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NORMALISTA: FERNANDO EMMANUEL MARTÍNEZ MARTINEZ. CATEDRÁTICO(A): PROFA. JOSÉ ALEJANDRO SALINAS ORTA. MATERIA: LOS NUMEROS Y SUS RELACIONES.

Suma,resta,multiplicacion y division matematicas

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Page 1: Suma,resta,multiplicacion y division matematicas

NORMALISTA:

FERNANDO EMMANUEL MARTÍNEZ MARTINEZ.

CATEDRÁTICO(A):

PROFA. JOSÉ ALEJANDRO SALINAS ORTA.

MATERIA:

LOS NUMEROS Y SUS RELACIONES.

Page 2: Suma,resta,multiplicacion y division matematicas

C l a s i f i c a c i ó n

Operaciones de composición o directas:

Suma

Multiplicación

Potenciación

Operaciones de descomposición o inversas:

Resta

División

Radicación

Logaritmación

Page 3: Suma,resta,multiplicacion y division matematicas

Suma de conjuntos: “ sumar dos o mas conjuntos, que no tienen elementos

comunes, es reunir En un solo conjunto todos loselementos que integran los conjuntos dados y soloellos”.

Ejemplo: AB, CDE, EF = ABCDEF Suma de números naturales: “suma de varios números naturales es el numero

cardinal del conjunto suma de los conjuntos cuyosnúmeros cardinales son los números dados”.

Ejemplos: 2+4+3=9

Page 4: Suma,resta,multiplicacion y division matematicas

Sumando unidad veamos el siguiente ejemplo: 1 silla + 1 silla + 1 silla = 3 sillas 1 pera + 1 pera + 1 pera = 3

peras

Sumando nulo. Modulo de adición. un ejemplo de ello es: n + 0= n

Page 5: Suma,resta,multiplicacion y division matematicas

Ley de la uniformidad

Ley conmutativa

Ley asociativa

Ley disocositiva

Page 6: Suma,resta,multiplicacion y division matematicas

Ley de uniformidad Esta puede enunciarse de tres modos que son equivalentes: 1)La suma de varios números dados tiene un valor único siempre es

igual. ejemplo: 3 monedas + 2 monedas = 5 monedas 3mangos + 2 mangos =5 mangos

2)Las sumas de los números respectivamente iguales son iguales.

Ejemplo: si en cada ala de un colegio cada asiento seta ocupado por un alumno de tal modo que ningún alumno queda sin asiento, tenemos que el numero de asientos es igual a la cantidad de alumnos.

3)Suma de iguales. Sumando miembro a miembro varias igualdades, resulta una igualdad.

Ejemplo: a=b

c=d m=n

Resulta a + c + m = b + d + n

Page 7: Suma,resta,multiplicacion y division matematicas

Si en la suma 2 libros+ libros+ 4 libros = 9 libros

Cambiando el orden de los conjuntos sumandos, el conjunto suma no varia, por que contiene el mismo número de elementos y así tenemos:

3 libros + 2 libros + 4 libros = 9 libros 4libros + 3libros + 2 libros = 9 libros

Por lo tanto podemos decir que: 2 + 3 + 4 = 3 + 2 + 4 = 4 + 3 + 2 , etc.

Page 8: Suma,resta,multiplicacion y division matematicas

La suma de varias números no se alterna

descomponiendo uno o varios en dos o

mas sumandos.

Esta ley es reciproca a la ley asociativa.

Ejemplo:

En la suma 10 3, puesto que 10 = 8 +

2, tendremos que:

10 + 3 = 8 + 2 + 3

Page 9: Suma,resta,multiplicacion y division matematicas

Su uso como signos de agrupación:

Los paréntesis son signos de asociación oagrupación, pues se usan para asociar o agrupar losnúmeros indicados una operación. Cuando una operaciónse encierra en un paréntesis, ello indica que dichaoperación debe efectuarse primero, y en el resultado deella se verifica la otra operación indicada.

( ) llamados paréntesis ordinarios

{ } ¨ ¨ llaves

__ vinculo o barra.

[ ] ¨ ¨ corchetes

Page 10: Suma,resta,multiplicacion y division matematicas

La suma de varios miembros no baria sustituyendo varios súmanos por su suma.

Si A tiene 5 años, B 6 años y C 8 años, sumando edades tenemos:

5 años+6años+8años=19años

Sera el mismo resultado si primeros sumamos las dos primeras edades y después la tercera lo cual seria de la siguiente manera:

(5 años + 6 año) + 8 años=19 años

11 años

Page 11: Suma,resta,multiplicacion y division matematicas

Ley de monotonía: Sumando miembro a miembro desiguales del

mismo sentido con igualdades resulta una desigualdad del mismo sentido.

