34
Oleh : Hayani Hamudi, S.Pd SUKU BANYAK

SUKU BANYAK

  • Upload
    cayla

  • View
    105

  • Download
    2

Embed Size (px)

DESCRIPTION

SUKU BANYAK. Oleh : Hayani Hamudi, S.Pd. Standar Kompetensi 4. Menggunakan aturan Suku banyak dalam Penyelesaian Masalah. Kompetensi Dasar 4.1 Menggunakan algoritma pembagian suku banyak untuk menentukan hasil bagi dan sisa pembagian - PowerPoint PPT Presentation

Citation preview

Page 1: SUKU BANYAK

Oleh : Hayani Hamudi, S.Pd

SUKU BANYAK

Page 2: SUKU BANYAK

Standar Kompetensi4. Menggunakan aturan Suku banyak dalam Penyelesaian Masalah

Kompetensi Dasar4.1 Menggunakan algoritma pembagian suku banyak untuk menentukan hasil bagi dan sisa pembagian4.2 Menggunakan Teorema sisa dan teorema faktor dalam memecahkan masalah

Page 3: SUKU BANYAK

Tujuan Pembelajaran

♥ Siswa dapat menggunakan algoritma Pembagian Suku banyak untuk menentukan hasil bagi dan sisa pembagian♥ Siswa dapat menggunakan Teorema sisa dan teorema faktor dalam Pemecahan masalah

Page 4: SUKU BANYAK

Aspek Penyajian Peng. Suku banyak, nilai

suku banyak, dan operasi antarsukubanya

Pembagian suku banyak Teorema sisa Teorema Faktor

Page 5: SUKU BANYAK

Pengertian Suku Banyak

Nilai Suku Banyak

Operasi Antar Suku Banyak

Page 6: SUKU BANYAK

Pengertian Suku BanyakSuku banyak adalah suatu bentuk aljabar yang memiliki Bentuk umum

anxn + an-1x n-1

+ an-2x n-2 + … + a2x2

+ a1x1 + a0

ao, a1, an-1, an-2, an bil. real an ≠ 0

ao, a1, an-1, an-2, an koefisien dan ao suku tetap

Contoh:

3x5 + 6x4

- 2x2 - 4x + 7

Suku banyak diatas merupakan suku banyak berderajat 5 dimana,Koef dari X5 adalah 3 Koef dari x4 adalah 6Koef dari x3 adalah 0koef dari x2 adalah -2 Koef dari x adalah -4 Suku tetapnya adalah 7

Suku banyak terdiri dari 2 yaitu yang mempunyai satu variabel ( univariabel) dan suku banyak yang lebih dari satu variabel ( multivariabel)

Page 7: SUKU BANYAK

Nilai Suku Banyak

Nilai suku banyak dapat dicari dengan 2 metode, yaitu

♥ Metode Substitusi/ Langsung♥ Metode bagan / Skema

Suku banyak dapat dinyatakan dalam fungsi berikut

f(x) = anxn + an-1x n-1

+ an-2x n-2 + … + a2x2

+ a1x1 + a0

Kadang dinyatakan dengan P(x) atau S(x)

Page 8: SUKU BANYAK

Metode SubstitusiJika diketahui polinom

f(x) = anxn + an-1x n-1

+ … + a2x2 + a1x1

+ a0

Untuk x = P, maka

f(x) = anpn + an-1pn-1 + … + a2p2

+ a1p1 + a0

Disebut nilai suku banyak

ContohTent. Nilai suku banyak Jika diketahui polinom

f(x) = x3 + 3x2 - x + 5 untuk nilai x = 2

Penye;

Untuk x = 2, diperolehf(2) = (2)3 + 3(2)2 - 2 + 5

f(2) = 8 + 3 . 4 - 2 + 5 = 8 + 12 - 2 - 5 = 13

Jadi, nilai f(x) untuk x = 2 adalah f(2) = 13

Page 9: SUKU BANYAK

Contoh

Dik. Suku banyak dengan 2 variabel yaitu x dan y. Hitung nilai suku banyak f(x,y) = x3y+ 3x2y2 - 2x + 4y + 2 untuk f(2,1)

Penye;

