Sum´ario - GSCAR

Sumario

1 Sistemas e Sinais 11.1 Sistemas dinamicos, exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Modelos matematicos, analise e sıntese . . . . . . . . . . . . . 11.3 Sistemas dinamicos, classificacoes . . . . . . . . . . . . . . . . 11.4 Sinais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.4.1 Possıveis definicoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.4.2 Conceito intuitivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.4.3 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.4.4 Abrangencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.4.5 Representacoes matematicas . . . . . . . . . . . . . . . 11.4.6 Analise e sıntese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.4.7 Classificacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.5 Sistemas e Sinais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

2 Sinais Contınuos 22.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.2 Conhecimentos possıveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.3 Operacoes Elementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.4 Energia e potencia de sinais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.5 Sinais Singulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.5.1 Pulsos e Impulsos Unitarios . . . . . . . . . . . . . . . 122.5.2 Propriedades do impulso unitario . . . . . . . . . . . . 14

2.6 Sinais eternos, os outros e simetrias . . . . . . . . . . . . . . . 152.7 Sinais Periodicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.8 Serie de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.8.1 Serie de Fourier: Forma Trigonometrica . . . . . . . . . 202.8.2 Serie de Fourier: Forma Cossenoidal . . . . . . . . . . 252.8.3 Serie de Fourier: Forma Exponencial . . . . . . . . . . 28

2.9 Energia e potencia no caso periodico . . . . . . . . . . . . . . 352.10 Sinais suaves e rıspidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.11 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.12 Aplicacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.13 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

i

3 Domınios e transformadas 403.1 No tempo e na frequencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.2 Visao frequencial de sinais nao periodicos . . . . . . . . . . . . 403.3 Transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.4 Condicoes de existencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443.5 Propriedades da Transformada . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.5.1 Linearidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.5.2 Translacao no tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.5.3 Alteracao da escala de tempo . . . . . . . . . . . . . . 463.5.4 Dualidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463.5.5 Translacao na frequencia . . . . . . . . . . . . . . . . . 463.5.6 Derivacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.5.7 Integracao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.5.8 Convolucao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.5.9 Multiplicacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.5.10 Exemplo de Aplicacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.6 Transformadas de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.7 Transformada de Laplace Unilateral . . . . . . . . . . . . . . . 54

3.7.1 Condicoes de Existencia . . . . . . . . . . . . . . . . . 563.8 Propriedades da Transformada . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3.8.1 Linearidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593.8.2 Translacao no tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603.8.3 Multiplicacao por Exponencial Real . . . . . . . . . . . 613.8.4 Alteracao da escala de tempo . . . . . . . . . . . . . . 613.8.5 Derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623.8.6 Integrais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633.8.7 Convolucao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633.8.8 Valor inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643.8.9 Valor final . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

3.9 Calculos, inversas e tabelas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653.9.1 Calculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 663.9.2 Inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

3.10 Aplicacao a equacoes diferenciais . . . . . . . . . . . . . . . . 683.11 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

4 Operadores e Sistemas 724.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 724.2 Teoria dos Operadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 724.3 Resposta de Operadores Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . 75

4.3.1 Operador causal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 794.3.2 Entrada Unilateral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 794.3.3 Operador Invariante no Tempo . . . . . . . . . . . . . 794.3.4 Integral de Convolucao . . . . . . . . . . . . . . . . . . 804.3.5 Convolucao Grafica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

ii

4.4 Outros aspectos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 824.5 Transmissao de Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 824.6 Resposta em Frequencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

4.6.1 Entradas exponenciais e senoidais . . . . . . . . . . . . 854.6.2 Entradas quaisquer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 874.6.3 Obtendo a funcao de transferencia . . . . . . . . . . . . 88

4.7 Operadores basicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 894.8 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 894.9 Operadores e Sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

5 Sistemas Dinamicos 935.1 Exemplos e Classificacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 945.2 Analise, Sıntese e Modelos Matematicos . . . . . . . . . . . . 95

5.2.1 Sistemas Contınuos a Parametros Concentrados . . . . 955.2.2 Sistemas Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

5.3 Obtencao de Modelos Matematicos . . . . . . . . . . . . . . . 965.3.1 Elementos mecanicos ideais . . . . . . . . . . . . . . . 975.3.2 Elementos eletricos ideais . . . . . . . . . . . . . . . . 985.3.3 Pendulo Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 995.3.4 Linearizacao de funcoes e de EDOs . . . . . . . . . . . 1005.3.5 Metodos de Identificacao . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

5.4 Busca de solucoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1015.5 Teorema Geral dos SLITS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

5.5.1 Sistemas Relaxados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1045.6 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1045.7 Uso de Variaveis Auxiliares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1095.8 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

6 Estado e Equacoes Dinamicas 1166.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1166.2 Equacoes Dinamicas e Espaco de Estados . . . . . . . . . . . . 1186.3 Variaveis de Estado e Energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1196.4 Casos Geral e Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1216.5 Resolucao de Equacoes Dinamicas . . . . . . . . . . . . . . . . 123

6.5.1 REN para Sistemas Lineares . . . . . . . . . . . . . . . 1246.5.2 REZ para Sistemas Lineares . . . . . . . . . . . . . . . 1286.5.3 Resposta Geral de Sistemas Lineares . . . . . . . . . . 129

6.6 Caso Linear e Invariante no Tempo . . . . . . . . . . . . . . . 1316.6.1 Laplace nas EDLITs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1316.6.2 No domınio do tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

6.7 Exponencial matricial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1336.8 Equacoes Dinamicas Equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . 1366.9 Equacoes Dinamicas e Sistemas Fısicos . . . . . . . . . . . . . 1436.10 Aspectos Matematicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

iii

6.10.1 Forma de Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1476.10.2 Equacoes Homogeneas Lineares . . . . . . . . . . . . . 1496.10.3 Aspectos frequenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

6.11 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1556.12 Caso linear fixo: RENs no IR2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

6.12.1 Autovalores reais e distintos . . . . . . . . . . . . . . . 1626.12.2 λ1 e λ2 negativos e distintos . . . . . . . . . . . . . . . 1626.12.3 λ1 e λ2 positivos e distintos . . . . . . . . . . . . . . . 1636.12.4 λ1 e λ2 com sinais opostos . . . . . . . . . . . . . . . . 1646.12.5 Autovalores reais e iguais . . . . . . . . . . . . . . . . . 1656.12.6 Autovalores complexos conjugados . . . . . . . . . . . 167

6.13 Equacoes Dinamicas Gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1686.13.1 REN para o caso geral escalar . . . . . . . . . . . . . . 1686.13.2 Existencia, unicidade e continuacao . . . . . . . . . . . 1706.13.3 REN para o caso geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1736.13.4 Caso autonomo em IR — generalidades . . . . . . . . . 1756.13.5 Caso autonomo em IR2 — generalidades . . . . . . . . 1776.13.6 Analise por aproximacoes numericas . . . . . . . . . . 1816.13.7 Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

7 Mundo Discreto 1837.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1837.2 Transformada em z de uma Sequencia . . . . . . . . . . . . . 1857.3 Propriedades da transformada z . . . . . . . . . . . . . . . . . 1887.4 Transformada Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

7.4.1 Metodo aberto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1927.4.2 Metodo fechado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

7.5 Operadores e Sistemas Discretos . . . . . . . . . . . . . . . . . 1947.5.1 Resposta ao impulso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1957.5.2 Solucao por transformada Z . . . . . . . . . . . . . . . 1987.5.3 Funcao de Transferencia Discreta . . . . . . . . . . . . 1997.5.4 Comportamento temporal . . . . . . . . . . . . . . . . 1997.5.5 Estabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2017.5.6 Pequena pausa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

7.6 Sistemas Discretos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2037.6.1 Um sistema discreto real . . . . . . . . . . . . . . . . . 2037.6.2 Equacoes de diferencas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2047.6.3 Equacoes Dinamicas Discretas . . . . . . . . . . . . . . 208

7.7 Realizacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2127.8 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

iv

8 Conexoes com o mundo contınuo 2248.1 Desperdıcio e economia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2248.2 Amostragem Pulsada e Geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2268.3 Amostragem Pulsada, Impulsiva e Instantanea . . . . . . . . . 2308.4 Aspectos Importantes da Amostragem . . . . . . . . . . . . . 2358.5 Sinais quantizados e digitais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2378.6 Conversao de sinais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2408.7 Uso de Sistemas Discretos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244

8.7.1 Substitutos Discretos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2468.7.2 Integracao numerica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2478.7.3 Subtitutos discretos aproximados . . . . . . . . . . . . 249

9 Horizonte de tempo finito 2519.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2519.2 Series temporais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2519.3 Primeiras operacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2529.4 Transformada de Fourier Discreta . . . . . . . . . . . . . . . . 256

9.4.1 Uma Aplicacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2609.5 Propriedades da TFD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261

9.5.1 Linearidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2619.5.2 Convolucao circular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2619.5.3 Multiplicacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2619.5.4 Teorema de Parseval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261

9.6 Aspectos computacionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2629.7 Interpretacao e uso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2639.8 Fourier: caso contınuo e discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . 2649.9 Transformadas de Haar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270

9.9.1 Sinais de escala – nıvel 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 2709.9.2 Produto Escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2709.9.3 Matriz de tendencia – nıvel 1 . . . . . . . . . . . . . . 2709.9.4 Subsinal de tendencia – nıvel 1 . . . . . . . . . . . . . 2719.9.5 Sinais de wavelet – nıvel 1 . . . . . . . . . . . . . . . . 2719.9.6 Produto Escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2729.9.7 Matriz de flutuacao – nıvel 1 . . . . . . . . . . . . . . . 2729.9.8 Subsinal de flutuacao – nıvel 1 . . . . . . . . . . . . . . 2729.9.9 Matriz de Haar – nıvel 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 2739.9.10 Transformada de Haar – nıvel 1 . . . . . . . . . . . . . 2739.9.11 Propriedades da H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2749.9.12 Transformada de Haar – nıvel 2 . . . . . . . . . . . . . 2749.9.13 Sinais de escala – nıvel 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 2759.9.14 Produto Escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2759.9.15 Sinais de wavelet – nıvel 2 . . . . . . . . . . . . . . . . 2759.9.16 Produto Escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2759.9.17 Matrizes do nıvel 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276

v

9.9.18 Transformada de Haar – nıvel 2 . . . . . . . . . . . . . 2769.9.19 Haar – nıveis superiores . . . . . . . . . . . . . . . . . 2769.9.20 Haar inversa – nıvel 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2779.9.21 Basico e detalhes – nıvel 1 . . . . . . . . . . . . . . . . 2779.9.22 Sinais basico e de detalhes . . . . . . . . . . . . . . . . 2789.9.23 Nıveis superiores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2789.9.24 Compressao de sinais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2789.9.25 Compressao por Wavelets . . . . . . . . . . . . . . . . 2799.9.26 Remocao de ruıdos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2809.9.27 Conclusoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2809.9.28 Transformadas de Daubechies . . . . . . . . . . . . . . 2809.9.29 Sinais de escala – nıvel 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 2819.9.30 Tendencias em Daub4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2819.9.31 Sinais de wavelets – nıvel 1 . . . . . . . . . . . . . . . . 2819.9.32 Flutuacoes em Daub4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2819.9.33 Tansformada de Daub4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2829.9.34 Outras da famılia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282

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Capıtulo 1

Sistemas e Sinais

1.1 Sistemas dinamicos, exemplos

1.2 Modelos matematicos, analise e sıntese

1.3 Sistemas dinamicos, classificacoes

1.4 Sinais

1.4.1 Possıveis definicoes

1.4.2 Conceito intuitivo

1.4.3 Exemplos

1.4.4 Abrangencia

1.4.5 Representacoes matematicas

1.4.6 Analise e sıntese

1.4.7 Classificacoes

1.5 Sistemas e Sinais

Abrangencia e universalidade das ideias.

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Capıtulo 2

Sinais Contınuos

2.1 Introducao

De acordo com o capıtulo anterior, um sinal e uma medida ou observacaocontendo informacoes sobre um certo fenomeno em que estamos interessados.Este capıtulo tratara apenas dos sinais contınuos e determinısticos, e assim apalavra sinais, isoladamente, sera usada para designa-los. Tambem ja vimosque funcoes reais da variavel real e contınua t, o tempo, sao os instrumentosmatematicos adequados para representar esses sinais. Assim, um sinal x podeser representado pela notacao matematica classica para funcoes:

x : IR→ IRt 7→ x(t)

A esta simbologia sempre se deve associar uma representacao grafica dosinal, ou seja, o grafico da funcao, como na figura 2.1 abaixo.

✲

✻x

t

Figura 2.1: Representacao grafica de um sinal contınuo

Muitas vezes representamos um sinal pela notacao simplificada x(·) ouapenas pelo sımbolo x. Deve ficar bem claro que qualquer destas notacoesequivalentes representa o sinal como um todo, ou seja, uma funcao definidapara qualquer valor real do tempo t, e a qual sempre se associa um grafico,como acima. Durante muitos anos usou-se, e ainda se usa, o sımbolo x(t)para denotar uma funcao; sempre que possıvel evitaremos esse procedimento,

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pois ele pode se revelar confuso em algumas situacoes. O sımbolo x(1), porexemplo, designa o valor da funcao no instante t = 1, ou seja, e um numeroreal; o sımbolo x(t0) designa o valor da funcao quando t = t0, logo x(t0) ∈ IRe assim por diante. Deste modo, o sımbolo x(t) representa um numero real,o valor assumido pela funcao x no instante t, e nao a funcao x.

E bom lembrar que os sinais contınuos podem ser descritos por funcoesdescontınuas, como acima; a terminologia sinais contınuos vem de que avariavel independente, o tempo t, deve ser uma variavel real e contınua.

2.2 Conhecimentos possıveis

Sinais contınuos podem ser conhecidos por meio de

1. uma expressao analıtica,

2. um registro grafico contınuo,

3. um registro grafico discreto.

Em certos casos, em geral casos simples, existe uma expressao analıtica,uma formula, para x: quando, por exemplo, sabemos que x(t) = t2−1 ∀t ∈ IRou entao x(t) = e(t−1)2 sen (500t− π/4) ∀t ∈ IR.

Algumas vezes o conhecimento que temos do sinal e totalmente grafico,quando instrumentos continuamente emitem registros das grandezas medi-das. Exemplos classicos sao, para citar uns poucos, o sismografo, o eletro-encefalograma e o eletrocardiograma. As figuras a seguir mostram registrostıpicos desses instrumentos.

Figura 2.2: Um sismografo captura movimentos da camada terrestre e osgrava como acima: representacoes graficas de sinais contınuos.

Os sinais de audio, ou sons em geral, sao variacoes da pressao do arcapazes de impressionar ouvidos de animais; eles podem ser captados pormicrofones e as tensoes (ou correntes) que os medem podem ser plotadas.Em outras situacoes ha medidas esporadicas da grandeza e devemos cons-truir tabelas relacionando os valores registrados e os respectivos instantes.

3

Figura 2.3: Em eletroencefalogramas, sensores colocados em cabecas huma-nas captam tensoes eletricas que variam no tempo e permitem entender ofuncionamento cerebral; um registro comum e mostrado acima, a esquerda.Em eletrocardiogramas os sensores sao colocados no tronco das pessoas, paraentender o funcionamento do coracao, como no grafico acima a direita.

O grafico do sinal contınuo pode ser obtido por um processo qualquer deinterpolacao. A temperatura de um paciente que e tomada de tempos emtempos ilustra este caso.

A primeira opcao apresentada e, com certeza, a melhor maneira de seconhecer um sinal. Quando existe uma formula para a funcao x pode-se usartodo o poderoso arsenal da Matematica como por exemplo derivar, integrar,achar maximos e mınimos, avaliar o custo da geracao e do armazenamento,etc. Dada a expressao analıtica de um sinal, e muito simples, quase sempre,tracar o grafico correspondente; a operacao inversa, contudo, e extremamentecomplicada no caso geral. Em suma, a analise do sinal e bastante facilitadaquando se tem em maos uma expressao analıtica para ele.

Um dos objetivos mais nobres da teoria de sinais e o de analisar e conhecerum sinal mesmo sem o conhecimento de sua expressao analıtica. Uma dasmaneiras de conseguir isto se resume em decompor um sinal qualquer emsinais elementares mais simples. Na realidade este e um objetivo bem maisamplo e geral, e algo perseguido persistentemente por toda a Ciencia: para seanalisar e entender uma realidade complexa, procura-se dividi-la em partesmais simples e ja conhecidas. Para se resolver um dado problema, um bommetodo e considera-lo como a uniao, ou soma, de subproblemas com solucoesconhecidas. Assim, pdemos formular o

Problema Geral da Teoria de Sinais

Dado um sinal qualquer, descreve-lo em termos de sinais maissimples, chamados de sinais elementares.

4

Ha varias famılias de sinais elementares que fornecem decomposicoes uteispara sinais genericos. A grande enfase deste capıtulo e o estudo de duas destasfamılias e as respectivas decomposicoes. Antes, porem, alguns fatos basicosda teoria de funcoes.

2.3 Operacoes Elementares

Uma operacao unaria associa a cada sinal um unico outro sinal. Assim, aum dado sinal representado pela funcao real de variavel real


correspondera um outro sinal

g : IR→ IRt 7→ g(t)

Uma operacao unaria e tambem chamada de modificacao, alteracaoou transformacao. Derivar ou integrar sinais sao exemplos triviais deoperacoes unarias. Seguem outros casos.

Definicao 2.3.1 O sinal g resulta de uma alteracao na escala de tempo

de x quando e definido por

g : IR→ IRt 7→ g(t) = x(αt) ∀t

onde α e um real.

Exemplo 2.3.1 Seja um sinal x representado graficamente; os sinais g e hdados por g(t) = x(2t) e h(t) = x(t/2) tem seus graficos esquematizados nafigura 2.4 a seguir.

Quando se deseja comparar em um mesmo grafico sinais com escalasde tempo muito diferentes deve-se muda-las. Para fenomenos lentos usa-seα > 1, o que comprime o grafico e corresponde a uma “aceleracao” do tempo;para sinais rapidos o parametro α deve ser menor que a unidade, pois istodilata o grafico e “reduz” a escala de tempo.

Definicao 2.3.2 O sinal g resulta de um deslocamento na escala de

tempo de x quando a sua lei de associacao e dada por

g : IR→ IRt 7→ g(t) = x(t−∆) = Q∆x(t) ∀t

onde ∆ e um real.

5

✲

✻

−2 −1 1 2 3 4 5


✲

✻

−2 −1 1 2 3 4 5

g : IR→ IR

t 7→ g(t) = x(2t)

✲

✻

−2 −1 1 2 3 4 5

h : IR→ IRt 7→ h(t) = x(t/2)

Figura 2.4: Alteracao da escala de tempo de um sinal; nota-se uma com-pressao para α > 1 e uma dilatacao para 0 < α < 1.

Esta operacao elementar e responsavel pela translacao linear dos graficos:quando ∆ > 0 o sinal se move ∆ unidades para a direita, quando ∆ < 0 odeslocamento e para a esquerda, e medido pelo modulo de ∆. Em ambos oscasos as formas e dimensoes angulares dos graficos sao preservadas.

Exemplo 2.3.2 Seja o mesmo sinal x do exemplo anterior; os sinais g eh dados respectivamente por g(t) = Q2x(t) = x(t − 2) e h(t) = Q−2x(t) =x(t + 2) tem seus graficos esquematizados na figura 2.5.

Quando um sinal e deslocado para a direita (∆ > 0) diz-se que ele foiatrasado; em caso de deslocamentos para a esquerda, ocasionados por ∆ <0, diz-se que o sinal foi adiantado. Sinais deslocados apresentam exatamenteo mesmo formato, a diferenca entre eles residindo apenas no inıcio da escalade tempo. Eles podem representar fenomenos identicos que se iniciam eminstantes diferentes.

Definicao 2.3.3 O sinal g resulta de uma inversao na escala de tempo

de x quando a sua lei de associacao e dada por

g : IR→ IRt 7→ g(t) = x(−t) ∀t

6

✲

✻

−2 −1 1 2 3 4 5


✲

✻

−2 −1 1 2 3 4 5

g : IR→ IR

g(t) = x(t− 2)

✲

✻

−2 −1 1 2 3 4 5

h : IR→ IRh(t) = x(t + 2)

Figura 2.5: Translacao linear da escala de tempo de um sinal, deslocamentopara a direita, ou atraso de sinal, quando ∆ > 0 e para a esquerda, ouadiantamento, quando ∆ < 0.

Esta operacao elementar e responsavel pela rotacao do grafico em tornodo eixo vertical. O sinal cuja escala de tempo foi invertida e o sinal ori-ginal apresentam graficos simetricos com relacao ao eixo vertical. Algumassituacoes do mundo real podem ser representadas por esta operacao elemen-tar: invertendo a velocidade de operacao de um aparelho reprodutor de sinaisgravados de audio (fitas magneticas ou discos) obteremos um sinal cuja escalade tempo foi invertida.

Exemplo 2.3.3 Seja o mesmo sinal x do exemplo anterior; o sinal g dadopor g(t) = x(−t) tem seu grafico esquematizado na figura 2.6.

Operacoes matematicas tradicionais, como por exemplo a soma e a mul-tiplicacao, quando aplicadas a sinais tem o efeito, previsıvel, de produziroutros sinais. Elas sao exemplos simples de operacoes binarias: a cada parde sinais x1 e x2 se associara um unico sinal resultante g. De particularinteresse no estudo de sinais e sistemas e a operacao binaria da convolucao.

Definicao 2.3.4 A convolucao entre os sinais x1 e x2, denotada por g =x1 ∗ x2 e dada por

g(t) = x1(t) ∗ x2(t) =∫ ∞

−∞x1(t− τ)x2(τ)dτ

7

✲

✻

−2 −1 1 2 3 4 5


✲

✻

−2 −1 1 2 3 4 5

g : IR→ IRt 7→ g(t) = x(−t)

Figura 2.6: Inversao da escala de tempo de um sinal

A partir da definicao acima seria simples demonstrar, por substituicao devariaveis, que a convolucao e comutativa, ou seja

g(t) = x1(t) ∗ x2(t) =∫ ∞

−∞x1(τ)x2(t− τ)dτ = x2(t) ∗ x1(t)

A importancia da convolucao se vera mais a frente, no estudo de opera-dores e de sistemas. O uso da definicao acima, em qualquer de seus formatos,para o calculo da convolucao de dois sinais, salvo em casos particularıssimos,e trabalho pesado e difıcil; sempre se procurara caminhos para contornarestas dificuldades de calculo.

2.4 Energia e potencia de sinais

A potencia instantanea dissipada em um resistor atraves do qual flui umacorrente i e dada por Ri2(t); a energia dissipada nesse instante e Ri2(t)dt.Integrando esta ultima expressao entre t1 e t2 > t1 encontramos a energiadissipada no intervalo [t1 t2]; dividindo este valor por t2 − t1 encontramosa potencia media dissipada no intervalo. Estas relacoes sao bem conhecidasda Fısica, e se estivessemos estudando energia e potencia em outras formas,como por exemplo energia cinetica de massas em movimento, as expressoes se-riam semelhantes, sempre envolvendo a integracao no tempo de uma variavelao quadrado. Isto conduz a algumas generalizacoes.

Definicao 2.4.1 A energia de um sinal x(t), no intervalo [a b], e dada por

E[a b] =∫ b

a|x(t)|2dt

8

Definicao 2.4.2 A potencia media de um sinal x(t), no intervalo [a b],e dada por

P[a b] =1

b− a∫ b

a|x(t)|2dt

O modulo | · | nas expressoes acima e desnecessario, para sinais reais,pois a grandeza x(t) sera elevada ao quadrado; a sua presenca e justificadaporque estas definicoes servem tambem para sinais complexos, onde ele faratoda a diferenca. A energia e a potencia podem se referir aos sinais comoum todo, e nao apenas a determinados intervalos. Para isto basta fazer osintervalos simetricos com relacao a origem — [a b] = [−T T ] — e aumentarindefinidamente suas larguras.

Definicao 2.4.3 A energia contida em um sinal x(t) e dada por

E = limT→∞

∫ T

−T|x(t)|2dt

Definicao 2.4.4 A potencia media de um sinal x(t) e dada por

P = limT→∞

1

2T

∫ T

−T|x(t)|2dt

Quando a energia de um sinal e finita, 0 < E < ∞, diremos que setrata de um sinal de energia. E claro que a potencia destes sinais e nula.Quando a potencia de um sinal e finita, 0 < P < ∞, diremos que se tratade um sinal de potencia. Neste caso a energia e nao limitada: E → ∞.Se E →∞ e P →∞ temos sinais que sao OK na matematica, mas que naopodem existir no mundo real, pois algo satura, queima ou explode.

2.5 Sinais Singulares

As funcoes singulares definidas abaixo, alem de desempenharem um desta-cado papel teorico, como se vera, podem representar bastante bem situacoespraticas importantes.

Definicao 2.5.1 Um degrau unitario e definido como

1(t) =

{

0 para t < 01 para t ≥ 0

Um grafico para este sinal pode ser visto na figura 2.7. Um degrau naounitario e obtido pela multiplicacao por uma constante real: A 1(t). Degraus,unitarios ou nao, podem aproximar bastante bem o que acontece quandoinstantaneamente ligamos um aparelho ou fechamos um contacto.

9

Definicao 2.5.2 Uma rampa unitaria e definida como

r(t) = t.1(t) =

{

0 para t < 0t para t ≥ 0

Rampas, unitarias ou nao, podem ser empregadas para traduzir grandezascrescentes (ou decrescentes) com o tempo. E logico que, na pratica, umsinal pode crescer, ou cair, apenas durante uma janela de tempo de larguralimitada, sob pena de perda de componentes. A figura 2.7 tambem mostrauma rampa.

✲

✻

1

degrau unitario

t

•

✲

✻

t

rampa

Figura 2.7: Sinais singulares: um degrau unitario e uma rampa que seraunitaria se sua inclinacao for π/4.

Uma rampa unitaria pode ser obtida, matematicamente, pela integracaoao longo do tempo de um degrau unitario. A integracao de uma rampa, porsua vez, leva a uma

Definicao 2.5.3 Uma parabola unitaria e definida como

p(t) =

{

0 para t < 0t2/2 para t ≥ 0

Os conceitos de rampas e parabolas nao unitarias sao evidentes. Osgraficos para estes sinais seriam plotados de maneira direta. A parabola e aintegral da rampa que e a integral do degrau. Em sentido inverso, derivandoum sinal singular obtemos o anterior:

r(t) =d

dtp(t)

1(t) =d

dtr(t)

Este procedimento de integracoes e derivacoes leva a outros sinais sin-gulares: parabolas cubicas, quarticas, etc. Combinando sinais singulares eoperacoes elementares e possıvel obter uma classe mais rica de sinais.

Exemplo 2.5.1 Para analisar a soma de dois degraus deslocados x(t) =1(t− 1)− 1(t− 2) deve-se plotar, em um mesmo grafico, os dois sinais:

10

✲

✻1

−1t1

2 cuja soma e ✲

✻1

−1t1 2

O mesmo procedimento aplicado a x(t) = (t− 1)1(t− 1) leva

✲

✻1

−1

t1cuja soma e ✲

✻1

−1t1

E certo que a combinacao de sinais singulares e operacoes elementarespermite descrever um numero grande de outros sinais, como ilustrado acima.Por outro lado, sinais pertencentes a uma certa classe, a dos sinais singula-res por partes, podem ser descritos como uma combinacao exata de sinaissingulares.

Exemplo 2.5.2 Seja o sinal singular por partes ilustrado pela figura 2.8abaixo. E possıvel descreve-lo matematicamente usando expressoes apropri-adas para cada um dos intervalos envolvidos. Assim, x(t) = 0 para t < 0,x(t) = 1 para 0 ≤ t < 1, x(t) = 2− t para 1 ≤ t < 2 e x(t) = 0 para t ≥ 2.

✲

✻

−1 1 2 3 t

x(t)

1

Figura 2.8: Sinal singular por partes

Mas e muito mais elegante encontrar uma expressao analıtica baseada emsinais singulares. O trecho constante e com amplitude unitaria entre 0 e 1,por exemplo, pode ser descrito por 1(t)−Q11(t) = 1(t)−1(t−1). Raciocıniossimilares levariam a expressao analıtica final:

x(t) = 1(t)− 1(t− 1) + (2− t)1(t− 1) + (t− 2)1(t− 2)

Confiram, leitores!

Assim se ve que sinais pertencentes a esta classe dos singulares por partespodem ser exatamente decompostos em um soma de sinais singulares. Masoutros sinais, nao necessariamente deste tipo, podem ser aproximados poruma soma de sinais singulares. Quanto maior o numero de sinais singularesusado, melhor a aproximacao.

11

2.5.1 Pulsos e Impulsos Unitarios

Os impulsos unitarios permitirao decompor exatamente sinais de qualquernatureza, proporcionando um refinamento dos desenvolvimentos anteriores.Para iniciar precisaremos do conceito de pulso unitario.

Definicao 2.5.4 Um pulso unitario de largura ∆ aplicado em τ , de-signado por δ∆(t−τ) ou p∆(t−τ) e definido como (1/∆)[1(t−τ)−1(t−τ−∆)]ou, alternativamente, como

δ∆(t− τ) = p∆(t− τ) =

0 para t < τ1/∆ para τ ≤ t < τ +∆0 para τ +∆ ≤ t

O pulso tem area unitaria (daı o nome), e aplicado a partir do instanteτ , e tem a duracao ∆, como visto na figura 2.9. O sinal δ∆(t) esta encostadono eixo vertical, e um pulso que comeca em t = 0 e termina em t = ∆.

•τ τ +∆ t

✻

1∆

• δ∆(t− τ)

✲

Figura 2.9: Pulso unitario de largura ∆

Passamos agora a indicar, sem demonstracoes muito formais, que todafuncao contınua por partes pode ser aproximada por uma soma de pulsos.Considere a figura 2.10 abaixo, que ilustra o grafico de um sinal x(t), e ondeo eixo do tempo foi dividido em faixas de largura ∆.

✲ti t

✻x

•

Figura 2.10: Aproximacao de um sinal por soma de pulsos

O pulso, de largura ∆ mas nao unitario, que se inicia no instante ti podeser representado por

12

x(ti)δ∆(t− ti)∆

A soma de todos estes pulsos constitui o que se chama de aproximacaoconstante por partes, ou tipo escada, para o sinal x e podemos escrever

x ≈∑

i


A figura 2.10 acima ilustra o fato de uma funcao x constante por partespoder ser aproximada por uma serie de pulsos nao necessariamente unitarios.Quanto mais proximos forem os instantes de amostragem ti ou, equivalen-temente, quanto menor for ∆, melhor sera a aproximacao. Assim, paramelhorar esta aproximacao devemos usar o limite dela quando ∆ → 0. Oque acontece com o pulso unitario nesta situacao?

Definicao 2.5.5 O Impulso Unitario ou “funcao” Delta de Dirac,

simbolizada por δ(t− τ) e um sinal que satisfaz

δ(t− τ) ={

0 para t 6= τ∞ para t = τ

com a restricao adicional de ter area unitaria:

∫ ∞

−∞δ(t)dt = 1

Evidentemente a ideia exposta acima nao pode ser traduzida pelo con-ceito matematico de funcao. Podemos estabelecer rigorosamente sua validadeapenas usando o conceito de distribuicao, o que nao sera visto aqui. Pro-cederemos, para todos os efeitos, como Dirac (circa 1932) ao considerar oimpulso como o limite de um pulso:

δ(t− τ) = lim∆→0

δ∆(t− τ)

A figura 2.11 ilustra alguns pulsos unitarios com larguras decrescentes, eisto permite entender o limite acima. Baseados nesta “definicao” podemosconsiderar o impulso como uma acao extremamente intensa e de duracaoextremamente curta. Os impulsos sao muito importantes por causa de suaspropriedades teoricas e, embora sejam irreprodutıveis no mundo fısico, podemser bastante bem aproximados por pulsos unitarios rapidos.

13

✲t

✻

τ

1∆

2∆

4∆

δ∆/4(t− τ)

δ∆/2(t− τ)

δ∆(t− τ)quando ∆→ 0

δ∆(t− τ)→ δ(t− τ)

Figura 2.11: A amplitude de pulsos unitarios aumenta quando suas largurasdiminuem: no limite, esta sequencia leva ao impulso unitario.

2.5.2 Propriedades do impulso unitario

Para uma demonstracao formal e rigorosa destes resultados seria necessariousar a teoria das distribuicoes, o que nao sera feito aqui. Um entendimentorazoavel pode ser obtido ao se considerar o impulso unitario como o limitedo pulso quando ∆→ 0; os leitores sao instados a verificar isso.

1. Sendo x um sinal contınuo em t = 0:∫ ∞

−∞x(t)δ(t)dt = x(0)

2. Sendo x um sinal contınuo em t = t0:

∫ ∞

−∞x(t)δ(t− t0)dt = x(t0)


∫ t2

t1x(t)δ(t− t0)dt =

{

x(t0) se t1 < t0 < t20 se t0 6∈ (t1, t2)

4. Alteracao na escala de tempo δ(at) = 1|a|δ(t)

5. Inversao na escala de tempo δ(−t) = δ(t)

6. Multiplicacao por x(t) x(t)δ(t− t0) = x(t0)δ(t− t0)

7. Derivacao ddt1(t) = δ(t)


∫ t2

t1x(t)δ(m)(t− t0)dt =

{

(−1)mx(m)(t0) se t1 < t0 < t20 se t0 6∈ (t1, t2)

14

9. Decomposicao em Impulsos. A aproximacao de um sinal, por uma somade pulsos, tambem chamada de decomposicao em escada do sinalja foi vista anteriormente e pode ser sintetizada pela figura 2.10 e pelaexpressao que a segue, aqui repetida:

x ≈∑

i


Para melhorar a aproximacao faremos ∆ → 0. Com isto, ti → τ ,∆→ dτ , δ∆(t− ti)→ δ(t− τ) e ∑→ ∫

o que nos permite escrever

x(t) =∫ ∞

−∞x(τ)δ(t− τ)dτ

2.6 Sinais eternos, os outros e simetrias

Do ponto de vista matematico uma funcao real de variavel real e definidapara valores de t variando de −∞ a ∞ e pode assumir valores nao nulosem qualquer ponto desse intervalo. Um sinal representado por uma dessasfuncoes recebe o nome de eterno ou bilateral ou ainda de duas bandas.Exemplos: t, e2t, sen (7t) etc. Sinais assim existem no mundo real?

Definicao 2.6.1 Um sinal x(t) e chamado unilateral ou de uma banda

quando x(t) = 0 para t < 0.

Sinais unilaterais sao menos restritivos do que pode parecer a primeiravista. Eles sao, de fato, mais naturais ate do que os sinais eternos, porque nomundo real tudo comeca, tudo tem inıcio em um certo instante do tempo, ouentao, mesmo que algum fenomeno ja esteja ocorrendo, comecamos a observa-lo a partir de um certo instante. E sempre possıvel associar t = 0 a esteinstante inicial e desconsiderar o passado, e e exatamente aqui que entramos sinais unilaterais. E facil perceber que um sinal x qualquer multiplicadopor um degrau unitario, x(t)1(t), e unilateral. Exemplos: t.1(t), e2t.1(t),sen (7t).1(t) etc.

Na maioria das situacoes praticas os sinais, alem de um comeco bemdeterninado, tambem terminam em instantes precisos e conhecidos. Temosagora os sinais com horizonte de tempo finito, que se anulam fora dointervalo [t0 tf ] onde sao definidos. Exemplos: t.[t−1(ti)−1(t−tf )], e2t.[1(t−ti)− 1(t− tf )], sen (7t).[1(ti)− 1(tf)] etc.

Alguma caracterısticas muito facilmente verificaveis de sinais podem gerarsimplificacoes significativas em um grande numero de situacoes.

Definicao 2.6.2 Um sinal x sera chamado de par quando x(−t) = x(t) ∀t ∈IR. Quando x(−t) = −x(t) ∀t ∈ IR ele sera chamado de ımpar.

15

Sinais pares sao aqueles cujos graficos sao simetricos com relacao ao eixovertical, como por exemplo |t|, cos(ωt), etc. Nos sinais ımpares o graficoda curva para valores negativos e obtido rebatendo a curva para valorespositivos em torno do eixo vertical, em primeiro lugar, e depois em torno doeixo horizontal; a origem do plano e um foco de simetria. Como exemplostemos t, sen (ωt), etc. Estes tipos de simetria claramente nao se aplicam asinais unilaterais.

2.7 Sinais Periodicos

A definicao e classica e, certamente, conhecida de todos.

Definicao 2.7.1 Um sinal x(t) e periodico se e somente se existe T ∈ IRtal que x(t + T ) = x(t) ∀t ∈ IR.

O menor valor de T que satisfaz a definicao e chamado de perıodo fun-damental, ou simplesmente perıodo, e recebe o sımbolo T0. O conceito defrequencia e tambem conhecido.

f0 = 1/T0 → frequencia linear fundamental

ω0 = 2π/T0 → frequencia angular fundamental

A figura 2.12 mostra um sinal periodico com um seu possıvel perıodofundamental. Sinais periodicos sao eternos, tem energia infinita mas potenciafinita que pode ser calculada ao longo de um unico perıodo:

P =1

T0

∫ t+T0

t|x(t)|2dt

✲t

✻

✲✛T0

Figura 2.12: Sinal Periodico qualquer e um seu possıvel perıodo fundamental;f0 = 1/T0 e ω0 = 2π/T0.

A classe das funcoes periodicas e rica e importante, sendo os sinais harmonicosou trigonometricos seus representantes mais tıpicos, nobres, simples e conhe-cidos. Um sinal senoidal, recordemos, e descrito por

x(t) = A sen (ω0t) = A sen (2πf0t) = A sen (2πt/T0)

16

cujo grafico e bastante conhecido: oscilacoes com amplitude A.

✲t

✻

• •T0 = 2π/ω0

Um seno e um sinal ımpar com potencia

P =1

T0

∫ T0

0A2

0 sen2(ω0t)dt =

A20

T0

[

t

2− sen (2ω0t)

4ω0

]T0

0

=A2

0

2

A expressao analıtica para uma senoide deslocada e x(t) = A sen (ω0t+θ)onde θ recebe o nome de fase ou defasagem, e cujo grafico e

✲t

✻

Esta curva e identica a anterior e, supondo a defasagem positiva, foideslocada θ/ω0 unidades de tempo para a esquerda. Uma senoide deslocadade π/2 radianos representara um sinal cossenoidal

x(t) = A sen (ω0t± π/2) = ±A cos(ω0t)

onde o aspecto continua identico, apenas a fase difere. Um co-seno e umsinal par com potencia A2

0/2.

✲t

✻

O que acontece quando somamos duas senoides? Ha sempre uma certaexpectativa de que ao se juntar duas ou mais coisas de um certo tipo oresultado final seja uma coisa deste mesmo tipo. Assim, ao se somar senos (ou

17

cossenos) se obteria outros senos (ou cossenos). Sejam dois sinais senoidaisgerais expressos como abaixo

x1(t) = A1 sen (ω1t + θ1) e x2(t) = A2 sen (ω2t + θ2)

A obtencao da sua soma x(t) = x1(t) + x2(t) pode ser razoavelmentecomplicada. Nem mesmo a periodicidade deste sinal pode ser assegurada nocaso geral. E possıvel mostrar que a soma de sinais senoidais como estes seraum sinal periodico quando a razao entre seus perıodos for racional:

T1T2

=f2f1

=ω2

ω1e racional

Isto pode ser generalizado para uma soma com varias parcelas.

Fato 2.7.1 O sinal a1 cos(ω1t) + a2 cos(ω2t) + · · · + ak cos(ωkt) e periodicose existir um ω0 ∈ IR tal que

ω1 = n1ω0

ω2 = n2ω0...ωk = nkω0

onde os n1, n2, . . . , nk sao inteiros

Vemos assim que uma soma de senoides sera um sinal periodico quandosuas frequencias forem multiplas inteiras de uma frequencia basica ω0. Fre-quencias com esta propriedade sao chamadas de harmonicas, e assim dirıamosque a soma de senoides com frequencias harmonicas e um sinal periodico.

Exemplo 2.7.1 Seguem abaixo os graficos de x1(t) = sen t, x2(t) = sen t+(1/3) sen (3t) e x3(t) = sen t+ (1/3) sen (3t) + (1/5) sen (5t).

✲t

✻x1(t) = sen (t)

✲t

✻x2(t) = sen (t) + sen (3t)/3

18

✲t

✻x2(t) = sen (t) + sen (3t)/3 + sen (5t)/5

Verificamos que os sinais sao periodicos.

Conjectura

Um dos objetivos basicos da teoria de sinais e o de decomporum sinal qualquer em uma soma de sinais mais simples. Isto jafoi visto para os sinais singulares, e agora estamos em um pontoparecido: a soma de senoides harmonicas gera sinais periodicos.E se partirmos de um sinal periodico qualquer, que se pode dizer?Sera possıvel decompo-lo em senoides basicas? Ja no seculo XVIIIalguns matematicos davam respostas positivas a esta conjectura,mas problemas que apareciam quando se aplicava as ideias a sinaisdescontınuos eram considerados graves e desencorajavam o estudodeste campo. No final desse seculo Jean Baptiste Joseph Fouriervoltou a defender essa decomposicao, alem de outras coisas. Aaceitacao completa viria meio seculo depois, com os trabalhos deDirichlet que apresentavam com rigor as condicoes sob as quaisa decomposicao e valida. Mas para efeitos historicos o nome deFourier ficou associado a essa ideia de expressar um sinal periodicoqualquer como uma soma de senoides.

2.8 Serie de Fourier

Apresentaremos as tres formas basicas dessa serie, comecando pela mais in-tuitiva, a trigonometrica e terminando com a exponencial, mais util. Masantes virao os resultados que garantem a existencia da Serie de Fourier. Einteressante comentar que estas condicoes nao sao devidas a Fourier, elasvieram decadas depois.

Teorema 2.8.1 Se um sinal periodico x(t) satisfaz as condicoes seguintespode-se encontrar a sua decomposicao em Serie de Fourier:

1. O sinal x(t) apresenta um numero finito de maximos e mınimos rela-tivos em um perıodo qualquer.

2. O sinal x(t) apresenta um numero finito de descontinuidades finitas emum perıodo qualquer.

19

3. O sinal x(t) e absolutamente integravel em intervalos finitos:

∫ t0+T

t0|x(t)|dt <∞ ∀t0, ∀T

Estas sao conhecidas como as Condicoes de Dirichlet. De uma maneira ge-ral elas sao bastante suaves, isto e, valem para a maioria dos sinais periodicosde interesse. Elas fornecem condicoes apenas suficiente para a existencia daserie de Fourier, ou seja, mesmo que elas falhem para um determinado sinal,nao se pode garantir a inexistencia da serie para ele. No restante do texto,mesmo que nao haja mencao explıcita, se supora que os sinais satisfazemDirichlet.

2.8.1 Serie de Fourier: Forma Trigonometrica

Sendo x(t) um sinal periodico que satisfaz Dirichlet e possıvel decompo-loem uma soma de senoides harmonicas

x(t) = a0 +a1 cos(ω0t) + a2 cos(2ω0t) + · · ·+b1 sen (ω0t) + b2 sen (2ω0t) + · · ·

= a0 +∞∑

k=1

ak cos(kω0t) +∞∑

k=1

bk sen (kω0t)

onde ω0 e a frequencia angular fundamental de x(t). Muito provavelmenteeste foi o ponto de partida de Fourier, o importante e genial avanco sobre oque se conhecia ate a epoca. Alem desta ideia basica ele forneceu tambemmetodos para se obter os coeficientes; para o calculo dos a0, ak e bk a regrae integrar ao longo de um perıodo. Como as integrais de senos e cossenosse anulam teremos informacoes sobre os coeficientes. Sendo T0 = 2π/ω0 operıodo fundamental e facil ver que

∫ T0

0x(t)dt =

∫ T0

0a0dt + 0 + · · · 0 + · · ·

= a0

∫ T0

0dt = a0T0

de onde podemos tirar uma expressao para o coeficiente a0

a0 =1

T0

∫ T0

0x(t)dt

Este coeficiente a0 e tambem conhecido como o termo DC da serie. Multi-plicando x(t) por cos(ω0t) e integrando ao longo de um perıodo verificarıamos

20

que todos os termos se anulam, exceto aquele associado ao coeficiente a1. Se-guindo este raciocınio podemos estabelecer as seguintes formulas:

a0 =1

T0

∫ T0

0x(t)dt

ak =2

T0

∫ T0

0x(t) cos(kω0t)dt ∀k > 0

bk =2

T0

∫ T0

0x(t) sen (kω0t)dt ∀k > 0

Aplicando estas expressoes podemos expandir sinais periodicos dados emsuas series de Fourier. Dependendo do sinal podemos ter um numero finitode termos ou infinito. Se o sinal analisado apresentar algum tipo de simetriahavera simplificacoes no calculo de seus coeficientes. As propriedades desimetria de sinais vistas anteriormente pode-se adicionar mais uma.

Definicao 2.8.1 Um sinal periodico x(t) apresenta simetria ımpar de

meia-onda quando x(t± T0/2) = −x(t) ∀t ∈ IR.

A demonstracao de como estas propriedades de simetria simplificam ocalculo dos coeficientes nao e difıcil, e sera omitida. Os leitores interessadosfacilmente verificarao a validade do Fato abaixo.

Fato 2.8.1 Se x(t) e um sinal periodico par entao bk = 0 ∀k, ou seja, a suaserie de Fourier e composta apenas de cossenos.

Se x(t) e um sinal periodico ımpar entao ak = 0 ∀k, ou seja, a sua seriede Fourier e composta apenas de senos.

Se x(t) e um sinal periodico com simetria ımpar de meia-onda entaoak 6= 0 ⇔ k = (2m + 1), e bk 6= 0 ⇔ k = (2m + 1), ou seja, a sua serie deFourier e composta apenas dos termos ımpares a1, b1, a3, b3, . . .

Exemplo 2.8.1 Onda quadrada para a qual um dos perıodos e dado porx(t) = A para 0 < t ≤ T0/2 e x(t) = −A para T0/2 < t ≤ T0. O grafico paraeste sinal e:

✲t

✻

−A

A

T0 = 2π/ω0

Sua potencia pode ser calculada pela aplicacao da formula:

P =1

T0

∫ T0

0A2dt = · · · = A2.

21

O termo DC e nulo, como seria facil verificar; como o sinal e ımpar teremosak = 0 e havera apenas termos senoidais.

bk =2

T0

∫

T0

x(t) sen (kω0t)dt =2A

T0

[

∫ T0/2

0sen (kω0t)dt−

∫ T0

T0/2sen (kω0t)dt

]

=2A

kπ[1− cos(kπ)] = 4A

kπquando k e ımpar, e 0 quando k e par.

A expansao final, a serie de Fourier na forma trigonometrica, e dada por:

x(t) =4A

πsen (ω0t) +

4A

3πsen (3ω0t) +

4A

5πsen (5ω0t) + · · ·

Sendo Pk = a2k/2+b2k/2 a potencia do k-esimo harmonico, e facil calcular

P1 =1

2

(

4A

π

)2

=8A2

π2donde

P1

P=

8

π2≈ 0.8106⇔ 81.06%

Para os harmonicos 3 e 5:

P3

P=

8

9π2≈ 0.0901⇔ 9.01% e

P5

P=

8

25π2≈ 0.0324⇔ 3.24%

Somando estas parcelas percebe-se que uma aproximacao para x(t) ate oharmonico k = 5 reteria aproximadamente 93.31% da potencia total do sinal.Plotando estes termos, para valores adequados de A e ω0, terıamos algo javisto anteriormente, procurem aı atras.

Esta onda quadrada apresenta descontinuidades. Em um ponto qual-quer, por exemplo t = T0/4 terıamos x(t) = A, pela definicao do sinal; pelaexpansao em serie terıamos

x(T0/4) =4A

π

(

senπ

2+

1

3sen

3π

2+

1

5sen

5π

2+ · · ·

)

=4A

π

(

1− 1

3+

1

5− 1

7+

1

9− · · ·

)

=4A

π

π

4= A

como seria de se esperar. Supondo que no sinal dado houvesse uma descon-tinuidade isolada em t = T0/4, ou seja, o valor do sinal nesse ponto passariaa ser um valor finito A′ 6= A. Os procedimentos para a obtencao da seriepermaneceriam inalterados e ela continuaria a mesma. Isto significa que umnumero finito de descontinuidades pontuais finitas nao altera a serie de Fou-rier. Por outro lado, se usarmos a serie acima para calcular o valor do sinalem t = 0 obteremos x(0) = 0. Mas o nosso sinal nao e definido neste ponto.Em geral, quando x(t) tem descontinuidades do tipo salto, a serie de Fourierconverge para o ponto medio.

22

Exemplo 2.8.2 Onda triangular dada por x(t) = 4Af0t+A para −(T0/2) ≤t ≤ 0 e x(t) = −4Af0t + A para 0 ≤ t ≤ (T0/2), onde f0 = 1/T0.

O grafico para este sinal e visto aolado. O termo DC e nulo, como efacil verificar. Aplicacao da formulaleva a potencia total do sinal: P =A2/3; sendo o sinal par, bk = 0 ehavera apenas termos cossenoidais.

✲t

✻A

−AT0=2π/ω0

• •

ak =2

T0

[

∫ 0

−T0/2

(

4A

T0t+ A

)

cos(kω0t)dt+∫ T0/2

0

(

A− 4A

T0t)

cos(kω0t)dt

]

=8A

T 20

[

∫ 0

−T0/2t cos(kω0t)dt−

∫ T0/2

0t cos(kω0t)dt

]

=4A

k2π2[1− cos(kπ)]

=8A

k2π2quando k e ımpar, e 0 quando k e par.

A expansao e dada por

x(t) =8A

π2cos(ω0t) +

8A

9π2cos(3ω0t) +

8A

25π2cos(5ω0t) + · · ·

Como no exemplo anterior, sendo Pk = a2k/2+b2k/2 a potencia do k-esimo

harmonico, e facil calcular

P1 =1

2

(

8A

π2

)2

=32A2

π4donde

P1

P=

96

π4≈ 0.9855⇔ 98.55%

Para os harmonicos 3 e 5:

P3

P=

32

27π4≈ 0.0122⇔ 1.22% e

P5

P=

96

252π4≈ 0.0016⇔ 0.16%

A importancia do harmonico fundamental e bem maior do que no caso daonda quadrada. Somando as contribuicoes, percebe-se que uma aproximacaopara x(t) ate o harmonico k = 5 reteria aproximadamente 99.93% da potenciatotal do sinal. Plotando estes termos, para valores adequados de A e ω0, aaproximacao resulta de alta qualidade;

✲t

✻

Exemplo 2.8.3 Uma senoide parcialmente retificada e obtida ao se reterapenas as partes positivas de uma senoide. Na metade de um perıodo qualquerterıamos x(t) = A sen (ω0t) e na outra metade x(t) = 0. O grafico e

23

✻

✲t

x(t)

A potencia pode ser calculada: P = A2/4. O termo DC sera dado por

a0 =1

T0

∫ T0

0x(t)dt =

A

T0

∫ T0/2

0sen (ω0t)dt =

A

π

As propriedades de simetria nao se aplicam, entao

ak =2

T0

∫ T0

0x(t) cos(kω0t)dt =

2A

T0

∫ T0/2

0sen (ω0t) cos(kω0t)dt

=2A

T0

[

− cos((k + 1)π)

2ω0(k + 1)+

cos((k − 1)π)

2ω0(k − 1)+

−1ω0(k + 1)(k − 1)

]

=A

π(k2 − 1)

[

−k − 1

2cos((k + 1)π) +

k + 1

2cos((k − 1)π)− 1

]

Quando k = 1 devemos integrar sen (ω0t) cos(ω0t) = sen (2ω0t)/2, cujoperıodo e T0/2 ao longo de meio perıodo: o resultado e zero. Excluindoesse valor podemos analisar a expressao acima de modo geral. Para valoresımpares de k os cossenos se tornam unitarios e temos

ak =A

π(k2 − 1)

[

−k − 1

2+k + 1

2− 1

]

= 0

Para valores pares de k os coeficientes serao nao nulos

ak =A

π(k2 − 1)

[

k − 1

2− k + 1

2− 1

]

=−2A

π(k2 − 1)

Para os coeficientes dos senos

bk =2

T0

∫ T0

0x(t) sen (kω0t)dt =

2A

T0

∫ T0/2

0sen (ω0t) sen (kω0t)dt

=2A

T0

(k + 1) sen ((k − 1)π)− (k − 1) sen ((k + 1)π)

2ω0(k + 1)(k − 1)

=A

2π(k2 − 1)[(k + 1) sen ((k − 1)π)− (k − 1) sen ((k + 1)π)]

Em valores pares de k os senos da expressao acima se anulam levando abk = 0. Para valores ımpares o mesmo raciocınio se aplica, desde que k 6= 1.Neste caso devemos resolver

b1 =2A

T0

∫ T0/2

0sen 2(ω0t)dt =

2A

T0

π

2ω0=A

2

24

Em resumo:

a0 =A

πak =

{

0 k ımpar−2A

π(k2−1)k par

bk =

{

A2

k = 10 k > 1

e a expansao e dada por

x(t) =A

π+A

2sen (ω0t)−

2A

3πcos(2ω0t)−

2A

15πcos(4ω0t)− · · ·

As potencias do nıvel DC e dos primeiros harmonicos sao

P0 =(

A

π

)2

=A2

π2donde

P0

P=

4

π2≈ 0.4053⇔ 40.53%

P1 =1

2

(

A

2

)2

=A2

8donde

P1

P=

1

2≈ 0.5000⇔ 50.00%

P2 =1

2

(

2A

3π

)2

=2A2

9π2donde

P2

P=

8

9π2≈ 0.0901⇔ 9.01%

P4 =1

2

(

2A

15π

)2

=2A2

152π2donde

P4

P=

8

152π2≈ 0.0036⇔ 0.36%

A contribuicao das parcelas diminui muito rapidamente com k: os harmonicos0,1,2,4 retem aproximadamente 99, 90% da potencia. Plotando estes surgeuma excelente aproximacao:

✲

✻

t

2.8.2 Serie de Fourier: Forma Cossenoidal

Sabemos da trigonometria que

a cosα + b senα = A cos(α + θ) onde

{

A =√a2 + b2

tan θ = −b/a

A expansao de um sinal periodico x(t) na forma trigonometrica da seriede Fourier e, pela secao anterior

x(t) = a0 +a1 cos(ω0t) + a2 cos(2ω0t) + · · ·+b1 sen (ω0t) + b2 sen (2ω0t) + · · ·

25

Usando a identidade acima podemos reescrever esta serie em uma formamais compacta

x(t) = A0 +∞∑

k=1

Ak cos(kω0t+ θk) onde

A0 = a0

Ak =√

a2k + b2k k ≥ 1

tan θk = −bk/ak k ≥ 1

A ideia basica permanece a mesma, decompomos um dado sinal em umasoma de sinais elementares. Este novo formato e considerado mais simplesporque envolve apenas cossenos; em compensacao cada um destes cossenosapresenta uma fase. Para cada harmonico, a amplitude Ak e a fase θk podemser calculados com o auxılio dos ak e bk obtidos na forma trigonometrica. Aspotencias sao: P0 = A2

0 para o nıvel DC e Pk = A2k/2 para um harmonico

generico.E costume apresentar os Ak e θk em forma grafica, plotados em funcao da

frequencia ω. Como estamos interessados apenas nas frequencias harmonicasωk, multiplas inteiras da frequencia fundamental ω0, estes graficos serao dis-cretos, ou seja, representarao grandezas definidas apenas para valores discre-tos das frequencias.

-2

0

2

2ω0 4ω0 6ω0 8ω0

⋆⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆

-2

0

2

2ω0 4ω0 6ω0 8ω0

⋆⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆

Estes graficos sao chamados de espectros discretos de uma banda.Note-se que para k = 0 a amplitude A0 e o ganho DC a0, e este pode ser umnumero real positivo, negativo ou nulo. Se for positivo teremos A0 = a0, comodiz a formula acima, mas a fase θ0 nao fica bem explicitada. Como cos 0 = 1podemos relacionar o ganho DC a um cosseno da forma a0 cos(0ω0t + 0), eassim se atribui uma fase θ0 = 0 ao ganho DC. Se a0 < 0 a formula acimadiria que A0 < 0 e isto causa algum embaraco, pois Ak ≥ 0 para todos osvalores positivos de k. Corrigirıamos este fato fazendo, para esta situacao deganho DC negativo, A0 = |a0| e θ0 = π.

Se, para um particular inteiro k o harmonico correspondente nao existir,basta colocar Ak = 0; mas e a fase θk, como defini-la? A rigor, o grafico dasfases nao deveria conter tais pontos, mas, como qualquer valor θk serviria,muitas vezes a escolha fica liberada. Deve-se sempre ter em mente que asfases de harmonicos para os quais Ak = 0 nao tem qualquer significado fısico,podendo estar presentes em alguns graficos por pura conveniencia estetica.

Exemplo 2.8.4 Para a onda quadrada do exercıcio 2.8.1 a serie de Fouriertrigonometrica era composta apenas de senos e e simples verificar que A0 =

26

a0 = 0, Ak = bk e θk = −π/2. O resultado e

x(t) =4A

πcos(ω0t− π/2) +

4A

3πcos(3ω0t− π/2) +

4A

5πcos(5ω0t− π/2) + · · ·

e os espectros sao

-2

0

2

2ω0 4ω0 6ω0 8ω0

⋆

⋆

⋆⋆⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆

-2

0

2

2ω0 4ω0 6ω0 8ω0

⋆

⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆

E imediato perceber que se x(t) e um sinal ımpar a sua serie trigo-nometrica e composta apenas por senos e, como no exemplo acima, deve-remos desloca-los de π/2: Ak = bk e θk = −π/2. Se o sinal x(t) e par, eleja e composto apenas por cossenos, e teremos Ak = ak e θk = 0, quandoak > 0. Se Ak < 0, devemos atrasar o sinal de π radianos para conseguiro efeito de subtrair o termo: θk = −π. Para ambos os casos, amplitudesAk = 0 indicam, como vimos, a inexistencia do harmonico associado a k, enestes casos, ou se omite a fase θk ou se pode escolhe-la de acordo com con-veniencias graficas. No caso acima, por exemplo, estas fases problematicasforam escolhidas com o mesmo valor das outras, −π/2, para manter umaaparencia suave das curvas. Apenas θ0 foi escolhida nula.

Exemplo 2.8.5 Para a onda triangular do exercıcio 2.8.2 a serie trigono-metrica era composta apenas de cossenos, donde θk = 0 ∀k e Ak = ak =

16Ak2π2

quando k e ımpar e 0 quando k e par. Os espectros sao

-2

0

2

2ω0 4ω0 6ω0 8ω0

⋆

⋆

⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆

-2

0

2

2ω0 4ω0 6ω0 8ω0

⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆

Percebemos uma predominancia muito grande do primeiro harmonico. Asfases problematicas, associadas aos harmonicos pares, e ao termo DC, foramescolhidas iguais a 0, por efeitos esteticos.

Exemplo 2.8.6 Para a senoide semi-retificada do exercıcio 2.8.3 a serie deFourier trigonometrica era composta por senos e cossenos

x(t) =A

π+A

2sen (ω0t)−

2A

3πcos(2ω0t)−

2A

15πcos(4ω0t)− · · ·

27

Temos entao A0 = a0 = A/π, A1 = b1 = A/2 e, para k ≥ 2,

Ak = 0 para k ımpar, e Ak =

∣

∣

∣

∣

∣

−2Aπ(k2 − 1)

∣

∣

∣

∣

∣

para k par.

Os ak sao negativos para alguns termos, e isto se traduz em θk = −π.Para os harmonicos ımpares ≥ 3 a fase e problematica, e, neste caso, foiconsiderada nula. Os espectros ficam

-1

0

1

2ω0 4ω0 6ω0 8ω0

⋆⋆⋆⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆

-4

-2

0

2

2ω0 4ω0 6ω0 8ω0

⋆

⋆

⋆

⋆

⋆

⋆

⋆

⋆

⋆

⋆

Continuamos a perceber uma predominancia muito grande dos primeirosharmonicos.

2.8.3 Serie de Fourier: Forma Exponencial

A serie de Fourier, na forma trigonometrica, de um sinal e

x(t) = a0 +∞∑

k=1

ak cos(kω0t) +∞∑

k=1

bk sen (kω0t)

onde os coeficientes sao calculados pela formulas

a0 =1

T0

∫ T0

0x(t)dt

ak =2

T0

∫ T0

0x(t) cos(kω0t)dt ∀k > 0

bk =2

T0

∫ T0

0x(t) sen (kω0t)dt ∀k > 0.

Cada harmonico e caracterizado por dois reais, as amplitudes ak e bkresponsaveis pelo calculo das potencias de cada harmonico. A forma trigo-nometrica e simples e intuitiva, mas mesmo assim a serie de Fourier pode serapresentada em um outro sabor, a forma co-senoidal:

x(t) = A0 +∞∑

k=1

Ak cos(kω0t+ θk)

com coeficientes calculados por

Ak =√

a2k + b2k θk = tan−1

(

bkak

)

.

28

Novamente, cada harmonico e caracterizado por dois reais, a amplitudeAk e a fase θk; apenas as amplitudes entram no calculo das potencias. Estaforma depende da trigonometrica, e, embora seja menos intuitiva, sera, de-certo, mais direta e concisa.

Antes de prosseguir, algumas interpretacoes graficas sobre a famosa iden-tidade de Euler. Pontos sobre uma circunferencia de raio unitario no planocomplexo, como ilustrado abaixo, sao descritos por cosα + j senα e tempropriedades muito especiais e semelhantes as das funcoes exponenciais. Oproduto entre dois destes pontos, por exemplo, depende apenas da soma dosangulos de cada um deles. A analise criteriosa destas propriedades permitiuque Euler associasse o sımbolo ejα a esses pontos: ejα = cosα+ j senα paratodo α ∈ IR. A figura abaixo tambem mostra o valor de alguns pontos nobresna circunferencia de raio unitario,

σ

jω

ejα

α

R=1

ej0 = · · · 1ejπ = · · · − 1

ejkπ = · · · ?

ejπ/2 = · · · jej3π/2 = · · · − jejkπ/2 = · · · ?

A identidade de Euler pode ser usada duas vezes para se obter uma ex-pressao para cosα em termos de exponenciais complexas:

ejα = cosα + j senαe−jα = cosα− j senα

}

=⇒ cosα =1

2ejα +

1

2e−jα

Aplicando para a expressao de um cosseno geral, com amplitude Ak, eargumento α = kω0t+θk e efetuando operacoes elementares nas exponenciais:

Ak cos(kω0t+ θk) =Ak

2ej(kω0t+θk) +

Ak

2e−j(kω0t+θk)

=Ak

2ejθkejkω0t +

Ak

2e−jθke−jkω0t.

Entrando com estes valores na expressao da serie de Fourier cossenoidalpara um sinal x(t):

x(t) = A0 +∞∑

k=1

Ak cos(kω0t + θk)

= A0 +∞∑

k=1

[(

Ak

2e−jθk

)

e−jkω0t +(

Ak

2ejθk

)

ejkω0t]

29

Reordenando os termos . . .

x(t) =∞∑

k=1

(

Ak

2e−jθk

)

e−jkω0t + A0 +∞∑

k=1

(

Ak

2ejθk

)

ejkω0t

batizando os coeficientes . . .

x(t) =∞∑

k=1

X−ke−jkω0t +X0 +

∞∑

k=1

Xkejkω0t

e colocando aos poucos . . .

x(t) = · · ·+X−2e−j2ω0t +X−1e

−jω0t +X0 +X1ejω0t +X2e

j2ω0t + · · ·

Trata-se de uma serie de exponenciais complexas ejkω0t acompanhadasde coeficientes tambem complexos Xk. As exponenciais sao associadas asfrequencias 0, ±ω0,±2ω0,±3ω0, ou seja aos harmonicos; e preciso esclarecerque estes harmonicos podem assumir valores negativos e que isto vem deuma comodidade puramente matematica. Os coeficientes, como qualquernumero complexo, podem ser descritos por Xk = Mejφ onde M = |Xk| e aamplitude do coeficiente e se relaciona com as amplitudes Ak, e φ = 6 Xk e afase, da expansao cossenoidal. Mais uma vez, ha dois reais associados a cadaharmonico: |Xk| e 6 Xk.

Em resumo, a serie de Fourier para x(t) pode ser apresentada como

x(t) =∞∑

k=−∞Xke

jkω0t

onde a relacao entre Xk ∈ C com os coeficientes antigos e

|Xk| = Ak/2 e 6 Xk = θk para k > 0

|X0| = A0 e 6 X0 = 0 para A0 > 0

|X0| = −A0 e 6 X0 = π para A0 < 0

|Xk| = A−k/2 e 6 Xk = −θ−k para k < 0

Esta forma exponencial ou complexa e mais uma maneira de expressara ideia de sempre; ela e, talvez, a forma mais compacta, elegante e eficientede fazer isso. As frequencias de cada harmonico aparecem nos expoentesdos termos, ao passo que os coeficientes carregam informacoes duplas, sobreas amplitudes e sobre as fases. O preco a se pagar por essa elegancia esimplicidade e o uso de numeros complexos, pois aparentemente se perde aligacao com o mundo real e com as interessantes interpretacoes da serie deFourier em termos de “componentes frequenciais” de sinais. Estes receios serevelam infundados, pois logo sob a superfıcie das exponenciais e coeficientescomplexos estao os familiares senos e cossenos.

30

As formulas acima indicam um possıvel modo de calculo para os coeficien-tes Xk, atraves dos parametros Ak e θk da forma cossenoidal. E estes podemser calculados com o auxılio dos ak e bk da forma trigonometrica. Isto pareceincomodo e trabalhoso, mas ha outros caminhos mais diretos. Fixemos uminteiro k e calculemos ao longo de um perıodo a integral

∫ T0

0x(t)e−jkω0tdt =

∫ T0

0

( ∞∑

n=−∞Xne

jnω0t

)

e−jkω0tdt

=∞∑

n=−∞Xn

∫ T0

0ej(n−k)ω0tdt = Xk

∫ T0

0dt

pois a integral se anula para valores nao nulos do expoente, como se veriaaplicando a formula de Euler a exponencial. Temos assim:

Xk =1

T0

∫ T0

0x(t)e−jkω0tdt

e esta e uma maneira incisiva e direta de calcular os coeficientes, sem precisarrecorrer a formas anteriores da serie.