Sumando miembro a miembro varias desigualdades del mismo sentido, resulta otra desigualdad del mismo sentido.

Nota: si se suman desigualdades de sentido contrario, el resultado no puede anticiparse, pudiendo ser una desigualdad o una igualdad.

Page 12: Suma,resta,multiplicacion y division matematicas

*por la ley conmutativa

*por la ley asociativa

*por la prueba del 9

Alteraciones de los sumandos• Si un numero aumenta o disminuye un numero

cualquiera, la suma aumenta o disminuye el mismo

numero.

• Si un sumando aumenta un numero cualquiera y el otro

sumando disminuye el mismo numero, la suma no varia.

Page 13: Suma,resta,multiplicacion y division matematicas

Objetivo:

Dada la suma de dos sumandos

(minuendo) y uno de ellos

(sustraendo), hallar el otro sumando

(resta, exceso o diferencia).

Page 14: Suma,resta,multiplicacion y division matematicas

1)Sumando el sustraendo con la

diferencia, debiendo dar el minuendo.

2) Restando la diferencia del

minuendo, debiendo ser el sustraendo.

93,254

58,076

35, 178

58,076

35,178

93,254

15,200

13,896

1,304

15,200

1,304

13,896

Page 15: Suma,resta,multiplicacion y division matematicas

Representar gráficamente la diferencia de

7 – 4.

Representación grafica.

Page 16: Suma,resta,multiplicacion y division matematicas

Ley de uniformidad: La diferencia de dos

números tiene un valor único o siempre es igual.

11 – 3 = 8 únicamente por que 8 es el único número

que sumado con 3 da 11.

Restando miembro a miembro dos igualdades

resulta otra igualdad.

a=3

___5=b__

a-5=3-b

Page 17: Suma,resta,multiplicacion y division matematicas

Ley de monotonía: consta de trespartes.

1) Si una desigualdad (minuendo) se restauna igualdad (sustraendo), siempre que laresta se pueda efectuar resulta unadesigualdad del mismo sentido que ladesigualdad minuendo.

8>5

____2=2____

8-2>5-2

6>3

Page 18: Suma,resta,multiplicacion y division matematicas

2) Si una desigualdad (minuendo) se resta una igualdad (sustraendo), siempre que la resta se pueda efectuar resulta una desigualdad de sentido contrario que la desigualdad sustraendo.

9=9

____5>3___

_

9-5<9-3

4<6

Page 19: Suma,resta,multiplicacion y division matematicas

3) Si una desigualdad se resta otra desigualdad de sentido contrario, siempre que la resta sea posible, resulta una desigualdad del mismo sentido que la desigualdad del minuendo.

7>4

___2<3___

7-2>4-3

5>1

Page 20: Suma,resta,multiplicacion y division matematicas

1) Si el minuendo aumenta o disminuye un número cualquiera y el sustraendo no varía, la diferencia queda aumentada o disminuida en el mismo número.

9-7=2

(9+3)-7=2 + 3

12-7= 5

Page 21: Suma,resta,multiplicacion y division matematicas

2) Si el sustraendo aumenta o disminuye un número cualquiera y el minuendo no varía, la diferencia disminuye en el primer caso y aumenta en el segundo el mismo número.

10-3=7

10-(3+5)= 7 – 5

10-8= 2

Page 22: Suma,resta,multiplicacion y division matematicas

3) Si el minuendo y el sustraendo

aumenta o disminuyen a la vez un

mismo número, la diferencia no varía.

15-6=9

(15+2)-(6+2)=9

17-8=9

Page 23: Suma,resta,multiplicacion y division matematicas

Se verán las operaciones indicadas de suma y resta primero desde un punto de vista practico y luego bajo un aspecto teórico.

operaciones indicadas de suma y resta en que no hay signo de agrupación

Estas operaciones se efectúan en el orden que se hallan Asi que diremos que :

5+4-3+2 = 5+4= 9; 9-3= 6; 6+2= 8

Page 24: Suma,resta,multiplicacion y division matematicas

Operaciones en que hay signos de agrupación..

Las operaciones cerradas dentro de los paréntesis, hasta convertirlas en un solo numero y luego efectuar las operaciones que queden indicadas.

Se efectúan primero las operaciones encerradas entre los paréntesis.

