Embed Size (px)
DESCRIPTION
Calculo II
Citation preview
1
GEOMETRÍA ANALÍTICA EN EL ESPACIO
Sesión 1.1
GEOMETRÍA ANALÍTICA EN EL ESPACIO
GEOMETRÍA ANALÍTICA EN EL ESPACIO
LOGRO:
Al finalizar la unidad el alumno, describe en forma ordenada regiones del plano y del espacio limitadas por superficies, empleando los diferentes sistemas de coordenadas cartesianas, cilíndricas y esféricas, valorando la gráfica como elemento auxiliar en la interpretación de las situaciones.
Describir: Significa representar, en forma analítica, el conjunto de todos los puntos de una región utilizando inecuaciones para indicar las variaciones de las variables.
Habilidades
H1. Esboza las superficies haciendo un análisis de sus propiedades.
H2. Define una superficie cuadrática.
H3. Identifica y describe las superficies cuádricas.
H4. Traza las curvas como intersección de dos superficies.
Temario
1. Superficies
2. Discusión de la ecuación de una superficie.
3. Superficies Cuádricas.
4. Superficies Cuádricas Incompletas. Cilindros.
5. Superficies Cuádricas completas.
6. Curvas en el espacio.
Ejemplo 1
Trace la gráfica de la ecuación
2xz
Cortes con los ejes coordenados
Cortes con los planos coordenados (Trazas)
Con el plano xy : z = 0.
Con el plano yz : x = 0.
Con el plano xz : y = 0.
2. Discusión de la ecuación de una superficie.
Con el eje x : Hagamos, y = 0 y z = 0 x = xo
Con el eje y : Hagamos, x = 0 y z = 0 y = yo
Con el eje z : Hagamos, x = 0 y y = 0 z = zo
Secciones planas paralelas a los planos coordenados
Paralelos a xy : z = k.
Paralelos a yz . x = k.
Paralelos a xz : y = k.
Ejemplo 2.
Discutir las ecuaciones:
02a 2 zx
22b xyz
Definición Se llama superficie cuádrica al conjunto de todos los puntos, y solamente de aquellos puntos, cuyas coordenadas satisfacen una sola ecuación de la forma:
3. Superficie Cuádrica
2 2 2 0 (1)Ax By Cz Dxy Eyz Fxz Gx Hy Iz J
Ejemplo 3(a)
(b)
(c)
94: 222 zyxS
22 43: yxzS
4: 222 zyxS
22 yxz Primer octante
2 2z y x 2z x
Otros ejemplos
Nota 1: No estudiaremos superficies rotadas, por tanto los coeficientes
D= E= F= 0
Nota 2: Toda ecuación de la forma (1) NO representa necesariamente es una
superficie, ejemplo:
0542 222 zyx
02 222 zyx
Un cilindro es una superficie generada por el desplazamiento de una recta llamada generatriz que se mueve de tal manera que se mantiene siempre paralela a una recta fija dada y corta siempre por una curva plana fija dada llamada directriz.
Cilindro
4. Superficies cuádricas incompletas.
Observar: La recta móvil se llama generatriz y la curva plana directriz de la superficie cilíndrica.
Cilindros con directriz cerrada
Ejemplo 4
Trace las superficies determinadas por las ecuaciones:
(c)
(b)
(a) 122 yx
422 zx
2yz
Nota 1: En este curso sólo consideraremos, que la directriz es una curva contenida en uno de los planos coordenados y las generatrices son paralelas a los ejes coordenados. A estos cilindros se les conoce como rectos.
Nota 2: La ecuación de una superficie cilíndrica recta, cuyas generatrices son perpendiculares al plano coordenado donde está su directriz, carece de la variable no medida en ese plano coordenado, en consecuencia se puede demostrar que una ecuación incompleta representa un cilindro.
4. Superficies cuádricas completas.
Ejemplo 5.
Identifique y trace las superficies determinadas por las ecuaciones:
149
222
zyx
224 yxz
(a)
(b)
(c) 144
22
2
z
yx
Mas ejemplos
5 Curvas en el espacio
Definición La totalidad de los puntos y solamente de aquellos puntos, cuyas coordenadas satisfacen simultáneamente las ecuaciones de dos superficies rectangulares independientes.
Nota 1: Las trazas de una superficie sobre los planos coordenados, y las secciones de una superficie por planos paralelos a los planos coordenados, son ejemplos especiales de curvas en el espacio.
Ejemplo 6.Ejemplo 6.
Represente gráficamente la curva C dada como la intersección de las superficies
S1: x2 + y2 = 4
S2: z = 2
2
4a
22
z
yx
2 2z x y
by x
2 2 1
2
x yc
y z
2 2
2
1
4
x zd
y x
Ejemplo 7Ejemplo 7Represente gráficamente la curva C dada como la intersección de las superficies
