Suites arithmétiques et géométriques A) Suites ?· Exercice n°1 : Les suites suivantes, données…

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  • Lyce Franais de DOHA 1re S1

    Anne 2016 2017 M. Evanno

    Suites arithmtiques et gomtriques

    A) Suites arithmtiques.

    1. Dfinition et formules.

    Dfinition : forme rcursive.

    Une suite est arithmtique lorsque, partir du terme initial, lon passe d'un terme de la suite au

    terme suivant en ajoutant toujours le mme nombre a , appel raison.

    n : auu nn 1 avec 0u un rel donn.

    Thorme : forme explicite.

    La formule explicite du terme gnral en fonction de n est :

    n : nauun 0 et k et n : aknuu kn )( .

    Dmonstration :

    A laide du schma ci-dessous on peut tablir la formule explicite du terme gnral en fonction

    de n :

    n : nauun 0 et k et n : aknuu kn )( .

    2. Reconnaissance de la nature.

    Proprit : algbrique

    Une suite nu est arithmtique de raison a si et seulement si n : auu nn 1 .

    Proprit : graphique

    Si une suite nu est arithmtique de raison a alors n : )(0 nfnauun . La suite nu est lie la fonction affine baxxf )( avec 0ub donc sa reprsentation graphique est une srie de points situs sur la droite dquation : baxy .

    Exemples :

    Pour montrer quune suite est arithmtique, on montre que la diffrence nn uu 1 est

    constante pour tout entier naturel n .

    Ainsi la suite nu dfinie sur par nun 32 est arithmtique de raison 3 car : n : 332332)32()1(321 nnnnuu nn .

    Pour montrer quune suite nest pas arithmtique un contre exemple suffit.

    Ainsi la suite nu dfinie sur par

    0

    2

    0

    1

    u

    nuu nn nest pas arithmtique car :

    002 0001 uuuu et 0212 1112 uuuu .

  • Lyce Franais de DOHA 1re S1

    Anne 2016 2017 M. Evanno

    3. Sens de variation.

    Proprit :

    nu est une suite arithmtique de raison a . Si 0a , nu est strictement croissante. Si 0a , nu est strictement dcroissante. Si 0a , nu est constante.

    Dmonstration :

    Soit nu une suite est arithmtique de raison a . On a alors : n : auu nn 1 .

    Donc n : auu nn 1 .

    Do la variation de la suite nu dpend uniquement du signe de la raison a .

    4. Somme des termes dune suite arithmtique.

    Proprit :

    Soit nu une suite arithmtique, on a alors :

    n :

    21... 012210

    nnnnn

    uunuuuuuuS .

    Dmonstration : ROC (Restitution organise de connaissances) !

    Partie A :

    2

    1...321

    nnnS .

    Soit S la somme des n premiers entiers naturels non nuls : nnS 1...21 . Ecrivons cette somme ensuite dans l'ordre dcroissant : 12...1 nnS . En sommant ces deux galits, on obtient :

    111...112 nnnnnnS . Et donc :

    2

    1...321

    nnnS .

    Partie B :

    21 0 nn

    uunS .

    Les n premiers termes dune suite arithmtique nu de raison q sont :

    0u ; quu 01 ; quu 202 ; ; qnuun 101 et nquun 0 . Donc : nnnn uuuuuuS 12210 ... .

    nquqnuqnuququuSn 000000 12...2 . nqqnqnqqunSn 12...21 0 . nnnqunSn 12...211 0 .

    2

    21

    21

    2

    11 000

    qnun

    nqun

    nnqunSn .

    21

    21 000 nn

    uun

    qnuunS .

  • Lyce Franais de DOHA 1re S1

    Anne 2016 2017 M. Evanno

    B) Suites gomtriques.

    1. Dfinition et formules.

    Dfinition : forme rcursive

    Une suite est gomtrique lorsque, partir du terme initial, lon passe d'un terme de la suite au

    terme suivant en multipliant toujours par le mme nombre q , appel raison :

    n : n : nn uqu 1 avec 0u donn.

    Thorme : forme explicite

    La formule explicite du terme gnral en fonction de n est :

    n : nn quu 0 et k et n : kn

    kn quu .

    Dmonstration :

    A laide du schma ci-dessous on peut tablir la formule explicite du terme gnral en fonction

    de n :

    n : nn quu 0 et k et n : kn

    kn quu .

    2. Reconnaissance de la nature.

    Proprit :

    Une suite nu est gomtrique de raison q si et seulement si n : qu

    u

    n

    n 1 .

    Exemples :

    Pour montrer quune suite est arithmtique, on montre que la quotient n

    n

    u

    u 1 est constante

    pour tout entier naturel n .

