Upload
cayla
View
105
Download
2
Embed Size (px)
DESCRIPTION
SUKU BANYAK. Oleh : Hayani Hamudi, S.Pd. Standar Kompetensi 4. Menggunakan aturan Suku banyak dalam Penyelesaian Masalah. Kompetensi Dasar 4.1 Menggunakan algoritma pembagian suku banyak untuk menentukan hasil bagi dan sisa pembagian - PowerPoint PPT Presentation
Citation preview
Oleh : Hayani Hamudi, S.Pd
SUKU BANYAK
Standar Kompetensi4. Menggunakan aturan Suku banyak dalam Penyelesaian Masalah
Kompetensi Dasar4.1 Menggunakan algoritma pembagian suku banyak untuk menentukan hasil bagi dan sisa pembagian4.2 Menggunakan Teorema sisa dan teorema faktor dalam memecahkan masalah
Tujuan Pembelajaran
♥ Siswa dapat menggunakan algoritma Pembagian Suku banyak untuk menentukan hasil bagi dan sisa pembagian♥ Siswa dapat menggunakan Teorema sisa dan teorema faktor dalam Pemecahan masalah
Aspek Penyajian Peng. Suku banyak, nilai
suku banyak, dan operasi antarsukubanya
Pembagian suku banyak Teorema sisa Teorema Faktor
Pengertian Suku Banyak
Nilai Suku Banyak
Operasi Antar Suku Banyak
Pengertian Suku BanyakSuku banyak adalah suatu bentuk aljabar yang memiliki Bentuk umum
anxn + an-1x n-1
+ an-2x n-2 + … + a2x2
+ a1x1 + a0
ao, a1, an-1, an-2, an bil. real an ≠ 0
ao, a1, an-1, an-2, an koefisien dan ao suku tetap
Contoh:
3x5 + 6x4
- 2x2 - 4x + 7
Suku banyak diatas merupakan suku banyak berderajat 5 dimana,Koef dari X5 adalah 3 Koef dari x4 adalah 6Koef dari x3 adalah 0koef dari x2 adalah -2 Koef dari x adalah -4 Suku tetapnya adalah 7
Suku banyak terdiri dari 2 yaitu yang mempunyai satu variabel ( univariabel) dan suku banyak yang lebih dari satu variabel ( multivariabel)
Nilai Suku Banyak
Nilai suku banyak dapat dicari dengan 2 metode, yaitu
♥ Metode Substitusi/ Langsung♥ Metode bagan / Skema
Suku banyak dapat dinyatakan dalam fungsi berikut
f(x) = anxn + an-1x n-1
+ an-2x n-2 + … + a2x2
+ a1x1 + a0
Kadang dinyatakan dengan P(x) atau S(x)
Metode SubstitusiJika diketahui polinom
f(x) = anxn + an-1x n-1
+ … + a2x2 + a1x1
+ a0
Untuk x = P, maka
f(x) = anpn + an-1pn-1 + … + a2p2
+ a1p1 + a0
Disebut nilai suku banyak
ContohTent. Nilai suku banyak Jika diketahui polinom
f(x) = x3 + 3x2 - x + 5 untuk nilai x = 2
Penye;
Untuk x = 2, diperolehf(2) = (2)3 + 3(2)2 - 2 + 5
f(2) = 8 + 3 . 4 - 2 + 5 = 8 + 12 - 2 - 5 = 13
Jadi, nilai f(x) untuk x = 2 adalah f(2) = 13
Contoh
Dik. Suku banyak dengan 2 variabel yaitu x dan y. Hitung nilai suku banyak f(x,y) = x3y+ 3x2y2 - 2x + 4y + 2 untuk f(2,1)
Penye;
Untuk x = 2 dan y = 1 diperolehf(x,y) = x3y+ 3x2y2 - 2x + 4y + 2
f(2, 1) = (2)3.1+ 3(2)2(1)2 – 2.(2) + 4.(1) + 2
f(2,1) = 8.1 + 3.4.2 - 5 + 4 + 2
f(2,1) = 8 + 24 - 5 + 4 + 2 = 33
Jadi, nilai f(x) untuk x = 2 dan y = 1 adalah
f(2,1) = 33
Metode Bagan / Skema Misal f(x) = ax3 + bx2
+ cx+ d, untuk x = p berlaku f(p) = ap3 + bp2
+ cp + d Bentuk ini dapat diubah menjadi
f(p) = (ap2 + bp + c)p + d
f(p) = ((ap + b)p + c)p + d
Jadi, f(p) = ap3 + bp2 + cp + d dapat
diperoleh dengan cara:
♥ Kalikan a dengan p lalu tambah b, hasilnya (ap+b)
♥ Kalikan (ap+b) dengan p lalu tambah c, hasilnya (ap+b)p + c atau ap2 + bp
+ c
♥ Kalikan ap2 + bp + c dengan p lalu tambah d
hasilnya (ap2 +bp +c)p +d = ap3 +bp2 +cp + d
f(p) = ap3 + bp2 + cp + d
yg diperhatikan: Penulisan koefisien suku banyak harus berturut-turut dari
pangkat tertingi ke pangkat terendah.
