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Sulla via delle competenze PAESTUM 29 -30 sett. 1 ott.2011
Sulla via delle competenze PAESTUM 29 -30 sett. 1 ott.2011
Collana Quaderni
dell’interculturaE.M.I.
Bologna - 2000
Sulla via delle competenze PAESTUM 29 -30 sett. 1 ott.2011
logica g iuda ad un contro llo
della correttezza e della coerenza dei d iscorsi
probabilitàg ioco ed apprend im ento
analisi deg li eventi possib ili verifica ed e laborazione dati in uscita
statisticaovvero
il m ondodei g rand i num eri
aritm etica com e arte dei num eri :
sim boli num ericisistem i num erici
m isuraponte tra geom etria ed
artim eticae tra le scienze tu tte
geom etria ed inform atica :logo
geom etria e log ica :il m ondo deg li a lgoritm i
geom etrialo spazio e la sua organ izzazione
le figure geom etriche e le loro org .le geom . : euclidea cartesiana in form atica non euclidea
M atem atica ovvero "ciò che si im para" (P itagora) per un apprend im ento sign ificativo
in un am bien te r icco d i potenzia lità cogn itive
Sulla via delle competenze PAESTUM 29 -30 sett. 1 ott.2011
Aritmetica arte dei numeri
n u m e ro N A TU R A L E
O R D IN A L E(su ccess ivo )
re go led i
su ccess ion e
ide ad i
su ccess ion ereg o la re
n u m eroN A TU R A L E
C A R D IN A L E(u n o d i p iù ..)
con servaz ion ed e lla
q u an tità
le ttu raq u an tita tiva
d e lrea le
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Breve storia della matematica:la nascita dei sistemi numerici
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Osso di Ishango,
antichissima testimonianza di
conteggio
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pezzi di argilla con cui venivano sigillati i recipienti
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Verso il 3.000 a.C., proprio per contenere la documentazione contabile tridimensionale, vengono utilizzati dei contenitori in argilla di forma tondeggiante le “ bullae” ; esse vengono sigillate e sulla superficie recano informazioni circa il mittente e la tipologia della merce, anche in termini quantitativi.
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Base 2 o sistema binario
• Usato in Cina dal 3.000 a.C.
• è usato ancora da varie tribù dell’Australia.
• Gli stessi processori dei Personal Computer l’utilizzano.
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0 - 1 - 10 - 11 - 100 - 1010 - 1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 110 - 111 - 1000 - 1001 - 6 - 7 - 8 - 9 -1010 - 1011 -1100 - 1101 - - 10 - 11 - 12 - 13- 1110 -1111 - 10000 ….- 14 - 15 - 16…..Legenda : numeri in blu Numerazione Binarianumeri in rosso Numerazione Decimale
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Base 4
Usata dai Nabatei e dai Kharosthi (India Nord Occidentale) dal V° sec. a.C. al III° sec. d.C.
Probabilmente tale tipo di numerazione è stata favorita dall’usanza di toccare le quattro dita della mano con il pollice.
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Base 12
Utilizzata dalla tribù Apho (Nigeria), è un’evoluzione della base 4 in quanto considera le tre falangi delle quattro dita.
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Base 5
Fu usata dal 30.000 a.C. (ex Cecoslovacchia) molte numerazioni non posizionali recano tracce evidenti della base cinque
Base 5 - Base 10 - Base 20
Furono di gran lunga le più usate. La stessa numerazione romana in base 10 reca tracce della base 5 come pure le numerazioni dei Maya (in base 20) e degli Aztechi (in base 10).
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I Cumana (Etiopia) usano l’espressione “un uomo intero” per indicare venti, “due uomini interi” per indicare quaranta.
Per lo stesso motivo gli abitanti dell’isola Indonesiana di Enggano (Sumatra) dicono “cinque uomini” per indicare cento.
I Baschi utilizzano ancora la base 20 per cui dicono “venti e dieci” per indicare trenta ..... .
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Base 10
Secondo Aristotele, tale base si impone proprio perché l’uomo utilizza le dita delle mani come abaco naturale sempre a sua disposizione.
