Superficies desarrollables y geodésicas en las imágenes ...bdigital.unal.edu.co/9054/1/Superficies... · Universidad Nacional de Colombia- Sede Medell n Superficies desarrollables

Universidad Nacional de Colombia- Sede Medellın

Superficies desarrollables y

geodesicas en las imagenes

medicas

Tesis presentada por Jose Fernando Ramırez Huaca

para obtener el grado de Magister en Ciencias- Matematicas

Director

Marco Paluszny Kluczynsky

Facultad de Ciencias

Escuela de Matematicas

2012

Indice general

0.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1. Preliminares 1

1.1. Conceptos basicos de geometrıa diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1. Curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.2. Superficies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.3. Superficies desarrollables y geodesicas . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2. Conceptos basicos de CAGD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.2.1. Curvas de Bezier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.2.2. Superficies de Bezier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.2.3. Cubicas de Overhauser. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.3. Conceptos basicos de imagenes medicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2. Construccion de superficies desarrollables por medio de curvas prede-

terminadas 27

2.1. Algoritmo de Aumann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.1.1. Forma matricial del algoritmo de Aumann . . . . . . . . . . . . 30

2.1.2. Superficies desarrollables a trozos usando cubicas de Overhauser

y el algoritmo de Aumann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.2. Superficie desarrollable dada por el vector de Darboux . . . . . . . . . 36

3. Superficies desarrollables semidiscretas 40

3.1. Parametrizaciones conjugadas y mallas-CP . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.2. Superficie desarrollable semidiscreta M.A. . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.2.1. Interpolacion con el algoritmo de Aumann . . . . . . . . . . . . 44

3.2.2. Superficie moulding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.2.3. Construccion de la superficie desarrollable semidiscreta MA . . . 49

3.3. Superficie desarrollable semidiscreta TDE . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

i

ii Indice general

4. Aplicaciones a las imagenes medicas 54

4.1. Rodaja dental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4.2. Craneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

Bibliografıa 62

Indice de figuras

1.1. Triedro de Frenet y el plano osculador . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2. Superficie parametrizada regular, TPM , Xu, Xv ,u-curva y v-curva . . . 5

1.3. Aplicacion de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.4. Superficie desarrollable y geodesica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.5. Superficie reglada desarrollable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.6. Superficies desarrollables sobre la curva α (en verde). Cilindro (en rojo),

cono (en azul) y tangente (en negro) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.7. Curva sobre dos superficies, vector normal a la curva en rojo, vector

normal las superficies en negro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.8. Desarrollo de las superficies y la curva de la figura 1.7 . . . . . . . . . 14

1.9. Polinomios de la base B3 con u ∈ [0, 1] . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.10. Curva de Bezier de grado 3 (en azul) y polıgono de control (en rojo) . . 18

1.11. Superficie de Bezier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.12. Superficie reglada de Bezier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.13. Cubica de Overhauser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.14. Cubica con dos polıgonos de control, negro para la parametrizaciıon de

Bezier, rojo para la de Overhauser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.15. Volumen DICOM obtenido por modalidad TAC . . . . . . . . . . . . . 24

1.16. Seccion transversal de K . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.17. Codificacion de colores en una imagen medica . . . . . . . . . . . . . . 26

2.1. Superficie tangente. λ = 0,6, µ = 1,2, curva b(u) en verde . . . . . . . . 28

2.2. Cilindro. λ = 1, µ = 1, curva b(u) en verde . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.3. Cono. λ = 1,4, µ = 1, curva b(u) en verde . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.4. Superficies desarrollables sobre b(u). Cono (en azul), cilindro (en verde)

y superficie tangente (en rojo) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.5. Diagrama conmutativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

iii

iv Indice de figuras

2.6. Segmentos de cubicas de Overhauser interpolantes, los puntos de control

de b1(t) son A0, .., A3, los de b2(t) son A1, .., A4 . . . . . . . . . . . . . 33

2.7. Trozos X(u, v) en rojo y X∗(u, v) en azul . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.8. Superficie de Darboux para la curva α(u) (en rojo) . . . . . . . . . . . 37

2.9. Desarrollo de la superficie de Darboux para α(u) . . . . . . . . . . . . . 38

2.10. Superficie de Darboux para la curva α(u) (en rojo) . . . . . . . . . . . 39

3.1. Superficie traslacional en azul, envolvente de los planos tangentes de una

curva isoparametrica en rojo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.2. Modelo tangente en azul y polıgono de regresion en rojo . . . . . . . . . 42

3.3. Refinamiento de una malla-CP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.4. Caso L0 y L1 alabeadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.5. Curva α(u) en azul, offsets en negro y evoluta en rojo . . . . . . . . . . 46

3.6. Superficie moulding M(u, v), en azul, q(v) en rojo, p(u) en negro, cilindro

C(v, w) en verde, y un plano de la familia Πv en rojo . . . . . . . . . . 48

3.7. Paso 1. Curva q(v) en verde, rectas ri en azul . . . . . . . . . . . . . . 49

3.8. Paso 2. Polıgonos Ci en rojo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.9. Malla m del paso 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.10. Superficie MA sobre dos trapecios consecutivos M1,j, M1,j+1 . . . . . . . 52

3.11. Superficie MA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.12. Superficie T.D.E. formada por dos strips . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4.1. Rodaja dental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4.2. Imagen DICOM del Scan dental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.3. Extracion de los datos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.4. Rodaja en 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4.5. Desarrollo de la rodaja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4.6. Craneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

4.7. Imagen DICOM del craneo con los puntos de control . . . . . . . . . . 58

4.8. Imagen DICOM del craneo con una curva ti + αib(u) . . . . . . . . . . 59

4.9. Craneo modelado por 7 strips . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.10. Craneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

4.11. Strip 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

4.12. Desarrollo del strip 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

0.1. Introduccion 1

0.1. Introduccion

Las superficies desarrollables son aquellas que se pueden construir a partir del doblado

curvo de un plano (o papel). Esta propiedad las hace muy atractivas para la construc-

cion y la arquitectura. En la actualidad, dentro del diseno geometrico, hay gran interes

en la investigacion de este tipo de superficies.

Las imagenes medicas son un campo interdisiplinar que se dedica al analisis de las

estructuras internas del cuerpo mediante imagenes. Inicio con el descubrimiento de los

rayos X en 1895, en la actualidad la utilizacion de las tomografıas computarizadas y

resonancias magneticas permiten el estudio y analisis en tres dimensiones del cuerpo

humano. Dentro de las imagenes medicas se investiga basicamente sobre los siguientes

tres problemas:

1. Segmentacion- Metodos automaticos que permitan dividir las diferentes estructu-

ras anatomicas dentro de las imagenes.

2. Visualizacion- Aprovechar y digerir la enorme cantidad de datos producidos por

los modernos sistemas de imagenes medicas.

3. Simulacion- Software que permite simular y planear tratatientos.

En esta tesis abordaremos el problema de la visualizacion de imagenes medicas usando

superficies desarrollables. Se usara en especial la teorıa que en el diseno geometrico, se

ha desarrollado sobre este tipo de superficies para aplicaciones a la arquitectura en [1],

[4] y [7].

En la actualidad hay software que a partir de un conjunto de imagenes medicas, que con-

forman un volumen, nos permite visualizar la textura sobre cualquier plano. Tambıen

es posible hacer la reconstruccion en 3D de cualquier esrtructura anatomica. Aquı usa-

remos las superficies desarrollables para visualizar estructuras anatomicas tridimensio-

nales de forma plana sin que haya deformacion, esto ayudara al diagnostico a partir de

imagenes medicas.

La tesis se puede dividir en tres partes. En la primera (capıtulo 1) se dan los con-

ceptos basicos de geometrıa diferencial clasica, diseno geometrico e imagenes medicas

que se usaran. En la segunda (capıtulos 2 y 3) se desarrollan los algoritmos basicos y

se construyen algunas superficies desarrollables. En la cuarta (capıtulo 4) se muestran

algunas superficies construidas anteriormente, aplicadas a las imagenes medicas.

Capıtulo 1

Preliminares

1.1. Conceptos basicos de geometrıa diferencial

Primero veremos los conceptos basicos de la geometrıa diferencial clasica de curvas y

superficies que se utilizaran en este trabajo, nos basaremos en [5] .

1.1.1. Curvas

Decimos que una funcion f : (a, b) −→ R3 es Ck (k = 0, 1, 2, ...) si f y sus primeras k

derivadas son continuas. Decimos que f es suave si f es Ck para todo entero positivo k.

Una curva parametrizada es una funcion C3 (o suave) α : I −→ R3 para algun intervalo

I = (a, b) o [a, b] en R que podrıa ser infinito, aquı usaremos principalmente I = [0, 1].

Se dice que α es regular si α′(t) 6= 0 ∀t ∈ I 1.

Longitud de arco. Si α : [a, b] −→ R3 es una curva parametrizada entonces ∀t ∈ [a, b]

definimos su longitud de arco desde a hasta t por

s(t) =

∫ t

a

∥∥∥α′(u)∥∥∥ du (1.1)

Decimos que una curva parametrizada α esta parametrizada por longitud de arco si∥∥α′(t)∥∥ = 1 para todo t, por tanto s(t) = t − a, en este caso usamos el parametro s y

escribimos α(s).

Es importante notar que “ en teorıa” toda curva parametrizada regular se puede repa-

rametrizar por longitud de arco. Si α es regular entonces es claro que la fucion longitud

de arco s(t) dada por (1.1) es creciente (pues s′(t) =

∥∥α′(t)∥∥ > 0 para todo t), luego

1En caso de un extremo se consideran las derivadas laterales

1

2 Capıtulo 1. Preliminares

tiene inversa t = t(s), y con esta podemos considerar la parametrizacion

β(s) = α(t(s)).

Notemos que aplicando la regla de la cadena tenemos

β′(s) = α

′(t(s))t

′(s) =

α′(t(s))

s′(t(s))=

α′(t(s))

‖α′(t(s))‖

es decir∥∥β ′(s)∥∥ = 1 para todo s. En la practica es dificil encontrar la funcion t(s) de

manera explıcita.

Triedro de Frenet. Sea α una curva parametrizada por longitud de arco, entonces

α′

es su vector tangente unitario que denotaremos por T (s). Como T tiene magnitud

constante entonces T′(s) es ortogonal a T (s). Suponiendo que T

′(s) 6= 0 se define el

vector normal N(s) = T′(s)/

∥∥T ′(s)∥∥ y la curvatura κ(s) =∥∥T ′(s)∥∥, luego tenemos

T′(s) = κ(s)N(s).