(7-2) + (5+4) –(3-2) = 13

Page 25: Suma,resta,multiplicacion y division matematicas

Teoría … Estudiaremos ahora el método de efectuar las

operaciones indicadas de suma y resta, fundado en las propiedades de la suma y la resta. Es necesario conocer este método porque si las cantidades están representadas por letras no podemos efectuar las operaciones encerradas en los paréntesis y por tanto no se puede aplicar el método explicado anteriormente.

Page 26: Suma,resta,multiplicacion y division matematicas

Para sumar un numero con una suma indicada el numero con uno cualquiera de los sumandos de la suma.

Sea la operación (2+3+4)+5, decimos que :

(2+3+4 )+5=2+(3+5)+4=14 En efecto: al sumar el numero 5 con el sumando 3, la

suma (2+3+4) queda aumentada en unidades porque si un

sumando se aumenta en un numero cualquiera la suma queda aumentada en dicho numero.

Page 27: Suma,resta,multiplicacion y division matematicas

Para sumar dos sumas indicadas se suman todos los sumandos que la forman .

Sea la operación (5+6) +(7+8), decimos que:

(5+6)+(7+8)= 5+6+7+8=26En efecto: al añadir la suma 7+8 al sumando

6 de la primera, esta suma queda aumentada en 7 +8 unidades por la misma razón del caso anterior.

Page 28: Suma,resta,multiplicacion y division matematicas

Para sumar un numero con una diferencia indicada, se suma el numero con el minuendo y de esta suma se resta el sustraendo.

Sea la operación (7-5)+4, decimos que:

(7-5)+4=(7+4)-5=11-5=6 En efecto: al sumar el numero 4 al minuendo, la

diferencia 7-5 queda aumentada en 4 porque hemos visto que si el minuendo se aumenta en un numero cualquiera, la diferencia que aumentada en ese numero.

Page 29: Suma,resta,multiplicacion y division matematicas

Para sumar dos o mas diferencias indicadas, se suman los minuendos y de esta suma se resta la suma de los sustraendos.

Sea la operación (8-5)+(6-4), decimos que:

(8-5)+(6-4)= (8+6)-(5+4) = 14-9=5

En efecto: al sumar el minuendo 8 el minuendo6, la diferencia (8-5) que da aumentada en 8 unidades, pero al restar el sustraendo

6 queda disminuida en 6 unidades, luego si la suma (4+5) aumenta 8 y disminuye 6 aumenta 2 que es la diferencia

8-6

Page 30: Suma,resta,multiplicacion y division matematicas

Para restar de un numero una suma indicada, se restan del numero, uno a uno, todos los sumandos de la suma.

Sea la operación 25-(2+3+4)= 25-2-3-4= 16

En efecto: si 25 se disminuye primero en 2, después en 3 y luego en 4, queda disminuido en 9 unidades que es la suma 2+3+4.

Page 31: Suma,resta,multiplicacion y division matematicas

Para resta de una suma indicada y un numero, se resta el numero de cualquier sumando de la suma.

Sea la operación (4+5+6)-3, probar que: (4+5+6)-3=(4-3)+5+6=12

en efecto: al restar el 3 de uno de los sumandos de la suma, esta queda disminuida en 3 unidades.

Page 32: Suma,resta,multiplicacion y division matematicas

Para restar de un numero una diferencia indicada, se suma el sustraendo con el numero y de esta suma se resta el minuendo

Sea l a operación 50-(8-5), que decimos que : 50-(8-5)= (50+5)-8=47

En efecto: sabemos que si al minuendo y al sustraendo de una diferencia se sum a un mismo numero, la diferencia no varia. Añadiendo 5 al minuendo y al sustraendo de la diferencia 50-(8-5), tenemos.

50-(8-5)= (50+5)-(8-5+5) = (50+5)-8 por que si al 8 restamos 5 y le sumamos 5 queda 8

Page 33: Suma,resta,multiplicacion y division matematicas

Para restar de una diferencia indicada un numero, se resta del minuendo la suma del sustraendo y el numero.

Sea la operación (15-7) -6, decimos que:

(15-7) -6=15-(7+6)=15-13= 2En efecto: al sumar 6 con el sustraendo 7, la

diferencia 15-7 queda disminuida en 6 unidades porque si al sustraendo se suma un numero cualquiera. La diferencia queda disminuida en este numero.

Page 34: Suma,resta,multiplicacion y division matematicas

Para restar dos sumas indicadas se restan de la primera suma, uno a uno, todos los sumandos de la segunda suma.