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in Cina l’abaco è chiamato “ Suan phan “
in Giappone “ Soroban “
1 5 3 2 7 8 6
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CIVILTA’ DEL MESOAMERICA
e le loro matematiche
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La numerazione Maya
Gli antichi abitanti della penisola dello Yucatan, nell’attuale Messico, usavano un sistema di numerazione in base 20. La notazione era posizionale: utilizzavano un puntino per l’unità, una barretta orizzontale per le cinquine,
e… il simbolo
Come simbolo distanziatore
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Maya (dal 500 a.C. al 300 d.C.)
La scrittura e l’organizzazione della misura del tempo sono indicatori del livello culturale veramente significativo raggiunto dai Maya.
Essi si servivano della matematica per determinare i giorni fausti e infausti.
I loro sacerdoti erano al contempo astronomi, astrologi, matematici.
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Pur non conoscendo né frazioni, né numeri decimali, avevano una matematica di notevole interesse per quanto riguarda l’originalità del loro sistema numerico, vigesimale, con alcune “compromissioni “ in base 5. Era infatti una struttura posizionale, l’originalità sta proprio nella scrittura verticale dei numeri.
L’uso di soli 3 simboli per la composizione dei numeri, richiede a supporto una qualche sopravvivenza di regole additive :
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Sorprendenti sono le analogie tra i sistemi numerici babilonesi e maya.
Babilonesi Maya
additivo fino a 59 additivo fino a 19
posizionale da 60 posizionale da 20
potenze di 60 potenze di 20
notazione posizionale
Orizzontale notazione posizionale verticale
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205
204
203
202
201 ( X 18)
200
SISTEMA POSIZIONALE VERTICALE VIGESIMALE
Simbolo distanziatore
per l’unità,
per le cinquine
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Alcuni numeri ammettevano anche delle notazioni alternative, come lo zero
ed anche il 20:
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I numeri da 1 a 13, inoltre, erano divinizzati, e talvolta i Maya li raffiguravano sotto forma di volti. Ecco diverse rappresentazioni della cifra 1 nel 10, nel 19 e come unità.
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L’anno dei Maya, come quello dei Babilonesi, durava 360 giorni a cui si aggiungevano 5 giorni “infausti”.
La terza cifra dal basso indicava allora 360 = 18 20 anziché 400 = 20 20.
Un sistema leggermente diverso veniva usato per scrivere le date.
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Un frammento del codice di Dresda
Seconda colonna a sinistra,dall’alto in basso 9X20X 20X18X20 9X 20X18X20 16X18X20 0X20 0 = 1.296.000+64.800+5760+0+0= 1.366.560
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Notazioni numeriche azteche
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L’aritmetica degli INCAS
ovvero un sistema numerico (posizionale, decimale, …
verticale)
….senza scrivere un numero
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3
5
7
63.103 +5.102 + 7.101 + 6.100 = = 3576
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GLI INCAS
Registrazioni di numeri attraverso i nodi, sono in realtà abachi o libri contabili strutturati in maniera così originale da sorprendere dal popolo incaico.
Quipu in lingua quechua significa “ nodo“.
Nato per registrare dati di natura amministrativa-politica, aveva dimensioni varianti tra i trenta centimetri e i tre metri e mezzo.
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Alla corda principale venivano legate funicelle più sottili a distanze prestabilite, a gruppi di numero variabile secondo regole codificate.
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Di materiale diverso (lana o cotone) potevano essere colorate : colore, tipo di nodo, intreccio dei fili per costruire la corda stessa, costituivano messaggi utili per contestualizzare informazioni deducibili, comunque, solo da adepti.
Infatti i quipu una volta annodati, venivano “ fissati “ bagnando i nodi, tingendo le funicelle, fissando definitivamente con resine il tutto in modo da impedire ogni tentativo di alterare i messaggi.
Sulla via delle competenze PAESTUM 29 -30 sett. 1 ott.2011
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Dall’osservazione delle funicelle e dei nodi su di esse fissati, si desume che anche la numerazione incaica era organizzata in base 10 ed era posizionale, verticale.