Untuk x = 2 dan y = 1 diperolehf(x,y) = x3y+ 3x2y2 - 2x + 4y + 2

f(2, 1) = (2)3.1+ 3(2)2(1)2 – 2.(2) + 4.(1) + 2

f(2,1) = 8.1 + 3.4.2 - 5 + 4 + 2

f(2,1) = 8 + 24 - 5 + 4 + 2 = 33

Jadi, nilai f(x) untuk x = 2 dan y = 1 adalah

f(2,1) = 33

Page 10: SUKU BANYAK

Metode Bagan / Skema Misal f(x) = ax3 + bx2

+ cx+ d, untuk x = p berlaku f(p) = ap3 + bp2

+ cp + d Bentuk ini dapat diubah menjadi

f(p) = (ap2 + bp + c)p + d

f(p) = ((ap + b)p + c)p + d

Jadi, f(p) = ap3 + bp2 + cp + d dapat

diperoleh dengan cara:

♥ Kalikan a dengan p lalu tambah b, hasilnya (ap+b)

♥ Kalikan (ap+b) dengan p lalu tambah c, hasilnya (ap+b)p + c atau ap2 + bp

+ c

♥ Kalikan ap2 + bp + c dengan p lalu tambah d

hasilnya (ap2 +bp +c)p +d = ap3 +bp2 +cp + d

Page 11: SUKU BANYAK

f(p) = ap3 + bp2 + cp + d

yg diperhatikan: Penulisan koefisien suku banyak harus berturut-turut dari

pangkat tertingi ke pangkat terendah.

koef p3 koef p2 koef p1 koef po /suku tetap

Nilai dari suku banyak f(x) = ax3 + bx2

+ cx+ d, untuk x = p

Page 12: SUKU BANYAK

Contoh Tent. Nilai suku banyak f(x) = x3 + 2x2

- 4x + 5 ; x = 2

Penye :

koef x3 koef x2 koef x1 koef xo /suku tetap

jadi, nilai suku f(x) untuk x = 2 adalah f(2) = 13

Page 13: SUKU BANYAK

Contoh Tent. Nilai suku banyak f(x) = 2x4 + x2

+ 3x + 2 ; x = 3 dengan metode substitusi dan metode bagan !!!

Penye : Metode substitusiUntuk x = 3, diperolehf(3) = 2(3)4 + (3)2 + 3(3) + 2f(2) = 2.(81) + 9 +9 + 2 = 162 + 9 + 9 + 2 = 182

Jadi, nilai f(x) untuk x = 3 adalah f(3) = 182Metode Bagan/ Skema

Jadi, nilai f(x) untuk x = 3 adalah f(3) = 182

koef x4 koef x3 koef x2 koef x1 koef po /suku tetap

Page 14: SUKU BANYAK

Operasi Antarsukubanyak A. Penjumlahan dan Pengurangan

Penjumlahan atau pengurangan suku banyak f(x) dengan suku banyak g(x)

menjumlahkan atau mengurangkan suku – suku yang sejenis

Misal☻2x2 sejenis dengan 3x2 sehingga 2x2 + 3x2 = (2+3)x2 = 5x2

☻ 3y4 sejenis dengan y4 sehingga 3y4 – y4 = (3-1)y4 = 2y4

☻ 2y3 tidak sejenis dengan 2x3 sehingga 2y3+ 2x3 = 2y3+ 2x3

☻5x3 tidak sejenis dengan 2x2 sehingga 5x3 - 2x2 = 5x3 - 2x2

Misal f(x) dan g(x) masing masing merupakan suku banyak berderajat m dan n maka f(x) ± g(x) adalah suku banyak berderajat m atau n

Page 15: SUKU BANYAK

Contoh :Dik. f(x) = 3x2 + 4x + 1 dan g(x) = 2x4 + 3x2 – 6x + 4Tent. f(x) + g(x) dan f(x) – g(x) serta derajatnya

f(x) + g(x) = (3x2 + 4x + 1) + (2x4 + 3x2 – 6x + 4)f(x) + g(x) = (0 + 2x4)+ (3x2 + 3x2) +(4x – 6x) + (1+4)f(x) + g(x) = 2x4 + 6x2 + (–2x) + 5f(x) + g(x) = 2x4 + 6x2 –2x + 5Jadi, f(x) + g(x) = 2x4 + 6x2 –2x + 5 dan f(x) + g(x) berderajat 4

f(x) - g(x) = (3x2 + 4x + 1) - (2x4 + 3x2 – 5x + 4)f(x) - g(x) = (0-2x4)+ (3x2 - 3x2) +(4x – (-6x) + (1-4)f(x) - g(x) = (-2x4)+ 0 + 10x + (-3)f(x) - g(x) = -2x4 + 10x - 3Jadi, f(x) - g(x) = -2x4 + 10x - 3 dan f(x) - g(x) berderajat 4

Page 16: SUKU BANYAK

Perkalian AntarSuku Banyak Perkalian suku banyak f(x) dengan g(x)

Mengalikan suku-suku dari kedua suku banyak. Dalam mengalikan suku-suku dari kedua suku digunakan sifat

distribusi perkalian ( distribusi perkalian terhadap penjumlahan maupun distribusi perkalian terhadap pengurangan , kemudian baru dihitung jumlahnya.

