Suport didactic pentru disciplina Algoritmi Numerici, ?· Se dores¸te gasirea unei expresii analitice…

  • View
    212

  • Download
    0

Embed Size (px)

Transcript

Preliminarii Formulare Interpolare globala M.clasica M.Lagrange M.Newton Exemplu Interp.Cebyshev

Interpolarea functiilor

Conf.dr.ing. Gabriela Ciuprina

Universitatea "Politehnica" Bucuresti, Facultatea de Inginerie Electrica,Departamentul de Electrotehnica

Suport didactic pentru disciplina Algoritmi Numerici, 2012

Preliminarii Formulare Interpolare globala M.clasica M.Lagrange M.Newton Exemplu Interp.Cebyshev

Cuprins

Preliminarii

Formularea problemei interpolarii

Metode de interpolare globala

Metoda clasica

Metoda Lagrange

Metoda Newton

Interpolarea Chebyshev

Preliminarii Formulare Interpolare globala M.clasica M.Lagrange M.Newton Exemplu Interp.Cebyshev

Preliminarii

Scrierea formala a unei probleme

y = f (x), (1)

x - datele problemei (parametri independenti);y - marimile de interes ce se doresc a fi estimate.De exemplu, f poate reprezenta:

un proces de masurare a marimilor y pentru o anumita stare completcaracterizata de x;

un program software complicat, capabil sa analizeze configuratiacaracterizata complet de datele x si sa calculeze printr-un algoritm depostprocesare marimile y.

Preliminarii Formulare Interpolare globala M.clasica M.Lagrange M.Newton Exemplu Interp.Cebyshev

Preliminarii

Formularea problemei (neriguros)Se da o functie reprezentata prin date:(xk , yk ), k = 0, . . . , n, unde yk = f (xk ).Se doreste gasirea unei expresii analitice pentru o functie gcare sa aproximeze aceste date adicag(xk ) yk sau chiar g(xk ) = yk .

Interpolare setului de date: g trece prin punctele multimiide date: g(xk ) = yk

Aproximarea (regresia) setului de date = g trece printrepunctele multimii de date: g(xk ) yk

Preliminarii Formulare Interpolare globala M.clasica M.Lagrange M.Newton Exemplu Interp.Cebyshev

Preliminarii

Observatii:

1. xk se numeste si retea (grid) de discretizare.

2. Interpolarea/aproximarea este utila si daca functia estereprezentata prin cod = exista un software capabil sacalculeze f (x) pentru orice x dorit, daca efortul de evaluareal lui f este mare.

Preliminarii Formulare Interpolare globala M.clasica M.Lagrange M.Newton Exemplu Interp.Cebyshev

Preliminarii

Exemple: interpolare

2 0 2 4 6 8 10 12 140.4

0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1DateInterpolare

1 2 3 4 5 6 7 8 9 100.4

0.3

0.2

0.1

0

0.1DateInterpolare

Interpolarea unui set de date. n cazul n care setul de date are foartemulte valori, interpolarea poate genera oscilatii nedorite.

Preliminarii Formulare Interpolare globala M.clasica M.Lagrange M.Newton Exemplu Interp.Cebyshev

Preliminarii

Exemple: interpolare vs. aproximare

1 2 3 4 5 6 7 8 9 100.4

0.3

0.2

0.1

0

0.1DateInterpolare

1 2 3 4 5 6 7 8 9 100.4

0.3

0.2

0.1

0

0.1DateAproximare

Avantajul aproximarii: se diminueaza erorile de masurare dinrezultatul final.

Preliminarii Formulare Interpolare globala M.clasica M.Lagrange M.Newton Exemplu Interp.Cebyshev

Precizari f :? ?

Cazul scalar unidimensional (1D): f , g : [a, b] IR.

Cazul vectorial unidimensional f : [a, b] IRm, m > 1se reduce la m interpolari/aproximari 1D.

Cazul scalar bidimensional (2D) f , g : [a, b] [c, d ] IR

Cazul scalar n-dimensional (nD) f , g : D IRn IR.

Cazul cel mai general f , g : D IRn IRm se reduce la msituatii de tip nD.

n cele ce urmeaza vom pp. cazul 1D.

Preliminarii Formulare Interpolare globala M.clasica M.Lagrange M.Newton Exemplu Interp.Cebyshev

Distanta dintre doua functii

Se doreste ca g : [a, b] IR sa aproximeze/interpoleze ct maibine functia f : [a, b] IR.distanta dintre cele doua functii

d(f , g) = f g (2)

sa fie ct mai mica.Exista mai multe procedee de definire a normei.

Preliminarii Formulare Interpolare globala M.clasica M.Lagrange M.Newton Exemplu Interp.Cebyshev

Distanta dintre doua functiiProcedee de definire a normei.

Aria dintre graficele celor doua functii

d1(f ,g) =1

b a

b

a|f (x) g(x)| dx . (3)

Dezavantaj: alocal, pot exista diferente foarte mari ntre celedoua functii.

Abaterea medie patratica

d2(f ,g) =

1b a

b

a(f (x) g(x))2 dx . (4)

Acelasi dezavantaj.

Abaterea maxima dintre cele doua functii

d3(f ,g) = maxx[a,b]

|f (x) g(x)|. (5)

Din pdv al acuratetii - este cea mai avantajoasa.

OBS: Niciuna din aceste norme nu se poate evalua.