Si κ(s) = 0 el vector normal no esta definido. Suponiendo κ 6= 0 se define el vector

binormal B(s) = T (s) × N(s). A la base ortonormal de R3 T (s), N(s), B(s) se le

denomina triedro de Frenet para la curva regular α. (α : [a, b] −→ R3 inyectiva).

Definimos la torsion τ(s) = N′(s) ·B(s). De lo anterior se deduce facilmente lo siguiente

(ver comentario 4)

T′(s) = κ(s)N(s).

N′(s) = −κ(s)T (s) + τ(s)B(s).

B′(s) = −τ(s)N(s).

Las anteriores son conocidas como las formulas de Frenet (o Frenet-Serret) que se pueden

escribir en forma matricial como: | | |T′(s) N

′(s) B

′(s)

| | |

=

| | |T (s) N(s) B(s)

| | |

0 −κ(s) 0

κ(s) 0 −τ(s)

0 τ(s) 0

Notemos que la matriz de la derecha es antisimetrica.

Si la curva α(t) no esta parametrizada por longitud de arco (que es lo mas comun)

1.1. Conceptos basicos de geometrıa diferencial 3

entonces el triedro de Frenet es:

T (t) =α′(t)

‖α′(t)‖, B(t) =

α′(t)× α′′(t)

‖α′(t)× α′′(t)‖, N(t) = B(t)× T (t). (1.2)

La curvatura y la torsion se expresan como:

κ(t) =

∥∥α′(t)× α′′(t)∥∥‖α′(t)‖3

, τ(t) =α′(t) ·

(α′′(t)× α′′′(t)

)‖α′(t)× α′′(t)‖2

. (1.3)

Los planos fundamentales de una curva α en un punto P = α(t) se definen como:

(i) Plano osculador, generado por T (t) y N(t).

(ii) Plano rectificante, generado por T (t) y B(t).

(iii) Plano normal, generado por N(t) y B(t).

Figura 1.1: Triedro de Frenet y el plano osculador


Comentarios.

1. Notemos que por la definicion se tiene κ ≥ 0, pero τ puede ser positiva o negativa.

2. La curvatura κ mide la razon de cambio del vector tangente unitario T respecto

al parametro t, por tanto κ = 0 sii la curva es una recta.

3. La torsion τ mide la razon de cambio del vector binormal B respecto al parametro

t, por tanto τ = 0 sii la curva es plana, y si esto ocurre esta esta contenida en el

plano osculador.

4. Las formulas de Frenet se deducen facilmente usando el siguiente resultado.

Si f, g : (a, b) −→ R3 son diferenciables y f(t) · g(t) es constante ∀t ∈ (a, b)

entonces f′(t) · g(t) = −f(t) · g′(t) y en particular ‖f(t)‖ es constante sii f(t) ·

f′(t) = 0 ∀t ∈ (a, b)

5. Toda curva esta completamente determinada por su torsion y su curvatura. Dos

curvas C,C∗ son congruentes (difieren por un movimiento rıgido) sii para sus

correspondientes parametrizaciones por longitud de arco α, α∗ se tiene κ(s) =

κ∗(s) y τ(s) = τ ∗(s) para todo s.

1.1.2. Superficies

Superficies parametrizadas y primera forma fundamental. Sea U ⊂ R2 abierto,

una funcion f : U −→ Rm es Ck si f y sus derivadas parciales de orden k son conti-

nuas. Decimos que f es suave si es Ck para todo entero positivo k. Usaremos m = 3 y

supondremos que las funciones a tratar son Ck para k ≥ 3; usaremos la notacion (u, v)

para las coordenadas del espacio de parametros U , (x, y, z) para las coordenadas en R3

y subındices para las derivadas parciales.

Una parametrizacion regular de un subconjunto M ⊂ R3 se define como una fun-

cion inyectiva X : U −→M tal que Xu×Xv 6= 0 para algun U ⊂ R2 abierto. M es una

superficie parametrizada regular si existe una parametrizacion regular X para esta.

Sea M superficie parametrizada regular, y sea P = X(u0, v0) ∈ M . El plano tangente

de M en P denotado TPM se define como el generado por Xu(u0, v0) y Xv(u0, v0). Se

define el vector normal a la superficie como

n =Xu ×Xv

‖Xu ×Xv‖.


Para P , si fijamos u = u0 y variamos v obtenemos una v-curva X(u0, v) y Xv(u0, v0) es

el vector tangente a esta, analogamente Xu(u0, v0) es tangente a la u-curva X(u, v0). A

las u-curvas y las v-curvas se les denomina curvas isoparametricas

Figura 1.2: Superficie parametrizada regular, TPM , Xu, Xv ,u-curva y v-curva

Para una parametrizacion regular X de una superficie M , el conjunto Xu, Xv forma

una base natural para TPM y con esta se introduce la primera forma fundamental

IP : TPM × TPM −→ R

IP (U, V ) = U · V

y se definen

E = IP (Xu, Xu) = Xu ·Xu,

F = IP (Xu, Xv) = Xu ·Xv = Xv ·Xu = IP (Xv, Xu),

G = IP (Xv, Xv) = Xv ·Xv,

que es conveniente ubicar en las entradas de una matriz simetrica (esta es la matriz de

I en terminos de la base Xu, Xv)

IP =

[E F

F G

]ya que IP (U, V ) = UT

[E F

F G

]V


Se dice que dos superficies M y M∗ son localmente isometricas si ∀P ∈ M hay una

parametrizacion regular X : U −→M y una parametrizacion regular

X∗ : U −→ M∗ (usando el mismo abierto U ∈ R2 ) tal que IP = I∗P ∗ siempre que

P = X(u, v) y P ∗ = X∗(u, v) para algun (u, v) ∈ U . Esto significa que la funcion

f = X∗ X−1 : X(U) −→ X∗(U) (1.4)

es una correspondencia 1-1 que preserva la primera forma fundamental y por ende la

distancia y los angulos.

La primera forma fundamental describe las propiedades metricas de una superficie pa-

rametrizada M . Si α(t) = X(u(t), v(t)) con t ∈ [a, b] es una curva parametrizada en

M entonces la longitud L de α y el area A de M se calculan como:

L(α) =

∫ a

b

√Iα(t)(α

′(t), α′(t))dt (1.5)

=

∫ a

b

√E(t)(u′(t))2 + 2F (t)u′(t)v′(t) +G(t)(v′(t))2dt (1.6)

A(M) =

∫U

‖Xu ×Xv‖ dudv =

∫U

√EG− F 2dudv (1.7)

Aplicacion de Gauss y la segunda forma fundamental. Dada una superficie

parametrizada regular M , la funcion n : M −→ S2 ⊂ R3 (donde S2 es la esfera

unitaria de R3) que a cada punto de P ∈ M le asigna su vector normal unitario n(P ),

se denomina aplicacion de Gauss de M .

Figura 1.3: Aplicacion de Gauss


Para todo V ∈ TPM la derivada direccional DV n(p) ∈ TPM y esto permite introducir

el operador de forma en P denotado por SP como la funcion lineal SP : TPM −→ TPM

definida por SP (V ) = −DV n(P ). Esta funcion es simetrica , es decir, ∀U, V ∈ TPM

SP (U) · V = U · SP (V ) (1.8)

Notemos que si ∀P ∈ M se tiene que SP = 0 entonces M es un subconjunto de un

plano. En una esfera de radio a centrada en el origen tenemos n = 1aX(u, v) luego para

todo P se tiene SP (Xu) = −nu y SP (Xv) = −nv de donde SP = − 1aID donde ID es la

funcion identidad en TPM .

Ahora podemos introducir la segunda forma fundamental

IIP : SPM × SPM −→ R

IIP (U, V ) = SP (U) · V

Para todo V ∈ TPM ( con ‖V ‖ = 1) IIP mide la curvatura de las curvas α que estan

en la interseccion de M y el plano generado por n(p) y V ya que

IIP (V, V ) = SP (V ) · V = −Dvn(P ) · V = ±κ.

Al igual que para IP buscamos una representacion matricial para IIP , para esto defini-

mos

L = IIP (Xu, Xu) = −DXun ·Xu = Xuu · n

M = IIP (Xu, Xv) = −DXun ·Xv = Xvu · n = Xuv · n = IIP (Xv, Xu)

N = IIP (Xv, Xv) = −DXvn ·Xv = Xvv · n

y escribimos

IIP =

[L M

M N

]=

[Xuu · n Xuv · nXuv · n Xvv · n

](1.9)

y como en el caso de IP

IIP (U, V ) = UT

[L M

M N

]V

Para una base general de TPM Xu, Xv la matriz que representa al operador de forma


SP esta dada por las dos formas fundamentales ası

SP = I−1P IIP =

[E F

F G

]−1 [L M

M N

]

luego si Xu, Xv es una base ortonormal entonces IIP es la representacion matricial

de SP . Como SP es una funcion lineal simetrica entonces tiene 2 valores propios reales

denotados por k1(P ), k2(P ) y denominados curvaturas principales de M en P . Los co-

rrespondientes vectores propios son llamados direcciones principales, y son ortogonales.

Al producto de las curvaturas principales se le denomina curvatura Gaussiana

K = k1k2 = det(SP ). El promedio de de las curvaturas principales se denomina curva-

tura media H = 12(k1 + k2). Se dice que M es una superficie minimal si H = 0.

Dado P ∈ M fijo, se dice que P es un punto umbilical si k1 = k2. Si k1 = k2 = 0

el punto P se denomina punto plano. Si K = 0 pero P no es punto plano, P de denomi-

na punto parabolico. Si K > 0 P es llamado punto elıptico, y si K < 0 P se denomina

punto hiperbolico.

Comentarios.

1. El plano tangente TPM de una superficie M en un punto P se definio para una ba-

se Xu, Xv dada por una parametrizacion regular X, pero realmente la definicion

de TPM independiente de la escogencia de parametrizacion regular 1.

2. Las curvaturas principales k1, k2 cambian de signo al cambiar la orientacion del

vector normal, pero K no cambia, o sea es independiente de la eleccion del vector

normal.

3. SP (V ) mide a variacion de el vector normal a la superficie (y por tanto la variacion

de TPM ) en direccion de V , describe como se curva la superficie.

4. La curvatura Gaussiana K esta completamente determinada por IP , es decir, se

puede expresar exclusivamente en terminos de E,F,G.

5. Una superficie M esta completamente determinada por las las formas fundamen-

tales (salvo el signo de la segunda). Dos parametrizaciones regulares X,X∗ son

tal que I = I∗ y II = ±II∗ sii corresponden a superficies congruentes, es decir

que difieran por un movimento rıgido.

1Para esto se puede consultar el libro de N. Hicks donde se define el espacio tangente en terminosde operadores.


1.1.3. Superficies desarrollables y geodesicas

Ahora vamos a tratar las curvas y superficies que seran de interes en este trabajo.