Misalkan f(x) dan g(x) masing-masing merupakan suku banyak berderajat m atau n maka:

f(x). g(x) adalah suku banyak berderajat m+n

Misalkanf(x) = 3x2 + 4x + 1 adalah suku banyak berderajat 2g(x) = 2x4 + 3x2 – 6x + 4 adalah suku banyak berderajat 4Maka hasil perkalian f(x) dengan g(x) berderajat 2+4 = 6

Page 17: SUKU BANYAK

ContohTent. Hasil dan derajat perkalian dari1. 2x2- 4x + 5 dengan x2 + 42. X - 2 dengan (2x + 1)2

Ingat!!! am x an = a m+n

(2x2 – 4x + 5)(x2 + 4)= 2x2(x2 + 4) -4x(x2 + 4) + 5(x2 + 4)= 2x4 + 8x2 – 4x3 – 16x + 5x2 + 20= 2x4 – 4x3 + 8x2 + 5x2 – 16x + 20= 2x4 – 4x3 + 13x2 – 16x + 20 Hasilnya suku banyak

berderajat 4 atau 2 + 2 = 4

Penyelesaian :

(x - 2)(2x + 1)2

= (x – 2)(4x2 + 4x + 1)= x (4x2 + 4x + 1) – 2(4x2 + 4x + 1)= 4x3 + 4x2 + x – 8x2 – 8x – 2= 4x3 + 4x2 – 8x2 + x – 8x – 2= 4x3 – 4x2 – 7x – 2 Hasilnya suku banyak

berderajat 3 atau 1 + 2 = 3

Page 18: SUKU BANYAK

Kesamaan Suku BanyakMisalkan f(x) dan g(x) adalah dua buah suku banyakf(x) = anxn + an-1x

n-1 + … + a2x2

+ a1x1 + a0

g(x) = bnxn + bn-1xn-1 + … + b2x2

+ b1x1 + b0

f(x) ≡ g(x) jika dan hanya jikaan = bn; an-1 = bn-1; … ; a2 = b2; a1 = b1; a0 = b0

Contoh Tentukan nilai a, b, c, dan d, jika X4 - 8x3 – 15x – 20 = x4 + ax3 + (a+b)x2 + (26-c)x + d

Penyelesaian

Page 19: SUKU BANYAK

X4 - 8x3 + 15x – 20 = x4 + ax3 + (a+b)x2 + (26-c)x + dMisal f(x) = X4 - 8x3 + 15x – 20 Misal g(x) = x4 + ax3 + (a+b)x2 + (26-c)x + d f(x) = g(x)Koefisien x4 1 = 1Koefisien x3 -8 = a pers. 1Koefisien x2 0 = a + b pers. 2Koefisien x 15 = 2b – c pers. 3Koefisien x0 -20 = d pers. 4

pers 1 disubs. ke pers 2, Diperoleh:0 = a + b0 = (-8) + b8 = b pers. 5

pers 5 disubs. ke pers 3, diperoleh:

15 = 2b - c 15 = 2(8) - c 15 = 16 - c C = 16 – 15 = 1

dari uraian diatas, diperoleh: a = -8 c = 1 b = 8 d = -20

Page 20: SUKU BANYAK

Pembagian suku Banyak

Hubungan antara yang dibagi, Pembagi, Hasil Bagi, dan Sisa Pembagian

Cara pembagian suku banyak * Cara Biasa/ Langsung * Cara Skema/ Horner Pembagian suku banyak dengan; * Pembagi berbentuk linear; ( x – k) dan (ax – b) * Pembagi berbentuk kuadrat ( ax2 + bx + c)

Page 21: SUKU BANYAK
Page 22: SUKU BANYAK

Hub. Antara yang dibagi, pembagi, hasil bagi, dan sisa Pembagian.perhatikan pembagian bersusun dibawah

( i )

( ii )

Dari (i) terlihat bahwa 7 dibagi dengan 2 memberikan hasil 3 dengan sisa pembagian 1

Dari (ii) terlihat bahwa 8 dibagi dengan 2 memberikan hasil 4 dengan sisa pembagian 0