Uma vez conhecidos os coeficientes Xk e costume plotar os graficos domodulo ou magnitude |Xk| e da fase 6 Xk em funcao da frequencia, cominteresse apenas nas frequencias harmonicas, ou seja, multiplas inteiras dafrequencia fundamental ω0. Estes graficos serao discretos, como antes. Adiferenca e que agora ha valores associados a inteiros k positivos e negativos.Por esta razao eles sao chamados de espectros discretos de duas bandas.E facil concluir que o espectro das magnitudes e par, porque |Xk| = |X−k| =Ak/2, e o espectro das fases e ımpar porque 6 Xk = −6 X−k

-4

-2

0

2

4

−5ω0−3ω0−ω0 ω0 3ω0 5ω0

⋆⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆

⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆⋆

-4

-2

0

2

4

−5ω0−3ω0−ω0 ω0 3ω0 5ω0

⋆ ⋆ ⋆ ⋆⋆⋆⋆⋆⋆⋆ ⋆ ⋆ ⋆

As amplitudes verticais do espectro de |Xk| sao a metade das amplitudescorrespondentes no espectro de Ak. Devemos notar que os problemas comas fases continuam, pois, se Xk = 0 para um dado k, e razoavel dizer que|Xk| = 0, mas que valor atribuir para 6 Xk ? Muitas vezes a analise caso acaso fornece resposta satisfatorias para estas complicacoes.

Exemplo 2.8.7 A serie de Fourier para a onda quadrada do exercıcio 2.8.1ja foi apresentada em suas formas trigonometrica e cossenoidal. Sabemos

31

que X0 = A0 = a0 = 0 e a formula acima leva a uma expressao geral para oscoeficientes complexos

Xk =1

T0

(

∫ T0/2

0Ae−jkω0tdt−

∫ T0

T0/2Ae−jkω0tdt

)

=A

jkω0T0

(

[−e−jkω0t]T0/20 + [e−jkω0t]T0

T0/2

)

=A

jk2π2(1− ejkπ) = j

A

kπ(cos(kπ)− 1)

Como o espectro das magnitudes e par e o das fases e ımpar basta analisaro coeficiente Xk para valores positivos de k. Assim, o termo cos(kπ)− 1 seanula para valores pares de k, e vale −2 para valores ımpares, donde Xk eum imaginario puro com parte imaginaria negativa ou nula. Para valoresımpares de k a fase vale claramente −π/2. Para valores pares (e positivos)de k o modulo se anula, mas podemos supor que Xk tende a origem do planocomplexo sobre o eixo imaginario negativo, donde e razoavel considerar asfases iguais tambem a −π/2. Em resumo:

k > 0 : |Xk| = Akπ(1− cos(kπ)) 6 Xk = −π

2

k < 0 : |Xk| = Akπ(cos(kπ)− 1) 6 Xk = π

2

e os espectros ficam

-1

-0.5

0

0.5

1

−5ω0−3ω0−ω0 ω0 3ω0 5ω0

⋆ ⋆ ⋆⋆⋆

⋆

⋆

⋆

⋆⋆⋆ ⋆ ⋆

-2

-1

0

1

2

−5ω0−3ω0−ω0 ω0 3ω0 5ω0

⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆

⋆

⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆

Notar que a fase para k = 0 foi escolhida nula porque o espectro das fasese ımpar.

Exemplo 2.8.8 Para a onda triangular do exercıcio 2.8.2 a expressao paraXk forneceria, apos os algebrismos

Xk =2A

k2π2(1− cos kπ)

Este coeficiente e sempre um numero real. Para valores ımpares e positi-vos de k temos Xk = 4A/(k2π2); para valores pares Xk se anula. O espectrodas magnitudes seria tracado sem problemas, e no espectro das fases podemosassociar aos harmonicos pares uma fase nula, justificando isto pelo fato deXk ser sempre um real positivo ou nulo.

32

Exemplo 2.8.9 Para o seno semi-retificado do exercıcio 2.8.3 obterıamos aseguinte expressao geral

Xk =A

2π(1− k2) (1 + cos kπ)

Para contornar a indeterminacao existente quando k = 1 pode-se usar aformula diretamente para este caso, resultando X1 = (−jA)/4. E de se notarque, tanto neste exemplo como nos imediatamente anteriores, o esforco parao manuseio de formulas e algebrismos em geral e sensivelmente menor doque no caso da forma trigonometrica.

Antes do proximo exemplo, consideremos a funcao sen (t)/t. Ela se anulapara multiplos inteiros de π, tem limites nulos quando t → ±∞ e limiteunitario quando t → 0, como seria facil verificar. E portanto uma funcaolimitada que oscila com amplitudes decrescentes. Como sen (−t) = − sen (t)ela e par. Usaremos uma versao chamada de funcao “sinc”

sinc (α) =sen (πα)

παque se anula nos inteiros

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

Exemplo 2.8.10 Considere um trem de pulsos quadrados de amplitude A,largura ∆ e perıodo T0.

✲t

✻

• •T0 = 2π/ω0

A

• •∆

Aplicando a formula geral para os coeficientes vem

Xk =1

T0

∫ T0

0x(t)e−jkω0tdt =

1

T0

∫ ∆

0Ae−jkω0tdt

=−A

jkω0T0

[

e−jkω0t]∆

0=−Ajk2π

(

e−jkω0∆ − 1)

=A

2kπ( sen (kω0∆)− j(1− cos(kω0∆))

33

Neste ponto se aplicam as conhecidas identidades trigonometricas parasen (2α) e cos(2α).

Xk =A

kπsen (kω0∆/2) [cos(kω0∆/2)− j sen (kω0∆/2)]

=A

kπsen (kω0∆/2)e

−jkω0∆

2

Usando a frequencia linear f0 = 1/T0 = ω0/(2π) chegarıamos a

Xk =Af0∆sen (kπf0∆)

kπf0∆e−jkπf0∆ = Af0∆sinc (kf0∆)e−jkπf0∆

de onde tiramos, diretamente, |Xk| = Af0∆ | sinc (kf0∆)| e

6 Xk =

{

−kπf0∆ para sinc (kf0∆) > 0−kπf0∆± π para sinc (kf0∆) < 0

Plotamos a seguir os espectros para f0 = 1, A = 4 e ∆ = 1/4

-0.4

0

0.4

0.8

1.2

-8 -4 0 4 8

⋆⋆⋆⋆⋆⋆

⋆

⋆

⋆⋆⋆⋆

⋆

⋆

⋆⋆⋆⋆

⋆⋆⋆

-3

-2

-1

0

1

2

3

-8 -4 0 4 8

⋆⋆⋆

⋆⋆⋆⋆

⋆⋆⋆⋆⋆⋆⋆

⋆⋆⋆⋆

⋆⋆⋆

Verifica-se que as magnitudes se anulam nos multiplos de 4. Seja agoraum pulso de mesma frequencia mas mais estreito, com f0 = 1, A = 8 e∆ = 1/8; os espectros sao

-0.4

0

0.4

0.8

1.2

-8 -4 0 4 8

⋆⋆⋆⋆⋆⋆⋆⋆⋆⋆⋆⋆⋆

⋆⋆⋆⋆⋆⋆⋆⋆

-3

-2

-1

0

1

2

3

-8 -4 0 4 8

⋆⋆⋆

⋆⋆⋆⋆⋆⋆⋆⋆⋆

⋆⋆⋆⋆⋆⋆

⋆⋆⋆

As magnitudes se anulam nos multiplos de 8, e isto quer dizer que oespectro fica mais largo e a contribuicao de harmonicos superiores cresce.Como a frequencia fundamental permanece a mesma a densidade das linhasespectrais nao muda, ou seja, a distancia, em Hz, entre dois harmonicosconsecutivos se mantem. Diminuindo indefinidamente a largura do pulsoterıamos ∆ → 0; se a amplitude aumentar de modo a manter unitarias asareas (A = 1/∆) o trem de pulsos se transforma em um trem de impulsos.

34

Os leitores sao gentilmente convidados a desenvolver as expressoes analıticase a tracar os espectros para este caso.

Seja agora um pulso de mesma frequencia mas mais largo: f0 = 1, A = 2e ∆ = 1/2. Os leitores sao mais uma vez convidados a tracar os espectros.E tambem a analisar o que acontece quando ∆→ T0; terıamos, claramente,uma funcao periodica muito particular, a funcao constante. Qual seria a suaexpansao em serie de Fourier? quais sao seus espectros?

Agora a largura e a amplitude dos pulsos permanecem constantes, masaumentamos o espacamento entre eles, ou seja, o perıodo T0. Para fixar asideias, A = 4, ∆ = 1/4 e T0 = 2. Seria facil verificar que as magnitudesse anulam no multiplos de 8, como no grafico imediatamente acima. A dife-renca e que agora o espacamento, em Hz, entre dois harmonico consecutivosdiminuiu, acompanhando f0: o espectro ficou mais apertado, a densidade daslinhas espectrais aumentou. Leitores, fizeram as curvas?

2.9 Energia e potencia no caso periodico

Conforme ja visto anteriormente, a energia e a potencia de um sinal saodadas, respectivamente, por

E = limT→∞

∫ T

−T|x(t)|2dt e P = lim

T→∞

1

2T

∫ T

−T|x(t)|2dt

Para sinais periodicos a energia e sempre infinita, e a potencia pode sercalculada analisando apenas um perıodo:

P =1

T0

∫ T0

0|x(t)|2dt

Aplicando a um sinal senoidal vem P = A2/2, uma conhecida relacao.Para encontrar a potencia de um sinal periodico qualquer em termos de suascomponentes harmonicas basta perceber que |x(t)|2 = x(t)x(t).

P =1

T0

∫ T0

0x(t)x(t)dt =

1

T0

∫ T0

0x(t)

( ∞∑

−∞Xke

jkω0t

)

dt

=∞∑

−∞Xk

1

T0

∫ T0

0x(t)ejkω0tdt

Seja a mudanca de variaveis discreta dada por k = −n; a expressao paraa potencia fica

P =−∞∑

n=∞X−n

1

T0

∫ T0

0x(t)e−jnω0tdt

=−∞∑

n=∞X−nXn =

∞∑

k=−∞XkX−k

=∞∑

k=−∞|Xk|2

35

Este e o teorema de Parseval e ensina a calcular a potencia de um sinal,a partir da distribuicao frequencial de suas amplitudes. No espectro depotencia de um sinal, muitas vezes usado em lugar do espectro de ampli-tudes, as grandezas |Xk|2 sao plotadas em funcao dos harmonicos k. Estesespectros facilitam o calculo da potencia total de um sinal, ou entao dapotencia em determinadas faixas de frequencias.

2.10 Sinais suaves e rıspidos

Sinais suaves sao caracterizados por predomınio das baixas frequencias, aopasso que sinais rıspidos ou abruptos tem uma contribuicao maior das altasfrequencias.

2.11 Resumo

Dado um sinal periodico sujeito a restricoes suaves podemos decompo-lo emum soma de senoides. A analise das amplitudes e fases destas senoides per-mite um conhecimento do sinal analogo ao conhecimento que se teria anali-sando a expressao analıtica x(t) dele.

Dizemos que e possıvel analisar um sinal periodico no domınio do tempo,atraves de sua expressao analıtica x(t), ou no domınio das frequencias, atra-ves dos coeficientes Xk ou dos espectros. Sao maneiras distintas porem equi-valentes de se entender sinais periodicos. Para passar de um domınio aooutro usamos as formulas desenvolvidas:

x(t) =∞∑

k=−∞Xke

jkω0t Xk =1

T0

∫

T0

x(t)e−jkω0tdt

2.12 Aplicacoes

Problema de amplificacao; amplificadores ideais e reais, distorcao.

2.13 Exercıcios

1. Considere o primeiro grafico da figura 2.4. Supondo que a escala doeixo vertical e a mesma da do horizontal, e que o sinal e singular porpartes, encontre para ele uma expressao analıtica com sinais singulares

2. Dentre os sinais abaixo, identificar os de energia e os de potencia; tracaros graficos para cada um deles.

(a) 1(t) + 5.1(t− 1)− 2.1(t− 2)

36

(b) 1(t) + 5.1(t− 1)− 6.1(t− 2)

(c) e−5t1(t)

(d) t.1(t) sen (2πt)

3. Calcule as integrais

∫ 10

0e−2tδ(t− 1)dt e

∫ +∞

−∞cos(πt)δ(t)dt

4. Encontrar os perıodos fundamentais e tracar os graficos para os sinais:

(a) sen (150πt)

(b) cos(40πt+ π/3) + sen (35πt)

(c) cos(40πt+ π/3) sen (35πt)

(d) cos(40πt+ π/3) sen (200πt)

(e) | sen (200πt)|(f) | cos(40πt+ π/3) sen (200πt)|

5. Plote a soma dos tres primeiros termos da serie

f(t) =2

π(cosω0t− (1/3) cos 3ω0t + (1/5) cos 5ω0t− · · ·)

6. Seja x(t) a senoide parcialmente retificada vista nas notas. Deslocando-a 1/4 de perıodo para a esquerda obtemos o sinal f(t) = x(t + T0/4).A partir da serie de Fourier obtida para x(t) encontre a serie para f eexplique os resultados.

7. Obtenha a serie de Fourier trigonometrica para os sinais a seguir:

(a) Seno retificado: x(t) = |A sen (ω0t)|(b) Seno “parabolico”. E uma funcao com perıodo T0 definida, em

um de seus perıodos por

x(t) =

−16AT 20

t2 + 8AT0t para 0 ≤ t ≤ T0

2

16AT 20

t2 − 24AT0t+ 8A para T0

2≤ t ≤ T0

(c) Onda quadrada definida, em um de seus perıodos, por:

x(t) =

A para −T0

4< t ≤ T0

4

−A para −T0

2< t ≤ −T0

4e T0

4< t ≤ T0

2

37

(d) Onda triangular definida, em um de seus perıodos, por:

x(t) =

4AT0t para 0 ≤ t ≤ T0

2

−4AT0t+ 2A para T0

2≤ t ≤ T0

(e) Onda escada definida, em um de seus perıodos, por:

x(t) =

A para 0 ≤ t ≤ T0

2

2A para T0

2≤ t ≤ T0

(f) Onda dente de serra definida, em um de seus perıodos, por:

x(t) =A

T0t para 0 ≤ t < T0

(g) x(t) = sen (10πt) + sen (12πt)

(h) x(t) = cos(10πt) + sen (12πt)

(i) x(t) = sen (πt) cos(πt)

(j) x(t) = sen (πt) cos(2πt)

(k) x(t) = sen (πt) cos(5πt)

(l) x(t) = sen (πt) cos(100πt)

8. Plote o grafico dos primeiros harmonicos para cada um dos sinais doexercıcio anterior.

9. Para os sinais do exercıcio anterior obtenha a serie de Fourier na suaforma cossenoidal. Apresente os espectros de Ak e θk.

10. Para os sinais do exercıcio anterior obtenha a serie de Fourier na suaforma complexa. Apresente os espectros.

11. Encontre a serie de Fourier para um trem de pulsos quadrados comamplitude A, perıodo T0 e largura ∆ = T0/2 e compare com o caso deuma onda quadrada.

12. Dado um sinal periodico qualquer x(t), ao truncarmos a sua serie deFourier obteremos uma aproximacao para ele. Seja xk(t) a aproximacaoobtida pela retencao dos k primeiros termos da serie. O sinal ek(t) =x(t)− xk(t) e uma medida da qualidade da aproximacao. Para a ondadente de serra definida acima, calcule a potencia dos erros e1(t), e2(t),etc, e verifique a qualidade das respectivas aproximacoes.

38

13. Supondo que o sinal

f(t) = 2 cos(104πt) sen 2(2.104πt)

e transmitido por uma linha telefonica que bloqueia completamente acomponente dc e frequencias acima de 12 kHz, compute a razao entreas potencias medias transmitidas e recebidas.

14. Considere uma onda triangular e uma onda quadrada com perıodose amplitudes iguais. Para ambos os casos calcule a serie de Fourierexponencial e plote os espectros.

39

Capıtulo 3

Domınios e transformadas

3.1 No tempo e na frequencia

A analise no domınio das frequencias e uma ferramenta de extremo valor noestudo de sinais periodicos, principalmente quando expressoes analıticas com-plicadas inviabilizam o uso do domınio do tempo. Assim, a motivacao parase generalizar o emprego do domınio das frequencias para sinais quaisquer,e nao apenas para os periodicos, sempre foi grande. Uma maneira simples eatraente de alargar a aplicabilidade das tecnicas vistas ate agora — e que,provavelmente, foi usada pelo proprio Fourier — vem a seguir.

3.2 Visao frequencial de sinais nao periodicos

Um sinal qualquer sempre pode ser encarado como um sinal periodico comperıodo infinitamente grande. Desta maneira, se considerarmos a serie deFourier quando T0 → ∞, poderemos aplicar os resultados para sinais quais-quer. As expressoes basicas da serie, utilizando a frequencia linear f0, sao

x(t) =∞∑

k=−∞X(kf0)e

jk2πf0t e X(kf0) =1

T0

∫

T0

x(t)e−jk2πf0tdt

onde o coeficiente do k-esimo harmonico foi designado pela notacao X(kf0),menos compacta mas mais fiel a ideia de que os espectros se definem apenaspara os multiplos inteiros da frequencia fundamental. Quando T0 cresceindefinidamente esta frequencia fundamental tende a zero: f0 → 0. Ou seja, oespacamento entre os valores para os quais os espectros sao definidos tambemvai se anulando, e a variavel discreta kf0 tende a uma variavel contınua f .A somatoria tende a uma integral e podemos concluir que

x(t) =∫ ∞

−∞X(f)ej2πftdf e X(f) =

∫ ∞

−∞x(t)e−j2πftdt

40

ou entao, usando a frequencia angular ω = 2πf :

x(t) =1

2π

∫ ∞

−∞X(ω)ejωtdω e X(ω) =

∫ ∞

−∞x(t)e−jωtdt

A partir de um sinal qualquer x(t), a segunda das formulas acima forneceX(ω), ou entao X(f). Estas sao grandezas complexas que dependem dafrequencia angular ω ou da frequencia linear f . O modulo e o angulo destasgrandezas complexas podem ser associados aos espectros do sinal x(t). Agoraestes espectros sao funcoes de uma frequencia que varia continuamente, ouseja, sao definidos em funcao da variavel real e contınua ω (ou f).

x(t)→ X(ω) =∫ ∞

−∞x(t)e−jωtdt→

|X(ω)| × ω espectro da amplitude

6 X(ω)× ω espectro da fase

Estes resultados permitem que um sinal qualquer possa ser estudado naoapenas no domınio do tempo, por intermedio de sua expressao analıtica, oupor seu grafico, ou por uma tabela de seus valores, mas tambem atraves deX(w) e dos espectros de amplitude e fase: isto seria uma analise no domınioda frequencia, exatamente o que andavamos procurando.

3.3 Transformada de Fourier

Embora o metodo sugerido para se estudar sinais quaisquer no domınio dasfrequencias seja promissor, uma analise mais detalhada revelaria alguns pro-blemas preocupantes. Quem garante, por exemplo, que a integral empregadapara se calcular X(f) sempre converge? quais as condicoes para que issoaconteca? Para um tratamento mais rigoroso dessas questoes apresentamosa seguir um conceito basico.

Definicao 3.3.1 A Transformada de Fourier de um sinal real x(t),quando existe, e a funcao complexa da variavel real f designada por F{x}ou X(f) e dada por

F{x} =∫ ∞

−∞x(t)e−j2πftdt = X(f)

Note-se, em primeiro lugar, que a transformada de Fourier e uma operacaounaria que associa a x(t), um sinal real do tempo t, sua transformada dadapela integral acima, que e um sinal complexo da frequencia f . A associacaodesta transformada F{x} ao complexo X(f) deve ser imediata, e assim atransformada de Fourier e apenas um nome pomposo para algo que nos per-mite estudar um sinal qualquer no domınio da frequencia, atraves de |F{x}|e 6 F{x}. Os graficos destas grandezas em funcao de f recebem o nomede Espectros do sinal; o espectro da magnitude e uma funcao par de f , aopasso que o espectro da fase e uma funcao ımpar. A definicao permaneceriainalterada se usassemos a frequencia angular ω.

41

Definicao 3.3.2 A Transformada Inversa de Fourier e dada por

F−1{X} =∫ ∞

−∞X(f)ej2πftdf = x(t)

Com a transformada inversa podemos recuperar o sinal no domınio dotempo a partir de X(f).

A energia de sinais periodicos pode ser avaliada tanto no domınio dotempo quanto no da frequencia, como ja visto. Agora, para sinais quaisquer,a mesma coisa ocorre. A expressao a seguir e conhecida como Teorema deParseval e mostra como uma mesma tarefa, no caso o calculo da energia deum sinal, pode ser efetuada em ambos os domınios:

∫ ∞

−∞|x(t)|2dt =

∫ ∞

−∞|X(f)|2df

Exemplo 3.3.1 Analisar no domınio das frequencias a exponencial decres-cente de meia banda dada por x(t) = e−at1(t) onde a > 0. O grafico paraeste sinal e simples e conhecido, os leitores sao convidados a traca-lo. Paraencontrar os espectros:

X(f) =∫ ∞

−∞x(t)e−j2πftdt =

∫ ∞

0e−ate−j2πftdt

=∫ ∞

0e−(a+j2πf)tdt =

[

−e−(a+j2πf)t

a + j2πf

]∞

0

=1

a+ j2πf=

a

a2 + 4π2f 2− j 2πf

a2 + 4π2f 2

O modulo e o angulo podem ser plotados em curvas separadas.

0

1/(2a)

1/a

−2 −1 0 1 2-1.5

0

1.5

−2 −1 0 1 2

Exemplo 3.3.2 Analisar no domınio das frequencias o pulso de amplitudeA e largura ∆ centrado na origem. A expressao analıtica para este sinal ex(t) = 0 para |t| > ∆/2 e x(t) = A para |t| ≤ ∆/2, e seu grafico e trivial.

42

✲t

✻

−∆/2 ∆/2

A

X(f) =∫ ∆/2

−∆/2Ae−j2πftdt =

[

−Ae−j2πft

j2πf

]∆/2

−∆/2

= A∆sen (πf∆)

πf∆= A∆sinc (f∆)

Temos para este caso uma grandeza real, e o tracado dos espectros seriafeito sem problemas. O das magnitudes seria dado por A∆| sinc (f∆)|.

Exemplo 3.3.3 Analisar no domınio das frequencias a exponencial simetri-ca dada por x(t) = e−a|t|, para a > 0, cujo grafico no tempo, e

0

0.5

1

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

X(f) =∫ ∞

−∞e−a|t|e−j2πftdt =

∫ 0

−∞eate−j2πftdt+

∫ ∞

0e−ate−j2πftdt

=

[

e(a−j2πf)t

a− j2πf

]0

−∞+

[

−e−(a+j2πf)t

a+ j2πf

]∞

0

=1

a− j2πf +1

a+ j2πf=

2a

a2 + 4π2f 2

Como se trata de um real positivo a fase e sempre nula e o espectro dasamplitudes e

0

1/a

2/a

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

E interessante comparar este espectro com o espectro da exponencial demeia banda do exercıcio 3.3.1.

43

3.4 Condicoes de existencia

Um pequeno mas importantıssimo detalhe parece ter sido esquecido: e se aintegral usada na definicao formal da transformada de Fourier nao conver-gir? Todas as poderosas promessas contidas na ideia estariam ameacadas ea ferramenta seria algo inutil na analise de sinais. Pode-se demonstrar quese x(t) satisfaz as condicoes de Dirichlet entao a integral converge e, garan-tidamente, a transformada de Fourier F{x} = X(f) existe. O resultado aseguir sintetiza a situacao.

Teorema 3.4.1 Se um sinal x(t)

1. tem um numero finito de maximos e mınimos em qualquer intervalofinito,

2. tem um numero finito de descontinuidades finitas em qualquer intervalofinito,

3. e absolutamente integravel, ou seja,∫ ∞

−∞|x(t)|dt <∞

entao a transformada de Fourier de x(t) existe e e dada por

F{x} =∫ ∞

−∞x(t)e−jωtdt = X(ω)

Este teorema fornece uma condicao apenas suficiente, e pode-se pensarno que acontece aos sinais que nao a satisfazem. Sejam por exemplo

x(t) = A; x(t) = cos(ω0t); x(t) = 1(t); x(t) = δ(t)

Estes sinais sao simples e importantes, e no entanto nao satisfazem Di-richlet. Seria triste se nao existisse a transformada de Fourier para eles.Em muitos casos, por serem as condicoes de Dirichlet apenas suficientes, atransformada existe mesmo quando elas falham. Otimo.

Exemplo 3.4.1 A aplicacao direta da integral de definicao para o sinalx(t) = cos(ω0t) acarretaria problemas. O truque para contorna-los e con-siderar o sinal obtido ao se multiplicar o cosseno pela exponencial simetricavista no exercıcio 3.3.3: x(t) = e−a|t| cos(ω0t) com a > 0 cujo grafico e

-0.5

0

0.5

1

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

44

Agora x(t) satisfaz Dirichlet, como seria facil verificar, e podemos cal-cular sua transformada. Feito isto bastaria considerar a → 0 para obter atransformada desejada.

Exemplo 3.4.2 Podemos usar o resultado do exemplo 3.3.2 para encontrara transformada de Fourier de um impulso unitario: basta colocar A = 1/∆o que acarreta F{x} = sinc (f∆). Deixando agora ∆ → 0 teremos a trans-formada de Fourier do impulso unitario

F{δ(t)} = lim∆→0

sinc (f∆) = 1 ∀f

Voltando ao pulso mais geral, com A 6= ∆ e fazendo ∆→∞ obterıamosa transformada de Fourier do sinal constante x(t) = A ∀t, apos resolver osproblemas do limite.

Mais aspectos teoricos sobre a existencia da transformada de Fourier seraotecidos mais a frente, na secao 3.6. Estes ultimos pragrafos mostraram comocertos truques podem ajudar a resolver casos problematicos, mas ha ma-neiras menos artificiosas e mais elegantes de atingir tais objetivos. Quandoalguns truques sao usados em um grande numero de situacoes eles podemser sistematizados, podem ter suas validades demonstradas rigorosamente ese tornam . . .

3.5 Propriedades da Transformada

Todas as propriedades a seguir podem ser rigorosamente demonstradas pelaaplicacao da definicao da transformada de Fourier. Em geral as demons-tracoes sao bastante simples. Supoe-se sempre, e claro, que as transformadasexistem.

3.5.1 Linearidade

F{α1x1(t) + α2x2(t)} = α1F{x1(t)}+ α2F{x2(t)} ∀α1, α2 ∈ IR

3.5.2 Translacao no tempo

F{Q∆x} = F{x(t−∆)} = e−j2πf∆F{x(t)}

O deslocamento de um sinal no tempo afeta a fase e deixa inalterado omodulo de seus espectros. Uma analise simples da propriedade acima permiteesta conclusao.

45

3.5.3 Alteracao da escala de tempo

F{x(αt)} = 1

|α|X(f/α)

Sinais “largos” no tempo sao “estreitos” na frequencia. E vice-versa.Matutem sobre isto, leitores.

3.5.4 Dualidade

F{x(t)} = X(f) =⇒ F{X(t)} = x(−f)

Considere como exemplo a exponencial simetrica x(t) = e−a|t| com a > 0;ja vimos que sua transformada de Fourier eX(f) = 2a/(a2+4π2f 2), um valorreal. Para obter a transformada de w(t) = 2a/(a2+4π2t2) basta aplicar estapropriedade: F{w(t)} = F{X(t)} = x(−f) = e−a|f |.

Suponha agora que desejamos calcular a transformada de Fourier dex(t) = A∆sinc (t∆). Lembrando o exemplo 3.3.2 percebemos que F{x}e um pulso de largura ∆ e amplitude A na frequencia f .

Seja finalmente o impulso x(t) = Aδ(t). Pela linearidade sua transfor-mada e X(f) = A ∀f . Agora fica facil calcular a transformada da funcaoconstante w(t) = A ∀t: W (f) = X(−f) = Aδ(f). Isto significa que a trans-formada de uma constante e um impulso aplicado em f = 0. A proximapropriedade tambem pode ser considerada como uma consequencia da dua-lidade.

3.5.5 Translacao na frequencia

F{ej2παtx(t)} = X(f − α)

A partir desta propriedade podemos calcular as transformadas de expo-nenciais complexas, basta considerar x(t) = 1 ∀t na expressao acima. Emparticular,

F{ej2πf0t} = δ(f − f0) e F{e−j2πf0t} = δ(f + f0)

Mas e bem sabido que cos(2πf0t) = (ej2πf0t + e−j2πf0t)/2, o que permitededuzir

F{cos(2πf0t)} =1

2δ(f + f0) +

1

2δ(f − f0)

A transformada do cosseno e composta por um par de impulsos de am-plitude 1/2 aplicados simetricamente nas frequencias ±f0.

46

3.5.6 Derivacao

F{

dnx

dtn

}

= (j2πf)nF{x}

3.5.7 Integracao

F{∫ t

−∞x(τ)dτ

}

=1

j2πfF{x(t)}+ 1

2X(0)δ(f)

3.5.8 Convolucao

F {x1 ∗ x2} = F{∫ ∞


}

= F{x1(t)}F{x2(t)}

3.5.9 Multiplicacao

F{x1(t)x2(t)} =∫ ∞

−∞X1(f − λ)X2(λ)dλ = X1(f) ∗X2(f)

Um caso particular muito importante desta propriedade acontece quandox(t) e multiplicado por um sinal periodico p(t), resultando no que se chamade amostragem generalizada. Varias consideracoes sobre estas tecnicasserao vistas no capıtulo ??, mais a frente. A situacao ainda mais particularem que o sinal periodico e um cosseno, p(t) = cos 2πft recebe o nome demodulacao de amplitude e tem aplicacoes praticas vastas e importantes,como recordado a seguir.

3.5.10 Exemplo de Aplicacao

Vejamos agora como as ideias associadas a transformada de Fourier, ou seja, aanalise de sinais no domınio das frequencias, desempenha um papel crucial emum conhecido campo da Engenharia, cuja importancia dispensa argumentos,como se percebera em breve. Antes lembremo-nos da definicao de convolucaode dois sinais no domınio do tempo:

x1(t) ∗ x2(t) =∫ ∞


No capıtulo 2 vimos como pode ser trabalhoso encontrar a convolucaoentre dois sinais quaisquer, mas que quando um ou ambos os sinais tem pe-culiaridades camaradas esta tarefa pode se simplificar bastante, existindo ate

47

mesmo metodos graficos apropriados. E de particular interesse a convolucaoentre um sinal qualquer e um impulso aplicado fora da origem:

δ(t− λ) ∗ x(t) =∫ ∞

−∞δ(t− λ− τ)x(τ)dτ = x(t− λ) = Qλx(t)

Isto significa que a convolucao com um impulso aplicado em um dado ins-tante desloca o sinal dessa mesma quantidade, atrasando-o ou adiantando-o.As ultimas propriedades mostradas acima dizem que a convolucao no domıniodo tempo se transforma em multiplicacao nas frequencias e, por dualidade,a multiplicacao no tempo se transforma em convolucao nas frequencias.

Sejam por exemplo os sinais x1(t) = e−|t| e x2(t) = sinc t, vistos ante-riormente, cujas transformadas de Fourier sao reais puros. O seu produtox(t) = e−|t| sinc t, tem transformada de Fourier dada por X1(f) ∗ X2(f), aconvolucao de duas funcoes reais de f e que pode ser obtida, neste caso, atemesmo por metodos graficos. Quando as transformadas das parcelas foremcomplexas com partes imaginarias nao nulas deve-se usar metodos analıticospara resolver a integral.

Considere o produto x(t) cos(2πfat) entre um sinal qualquer e um cosseno,que representa, como ja mencionado, uma modulacao de amplitude. Comoa transformada de Fourier do cosseno consiste de dois impulsos aplicadosnas frequencias ±fa, cada um deles com amplitude 1/2, vemos que o efeitofrequencial de multiplicar um sinal por um cosseno e o de deslocar paraa direita e para a esquerda copias com amplitudes reduzidas a metade doespectro original do sinal. Para ilustrar, seja um sinal x(t) com espectro deamplitude X(f) dado por

✲

✻

f

X(f)

O grafico de X(f − fa) pode ser obtido deslocando esta curva de faunidades para a direita:

✲

✻

f

X(f − fa)

fa

48

O espectro do sinal apos a modulacao de amplitude e de facil obtencao,basta reduzir a amplitude de copias deslocadas a direira e a esquerda, e vaiesbocado abaixo.

✲

✻

f−fa fa

Notar que ha frequencias intermediarias neste grafico que sao afetadastanto pela copia da esquerda como pela da direita.

Seja agora um sinal m(t) de banda limitada, ou seja, constituıdo pre-dominantemente por frequencias baixas. Isto significa que o seu espectro demagnitude e praticamente nulo ou mesmo nulo para valores maiores do queum dado limite: existe fM tal que |M(f)| ≈ 0 para |f | > fM .

✲f

✻|M(f)|

−fM fM

A

Sinais suaves tem esta caracterıstica, como por exemplo sinc (t). Boaparte dos sinais de interesse pratico pode ser considerada deste tipo, mesmoque as contribuicoes das altas frequencias nao sejam nulas como acima, masapenas pequenas. Em sinais de audio, por exemplo, as contribuicoes dosharmonicos acima de 16 000 Hz sao praticamente desprezıveis, pelo menospara seres humanos. A modulacao en amplitude de um sinal de banda li-mitada produz duas copias deslocadas e atenuadas do seu espectro, comoesperado. Mas ha um aspecto crucial a se notar: se a frequencia fa for su-ficientemente alta, havera pontos do intervalo [ −fa fa ] nao afetados porqualquer das copias do espectro original.

Para mover informacoes de um ponto a outro devemos usar um sistemade transmissao capaz de aceitar as frequencias do sinal que armazena asinformacoes. Muitas vezes isso pode ser feito transformando o sinal originalem uma tensao eletrica propocional e transmitindo este sinal eletrico atravesde um fio condutor, por exemplo. Desde o comeco do seculo XX se sabe quea eliminacao da necessidade de um fio condutor para a transmissao de sinaispode ser conseguida por meio de ondas de radio. Um transmissor deste tipoe, basicamente, um sistema capaz de transmitir com fidelidade sinais dentrode uma certa banda de frequencias centrada em um valor fc:

49

✻

✲

ffc−fc

Sinais dentro das bandas mostradas acima, ou seja, sinais com frequenciasf tais que |f±fc| < ∆, onde ∆ e a largura da banda, sao integralmente trans-mitidos, ao passo que sinais fora destas faixas sao sumariamente bloqueados.E facil ver que quando a frequencia basica de transmissoes fc e elevada comrelacao a um sinal m(t) de banda limitada que se deseja transmitir, ou seja,quando fc − ∆ > fM , nao havera transmissao. Como contornar este pro-blema?

Multiplicar m por cos(2πfct) e modular sua amplitude, e correspondea dividir seu espectro em duas replicas, com escalas reduzidas a metade,cada uma delas centrada em uma das frequencias ±fc. Se a frequencia docosseno for a frequencia de transmissao do canal de radio o problema estaresolvido! Este e, em breves palavras, o esquema de transmissao de radio AM,sigla que significa amplitude modulada; o cosseno envolvido na multiplicacaoe chamado de portadora. Muito mais se pode falar sobre este assunto,como por exemplo os aspectos da recepcao de sinais AM, mas isto, por maisinteressante que seja, nao cabe aqui.

3.6 Transformadas de Laplace

Apos os desenvolvimentos anteriores, a importancia e a aplicabilidade daanalise de sinais no domınio das frequencias ja devem ter ficado bem eviden-tes. E todo este campo de aplicacoes e baseado na transformada de Fourier.Esta, apesar de seu forte apelo intuitivo, apresenta certos problemas. Comefeito, nem sempre sua existencia pode ser assegurada, e isto pode mesmoacontecer em sinais simples e importantes: muitas vezes a aplicacao da inte-gral de definicao simplesmente nao converge.

Um exemplo importante destas falhas e o do cosseno, x(t) = cos t. Paraeste caso e possıvel contornar o inconveniente e encontrar X(ω) por meio deartifıcios, como ja visto; mas o fato de que a integral nao converge permanece.

Seja agora x(t) um sinal periodico; seria facil verificar que tambem aquiha problemas de convergencia, e isto ameaca a existencia da transformadade Fourier para esta importantıssima classe de sinais. Mais uma vez estestranstornos sao evitados com o uso de impulsos. De fato, sempre que aenergia de um sinal estiver concentrada em frequencias agudas, precisas ebem definidas sera possıvel usar impulsos para, com o auxılio da serie de

50

Fourier, encontrar a transformada de Fourier. Mas isto e, mais uma vez,um truque, e a integral de definicao continua apresentando problemas deconvergencia.

Os sinais x1(t) = t1(t), a rampa unitaria, e x2(t) = et, a exponencialcrescente, tambem apresentam problemas de convergencia, e estes problemasnao podem ser removidos por meio de impulsos, pois a energia destes sinaisnao se concentra em certas frequencias nobres e privilegiadas. E estes si-nais sao importantes! Na realidade estes sinais sao importantes de um modonegativo, porque normalmente tentamos evitar comportamentos como estesem situacoes da vida real: grandezas que crescem indefinidamente tem sen-tido apenas matematico, na pratica elas indicariam problemas serios comocurto-circuitos, explosoes, etc.

O sinal x(t) = (1 − e−t)1(t) nao e crescente como os anteriores, e naoindica situacoes de problemas praticos, mas aqui tambem ha problemas deconvergencia e a existencia da transformada de Fourier fica ameacada atemesmo para um sinal calmo e bem comportado como este. E hora de analisarcom mais cuidado as condicoes de validade da transformada de Fourier; paraisto seja novamente o teorema 3.4.1, aqui reescrito para facilitar.

Teorema 3.6.1 Se um sinal x(t)

1. tem um numero finito de maximos e mınimos em qualquer intervalofinito,

2. tem um numero finito de descontinuidades finitas em qualquer intervalofinito,

3. e absolutamente integravel, ou seja,∫∞−∞ |x(t)|dt <∞,

entao a transformada de Fourier de x(t) existe e e dada por

F{x} =∫ ∞

−∞x(t)e−jωtdt = X(ω)

As condicoes de Dirichlet acima sao apenas suficientes: elas podem servioladas por um sinal particular e a transformada de Fourier deste sinal aindapode existir. Seja o sinal x(t) = sen (1/t). Em qualquer intervalo finitoenvolvendo a origem t = 0 este sinal viola a primeira condicao de Dirichlet.Seja o sinal definido apenas no intervalo [0 1] por

x(t) =

1/2 para 0 ≤ t < 1/21/4 para 1/2 ≤ t < 3/41/8 para 3/4 ≤ t < 7/8...

......

Trata-se de uma escada com degraus cada vez menores e mais estreitos;este sinal viola a segunda condicao de Dirichlet. O fato lıquido e certo e que

51

as duas primeiras condicoes sao facilmente verificadas pela grande maioriados sinais de algum interesse: elas falham apenas em casos patologicos, comopor exemplo estes acima.

Os problemas realmente importantes para a existencia da transformada deFourier residem na terceira condicao de Dirichlet. Se for possıvel, de algumamaneira, assegurar que x(t) e absolutamente integravel, entao estamos feitos,pois as duas outras condicoes sao quase sempre verificadas. Como entao fazercom que

∫∞−∞ |x(t)|dt seja convergente? como mudar o comportamento de x(t)

de tal maneira a obrigar esta integral a convergir?E imediato verificar que se x(t) → ∞ quando t → ∞ entao x(t) nao e

absolutamente integravel. Isto significa que evitar o crescimento ilimitado deum sinal pode ser uma maneira de facilitar a existencia de sua transformadade Fourier. Considere por exemplo a rampa unitaria x(t) = t1(t). A ideia emodificar este sinal de modo a garantir a integrabilidade absoluta. Isto podeser feito multiplicando-o por uma exponencial decrescente: x(t) = x(t)e−t =te−t1(t); o grafico a seguir ilustra essas curvas.

0

0.5

1

1.5

2

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

x(t)

x(t)

O sinal x(t) satisfaz as condicoes de Dirichlet, donde sua transformadade Fourier X(ω) existe. Embora X(ω) nao seja a desejada transformadade Fourier de x(t), ela — de alguma maneira — carrega em si informacoessobre x(t). Pelo menos para este caso, a multiplicacao de um sinal poruma exponencial decrescente funcionou: o limite de x(t) quando t → ∞era problematico, mas o limite de x(t)e−t e nulo, pois a exponencial decaimais rapidamente do que a rampa cresce. O fato de um sinal tender a 0quando o tempo tende a infinito e uma condicao necessaria para que estesinal seja absolutamente integravel; e na realidade uma condicao “quase”suficiente para garantir isto, se ainda pudessemos supor que a derivada dosinal tambem tende a zero entao metade do servico estaria pronta, a piormetade dele.

52

Estas consideracoes sugerem um procedimento mais geral: sendo x(t)um sinal nao absolutamente integravel deve-se procurar um real σ tal quee−σtx(t) seja absolutamente integravel e calcular a integral

∫ ∞

−∞x(t)e−σte−jωtdt (3.1)

Esta expressao nao representa a transformada de Fourier de x(t), masespera-se que, de alguma maneira, ela traga em si informacoes sobre F{x}.Uma vez garantida sua convergencia, a integral de (3.1) depende do sinalx(t) e do parametro complexo s = σ + jω, podendo portanto ser designadapelo sımbolo X(s):

∫ ∞

−∞x(t)e−σte−jωtdt =

∫ ∞

−∞x(t)e−stdt = X(s) (3.2)

O sinal x(t) e uma funcao real da variavel real e contınua t, o tempo, aopasso que X(s) e uma funcao complexa da variavel complexa s = σ + jω,que contem em si informacoes sobre x(t) no domınio das frequencias, emboranao seja a sua transformada de Fourier.

Recapitulando: a aplicabilidade da transformada de Fourier e restrita,para muitos sinais importantes ela pode nao existir, como vimos. Andamosprocurando por algo capaz de carregar informacoes frequenciais sobre umsinal temporal e que tenha uma ampla regiao de validade. A X(s) da equacao(3.2) se apresenta como uma candidata, e ela cumpre todos os requisitos,como nos foi gentilmente demonstrado por Monsieur Laplace no seculo XVIII.

Definicao 3.6.1 Dizemos que a Transformada de Laplace Bilateral

de um sinal real x(t), designada por Lb{x}, e a funcao complexa da variavelcomplexa s = σ + jω dada por

Lb{x} =∫ ∞

−∞x(t)e−stdt = X(s)

Intuitivamente percebemos que, por intermedio da escolha do novo para-metro σ deve ser possıvel resolver os problemas anteriores de convergencia.Isto e verdade, e seria possıvel mostrar que as condicoes de existencia datransformada de Laplace sao muito suaves, fazendo com que praticamentetodos os sinais de interesse sejam transformaveis.

Exemplo 3.6.1 Para x(t) = et1(t), uma exponencial crescente definida paravalores positivos de t, a aplicacao da formula acima leva a

Lb{x} =∫ ∞

−∞ete−st1(t)dt =

∫ ∞

0e(1−s)tdt

=

[

e(1−s)t

1− s

]∞

0

=1

1− s[

e(1−σ)te−jωt]∞

0

53

A condicao para haver convergencia e 1 − σ < 0 ou, σ > 1; com isto aexponencial e(1−σ)t se anula quando t→∞, e como e−jωt e limitada, temos

Lb{x} =−11− s =

1

s− 1desde que σ > 1

Seja agora o sinal x(t) = −et1(−t), cujo grafico os leitores sao convidadosa tracar. Calculando sua transformada encontrarıamos

Lb{x} =∫ ∞

−∞−ete−st1(−t)dt = −

∫ 0

−∞e(1−s)tdt

=−11− s

[

e(1−σ)te−jωt]0

−∞

=−11− s =

1

s− 1desde que 1− σ > 0

ou seja, agora os valores de σ capazes de assegurar a convergencia mudaram:σ < 1.

Estes exemplos mostram aspectos desagradaveis da Transformada de La-place Bilateral: dois sinais distintos podem apresentar a mesma transfor-mada, apenas os valores do parametro de convergencia mudam. O ideal seriaencontrar uma ferramenta que associasse a sinais diferentes transformadasdiferentes. O proximo conceito acabara com essa ambiguidade. Antes dele,e preciso recordar o conceito de sinais unilaterais, ja visto na definicao 2.6.1,aqui repetida.

Definicao 3.6.2 Um sinal x(t) e chamado unilateral ou de uma banda

quando x(t) = 0 para t < 0.

Sinais unilaterais, recordemos, sao menos restritivos do que pode parecer aprimeira vista. Eles sao, de fato, mais naturais ate do que os sinais “eternos”.

3.7 Transformada de Laplace Unilateral

Considerar que o tempo t varia de −∞ a ∞ e uma abstracao com sentidoapenas matematico. A partir de agora restringiremos nossa atencao aossinais unilaterais, pois afinal os sinais de interesse praticos devem ser destetipo. Percebemos logo que, quando se considera apenas sinais unilaterais, oconceito de transformada de Laplace bilateral pode ser adaptado.

Definicao 3.7.1 Dizemos que a Transformada de Laplace Unilateral

ou simplesmente Transformada de Laplace de um sinal real x(t) e afuncao complexa da variavel complexa s = σ + jω dada por

L{x} =∫ ∞

0x(t)e−stdt = X(s)

definida para os valores de s para os quais a integral converge.

54

A transformada de Laplace X(s) e uma funcao complexa da variavelcomplexa s = σ + jω. Informacoes sobre a funcao real de variavel realx(t) encontram-se codificadas e armazenadas em X(s), e e facil sucumbir atentacao de relacionar as transformadas de Fourier e Laplace usando, porexemplo:

X(s)|s=jω = X(jω) = X(ω) = F{x}Cautela aqui, este e um caminho perigoso, afinal podemos encontrar as

transformadas de Laplace X(s) para sinais para os quais a transformada deFourier nao existe, e assim a expressao acima perderia o sentido.

Como se vera em breve, as condicoes de existencia sao suaves, e os sinaisde interesse, praticamente todos, admitem transformada de Laplace, e isto emuito bom, e exatamente o que andavamos buscando. Mas as informacoes arespeito de x(t) transportadas por X(s) nao aparecem com tanta evidenciae clareza quanto apareciam em X(ω), onde ha os espectros de magnitudee fase, ferramentas naturais, aceitaveis e de grande apelo intuitivo. Estesespectros podem ser visualizados por meios graficos, e por causa disso nos osaceitamos bem, gostamos deles e os usamos tao confortavelmente.

As informacoes sobre x(t) contidas em L{x} = X(s) sao menos evidentesdo que no caso de Fourier, estao armazenadas mais profundamente dentrodo formalismo e fica mais difıcil desenhar figuras que as ilustrem. Devemosconfiar cegamente no que o formalismo matematico nos diz. E como um aviaovoando por instrumentos: um piloto experiente e capaz, olhando apenaspara os mostradores, de ter os mesmos sentimentos que teria se pudesseefetivamente deitar os olhos atraves das nuvens.

Exemplo 3.7.1 Para o degrau unitario x(t) = 1(t):

L{x} = X(s) =∫ ∞

01e−stdt =

[

e−st

−s

]∞

0

=−1s

[

e−σte−jω]∞

0=−1s

[

e−σt(cosωt+ j senωt)]∞

0

=−1s

[0− 1] =1

sdesde que σ > 0

Exemplo 3.7.2 Seja a exponencial de uma banda x(t) = eat1(t). Como ebem sabido, sendo a < 0 este e um sinal limitado que tende a zero, e sendoa > 0 esta exponencial e crescente.

L{x} = X(s) =∫ ∞

0eate−stdt =

[

e−(s−a)t

−(s− a)

]∞

0

=−1s− a

[

e−(σ−a)t(cosωt− j senωt)]∞

0

=−1s− a [0− 1] =

1

s− a desde que σ > a

55

Para estes casos, fazendo s = j2πf = jω as expressoes das transformadasde Laplace levam as transformadas de Fourier dos sinais. Isto legitima algu-mas posicoes anteriores, pois permite encarar as transformadas de Laplacecomo uma especie de extensao das de Fourier, como algo com as mesmasfinalidades e objetivos e com condicoes de existencia menos restritivas. Infe-lizmente esta visao nao resiste a analises mais profundas. Seja por exemploo sinal do exercıcio 3.7.2 quando a > 0: a expressao 1/(s−a) continua sendoa sua transformada de Laplace, mas a existencia da transformada de Fou-rier desta exponencial crescente nao pode ser garantida. Algo semelhanteacontece com x(t) = cos(ω0t). Sua transformada de Laplace, como se vera afrente, e: X(s) = s/(s2 + ω2

0). Fazendo s = jω encontramos uma grandezaque nada tem a ver com a transformada de Fourier do sinal.

3.7.1 Condicoes de Existencia

Tendo adquirido esta pequena familiaridade com as transformadas de La-place, e tempo de um pouco de teoria.

Teorema 3.7.1 Se para um dado sinal x(t)

1.) ∃K <∞ tal que∫ L

0|x(t)|dt ≤ K ∀L > 0

2.) ∃A ∈ IR, c ∈ IR tais que |x(t)| ≤ Aect ∀t > L

entao a integral∫ ∞

0x(t)e−stdt

converge absolutamente para todo valor complexo de s = σ + jω para o qualσ > c garantindo a existencia da transformada de Laplace.

Estas condicoes suficientes devem ser consideradas suaves, quase todos ossinais as satisfazem. A primeira delas exige que, em intervalos de compri-mentos finitos a area sob o modulo do sinal deve ser finita:

✲L t

x(t)

✻

Mesmo sinais crescentes podem satisfazer esta condicao. Funcoes comescapes para infinito em instantes finitos, como por exemplo tan t violam

56

esta condicao. A segunda condicao requer a existencia de uma exponencialque majore o sinal a partir do instante L:

✲L t

x(t)

✻

Para os sinais de maior interesse pratico e sempre possıvel encontrar umainfinidade de exponenciais que os majorem apos um certo intervalo.

Definicao 3.7.2 A abscissa de convergencia absoluta de um sinal x(t)e o menor valor real de c tal que, ∀L, |x(t)| ≤ Aect, ∀t > L.

Nos exemplos anteriores a abscissa de convergencia absoluta havia sidocalculada de maneira direta. Em resumo: supondo que as condicoes deexistencia sao satisfeitas por um dado sinal x(t), e que calculamos a abscissade convergencia absoluta c, entao a integral converge e a transformada deLaplace existe para todo complexo s cuja parte real σ seja maior do que c:

✲σ

jω

c

✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✻

σ > c

Para valores de s dentro da regiao de convergencia absoluta (a regiaoexplicitada acima, a direita de c) a integral converge e X(s) e uma funcaobem comportada. O que acontece quando s nao pertence a esta regiao? Atransformada X(s) existe tambem, e e bem comportada, exceto em pontosisolados onde ela nao e definida. Lembremos o degrau unitario x(t) = 1(t);sua transformada de Laplace e X(s) = 1/s e sua regiao de convergenciaabsoluta e dada por σ > 0, como ja visto. Fora desta regiao o unico pontoproblematico e s = 0, a origem do plano complexo, onde X(s) nao se define:

57

✲σ

jω

✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲

σ > 0

✻

Para o sinal x(t) = e−at1(t) a regiao de convergencia e σ > −a e, foradesta regiao ha problemass de definicao para X(s) apenas em s = −a.

Recapitulando, no caso bilateral a regiao de convergencia era crucial,chegando mesmo a ser o unico indicativo de diferencas entre as transformadasde sinais distintos. Neste caso unilateral a regiao de convergencia perde muitodessa importancia. Se um sinal x(t) possui transformada de Laplace, comoa maioria dos sinais de interesse possui, entao a regiao de convergencia eapenas uma regiao onde X(s) se define para qualquer valor de s; fora destaregiao X(s) tambem e definida, para quase todos os valores de s.

Definicao 3.7.3 Um ponto singular ou singularidade de X(s) e umnumero complexo p onde X(s) nao e definida

O estudo das singularidades e muito mais importante e interessante doque o estudo de sua regiao de convergencia absoluta. De fato, a maior partedas informacoes a respeito de caracterısticas vitais do comportamento notempo e na frequencia de um dado sinal x(t) e dada no plano complexo,pela posicao das singularidades de X(s). Desta maneira, a atencao deve seconcentrar em X(s) e suas singularidades, e nao na abscissa de convergenciaabsoluta c.

Antes de terminar esta secao, um detalhe: como encontrar a transformadade Laplace do impulso unitario δ(t)? Ao aplicar a integral de definicao podemsurgir problemas de interpretacao, e assim e conveniente mudar a definicaogeral.

Definicao 3.7.4 Dizemos que a Transformada de Laplace Unilateral

ou simplesmente Transformada de Laplace de um sinal real x(t) e afuncao complexa da variavel complexa s = σ + jω dada por

L{x} =∫ ∞

0−x(t)e−stdt = X(s) (3.3)

definida para os valores de s para os quais a integral converge.

58

A unica alteracao se deu no limte inferior de integracao, que passa a ser0− e nao mais apenas 0. Com isto conseguimos capturar em X(s) todosos eventuais impulsos ocorrendo na origem. Se x(t) nao contem impulsosaplicados em t = 0 entao as duas definicoes se equivalem; mas e mais segurousar sempre esta ultima.

3.8 Propriedades da Transformada

Conforme o discutido, os problemas de convergencia da transformada deLaplace unilateral podem ser ignorados. As proprias singularidades de X(s)ajudam a entender x(t). As ambiguidades tambem desaparecem. As proprie-dades listadas a seguir sao relacoes simples e uteis que podem ser usadas paracalcular as transformadas de sinais menos basicos. Ha uma correspondenciaquase exata com as Transformadas de Fourier.

3.8.1 Linearidade

Sendo x1(t) e x2(t) dois sinais quaisquer que admitem transformada de La-place, e α1 e α2 dois reais quaisquer temos

L{α1x1(t) + α2x2(t)} = α1L{x1(t)}+ α2L{x2(t)} ∀α1, α2 ∈ IR

ou seja, a transformada de Laplace da combinacao linear de dois sinais e amesma combinacao linear das transformadas dos sinais. E o velho princıpioda superposicao atacando novamente. A demonstracao da validade se fariade modo simples, aplicando propriedades basicas das integrais:

∫ ∞

0−(α1x1(t) + α2x2(t)) e

−stdt = α1

∫ ∞

0−x1(t)e

−stdt+ α2

∫ ∞

0−x2(t)e

−stdt

Exemplo 3.8.1 Lembrando que a transformada de Laplace de uma exponen-cial unilateral e−at1(t) ja e conhecida, e que um cosseno pode ser decompostoem uma soma de exponenciais complexas podemos escrever

L{cosω0t} = L{

1

2ejω0t +

1

2e−jω0t

}

=1

2L{

ejω0t}

+1

2L{

e−jω0t}

=1

2

(

1

s− jω0

)

+1

2

(

1

s+ jω0

)

=s

s2 + ω20

59

3.8.2 Translacao no tempo

Lembremos que um sinal g(t) resulta da translacao no tempo, ou do des-locamento da escala de tempo, de um sinal x(t) quando g(t) = x(t − ∆),e que isto significa movimentar horizontalmente o grafico do sinal x(t) deacordo com ∆. Uma notacao alternativa e que explicita a dependencia dosinal deslocado g do sinal original x e a seguinte:

g(t) = Q∆x(t) = x(t−∆)

onde usamos o operador deslocador Q∆. Muitas vezes, para enfatizar queos sinais considerados devem ser unilaterais pode-se reescrever a expressaoacima

g(t) = Q∆x(t) = x(t−∆)1(t−∆)

A transformada de Laplace de um sinal deslocado e dada por

L{Q∆x(t)} = L{x(t−∆)1(t−∆)} = e−∆sL{x(t)}

ou seja, para deslocar no tempo basta multiplicar por uma exponencial com-plexa no domınio s. A demonstracao e tambem simples.

L{Q∆x(t)} =∫ ∞

0−(Q∆x(t)) e

−stdt =∫ ∞

0−x(t−∆)1(t−∆)e−stdt

=∫ ∞

−∆x(ξ)1(ξ)e−s(ξ+∆)dξ onde usamos ξ = t−∆

= e−s∆∫ ∞

0x(ξ)e−sξdξ = e−s∆L{x(t)}

Exemplo 3.8.2 Seja x(t) o pulso de amplitude unitaria e largura ∆ aplicadoa partir da origem. Sua transformada de Laplace pode ser calculada a partirda definicao, mas isto e tedioso. Fica mais facil e elegante perceber quex(t) = 1(t)− 1(t−∆) donde, usando as propriedade anteriores:

X(s) =1

s− e−s∆1

s=

1− e−s∆

s

Seja agora g(t) o pulso x(t) deslocado para a direita de ∆ unidades:

✲

✻

t

x(t)

∆

1

✲

✻

t

g(t)

∆

1

2∆

E imediato verificar, usando esta ultima propriedade, que

G(s) = e−s∆X(s) = e−s∆1− e−s∆

s

60

Definindo o sinal h(t) como x(t)− g(t) temos

H(s) = X(s)−G(s) = 1− 2e−s∆ + e−2s∆

s

Considere, finalmente, o sinal f3 dado pela serie infinita

f3 = h(t) +Q2∆h(t) +Q4∆h(t) + · · ·

O leitor deve se convencer que este sinal representa uma onda quadradade amplitude unitaria e perıodo 2∆. Sua transformada de Laplace pode serencontrada facilmente:

F (s) = H(s) + e−2∆sH(s) + e−4∆sH(s) + · · ·= H(s)

{

1 + e−2∆s + e−4∆s + · · ·}

= H(s)1

1− e−2∆s

=1− 2e−∆s + e−2∆s

s

1

1− e−2∆s

=

(

1− e−∆s)2

s (1 + e−∆s) (1− e−∆s)

=1− e−∆s

s (1 + e−∆s)

3.8.3 Multiplicacao por Exponencial Real

Esta pode ser considerada dual da propriedade anterior, e poderia se chamarTranslacao na Frequencia:

L{

x(t)e−at}

= X(s+ a)

Exemplo 3.8.3 Oscilacoes amortecidas sao muito comuns no estudo de sis-temas em geral e no de sistemas de controle em particular; elas podem sermodeladas por sinais harmonicos multiplicados por exponenciais decrescen-tes: f3 = e−at cosω0t. Chamando cosω0t = x(t) terıamos

F (s) = X(s+ a) =

[

s

s2 + ω20

]

s=s+a

=s+ a

(s + a)2 + ω20

3.8.4 Alteracao da escala de tempo

Sendo a > 0 o efeito de acelerar a escala de tempo, ou seja, comprimir ografico, pode ser conseguido com x(at) para a > 1; para ralentar a escala detempo e dilatar o grafico se usa a < 1. No domınio de Laplace isto se traduzem

L{x(at)} = a−1X(s/a)

61

3.8.5 Derivadas

Uma das propriedades seminais da transformada de Laplace, assim comotambem da de Fourier, e a que relaciona derivacoes no domınio do tempo amultiplicacoes no domınio das frequencias. Apenas esta caracterıstica bas-taria para garantir a enorme importancia e a grande aplicabilidade destasferramentas. Usando, como de costume, o sımbolo x(t) para designar a deri-vada temporal de x(t) temos

L{x(t)} = sL{x(t)} − x(0−)

Para demonstrar a validade desta expressao seja u(t) = e−st e vetor =x(t). A regra da derivada do produto diz que (uv)′ = u′v + uv′; integrandoesta relacao chegamos a

∫ ∞

0−

d

dt

(

x(t)e−st)

dt =∫ ∞

0−−sx(t)e−stdt+

∫ ∞

0−x(t)e−stdt

de onde tiramos[

x(t)e−st]∞

0−= −s

∫ ∞

0−x(t)e−stdt+

∫ ∞

0−x(t)e−stdt

que leva, finalmente, a

0− x(0−) = −sL{x(t)} + L{x(t)}

que e a expressao buscada. Um corolario simples nos levaria ao caso dederivacoes multiplas:

L{x(t)} = s2L{x(t)} − sx(0−)− x(0−)...

L{

x(n)(t)}

= snL{x(t)} − s(n−1)x(0−)− · · · − x(n−1)(0−)

Exemplo 3.8.4 Sabemos que o impulso unitario pode ser encarado como aderivada do degrau unitario, assim

L{δ(t)} = sL{1(t)} − 1(0−) = s1

s− 0 = 1

Sendo x(t) = cosω0t temos x(t) = −ω0 senω0t e podemos expressar oseno como senω0t = −(1/ω0)

ddtcosω0t, donde

L{ senω0t} = − 1

ω0

(

sL{cosω0t} − cos 0−)

= − 1

ω0

(

ss

s2 + ω20

− 1

)

=ω0

s2 + ω20

62

3.8.6 Integrais

Esta e outra propriedade importantıssima, ao lado da anterior:

L{∫ t

−∞x(λ)dλ

}

=1

sL{x(t)}+

∫ t

−∞x(λ)dλ

Como normalmente estamos interessados apenas em sinais unilaterais aintegral do segundo membro acima se anula e pode-se escrever, simplificandoainda a notacao do primeiro membro, a conhecida expressao:

L{∫

x(t)}

=1

sL{x(t)}

Exemplo 3.8.5 Partindo do impulso unitario e considerando que o degrauunitario e sua integral, e que a rampa unitaria e, por sua vez, a integral dodegrau e assim por diante:

L{δ(t)} = 1

L{1(t)} = L{∫

δ(t)}

=1

s

L{t1(t)} = L{∫

1(t)}

=1

s2

L{

(1/2)t21(t)}

= L{∫

t1(t)}

=1

s3

...

Estas ultimas duas propriedades sao muito importantes. Operacoes in-versas no domınio do tempo correspondem a operacoes inversas no domıniodas frequencias. Mas ha aqui uma diferenca marcante, pois as operacoes nodomınio das frequencias (multiplicacao e divisao por s) sao claramente maissimples do que as derivacoes e integracoes temporais. Isto pode ter muita uti-lidade (e tem!) no estudo de equacoes integro-diferenciais: o uso do domıniodas frequencias levaria (e leva!) a ferramentas de trabalho mais simples econvenientes. Veremos isto oportunamente. Algo semelhante acontece comos logaritmos: as operacoes de multiplicacao e divisao sao transformadas emsoma e subtracao.

3.8.7 Convolucao

Assim como acontecia em Fourier, a convolucao no tempo de dois sinais setransforma no produto de suas transformadas:

L{∫ ∞

0x1(λ)x2(1− λ)dλ

}

= L{x1(t) ∗ x2(t)} = X1(s)X2(s)

63

3.8.8 Valor inicial

Permite calcular o valor inicial de uma funcao, um parametro claramente dodomınio do tempo, por meio de sua transformada.

f(0+) = limt→0+

x(t) = lims→∞

sX(s)

desde que o limite no tempo exista. Para demonstrar a validade desta relacaolembremos o teorema da derivacao, que permite escrever

sX(s) =∫ ∞

0−x(t)e−stdt+ x(0−)

Levando ao limite:

lims→∞

sX(s) = lims→∞

∫ ∞

0−x(t)e−stdt+ x(0−) = A+ x(0−)

Deve-se analisar dois casos:

1. Quando x(t) e uma funcao contınua em t = 0 teremos A = 0 e

lims→∞ sX(s) = x(0−) = x(0+)

2. Quando x(t) e descontınua em t = 0 teremos

[x(t)]t=0 =(

x(0+)− x(0−))

δ(t) =⇒ A = x(0+)− x(0−)

ques tambem leva alims→∞

sX(s) = x(0+)

Exemplo 3.8.6 Calcular o valor inicial de um sinal cuja transformada deLaplace e dada:

X(s) =s + 1

s2 + 5s+ 7x(0+) = lim

s→∞s2 + s

s2 + 5s+ 7= 1

Quando temos a expressao analıtica para x(t):

x(t) = δ(t)+e−3t X(s) = 1+1

s+ 3=s+ 4

s+ 3x(0+) = lim

s→∞ss+ 4

s+ 3=∞

3.8.9 Valor final

Outro parametro do domınio do tempo importantıssimo e o valor final de umsinal ou, como tambem e chamado, valor de regime.

xr = limt→∞

x(t) = lims→0

sX(s)

desde que o limite no tempo exista.

64

Exemplo 3.8.7 Sendo dada o transformada de Laplace de um sinal pode-se,mesmo sem conhecer completamente sua expressao analıtica no domınio dotempo, saber para onde tende esse sinal quando t cresce:

X(s) =1

s(s+ 1)xr = lim

s→0

s

s(s+ 1)= 1

Muitas vezes x(t) e conhecido no domınio do tempo, e mesmo assim pode-se usar a expressao acima para calcular seu valor de regime, pois o trabalhopode ser menor. Seja x(t) = sen t:

limt→∞

sen t = lims→0

s1

s2 + 1= 0

Opa . . . algo estranho aqui, muito estranho . . . Conseguimos encontrarum limite que nao existe!!! E preciso verificar sempre a existencia do limiteantes de aplicar esta propriedade, caso contrario pode-se chegar a resultadostolos como este. Como fazer isto quando apenas X(s) e conhecida? Veremosdepois (polos de X(s) no semi-plano esquerdo).

Estas dois ultimos resultados mostram como informacoes a respeito dex(t) podem ser extraıdas de X(s); mais coisas sobre este excitante topicomais tarde.

3.9 Calculos, inversas e tabelas

Neste texto, a introducao das transformadas de Laplace foi motivada, prin-cipalmente, pelas falhas mostradas pela transformada de Fourier para sinaisimportantes. Ao multiplicar o sinal problematico por uma exponencial de-crescente esperava-se fazer com que ele satisfizesse Dirichlet e assim se corri-giria a falta de convergencia da integral:

F{x(t)} =∫ ∞

−∞x(t)e−jωtdt · · · x(t) = x(t)eσt · · · F{x(t)} = Lb{x(t)}

Esta cadeia de palpites esperancosos acabou dando certo pois seu resul-tado final, a transformada de Laplace, exibe condicoes favoraveis de existen-cia, seja em sua forma bilateral ou na unilateral. Alem destas caracterısticas,motivadoras iniciais da busca, as propriedades de derivacao e integracao vis-tas acima tornam, como se vera na proxima secao, as transformadas de La-place numa das principais ferramentas usadas no estudo de equacoes dife-renciais. Assim, esta transformada tem vida e usos proprios e independentesde Fourier, e longe de ser uma muleta, algo coadjuvante, uma pequena pecausada apenas para suprir falhas de algo “maior”, a transformada de Laplaceprescinde de espectros e do domınio das frequencias para ter luz propria.

