práctica de laboratoriode cálculo integral
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UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE QUERÉTAROFACULTAD DE INGENIERÍA
Laboratorio de Cálculo Integral
Nombre del Alumno
Fecha de la Práctica Grupo 2
Unidad y tema SUCESIONES Y SERIES.
Nombre de la Práctica 5.5 El número e
OBJETIVOS
Acercar al alumno al concepto del número e. Que el alumno utilizando el programa Scientific WorkPlace obtenga el valor de e por diferentes métodos, los compare y reconozca la serie de Taylor como una función polinomial que se aproxima cada vez más a la función exponencial al aumentar el grado del polinomio.
EQUIPO Y MATERIALES
Se requiere de computadora que tenga instalado los programas Scientific WorkPlace y Adobe
DESARROLLO
Parte I El desarrollo del número e por la serie de Taylor
1. Abre una página en blanco del Scientific WorkPlace y obtén el valor del número e (Compute>Evaluate Numerically)
¿Qué resultado obtuviste? 2.7183
¿Cuántas cifras decimales tiene tu resultado? 4 ¿Puedes pedirle más cifras decimales?
¿Cuántas cifras tiene el número e?
2. Escribe la función y obtén su desarrollo por series de Taylor. Para hacerlo coloca el cursor
después de la letra y forma una NUEVA DEFINICIÓN: Compute>Definitions>New Definition, ahora DESARROLLA LA SERIE TAYLOR: Compute>Power Series>Elige un número de términos (8) y Expand in
Powers of: x
3. Enlista los primeros polinomios hasta grado 5 que se generan al formar la serie de Sumas parciales comenzando por:
4. Grafica en un solo sistema coordenado los polinomios obtenidos en el número anterior dando un color diferente a cada uno de ellos
5.
¿Qué observas en las gráficas?
Que todas se cruzan en el punto (0,1), creo q eso es q converge a 1.
6. En el mismo sistema coordenado grafica la función Resalta esta gráfica con una línea más gruesa y diferente color. Agranda el tamaño de la gráfica para que distingas cada una de las funciones.
¿Qué gráfica se aproxima más a la función ?
La de grado 5
Si siguieras realizando el mismo procedimiento con los polinomios de la serie de Taylor de mayor grado ¿qué esperas que ocurra con la gráfica?
Pues entre sea mas grande el grado se acerca mas.
7. Calcula el valor del número e utilizando el polinomio de quinto grado para ;
8. 1/120.
Compara tu resultado con el que obtuviste en el punto 1 de esta parte.
¿Qué puedes decir de este valor?
Que es muy pequeño.
Y si utilizas un polinomio de mayor grado ¿qué ocurrirá?
Será más pequeño.
Parte II El valor del número e por la definición utilizando límites
1. Calcula el valor del número e = =1
Compara el resultado con los valores anteriormente obtenidos
¿Cuál resultado crees que sea el más exacto?
La definición más común de e es como el valor límite de la serie
que se expande como
Otra definición habitual dada a través del cálculo integral es como solución de la
ecuación:
ln(x) = 1
Parte III Investigación de aplicaciones
El número e, conocido a veces como número de Euler o constante de Napier, fue reconocido y utilizado por primera vez por el matemático escocés John Napier , quien introdujo el concepto de logaritmo en el cálculo matemático.
La definición más común de e es como el valor límite de la serie
que se expande como
Otra definición habitual dada a través del cálculo integral es como solución de la
ecuación:
ln(x) = 1
que implica
es decir que se define e como el número para el que
ln(e) = 1
o lo que es lo mismo, el número para el que
La función exponencial f(x) = ex es importante, en parte debido a que es la única función que
es su propia derivada y vale 1 para x=0., y por lo tanto su propia primitiva también:
y
Además, e es el límite de la sucesión de término general:
Primero, la propiedad se puede generalizar a una variable real, pasando del límite
de una sucesión al de una función:
Como el término de la derecha tiene un exponente que varía, lo más práctico es
tomar su logaritmo y hacer el cambio de variable h = 1 / x:
Como el logaritmo se aproxima a 1 cuando h tiende a cero por la derecha, la expresión
original tiende hacia e.
Desarrollo decimal
El desarrollo decimal de e no muestra regularidad alguna. Sin embargo, con las fracciones
continuas, que pueden ser normalizadas (con los numeradores todos iguales a 1) o no,
obtenemos, en fracción continua normalizada:
Lo que se escribe e = [2, 1,2,1, 1,4,1, 1,6,1 ... 1,2n,1, ... ], propiedad descubierta
por Leonhard Euler, y en fracción continua no normalizada:
En ambos casos, e presenta regularidades no fortuitas. Álgebra
El número real e es irracional, y también trascendental (ver Teorema de
Lindemann–Weierstrass). Fue el primer número trascendental que fue probado
como tal, sin haber sido construido específicamente para tal propósito (comparar
con el número de Liouville). La demostración de esto fue dada por Charles
Hermite en 1873. Se cree que e además es un número normal.
Números complejos
El número e presenta en la fórmula de Euler un papel importante
relacionado con los números complejos:
El caso especial con x = π es conocido como identidad de Euler
de lo que se deduce que:
Además, utilizando las leyes de la exponenciación, se
obtiene:
Investiga en la literatura algunas aplicaciones en la ciencias en las que se utiliza el número e
CONCLUSIONES
Una vez que hayas terminado de realizar las indicaciones, LEE TUS RESPUESTAS A CADA UNO DE LOS CUESTIONAMIENTOS QUE SE TE HICIERON DURANTE L A PRÁCTICA.
Pues como se demuestra en la practica la función e es muy importante y un poco complica de entender pero gracias a la series se facilita esta función y vemos que las series nos sirven para mucho:
EVALUACIÓN.
Se evaluará el documento con los datos solicitados, las gráficas y conclusiones enviado a través del Campus Virtual