    Ainsi la suite nu dfinie sur par nn

    nu 2

    1

    3

    2 est gomtrique de raison

    9

    2 car :

    n :

    9

    2

    3

    2

    3

    2

    2

    3

    3

    2

    3

    2

    3

    2

    2222

    12

    1

    2

    22

    2

    2

    1

    12

    11

    1

    nn

    nn

    n

    n

    n

    n

    n

    n

    n

    n

    n

    n

    u

    u.

    Pour montrer quune suite nest pas gomtrique un contre exemple suffit.

    Ainsi la suite nu dfinie sur par

    1

    2

    1

    1

    u

    nuu nn nest pas gomtrique car :

    21

    121

    1

    2

    u

    u et 24

    2

    222

    2

    3

    u

    u.

  • Lyce Franais de DOHA 1re S1

    Anne 2016 2017 M. Evanno

    3. Sens de variation.

    Proprits :

    nu , est une suite gomtrique de raison q et de terme initial positif. Si 1q , nu est strictement croissante. Si 10 q , nu est strictement dcroissante. Si 0q ou si 1q , nu est constante.

    Dmonstration :

    Soit nu une suite est gomtrique de raison q .

    Alors pour tout entier n : 1001

    01

    qquququuunnn

    nn .

    Or 00 u et 0q .

    Do la variation de la suite nu dpend du signe de 1q . On en dduit les conclusions de la proprit prcdente.

    4. Somme des termes dune suite gomtrique.

    Proprit :

    Soit nu une suite gomtrique de raison q , on a alors :

    n : q

    quuuuuuuS

    n

    nnnn

    1

    1...

    1

    012210 .

    Dmonstration : ROC (Restitution organise de connaissances) !

    Partie A : q

    qqqqS

    nn

    1

    1...1

    12 .

    Posons : nqqqS ...1 2

    On a alors : 1322 ......1 nn qqqqqqqqqS . 1...1... 12132 nnn qqqqqqqqSqS .

    11 1 nqSqSqS

    q

    q

    q

    qqqqS

    nnn

    1

    1

    1

    1...1

    112 .

    Partie B : q

    quS

    n

    n

    1

    1 1

    0 .

    Les n premiers termes dune suite gomtrique nu de raison q sont :

    0u ; quu 01 ; 2

    02 quu ; ; 1

    01

    n

    n quu et n

    n quuu 00 .

    Donc : nnnn uuuuuuS 12210 ... . nnn

    n quququququuS

    0

    1

    0

    2

    0

    2

    000 ... .

    nn qqquS ...1 20 .

    Or on sait que : q

    qqqq

    nn

    1

    1...1

    12

    Do q

    quS

    n

    n

    1

    1 1

    0 .

  • Lyce Franais de DOHA 1re S1

    Anne 2016 2017 M. Evanno

    Exercice n1 :

    Les suites suivantes, donnes par le terme initial et une formule de rcurrence, sont-elles

    arithmtiques ? gomtriques ? Si tel est le cas, exprimer le terme gnral nu en fonction de n

    et donner les variations de nu . 1)

    nn uu 21 et 10 u .

    2) 421 nn vv et 10 v .

    3) 21 nn ww et 30 w .

    4) 1000 u et nn uu 9,01 .

    5) 300 u et nn nuu 1 .

    6)

    nnn uuu

    u

    05,0

    150

    1

    0.

    Exercice n2 :

    Dterminer parmi les suites suivantes, donnes par le terme gnral, les suites gomtriques et

    arithmtiques. Si tel est le cas, prciser la raison, les variations et la forme rcursive.

    1) 34 nun

    2) nnu 23 .

    3) nnu 2,03 .

    4) 26

    5

    nun .

    5) nnu 4 .

    6) nn

    u2

    3

    7) nnu 103,01 .

    8) 22nun .

    Exercice n3 :

    La suite nu est arithmtique de raison a . Exprimer le terme gnral nu en fonction de n et donner les variations de nu . 1) 30 u et 4a .

    2) 100 u et 2,0a .

    3) 500 u et 451 u .

    4) 210 u et 720 u .

    Exercice n4 :

    La suite nu est gomtrique de raison 0q . Exprimer le terme gnral nu en fonction de n et donner les variations de nu . 1) 30 u et 4q .

    2) 500 u et 451 u .

    3) 2,11 u et 8,43 u .

    Exercice n5 : sommes

    Un utilisant des suites arithmtiques et gomtriques dont on prcisera la raison et le premier

    terme, calculer les sommes suivantes :

    a) 302299...852 .