“Informalmente” una superficie desarrollable es aquella que se puede llevar al plano sin

estiramiento o desgarro, un ejemplo son los cilindros. Una geodesica es una curva sobre

una superficie que mimimiza distancias sobre esta, un ejemplo de geodesicas son los

meridianos de una esfera.

Figura 1.4: Superficie desarrollable y geodesica

Debido a esta propiedad hay muchas aplicaciones de estas curvas en la industria, la

arquitectura y la imagenologıa medica entre otras.

Superficies regladas y desarrollables. En el contexto de lo visto anteriormente

una superficie se denomina desarrollable si es localmente isometrica al plano, lo que es

equivalente a tener curvatura Gaussiana K = 0.

Otra forma de estudiar y caracterizar las superficies desarrollables es mediante en-

volventes de familias monoparametricas de planos. Una familia monoparametrica de

planos se representa por la ecuacion

x · n(u) = f(u) (1.10)

donde n(u) es el vector normal al plano en el parametro u. La envolvente de esta fami-

lia es la superficie S que es tangente en cada uno de sus puntos a uno de los planos, y

ademas en todo entorno del punto de contacto de S con un plano de la familia existen

mas puntos de contacto con otros planos de la familia.


Luego los generadores de la envolvente, es decir, las rectas (o segmentos de recta)

que conforman esta superficie, satisfacen las ecuaciones

x · n(u) = f(u)

x · n′(u) = f′(u)

A continuacion consideramos las superficies desarrollables en el contexto de las super-

ficies regladas. Una superficie es reglada si se puede parametrizar de la forma

X(u, v) = α(u) + vβ(u) (1.11)

donde α, β son curvas parametrizadas regulares, β(u) 6= 0 para todo u, u esta en un

intervalo y v ∈ R. Es claro que las v-curvas X(u0, v) = α(u0) + vβ(u0) de la superficie

dada por (1.11) son rectas que pasan por el punto α(u0) con vector director β(u0),

luego por todo punto P = X(u0, v0) de una superficie reglada pasa al menos una recta

(o segmento de recta) que esta contenida en la superficie. A la curva α se le denomina

directriz de la superficie y a las rectas (v-curvas), generatrices.

Las superficies regladas tambien se pueden parametrizar como

S(u, v) = (1− v)p(u) + vq(u) (1.12)

con u, v en intervalos. En este caso las v-curvas son segementos de recta. Notemos que

(1.12) es equivalente a (1.11) con p = α, q − p = β.

Las siguientes son condiciones necesarias y suficientes para que una superficie regla-

da parametrizada como (1.12) sea desarrollable.

D1. El vector normal n y por tanto el plano tangente TPM a la superficie es constante

sobre cada generador.

D2. El generador q(u)− p(u) y los vectores p′(u), q

′(u) son coplanares para todo u.

D3. En cada generador hay dos puntos con igual vector normal.


La siguiente grafica ilustra las condiciones anteriores.

Figura 1.5: Superficie reglada desarrollable

Hay 3 tipos de superficies desarrollables, el cilindro, el cono y la superficie tangente.

Cilindro. Tiene parametrizacion X(u, v) = α(u) + vd con d un vector constan-

te,es decir β constante en (1.11).

Cono.Tiene parametrizacion X(u, v) = α(u) +v(w−α(u)), donde w es un punto

fijo llamado vertice, aquı se tiene (1.11) con β = w − α.

Superficie tangente. Es una superficie con parametrizacion

X(u, v) = α(u) + vα′(u), es decir (1.11) con β = α

′.

Un punto P sobre una superficie parametrizada se llama singular si Xu ×Xv(P ) = 0 .

Es facil ver que el cilindro no tiene puntos singulares. El unico punto singular del cono

es el vertice (v = 1), y para la tangente Xu ×Xv = −vα′(u) × α′′(u) luego los puntos

de la curva α (v = 0) son singulares. En una superficie desarrollable la curva formada

por los puntos singulares se llama curva de regresion.


Figura 1.6: Superficies desarrollables sobre la curva α (en verde). Cilindro (en rojo),

cono (en azul) y tangente (en negro)

Geodesicas. Para estudiar las geodesicas formalmente necesitamos los conceptos de

campo vectorial, derivada covariante y paralelismo.

Una funcion Φ : M −→ R3 se denomina campo vectorial en M si para todo P ∈ M

Φ(P ) ∈ TPM , y para alguna parametrizacion X : U −→M la funcion ΦX : U −→ R3

es (continuamente) diferenciable.

Dado un campo vectorial Φ y V ∈ TPM definimos la derivada covariante denotada

∇V Φ como la proyeccion ortogonal de DV Φ sobre TPM , es decir

∇V Φ = DV Φ− (DV Φ · n)n (1.13)

Dada una curva α en M decimos que el campo vectorial Φ es covariante constante o

paralelo a lo largo de α si

∇α′ (t)Φ = 0, ∀t (1.14)

Esto significa que Dα′ (t)Φ = (Φα)′(t) no tiene componente sobre TPM , es decir esta en

la misma direccion (multiplo escalar) del vector normal n(α(t)).


Una curva parametrizada α sobre una superficie M se denomina geodesica si su vector

tangente es paralelo a lo largo de la curva, es decir ∇α′α′= 0.

Notemos que la condicion de ser geodesica para una curva parametrizada α depen-

de de la superficie sobre la cual este la curva y de su parametrizacion. Por extension

diremos que una curva no parametrizada por longitud de arco es una pregeodesica 1 si

su parametrizacion por longitud de arco es una geodesica.

Una curva α es geodesica sobre una superficie M si su vector normal N esta en la

misma direccion del vector normal a la superficie n, es decir si α(t) = X(u(t), v(t))

donde X es una parametrizacion de M entonces N(u(t), v(t)) = cn(t) para alguna

constante c 6= 0. Es posible que una curva sea geodesica sobre una superficie pero no lo

sea sobre otra.

En la siguiente grafica vemos una curva sobre dos superficies diferentes, un cono y

un cilindro. No es geodesica sobre el cono, es geosesica sobre el cilindro. En el cono

vemos que N y n no estan en la misma direccion, en el cilindro N y n son paralelos.

Figura 1.7: Curva sobre dos superficies, vector normal a la curva en rojo, vector normal

las superficies en negro

Para estudiar una curva en el espacio se usa el triedro de Frenet T,N,B visto an-

teriormente, para estudiar una curva sobre una superficie (como una geodesica) se usa

1El termino pregeodesica fue introducido por B. O´Neill en el libro Elementary Differential Geo-metry (Academic Press, New York. 1966).


el triedro de Darboux T, n× T, n. Al vector κN conocido como vector curvatura lo

podemos descomponer como

κN = (κN · (n× T )︸︷︷︸κg

)(n× T ) + (κN · n︸︷︷︸κn

)n

De donde es claro que κn da la componente normal del vector curvatura y κg, denomi-

nada curvatura geodesica, da la componente tangencial (sobre TPM). Luego una curva

α es geodesica sii κg = 0.

Si M es una superficie desarrollable, α es una curva sobre M y M∗, α∗ son el desarrollo

de M y α (sin estiramiento o desgarre) sobre el plano dado por (1.4), entonces κg de α

es igual a κ de α∗. Luego si α es una geodesica sobre M entonces α∗ es una recta pues

κ = κg = 0.

En la siguiente grafica vemos el desarrollo de las superficies de la figura 1.7, como

la curva sobre el cilindro es una geodesica su desarrollo es una recta, lo contrario ocurre

en el cono.

Figura 1.8: Desarrollo de las superficies y la curva de la figura 1.7

Comentarios.

1. Hay que diferenciar entre una geodesica y su traza, pero en las aplicaciones lo

importante es la traza y a veces por abuso de lenguaje se confunden estos dos

terminos.


2. Vimos las condiciones necesarias y suficientes para que una superficie reglada

sea desarrollable y mencionamos que toda superficie desarrollable es reglada, esto

se puede probar formalmente con la curvatura Gaussiana K y las direcciones

principales.


1.2. Conceptos basicos de CAGD

El diseno geometrico asistido por computadora o CAGD por sus siglas en ingles (Com-

puter Aided Geometric Design) se ocupa principalmente de describir curvas y superficies

de manera matematica sencilla, pero eficiente y precisa, ya que estas representan la for-

ma de un objeto que debe ser construido. El CAGD tiene su origen en los anos 50 y 60

del siglo pasado con los trabajos de Paul de Casteljau y Pierre Bezier quienes traba-

jaron para Citroen y Renault, respectivamente. Para la presentacion de los siguientes

conceptos nos basaremos en [8] y [2].

1.2.1. Curvas de Bezier.

Por el teorema de aproximacion de Weierstrass sabemos que en un intervalo cerrado

toda funcion continua se puede aproximar tanto como se quiera con un polinomio, por

tanto para describir formas dadas por curvas (trazas de funciones continuas) es suficiente

trabajar con curvas polinomicas (con parametrizacion polinomica). Las curvas de Bezier

son curvas polinomicas que se expresan en terminos de la base dada por los polinomios

de Bernstein.

La base de Bernstein para los polinomios de grado menor o igual a n

Bn = Bn0 (u), Bn

1 (u), ....., Bnn(u), esta dada por:

Bni (u) =

(n

i

)ui(1− u)n−i con

(n

i

)=

n!

i!(n− i)!(1.15)

a diferencia de la base canonica un, un−1, ..., u, 1, cada elemento de Bn tiene grado n.

Algunas propiedades de estos polinomios para u ∈ [0, 1] son:

Positividad: Bni (u) ≥ 0.

Simetrıa: Bni (u) = Bn

n−i(1− u).

Recurrencia: Bni (u) = (1− u)Bn−1

i (u) + tBn−1i−1 (u).

Raıces: Sus unicas raıces son 0 y 1.

Bni (0) = Bn

n−i(1) =

1 si i = 0

0 si i > 0

Particion de la unidad.∑n

i=0Bni (u) = 1, esto se cumple para todo u.

1.2. Conceptos basicos de CAGD 17

En la siguiente grafica desplegamos los polinomios de B3 para u ∈ [0, 1] donde es facil

verificar las propiedades de positividad y simetrıa.

Figura 1.9: Polinomios de la base B3 con u ∈ [0, 1]

Una curva de Bezier b(u) de grado n es una curva con parametrizacion de la forma

b(u) = b0Bn0 (u) + b1B

n1 (u) + · · ·+ bnB

nn(u) =

n∑i=0

biBni (u) (1.16)

donde los bi son puntos en R3 llamados puntos de control y al polıgono formado por

estos se le denomina polıgono de control. Generalmente se toma u en [0, 1] . Algunas

propiedades de las curvas de Bezier para u ∈ [0, 1] son:

Interpolacion: b(0) = b0 y b(1) = bn.