65

3.9.1 Calculo

Dado um sinal x(t) o uso da integral de definicao da transformada de Laplace,equacao (3.3) certamente permite o calculo de X(s), mas as vezes o trabalhopode ser pesado. Vimos que as propriedades podem ajudar muito nessatarefa, facilitando as coisas para casos nao triviais. Juntando os resultadosde exemplos e exercıcios feitos ate agora podemos formar uma tabela, comoa abaixo.

x(t) X(s)

δ(t) 11(t) 1/st1(t) 1/s2

(1/2)t21(t) 1/s3

eat1(t) 1/(s− a)teat1(t) 1/(s− a)2

cos(ω0t)1(t) s/(s2 + ω20)

sen (ω0t)1(t) ω0/(s2 + ω2

0)eat cos(ω0t)1(t) (s− a)/((s− a)2 + ω2

0)

E facil encontrar tabelas bem mais sofisticadas do que a anterior, ondea lista de pares x(t) ↔ X(s) e mais completa e onde tambem se listamas propriedades. Nas aplicacoes praticas da transformada de Laplace naose emprega a integral de definicao (3.3) mas sim tabelas, e a boa notıciae que mesmo listas singelas e suscintas como a acima podem servir muitobem na grande maioria dos casos, desde que sejam acompanhadas de um usointeligente das propriedades.

3.9.2 Inversas

Muito bem, agora, que tal atacar o problema oposto: tendo em maos atransformadaX(s), como recuperar integralmente o sinal x(t) que a originou?Sabemos que

F{x(t)e−σt} =∫ ∞

−∞x(t)e−(σ+jω)tdt = X(ω)

donde se pode recuperar x(t) usando a transformada inversa de Fourier

x(t)e−σt = F−1{

X(ω)}

=1

2π

∫ ∞

−∞X(ω)ejωtdω

E daqui sai x(t):

x(t) =1

2π

∫ ∞

−∞X(ω)e(σ+jω)tdω

66

Mas X(ω) = X(s), logico, e σ = s − jω, donde ds = jdω o que levaa expressao final para a Transformada Inversa ou antitransformada deLaplace:

x(t) = L−1X(s) =1

2πj

∫ σ−j∞

σ+j∞X(s)estds

onde σ deve ser escolhido dentro da regiao de convergencia absoluta (pensa-ram que estavam livres dela?): σ > c ≥ 0.

Muito bela a teoria, mas e nas aplicacoes praticas, a definicao da anti-transformada entra mesmo em jogo? Nao. Quem trabalha mesmo sao aspropriedades e as tabelas. Antes de prosseguir, um fato: na esmagadoramaioria das situacoes de algum interesse em Engenharia, as transformadasde Laplace dos sinais envolvidos sao funcoes racionais na variavel s, ouseja, quocientes entre polinomios com coeficientes reais:

X(s) =n(s)

d(s)

onde n(s) = bmsm+ · · ·+ b1s+ b0 e d(s) = sn+an−1s

n−1+ · · ·+a1s+a0, comai, bj reais e, normalmente, n ≥ m. Quando n, o grau do denominador d(s)e elevado, nem mesmo as tabelas mais completas funcionam e sera precisolancar mao de um conhecido artifıcio, a expansao em fracoes parciais.Assim, supondo que as raızes do polinomio denominador sao os valores reaise distintos p1, p2, . . . pn teremos

X(s) =n(s)

d(s)=

n(s)

(s− p1)(s− p2) · · · (s− pn)

e o truque e transformar esta funcao racional com denominador de grau n emuma soma de funcoes racionais basicas, com denominadores de grau unitario

X(s) =n(s)

(s− p1)(s− p2) · · · (s− pn)=

k1s− p1

+k2

s− p2+ · · · kn

s− pnOs reais ki sao chamados de resıduos e podem ser encontrados de varias

maneiras. O importante e notar que a expansao permite calcular de modotrivial a antitransformada de Laplace; no caso acima, para t ≥ 0

x(t) = k1ep1t + k2e

p2t + · · · knepnt (3.4)

Como d(s) tem coeficientes reais, se ha raızes nao reais, elas aparecemaos pares complexos conjugados. A expansao acima pode ainda ser usada,mas alguns resıduos serao tambem complexos conjugados.

Exemplo 3.9.1 Considere o caso

X(s) =1

s2 − 2as+ ω20 + a2

=1

(s− a− jω0)(s− a+ jω0)

67

=k1

(s− a− jω0)+

k2(s− a+ jω0)

Os malabarismos tradicionais levam a duas restricoes para os ki: k1+k2 =0 e k1 − k2 = 1/(jω0). A obtencao de x(t) segue o padrao de sempre, usodireto da equacao (3.4), mas sera preciso usar a identidade de Euler nasexponenciais complexas. O resultado, para t ≥ 0 e

x(t) = k1e(a+jω0)t + k2e

(a−jω0)t =

= eat[k1(cosω0t + j senω0t) + k2(cosω0t− j senω0t)]

= eat[(k1 + k2) cosω0t + (k1 − k2)j senω0t]

= eat1

ω0

senω0t

O exemplo anterior e bastante geral, e mostra que pares de raızes comple-xas conjugadas em d(s) levam a senoides com amplitudes amortecidas comoparcelas da resposta geral x(t). Quando d(s) tem raızes reais repetidas asimplicidade de aplicacao da equacao (3.4) fica um pouco prejudicada.

Exemplo 3.9.2 Considere o caso

X(s) =n(s)

(s− a)2(s− b)

com raızes reais multiplas (duas) em a e uma raiz simples em b. A expansaodeve conter dois termos referentes a raiz em a:

X(s) =ka1s− a +

ka2(s− a)2 +

kbs− b .

A obtencao dos resıduos e mais elaborada, e uma vez em posse deles apassagem de volta ao domınio do tempo seria, para t ≥ 0

x(t) = ka1eat + ka2(te

at) + kbebt = (ka1 + ka2t)e

at + kbebt

onde ha duas exponenciais associadas a raiz repetida a, uma delas multipli-cada pela rampa t.

3.10 Aplicacao a equacoes diferenciais

As primeiras secoes do capıtulo 5 mostrarao a importancia das equacoesdiferenciais ordinarias (EDOs) no estudo de sistemas dinamicos. A formageral dessas equacoes e como abaixo, onde m ≤ n.

y(n)(t) = f(y(n−1)(t), . . . y(t), y(t), u(m)(t), . . . u(t), u(t), t) (3.5)

68

onde u e a funcao forcante ou sinal de “entrada” e y e o sinal dependente oude “saıda”. A EDO mostra que a enesima derivada de y (sempre em relacaoao tempo) depende das derivadas de menor ordem de y e tambem de u e desuas derivadas. Esta dependencia e simbolizada pela funcao f , e pode serbastante geral, o que dificulta a resolucao dessas equacoes.

Conhecido o sinal forcante u(t), uma equacao como (3.5) apresenta, emgeral, uma infinidade de solucoes; para pincar apenas uma destas e precisoconhecer as n condicoes de contorno. Nos casos de interesse em Enge-nharia usa-se, quase sempre, um caso particular de condicoes de contorno, ascondicoes iniciais: os valores de y e de suas derivadas ate a ordem n − 1devem ser conhecidos em t = 0 ou, mais precisamente, em t = 0−.

CIs : y(0−) = α0, y(0−) = α1, y(0−) = α2 . . . yn−1(0−) = αn−1 (3.6)

onde os αi para i = 1, 2, . . . , n− 1 sao reais.Um caso particular muito importante emerge quando f e uma funcao

linear e fixa, ou seja, uma combinacao linear com coeficientes constantes ou,como tambem sao chamados, invariantes no tempo. Seja a EDOLF(equacaodiferencial ordinaria linear fixa) dada por . . .

y(n)(t) = αn−1y(n−1)(t) + · · ·+ α1y(t) + α0y(t) +

βmu(m)(t) + · · ·+ β1u(t) + β0u(t)

onde m ≤ n, os αi e βi sao constantes reais e as condicoes iniciais sao comoem (3.6). As EDOLFs sao normalmente escritas de modo diverso, reunindoy e suas derivadas em um lado (geralmente o esquerdo) da igualdade e u esuas derivadas no outro:

y(n)(t)+an−1y(n−1)(t)+ · · ·+a1y(t)+a0y(t) = bmu

(m)(t)+ · · ·+b1u(t)+b0u(t)onde m ≤ n, ai = −αi e bi = −βi e as condicoes iniciais sao como em (3.6).

Na secao 5.4 havera uma breve revisao e comentarios sobre metodos deresolucao de EDOLFs. Aqui adiantamos que as transformadas de Laplacesao uma ferramenta muito poderosa, e o seu uso simplifica muito a tarefa desolucionar esse tipo de equacoes; sempre que possıvel, em resumo, deve-seemprega-las. Os aspectos basicos sobre o uso de Laplace na resolucao deEDOLFs serao apresentados agora.

Seja, por exemplo, a equacao diferencial a seguir com suas condicoesiniciais:

{

˙y(t) + 3y(t) + 3y(t) + y(t) = u(t) + 2u(t)y(0−) = 1; y(0−) = 2; y(0−) = 3

Laplaceando ambos os membros, e usando as propriedades, vem

s3Y (s)− s2y(0−)− sy(0−)− y(0−)+3(s2Y (s)− sy(0−)− y(0−))+3(sY (s)− y(0−)) + Y (s) =

sU(s)− u(0−) + 2U(s)

69

Agrupando melhor, e substituindo os valores das CIs:

(s3 + 3s2 + 3s+ 1)Y (s)− (s2 + 3s+ 3)− 2(s+ 3)− 3 =(s+ 2)U(s)− u(0−)

Isolando Y (s):

(s3 + 3s2 + 3s+ 1)Y (s) = (s+ 2)U(s) + (s2 + 5s+ 12)− u(0−) (3.7)

donde podemos exprimir Y (s) como

Y (s) =(s+ 2)U(s) + (s2 + 5s+ 12)− u(0−)

s3 + 3s2 + 3s+ 1(3.8)

Deste modo Y (s) esta plenamente determinada a partir da funcao forcanteu(t) e das condicoes iniciais. Estes desenvolvimentos ajudarao a aceitar avalidade dos resultados apresentados na secao 5.5.

Na secao 3.6 a transformada de Laplace foi apresentada como algo paracorrigir falhas de existencia da transformada de Fourier, e pode ter ficadoa ideia de que ela desempenha um papel menor, coadjuvante. No estudode sinais talvez isto aconteca, mas no campo de equacoes diferenciais a ver-dade e bem outra e a transformada de Laplace e ferramenta imprescindıvelna resolucao de equacoes diferenciais lineares e fixas. A facilidade comque equacoes como estas sao tratados certamente faz das transformadas deLaplace uma ferramenta poderosa e desejavel no campo de resolucao dasEDOLFs.

3.11 Exercıcios

1. Obtenha as Transformadas de Fourier para os seguintes sinais (α > 0):

(a) Ae−αt1(t)

(b) Aeαt1(−t)(c) Ae−α|t|

(d) Ae−αt1(t)− Aeαt1(−t)

2. Plote e compare os espectros de amplitude e fase para os dois primeirositens do exercıcio anterior. Repita a dose para os dois ultimos.

3. Encontre a energia contida nas frequencias |f | < α2π do sinal do item(a) do exercıcio 1. Repita a dose para frequencias |f | < 2α. Comrelacao a energia total, quanto vale esta parte?

4. Use a parte (d) do problema 1 para encontrar a transformada de Fourierda funcao signum:

sgn(t) =

{

1 para t > 0−1 para t < 0

70

5. Calcule a transformada de Fourier do degrau unitario, lembrando que1(t) = (1/2)(1 + sgn(t)).

6. Calcule a transformada de Fourier para os sinais abaixo:

✻✻

✲ ✲

v1 v2

t t-2 -1 1 2

-2 -1

1 2

1 1

-1-1

7. Um sinal tem um espectro de amplitude com formato aproximada-mente retangular, variando de 100 a 10 000Hz. Ele e gravado em fitamagnetica na velocidade de 15 in/s, e posteriormente esta fita e “to-cada” no sentido inverso e a uma velocidade de 7,5 in/s. Esboce osespectros do sinal resultante.

71

Capıtulo 4

Operadores e Sistemas

4.1 Introducao

Os termos operadores, sistemas, processadores de sinais e filtros sao,em muitas situacoes, empregados como sinonimos, como nomes alternativospara uma mesma realidade. Tudo bem, e possıvel trabalhar assim, usando-os indistintamente, mas neste texto gostarıamos de dar a algumas dessaspalavras significados bem precisos e — as vezes — diferentes das outras.Comecaremos pelo termo mais geral, mais matematico e abstrato.

4.2 Teoria dos Operadores

Sejam S1 e S2 dois conjunto de sinais contınuos que nos interessam, como porexemplo o conjunto dos sinais que satisfazem Dirichlet, ou os que admitemtransformada de Fourier, ou os que admitem transformada de Laplace, oumesmo o de todos os sinais contınuos. A exata caracterizacao destas famıliapode ser desenfatizada. Qualquer aplicacao de S1 em S2 sera chamada deoperador ou, mais exatamente, operador contınuo

H : S1 −→ S2

u 7→ y = Hu

A um sinal u ∈ S1 o operador H associa y = Hu ∈ S2. E facil mostrarexemplos ilustrativos: as transformadas de Fourier e de Laplace, o operadordeslocador, etc. Alguns podem estranhar o uso da notacao acima em lugarde y = H(u) como e comum em funcoes em geral; o problema e que, as vezes,os sinais u e y precisam ser considerados em determinados instantes fixos,como por exemplo u(t) e y(t), e isto explica a opcao feita.

Na maior parte dos casos uma versao particular do conceito acima serasuficiente, e a palavra operador designara um endomorfismo, ou seja, uma

72

aplicacao de S no proprio S. A partir de agora lidaremos com endomorfismosonde S contem sinais contınuos.

H : S −→ S

u 7→ y = Hu

A um sinal u ∈ S o operador H associa y = Hu ∈ S. Um operador,em outras palavras, transforma um sinal em outro e pode ser representadograficamente pelo diagrama

✲u

H ✲y

y = Hu

O sinal u pode ser chamado de entrada do operador, e y de saıda. Vemosassim que os operadores tratam, processam, os sinais de entrada, gerando ossinais de saıda. Quando os sinais envolvidos sao escalares diremos que o ope-rador e monovariavel. Quando a entrada e composta por m componentesu1, u2, . . . um com ui ∈ S e a saıda e composta por r componentes usaremosa notacao vetorial

u =

u1u2...um

∈ Sm e y =

y1y2...ym

∈ Sr

e diremos que o operador e multivariavel.Um operador sera chamado de determinıstico quando for possıvel deter-

minar precisamente as saıdas correspondentes a entradas bem especificadas.Quando isto nao for possıvel e o maximo que se conseguir forem informacoesprobabilısticas a respeito das saıdas, diremos que o operador e estocastico.

Operadores Instantaneos ou de Memoria Zero: o valor da saıda emum determinado instante depende apenas do valor da entrada nesse mesmoinstante.

y(t∗)←→ u(t∗) ∀t∗ ∈ IRO “passado” e o “futuro” das entradas sao irrelevantes; na ilustracao

abaixo o valor de y(t∗) sera o mesmo para as tres entradas:

73

✲

✻

t∗ tu′′

u′

u

Relacoes entrada/saıda dadas por y(t) = Ku(t) ∀t ou entao y(t) =u2(t) ∀t representam operadores instantaneos.

Operadores Dinamicos: o valor da saıda em um determinado instantedepende de valores presentes, passados ou futuros da entrada.

y(t∗)←→ u(t) t < t∗, ou t = t∗ ou t > t∗

Agora, passado, presente e futuro das entradas sao relevantes e para afigura acima y(t∗) nao seria necessariamente o mesmo nos tres casos. Umoperador definido pela relacao y(t) =

∫ t+3−∞ u(τ)dτ e dinamico.

Operadores Causais ou Nao Antecipativos ou Fısicos: o valor dasaıda em um determinado instante depende de valores presentes e/ou passa-dos da entrada.

y(t∗)←→ u(t) t ≤ t∗

Antes de prosseguir precisamos recordar o conceito de operador deslo-cador cuja funcao especıfica e a de deslocar sinais. Designado por Qα, suaacao em um sinal f pode ser descrita por

(Qαf)(t) = f(t− α) ∀t, α

o que significa deslocar o grafico do sinal α unidades para a direita:

✲

✻

t

f Qαf

α

Um operador sera chamado de Fixo ou Invariante no Tempo ou Es-tacionario quando

H(Qαu) = Qα(Hu) ∀u, ∀α

Assim, se a entrada de um operador fixo e deslocada, a saıda tambemsera; os operadores fixos nao “mudam de opiniao” com o tempo, qualquertranslacao na entrada acarreta translacao igual na saıda:

74

✲

✻

t

Qαu

Qαy

u

y

Um operador H sera chamado de Linear se e somente se

1. H(u1 + u2) = Hu1 +Hu2 ∀u1, u2 ∈ S

2. H(αu) = αHu ∀u ∈ S ∀α ∈ IR

A primeira das propriedades acima tem o nome de Princıpio da Aditivi-dade, e a outra, Princıpio do Homegeneidade. Estas duas condicoes podemser condensadas em uma unica, e assim dirıamos que um operador represen-tado por H e linear se e somente se

H(α1u1 + α2u2) = α1Hu1 + α2Hu2 ∀u1, u2 ∈ S ∀α1, α2 ∈ IR

A propriedade acima recebe o nome de Princıpio da Superposicao. Pode-se demonstrar que as duas definicoes de linearidade acima sao equivalentes.Este princıpio, e — obviamente — o proprio conceito de linearidade, podeser expandido para varios sinais u1, u2, . . . uN :

H e linear ⇐⇒ HN∑

i

(αiui) =N∑

1

αiHui ∀ui ∈ S ∀αi ∈ IR

Sao entendidos como Nao Lineares aqueles operadores que . . . nao saolineares . . . ou seja todos os operadores que nao satisfazem o Princıpio daSuperposicao. Neste caso a lei de associacao H que relaciona entradas esaıdas nao e linear, ou seja, nao satisfaz as propriedades acima.

Note-se que, pelo fato de esta ultima definicao ser uma definicao negativaela gera uma vasta classe de operadores. Este aspecto, como sera discutidomais adiante, dificulta a obtencao de uma teoria que abranja o estudo destesoperadores. Mas no caso linear as dificuldades nao impedem a construcao deuma bela teoria:

4.3 Resposta de Operadores Lineares

Recordemos, em primeiro lugar, como decompor um sinal qualquer em umasoma de sinais mais simples. Para isto precisaremos do conceito de pulsounitario, ja visto na secao 2.5.1 e aqui novamente enunciado por comodidade.

75

Um pulso unitario de largura ∆ e o sinal δ∆ : IR→ IR definido como

δ∆(t− τ) =

0 para t < τ

1/∆ para τ ≤ t < τ +∆

0 para τ +∆ ≤ t

Notemos que o pulso tem area unitaria (daı o nome), e aplicado a partirdo instante τ , e tem a duracao ∆, de acordo com o grafico abaixo:

•τ τ +∆ t

✻

1∆

• δ∆(t− τ)

✲

Na secao 2.5.1 viu-se que toda funcao contınua por partes pode ser apro-ximada por uma soma de pulsos. A figura abaixo ilustra o grafico de umsinal f , onde o eixo do tempo foi dividido em faixas de largura ∆.

✲ti t

✻x

•

O pulso, de largura ∆ mas nao unitario, que se inicia no instante ti podeser representado por

f(ti)δ∆(t− ti)∆A soma de todos estes pulsos constitui o que se chama de aproximacao

escada para o sinal f e podemos escrever

f ≈∑

f(ti)δ∆(t− ti)∆

A figura acima ilustra bem o fato de uma funcao f contınua por partespoder ser aproximada por uma serie de pulsos nao necessariamente unitarios.Quanto mais proximos forem os instantes de amostragem ti ou, equivalen-temente, quanto menos for ∆, melhor sera a aproximacao. Assim, paramelhorar esta aproximacao devemos usar o Impulso Unitario ou “funcao”Delta de Dirac, ja apresentada na secao 2.5.1:

δ(t− τ) = lim∆→0

δ∆(t− τ)

76

Baseados nesta “definicao” podemos considerar o impulso como uma acaoextremamente intensa e de duracao extremamente curta. Os impulsos saomuito importantes por causa de suas propriedades teoricas e, embora sejamirreprodutıveis no mundo fısico, podem ser bastante bem aproximados porpulsos unitarios rapidos.

A resposta de um operador monovariavel a um impulso unitario aplicadono instante τ sera genericamente chamada de Resposta ao Impulso e seradesignada por h(·, τ).

✲uH ✲

y = Huu = δ(t− τ) → y = h(·, τ)

Usando a terminologia de operadores temos que h(·, τ) = Hδ(t− τ). Deacordo com nossa convencao h(·, τ) e a funcao resposta ao impulso, e h(t, τ)seria o valor desta funcao no instante t. Assim, h(t, τ) e o valor da saıda deum operador no instante t quando a entrada e um impulso unitario aplicadono instante τ .

✲

✻

✻τ

u

t

y = Hu✲

✻y

tt

h(·, τ)h(t, τ)

Para o caso multivariavel devemos nos lembrar de que ha m canais deentrada e r canais de saıda. Supondo que todas as componentes da entradase anulam exceto a j-esima, que e um impulso unitario aplicado no instanteτ teremos y1 = h1j(·, τ), y2 = h2j(·, τ), . . . etc. Assim podemos dizer quehij(t, τ) e o valor assumido no instante t pela i-esima componente da saıdaquando a j-esima componente da entrada e um impulso unitario aplicado noinstante τ e as demais entradas sao nulas:

Quando

uj = δ(t− τ)

uk = 0 ∀k 6= jteremos yi(t) = hij(t, τ)

Definimos Matriz de Resposta ao Impulso como a matriz H(·, τ) ouH(t, τ) com r linhas e m colunas cujo elemento (ij) e h(·, τ) ou h(t, τ).

Da maneira como foi definida a resposta ao impulso pode ser obtida paraqualquer operador. Vejamos agora o que acontece quando nos restringimosa operadores lineares. Seja entao um operador linear H e apliquemos a suaentrada u a aproximacao escada anterior. Como y = Hu teremos

y ≈ H∑

i

u(ti)δ∆(t− ti)∆

Como o operador e linear podemos aplicar o Princıpio da Superposicao

77

Generalizado e obter

y ≈∑

i

u(ti)Hδ∆(t− ti)∆

Para melhorar a aproximacao faremos ∆→ 0. Com isto, ti → τ , ∆→ dτ ,δ∆(t− ti)→ δ(t− τ) e ∑→ ∫

o que nos permite escrever

y =∫ ∞

−∞Hδ(t− τ)u(τ)dτ

ou, usando a ideia de resposta ao impulso,

y =∫ ∞

−∞h(·, τ)u(τ)dτ ou y(t) =

∫ ∞

−∞h(t, τ)u(τ)dτ

Estao explicitadas acima duas formas da famosıssima Integral de Su-perposicao. Sua enorme importancia reside no fato de ela permitir a ob-tencao da saıda de um operador linear quando a entrada e um sinal qualquer.Devemos convir que a capacidade de se calcular as saıdas correspondentesa quaisquer entradas e indicativa de um conhecimento bastante razoavel so-bre o operador em estudo. Dificilmente ambicionaremos mais do que isso aoestudar operadores.

Dizemos que a resposta ao impulso caracteriza um operador linear porqueela encerra em si uma quantidade suficiente de informacoes sobre o operadorpara que possamos, usando a integral de superposicao como ferramenta, co-nhecer a saıda correspondente a uma entrada qualquer. Para “conhecer” umoperador de tal modo a saber sua resposta para uma dada entrada devemossaber qual e sua resposta ao impulso. Para efetivamente calcular a saıdadevemos usar a integral de superposicao.

Para o caso de um operador multivariavel a integral de superposicao passaa envolver matrizes e vetores e nas expressoes acima o sımbolo h se referea uma matriz e u a um vetor. Mesmo se nao nos restringirmos ao casolinear poderemos ainda encontrar uma expressao semelhante as integrais desuperposicao. Na realidade esta nova expressao e bem mais geral, pois apartir dela a saıda y(t) de um operador qualquer pode ser caracterizada por

y(t) =∫ ∞

−∞j(t, τ, u(τ))dτ

onde j(·, ·, ·) corresponde ao operadorH . Se este j(t, τ, u(t)) puder ser escritocomo j(t, τ, u(t)) = h(t, τ)u(τ) temos a informacao de que o operador He linear. Desta maneira a linearidade e, consequentemente, a integral desuperposicao, passam a ser casos particulares da expressao acima.

Vejamos agora as caracterısticas peculiares da resposta ao impulso paratipos particulares de operadores.

78

4.3.1 Operador causal

O proprio conceito de causalidade diz que um impulso aplicado no instanteτ como entrada pode afetar apenas instantes posteriores a τ . Isto pode sertraduzido por h(t, τ) = 0 para t < τ e a integral de superposicao assume aseguinte forma:

y =∫ t

−∞h(·, τ)u(τ)dτ ou y(t) =

∫ t

−∞h(t, τ)u(τ)dτ

Para o caso mais geral, nao necessariamente linear, a causalidade tambemfaz com que o limite superior de integracao seja t e nao ∞:

y(t) =∫ t

−∞j(t, τ, u(τ))dτ

4.3.2 Entrada Unilateral

Quando a entrada u e um sinal unilateral, ou seja, comeca a ser aplicadaapenas a partir do instante t0 teremos u(τ) = 0 para τ < t0 e os limites deintegracao podem ser alterados:

y =∫ ∞

t0h(·, τ)u(τ)dτ ou y(t) =

∫ ∞

t0h(t, τ)u(τ)dτ

Quando, alem de unilateral o operador e tambem causal teremos

y =∫ t

t0h(·, τ)u(τ)dτ ou y(t) =

∫ t

t0h(t, τ)u(τ)dτ

4.3.3 Operador Invariante no Tempo

A definicao dizia que um operador e fixo, ou invariante no tempo quandoHQαu = QαHu = Qαy para u e α quaisquer. Em termos graficos isto podeser visualizado como

✲

✻

t

✻

τ t

δ(t− τ)h(t, τ)

h(·, τ)

✻

τ + α t + α

Qαδ(t− τ)h(t+ α, τ + α)

Qαh(·, τ)

E facil perceber que para operadores fixos h(t, τ) = h(t+α, τ+α) quaiquerque sejam t, τ , e α. Assim, escolhendo α = −τ chegamos a

h(t, τ) = h(t− τ, τ − τ) = h(t− τ, 0) = h(t− τ)

79

Para operadores invariantes no tempo a resposta ao impulso e uma funcaoparticular dos parametros t e τ : depende apenas de t − τ , da distanciaportanto entre o isntante de aplicacao do impulso e os isntante de observacaoda saıda. A grandeza t− τ e, as vezes, chamada de idade do sistema.

Exemplo 4.3.1 A resposta ao impulso h(t, τ) = (t − τ)2 caracteriza umoperador fixo.

Acabamos de ver que a resposta ao impulso de operadores fixos dependeapenas de t−τ . Desta maneira, o instante τ de aplicacao do impulso e comple-tamente irrelevante pois a saıda em qualquer instante t depende do intervalode tempo decorrido, t − τ . Um impulso aplicado no origem da a mesma in-formacao que um impulso aplicado em qualquer outro instante. Tudo isto nosdiz que os operadores fixos sao caracterizados, indiferentemente, por h(t− τ)ou por h(t).

Podemos chegar a esta mesma conclusao usando o fato matematico deque, sendo h(t−τ) uma funcao apenas da variavel t−τ e absolutamente irrele-vante o argumento desta funcao, ou seja, o sımbolo colocado entre parenteses:

h(t, τ) = h(t− τ) ou h(t) ou h(ξ)

4.3.4 Integral de Convolucao

Para um operador linear, invariante no tempo, causal e unilateral teremos

y(t) =∫ t

t0h(t− τ)u(τ)dτ

Como esta integral se aplica a operadores fixos e absolutamente irrele-vante o valor do instante inicial t0 pois a “forma” da saıda independera det0 e assim podemos, sem perda de generalidade, considerar t0 = 0:

y(t) =∫ t

0h(t− τ)u(τ)dτ

ou ainda, alterando a variavel de integracao por meio de τ = t− ξ:

y(t) =∫ t

0h(t− τ)u(τ)dτ = −

∫ 0

th(ξ)u(t− ξ)dξ =

∫ t

0h(ξ)u(t− ξ)dξ

podemos escrever as conhecidas identidades

y(t) =∫ t

0h(t− τ)u(τ)dτ =

∫ t

0h(τ)u(t− τ)dτ

Qualquer das formas acima representa a famosa Integral de Convolucao.Se, conhecida a resposta impulsiva de um determinado operador LIT — li-near, invariante no tempo, causal e unilateral — desejamos calcular a saıdacorrespondente a uma dada entrada devemos resolver a integral de con-volucao. Podemos, para isto, aplicar qualquer um dos conhecidos metodosanalıticos.

80

4.3.5 Convolucao Grafica

Alem dos metodos analıticos para se resolver a integral de convolucao ha tam-bem um procedimento grafico que, dependendo das funcoes h e u envolvidaspode ser uma alternativa bastante comoda. Senao vejamos, seja a convolucao

y(t) =∫ t

0h(t− τ)u(τ)dτ onde h(ξ) = k(1− e−kξ)1(ξ)

onde a entrada e um pulso de largura e altura unitarias, aplicado a partir daorigem. Nas figuras abaixo visualizamos os graficos destes sinais:

✲

✻

ξ✲

✻

ξ

1

1

u(ξ)h(ξ)

k

As mudancas de variaveis abaixo sao triviais e, claramente, nao alteramas curvas:

✲

✻

t− τ✲

✻

τ

1

1

u(τ)h(t− τ)

k

Trocando t− τ por τ − t no eixo das abscissas tem o efeito de “rodar” ografico:

✲

✻

τ − t✲

✻

τ

1

1

u(τ)h(t− τ)

k

Deslocar a curva da esquerda de t unidades para a direita equivale amudar a graduacao das abscissas de τ − t para τ − t+ t = τ :

✲

✻

τ✲

✻

τ

1

1

u(τ)h(t− τ)

k

tAgora as duas curvas se apresentam em funcao do mesmo argumento τ e

como a segunda e unitaria podemos calcular a integral como

y(t) = area da regiao hachurada

Assim, usando rotacoes em torno de eixos, translacoes e mudancas deargumentos consegue-se representar o grafico de h(t − τ)u(τ) em funcao deτ , o que possibilita a calculo da integral pela area. Se tivessemos empregadoa forma

y(t) =∫ t

0h(τ)u(t− τ)dτ

81

para a integral de convolucao a reflexao e a translacao seriam aplicadas aografico de u e nao ao de h.

4.4 Outros aspectos

4.5 Transmissao de Propriedades

✲u

H ✲y

y = Hu

Uma questao muito natural que se pode perguntar e: quando a entrada uapresenta uma certa propriedade, a saıda y tambem a apresenta? Ou entao:dada uma certa propriedade, que operadores a preservam, sao capazes detransmiti-la de u a y? Ou ainda: dado um certo operador, que propriedadessao por ele preservadas?

Exemplo 4.5.1 Seja o operador integrador: y(t) =∫ t0 u(τ)dτ . Quando a

entrada e um degrau a saıda sera uma rampa, claro. A propriedade “tendera um valor constante quando t→∞” nao e preservada por este operador.

A propriedade analisada no exemplo anterior nao e muito importante,nao justificaria a procura de operadores que a preservem. A periodicidade,a energia finita e a limitacao, estas sao propriedades importantes, para asquais vale a pena selecionar os operadores que as transmitem. Comecemoscom a limitacao, pois sinais periodicos e de energia finita ja foram definidos.

Definicao 4.5.1 Um sinal f(·) e limitado quando e apenas quando existek real e finito tal que o grafico de f esta contido em uma faixa horizontal delargura 2k, centrada no eixo das abscissas. Em sımbolos:

f e limitado ⇐⇒ ∃k ∈ IR, k <∞, ∋ |f(t)| < k ∀t ∈ IR

Um sinal limitado e um sinal com bom comportamento, um sinal quejamais escapa para infinito, esta sempre dentro de limites:

✲

✻k

−k

82

A preservacao desta propriedade e suficientemente importante para me-recer uma definicao.

Definicao 4.5.2 Um operador e chamado de BIBO estavel se e somentese toda e qualquer entrada limitada causa uma saıda tambem limitada.

A palavra estabilidade e usada para designar coisas importantes e concei-tualmente diferentes, cuidado! No contexto atual, sempre que mencionarmosestabilidade estaremos nos referindo a BIBO estabilidade, a capacidade deum operador de transformar entrada limitadas em saıdas limitadas. A si-gla BIBO, alias, quer dizer exatamente isso: “Bounded Input, BoundedOutput”. Mas em Ingles, of course.

O conceito de estabilidade BIBO pode — e e! — aplicado aos sistemasrelaxados (operadores unilaterais e causais). E uma das ideias mais impor-tantes e basicas no estudo de tais sistemas, por motivos obvios: sistemasreais que tornam nao limitada uma entrada limitada sao sistemas com seriosproblemas, que devem ser controlados, se possıvel, ou evitados, forcosamente.A estabilidade e uma propriedade desejada para sistemas reais. Mais do quedesejada, a estabilidade deve ser uma propriedade exigida, sempre.

✲

✻

✲

✻

✲

✻

u

y

u

y u

y

Usando apenas a definicao e muito difıcil decidir se um dado operador eestavel ou nao. Precisarıamos verificar todas as possıveis entradas limitadas.Encontrando uma saıda nao limitada, bingo, garantimos a instabilidade, masse nao encontramos . . . temos que continuar testando . . .

Precisamos de uma maneira facil de verificar se um dado operador eestavel ou nao. Para operadores lineares o resultado abaixo fornece essaferramenta.

Teorema 4.5.1 Um operador linear e BIBO estavel se e somente se existem real e finito tal que

∫ t

−∞|h(t, τ)|dτ ≤ m ∀t ∈ IR

Exatamente o que andavamos procurando, um criterio de estabilidade sim-ples de usar. E preciso lembrar que ele vale apenas para operadores lineares.Tambem podemos aplicar este teorema para os sistemas lineares relaxados,

83

basta lembrar que estes sistemas sao operadores unilaterais e causais, alemde lineares, logico.

Exemplo 4.5.2 Considere o operador linear descrito pela resposta ao im-pulso h(t, τ) = t2τ 2:

∫ t

−∞|h(t, τ)dτ =

∫ t

−∞t2τ 2dτ = t2

∫ t

−∞τ 2dτ = t2

[

τ 3

3

]t

−∞→∞

Conclusao: instavel.

E interessante notar que para garantir a capacidade de um operador for-necer saıdas limitadas a todas as possıveis entradas limitadas basta testara sua capacidade de fornecer saıda limitada a uma unica entrada, e estaentrada e o impulso unitario, o prototipo do sinal nao limitado!

Em um operador BIBO estavel a limitacao dos sinais e preservada. Oestudo geral da preservacao de outras propriedades para operadores gerais ecomplicado. A excecao e fornecida pelos operadores lineares e invariante notempo, LITs. Para este ha conexoes interessantes.

Teorema 4.5.2 Se um operador LIT e tambem BIBO estavel entao

1. Se a entrada u tem energia finita a saıda y tambem tera;

2. Se a entrada u e limitada com limt→∞ u(t) = c1 a saıda y sera limitadacom limt→∞ y(t) = c2;

3. Se a entrada u e um sinal periodico com perıodo T0 a saıda tambemsera periodica com o mesmo perıodo T0.

Este teorema responde algumas perguntas, mas abre outras. A periodi-cidade e preservada — para o caso LIT pelo menos — mas e a forma dosinal? Uma onda quadrada continuara quadrada? Como todos os sinaisperiodicos podem ser compostos pelos sinais senoidais basta sabermos comoestes sinais sao processados. O proximo resultado, que pode ser consideradouma particularizacao importante do anterior, atende a este caso de entradassenoidais:

Fato 4.5.1 Se um operador LIT e tambem BIBO estavel entao uma entradasenoidal causa uma saıda tambem senoidal, com a mesma frequencia, mascom amplitude e fase diferentes.

Uma demonstracao para este fato, e mais detalhes, logo a frente. Elegarante que, para entradas senoidais puras o formato se preserva, mas asamplitudes podem ser alteradas, e a fase tambem. Mas isto e assunto vasto,importante, merece tratamento especial. A ele.

84

4.6 Resposta em Frequencia

A partir de agora a atencao quase integral e para o caso LIT, ou seja, cui-daremos quase que exclusivamente dos operadores lineares e invariantes notempo. O problema principal tem sido o de, dado um certo sinal de entradau, encontrar a saıda y. Uma possıvel maneira de fazer isso e atraves daIntegral de Convolucao:

y(t) =∫ ∞

−∞h(t− τ)u(τ)dτ

Para aplicar esta integral devemos conhecer uma informacao muito im-portante do operador: sua resposta ao impulso h(t−τ). Assim, para conhecera saıda ocasionada por uma entrada qualquer devemos conhecer a saıda oca-sionada por uma entrada muito peculiar, o impulso.

Algumas questoes podem ter ocorrido a alguns de voces, leitores. Umadestas, em um nıvel pratico, e a seguinte: dado um operador, como se obtema sua resposta ao impulso?

Impulsos sao abstracoes matematicas, como bem sabemos. Mas se os ope-radores em questao estiverem representando sistemas relaxados, como fazer?Sempre podemos, no mundo real, aproximar impulsos por acoes muito inten-sas e muito rapidas, ocorrendo durante intervalos de tempo muito curtos, masmesmo este procedimento pode nao ser facilmente realizado em laboratorio.

Uma questao em nıvel teorico: por que toda essa importancia atribuıdaaos impulsos, e a classe de sinais singulares a qual ele pertence?

Talvez uma resposta para esta questao teorica seja que qualquer sinalpode ser expresso em termos de impulsos, como vimos . . . mas sinais tambempodem ser expressos em termos de outras funcoes basicas, como senoides. Istofoi apresentado anteriormente, com detalhes.

Seria possıvel prever o comportamento de um operador frente a um en-trada qualquer com base no seu comportamento frente a uma entrada se-noidal? Bem, antes de prosseguir e preciso explicitar rigorosamente o queentendemos por “comportamento de um operador frente a uma entrada se-noidal”. Vamos por partes.

4.6.1 Entradas exponenciais e senoidais

Seja um operador LIT caracterizado pela resposta ao impulso h(t, τ) e sujeitoa uma entrada u(ξ) = eaξ onde a e um complexo. Aplicando convolucaotemos

y(t) =∫ ∞

−∞h(τ)u(t− τ)dτ

=∫ ∞

−∞h(τ)ea(t−τ)dτ

=∫ ∞

−∞h(τ)eate−aτdτ

85

= eat∫ ∞

−∞h(τ)e−aτdτ

Em resumo: quando a entrada de um operador LIT e uma exponencialdo tipo u(t) = eat a saıda sera dada por

y(t) = H(a)eat onde H(a) =∫ ∞

−∞h(τ)e−aτdτ

Continuamos considerando operadores LITs; sejam agora as entradas

u1(t) = Au cosωt fornecendo a saıda y1(t)

u2(t) = Au senωt fornecendo a saıda y2(t)

Como o operador e linear, a saıda correspondente a entrada u(t) = u1(t)+ju2(t) sera y(t) = y1(t)+ jy2(t). Mas este sinal de entrada pode ser expressocomo u(t) = Aue

jωt, uma exponencial. Aplicando o resultado anterior paraa = jω concluımos que a saıda sera

y(t) = AuejωtH(jω) onde H(jω) =

∫ ∞

−∞h(τ)e−jωτdτ

Mas a saıda y(t) pode ser escrita de outro modo . . .

y(t) = y1(t) + jy2(t) = AuH(jωt)ejωt

Como H(jω) e um complexo temos

H(jω) = A(ω)ejθ(ω) onde

A(ω) = |H(jω)| = modulo de H(jω)

θ(ω) = 6 H(jω) = angulo de H(jω)

Percebemos que

y(t) = AuA(ω)ejθ(ω)ejωt = AuA(ω)e

j(ωt+θ(ω))

Mas y(t) = y1(t) + jy2(t) logo

y1(t) + jy2(t) = AuA(ω) (cos(ωt+ θ(ω)) + j sen (ωt+ θ(ω)))

donde y1(t) e y2(t) sao dados por

y1(t) = AuA(ω) cos(ωt+ θ(ω)) e y2(t) = AuA(ω) sen (ωt+ θ(ω))

Isto completa a demonstracao do

86

Teorema 4.6.1 Um operador linear, invariante no tempo e BIBO estavel,quando sujeito a uma entrada senoidal do tipo u(t) = Au cos(ωt + θu) apre-sentara uma saıda dada por

y(t) = Ay cos(ωt+ θy) onde

Ay = AuA(ω) = Au|H(jω)|

θy = θu + θ(ω) = θu + 6 H(jω)

Vemos assim que uma entrada senoidal acarreta saıda tambem senoidal,com a mesma frequencia, amplitude ampliada por um fator |H(jω)| e faseaumentada por uma parcela 6 H(jω). A grandeza H(jω), dada por

H(jω) =∫ ∞


e crucial para estes desenvolvimentos.A estabilidade BIBO do operador nao foi utilizada na demonstracao; ela

esta presente para evitar os casos, raros mas possıveis, de saıdas que oscilamcom amplitudes crescentes quando as entradas sao senoides.

Em resumo, quando a entrada de um OLIT estavel e uma senoide carac-terizada por (ω,Au, θu) a saıda sera tambem uma senoide caracterizada por(ω,Ay, θy) onde

Ay

Au= A(ω) = |H(jω)|

θy − θu = θ(ω) = 6 H(jω)

H(jω) =∫ ∞


Estes resultados fornecem uma descricao completa do comportamento fre-quencial do operador: conhecendo as funcoes A(ω) e θ(ω) poderemos calcularas saıdas para qualquer entrada senoidal.

4.6.2 Entradas quaisquer

Voltemos a questao principal: como exprimir a saıda de um operador parauma entrada qualquer? Se o operador for LIT podemos aplicar a convolucao:

y(t) =∫ ∞

−∞h(τ)u(t− τ)dτ

Achando as transformadas de Fourier de ambos os membros da equacaoacima, e lembrando a propriedade de convolucao chegamos a

F{y(t)} = F{h(t)}F{u(t)}

Isto demonstra o

87

Teorema 4.6.2 Para um OLIT qualquer a relacao abaixo vale

Y (f) = H(f)U(f) onde

Y (f) = F{y(·)}

U(f) = F{u(·)}

e H(f) e a funcao de transferencia do operador.

A funcao de transferencia T (f) e algo que caracteriza completamentenosso operador LIT, no sentido de que, conhecendo-a, poderemos calcular asaıda para qualquer sinal de entrada:

u(t) → U(f) → Y (f) = T (f)U(f) → y(t)

Exatamente o que andavamos procurando. Dizemos que a expressaoY (f) = T (f)U(f) e uma descricao do operador no domınio das frequen-cias, ao passo que a integral de convolucao e uma descricao no domınio dotempo.

Y (f) = T (f)U(f) → domınio das frequencias

y(t) =∫∞−∞ h(τ)u(t− τ)dτ → domınio do tempo

A expressao Y (f) = T (f)U(f) e comoda, compacta e conveniente, porquea convolucao usada no domınio do tempo e transformada em produto nodomınio das frequencias e multiplicar e sempre mais facil do que integrar.

4.6.3 Obtendo a funcao de transferencia

Dada a importancia da funcao de transferencia precisamos de metodos paraobte-la para operadores LIT genericos. Por definicao, a funcao de trans-ferencia e a transformada de Fourier da resposta ao impulso do operador:T (f) = F{h(·)}. Para obter a funcao de transferencia por este caminhoprecisamos conhecer h(·) e isto pode ser problematico. Vejamos algo:

T (f) = F{h(·)} =∫ ∞

−∞h(τ)e−j2πfτdτ = H(j2πf) = H(jω)|ω=2πf

Sutilezas a parte (com relacao ao uso de ω ou f) isto e notavel: a funcaode transferencia e dada pela resposta em frequencia do operador! Se os ope-radores estiverem sendo usados para modelar o comportamento de sistemasrelaxados estes fatos nos levam a um procedimento de identificacao: reali-zamos em laboratorio uma serie de ensaios harmonicos com o sistema.

u(t) = Au cosωt −→ y(t) = Ay cos(ωt+ θy)

Para entradas do tipo Au cosωt medimos as saıdas, que serao, pela teoriavista, sinais do tipo Ay cos(ωt + θy); repetindo o procedimento para varias

88

frequencias ω poderemos estudar a dependencia de Ay/Au e θy com ω. Masestas funcoes sao, respectivamente, o modulo e o angulo de H(jω):

H(jω) = A(ω)eθ(ω) onde

A(ω) = |H(jω)| = Ay/Au

B(ω) = 6 H(jω) = θy

Ou seja, ensaios praticos de resposta em frequencia permitem a obtencaoda funcao de transferencia. Legal!

4.7 Operadores basicos

4.8 Exercıcios

1. Discutir, provando, a linearidade, invariancia no tempo, causalidade einstantaneidade dos operadores abaixo (u representa a entrada e y asaıda):

(a) y(t) =∫ tt−1 u(τ) dτ ∀t

(b) y(t) = [u(t)]2 ∀t(c) y(t) = tu(t) ∀t(d) y(t) =

∫ t−∞ u(τ + 1) dτ ∀t

(e) y(t) =∫ t+10 [u(τ)]2 dτ ∀t

2. Por meio da relacao entrada-saıda de exemplos de operadores contınuoscom as seguintes caracterısticas:

(a) monovariavel, nao linear, antecipativo, invariante no tempo.

(b) monovariavel, linear, causal, variante no tempo.

(c) monovariavel, linear, instantaneo, antecipativo, fixo.

(d) multivariavel (m=r=2), linear, invariante no tempo.

3. Provar que para sistemas relaxados (operadores) a definicao de linea-ridade pelo princıpio da Superposicao e equivalente a definicao usandoAditividade e Homogeneidade.

4. Sendo H1 eH2 operadores lineares provar que a conexao em serie abaixoe tambem linear:

u ✲ H1

v ✲ H2

y ✲

89

5. Para um operador temos g(t, τ) = e−|t−τ | ∀t, ∀τ . O operador e causal?invariante no tempo? qual sera sua saıda quando u = 1(t)?

6. Para o operador IT relaxado cuja resposta ao impulso e mostradaabaixo, encontre a saıda y e esboce seu grafico quando a entrada eu, tambem mostrada abaixo:

✲ t

✻

✲ t

✻u..........1 1..........

1 2 3

g(t)

7. Para um dado operador monovariavel temos

g(t, τ) = g(t+ a, τ + a) ∀t, ∀τ, ∀a

Sendo x = t+ τ e y = t− τ teremos

g(t, τ) = g(

x+ y

2,x− y2

)

(a) mostrar que ∂g/∂x = 0

(b) a partir de (a) mostrar que o nosso sistema e invariante no tempo

8. Um atrasador unitario e definido pela seguinte relacao entrada-saıda:y(t) = u(t − 1) ∀t ou, equivalentemente, por y = Qau, com a = 1.Dizer se um atrasador unitario e linear, causal, instantaneo e invarianteno tempo. Dar sua resposta ao impulso e, se houver, sua funcao detransferencia.

9. Para um operador temos g(t, τ) = t2 − τ 2 ∀t, ∀τ .

(a) o operador e fixo? provar!

(b) o operador e causal? provar!

(c) supondo linearidade qual sera a sua saıda quando

u(t) ={

0, t < 0;e−t, t ≥ 0.

10. Supondo que os operadores descritos nos exercıcios 5, 6, 8 e 9 saolineares, verificar se eles sao BIBO estaveis.

11. Um operador e descrito por g(t, τ) = e−2|t−τ | ∀t, ∀τ .

(a) O operador e causal? invariante no tempo?

90

(b) Usando a integral de superposicao calcular sua saıda quando u =1(t)

(c) Encontrar sua resposta quando u(t) = et

(d) Para que valores de a ∈ C podemos assegurar a convergencia daintegral

∫ ∞

−∞g(τ)e−aτdτ

(e) Calcule a resposta em frequencia G(jω) do operador e plote omodulo |G(jω)| e o angulo 6 (G(jω) em funcao da frequencia ω.

(f) Calcule a funcao de transferencia do operador e, por meio dela,sua saıda para as entradas u(t) = 1 e u(t) = e−|t|

4.9 Operadores e Sistemas

Relembremos os conceitos do capıtulo inicial. Sistema, para nos, e algo fısico,real, uma porcao concreta do meio ambiente na qual concentramos a atencao.Baseados nisto concluımos que as entradas e saıdas dos sistemas devem sersinais unilaterais! Se concentramos a atencao em uma porcao do universo, elogico que comecamos a fazer isto em um dado instante t0.

Podemos entao considerar que as entradas sao definidas apenas para t ≥t0, e o efeito de tudo que aconteceu ao sistema antes desse instante inicialt0 pode ser condensado nas condicoes iniciais, ou, equivalentemente, nasenergias inicialmente armazenadas. Simbolicamente:

Entradas a partir de t0+

Energias iniciais

=⇒ comportamento futuro do sistema

Vemos que o estudo de sistemas esta associado aos sinais unilaterais e aideia de condicoes iniciais. Sistemas sem energias inicialmente armazenadasrecebem um nome especial.

Definicao 4.9.1 Um sistema com condicoes iniciais nulas sera chamado derelaxado em t0 ou simplesmente relaxado.

Uma consequencia obvia deste conceito e que as saıdas de sistemas re-laxados sao sinais (unilaterais) que dependem unica e exclusivamente dasentradas, tambem estas sinais unilaterais. Assim, se considerarmos S comoo conjunto dos sinais unilaterais, temos

Fato 4.9.1 Sistemas relaxados podem ser descritos por operadores unilate-rais e causais.

91

Pronto eis uma solida conexao entre sistemas e operadores: um certotipo de sistemas pode ser descrito por um certo tipo de operadores. E bomlembrar que operadores bilaterais, ou eternos, e operadores antecipativos naopodem ser associados a sistemas.

A partir de agora sabemos que alguns operadores — os unilaterais e cau-sais — podem ser confundidos com sistemas relaxados. Deste modo, sempreque o texto mencionar “sistema relaxado” devemos entender operador unila-teral e causal. Estabelecido este vınculo, passamos ao estudo dos sistemas,retomando e desenvolvendo o conceito lancado no capıtulo inicial.

92

Capıtulo 5

Sistemas Dinamicos

Relembremos os conceitos do capıtulo inicial. Sistema, para nos, e algo fısico,real, uma porcao concreta do meio ambiente na qual concentramos a atencao.Baseados nisto concluımos que as entradas e saıdas dos sistemas devem sersinais unilaterais! Se concentramos a atencao em uma porcao do universo, elogico que comecamos a fazer isto em um dado instante t0.

✶u

✸y

ci

◆

Podemos entao considerar que as entradas sao definidas apenas para t ≥t0, e o efeito de tudo que aconteceu ao sistema antes desse instante inicialt0 pode ser condensado nas condicoes iniciais, ou, equivalentemente, nasenergias inicialmente armazenadas. Simbolicamente:

Entradas a partir de t0+

Energias iniciais

=⇒ comportamento futuro do sistema

Vemos que o estudo de sistemas esta associado aos sinais unilaterais e aideia de condicoes iniciais. Sistemas sem energias inicialmente armazenadasrecebem um nome especial.

Definicao 5.0.2 Um sistema com condicoes iniciais nulas sera chamado derelaxado em t0 ou simplesmente relaxado.

93

Uma consequencia obvia deste conceito e que as saıdas de sistemas re-laxados sao sinais (unilaterais) que dependem unica e exclusivamente dasentradas, tambem estas sinais unilaterais. Assim, se considerarmos S comoo conjunto dos sinais unilaterais, temos

Fato 5.0.2 Sistemas relaxados podem ser descritos por operadores unilate-rais e causais.

Pronto eis uma solida conexao entre sistemas e operadores: um certotipo de sistemas pode ser descrito por um certo tipo de operadores. E bomlembrar que operadores bilaterais, ou eternos, e operadores antecipativos naopodem ser associados a sistemas.

A partir de agora sabemos que alguns operadores — os unilaterais e cau-sais — podem ser confundidos com sistemas relaxados. Deste modo, sempreque o texto mencionar “sistema relaxado” devemos entender operador unila-teral e causal. Estabelecido este vınculo, passamos ao estudo dos sistemas,retomando e desenvolvendo o conceito lancado no capıtulo inicial.

Recordemos as ideias intuitivas ja vistas: considere uma porcao do meioambiente que com ele troca informacoes e/ou energias. A porcao isolada domeio ambiente na qual concentramos a atencao e o sistema, e as informacoes(ou energias trocadas no caso de sistemas fısicos) sao os sinais.

5.1 Exemplos e Classificacoes

Consideramos em primeiro lugar um motor eletrico DC acionando uma carga.A entrada para este sistema pode ser facilmente identificada: a tensao eletricaaplicada aos terminais do motor. E bastante razoavel designar como saıdaa velocidade angular da carga, e com pouco esforco podemos ter uma ideiaqualitativa do funcionamento deste sistema. Supondo que aplicamos umaentrada (tensao) constante a partir de um dado instante a saıda deixara seuvalor inicial (vamos supor que seja 0, a carga estava em repouso) aceleraragradualmente ate atingir uma velocidade constante.

O segundo exemplo e o de um pequeno corpo metalico que pode se moversem atrito em um plano horizontal, proximo de um campo magnetico cujaintensidade pode ser alterada com facilidade. Isto pode ser obtido por meiode um eletroima.

O terceiro exemplo e o de uma caldeira, um dispositivo para gerar vapor.E por fim seja uma conta de poupanca em uma instituicao financeira.

O estudo destes exemplos ajuda a entender como se pode classificar siste-mas. A primeira possıvel escolha e entre sistemas Contınuos ou discretos.Mas tambem podemos dividir os sistemas entre Determinısticos ou es-tocasticos. A parametros concentrados (grandezas dependem apenas dotempo) ou a parametros distribuıdos (grandezas podem depender, alem

94

do tempo, de outras variaveis). Ou ainda em Multivariaveis ou mono-variaveis.

5.2 Analise, Sıntese e Modelos Matematicos

Conforme ja deve ter dado para perceber, o conceito de sistemas apresentadoacima e muito vasto e geral, permitindo que praticamente qualquer fenomenoou situacao possam ser englobados por ele. Assim, estudar sistemas e estudara realidade, com a finalidade de

1. aceita-la (postura passiva): Analise

2. ou muda-la (postura ativa): Sıntese, Controle.

A enfase basica de Controle e o desejo de mudar, afetar, influir, imporvontades. Isto e geral (e talvez inconsciente) na humanidade. Para controlare preciso conhecer, ou seja, a Analise e necessaria para a Sıntese.

Modelos Matematicos sao ferramentas que permitem “entender” umsistema, e consequentemente prever seu comportamento. Dado o modelomatematico de um sistema e possıvel calcular sua saıda, desde que se conhecaa entrada e as condicoes iniciais. Em resumo, o modelo matematico e tudoaquilo que permite que se analise sistemas.

O modelo matematico por excelencia para sistemas contınuos sao asequacoes diferenciais. Sistemas a parametros distribuıdos sao modelados porequacoes diferenciais parciais. O estudo destas equacoes e razoavelmentedifıcil e assim a enfase deste texto e nos

5.2.1 Sistemas Contınuos a Parametros Concentrados

Admitem como modelo matematico equacoes diferenciais ordinarias (EDOs)da forma abaixo, onde m ≤ n.

y(n)(t) = f(y(n−1)(t), . . . y(t), y(t), u(m)(t), . . . u(t), u(t), t) (5.1)

Conhecendo a entrada u(t) aplicada a um sistema e as energias inicial-mente armazenadas, e natural esperar que a saıda y(t) seja bem definida.Isto quer dizer que a equacao acima deve admitir uma solucao unica.

Para que uma equacao como (5.1) admita solucoes a funcao f deve satis-fazer certos requisitos que serao vistos mais a frente; supomos agora que hasolucoes. Para que apenas uma destas solucoes seja escolhida entra a ideia decondicoes de contorno. Conhecer as energias inicialmente armazenadasno sistema significa conhecer uma classe especial de condicoes de contorno, osvalores de y e de suas derivadas no instante inicial: y(0), y(0), . . . , y(n−1)(0),Estas sao as condicoes iniciais.

95

5.2.2 Sistemas Lineares

O estudo analıtico do caso geral acima nem sempre e possıvel, muitas vezese necessario usar metodos numericos para analisar sistemas. As proximassecoes tratarao de casos particulares para os quais solucoes analıticas podemser encontradas. Alguns detalhes analıticos sobre equacoes mais gerais seraoapresentados em capıtulos posteriores.

Os Sistemas Lineares sao descritos por equacoes diferenciais ordinariaslineares, EDOLs. Sao equacoes da forma (5.1) acima onde f e linear, ouseja, y(n)(t) e uma combinacao linear de y e de suas derivadas, e de u e suasderivadas. Para m ≤ n:

y(n)(t) = αn−1(t)y(n−1)(t) + · · ·+ α1(t)y(t) + α0(t)y(t) +

βm(t)u(m)(t) + · · ·+ β1(t)u(t) + β0(t)u(t)

Este caso linear e mais tratavel do ponto de vista analıtico, mas aindaapresenta certas dificuldades. Uma categoria mais particular, a dos Siste-mas Lineares Fixos ou Invariantes no Tempo recebera um tratamentoespecial, pois suas equacoes foram muito estudadas e sao bem conhecidas.Tais sistemas sao descritos por EDOLFs: equacoes diferenciais ordinarias li-neares como acima, onde a funcao f e linear e independente do tempo t. Istosignifica que os coeficientes da combinacao linear sao constantes:

y(n)(t) = αn−1y(n−1)(t) + · · ·+ α1y(t) + α0y(t) +

βmu(m)(t) + · · ·+ β1u(t) + β0u(t)

onde m ≤ n e os αi e βi sao constantes reais. As EDOLFs sao normalmenteescritas de modo diverso:

y(n)(t)+an−1y(n−1)(t)+ · · ·+a1y(t)+a0y(t) = bmu

(m)(t)+ · · ·+b1u(t)+b0u(t)onde m ≤ n, ai = −αi e bi = −βi. Os sistemas lineares fixos, ou invariantesno tempo, sao geralmente designados pela sigla SLIT.

A natureza e nao linear, isto e um fato. Assim, o conceito de sistemas li-neares teria apenas interesse teorico e matematico. Por sorte, varios sistemasimportantes do mundo real tem comportamentos que podem ser muito bemaproximados por modelos lineares, em especial os modelos lineares e fixos, oque justifica o seu estudo.

5.3 Obtencao de Modelos Matematicos

Para sistemas fısicos em geral, e para os de interesse em Engenharia emparticular, os modelos matematicos podem, muitas vezes, ser obtidos pelaaplicacao calma e criteriosa das leis da Fısica.

Sistema real −→ Leis da Fısica −→ Modelo Matematico: ED

96

A analise dos sistemas por meio das leis da Fısica leva de maneira na-tural as equacoes diferenciais que os governam. Quanto menor o numero dehipoteses preliminares feitas, mais geral o modelo. Uma hipotese simplifica-dora muito comum e a de se supor parametros concentrados, e neste caso aequacao diferencial se transforma em uma EDO; isto e algo desejavel, vistoque as equacoes diferenciais parciais sao de solucao analıtica quase sempreproblematica.

Muitas vezes, alem da hipotese de parametros concentrados, usamos a delinearidade. A Natureza e, sabidamente, nao linear mas em alguma situacoes,com hipoteses razoavelmente suaves, pode-se considera-la linear. Mais afrente havera detalhes sobre esse tema; o resultado dessa outra hipotese e:

EDO −→ EDOLF −→ G(s) −→ beleza!

Para ilustrar estas ideias, o que usarıamos? Exemplos, logico!

5.3.1 Elementos mecanicos ideais

Para o sistema esquematizado na figura abaixo a esquerda, supomos quea mola e o amortecedor viscoso sao ideais e que ha apenas movimentos detranslacao horizontais. Considerando a forca f aplicada ao carrinho de massaM como entrada do sistema, e como saıda a abscissa y(t), determine o modelomatematico relacionando estas grandezas.

K

B

M ✲f=u

✲y ✲y(t)

✲v(t)

✲u(t)✛

Ky(t)

✛By(t)

Na figura da direita esbocamos o diagrama de corpo livre para a situacao:em um instante generico t representamos as forcas que agem sobre o corpo.As forcas verticais (o peso Mg e a reacao do apoio) se equilibram (nao hamovimentos na direcao vertical) e, portanto, foram omitidas. Supondo queem t o deslocamento do carrinho e para a direita (y(t) > 0) a mola reage apli-cando uma forca de intensidade Ky(t) no sentido indicado; se nesse mesmoinstante a velocidade do carrinho e da esquerda para a direita o amortece-dor reage aplicando uma forca de intensidade By(t) no sentido indicado. Osleitores sao convidados a mostrar que o resultado final permanece o mesmoao se supor sentidos opostos para a posicao e a velocidade.

Determinadas as forcas basta usar as leis basicas da Dinamica que rela-cionam a resultante das forcas externas aplicadas a aceleracao do centro demassa do corpo; como, por hipotese, nao ha rotacao, a aceleracao γ sera dadapela segunda derivada da posicao linear y. Para somar as forcas supomos

97

positivo o sentido da esquerda para a direita; o resultado final e:∑

f =Mγ =⇒ f(t)−Ky(t)−By(t) =My(t)

Esta expressao, consequencia direta das leis de Newton, pode ser reescritaem um formato mais apropriado:

My(t) +Ky(t) +By(t) = f(t)

Dividindo os termos por M chegamos a{

y(t) + BMy(t) + C

My(t) = 1

Mf(t)

y(0−) = y0; y(0−) = v0

e este e o formato classico das EDLOFs. Notar que as condicoes iniciais saoa posicao e a velocidade em t = 0.

5.3.2 Elementos eletricos ideais

No cicuito esquematizado abaixo o indutor, o capacitor e o resistor podemser considerados ideais; a entrada e a saıda do sistema sao as tensoes u e yindicadas abaixo, e a corrente que atravessa os componentes e i. Pede-se omodelo matematico.

✻

y

✻

u

L

R❄i

C

Da teoria basica de circuitos sabe-se que, em um instante qualquer t atensao u(t) pode ser escrita como

u(t) = vL(t) + vR(t) + vC(t)

onde a tensao vL(t) no indutor e diretamente proporcional a derivada dacorrente que o atravessa, a tensao vR(t) no resistor (que e a propria saıday(t) do sistema) e diretamente proporcional a corrente e a tensao vC(t) nocapacitor e diretamente proporcional a integral da corrente. Com isto:

u(t) = Ld

dti(t) +Ri(t) +

1

C

∫

i(t)dt

Lembrando que y(t) = vR(t) = Ri(t) podemos eliminar a corrente destaexpressao; feito isto derivarıamos uma vez com relacao ao tempo e reagru-parıamos para obter uma equacao diferencial pura:

y(t) + RLy(t) + 1

LCy(t) = R

Lu(t)

y(0−) = α; y(0−) = β

98

Mais uma vez o modelo encontrado e linear e invariante no tempo. Ashipoteses de elementos ideais sao, novamente, as responsaveis por isto.

5.3.3 Pendulo Simples

O pendulo simples esquematizado na figura a seguir possui massa m, estasuspenso por uma haste rıgida de massa desprezıvel e comprimento l e oscilaem um unico plano, o plano do papel. O angulo medido a partir da verticalque passa pelo ponto de suspensao e θ. Pede-se o modelo matematico, claro!

l

m

✸θ

❑T

❄P=mg

Na figura da direita temos o diagrama de corpo livre para a situacao,mostrando as forcas que agem sobre o corpo. Para casos como este e utilconsiderar o pendulo como um corpo rıgido e tomar os momentos das forcascom relacao ao centro de suspensao: isto anula a contribuicao da forca T , atensao no fio. A equacao basica da mecanica rotacional diz que a somatoriados momentos das forcas externas em relacao a um certo ponto e igual aomomento de inercia do corpo vezes a sua aceleracao angular.

Para o nosso problema o unico momento a se considerar e o causadopelo peso: M = −Pd, onde o braco de alavanca e dado por d = l sen θ(este momento e negativo porque tende a girar a massa no sentido opostoao arbitrado como positivo para os deslocamentos angulares); o momentode inercia vale ml2 e a aceleracao angular e a derivada segunda da posicaoangular, donde

−P l sen θ(t) = ml2θ(t)

que pode ser reescrita como

θ(t) +g

lsen θ(t) = 0

Esta nao e uma equacao diferencial linear, apesar de todas as idealizacoescostumeiras tais como fio inextensıvel, ausencia de atritos, massas pontuais,etc. Que fazer quando o modelo encontrado nao e linear? Ou aceitamose trabalhamos com ele assim mesmo (ha softs para isso) ou linearizamos.Muitas vezes a linearizacao e conseguida aplicando regras conhecidas de sim-plificacao, como por exemplo: senα ≈ α desde que α ≈ 0. Mas ha umateoria geral.

99

5.3.4 Linearizacao de funcoes e de EDOs

Considere uma funcao real de variavel real representada por y = f(x). Su-pondo que a variavel independente x permanece sempre proxima de um valorx0, a variavel y permanecera sempre proxima de y0 = f(x0). Dizemos quea funcao “trabalha” nas vizinhancas do Ponto de Operacao caracterizadopor (x0, y0). Supondo satisfeitas as condicoes de continuidade de f , a ex-pansao em serie de Taylor para estas condicoes leva a

y = f(x) = f(x0) +

[

df

dx

]

x=x0

(x− x0) +1

2!

[

d2f

dx2

]

x=x0

(x− x0)2 + · · ·

Supondo agora que a funcao realmente trabalha perto do PO (ponto deoperacao) podemos desprezar os termos de ordens superiores a 2 na expansaoacima para obter

y ≈ f(x0) +

[

df

dx

]

x=x0

(x− x0)

ou ainday − y0 ≈ m(x− x0)

ondem e o valor da derivada de f calculada no ponto de operacao. ChamandoY = y−y0 eX = x−x0 dizemos que a expressao Y = mX e uma aproximacaolinear para a funcao f , nas vizinhancas do ponto de operacao (x0, y0). Emtermos geometricos, a equacao y = y0 +m(x − x0) representa a tangente acurva y = f(x) no ponto de operacao.