koef p3 koef p2 koef p1 koef po /suku tetap
Nilai dari suku banyak f(x) = ax3 + bx2
+ cx+ d, untuk x = p
Contoh Tent. Nilai suku banyak f(x) = x3 + 2x2
- 4x + 5 ; x = 2
Penye :
koef x3 koef x2 koef x1 koef xo /suku tetap
jadi, nilai suku f(x) untuk x = 2 adalah f(2) = 13
Contoh Tent. Nilai suku banyak f(x) = 2x4 + x2
+ 3x + 2 ; x = 3 dengan metode substitusi dan metode bagan !!!
Penye : Metode substitusiUntuk x = 3, diperolehf(3) = 2(3)4 + (3)2 + 3(3) + 2f(2) = 2.(81) + 9 +9 + 2 = 162 + 9 + 9 + 2 = 182
Jadi, nilai f(x) untuk x = 3 adalah f(3) = 182Metode Bagan/ Skema
Jadi, nilai f(x) untuk x = 3 adalah f(3) = 182
koef x4 koef x3 koef x2 koef x1 koef po /suku tetap
Operasi Antarsukubanyak A. Penjumlahan dan Pengurangan
Penjumlahan atau pengurangan suku banyak f(x) dengan suku banyak g(x)
menjumlahkan atau mengurangkan suku – suku yang sejenis
Misal☻2x2 sejenis dengan 3x2 sehingga 2x2 + 3x2 = (2+3)x2 = 5x2
☻ 3y4 sejenis dengan y4 sehingga 3y4 – y4 = (3-1)y4 = 2y4
☻ 2y3 tidak sejenis dengan 2x3 sehingga 2y3+ 2x3 = 2y3+ 2x3
☻5x3 tidak sejenis dengan 2x2 sehingga 5x3 - 2x2 = 5x3 - 2x2
Misal f(x) dan g(x) masing masing merupakan suku banyak berderajat m dan n maka f(x) ± g(x) adalah suku banyak berderajat m atau n
Contoh :Dik. f(x) = 3x2 + 4x + 1 dan g(x) = 2x4 + 3x2 – 6x + 4Tent. f(x) + g(x) dan f(x) – g(x) serta derajatnya
f(x) + g(x) = (3x2 + 4x + 1) + (2x4 + 3x2 – 6x + 4)f(x) + g(x) = (0 + 2x4)+ (3x2 + 3x2) +(4x – 6x) + (1+4)f(x) + g(x) = 2x4 + 6x2 + (–2x) + 5f(x) + g(x) = 2x4 + 6x2 –2x + 5Jadi, f(x) + g(x) = 2x4 + 6x2 –2x + 5 dan f(x) + g(x) berderajat 4
f(x) - g(x) = (3x2 + 4x + 1) - (2x4 + 3x2 – 5x + 4)f(x) - g(x) = (0-2x4)+ (3x2 - 3x2) +(4x – (-6x) + (1-4)f(x) - g(x) = (-2x4)+ 0 + 10x + (-3)f(x) - g(x) = -2x4 + 10x - 3Jadi, f(x) - g(x) = -2x4 + 10x - 3 dan f(x) - g(x) berderajat 4
Perkalian AntarSuku Banyak Perkalian suku banyak f(x) dengan g(x)
Mengalikan suku-suku dari kedua suku banyak. Dalam mengalikan suku-suku dari kedua suku digunakan sifat
distribusi perkalian ( distribusi perkalian terhadap penjumlahan maupun distribusi perkalian terhadap pengurangan , kemudian baru dihitung jumlahnya.