Convexidad: La curva esta contenida en la capsula convexa del polıgono de control.

Tangentes en los extremos: Las tangentes b′(0), b

′(1) en los extremos u = 0 y

u = 1 son paralelas a los segmentos (del polıgono de control) b1 − b0 y bn − bn−1,

respectivamente.


Simetrıa: Si invertimos el polıgono de control de una curva, es decir, si cambiamos

b0, b1, ....bn por bn, bn−1, ....b0, la curva resultante es la misma (en el sentido

de que describe los mismos puntos de R3).

En la siguiente grafica vemos una curva de Bezier de grado 3 donde se ilustra las

propiedades de interpolacion y convexidad.

Figura 1.10: Curva de Bezier de grado 3 (en azul) y polıgono de control (en rojo)

La derivada de una curva de Bezier se obtiene de manera sencilla gracias a las propie-

dades de los polinomios de Bernstein. Es facil verificar que

dBni (u)

du= n

(Bn−1i−1 (u)−Bn−1

i (u))

de donde obtenemos la derivada de la curva de Bezier b(u)

db(u)

du=

n∑i=0

bidBn

i (u)

du= n

n∑i=0

bi(Bn−1i−1 (u)−Bn−1

i (u))

(1.17)

= nn−1∑i=0

∆biBn−1i (u) (1.18)

haciendo cambio de ındice, i→ i+ 1, en (1.17) y tomando ∆bi = bi+1 − bi en (1.18).

De (1.18) podemos ver que la derivada de una curva (parametrizacion) de Bezier de

grado n es otra curva de Bezier de grado n− 1.


1.2.2. Superficies de Bezier.

Dado un polıgono de control b0, b1, ..., bm obtenemos una curva de Bezier de grado

m. Si permitimos que cada vertice bi del polıgono se mueva sobre una curva de Bezier

bi(v) de grado n con polıgono de control bi,0, bi,1, ..., bi,n obtenemos una superficie con

parametrizacion

b(u, v) =m∑i=0

n∑j=0

bi,jBmi (u)Bn

j (v) u, v ∈ [0, 1] (1.19)

la cual se denomina superficie de Bezier de bigrado (m,n) y a los (m + 1)(n + 1)

vertices b0,0, ..., bm,n se los llama malla de control. La expresion (1.19) se puede escribir

matricialmente como

b(u, v) = (Bm0 (u) · · ·Bm

m(u))

b0,0 · · · b0,n

.... . .

...

bm,0 · · · bm,n

Bn0 (v)...

Bnn(v)

(1.20)

Las u-curvas de esta superficie son curvas de Bezier de grado m con puntos de control

bi dadas por

b(u, v0) =m∑i=0

(n∑j=0

bi,jBnj (v0)

)︸︷︷︸

bi

Bmi (u) u ∈ [0, 1]

y las v-curvas son curvas de Bezier de grado n y puntos de control bj dadas por

b(u0, v) =n∑j=0

(m∑i=0

bi,jBmi (u0)

)︸︷︷︸

bj

Bnj (v) v ∈ [0, 1]

Notemos que una superficie de Bezier de bigrado (1, n) (o (n, 1)) es una superficie regla-

da, ya que sus v-curvas son rectas. Esta superficie se puede parametrizar como (1.12)

con p(u) y q(u) curvas de Bezier de grado n.

Si b0,0, ..., b0,n, b1,0, ...b1,n es la malla de control de una superficie reglada de Bezier

que ademas es desarrollable, y denotamos por Qi al cuadrangulo formado por los pun-

tos b0,i, b1,i, b1,i+1, b0,i+1, entonces Qi es plano para todo i. El recıproco no es cierto.


En la siguiente grafica tenemos la superficie de Bezier de bigrado (2,3) dada por la

malla de control

(0, 0,−1) (1, 0, 4) (4, 0, 3) (6, 0,−3)

(0, 2, 2) (1, 2, 5) (4, 2, 6) (7, 2, 3)

(0, 4,−2) (1, 4, 4) (4, 4, 3) (4, 4,−3)

Figura 1.11: Superficie de Bezier

Ahora veamos la superficie reglada de bigrado (1,3) dada por la malla de control(0, 0,−1) (2, 0, 5) (6, 0, 4) (8, 0,−3)

(0, 2, 2) (1, 2, 5) (4, 2, 6) (7, 2, 3)


Figura 1.12: Superficie reglada de Bezier

1.2.3. Cubicas de Overhauser.

Son curvas con parametrizacion polinomica

p(u) =3∑i=0

piPi(u)

Donde los pi son los puntos de control y los Pi son los polinomios de Overhauser dados

por:

P0(u) =1

2

(−u3 + 2u2 − u

)P1(u) =

1

2

(3u3 − 5u2 + 2

)P2(u) =

1

2

(−3u3 + 4u2 + u

)P3(u) =

1

2

(u3 − u2

)

Es facil verificar que estos polinomios forman una base que denotaremos C. Algunas

propiedades de estas curvas para u ∈ [0, 1] son:


Interpolacion. p(0) = p1 y p(1) = p2.

Tangentes en los extremos. Los vectores tangentes p′(0) y p

′(1) son paralelos a los

vectores p2 − p0 y p3 − p1 respectivamente

p′(0) =

1

2(p2 − p0) , p

′(1) =

1

2(p3 − p1)

Lo anterior se verifica facilmente en la sigiente grafica

Figura 1.13: Cubica de Overhauser

Podemos parametrizar una cubica de Overhauser como curva de Bezier, los puntos de

control para la parametrizacion de Bezier b0, ..., b3 se calculan a partir de los puntos de

control para la parametrizacion de Overhauser p0, ..., p1 ası.b0

b1

b2

b3

=1

6

0 6 0 0

−1 6 1 0

0 1 6 −1

0 0 6 0

︸︷︷︸

M

p0

p1

p2

p3

=1

6

6p1

−p0 + 6p1 + p2

p1 + 6p2 − p36p2

(1.21)

M es la matriz de cambio de base de C a B3


Figura 1.14: Cubica con dos polıgonos de control, negro para la parametrizaciıon de

Bezier, rojo para la de Overhauser

Comentarios.

1. La parametrizacion dada por (1.16) es solo un caso particular de la parametriza-

cion racional

b(u) =

∑ni=0wibiB

ni (u)∑n

i=0wiBni (u)

(1.22)

a los wi se les denomina pesos, es claro que (1.16) es el caso wi = 1 para todo i.

2. En la practica casi siempre se trabaja con curvas de Bezier de grado 3 o menor.

3. Las superficies de Bezier dadas por (1.19) son un subconjunto de las denominadas

superficies producto tensorial.


1.3. Conceptos basicos de imagenes medicas

Cuando Wilhelm Conrad Rontgen descubrio los rayos X en 1895 se creo una nueva

rama de la medicina, la radiologıa. Con el tiempo aparecieron mas modalidades para

obtencion de imagenes del cuerpo usando radiacion gamma, electromagnetica y ultraso-

nido. En la actualidad el campo de las imagenes medicas no se queda relegado solo a la

radiologıa o la medicina, en su estudio se usan elementos de computacion y matematicas.

Para la obtencion de imagenes medicas se debe irradiar (con algun tipo de energıa)

una muestra o paciente. Segun la naturaleza o tipo de energıa usada las imagenes medi-

cas se clasifican en:

Radiografıa, TAC. Usa rayos X.

Medicina nuclear. Usa radiacion gamma.

Ecografıa Usa ultrasonido (energia ultrasonica).

Resonancia magnetica Usa radiacion electromagnetica (ondas de radio).

En esta tesis se trabajara con imagenes obtenidas en modalidad TAC y almacenadas

en formato DICOM, vamos a tratar brevemente sobre estos dos terminos.

Figura 1.15: Volumen DICOM obtenido por modalidad TAC

1.3. Conceptos basicos de imagenes medicas 25

Tomografıa Axial Computarizada (TAC). Permite observar el interior del cuerpo

humano a traves de cortes milimetricos transversales al eje cefalo-caudal ( que une la

cabeza con los pies), mediante el uso de rayos X.

El principio basico del funcionamiento del TAC es la reconstruccion de la imagen en

base a la cantidad de radiacion que absorba, examinada en multiples direcciones. Su-

pongamos que K es un cuerpo convexo con una masa de densidad variable, dada por

una funcion f . Si K es atravesado por una radiacion (rayos X en este caso) en una direc-

cion dada por una recta L, en esta direccion se puede medir la magnitud de entrada y la

de salida (de la radiacion). La diferencia entre estas dos intensidades , que denotaremos

F (L), corresponde a la cantidad de radiacion absorbida por K en la direccion de L.En

[10] el matematico Johann Radon resolvio teoricamente este problema en 1917, pero lo

hizo para infinitas direcciones.

En la practica se divide a K en secciones planas y se hace la reconstruccion de ca-

da una de estas, en cada seccion se usa un numero finito de rectas. Cada proyeccion

de rayos X, p(s, θ), puede ser expresara como funcion de s, distancia a lo largo de la

proyeccion, y θ, angulo de rotacion de la fuente de rayos X y el detector.

p(s, θ) = <(f(x, y)) =

∫L

f(x, y)dl

A < se le conoce como la transformada de Radon. Para reconstruir la imagen, es decir

hallar f(x, y), se debe encontrar la inversa de <, esto se hace por metodos como la

retroproyeccion, retroproyeccion filtrada y metodos iterativos los cuales no detallaremos

aquı.

Figura 1.16: Seccion transversal de K


El resultado final de la reconstruccion es una matriz de numeros M que se codifican

como niveles de gris para formar los pixeles de la imagen. Si m1 = min(M) y m2 =

max(M),entonces a m1 le corresponde el color negro y a m2 el blanco.

Figura 1.17: Codificacion de colores en una imagen medica

Formato DICOM. Tambien conocido como estandar DICOM (Digital Imaging and

Communication in Medicine), es el mecanismo de codificacion, almacenamiento y trans-

mision de imagenes aceptado universalmente por la comunidad medica. En este formato

se puede almacenar informacion sobre el paciente, las condiciones en las que se tomo la

imagen y el formato interno de esta.

Los arcivos en formato DICOM tienen extension .dcm y pueden ser manipulados en

MATLAB con los comandos dicomread y dicominfo. Si tenemos el archivo

IM-0001-0127.dcm, entonces la intruccion M=dicomread(IM-0001-0127.dcm’) genera

una matriz de numeros con la codificacion de los colores de la imagen. La instruccion

dicominfo(IM-0001-0127.dcm’) muestra toda la informacion adicional sobre los datos

del paciente y de la imagen. Para mas informacion sobre imagenes medicas ver [11].