Sea la operación (4+5)-82+3)= 4+5-2-3=4

En efecto: si de la suma (4+5) restamos primero 2 y después 3, esta suma queda disminuida en 5 unidades que es la suma 2+3.

Page 35: Suma,resta,multiplicacion y division matematicas

Para restar dos diferencias indicadas, se suma el minuendo de la primera con el sustraendo de la segunda y de esta suma se resta del sustraendo de la primera con el minuendo de la segunda.

Sea la operación (8-1) –(5-3)=(8+3)-(5+1)= 11 -6=5

En efecto: al sumar el sustraendo 3 con el minuendo 8 la diferencia (8-1) queda aumentada en 3 unidades, pero al sumar el minuendo 5 con el sustraendo 1 la diferencia (8-1) queda aumentada en 3 unidades, pero al sumar el minuendo 5 con el sustraendo 1 la diferencia (8-1) queda disminuida en 5 unidades; luego si (8-1) aumenta 3 disminuye 5, en definitiva disminuye 2, que es la diferencia 5-3

Page 36: Suma,resta,multiplicacion y division matematicas

Para restar de una suma una diferencia indica, se suma el sustraendo con la suma indicada u de esta suma se resta el minuendo.

Sea la operación (8+4)-(3-2), probar que:

(8+4)-(3-2)=(8+4+2)-3= 14-3=11 En efecto: al sumar el sustraendo 2 con la suma

(8+4) esta suma queda aumentada en 2 unidades, pero al restar el minuendo 3 disminuye 3 unidades, luego si aumenta 2 disminuye 3 , disminuye 1 unidad que es la diferencia (3-2)

Page 37: Suma,resta,multiplicacion y division matematicas

Sean los números 8y 5, decimos que : (8+5 )+(8-5)=2x8= 16 En efecto : sabemos que para sumar una

suma con una diferencia, se suma el

minuendo de la diferencia con uno de los

sumandos de la suma y de esta suma se

resta el sustraendo, luego :

(8+5)+(8-5)=8+5+8-5=8+8+5-

5=8+8= 2x8

Page 38: Suma,resta,multiplicacion y division matematicas

Sean los números 8 y 5, decimos que: (8+5)+(8-5)= 2x5=10

En efecto: sabemos que para restar de una suma una diferencia se suma el sustraendo con la suma y de esta suma se resta el minuendo, luego :

(8+5)-(8-5)=8+5-5+8= 5+5+8-8= 5+5= 2x5

Page 39: Suma,resta,multiplicacion y division matematicas

El complemento aritmético de un número es la

diferencia entre dicho número y una unidad de un

orden superior a su cifra de mayor a menor.

1) El complemento aritmético de 98

es 100-98 = 2

2) El complemento aritmético de 356

es 1000-356 = 644

3) El complemento aritmético de 1,250

es 10,000-1,250 = 8,750

4) El complemento aritmético de 14,200

es 100,000-14,200 = 85,800

Page 40: Suma,resta,multiplicacion y division matematicas

REGLA PRÁCTICA PARA HALLAR EL

COMPLEMENTO DE UN NÚMERO

Se resta de 9 todas las cifras del número, empezando por laizquierda, menos la última cifra significativa, que se resta de 10.si el número termina en ceros, a la derecha de la última resta seescriben estos ceros.

Page 41: Suma,resta,multiplicacion y division matematicas

EJEMPLOS:1) Hallar el complemento aritmético de 346.diremos: de 3 a 9 = 6; de 4 a 9 = 5; de 6 a 10 = 4,luego el complemento aritmético de 346 es 654.

2) Hallar el complemento aritmético de 578, 900.diremos: de 5 a 9 = 4; de 7 a 9 = 2; de 8 a 9 = 1; de9 a 10 = 1,luego el complemento aritmético es 421,100

Page 42: Suma,resta,multiplicacion y division matematicas

APLICACIÓN DEL COMPLEMENTO ARITMÉTICO

PARA EFECTUAR LA RESTA

Para efectuar la resta por medio del

complemento aritmético se suma el minuendo

con el complemento aritmético del

sustraendo, poniéndole a este delante una

unidad son signo menos, que se tendrá al

efectuar la suma.

1) Efectuar 1,034 – 615 por medio del

complemento aritmético.