Antes de linearizar equacoes diferenciais precisamos linearizar funcoes devarias variaveis. Seja por exemplo y = f(a, b, c) e o ponto de operacaodefinido por a = a0, b = b0 e c = c0. A serie de Taylor sera

y = f(a, b, c)

= f(a0, b0, c0) +

[

∂f

∂a

]

PO

(a− a0) +[

∂f

∂b

]

PO

(b− b0) +[

∂f

∂c

]

PO

(c− c0)

+ termos de ordem superior

onde as derivadas parciais sao calculadas no ponto de operacao PO. Supondoque tudo acontece nas proximidades do PO poderemos desprezar os termossuperiores e obter

y = f(a0, b0, c0) +

[

∂f

∂a

]

PO

(a− a0) +[

∂f

∂b

]

PO

(b− b0) +[

∂f

∂c

]

PO

(c− c0)

ou ainda

y − y0 =[

∂f

∂a

]

PO

(a− a0) +[

∂f

∂b

]

PO

(b− b0) +[

∂f

∂c

]

PO

(c− c0)

100

que e a equacao do plano tangente a superfıcie definida pela funcao f noponto de operacao e tambem uma aproximacao linear para a funcao. Paralinearizar uma EDO basta lembrar o seu formato geral:

y(n)(t) = f(y(n−1)(t), . . . y(t), y(t), u(m)(t), . . . u(t), u(t), t)

onde m ≤ n. Se houver a garantia que u(t) e suas derivadas (ate a ordem m)e y(t) e suas derivadas (ate a ordem n−1) permanecem sempre na vizinhancade determinados valores, podemos usar os resultados precedentes e encontraruma EDOLF que sera uma aproximacao para a EDO dada. Quanto maisproximas do PO se mantiverem as funcoes melhor sera a aproximacao.

5.3.5 Metodos de Identificacao

Quando nao for possıvel aplicar as Leis da Fısica para encontrar o modelomatematico.

5.4 Busca de solucoes

Como resolver as equacoes diferenciais para analisar sistemas? Como encon-trar a saıda y(t) conhecendo a entrada u(t) e as CIs? Esta secao aborda ocaso linear e invariante no tempo. Para resolver as EDOLFs podemos usar

1. Metodo tradicional, onde se deve somar duas parcelas, a solucao geralda equacao homogenea associada e uma solucao particular da equacaocompleta: y(t) = yh(t) + yp(t).

2. Transformadas de Laplace.

3. Metodos matriciais ou “modernos”.

4. Simulacoes numericas.

O metodo tradicional e cansativo, entediante e artificioso; nao sera menci-onado neste texto. As transformadas de Laplace sao uma ferramenta muitopoderosa, e o seu uso simplifica muito a tarefa de solucionar as EDOLFs.Sempre que possıvel deve-se emprega-las.

Os metodos “modernos” transformam a resolucao de equacoes diferenciaiscomo as que nos interessam em problemas de Calculo Matricial. Como hauma grande variedade de algoritmos numericos eficientes, bem estudados eacessıveis para estes problemas explica-se a popularidade destes metodos.

Ja os metodos de simulacao numerica podem — devem! — ser usadosquando a aplicacao de qualquer um dos outros e difıcil ou mesmo impossıvel.Estes metodos sao capazes de encarar qualquer equacao, independentementede tamanho ou complexidade (ate mesmo casos variantes no tempo ou nao

101

lineares). O preco a se pagar por este poder e que estas simulacoes fornecemapenas o grafico da solucao procurada, sendo incapazes de fornecer detalhesanalıticos.

Alguns aspectos basicos sobre o uso de Laplace na resolucao de EDOLFsserao revistos agora. Em secoes futuras os outros metodos serao comentados.

A transformada de Laplace, ja estudada com detalhes teoricos na secao3.6, associa a cada funcao real da variavel real e contınua t uma funcaocomplexa da variavel complexa s, por meio da expressao

f(t) 7→ L{f(t)} = F (s) =∫ ∞

0−f(τ)e−sτdτ

A seguir, as transformadas de alguns sinais importantes. Todas elas po-dem ser obtidas por aplicacao direta da expressao de definicao acima.

• Degrau unitario: f(t) = 1(t) = 1 para t ≥ 0 e 0 para t < 0.

L{f(t)} = F (s) =∫ ∞

0−e−sτdτ =

[

−e−sτ

s

]∞

0−

= −1s

[

e−sτ]∞

0−=

1

s

• Rampa unitaria: f(t) = t.1(t) =⇒ F (s) = · · · = 1/s2

• Exponencial: f(t) = eat.1(t) =⇒ F (s) = · · · = 1/(s− a)

• Impulso unitario: f(t) = δ(t) =⇒ F (s) = · · · = 1

As propriedades a seguir ja foram estudadas com alguma profundidadena secao 3.6, e sao aqui listadas novamente para comodidade do leitor.

• Linearidade: ∀ai ∈ IR,

L{a1f1(t) + a2f2(t) + · · · anfn(t)} = a1L{f1(t)}+ · · · anL{fn(t)}

• Derivacao real: L{

f(t)}

= sF (s)− f(0−)

• Integracao real: L{∫ f(t)} = 1sF (s)

• Teorema do valor inicial: f(0) = limt→0 f(t) = lims→∞ sF (s)

• Teorema do valor final (cuidado!) limt→∞ f(t) = lims→0 sF (s)

Na secao 3.6 a transformada de Laplace foi apresentada como algo paracorrigir falhas de existencia da transformada de Fourier, e pode ter ficadoa ideia de que ela desempenha um papel menor, coadjuvante. No estudode sinais talvez isto aconteca, mas no campo de sistemas a verdade e bemoutra e a transformada de Laplace e ferramenta imprescindıvel na resolucao

102

de equacoes diferenciais lineares. Seja, por exemplo, a equacao diferencial aseguir com suas condicoes iniciais:

{

˙y(t) + 3y(t) + 3y(t) + y(t) = u(t) + 2u(t)y(0−) = 1; y(0−) = 2; y(0−) = 3

Laplaceando ambos os membros, e usando as propriedades, vem

s3Y (s)− s2y(0−)− sy(0−)− y(0−)+3(s2Y (s)− sy(0−)− y(0−))+3(sY (s)− y(0−)) + Y (s) =

sU(s)− u(0−) + 2U(s)

Agrupando melhor, e substituindo os valores das CIs:

(s3 + 3s2 + 3s+ 1)Y (s)− (s2 + 3s+ 3)− 2(s+ 3)− 3 =(s+ 2)U(s)− u(0−)

Isolando Y (s):

(s3 + 3s2 + 3s+ 1)Y (s) = (s+ 2)U(s) + (s2 + 5s+ 12)− u(0−) (5.2)

donde podemos exprimir Y (s) como

Y (s) =(s+ 2)U(s) + (s2 + 5s+ 12)− u(0−)

s3 + 3s2 + 3s+ 1(5.3)

Deste modo Y (s) esta plenamente determinada a partir da funcao forcanteu(t) e das condicoes iniciais. Estes desenvolvimentos ajudarao a aceitar avalidade dos resultados apresentados na secao 5.5.

5.5 Teorema Geral dos SLITS

A demonstracao deste resultado e imediata, a partir das equacoes (5.2) e(5.3). Dado um SLIT com entrada u e saıda y e sempre possıvel escrever

Y (s) = G(s)U(s) +Gi(s)

onde Y (s) e a transformada de Laplace da saıda y(t), U(s) e a transfor-mada de Laplace da entrada u(t), G(s) e uma funcao da variavel complexas determinada a partir dos coeficientes da equacao diferencial e Gi(s) e umafuncao da variavel complexa s determinada a partir do conhecimento dafuncao forcante e das condicoes iniciais. Da-se a G(s) o nome de Funcao deTransferencia do sistema.

103

5.5.1 Sistemas Relaxados

Diz-se que um sistema e relaxado quando as condicoes iniciais sao nulas; emtermos fısicos isto significa que nao ha energias inicialmente armazenadas nosistema. A partir do resultado acima vemos que, dado um SLIT relaxado,(CIs =0) com entrada u e saıda y e sempre possıvel escrever

Y (s) = G(s)U(s)

onde G(s) e a Funcao de Transferencia do SLIT. Esta expressao forneceum meio simples, direto e denso de representar SLITs. As funcoes de trans-ferencia caracterizam os SLITs de maneira elegante e concisa, sao um modelomatematico muito usado.

Em resumo: havendo ou nao CIs, a funcao de transferencia G(s) carac-teriza muito bem os SLITs, e sera sempre associada a eles. Os diagramas deblocos fornecem uma notacao comoda:

✲ G(s) ✲U(s) Y(s)

Y (s) = G(s)U(s)

✲ G(s) ✲U(s) Y(s)

Y (s) = G(s)U(s) +Gi(s)

❄

CI

Dado um SLIT, se a sua funcao de transferencia G(s) for conhecida,o problema de Analise esta bem encaminhado: basta encontrar Y (s) =G(s)U(s) + Gi(s) e pronto. A parte mecanica dos calculos pode ser feitaa mao ou usando recursos computacionais.

5.6 Exercıcios

1. Considere a seguinte equacao diferencial{

y(t) = u(t) + u(t), ∀t;y(0−) = β, y(0−) = α.

Encontre a solucao y(·) (forneca uma expressao analıtica para y(t),bem como o seu grafico) para os seguintes casos: (a) u(t) = δ(t), (b)u(t) = 1(t), (c) u(t) = e−t.1(t), (d) u(t) = δ(t) + e−t.1(t), (e) u(t) =δ(t− 1) + e−t.1(t).

2. Considere a seguinte equacao diferencial{

y(t) = v(t), ∀t;y(0−) = β; y(0−) = α; v(0−) = 0

104

Encontrar v(·) tal que tenhamos y(t) = 0 ∀t > 0

3. Considere a seguinte equacao diferencial

{

y(t) = u(t) + u(t), ∀t;y(0−) = β; y(0−) = α; u(0−) = 0,

Encontrar u(·) tal que tenhamos y(t) = 0 ∀t > 0

4. Para a equacao diferencial seguinte, encontre v(·) tal que tenhamosy(t) = 0, ∀t > 0

{

y(t) = v(t), ∀t;y(0−) = β; y(0−) = α; v(0−) = 0

5. Para a equacao diferencial seguinte, encontre u(·) tal que tenhamosy(t) = 0, ∀t > 0

{

y(t) = u(t) + u(t), ∀t;y(0−) = β; y(0−) = α; u(0−) = 0,

6. Para a equacao diferencial de 1.a ordem abaixo

{

τ y(t) + y(t) = u(t), ∀t > 0.y(0) = 0

(a) Sendo τ < 0 e u(t) = 1(t), encontre a solucao y(·) e esboce o seugrafico juntamente com o da funcao forcante u

(b) Idem (a) para τ = 0

(c) Idem (a) para τ > 0

(d) Para o item (c), considere a reta tangente ao grafico de y na ori-gem. Encontre a abscissa do ponto de interseccao desta reta como grafico de 1(t)

(e) Idem (a) para τ > 0 e u(t) = t.1(t).

7. Para a equacao diferencial de 2.a ordem abaixo

{

y(t) + 2ζωny(t) + ω2ny(t) = u(t), ∀t > 0.

y(0) = y(0) = 0.

sendo ωn =√2 e ζ =

√2/2, encontre a solucao y(·) e esboce seu

grafico, juntamente com o da funcao forcante, para os casos u(t) = 1(t)e u(t) = t.1(t). A identidade ejθ = cos θ + j sen θ pode ser util.

105

8. O uso de metodos de identificacao para um voltımetro forneceu comoresultado o seguinte modelo matematico:

θ(t) + θ2(t) = v(t), , ∀t > 0

onde θ e o deslocamento angular do ponteiro do instrumento e v e atensao eletrica que se quer medir. O voltımetro em questao e linear?

9. Ao voltımetro acima aplicamos uma tensao de entrada constante deintensidade 4: v(t) = 4.1(t). Supondo que apos um movimento tran-sitorio inicial o ponteiro se estabiliza em uma dada posicao, pergunta-se:quanto vale esta posicao θR?

10. Quais dos sistemas abaixo representados (u e a entrada, e y a saıda)sao lineares?

(a) y(t) + (t2 cos t)y(t) = u(t)

(b) τ y(t) +√

y(t) = u(t)

(c) τ y(t) +√ty(t) = u(t)

(d) (cos (t2))y(t) = etu(t) + t3u(t)

(e) y(t) =∫ t2

0 u(τ), dτ

11. Linearize cada uma das expressoes abaixo

(a) y = sin ku, (u0 = 1)

(b) y = tan ku, (u0 = 1)

(c) y = eku, u0 = 0)

12. A equacao para o escoamento de um fluido incompressıvel atraves deum orifıcio e Q = αA

√∆P , onde Q representa a vazao, α e uma

constante, A e a area transversal do orifıcio e ∆P = P1−P2 e a quedade pressao. Determinar a aproximacao linear para a equacao precedenteno caso em que tanto a area A como ∆P variam ligeiramente em relacaoaos valores iniciais Ao e (∆P )o.

13. Uma torneira fornece agua a um tanque com uma vazao volumetricaq(t) que se pode variar a vontade. A pressao P1 decorrente do nıvel dolıquido no tanque faz com que ele escoe para o meio ambiente (P2 ≈0) atraves de um orifıcio localizado na parte inferior do tanque, comconstante α e area fixa a. A seccao transversal do tanque tem area A.

(a) Encontre o modelo matematico que relaciona o nıvel h(t) do fluidono recipiente com a vazao q(t). Este modelo e linear?

106

(b) Supondo h(0) = 0 e q(t) = Q.1(t) (vazao constante com intensi-dade Q) verificar o que acontece com a funcao h(·). Ela crescerasempre ou tendera a um valor constante hR? Calcular esse valor,se for o caso.

14. Encontrar o modelo matematico dos sistemas abaixo (considerar ele-mentos ideais). Fornecer as equacoes diferenciais, as matrizes de trans-ferencia e as matrizes de resposta ao impulso.

(a) Dados numericos: m1 = m2 = 1; , k1 = k12 = k2 = 1

✲f1 ✲

y2

m2m1

✲y1

✲f2

K1 K12 K2

(b) Dados numericos: m1 = m2 = 1; , K = C = 1

m2✲

✲y2

fm1

✲y1

K

C

(c) Dados numericos: L = R = C = 1; , v = u, iR = y1, iC = y2

✻

v

L

R C❄iR

❄iC

15. Para o circuito abaixo obtenha E(s)/V (s)

✻

v

✻

e

RC

L

107

16. No sistema abaixo mola e amortecedor viscoso sao ideais e a entrada ea forca aplicada na plataforma da esquerda. Determine a abscissa y2(t)do carrinho da direita quando u(t) = δ(t). Use K = 4, m2 = B = 1 em1 = 0 (plataforma sem massa).

m1

u ✲✲y1

m2

✲y2

K B

17. Para a montagem a seguir u e y sao as posicoes dos carrinhos indica-dos. A mola K e idealmente elastica e o amortecedor C perfeitamenteviscoso; atritos com o ar e nos eixos das rodas podem ser desprezados.Este sistema pode ser encarado como um instrumento de medida (vocesja sabem qual?). Para ele:

✲u

m

C

K

M

✲y

(a) Encontre as funcoes de transferencia entre U(s) e Y (s) e entre U(s)e E(s), onde e(t) e a abscissa do carrinho de massaM medida porum observador que se desloca na plataforma de massa m (e(t) =y(t)− u(t)).

(b) Encontre o valor de regime de e(t) quando u(t) = γt2/2 onde γe uma constante real. Ja deu para perceber que grandeza fısica emedida pelo nosso sistema?

(c) Dimensione M , C e K de tal maneira que tenhamos

i. PO ≤ 5% (ou, equivalentemente, ζ ≥√2/2)

ii. Ts ≤ 4 (ou, equivalentemente, |ζωn| > 1)

iii. K/M = 1 e C ≤ 2

(d) Qual e o significado de K/M = 1?

(e) Idem (c) tal que

i. PO ≤ 5% (ou, equivalentemente, ζ ≥√2/2)

ii. Ts ≤ 2 (ou, equivalentemente, |ζωn| > 2)

iii. Maior rapidez possıvel e K/M ≤ 9

108

(f) Para um sistema projetado com os dados numericos do item (e)verificamos o seguinte comportamento:

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

0 2 4 6 8 10 12 14

Comportamento registrado para e(t)

Supondo que u(0) = u(0) = 0, trace os graficos de u(t)×t e u(t)×t(g) Agora ja e demais, gente. O nosso instrumento chama-se .......me-

tro e mede a .......... da plataforma de massa M . De uma ideiadas montagens adicionais que voce faria para que o instumentofornecesse uma tensao eletrica diretamente proporcional a e(t), e,consequentemente, a grandeza fısica medida.

5.7 Uso de Variaveis Auxiliares

Ao lado do metodo tradicional e do das transformadas de Laplace, ainda hauma maneira de se resolver EDLOFs que se revelara especialmente impor-tante. Ilustrando-o por meio de exemplos, seja

{

y(t) + 2y(t) + y(t) = u(t)y(0−) = α ; y(0−) = β

para o qual as seguintes variaveis auxiliares sao definidas:

x1(t) = y(t) e x2(t) = y(t)

Operacoes diretas e elementares com estas novas variaveis e com a equacaooriginal fornecem:

{

x1(t) = y(t) = x2(t)x2(t) = y(t) = u(t)− y(t)− 2y(t) = −x1(t)− 2x2(t) + u(t)

Estas relacoes podem ser escritas de uma forma mais compacta, desdeque consideremos o seguinte vetor:

x(t) =

[

x1(t)x2(t)

]

109

Com isto teremos

x(t) =

[

0 1−1 −2

]

x(t) +

[

01

]

u(t) ; x(0−) =

[

αβ

]

= x0

y(t) = [ 1 0 ] x(t)

Chamando as matrizes acima de A, B e C teremos

{

x(t) = Ax(t) +Bu(t) ; x(0−) = x0

y(t) = Cx(t)

O uso das variaveis auxiliares permitiu transformar a equacao diferencialem uma outra de primeira ordem e matricial. Isto acontecera sempre, paraqualquer ordem da equacao original. Metodos para resolver equacoes nessaforma, bem como as vantagens dela decorrentes, serao vistos mais tarde.Basta, por enquanto, saber que e possıvel transformar uma EDLOF, atravesdas variaveis auxiliares, ate atingir a citada estrutura.

E interessante notar que este procedimento nao requer condicoes iniciaisnulas. Outro exemplo, a partir do qual mudaremos a notacao: ao inves dorigoroso (0−) passamos ao simplificado (0)

{

˙y(t) + 3y(t) + 3y(t) + y(t) = u(t)y(0) = α ; y(0) = β ; y(0) = γ

A escolha mais natural das variaveis auxiliares e x1(t) = y(t); x2(t) = y(t)e x3(t) = y(t) que nos fornece, com algebrismos triviais

x1(t) = y(t) = x2(t)x2(t) = y(t) = x3(t)

x3(t) = ˙y(t) = u(t)− y(t)− 3y(t)− 3y(t)= −x1(t)− 3x2(t)− 3x3(t) + u(t)

Colocando

x(t) =

x1(t)x2(t)x3(t)

teremos

x(t) =

0 1 00 0 1−1 −3 −3

x(t) +

001

u(t); x(0) =

αβγ

= x0

y(t) = [ 1 0 0 ] x(t)

110

Mais uma vez transformamos uma equacao diferencial de ordem elevadaem uma equacao diferencial matricial de primeira ordem. Rebatizando asmatrizes de A, B e C, chegaremos, como antes, a

{

x(t) = Ax(t) +Bu(t) ; x(0) = x0

y(t) = Cx(t)

E importante notar que a escolha das variaveis auxiliares nao e unica:qualquer escolha de xi como combinacao linear de y(t), y(t) e y(t) permitirauma reducao a forma matricial. Seja entao, para este mesmo exemplo:

x1(t) = −y(t)x2(t) = −y(t)− y(t)x3(t) = y(t) + 2y(t) + y(t)

Desenvolvendo terıamos, apos algebrismos nao mais tao diretos, e apro-veitando para simplificar mais ainda a notacao:

˙x1 = −y= y + x2 = −x1 + x2

˙x2 = −y − ˙y= −y − u+ y + 3y + 3y= (y + y) + y + 2y + y − u = −x2 + x3 − u

˙x3 = y + 2y + ˙y= y + 2y + u− y − 3y − 3y= −y − 2y − y + u = −x3 + u

Verificarıamos ainda que y = x1 + x2 + x3. Montando um vetor x cujascomponentes sao x1, x2 e x3 vira

˙x =

−1 1 00 −1 10 0 −1

x+

0−11

u; x(0) =

−β−β − γ

α + 2β − γ

= x0

y = [ 1 1 1 ] x

ou ainda{

˙x = Ax+ Bu ; x(0) = x0

y = Cx

Diferentes escolhas das variaveis auxiliares conduzem a diferentes matri-zes, mas que representam a mesma equacao original. Mais tarde estudaremoscom alguma profundidade este fato e veremos como escolher variaveis de ma-neira a obter matrizes de manuseio simples.

Os casos vistos ate agora sao razoavelmente diretos, pois nao aparecemderivadas das entradas na EDLOF original. Vejamos entao o caso geral. Sejaa equacao diferencial

y(n) + an−1y(n−1) + · · · + a1y + a0y = bmu

(m) + · · · + b1u+ b0u

111

com m ≤ n, onde, por simplicidade, estamos desprezando a simbologia (t)para as funcoes do tempo. Uma possıvel escolha das variaveis auxiliares e:

x1 = yx2 = y...xn−m = y(n−m−1)

xn−m+1 = y(n−m) + p1uxn−m+2 = y(n−m+1) + p1u+ p2u...xn = y(n−1) + p1u

(m−1) + p2u(m−2) + · · · + pm−1u+ pmu

Parece complicado mas nao e: um pouco de pratica acaba com qualquerpossıvel ma impressao. Os coeficientes pi devem ser tais que

xj = fj (x1, x2, . . . xn, u) ∀j = 1, 2, . . . n

ou seja, xj nao deve depender das derivadas da funcao forcante u. Notemosainda que para obter uma reducao matricial como desejamos a funcao fj deveser linear em seus argumentos, isto e, xj deve ser uma combinacao linear dasvariaveis xi e de u. A escolha acima permite que assim seja. Seja por exemploa equacao diferencial

{

˙y + 3y + 2y + y = u+ 2u+ uy(0) = α y(0) = β y(0) = γ

A escolha das variaveis auxiliares pelo procedimento acima e:

x1 = yx2 = y + p1ux3 = y + p1u+ p2u

Desenvolvendo:

x1 = y = x2 − p1ux2 = y + p1u = x3 − p2ux3 = ˙y + p1u+ p2u

= −y − 2y − 3y + u+ 2u+ u+ p1u+ p2u= −x1 − 2x2 − 3x3 + (2p1 + 3p2 + 1)u+ (3p1 + p2 + 2)u+ (p1 + 1)u

Devemos impor p1+1 = 0 e 3p1+p2+2 = 0, de onde se extrairia p1 = −1e p2 = 1. Assim ficamos com

x1 = x2 + ux2 = x3 − ux3 = −x1 − 2x2 − 3x3 + 2u

112

Empilhando as variaveis xi em uma matriz coluna x teremos, finalmente,

x =

0 1 00 0 1−1 −3 −3

x+

1−12

u

y = [ 1 0 0 ] x

Lembrando uma vez mais: a escolha das variaveis auxiliares nao e unica.O conjunto acima escolhido assim o foi por acarretar calculos faceis e fornecermatrizes em formas particulares. Para este mesmo exemplo poderıamos terescolhido

x1 = y

x2 = ˙x1 + au

x3 = ˙x2 + bu+ α1x1 + α2x2

a partir de onde, com a = −1, b = 1, α1 = 1/4 e α2 = 1/2 terıamos

˙x =

0 1 0−1/4 −1/2 10 0 3

x+

1−12

u

y = [ 1 0 0 ] x

Vejamos, em um ultimo exemplo, o que acontece quando m = n

{

y + 3y + 2y = u+ u+ uy(0) = α ; y(0) = β

Escolha das variaveis auxiliares:{

x1 = y + p1ux2 = y + p1u+ p2u

Desenvolvendo:

x1 = x2 − p2ux2 = y + p1u+ p2u

= u+ u+ u− 2y − 3y + p1u+ p2u= (1 + p1)u+ (1 + p2)u+ u− 2y − 3y= (1 + p1)u+ (1 + p2)u+ u− 2(x1 − p1u)− 3(x2 − p1u− p2u)= (1 + p1)u+ (1 + p2 + 3p1)u+ (2p1 + 3p2 + 1)u− 2x1 − 3x2

Impondo p1 + 1 = 0 e 3p1 + p2 + 1 = 0, temos p1 = 1 e p2 = 2, donde

x1 = x2 − 2ux2 = −2x1 − 3x2 + 2uy = x1 + u

113

ou, matricialmente,

x =

[

0 1−2 −3

]

x+

[

−22

]

u

y = [ 1 0 ] x+ [1]u

Chamando as matrizes de A, B, C e D teremos

{

x = Ax+Buy = Cx+Du

A grande novidade e a existencia da matriz D, ligando de uma formadireta as variaveis u e y.

O procedimento exposto acima, para encontrar a forma matricial de umaequacao diferencial linear e fixa, pode ser aplicado ao caso linear geral, vari-ante no tempo. Para a EDOL basica, aqui repetida,

y(n)(t) = αn−1(t)y(n−1)(t) + · · ·+ α1(t)y(t) + α0(t)y(t) +

βm(t)u(m)(t) + · · ·+ β1(t)u(t) + β0(t)u(t)

a escolha de variaveis auxiliares pode seguir os mesmos princıpios basicosmostrados, e levaria — verifiquem, leitores! — a forma

{

x(t) = A(t)x(t) +B(t)u(t)y(t) = C(t)x(t) +D(t)u(t)

onde as matrizes sao agora dependentes do tempo. O mesmo procedimentopode tambem se aplicar ao caso geral de sistemas nao lineares descritos pelaEDO (5.1), aqui repetida

y(n)(t) = f(y(n−1)(t), . . . y(t), y(t), u(m)(t), . . . u(t), u(t), t)

O resultado seria uma equacao matricial nao linear

{

x(t) = F (x(t), u(t), t)y(t) = H(x(t), u(t), t)

Mais detalhes sobre estes casos gerais, e as solucoes para o caso linearserao vistas no proximo capıtulo.

5.8 Exercıcios

1. Apresentar as equacoes dinamicas e os diagramas de blocos para osseguintes sistemas:

114

(a)

{

˙y(t) + 2y(t) + 3y(t) + 4y(t) = u(t)y(0) = 1; y(0) = 2; y(0) = 3.

(b){

y(t) + 20y(t) + 30y(t) = 40u(t)y(0) = −7; y(0) = −13.

(c){

˙y(t) + 3y(t) + 2y(t) + y(t) = u(t) + 3u(t) + 2u(t)CIs = 0.

(d)

{

˙y(t) + y(t) + 3y(t) + 2y(t) = u1(t)− 3u2(t)y(0) = 1; y(0) = 2; y(0) = 3

(e)

y1 + y1 = u2 y1(0) = y1(0) = 0˙y2 + y1 + y2 = u1 y2(0) = y2(0) = 0; y2(0) = 1y3 + y1 + y2 = u1 + u2 y3(0) = 1

(f)

y1(t) + 2y1(t) + y2(t) + y1(t) = 3u2(t)y2(t)− y2(t) + y1(t) = u1(t) + u2(t)CIs = 0.

(g) Y (s) = (s+1)(s+2)(s−1)(s−2)(s+3)

U(s)

(h) G(s) = s2+2s+1s4+s3+s+2

(i) Y (s) =

s−1s

ss2+1

1s

00 s

s+1

U(s)

115

Capıtulo 6

Estado e Equacoes Dinamicas

6.1 Introducao

Lembremos, antes de mais nada, que as saıdas dos sistemas relaxados de-pendem unica e exclusivamente de suas entradas. Este fato e basico paraque tais sistemas possam ser descritos por meio de operadores. Nem sempre,entretanto, este relacionamento simples entre entradas e saıdas e valido, poisha sistemas cujas saıdas podem ser afetadas nao apenas pelas entradas.

Exemplo 6.1.1 Seja o nosso sistema um trem, e consideremos como en-trada a aplicacao dos freios pelo condutor. No carro-restaurante ha umgarcom servindo bebidas e refeicoes aos passageiros. Definamos a habili-dade do garcom em manter o equilıbrio de sua bandeja como saıda de nossosistema. Vamos supor agora que a entrada comeca a ser aplicada a partirde um dado instante t0, quando o condutor aciona energicamente os freios,fazendo com que as sapatas pressionem fortemente as rodas. A pergunta e:que sucedera ao garcom e sua bandeja?

Embora isto possa surpreender as mentes mais afoitas, a unica respostapossıvel a essa questao e: nao se sabe. Com efeito, se, no instante daaplicacao da entrada, o trem estivesse parado na plataforma, a entrada emacao dos freios em nada afetaria o equilıbrio do rapaz. O desastre cinema-tografico, com copos e pratos se estilhacando no chao, e tumulto generalizadoapenas aconteceria se os freios fossem aplicados com o trem em movimento.

Este exemplo ilustra o fato de que a saıda de alguns sistemas pode depen-der nao somente das entradas aplicadas. Ela dependera tambem, de algumamaneira, de como estava o sistema quando a entrada comeca a agir. Estecomo estava o sistema, um tanto vago, pode se relacionar com a energia ini-cialmente armazenada no sistema, ou entao com as entradas a ele aplicadasanteriormente.

De uma maneira geral, sistemas para os quais o conhecimento da entradanao e suficiente para a determinacao exata da saıda serao conhecidos como

116

nao relaxados. Uma questao surge naturalmente: o que, exatamente, deve-mos conhecer de tais sistemas para podermos determinar suas saıdas? Queinformacoes devemos ter a respeito deles — alem das entradas e logico —para sermos capazes de prever o comportamento de suas saıdas?

A resposta a estas indagacoes constitui-se em um dos conceitos mais im-portantes da teoria de sistemas.

Definicao 6.1.1 O estado de um sistema no instante t, designado por x(t),e a quantidade de informacao sobre o sistema em t que, juntamente como conhecimento das entradas aplicadas a partir de t, designadas por u[t,∞),determina unicamente o comportamento do sistema para qualquer instanteposterior. Em sımbolos:

x(t)u[t,∞)

}

=⇒ determinacao precisa do comportamento futuro

Pode-se dizer que o estado em qualquer instante generico t condensa em sitoda a informacao importante sobre a historia passada do sistema: entradasja aplicadas, relaxacao, energias armazenadas, tudo enfim. Assim, o conheci-mento do estado em t e uma excelente medida de como esta o sistema nessemomento, pois ele encerra todo o passado e a partir dele podemos, conhe-cendo as entradas, logicamente, prever o comportamento futuro do sistema.

Que devemos entender por comportamento futuro do sistema? O conhe-cimento da saıda e, sem duvida alguma, um tipo de informacao que sempreinteressa, mas por tudo que estamos vendo sobre o estado podemos dizer queo conhecimento dele, estado, e mais importante e abrangente que o da saıda.

Com estas ideias em mente podemos aperfeicoar ligeiramente o conceitode estado: o conhecimento de x(t), o estado em um instante t qualquer egenerico, e o das entradas a partir desse instante permite determinar pre-cisamente o futuro a partir desse instante, futuro este que sempre pode sermedido pelo proprio estado e pelas saıdas:

x(t)u[t,∞)

}

=⇒{

determinacao precisa do comportamento futuroou seja, conhecimento de: x[t,∞) e y[t,∞)

Ha maneiras belamente rigorosas e matematicamente coerentes de se de-finir o estado de um sistema. A unica pretensao da maneira aqui utilizada ea de atingir mais rapidamente a intuicao fısica que todos temos dos fatos, eesperamos ter conseguido isso!

A enorme riqueza da ideia de estado permite extrair o maximo possıvelde informacao sobre a estrutura interna do sistema e sobre o relacionamentoentre as grandezas envolvidas. O estado pode ser considerado como umaradiografia capaz de revelar detalhes do interior do sistema: conhecendo-o(juntamente com as entradas) conheceremos os estados e as saıdas futuras.

117

Embora o tratamento apresentado aqui seja aplicavel a qualquer tipode sistema, independentemente de sua natureza ou origem, devemos notarque o conceito de estado para sistemas fısicos (mecanicos, eletricos, quımicos,etc) admite explicacoes e interpretacoes em termos de energia, como veremosoportunamente.

6.2 Equacoes Dinamicas e Espaco de Estados

E hora de especificar mais precisamente os termos da definicao de estado, ouseja, de traduzir matematicamente suas relacoes com o sistema propriamentedito e com o exterior. Chamaremos de Equacoes Dinamicas as equacoesque descrevem unicamente as relacoes entre as entradas, as saıdas e o estadode um determinado sistema.

As equacoes dinamicas expressam matematicamente as ideias desenvolvi-das no conceito de estado. Para perceber isto vamos supor que u(·), x(·) ey(·) representem a entrada, o estado e a saıda de um determinado sistema,estudado a partir do instante inicial t0. Da propria definicao de estado vem

{

x[t0,∞) = F (x(t0), u[t0,∞))y[t0,∞) = G(x(t0), u[t0,∞))

onde a notacao m[t0,∞) designa o segmento de funcao, ou seja, a funcao (es-calar ou vetorial) m definida apenas nos instantes posteriores ou iguais a t0.O sımbolo F significa que o segmento de funcao x[t0,∞) depende apenas daconstante x(t0) e do segmento u[t0,∞). Explicacao similar se aplica para G.

Se conhecemos uma funcao em todo o intervalo [t0,∞) e obvio que conhe-ceremos o seu valor em qualquer instante generico desse intervalo, e assim asexpressoes acima podem ser modificadas para

{

x(t) = F (x(t0), u[t0,t]) ∀t ≥ t0y(t) = G(x(t0), u[t0,t]) ∀t ≥ t0

Notar que agora F e G tem um sentido diferente do de F e G. Notartambem que escrever u[t0,t] e nao u[t0,∞) como antes significa supor implicita-mente que o sistema em consideracao e fısico (causal). Mesmo sem qualquermencao explıcita, esta hipotese sera sempre feita doravante.

Considerando um instante generico t1 com t0 ≤ t1 < t podemos escreverpara a saıda: y(t) = G′(x(t1), u[t1,t]) e, se houver condicoes de continuidadesuficientes, quando t1 → t teremos y(t) = g(x(t), u(t), t).

Para o estado vale um raciocınio analogo, baseado em condicoes de con-tinuidade. Devemos ainda levar em conta o proprio conceito de estado, e ofato de que para se prever o comportamento futuro de uma grandeza deve-seconhecer a derivada dessa grandeza; omitindo outros detalhes chegarıamos ax(t) = f(x(t), u(t), t) onde x(t) designa a derivada temporal da funcao x(·)

118

calculada no instante t. E sao extamente desta forma as equacoes dinamicasque sempre veremos:

{

x(t) = f(x(t), u(t), t) −→ equacao de estadoy(t) = g(x(t), u(t), t) −→ equacao de saıda

Ao conjunto que contem todos os estados que podem caracterizar um sis-tema ao longo do tempo daremos o nome de Espaco de Estados e usaremoso sımbolo Σ (letra sigma maiuscula do alfabeto grego, o popular somatorio)ou eventualmente X (letra xis maiuscula manuscrita). Desta maneira temos

Σ = X = {x(t) | t ∈ IR}Ja temos a nocao de estado, de espaco de estados e ate mesmo notacoes

para designar essas ideias. Uma questao, entretanto, ainda deve ser respon-dida: como seria possıvel, dado um sistema real e palpavel do mundo fısico,encontrar para ele uma grandeza, ou grandezas, com as propriedades exigidasna nocao de estado?

6.3 Variaveis de Estado e Energia

Para uma classe vasta e significativa de sistemas sera possıvel encontrar umnumero inteiro n de variaveis escalares capazes de concentrar todas as in-formacoes requeridas pela definicao de estado. Sao as chamadas variaveisde estado, designadas por x1(·), x2(·), . . . xn(·). Uma maneira concisa e efi-ciente de trata-las e empilhando-as em um vetor coluna com n linhas. Destamaneira o estado e formalmente descrito por

x(·) =

x1(·)x2(·)...

xn(·)

O estado em um instante t qualquer e generico pode ser encarado comouma enupla ordenada de numeros reais. E sabido que o conjunto de todasestas entidades possui uma estrutura de espaco vetorial sobre o corpo dosreais: e o chamado IRn. Sabemos agora, entao, quem e o espaco de estados:

∀t, x(t) =

x1(t)x2(t)...

xn(t)

∈ Σ = X = IRn

Geometricamente podemos encarar o vetor x(t) como um ponto em umespaco n-dimensional. Com o passar do tempo este ponto se desloca dese-nhando trajetorias no espaco de estados, chamadas de trajetorias de es-tado ou de fase. Para sistemas com dimensoes ate 3 e facil visualizar estasideias. Se, por exemplo, n = 2 temos Σ = X = IR2:

119

✲

✻x2

x1

✠ x(t0)

A partir desta especificacao mais esmiucada da nocao de estado pode-sereescrever as equacoes dinamicas em uma forma mais detalhada. Para istodevemos ainda nos lembrar de que a entrada em um instante t qualquer ecomposta, no caso mais geral, por m componentes, e a saıda por r compo-nentes, ou seja, u(t) ∈ IRm e y(t) ∈ IRr. As equacoes dinamicas ficam:

{

xi(t) = fi(x1(t), x2(t), . . . xn(t), u1(t), . . . um(t), t) ∀i = 1, 2, . . . nyj(t) = gj(x1(t), x2(t), . . . xn(t), u1(t), . . . um(t), t) ∀j = 1, 2, . . . r

Para sistemas fısicos as variaveis de estado tem uma importante inter-pretacao em termos de energia. Podemos, com efeito, associar a cada umadelas um dos “reservatorios de energia” do sistema. A variavel xi(t) indicariaentao o nıvel de energia do reservatorio i no instante t. E bem sabido que aenergia de sistemas mecanicos pode ser armazenada, como energia potencial,em uma mola comprimida ou distendida. Ela ainda pode aparecer como aenergia cinetica caracterıstica de massas em movimento. Assim, o proce-dimento mais natural, para sistemas mecanicos, e o de escolhermos comovariaveis de estado todos os deslocamentos de molas e todas as velocidadesde massas. Embora outras escolhas de variaveis de estado sejam possıveis, amais natural de todas, aquela com significado fısico mais aparente e a recemmencionada, quando associamos as variaveis xi cada um dos depositos deenergia do sistema.

Para sistemas eletricos os indutores e os capacitores funcionam como “ar-mazens energeticos”, como bem se sabe. Desta maneira, ao lidarmos comsistemas eletricos passivos a escolha natural das variaveis de estado seria:corrente nos indutores e tensoes nos capacitores.

Diz a Fısica, em sua sabedoria, que para bem entendermos a relidadee necessario um conhecimento bastante completo da energia: de como elase transforma de uma para outra de suas possıveis formas, de como ela etransmitida ao longo do tempo de um lugar a outro, quais os seus nıveis emtodo e qualquer instante , etc. Se nos restringirmos ao ambito de um sis-tema, as variaveis de estado xi(t) fornecem, pela simples razao de terem sidoescolhidas para isso mesmo, nada mais nada menos do que as importantesinformacoes acima listadas. Nao e de se estranhar, portanto, que a descricao

120

de um sistema fısico por meio de seu estado seja uma das maneiras maiscompletas e eficientes de conhece-lo.

Conhecer o comportamento de um numero n finito, embora possa serelevado, de reservatorios de energia e suficiente para a descricao exata deuma vasta classe de sistemas. Matematicamente traduzimos este fato dizendoque o estado pertence a um espaco de estados de dimensao finita. Trata-se de um caso bastante comum e com grande aplicabilidade pratica. Aocolocarmos, como foi feito ate agora e continuara sendo feito na maioriadas ocasioes, Σ = X = IRn estamos obviamente supondo um sistema comespaco de estados de dimensao finita, ou, de maneira abreviada, sistema dedimensao finita.

Mas nem sempre a natureza e tao simples e elegante como desejaria aMatematica, e algumas vezes teima em se apresentar sob veus ainda opacosa ciencia humana. Ha, com efeito, sistemas onde a energia pode se arma-zenar em praticamente todos os pontos ao longo do volume ocupado. Parabem conhecermos sistemas desse tipo necessitamos de um numero infinitode variaveis de estado. As ferramentas matematicas atualmente disponıveispara enfrentar essa situacao, os espacos vetoriais com dimensoes infinitas,sao considerados pelos proprios matematicos como um terreno selvagem einexplorado. Nem por isso o conhecimento sobre esses sistema de dimensaoinfinita e pequeno. Sabe-se algo sobre eles, o que e bom e necessario, pois emalgumas importantes aplicacoes praticas, como por exemplo nos sistema atra-sadores, e impossıvel estabelecermos modelos de dimensao finita razoaveis eeficientes.

Para, ainda uma vez, enfatizarmos a importancia do conceito de estadovejamos a opiniao sobre ele do astronomo e matematico frances Laplace(seculo XVIII): “Devemos entao encarar o estado do Universo como umaconsequencia do estado antecedente, e como a causa do estado futuro.”

6.4 Casos Geral e Linear

O uso de variaveis auxiliares, visto no capıtulo anterior, permite exprimirEDOLFs, EDOLs e EDOs, ou seja, equacoes diferenciais ordinarias, em for-mato matricial. Com o conhecimento deste capıtulo percebemos o que estapor tras deste “formato matricial”: equacoes dinamicas e variaveis de estado.O trabalho no caso geral

{

xi(t) = fi(x1(t), x2(t), . . . xn(t), u1(t), . . . um(t), t) ∀i = 1, 2, . . . nyj(t) = gj(x1(t), x2(t), . . . xn(t), u1(t), . . . um(t), t) ∀j = 1, 2, . . . r

e mais problematico pois as funcoes fi(·) e gj(·) nao sao lineares e nao sepode, por exemplo, lancar mao das transformadas de Laplace. Nestes casosdeveremos nos ater a representacao de estados. Veremos mais adiante como

121

encontrar a solucao analıtica destas equacoes dinamicas, quando esta tarefafor possıvel. Note-se que solucoes numericas podem sempre ser encontradas.

Quando f e g sao funcoes lineares de seus argumentos x e u temos aschamadas Equacoes Dinamicas Lineares. Sua forma geral e

xi(t) = ai1(t)x1(t) + ai2(t)x2(t) + · · · + ain(t)xn(t)+bi1(t)u1(t) + · · · + bim(t)um(t)∀i = 1, 2, . . . n

yj(t) = cj1(t)x1(t) + cj2(t)x2(t) + · · · + cjn(t)xn(t)+dj1(t)u1(t) + · · · + djm(t)um(t)∀j = 1, 2, . . . r

Para escrever estas equacoes de forma mais densa e compacta, mantendoa generalidade, podemos lancar mao de matrizes, com o que terıamos

{

x(t) = A(t)x(t) +B(t)u(t); x(t0) = x0

y(t) = C(t)x(t) +D(t)u(t)

onde A(·), B(·), C(·) e D(·) sao matrizes com dimensoes n×n, n×m, r× ne r × m, respectivamente, e cujos elementos sao funcoes do tempo. Alemdisso, x(t) ∈ IRn, u(t) ∈ IRm e y(t) ∈ IRr. Uma equacao dinamica como estarepresenta um sistema causal e linear em sua forma mais generica possıvel:variante no tempo.

Diagramas de blocos sao uma forma equivalente de apresentar as equacoesdinamicas. Eles sao muito utilizados por conseguirem evidenciar de umamaneira clara as ligacoes existentes entre as diversas variaveis em jogo. Odiagrama associado a uma equacao dinamica linear como a acima e:

✲ B(t) ✲+ ✲ ∫ ✲ C(t) ✲+ ✲

✛A(t)

✻

✲ D(t)

❄

u(t)

x(t) x(t)

y(t)

Um diagrama de blocos e apenas uma maneira grafica de escrever umaequacao dinamica. Sao muito usados em simulacao analogica ou digital desistemas. A passagem das equacoes dinamicas para os diagramas de blocosassociados deve ser praticamente automatica; para o caminho inverso e sem-pre util lembrar que as saıdas dos integradores no diagrama correspondemas variaveis de estado.

De especial importancia pratica e teorica e um caso particular da equacaodinamica linear acima, quando as matrizes A(·), B(·), C(·) e D(·) sao cons-tantes:

{

x(t) = Ax(t) +Bu(t); x(t0) = x0

y(t) = Cx(t) +Du(t)

122

onde A, B, C e D sao agora matrizes reais e constantes com dimensoesn × n, n × m, r × n e r × m, como antes. Alem disso, x(t) ∈ IRn, u(t) ∈IRm e y(t) ∈ IRr. Sao as Equacoes Dinaamicas Lineares Fixas quecaracterizam os sistemas lineares e fixos, ou invariantes no tempo. Estessistemas serao personagens assıduos destas paginas.

6.5 Resolucao de Equacoes Dinamicas

O problema e de importancia capital: conhecendo a entrada de um sistemaqueremos tambem conhecer o estado e a saıda. A tarefa e, em outras palavras,a partir do conhecimento da funcao u determinar as funcoes x e y. Devemospara isso resolver as equacoes dinamicas que constituem o modelo matematicodo sistema. Nesta secao se atacara o caso linear geral:

{

x(t) = A(t)x(t) +B(t)u(t); x(t0) = x0


onde, como ja sabemos, x(t) ∈ IRn, u(t) ∈ IRm, y(t) ∈ IRr, e as matrizes A(·),B(·), C(·) e D(·) possuem ordens compatıveis. Para os casos de interesse,os de equacoes que representam sistemas concretos, os coeficientes matriciaisdependem de maneira contınua ou contınua por partes do tempo. Mais afrente se vera o que diz a Matematica sobre a existencia e unicidade dasolucao: dados x(t0) e u, existe, como seria desejavel, uma unica funcao xque satisfaz a equacao dada?

Deve-se notar que a solucao da equacao de saıda e trivial, desde que aequacao de estado tenha sido resolvida. Por este motivo concentraremos aatencao apenas nos metodos de obtencao do estado x(·). Para realcar o fatode que em um instante generico t a solucao x(t) depende da entrada u, dacondicao inicial x(t0) e, obviamente, de t usaremos a seguinte notacao:

x(t) = σ(t; t0;x0;u)

Para calcular efetivamente a solucao x lancaremos mao de uma propri-edade dos sistemas lineares, a Propriedade da Decomposicao. Antes dela,algumas definicoes

Definicao 6.5.1 A resposta ao estado zero de um sistema, abreviadapor REZ, e a resposta apresentada para condicao inicial nula: x(t0) = 0

Usando a simbologia introduzida acima terıamos: REZ = σ(t; t0; 0;u).Esta REZ nada mais e do que uma medida de como o sistema reage asentradas que lhe sao aplicadas.

Definicao 6.5.2 A resposta a entrada nula de um sistema, abreviadapor REN, e a resposta apresentada quando a entrada e nula: u(t) = 0 ∀t

123

A REN mede a reacao do sistema as condicoes iniciais a ele impostas epode ser anotada como REN = σ(t; t0;x0; 0). Ja se pode enunciar a

Teorema 6.5.1 — Propriedade da Decomposicao — A resposta deum sistema linear sempre pode ser decomposta em uma soma de duas parce-las: a resposta ao estado zero e a resposta a entrada nula. Sendo R a respostado sistema linear temos

R = REZ+ REN

No arrazoado acima a palavra resposta pode designar tanto o estadocomo a saıda. No caso de se considerar o estado podemos aplicar a notacaoja apresentada e escrever a propriedade da decomposicao como

σ(t; t0;x0;u) = σ(t; t0; 0;u) + σ(t; t0;x0; 0)

Embora correndo o risco da redundancia, devemos repetir que a proprie-dade da decomposicao se aplica apenas para sistemas lineares. Como, feliz-mente, nosso caso e este a busca em que nos empenhamos pode ser efetuadaem duas etapas, a primeira das quais sera

6.5.1 REN para Sistemas Lineares

A relacao matematica que traduz esta situacao recebe o nome de equacaohomogenea. Ei-la:

{

x(t) = A(t)x(t)x(t0) = x0

Solucionar a equacao homogenea significa encontrar a REN: x(t) =σ(t; t0;x0; 0). Mais uma vez lembramos que, para todo t, A(t) e uma matrizn × n e x(t) ∈ IRn. Para estudar as propriedades das solucoes da equacaoacima, seja ψ(·) a solucao da equacao homogenea quando x0 = e, um vetorgenerico do IRn. Em sımbolos temos ψ(t) = σ(t, t0, e, 0). Obviamente afuncao ψ(·) tem a seguinte propriedade:

ψ(t) = A(t)ψ(t); ψ(t0) = e

Estas consideracoes seriam suficientes para estabelecer o seguinte

Teorema 6.5.2 O conjunto de todas as solucoes ψ de uma equacao ho-mogenea como acima forma um espaco vetorial n-dimensional com o corpodos reais.

Este importante resultado nao sera demonstrado neste texto, embora ademonstracao seja simples e direta. Dentre suas inumeras consequenciaspodemos citar, apenas como exemplos:

124

1. Se ψ1 e ψ2 sao solucoes da equacao homogenea entao α1ψ1 + α2ψ

2

tambem sera solucao, quaisquer que sejam os reais α1 e α2.

2. Sempre existe um conjunto de n solucoes ψ1,ψ2, . . . ψn de tal modoque uma solucao qualquer ψ pode ser expressa como ψ = α1ψ

1 +α2ψ

2 + · · · αnψn onde os αi sao reais.

E poderıamos nos alongar nesta lista. O importante, que deve ser mantidoem mente, e que as solucoes de uma equacao homgenea gozam de todas aspropriedades comuns aos elementos de um espaco vetorial n-dimensional.Diga-se de passagem que este conjunto das ψ e um bom exemplo de espacovetorial n-dimensional que nao seja o IRn ou o Cn. Os conceitos seguintessao consequencias do teorema anterior.

Definicao 6.5.3 A matriz fundamental associada a uma equacao ho-mogenea como acima e uma matriz F n× n cujas colunas sao solucoes line-armente independentes da referida equacao.

Ou seja, quando agrupamos lado a lado os elementos de uma base doespaco vetorial das solucoes teremos uma matriz fundamental.

Exemplo 6.5.1 Seja a seguinte equacao homogenea

x(t) =

[

0 0t 0

]

x(t)

Seria simples verificar que os vetores

ψ1 =

[

01

]

e ψ2 =

[

2t2

]

sao solucoes, ou seja, A(t)ψi(t) = ψi(t) para i = 1, 2. Assim, como estesvetores sao linearmente independentes, temos

F (t) =

[

0 21 t2

]

Devemos notar que a matriz fundamental nao e unica, e que nem sempresabemos determina-la de uma maneira simples como acima. Em um numeroassustadoramente grande de casos nao conseguiremos sequer encontra-la. Umdos grandes problemas ainda existentes no campo dos sistemas lineares eexatamente ligado ao fato de nao haver meios para a determinacao da matrizfundamental. Em alguns casos a tarefa e facil, como no exemplo acima, ondepodemos “chutar” com rapidez e eficiencia.

No caso dos sistemas lineares e invariantes no tempo algumas sutilezasdesaparecem e a busca das matrizes fundamentais e simplificada. No caso

125

geral, entretanto, devemos estar preparados para a ausencia total de metodose o uso de procedimentos baseados unicamente no “chute”. Quase sempree tarefa ingloria, mas nem por isso as matrizes fundamentais sao menosimportantes. Apesar de serem de obtencao difıcil as matrizes fundamentaistem um papel destacado no problema ora em estudo. Daı o nome . . .

Teorema 6.5.3 A matriz fundamental F (t) e nao singular ∀t ∈ [t0 tf ] ∈ IR

Tambem este resultado vai sem prova. Ele e necessario para se poderformular o proximo conceito

Definicao 6.5.4 Sendo F (t) uma matriz fundamental qualquer associada aequacao homogenea chamaremos de matriz de transicao de estados amatriz n× n obtida a partir de Φ(t, τ) = F (t)F−1(τ)

Temos em maos uma matriz cujos elementos dependem de dois parame-tros reais t e τ . Usando a definicao conseguirıamos provar cada uma dasseguintes propriedades

1. Φ(t, t) = Φ(τ, τ) = I ∀t, τ ∈ IR

2. Φ(t, τ) = Φ−1(τ, t) ∀t, τ ∈ IR

3. Φ(s, τ) = Φ(s, t)Φ(t, τ) ∀t, τ, s ∈ IR

4. ∂∂tΦ(t, τ) = A(t)Φ(t, τ)

Uma maneira facil de visualizar estas propriedades (as tres primeiras de-las) e considerar Φ(t, τ) como uma “conducao”, um veıculo que leva do pontoτ ao ponto t:

✒Φ(t, τ)

τt

Como a identidade nada modifica, trazendo de volta ao ponto de partida,e obvio que

✒τ Φ(τ, τ) = I

❨

tΦ(t, t) = I

Para as outras propriedades considere as seguintes afirmacoes: “a volta eo inverso da ida” e “ha caminhos alternativos, passando por outras escalas,que levam ao mesmo lugar.”

126

τt✲

Φ(t, τ)

❦Φ(τ, t)τ

t

s

✲

✲

✻

Φ(t, τ)

Φ(s, τ)

Φ(s, t)

A quarta propriedade nao tem uma explicacao visual comparavel a estas.Como a matriz de transicao de estados e obtida a partir da matriz fundamen-tal, ela tambem apresenta as mesmas dificuladades de obtencao: os processospara determina-la sao baseados, em sua maioria, em chutes. Uma grande par-ticularidade, porem, deve ser ressaltada: apesar de a matiz fundamental naoser unica a matriz de transicao de estados e. Isto nao sera provado aqui. Aproxima propriedade e tao importante que, ao inves de receber o numero 5sera enunciada como

Teorema 6.5.4 A solucao da equacao homogenea{

x(t) = A(t)x(t)x(t0) = x0

e unica e pode ser encontrada a partir de x(t) = Φ(t, t0)x(t0) onde Φ(· , ·), ea matriz de transicao de estados de A(t).

A demonstracao deste resultado, apesar de simples, sera omitida. Esteteorema tambem fornece um novo significado para a matriz de transicao deestados: ela mapeia estados iniciais em estados finais. Este comportamentoainda poderia ser generalizado para instantes quaisquer: conhecendo o estadoem um instante ti qualquer o estado em tf sera dado por

x(tf) = Φ(tf , t1)x(ti) ∀ti, tf ∈ IRO nome transicao de estados provem exatamente desta propriedade, e o

modelo pictorico usado acima para visualizar as propriedades de Φ(t, τ) podeser aperfeicoado:

✒Φ(tf , ti)

x(ti)x(tf)

Independentemente de suas belas caracterısticas teoricas, a matriz detransicao de estados Φ(· , ·) sera usada por nos apenas para encontrar a RENde um sistema linear: x(t) = Φ(t, t0)x0.

Exemplo 6.5.2 Resolver a equacao homogenea

x(t) =

[

0 0t 0

]

x(t); x(t0) =

[

αβ

]

127

Ja conhecemos uma matriz fundamental para este caso:

F (t) =

[

0 21 t2

]

cuja inversa e F−1(t) =1

2

[

−t2 21 0

]

donde, usando a definicao de matriz de transicao de estados:

Φ(v, w) =1

2

[

2 0v2 − w2 2

]

Considerando t0 = 0 e usando a expressao da REN temos

x(t) = Φ(t, 0)x(0) =1

2

[

2 0t2 2

] [

αβ

]

=

[

α

α t2

2+ β

]

Se α = 0 e β = cte teremos

x(t) =

[

0β

]

= x0 ∀t

Se β = 0 e α = cte teremos

x(t) =

[

α

α t2

2

]

Estes tipos de solucao estao esquematizados na figura abaixo, que repre-senta, para este exemplo, o espaco de estados e as trajetorias. Notemos queestados iniciais com α = 0 dao origem a trajetorias pontuais: o estado per-manece indefinidamente no mesmo ponto. Estados iniciais localizados emoutras regioes do plano originarao trajetorias retilıneas e paralelas:

✲

✻x2

x1

✻✻

6.5.2 REZ para Sistemas Lineares

Esta situacao e traduzida pela chamada equacao completa:{

x(t) = A(t)x(t) +B(t)u(t)x(t0) = x

0 = 0

Solucionar esta equacao equivale a encontrar a REZ x(t) = σ(t; t0; 0;u).Tambem aqui a matriz de transicao de estados e crucial, pois

128

Teorema 6.5.5 A solucao da equacao completa com x(t0) = 0 e dada por

x(t) = σ(t; t0; 0;u) =∫ t

t0Φ(t, τ)B(τ)u(τ)dτ

A finalidade destas notas nao e a mesma dos livros-textos, onde se podeencontrar demonstracoes boas e detalhadas de todas as afirmacoes e de todasas passagens. Queremos aqui transmitir a essencia da informacao, omitindosempre que possıvel as tecnicalidades. Vez por outra prova-se alguma coisa, oque nao e o caso neste ponto, onde apenas fornecemos uma formula, alegamossua exatidao e passamos para a frente.

Exemplo 6.5.3 Resolver a equacao completa

x(t) =

[

0 0t 0

]

x(t) +

[

01

]

u(t); x(t0) = 0

Para encontrar x(t) precisamos da matriz de transicao de estados. O-lhando para tras um pouco:

Φ(t, τ) =1

2

[

2 0t2 − τ 2 2

]

Usando o teorema anterior vem

x(t) =∫ t

t0Φ(t, τ)B(τ)u(τ)dτ =

∫ t

t0

[

01

]

dτ

Supondo t0 = 0 e u(t) = 1(t), um degrau unitario,a integral acima forne-ceria

x(t) =

[

0t

]

a solucao procurada.

6.5.3 Resposta Geral de Sistemas Lineares

Reuninda as ultimas informacoes ja somos capazes de solucionar a equacao

{

x(t) = A(t)x(t) +B(t)u(t)x(t0) = x

0

Para isso devemos empregar a propriedade de decomposicao R = REZ + RENou, em sua outra notacao, x(t) = σ(t; t0;x0;u) = σ(t; t0; 0;u)+σ(t; t0;x0; 0).Com o auxılio dos resultados anteriores:

x(t) = Φ(t, t0)x(t0) +∫ t


129

Poder-se-ia mostrar, usando propriedades nao vistas das matrizes de tran-sicao de estados, que Φ(t, τ) = Φ(t, t0)Φ(t0, τ), com o que podemos modificarum pouco a formula acima:

x(t) = Φ(t, t0)[

x(t0) +∫ t

t0Φ(t0, τ)B(τ)u(τ)dτ

]

Para obter uma expressao para a saıda devemos solucionar o conjuntodas equacoes dinamicas de estado e saıda:

x(t) = A(t)x(t) +B(t)u(t); x(t0) = x0


Como a equacao de saıda nao envolve derivacoes, o conhecimento adqui-rido ate agora permite escrever

y(t) = C(t)[

Φ(t, t0)x(t0) +∫ t


]

+D(t)u(t)

Podemos considerar concluıda a tarefa de buscar solucoes para equacoesdinamicas lineares. E necessario, entretanto, mencionar um inconvenientedos metodos usados: a necessidade da matriz de transicao de estados Φ(v, w).Para o caso geral, dada uma matriz A(t) qualquer, nao se conhecem metodosteoricos para o calculo de Φ, e isto e um problema serio. Podemos pensarque talvez haja outros metodos onde a matriz Φ nao seja necessaria, mas istoe falso, pelo menos por tudo que se sabe ate o presente, e assim devemos nosconformar com todas as dificuldades (o melhor seria dizer impossibilidades)envolvidas na obtencao da matriz de transicao de estados. Estas dificuldadesserao consideravelmente minoradas no caso invariante no tempo, onde serapossıvel associar a cada matriz A sua matriz de transicao de estados, sempre.

Mas antes dele vejamos o que acontece com a saıda ao considerarmosrelaxacao inicial, isto e, x0 = 0.

y(t) = C(t)(∫ t


)

+D(t)u(t)

Usando uma propriedade dos impulsos unitarios podemos escrever

y(t) = C(t)(∫ t


)

+D(t)(∫ t

t0δ(t− τ)u(τ)dτ

)

ou, agrupando:

y(t) =∫ t

t0[C(t)Φ(t, τ)B(τ) +D(t)δ(t− τ)]u(τ)dτ

Mas e bem sabido que a entrada e a saıda de um sistema linear, causal erelaxado em t0 estaao relacionadas por meio da integral de superposicao

y(t) =∫ t

t0G(t, τ)u(τ)dτ

130

Comparando estas duas expressoes encontramos

G(t, τ) = C(t)Φ(t, τ)B(τ) +D(t)δ(t− τ)

Esta relacao fornece a matriz de resposta ao impulso G(t, τ) em termosdas matrizes A(·), B(·), C(·) e D(·) caracterısticas das equacoes dinamicas.Temos assim um metodo de encontrar uma descricao externa a partir de umarepresentacao interna. O problema inverso, o de encontrarmos uma equacaodinamica para um sistema modelado externamente, nao e tao simples comoeste, e e visto na teoria das realizacoes.

6.6 Caso Linear e Invariante no Tempo

As Equacoes Dinamicas Lineares e Fixas ou Invariantes no Tempo (EDOLFsou EDLITs) sao, relembrando:

{

x(t) = Ax(t) +Bu(t); x(t0) = x0

y(t) = Cx(t) +Du(t)

Como A, B, C e D sao agora matrizes reais e constantes com dimensoesn× n, n×m, r× n e r×m, a aplicacao dos desenvolvimentos precedentes esensivelmente facilitada. Sera sempre possıvel, e muitas vezes simples, calcu-lar a REZ e a REN e consequentemente a solucao global R=REZ+REN. Estabusca analıtica pelas solucoes pode ser feita no Domınio da frequencias,usando transformada de Laplace, ou no Domınio do tempo, com o auxılioda algebra das matrizes. E claro que metodos numericos, nao analıticos,sempre podem ser empregados tambem.

6.6.1 Laplace nas EDLITs

Ja foi visto que o instante inicial t0 e irrelevante para os sistemas fixos epode, sem perda de generalidade, ser considerado igual a zero. Seja entaoum SLIT com estado inicial x(t0) = x(0) = x0. Achando as transformadasde Laplace das equacoes dinamicas:

{

sX(s)− x(0) = AX(s) +BU(s)Y (s) = CX(s) +DU(s)

Rearranjando e reagrupando termos da primeira equacao:{

(sI −A)X(s) = BU(s) + x0

Y (s) = CX(s) +DU(s)

Como a matriz sI −A e sempre inversıvel podemos isolar X(s):{

X(s) = (sI − A)−1 {BU(s) + x0}Y (s) = CX(s) +DU(s)

131

Vale a pena paralisar o desenvolvimento para constatar que estas ex-pressoes confirmam as ideias do conceito de estado. Elas dizem que a partirdo conhecimento de x(0) e de u[t0,∞) ou, equivalentemente, de U(s) fica as-segurado o conhecimento de X(s) e Y (s) ou, equivalentemente, de x[t0,∞) ede y[t0,∞). Voltando as equacoes, e fundindo-as em uma unica vem:

Y (s) = C(sI − A)−1 {BU(s) + x0}+DU(s)

Supondo entrada nula acima (U(s) = 0) resulta, obviamente, a REN;supondo relaxamento inicial temos x0 = 0 o que fornece a REZ

Y (s) ={

C(sI − A)−1B +D}

U(s)

A ideia basica de matriz de transferencia diz que as entradas e saıdasde um SLIT relaxado se relacionam por meio de Y (s) = G(s)U(s), dondepercebemos ter estabelecido uma maneira de exprimir a matriz de trans-ferencia G(s) de um SLIT a partir dos parametros de sua equacao dinamica.Na figura abaixo mostramos duas maneiras basicas de representar um SLIT:por meio de sua matriz de transferencia, ou no “domınio das frequencias” epor meio de sua equacao dinamica, ou no “domınio do tempo”:

✲ G(s) ✲U(s) Y (s)

Y (s) = G(s)U(s)

ou

x(t) = Ax(t) +Bu(t)

y(t) = Cx(t) +Du(t)

O elo de ligacao entre as duas representacoes e

G(s) = C(sI − A)−1B +D

Esta expressao fornece de uma maneira simples e direta a matriz de trans-ferencia de um SLIT descrito pelas equacoes dinamicas. O problema inverso,o de encontrar as equacoes dinamicas (matrizes A, B, C e D) para um SLITdescrito por sua matriz de transferencia G(s) e mais complexo e e estudadopela teoria das Realizcoes. Chegaremos a ela, no devido tempo.

6.6.2 No domınio do tempo

Conforme visto anteriormente, o estudo dos sistemas lineares variantes notempo e prejudicado pelas dificuldades quase intransponıveis do calculo damatriz de transicaode estados. Para a importante classe dos sistemas linearese fixos as barreiras desaparecem e a matriz de transicao de estados pode serobtida de uma maneira direta e simples, sem a necessidade de chutes outentativas nem sempre bem sucedidas.