Misalkan f(x) dan g(x) masing-masing merupakan suku banyak berderajat m atau n maka:
f(x). g(x) adalah suku banyak berderajat m+n
Misalkanf(x) = 3x2 + 4x + 1 adalah suku banyak berderajat 2g(x) = 2x4 + 3x2 – 6x + 4 adalah suku banyak berderajat 4Maka hasil perkalian f(x) dengan g(x) berderajat 2+4 = 6
ContohTent. Hasil dan derajat perkalian dari1. 2x2- 4x + 5 dengan x2 + 42. X - 2 dengan (2x + 1)2
Ingat!!! am x an = a m+n
(2x2 – 4x + 5)(x2 + 4)= 2x2(x2 + 4) -4x(x2 + 4) + 5(x2 + 4)= 2x4 + 8x2 – 4x3 – 16x + 5x2 + 20= 2x4 – 4x3 + 8x2 + 5x2 – 16x + 20= 2x4 – 4x3 + 13x2 – 16x + 20 Hasilnya suku banyak
berderajat 4 atau 2 + 2 = 4
Penyelesaian :
(x - 2)(2x + 1)2
= (x – 2)(4x2 + 4x + 1)= x (4x2 + 4x + 1) – 2(4x2 + 4x + 1)= 4x3 + 4x2 + x – 8x2 – 8x – 2= 4x3 + 4x2 – 8x2 + x – 8x – 2= 4x3 – 4x2 – 7x – 2 Hasilnya suku banyak
berderajat 3 atau 1 + 2 = 3
Kesamaan Suku BanyakMisalkan f(x) dan g(x) adalah dua buah suku banyakf(x) = anxn + an-1x
n-1 + … + a2x2
+ a1x1 + a0
g(x) = bnxn + bn-1xn-1 + … + b2x2
+ b1x1 + b0
f(x) ≡ g(x) jika dan hanya jikaan = bn; an-1 = bn-1; … ; a2 = b2; a1 = b1; a0 = b0
Contoh Tentukan nilai a, b, c, dan d, jika X4 - 8x3 – 15x – 20 = x4 + ax3 + (a+b)x2 + (26-c)x + d
Penyelesaian
X4 - 8x3 + 15x – 20 = x4 + ax3 + (a+b)x2 + (26-c)x + dMisal f(x) = X4 - 8x3 + 15x – 20 Misal g(x) = x4 + ax3 + (a+b)x2 + (26-c)x + d f(x) = g(x)Koefisien x4 1 = 1Koefisien x3 -8 = a pers. 1Koefisien x2 0 = a + b pers. 2Koefisien x 15 = 2b – c pers. 3Koefisien x0 -20 = d pers. 4
pers 1 disubs. ke pers 2, Diperoleh:0 = a + b0 = (-8) + b8 = b pers. 5
pers 5 disubs. ke pers 3, diperoleh:
15 = 2b - c 15 = 2(8) - c 15 = 16 - c C = 16 – 15 = 1
dari uraian diatas, diperoleh: a = -8 c = 1 b = 8 d = -20
Pembagian suku Banyak
Hubungan antara yang dibagi, Pembagi, Hasil Bagi, dan Sisa Pembagian
Cara pembagian suku banyak * Cara Biasa/ Langsung * Cara Skema/ Horner Pembagian suku banyak dengan; * Pembagi berbentuk linear; ( x – k) dan (ax – b) * Pembagi berbentuk kuadrat ( ax2 + bx + c)
Hub. Antara yang dibagi, pembagi, hasil bagi, dan sisa Pembagian.perhatikan pembagian bersusun dibawah
( i )
( ii )
Dari (i) terlihat bahwa 7 dibagi dengan 2 memberikan hasil 3 dengan sisa pembagian 1
Dari (ii) terlihat bahwa 8 dibagi dengan 2 memberikan hasil 4 dengan sisa pembagian 0
( i ) 7 = 2 x 3 + 1 ( ii ) 8 = 4 x 4 + 0 Dengan demikian dapat dirumuskan sebagai berikut:
Yang dibagi = pembagi x hasil bagi + sisa pembagian
Pembagian suku Banyak berbentuk linear; (x – k) dan (ax + b)