Page 43: Suma,resta,multiplicacion y division matematicas

Es el complemento aritmético con una unidad

con signo menos adelante, y tendremos:

1, 034

+ 1, 385

0, 419

La diferencia entre 1,034 y 615 es 419, que se

puede comprobar efectuando la resta:

1, 034

- 615

0, 419

Page 44: Suma,resta,multiplicacion y division matematicas

APLICACIÓN DEL COMPLEMENTO

ARITMÉTICO PARA EFECTUAR VARIAS

SUMAS Y RESTAS COMBINADAS

Para efectuar sumas y restas combinadas

por medio del complemento aritmético se

suman todos los sumandos con los

complementos aritméticos de los

sustraendos , poniendo delante de cada

complemento una unidad con signo

menos, que se tomara en cuenta al efectuar

la suma.

Page 45: Suma,resta,multiplicacion y division matematicas

1) Efectuar por los componentes 56 – 41 + 83 – 12.

_56Comp.. Aritmético de 41…

159

+ _83

Comp.. Aritmético de 12..

188

86

Page 46: Suma,resta,multiplicacion y division matematicas

Es una operación de composición que tiene por objeto, dados números llamados multiplicando y multiplicador, hallar un numero llamado producto que sea respecto del multiplicando lo que el multiplicador es respecto de la unidad.

Page 47: Suma,resta,multiplicacion y division matematicas

El producto de dos números se indica con el signo

X o con punto colocado entre los factores, que es

el nombre que se le da al multiplicando y

multiplicador.

Así, el producto de 6 por 5 se indica 6 x 5 o 6 ·

5

Page 48: Suma,resta,multiplicacion y division matematicas

1) Si el multiplicador es cero, el producto es cero.

2) Si el multiplicador es 1, el producto es igual al

multiplicando.

3) Si el multiplicador es >1, el producto es > el

multiplicando.

4) Si el multiplicador es < 1, el producto es < el

multiplicando.

Page 49: Suma,resta,multiplicacion y division matematicas

Cuando el multiplicador es un numero

natural, la multiplicación es una suma

abreviada que consta de tantos

sumandos iguales al multiplicando

como unidades tenga el multiplicador

4x3= 4+4+4+4=12

Page 50: Suma,resta,multiplicacion y division matematicas

Para multiplicar un entero por la unidad

seguida de ceros se añaden al entero

tantos ceros como ceros acompañen a la

unidad.

54 x 100 = 5400, por que el valor relativo de

cada cifra se ha hecho 100 veces mayor

Page 51: Suma,resta,multiplicacion y division matematicas

Se multiplican los números como si no tuvieran

ceros y a la derecha de este producto se añaden

tantos ceros como haya en el multiplicando y

multiplicador.

4300 x 2500 = 107 500 000

Page 52: Suma,resta,multiplicacion y division matematicas

En el producto hay siempre tantas cifras

como haya en el multiplicando y

multiplicador juntos o una menos.

Así, el producto

345 x 23 ha de

tener cuatro

cifras o cinco.

345 x 23 > 345 x 10, y como

este ultimo producto 345 x 10

= 3450 tiene cuatro cifras, el

producto 345 x 23, que es

mayor que el, no puede tener

menos de cuatro cifras.

7935

Page 53: Suma,resta,multiplicacion y division matematicas

Representar gráficamente 3x2

2

3

Se construye un rectángulo cuya base sea el segmento

que representa el 3 y cuya altura sea el segmento que

representa el 2. El rectángulo ABCD que consta de dos

filas horizontales de 3 cuadrados cada una es la

representación grafica del producto 3 x 2 = 6

A

BC

D

2

3

Page 54: Suma,resta,multiplicacion y division matematicas

Para hallar el producto de mas de dos números como

2 x 3 x 4 x

5

1. Se halla el producto de dos de ellos.

2. Luego se multiplica este producto por el tercero.

3. Luego este segundo producto por el factor

siguiente y así hasta el ultimo factor.

Así, en este

caso, tendremos:

2 x 3 = 6

6 x 4 = 24

24 x 5 =

120

Page 55: Suma,resta,multiplicacion y division matematicas

Pueden realizarse de tres modos:

1. Cambiando el

orden de los

factores, lo cual

debe darnos el

mismo producto.

2. Dividiendo el

producto entre

uno de los

factores, lo cual

debe darnos el

otro factor.

3. Por la

prueba del 9

Page 56: Suma,resta,multiplicacion y division matematicas

Son 6:

Ley de uniformidad

Ley conmutativa

Ley asociativa

Ley disociativa

Ley monotonía

Ley distributiva

Page 57: Suma,resta,multiplicacion y division matematicas

Enunciarse de tres modos:

1. El producto

de dos números

tiene un valor

único o siempre

igual.