132

Teorema 6.6.1 Quando, na equacao homogenea x(t) = A(t)x(t) a matrizA(t) independe do parametro t, isto e, A(t) = A = cte, a matriz de transicaode estados e dada pela exponencial matricial

Φ(v, w) = e(v−w)A

Seria facil verificar que a exponencial matricial acima satisfaz todas aspropriedades requeridas da matriz de transicao de estados e que, assim, oteorema e verdadeiro. A principal consequencia deste importante resultadoaparece quando desejamos encontrar as solucoes das equacoes dinamicas in-variantes no tempo ou fixas:

{

x(t) = Ax(t) +Bu(t); x(t0) = x0

y(t) = Cx(t) +Du(t)

Lembrando que nestas condicoes sempre podemos considerar t0 = 0, semperda de generalidade, teremos

x(t) = σ(t; 0;x0;u) = etAx0 +∫ t

0e(t−τ)ABu(τ)dτ

A expressao para a saıda segue trivialmente:

y(t) = CetAx0 + C∫ t

0e(t−τ)ABu(τ)dτ +Du(t)

Considerando nulo o estado inicial x0 na expressao acima poderıamos, aexemplo do que foi feito para o caso variante no tempo, relacionar as matrizesA,B,C e D com a integral de convolucao e com a matriz de resposta aoimpulso. O resultado final e

G(t, τ) = Ce(t−τ)AB +Dδ(t− τ) = G(t− τ)

Encontramos, como nao poderia deixar de ser, uma expressao muito par-ticular dos parametros t e τ . A resposta ao impulso depende apenas, paraeste caso invariante no tempo, de t− τ , a chamada “idade” do sistema. Comisto em mente podemos considerar o impulso aplicado em τ = 0 e escrever,sem perda de generalidade:

G(t) = CetAB +Dδ(t)

6.7 Exponencial matricial

A enorme importancia do caso invariante no tempo exigiria metodos simples,rapidos e eficientes para o calculo da matriz de transicao de estados. AMatematica, felizmente, conhece tais metodos para o calculo da exponencialmatricial etA. Vejamos dois deles:

133

1. Metodo Aproximado: Lembremos que, sendo a e ξ constantes reais,a teoria da expansao de funcoes em series de potencias diz que

eξa = 1 + ξa+ξ2

2!a2 +

ξ3

3!a3 + · · ·

Sendo A uma matriz n× n uma matriz de numeros reais, a expressaoescalar acima pode ser imediatamente generalizada, pois a potenciacaoe uma operacao valida para as matrizes quadradas. Assim:

eξA = 1 + ξA+ξ2

2!A2 +

ξ3

3!A3 + · · ·

A aproximacao sera tanto melhor quanto mais termos considerarmosna soma. Este metodo aproximado e muito util para calculos efetuadosem computador digital. Ao inves de exprimir a exponencial matricialpor meio de uma serie truncada como acima podemos empregar o

2. Metodo Exato: consideremos uma equacao homogenea invariante notempo:

x(t) = Ax(t); x(0) = x0

Sua solucao pode ser encontrada por meio de Laplace:

sX(s)− x0 = AX(s) donde X(s) = (sI − A)−1x0

Esta mesma solucao pode tambem ser encontrada pelas recentes for-mulas:

x(t) = etAx0 donde X(s) = L{

etA}

x0

Igualando estas duas expressoes temos

(sI − A)−1x0 = L{

etA}

x0 donde[

(sI −A)−1 −L{

etA}]

x0 = 0

Como esta expressao deve se verificar ∀x0 ∈ IRn podemos concluir que

L{

etA}

= (sI − A)−1 ou entao etA = L−1{

(sI − A)−1}

A exponencial etA e a anti-transformada de Laplace da inversa da ma-triz polinomial sI − A. Este metodo e muito apreciado pela facilidadee rapidez com que apresenta uma solucao exata. Esta solucao, alias,mostra uma analogia formal muito grande com o caso escalar, ondetemos

L{

eta}

=1

s− a = (s− a)−1

ou entao:

eta = L−1{

1

s− a

}

= L−1{

(s− a)−1}

134

Serao apenas estes os metodos vistos aqui. Para bem sedimentar as ideiasvejamos um

Exemplo 6.7.1 Resolver a equacao completa

x(t) =

[

−1 10 −1

]

x(t) +

[

01

]

u(t); x(t0) = 0

Para encontrar a exponencial etA precisamos da matriz polinomial sI−A.Para este caso:

sI − A =

[

s+ 1 −10 s+ 1

]

Inversas de matrizes como esta podem ser obtidas por qualquer dos pro-cessos conhecidos. Teremos, de um modo geral, matrizes cujos elementos saofuncoes racionais estritamente proprias da variavel s:

(sI −A)−1 =

[

1s+1

1(s+1)2

0 1s+1

]

Pela definicao, ou entao consultando tabelas, encontramos

etA = L−1{

(sI − A)−1}

=

[

e−t te−t

0 e−t

]

Substituindo o argumento t por t− τ chegamos a procurada

Φ(t, τ) = e(t−τ)A =

[

e−(t−τ) (t− τ)e−(t−τ)

0 e−(t−τ)

]

com o que podemos atacar a expressao geral da solucao

x(t) = etAx0 +∫ t

0e(t−τ)Bu(τ)dτ

Olhando em primero lugar para a REN teremos

x(t) = etAx0 =

[

e−t te−t

0 e−t

] [

αβ

]

=

[

e−t(α + βt)e−tβ

]

Considerando separadamente varias possıveis condicoes iniciais podemosesbocar os tipos de trajetorias:

✲

✻x2

x1

x0x0

x0✛

135

Para estudar a REZ, seja a entrada um degrau unitario u(t) = 1(t) e,obviamente, x0 = 0:

x(t) =∫ t

0

[

e−(t−τ)

0

]

dτ = e−t∫ t

0

[

eτ

0

]

dτ =

[

1− e−t

0

]

Esta trajetoria poderia ser plotada; verificamos que

limt→∞

x(t) =

[

10

]

6.8 Equacoes Dinamicas Equivalentes

Nesta parte trataremos apenas dos sistemas lineares e invariantes no tempo,representados por equacoes dinamicas do tipo

{

x(t) = Ax(t) +Bu(t); x(0) = x0

y(t) = Cx(t) +Du(t)

Muitas vezes, por economia, preguica ou qualquer outro motivo, referimo-nos a uma equacao dinamica como esta citando apenas as matrizes quenela aparecem. Dizendo, por exemplo, que um sistema e representado pelaquadrupla < A,B,C,D > estamos subentendendo que a entrada, o estado ea saıda estao relacionados da maneira usual, como acima.

Definicao 6.8.1 As equacoes dinamicas < A,B,C,D > e < A, B, C, D >sao chamadas de equivalentes quando e apenas quando existir uma matrizP , n× n, nao singular, tal que

A = PAP−1 B = PB

C = CP−1 D = D

Esta definicao de equivalencia poe em jogo aspectos apenas matematicosdas equacoes dinamicas. Ao nos lembrarmos de que estas equacoes podemrepresentar os importantes sistemas dinamicos lineares e invariantes no temponos quais tanto estamos interessados, uma duvida surge: qual seria a relacaoexistente entre sistemas representados por equacoes dinamicas equivalentes?

Para encontrar respostas a esta questao, mais matematica se faz ne-cessaria. A ela, pois, com a sincera alegria sempre presente nessas ocasioes(e em todas as outras tambem, sem duvida!).

Embora o arrazoado seguinte seja valido para um espaco vetorial qual-quer, e conveniente considerarmos o IRn como o “espaco vetorial padrao”,nao apenas porque ele sera o espaco de estados X para a grande maioria dossistema que nos interessam, mas tambem porque as visualizacoes ficam maisfaceis e podemos lancar mao de conceitos geometricos familiares a todos.

136

Um espaco vetorial e constituıdo por vetores, que nada mais sao do quepontos de um espaco n-dimensional. Vemos assim que a identidade dos ele-mentos de um espaco vetorial e determinada pela geometria. Mas nao se podetrabalhar comodamente com pontos e nem com os elementos geometricos usu-ais quando a dimensao dos espacos e superior a 2. Isto impoe a necessidadede uma representacao operacional mais eficiente para os vetores.

A Algebra Linear nos diz como representar rapida e eficientemente umvetor no papel. Devemos para isso lancar mao do conceito de base. Sejaentao uma base do IRn constituıda pelos vetores e1, e2, . . . en. E bem sabidoque para um elemento (ponto) qualquer p ∈ IRn teremos

p = x1e1 + x2e2 + · · · + xnen

onde os reais x1, x2, . . . xn sao unicos e determinam inequivocamente o ve-tor p. Estes reais xi sao chamados de componentes ou coordenadas (algunsautores fazem distincao entre esses nomes) do vetor p com relacao a basee1, e2, . . . en. Esta correspondencia biunıvoca entre um vetor e suas com-ponentes permite que um ponto qualquer de um espaco n-dimensional sejarepresentado por um conjunto de n nuneros reais. Por uma convencao maisou menos generalizada estes escalares sao sempre apresentados ordenada-mente na forma de matriz coluna, com n linhas e uma unica coluna:

x =

x1x2...xn

Vemos assim que uma matriz coluna x pode representar um ponto (vetor)qualquer de um espaco vetorial. Com um pouco de abuso de notacao diremosque a matriz coluna acima e o proprio vetor p:

x =

x1x2...xn

= p

Na rigorosa realidade, mesmo que os elementos de uma matriz sejamos componentes de um vetor em uma dada base e, consequentemente, elaseja uma representacao operacional para ele, temos em maos entidades ma-tematicas fundamentalmente distintas: uma matriz e uma matriz e um vetore um vetor. Apesar disso, o abuso cometido ao identificarmos p com suarepresntacao matricial x e inofensivo e sera sempre ignorado.

Apenas uma ressalva. A representacao de vetores atraves de matrizescoluna e um tanto quanto antieconomica no que diz respeito a consumo de

137

papel. Para tentar sanar esse inconveniente usa-se (nao muito) a transpostade um vetor linha para simbolizar um vetor:

x =

x1x2...xn

= p = [ x1 x2 . . . xn ]T

Para bem representarmos vetores por meio de matrizes foi necessario oconhecimento de uma base. Ora, e bem sabido que ha um numero infinito debases em um espaco vetorial, pois qualquer conjunto de n vetores linearmenteindependentes pode ser selecionado como tal. Uma duvida muito naturalsurge: qual e a relacao entre as representacoes matriciais de um mesmoponto com respeito a bases diferentes? Para atacar esse problema seja umvetor p ∈ IRn e duas bases desse espaco denotadas por E =< e1, e2, . . . en >e E =< e1, e2, . . . en >. Com isso temos duas possıveis expressoes para p:

p = x1e1 + x2e2 + · · · + xnen e p = x1e1 + x2e2 + · · · + xnen

Isto significa que o memso vetor p pode ser igualmente bem representadopor qualquer uma das matrizes coluna abaixo:

x =

x1x2...xn

x =

x1x2...xn

Antes de relacionar x e x e bom visualizar a situacao no IR2:

✲

✻e2

e1

x2

x1

p

✒

❘

e2

x2

x1

e1

Percebendo que o vetor ej pode ser descrito na base E por meio de

ej = p1je1 + p2j e2 + · · · + pnj en

chegarıamos a tradicional conclusao da Algebra Linear: os numeros reaisque definem a posicao do ponto com respeito a nova base sao combinacoes

138

lineares das antigas coordenadas:

x1 = p11x1 + p12x2 + · · · + p1nxn

x2 = p21x1 + p22x2 + · · · + p2nxn...

xn = pn1x1 + pn2x2 + · · · + pnnxn

Estas equacoes representam a passagem das “antigas” coordenadas paraas “novas” e podem ser elegantemente descritas em notacao matricial:

x = Px onde a matriz P e dada por

p11 p12 · · · p1np21 p22 · · · p2n...

.... . .

pn1 pn2 · · · pnn

e x e x sao as representacoes do ponto p nas bases E e E, respectivamente.Assim como passamos da base E para a base E atraves da equacao acima, amudanca inversa tambem e possıvel e seria efetuada por meio de

x = Qx

Estas expressoes permitem concluir que P e Q sao inversıveis e ainda mais:P = Q−1 ou equivalentemente, Q = P−1. Resumindo: mudancas de basesao efetuadas por meio de multiplicacoes por matrizes nao singulares. Elaspodem se dar em ambos os sentidos e , se P leva de E para E, entao Q = P−1

sera responsavel pela mudanca inversa, de E para E. Como ha infinitas basesem um espaco vetorial, um mesmo e unico vetor pode ser representado poruma infinidade de matrizes coluna, cada uma delas podendo ser obtida apartir de outra por meio de multiplicacao por uma matriz inversıvel.

Voltemos as equacoes dinamicas que representam um sistema linear einvariante no tempo:

{

x(t) = Ax(t) +Bu(t); x(0) = x0

y(t) = Cx(t) +Du(t)

Ao escrevermos estas expressoes estamos implicitamente considerandoque uma dada base do espaco de estados X = IRn foi selecionada, e que,com relacao a essa base, o vetor de estado e representado, no instante t, pelamatriz coluna x(t). A designacao de bases nos espacos U = IRm e Y = IRr,tambem e implıcita, para que a entrada e a saıda possam ser descritas, noinstante t, pelas matrizes u(t) e y(t).

Que acontecera com as matrizes A,B,C e D, caracterısticas do sistema,quando passamos da base E originalmente escolhida no espaco de estados

139

para uma outra base E desse espaco, permanecendo inalteradas as basesescolhidas nos espacos U e Y ? Sabemos que uma tal mudanca de basesresultara em uma nova matriz coluna para representar o estado:

x(t) = Px(t) ou entao x(t) = P−1x(t)

Substituindo a ultima expressao na equacao dinamica acima vem{

P−1 ˙x(t) = AP−1x(t) +Bu(t); x(0) = Px0

y(t) = CP−1x(t) +Du(t)

Multiplicando a equacao de estado, pela esquerda, pela matriz P vem{

˙x(t) = PAP−1x(t) + PBu(t); x(0) = Px0

y(t) = CP−1x(t) +Du(t)

Deste modo, na nova base E as relacoes entre x(t), u(t) e y(t) passam aser descritas por

{

˙x(t) = Ax(t) + Bu(t); x(0) = Px0

y(t) = Cx(t) + Du(t)

onde A = PAP−1, B = PB, C = CP−1 e D = D.Nada foi feito que alterasse o sistema, ele continua sendo o mesmo.

Quando escolhemos uma nova base em X a matriz que representa o estadomuda, e, com ela, mudam tambem as matrizes A,B,C e D, que passam aser A, B, C e D, como acima. Lembrando o conceito de equacoes dinamicasequivalentes apresentado anteriormente concluımos que mudar de base noespaco de estados significa encontrar uma equacao dinamica equivalente aoriginal. Assim, as equacoes dinamicas equivalentes tem em comum a im-portante caracterıstica de representarem exatamente o mesmo sistema, poiso vetor de estados permanece o mesmo, apenas passando a ser representadopor um outro conjunto de numeros reais. Com isto as matrizes A,B,C e Dpodem se modificar bastante.

Dada uma equacao dinamica, ela certamente representara um unico sis-tema linear e invariante no tempo. Ja a recıproca nao e verdadeira, poiscomo ha uma infinidade de possıveis bases em um espaco vetorial, haveraum numero ilimitado de equacoes dinamicas equivalentes representando ummesmo sistema. A matriz P usada na mudanca de bases e chamada detransformacao de equivalencia ou transformacao de similaridade.

Exemplo 6.8.1 Considere o SLIT descrito por

x(t) =

[

0 1−2 −3

]

x(t) +

[

01

]

u(t); x(0) =

[

11

]

y(t) = [ 1 0 ] x(t)

140

Seja a mudanca de bases dada por x = P1x onde a transformacao desimilaridade e dada por

P1 =

[

1 23 4

]

cuja inversa e P−11 =

[

−1 13/2 −1/2

]

As matrizes A, B e C devem ser calculadas atraves das formulas A =P1AP

−11 , A = P1B e C = CP−1

1 . Feito o que encontrarıamos

˙x(t) =

[

1/2 −3/25/2 −7/2

]

x+

[

24

]

u(t); x(0) =

[

37

]

y(t) = [ −2 1 ] x

Seja agora a mudanca de bases dada por x = P2x onde a transformacaode similaridade e dada por

P2 =

[

2 2−1 −1

]

cuja inversa e P−12 =

[

1 11 2

]

As novas matrizes A, B e C devem ser calculadas atraves das formulasA = P2AP

−12 , A = P2B e C = CP−1

2 . Feito o que encontrarıamos

˙x(t) =

[

−1 00 −2

]

x+

[

1−1

]

u(t); x(0) =

[

3−2

]

y(t) = [ 1 1 ] x

Deve-se notar que esta ultima equacao poderia ter sido obtida a partir daequacao imediatamente anterior usando x = P3x com P3 = P2P

−11 .

Exemplo 6.8.2 Em paginas anteriores costumavamos encarar o problemade representar matricialmente equacoes diferenciais como a abaixo:

y(t) + 3y(t) + 2y(t) = u(t)

y(0) = 1; y(0) = 1

Sabemos agora que isto significa encontrar uma equacao dinamica paraum sistema descrito por meio de uma EDLOF. Utilizando ainda uma vez as“variaveis auxiliares” facamos, para este exemplo: x1 = y e x2 = y. Comisto obterıamos

x(t) =

[

0 1−2 −3

]

x(t) +

[

01

]

u(t); x(0) =

[

11

]

y(t) = [ 1 0 ] x(t)

141

Outra possıvel escolha de variaveis auxiliares, certamente menos natural,seria x1 = y + 2y e x2 = 3y + 4y, que acarretaria

˙x(t) =

[

1/2 −3/25/2 −7/2

]

x+

[

24

]

u(t); x(0) =

[

37

]

y(t) = [ −2 1 ] x

Mais uma possıvel escolha: x1 = 2y + y e x2 = −y − y. Apos todo omalabarismo algebrico necessario a reducao chegarıamos a

˙x(t) =

[

−1 00 −2

]

x+

[

1−1

]

u(t); x(0) =

[

3−2

]

y(t) = [ 1 1 ] x

Os comentarios e conclusoes a respeito deste ultimo exemplo sao deixa-dos a cargo da perspicacia do leitor, da qual, por certo, nao escaparao asinevitaveis comparacoes com o exemplo anterior.

Este dois exemplos, que na realidade podem ser considerados como umunico, podem nao ter sido suficientes para esclarecer a questao: ha algumafinalidade util no uso das transformacoes de equivalencia? Esta duvida epertinente, pois nos exemplos vistos as mudancas de base aparecem de umamaneira muito desmotivada e artificial. Quase que por acaso era fornecidauma matriz de transformacao e se apresentavam, apos os calculos devidos,as equacoes do sistema na nova base.

Qualquer impressao porventura pressentida de futilidade e falsa, pois napratica de sistemas lineares as transformacoes de equivalencia sao usadas deuma maneira inteligente, direta e racional, sempre tendo em vista um objetivomuito claro. A finalidade das transformacoes de equivalencia e encontrar umamatriz P de tal modo que A = PAP−1, B = PB e C = CP−1 estejam emformas particularmente simples, de facil manuseio e nas quais propriedadesinteressantes do sistema sejam evidenciadas.

Mais uma vez notamos que um sistema nao sofre alteracao alguma quandosubmetido a uma mudanca de bases. As matrizes que o representam passama se apresentar sob diferentes aspectos, embora continuem representando asmesmas transformacoes lineares que caracerizam o sistema. Uma escolhaesperta e inteligente de novas bases pode fornecer ao sistema “roupas dife-rentes” que sejam especialmente uteis para realcar este ou aquele aspecto,para deixar transparentes e visıveis detalhes estruturais, para, em suma, faci-litar as coisas. A procura de bases especialmente uteis sera uma preocupacaosempre presente a partir de agora.

142

6.9 Equacoes Dinamicas e Sistemas Fısicos

Se desejamos modelar um sistema fısico por meio de equacoes dinamicas oprimeiro passo e a escolha das variaveis de estado. Uma diretriz muito utildiz que esta escolha deve ser feita, em geral, a partir da natureza fısica dosistema. Para isto escolherıamos como variaveis de estado os “depositos”naturais de energia do sistema. Para fixar as ideias, revisitemos o sistemamecanico

K

B

M

✲y

✲u = f

Supondo elementos mecanicos ideais e ausencia de atrito seco desejamosencontrar a equacao dinamica que relaciona a forca f = u aplicada comoentrada e o deslocamento horizontal y do carrinho. Como a energia cineticado sistema e medida pela velocidade y do carrinho e a energia potencial serelaciona com a compressao ou distensao da mola, medidas pela abscissa y, aescolha mais natural da svriaveis de estado e x1 = y e x2 = y. Supondo queos parametros do sistema sao M = 1, K = 2 e B = 3 a equacao dinamicaprocurada se apresentara como

x(t) =

[

0 1−2 −3

]

x(t) +

[

01

]

u(t);

y(t) = [ 1 0 ] x(t)

O problema de modelagem ja esta resolvido. A partir de agora, se naoquisermos trabalhar nesta base, quer por acharmos que as matrizes estaoem uma forma inconveniente, quer por uma outra razao qualquer, pode-mos recorrer a uma transformacao de similaridade x = Px. Como veremosbrevemente, bases nas quais a matriz A apresenta forma diagonal sao espe-cialmente camaradas e, por essa razao, sao extremamente desejaveis. Paraeste nosso caso, uma transformacao diagonalizadora seria dada por

P =

[

2 1−1 −1

]

como bem mostram os recentes exemplos de paginas anteriores (qualquersemelhanca nao e mera coincidencia, e mesmo proposital!). Na nova base

˙x(t) =

[

−1 00 −2

]

x+

[

1−1

]

u(t);

y(t) = [ 1 1 ] x

143

E pronto. Temos matrizes com formatos bastante atraentes. Apenas aressaltar o fato de que as variaveis xi nao apresentam, obrigatoriamente,qualquer sentido fısico. Se estivermos explicitamente interessados nas ener-gias cinetica e potencial deveremos, apos analisar a contento o estado naroupagem x voltar a base original com x = Qx ondo Q = P−1.

Resumindo o enredo: a formulacao de um problema fısico e feita de umamaneira natural, escolhendo variaveis de estado com significado fısico, geral-mente associadas a energia. Apos esse passo escolherıamos uma outra baseque acarretassse conveniencia matematica e nao fısica.

6.10 Aspectos Matematicos

Veremos a seguir alguns conceitos matematicos e suas aplicacoes a sistemaslineares. A enorme importancia deles nao deve ser subestimada ao se notara quase frivolidade com que serao tratados. O profundo e interessante trata-mento que eles bem merecem nao cabe (infelizmente) nestas linhas. Deixemo-lo aos textos matematicos.

Definicao 6.10.1 O polinomio caracterıstico de uma matriz real qua-drada A, n× n, e um polinomio de grau n na variavel s dado por

∆(s) = det(sI − A)

Fala-se, muitas vezes, na equacao caracterıstica de uma matriz A comoacima; trata-se da equacao algebrica obtida igualando-se a zero o polinomiocaracterıstico:

∆(s) = det(sI − A) = 0

Definicao 6.10.2 Os autovalores de uma matriz real e quadrada A, n×n,sao as raızes do polinomio caracterıstico:

λ ∈ C e autovalor de A ⇐⇒ ∆(λ) = det(λI − A) = 0

O conjunto dos autovalores de uma matriz real e quadrada A, n × n,recebe o nome de espectro de A, e, normalmente, o sımbolo λ(A):

λ(A) = {λ ∈ C | ∆(λ) = 0}

Aplicando a definicao para matrizes reais percebe-se que o polinomiocaracterıstico de uma A e um polinomio monico com coeficientes reais:

∆(s) = sn + an−1sn−1 + · · · + a1s+ a0; com ai ∈ IR ∀i = 1, 2, . . . n− 1

Um polinomio assim apresenta sempre n raızes, e, se um complexo forraiz o seu conjugado tambem sera. Desta maneira vemos que uma matrizreal A, n× n possuira sempre n autovalores:

λ(A) = {λ1, λ2, . . . λn}

144

Consideremos um sistema linear e invariante no tempo descrito em duasbases distintas de seu espaco de estados pelas equacoes:

{

x = Ax+Buy = Cx+Du

x = Px

{

˙x = Ax+ Bu

y = Cx+ Du

Sejam ∆(s) e ∆(s) os polinomios caracterısticos das matrizes A e A.Estudemos as relacoes entre eles:

∆(s) = det(sI − A) = det(sPP−1 − PAP−1)

= det(

P (sI −A)P−1)

= (detP ) det(sI − A)(detP−1)

= det(sI − A) = ∆(s)

O importante significado disto e que o polinomio caracterıstico nao mudaao mudarmos de base. O polinomio caracterıstico, e, consequentemente, osautovalores, permanece inalterado apos uma transformacao de equivalenciaqualquer. Por esta razao, tanto ∆(s) quanto os autovalores λi de uma matrizA sao grandezas chamadas invariantes. Elas sao caracterısticas do sistemae independem da particular base escolhida.

Emprestemos da Matematica ainda outro conceito de enorme utilidadeem nossos estudos. Sendo A uma matriz real e quadrada, n× n, e λ um deseus autovalores, chamaremos de autovetor de A associado ao autovalorλ a um vetor v ∈ IRn com a seguinte propriedade:

Av = λv

Ou seja, a imagem de um autovetor por meio de A deve ser um multiplodele mesmo, deve estar na mesma direcao, na mesma reta suporte. Sejav um autovetor de A associado ao autovalor λ. Sendo α ∈ IR um escalarqualquer verificarıamos facilmente que w = αv tambem e um autovetor deA associado ao mesmo autovalor, isto e, Aw = λw. Na realidade ha umnumero infinito de autovetores de A associados a um dado autovalor λ: elespertencem a um mesmo subespaco vetorial que sera usualmente determinadopelo fornecimento de apenas um de seus elementos.

Exemplo 6.10.1 Seja a matriz A, com seu polinomio caracterıstico:

A =

[

1 24 3

]

∆(s) = det(sI − A) = det

[

s− 1 −2−4 s− 3

]

= s2 − 4s− 5

Este polinomio tem duas raızes reais e distintas λ1 = 5 e λ2 = −1. Emoutras palavras, o espectro de A e dado por λ(A) = {−1; 5}. Para calcularv1, o autovetor associado a λ1 = 5 consideremos v1 = [α β]T . Impondo acondicao Av1 = λ1v1 temos

[

1 24 3

] [

αβ

]

= 5

[

αβ

]

ou entao,

{

α + 2β = 5α4α + 3β = 5β

145

Estas equacoes forneceriam a relacao β = 2α, ou seja,

v1 =

[

α2α

]

= α

[

12

]

Qualquer multiplo do vetor [1 2]T e um autovetor associado a λ1 = 5.O conjunto de todos estes multiplos e, geometricamente, uma reta que passapela origem e pelo ponto [1 2]T . Chamando esta reta de V1 temos

V1 = {v1 | Av1 = λ1v1} ={

12

}

Sendo v2 = [γ δ]T temos

[

1 24 3

] [

γδ

]

= −1[

γδ

]

ou entao,

{

γ + 2δ = −γ4γ + 3δ = −δ

Estas equacoes forneceriam a relacao γ = −δ, ou seja,

v2 =

[

γ−γ

]

= γ

[

1−1

]

Uma representacao grafica da geometria envolvida e possıvel:

✲x1

✻x2 V1

V2

Quando aumenta a dimensao n a complexidade dos calculos pode aumen-tar, mas a simplicidade destas visoes geometricas permanece

Exemplo 6.10.2 Seja a matriz A, com seu polinomio caracterıstico:

A =

−4 0 −30 5 06 0 5

∆(s) = det(sI − A) = s3 − 6s2 + 3s+ 10

Este polinomio tem tres raızes reais e distintas λ1 = −1, λ2 = 2 e λ3 = 5.Em outras palavras, o espectro de A e dado por λ(A) = {−1; 2; 5}. Para

146

calcular v1, o autovetor associado a λ1 = −1 consideremos v1 = [α β γ]T .Impondo a condicao Av1 = λ1v1 teremos um sistema de equacoes, indeter-minado, cuja analise leva a

v1 =

α0−α

= α

10−1

Qualquer multiplo do vetor [1 0 − 1]T e um autovetor associado aoautovalor λ1 = −1. O conjunto de todos estes multiplos e, geometricamente,uma reta que passa pela origem do IR3 e pelo ponto [1 0 − 1]T . Chamandoesta reta de V1 temos

V1 = {v1 | Av1 = λ1v1} =

10−1

Sendo vi = [γ δ ε]T um desenvolvimento analogo levaria aos autovetoresassociados a λ2 = 2 e a λ3 = 5:

v2 =

γ0

−2γ

= γ

10−2

v3 =

0δ0

= δ

010

Uma representacao grafica da geometria envolvida, como no exemplo an-terior, e problematica: o IR3 aceita apenas esculturas . . .

6.10.1 Forma de Jordan

A chamada Forma de Jordan e uma aplicacao direta e impactante dos concei-tos basicos da secao anterior. Alem de ser algo muito util no estudo teoricode matrizes esta forma e tambem muito utilizada nas aplicacoes praticasde sistemas. Seja novamente a equacao homogenea associada a um sistemalinear e invariante no tempo

{

x(t) = Ax(t)x(0) = x0

Considerando autovalores reais e distintos para a matriz A, um resul-tado classico da algebra linear diz que os seus autovetores serao linearmenteindependentes. Seja Q a matriz n× n cujas colunas sao estes autovetores:

Q = [v1 v2 · · · vn] onde Avi = λivi ∀i = 1, 2, . . . n

Esta matriz e inversıvel, por serem os autovetores independentes, e per-mite uma mudanca de coordenadas por meio da transformacao x = Qx∗.Com isto

{

x∗ = A∗x∗ = Q−1AQx∗

x∗(0) = x∗0

147

Para determinar o formato de A∗ consideremos que a equacao que a define,A∗ = Q−1AQ, pode ser reescrita como AQ = QA∗. Explicitando a estruturade colunas de Q vem

A[v1 v2 · · · vn] = [v1 v2 · · · vn]A∗

Igualando as colunas destas duas matrizes:

Av1 = a∗11v1 + a∗21v2 + · · · + a∗n1vn

Av2 = a∗12v1 + a∗22v2 + · · · + a∗n2vn...

Avn = a∗1nv1 + a∗2nv2 + · · · + a∗nnvn

Como os vi sao autovetores temos Avk = λkvk ∀k = 1, 2, . . . n e,consequentemente:

a∗ii = λi ∀i a∗ij = 0 ∀i, j i 6= j

E a matriz A∗, desta maneira, apresenta uma forma diagonal:

A∗ =

λ1λ2

. . .

λn

= diag {λ1, λ2, . . . λn}

Na nova base (cujas coordenadas nao tem, necessariamente, algum sen-tido fısico) as variaveis de estado sao completamente desacopladas umas dasoutras:

x∗1 = λ1x∗1; x∗2 = λ2x

∗2; . . .

Nesta base o sistema dinamico de dimensao n pode ser considerado como ajustaposicao de n sistemas de primeira ordem, independentes uns dos outros.E desnecessario dizer que a analise de sistemas com equacoes dinamicas ho-mogeneas (ou nao) no formato diagonalizado acima e extremamente simplese direta. Sempre que possıvel devemos procurar traasnformacoes diagona-lizadoras com o auxılio dos autovetores. Mesmo com a desvantagem de anova base nao ter necessariamente um significado fısico para as variaveis deestado, a simplicidade e a transparencia da forma diagonal seriam suficientespara recomenda-la na maioria das situacoes.

Em um contexto mais geral, sem restricoes ao caso homogeneo, diremosque uma equacao dinamica representada pelas matrizes < A,B,C,D > ondeA e diagonal encontra-se na Forma de Jordan.

Um dos resultados mais importantes da Algebra Linear reza que, se umaequacao dinamica < A,B,C,D > nao esta na forma de Jordan e sempre

148

possıvel encontrar uma mudanca de bases x = Qx∗ tal que, na nova base,as matrizes < A∗, B∗, C∗, D∗ > apresentam-se em Jordan. E preciso ter emmente que a presenca de autovalores repetidos pode acarretar uma forma deJordan onde A∗ nao e perfeitamente diagonal.

No caso de autovalores reais e distintos a transformacao de equivaenciaque coloca em Jordan e uma matriz Q cujas colunas sao os autovetores de A.No caso de autovalores repetidos deve-se apelar para os autovetores “genera-lizados”. E para mais detalhes sobre estes importantes aspectos, aos textosde Algebra Linear devemos ir, pois aqui e agora o palco se deve esvaziarpara a entrada em cena, com garbo e imponencia, das proximas estrelas doespetaculo:

Os leitores sao convidados a encontrar as formas de Jordan para os exem-plos 6.10.1 e 6.10.2 da secao anterior.

6.10.2 Equacoes Homogeneas Lineares

Na descricao padronizada de sistemas lineares a que estamos acostumados asmatrizes B,C e D sao apenas ligacoes do estado do sistema com o exterior.Elas mostram como a entrada afeta o estado, em que pontos do sistema elaatua, e como o sistema age no meio ambiente, atraves da saıda. O compor-tamento ıntimo e isolado do sistema, as importantes relacoes do estado comele mesmo, sao descritas pela equacao homogenea:

{

x(t) = Ax(t)x(0) = x0

Os importantes conceitos de algebra matricial recem vistos encontrammuita utilidade no estudo da equacao homogenea. Para nos certificarmosdisso lembremo-nos de que a solucao dela, a REN, e dada por

x(t) = etAx0 ou, laplaceando, X(s) = (sI − A)−1x0

Aplicando a definicao de matriz inversa:

X(s) =1

∆(s)(sI − A)+x0

onde ∆(s) = det(sI − A) e o polinomio caracterıstico de A e (sI − A)+ e atransposta da matriz dos cofatores de sI−A, tambem conhecida como matrizadjunta. Raciocinemos juntos: os elementos da matriz sI − A que se querinverter sao numeros reais, com excecao daqueles sobre a diagonal principalque serao polinomios do primeiro grau do tipo s − aii. Deve estar claro, apartir disto, que os elementos de (sI−A)+ serao polinomios em s cujos grausjamais excederao n− 1. Assim, a adjunta sera uma matriz polinomial n× n

149

e (sI − A)+x0 sera uma matriz coluna L(s) cujos elementos sao polinomioscom graus n− 1, no maximo:

X(s) =1

∆(s)(sI − A)+x0 =

L(s)

∆(s)

Supondo mais uma vez que os autovalores de A sao reais e distintos,seu polinomio caracterıstico pode ser fatorado e a expressao acima pode serexpandida em uma soma de fracoes parciais: X(s) =

L(s)

∆(s)=

L(s)

(s− λ1)(s− λ2) · · · (s− λn)=

L1

s− λ1+

L2

s− λ2+ · · · + Ln

s− λnonde os Li sao vetores constantes, isto e, Li ∈ IRn. Achando a antitransfor-mada de Laplace teremos

x(t) = L1eλ1t +L2e

λ2t + · · ·+Lneλnt

Estudemos mais detalhadamente esta ultima expressao. Derivando-a vem

x(t) = λ1L1eλ1t + λ2L2e

λ2t + · · ·+ λnLneλnt

Mas como x(t) e uma solucao da equacao homogenea devemos ter x(t) =Ax(t), ou seja,

x(t) = λ1L1eλ1t + λ2L2e

λ2t + · · ·+ λnLneλnt

= AL1eλ1t + AL2e

λ2t + · · ·+ ALneλnt = Ax(t)

ou, equivalentemente,

(AL1 − λ1L1) eλ1t + (AL2 − λ2L2) e

λ2t + · · · + (ALn − λnLn) eλnt = 0

Como as exponenciais eλit sao funcoes linearmente independentes a ex-pressao acima se anula se e somente se

ALi − λiLi = 0 ∀i = 1, 2, . . . , n

Isto significa que ALi = λiLi, ou seja, os coeficientes Li sao autovetoresde A associados aos autovalores λi. Assim, em geral, quando os autovaloresde A sao reais e distintos a solucao da equacao homogenea pode ser expressacomo

x(t) = v1eλ1t + v2e

λ2t + · · ·+ vneλnt =n∑

i=1

vieλit

Esta maneira alternativa de apresentar a solucao da equacao homogenea emuito interessante pois evidencia o fato de que x(t) e uma soma de exponen-ciais caracterizada pelos autovalores, soma esta ponderada pelos autovetores

x(t) =n∑

i=1

vieλit onde

{

λi → autovalor de Avi → autovetor de A

150

A grandeza vieλit e muitas vezes chamada de i-esimo modo natural,

ou modo natural associado ao autovalor λi. Quando o estado inicial x0 naoe especificado o autovetor vi tambem nao sera, podendo assumir qualquervalor no conjunto Vi anteriormente definido. Por outro lado, se a condicaoinicial x0 e bem definida os vi tambem o serao.

Exemplo 6.10.3 Considere a equacao homogenea

x(t) =

−4 0 −30 5 06 0 5

x(t); x(0) = x0

Como os autovalores e autovetores de A ja foram calculados no exercıcio6.10.2 anterior podemos escrever


λ2t + v3eλ3t = α

10−1

e−t + γ

10−2

e2t + δ

010

e5t

Os escalares α, γ s δ, indeterminados, traduzem o fato de que os auto-vetores nao sao unicos. Ao escolhermos uma condicao inicial conseguiremosdetermina-los, ou melhor, escolher elementos v1, v2 e v3 dentre os vetoresdos subespacos V1,V2 e V3. Seja, por exemplo, x0 = [1 1 1]T . Forcandot = 0 na expressao geral de x(t) vem

111

= α

10−1

e0 + γ

10−2

e0 + δ

010

e0 donde

α + γ = 1δ = 1α + 2γ = −1

Estas equacoes fornecem α = 3, γ = −2 e δ = 1 e assim a solucao para oestado inicial x0 = x

I0 = [1 1 1]T sera

xI(t) =

30−3

e−t +

−204

e2t +

010

e5t =

3e−t − 2e2t

e5t

−3e−t + 4e2t

Que se pode dizer da geometria desta trajetoria? e retilınea? tende aorigem? cresce indefinidamente? Em um caso geral como o acima pouco sepode afirmar, mas para determinadas condicoes iniciais as coisas ficam bemmais simples. Ha, com efeito, condicoes iniciais que “filtram” alguns modos,excitando apenas outros. Isto quer dizer que, dependendo da escolha de x0,poderemos selecionar as exponenciais que aparecerao na resposta. Seja, porexemplo, x0 = xII

0 = [−3 0 3]T . O mesmo procedimento aplicado acimalevaria a α = −3 e γ = δ = 0 e a solucao

xII(t) =

−303

e−t

151

Esta trajetoria e bem mais simples, pois e retilınea. Imagine no IR3,o espaco Euclidiano “normal” uma reta passando pela origem e pelo ponto[−3 0 3]T ; a trajetoria xII(t) permanecera nesta reta (um subespaco vetorialde dimensao 1) para qualquer valor de t ≥ 0. E qual e o movimento dentrodesta reta-suporte? Facil, basta olhar para a exponencial e perceber que astrajetorias se originam em pontos desta reta e depois tendem a origem, poise−t → 0 quando t cresce.

Colocando x0 = xIII0 = [2 0 − 4]T os calculos gerariam α = δ = 0 e

γ = −2; para x0 = xIV0 = [0 1 0]T o resultado seria α = γ = 0 e δ = 1. As

solucoes para estes casos sao

xIII(t) =

20−4

e2t e xIV (t) =

010

e5t

Esta trajetorias sao tambem retilıneas e facilmente visualizaveis no IR3.Mas o movimento em cada uma delas se afasta da origem, pois as exponen-ciais e2t e e5t crescem indefinidamente quando t→∞.

A condicao inicial x0II excita apenas o primeiro modo natural, donde a

trajetoria correspondente e constituıda apenas pela exponencial e−t. O estadoinicial x0

II dara inıcio a uma trajetoria onde apenas o autovalor λ1 = −1aparece na exponencial. As condicoes iniciais III e IV excitam apenas osoutros modos naturais cada um com seu autovetor, que determina a trajetoriae seu autovalor, que define a dinamica do movimento. A condicao x0

I origi-nara uma solucao onde todos os modos estao presentes.

Os resultados deste exemplo sao gerais (para o caso de λi reais e distintos!)e constituem uma aplicacao nobre e importante dos conceitos, para muitosabstratos, de autovalores e autovetores. E importante frizar que quando oestado inicial x0 e colocado em um subespaco Vi apenas o modo natural

vieλit, associado a este subespaco, sera excitado, sendo os outros modos

filtrados, impedidos de aparecer na solucao:

Se x0 ∈ Vi entao x(t) = vieλit

E temos mais, pois nesses casos a trajetoria ficara restrita restrita aosubespaco Vi:

Se x0 ∈ Vi entao x(t) ∈ Vi ∀tEsta justificado porque as trajetorias II, III e IV do exemplo anterior sao

retilıneas: elas nascem e devem permanecer sempre prisioneiras dos conjuntosV1, V2 e V3, que sao retas do IR3. Em espacos de estado com dimensoesmaiores do que 3 estas ideias, embora nao possam mais ser visualizadas,

152

continuam validas. Sendo por exemplo V o subespaco obtido pela somas dosautovetores Vi, Vj e Vk teremos

V = Vi + Vj + Vk

Se x0 ∈ V entao x(t) ∈ V ∀t ≥ 0 e apenas os modos naturais i, j e kseriam excitados. Todas estas ideias podem ser demonstradas de maneirarigorosa e simples. Isto nao sera feito aqui, onde apelaremos ainda uma veza credulidade do leitor. Nao sera a ultima vez.

Leitores perspicazes podem se perguntar o porque de nao haver aqui umexemplo no IR2 onde, afinal, a visualizacao e mais facil e onde esbocos graficospodem ser feitos diretamente. A resposta e simples: o caso particular den = 2 e tao importante que merecera tratamento especial, na secao 6.12

Toda a discussao acima e baseada na hipotese de autovalores reais e distin-tos. Se houver no espectro de A valores complexos conjugados a essencia dosconceitos permanece a mesma, apenas alguns detalhes sofrerao modificacoes,como pode ser visto atraves de um

Exemplo 6.10.4 As chamadas “oscilacoes livres” de um sistema mecanicocomo o abaixo esquematizado sao os movimentos causados pelas condicoesiniciais.

K

✲y1

MK

✲y2

MK

O modelo matematico para este sistema pode ser encontrado de maneirasimples:

{

My1(t) + 2Ky1(t) = Ky2(t)My2(t) + 2Ky2(t) = Ky1(t)

Escolhendo como variaveis de estado x1 = y1, x2 = y2, x3 = y1, x4 = y2e supondo K/M = 1 encontramos a seguinte equacao dinamica:

x(t) =

0 0 1 00 0 0 1−2 1 0 01 −2 0 0

x(t) = Ax(t); x(0) = x0

Como a dimensao do sistema e 4 a expressao basica para a solucao sera


λ2t + v3eλ3t + v4e

λ4t

153

Para calcular os autovalores e autovetores de A: ∆(s) = det(sI − A) =s4 + 4s2 + 3 cujas raızes sao o espectro λ(A) =

{

±j;±j√3}

. A solucao fica

x(t) = v1ejt + v2e

−jt + v3ej√3t + v4e

−j√3t

Lembrando a identidade trigonometrica ejθ = cos θ + j sen θ podemos eli-minar as exponenciais da expressao acima. Resulta x(t) =

(v1+v2) cos t+(v1−v2)j sen t+(v3+v4) cos√3t+(v3−v4)j sen

√3t (6.1)

Aplicando o procedimento conhecido para o calculo dos autovetores en-contrarıamos

v1 = α

11jj

; v2 = β

11−j−j

; v3 = γ

1−1√3j

−√3j

; v4 = δ

1−1

−√3j√3j

Antes de entrar com estes valores em (6.1) e conveniente estudar a natu-reza de α, β, γ e δ. Para isto basta analisar a propria equacao (6.1) quandot = 0 (qualquer outro valor serviria, mas este facilita as coisas). Temosx(0) = v1 + v2 + v3 + v4 ou, escrevendo as componentes:

x1(0)x2(0)x3(0)x4(0)

=

α + β + γ + δα + β − (γ + δ)

j(α− β) +√3j(γ − δ)

j(α− β)−√3j(γ − δ)

As componentes de x(0) devem ser reais, pois representam grandezasfısicas, e as somas destas componentes tambem. Tomando, por exemplo,x3(0) + x4(0) ve-se que j2(α− β) e real. Isto sera possıvel apenas se α − βfor um numero imaginario puro:

α− β = jb onde b ∈ IR

Raciocinando analogamente para x3(0)− x4(0) concluirıamos que γ− δ etambem um imaginario puro:

γ − δ = jd onde d ∈ IR

Impondo as condicoes de x1(0) + x2(0) e, posteriormente, x1(0) − x2(0)serem grandezas reais concluımos que α + β e γ + δ sao numeros reais:

α + β = a ∈ IR γ + δ = c ∈ IR

154

Tais restricoes serao satisfeitas simultaneamente apenas quando α e βe tambem γ e δ forem pares complexos conjugados. Tendo em vista estapeculiaridade podemos escrever

v1 + v2 =

aa−b−b

v1 − v2 =

jbjbjaja

v3 + v4 =

c−c

−d√3

d√3

v3 − v4 =

jd−jdjc√3

−jc√3

Estes valores podem ser substituıdos na equacao (6.1) levando, finalmente,a uma expressao concisa e geral:

x(t) =

aa−b−b

cos t−

bbaa

sen t+

c−c

−d√3

d√3

cos(√3t)−

d−dc√3

−c√3

sen (√3t)

Os reais a, b, c e d serao determinados apenas quando a condicao inicialfor especificada. Se, por exemplo, impusermos x(0) = [1 1 0 0]T terıamosa = 1, b = c = d = 0 o que acarreta

x(t) =

cos tcos t

− sen t− sen t

Lembrando a escolha das variaveis de estado (x1 = y1, x2 = y2, etc)chegamos a conclusao que y1(t) = y2(t) ∀t e y1(t) = y2(t) ∀t. Isto sig-nifica que o movimento dos carrinhos e exatamente o mesmo: eles oscilamparalelamente em um movimento harmonico simples de frequencia igual a 1.

Escolhendo x(0) = [0 0 1 1]T ou entao x(0) = [1 − 1 0 0]T ou aindax(0) = [0 0 1 − 1]T encontrarıamos outras solucoes com interpretacoesfısicas muito simples e interessantes em termos dos modos naturais de vi-bracao do sistema.

Neste caso de autovalores e autovetores complexos os subespacos Vi naotem um significado simples e intuitivo como anteriormente.

6.10.3 Aspectos frequenciais

6.11 Exercıcios

1. Encontrar as matrizes de transferencia para os SLITs abaixo, supondorelaxacao em t=0, isto e, x(0) = 0

155

(a) x =

1 0 0 00 −1 0 00 0 2 00 0 0 −2

x+

1111

u; y = [ 1 1 1 1 ]x

(b) x =

0 1 0 0 00 0 0 0 00 0 −1 0 00 0 0 2 00 0 0 0 1

x+

01100

u; y = [ 1 0 1 13 17 ]x

(c) x =

1 −1 00 1 01 −1 1

x+

0 10 01 1

u; y =[

1 1 00 1 1

]

x+[

1 00 0

]

u

2. Encontrar as equacoes dinamicas para os sistemas abaixo. Supondoestado inicial nulo, ou seja x(0) = 0, determinar as saıdas para u(t) =e−2t.1(t) e u(t) = δ(t) + δ(t− 3).

(a)✲ + ✲ ∫

✛−1✻

✲ + ✲ ∫ ✲

✛−2✻

✲ ∫

✛−3

✲ + ✲ ∫

✛−4✻

u

❄+ ✲y

✻

(b)

156

✲ + ✲ ∫ ✲

✛−1✻

✲ + ✲ ∫ ✲

✛−2✻

✲ + ✲ ∫

✛−3✻

u

+ ✲y1

y2

✻

3. Para o sistema contınuo, linear e fixo abaixo encontrar: a equacaodiferencial relacionando u e y, a funcao de transferencia entre Y (s) eU(s) e uma representacao de estados.

u

✲

✲

−1s+2

✻

2s+1

❄+

✲

✲

3s+4

✻

−2s+3

❄+ ✲y

4. Para o distinto sistema abaixo encontrar: uma representacao de esta-dos, a matriz de transferencia e a de resposta ao impulso, os autovalorese os autovetores associados a matriz A

✲ + ✲ ∫

✛1✻

u

✲ + ✲ ∫ ✲

✛2✻

✲ ∫ ✲

✛3

✲ ∫

✛4

❄+ ✲y

✻

157

5. Para o nao menos distinto sistema abaixo:

(a) encontre as equacoes dinamicas

(b) encontre o estado x(·) e a saıda y(·) quando a entrada e um degrauu(t) = 1(t).

(c) encontre os autovetores de A e explique o que acontece com asolucao do sistema homogeneo (u = 0) quando o estado inicial ecolocado sobre eles.

✲u +

−✲ 1

s✲x3 1

s✲x2 1

s✲x1 y

✻

6. Para o SLIT abaixo verificar se e possıvel encontrar uma entrada utal que o estado assume um valor arbitrariamente especificado em umdeterminado instante, isto e, dados α, β γ, e t∗ quaisquer, existe u talque x(t∗) = [α, β, γ]T?

x =

−1 0 00 2 00 0 1

x+

100

u; x0 =

000

7. Para o SLIT abaixo: (a) encontrar o polinomio caracterıstico e o es-pectro de A, (b) tracar o diagrama de blocos, (c) encontrar sua repre-sentacao na forma canonica de Jordan, (d) tracar o novo diagrama deblocos, (e) repetir (b) e depois (a) a partir da forma de Jordan.

x =

1 1 1 00 1 0 00 0 1 00 1 1 1

x+

0 0 11 1 00 −1 00 0 1

u; y = [ 2 4 6 8 ]x

8. Determine eAt utilizando o teorema de Cayley-Hamilton para:

A =

[

0 1−2 −3

]

9. Seja uma matriz A com n autovalores reais e distintos; seja um vetorp = Σn

i=1vi, onde vi e o autovetor associado ao autovalor λi. Conside-rando λm = max{λi} com 1 ≤ m ≤ n, mostre que

limk→∞

(1

λmA)kp = vm

158

10. Determine a representacao de Jordan para

A =

1 0 0α 1 00 1 2

; onde α ∈ [0, 1]

11. Sendo eλt = 1+ λt+ λ2t2

2!+ · · · e A uma matriz real n× n, mostre que

existem escalares α0, α1, . . . , αn−1 tais que

eAt = Σn−1j=0αjA

jtj

12. Considere as matrizes A ∈ IRn×n, e b ∈ IRn. A partir delas construa abase

Q = [ b Ab · · · An−1b ]

Determine o formato da matriz Λ tal que AQ = QΛ. Resolva numeri-camente para

A =

2 1 0 00 2 1 00 0 2 00 0 0 1

; b =

0011

13. Determine eAt utilizando um metodo qualquer de sua preferencia:

A =

[

0 1−2 −3

]

14. Considere o SLIT

x =

0 1 00 0 10 0 0

x+

001

u; y = [1 0 0]x

(a) calcular o polinomio caracterıstico e os autovalores de A.

(b) verificar a controlabilidade e a observabilidade.

(c) encontrar uma realimentacao de estados que coloque os autovalo-res (todos eles) da malha fechada em −1.

15. A existencia de uma entrada de disturbios d para um dado sistema,alem da entrada de comando u, pode ser descrita por uma equacaodinamica como:

x(t) = Ax(t) +Buu(t) +Bdd(t)

y(t) = Cx(t) +Duu(t) +Ddd(t)

159

(a) Encontre as equacoes dinamicas, ou seja, as matrizes A, Bu, Bd,C, Du, Dd.

(b) Verifique a estabilidade.

(c) Encontre uma realimentacao de estados descrita pela lei de con-trole u(t) = Fx(t) de tal maneira que os autovalores da malhafechada estejam todos em −1.

16. Encontrar as equacoes dinamicas para um sistema descrito pela relacaoabaixo. Achar tambem, se possıvel, uma matriz fundamental e uma detransicao de estado.

y(t) + e−t2 y(t) + ety(t) = u(t)

17. Considere a forma quadratica

Q(x) = xTMx = Σni=1Σ

nj=1mijxixj

onde M =MT

(a) Determine R tal que ∇Q(x) = Rx. R e unica?

(b) Refaca para Q(x) = 3x21 + 2x22 + x23 + 0.4x1x2 + x1x3

6.12 Caso linear fixo: RENs no IR2

As equacoes homogeneas para o caso de n = 2 sao muito estudadas porqueo suporte grafico para elas e farto e acessıvel. E, com efeito, facil tracaresbocos para as trajetorias e a partir deles inferir propriedades importantesdos sistemas modelados pelas equacoes. A analise do Plano de Fase, que eo nome dado ao espaco de estados IR2 neste campo, permite visualizar e fixarconceitos que depois podem ser aplicados a casos de dimensoes maiores.

Nesta secao o caso linear e invariante no tempo sera tratado e, posterior-mente, o caso nao linear. Para comecar, relembremos a expressao basica paraa REN no caso linear, vista na secao 6.10.2 e valida quando os autovaloressao reais e distintos.


λ2t + · · ·+ vneλnt =n∑

i=1

vieλit

onde os λi sao os autovalor de A e os vi sao os autovetores associados.

Exemplo 6.12.1 Considere a equacao homogenea

x(t) =

[

1 24 3

]

x(t); x(0) = x0

160

Como os autovalores e autovetores de A ja foram calculados no exercıcio6.10.1 podemos escrever a expressao basica para a REN no caso linear


λ2t = α

[

12

]

e5t + γ

[

1−1

]

e−t

Os escalares α e γ, indeterminados, traduzem o fato de que os autove-tores nao sao unicos. A escolha de uma condicao inicial permite especificaros elementos v1 e v2 dentre os vetores dos subespacos V1 e V2. Seja, porexemplo, x0 = [2 1]T . Fazendo t = 0 na expressao geral de x(t) vem

x(0) =

[

21

]

= α

[

12

]

e0 + γ

[

1−1

]

e0 donde

{

α + γ = 22α− γ = 1

Estas equacoes fornecem α = γ = 1 e assim a solucao para o estado inicialx0 = [2 1]T sera

xI(t) =

[

12

]

e5t +

[

1−1

]

e−t

O tracado de um esboco grafico para esta solucao nao e muito simples,mas ha como superar isso. Como visto no exemplo 6.10.3, determinadascondicoes iniciais “filtram” alguns modos, excitando apenas outros; ou seja,dependendo da escolha de x0, poderemos selecionar as exponenciais que apa-recerao na resposta. Seja, por exemplo, x0 = xII

0 = [1 2]T . O mesmoprocedimento aplicado acima levaria a α = 1 e γ = 0:

xII(t) =

[

12

]

e5t

Colocando agora x0 = xIII0 = [1 − 1]T os calculos geram α = 0 e γ = 1:

xIII(t) =

[

1−1

]

e−t

As trajetorias de estado correspondentes as tres solucoes acima encontra-das sao esbocadas no desenho abaixo:

✲

✻x2

x1

x0II

✕

x0III

■

x0I

161

A condicao inicial x0III excita apenas o segundo modo natural, donde a

trajetoria correspondente e constituıda apenas pela exponencial e−t. O estadoinicial x0

II dara inıcio a uma trajetoria onde apenas o autovalor λ1 = 5aparece na exponencial. Ja x0

I originara uma solucao onde ambos os modosestao presentes. O leitor deve verificar (o que pode ser feito facilmente) queo formato das solucoes e realmente o mostrado acima.

Os resultados basicos (mas nao os esbocos) vistos no IR2 para autovaloresreais e distintos podem ser expandidos para dimensoes maiores, conformecomentado na secao 6.10.2. Para eliminar a restricao imposta ate agora aosautovalores, considere uma equacao homogenea geral

x(t) =

[

a11 a12a21 a21

]

x(t); x0 =

[

αβ

]

x(t) = eAtx0

para a qual analisaremos detalhadamente todos os possıveis casos e as tra-jetorias associadas.

6.12.1 Autovalores reais e distintos

x(t) = Ax(t); x = x0 x(t) = v1eλ1t + v2e

λ2t

trajetorias:

partem como de x0? aonde vao? como chegam?

x(t) = λ1v1eλ1t + λ2v2e

λ2t

x(0) = λ1v1 + λ2v2

se |vi| >> |vj | . . . x(0) ≈ vise |vi| ≈ |vj | e |λi| >> |λj| . . . x(0) ≈ vi

sinais de v1 e v2

veremos

6.12.2 λ1 e λ2 negativos e distintos

x(t) = Ax(t); x = x0 λ1 < λ2 < 0


λ2t

trajetorias:

partem tangenciando v1, ou v2, ou . . .

convergem para a origem

162

chegam tangenciando v2, o modo mais lento

a origem e um no estavel

✻x2

✲x1

✌

✮

no estavel

Exemplo 6.12.2 RENs no IR2 — λ1 e λ2 negativos e 6=s

x(t) =

[

0 1−5 −6

]

x(t); x = x0

λ1 = −5 ⇒ v1 =

[

1−5

]

λ2 = −1 ⇒ v1 =

[

1−1

]

...

no estavel

6.12.3 λ1 e λ2 positivos e distintos

x(t) = Ax(t); x = x0 0 < λ2 < λ1


λ2t

trajetorias:


divergem para infinito

chegam · · · qsi?

a origem e um no instavel

163

✻x2

✲x1

✍

✶

no instavel

Exemplo 6.12.3 RENs no IR2 — λ1 e λ2 positivos e 6=s

x(t) =

[

0 1−5 6

]

x(t); x = x0

λ1 = 5 ⇒ v1 =

[

15

]

λ2 = 1 ⇒ v1 =

[

11

]

...

no instavel

6.12.4 λ1 e λ2 com sinais opostos

x(t) = Ax(t); x = x0 λ2 < 0 < λ1


λ2t

trajetorias:


divergem para infinito

chegam tangenciando o modo instavel

a origem e um ponto de sela

164

✻x2

✲x1

✍

✮

ponto de sela

Exemplo 6.12.4 RENs no IR2 — λ1 e λ2 sinais opostos

x(t) =

[

0 15 4

]

x(t); x = x0

λ1 = 5 ⇒ v1 =

[

15

]

λ2 = −1 ⇒ v1 =

[

1−1

]

...

ponto de sela

6.12.5 Autovalores reais e iguais

x(t) = Ax(t); x = x0 λ1 = λ2 = λ ∈ IR2

trajetorias:


x(t) = eAtx0 ⇒ X(s) = (sI − A)−1x0 =L(s)

∆(s)

X(s) =L1

(s− λ) +L2

(s− λ)2 ⇒ x(t) = L1eλt +L2 t e

λt

x(t) = L1eλt +L2 t e

λt

x(0) = L1(1) +L2(0)(1) ⇒ L1 = x0

x(t) = λL1eλt + (1 + λt)L2e

λt

165

Ax(t) = AL1eλt + AL2 t e

λt

x(t) = Ax(t)⇒ λL1 + (1 + tλ)L2 = AL1 + tAL2

t = 0 : · · · λL1 +L2 = AL1 ⇒ L2 = (A− λI)x0

Em resumo:

x(t) = x0eλt + (A− λI)x0 t eλt

Para este caso de autovalores reais e repetidos:

∃| λ ∈ IR | det(λI − A) = 0 logo ∃| reta de autovetores V ∈ IR2

x0 ∈ V ⇒ Ax0 = λx0 ⇒ x(t) = x0eλt

x0 6∈ V ⇒ · · · ⇒ (A− λI)x0 ∈ V

x(t) = x0eλt + (A− λI)x0 t eλt = x0eλt + v t eλt

uma parcela ao longo da CI x0

outra ao longo dos autovetores VO autovalor e negativo:

movimento em

x0 . . . tende a 0

V . . . cresce e tende a 0

✻x2

✲x1

V

x0

✻x2

✲x1

V

x0

✻x2

✲x1

V

x0

“no” estavel

166

O autovalor e positivo:

movimento em

x0 . . . tende a ∞

V . . . cresce e tende a ∞

“no” instavel

6.12.6 Autovalores complexos conjugados

x(t) = Ax(t); x = x0 λ1,2 = σ ± jω ∈ C

trajetorias:


x(t) = eAtx0 ⇒ · · · ⇒ x(t) = v1eλ1t + v2e

λ2t

x(t) = v1e(σ+jω)t + v2e

(σ−jω)t = eσt(v1ejωt + v2e

−jωt)

x(t) = eσt[v1(cosωt+ j senωt) + v2(cosωt− j senωt)]x(t) = eσt[(v1 + v2) cosωt+ j(v1 − v2) senωt]

v1,2 = vr ± jvi ∈ C2 ⇒{

v1 + v2 = 2vrv1 − v2 = 2jvi

x(t) = eσt[2vr cosωt− 2vi senωt]

x(0) = eσ0[2vr cos 0− 2vi sen 0)]⇒ 2vr = x0

x(t) = eσt[(2vrσ − 2viω) cosωt− (2vrω + 2viσ) senωt]

x(0) = 2vrσ − 2viω = Ax(0) ⇒ 2vi =1

ω(σI −A)x0

x(t) = eσt[x0 cosωt+ v0 senωt]; v0 = − 1

ω(σI −A)x0

x0 · · ·v0 · · ·−x0 · · ·−v0 · · ·x0 · · ·

✲x1

✻x2

x0

−x0

−v0

v0

σ = 0: . . . . . . centro

σ < 0: . . . . . . foco estavel

σ > 0: . . . . . . foco instavel

167

Exemplo 6.12.5 RENs no IR2: autovalores complexos

x(t) =

[

0 1−2 −2

]

x(t); x0

[

11

]

λ1,2 = 1± j ∈ C

v0 = − 1

ω(σI − A)x0 =

[

1 1−2 −1

] [

11

] [

2−3

]

x(t) = eσt([

11

]

cosωt+

[

2−3

]

senωt

)

6.13 Equacoes Dinamicas Gerais

Usadas para descrever sistemas dinamicos sao, como ja visto, equacoes dife-renciais de primeira ordem com variaveis vetoriais.

{

x(t) = f(x(t),u(t), t); x(t) ∈ IRn;u(t) ∈ IRm

y(t) = h(x(t),u(t), t); y(t) ∈ IRr

A segunda equacao chamada equacao de saıda, e uma relacao estaticaentre as variaveis e oferece poucas dificuldades. A enfase e sempre na primeiraequacao a de estados.

6.13.1 REN para o caso geral escalar

Trata-se de uma EDO de primeira ordem em uma variavel escalar e comentrada nula.

x(t) = f(x(t), t); x(t) ∈ IR (6.2)

Em muitos casos, como por exemplo no caso linear fixo, a expressaoque caracteriza a EDO e valida para qualquer ponto (x(t), t) ∈ IR2 ou seja:f : IR2 → IR. Mas no caso geral esta funcao f e definida apenas em umdomınio (conjunto nao vazio, aberto e conexo) D do IR2:

f : D → IR D ⊂ IR2

Exemplo 6.13.1 Seja a EDO descrita por x(t) =√

x(t)(t− 2)−2. A vali-

dade e assegurada nos pontos (x, t) ∈ IR2 para os quais x ≥ 0 e t 6= 2.

Antes de discutir os aspectos relacionados a existencia de solucoes deuma EDO deste tipo e preciso recordar um conceito basico de analise, o deintervalo aberto na reta real: {x ∈ IR | a < x < b} = (a, b). Seja entaoJ = (a, b) um intervalo aberto em IR.

168

Definicao 6.13.1 A funcao diferenciavel φ : J → IR tal que

(φ(t), t) ∈ D ∀t ∈ J e φ(t) = f(φ(t), t) ∀t ∈ Je uma solucao da EDO em J .

Exemplo 6.13.2 Considere a EDO x(t) = x2(t). E facil perceber que naoha restricoes de validade, ou seja, D = IR2. A integracao desta EDO esimples

dx

dt= x2 =⇒ dx

x2= dt =⇒

∫

dx

x2=∫

dt =⇒ −1x

+ cte. = t+ cte.

donde se chega a solucao geral φ(t) = 1K−t

∀K ∈ IR; ∀t 6= K

Neste exemplo ha infinitas solucoes possıveis, uma para cada valor real daconstante K. No caso geral, as solucoes de uma EDO como (6.2) sao, comoacima, nao unicas, e isto pode causar estranhezas para quem usa EDOs comomodelos matematicos de sistemas e espera, com razao, a existencia de umasolucao unica para cada caso. Seja f : D → IR e (x0, t0) ∈ DDefinicao 6.13.2 A funcao diferenciavel φ : J → IR tal que

(φ(t), t) ∈ D ∀t ∈ J, φ(t) = f(φ(t), t) ∀t ∈ J e φ(t0) = x0

e uma solucao do Problema do Valor Inicial.

O problema do valor inicial — PVI — consiste em adicionar uma condicaoinicial a EDO, e isto cabe muito bem em todas as intuicoes sobre sistemas domundo fısico. EDO e CIs sao normalmente apresentados em conjunto, como

PVI

{

x(t) = f(x(t), t)x(t0) = x0

O simples fato de se adicionar uma condicao extra a uma EDO geral seriasuficiente para tornar unicas as solucoes?

Exemplo 6.13.3 Considere a EDO x(t) = x2(t), vista no exemplo 6.13.2,com a CI x(t0) = x0. Usando o resultado geral anterior e simples verificarque φ(t) = x0

1−(t−t0)x0 e a solucao unica para o PVI.

Nem sempre o PVI apresenta solucao unica, como no exemplo acima.Mais detalhes sobre este assunto, em breve. Antes considere a expressao

φ(t) = x0 +∫ t

t0f(φ(s), s)ds

chamada de Forma Integral Equivalente. A demonstracao de que estaforma pode ser usada para solucionar o PVI fica aos leitores.

O caso particular em que f independe do tempo e chamado de autono-mo. No contexto de sistemas isto corresponde ao caso invariante no tempo,ou fixo. Temos x(t) = f(x(t)) e fica aos leitores a tarefa de mostrar que,para este caso, se φ(t) e uma solucao entao φ(t+ τ) tambem e solucao, paraqualquer τ real.

169

6.13.2 Existencia, unicidade e continuacao

Considere a funcao f : IR2 → IR e um domınio D ⊂ IR2. Supondo conhecido(recordem, leitores, se for o caso) o conceito de continuidade, a notacao f ∈C(D) significa que f e contınua no domınio D. A continuidade e suficientepara garantir a existencia de solucoes da EDO em estudo

Teorema 6.13.1 Seja D ∈ IR2 um domınio; se (x0, t0) ∈ D e f ∈ C(D)entao o PVI

{

x(t) = f(x(t), t)x(t0) = x0

tem solucao definida em |t− t0| ≤ c para algum real c > 0.

Este teorema garante a existencia de solucoes, nao a unicidade; nao serademonstrado aqui. A condicao e bastante suave, basta haver continuidadeem D. Notar ainda que a solucao garantidamente existe em uma vizinhancado instante inicial t0, de largura 2c: |t− t0| ≤ c ⇔ t ∈ [t0− c t0 + c]. Istoe chamado de solucao local.

Exemplo 6.13.4 Considere o PVI anterior x(t) = x2(t), com a CI x(t0) =x0. Como ja visto, D = IR2 e a solucao φ(t) = x0

1−(t−t0)x0e unica. Para

encontrar o intervalo J = [t0 − c t0 + c] onde ela se aplica e util analisar ografico de φ tracado abaixo, onde se supos x0 > 0 e t0 > 0.

✲t

✻φ(t)

t0

t0 + x−10

E facil perceber que a solucao e definida em J = [t0 − c t0 + c] desdeque se escolha c < x−1

0 ; salta aos olhos tambem que nao ha limite para avalidade a esquerda de t0, ou seja o real intervalo de validade da solucao e(−∞ t0 + x−1

0 ). O comportamneto exibido por esta funcao φ e chamado deescape em tempo finito.