Cara yang digunakan untuk membagi suku banyak dengan pembagi berbentuk linear dikenal dengan cara biasa dan cara horner
Pembagi suku banyak dengan (x – k) Hub. Antara yang dibagi, pembagi, hasil bagi, dan sisa
f(x) = ( x – k ). H(x) + SDimana,
f(x) = fungsi yang dibagi( x – k ) = pembagiH(x) = hasil bagiS = sisa pembagian
Catatan…. Derajat hasil bagi
ditambah derajat pembagi sama dengan derajat yang dibagi
Pembagi suku banyak dengan (x – k) Hub. Antara yang dibagi, pembagi, hasil bagi, dan sis
Pembagi suku banyak dengan (x – k) Hub. Antara yang dibagi, pembagi, hasil bagi, dan sisa
pembagian adalah
Tent. Hasil bagi, sisa pembagian, dan hub. Yang dibagi, Hasil bagi, pembagi, sisa pembagian berikut:
(x3 – 11x + 10) : (x – 5 )
Dengan pembagian bersusun/ biasa
X3 – 11x + 10 Dari pembagian disamping diperoleh;Hasil bagi / H(x) : x2 + 5x + 14Sisa pembagian/ S : 80
x - 5x2
X3 – 5x2 5X2 – 11x + 10
80 14x - 70
+ 14
14x + 10
+ 5x
5X2 – 25x
Sehingga hub; f(x) = ( x – k ) . H(x) + S (x3 – 11x + 10) = (x – 5 )(x2 + 5x + 14) + 80
Cara horner / Skema
( x3 – 11x + 10 ) : ( x – 5 ) , berarti faktor pengalihnya adalah 5
Secara umum, pembagian suku banyak f(x) oleh ( x – k ) atau ( x + k) dengan cara horner dapat dilakukan dengan kaidah :
Jika pembaginya ( x – k ), faktor pengalih terhadap koefisien2 suku banyak adalah k
Jika pembaginya ( x + k ), faktor pengalih terhadap koefisien2 suku banyak adalah -k
koef x3 koef x2 koef x1 koef po /suku tetap
Hasil bagi koef x2 koef x1 koef po /suku tetap
….. sisa
Hasil bagi H(x) = x2 + 5x + 14 Sehingga hubungannya: (x3 – 11x + 10) = (x – 5 )(x2 + 5x + 14) + 80
Tent. Hasil bagi dan sisa pembagian berikut: (x3 + 6x2 + 3x – 15) : (x + 3 )
Dengan pembagian bersusun/ biasa
X3 + 6x2 + 3x - 15
Diperoleh hasil bagi / H(x) = x2 + 3x – 6 Sisa pembagian / S = 3
x + 3x2
X3 + 3x2
3X2 + 3x - 15
3
-6x - 18
- 6
-6x - 15
+ 3x
3X2 + 9x
……. hasil bagi
… sisa
Cara horner / Skema(x3 + 6x2 + 3x – 15) : (x + 3 )Berarti fakor pengali terhadap koefisien2 adalah -3
koef x3 koef x2 koef x1 koef po /suku tetap
Hasil bagi koef x2 koef x1 koef po /suku tetap
….. sisa
Hasil bagi H(x) = x2 + 5x + 14Sisa pembagian/ S = 3
1 jadi koefisien x2
3 jadi koefisien x1
- 6 jadi koefisien xo atau suku tetap
Pembagi suku banyak dengan (ax + b) Dengan cara horner
Secara umum, pembagian suku banyak f(x) oleh ( ax + b ) atau ( ax - b) dengan cara horner dapat dilakukan dengan kaidah :
Jika pembaginya ( ax + b ), faktor pengalih terhadap koefisien2 suku banyak adalah -
Jika pembaginya ( x + k ), faktor pengalih terhadap koefisien2 suku banyak adalah -k
