Suport Curs

  • View
    41

  • Download
    1

Embed Size (px)

Transcript

GH. DOGARUI. COLESCU ANALIZ MATEMATIC II ( ) ( ) ( ) =baa F b F dx x f

PREFA nultimiledecenii,majoritateadisciplinelordematematici-auschimbat multaspectulfieprintr-oprecizareaconinutului,fieadoptndoformnoude expunere care s corespund procesului general de modernizare a matematicii. Evident c, analiza matematic nu poate rmnenafaraacesteievoluii.Dac nupoatefivorbadeoschimbaredefondaconintuluianalizeimatematice,n schimb credem c forma de expunere trebuie s sufere unele modificri.nansambluldisciplinelorcarefacpartedinplanuldenvmntalunei facultitehnice,analizamatematictrebuiessecorelezecualtedisplineca algebra, matematici speciale, analiz numeric i altele. ncarteadefapecareautoriioprezint,printrealteleoimportan deosebits-aacordatmodernizriicaformaanalizeimatematice.O modernizareexageratiforatndetrimentulconinutuluiclasicalanalizei matematice ar constitui un eec. Din aceast cauz una din direciile importante afostaceeadeagsimsurapotrivitdeexpunerecaresechilibrezentr-un tot forma i coninutul, intuiia rmnnd n unele locuri o metod de baz pentru nelegerea anumitor noiuni.Cartea Analiz matematica IIconstituie un al doilea volum al unei serii delucrridedicatestudiuluiunorcapitoleimportantealeanalizeimatematice moderne.nvolumuldefa sunt studiate unele noiuni fundamentale, cum ar fi celedeprimitiv,integraldefinit,integralcuparametru,integralcurbilinie, integraldubl,integraltripl,integraldesuprafa,formuleintegrale, folosindu-se conceptul de spaiu topologic i spaiu metric. Amalesacestcadruntructpermite,pedeoparte,otratareunitara unor probleme fundamentale, fiind suficient de larg pentru a include principalele problemeceintervinfrecventndiferitedomeniiteoreticeipractice,iarpede alt parte, permite o deschidere spre abordarea lor ntr-un cadru mai general. Avndnvederecproblemelecarefacobiectulanalizeimatematicenu suntuoraccesibile,amurmritintroducereamotivatanoiunilori problemelor,otratarecaressesprijinepeexemplectmaisugestiveiam ncheiatfiecarecapitolcuunparagrafdeexerciiirezolvatencaresunt prezentate un numr mare de exerciii de dificulti diferite rezolvate complet. Cartea se ncheie cu un capitol ce propune spre rezolvare un numr foarte maredeexerciiicorespunztoarefiecruicapitoltratat,dindorinadeada posibilitatea cititorului s se autoverifice n ce grad a neles noiunile prezentate. Spermcalucrareasfieutilattstudenilorcestudiaznprograma universitar analiza matematic, profesorilor de licee care-i pregtesc examenle dedefinitivatsaugrad,ctituturorcelorcaredorescsnveeis aprofundeze matematica modern a zilelor noastre, facilitndu-le nelegerea mai precis i mai aprofundat a unor noiuni i modele matematice de mare finee. Autorii

CUPRINS PREFA .............................................................................................................2 CUPRINS..............................................................................................................3 CAPITOLUL 1 CALCUL INTEGRAL. INTEGRALA DEFINIT .............................5 1. Diviziune. Norm............................................................................................5 2. Sume integrale...............................................................................................6 3. Clase de funcii integrabile.............................................................................9 4. Proprieti ale funciilor integrabile...............................................................11 5. Inegaliti integrale.......................................................................................13 6. Exerciii rezolvate.........................................................................................16 CAPITOLUL 2 PRIMITIVE..................................................................................23 1. Primitive. Definiie. Proprieti ......................................................................23 2. Metode de calcul a primitivelor.....................................................................26 3. Primitive reductibile la primitive de funcii raionale......................................30 4. Exerciii rezolvate.........................................................................................32 CAPITOLUL 3 INTEGRALE IMPROPRII ............................................................43 1. Integrala improprie. Proprieti generale. .....................................................43 2. Criterii de convergen a integralelor improprii ............................................48 3. Exerciii rezolvate.........................................................................................52 CAPITOLUL 4 INTEGRALE CU PARAMETRU..................................................60 1. Definiie. Proprieti......................................................................................60 2. Proprietile funciei() ( )()(),yyJ y f xy dx=...................................................64 3. Funciile lui Euler..........................................................................................66 4. Exerciii rezolvate.........................................................................................71 CAPITOLUL 5 INTEGRALA CURBILINIE.........................................................125 1. Integrala curbilinie n raport cu coordonatele. Proprieti. Formul de calcul.......................................................................................................................125 2. Proprietile integralei curbilinii n raport cu coordonatele..........................130 3. Integrala curbilinie n raport cu elementul de arc .......................................135 4. Exerciii rezolvate.......................................................................................138 CAPITOLUL 6 INTEGRALA DUBL.................................................................148 1. Definiie. Proprieti....................................................................................148 2. Calculul integralei duble.............................................................................153 3. Formula lui Green. Schimbarea de variabil n integrala dubl .................155 4. Exerciii rezolvate.......................................................................................158 CAPITOLUL 7 INTEGRALA TRIPL................................................................174 1. Definiie. Proprieti....................................................................................174 2. Calculul integralei triple..............................................................................179 3. Schimbarea de variabil n integrala tripl.................................................183 4. Exerciii rezolvate.......................................................................................187 CAPITOLUL 8 INTEGRALA DE SUPRAFA .................................................201 1. Elemente de teoria suprafeelor .................................................................201