O teorema 6.13.1 garante a validade de solucoes em um intervalo J cen-trado em t0, e de largura finita 2c. Muitas vezes esse intervalo pode ser au-mentado, como acontece acima. Chama-se a isso continuacao de solucoes:φ e continuavel quando e possıvel aumentar a largura do intervalo de validadeJ . No exemplo anterior φ e indefinidamente continuavel para a esquerda, masnao para a direita. Os resultados seguintes sao classicos.

170

Teorema 6.13.2 Seja f contınua e limitada em D e φ uma solucao do PVIvalida em J = (a b) ⊂ IR. Entao

1. os limites limt→a+ φ(t) = φ(a+) e limt→b− φ(t) = φ(b−) existem, e

2. se (a, φ(a+) ∈ D ( e/ou (b, φ(b−) ∈ D) entao φ pode ser continuadapara a esquerda alem de a ( e/ou para a direita alem de b).

Corolario 6.13.1 Se f e de classe C(D) e φ e uma solucao do PVI emum intervalo J entao φ pode ser continuada ate o intervalo maximo J∗ comJ ⊂ J∗ de modo que (φ(t), t) tende a fronteira de D quando t tende a fronteirade J∗, ou entao (|t|+ |φ(t)|)→∞ se a fronteira de D for vazia. A solucaoampliada φ∗ em J∗ nao e continuavel.

Quando EDOs sao utilizadas como ferramentas para entender a realidadedos sistemas do mundo fısico espera-se que a solucao seja unica para umadada condicao inicial. Mas o universo das equacoes diferenciais e mais vastodo que isso e ha casos que jamais poderiam servir como modelos matematicos.

Exemplo 6.13.5 Considere o PVI x(t) = 3

√

x(t) com x(0) = 0. Como

D = IR2 e f ∈ C(D) a existencia de solucoes esta garantida. A funcaoφ1(t) = 0 ∀t ∈ IR e claramente uma solucao para o PVI, assim como afuncao abaixo (verifiquem, leitores!):

φ2(t) =

√

(

2t

3

)3

para t ≥ 0

Para entender os problemas de unicidade e preciso recordar um conceitoclassico de analise, a condicao de Lipschitz. Para o caso escalar, de funcoesf : IR→ IR, sendo J ⊂ IR um intervalo (domınio) na reta, a continuidadeLipschitziana significa que a inclinacao de qualquer secante nessa regiao elimitada. Em sımbolos:

Definicao 6.13.3 A funcao f : IR→ IR e Lipschitz contınua em J ⊂ IRse existe L ≥ 0 tal que

|f(x1)− f(x2)| ≤ L|x1 − x2| ∀ x1, x2 ∈ J (6.3)

O menor L dentre esses e a constante de Lipschitz de f em J .

Tambem se diz, com o mesmo sentido, que f satisfaz Lipschitz em J , ouainda que f ∈ Lip(J). Como (6.3) e trivialmente verdadeira quando x1 = x2ve-se que f e Lipschitz em J se e somente se

|f(x1)− f(x2)||x1 − x2|

≤ L ∀ x1 6= x2 ∈ J

o que mostra que o coeficiente angular das secantes e limitado no intervalo.

171

Exemplo 6.13.6 A funcao f definida por f(x) = x2 nao e Lipschitz emJ = IR porque quando x → ∞ sua inclinacao cresce indefinidamente. Noentanto esta funcao e Lipschitz em qualquer intervalo J ⊂ IR de largurafinita; se J = [−5 2] a constante de Lipschitz e 10. Facam o grafico, leitores.

A funcao f(x) =√x2 + 5 e Lipschitz em IR, com constante L = 1.

Facam as contas, leitores, ou um grafico, que sempre ajuda. Ja f(x) = |x| eLipschitz em IR, com L = 1, e tambem contınua em toda a reta, mas nao ediferenciavel na origem.

A funcao f(x) =√

|x| nao e Lipschitz em IR, porque sua inclinacaocresce indefinidamente quando t→ 0, mas a condicao se verifica em qualquerintervalo J que nao contenha a origem. Como sempre, os leitores devem secertificar da validade destas afirmacoes, por meio de um grafico, poe exemplo.

Uma propriedade simples e importante diz que se f ∈ Lip(J) entao f econtınua em J . Em outras palavras, a condicao de Lipschitz e mais forte quea continuidade classica. Outra propriedade, usada para se encontar as cons-tantes de Lipschitz: se f e continuamente diferenciavel em J , com derivadalimitada por uma constante L = sup |f ′(x)| entao f e Lipschitz em J comconstante L. Os leitores devem tentar a demonstracao dessas propriedades.

Uma leve generalizacao das ideias acima e necessaria para aplicacao nasEDOs, pois agora f nao e mais uma funcao real de uma unica variavel real.Neste caso sao funcoes f : IR2 → IR, e sendo D ⊂ IR2 um domınio no plano,a continuidade Lipschitziana em x e dada por:

Definicao 6.13.4 A funcao f : IR2 → IR e Lipschitz contınua em x emD ⊂ IR2 se existe L ≥ 0 tal que

|f(x1, t)− f(x2, t)| ≤ L|x1 − x2| ∀ (x1, t), (x2, t) ∈ D (6.4)

O menor L dentre esses e a constante de Lipschitz de f em D.

A notacao alternativa f ∈ Lipx(D) ou simplesmente f ∈ Lip(D) pode serusada. Tambem se poderia definir Lipschitz com relacao a t ou com relacaoa variavel vetorial (x, t). A unicidade de solucoes do PVI e explicada nosseguintes resultados.

Teorema 6.13.3 Seja f : IR2 → IR e D ⊂ IR2; se f ∈ C(D) e f ∈ Lip(D)com constante de Lipschitz L entao o PVI tem no maximo uma solucao emqualquer intervalo |t− t0| ≤ d.

O proximo resultado mostra o que acontece a solucao quando a condicaoinicial varia. Resultado analogo existe para variacao nos parametros.

172

Teorema 6.13.4 Seja f : IR2 → IR, D ⊂ IR2, e f ∈ Lip(D) com constantede Lipschitz L; sejam φ a solucao para φ(t0) = φ0 e ψ a solucao para ψ(t0) =ψ0; entao

|φ(t)− ψ(t)| ≤ |φ0 − ψ0|eL|t−t0|

As solucoes podem divergir, no maximo, exponencialmente, com rapidezdada pela constante de Lipschitz L.

6.13.3 REN para o caso geral

O PVI a ser considerado e agora

{

x(t) = f(x(t), t); x(t) ∈ IRn ∀tx(t0) = x

0

A generalizacao da maior parte dos conceitos e direta. A funcao f eagora f : IRn+1 → IRn; para enfatizar que entre as componentes de IRn+1 han variaveis de estado, pode-se usar a notacao equivalente f : IRn× IR→ IRn.O domınio de validade da EDO e D ⊂ IRn+1 = IRn × IR.

No caso particular em que f depende apenas de x, ou seja, x(t) = f(x(t))diz-se que a equacao e autonoma; quando f e periodica em t, ou seja,f(x(t), t) = f(x(t), t + T ) para algum T real, a equacao e periodica, comopor exemplo

x(t) =

[

cos(t) sen (t)2 cos2(t)

]

x(t)

O conceito de continuidade para f : IRn+1 → IRn permanece o de sempre,e a nomenclatura f ∈ C(D) tem o mesmo significado de antes.

Antes de generalizar a condicao de Lipschitz e preciso recordar a ideiade norma. Uma norma em IRn, de modo simplificado, e uma maneira deassociar a cada elemento x ∈ IRn um numero real e positivo que, de algummodo mede o “tamanho” ou “comprimento” do vetor; a notacao padronizadae ‖x‖. Ha varias maneiras de associar normas a vetores, uma das maisconhecidas e a norma Euclidiana, denotada por ‖x‖2 ou simplesmente por‖x‖ quando nao houver outros tipos de norma no contexto:

‖x‖2 =√xTx =

√

x21 + x22 + · · · + x2n

onde x1, x2, . . . , xn sao as componentes de x.Uma matriz quadrada e real A com n colunas e linhas pode ser encarada

como uma funcao (transformacao linear) A : IRn → IRn; a notacao A ∈ IRn×n

e tambem usada. Se uma dada norma vetorial ‖·‖ e definida em IRn o conceitode norma matricial e imediato: um numero real para medir o quanto umamatriz e capaz de “aumentar” o tamanho de um vetor ao qual e aplicada.

173

Definicao 6.13.5 A norma matricial de A ∈ IRn×n induzida por uma normavetorial ‖x‖ definida em IRn e

‖A‖ = sup {‖Ax‖ | x ∈ IRn com ‖x‖ = 1}

ou, de modo equivalente

‖A‖ = sup

{

‖Ax‖‖x‖ | x ∈ IR

n

}

Quando se usa a norma Euclidiana ha resultados classicos que permi-tem um calculo de ‖A‖2 para A ∈ IRn×n. Lembrando que, neste caso, osautovalores λ1, λ2 . . . λn de ATA sao reais e nao negativos, a formula

‖A‖2 = max{

√

λi | i = 1, 2 . . . n}

resolve a questao de modo direto.

Sendo f : IRn+1 → IRn, e sendo D ⊂ IRn+1 um domınio, a continuidadeLipschitziana em x e dada por:

Definicao 6.13.6 A funcao f : IRn+1 → IRn e Lipschitz contınua em x

em D ⊂ IRn+1 se existe L ≥ 0 tal que

‖f(x1, t)− f(x2, t)‖ ≤ L‖x1 − x2‖ ∀ (x1, t), (x2, t) ∈ D (6.5)

para alguma norma em IRn+1. O menor L dentre esses e a constante de

Lipschitz de f em D.

Como antes, as notacoes alternativas f ∈ Lipx(D) ou simplesmente f ∈

Lip(D) podem ser usada. Tambem se poderia definir Lipschitz com relacaoa t ou com relacao a variavel vetorial (x, t).

Para verificar se uma f escalar e Lipschitz deve-se analisar se a sua deri-vada f ′ e limitada. O Jacobiano de uma funcao f : IRn+1 → IRn, desempe-nhara o papel de “derivada” de f .

Definicao 6.13.7 Sendo f : IRn+1 → IRn a funcao matricial de variavelvetorial Jx : IRn → IRn×n dada por

Jx =∂f

∂x=

∂f1∂x1

∂f1∂x2

· · · ∂f1∂xn

∂f2∂x1

∂f2∂x2

· · · ∂f2∂xn

......

. . ....

∂fn∂x1

∂fn∂x2

· · · ∂fn∂xn

e o Jacobiano ou matriz das derivadas de f com relacao a x.

174

Sem rigores, eis um criterio basico para verificar a continuidade Lipschit-ziana de funcoes nao escalares: ‖Jx‖ < L e uma condicao suficiente para quef ∈ Lip(D). As condicoes teoricas para este caso geral com varias variaveissao extensoes simples das do caso escalar: continuidade e suficiente para aexistencia de solucoes, e satisfazer Lipschitz e suficiente para a unicidade.

Exemplo 6.13.7 De modo geral a EDO x(t) = A(x, t)x(t) onde A e umamatriz cujos elementos dependem de x e d t, pode ou nao safistazer Lipschitz,dependera de se verificar se ‖A‖ < L ∀(x, t).

O sistema abaixo e Lip, verifiquem, leitores!

{

x1 = x1 + sen x2x2 = x1 cos t+ x2

6.13.4 Caso autonomo em IR — generalidades

Seja uma equacao dinamica escalar e autonoma

{

x(t) = f(x(t)) x(t) ∈ IR ∀t ∈ IRx(t0) = x0

onde f ∈ Lip(IR) o que significa que f e tambem contınua, e que as condicoesde existencia e unicidade da solucao sao satisfeitas. A situacao ideal e en-contrar a solucao φ(t), ou x(t), que se inicia em x0 e tracar seu grafico; isto,muitas vezes, pode ser uma tarefa ingrata. Ha maneiras comodas e diretasde se contornar essas dificuldades e apresentar informacoes qualitativas sobrea solucao, sem calcula-la explicitamente.

O estudo da equacao algebrica f(x) = 0 permite visoes importantes sobrea solucao procurada. Imagine-se, por exemplo, que f(x) > 0 para todo xreal; isto significa que x(t) > 0 ∀t > t0, e que uma trajetoria iniciada emx0 caminhara para a direita, crescendo, sempre. Raciocınio semelhante podeser feito para f(x) < 0 ∀x ∈ IR; seguem outrs detalhes.

Definicao 6.13.8 Se x∗ ∈ IR e uma raiz da equacao algebrica f(x) = 0, ouseja se f(x∗) = 0, ele sera chamado de ponto de equilıbrio.

O conceito de ponto de equilıbrio e valido tambem no caso nao escalar.Uma analise criteriosa dos pontos de equilıbrio de uma EDO permite umconhecimento nao necessariamente completo, mas muito util sobre a solucao.Condicoes iniciais colocadas em pontos de equilıbrio dao origem a trajetoriasmuito particulares, como garante o

Fato 6.13.1 Se x∗ ∈ IR e um ponto de equilıbrio entao φ(t) = x∗ ∀t e umasolucao constante da EDO automoma acima.

175

Condicoes iniciais colocadas em pontos de equilıbrio geram solucoes cons-tantemente estacionadas nesses pontos. A demonstracao de tal fato, deixadaaos leitores, e imediata.

Fato 6.13.2 Se x∗1 e x∗2 sao duas raızes distintas e adjacentes de f(x) = 0,com x∗1 < x∗2, entao

1. o sinal de f(x) nao muda no intervalo aberto (x∗1 x∗2),

2. se f(x) > 0 em (x∗1 x∗2) toda solucao φ(t) com φ(t0) ∈ (x∗1 x

∗2) cresce

assintoticamente para o valor x∗2 quando t→∞,

3. se f(x) < 0 em (x∗1 x∗2) toda solucao φ(t) com φ(t0) ∈ (x∗1 x

∗2) decresce

assintoticamente para o valor x∗1 quando t→∞.

O primeiro ıtem e demonstrado lembrando que funcoes contınuas mantemo mesmo sinal entre duas raızes adjacentes; para demonstrar os outros ıtensseria necessario recorrer a unicidade da solucao. Os leitores estao convidadosa tentar. Este resultado leva a um metodo comoda para prever o compor-tamento das solucoes de EDOs escalares e autonomas: basta encontrar asraızes de f(x) = 0 e estudar o sinal de f(x). No caso ilustrado abaixo f(x)apresenta 3 raızes.

✲x

✻f(x)

x∗1x∗2 x∗3f(x)<0

f(x)>0

f(x)<0

f(x)>0✛ ✲ ✛ ✲

As setas indicam o sentido da trajetoria gerada por uma condicao inicialcolocada no intervalo. O instante inicial t0 nao e importante pois a equacao eautonoma, ou seja, invariante no tempo, fixa. Estas consideracoes mostramque uma analise relativamente simples dos pontos de equilıbrio e das regioesentre eles permite prever o comportamento das solucoes. Um diagrama maisdespojado, chamado de reta de fase, que o anterior pode ser usado.

✲x

Ix∗1

Ex∗2

Ix∗3

✛ ✲ ✛ ✲

O ponto de equilıbrio x∗2 tem um comportamento atrativo: as trajetoriasiniciadas nas proximidades dele a ele retornam; os outros pontos de equilıbriotem comportamentos repulsivos. Diremos que x∗2 e estavel, e os outros saoinstaveis.

176

6.13.5 Caso autonomo em IR2 — generalidades

Os argumentos mostrados na secao anterior levam a importantes e interessan-tes conclusoes qualitativas sobre a REN de EDOs nao lineares e autonomas, eeles serao agora ampliados para o IR2. Estes metodos qualitativos ou nobrespodem evitar o uso de integracoes aproximadas ou metodos sofisticados desimulacao. Quando, no entanto, e necessario ir alem do plano, para n > 2,os auxılios numericos para atacar os problemas sao inevitaveis.

A equacao dinamica em estudo e mostrada abaixo, em forma compacta,vetorial, e como um sistema de equacoes escalares.

{

x = f(x); x(t) ∈ IR2

x(t0) = x0

{

x1 = f1(x1, x2); x1(t0) = x01x2 = f2(x1, x2); x2(t0) = x01

Supoe-se que Lipschitz e satisfeita nos intervalos de interesse, o que ga-rante a existencia e unicidade da solucao. As trajetorias de estado sao curvasplanas, razoavelmente faceis de se visualizar. O estudo no IR2 e importanteporque permite uma visao clara de fenomenos nao lineares que tambem estaopresentes em ordens superiores.

Uma solucao x(t) = [x1(t) x2(t)]T da equacao comeca na condicao inicial

x(t0) = x0 = [x01 x02]T ; o ponto x(t) descreve uma trajetoria, ou orbita,

no plano (x1, x2), chamado de plano de fase. Estas curvas sao parame-trizadas por t, e embora seja possıvel descobrir coisas como o intervalo detempo necessario para o sistema se mover de um dado ponto A a outro B datrajetoria, raramente isto e feito. O plano de fase e usado para mostrar umavisao “estatica” das orbitas, para ilustrar apenas a sua geometria. O con-junto das trajetorias originadas em varios pontos iniciais distintos e chamadode retrato de fase da equacao, ou do sistema.

A menos de casos particulares simples, como por exemplo o linear e fixoja destrinchado em secoes anteriores, a determinacao analıtica exata das tra-jetorias pode ser algo problematico. O plano de fase e um metodo qualitativoonde propriedades importantes das solucoes podem ser inferidas a partir deesbocos mais ou menos aproximados das trajetorias. Apresenta-se a seguirduas tecnicas que auxiliam a tarefa de tracado de retratos de fase.

Analise local de pontos de equilıbrio

O conceito de pontos de equilıbrio, ou singulares e o mesmo: pontos onde f seanula. Neste caso do IR2, sao os pontos x∗ do plano de fase onde f(x∗) = 0. Emuito simples verificar que se x0 = x∗ ∈ IR2, e um PE (ponto de equilıbrio),entao x(t) = x∗ ∀t, uma solucao constante. Tal fato, ja encontrado no casoescalar, e geral: condicoes iniciais colocadas em pontos de equilıbrio no IRn

la permanecem em repouso, ou seja, geram trajetorias constantes. Se esterepouso continua ou nao apos pequenas variacoes, isto e uma outra estoria,importante e linda, que merece mais destaque.

177

Seja a equacao dinamica na forma de um sistema de equacoes escalares.{

x1 = f1(x1, x2); x1(t0) = x01x2 = f2(x1, x2); x2(t0) = x01

e um ponto de equilıbrio x∗ = [x∗1 x∗2]T . A expansao em serie de Taylor das

funcoes f1 e f2, em torno dos valores de equilıbrio, conduz a{

x1 = f1(x∗1, x

∗2) + a11(x1 − x∗1) + a12(x2 − x∗2) + · · ·

x2 = f2(x∗1, x

∗2) + a21(x1 − x∗1) + a22(x2 − x∗2) + · · ·

onde as · · · englobam os termos de ordem superior em (xi−x∗i ) para i = 1, 2e os coeficientes sao dados pelas derivadas parciais aij = ∂fi/∂xj calculadasem x∗. Supondo que estamos em uma vizinhanca do ponto de equilıbrio x∗,os valores de δ1 = x1 − x∗1 e δ2 = x2 − x∗2 serao pequenos, e os termos deordem superior serao muito pequenos e poderao ser desprezados. Com estahipotese de trabalho, e notando que f(x∗) = 0 chega-se a

{

δ1 = a11δ1 + a12δ2δ2 = a21δ1 + a22δ2

ou

[

δ1δ2

]

=

[

a11 a12a21 a22

] [

δ1δ2

]

O procedimento feito foi uma linearizacao em torno do ponto de equilıbriox∗, resultando em uma equacao dinamica linear e fixa onde a matriz deestados e a Jacobiana de f no ponto:

δ = Aδ onde A =

[

a11 a12a21 a22

]

=

(

∂f

∂x

)

x=x∗

= J(x∗)

O comportamento de um sistema qualquer (autonomo, lembrem-se disto!)nas proximidades de um PE e bem descrito por uma aproximacao linear efixa. Basta entao conhecer os autovalores da Jacobiana e escolher entre oscomportamento basicos vistos anteriormente: nos estaveis ou instaveis, selas,focos e centros.

Exemplo 6.13.8 O modelo de estado de um dado circuito com diodo tunele dado pelas equacoes dinamicas

{

x1 = −0, 5h(x1) + 0, 5x2x2 = −0, 2x1 − 0, 3x2 + 0, 24

onde h(x1) = 17, 76x1 − 103, 79x21 + 229, 62x31 − 226, 31x41 + 83, 72x51 e acaracterıstica do diodo. Para obter os PEs deve-se encontrar as intersecoesentre as curvas −x1 − 1, 5x2 + 1, 2 = 0, uma reta, e x2 = h(x1). O resultadoaproximado e: P1 = [0, 06 0, 76]T , P2 = [0, 28 0, 61]T e P3 = [0, 88 0, 21]T .O Jacobiano geral e

J =∂f

∂x=

[

−0, 5h′ 0, 5−0, 2 −0, 3

]

Os leitores sao convidados a calcular, para cada PE, o Jacobiano e seusautovalores, e assim determinar o tipo de equilıbrio e sua estabilidade.

178

Exemplo 6.13.9 O tradicional pendulo simples foi apresentado na secao5.3.3; la se viu que analisa-lo apos linearizacao de seu modelo matematicoθ + (g/l) sen θ = 0 funciona bem para movimentos pequenos, nas proximida-des do ponto de operacao. Para uma abordagem mais geral, com excursoesangulares irrestritas, em primeiro lugar deve-se considerar que o pendulo esuspenso nao mais por um cordel, e sim por uma haste rıgida e sem massa;um amortecimento viscoso µ sera adicionado, e (g/l) = k. Usando comovariaveis de estado x1 = θ e x2 = θ as equacoes dinamicas sao

θ + µθ + k sen θ = 0 =⇒{

x1 = x2x2 = −k sen x1 − µx2

Ha infinitos pontos de equilıbrio da forma x∗ = [mπ 0]T onde m e uminteiro. O Jacobiano e

J =∂f

∂x=

[

0 1−k cosx1 −µ

]

=⇒ J(x∗) =

[

0 1−k cosmπ −µ

]

Ha dois casos basicos, Para valores pares e ımpares de m

Jp =

[

0 1−k −µ

]

e Ji =

[

0 1k −µ

]

Valores pares de m correspondem a x1 = θ = 0,±2π,±4π . . . ou seja,pendulo na posicao vertical inferior. Os autovalores do Jacobiano para estecaso sao

λ1,2 =−µ2±√µ2 − 4k

2

Para o caso sem amortecimento (µ = 0) os autovalores sao complexosconjugados no eixo imaginario: trata-se de um centro e descreve o funciona-mento do pendulo simples tradicional, oscilando periodicamente. Para amor-tecimento suave (0 < µ2 < 4k) os autovalores sao complexos conjugados comparte real negativa: trata-se de um foco estavel e descreve o funcionamentode um pendulo sub-amortecido, oscilando com amplitudes decrescentes. Paraamortecimento forte (µ2 > 4k) os autovalores sao reais e negativos, origi-nando um no estavel: movimento do pendulo super-amortecido decrescesem oscilacoes.

Valores ımpares de m correspondem a x1 = ±π,±3π . . . ou seja, pendulona posicao vertical superior. Os autovalores do Jacobiano para este caso sao

λ1,2 =−µ2±√µ2 + 4k

2

Para qualquer valor dos parametros µ e k os autovalores sao reais comsinais opostos: trata-se de uma sela e descreve o funcionamento fundamen-tamente instavel do pendulo, como era mesmo de se esperar.

179

A analise local de pontos de equilıbrio, e o seu propro nome ja diz,permite esbocar o retrato de fase nas proximidades dos PEs. Para pontosem outros locais o material da proxima secao pode ajudar.

Analise global de lugares isoclınicos

A funcao f associa a cada ponto x = [x1 x2]T do plano um vetor f(x) =

[f1(x) f2(x)]T que e tangente a trajetoria passando no ponto. Pode-se dizer

que f define um campo vetorial e as trajetorias sao as curvas de campo,sempre tangentes ao vetor de campo em cada ponto. As curvas de campo(tangentes) nao se definem nos pontos onde f(x) = 0.

O vetor f(x) = [f1(x1, x2) f2(x1, x2)]T e, como dito acima, tangente a

trajetoria passando no ponto x = [x1 x2]T do plano de fase. O coeficiente

angular, ou inclinacao, dessa tangente e dado por

a(x) = a(x1, x2) =f2(x1, x2)

f1(x1, x2)

O lugar geometrico dos pontos do plano de fase onde a inclinacao e cons-tante e igual a α, chamado de isoclina ou curva isoclınica e dado pelarelacao

a(x1, x2) =f2(x1, x2)

f1(x1, x2)= α

Em muitos casos e bastante facil tracar as isoclinas no IR2, e isso facilitao esboco dos retratos de fase.

Exemplo 6.13.10 O sistema linear fixo massa-mola e descrito por

x =

[

0 1−1 0

]

x =⇒{

x1 = x2xx = −x1

=⇒ a(x1, x2) =−x1x2

A isoclina associada ao coeficiente angular α sera dada por

a(x1, x2) =−x1x2

= α =⇒ αx2 = −x1

Ha valores mais ou menos padronizados para o coeficiente angular: α = 0significa tangentes “horizontais” ou, em outros termos, paralelas ao eixo x1,α = 1 significa tangentes paralelas a bissetriz do primeiro quadrante, α =∞significa que as tangentes sao “verticais”. Para este caso o resultado e

α isoclina

0 x1 = 01 x2 = −x1−1 x2 = x1∞ x2 = 0

180

As curvas isoclınicas sao retas no plano de fase, o que facilita as coisas

✲x1

✻x2α=0

α=1 α=−1

α=∞

A indicacao grafica das tangentes ajuda bastante no esboco das trajetorias,mesmo neste caso conceitualmente simples de um sistema linear com um cen-tro. Quanto mais isoclinas, melhor.

Exemplo 6.13.11 A equacao de Van der Pol, x+ µ(x2 − 1)x+ x = 0 mo-dela osciladores nao conservativos com amortecimentos nao lineares. Usandocomo variaveis de estado x1 = x e x2 = x as equacoes dinamicas para deter-minados valores numericos sao

x+ 0, 2(x2 − 1)x+ x = 0 =⇒{

x1 = x2x2 = −x1 − 0, 2(x21 − 1)x2

A isoclina associada ao coeficiente angular α sera dada por

a(x1, x2) =−x1 − 0, 2(x21 − 1)x2

x2= α ⇒ x2 =

−x1α + 0, 2(x21 − 1)

A tabela das isoclinas para este caso e

α isoclina

0 x2 = −5x1/(−1 + x21)1 x2 = −5x1/(4 + x21)−1 x2 = −5x1/(−6 + x21)∞ x2 = 0

O tracado das curvas isoclınicas nao e tao simples como no caso linearanterior . . .

Analise de ciclos limites

6.13.6 Analise por aproximacoes numericas

Quando o ataque analıtico fica difıcil sempre restam as simulacoes.

181

Exemplo 6.13.12 O modelo de estado de um dado circuito com diodo tunele dado pelas equacoes dinamicas

{

x1 = −0, 5h(x1) + 0, 5x2x2 = −0, 2x1 − 0, 3x2 + 0, 24

onde h(x1) = · · ·

onde h(x1) = 17, 76x1− 103, 79x21 + 229, 62x31− 226, 31x41 + 83, 72x51. Pontosde equilıbrio:

P1 =

[

0, 060, 76

]

P2 =

[

0, 280, 61

]

P3 =

[

0, 880, 21

]

6.13.7 Referencias

Mais detalhes a respeito desta secao sobre as EDOs mais gerais, nao lineares,podem ser encontrados no material do prof. Liu.

182

Capıtulo 7

Mundo Discreto

7.1 Introducao

Este capıtulo tratara apenas dos sinais discretos e determinısticos, e assim apalavra sinais, isoladamente, sera usada para designa-los. Conforme visto nocapıtulo 1 as funcoes reais da variavel inteira e discreta k, o “tempo discreto”,sao os instrumentos matematicos adequados para representar tais sinais. Es-tas funcoes sao conhecidas usualmente como sequencias de numeros re-ais, ou simplesmente sequencias reais. Deste modo diremos que um sinalx pode ser representado pela notacao matematica classica para sequencias:

x : ZZ −→ IRk 7→ x(k)

A cada inteiro k associamos o valor real x(k). A esta simbologia semprese deve associar uma representacao grafica do sinal, ou seja, o grafico dafuncao.

✲

x

k

✻

Muitas vezes representamos uma sequencia pela notacao {x(k)} ou sim-plesmente por {x}, ou apenas pelo sımbolo x. Qualquer destas notacoesrepresenta o sinal como um todo, ou seja, uma sequencia definida para qual-quer valor inteiro do “tempo” k, e a qual sempre se associa um grafico,como acima. Tambem se usa o sımbolo xk ou ainda x[k] para denotar umasequencia, mas deve haver um certo cuidado aqui, para evitar confusoes como valor assumido pela sequencia x no instante k.

Algumas vezes o conhecimento que temos do sinal permite apenas queele seja representado por um grafico, como acima, ou entao por uma lista ou

183

tabela de valores.

. . . x(−2), x(−1), x(0), x(1), x(2), x(3) . . .

A situacao mais desejavel e quando existe uma expressao analıtica paraa sequencia x: quando, por exemplo, sabemos que x(k) = k2 − 1 ∀k ∈ ZZ.

Ao inves de sequencias de numeros reais podemos estender o conceitopara sequencias de vetores:

{x} : ZZ −→ IRn

k ∈ ZZ 7→ x(k) ∈ IRn

Exemplo 7.1.1 Seja a sequencia {x} : ZZ −→ IR definida por k 7→ x(k) =k/2 ∀k; teremos {x} = {· · · − 1/2 ; 0 ; 1/2 ; 1 · · ·} ou, graficamente:

✲k2 4 6 8

−2−4−6−8

✻

Para a sequencia {x} : ZZ −→ IR com k 7→ x(k) = −2 + k2/2 ∀k;teremos {x} = {· · · − 3/2 ; −2 ; −3/2 ; −1 · · ·} ou, graficamente:

✲

✻

k

1 2

3 4

−1−2−3−4

Seja agora a sequencia vetorial {x} : ZZ −→ IR2 com

k 7→ x(k) =

[

ek

k

]

∀k

Esta sequencia poderia ser visualizada como uma sucessao de 5 pontos noplano IR2.

Algumas sequencias serao particularmente importantes.

184

1. Degrau unitario discreto designada por 1(k) e definida como 1 parak ≥ 0 e 0 para k < 0:

✲

✻

k

1(k)1(k) = 0 ∀k < 0

1(k) = 1 ∀k ≥ 01

2. Impulso unitario discreto, ou funcao delta de Kronecker, desig-nada por δ(k) e definida como 1 para k = 0 e 0 para k 6= 0:

✲

✻

k

δ(k) δ(k) = 0 para k 6= 0

δ(k) = 1 para k = 01

3. Impulso unitario deslocado, designado por δ(k−j) e definida como1 para k = j e 0 para k 6= j:

✲

✻

k

δ(k − j)δ(k − j) = 0 para k 6= j

δ(k − j) = 1 para k = j1

j

4. Sequencia geral deslocada: sendo f : ZZ −→ IR uma sequenciadefinida por k 7→ f(k) a sequencia deslocada j instantes e definidacomo

Qjf : ZZ −→ IR com Qjf(k) = f(k − j)

✻

k✲

7.2 Transformada em z de uma Sequencia

Lembramos mais uma vez que o paralelismo com o caso contınuo e quasetotal: a transformada de Laplace e todo o seu extraordinario poder simplifi-cativo encontram correspondencia no campo discreto. A transformada em z

185

de uma sequencia x(k), denotada por Z{x(k)}, ou simplesmente por Z{x}e uma serie:

Z{x(k)} =∞∑

k=0

x(k)z−k = x(0) + x(1)z−1 + x(2)z−2 + · · ·

Normalmente estas series tem uma forma fechada, isto e, elas convergem,podem ser expressas por uma expressao analıtica compacta:

Z{x(k)} =∞∑

k=0

x(k)z−k = X(z)

Assim, a transformada em z de uma sequencia x(k) e uma funcao com-plexa da variavel complexa z denotada por X(z). Para quem gosta de ma-tematiques, sendo

X = {x : ZZ → IR} e C = {X : C → C}

as famılias de todas as sequencias reais e de todas as funcoes complexas devariavel complexa, a transformada em z seria denotada pelo mapeamento

Z : X → C

com lei de associacao dada por

x(k) 7→ X(z) =∞∑

k=0

x(k)z−k

A tıtulo de exemplos, vamos calcular algumas transformadas importantesque deverao ser memorizadas:

Exemplo 7.2.1 Para o impulso unitario discreto, δ(k), temos, trivialmente:

Z{δ(k)} = 1 + 0z−1 + 0z−2 + · · · = 1

Para o impulso aplicado no instante m, que tambem pode ser consideradocomo um impulso deslocado de m instantes, terıamos

Z{δ(k −m)} = 0 + 0z−1 + · · · + z−m + 0 + · · · = z−m

Exemplo 7.2.2 Para o degrau unitario discreto, 1(k), aplicando a definicao:

Z{1(k)} = 1 + z−1 + z−2 + z−3 + · · · = 1 +1

z+(

1

z

)2

+(

1

z

)3

+ · · ·

Lembremo-nos (2o ano do ensino medio, mais ou menos) de algo cha-mado “soma dos termos de uma PG ilimitada”. Algum tempo depois, ja

186

universitarios, era a tal “serie geometrica”. De uma maneira ou de outraagora veremos realmente para que serve isso:

∞∑

k=0

ξk = 1 + ξ + ξ2 + ξ3 + · · · =1

1− ξ

desde que algumas sutilezas — |ξ| < 1 — sejam satisfeitas. Assim,

Z{1(k)} = 1

1− z−1=

z

z − 1para |z| > 1

Supimpa! Para todos os efeitos operacionais a nossa transformada em zsempre convergira.

Exemplo 7.2.3 Para o degrau unitario atrasado de m instantes, 1(k −m)onde m > 0, temos:

Z{1(k)} = 0+ · · · + z−m+ z−(m+1)+ · · · = z−m(

1 + z−1 + z−2 + z−3 + · · ·)

= z−m z

z − 1

Exemplo 7.2.4 Para a exponencial discreta, f(k) = ak, temos, novamentepela definicao:

Z{ak} = F (z) = 1 +a

z+a2

z2+a3

z3+ · · · = 1

1− (a/z)=

z

z − a

E bom notar que esta sequencia f(k) ultimo exemplo e bilateral, ou seja,e um sinal definido ∀k ∈ Z. Seja agora a sequencia f+(k) = ak1(k). Parak ≥ 0 este sinal e identico ao anterior, logo

Z{f+(k)} = F+(z) = · · · = 1

1− (a/z)=

z

z − a = F (z)

Este exemplo mostra que a definicao apresentada de Tansformada Z podeser aplicada a uma sequencia xk generica, bilateral. Para “unilateralizar” estasequencia, ou seja, encontrar uma outra sequencia que coincide com ela parak ≥ 0 e se anula para k < 0 farıamos: x+(k) = ak1(k). Como a transformadaZ emprega apenas valores de k ≥ 0 teremos

X(z) = X+(z)

e podemos nos perguntar por que nao restringir a aplicabilidade da trans-formada Z as sequencias unilaterais. Uma possıvel resposta e dada a seguir,quando o fato de as sequencias serem ou nao unilaterais faz diferenca.

187

Exemplo 7.2.5 Atrasaremos, ou seja, deslocaremos para a direita, os sinaisf e f+ do exemplo 7.2.4 em um instante discreto: g(k) = Q1f(k) = f(k−1)e g+(k) = Q1f

+(k) = f+(k − 1).

Z{g(k)} = f(−1) + f(0)z−1 + f(1)z−2 + · · · = f(−1) + z−1F (z)

Z{g+(k)} = 0 + f(0)z−1 + f(1)z−2 + · · · = 0 + z−1F (z)

Ha tabelas listando varias sequencias e suas transformadas. Para nos,o uso da definicao e de algumas propriedades permitira o calculo para assequencias mais importantes.

7.3 Propriedades da transformada z

E possıvel encontrar as transformadaSde outras sequencias importantes sim-plesmente empregando a definicao, como foi feito nos exemplos anteriores.Neste processo poderıamos perceber que algumas peculiaridades se repetemcom frequencia. As mentalidades mais matematicas tomariam estas coin-cidencias como indıcios de estruturas possivelmente gerais e partiriam embusca de demonstracoes rigorosas. Nos casos em que tais demonstracoes saoalcancadas temos as Propriedades, algumas das quais sao listadas abaixo.

Propriedade 7.3.1 — Linearidade —

Sendo x1 e x2 sequencias quaisquer e a1 e a2 reais quaisquer temos

Z {a1x1(k) + a2x2(k)} = a1Z {x1(k)}+ a2Z {x2(k)} = a1X1(z) + a2X2(z)

Esta propriedade ensina como calcular a transformada de uma com-binacao linear de duas sequencias. A demonstracao de sua validade e umaconsequencia direta e trivial da definicao e sera omitida. O fato de a transfor-mada em Z ser linear e certamente responsavel pela sua enorme importanciae vasta aplicabilidade. Outras transformadas populares, como Laplace e Fou-rier, tambem devem boa parte de seus meritos a linearidade.

Propriedade 7.3.2 — Atraso Unitario —

Sendo x uma sequencia qualquer e y(k) = Q1xk = x(k − 1) a sequenciaatrasada de uma unidade:

Z{Q1xk} = Z{x(k − 1)} = z−1X(z) + x(−1)Demonstracao: Aplicando a definicao temos

Z{y(k)} =∞∑

k=0

y(k)z−k =∞∑

k=0

x(k − 1)z−k

= x(−1) + x(0)z−1 + x(1)z−2 + · · ·= x(−1) + z−1

(

x(0) + x(1)z−1 + · · ·)

= x(−1) + z−1X(z)

188

Quando xk e unilateral, ou entao quando ela e unilateralizada — resultada multiplicacao de uma sequencia bilateral por 1(k) — a propriedade acimase particulariza, pois x(−1) = 0. Esta situacao e suficientemente importantepara merecer destaque:

Propriedade 7.3.3 — Atraso Unitario, caso unilateral —

Sendo x uma sequencia unilateral qualquer e y(k) = Q1xk = x(k − 1) asequencia atrasada de uma unidade:

Z{Q1xk} = Z{x(k − 1)} = z−1X(z)

Propriedade 7.3.4 — Avanco Unitario —

Sendo x uma sequencia qualquer e y(k) = Q−1xk = x(k + 1) a sequenciaavancada de uma unidade:

Z{Q−1xk} = Z{x(k + 1)} = zX(z) − zx(0)

Demonstracao: Aplicando a definicao temos

Z{y(k)} =∞∑

k=0

y(k)z−k =∞∑

k=0

x(k + 1)z−k

= x(1) + x(2)z−1 + x(3)z−2 + · · ·= z

(

x(1)z−1 + x(2)z−2 + x(3)z−3 + · · ·)

= z (X(z)− x(0))= zX(z)− zx(0)

Atrasar ou avancar sequencias, no domınio do tempo, equivale a dividirou multiplicar por z, sempre lembrando de adicionar os termos iniciais x(−1)ou x(0). Comparando com a transformada de Laplace no caso contınuo per-cebemos que estas operacoes sao os correspondentes discretos das operacoescontınuas de integracao e derivacao. Para sequencias atrasadas ou avancadasde mais de um instante podemos aplicar as propriedades acima repetidas ve-zes, ou entao generalizar.

Propriedade 7.3.5 — Atraso no Tempo —

Sendo x uma sequencia qualquer e y(k) = Qmxk = x(k −m) com m > 0a transformada da sequencia atrasada de m unidades e dada por

Z{Qmxk} = Z{x(k −m)} = z−mX(z) +m∑

j=1

zj−mx(−j)


Z{y(k)} =∞∑

k=0

y(k)z−k =∞∑

k=0

x(k −m)z−k

=m−1∑

k=0

x(k −m)z−k +∞∑

k=m

x(k −m)z−k

189

Mudando a variavel da primeira soma para j = m − k e a da segundapara i = k −m temos

Z{y(k)} =1∑

j=m

x(−j)zj−m +∞∑

i=0

x(i)z−i−m

=m∑

j=1

x(−j)zj−m + z−m∞∑

i=0

x(i)z−i

Propriedade 7.3.6 — Avanco no Tempo —

Sendo x uma sequencia qualquer e y(k) = Q−mxk = x(k+m) com m > 0,a transformada da sequencia avancada de m unidades e dada por

Z{Q−mxk} = Z{x(k +m)} = zmX(z)−m−1∑

j=0

zm−jx(j)


Z{y(k)} =∞∑

k=0

y(k)z−k =∞∑

k=0

x(k +m)z−k

= zm∞∑

k=0

x(k +m)z−kz−m = zm∞∑

k=0

x(k +m)z−(k+m)

Mudando a variavel da soma para j = k +m temos

Z{y(k)} = zm∞∑

j=m

x(j)z−j

= zm

X(z)−m−1∑

j=0

x(j)z−j

= zmX(z)−m−1∑

j=0

x(j)zm−j

E sempre bom frizar que atrasar uma sequencia e desloca-la para a direita,ao passo que avancar significa um deslocamento para a esquerda. Comoexemplo, sejam as sequencias deslocadas de duas unidades:

Z {x(k − 2)} = z−2X(z) + z−1x(−1) + x(−2)

Z {x(k + 2)} = z2X(z)− z2x(0)− zx(1)

Propriedade 7.3.7 — Teorema do Valor Inicial —

Permite calcular o valor inicial de uma sequencia cuja transformada econhecida.

x(0) = limk→0

xk = limz→∞

X(z)

190

Demonstracao: Basta usar a definicao

X(z) = x(0) + x(1)z−1 + x(2)z−2 + · · ·

e fazer z →∞.

Propriedade 7.3.8 — Teorema do Valor Final —

Permite calcular o valor final ou terminal de uma sequencia unilateralcuja transformada e conhecida.

x(∞) = limk→∞

xk = limz→1

(1− z−1)X(z)

Demonstracao: Imaginemos um sinal y definido por y(k) = x(k)−x(k−1).A soma dos seus N + 1 primeiros termos seria

N∑

k=0

y(k) = x(0) + x(−1) + x(1)− x(0) + · · · + x(N)− x(N − 1) = x(N)

pois a sequencia e unilateral e x(−1) = 0. Fazendo N → ∞ percebemosque o valor final de xk e dado pela soma de todos os termos de y(k), e estaquantidade e obtida trivialmente de sua transformada:

x(∞) = limk→∞

xk =∞∑

k=0

y(k) = limz→1

Y (z)

Mas, pela definicao de y temos Y (z) = X(z) + z−1X(z), e fim de papo.

Propriedade 7.3.9 — Multiplicacao por exponencial —

Sendo a um real qualquer:

Z{

akx(k)}

= X(z/a)

Demonstracao: Esta fica para voces!

Ainda ha muitas outras propriedades, mas estas sao as mais basicas.Com um certo domınio sobre as propriedades e com consultas a tabelas astransformadas de praticamente todas as sequencias de algum interesse podemser encontradas.

7.4 Transformada Inversa

O problema da transformada inversa, tambem chamada de antitransformada,e simples: dada X(z) encontrar x(k). Algumas vezes este problema pode serresolvido com uma consulta a tabela das transformadas Z; quando isto naofor possıvel, por ser a F (z) em estudo muito complicada, ha duas maneirasbasicas de atacar o problema.

191

7.4.1 Metodo aberto

Usando as ferramentas matematicas necessarias devemos expandir X(z) emum serie de potencias de z−1:

X(z) = a0 + a1z−1 + a2z

−2 + · · ·Feito isto identificarıamos os coeficientes ai com os elementos da sequencia:

a0 = x(0); a1 = x(1); . . . ak = x(k) . . .

Quando X(z) e uma funcao racional, como e normalmente o caso, a ex-pansao pode ser feita simplesmente dividindo o polinomio numerador pelodenominador.

Exemplo 7.4.1 Seja a transformada Z

X(z) =z2

(z − 1)(z − 0, 5)=

z2

z2 − 1, 5z + 0, 5

A divisao poderia ser feita neste ponto, mas muitas vezes ainda se efetuauma normalizacao preliminar, dividindo numerador e denominador de modoa eliminar potencias positivas de z.

X(z) =z−2z2

z−2(z2 − 1, 5z + 0, 5)=

1

1− 1, 5z−1 + 0, 5z−2

Agora se faria a divisao:

1 1− 1, 50z−1 + 0, 50z−2

1− 1, 50z−1 + 0, 50z−2 1 + 1, 50z−1 + 1, 75z−2 + · · ·1, 50z−1 − 0, 50z−2

1, 50z−1 − 2, 25z−2 + 0, 75z−3

1, 75z−2 − 0, 75z−3

. . .. . .

Isto leva a X(z) = 1 + 1, 50z−1 + 1, 75z−2 + · · · donde se obteria trivial-mente xk: x(0) = 1 x(1) = 1, 50 x(2) = 1, 75 . . . etc. Algumas verificacoesde validade:

x(0) = limz→∞

X(z) = limz→∞

1

1− 1, 5z−1 + 0, 5z−2= 1

x(∞) = limz→1

z − 1

z

z2

(z − 1)(z − 0, 5)=

1

0, 5= 2

Este metodo funciona sempre mas, como o proprio nome diz, seu resul-tado e uma sequencia em forma aberta e em alguns casos isto pode nao serconveniente. Com efeito, o trabalho para se calcular o valor de y em uminstante k e tanto maior quanto maior e k, nao ha atalhos simplificadores ouformulas diretas. Esta seria a seara do proximo metodo.

192

7.4.2 Metodo fechado

A ideia e “preparar” a expressao X(z), usualmente com uma expansao emfracoes parciais, para decompo-la em partes mais simples cujas transformadasinversas sejam bem conhecidas. O procedimento parece ser identico ao jaconhecido para o caso contınuo. Dada uma funcao racional representandoX(z) o seu denominador seria fatorado, como abaixo.

X(z) =n(z)

d(z)=

n(z)

(z − p1)(z − p2) · · · (z − pn)=

a1z − p1

+a2

z − p2+· · · + an

z − pnAs funcoes elementares seriam (supondo polos reais e distintos, como

acima) do tipo ai/(z−pi) e terıamos uma surpresa desagradavel ao perceberque elas correspondem a sequencias razoavelmente complicadas e que podemestar ausentes das tabelas mais simples. O truque para evitar impecilhosdeste tipo e expandir X(z)/z ou seja, dividir por z antes de mais nada. Comeste artifıcio terıamos

X(z)

z=

a1z − p1

+a2

z − p2+ · · · + an

z − pndonde vem

X(z) = a1z

z − p1+ a2

z

z − p2+ · · · + an

z

z − pnEstas sao figurinhas faceis em qualquer tabela que se preze, e, mais ainda,devem ja ter sido memorizadas por todos.

Exemplo 7.4.2

X(z) =z2

(z − 1)(z − 0, 50)

Dividindo por z e depois expandindo:

X(z)

z=

z

(z − 1)(z − 0, 50)=

a1z − 1

+a2

z − 0, 50

Os resıduos podem ser obtidos por qualquer dos metodos tradicionais, comopor exemplo

a1 =

[

(z − 1)X(z)

z

]

z=1

= 2 a2 =

[

(z − 0, 50)X(z)

z

]

z=0,50

= −1

o que acarreta

X(z)

z=

2

z − 1− 1

z − 0, 50=⇒ X(z) = 2

z

z − 1− z

z − 0, 50

donde se conclui, facilmente, que xk = 2 . 1(k) − (0, 5)k. Pronto, eis umaforma fechada para a sequencia x(0) = 1 x(1) = 1, 50 x(2) = 1, 75 . . . etc,que tanto trabalho causava no exemplo 7.4.1.

193

Os leitores sao convidados a resolver este exemplo expandindo X(z), semdivisoes por z. Quando a expressao para X(z) possui numerador indepen-dente de z o procedimento e o mesmo, mas a ordem do denominador aumenta.

Exemplo 7.4.3

F (z) =1

(z − 1)(z − 0, 50)

Dividindo por z e depois expandindo:

F (z)

z=

1

z(z − 1)(z − 0, 50)=a0z

+a1

z − 1+

a2z − 0, 50

a0 =

[

zF (z)

z

]

z=0

= 2 a1 =

[

(z − 1)F (z)

z

]

z=1

= 2 a2 = · · · = −4

o que acarreta

F (z)

z=

2

z+

2

z − 1− 4

1

z − 0, 50e F (z) = 2 + 2

z

z − 1− 4

z

z − 0, 50

donde se conclui que f(k) = 2δ(k) + 2 . 1(k) − 4 . (0, 5)k. Esta sequenciacorresponde a forma aberta f(0) = 0 f(1) = 0 f(2) = 1 . . . etc. Compa-rando esta sequencia com a do exemplo anterior e interessante reparar queF (z) = z−2X(z), significando que f resulta de se atrasar x duas unidades detempo: f(k) = x(k − 2).

7.5 Operadores e Sistemas Discretos

A ideia basica e a mesma, apenas agora os sinais envolvidos sao discretos.Alguns sistemas importantes tem comportamentos que podem ser descritosde maneira simples e natural por modelos discretos, como por exemplo umacaderneta de poupanca; em outros casos temos uma realidade contınua quepode ser descrita por modelos discretos apos um processo de amostragem

Como todo bom operador que se preza, um operador discreto “trans-forma” uma entrada em um saıda. A novidade e que agora nossos sinais saosequencias:

✲ Sistema Discretou(k)

✲y(k)

As classificacoes correspondem exatamente as feitas no caso contınuo,e assim definirıamos um operador instantaneo como aquele para o qual asaıda no instante k0 depende apenas da entrada nesse mesmo instante k0,

194

operador dinamico e aquele para o qual a saıda em k0 pode depender devalores passados, presentes e futuros: k < k0, k = k0, k > k0, e assim pordiante.

Os conceitos de causalidade, linearidade, invariancia no tempo, etc, saodefinidos exatamente como no caso contınuo. As ideias sao basicamente asmesmas, mudando apenas a variavel tempo: antes era contınua, agora ediscreta. O estudo das duas categorias segue um paralelismo quase perfeito.Tambem no mundo discreto os operadores causais e unilaterais podem serassociados aos sistemas relaxados.

7.5.1 Resposta ao impulso

Quando a entrada de um operador discreto H e a sequencia {u} = δ(k−m),um delta de Kronecker aplicado no instante m, chamamos a saıda correspon-dente de resposta ao impulso do operador, e a denotamos por h(k,m):

Quando {u} = δ(k −m) entao {y} = H{u} = Hδ(k −m) = h(k,m)

A resposta ao impulso pode auxiliar no calculo da resposta de alguns tiposde sistemas a uma entrada qualquer. Vejamos como. Em primeiro lugar,dada uma sequencia qualquer f , nao necessariamente unilateral, podemosdecompo-la em uma soma de impulsos unitarios:

f = . . . f(−1) f(0) f(1) f(2) . . .= . . . f(−1) 0 0 0 . . . +

. . . 0 f(0) 0 0 . . . +

. . . 0 0 f(1) 0 . . . +

. . . 0 0 0 f(2) . . . + . . .

Mas, lembrando o conceito de impulso unitario, cada uma das sequenciasbasicas acima pode ser reescrita:

f(k) = · · · + f(−1)δ(k + 1) + f(0)δ(k) + f(1)δ(k − 1) + f(2)δ(k − 2) + · · ·

Isto permite estabelecer, de modo direto, uma importante propriedadedos sinais discretos: uma sequencia qualquer pode ser obtida a partir deuma decomposicao em impulsos por meio da expressao

{f} =∞∑

m=−∞f(m)δ(k −m)

Seja agora um operador H discreto e linear, submetido a uma entrada{u}. Se esta entrada e decomposta como acima temos

y = Hu = H∞∑

m=−∞u(m)δ(k −m)

195

Como o operador e linear podemos usar o princıpio da superposicao:

y = Hu =∞∑

m=−∞u(m)Hδ(k −m)

Lembrando que Hδ(k−m) = h(k,m) e a resposta ao impulso do operadorconcluımos que sua saıda para uma entrada qualquer u e

y(k) =∞∑

m=−∞h(k,m)u(m)

Esta e a somatoria de superposicao, que relaciona entradas e saıdasde operadores discretos e lineares para os quais se conhece a resposta aoimpulso. Assim como no caso contınuo, a resposta ao impulso caracterizacompletamente um operador discreto e linear. Conhecendo-a conheceremosa saıda para qualquer entrada. Se o nosso operador for causal (alem de linear,logico!) teremos h(k,m) = 0 para k < m e a expressao se particulariza:

y(k) =k∑

m=−∞h(k,m)u(m)

Como seria de se esperar, a invariancia no tempo e caracterizada por

h(k,m) = h(k −m)

e neste caso, temos mais uma particularizacao:

y(k) =k∑

m=−∞h(k −m)u(m)

Supondo finalmente que a entrada u e unilateral temos a expressao final

y(k) =k∑

m=0

h(k −m)u(m)

caracterizando a chamada somatoria de convolucao. Esta soma pode serexpressa de maneira alternativa, mudando a variavel por meio de k−m = j:

y(k) =0∑

j=k

h(j)u(k − j)

Eis entao ambas as expressoes para a soma de convolucao:

y(k) =k∑

m=0

h(k −m)u(m) =k∑

m=0

h(m)u(k −m)

196

Exemplo 7.5.1 Em um operador linear e invariante no tempo a saıda quan-do {u} = δ(k) e dada por

h(k) =

0 para k ≤ 0

2k para k ≥ 1

Calcular a sequencia de saıda quando a entrada e dada por

u(k) =

0 para k < 0

k para k ≥ 0

Analisando a resposta ao impulso h(k) verificamos que o sistema e causal,e entao

y(k) =k∑

m=0

h(k −m)u(m)

donde

y(k) = 0 ∀k ≤ 0

y(1) = h(1)u(0) + h(0)u(1) = 0

y(2) = h(2)u(0) + h(1)u(1) + h(0)u(2) = 2

y(3) = · · · · · · = 8

y(4) = · · · · · · = 22...

...

E assim por diante. Mais uma vez um procedimento facil e direto, mas queenvolve uma trabalheira bastante grande. Tudo bem, os computadores digitaisestao aı para isso mesmo, exatamente para esse tipo de obra. A eles entaoo onus das contas. Mas o real inconveniente deste metodo e que a solucao edada em forma aberta, ou seja, a somatoria de convolucao permite o calculoda sequencia de saıda ponto por ponto. Seria muito bom se hovesse umaexpressao generica que fornecesse o valor de y para um instante k qualquer.Para este exemplo conseguirıamos exprimir y como

y(k) = 2(

2k − k − 1)

∀k ≥ 1

apos um trabalho cheio de artifıcios sobre a somatoria de convolucao.

Os fatos mostrados por este exemplo sao gerais. E quase sempre difıcilencontrarmos uma expressao analıtica para a saıda e esta e uma grandedesvantagem do uso das somatoria de superposicao no estudo de sistemasdiscretos: obteremos a saıda na marra, ponto a ponto. Que nao nos abaleuma pequenina dificuldade. Que nao se percam as esperancas, pois ha solucaopara tudo. O que nos facilitara as coisas de agora em diante e o uso dastransformadas Z.

197

7.5.2 Solucao por transformada Z

Sendo f1 e f2 duas sequencias a operacao

k∑

m=0

f1(k −m)f2(m) = f1 ⋆ f2

e chamada de convolucao discreta. Usando esta nomenclatura podemos dizerque a saıda de operadores lineares e invariantes no tempo e sempre dada pelaconvolucao entre a entrada e a resposta ao impulso, conforme demonstradoanteriormente:

y(k) =k∑

m=0

h(k −m)u(m) = h ⋆ u

Calculemos a transformada Z:

Z{y} = Z{h ⋆ u}

=∞∑

k=0

(

k∑

m=0

h(k −m)u(m)

)

z−k

=k∑

m=0

∞∑

k=0

h(k −m)u(m)z−mzm−k

=k∑

m=0

u(m)z−m∞∑

k=0

h(k −m)zm−k

= Z{h}Z{u}

Isto demonstra uma importante propriedade das transformadas Z; devolta ao exemplo, esta expressao pode ser usada, basta lembrar que a respostaao impulso pode ser expressa por h(k) = 2k 1(k)− δ(k). Com isto,

Y (z) = Z{y} = Z{2k 1(k)− δ(k)}Z{k 1(k)}=

(

z

z − 2− 1

)

z

(z − 1)2

=2z

(z − 1)2(z − 2)

Achando a transformada inversa:

Y (z)

z=

−2(z − 1)2(z − 2)

=−2

(z − 1)2− 2

z − 1+

2

z − 2

Donde

Y (z) =−2z

(z − 1)2− 2z

z − 1+

2z

z − 2=⇒ y(k) = 2(2k − k − 1) 1(k)

198

7.5.3 Funcao de Transferencia Discreta

O encaminhamento usado neste ultimo exemplo pode ser extendido, dandoorigem a um dos resultados mais importantes deste campo:

Teorema 7.5.1 Para operadores discretos, lineares e invariantes no temposempre se pode escrever

Y (z) = H(z)U(z)

onde Y (z) e a transformada Z da saıda, U(z) e a transformada Z da entradae H(z), chamada de funcao de transferencia discreta do operador, e atransformada Z da resposta ao impulso.

A demonstracao e simples. Sendo o operador LIT temos, como vistoacima:

y(k) =k∑

m=0

h(k −m)u(m) = h ⋆ u

donde se conclui o desejado.Este desenvolvimento e exatamente como no caso contınuo, talvez ate

mais simples do que la. Dizemos que a funcao de transferencia H(z) e umaferramenta frequencial para o estudo de operadores discretos. Assim comono caso contınuo, os operadores que nos interessam sao descritos por funcoesde transferencia racionais.

H(z) = Kn(z)

d(z)= K

(z − z1)(z − z2) . . .(p− p1)(p− p2) . . .

onde os zi sao chamados de zeros de H(z) e os pi sao os polos.

7.5.4 Comportamento temporal

Qual e a relacao entre parametros frequenciais como por exemplo polos ezeros e parametros temporais, como por exemplo as sequencias?

Y (z) = H(z)U(z) = K(z − z1) . . .(p− p1) . . .

Alguns dos zeros zi que aparecem na expressao de Y (z) sao provenientesde H(z), outros de U(z), e o mesmo acontece com os polos pi. De qualquermodo, seja qual for sua origem, apos expandirmos Y (z)/z em fracoes parciaisobteremos para Y (z) a seguinte expressao, supondo polos reais e distintos:

Y (z) = c1z

z − p1+ c2

z

z − p2+ · · ·

O comportamento no domınio do tempo da sequencia y pode assim serdecomposto em uma soma de “comportamentos elementares”, cada um deles

199

do tipo z/(z − p), onde p ∈ IR representa um polo real. Vejamos entao commais detalhes esses padroes basicos que permitem perceber o papel crucialrepresentado pela localizacao dos polos no plano complexo.

✲

✻

p > 1 → pk: exponencial crescente

✲

✻

p = 1 → 1(k): degrau discreto

✲

✻

0 < p < 1 → pk: exp. decrescente

✲

✻

p = 0 → δ(k): impulso discreto

✲

✻

−1 < p < 0 → pk: exp. decr. alternada

✲

✻

p = −1 → (−1)k: degrau alternado

200

✲

✻

p < −1 → pk: exp. cresc. alternada

Vejamos agora a contribuicao de polos reais duplos, ou seja, termosbasicos do tipo pz/(z − p)2, onde p ∈ IR. Seria facil verificar (tentem!) quea transformada inversa e dada por k pk. A partir disto algumas conclusoessao evidentes. Para |p| > 1 temos sequencias que tendem para ∞ quandok cresce; se p > 1 entao a sequencia e sempre positiva, mas se p < −1 osvalores se alternam.

Para p = 1 temos a rampa discreta k 1(k) e para p = −1 a rampadiscreta alternada k (−1)k. Para 0 < p < 1 o esboco e visto a seguir, e para−1 < p < 0 seria a mesma sequencia com valores alternados. Finalmentepara p = 0 temos um impulso discreto deslocado.

✲

✻

✲

✻

p = 00 < p < 1

O comportamento associado a polos complexos conjugados depende desuas distancias a origem: para polos dentro do disco de raio unitario (comopor exemplo p1,2 = 0, 60±j0, 60) teremos oscilacoes senoidais amortecidas, ouseja, com amplitudes decrescentes. Para polos sobre a circunferencia de raiounitario (como por exemplo p1,2 =

√2/2± j

√2/2) teremos oscilacoes senoi-

dais com amplitudes constantes, e para polos fora do disco de raio unitario(como por exemplo p1,2 = 0, 80 ± j0, 80) teremos oscilacoes senoidais comamplitudes crescentes. Os graficos:

✲

✻

✲

✻

✲

✻

7.5.5 Estabilidade

Uma adaptacao direta das ideias contınuas pode ser feita. Diremos que umoperador discreto e BIBO estavel se e somente se a cada sequencia u limitadaa saıda y correspondente tambem e limitada.

201

Teorema 7.5.2 Um operador discreto, linear e invariante no tempo seraBIBO estavel se e somente se todos os polos de sua funcao de transferenciaestiverem contidos no cırculo unitario com centro na origem do plano com-plexo.

Uma demonstracao rigorosa sera omitida, mas uma analise dos compor-tamentos basicos vistos na secao anterior permite uma aceitacao suave dacondicao. Podemos tambem lembrar a relacao entre as transformadas deLaplace e Z, vista anteriormente: z = esT , onde T e o perıodo de amostra-gem. Com isto o eixo imaginario seria mapeado na circunferencia unitaria,e o semi-plano esquerdo seria mapeado no cırculo unitario, reforcando aindamais o entendimento do resultado acima.

✲

✻

σ

jω

✲

✻

u

jvPlano s Plano z✲z = esT

Se o campo contınuo possui os criterios de Routh e o de Hurwitz paraverificar se os polos estao na regiao permitida, o campo discreto pode usar ocriterio de Jury, com a mesma finalidade.

7.5.6 Pequena pausa. . .

. . . para analisar o que temos visto ate este ponto neste campo discreto.Nosso objetivo primordial tem sido, como sempre, o de ser capazes de preversaıdas de operadores submetidos a entradas quaiquer. Eis um inventariocomentado dos principais metodos vistos.

Soma de Superposicao, se o operador em questao e linear: funciona bem,mas e um metodo aberto, razoavelmente trabalhoso, devemos verificara linearidade do operador e precisamos conhecer h(k,m), a resposta aoimpulso, o que implica em ensaios de identificacao.

Soma de Convolucao, se o operador em questao e linear e invariante notempo: funciona bem, mas tambem e um metodo aberto, trabalhoso,devemos verificar, alem da linearidade do operador, a sua invarianciano tempo e precisamos conhecer h(k−m), a resposta ao impulso, o queimplica em ensaios preliminares.

Funcao de transferencia, se o operador em questao e linear e invarianteno tempo: talvez o metodo mais comodo, pois fornece a resposta emforma fechada, e de maneira simples, mas requer a verificacao da li-nearidade e da invariancia no tempo; exige o conhecimento de H(z),que pode ser obtido a partir da resposta ao impulso, ou por meio deresposta em frequencia.

202

Todos estes metodos se restringem ao caso linear. Haveria algum tipo demodelo matematico mais geral, que pudesse ser aplicado a operadores naolineares? Na realidade esta pergunta pode — e deve! — ser ainda maisabrangente: por que limitar o campo aos operadores, ou seja, aos sistemasrelaxados? como encontrar modelos que tratem do caso mais geral de siste-mas discretos nao necessariamente relaxados?

7.6 Sistemas Discretos

Ate este ponto apenas os sistema relaxados foram vistos, embora tenhamsido raramente mencionados de modo explıcito, sempre se escondiam atrasdos operadores, seus dignos e eficientes modelos matematicos. A partir deagora cai a restricao de relaxamento, e podemos nos dedicar ao caso maisgeral de condicoes iniciais nao nulas.

7.6.1 Um sistema discreto real

Nas primeiras paginas, ja remotas, usamos como exemplo de sistema discretouma caderneta de poupanca:

✲

✻✲ entrada (deposito)

✲ saıda (saldo)

Este e um exemplo qualitativo, onde o ponto principal e indicar a naturezadiscreta do problema: as informacoes sao importantes apenas em determina-dos instantes do tempo (uma vez por mes para este caso). A grande maioriadas aplicacoes financeiras pode ser modelada desta maneira discreta. Vamosolhar este sistema mais de perto, para tentar compreender mais profunda-mente o seu comportamento. Hora de colocar alguma matematica nele. Paraorganizar nosso conhecimento sobre o sistema, sejam a entrada u e a saıda ydefinidas por

u(k)→ depositos durante o mes k y(k)→ saldo ao final do mes k

Note que os depositos podem ser positivos (depositos propriamente ditos)ou negativos (saques). Como funciona este sistema? Facil, o saldo atual eobtido somando ao saldo anterior os depositos de ultimo mes mais os juros:

y(k) = y(k − 1) + u(k) +J

100y(k − 1)

onde J e a taxa mensal de juros, fixada pela instituicao. Reoganizando vem

y(k) =(

1 +J

100

)

y(k − 1) + u(k)

203

Esta relacao descreve de maneira completa o comportamento do nossosistema. Ela e chamada de equacao de diferencas. E exatamente este omodelo matematico que andamos procurando para os sistemas discretos.

7.6.2 Equacoes de diferencas

Qual e o objetivo basico do estudo de sistemas? Ser capaz de calcular assaıdas produzidas pelas entradas e pelas condicoes iniciais. Para conseguiristo, o que exatamente devemos conhecer do sistema? que tipo de informacaosobre ele devemos ter? como ela deve ser apresentada?

Ja vimos que a resposta ao impulso pode ser uma solucao, mas ela e li-mitada. Agora temos uma resposta mais geral e abrangente: precisamos daequacao de diferencas que governa o sistema! Conhecendo-a (e sabendo re-solve-la) teremos a capacidade de calcular as saıdas em quaiquer condicoes. Osistema nao precisa mais ser linear, nem invariante no tempo, nem relaxado.

As equacoes a diferencas representam, no campo discreto, o mesmo papelrepresentado no campo contınuo pelas equacoes diferenciais. As equacoes (adiferencas ou diferenciais) sao a melhor e mais completa maneira de expressaro conhecimento que se tem de um dado sistema. Elas devem ser utilizadassempre que possıvel.