( i ) 7 = 2 x 3 + 1 ( ii ) 8 = 4 x 4 + 0 Dengan demikian dapat dirumuskan sebagai berikut:

Yang dibagi = pembagi x hasil bagi + sisa pembagian

Page 23: SUKU BANYAK

Pembagian suku Banyak berbentuk linear; (x – k) dan (ax + b)

Cara yang digunakan untuk membagi suku banyak dengan pembagi berbentuk linear dikenal dengan cara biasa dan cara horner

Pembagi suku banyak dengan (x – k) Hub. Antara yang dibagi, pembagi, hasil bagi, dan sisa

f(x) = ( x – k ). H(x) + SDimana,

f(x) = fungsi yang dibagi( x – k ) = pembagiH(x) = hasil bagiS = sisa pembagian

Catatan…. Derajat hasil bagi

ditambah derajat pembagi sama dengan derajat yang dibagi

Pembagi suku banyak dengan (x – k) Hub. Antara yang dibagi, pembagi, hasil bagi, dan sis

Pembagi suku banyak dengan (x – k) Hub. Antara yang dibagi, pembagi, hasil bagi, dan sisa

pembagian adalah

Page 24: SUKU BANYAK

Tent. Hasil bagi, sisa pembagian, dan hub. Yang dibagi, Hasil bagi, pembagi, sisa pembagian berikut:

(x3 – 11x + 10) : (x – 5 )

Dengan pembagian bersusun/ biasa

X3 – 11x + 10 Dari pembagian disamping diperoleh;Hasil bagi / H(x) : x2 + 5x + 14Sisa pembagian/ S : 80

x - 5x2

X3 – 5x2 5X2 – 11x + 10

80 14x - 70

+ 14

14x + 10

+ 5x

5X2 – 25x

Sehingga hub; f(x) = ( x – k ) . H(x) + S (x3 – 11x + 10) = (x – 5 )(x2 + 5x + 14) + 80

Page 25: SUKU BANYAK

Cara horner / Skema

( x3 – 11x + 10 ) : ( x – 5 ) , berarti faktor pengalihnya adalah 5

Secara umum, pembagian suku banyak f(x) oleh ( x – k ) atau ( x + k) dengan cara horner dapat dilakukan dengan kaidah :

Jika pembaginya ( x – k ), faktor pengalih terhadap koefisien2 suku banyak adalah k

Jika pembaginya ( x + k ), faktor pengalih terhadap koefisien2 suku banyak adalah -k

koef x3 koef x2 koef x1 koef po /suku tetap

Hasil bagi koef x2 koef x1 koef po /suku tetap

….. sisa

Hasil bagi H(x) = x2 + 5x + 14 Sehingga hubungannya: (x3 – 11x + 10) = (x – 5 )(x2 + 5x + 14) + 80

Page 26: SUKU BANYAK

Tent. Hasil bagi dan sisa pembagian berikut: (x3 + 6x2 + 3x – 15) : (x + 3 )

Dengan pembagian bersusun/ biasa

X3 + 6x2 + 3x - 15

Diperoleh hasil bagi / H(x) = x2 + 3x – 6 Sisa pembagian / S = 3

x + 3x2

X3 + 3x2

3X2 + 3x - 15

3

-6x - 18

- 6

-6x - 15

+ 3x

3X2 + 9x

……. hasil bagi

… sisa

Page 27: SUKU BANYAK

Cara horner / Skema(x3 + 6x2 + 3x – 15) : (x + 3 )Berarti fakor pengali terhadap koefisien2 adalah -3

koef x3 koef x2 koef x1 koef po /suku tetap

Hasil bagi koef x2 koef x1 koef po /suku tetap

….. sisa

Hasil bagi H(x) = x2 + 5x + 14Sisa pembagian/ S = 3

1 jadi koefisien x2

3 jadi koefisien x1

- 6 jadi koefisien xo atau suku tetap

Page 28: SUKU BANYAK

Pembagi suku banyak dengan (ax + b) Dengan cara horner

Secara umum, pembagian suku banyak f(x) oleh ( ax + b ) atau ( ax - b) dengan cara horner dapat dilakukan dengan kaidah :

Jika pembaginya ( ax + b ), faktor pengalih terhadap koefisien2 suku banyak adalah -

Jika pembaginya ( x + k ), faktor pengalih terhadap koefisien2 suku banyak adalah -k

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

Page 29: SUKU BANYAK

Tent. Hasil bagi, sisa pembagian, dan hub. Yang dibagi, Hasil bagi, pembagi, sisa pembagian berikut:

(x3 – 11x + 10) : (x – 5 )

Dengan pembagian bersusun/ biasa

X3 – 11x + 10

perhatikan pembagian bersusun dibawah

x - 5x2

X3 – 5x2 5X2 – 11x + 10

X3 – 5x2 X3 – 5x2 X3 – 5x2 X3 – 5x2 X3 – 5x2

80 14x - 70

+ 14

14x + 10

+ 5x

5X2 – 25x

Page 30: SUKU BANYAK

Pembagi suku banyak dengan Pembagi Berbentuk Kuadrat (ax2 + bx + c untuk a ≠ o)

jika suatu suku banyak f(x) dibagi dengan ax2+bx+c, dengan a≠0 (untuk ax2+bx+c, a≠0 yang dapat difaktorkan ataupun yang tidak dapat difaktorkan), hasil bagi dan sisa pembagiannya dapat ditentukan dengan cara pembagian bersusun

Hubungannya…f(x) = ( ax2 + bx + c ). H(x) + (px + g)

Derajat yang dibagi > derajat Pembagi > derajat Hasil bagi ≥ derajat Sisa

Page 31: SUKU BANYAK

Tent. Hasil bagi dansisa pembagian suku banyak f(x) = 2x3 + 3x + 6

oleh x2 + x - 1

Dengan pembagian bersusun/ biasa

2X3 + 3x + 6

Hasil / H(x) = 2x – 1 dan Sisa / S = 6x + 5, seingga:

x2 + x - 12x

2X3 + 2x2 –2x-X2 + 5x + 6

6x + 5

- 1

-X2 – x + 1

f(x) = ( ax2 + bx + c ). H(x) + (px + g)2x3 + 3x + 6 = ( x2 + x - 1 ). H(x) + (px + g)

( 2x3+3x+6 ) = ( x2+x-1 ). ( 2x–1 ) + ( 6x+5 )

Page 32: SUKU BANYAK

Dengan menggunakan hubungan…

f(x) = ( ax2 + bx + c ). H(x) + S ingat!! Derajat pembagi + derajat asi bagi = derajat yang dibagi Jadi, meliat derajat yang dibagi 3 dan derajat pembagi 2 maka

dapat disimpulkan bawa derajat hasil adala 1, sehingga dimisalkan hasil : ax+b dan sisa : px + q f(x) = ( ax2 + bx + c ). H(x) + S (2x3 + x2 + 3x + 6) = ( x2 + x - 1 ). ( ax+b ) + ( px+q ) (2x3 + x2 + 3x + 6) = ( ax3 + bx2 + ax2 + bx – ax – b) + ( px+q ) (2x3 + x2 + 3x + 6) = ( ax3 + bx2 + ax2 + bx – ax + px – b +q ) (2x3 + x2 + 3x + 6) = ax3 + (b+a)x2+ (b-a+p)x + ( q-b ) (2x3 + x2 + 3x + 6) = ax3 + (a+b)x2+ (b-a+p)x + ( q-b ) Ingat!!! Kesamaan Suku Banyak

Page 33: SUKU BANYAK

f(x) = g(x)Koefisien x3 2 = a pers. 1Koefisien x2 1 = a + b pers. 2Koefisien x 3 = b - a + p pers. 3Koefisien x0 6 = q - b pers. 4

Misalkan: p(x) = (2x3 + x2 + 3x + 6) g(x) = ax3 + (a+b)x2+ (b-a+p)x + ( q-b )

pers 1 disubs. ke pers 2, Diperoleh: 1 = a + b 1 = 2 + b1 - 2 = b -1 = b pers. 5

Page 34: SUKU BANYAK

pers 5 disubs. ke pers 4, Diperoleh:6 = q - b6 = q – (-1)6 = q + 1 6 - 1 = q5 = q pers. 7

pers 1 & 5 disubs. pers 3, Diperoleh:3 = b – a + p3 = -1 – 2 + p3 = - 3 + p 3 + 3 = p 6 = p pers. 6

dari uraian diatas, diperoleh: a = 2 p = -6 b = -1 q = 5

Sehingga :Hasil / H(x) ax + b = 2x – 1Sisa / S px + q = 6x + 5

(2x3 + x2 + 3x + 6) = ( x2 + x - 1 ). ( ax+b ) + ( px+q ) ( 2x3+x2+3x+6 ) = ( x2+x-1 ). ( 2x–1 ) + ( 6x+5 )