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
Tent. Hasil bagi, sisa pembagian, dan hub. Yang dibagi, Hasil bagi, pembagi, sisa pembagian berikut:
(x3 – 11x + 10) : (x – 5 )
Dengan pembagian bersusun/ biasa
X3 – 11x + 10
perhatikan pembagian bersusun dibawah
x - 5x2
X3 – 5x2 5X2 – 11x + 10
X3 – 5x2 X3 – 5x2 X3 – 5x2 X3 – 5x2 X3 – 5x2
80 14x - 70
+ 14
14x + 10
+ 5x
5X2 – 25x
Pembagi suku banyak dengan Pembagi Berbentuk Kuadrat (ax2 + bx + c untuk a ≠ o)
jika suatu suku banyak f(x) dibagi dengan ax2+bx+c, dengan a≠0 (untuk ax2+bx+c, a≠0 yang dapat difaktorkan ataupun yang tidak dapat difaktorkan), hasil bagi dan sisa pembagiannya dapat ditentukan dengan cara pembagian bersusun
Hubungannya…f(x) = ( ax2 + bx + c ). H(x) + (px + g)
Derajat yang dibagi > derajat Pembagi > derajat Hasil bagi ≥ derajat Sisa
Tent. Hasil bagi dansisa pembagian suku banyak f(x) = 2x3 + 3x + 6
oleh x2 + x - 1
Dengan pembagian bersusun/ biasa
2X3 + 3x + 6
Hasil / H(x) = 2x – 1 dan Sisa / S = 6x + 5, seingga:
x2 + x - 12x
2X3 + 2x2 –2x-X2 + 5x + 6
6x + 5
- 1
-X2 – x + 1
f(x) = ( ax2 + bx + c ). H(x) + (px + g)2x3 + 3x + 6 = ( x2 + x - 1 ). H(x) + (px + g)
( 2x3+3x+6 ) = ( x2+x-1 ). ( 2x–1 ) + ( 6x+5 )
Dengan menggunakan hubungan…
f(x) = ( ax2 + bx + c ). H(x) + S ingat!! Derajat pembagi + derajat asi bagi = derajat yang dibagi Jadi, meliat derajat yang dibagi 3 dan derajat pembagi 2 maka
dapat disimpulkan bawa derajat hasil adala 1, sehingga dimisalkan hasil : ax+b dan sisa : px + q f(x) = ( ax2 + bx + c ). H(x) + S (2x3 + x2 + 3x + 6) = ( x2 + x - 1 ). ( ax+b ) + ( px+q ) (2x3 + x2 + 3x + 6) = ( ax3 + bx2 + ax2 + bx – ax – b) + ( px+q ) (2x3 + x2 + 3x + 6) = ( ax3 + bx2 + ax2 + bx – ax + px – b +q ) (2x3 + x2 + 3x + 6) = ax3 + (b+a)x2+ (b-a+p)x + ( q-b ) (2x3 + x2 + 3x + 6) = ax3 + (a+b)x2+ (b-a+p)x + ( q-b ) Ingat!!! Kesamaan Suku Banyak
f(x) = g(x)Koefisien x3 2 = a pers. 1Koefisien x2 1 = a + b pers. 2Koefisien x 3 = b - a + p pers. 3Koefisien x0 6 = q - b pers. 4
Misalkan: p(x) = (2x3 + x2 + 3x + 6) g(x) = ax3 + (a+b)x2+ (b-a+p)x + ( q-b )
pers 1 disubs. ke pers 2, Diperoleh: 1 = a + b 1 = 2 + b1 - 2 = b -1 = b pers. 5
pers 5 disubs. ke pers 4, Diperoleh:6 = q - b6 = q – (-1)6 = q + 1 6 - 1 = q5 = q pers. 7
pers 1 & 5 disubs. pers 3, Diperoleh:3 = b – a + p3 = -1 – 2 + p3 = - 3 + p 3 + 3 = p 6 = p pers. 6
dari uraian diatas, diperoleh: a = 2 p = -6 b = -1 q = 5
Sehingga :Hasil / H(x) ax + b = 2x – 1Sisa / S px + q = 6x + 5
(2x3 + x2 + 3x + 6) = ( x2 + x - 1 ). ( ax+b ) + ( px+q ) ( 2x3+x2+3x+6 ) = ( x2+x-1 ). ( 2x–1 ) + ( 6x+5 )