2. Los

productos de

números

respectivament

e iguales son

iguales.

3. Productos de

dos igualdades.

Multiplicando

miembro a

miembro varias

igualdades resulta

otra igualdad.5 sillas x 2 = 10

sillas

5 días x 2 = 10

días

5 x 2 = 10

a = b

c = d

ac = bd

Page 58: Suma,resta,multiplicacion y division matematicas

El orden de los factores no altera el

producto

1. Que se trate

de dos

factores

2. Que se trate de

mas de dos

factores

Vamos a demostrar

que 6 x 4 = 4 x 6.

6x 4 = 6 + 6+ 6+ 6+ 6= 24

4 x 6= 4+ 4+ 4+ 4+ 4 +4= 24

Sea el producto 5 x 4 x 3 x 2

Se puede considerar

descompuesto en dos

factores: 5 . 4 y 3 . 2

Page 59: Suma,resta,multiplicacion y division matematicas

El producto de varios números no varia

sustituyendo dos o mas factores por su

producto

2 x 3 x 4 x 5 = 120

(2 x 3) x 4 x 5 = 120

6

(2 x 3) x (4 x 5) = 120

6 20

En general:

abcd = (ab)cd = a(bcd)

Page 60: Suma,resta,multiplicacion y division matematicas

El producto

de varios

números no

varia

descomponi

endo uno o

mas

factores en

dos o mas

factores

Sea el producto 8 x 5;

puesto que 8 = 4 x

2, tendremos:

8 x 5 = 4 x 2 x 5

Page 61: Suma,resta,multiplicacion y division matematicas

Multiplicando miembro a miembro

desigualdades del mismo sentido e

igualdades, resulta una desigualdad del

mismo sentido que las dadas.

Siendo

8>3

4=4

8x4>3x4 resulta

32>12.

Page 62: Suma,resta,multiplicacion y division matematicas
Page 63: Suma,resta,multiplicacion y division matematicas

Para comenzar, deben efectuarse en este

orden: primero, los productos indicados

y luego las sumas o restas.

Ejemplo: efectuar, 5+3x4-2x7

Efectuamos primero los productos

3x4=12 y 2x=14 y tendremos:

5+3x4-2x7 =5+12-14= 3.

Page 64: Suma,resta,multiplicacion y division matematicas

PRIMERO: Las operaciones encerradas en los paréntesis y luego las operaciones que queden indicadas.

Ejemplo: (5+3)2+3(6-1). En la practica, se suele suprimir el signo x entre

un numero y un paréntesis o entre dos paréntesis. A si pues, en este ejemplo, (5+3) 2 equivale a

(5+3) x 2 y 3(6-1) equivale a 3 x (6-1). Entonces efectuamos primero los

paréntesis, (5+3) = 8 y (6-1)= 5, y tendremos: (5+3) 2 + 3(6-1)= 8 x 2 + 3 x 5= 16 + 15= 31.

Page 65: Suma,resta,multiplicacion y division matematicas

Para multiplicar una suma indicada por un numero se multiplica cada sumando por este numero y se suman los productos parciales.

Ejemplo: (5+4)2.Decimos que, (5+4)2= 5x2+4x2=10+8=18Entonces: (5+4)2 = (5+4) + (5+4) =

5+4+5+4= 5+5+4+4= (5+5) + (4+4) = 5x2+4x2.

Page 66: Suma,resta,multiplicacion y division matematicas

Para multiplicar una resta indicada por un numero se multiplican el minuendo y el sustraendo por este numero y se restan los productos parciales.

Ejemplo: (8-5) 3. Asi que decimos: (8 – 5) 3 = 8 x 3 – 5 x 3 =24 – 15 = 9Entonces multiplicar (8 – 5) 3 equivale a tomar (8 –5) como sumando tres veces, o sea: (8 – 5) 3 = (8 – 5)+ (8 – 5) + (8 – 5)o también realizar lo siguiente: = (8+8+8) – (5+5+5)= 8 x 3 – 5 x 3.

Page 67: Suma,resta,multiplicacion y division matematicas

Una expresión como 7 – 2 + 9 – 3 que contiene varios signos + o – es una suma algebraica. En esta suma algebraica, 7, 2, 9 y 3 son los términos de la suma. Los términos que van precedidos del signo + o que no llevan signo delante son positivos. Asi que en este caso, -2 y -3 son negativos.

En la suma algebraica a + b – c – d + e, los términos positivos son a,b y e, y los negativos, -c y –d.