A forma geral de uma equacao a diferencas de ordem n e

y(k) = f (y(k − 1), . . . , y(k − n), u(k), . . . , u(k − n), k)

Este e o chamado formato atrasado das equacoes a diferencas, porqueo valor “atual” das grandezas, associado ao instante k, depende dos valoresanteriores k − 1, . . . k − n. Para que haja uma solucao unica para a relacaoacima precisaremos das condicoes iniciais: y(−1), y(−2) . . . y(−n).

Estaremos interessados apenas em um caso particular, as equacoes a di-ferencas lineares e invariantes no tempo — EDLITs. A forma geral de umaequacao de diferencas de ordem n (no formato atrasado) e

y(k) = −a1y(k − 1)− a2y(k − 2)− · · · − any(k − n)+b0u(k) + b1u(k − 1) + · · · + bnu(k − n)

E comum apresentar esta expressao, bem como as condicoes iniciais ne-cessarias, apos um reordenamento:

y(k) + a1y(k − 1) + · · · any(k − n) = b0u(k) + · · · bnu(k − n)

y(−1), y(−2), . . . y(−n)

Para analisar a solucao destas equacoes retomemos o exemplo da cader-neta de poupancas, com depositos mensais de 50 unidades; isto significa que

204

u(k) = 50 1(k). Supondo que as taxas de juros mensais sao de J = 0, 33%,o dinheiro varia de acordo com a equacao

y(k) = 1, 0033y(k − 1) + 50 1(k)

Solucao iterativa das EDLITs

E uma solucao passo a passo, em forma aberta. Escrevemos a equacao basepara valores sucessivos de k, a partir de 0. A primeira etapa e

y(0) = 1, 0033y(−1) + 50

Qual e o significado de y(−1)? E o saldo no mes −1, mas o que querdizer isto? Suponha que o titular da conta recebeu um presente de seupai, 500 “mangos”, e resolveu emprega-los como o deposito inicial (algumasinstituicoes exigem um deposito inicial): y(−1) = 500. E logico que seconsiderassemos y(−1) = 0 e embutıssemos os 500 no primeiro deposito —u(1) = 500 + 50 — as coisas permaneceriam inalteradas. 1

De qualquer modo, para resolver a equacao precisamos conhecer y(−1),a condicao inicial. Usando y(−1) = 500 teremos

y(0) = 551, 65

y(1) = 1, 0033y(0) + 50 = 603, 47

y(2) = 1, 0033y(1) + 50 = 655, 46...

...

Funciona, claro, mas e macante e demorado, pois se trata de uma solucaoem forma aberta. Trabalho tıpico para computadores.

Solucao das EDLITs por transformada Z

Usando a transformada Z e suas propriedades temos

Z{y(k)} = 1, 0033Z{y(k − 1)}+ 50Z{1(k)}

Y (z) = 1, 0033(

z−1Y (z) + y(−1))

+ 50z

z − 1

(

1− 1, 0033z−1)

Y (z) = 1, 0033y(−1) + 50z

z − 1

1Ha ainda uma outra maneira de encarar y(−1): supondo que k = 0 foi escolhido pararepresentar um mes qualquer, nao necessariamente o mes de abertura da conta, entaoy(−1) representa o saldo no mes anterior.

205

Y (z) =(

501, 65 +50z

z − 1

)

1

1− 1, 0033z−1

Y (z) = 551, 65z(z − 0, 91)

(z − 1)(z − 1, 0033)

Y (z) = −15045 z

z − 1+ 15596, 65

z

z − 1, 0033

y(k) = −15045 1(k) + 15596, 65 (1, 0033)k

A forma fechada procurada: maneira comoda e rapida de encontrar osvalores da saıda para instantes genericos.

Funcao de Transferencia a partir das EDLITs

Supondo CIs nulas na forma geral das EDLITs, ou seja: y(−1) = y(−2) =. . . = y(−n) = 0 podemos achar as transformadas:

Y (z)+a1z−1Y (z)+ · · · +anz−nY (z) = b0U(z)+b1z

−1U(z)+ · · ·+bnz−nU(z)

ou entao

(1 + a1z−1 + · · · + anz

−n)Y (z) = (b0 + b1z−1 + · · · + bnz

−n)U(z)

Finalmente:

Y (z) =b0 + b1z

−1 + · · · + bnz−n

1 + a1z−1 + · · · + anz−nU(z)

Equacoes a Diferencas Equivalentes

Seja a equacao na forma atrasada

{

y(k) + a1y(k − 1) + · · · + any(k − n) = b0u(k) + · · · + bnu(k − n)y(−1) = α1, y(−2) = α2, . . . y(−n) = αn

Esta equacao pode ser encarada como uma ferramenta para se obter umasequencia de saıda {y} a partir do conhecimento de uma sequencia de entrada{u} e das CIs. No particular caso de CIs nulas a resolucao da equacao pormeio da transformada Z levaria, conforma ja vimos, a

Y (z) = H(z)U(z) onde H(z) =b0 + b1z

−1 + · · · + bnz−n

1 + a1z−1 + · · · + anz−n

206

Mudando as escalas de tempo tanto de {y} como de {u} e razoavel esperarque tudo permaneca inalterado. Bem, por que “esperar” que nada se altere?Vamos fazer a mudanca e verificar o que acontece. Sejam entao {w} e {v}as sequencias obtidas ao se deslocar {y} e {u}, respectivamente, n instantespara a direita:

{y} → Qn{y} = {w} → w(k) = y(k − n){u} → Qn{u} = {v} → v(k) = u(k − n)

E imediato perceber que a relacao entre estas duas novas sequencias e

{

w(k + n) + a1w(k + n− 1) + · · · + anw(k) = b0v(k + n) + · · · + bnv(k)w(n− 1) = α1, w(n− 2) = α2, . . . w(0) = αn

Esta equacao e chamada de equacao de ordem n no formato adian-tado, por motivos obvios. Percebemos que as condicoes iniciais que aconte-ciam em instantes negativos para k passam a acontecer agora em instantespositivos: w(0);w(1); . . . w(m− 1). Achando as transformadas z e supondoCIs nulas:

znW (z) + a1zn−1W (z) + · · · + anW (z) = b0z

nV (z) + · · · + bnV (z)

donde

W (z) = G(z)V (z) onde G(z) =b0z

n + · · · + bnzn + a1zn−1 + · · · + an

Multiplicando numerador e denominador por z−n concluımos que G(z) =H(z), logo as duas formas sao indistintas, pelo menos no que concerne afuncao de transferencia. A forma avancada apresenta um ponto interessante,suas condicoes iniciais w(0), w(1), . . . w(n−1) acontecem em valores positivosde k, o que e mais natural para sinais unilaterais, e permitem evitar o queacontece no caso atrasado, onde temos y(−1), y(−2), . . . y(−m), ou seja,valores de y em instantes k < 0.

A forma atrasada e normalmente usada em filtros digitais, ao passo quea forma avancada e usada no espaco de estados e em controle digital.

Exemplo 7.6.1 Para a caderneta de poupanca podemos considerar o mesatual como k + 1 e escrever

y(k + 1) = 1, 0033y(k) + u(k)

O calculo de y, iterativo ou por transformada Z, se faria de modo analogoao anterior.

207

7.6.3 Equacoes Dinamicas Discretas

O conceito de estado, com todas as suas vantagens, tambem pode (e deve!)ser definido para os sistemas discretos. A teoria e perfeitamente analoga eleva as seguintes equacoes para um sistema discreto linear e causal:

x(k + 1) = A(k)x(k) +B(k)u(k)y(k) = C(k)x(k) +D(k)u(k)x(k0) = x0

onde x(k) ∈ IRn e um vetor com n componentes, as matrizes tem dimensoescompatıveis, etc. Se o nosso sistema for ainda invariante no tempo:

x(k + 1) = Ax(k) +Bu(k)y(k) = Cx(k) +Du(k)x(k0) = x0

Temos agora equacoes a diferencas e nao diferenciais. A “dinamicidade” estaimplıcita apenas em x(k+1), quando antes estava na derivada x, que mediaas tendencias do sistema. No caso discreto x(k + 1) representa esse papel,mostrando como calcular o proximo estado.

A obtencao das equacoes dinamicas para um sistema descrito por equa-coes a diferencas pode ser ilustrada por um exemplo:

{

y(k + 3)− 3y(k + 2) + 3y(k + 1)− y(k) = u(k)y(0) = α; y(1) = β; y(2) = γ

Como a ordem da equacao e 3 devemos escolher 3 variaveis auxiliares;uma possıvel escolha seria x1(k) = y(k), x2(k) = y(k+1) e x3(k) = y(k+2),que levaria a

x1(k + 1) = y(k + 1) = x2(k)x2(k + 1) = y(k + 2) = x3(k)x3(k + 1) = y(k + 3) = x1(k)− 3x2(k) + 3x3(k) + u(k)

Usando notacao matricial chegamos a

x1(k + 1)x2(k + 2)x3(k + 1)

=

0 1 00 0 11 −3 3

x1(k)x2(k)x3(k)

+

001

u(k)

Chamando de x(k) o vetor acima com componentes xi(k) podemos iden-tificar as matrizes A e B e escrever

x(k + 1) = Ax(k) +Bu(k)y(k) = Cx(k)x(0) = x0

208

onde a matriz e obtida lembrando que y(k) = x1(k), ou seja C = [ 1 0 0 ]e x0 = [ α β γ ]T . Em uma comparacao com o caso contınuo associarıamosx(k + 1) a derivada x(t) o que nos permite notar o importante papel desem-penhado pela forma avancada das equacoes a diferencas: elas permitem umainterpretacao suave do espaco de estados no caso discreto.

Lembremos ainda o conceito de estado: o conhecimento dos valores atuaisdo estado e da entrada — x(k) e u(k) — permite calcular o valor futuro doestado x(k+1). A forma avancada deixa bem clara essa ideia de valor futuro.A solucao para as equacoes dinamicas e obtida mais facilmente do que nocaso contınuo. Vejamos, para comecar, a REN; para isso consideremos aequacao homogenea:

x(k + 1) = Ax(k)y(k) = Cx(k)x(0) = x0

Usando a expressao basica x(k + 1) = Ax(k) repetidas vezes para k =−1, 0, 1, 2, . . . encontrarıamos

x(0) = x0x(1) = Ax(0) = Ax0x(2) = Ax(1) = A2x0x(3) = Ax(2) = A3x0...

Para o instante generico k teremos

x(k) = Akx0 e para a saıda y(k) = CAkx0

que caracterizam a Resposta a entrada nula. Para a REZ, seja o sistemarelaxado

x(k + 1) = Ax(k) +Bu(k)y(k) = Cx(k)x(0) = x0 = 0

Usando a expressao basica x(k+1) = Ax(k)+Bu(k) repetidas vezes parak = −1, 0, 1, 2, . . . percebemos como a solucao para as equacoes dinamicasneste caso discreto pode ser obtida mais facilmente do que no caso contınuo.Vejamos:

x(0) = 0x(1) = Bu(0)x(2) = ABu(0) +Bu(1)x(3) = A2Bu(0) + ABu(1) +Bu(2)

...x(k) = Ak−1Bu(0) + · · · + ABu(k − 2) +Bu(k − 1)

209

Para o instante generico k teremos

x(k) =k−1∑

j=0

Ak−1−jBu(j) e para a saıda y(k) = Ck−1∑

j=0

Ak−1−jBu(j)

Como a solucao completa e a soma da REZ e da REN teremos

x(k) = Akx(0) +k−1∑

j=0

Ak−1−jBu(j)

e para a saıda

y(k) = CAkx(0) + Ck−1∑

j=0

Ak−1−jBu(j)

A facilidade com que se deduz estas expressoes deve ser apontada; nocaso contınuo a tarefa correspondente era bem mais intrincada, lembram?

Estas expressoes, embora importantes, sao expressoes em forma aberta,ou seja, empregando-as para obter a solucao normalmente se encontra seriesdifıceis de exprimir em forma fechada, series onde o computo manual de Ak

se revela uma tarefa longa e/ou entediante. Isto faz com que sua utilidadepratica, principalmente para o calculo das solucoes em instantes elevados dek, dependa da disponibilidade de recursos computacionais. Para obter umasolucao em forma fechada, que possa ser aplicada indistintamente a quaisquervalores de k, o remedio e, novamente, o emprego das transformadas em z.Usando-as na equacao dinamica de estado:

zX(z) − zx(0) = AX(z) +BU(z)

zX(z) −AX(z) = BU(z) + zx(0)

X(z) = (zI −A)−1 [BU(z) + zx(0)]

Entrando agora com a equacao para a saıda y vem

Y (z) = C(zI −A)−1BU(z) + Cz(zI −A)−1x0

Esta e uma expressao em forma fechada que permite a obtencao dasequencia y a partir da sequencia u e das CIs. No caso relaxado, quandox0 = 0, teremos

Y (z) = C(zI − A)−1BU(z)

expressao esta que nos ensina a calcular a matriz de transferancia discretade um sistema discreto descrito por suas equacoes dinamicas.

H(z) = C(zI −A)−1B

210

Exemplo 7.6.2 Para o sistema discreto abaixo calcular y(217) quando aentrada e um degrau unitario.

x(k + 1) =

[

0 11 1

]

x(k) +

[

01

]

u(k); y(k) = [ 1 1 ]x(k)

A aplicacao das formulas abertas gera

x(217) = A217x0 +216∑

j=0

A(216−j)Bu(j)

Supondo CIs nulas a expressao para y fica

y(217) = C216∑

j=0

A(216−j)Bu(j)

Destrinchar isto a mao livre, sem qualquer apoio de bits&bytes domesti-cados e desencorajador . . . A funcao de transferencia, nossa salvacao, e

H(z) = [ 1 1 ]

[

z −1−1 z − 1

]−1 [

01

]

= [ 1 1 ]1

z2 − z − 1

[

z − 1 11 z

] [

01

]

Conhecendo a transformada de u chegamos a

Y (z) = H(z)U(z) =z + 1

z2 − z − 1

z

z − 1

A partir deste ponto o caminho e suave, como voces certamente verifi-carao.

Vimos assim que os sistema contınuos e discretos sao estruturalmentemuito semelhantes. Ambos podem ser representados por uma quadruplade matrizes < A,B,C,D > de dimensoes compatıveis. A partir delas apassagem para uma descricao externa e feita da mesma maneira:

G(ξ) = C(ξI −A)−1B +D

ξ = s −→ caso contınuo

ξ = z −→ caso discreto

O estado incial, no caso discreto, vem multiplacado por z, sendo esta umadiferenca com relacao ao caso contınuo, mas o estudo dos dois campos seguesempre paralelo: tudo que acontece em um encontrara eco no outro. Comoa descricao interna e a mais poderosa percebemos, com um pouquinho deabstracao, que os conceitos de “contınuo” e “discreto” perdem um pouco osignificado. Basta conhecermos as matrizes A,B,C e D e poderemos estudartodas as possıveis propriedades que as interligam sem nos preocuparmos coma natureza dos sistemas sob consideracao.

211

7.7 Realizacoes

Qualquer diagrama de blocos que represente uma funcao de transferenciaH(z) sera chamado de realizacao. Ha varias possıveis maneiras de se rea-lizar uma dada H(z). Na realidade ha infinitas maneiras, vejamos algumasdelas.

Exemplo 7.7.1 Para H(z) = 1/(z2 + z + 1), lembrando a expressao basicaY (z) = H(z)U(z) temos (z2 + z + 1)Y (z) = U(z). A partir daqui e facilescrever uma equacao a diferencas:

{

y(k + 2) + y(k + 1) + y(k) = u(k)y(0) = y(1) = 0

Para encontrar uma equacao dinamica podemos escolher as seguintes va-riaveis de estado:

x1(k) = y(k) → x1(k + 1) = y(k + 1) = x2(k)x2(k) = y(k + 1) → x2(k + 1) = y(k + 2) = −x1(k)− x2(k) + u(k)

Ao inves de exprimir estas equacoes em forma matricial lembremos que ooperador z−1 atrasa de uma unidade as sequencias que o alimentam. Assim,se a sequencia xi(k + 1) for a entrada de um destes blocos, a saıda seraxi(k). Fica facil perceber que as expressoes acima podem ser visualizadaspelo diagrama

✲u(k) x2(k + 1)

z−1 ✲

✲x1(k + 1)

z−1 ✲

✻

❄−−

x1(k)y(k)

x2(k)✲

Este diagrama pode ser refeito:

✲u(k) x2(k + 1)

z−1 ✲ z−1 ✲

✻−

x1(k)y(k)

x2(k)✲

■−

Chegamos a esta realizacao por meio de uma representacao de estadospara a equacao a diferencas. Poder-se-ia demonstrar que a toda realizacaosempre se pode associar uma equacao dinamica, mas isto foge ao escopo destetexto. Em outras palavras, dada uma H(z) se conseguirmos representa-la pormeio de uma equacao dinamica caracterizada pelas matrizes < A,B,C,D >teremos daqui um diagrama de blocos, ou seja, uma realizacao.

212

Exemplo 7.7.2 Seja H(z) = (z2 + 3z + 2)/(z3 − z2/2− z/2). A equacao adiferencas associada e

{

y(k + 3)− 12y(k + 2)− 1

2y(k + 1) = u(k + 2) + 3u(k + 1) + 2u(k)

y(0) = y(1) = 0

Para encontrar uma equacao dinamica podemos escolher as seguintes va-riaveis de estado:

x1(k) = y(k)x2(k) = y(k + 1) + α1u(k)x3(k) = y(k + 2) + α1u(k + 1) + α2u(k)

onde os valores de α1 e α2 seriam calculados de modo a eliminar os termosu(k + 1) e u(k + 2) das expressoes dos xi(k + 1). O resultado final seria

x1(k + 1) = x2(k) + u(k)x2(k + 1) = x3(k) + (7/2) u(k)x3(k + 1) = (1/2) x2(k) + (1/2) x3(k) + (17/4) u(k)

Lembrando que y(k) = x1(k) podemos estabelecer o diagrama

✲u(k)

17/4 ✲ ✲ z−1 ✲ ✲ z−1 ✲ ✲ z−1 ✲x3 x2 x1

1/2 ✛❪

1/2 ✛

✻

7/2

❄

❄

❄

Exemplo 7.7.3 Seja H(z) = (z2 + 3z + 2)/(z3 − z2/2 − z/2), a mesma docaso anterior. Fatorando o numerador e o denominador e expandindo emfracoes parciais temos

Y (z) =(z + 1)(z + 2)

z(z − 1)(z + 1/2)U(z) = −4

zU(z) +

4

z − 1U(z)− 1

z + 0, 5U(z)

Nomeando as parcelas como abaixo podemos escrever

X1(z) = −4U(z)/z ⇒ zX1(z) = −4U(z)X2(z) = 4U(z)/(z − 1) ⇒ (z − 1)X2(z) = 4U(z)X3(z) = −U(z)/(z + 0, 5) ⇒ (z + 0, 5)X3(z) = −U(z)

donde se pode escrever tres equacoes a diferencas:

x1(k + 1) = −4u(k)x2(k + 1)− x2(k) = 4u(k)x3(k + 1) + 0, 5x3(k) = −u(k)

213

Deste ponto a obtencao do diagrama de blocos e imediata:

✲ -4 z−1

✲ 4 ✲ z−1

✲ -1 ✲ z−1

u(k)✲

✲

✻

✻

−

1/2

x1(k)

x2(k)

x3(k)

✲ y(k)✲

✻

✲

❄

Com pratica, este estagio intermediario de se encontrar as variaveis deestado pode ser ignorado. Mas deve-se sempre ter em mente que a cadarealizacao (diagrama de blocos) existe uma equacao dinamica associada.

Exemplo 7.7.4 Seja ainda uma vez H(z) = (z2+3z+2)/(z3−z2/2−z/2),a mesma dos casos anteriores. Multiplicando numerador e denominador porz−3 somos levados a

H(z) =z2 + 3z + 2

z3 − 0, 5z2 − 0, 5z=

z−1 + 3z−2 + 2z−3

1− 0, 5z−1 − 0, 5z−2

Mas Y (z) = H(z)U(z), donde (1−0, 5z−1−0, 5z−2)Y (z) = (z−1+3z−2+2z−3)U(z) e pode-se escrever a equacao a diferencas

y(k) = 0, 5y(k − 1) + 0, 5y(k − 2) + u(k − 1) + 3u(k − 2) + 2u(k − 3)

O valor presente de y depende dos valores passados de u e de y. Ficasimples desenhar o diagrama

z−1

✲ ✲ ✲ ✲

z−1

❄

z−1

❄

z−1

z−1

❄

✲ ✲

✲ ✲

✲

✻

✻ ✻

✲

✛✛

✛

u(k)

u(k − 1)

u(k − 2)

u(k − 3)

0

1

3

2

1

0,5

0,5

y(k)

y(k − 1)

y(k − 2)

❄ ❄✻ ✻

214

Esta realizacao nao e muito economica, pois usa 5 atrasadores unitariosao passo que as anteriores usavam apenas 3. Para consertar esse incomodolancaremos mao de um pequeno truque.

Exemplo 7.7.5 A expressao basica pode ser reescrita como

Y (z) =z−1 + 3z−2 + 2z−3

1− 0, 5z−1 − 0, 5z−2U(z) = (z−1 + 3z−2 + 2z−3)ξ(z)

Isto significa que

Y (z) = (z−1 + 3z−2 + 2z−3)ξ(z)

U(z) = (1− 0, 5z−1 − 0, 5z−2)ξ(z)

e temos duas equacoes a diferencas:

y(k) = ξ(k − 1) + 3ξ(k − 2) + 2ξ(k − 3)

u(k) = ξ(k)− 0, 5ξ(k − 1)− 0, 5ξ(k − 2)

Esta realizacao trabalha com valores passados apenas da variavel ξ e istoexplica porque e mais economica. Seu diagrama:

z−1

✲ ✲ ✲

z−1

❄

z−1

❄

✲

✲ ✲

✲

✻

✻

ξ(k)

ξ(k − 3)

0

1

3

2

✻

0,5✛

✛0,5

✲✛

✲y(k)u(k)

❄✻ ✻

E poderıamos prosseguir nesta batida, procurando e encontrando diferen-tes realizacoes. Qual delas seria a melhor? Difıcil dizer, mas estes exemplossugerem algo: para esta funcao de transferencia, mais de tres atrasadoresunitarios unitarios em uma realizacao configuram um desperdıcio. Em si-tuacoes mais gerais se poderia demonstrar que existe um numero mınimode elementos atrasadores para se construir realizacoes; no caso dos exemploseste numero e 3 e dirıamos que as realizacoes mınimas possuem ordem 3.

215

Muito bem, tudo isto e certamente interessante, mas o que mais ha nasrealizacoes? seriam elas apenas um interessante passatempo matematico?Nao, elas servem tambem a outros propositos. Para captar o sentido fısicodas realizacoes devemos concordar que olhar para uma realizacao e a mesmacoisa que olhar para uma equacao a diferencas, que e a mesma coisa queolhar para uma funcao de transferencia discreta, que e a mesma coisa queolhar para um operador discreto LIT.

realizacao

eq. a diferencas

funcao de transf. discr.

operador discr. LTI

❄

❄

❄✻

✻

✻

Uma realizacao expoe os mecanismos internos de um sistema discreto,tornando explıcita a maneira pela qual ele trata e transforma as sequenciasde entrada em sequencias de saıda. Com isto em mente, e buscando umaanalise mais sutil e profunda, olhemos mais uma vez para o diagrama deuma realizacao, como o seguinte:

z−1

✲

z−1

❄

z−1

❄ ✻

✻

ξ(k)

ξ(k − 1)

ξ(k − 2)

ξ(k − 3)

3

4

✻

0,5

0,5

✲y(k)u(k)

✲

❄✻ ✻

✲

✲

✲✲

✛✛

✛

Suponhamos que cada perıodo discreto corresponde a 1 dia, e que existealguem encarregado da variavel ξ(k). Esta pessoa cuidadosamente armazenavalores passados de ξ. Como existem apenas 3 caixas, pode-se armazenar

216

apenas 3 valores passados de ξ: ontem, anteontem e trasanteontem.Para calcular o valor de hoje de ξ esta pessoa usa o valor de hoje de u,

metade do valor de ontem de ξ e metade do que ξ era anteontem. Esta pessoatambem calcula o valor de y, que afinal de contas e mais importante do queo valor da variavel auxiliar ξ: o valor de hoje de ξ mais o seu valor de ontem,e etc.

Em resumo: todos os dias esta pessoa segue todas as instrucoes do dia-grama, e ao fazer isso a sequencia de saıda y e gerada a partir de u. Qualquerpessoa pode fazer isto, pouca inteligencia e requerida, e nenhuma criativi-dade, apenas a cega obediencia a um conjunto de instrucoes. E eis aqui outramaneira de encarar uma realizacao: um conjunto de instrucoes, uma receitade bolo.

Seguir instrucoes como estas e decerto uma tarefa simples, mas extre-mamente tediosa para seres humanos, porque e algo repetitivo, monotonoe pouca, ou mesmo nenhuma, criatividade esta envolvida. Para felicidadenossa, ha uma ferramenta que se adequa perfeitamente a este tipo de servico. . . qual seria ela? Armazenar valores, somar e multiplicar coisas, obecer ce-gamente um conjunto de instrucao previamente fixadas, execucao sem errosdestas coisas todas . . . qual e a ferramenta?

Sim, computadores digitais! e uma realizacao nada mais e que a estruturabasica de um programa. Agora podemos completar a figura anterior:

realizacao

eq. a diferencas

funcao de transf. discr.

operador discr. LTI

❄

❄

❄✻

✻

✻

programa✲✛✿

✾ ✣

✢

✻

❄

Um sistema discreto sempre pode ser simulado por meio de varios pro-gramas, e isto ajuda a explicar o papel das realizacoes.

7.8 Exercıcios

1. Encontrar expressoes em forma fechada para as seguintes sequencias:

(a) f1(k) =

0 para k < 01 para 0 ≤ k ≤ 100 para 10 < k

217

(b) f2(k) =

0 para k < 66 para 6 ≤ k ≤ 160 para 16 < k

(c) f3(k) =

0 para k < 0k para 0 ≤ k ≤ 100 para 10 < k

2. O sinal contınuo x(t) e um pulso de amplitude 9 e largura 5, 2 aplicadoa partir do instante t = 1, 4. Amostrando esse sinal a cada T unidadesde tempo podemos obter sequencias. Encontrar expressoes em formafechada para os seguintes casos:

(a) f4(k) = x(kT ) onde T = 1

(b) f5(k) = x(kT ) onde T = 2

(c) f6(k) = x(kT ) onde T = 3

(d) f7(k) = x(kT ) onde T = 0, 01

3. O sinal contınuo x(t) e dado por x(t) = t1(t)− t1(t−10). Amostrandoesse sinal a cada T unidades de tempo podemos obter sequencias. En-contrar expressoes em forma fechada para os seguintes casos:

(a) f8(k) = x(kT ) onde T = 0, 01

(b) f9(k) = x(kT ) onde T = 0, 1

(c) f10(k) = x(kT ) onde T = 1

4. Encontrar as transformadas em z para as fi dos exercıcios anteriores,todas as 10.

5. Amostras de um sinal contınuo f(t) sao dadas abaixo. DeterminarF (z).

(a) f(0) = 1

(b) f(T ) = 4, 7

(c) f(2T ) = f(3T ) = 0

(d) f(4T ) = 0, 75

(e) f(5T ) =√2

(f) f(kT ) = 0 ∀k ≥ 5T

6. Um pulso retangular de amplitude 9 e largura 5, 2 comeca a ser aplicadoem t = 1, 4. Determine a transformada z da sequencia resultante deuma amostragem desse sinal quando

(a) fs = 1Hz

218

(b) fs = 0, 5Hz

(c) fs = 3Hz

7. Encontrar as transformadas em z para f(k) = sin(kπ/3) e g(k) =cos(kπ/3). As identidades seguintes podem ser uteis:

sinα =ejα − e−jα

2jcosα =

ejα + e−jα

2

8. O sinal contınuo x(t) e dado por sin(kπ/3). Amostrando esse sinala cada T unidades de tempo podemos obter sequencias. Encontrarexpressoes em forma fechada e as correspondentes transformadas em zpara os seguintes casos:

(a) f11(k) = x(kT ) onde T = 1/6

(b) f12(k) = x(kT ) onde T = 1/12

(c) f13(k) = x(kT ) onde T = 1/24

(d) f14(k) = x(kT ) onde T = 0, 1

(e) f15(k) = x(kT ) onde T = 10

(f) f16(k) = x(kT ) onde T = 100

(g) f17(k) = x(kT ) onde T →∞(h) f17(k) = x(kT ) onde T → 0

9. Uma sequencia f(k) e periodica quando existe um inteiro positivo Ktal que f(k) = f(k+K) ∀k ∈ Z. O menor valor inteiro K que satisfazesta identidade e chamado de perıodo fundamental e recebe o sımboloK0. Mostre que se uma sequencia cos(θk) e periodica entao θ e ummultiplo racional de π (θ = rπ onde r e racional).

10. Mostre que se θ e um multiplo racional de π entao a sequencia cos(θk)e periodica.

11. Encontre um seno ou cosseno nao periodico; plote o grafico para variosvalores de k e convenca-se de que a sequencia nao repete valores.

12. Quais sequencias do exercıcio 8 sao periodicas? quais seus perıodosfundamentais?

13. Encontrar as transformadas em z das sequencias cos(θk) e sin(θk).Olhando para elas, como descobrir se os sinais sao periodicos?

14. Plotar graficos e encontrar as transformadas em z da sequencia cos(θk)quando

219

(a) θ = π/4

(b) θ = π/4 + π/3

(c) θ = π/4 + 2π/3

(d) θ = π/4 + 3π/3

(e) θ = π/4 + 4π/3

(f) θ = π/4 + 5π/3

(g) θ = π/4 + 6π/3

(h) θ = π/4 + 7π/3

15. Determine as sequencias correspondentes a cada uma das transforma-das z abaixo

(a) X(z) = 1 + z−1 + 0, 5z−7

(b) X(z) = 5(1− z−1)(1 + z−3)

(c) X(z) = 6(1− 0, 25z−1)3

(d) X(z) = 10z−1/(1− 0, 5z−1)

(e) X(z) = 10(1− z−1)/[(1− 0, 5z−1)(1− 0, 25z−1)]

16. Determine os cinco primeiros termos das sequencias cujas transforma-das sao

(a) X(z) = (1− 4z−3)/(1− 0, 7z−3)

(b) X(z) = (z + z−3)/(z + z−1)

17. Para a equacao a diferencas abaixo, encontrar os 10 primeiros valoresde y de maneira iterativa, e depois calcular uma expressao em formafechada por meio de transformada em z.

{

y(k + 1) + y(k) = 3−k; k = 0, 1, 2, . . .y(0) = 0

18. Para o sistema governado pela equacao de diferencas abaixo, calculary(k) para u(k) = (−2)k, k > 0 e CI=0

y(k + 2) + 4y(k + 1) + 3y(k) = u(k + 1) + u(k)

19. Usando Transformada z, resolver a equacao abaixo{

y(k + 3) + 6y(k + 2) + 11y(k + 1) + 6y(k) = u(k + 1) + u(k)y(0) = y(1) = y(2) = 0

Considere: a) u(k) = δ(k), b) u(k) = 1(k), c) u(k) = k1(k), d) u(k) =2k1(k).

220

20. Usando Transformada z, resolver a equacao abaixo

y(k + 1) + y(k) = u(k − 2); k = 0, 1, 2, . . .

y(0) = y(1) = y(2) = 1

Considere os casos: a) u(k) = δ(k), b) u(k) = 1(k), c) u(k) = k1(k),d) u(k) = 2k1(k).

21. Em um sistema discreto linear, causal, invariante no tempo e relaxado,a saıda quando a entrada e um delta de Kronecker, u = δ(k), e g(k) =(−1)k1(k):

g(k) =

{

0 para k < 0(−1)k para k ≥ 0

(a) Por meio da somatoria de convolucao calcular sua saıda quandou(k) = k1(k).

(b) Calcular a funcao de transferencia discreta e usar a expressaoY (z) = G(z)U(z) para encontrar a saıda em forma fechada.

(c) Conferir o resultado no MATLAB

22. Determine a funcao de transferencia discreta para cada um dos sistemasabaixo:

(a) y(k)− y(k − 1) = u(k)

(b) y(k)− 2y(k − 1) + y(k − 2) = u(k)

(c) y(k)− y(k − 1) + 0, 16y(k − 2) = u(k) + 2u(k − 1)

(d) y(k) + 0, 6y(k − 1)− 0, 16y(k − 2) = u(k) + 2u(k − 1)

(e) y(k)− 0, 707y(k − 1) + 0, 25y(k − 2) = u(k)

23. Encontrar equacoes dinamicas para os sistemas descritos pelas equacoesa diferencas dos tres ultimos exercıcios.

24. Considere o sistema descrito por

x(k + 1) = Ax(k) =

−1 0 00 −1 01 1 1

x(k) com x(0) =

111

(a) Encontrar x(12)

(b) Encontrar x(9)

(c) Encontrar a solucao em forma fechada para a sequencia x(k) ecomentar sobre ela.

221

25. Um SLIT discreto apresenta a resposta

y(k) =[

1

3(−1)k−2 +

2

32k−2

]

1(k − 2)

quando a condicao inicial e nula e a entrada e

u(k) =[

1

3(−1)k + 2

32k]

1(k)

onde 1(k) denota um degrau unitario discreto.

(a) Determine a funcao de transferencia G(z) para este sistema.

(b) Forneca um diagrama de blocos para esta G(z), usando apenasatrasadores unitarios, somadores e blocos com ganhos constantes.

(c) Encontre uma representacao < A,B,C,D > por variaveis de es-tado que tenha a mesma G(z) calculada no item (a).

(d) Para a representacao encontrada em (c), se o impulso unitario δ(k)ocasiona a saıda y(k) = δ(k − 2) + 7δ(k − 1) + 3δ(k) para algumestado inicial x(0) 6= 0, entao encontre este estado inicial.

26. Dado o sistema discreto x(k + 1) = Ax(k) com

A =

0 1 00 0 1

−f1 2− f2 1− f3

calcular os fi de modo que x(3) = 0 qualquer que seja x(0).

27. Determine os valores de K que garantem estabilidade para os sistemas:

(a) y(k)−Ky(k − 1) +K2y(k − 2) = u(k)

(b) y(k)− 2Ky(k − 1) +K2y(k − 2) = u(k)

(c) y(k)−K2y(k − 2) = u(k)

28. Encontrar realizacoes de pelo menos tres tipos diferentes para a funcaode transferencia do exercıcio 21.

29. Encontrar realizacoes de pelo menos tres tipos diferentes para as se-guintes funcoes de transferencia

(a) z2/(z2 − 2z + 1)

(b) (z2 + 2z)/(z2 + z + 0, 16)

(c) (1− z−1)/(z2 + 3z + 2)

(d) (z + 1)/(1− 2z−1 + z−2)

222

30. Determine a resposta em frequencia para os sistemas definidos por

(a) y(k) = u(k)− u(k − 4)

(b) y(k) = 2u(k) + 4u(k − 1) + 2u(k − 2)

(c) y(k) + 0, 25y(k − 1) = u(k − 1)

31. As equacoes abaixo representam filtros digitais de dois e tres termos,respectivamente

(a) y(kT ) = (1/2)[u(kT ) + u(kT − T )](b) y(kT ) = (1/3)[u(kT ) + u(kT − T ) + u(kT − 2T )]

Determine as funcoes de transferencia e plote os graficos da respostaem frequencia em funcao de r = f/fs no intervalo 0 ≤ f ≤ 0, 5. Emque sentido esses filtros se comportam como integradores?

32. Se no dia primeiro de todos os meses voce deposita religiosamente Mreais em uma caderneta de poupanca a equacao de diferencas abaixorepresenta todas as alquimias financeiras que acontecem com o seudinheirinho:

{

x(k + 1)− (1 + p)x(k) = 3M1(k)x(0) =M

Supondo que correcao monetaria e dividendos permanecam os mesmosno futuro podemos considerar p = 0, 06 (6% por trimestre civil). ParaM = 180:

(a) encontre a expressao para x(k)

(b) calcule x(20) o seu saldo apos 5 anos

223

Capıtulo 8

Conexoes com o mundocontınuo

8.1 Desperdıcio e economia

Os sinais existem para transmitir informacoes, isto e claro. Em algumassituacoes, uma certa quantidade de informacao pode ser transmitida porvarios sinais diferentes, e e razoavel supor que em alguns destes sinais atransmissao e feita com algum desperdıcio, seja em tempo ou em energia.Seria entao util identificar e usar os sinais mais economicos.

A partir de agora passaremos a analisar os sinais com enfase nesses no-vos aspectos de desperdıcio e economia. Como exemplo, consideremos umproblema muito comum, que praticamente todos nos temos que resolver to-dos os dias, e varias vezes em cada dia. Apreciaremos algumas das possıveissolucoes deste problema que e . . . andar.

Sim, andar, o ato de mover pernas e pes com a finalidade de locomovernossos corpos de determinados lugares a outros pontos. Muito mais do quenos aspectos mecanicos e musculares, estaremos interessados em como nossoscerebros se envolvem no processo. Em primeiro lugar dividiremos o problemaem varias possıveis situacoes.

• Praca ampla, clara e plana, com poucas pessoas.O que provavelmente ocorre e o seguinte: por uns 2 ou 3 segundoso cerebro da pessoa se focaliza no problema de andar: ele estabeleceum rumo retilıneo e depois comanda o corpo para executar a tarefa.Nesta segunda parte, o cerebro toma todas as decisoes fisio-mecanicasnecessarias sem a pessoa perceber.

Logo depois o cerebro se ocupa com outras coisas porque, francamente,esta particular caminhada e uma tarefa muito facil. A atencao podeser focalizada em coisas como conversar com um amigo, olhar as outras(poucas) pessoas que passam, apreciar a paisagem, pensar em como e

224

belo e interessante o estudo de Sistemas e Sinais, e em como e prazeirosotrabalhar nele, etc.

Alguns 20 ou 30 segundos depois o cerebro — que estamos supondo serum cerebro sabio — temporariamente interrompe todos estes processosmentais e por 2 ou 3 segundos devota mais uma vez a sua atencao plenaao problema de andar: este e o rumo correto? algum perigo a frente?o plano original pode ser mantido ou deve ser mudado?

Apos esta rapida avaliacao dos parametros novas decisoes (que podemser iguais as antigas) sao tomadas e mais um longo perıodo de outrasatividades pode comecar. E isto se sucede, ate que o objetivo sejaalcancado. Podemos dizer que a distribuicao das ocupacoes cerebraisao longo do tempo e representada pela figura

✲t

❄

2 ou 3

❄

20 ou 30

• Praca ampla, clara e plana, com muitas pessoas.Se o mesmo esquema descrito anteriormente for usado havera um perigogrande de haver muitos choques e encontroes com as (muitas) pessoasindo e vindo. A solucao que cerebros sabios normalmente aplicam e aseguinte: o problema basico continua a ser resolvido nos mesmos 2 ou3 segundos, ele nao mudou, mas o perıodo de devaneios sera reduzidopara 10 ou 20 segundos.

• Trilha estreita nas montanhas, noite escura.Sem comentarios, certo? os mesmos 2 ou 3 segundos de atencao plenaao problema e nao mais do que outros 2 ou 3 segundos para outrascoisas. E olhem so, se a trilha for muito estreita, bem no alto e real-mente perigosa, a atencao do cerebro para o problema de andar serarequisitada de modo contınuo.

Vemos que em algumas situacoes e necessaria uma atencao contınua, oumuito frequente, ao problema, ao passo que em outras instancias uma taldedicacao em “tempo integral” ou “quase integral” seria um desperdıcio epoderıamos compartilhar o tempo com outras tarefas.

A proxima meta e identificar as situacoes nas quais e possıvel dividir otempo em perıodos de atencao focada no problema e perıodos de atencaofocada em outras coisas.

225

8.2 Amostragem Pulsada e Geral

Para estudar a questao abordada acima de uma maneira geral e abstrata,consideremos um sinal contınuo x(t)

✲

✻

x

t

Ha situacoes nas quais um sinal contınuo como este e um desperdıcio?Se sim, e possıvel encontrar substitutos mais economicos? Para comecar atratar destas questoes apresentaremos o conceito de amostragem pulsada.Um pulso de largura ∆ e amplitude unitaria, aplicado a partir da origem edefinido por

p∆(t) =

0 para t < 01 para 0 ≤ t ≤ ∆0 para t < ∆

Um destes pulsos aplicado a partir do instante T e nao da origem, seriadesignado por p∆(t− T ); um trem destes pulsos com perıodo T e dado por

p(t) =∞∑

k=−∞p∆(t− kT ) = . . . p∆(t) + p∆(t− T ) + p∆(t− 2T ) . . .

cujo grafico e

✲t

p(t) =∑

p∆(t− kT )✻

✲✛ ✲✛∆T

1

A amostragem pulsada de um sinal contınuo x(t) e o processo de suamultiplicacao por um trem de pulsos como o acima:

✲ ×✻

✲x(t)

p(t) =∑

p∆(t− kT )

xa(t) = x(t)p(t) → sinal amostrado

226

Uma maneira alternativa de simbolizar a amostragem pulsada e pelouso da Chave Amostradora Ideal ou simplesmente Amostrador Ideal.Trata-se de um dispositivo que pode transmitir integralmente um sinal con-tınuo (dizemos que esta fechada, ou conduzindo, ou transmitindo) ou entaobloquea-lo (dizemos que esta aberta). O sımbolo abaixo designa um amos-trador ideal:

✒

Tx xa

Para substituir a multiplicacao por um trem de pulsos como acima, os a-mostradores funcionam de maneira periodica: permanecem fechados durante∆ unidades de tempo, apresentando como saıda o sinal contınuo de entrada:xa = x; depois permanecem abertos durante T − ∆ unidades de tempo,apresentando saıda nula: xa = 0. E estes ciclos, com perıodo T , vao sesucedendo. O resultado da amostragem pulsada de um sinal contınuo x(t),a saıda xa(t), sera tambem um sinal contınuo. Para o sinal ilustrado acimaterıamos

✲t

xa

✻

✲✛ ✲✛∆T

A pergunta principal a se fazer e: o sinal amostrado xa carrega em sialguma informacao a respeito do sinal original x? Se sim, esta informacao esuficiente para permitir uma recuperacao completa de x a partir de xa?

Para atacar estas questoes trabalharemos em uma situacao mais geral, de-finindoAmostragem Generalizada ou simplesmente Amostragem de umsinal x(t) como sendo a sua multiplicacao por um sinal contınuo e periodicoqualquer, p(t), com perıodo T . A amostragem pulsada vista anteriormentee um caso particular deste ambiente geral. E interessante notar que a mo-dulacao de amplitude para sinais contınuos, muito usada na transmissao porradio, tambem e um caso particular de amostragem. O sinal p(t), periodico,pode ser expresso por sua serie de Fourier:

p(t) =∞∑

k=−∞Pke

j2πkfat

onde fa = 1/T e a frequencia de amostragem e o coeficiente do k-esimo

227

harmonico e dado por

Pk =1

T

∫ T/2

−T/2p(t)e−j2πkfatdt

O sinal amostrado pode entao ser expresso como

xa(t) = x(t)p(t) =∞∑

k=−∞Pkx(t)e

j2πkfat

e sua transformada de Fourier sera

F{xa(t)} = Xa(f) =∫ ∞

−∞xa(t)e

−j2πftdt

=∫ ∞

−∞

∞∑

k=−∞Pkx(t)e

j2πkfat

e−j2πftdt

=∞∑

k=−∞Pk

∫ ∞

−∞x(t)ej2πkfate−j2πftdt

=∞∑

k=−∞Pk

∫ ∞

−∞x(t)e−j2π(f−kfa)tdt

Sendo X(f) a transformada de Fourier de x(t) percebemos que

Xa(f) =∞∑

k=−∞PkX(f − kfa)

= . . . P−1X(f + fa) + P0X(f) + P1X(f − fa) + P2X(f − 2fa) . . .

O espectro do sinal amostrado consiste entao da soma de copias desloca-das (na frequencia) e atenuadas do espectro do sinal original. Para ilustrar,seja um sinal x(t) com espectro de amplitude X(f) dado por

✲

✻

f

X(f)

O grafico de X(f − fa) pode ser obtido deslocando esta curva de faunidades para a direita:

228

✲

✻

f

X(f − fa)

fa

Ja se pode ter uma ideia, pelo menos para este exemplo, de como seria oespectro do sinal amostrado: a soma de todas as parcelas como as esbocadasabaixo

✲

✻

f

Xa(f)

A tarefa parece ingrata e a possibilidade de recuperar informacoes so-bre x(t) a partir de xa(t) ou, equivalentemente, de X(f) a partir de Xa(f),tambem. Para o caso geral a situacao e essa, mas para uma determinadaclasse de sinais as coisas mudam. Diremos que um sinal contınuo e debanda limitada quando a sua transformada de Fourier e nula acima decertas frequencias, ou seja

X(f) = 0 para |f | > fh

Isto significa que o espectro de amplitude de um destes sinais teria oseguinte formato

✲

✻

ffh−fh

X(f)X(f) = 0 para f > fh ou f < −fh

Como em tantas outras situacoes, estes sinais de banda limitada sao abs-tracoes matematicas, entidades estudadas porque apresentam propriedadesatraentes e desejaveis. Mas varios sinais reais e concretos, com grande im-portancia pratica, podem ser muito bem aproximados por sinais de bandalimitada, o que e uma sorte, senao vejamos. Seja x(t) um sinal de bandalimitada que e amostrado com uma frequencia de amostragem fa; vejamos oque acontece ao espectro de xa(t) para tres casos distintos.

229

✲

✻

f

✲

✻

f

✲

✻

ffh fa 2fa

quando fa − fh > fh

fa 2fa

quando fa − fh = fh

fa 2fa

quando fa − fh < fh

E bom prestar atencao nestes graficos, pois eles proporcionam uma de-monstracao, simplificada, do famoso Teorema da Amostragem

Teorema 8.2.1 Um sinal x(t) de banda limitada, com faixa de passagem2fh, pode ser completamente recuperado a partir de uma amostragem xa(t)efetuada com um frequencia constante e uniforme fa desde que

fa > 2fh

Eis aı. Um dos resultados mais importantes do pedaco. A mensagem finaldo teorema e, no fundo, aquilo que nossas intuicoes ja pressentiam: quantomaior a taxa de amostragem, mais seguro o procedimento todo. No limite,quando fa cresce muito, temos perıodos de amostragem muito pequenos, eo sinal xa(t) e praticamente identico ao sinal original x(t), como se podever facilmente na amostragem pulsada. Isto tambem concorda com nossasintuicoes.

O mais interessante e deixar a taxa de amostragem cair. Ate onde sepode ir sem perigo? Resposta: ate 2fh, abaixo disto os problemas aparecem.Este valor 2fh, alias, recebe o nome de taxa ou frequencia de Nyquist.

Quando um sinal de banda limitada e amostrado com uma frequenciaadequada, um simples filtro passa-baixas permite a sua recuperacao a partirda amostra. Os efeitos de amostragens com frequencias baixas, ou entao deamostragens de sinais de banda nao limitada serao vistos oportunamente.

8.3 Amostragem Pulsada, Impulsiva e Ins-

tantanea

Retomemos a ideia de amostragem pulsada. Dado um sinal x(t), como oilustrado anteriormente, o resultado de uma amostragem com perıodo T , es-

230

colhido de modo a satisfazer o teorema da amostragem, e duracao de amostra∆, ja apresentada, e aqui repetida

✲t

xa

✻

✲✛ ✲✛∆T

A energia do sinal amostrado xa, medida pela area sob seu grafico, emenor do que energia do sinal original x(t), como se percebe visualmente, eisto pode ser muito vantajoso em varias situacoes. Um ponto interessantepode ser levantado: no que toca ao teorema da amostragem, a largura dospulsos do sinal amostrador e irrelevante, e assim, se diminuirmos o valorde ∆ a energia de xa diminui mais ainda, e isto nao afeta a recuperacao deinformacoes, que depende apenas do perıodo de amostragem T . Podemos atemesmo pensar em um caso limite, quando ∆ → 0. A largura das amostrasseria tao pequena que cada amostra seria apenas um numero real, e o sinalamostrado seria uma sequencia:

✲t

xa passa a ser uma sequencia

✻

✲✛T

Esta situacao e chamada de Amostragem Instantanea ou Ideal: dadoum sinal contınuo x(t) o seu resultado e um sinal discreto, uma sequencia de-finida por xa(k) = x(kT ). Se o teorema da amostragem e satisfeito, terıamosum sinal discreto capaz de substituir um sinal contınuo.

Sinal contınuo x(t) −→ sinal discreto {xa} dado por xa(k) = x(kT )

Esta ideia de amostragem instantanea e muito atraente, permite que umasequencia represente um sinal contınuo, desde que a frequencia de amostra-gem seja adequada. Mas, infelizmente, uma analise mais profunda revela queos dispositivos praticos teriam enormes dificuldades para gerar amostragensmuito estreitas; e e facil ver isto, pois quando ∆ → 0 a energia do sinal xatambem tende a zero, ou seja o amostrador bloqueia completamente o sinal.

231

Mas algo pode ser feito. Se a altura A dos pulsos do sinal amostradornao mais sao unitarias, mas crescem quando eles ficam estreitos, ou seja, seimpomos A = 1/∆, o resultado do processo de limite e um trem de impulsosunitarios

✲t

p(t) =∑

δ(t− kT )✻

✲✛T

1✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻✻

E esta configurada a amostragem impulsiva: a multiplicacao de umsinal contınuo x(t) por um trem de impulsos unitarios igualmente espacados

xa(t) = x(t)p(t)

= x(t)∞∑

k=−∞δ(t− kT )

=∞∑

k=−∞x(t)δ(t− kT )

=∞∑

k=−∞x(kT )δ(t− kT )

Por incrıvel que pareca este sinal xa(t) e contınuo e pode ser representadograficamente como uma sucessao de impulsos cujas amplitudes dependem dosvalores de x(t) nos instantes de amostragem:

✲t

xa e um sinal contınuo

✻

✲✛T

✻

✻

✻

✻

✻

✻ ✻

Impulsos sao idealizacoes muito comodas, pois permitem o estabeleci-mento de propriedades importantes. Em amostradores reais usarıamos pul-sos estreitos, que aproximam bastante bem a situacao ideal. O importante eperceber que a amostragem impulsiva gera um sinal contınuo xa(t) que cor-responde perfeitamente a sequencia xa(k) = x(kT ) resultante da amostragem

232

instantanea. Encontrando a transformada de Laplace:

L{xa(t)} =∫ ∞

0−

∞∑

k=0

x(kT )δ(t− kT )e−stdt

=∞∑

k=0

x(kT )∫ ∞

0−δ(t− kT )e−stdt

=∞∑

k=0

x(kT )e−kTs

O sinal discreto correspondente e, como visto acima, a sequencia {xa} ={x(kT )} para a qual podemos encontrar a transformada em z:

Z{xa} =∞∑

k=0

x(kT )z−k

A transformada de Laplace e a transformada em z de sinais correspon-dentes, comparando-as podemos estabelecer a seguinte ligacao

z−k ←→ e−kTs

ou seja:

z ←→ esT ou, equivalentemente s←→ 1

Tln z

Isto nos permitiria passar do campo contınuo ao discreto, e vice-versa,com uma simples troca de variaveis:

L{xa} = Z{xa}|z=esT e Z{xa} = L{xa}|s= 1Tln z

Ou seja, dado um sinal contınuo, atraves da transformada de Laplace desua amostragem impulsiva e imediato obter a transformada em z de umaamostra instantanea, com perıodo T , deste sinal. E vice-versa. A relacaoentre as variaveis s e z pode ser estudada mais profundamente:

s = σ + jω ∈ C ⇒ z ↔ esT = eσT ejωT ∈ C ⇒

|z| = eσT

6 z = ωT

Fixando σ = 0 e deixando ω variar de −∞ a ∞ o complexo s = jωpercorre o eixo imaginario do plano s, fronteira importante entre as regioesestavel e instavel. E facil verificar que a regiao correspondente do plano zsera dada por z = ejωT . Ou seja, o eixo imaginario do plano s e mapeado nacircunferencia de raio unitario e centrada na origem do plano z.

233

✲

✻

σ

jω

✲

✻

u

jvPlano s Plano z✲z = esT

O estudo da estabilidade dos operadores discretos pode ser muito bene-ficiado por esta correspondencia: o semiplano esquerdo do plano s seria ma-peado no interior da circunferencia acima, indicando que a regiao “estavel”para os operadores discretos e o cırculo, ou disco de raio unitario e centradona origem. Outra aplicacao interessante refere-se a amostragem de sinaissenoidais. Seja o sinal senoidal

x1(t) = sen (ω0t), com perıodo T0 =2π

ω0e f0 =

1

T0=ω0

2π

Este sinal e caracterizado pelos polos de sua transformada de Laplace, ospontos ±jω0, no eixo imaginario. Discretizando este sinal por meio de umaamostragem instantanea de perıodo Ta obterıamos a sequencia

{xa} definida por xa(k) = x1(kTa) = sen (ω0Tak)

cuja transformada em z, designada por Xa(z) e caracterizada pelos pontosejω0Ta e e−jω0Ta , complexos conjugados na circunferencia de raio unitario.Para estabelecer este fato basta analisar a expressao

Xa(z) =z sen θ0

z2 − 2 cos θ0z + 1=

z sen θ0(z − cos θ0 − j sen θ0)(z − cos θ0 + j sen θ0)

onde θ0 = ω0Ta. Para um valor fixo de ω0, se Ta for muito pequeno, ou,equivalentemente, a frequencia de amostragem fa for muito alta, os pontose±jω0Ta tendem ao ponto ej0 = 1, a extremidade mais a direita da circun-ferencia. Para amostragens menos seguras, ou seja, quando a frequencia facai e o perıodo Ta aumenta, estes pontos migram para a esquerda da circun-ferencia. Ate onde? Pelo teorema da Amostragem, o processo e seguro se esomente se

fa > 2f0 ⇐⇒1

Ta>ω0

π⇐⇒ θ0 = ω0Ta < π

O limite das amostragens seguras e entao o ponto ejπ, a extremidade maisa esquerda da circunferancia.

Seja agora outro sinal x2(t) = sen (ω0 + ωa)t, com ωa = 2π/Ta. Estasenoide tem frequencia mais alta que a do sinal anterior. Supondo que usamosuma amostragem segura para x1, os leitores sao convidados a encontrar aposicao no plano z dos pontos que caracterizam a sequencia {x2} definidapor x2(k) = x2(kTa). Nao apenas a encontrar estas posicoes, mas tambem,e principalmente, a interpretar estes resultados.

234

Considere os complexos s1 = σ+jω e s2 = σ+j(ω+ωa) onde ωa = 2π/Ta.Achando os correspondentes no plano z:

s1 = σ + jω ←→ z1 = eσTaejωTa

s2 = σ + j(ω + ωa) ←→ z2 = eσTaej(ω+ωa)Ta = eσTaej(ωTa+2π) = z1

Simples, e mostra que o plano s pode ser dividido em fatias horizontais delargura ωa, das quais as duas adjacentes, que se ligam pelo eixo real, formamo que se poderia chamar de faixa basica: pontos de outras fatias semprecoincidirao com imagens de pontos da faixa basica.

✲

✻jω

σ

2ωa

ωa

−ωa

−2ωa

8.4 Aspectos Importantes da Amostragem

A ideia e relacionar propriedades do sinal contınuo x(t) e do sinal discretoxa(k) = x(kT ) e descobrir como estas propriedades dependem da frequenciade amostragem fa = 1/T . A sequencia xa(k) = x(kT ) e chamada de dis-cretizacao com perıodo T do sinal x(t), ou seja, e o resultado de umaamostragem instantanea de x(t).

A amostragem instantanea tem uma importancia teorica grande, poisassocia a um sinal x(t) uma sequencia, funcionando assim como canal deligacao entre os mundos contınuo e discreto. Mas e bom deixar claro quea amostragem instantanea e um recurso abstrato, um artifıcio para facilitaras coisas, e que para estabelecer formalmente alguns resultados e necessariousar os conceitos de amostragem impulsiva. A secao anterior mostra comoestas amostragens (a instantanea e a impulsiva) produzem resultados corres-pondentes, e assim vamos la, comecando por encontrar a serie de Fourier dotrem de impulsos:

p(t) =∞∑

k=−∞Pke

j2πkfat onde Pk =∫ T/2

−T/2δ(t)e−j2πkfatdt =

1

T= fa

o que permitiria a obtencao da transformada de Fourier do sinal xa(t), re-sultado da amostragem impulsiva de x(t), e que, lembremos, e um sinal

235

contınuo, por estranho que possa parecer. Sendo X(f) a transformada deFourier de x(t), chegarıamos a

Xa(f) = fa∞∑

k=−∞X(f − kfa)

ou seja, copias identicas do espectro de x(t) multiplicadas por fa e espacadasentre si por fa. Supondo que o sinal original e de banda limitada e que ataxa fa foi bem escolhida teremos

✲

✻

ffh fa 2fa

fa

✲

✻

fh

1

f

X(f) Xa(f)

O metodo de recuperacao do sinal original x(t) a partir das amostrascontidas em xa(t) salta aos olhos: basta um filtro passa-baixas com frequenciade corte entre fh e fa − fh.

✲×x(t)✲

xa(t)filtro ✲

x(t)

✻

p(t) =∑

δ(t− kT )

✲

✻

ffc

1/fa

fh < fc < fa − fh

Os efeitos de uma amostragem com baixa frequencia, inferior a de Ny-quist, ficam claros. Para o sinal acima terıamos

✲

✻

f

fa

✲

✻

fh

1

f

X(f) Xa(f)

fa < 2fh

Apos o filtro passa-baixas de recuperacao obterıamos um sinal com es-pectro do tipo

✲

✻

f

fa Xa(f)

Este fenomeno causado por frequencias de amostragem muito baixas echamado de “aliasing” e indica serias dificuldades e mesmo impossibilidadespara se recuperar o sinal original a partir das amostras. Para a visualizacaodeste efeito no domınio do tempo consideremos o grafico de um sinal contınuoe o de sua discretizacao (amostragem instantanea) feita com taxa segura:

236

✲t

✻x(t)

✲k

✻xa(k)

As amostras estao proximas umas das outras e permitem uma facil re-construcao do sinal. Isto pode ser feito ate mesmo de maneira grafica, unindoamostras consecutivas por segmentos de retas e assim gerando reconstituicoesaproximadas mas razoaveis. Ja quando a amostragem e insuficiente terıamospoucas amostras, e muito espacadas entre si:

✲t

✻x(t)

✲k

✻xa(k)

Muitas opcoes poderiam servir, com escolher uma dentre elas? A amos-tragem de senoides fornece outra ilustracao simples e direta. A partir dosinal x1(t) = senω0t, usando como taxa o limite inferior de segurancaTa = π/ω0 = T0/2 capturarıamos apenas os pontos onde a curva se anula, ouseja, xa(k) = 0 ∀k.

8.5 Sinais quantizados e digitais

Consideremos uma aplicacao f entre os conjuntos D e C:

f : D −→ C

Quando o domınio D e o contradomınio C forem o conjunto IR dos reaisteremos um sinal contınuo que, como ja vimos, pode ser representado pelossımbolos {f(t) | t ∈ IR} ou entao {f(t)} ou ainda f(t). Quando o domınio De o conjunto ZZ dos inteiros e C = IR temos as sequencias ou sinais discretos,simbolizadas por {f(k) | k ∈ ZZ} ou entao {f(k)} ou ainda f(k).

Diremos que um sinal, contınuo ou discreto, e quantizado quando x(t)(ou x(k), conforme o caso) nao mais e livre para assumir qualquer possıvelvalor real, ficando restrito a apenas um numero finito de valores admissıveis.Para tornar essa ideia mais rigorosa definiremos um conjunto Q de n numerosreais:

Q = {qi ∈ IR | i = 0, 1, . . . n− 1} = {q0, q1, . . . qn−1} ⊂ IR

Os reais qi sao chamados de valores ou nıveis de quantizacao. Umsinal e quantizado quando o contradomınio C e o conjunto Q, e as possibili-

237

dades de interesse sao

f : IR −→ Q ou f : ZZ −→ Q

os sinais quantizados contınuos e quantizados discretos. Uma ilustracao paraos primeiros e

✲

✻

t

sinal quantizadoq5

q1

Pode-se dizer que o eixo vertical e “discretizado”. Na figura acima pode-mos identificar 6 valores ou nıveis de quantizacao, desigualmente espacados,e sendo o primeiros deles a origem: q0 = 0, q1, . . . q5. E importante per-ceber que um sinal quantizado como este e um sinal contınuo constante porpartes. Para um sinal discreto e quantizado o eixo horizontal tambem seriadiscretizado e apenas pontos da grade resultante podem pertencer ao grafico.

✲

✻

k

q5

q1

1 2

Nas aplicacoes praticas os nıveis de quantizacao sao igualmente espacados:

q0, q1 = q0 + h, q2 = q0 + 2h, · · · qn−1 = q0 + (n− 1)h

onde h e o intervalo de quantizacao. A distancia Aq = qn−1−q0 entre os nıveissuperior e inferior de quantizacao e chamada de alcance da quantizacao.E imediato notar que Aq = (n − 1)h. Muitas vezes se deseja saber quantosnıveis de quantizacao sao necessarios para cobrir um dado alcance Aq comum intervalo h; a aritmetica envolvida e trivial: n = 1 + Aq/h.

Dizemos que um sinal contınuo e quantizado xq(t) e uma aproximacaoquantizada de um sinal contınuo x(t) quando o sinal de erro e(t) = x(t) −xq(t) e adequadamente “pequeno”. Existem varios criterios matematicospara indicar a “pequenez” de sinais, mas neste ponto apelaremos para aintuicao dos leitores: um sinal e(t) sera “pequeno” quando estiver sempreproximo de zero, ou entao, quando sua integral ao longo do tempo for umnumero real pequeno.

Chamaremos de quantizador um sistema contınuo que fornece comosaıda uma aproximacao quantizada para a entrada. Muitos instrumentosmodernos podem ser encarados como quantizadores. Imaginemos, por exem-plo, um voltımetro cujo funcionamento seja descrito pela tabela seguinte,

238

onde na coluna da esquerda aparecem os intervalos de tensoes, em volts, enas colunas da direita os nıveis de quantizacao e as leituras do mostrador:

intervalo nıvel leitura

0.00 ≤ x < 0.20 0 0.100.20 ≤ x < 0.40 1 0.300.40 ≤ x < 0.60 2 0.500.60 ≤ x < 0.80 3 0.70

......

Como a largura de cada faixa de quantizacao e de 0.20V e como associ-amos a cada um destes intervalos o seu valor medio percebemos que o erromaximo em cada leitura sera de 0.10V. Se a cada faixa associassemos umvalor de leitura igual a um dos extremos (superior ou inferior) do intervalo,qual seria o erro maximo possıvel em cada leitura?

Deve estar claro que para diminuir o erro maximo admissıvel em cadaleitura devemos usar intervalos de quantizacao estreitos: h e pequeno. Maspara isto deveremos ser capazes de lidar com um numero elevado de nıveisde quantizacao: n e alto. Quando o alcance do sinal que se quer medir foralto isto pode nao ser muito simples, ou barato.

Supondo que a tensao que se quer medir e representada pelo sinal contınuoabaixo, o instrumento deve ser considerado como um quantizador, e o resul-tado sera

✲

✻

✲

✻

Muitas pessoas acham que sinais discretos sao importantes porque sao osunicos sinais aceitos por computadores digitais. Isto esta errado! Compu-tadores digitais nao trabalham com sinais discretos, nem muito menos comsinais contınuos. Computadores digitais aceitam, entendem e trabalham comsinais digitais.

Um sinal digital e, por definicao, um sinal ao mesmo tempo discreto,quantizado e codificado. Quando associamos a cada um dos nıveis de quan-tizacao um numero binario temos um sinal codificado. Pronto, estamoschegando, estes sinais codificados podem ser entendidos por computadoresdigitais.

239

nıvel valor codigo

0 0.100 V 0001 0.300 V 0012 0.500 V 010...

......

8.6 Conversao de sinais

Para digitalizar um sinal contınuo, ou, o que vem a dar no mesmo, paraprepara-lo para o computador, uma sequencia de operacoes devem ser fei-tas: a amostragem (para discretiza-lo), a quantizacao (para quantiza-lo) e acodificacao. Os digitalizadores sao chamados de Conversores A/D e seuesquema basico e

✲Amostrador ✲Quantizador ✲Codificador ✲x(t) x(k) xq(k) xd

contınuo

✻

discreto

✻

quantizado discreto

✻

digital

✻

Na conversao A/D o estagio de amostragem pode ser tornado isento deerros, desde que o sinal contınuo seja de banda limitada e a frequencia deamostragem seja adequada. O estagio de codificacao tampouco contaminao sinal, ja que consiste em uma simples atribuicao de valores binarios aosnıveis de quantizacao. Quantizacao, eis o estagio onde sao introduzidos oserros inevitaveis do processo de conversao.

Deste modo, para analisar os erros da digitalizacao a primeira perguntaa encarar e a seguinte: de quantos nıveis de quantizacao precisamos? Emuito facil perceber que, quanto maior o numero destes nıveis (ou, equi-valentemente, quanto menor a largura dos intervalos h) menores os errosintroduzidos pelo processo. Ou seja, quanto mais nıveis houver, melhor. Oexemplo abaixo, onde quantizamos um sinal contınuo com 3 ou com 7 nıveis,permite a visualizacao deste fato:

240

✲

✻

✲

✻

✲

✻

Nas aplicacoes praticas o numero de nıveis de quantizacao e sempre umapotencia de 2:

2 ou 4 ou 8 ou 16 ou · · · 2n

As razoes para isto sao obvias: o comprimento das palavras dos computa-dores. O numero de bits usado em cada palavra (byte) e, via de regra, umapotencia de 2. Assim, em um computador com palavra de 4 bits terıamos osseguintes nıveis de quantizacao:

q0 = 0000q1 = 0001q2 = 0010q3 = 0011q4 = 0100q6 = 0101q6 = 0110q7 = 0111

E um sinal digital e um sinal discreto que assume, em cada instantediscreto k um dos valores qi acima.