Capıtulo 2

Construccion de superficies

desarrollables por medio de curvas

predeterminadas

Sea α(u) una curva parametrizada, del capıtulo anterior sabemos que es posible cons-

truir 3 tipos de superficies desarrollables que la contienen como u-curva.

Cilindro. X(u, v) = α(u) + vd, con d vector constante.

Cono. X(u, v) = α(u) + v(t0 − α(u)), con t0 punto fijo llamado vertice.

Superficie tangente. X(u, v) = α(u) + vα′(u).

Ahora vamos a ver mas tecnicas para construir superficies desarrollables que contengan

una curva α predeterminada. Consideraremos los mecanismos de control sobre la super-

ficie construida y sobre la forma de la curva α∗ en la superficie desarrollada (aplicada

sobre el plano) X∗(u, v).

2.1. Algoritmo de Aumann

En [3] Gunter Aumann propone un metodo para construir superficies desarrollables a

partir de curvas de Bezier. Dada una curva de Bezier b(u) de grado n con u ∈ [0, 1],

y polıgono de control b0, b1, ..., bn, se construye otra curva de Bezier c(u) de grado n

con polıgono de control c0, c1, ..., cn de modo que la superficie reglada de Bezier

X(u, v) = (1− v)b(u) + vc(u) u, v ∈ [0, 1] (2.1)

27

28Capıtulo 2. Construccion de superficies desarrollables por medio de curvas

predeterminadas

sea desarrollable. El polıgono de control de c(u) se construye de la siguiente manera:

Se elige libremente c0 de modo que c0 − b0 no sea paralelo a b1 − b0.

Se eligen libremente dos constantes λ, µ 6= 0 y se construyen c1, ..., cn mediante la

recursion

ci+1 = bi + λ(bi+1 − bi) + µ(ci − bi) (2.2)

Notemos que la iteracion anterior garantiza que el punto ci+1 (o el vector ci−bi) este en

el plano que contiene a los puntos bi, bi+1, ci (generado por los vectores ci− bi, bi+1− bi).La superficie de la ecuacion (2.1) es un cilindro si y solo si λ = 1, un cono si y solo si

µ = 1 y λ 6= 1, y es una superficie tangente en otro caso. Lo anterior se demuestra en

[3], no vamos a repetir las pruebas aquı.

Las figuras 2.1, 2.2 y 2.3 muestran graficas de superficies generadas por la curva b(u)

con polıgono de control (1, 0, 0), (2,−1, 3), (3, 4, 0), (5, 2,−1), c0 = (3, 1, 0) y diferen-

tes valores de λ, µ.

Figura 2.1: Superficie tangente. λ = 0,6, µ = 1,2, curva b(u) en verde

2.1. Algoritmo de Aumann 29

Figura 2.2: Cilindro. λ = 1, µ = 1, curva b(u) en verde

Figura 2.3: Cono. λ = 1,4, µ = 1, curva b(u) en verde

Las superficies anteriores tienen en comun la curva b(u) y el generador c0− b0 (X(0, v)

con v ∈ [0, 1]), es conveniente verlas en una sola grafica.


predeterminadas

Figura 2.4: Superficies desarrollables sobre b(u). Cono (en azul), cilindro (en verde) y

superficie tangente (en rojo)

2.1.1. Forma matricial del algoritmo de Aumann

La iteracion (2.2) se puede reescribir como

ci+1 = µci + ρbi + λbi+1 con ρ = (1− λ− µ) (2.3)

aplicando (2.3) es posible escribir cada ci como combinacion lineal de c0, b0, ..., bn, lo

que permite escribir el algoritmo de Aumann en forma matricial. Para n = 3 podemos

escribir este algoritmo como

c0

c1

c2

c3

=

c0

µc0

µ2c0

µ3c0

︸︷︷︸

C0

+

0 0 0 0

ρ λ 0 0

ρµ λµ+ ρ λ 0

ρµ2 µ(λµ+ ρ) λµ+ ρ λ

︸︷︷︸

A(λ,µ)

b0

b1

b2

b3

(2.4)

En (2.4) los ci y los bi se expresan como vectores columna. Si PB = b0, ..., bn es el

polıgono de control de una curva de Bezier y definimos PB = [b0, ..., bn]T , entonces

podemos reescribir (2.4) como

QB = C0 + A(λ, µ)PB (2.5)


donde QB = c0, ..., cn es el polıgono de control construido al aplicar a PB el algoritmo

de Aumann, y A(λ, µ) es la matriz de (2.4) (en (2.4) se tiene n = 3 pero es facil hallar

esta matriz para cualquier n). Luego el algoritmo de Aumann es una transformacion

afın de Mn×3(R) en Mn×3(R).

El algoritmo de Aumann se plantea para curvas de Bezier, pero tambien funciona para

cubicas de Overhauser si µ = 1. Si b0, ..., b3 son los puntos de control de una cubica de

Overhauser p(t), es decir

p(t) = b0P0(t) + b1P1(t) + b2P2(t) + b3P3(t)

donde P0, ..., P3 son los polinomios de la base de Overhauser, y construimos otra cubica

de Overhauser q(u) con puntos de control q0, ..., q3 usando la recursion de Aumann con

µ = 1, entonces la superficie reglada S(u, v) = (1 − v)p(u) + vq(u) es desarrollable. S

es cilindro si y solo si λ = 1, y es un cono si y solo si λ 6= 1.

Usando la forma matricial podemos dar una prueba de lo anterior. Sean B,C las bases

de Bernstein y Overhauser para los polinomios de grado 3 respectivamente, y sea M la

matriz de cambio de base de C a B. Sea p(u) una cubica de Overhauser con polıgono de

control PC = p0, ..., p3, construimos QC = q0, ..., q3 aplicando a PC el algoritmo

de Aumann con un punto inicial q0, λ libre y µ = 1, es decir QC = C0 + A(λ, 1)PC,

con C0 = [q0, q0, q0, q0]T . Sea PB = b0, ..., b3 el polıgono de control para p(u) parame-

trizada como curva de Bezier, es decir PB = MPC, y

p(t) =3∑i=0

biB3i (t) t ∈ [0, 1] (2.6)

ahora, sea QB = c0, ..., c3 el polıgono de control obtenido al aplicarle la recursion de

Auman a PB con c0 = q11 , µ = 1 y el valor λ de la anterior, es decir QB = C∗

0 +

A(λ, 1)PB, con C∗0 = [q1, q1, q1, q1]

T . La prueba se reduce a mostrar que QB = MQC,

es decir

C∗0 + A(λ, 1)PB = MQC (2.7)

C∗0 + A(λ, 1)MPC = M(C0 + APC) (2.8)

Notemos que la igualdad (2.8) equivale a decir que el siguiente diagrama conmuta,

1Se toma este punto inicial para que las cubicas inicien en el mismo punto


predeterminadas

Figura 2.5: Diagrama conmutativo

es decir, se llega al mismo resultado el aplicar primero la iteracion de Aumann y despues

cambiar de parametrizacion ( o de base ), que al cambiar de parametrizacion primero

y despues aplicar la iteracion de Aumann. Para probar (2.8) la reescribimos ası

C∗0 −MC0 = (MA(λ, 1)−A(λ, 1)M)PC (2.9)

de (1.21) y (2.4) tenemos

M =

0 6 0 0

−1 6 1 0

0 1 6 −1

0 0 6 0

, A(λ, 1) =

0 0 0 0

−λ λ 0 0

−λ 0 λ 0

−λ 0 0 λ

se tiene MC0 = C0, y

[MA(λ, 1)−A(λ, 1)M ]PC = λ [p1− p0, p1− p0, p1− p0, p1− p0]T = C∗0 − C0

de donde tenemos (2.9)

2.1.2. Superficies desarrollables a trozos usando cubicas de

Overhauser y el algoritmo de Aumann

La ventaja de la parametrizacion de Overhauser sobre la de Bezier es la interpolacion.

Si queremos interpolar n puntos A1, ...., An con un spline, es decir, una familia de

curvas con tangente comun, resultante de la concatenacion de segmentos de cubicas

con tangente continua, agregamos 2 puntos auxiliares A0, An+1, y construimos n − 1

segmentos de cubicas de Overhauser b1(t), ..., bn−1(t) donde cada bi(t) tiene puntos de


control pi,0, ..., pi,3 dados por

pi,0 = Ai−2, pi,1 = Ai−1, pi,2 = Ai, pi,3 = Ai+1 (2.10)

Figura 2.6: Segmentos de cubicas de Overhauser interpolantes, los puntos de control de

b1(t) son A0, .., A3, los de b2(t) son A1, .., A4

En la grafica anterior la tangente en el punto A2 donde se conectan las dos curvas, es

continua ya que por las propiedades de las cubicas de Overhauser se tiene

db1du

(1) =1

2(A3 − A1) =

db2du

(0)

luego es claro que la tangente sera continua sobre toda las cubicas. El spline obtenido

con el proceso anterior se le denomina spline de Overhauser1.

Ahora vamos a construir una superficie desarrollable a lo largo de un spline de Overhau-

ser b1(t), b2(t), ..., bn(t) (un trozo por cada cubica), aplicando el algoritmo de Aumann

con µ = 1 sobre cada curva. Para cada cubica bi(t) debemos tomar un punto inicial c0,i

y un valor λi, el valor de λi sera libre, el de c0,i no. Es suficiente ver esta construccion

para 2 cubicas consecutivas que denotaremos b(u), b∗(u).

Sean PC = A0, ..., A3, PC∗ = A1, ..., A4 los polıgonos de control de b(u) y b∗(u)

respectivamente, elegimos un punto c0 y un valor λ, con estos aplicamos la iteracion

de Aumann a PC y obtenemos un polıgono de control QC = c0, c1, c2, c3. Con este

polıgono de control construimos una cubica de Overhauser c(u), que junto con b(u)

definen el trozo de superficie desarrollable X(u, v) = (1−v)b(u)+vc(u) con u, v ∈ [0, 1]

1En la literatura matematica es mejor conocido como spline de Catmull-Rom


predeterminadas

Ahora debemos usar PC∗ para construir un polıgono de control QC∗ = c∗0, c∗1, c∗2, c∗3tal que la cubica c∗(t) que se obtenga con este inicie en c2, es decir c∗(0) = c2, por tanto

se debe dar c∗1 = c2. Como QC∗ se construye aplicando la recursion de Aumann a PC∗

con un punto c∗0 y un valor λ∗,( y queremos c∗1 = c2) entonces de (2.2)

c∗1 = c2 = A1 + λ∗ (A2 − A1) + µ∗ (c∗0 − A1) .