Preliminarii Formulare Interpolare globala M.clasica M.Lagrange M.Newton Exemplu Interp.Cebyshev

Distanta dintre doua functiiNormele discrete:

d1d (f ,g) =n

k=0

|g(xk ) f (xk )|, (6)

d2d (f ,g) =

n

k=0

(g(xk ) f (xk ))2, (7)

d3d (f ,g) = maxk=0,n

|g(xk ) f (xk )|. (8)

2 0 2 4 6 8 10 12 140.4

0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2Datefg

1

g2 Avantaj: pot fi evaluate cu usurinta.

Dezavantaj: se pierde posibilitateaevaluarii acuratetii ntre noduri. Maimult dd (f ,g1) = 0; dd (f ,g2) = 0; problema prost formulata.

Preliminarii Formulare Interpolare globala M.clasica M.Lagrange M.Newton Exemplu Interp.Cebyshev

Formularea problemei interpolariiSe cauta g pentru care dd(f , g) = 0, unde f este cunoscutantr-un numar finit de puncte f (xj) = yj .Echivalent cu a impune conditiile de interpolare

g(xj) = f (xj), j = 0, . . . , n, (9)

g(xj) = yj , j = 0, . . . , n. (10)

Pentru a face ca problema sa fie bine formulata matematic(solutia sa existe si sa fie unica) functia g se cauta n spatiulpolinoamelor generalizateg adica se cauta de forma unei combinatii liniare de m functiik , k = 1, . . . ,m numite functii de baza:

g(x) =m

k=0

ckk (x). (11)

Preliminarii Formulare Interpolare globala M.clasica M.Lagrange M.Newton Exemplu Interp.Cebyshev

Formularea problemei interpolariiFunctiile de baza se aleg nainte de rezolvarea propriu-zisa aproblemei interpolarii. Exemple:

0(x) = 1, 1(x) = sin x , 2(x) = cos x , 3(x) = sin(2x), etc.

0(x) = 1, 1(x) = x , 2(x) = x2, 3(x) = x3, etc.

Cei m coeficienti ck se calculeaza din impunerea conditiilor deinterpolare:

m

k=0

ckk (xj) = yj , j = 0, . . . ,n, (12)

Sistem algebric liniar cu n + 1 ecuatii si m + 1 necunoscute.Pentru buna formulare matematica se impune ca m = n si

=

0(x0) 1(x0) n(x0)0(x1) 1(x1) n(x1)

0(xn) 1(xn) n(xn)

6= 0. (13)

6= 0 xj sunt distincte si k sunt liniar independente.

Preliminarii Formulare Interpolare globala M.clasica M.Lagrange M.Newton Exemplu Interp.Cebyshev

Formularea problemei interpolarii

Date: un tabel de valori (xk , yk ), k = 0, . . . , n, unde punctele

retelei de discretizare xk sunt distincte doua cte doua;

n + 1 functii de baza liniar independente k (x),k = 0, . . . , n.

Se cer: coeficientii ck , k = 0, . . . , n pentru care sunt satisfacute

conditiile de intepolare g(xj) = yj , j = 0, . . . , n undeg(x) =

nk=0 ckk (x) este polinomul de interpolare al

datelor din tabel.

Preliminarii Formulare Interpolare globala M.clasica M.Lagrange M.Newton Exemplu Interp.Cebyshev

Metode de interpolare globala

Metodele de interpolare globala = metodele n carefunctiile de baza se definesc compact, printr-o singuraexpresie pe ntreg domeniul de definitie al functiei deinterpolat.

Gradul polinomului de interpolare = numarul de puncte dintabelul de date - 1

n functie de cum se aleg functiile de baza se obtin diferitemetode de interpolare globala.

Preliminarii Formulare Interpolare globala M.clasica M.Lagrange M.Newton Exemplu Interp.Cebyshev

Metoda clasicaFunctiile de baza: k (x) = xk , k = 0, . . . , n.Polinomul de interpolare:

g(x) =n

k=0

ckxk = c0 + c1x + c2x

2 + + cnxn, (14)

Din impunerea conditiilor de interpolare

c0 + c1x0 + c2x20 + + cnxn0 = y0

c0 + c1x1 + c2x21 + + cnxn1 = y1

c0 + c1xn + c2x2n + + cnxnn = yn

(15)

etapa de pregatire = calculul coeficientilor polinomului deinterpolare

etapa de evaluare = evaluarea propriu-zisa a polinomuluide interpolare.

Preliminarii Formulare Interpolare globala M.clasica M.Lagrange M.Newton Exemplu Interp.Cebyshev

Metoda clasicaEfort de calcul:

Etapa de pregatire: O(2n3/3) - dezavantaj Etapa de evaluare: O(2n).

Dezavantaj major: pentru valori mari ale lui n matriceacoeficientilor sistemului este slab conditionata

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.40

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

x

y =

xk

x

x2

x3

x4

x5

x6

x7

x8

x9

x10

Preliminarii Formulare Interpolare globala M.clasica M.Lagrange M.Newton Exemplu Interp.Cebyshev

Metoda Lagrange

Functiile de baza sunt polinoamele Lagrange

k (x) = lk (x) =

ni=0,i 6=k (x xi)

ni=0,i 6=k (xk xi)

, (16)

Polinomul de interpolare este

g(x) =m

k=0

ck lk (x). (17)

lk (xj) ={

1 daca j = k ,0 daca j 6= k .

(18)

Preliminarii Formulare Interpolare globala M.clasica M.Lagrange M.Newton E