Page 68: Suma,resta,multiplicacion y division matematicas

Para multiplicar una suma por un numero se multiplica un termino de la suma por dicho numero, poniendo delante de cada producto parcial el signo + si el termino que se multiplica es positivo y el signo – si es negativo.

Ejemplo: (8 – 2 + 6 – 3) 5.Asi que decimos: (8-2+6-3)5 = 8 x 5 – 2 x 5 + 6 x 5 – 3 x 5 = 40 – 10 + 30 – 15 =45 En general: (a – b + c –d )n = an – bn + cn –

dn.

Page 69: Suma,resta,multiplicacion y division matematicas

En la suma algebraica x 5 + 3 x 2 – 4 x 2 los términos son los productos 2x5, 3x2 y 4x2. en cada uno de estos productos aparece el factor 2; 2 es un factor común.

Igualmente en la suma algebraica 9 x 3 –3 x 5 -3 x 2 +8 x 3 el 3 es un factor común; en la suma ab + bc – bd el factor común es b; en la suma 5 ay + 5ax – 5an el factor común es 5 a.

Page 70: Suma,resta,multiplicacion y division matematicas

1) sabemos que por ley distributiva, que: (8+6)5=8x5+6x5. Invirtiendo los miembros de esta igualdad, tenemos:

8x5+6x5=5(8+6) Aquí vemos que en el primer miembro tenemos el factor

común 5 y en el segundo miembro aparece el factor común 5 multiplicando a un paréntesis dentro del cual hemos escrito 8+6 que es lo que queda en el primer miembro dividiendo cada termino entre 5.

Hemos sacado el factor común 5. 2) sabemos, por la ley distributiva, que: (9-7)2=9x2 – 7x2.

invirtiendo tenemos: 9x2-7x2=2(9-7). En el primer miembro tenemos el factor común 2 y en el segundo miembro aparece el 2 multiplicando a un paréntesis dentro del cual hemos puesto lo que queda en el primer miembro dividiendo cada termino entre el factor común 2. hemos sacado el factor común 2.

3) sacar el factor común en 9x8 +8x3-8. Asi que 9x8+8x3-8=8(9+3-1).

Page 71: Suma,resta,multiplicacion y division matematicas

Para multiplicar dos sumas indicadas se multiplican todos los términos de la primera por cada uno de los términos de la segunda y se suman los productos parciales.

Entonteces efectuamos (6+5)(3+2) y decimos que: (6+5)(3+2)=6x3+5x3+6x2+5x2 =18+15+12+10=55.

En efecto: el producto (6+5) (3+2) se compondrá de tres veces (6+5) mas dos veces (6+5), luego: (6+5)(3+2)=(6+5)3+(6+5)2 =6x3+5x3+6x2+5x2.

Page 72: Suma,resta,multiplicacion y division matematicas

Para multiplicar una suma por una diferencia se suman los productos de cada termino de la suma por el minuendo y de esta suma se restan los productos de cada termino de la suma por el sustraendo.

Efectuar: (9+7)(5-4)=9x5+7x5-9x4-7x4 = 45+35-36-28=16.

En efecto: el producto (9+5)(5-4) se compondrá de cinco veces (9+7) menos cuatro veces (9+7),luego: (9+7)(5-4)=(9+5)-5(9+7)4 =(9x5+7x5)-(9x4+7x4)=9x5+7x5-9x4-7x4.

En general (a+b)(c-d)=ac+bc-ad-bd.

Page 73: Suma,resta,multiplicacion y division matematicas

El producto de la suma de dos números

por su diferencia es igual a la diferencia de

los cuadrados de los nuemros .

Ejemplo: efectuar (6+5)(6-5)= 62 – 52 = 36-

25=9

En efecto: aplicando la regla explicada en

el numero anterior, tenemos: (6+5)(6-5)=

6x6 +5x6-6x5-5x5 = 6x6-5x5= 62 – 52 .

Page 74: Suma,resta,multiplicacion y division matematicas

Para multiplicar dos diferencias indicadas se suma el producto de los minuendos con el producto de los sustraendos y de esta suma se restan los productos de cada minuendo por el otro sustraendo.