2. Integrala de suprafa de spea I sau n raport cu elementul de arie .........204 3. Integrala de suprafa n raport cu coordonatele sau de spea a doua......208 4. Formule integrale.......................................................................................209 5. Exerciii rezolvate.......................................................................................215 CAPITOLUL 9 EXERCIII PROPUSE..............................................................224 ANEX..............................................................................................................260 BIBLIOGRAFIE.................................................................................................270

CAPITOLUL 1 CALCUL INTEGRAL. INTEGRALA DEFINIT 1. Diviziune. Norm Fie [ ], a b R. Definiia1.1.1.Senumetediviziunealui [ ], a b isenoteazcuomulime finit{ } [ ]0 1, ,..., ,nx x x a b alecreielementeverificcondiia: 0 1 2...nx a x x x b = < < < < = . Pentruapunenevidencomulimedeelementeestediviziunese scrie astfel: { }0 1 2: ...nx a x x x b = = < < < < = . Elementele ix ,0, i n = , se numesc punctele diviziunii iar [ ]1,i i iJ x x= , 1, i n = , se numesc intervale pariale definite de diviziunea. Definiia1.1.2.Senumetenormadiviziunii{ }0 1 2: ....nx a x x x b = = < < < < =numrul 11ni iix x= max . Acestnumrsenoteazcu( ) v .Diviziuneasenumetediviziune echidistantalui [ ], a b dac: 1 i ib ax xn = ,( ) 1, i n =. Pentruo diviziuneechidistant,puncteledediviziuneix sepotexprimacuajutorul capeteloraibale intervalului. ( )iix a b an= + Notaii: a) Mulimea tuturor diviziunilor intervalului [ ], a bse noteaz astfel:Lsau cndsefolosescmaimulteintervale,pentruanlturaconfuzia,se noteaz [ ] a,bL. b)Ofamilie(mulime)depuncteintermediareasociatediviziuniise noteaz cu ( ){ }1,i i iJ i n = =c)Mulimeatuturorfamiliilordepuncteintermediareasociatediviziunii se noteaz cu L.

Definiia 1.1.3. Fie [ ]1 2,a,b L . Se spune c diviziunea 2este mai fin dect diviziunea 1 saucdiviziunea 2 esteconsecutivdiviziunii 1 dac toate punctele diviziunii 1sunt coninute de diviziunea 2 . Acest lucru se scrie astfel: 1 2 . Propoziia 1.1.1.a) Relaia de finee definit n definiia 1.1.3. definete pe mulimea [ ] a,bLo relaiedeordinefiltrant,adic( )[ ]1 2 a,b , L ,exist [ ] a,bL] astfel nct 1 i 2 . b) Fie( )1nn un ir de diviziuni ale intervalului[ ], a bastfel nct:1 2 3... ...n Atunci ( ) ( )n1vn este un ir de numere reale cresctor, adic:( ) ( ) ( )1 2v v ... v ...n Demonstraie: a)Pentruaartacrelaiadefineeesteorelaiedeordine,trebuie artatceaestereflexiv,antisimetricitranzitiv.Acesteproprieti sunt evidente innd cont de Definiia 1.1.3. Pentru a arta c relaia este filtrant, se consider( )3 1 2 1, = , [ ]2 a,b Latunci 3 1 3 2, ,deci relaia de finee este o relaie de ordine filtrant. b)Dac 1 2 3... ...n ,inndcontdedefiniia1.1.2.ide definiia 1.1.3. se obine( ) ( ) ( )1 2v v ... v ...n 2. Sume integrale Definiia1.2.1.Fie [ ]: , f a b Rofunc