Como µ∗ = 1, al despejar c∗0 de la ecuacion anterior tenemos

c∗0 = c2 − λ∗(A2 − A1) (2.11)

luego, tomando este c∗0 y λ∗ libre garantizamos que la recursion de Aumann aplicada a

PC∗ genere QC∗ con c∗1 = c2. Con QC∗ construimos la cubica de Overhauser c∗(u), y

con esta y b∗(u) el trozo X∗(u, v) = (1− v)b∗(u) + vc∗(u) para u, v ∈ [0, 1].

Ası tenemos dos trozos de superficie desarrollable X(u, v), X∗(u, v), que se conectan

por medio del generador comun X(1, v) = X∗(0, v) para v ∈ [0, 1]. Los extremos de este

generador son los puntos X(1, 0) = X∗(0, 0) = A2 y X(1, 1) = X∗(1, 0) = c2, es claro

que en A2 hay continuidad en la tangencia , pero ademas tenemos lo siguiente:

(a) Las tangentes de c(u) y c∗(u) son paralelas en su punto comun c2

dc

du(1) =

1

2(c3 − c1) =

λ

2(A3 − A1),

dc∗

du(0) =

1

2(c∗2 − c∗0) =

λ∗

2(A3 − A1).

(b) El punto c∗0 esta sobre la recta que pasa por c1 y tiene vector director c2− c1 y c∗2

sobre la recta que pasa por c2 con vector director c3 − c2.

Para probar (a) y (b) basta aplicar (2.2) con µ=1. Para c3 tenemos

c3 = λ (A3 − A2) + λ (A2 − A1) + c1︸︷︷︸c2

c3 − c1 = λ (A3 − A1) .

Analogamente se puede ver que c∗2 − c∗0 = λ∗ (A3 − A1), de donde se tiene (a). Ahora,

como c2 − c1 = λ(A2 − A1), es decir, c2 − c1 es paralelo a A2 − A1, entonces de (2.11)

c∗0 esta en la recta que pasa por c2 con vector director c2 − c1, analogamente se prueba

el resultado para c∗2, lo que demuestra (b).

En la siguiente grafica vemos dos trozos X(u, v), X∗(u, v), construidos usando λ=0.8,


λ∗=0.5, es facil verificar las afirmaciones (a) y (b) en la figura 2.7.

Figura 2.7: Trozos X(u, v) en rojo y X∗(u, v) en azul


predeterminadas

2.2. Superficie desarrollable dada por el vector de

Darboux

Sea α(s) una curva parametrizada por longitud de arco con α′′′ 6= 0, sea Πs el plano

rectificador ( generado por los vectores tangente T y binormal B) de esta para el valor

s del parametro. Vamos a calcular la envolvente de la familia uniparametrica de planos

dada por Πs a lo largo de α(s). Para eso debemos encontrar el vector d(s) que da la

direccion del generador, es decir el vector que permita expresar la envolvente como

X(s, t) = α(s) + td(s) donde t es el parametro para los generadores. Como el vector

normal a la curva N(s) es tambien el vector normal a la familia Πs, entonces d(s) debe

cumplir las ecuaciones

d(s) ·N(s) = 0.

d(s) ·N ′(s) = 0.

Es claro que las anteriores ecuaciones se cumplen si d(s) esta en la direccion de N(s)×N′(s), que es la misma direccion de α

′′(s)× α′′′(s), ası podemos expresar la envolvente

como

X(s, t) = α(s) + t(α′′(s)× α′′′(s)

). (2.12)

Ahora, es claro que la superficie X(s, t) es desarrollable ya que es una superficie reglada

con vector normal constante N(s0) a lo largo de cada generador X(s0, t) para s0 fijo,

ademas la curva α(s) es una geodesica sobre esta superficie, ya que su vector normal

esta en la misma direccion del vector normal a la superficie (son iguales), por tanto tiene

curvatura geodesica κg = 0. Como el vector N(s)×N ′(s) esta en el plano rectificador

entonces se puede expresar como combinacion lineal de T (s) y B(s) (vectores tangente

y binormal de α(s)), para esto usamos las formulas de Frenet ası:

N(s)×N ′(s) = N(s)× (−κ(s)T (s) + τ(s)B(s))

N(s)×N ′(s) = −κ(s)N(s)× T (s) + τ(s)N(s)×B(s)

N(s)×N ′(s) = κ(s)B(s) + τ(s)T (s) =: ω(s)

Al vector ω(s) se le denomina vector de Darboux, y usando de nuevo las formulas de

2.2. Superficie desarrollable dada por el vector de Darboux 37

Frenet se puede probar que

ω(s)× T (s) = T′(s)

ω(s)×N(s) = N′(s)

ω(s)×B(s) = B′(s)

Notemos que usando las formulas (1.2) y (1.3) podemos calcular el vector de Darboux

ω para una parametrizacion cualquiera, ası podemos expresar la superficie dada por la

parametrizacion (2.12) para una curva α que no este parametrizada por longitud de

arco como

X(u, v) = α(u) + v ( τ(u)T (u) + κ(u)B(u))

X(u, v) = (1− v)α(u) + v (α(u) + ω(u))

A la superficie X(u, v) la denominaremos superficie de Darboux para α. Es claro que

si α es una curva plana entonces su superficie de Darboux sera un cilindro con sus

generadores en la direccion del vector normal al plano que contiene la curva, ya que

ω(u) = κ(u)B(u).

La figura 2.8 ilustra la superficie de Darboux de la curva α(u) = (u3 − 2u, u2, 2u3)

para u ∈ [0, 1].

Figura 2.8: Superficie de Darboux para la curva α(u) (en rojo)


predeterminadas

Como la superficie anterior es desarrollable y α(u) es una geodesica sobre esta entonces

en la superficie desarrollada α(u) se transformara en una recta,lo cual se ilustra en la

figura 2.9

Figura 2.9: Desarrollo de la superficie de Darboux para α(u)

Al igual que con el algoritmo de Aumann con el vector de Darboux partimos de una

curva base α(u) y construimos otra curva β(u) tal que la superficie

X(u, v) = (1− v)α(u) + vβ(u) sea desarrollable. Con el algoritmo de Aumann α(u) es

una curva de Bezier de grado n, y β(u) es otra curva de Bezier del mismo grado. Con

el vector de Darboux no sucede lo mismo, si α(u) es una curva polinomica de grado

n, entonces β(u) sera una curva algebraica racional de grado mayor que n, en general

sera una curva mucho mas compleja que α(u), por ejemplo la componente x para la

curva β(u) de las graficas anteriores es

βx(u) =u3∆

√Ω− 2u∆

√Ω− 24300u10 + 77220u8 − 21600u6 + 9792u− 960u2 + 192

∆Ω

∆ =√

45u4 − 8u2 + 4

Γ = 2368− 6336u2 + 399600u4

Ω =(Γ + 3635424u6 + 3371625u12 − 801900u10 + 4495500u8

)∆

Como la parametrizacion de la curva β(u) es muy compleja lo mismo ocurre con su

traza, por eso es posible que las superficies de Darboux presenten autointersecciones,

es decir, intersecciones entre sus generadores, veamos esto en la grafica de la superficie

2.2. Superficie desarrollable dada por el vector de Darboux 39

de Darboux para la curva α(u) = (2u3 − 4u2 + u, u3 + u, u3 − 2u− 1) para u ∈ [0, 1]

Figura 2.10: Superficie de Darboux para la curva α(u) (en rojo)

Capıtulo 3

Superficies desarrollables

semidiscretas

Vamos a denominar las superficies construidas en el capıtulo anterior como D-strips, es

decir, un D-strip es una superficie desarrollable a trozos formada por conos, cilindros o

superficies tangentes que se conectan por medio de generadores comunes. Los D-strips se

construyen sobre una familia de curvas dadas por polıgonos de control. En este capıtulo

vamos a construir superficies formadas por D-strips conectados por medio de curvas

comunes, y las vamos a denominar superficies desarrollables semidiscretas. En [4], [6]

y [1] se estudian las aplicaciones de estas superfices como solucion al problema de la

panelizacion en arquitectura, es decir, como cubrir una estructura con paneles curvos

obtenidos por medio del doblado de paneles planos. Aquı las usaremos para modelar

organos y estructuras anatomicas y visualizarlas de manera plana y sin distorsion.

3.1. Parametrizaciones conjugadas y mallas-CP

Sea P un punto en una superficie parametrizada X(u, v) (P = X(u0, u0)), se dice que

U, V ∈ TPM son direcciones conjugadas sii II(U, V ) = 0. Una parametrizacion X(u, v)

de una superficie se denomina conjugada si Xu(u0, v0) y Xv(u0, v0) son direcciones con-

jugadas para todo u0, v0, lo cual es equivalente a que Xu, Xv y Xuv sean linealmente

dependientes. A las familias dadas por u-curvas y v-curvas de una parametrizacion

conjugada se les deonomida red de curvas conjugadas. Algunos ejemplos de parametri-

zaciones conjugadas son:

1. La superficie desarrollable X(u, v) = (1− v)α(u) + vβ(u). Como el vector normal

a lo largo de cada generador (v-curva) es constante, entonces para todo u0, v0

Sp(Xv(u0, v0)) = 0, por tanto II(Xu(u0, v0), Xv(u0, v0)) = 0.

40

3.1. Parametrizaciones conjugadas y mallas-CP 41

2. La superficie traslacional X(u, v) = p(u) + q(v). Esta superficie es generada por

el movimiento de una curva perfil p(u) a lo largo de una curva directriz q(v) (o

viceversa).

Las parametrizaciones conjugadas se caracterizan por

(a) las envolventes de las familias de planos tangentes de las u-curvas (respectivamente

v-curvas) son superficies desarrollables con generadores tangentes a las v-curvas

(respectivamente u-curvas), es decir, si X(u, v) es una parametrizacion conjugada

entonces para u = u0 fijo, la envolvente de los planos tangentes sobre la v-curva

X(u0, v) es la superficie S(v, w) = X(u0, v) + wXu(u0, v).

Una parametrizacion es conjugada si y solo si cumple (a). En la siguiente grafica tene-

mos una superficie dada por una parametrizacion conjugada.

Figura 3.1: Superficie traslacional en azul, envolvente de los planos tangentes de una

curva isoparametrica en rojo

A continuacion consideramos una version discreta de las parametrizaciones conjugadas

y los D-strips.

Una malla de cuadrilateros es una funcion m : D ⊆ Z2 −→ R3, aquı usaremos

D = 1, 2, ...,m × 1, 2, ..., n y lo interpretaremos como una matriz o arreglo de

tamano m× n. Denotaremos por Mi,j al cuadrangulo formado por los vertices

42 Capıtulo 3. Superficies desarrollables semidiscretas

m(i, j),m(i + 1, j),m(i + 1, j + i),m(i, j + 1). Si para todo (i, j) ∈ D el cuadrangulo

Mij es plano entonces diremos que m es una malla-CP (de cuadrangulos planos). Para

cada fila i de D denotaremos por Fim al poliedro formado por los Mi,j para j = 1, .., n,

y para cada columna j denotaremos por Cjm al poliedro formado por los Mi,j para

i = 1, ...m. Denotaremos por ab al segmento que une los puntos a y b.