I nodi su una sola funicella rappresentano le unità, mentre quelli su due funicelle riunite, le decine, su tre funicelle riunite le centinaia, su quattro funicelle riunite le migliaia.
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Le addizioni erano possibili utilizzando le sole funicelle.
I capi di bestiame o i raccolti agricoli venivano registrati in termini quantitativi in modo sistematico e convenzionale : per gli ovini ad esempio prima venivano contati i montoni, poi gli agnelli e per ultimo le pecore.
A questo punto nel quipu veniva aggiunta un’altra funicella sulla quale attraverso i nodi veniva data la somma dei capi di bestiame.
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RETI MOLTIPLICATIVE ED INDIANI D’AMERICA
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Alcune tribù indiane erano solite tracciare sulla sabbia delle regioni desertiche che attraversavano dei grafi a forma di ramo.
Osservate da noi ora le potremmo interpretare come reti moltiplicative. Sono piaciute molto e, con l’aggiunta dei colori dei regoli, divengono ancora più attraenti ed efficaci nella comunicazione.
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63
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2 + 5 = 75 + 2 = 7
2 + 3 + 2 + 3 + 2 + 3 + 2 =
5 5 7
17
Con i regoli si possono preparare “cornicette, tappetini, bordi…” saranno i bambini stessi a trovare i nomi più vicini ai loro vissuti, ma questi disegni sono trasformabili in strutture di calcolo come quella proposta qui sotto.
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Raggruppare in basi diverse dalla base dieci
la regola del tre (ogni tre si cambia)come vediamo nell’immagine tre unità
permettono di realizzare il cambio con una terzina.
Tre terzine permetteranno il cambio con un piatto formato da tre terzine (un quadrato da tre per tre)
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Tre terzine permetteranno il cambio con un piatto formato da tre terzine
(un quadrato da tre per tre)
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Sistemi numerici nella storia
Ricostruzione : dell’albero genealogico dei nostri
numeri delle regole del nostro sistema
numerico posizionale e in base dieci dei sistemi dei popoli con cui veniamo
in contatto
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Sistemi numerici non posizionali
S.N. del popolo Sumero S.N. del popolo Egizio S.N. del popolo Cinese S.N. del popolo Azteco S.N. del popolo Babilonese (entro il 59) S.N. del popolo Maya (entro il 19)
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Costruzione di un sistema numerico
Simboli numerici Regole
Non posizionali decimali
non decimali
posizionali decimali
non decimali
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Costruzione di un sistema numerico posizionale in base due
Le cifre che avete a disposizione sono :
0 1
Le potrete usare
secondo le regole posizionali.
Prima proposta: Tracciare la linea dei numeri
fino alla composizione di numeri a quattro cifre.
Provare con l’abaco situazioni di cambio.
Provare addizioni in colonna e con l’abaco secondo le regole della base in cui si sta operando.
Scrivere le regole tipiche di
questa base.
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Costruzione di un sistema numerico posizionale in base tre
Le cifre che avete a disposizione sono :
0 1 2
Le potrete usare secondo le regole posizionali.
Prima proposta: Tracciare la linea dei numeri
fino alla composizione di numeri a quattro cifre.
Provare con l’abaco situazioni di cambio.
Provare addizioni in colonna e con l’abaco secondo le regole della base in cui si sta operando.
Scrivere le regole tipiche di
questa base.
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Costruzione di un sistema numerico posizionale in base dieci
Le cifre che avete a disposizione sono :
………………………………
Le potrete usare secondo le regole posizionali.
Prima proposta: Tracciare la linea dei numeri
fino alla composizione di numeri a quattro cifre.
Provare con l’abaco situazioni di cambio.
Provare operare (quattro operazioni, a piacere ) secondo le regole della base in cui si sta operando.
Scrivere le regole tipiche di
questa base.
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Costruzione di un sistema numerico posizionale
in base quattro
Le cifre che avete a disposizione sono :
0 1 2 3
Le potrete usare secondo le regole posizionali.
Prima proposta: Tracciare la linea dei numeri
fino alla composizione di numeri a quattro cifre.
Provare con l’abaco situazioni di cambio.
Provare addizioni in colonna e con l’abaco secondo le regole della base in cui si sta operando.