Outro estagio importante dos conversores A/D e o amostrador. O dispo-sitivo fısico normalmente utilizado para amostrar o sinal contınuo e chamadode Amostrador-Bloquador de Ordem Zero ou ABOZ. A terminologiaem lıngua inglesa e Sample and Hold; Algumas vezes, com um certo abuso,este amostrador-bloqueador e chamado apenas de Bloquador de OrdemZero — BOZ — ou, em ingles, Zero Order Holder ou ZOH. Mais adi-ante notaremos a diferenca entre um BOZ e um ABOZ. Um sistema destes(ABOZ) admite como entrada um sinal contınuo x(t), e sua saıda permanececonstante durante intervalos de tempo de largura T . Mais especificamente,durante o intervalo entre kT e (k + 1)T , para qualquer valor inteiro de k, asaıda do BOZ vale x(kT ), o valor da entrada no inıcio do intervalo.

241

✲

✻x(t)

t✲

✻xa(t)

t

✲ BOZx(t) ✲xa(t)

E interessante notar que os bloqueadores de ordem zero nao produzemamostragens instantaneas ou impulsivas. Suas saıdas, pelo contrario, saosinais contınuos. Mas estes sinais xa(t) sao sinais contınuos muito especiais,eles sao constantes durante todos os intervalos de amostragem, e podem sermuito bem representados pelas sequencias x(kT ).

Por que as letras A e D no nome Conversores A/D? O D e explicadofacilmente, vem de digital, claro, a qualidade dos sinais de saıda. Que dizerdo A? Vamos la.

Muitas vezes sinais contınuos sao usados para ilustrar a variacao de gran-dezas fısicas ao longo do tempo. Vamos supor, por exemplo, que a posicaode um dado corpo pode ser medida pela sua abscissa p com relacao a umdado referencial; se conhecermos o valor de p para todos os instantes t deinteresse, ou seja, se conhecermos a funcao p(t), estaremos satisfeitos. Oconhecimento desta funcao pode ser obtido pela aplicacao das leis da Fısica,mais especificamente as leis da Mecanica. Podemos tambem medir a posicaodo corpo por meio de um instrumento qualquer, ha varios instrumentos devarios tipos capazes de tal tarefa. Usando por exemplo um transdutor eletro-mecanico terıamos como saıda uma tensao eletrica x que varia com o tempo,fornecendo um sinal x(t). Se o transdutor estiver bem calibrado e fornecendoresultados confiaveis o grafico do sinal de medida x(t) sera identico ao graficodo sinal “real” p(t). Este termo “identico” deve ser entendido da seguintemaneira: as escalas podem ser diferentes, e a natureza fısica das grandezasenvolvidas tambem, mas o formato das curvas deve ser o mesmo.

Se, por outro lado, medirmos a posicao do corpo usando um instrumentodigital, e analisarmos o sinal digital que representa a grandeza p encontrare-mos uma sequencia de bytes que variam ao longo do tempo. O grafico destesinal em funcao do tempo, supondo que fosse possıvel plota-lo, nada teria deparecido ou semelhante ao grafico de p(t). Ou seja, um sinal contınuo e certa-mente semelhante, analogo a um sinal “real” por ele representado, o que naoocorre com sinais digitais. Assim, sinais contınuos sao muitas vezes chamadosde sinais analogos. Ou pelo menos deveriam ser, se a traducao do termoingles analog tivesse sido bem feita originalmente. Mas em Portugues a de-nominacao sinais analogicos e dominante. Em resumo, os sinais contınuos

242

sao muitas vezes chamados de analogicos, o que explica letra A.

Um Conversor D/A efetuaria a passagem inversa, de um sinal digi-tal para outro contınuo. O circuito esquematizado abaixo seria capaz deuma tarefa como essa. Ele e baseado em um amplificador operacional, cujofuncionamento supoe-se conhecido pelos leitores. As chaves mostradas saocomandadas por variaveis binarias (bits) xi da seguinte maneira: quandoxi = 0 a chave se conecta ao terminal da esquerda, e quando xi = 1 ao dadireita.

❄

x0

E

❄

x2

4R

❄

x1

2R

❄

x4

16R

❄

x3

8R

10V-10V

e

R

A tensao de saıda e(t) sera dada por

e(t) = −(

x1R

2R+ x2

R

4R+ x3

R

8R+ x4

R

16R

)

E

e(t) = −(

x12−1 + x22

−2 + x32−3 + x42

−4)

E

A tensao E e obtida da seguinte maneira: se x0 = 0 entao E = 10V, sex0 = 1 entao E = - 10V. Por esta razao a variavel x0 e chamada de bit dosinal. Se, durante um determinado perıodo de amostragem a palavra enviadacomo saıda pelo computador e X = x0x1x2x3x4 o conversor DA gerara umatensao que se mantera constante no intervalo:

X = 10101 : e = −(0× 2−1 + 1× 2−2 + 0× 2−3 + 1× 2−4)(−10) = 3.125X = 11011 : e = −(1× 2−1 + 0× 2−2 + 1× 2−3 + 1× 2−4)(−10) = 6.875X = 11111 : e = −(1× 2−1 + 1× 2−2 + 1× 2−3 + 1× 2−4)(−10) = 9.375X = 01111 : e = −(1× 2−1 + 1× 2−2 + 1× 2−3 + 1× 2−4)(10) = −9.375

O sinal de saıda do conversor DA e portanto contınuo e quantizado e podeser aplicado diretamente a sistemas contınuos.

243

✲ D/A ✲

✲ digital

contınuo quantizado

✻

✲

Conversores A/D e D/A encontram-se normalmente integrados nas cha-madas placas de aquisicao de dados ou placas de conversao AD –DA.

8.7 Uso de Sistemas Discretos

Voltemos a atencao, por alguns instantes, para duas situacoes da vida realonde sistemas contınuos sao usados. A primeira delas envolve uma cadeia detransmissao e recepcao de sinais por meio de ondas de radio. Se for usada amodulacao de amplitude o esquema resultante e, como ja vimos, representadopor

✲Modulador ✲ Filtro ✲✲

Transmissor Receptor

Tudo esta pronto, exceto o filtro do receptor. Seu projetista coleta osdados globais necessarios, a banda de passagem, etc, e seu resultado final esempre algo do tipo:

O filtro desejado deve ter a resposta ao impulso h(t)

ou entao

O filtro desejado deve ter a funcao de transferencia H(s).

A outra situacao mencionada refere-se a um sistema, caracterizado pelafuncao de transferencia G(s), com caracterısticas indesejadas que devem sermodificadas. Como fazer? Essa e uma longa e maravilhosa historia que podeestar comecando agora para os leitores afortunados, e que pode prosseguirpor vidas afora. Deixando de fora os excitantes detalhes, quase sempre asboas solucoes envolvem a construcao de um sistema chamado compensadorque deve ser conectado ao sistema original de acordo com o esquema seguinte.

✲ ✲ C(s) ✲ G(s) ✲

✻-

A tarefa do especialista em Controle e determinar as caracterısticas docompensador necessario e seu resiltado final sera, quase sempre, algo do tipo:

244

O compensador desejado deve ter a resposta ao impulso c(t)

ou entao

O compensador desejado deve ter a funcao de transferencia C(s).

Estas situacoes sao semelhantes, pois o primeiro passo de projeto requera construcao de um sistema que apresente uma certa funcao de transferanciadesejada H(s). Como se pode conseguir isso?

Neste ponto entra o engenheiro de circuitos que sabe muito bem comoresolver este tipo de problema. Dada a tal H(s) ele lanca mao de resistorese/ou capacitores e/ou indutores e/ou transformadores e/ou amplificadoresoperacionais e/ou o que mais houver no seu almoxarifado que seja necessario,faz com estes ingredientes e com as receitas normais do seu ramo uma sabiapocao e voila, temos pronto um sistema real e concreto, uma “caixa” cheiade componentes, um dispositivo fısico cujo comportamento e muito proximoao comportamento modelado por G(s) e de devera ser usada na solucao doproblema real original.

dispositivo fısico comportamento muito similar a H(s)

Durante muitos anos as coisas funcionavam dessa maneira. E ainda fun-cionam, mas nao mais em todas as ocasioes, pois agora entra em cena umnovo personagem. Uma questao muito natural e: ao inves de usar os tipos decomponentes acima listados e separados por todos aqueles e/ous, para sin-tetizar uma dada H(s), seria possıvel usar outras coisas? Os computadoresdigitais sao, a cada minuto, mais poderosos e baratos; poderıamos usa-los?Raciocinemos. Temos uma situacao contınua, modelada por um sistema quetransforma uma dada entrada u(t) em uma saıda y(t).

✲u(t)

Sist. Contınuo ✲y(t)

✲

✻

✲

✻

Um computador digital lida com sinais digitais, claro, mas como vimosanteriormente, todo o material de sinais e sistemas discretos pode ser usado.para facilitar o seu estudo. Em outras palavras, um computador digital,quando nos abstraımos de alguns detalhes, pode ser encarado como um sis-tema discreto, o que conduz a pergunta: dado um sistema contınuo, existiriaum sistema discreto tal que quando excitado pela sequencia resultante daamostragem da entrada contınua u(t), sua saıda fosse a sequencia resultanteda amostragem da saıda contınua y(t)?

245

✲u(kT)

Sist. Discreto ✲y(kT)

✲

✻

✲

✻

Se tal sistema existir, sera ele tambem linear quando o sistema contınuofor? Se sim, qual seria sua funcao de transferencia Hd(z)? Deve ficar claroque a existencia de tal versao discreta para H(s) e extremamente desejavelporque possibilita o uso de computadores digitais para sintetizar funcoes detransferencia contınuas. Abrem-se os campos, vastos, novos e importantes,de filtros digitais e controle digital; estamos comecando a arranhar sua su-perfıcie.

8.7.1 Substitutos Discretos

O problema basico, apresentado acima, e: dado um sistema contınuo en-contrar, se existir, um sistema discreto que, quando alimentado com umaamostragem da entrada do SC fornece como saıda uma amostragem da saıdado SC. Sendo H(s) o modelo do sistema contınuo podemos tentar um pri-meiro palpite: sera que

Hd(z) = H(s)|s=z

se qualifica como substituto discreto? Para facilitar a analise, sendo o sistemacontınuo um integrador o sistema discreto descrito por

Hd(z) =1

s

∣

∣

∣

∣

s=z=

1

z= z−1

integra as sequencias que lhe sao aplicadas como entradas? Ou seja, quandou = 1(k) a saıda correspondente sera y = k 1(k)? E claro que z−1 nao cumpreesta tarefa, pois este sistema atrasa unitariamente qualquer sequencia deentrada. Continuamos no mercado, buscando um bom substituto discreto.

Lembremos a secao sobre amostragem, quando se deduziu a relacao fun-damental entre os campos contınuo e discreto, sintetizada das expressoes

z = esT ou, equivalentemente s =1

Tln z

Daqui podemos deduzir o Substituto Discreto Ideal:

Hd(z) = H(s)|s= 1

Tln z

Mas isto acarreta problemas: a funcao de transferencia discreta nao eracional, e uma funcao intratavel de z. A partir desta constatacao somosforcados a procurar os chamados Substitutos Discretos Aproximados.Vamos comecar com uma classe importante de sistemas, os integradores.

246

8.7.2 Integracao numerica

Tambem chamada de integracao discreta. Para a integracao contınua temosH(s) = 1/s ou

✲u(·) ∫ ✲

y(·)Y (s) = H(s)U(s) H(s) = 1

s

Como sempre, a integral pode ser associada a area sob a curva da entrada.

✲

✻

τ

y(t)

t

u

y(t) =∫ t0 u(τ)dτ

Amostrando o sinal u com perıodo T temos a entrada para o substitutodiscreto.

✲

✻

τ

u

✲u(kT )

? ✲y(kT )

T kT. . .

Dada a sequencia {u(kT )} gostarıamos de encontrar a sequencia de saıda{y(kT )} de tal modo que

y(kT ) =∫ kT

0u(τ)dτ

onde u(τ) e o sinal contınuo que gera {u(kT )}. Podemos trivialmente de-compor a integral em

y(kT ) =∫ kT−T

0u(τ)dτ +

∫ kT

kT−Tu(τ)dτ = y(kT − T ) + ∆

onde ∆ e a area sob a curva de u(τ) entre o k-esimo instante de amostrageme o instante anterior. Expressando ∆ em termos de y e de u encontraremosuma equacao de diferencas que representa a integracao discreta. Existemvarias possıveis maneiras de escolher tal aproximacao para ∆, analisaremosapenas tres dentre as mais comumente usadas.

Integracao retangular: ∆ = Tu(kT − T )Por motivos obvios este metodo e chamado de integracao retangular, ouentao metodo de Euler atrasado.

247

✲

✻

τ

Integracao Retangular

metodo “‘Backward Euler”’

kTkT − T

u(kT )

A equacao de diferencas fica

y(kT ) = y(kT − T ) + Tu(kT − T )

Achando as transformadas

Y (z) = z−1Y (z) + Tz−1U(z) =⇒ Y (z) =Tz−1

1− z−1U(z)

donde se calcula a funcao de transferencia do integrador discreto

Hd(z) =Tz−1

1− z−1= T

1

z − 1

Este metodo produz uma aproximacao boa e rapida. Um diagrama deblocos para representar o algoritmo e

✲u(k)

T ✲ ✲ z−1 ✲y(k)

✻

+

−

Integracao retangular: ∆ = Tu(kT )

Este metodo tambem e chamado de metodo de Euler avancado.

✲

✻

τ

Integracao Retangular

metodo “‘Forward Euler”’

kTkT − T

u(kT )


y(kT ) = y(kT − T ) + Tu(kT )


Y (z) = z−1Y (z) + TU(z) =⇒ Y (z) =T

1− z−1U(z)


Hd(z) =T

1− z−1= T

z

z − 1

248

Este metodo tambem produz uma aproximacao boa, e tao rapida quantoa outra. Um diagrama de blocos para representar o algoritmo e

✲u(k)

T ✲

z−1

✲y(k)

✻

+

−

Integracao trapezoidal: ∆ = T (u(kT − T ) + u(kT ))/2

Ao inves de retangulos, um trapezio fornece uma aproximacao claramentemelhor; este metodo e chamado de metodo de Newton-Raphson.

✲

✻

τ

Integracao Trapezoidal

metodo “Newton-Raphson”

kTkT − T

u(kT )


y(kT ) = y(kT − T ) + T

2u(kT ) +

T

2u(kT − T )


Y (z) = z−1Y (z) +T

2U(z) +

T

2z−1U(z) =⇒ Y (z) =

T

2

1 + z−1

1− z−1U(z)


Hd(z) =T

2

1 + z−1

1− z−1=T

2

z + 1

z − 1

Este metodo produz uma aproximacao melhor que as outras, porem emais lento, pois um numero maior de operacoes tem de ser feito. Quando otempo nao e crucial, como por exemplo em processamento “off line” ele deveser escolhido. Um diagrama de blocos para representar o algoritmo e

✲u(k)

✲

z−1

y(k)

✻ ✻❄

✲T/2 ✲

8.7.3 Subtitutos discretos aproximados

Encontramos substitutos discretos para os sistemas mais simples, os integra-dores. Que dizer de outros sistemas menos triviais, que acontece no casogeral?

249

Exemplo 8.7.1 Seja um sistema linear invariante no tempo caracterizadopelos modelos abaixo

H(s) =1

s + a=⇒ (s+ a)Y (s) = U(s) =⇒ y(t) + ay(t) = u(t)

Este modelo pode ser visualizado por meio do diagrama

✲u(t)

∫ ✲y(t)

a ✛

✻–✲

Este diagrama de blocos e uma realizacao para o modelo contınuo, ondea integracao inerente ao processo original esta enfatizada. Mas ja sabemoscomo substituir integradores contınuos! Usando, por exemplo, o metodo tra-pezoidal.

✲U(z)

✲Y (z)

a

✻–T2z+1z−1

✲

✛

A funcao de transferencia global ficaria . . .Esta aproximacao e tao boa quanto a aproximacao usada para o integra-

dor.

No caso geral, qual seria um “bom” substituto discreto para uma dadaH(s)? Gostarıamos de um sistema discreto Hd(z) que imitasse o comporta-mento de H(s) com tanta fidelidade quanto possıvel. A solucao ideal ja econhecida:

Hi(z) = H(s)|s= 1Tln z

Infelizmente esta e uma expressao selvagem e intratavel de z e temosque nos contentar com aproximacoes. Supondo que temos uma aproximacao,quao boa e ela? quao bem Hd(z) cumpre seu papel de substituto? quaoproximo esta da solucao ideal Hi(z)?

250

Capıtulo 9

Horizonte de tempo finito

9.1 Introducao

Uma grande parcela dos fenomenos de interesse pratico tem inıcio e fim bemconhecidos e determinados: comecam em um dado instante t0 e terminamem t0 + T0. A sua duracao, ou horizonte de tempo, ou janela de observacaoe, portanto, de largura finita igual a T0.

Em algumas situacoes podemos estar interessados em algo que comecaem um instante preciso t0 e evolui indefinidamente. A janela de observacaoseria [t0 ∞) e os sinais unilaterais (contınuos ou discretos) seriam utilizados.O uso de sinais bilaterais ou eternos, conforme ja mencionado anteriormente,tem aplicacoes quase que exclusivamente teoricas. Neste capıtulo estudare-mos sinais de largura finita, especialmente os discretos.

9.2 Series temporais

Um sinal discreto unilateral pode ser representado pela sequencia

{x(k)} = x(0), x(1), x(2), . . . x(k) . . .

ou entao, usando uma notacao mais compacta:

{xk} = x0, x1, x2, . . . xk . . .

Uma sequencia com um numero finito de termos e muitas vezes chamadade Serie Temporal, ou de largura finita, ou simplesmente finita. Umaserie temporal com N termos, ou de comprimento N , seria entao:

{x(k)}N = x(0), x(1), x(2), . . . x(N − 1)

Muitas vezes e interessante deixar o ındice k variar de 1 a N . A serietemporal seria representada por

{x(k)}N = = x(1), x(2), x(3), . . . x(N)

251

ou entao, quando nao for necessario especificar a largura N do sinal,

{xk} = x1, x2, x3, . . . xN

A notacao matricial tambem pode ser usada, e uma serie temporal seriaassociada a uma matriz com uma unica linha linha

{xk}N ←→ x = [ x1 x2 · · · xk · · · xN ]

Esta notacao e muito comoda e sera usada sempre que possıvel. E utillembrar que xT pode ser considerado um vetor do IRN . Nem seria precisodizer, mas N e um inteiro positivo, par na maior parte das aplicacoes e,muitas vezes, uma potencia de 2: N = 2ρ.

As series temporais de interesse serao obtidas pela amostragem de sinaiscontınuos. Sendo a(t) um destes sinais terıamos

x1 = x(1) = a(t1) · · · xk = x(k) = a(tk) · · · xN = x(N) = a(tN )

onde os instantes de amostragem {tk}N sao, em geral, igualmente espacados.A distancia entre eles — o perıodo de amostragem Ta — deve ser bem esco-lhida, e a janela de observacao tn − t1 deve ser suficientemente ampla paracapturar todas as peculiaridades do sinal.

9.3 Primeiras operacoes

O material do inıcio desta secao e muito simples, uma aplicacao direta dosconceitos basicos da Algebra Linear. Sejam as series temporais {f}N e {g}Ne suas representacoes matriciais:

f = [ f1 f2 · · · fk · · · fN ] e g = [ g1 g2 · · · gk · · · gN ]

A soma das series temporais f e g, denotada por f + g, sera

f + g = [ f1 + g1 f2 + g2 · · · fk + gk · · · fN + gN ]

A multiplicacao por uma constante real α da serie temporal f ,denotada por αf , sera

αf = [ αf1 αf2 · · · αfk · · · αfN ]

A diferenca entre as series temporais f e g, denotada por f − g, sera

f − g = f + (−1)g = [ f1 − g1 f2 − g2 · · · fk − gk · · · fN − gN ]

O produto escalar entre as series temporais f e g, denotado por f · g,e o real obtido por

f · g =N∑

i=1

figi = f1g1 + f2g2 + · · · + fkgk + · · · + fNgN = fgT = gfT

252

A energia de um sinal finito f e dada por

E = f · f = ffT = f 21 + f 2

2 + · · · + f 2N =

N∑

i=1

f 2i

A energia de um sinal nao trivialmente nulo, de acordo com a definicaoacima, e um real sempre positivo. Se a serie temporal possuir elementoscomplexos, como algumas vezes acontecera, o conceito de energia deve seradaptado: E = f · f = ff ∗ onde f ∗ e o conjugado transposto de f .

Os sinais elementares, tambem conhecidos como base natural saodefinidos como

e01 = [ 1 0 0 · · · 0 ]

e02 = [ 0 1 0 · · · 0 ]...

e0N = [ 0 0 0 · · · 1 ]

E trivial verificar que um sinal qualquer pode ser decomposto como

f = [ f1 f2 · · · fk · · · fN ]

= f1[ 1 0 0 · · · 0 ] + · · ·+ fN [ 0 0 0 · · · 1 ]

= f1e01 + f2e

02 + · · ·+ fNe

0N

no que e chamado de Expansao natural do sinal f .A convolucao linear entre as series temporais f e g, denotada por

f ∗ g = c, tem o seu termo geral dado por

ck =N∑

i=1

figk−i = f1gk−1 + f2gk−2 + · · ·+ fNgk−N

Analisando esta expressao algo salta aos olhos: os elementos do sinal gpodem aparecer com ındices nulos ou negativos! Para efeito da convolucaolinear, sempre que k − i ≤ 0 deve-se usar gk−i = 0.

Para entender melhor este procedimento devemos encarar uma serie tem-poral qualquer [ x1 x2 · · · xN ] como uma janela de comprimento N extraıdade uma particular sequencia bilateral {xk}:

✲k

✻

x1

k0

x2

x3

· · ·xN

k0+N−1

253

E facil perceber que xk = 0 para k < k0 e tambem para k > k0 +N − 1.Como, sem perda de generalidade, k0 pode ser considerado igual a 1 fica claroque ındices fora do intervalo [ 1 N ] acarretam valores nulos.

Exemplo 9.3.1 Para os sinais f = [ 3 2 1 ] e g = [ 1 0 1 ], sendof ∗ g = c teremos

c1 = f1g0 + f2g−1 + f3g−2 = (3)(0) + (2)(0) + (1)(0) = 0

c2 = f1g1 + f2g0 + f3g−1 = (3)(1) + (2)(0) + (1)(0) = 3

c3 = f1g2 + f2g1 + f3g0 = (3)(0) + (2)(1) + (1)(0) = 2

A tendencia natural seria parar por aqui, mas os calculos podem prosse-guir, desde que facamos gk−i = 0 sempre que k − i > 3.

c4 = f1g3 + f2g2 + f3g1 = (3)(1) + (2)(0) + (1)(1) = 4

c5 = f1g4 + f2g3 + f3g2 = (3)(0) + (2)(1) + (1)(0) = 2

c6 = f1g5 + f2g4 + f3g3 = (3)(0) + (2)(0) + (1)(1) = 1

Para k > 6 terıamos ck = 0, pois todos os ındices de g excedem o inter-valo, e assim a convolucao linear e a serie temporal c = [ 0 3 2 4 2 1 ].

Este exemplo ilustra o fato de que a convolucao linear de duas sequenciasde largura N pode ter outra largura! Talvez por este motivo a convolucaolinear tem a sua importancia um pouco afetada no estudo das sequenciasfinitas. Em seu lugar entra a convolucao circular.

A convolucao circular entre as series temporais f e g, denotada porf ∗©g = c, tem o seu termo geral dado por

ck =N∑

i=1

figk−i = f1gk−1 + f2gk−2 + · · ·+ fNgk−N

Esta definicao e identica a anterior! Verdade, a diferenca esta na inter-pretacao dos ındices fora do intervalo 1 · · · N . Para a convolucao circulardeve-se usar xk = xN−k para os ındices negativos, e xN+k = xk para os ındicessuperiores a N .

Para entender melhor esta regra devemos encarar uma serie temporalqualquer [ x1 x2 · · · xN ] como uma janela de comprimento N extraıda deuma sequencia bilateral periodica, com perıodo N :

✲k

✻

· · ·

x1

k0

x2

x3

· · ·xN

k0+N−1

· · ·

254

Exemplo 9.3.2 Para os mesmos sinais f = [ 3 2 1 ] e g = [ 1 0 1 ],sendo f ∗©g = c teremos

c1 = f1g0 + f2g−1 + f3g−2 = (3)(1) + (2)(0) + (1)(1) = 4

c2 = f1g1 + f2g0 + f3g−1 = (3)(1) + (2)(1) + (1)(0) = 5

c3 = f1g2 + f2g1 + f3g0 = (3)(0) + (2)(1) + (1)(1) = 3

c4 = f1g3 + f2g2 + f3g1 = (3)(1) + (2)(0) + (1)(1) = 4

c5 = f1g4 + f2g3 + f3g2 = (3)(1) + (2)(1) + (1)(0) = 5

c6 = f1g5 + f2g4 + f3g3 = (3)(0) + (2)(1) + (1)(1) = 3...

Este procedimento, se continuado, da origem a uma sequencia periodicacom perıodo 3.

A convolucao circular associa a duas series temporais de largura N outraserie temporal de mesma largura. Em uma visao mais rigorosa haveria apenassequencias bilaterais e periodicas em jogo, e uma serie temporal seria apenasum nome dado a perıodos extraıdos destes sinais.

Deve ter ficado claro que, no caso geral, f ∗ g 6= f ∗©g. O estudo decondicoes sob as quais os dois tipos de convolucao se equivalem e util emalguns problemas praticos. A tecnica conhecida como zero padding consisteem dobrar o comprimento de uma serie temporal qualquer adicionando zerosem uma de suas extremidades.

Exemplo 9.3.3 Adicionando zeros aos sinais anteriores temos novos sinais,f = [ 3 2 1 0 0 0 ] e g = [ 1 0 1 0 0 0 ], donde f ∗©g = c sera

c1 = f1g0 + f2g−1 + f3g−2 + 0 = (3)(0) + (2)(0) + (1)(0) = 0

c2 = f1g1 + f2g0 + f3g−1 + 0 = (3)(1) + (2)(0) + (1)(0) = 3

c3 = f1g2 + f2g1 + f3g0 + 0 = (3)(0) + (2)(1) + (1)(0) = 2

c4 = f1g3 + f2g2 + f3g1 + 0 = (3)(1) + (2)(0) + (1)(1) = 4

c5 = f1g4 + f2g3 + f3g2 + 0 = (3)(0) + (2)(1) + (1)(1) = 2

c6 = f1g5 + f2g4 + f3g3 + 0 = (3)(0) + (2)(0) + (1)(1) = 1

Comparando este resultado com o do exemplo 9.3.1 vemos que, pelo menospara estes sinais particulares, f ∗ g = f ∗©g.

Sem qualquer demonstracao formal aceitaremos o fato de que ao duplicara largura de series temporais com zeros nas extremidades obtemos sequenciasfinitas para as quais as duas convolucoes se equivalem.

255

9.4 Transformada de Fourier Discreta

No caso contınuo podemos descrever um sinal x(t) no domınio do tempo,como bem se viu. Podemos tambem faze-lo no donınio das frequencias, porintermedio da transformada de Fourier, que permite a decomposicao do si-nal em senoides elementares. Ainda no domınio do tempo, a transformadade Laplace resolve algumas inconsistencias da transformada de Fourier, e etambem considerada uma ferramenta frequencial. As interpretacoes em ter-mos de senoides aparentemente se perdem, mas usando o truque de considerars = jω pode-se recuperar algo do sentido fısico perdido.

No caso discreto ja se estabeleceu claramente que a transformada em zseria o correspondente discreto da transformada de Laplace, o que deixa umaespecie de vazio, uma sensacao de estar faltando algo para ocupar o lugar datransformada de Fourier.

Definicao 9.4.1 A transformada de Fourier Discreta, TFD, de umaserie temporal {xk} de largura N e a serie temporal {Xn}, tambem de larguraN , cujo termo geral e

Xn =N∑

k=1

xke−j2π(n−1)(k−1)/N n = 1, 2, . . . N

Para enfatizar que esta definicao se aplica para series temporais de com-primento N usa-se algumas vezes a seguinte notacao:

TFD{xk}N = D{xk}N = {Xn}NSob um ponto de vista mais abstrato a transformada de Fourier discreta

pode ser vista como um mapa que associa ao vetor [ x1 x2 · · · xk · · · xN ]de elementos normalmente (mas nao necessariamente) reais um outro vetor[ X1 X2 · · · Xn · · · XN ] de elementos complexos. Em sımbolos:

D : CN −→ CN

xT 7→ XT

As intrepretacoes familiares em termos de senoides, conteudo frequencial,espectros, etc, ainda nao estao aparentes. A sigla encontrada nos textos delıngua inglesa e DFT.

Exemplo 9.4.1 Para a serie temporal x = [ 3 2 1 ] a definicao de TFDleva a seguinte formula para o termo geral

Xn =3∑

k=1

xke−j2π(n−1)(k−1)/3

= x1e−j2π(n−1)0/3 + x2e

−j2π(n−1)1/3 + x3e−j2π(n−1)2/3

= x1 + x2e−j(n−1)2π/3 + x3e

−j(n−1)4π/3

256

Os elementos do vetor X serao

X1 = x1 + x2 + x3 = 6

X2 = x1 + x2e−j2π/3 + x3e

−j4π/3 = (3− j√3)/2

X3 = x1 + x2e−j4π/3 + x3e

−j8π/3 = (3 + j√3)/2

Neste ponto poderıamos apresentar a TFD de x de uma forma abstrata,como X = [ X1 X2 X3 ], ou entao de uma forma mais fısica, por meio dosespectros de amplitude e fase:

|X1| = 6 |X2| = |X3| =√3 6 X1 = 0 6 X2 = −π/3 6 X3 = π/3

Os espectros de amplitude sao tradicionalmente representados por funcoespares, ou seja, cujos graficos apresentam metades simetricas com relacao aoeixo vertical; os espectros de fase sao tradicionalmente representados porfuncoes ımpares. Para que os valores acima se enquadrem nesse espırito elesdevem ser plotados na ordem 3 1 2.

✲n

✻|X(n)|

3 2✲

n

✻6 X(n)

3

2

A mudanca na ordem dos ındices vista acima deve ser encarada comnaturalidade, pois a TFD de uma serie temporal e na realidade uma sequenciabilateral periodica da qual se extrai um perıodo, e e claro que o ponto a partirdo qual se comeca a contar este perıodo e irrelevante.

A adaptacao dos espectros da TFD aos padroes costumeiros pode sertornada automatica se se convencionar uma escolha simetrica para os ındices,com valores positivos, negativas e nulos. Uma serie temporal de largura 3,por exemplo, seria denotada por [ x−1 x0 x1 ]. Se a definicao da TFDfosse adaptada a esse criterio, os espectros seriam obtidos diretamente naforma padrao. O problema, facil de prever, seriam as series com um numeropar de termos . . . A postura normal e manter a notacao e a definicao comoapresentadas (ou, as vezes, fazendo os ındices variarem de 0 a N − 1) eentender que os resultados precisam ser manipulados se se desejar formatospadronizados.

Exemplo 9.4.2 No exemplo anterior a TFD da serie temporal [ 3 2 1 ]era calculada. Apos a aplicacao da formula basica os elementos do vetor Xeram dados por

X1 = x1 + x2 + x3

X2 = x1 + x2e−j2π/3 + x3e

−j4π/3

X3 = x1 + x2e−j4π/3 + x3e

−j8π/3

257

Usando notacao matricial para estas relacoes temos

X1

X2

X3

=

1 1 11 e−j2π/3 e−j4π/3

1 e−j4π/3 e−j8π/3

x1x2x3

de onde se conclui, trivialmente, que

x1x2x3

=

1 1 11 e−j2π/3 e−j4π/3

1 e−j4π/3 e−j8π/3

−1

X1

X2

X3

ou, entao, desenvolvendo a inversa,

x1x2x3

=1

3

1 1 11 ej2π/3 ej4π/3

1 ej4π/3 ej8π/3

X1

X2

X3

Isto permite escrever as expressoes para os elementos xk da serie temporaloriginal em funcao dos elementos Xn da sua TFD:

x1 = (X1 +X2 +X3)/3

x2 = (X1 +X2ej2π/3 +X3e

j4π/3)/3

x3 = (X1 +X2ej4π/3 +X3e

j8π/3)/3

Hora de encarar o problema geral da transformada de Fourier dis-creta inversa, ou TFDI: conhecendo os elementos Xn da TFD de umaserie temporal x qualquer, como recuperar os elementos xk originais? Emsımbolos, sendo X = D(x) como definir a antitransformada D−1 tal quex = D−1(X)?

O exemplo acima pode servir de guia para um desenvolvimento mais geral,que levaria a seguinte expressao

xk =1

N

N∑

n=1

Xnej2π(n−1)(k−1)/N k = 1, 2, . . . N

Esta expressao recebe o nome, obvio, de transformada de Fourier discretainversa. Esta formula pode ser encontrada de forma diversa na literatura,com ındices definidos de modo diferente e variando entre intervalos distin-tos (mas sempre de largura N). Os comentarios ja feitos paragrafos acimaexplicam essas filigranas.

Exemplo 9.4.3 Considere a sequencia x = [ 10 −3 13 −6 13 −3 ]. Ocalculo de sua TFD (facam, leitores!) levaria aX = [ 24 0 −6 48 −6 0 ].

258

A formula da TFDI leva a

xk =1

6

6∑

n=1

Xnej2π(k−1)(n−1)/6

=1

6

[

X1 +X3ej(k−1)2π/3 +X4e

j(k−1)π +X5ej(k−1)4π/3

]

= 4− ej(k−1)2π/3 + 8ej(k−1)π − ej(k−1)4π/3

A aplicacao da identidade de Euler e de um algebrismozinho trabalhosoconduziria a

xk = 5 + 8 cos(k − 1)π − cos(k − 1)2π/3− 2 cos2(k − 1)2π/3

A substituicao dos valores k = 1, 2, . . . 6 levaria aos xk originais, comoos leitores verificarao. O fato interessante a guardar deste exemplo e a possi-bilidade de se obter uma formula, uma expressao geral que permite o calculode cada um dos elementos originais.

Quando uma sequencia x e fornecida de maneira numerica, por meio deuma matriz com elementos reais, nada faria supor que houvesse algum tipode relacao entre seus componentes, que eles pudessem estar vinculados pormeio de uma expressao. O desenvolvimento do exemplo anterior mostrouque e possıvel encontrar expressoes fechadas para relacionar os elementos deseries temporais aparentemente “aleatorias”.

Analisando a expressao de definicao da transformada de Fourier inversae facil verificar que

x∗k =1

N

N∑

n=1

X∗ne

−j2π(n−1)(k−1)/N k = 1, 2, . . . N

onde o sımbolo v∗ denota o complexo conjugado do escalar v, ou entao,quando v e um vetor, o seu complexo conjugado transposto. Esta ultimaequacao e, a menos da divisao por N , identica a definicao da TFD da serietemporal X∗, donde concluimos que

TFD{X∗n} = Nx∗k

Isto acarreta uma significativa economia de recursos numericos, pois ummesmo algoritmo pode ser utilizado para o calculo da transformada direta eda inversa:

xk ✲ ALGORITMO ✲ Xn✲ X∗

n

xk ✛ Nx∗k ✛ ALGORITMO ✛

259

9.4.1 Uma Aplicacao

Seja p(t) um sinal contınuo e periodico com perıodo T0. A expansao destesinal em serie de Fourier e dada por

p(t) =∞∑

n=−∞P (n)ej2πnf0t

onde f0 = 1/T0 e a frequencia fundamental e os coeficientes formam umasequencia bilateral com termo generico dado por

P (n) =1

T0

∫

T0

p(t)e−j2πnf0tdt n = · · · − 2,−1, 0, 1, 2, 3, · · ·

onde a integracao e feita ao longo de um perıodo qualquer. Seja x(t) outrosinal contınuo identico a p em um dado perıodo e nulo fora deste intervalo

x(t) =

0 para t < 0p(t) para 0 ≤ t ≤ T00 para t > T0

E costume dizer que um sinal x(t) como este e o resultado da aplicacao deuma janela de observacao com largura T0 ao sinal p(t). Tomemos agoraN amostras igualmente espacadas do sinal x(t); elas formam a serie temporalx0, x1, . . . xN−1. Fazendo as amostras extremas corresponderem aos instantest = 0 e t = T0 teremos o espacamento entre elas dado por ∆ = T0/(N − 1):

✲

✻

T0

✲∆✛

x0 = x(0)x1 = x(∆)

. . .xk = x(k∆)

. . .xN−1 = x(T0)

Voltemos a expressao de P (n), o coeficiente do n-esimo harmonico dosinal p(t); ele pode ser obtido efetuando a integracao em [0, T0], mas nesteintervalo os sinais x(t) e p(t) coincidem, logo

P (n) =1

T0

∫

T0

p(t)e−j2πnf0tdt

=1

T0

∫ T0

0x(t)e−j2πnf0tdt

Esta integral pode ser aproximada pela soma da area de retangulos:

P (n) =1

T0

∫ T0

0x(t)e−j2πnf0tdt

≈ 1

T0

N−1∑

k=0

x(k∆)e−j2πnf0k∆∆

260

Mas f0∆ = 1/(N − 1) e, quando o numero de amostras e suficientementegrande, como em geral ocorre, teremos f0∆ ≈ 1/N , donde

P (n) ≈ ∆

T0

N−1∑

k=0

x(k∆)e−j2πnk/(N−1)

≈ 1

N − 1

N−1∑

k=0

xke−j2πnk/N ≈ D{xk}

N

Vemos assim que a TFD ajuda a aproximar o calculo dos coeficientes daserie de Fourier.

9.5 Propriedades da TFD

A semelhanca com o que ocorre em outras transformadas e grande.

9.5.1 Linearidade

Sendo x e y duas sequencias quaisquer cujas TFDs sao, respectivamente, Xe Y entao, para quaisquer escalares α e β,

D {αx+ βy} = αD {x}+ βD{y} = αX + βY

9.5.2 Convolucao circular

Sendo x e y duas sequencias quaisquer cujas TFDs sao, respectivamente, Xe Y , seja c a convolucao circular entre elas, c = x ∗©y, com TFD igual a C.Entao

Cn =XnYn ∀n = 1, 0, . . . N

9.5.3 Multiplicacao

Sendo x e y duas sequencias quaisquer cujas TFDs sao, respectivamente, Xe Y , seja c = [ c1 c2 · · · cN ] onde ck = xkyk ∀k = 1, 2, . . . N . Entao

Cn =1

N(Xn ∗©Yn) ∀n = 1, 0, . . . N

9.5.4 Teorema de Parseval

Amenos da multiplicacao por uma constante, a energia de uma serie temporale preservada pela TFD:

N∑

k=1

|xk|2 =N∑

n=1

|Xn|2

261

9.6 Aspectos computacionais

A expressao basica para a TFD, e tambem para a TFDI, desde que se facamas adaptacoes triviais, e

Xn =N∑

k=1

xke−j2π(n−1)(k−1)/N

Ja deve estar claro que, a menos que N seja muito pequeno, as contasenvolvidas certamente requerem um computador. Vejamos o trabalho asso-ciado ao calculo de um unico ponto.

Xn = x1 + x2e−j2π(n−1)/N + · · · + xNe

−j2π(n−1)(N−1)/N

Embora a maioria dos sinais de interesse seja real devemos consideraro caso geral de elementos xk complexos pois isto permite que a expressaotambem pode ser usada na transformada inversa. Desta maneira vemos queo calculo de um ponto requer

N − 1 multiplicacoes complexas e N − 1 adicoes complexas

O calculo completo da TFD, para N pontos, requer

N(N − 1) multiplicacoes complexas e N(N − 1) adicoes complexas

Cada adicao complexa e composta por duas adicoes reais, e cada multi-plicacao complexa por duas adicoes reais e quatro multiplicacoes reais, dondeo calculo completo da TFD envolve

4N(N − 1) multiplicacoes reais e 4N(N − 1) adicoes reais

Supondo que uma multiplicacao real toma o mesmo tempo de CPU queuma adicao (na realidade a operacao e um pouco mais demorada) teremosum total de 8N(N − 1) operacoes reais. Supondo que cada operacao realdemora quatro ciclos de memoria teremos necessidade de

32N(N − 1) ciclos de memoria

Mais uma vez, esta e uma hipotese otimista, pois supoe que a CPU estejainteiramente devotada a esta tarefa.

Quando as primeiras implementacoes numericas da TFD surgiram, oscomputadores trabalhavam, em media, com frequencias de 5MHz. Isto sig-nifica que um ciclo de memoria durava 1/(5× 106) = 2 × 10−7 segundos. Otempo usado para o calculo total de uma TFD de N pontos era entao

64N(N − 1)× 10−7 segundos

Segue abaixo uma tabela com alguns comprimentos padroes e o respectivonumero de bits, e os tempos gastos para calcular as TFDs naquela epoca.

262

# bits N = 2# tempo10 1024 6.711 2048 26.812 4096 107.313 8192 429.4

Conforme N cresce o tempo de computacao cresce muito rapidamente.Os leitores sao convidados a refazer a tabela acima com os dados dos com-putadores atuais. Muita diferenca? Sim, claro, as coisas estao bem maissuaves. Mas agora estamos no passado, e os tempos mostrados acima difi-cultavam muito o trabalho com um numero grande de amostras. A solucaoera procurar algoritmos mais e mais eficientes, que fornecessem a TFD emtempos menores que os acima.

Muita energia foi dedicada a eses problemas, e o sucesso veio. Os esforcosresultaram em algoritmos melhores, que conseguiram reduzir o numero deoperacoes e o tempo de execucao para

5N log2N operacoes←→ 20N log2N ciclos←→ 4N log2N × 10−6 segundos

A tabela anterior pode ser refeita para estes procedimentos turbinados, eos resultados se mostravam tao bons que os novos programas ficaram famosos,merecidamente. O resultado dessas pesquisas foi o que se chamou, na epocade FFT, uma sigla para a frase inglesa Fast Fourier Transform. Ate hojeos algoritmos numericos para o calculo da TFD sao conhecidos por essasigla. Como a rapidez dos processadores aumentou consideravelmente pode-se perceber que as FFTs atuais sao extremamente rapidas, podendo muitasvezes ser usadas em procedimentos “on-line”.

9.7 Interpretacao e uso

E possıvel interpretar a TFD em termos do conteudo frequencial da serietemporal x ou, em outras palavras, e possıvel decompor x em uma soma desinais harmonicos discretos. Mas neste capıtulo usaremos as TFDs em apro-ximacoes do caso contınuo. Um sinal contınuo x, lembremos, pode ser repre-sentado no domınio do tempo por sua expressao analıtica x(t). No domıniodas frequencias usarıamos a transformada de FourierF{x(t)} = X(f). Ha,pelo menos, duas boas razoes para se usar o domınio das frequencias:

1. A transformada de FourierX(f) permite conhecer o conteudo frequen-cial de x(t), permite saber como os sinais harmonicos basicos se orga-nizam para “gerar” a forma contınua.

2. Certas operacoes pouco camaradas no domınio do tempo se tornam sim-ples e agradaveis no domınio das frequencias. Considere por exemplo

263

um sistema contınuo linear e invariante no tempo, relaxado e subme-tido a uma entrada u(t). Sua saıda pode ser calculada, desde que seconheca a resposta ao impulso h, pela integral de convolucao

y(t) = u(t) ∗ h(t) =∫ t

0x(t)h(t− τ)dτ

Esta tarefa nao e das mais simples e diretas, a menos de certas funcoesmuito particulares. O domınio das frequencias traz o conceito defuncao de transferencia e a famosa expressao y(f) = H(f)U(f) cujaimportancia e utilidade dispensam apresentacoes ou defesas.

Estes dois motivos ja sao suficientes para justificar o estudo teorico datransformada de Fourier classica e tambem para tornar necessaria a com-putacao pratica de X(f). A expressao basica para isto e

F{x(t)} = X(f) =∫ ∞

−∞x(t)e−j2πftdt

Nem seria preciso dizer, mas esta formula para o calculo de X(f) requeruma expressao analıtica x(t) para o sinal contınuo, e esta expressao deveser facil de integrar. Seja, por exemplo, o registro analogico de um sinalde audio com a voz humana. Mesmo se houvesse expressoes analıticas x(t)disponıveis para sinais de tal tipo, a tarefa de integra-las seria tao formidavelque o uso da formula de definicao acima seria, na mais otimista das visoes,muitıssimo problematica. Torna-se clara, portanto, a necessidade de se en-contrar metodos alternativos para o calculo da transformada de Fourier X(f)de um sinal contınuo, e aqui entram em cena as TFDs.

9.8 Fourier: caso contınuo e discreto

Atendendo as ponderacoes iniciais deste capıtulo, suporemos que o conheci-mento dos valores de um sinal contınuo x(t) no intervalo finito [t0 t0 + T0] esuficiente para caracteriza-lo plenamente.

✲t

✻

t0 t0 + T0

Isto significa que os valores assumidos por x fora dessa janela de ob-servacao de largura T0 ou sao nulos ou sao totalmente desimportantes. Apartir de agora, qualquer mencao ao sinal x(t) deve ser associada ao grafico

264

acima. Dividindo o intervalo [t0 t0 + T0] em N − 1 faixas de largura ∆t

estaremos amostrando o sinal com N pontos.

✲t

✻x

t0 t0 + T0

· · ·

↔∆t

Esta amostragem gera uma serie temporal de largura N , que sera anotadacom ındices variando de 0 a N−1, para facilitar os desenvolvimentos futuros:x = [ x0 x1 · · · xN−1 ], onde

x0 = x(t0), x1 = x(t0 +∆t), . . . xk = x(t0 + k∆t), . . . xN−1 = x(t0 + T0)

A largura das faixas e o proprio perıodo de amostragem e pode ser obtida,uma vez conhecido N , a partir de ∆t = T0/(N − 1) ≈ T0/N para valoresgrandes de N, o que geralmente e o caso. Uma questao natural surge: quala relacao entre a TFD Xn deste sinal discreto e finito e a transformada deFourier X(f) do sinal contınuo?

Antes de prosseguir e bom relembrar o conceito de amostragem impul-siva: a multiplicacao de um sinal contınuo x(t) por um trem de impulsosunitarios, igualmente espacados, fornece um sinal xs(t), tambem contınuo,intimamente relacionado com as amostras instantaneas (a sequencia x), comovisto anteriormente no capıtulo . . .

✲x(t)

× ✲ xs(t) = x(t)∑

impulsos✻

trem de impulsos

A expressao analıtica para o sinal amostrado xs(t) e dada por

xs(t) = x(t)N−1∑

k=0

δ(t− k∆t)

=N−1∑

k=0

x(k∆t)δ(t− k∆t)

Algumas vezes a amostragem e feita com impulsos nao unitarios, mas comamplitudes iguais a largura ∆t das faixas, o perıodo de amostragem. Apenasa escala vertical muda.

265

xs(t) = ∆t

N−1∑

k=0


E bom lembrar que xs(t) e um sinal contınuo, apesar de todos os impulsospresentes. Este sinal depende, como explicitado acima, dos valores x(k∆t)para k = 0, 1, . . . N − 1 ou, em outras palavras, da serie temporal x oriundada amostragem instantanea. O sinal xs(t) e um aproximacao para x(t). Estaaproximacao pode ser perfeita se o teorema da amostragem for respeitado:

fs > 2fx onde fs =1

∆te a frequencia de amostragem

e fx e a faixa de passagem de x(t), suposto de banda limitada, claro. Atransformada de Fourier tradicional, contınua de xs(t) e

F {xs(t)} = Xs(f) =∫ ∞

−∞

(

∆t

N−1∑

k=0


)

e−j2πft dt

= ∆t

N−1∑

k=0

x(k∆t)∫ ∞

−∞δ(t− k∆t)e

−j2πft dt

= ∆t

N−1∑

k=0

x(k∆t)e−j2πfk∆t

O proximo passo e dividir o eixo das frequencias em faixas com largura∆f = 1/(N∆t) ou, em outras palavras, fazer uma “amostragem instantanea”do sinal X(f), com perıodo ∆f :

X(0) X(∆f) X(2∆f) · · · X(n∆f) onde ∆f =1

∆t

A largura ∆f das faixas, ou “perıodo em f” e chamada de resolucaofrequencial. Uma amostra generica pode ser obtida a partir da expressaogeral para Xs(f), deduzida linhas acima:

Xs(n∆f ) = Xs(f)|f=n/(N∆t)= ∆t

N−1∑

k=0

x(k∆t)e−j2πn∆fk∆t

= ∆t

N−1∑

k=0

x(k∆t)e−j2πnk∆t/(N∆t)

= ∆t

N−1∑

k=0

x(k∆t)e−j2πnk/N

= ∆tD {xk}

Pronto, feito. A menos de um fator de escala ∆t, que muitas vezes emesmo unitario, a TFD de uma serie temporal providencia uma aproximacao

266

para Xs(f), a transformada de Fourier de sinal xs(t). A TFD e, a bem da ver-dade, uma amostragem feita no sinal frequencial Xs(f). Esta aproximacaoe boa? Facil responder, basta lembrar a essencia do teorema da amostra-gem. Como uma regra geral, se a resolucao ∆f diminui, a qualidade daaproximacao melhora. Mas, vide acima, T0 = (N−1)∆t ≈ N∆t para valoresgrandes de N , logo

∆f =1

N∆t≈ 1

T0

A resolucao frequencial depende da largura da janela de observacao dosinal contınuo. Muitas vezes esta e uma quantidade fixa; neste casos oespacamento entre as amostras em f e tambem fixo. Se se deseja diminuir oespacamento em f deve-se aumentar o horizonte de observacao de x(t).

Mas existe outra aproximacao em jogo! O que se deseja e X(f), a trans-formada de Fourier do sinal x(t). Seria xs(f) um bom substituto para atransformada desejada? Mais uma vez o teorema da amostragem deve en-trar em cena. Seguindo seus ensinamentos e facil verificar que o perıodo deamostragem (em t) deve ser pequeno. Mas este perıodo e a largura ∆t, quedeve ter um valor baixo. Ou, em outras palavras, o numero N de amostrasdeve ser elevado.

Exemplo 9.8.1 Considere o sinal dado por x(t) = 0 para |x| > 10−3,x(t) = 1 + 1000t para −10−3 < t ≤ 0 e x(t) = 1 − 1000t para 0 < t <10−3. Encontrar uma aproximacao boa ate pelo menos 25KHz para suatransformada de Fourier, e com resolucao de 100Hz.

O grafico seria tracado facilmente:

✲t

✻

A capacidade de representar corretamente frequencias de ate 25KHz im-poe um limite inferior a frequencia de amostragem:

fs ≥ 2× 25× 103Hz = 50KHz

o que implica em um perıodo de amostragem

∆t ≤1

50× 103= 2× 10−5segundos

Resolucao frequencial de 100Hz . . .

∆f = 100Hz ⇒ 1

N∆t= 100⇒ N =

1

100∆t=

1

2× 10−3= 500

267

Normalmente os algoritmos para calculo de FFT trabalham com umapotencia de 2 para o numero de pontos N . Escolhendo entao N = 512 = 29

teremos os valores implementados:

∆t =1

N∆f=

1

51200= 1.95× 10−5segundos

que corresponde a uma frequencia de amostragem de fs = 51.2KHz. Ajanela de observacao tera largura de

T0 = (N − 1)∆t = 5111

51200≈ 10−2segundos

A primeira tendencia neste ponto seria amostrar x(t) na janela compre-endida entre t0 = −10−3 e t0 + T0 = 9× 10−3, como visto abaixo

✲t

✻

✲✛T0 = 10−2

Este procedimento daria origem a uma serie temporal sem qualquer pro-priedade de simetria, seus elementos nao nulos se agrupando nas primeirasposicoes. Os espectros gerados a partir de sua TFD teriam de ser manipula-dos para que apresentassem as desejadas propriedades de simetria. Uma ma-neira de evitar isso e usar a tecnica conhecida como extensao periodica: osinal original e manipulado para que apresente simetria. No presente exem-plo a parte mais a esquerda ds x(t) seria deslocada para extremidade opostado intervalo

✲t

✻

✲✛T0 = 10−2

Esta seria a forma de onda a se amostrar com 512 pontos. A serie tem-poral resultante e simetrica e origina TFD com espectros simetricos.

No exemplo anterior, se se quisesse, por exemplo, melhorar a resolucaofrequencial (diminuı-la) bastaria aumentar a largura T0 da janela de ob-servacao. Para aumentar o “poder” dos espectros bastaria aumentar o nume-ro de pontos, sempre que possıvel mantendo N uma potencia de 2. Algumasvezes as especificacoes sao mais lassas, pede-se apenas a transformada de Fou-rier de um dado sinal, e a largura do intervalo e fixa. Nestes casos adota-seum numero de amostras que se julgue suficiente.

268

Exemplo 9.8.2 Encontrar a transformada de Fourier para o sinal x(t) =20t2(1− t)4 cos(12πt).

E facil verificar que esta expressao fornece um sinal limitado no intervalo[0 1], e fora dele x(t) → ∞. Amostrando entao essa janela com 1024 = 210

pontos estamos no jogo.

269

9.9 Transformadas de Haar

9.9.1 Sinais de escala – nıvel 1

Sao series temporais de largura N

v11 =1√2[ 1 1 0 0 0 · · · 0 ]

v12 =1√2[ 0 0 1 1 0 · · · 0 ]

...

v1N/2 =1√2[ 0 0 0 0 0 · · · 1 1 ]

9.9.2 Produto Escalar

x = [ x1 x2 · · · xk · · · xN ]

x · v11 =x1 + x2√

2=√2x1 + x2

2

...

x · v1m =x2m−1 + x2m√

2=√2x2m−1 + x2m

2

“media” entre pares de elementos consecutivos

9.9.3 Matriz de tendencia – nıvel 1

T 1 = [ (v11)T (v12)

T · · · (v1N/2)T ]

T 1 =1√2

1 0 · · · 01 0 · · · 00 1 · · · 00 1 · · · 00 0 0...

......

...... 1

0 0 1

N ×N/2

270

9.9.4 Subsinal de tendencia – nıvel 1

x = [ x1 x2 · · · xk · · · xN ]

a1 = xT 1 = [ a1 a2 · · · aN/2 ]

a1 =√2x1 + x2

2a2 =

√2x3 + x4

2· · ·

serie temporal com a metade da largura de x

Exemplo 9.9.1

x = [ 4 6 10 12 8 6 5 5 ]

T 1 = · · · a1 = xT 1 = · · ·

a1 =√24 + 6

2= 5√2 a2 =

√210 + 12

2= 11

√2

a1 = [ 5√2 11

√2 7√2 5√2 ]

9.9.5 Sinais de wavelet – nıvel 1


w11 =

1√2[ 1 − 1 0 0 0 · · · 0 ]

w12 =

1√2[ 0 0 1 − 1 0 · · · 0 ]

...

w1N/2 =

1√2[ 0 0 0 0 0 · · · 1 − 1 ]

271


x = [ x1 x2 · · · xk · · · xN ]

x ·w11 =

x1 − x2√2

=√2x1 − x2

2...

x ·w1m =

x2m−1 − x2m√2

=√2x2m−1 − x2m

2

“semidiferenca” entre pares de elementos consecutivos

9.9.7 Matriz de flutuacao – nıvel 1

F 1 = [ (w11)

T (w12)

T · · · (w1N/2)

T ]

F 1 =1√2

1 0 · · · 0−1 0 · · · 00 1 · · · 00 −1 · · · 00 0 0...

......

...... 1

0 0 −1

N ×N/2

9.9.8 Subsinal de flutuacao – nıvel 1

x = [ x1 x2 · · · xk · · · xN ]

d1 = xT 1 = [ d1 d2 · · · dN/2 ]

d1 =√2x1 − x2

2d2 =

√2x3 − x4

2· · ·

serie temporal com a metade da largura de x

Exemplo 9.9.2

x = [ 4 6 10 12 8 6 5 5 ]

F 1 = · · · d1 = xF 1 = · · ·

d1 =√24− 6

2= −√2 d2 =

√210− 12

2= −√2

d1 = [ −√2 −

√2√2 0 ]

272

9.9.9 Matriz de Haar – nıvel 1

H1 = [ T 1 | F 1 ]

F 1 =1√2

1 0 · · · 0 1 0 · · · 01 0 · · · 0 −1 0 · · · 00 1 · · · 0 0 1 · · · 00 1 · · · 0 0 −1 · · · 00 0 0 0 0 0...

......

......

......

... 1...

... 10 0 1 0 0 −1

(N ×N)

9.9.10 Transformada de Haar – nıvel 1

x −→ serie temporal de largura N

H(x) =X −→ serie temporal de largura N

H(x) =X = xH1 = [ xT 1 | xF 1 ]

= [ a1 | d1 ]

tendencia e flutuacao justapostas

Exemplo 9.9.3

x = [ 4 6 10 12 8 6 5 5 ]

H(x) =X =√2 [ 5 11 7 5 | − 1 − 1 1 0 ]

valor medio de x: 7valor medio de X: 4.77valor medio de a1: 9.9valor medio de d1: −0.4energia de x: 446energia de X: 446energia de d1: 006energia de a1: 440 98.65%

273

9.9.11 Propriedades da H

H(x) =X = xH1 = [ a1 | d1 ]

• Linearidade: H(αx+ βy) = αH(x) + βH(y)• Conservacao da Energia: E(x) = E(X)• Princıpio das pequenas flutuacoes:

x vem de amostragem x(t) contınuo . . .

||a1|| ≫ ||d1||• Princıpio da compactacao da energia:

E(a1)≫ E(d1)

Exemplo 9.9.4

x(t) = 20t2(1− t)4 cos(12πt)1024 amostras em [ 0 1 ]

na mao . . .

FAWAV

E(x) = 127.308 E(a1) = 127.305 = 99.998%


x = [ x1 x2 · · · xk · · · xN ]

H(x) =X = [ a1 | d1 ] largura N

H(a1) = [ a2 | d2 ] largura N/2

H2(x) = [ a2 | d2 | d1 ] largura N

aplica H no sub de tendencia !

Exemplo 9.9.5

x = [ 4 6 10 12 8 6 5 5 ]

H(x) =√2 [ 5 11 7 5 | − 1 − 1 1 0 ]

H2(x) = [ 16 12 | − 6 2 | −√2 −

√2√2 0 ]

energia de x: 446energia de d1: 006energia de a1: 440 98.65%energia de d2: 040 08.97%energia de a2: 400 89.70%

274



v21 =1

2[ 1 1 1 1 0 · · · 0 ]

...

v2N/4 =1

2[ 0 0 0 · · · 1 1 1 1 ]


x = [ x1 x2 · · · xk · · · xN ]

x · v21 =x1 + x2 + x3 + x4

2= 2

x1 + x2 + x3 + x44

...

ideia de “media” entre elementos consecutivos continua

9.9.15 Sinais de wavelet – nıvel 2


w21 =

1

2[ 1 1 − 1 − 1 0 · · · 0 ]

...

w2N/4 =

1

2[ 0 0 · · · 1 1 − 1 − 1 ]


x = [ x1 x2 · · · xk · · · xN ]

x ·w21 =

x1 + x2 − x3 − x42

= 2x1 + x2 − x3 − x4

4...

ideia de “semidiferenca” entre elementos consecutivos continua

275

9.9.17 Matrizes do nıvel 2

Matriz de tendencia

T 2 = [ (v21)T (v22)

T · · · ] (N ×N/4)

Matriz de flutuacao

F 2 = [ (w21)

T (w22)

T · · · ] (N ×N/4)

Matriz de HaarH2 = [ T 2 | F 2 |F 1 ] (N ×N)


x = [ x1 x2 · · · xk · · · xN ]

H(x) =X = [ a1 | d1 ] largura N

H(a1) = [ a2 | d2 ] largura N/2

H2(x) = [ a2 | d2 | d1 ] = xH2

visao algebrica

9.9.19 Haar – nıveis superiores

x = [ x1 x2 · · · xk · · · xN ]

H(x) = [ a1 | d1 ] largura N

H(a1) = [ a2 | d2 ] largura N/2

H2(x) = [ a2 | d2 | d1 ] = xH2

H3(x) = [ a3 | d3 | d2 | d1 ] = xH3

Exemplo 9.9.6

x(t) = 20t2(1− t)4 cos(12πt)

1024 amostras em [ 0 1 ]

FAWAV

276

9.9.20 Haar inversa – nıvel 1

x = [ x1 x2 · · · xk · · · xN ]

H(x) =X = xH1 H ↔ H1

H1 = [ T 1 | F 1 ] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e inversıvel !!!

x =X(H1)−1 H−1 ↔ (H1)−1

muito algebrico, automatizado

o que ha por tras disso?

9.9.21 Basico e detalhes – nıvel 1

x = [ x1 x2 · · · xk · · · xN ]

H(x) =X = [ a1 | d1 ]

a1 = xT 1 → sub de tendenciad1 = xF 1 → sub de flutuacao

}

→ largura N/2

recuperar x a partir de a1 e d1

como ???

Exemplo 9.9.7

x = [ 4 6 10 12 8 6 5 5 ]

H(x) = [ a1 | d1 ] =√2 [ 5 11 7 5 | − 1 − 1 1 0 ]

a1 = [ a1 a2 a3 a4 ] onde a1 =√2x1 + x2

2etc

d1 = [ d1 d2 d3 d4 ] onde d1 =√2x1 − x2

2etc

a1 + d1 =√2 x1 a1 − d1 =

√2 x2 . . .

ideiazinha . . .

a1e = 1√

2[ a1 a1 a2 a2 a3 a3 a4 a4 ]

d1e = 1√

2[ d1 −d1 d2 −d2 d3 −d3 d4 −d4 ]

a1e = [ 5 5 11 11 7 7 5 5 ]d1e = [ −1 1 −1 1 1 −1 0 0 ]

a1e + d

1e = [ 4 6 10 12 8 6 5 5 ] = x

277

9.9.22 Sinais basico e de detalhes

x = [ x1 x2 · · · xk · · · xN ]

H(x) =X = [ a1 | d1 ] = [ xT 1 | xF 1 ]

a1e = a

1(T 1)T sinal de tendencia, de mediad1e = d

1(F 1)T sinal de flutuacao, de detalhe

a1e e d1

e ⇒ largura N

H−1(X) = x = a1e + a

1e

9.9.23 Nıveis superiores

x = [ x1 x2 · · · xk · · · xN ]

H(x) = [ a1 | d1 ]

H2(x) = [ H(a1) | d1 ] = [ a2 | d2 | d1 ]

...

Hk(x) = [ ak | dk | dk−1 | · · · d1 ]

na volta tambem vale !

x = a1e + d

1e

x = a2e + d

2e + d

1e

...

x = ake + d

ke + d

k−1e + · · · + d1

e

9.9.24 Compressao de sinais

• Sem perdas

– decompressao perfeita

– ZIP, RAR, ARC, etc

– taxas . . . (audio 2:1)

• Com Perdas

– erros sao tolerados

– wavelets

– taxas . . . (audio . . . ate 100:1)

278

9.9.25 Compressao por Wavelets

• 1.) transformar o sinal

– x→X = Hk(x)

• 2.) anular elementos ≈ 0

– Xi < L→Xi = 0→ X

• 3.) usar X

– armazenar ou transmitir

• 4.) inverter X

– H−k(X) = x

Exemplo 9.9.8 transmissao digital de dadosx(t) = (2 t4)− (6t9)− 2(10t11) + 2(14t18)1024 amostras em [0 20]mapa de energiareordena elementos: L1 ≥ L2 ≥ · · · ≥ LN

plota E(L1), E(L1 L2), E(L1 L2 L3) etcneste caso: E(L1 + L2 + · · ·L51) = 0.999996L51 = 0.03536 donde: anula todos < 0.035361024 : 51 ⇒ 20 : 1

Exemplo 9.9.9 Seja o sinalx(t) = 20t2(1− t)4 cos(12πt)(0t1) + 10(t− 1)2(2− t)4) cos(30πt)(1t2)

para reter 99.96%

da, mas . . .

precisa pegar muitos pontos!

taxa de compressao e baixa

e depois,

99.96% e ruim para audio !!!

audio: reter mais de 99.99% da energia !!!

audio: Haar nao e muito boa . . .

279

9.9.26 Remocao de ruıdos

x = s + n

sinal = sinal puro + ruıdo

hipoteses

• energia de s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . concentrada acima de Ls

• energia de n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . concentrada abaixo de Ln < Ls

isto ja acontece em x ?

Hk(x)

anula elementos inferiores a Ln

volta

9.9.27 Conclusoes

Haar e

• facil

• clara

• direta

Haar nao e

• muito eficiente . . .

9.9.28 Transformadas de Daubechies

x = [ x1 x2 · · · xk · · · xN ]

D(x) =X = [ a1 | d1 ]

mesma ideia basica !!!

muitos tipos !!!

280


numeros de escala de Daub4

α1 =1 +√3

4√2

α2 =3 +√3

4√2

α3 =3−√3

4√2

α4 =1−√3

4√2

sinais de escala de Daub4

v11 = [ α1 α2 α3 α4 0 0 0 · · · 0 ]v12 = [ 0 0 α1 α2 α3 α4 0 · · · 0 ]...

= [ 0 0 0 0 0 α1 α2 α3 α4 ]v1N/2 = [ α3 α4 0 0 0 0 · · · α1 α2 ]

9.9.30 Tendencias em Daub4

matriz de tendencia de Daub4:

T 1 = [ (v11)T (v12)

T · · · (v1N/2)T ]

subsinal de tendencia

a1 = xT 1 = [ a1 a2 · · · aN/2 ]

9.9.31 Sinais de wavelets – nıvel 1

numeros de wavelet de Daub4

β1 =1−√3

4√2

β2 =−3 +

√3

4√2

β3 =3 +√3

4√2

β4 =−1−

√3

4√2

sinais de wavelet de Daub4

w11 = [ β1 β2 β3 β4 0 0 0 · · · 0 ]

w12 = [ 0 0 β1 β2 β3 β4 0 · · · 0 ]...

= [ 0 0 0 0 0 β1 β2 β3 β4 ]w1

N/2 = [ β3 β4 0 0 0 0 · · · β1 β2 ]

9.9.32 Flutuacoes em Daub4

matriz de flutuacao de Daub4:

F 1 = [ (w11)

T (w12)

T · · · (w1N/2)

T ]

subsinal de flutuacao

d1 = xT 1 = [ d1 d2 · · · dN/2 ]

281

9.9.33 Tansformada de Daub4

matriz de Daub4

D1 = [ T 1 | F 1 ]

transformada de Daub4

D(x) = xD1 = [ xT 1 | xF 1 ] = [ a1 | d1 ]

tudo muito parecido

mas muito mais poderosa !!

9.9.34 Outras da famılia

• DaubJ J = 6, 8, . . . 20

• CoifI I = 6, 12, 18, 24, 30

282

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Sum´ario - GSCAR