En una malla-CP m podemos interpretar a cada Fim (y cada Cjm) como una ver-

sion discreta de un D-strip con generadores m(i, j)m(i, j + 1) para i = 1, ...,m con

planos tangentes constantes Mij a lo largo de cada generador. Decimos que el poliedro

formado por Mi,k, ...,Mi,k+l es un modelo cilındrico si todos sus generadores son pa-

ralelos, conico si todos sus generadores se intersectan en un punto, y tangente si sus

generadores se intersectan a lo largo de los vertices r1, ..., rl de un polıgono. A este se

le denomina polıgono de regresion y es la version discreta de la curva de regresion. Es

claro que cada Fim se puede dividir en modelos conicos, cilındricos y tangentes. En la

siguiente grafica vemos un modelo tangente (usamos ai = m(i, k), bi = m(i+ 1, k))

Figura 3.2: Modelo tangente en azul y polıgono de regresion en rojo

Si aplicamos un proceso de refinamiento agregando nuevos generadores a Fim de modo

que sus cuadrangulos sigan siendo planos entonces en el lımite obtendremos un

D-strip ya que el plano tangente sigue siendo constante sobre cada generador.

Una malla-CP se puede tambien interpretar como una version discreta de una parame-

trizacion conjugada. Los polıgonos con vertices m(i, 1), ...,m(i, n) (o m(1, j), ...,m(m, j))

3.2. Superficie desarrollable semidiscreta M.A. 43

corresponden a las curvas isoparametricas ( u-curvas, v-curvas ) y los Fim (o Cim) a las

envolventes de los planos tangentes sobre estas. De lo anterior es claro que una malla-

CP cumple una version discreta de (a), por tanto al aplicar un proceso de refinamiento

a una malla-CP, es decir, agregarle vertices de modo que siga siendo una malla-CP, se

obtiene en el lımite una red de curvas conjugadas. Si el refinamiento se aplica solo a los

Fim (o Cim) se obtiene una superficie formada por D-strips que denotaremos superficie

desarrollable semidiscreta.

Figura 3.3: Refinamiento de una malla-CP

Un proceso de refinamiento se puede hacer altermando un metodo de subdivision y uno

de planarizacion, el metodo de subdivision agrega nuevos vertices a la malla, y el de

planarizacion reacomoda los vertices de modo que la malla resultante sea una malla-CP.

En [7] se pueden ver los detalles de un metodo de planarizacion.

Aquı construiremos superficies desarrollables semidiscretas usando mallas-CP pero sin

aplicarle a estas procesos de refinamiento, usaremos el algoritmo de Aumann y algunas

superficies especiales.

3.2. Superficie desarrollable semidiscreta M.A.

En esta seccion vamos a construir una superficie desarrollable semidiscreta aplicando

apropiadamente el algoritmo de Aumann sobre cadaMij (por secuenciasMi,1,Mi,2, ...,Mi,n)

en una malla-CP hecha de trapecios ( Mij es trapecio para todo i, j), construiremos

esta malla usando una superficie especial denominada superficie moulding. La superficie

estara formada por parches de Bezier de bigrado (3,1), y nos referimos a este tipo de

superficie como superficie M.A. (Moulding-Aumann)


3.2.1. Interpolacion con el algoritmo de Aumann

En el capıtulo anterior usamos el algoritmo de Aumann para construir superficies desa-

rrollables a partir de una curva predeterminada, ahora lo usaremos para interpolar

segmentos, es decir, construir una superficie desarrollable que contenga unos segmentos

predeterminados como generadores.

Dados dos puntos P,Q en una recta L0, y dos puntos R, S en una recta L1, quere-

mos encontrar una superficie desarrollable X(u, v) = (1− v)b(u) + vc(u) tal que

X(0, v) = L0, X(1, v) = L1 v ∈ R. (3.1)

Mas precisamente, queremos encontrar X(u, v) con u, v ∈ [0, 1] tal que

X(0, 0) = P, X(0, 1) = Q, X(1, 0) = R, X(1, 1) = S (3.2)

Usaremos una cubica de Bezier b(u) con polıgono de control b0 = P, b1, b2, b3 = R y

aplicaremos el algoritmo de Aumann con punto inicial Q y valores apropiados de λ, µ

(que debemos buscar), para construir una cubica de Bezier c con polıgono de control

c0 = Q, c1, c2, c3. Para satisfacer (3.1) necesitamos valores de λ, µ tal que c3 ∈ L1, para

(3.2) debemos escoger estos dos valores tal que c3 = S.

Hay dos casos respecto a la posicion relativa de las rectas L0, L1: que sean coplana-

res, y que sean alabeadas (no coplanares). Vamos a considerar el primer caso tomando

µ = 1, y buscar un valor de λ tal que c3 ∈ L1.

Sea T el punto de interseccion entre L1 y la recta que pasa por Q con vector direc-

tor R− P , tomamos

λ =‖T −Q‖‖R− P‖

. (3.3)

Aplicando la iteracion de Aumann ( ecuacion (2.2)) con µ = 1 tenemos

c3 − c0 = λ(b3 − b0)

c3 −Q =‖T −Q‖‖R− P‖

(R− P ).

De la ultima ecuacion es claro que c3 = T , es decir, al aplicar la iteracion de Aumann

al polıgono de control b0 = P, b1, b2, b3 = R con µ = 1, λ como en (3.3) y punto inicial


Q obtenemos c3 = T .

Si queremos una superficie que cumpla (3.2) basta tomar X∗(u, v) = (1−v)b(u)+vc∗(u)

donde c∗(u) es una curva sobre X(u, v) tal que c∗(0) = Q y c∗(1) = S, es facil ver que

esta curva se puede construir como

c∗(u) = c(u) + (−i)ju ‖S − c3‖ (c(u)− b(u))

donde j = 0 si s ∈ Rc3 y j = 1 si s /∈ Rc3. El problema es que la curva c∗(u) es de

grado 4, por tanto la superficie X∗(u, v) no es un parche de Bezier de bigrado (3,1). El

problema se simplifica si tenemos PR y QS paralelos, es decir, si el polıgono P,R, S,Q

es un trapecio.

Consideremos ahora el caso en que L0 y L1 son alabeadas. Es claro que estas rectas se

pueden parametrizar respectivamente como

l0(w) = P + w(Q− P ), l1(w) = R + w(S −R), w ∈ R

Tomamos los puntos A = l1(w0), B = l0(w1) para w0 > 1 , w1 < 0 y tomamos dos

puntos E,F en AB dados por E = A+ s(B −A), F = A+ t(B −A) con s < t. Ahora,

es claro que los segmentos PQ y EF son coplanares, al igual que los segmentos EF

y RS, por tanto podemos aplicar la construccion anterior a los polıgonos P,Q,E, F y

F,E,R, S obteniendo dos conos que interpolan las rectas L0 y L1.

Figura 3.4: Caso L0 y L1 alabeadas


3.2.2. Superficie moulding

Una superficie moulding es la obtenida por el movimiento de una curva plana p(u) so-

bre planos ortogonales a una curva directriz q(v). Para tratar este tipo de superficie es

conveniente definir los conceptos de offset y evoluta.

Sea α(u) una curva parametrizada, un offset de esta es una curva de la forma

cd(u) = α(u) + dN(u)

donde d es una constante y N(u) es el vector normal unitario de α(u). La evoluta de

α(u) es la curva E(u) dada por

E(u) = α(u) +1

κ(u)N(u).

Usando las formulas de Frenet podemos ver que

E′(u) = −κ

′(u)

κ(u)2N(u),

luego el vector tangente a E(u) es paralelo a N(u), y tenemos lo siguiente:

(b) La recta que pasa por α(u) con vector director N(u) es tangente a E(u).

En la siguiente grafica vemos una curva α(u) con 3 offsets para d = −1, 1, 3 y su evoluta.

Figura 3.5: Curva α(u) en azul, offsets en negro y evoluta en rojo

Una superficie moulding es generada por una curva directriz q(v) con v ∈ [a, b], una cur-

va perfil plana p(u) = (p1(u), p2(u)) con u ∈ [c, d] y una base ortonormal T (v), e1(v), e2(v),


donde T (v) es el vector tangente unitario a q(v), e1(v) es un vector unitario ortogonal

a T (v) y e2(v) = e1 × T (v). Suponemos que e1(v) proviene de una funcion continua

e1 : [a, b] −→ R3.

Con los anteriores elementos se construye la superficie moulding M(u, v) como

M(u, v) = q(v) + p1(u)e1(v) + p2(u)e2(v) u ∈ [c, d], v ∈ [a, b]. (3.4)

Aquı usaremos el caso particular donde q(v) es una curva plana contenida en un plano

que denotaremos Π y e1(v) = N(v) (vector normal unitario a q(v)), por tanto e2(v) = n

donde n es el vector normal a Π, es decir, usaremos una superficie moulding M(u, v)

dada por

M(u, v) = q(v) + p1(u)N(v) + p2(u)n u ∈ [c, d], v ∈ [a, b]. (3.5)

Algunas caracterısticas de la superficie de la ecuacion (3.5) son:

(1) Las u-curvas son congruentes a la curva perfil p(u), ya que para cada v0 fijo

M(u, v0) es p(u) en el sistema de coordenadas dadas por q(v0) (como origen)

y la base ortonormal N(v0), n. Cada u-curva esta contenida en un plano con

vector normal T (v0), por tanto todas las u-curvas estan contenidas un una familia

monoparametrica de planos que denotaremos Πv (v ∈ [a, b]) y cada plano de esta

familia es ortogonal a Π. Para cada v0 fijo los vectores tangentes y normales de

M(u, v0) estan contenidos en Πv0 .

(2) Las v-curvas estan contenidas en una familia de planos paralelos a Π, ya que para

cada u0 fijo tenemos

M(u0, v) = q(v) + p1(u0)N(v)︸︷︷︸offset

+ p2(u)n︸︷︷︸traslacion

es decir, cada v-curva se puede construir como un offset de q(v) mas una traslacion

en la direccion de n. El vector M′(u0, v) = q

′(v)+p1(u0)N

′(v) , es paralelo a T (v)

ya que q′(v) y N

′(v) lo son, por tanto M(u0, v) es ortogonal a Πv para cada

v ∈ [a, b].