Scrivere le regole tipiche di
questa base.
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Costruzione di un sistema numerico posizionale
in base cinque
Le cifre che avete a disposizione sono :
0 1 2 3 4
Le potrete usare secondo le regole posizionali.
Prima proposta: Tracciare la linea dei numeri
fino alla composizione di numeri a quattro cifre.
Provare con l’abaco situazioni di cambio.
Provare addizioni in colonna e con l’abaco secondo le regole della base in cui si sta operando.
Scrivere le regole tipiche di
questa base.
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Costruzione di un sistema numerico posizionale in base sei
Le cifre che avete a disposizione sono :
0 ° 3 1 ° 4 2 ° 5
Le potrete usare secondo le regole posizionali.
Prima proposta: Tracciare la linea dei numeri
fino alla composizione di numeri a quattro cifre.
Provare con l’abaco situazioni di cambio.
Provare addizioni in colonna e con l’abaco secondo le regole della base in cui si sta operando.
Scrivere le regole tipiche di
questa base.
Sulla via delle competenze PAESTUM 29 -30 sett. 1 ott.2011
Costruzione di un sistema numerico posizionale in base sette
Le cifre che avete a disposizione sono : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Le potrete usare secondo le
regole posizionali.
Prima proposta: Tracciare la linea dei numeri
fino alla composizione di numeri a quattro cifre.
Provare con l’abaco situazioni di cambio.
Provare addizioni in colonna e con l’abaco secondo le regole della base in cui si sta operando.
Scrivere le regole tipiche di
questa base.
Sulla via delle competenze PAESTUM 29 -30 sett. 1 ott.2011
Costruzione di un sistema numerico posizionale in base otto
Le cifre che avete a disposizione sono :
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
Le potrete usare secondo le regole posizionali.
Prima proposta: Tracciare la linea dei numeri
fino alla composizione di numeri a quattro cifre.
Provare con l’abaco situazioni di cambio.
Provare addizioni in colonna e con l’abaco secondo le regole della base in cui si sta operando.
Scrivere le regole tipiche di
questa base.
Sulla via delle competenze PAESTUM 29 -30 sett. 1 ott.2011
Costruzione di un sistema numerico posizionale in base nove
Le cifre che avete a disposizione sono :
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.
Le potrete usare secondo le regole posizionali.
Prima proposta: Tracciare la linea dei numeri
fino alla composizione di numeri a quattro cifre.
Provare con l’abaco situazioni di cambio.
Provare addizioni in colonna e con l’abaco secondo le regole della base in cui si sta operando.
Scrivere le regole tipiche di
questa base.
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Aritm etica arte dei num eri
algoritmidi
operazione
Sistem idi
N um erazione
sistemidi
conteggio
numeriinteri
relativiZ
numerinaturali
N
ordinale(successivo)
regoledi
successione
idea disuccessione
regolare
costruzionedi
moduli
numeriraz ionali
Q
funzioni moltiplic.(uno ogni tanti)frazioni comeoperatori su N
numerinaturali
N
cardinale(uno di più)
conservazionedella
quantità
ideadi
quantità
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logica
app licazion i a lle
stru ttu re
negazioned isg iunzionecong iunzioneequ iva lenze
proprietàpartico lar izzate
operazion ilog iche
proprietà
rag ionam ento d iverse p rem essed iverse conclusion i
com p lem entoun ione
in tersezione d iff erenza. . .
operazion iinsiem istiche
tabelled i verità
e form alizzazionedel rag ionam ento
rag ionam ento su
enunciati
re lazion i fra
enunciatiquan tificati
quan tificatori
insiem i
scelta dell'un iverso
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strutture
num erirazionalire lativi
num eriin teri
num erirazionalire lativi
num erirazionali
sin tesi card ina le/
ord ina le
isom etrie
num erirea li
m isu ra
sin tesispazio /tem po
* ca lco lo deg lienunciati
* regole d irag ionam ento
* quantificatori
* p red icati
ca lco lo deg liattr ibu ti
operazion iinsiem istiche
in tu izione dell'ord ine
d i unattr ibu to