Efectuar: (7-4)(3-2). Decimos que: (7-4)(3-2)=7x3+4x2-7x2-4x3 = 21+8-14-12=3

En efecto: el producto (7-4)(3-2)= (7-4)3-(7-4)2

= (7x3-4x3)-(7x2-4x2)=(7x3+4x2)-(7x2+4x3) (126)=7x3+4x2-7x2-4x3 (125)

Page 75: Suma,resta,multiplicacion y division matematicas

De acuerdo con las reglas aplicadas en los números anteriores, tenemos que:

(a+b)(c+d) = ab+bc+ad+bd (a+b)(c-d)=ac+bc-ad-bd (a-c)(c-d) = ac-bc - ad+bd.Observando esto lo que hemos hecho es

multiplicar términos del primer paréntesis por cada termino del segundo paréntesis poniendo delante de cada producto el signo +cuando los factores que se multiplican tienen signos iguales (los dos + o los dos -) y el signo – cuando tienen signos distintos.

Page 76: Suma,resta,multiplicacion y division matematicas

Para multiplicar dos sumas algebraicas se multiplica cada termino de la primera suma por cada termino de la segunda suma, poniendo delante de cada producto el signo + cuando los dos términos que se multiplican tienen signos iguales, y el signo – cuando tienen signos distintos.

Entonces daremos un ejemplo: Efectuar (8-6)(5+4) por la regla general. (8-6)(5+4)=8x5 – 6x5 +8x4 – 6x4 = 40 – 30 + 32 – 24 = 18 Hemos multiplicado 8 por 5 y como 8 y 5 tienen signos iguales (al no

llevar signo delante llevan +) delante del producto 8x5 va un + (que no se escribe por ser el primer termino, pero va sobreentendido). Después multiplicamos – 6 por 5 poniendo delante de este producto el signo – porque 6y5 tienen signos distintos ; luego 8 por 4, poniendo + delante del producto porque 8y4 tienen signos iguales y por ultimo -6 por 4 poniendo delante del producto – porque tienen signos distintos.

Page 77: Suma,resta,multiplicacion y division matematicas

Para multiplicar un producto indicado por un numero se multiplica uno de los factores del producto por dicho numero.

Vamos a multiplicar el producto 4 x 5 por 6.

Decimos que basta multiplicar uno solo de los factores, bien el 4 o el 5, por el multiplicador 6.

Multiplicando el factor 5, tenemos: (4x5)6 = 4(5x6)=4(30)=120.

Page 78: Suma,resta,multiplicacion y division matematicas

Para multiplicar dos productos indicados

se forma un solo producto con todos los

factores.

Vamos a multiplicar el producto 2x3 por el

producto 4x5x6. Decimos que:

(2x3)(4x5x6)=2 x 3 x 4 x 5 x 6 = 720.

Entonces al multiplicar el factor 3 del

producto 2x3 queda multiplicado por el

producto 4x5x6, según el caso anterior.

Page 79: Suma,resta,multiplicacion y division matematicas

INVERSA DE LA MULTIPLICACIÓN

SU ODJETO DADO EL PRODUCTO DE 2

FACTORES (DIVIDIENDO) Y UNO DE

LOS FACTORES (DIVISOR), HALLAR EL

OTRO FACTOR (COCIENTE)

Page 80: Suma,resta,multiplicacion y division matematicas

El signo de la division es o una rayita horizontal o inclinada colocada entre el dividendo y el divisor.

Asi la division de D (dividendo) entre d(divisor) y siendo c el cociente, se indica de los tres modos siguientes:

D÷d=c_ D_ =c

dD/d=c

Page 81: Suma,resta,multiplicacion y division matematicas

Entonces podemos decir que dividir un número (dividendo) entre otro ( divisor) es hallar un número (cociente) que multiplicado por el divisor de el dividendo.

ejemplo 20/4 es allar el número que multiplicado por 4 de 20

4x5=20Del propio modo: 8÷4 = 2 por que 2x4 =815 =53

Page 82: Suma,resta,multiplicacion y division matematicas

TODO NÚMERO QUE DIVIDE A OTROS

VARIOS, DIVIDE A SU SUMA

SEA EL NÚMERO 5 , QUE DIVIDE AL

10, 15, 20=45, O SEA QUE 10+25+20 ES

M. 5

EN EFECTO: 10=5x2; 15= 5x3; 20= 5x4

Page 83: Suma,resta,multiplicacion y division matematicas

Sacando el valor común 5 en el

segundo miembro de la ultima

igualdad, tenemos:

10+15+20= 5 (2+3+4)

o sea 10+15+20= 5x9

10+15+20= 45, contiene al 5, 9 veces y 5

divide a la suma 10+5+20

Page 84: Suma,resta,multiplicacion y division matematicas

Todo número que no divide a otro vario

divide a u suma, si la suma de los

residuos que resultan de dividir estos

entre el número que no los divide, es

divisible entre este número.