(3) Las u-curvas son geodesicas sobre M(u, v). Para v0 fijo de (1) y (2) tenemos

que Mu(u, v0)⊥Mv(u, v0) y si N(u) es el vector normal de M(u, v) entonces

Mv(u, v0)⊥N(u). De lo anterior tenemos N(u)⊥Mu(u, v0) y N(u)⊥Mv(u, v0) lue-


go N(u) es paralelo a Mu(u, v0)×Mv(u, v0), es decir, el vector normal a la u-curva

es paralelo al vector normal a la superficie.

(4) Sea C(v, w) el cilindro dado por la extrusion de la evoluta de q(v) en la direccion

de n, es decir

C(v, w) = q(v) +1

κ(v)N(v) + wn,

entonces se deduce de (b) que para todo v0, Πv0 es tangente a C(v, w) a lo largo

del generador C(v0, w), es decir, el cilindro C(v, w) es la envolvente de la familia

de planos Πv. Ası q(v) es un segmento de cırculo entonces C(v, w) es una recta y

M(u, v) es una superficie de revolucion.

(5) Si la curva perfil p(u) es un segmento de recta entonces M(u, v) es una superficie

desarrollable, ya que el vector normal N(u) sobre cada u-curva (generador) al

estar contenido en un plano se mantiene constante.

En la siguiente grafica tenemos la superficie moulding de la ecuacion (3.5) con

q(v) = (v, 0,3v2, 0), p(u) = (0, u, u2), u, v ∈ [−1, 1].

Figura 3.6: Superficie moulding M(u, v), en azul, q(v) en rojo, p(u) en negro, cilindro

C(v, w) en verde, y un plano de la familia Πv en rojo


Para la superficie moulding de la ecuacion (3.4) se verifican (1), (3) y (5), ademas la

envolvente de Πv es una superficie desarrollable que contiene a la evoluta de q(v). En

[9] se puede ver mas sobre estas superficies.

3.2.3. Construccion de la superficie desarrollable semidiscreta

MA

Si tenemos una superficie moulding M(u, v) con v ∈ [a, b], u ∈ [c, d], y discretizamos

[a, b]× [c, d] por medio de las particiones PU : c = u1 < u2 < · · · < um = d,

PV : a = v1 < v2 < · · · < vn = b obtenemos de manera natural una malla

m : Z2 −→ R3

m(i, j) = M(ui, vj).

En general m no es una malla-CP.

Usaremos a M(u, v), PV y PU para construir una malla-CP m formada por trapecios,

la construccion de m se basara en la propiedad (2) , y por eso podremos interpretar a

m como una version discreta de una superficie moulding. Usaremos un algoritmo dado

por los siguientes 3 pasos.

Paso 1. Usando PV construimos la poligonal dada por los puntos q(v1), q(v2), ..., q(vn),

y para cada j construimos la recta normal a q(v) en el punto q(vj) que denotare-

mos rj.

Figura 3.7: Paso 1. Curva q(v) en verde, rectas ri en azul


Paso 2. Ahora usamos PU y para cada i construimos el polıgono qi,1, qi2, ..., qi,n

que denotaremos Ci, con qi,j ∈ rj, qi,1 como la proyeccion ortogonal de M(ui, a) so-

bre Π y cada qi,kqi,k+1 paralelo a q(vk)q(vk+1). Notamos que cada Ci se puede inter-

pretar como una version discreta de un offset de la poligonal q(v1), q(v2), ..., q(vn).

Figura 3.8: Paso 2. Polıgonos Ci en rojo

Paso 3. Con cada Ci construimos Ci = Ci + din , donde di es una distancia

(que definiremos mas adelante) tal que Ci este “cerca” de M(u,v). Sobre cada

rj los puntos q1,j, q2,j, ..., qm,j forman una discretizacion de [c, d] con puntos que

denotaremos uij dados por

ui,j = c+δiδm

(d− c) con δi =i∑

k=1

‖qk,j − qk−1,j‖ si i > 1, δ0 = 0 (3.6)

De (3.6) es claro que u1,j = c, um,j = d y ui,j ∈ [c, d] para todo i. Definimos la

distancia di como

di =1

n

n∑j=1

q2(ui,j) (3.7)

Notemos que cada Ci del paso 3 esta dado por los vertices que denotaremos qi,j, dados

por qi,j = qi,j + din, y estos forman de manera natural una malla

m : Z2 −→ R3

m(i, j) = qi,j.


Es claro que m es una malla-CP formada por trapecios.

Figura 3.9: Malla m del paso 3

La definicion de di se podrıa hacer buscando minimizar la distancia entre la poligonal

Ci y la superficie M(u, v), pero para las aplicaciones que trabajaremos aquı es suficiente

definir di como en (3.7).

Ahora vamos a construir la superficie MA aplicando la interpolacion con el algorit-

mo de Aumann considerada en la seccion 3.2.1 sobre cada trapecio Mi,j. Esto se hace

construyendo un D-strip sobre cada Fim. Iniciamos con F1m construyendo una familia

de cubicas de Overhauser bj(u) sobre los puntos q1,1, q1,2, ..., q1,n como en (2.10) toman-

do Aj = q1,j( ver figura 2.6), notemos que cada bj(u) interpola los dos puntos de uno

de los segmentos paralelos de M1j. Para cada trapecio Mij tomamos λj como en (3.3)

y un punto inicial c0,j como en (2.11), es decir

λj =‖q2,j − q2,j+1‖‖q1,j+1 − q1,j‖

, c0,j = q2,j − λj(q1,j − c0,j−1) (3.8)

Ya tenemos la cubica bj(u) que interpola los puntos q1,j, q1,j+1 de Mij, al aplicar el algo-

ritmo de Aumann con los valores de (3.8) obtenemos una cubica cj(u) que interpola los

puntos q2,j, q2,j+1, teniendo ası una cubica para cada uno de los segmentos paralelos del

trapecio Mij. Ademas segun lo visto en la seccion 2.1.2, las curvas de la familia cj(u)

para j = 1, .., n tienen tangentes paralelas en sus puntos comunes q2,j (ver figura 2.7).

En la figura 3.10 vemos la construccion anterior sobre dos trapecios consecutivos M1,j,

M1,j+1 de F1m


Figura 3.10: Superficie MA sobre dos trapecios consecutivos M1,j, M1,j+1

Construimos el D-strip sobre F2m usando como base las curvas cj(u) del D-strip ante-

rior, y continuando con este procedimiento construimos la superficie MA.

Figura 3.11: Superficie MA

3.3. Superficie desarrollable semidiscreta TDE 53

3.3. Superficie desarrollable semidiscreta TDE

Ahora vamos a construir una superficie que denominaremos TDE (traslacional discreta

con escalonamiento), esta se construira a partir de una curva base b(u) y una serie de

traslaciones ti y escalonamientos αi.

Sabemos que una curva b(u) y un vertice x0 generan un cono que podemos parametrizar

como

X(u, v) = b(u) + v(x0 − b(u)) (3.9)

Ahora, consideremos las curvas b(u) y c(u) = t + αb(u), con α 6= 0 y t ∈ R3, es decir,

c(u) se obtiene a partir de un escalonamiento mas una traslacion de b(u). Es claro que

la superficie reglada X(u, v) = (1 − v)b(u) + vc(u) es un cono ya que esta se puede

expresar como

X(u, v) = b(u) + (1− α)v

(x0

(1− α)− b(u)

). (3.10)

Notemos que el vetice de la anterior superficie es x0

(1−α) , luego si X(u, v) es un cilindro

( α = 1 ) este vertice esta en el infinito.

Usando lo anterior podemos construir una superficie formada por strips de la forma

(3.10). La siguiente grafica muestra una superficie TDE formada por dos superficies

X1(u, v) y X2(u, v) donde

X1(u, v) = (1− v)b(u) + v [t1 + α1b(u)]︸︷︷︸c(u)

X2(u, v) = (1− v)c(u) + [t2 + α2b(u)]

Figura 3.12: Superficie T.D.E. formada por dos strips

Capıtulo 4

Aplicaciones a las imagenes medicas

Ahora vamos a utilizar algunas de las superficies tratadas los capıtulos 2 y 3 para

modelar estructuras anatomicas en volumenes DICOM.

4.1. Rodaja dental

Figura 4.1: Rodaja dental

En un volumen DICOM de 166 rodajas correspondiente a un scan dental tomamos

las imagenes correspondientes al maxilar superior para construir una rodaja curva que

permita visualizar los 16 dientes de este maxilar.

54

4.1. Rodaja dental 55

Figura 4.2: Imagen DICOM del Scan dental

Sobre cada uno de los 16 dientes tomamos una nube de puntos (esto se hace manualmen-

te con el comando ginput de Matlab), construimos el plano π que mejor los aproxime

segun los mınimos cuadrados y le damos a este la textura del volumen DICOM.

Si P es el promedio de la nube de puntos, tomamos un segmento en π que pase por

P y sea un “eje de simetrıa” apropiado para la textura del diente sobre π. Despues de

obtener los 16 segmentos aplicamos el procedimiento descrito en la seccion 3.2.1 para

cada par de segmentos consecutivos y ası construimos un strip como el de la seccion

2.1.2 que interpola los 16 segmentos, para visualizar los dientes 1 y 16 se toma dos

segmentos auxiliares (punteados en la grafica)

56 Capıtulo 4. Aplicaciones a las imagenes medicas

Figura 4.3: Extracion de los datos

4.1. Rodaja dental 57

Al strip construido la damos la textura del volumen DICOM para formar la rodaja y

visualizar la textura de los dientes

Figura 4.4: Rodaja en 3D

Figura 4.5: Desarrollo de la rodaja


4.2. Craneo

Ahora vamos a modelar el craneo mediante una superficie T.D.E (seccion 3.3).

Figura 4.6: Craneo

En un volumen DICOM tomamos 101 rodajas correspondientes a una parte del craneo.

Sobre la primera rodaja, que vemos en la siguiente grafica, tomamos 14 puntos (de

control) sobre el craneo y construimos un spline de Overhauser que denotaremos b(u).

Figura 4.7: Imagen DICOM del craneo con los puntos de control

Despues mediante 7 traslaciones y escalonamientos apropiados que denotaremos ti y αi

respectivamente (para i = 1, 2..., 7), construimos 7 curvas de la forma ti + αib(u), de

tal manera que cada una se ajuste al interior del craneo en su correspondiente rodaja.

4.2. Craneo 59

Figura 4.8: Imagen DICOM del craneo con una curva ti + αib(u)

Con las curvas de la forma ti +αib(u) construimos una superficie como la de la seccion

3.3 formada por 7 strips.

Figura 4.9: Craneo modelado por 7 strips


Figura 4.10: Craneo

Las siguientes graficas corresponden al strip 5 (contando de abajo hacia arriba en la

figura 5.9) y su desarrollo.

Figura 4.11: Strip 5

4.2. Craneo 61

Figura 4.12: Desarrollo del strip 5

Bibliografıa

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